2018年02月立体几何

立体几何

一．解答题（共26小题）

1．如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D为AB的中点．

（Ⅰ）求证：CD⊥平面ABB1A1；

（Ⅱ）求证：BC1∥平面A1CD．

2．已知四棱锥P﹣ABCD的底面为平行四边形，PD⊥平面ABCD，M是PC的中点．

（Ⅰ）证明：AP∥平面MBD

（Ⅱ）若AD⊥PB，求证：BD⊥平面PAD．

3．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C l中，M，N分别为CC1，A1B1的中点．CA⊥CB1，CA=CB1，BA=BC=BB1．（Ⅰ）求证：直线MN∥平面CAB1；

（Ⅱ）求证：直线BA1⊥平面CAB1．

4．如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=AD=1，AA1=2，点P为DD1的中点．

求证：（1）平面BDD1⊥平面PAC；

（2）直线PB1⊥平面PAC．

5．如图，正四棱锥P﹣ABCD中，ABCD是正方形，O是正方形的中心，PO⊥底面ABCD，E是PC的中点．

（I）证明：PA∥平面BDE；

（II）证明：平面PAC⊥平面BDE；

（III）已知：AB=PA=2，求点C到面BDE的距离．

6．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，PA=PB，且侧面PAB⊥平面ABCD，点E是AB 的中点．

（1）求证：PE⊥AD；

（2）若CA=CB，求证：平面PEC⊥平面PAB．

7．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，点E在棱PC上（异于点P，C），平面ABE与棱PD交于点F．

（1）求证：AB∥EF；

（2）若平面PAD⊥平面ABCD，求证：AF⊥EF．

8．如图，已知斜三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=AC，D为BC的中点．

（1）若平面ABC⊥平面BCC1B1，求证：AD⊥DC1；

（2）求证：A1B∥平面ADC1．

9．如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD，E，F分别为PD，BC的中点．

（1）求证：AE⊥PC；

（2）G为线段PD上一点，若FG∥平面AEC，求的值．

10．如图所示，四边形ABCD为矩形，AD⊥平面ABE，AE=EB=BC，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE．（1）求证：AE⊥BE；

（2）设M在线段AB上，且满足AM=2MB，试在线段CE上确定一点N，使得MN∥平面DAE．

11．如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是菱形，侧棱PD⊥底面ABCD，∠BCD=60°．

（I）若点F，E分别在线段AP，BC上，AF=2FP，BE=2EC．求证：EF∥平面PDC；

（Ⅱ）问在线段AB上，是否存在点Q，使得平面PAB⊥平面PDQ，若存在，求出点Q的位置；否则，说明理由．

12．如图，DC⊥平面ABC，EB∥DC，AC=BC=EB=2DC=2，∠ACB=120°，P，Q分别为AE，AB的中点．（Ⅰ）证明：PQ∥平面ACD；

（Ⅱ）求AD与平面ABE所成角的正弦值．

13．如图，在直三棱柱A1B1C1﹣ABC中，AB⊥AC，AB=AC=2，AA1=4，点D是BC的中点．

（1）求证：A1B∥面ADC1；

（2）求直线B1C1与平面ADC1所成角的余弦值．

14．如图，四棱锥P﹣ABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，AB=BC=AD，∠BAD=∠ABC=90°，E是PD的中点．

（1）证明：直线CE∥平面PAB；

（2）点M在棱PC 上，且直线BM与底面ABCD所成角为45°，求二面角M﹣AB﹣D的余弦值．

15．如图，已知四棱锥P﹣ABCD，△PAD是以AD为斜边的等腰直角三角形，BC∥AD，CD⊥AD，PC=AD=2DC=2CB，E为PD的中点．

（Ⅰ）证明：CE∥平面PAB；

（Ⅱ）求直线CE与平面PBC所成角的正弦值．

16．如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥底面ABC，∠BAC=90°．点D，E，N分别为棱PA，PC，BC的中点，M是线段AD的中点，PA=AC=4，AB=2．

（Ⅰ）求证：MN∥平面BDE；

（Ⅱ）求二面角C﹣EM﹣N的正弦值；

（Ⅲ）已知点H在棱PA上，且直线NH与直线BE所成角的余弦值为，求线段AH的长．

17．如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1⊥平面ABCD，且AB=AD=2，AA1=，∠BAD=120°．（1）求异面直线A1B与AC1所成角的余弦值；

（2）求二面角B﹣A1D﹣A的正弦值．

18．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AD⊥平面PDC，AD∥BC，PD⊥PB，AD=1，BC=3，CD=4，PD=2．（Ⅰ）求异面直线AP与BC所成角的余弦值；

（Ⅱ）求证：PD⊥平面PBC；

（Ⅲ）求直线AB与平面PBC所成角的正弦值．

19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，平面PAD⊥平面ABCD，点M在线段PB上，PD∥平面MAC，PA=PD=，AB=4．

（1）求证：M为PB的中点；

（2）求二面角B﹣PD﹣A的大小；

（3）求直线MC与平面BDP所成角的正弦值．

20．如图，在三棱台ABC﹣DEF中，已知平面BCFE⊥平面ABC，∠ACB=90°，BE=EF=FC=1，BC=2，AC=3，（Ⅰ）求证：BF⊥平面ACFD；

（Ⅱ）求二面角B﹣AD﹣F的余弦值．

21．如图，正方形ABCD的中心为O，四边形OBEF为矩形，平面OBEF⊥平面ABCD，点G为AB的中点，AB=BE=2．

（1）求证：EG∥平面ADF；

（2）求二面角O﹣EF﹣C的正弦值；

（3）设H为线段AF上的点，且AH=HF，求直线BH和平面CEF所成角的正弦值．