大学物理简谐振动的合成完整ppt课件
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大学物理(简谐振动篇)ppt课件
通过图表展示实验结果，如位移-时间 图、速度-时间图等，以便更直观地分 析振动特性。
波动方程验证性实验设计思路分享
实验目的通过观察Βιβλιοθήκη 测量波动现象，验证波动方程的正确性。
实验原理
利用波动方程描述波的传播规律，通过实验数据验证理论预测。
波动方程验证性实验设计思路分享
实验设计思路
选择合适的波动源和测量仪器，如振动台、激光 干涉仪等。
01
实验步骤
02
搭建实验装置，包括弹簧、振子、测量仪器等。
调整实验参数，如弹簧劲度系数、振子质量等，以获得不同条
03
件下的振动数据。
弹簧振子实验设计思路分享
使用测量仪器记录振动的位移、速度 、加速度等数据。
对实验数据进行处理和分析，提取简 谐振动的基本特征。
单摆实验数据处理技巧指导
实验目的
通过观察和测量单摆的运动，研究简谐振动的基本规律。
波动传播速度
波动在介质中传播的速度称为波动传播速度。对于简谐振动 形成的机械波而言，波动传播速度与介质的性质有关，如弹 性模量、密度等。同时，波动传播速度还与振动的频率有关 ，频率越高则波动传播速度越快。
02
简谐振动的动力学特征
回复力与加速度关系
回复力定义
指向平衡位置的力，大小与位移成正比，方 向始终指向平衡位置。
1 研究非线性振动现象
通过设计和实施非线性振动实验，探索非线性振动的基 本规律和特性，如混沌现象、分岔行为等。
2 探究复杂系统中的振动传播
研究复杂网络中振动传播的动力学行为，揭示网络结构 对振动传播的影响机制。
3 开发新型振动传感器件
结合微纳加工技术和振动理论，设计并制作具有高灵敏 度、高分辨率的振动传感器件，应用于精密测量和工程 领域。
波动方程验证性实验设计思路分享
实验目的通过观察Βιβλιοθήκη 测量波动现象，验证波动方程的正确性。
实验原理
利用波动方程描述波的传播规律，通过实验数据验证理论预测。
波动方程验证性实验设计思路分享
实验设计思路
选择合适的波动源和测量仪器，如振动台、激光 干涉仪等。
01
实验步骤
02
搭建实验装置，包括弹簧、振子、测量仪器等。
调整实验参数，如弹簧劲度系数、振子质量等，以获得不同条
03
件下的振动数据。
弹簧振子实验设计思路分享
使用测量仪器记录振动的位移、速度 、加速度等数据。
对实验数据进行处理和分析，提取简 谐振动的基本特征。
单摆实验数据处理技巧指导
实验目的
通过观察和测量单摆的运动，研究简谐振动的基本规律。
波动传播速度
波动在介质中传播的速度称为波动传播速度。对于简谐振动 形成的机械波而言，波动传播速度与介质的性质有关，如弹 性模量、密度等。同时，波动传播速度还与振动的频率有关 ，频率越高则波动传播速度越快。
02
简谐振动的动力学特征
回复力与加速度关系
回复力定义
指向平衡位置的力，大小与位移成正比，方 向始终指向平衡位置。
1 研究非线性振动现象
通过设计和实施非线性振动实验，探索非线性振动的基 本规律和特性，如混沌现象、分岔行为等。
2 探究复杂系统中的振动传播
研究复杂网络中振动传播的动力学行为，揭示网络结构 对振动传播的影响机制。
3 开发新型振动传感器件
结合微纳加工技术和振动理论，设计并制作具有高灵敏 度、高分辨率的振动传感器件，应用于精密测量和工程 领域。
振动合成.ppt
合
A1 sin 1
成
A1 cos1 A2 cos2
(1) : x1和 x2 的角频率
(2)A A12 A22 2A1A2 cos(2 1) x Acos( t )
(3) tan A1 sin 1 A2 sin 2 A1 cos1 A2 cos2
两个简谐运动的合成（二）
同一直线上不同频率的简谐运动的合成
振动在同一直线上
振幅相同 初相相同`
振动频率不同
x1 A cos(1t ) 分振动 x2 A cos(2t )
合振动 x x1 x2
x x1 x2
A cos(1t ) A cos(2t )
A12 A22 2A1A2 cos(2 1)
频率与函数变化关系
y 3cos1t y 3cos 5t
三角函数的和差化积公式
cos cos
2cos cos
2
2
2
A
c
os
2
1
t
cos(2
1
t
)
2
2
2 1 2 1
A~ cos(2 1 t )
2
拍的形成
近似简谐运动——拍
A~ 2Acos2 1 t
2
振幅调节
总 （1）同一直线上同频率的简谐运动的合成
结 求合运动的方法：相量图，矢量求合。
x Acos( t ) 简谐运动
一个质点参与两个在同一直线上频率相同的 简谐振动，其合成运动仍为简谐振动。
p204 17.19 一个质点同时参与两个在同一直线 上的简谐运动
大学物理学完整10PPT课件
上式还可写为： 2π
上式表明，ω是频率的2π倍，表示物体在2π秒内完成的全 振动次数，故ω称为角频率或圆频率。
周期、频率和角频率都是描述物体振动快慢的物理量。在
国际单位制中，周期的单位为秒（s）；频率的单位为赫兹（Hz ）；角频率的单位为弧度每秒（rad/s）。
对弹簧振子，由于
k m
故有：
T 2π m k
第4篇 振动与波动
第10章 机械振动
.
1
本章学习要点
简谐振动 简谐振动的合成 阻尼振动、受迫振动与共振 本章小结
.2ຫໍສະໝຸດ 10.1 简谐振动物体运动时，如果离开平衡位置的位移（或角位移）按余 弦函数或正弦函数的规律随时间变化，则这种运动称为简谐振 动。在忽略阻力的情况下，弹簧振子的振动及单摆的小角度摆 动等都可视为简谐振动。
当t＝0时，相位ωt＋φ＝φ，φ称为初相位，简称初相，它是 决定初始时刻振动物体运动状态的物理量。在国际单位制中， 相位的单位为弧度（rad）。
.
12
用相位描述物体的运动状态，还能充分体现出振动的周期 性。例如：
ωt＋φ＝0时，物体位于正位移最大处，且v＝0； ωt＋φ＝π/2时，物体位于平衡位置，且向x轴负方向运动 ，v＝ωA； ωt＋φ＝π时，物体位于负位移最大处，且v＝0； ωt＋φ＝3π/2时，物体位于平衡位置，且向x轴正方向运动 ，v＝ωA； ωt＋φ＝2π时，物体位于正位移最大处，且v＝0。
【解】以OO′为平衡位置，设逆时针转向为θ 角正向，棒在任意时刻的角位移都可用棒与OO′ 的夹角θ表示。根据题意，棒所受的重力矩为：
M1mgslin
2
.
7
当摆角θ很小时，sinθ≈θ，故
M 1mgl
大学物理(9.3.2)--简谐运动的合成
A2
2
o
1 A1
x
多个同方向同频率简谐运动合成仍为简谐
运动
东北大学 理学院 物理系
大学物理 第九单元 振动
第三讲 简谐运动的合成
* 四、两个同方向不同频率简谐运动的合成
x1
拍
t
x2 t
x t
拍 合振动振幅 随时间周期性加强与减弱的现
两 个 频 率 较 大 且 相 差 极 小 的象同 方 向 谐 振 动 合 成 形 成
东北大学 理学院 物理系
大学物理 第九单元 振动
第三讲 简谐运动的合成
3. 两种特殊情况
A
A2 1
A2 2
2 A1 A2
cos( 2
1 )
(1) 若两分振动同相
2 1=2k
(k=0,1,2,…)
则 A=A1+A2 , 两分振动相互加强
(2) 若两分振动反相
2 1=(2k+1)
第三讲 简谐运动的合成
* 三、多个同方向同频率简谐运动的合成
x1 A1 cos(t 1 ) x2 A2 cos(t 2 )
xn An cos(t n )
x x1 x2 xn
x A cos(t )
A
A3
3
A1 sin1 A2 sin2 Asin
A A12 A22 2 A1A2 cos(2 1)
tan
A1 sin1 A1 cos1
A2 A2
sin 2 cos2
x Acos cost Asin sint Acos( t )
大学物理(简谐振动篇)课件
31
31
例 已知振动曲线，求振动方程。
解 A3cm
x
x(cm )
1
2
T 2s
3
2 s
T
由振动曲线1，
o
1
2
3
t(s)
3
t＝0时，x0＝0，υ0 > 0
10
2
x1
3cos(t
)
2
由振动曲线2， t＝0时，x0＝－3，υ0＝ 0
20
x23cos(t)
第学11习章交机流械PP振T动
32
加速度 a 与位移 x 反相。
o
t
2A T
第学11习章交机流械PP振T动
35
35
小结
简谐振动的三个判据
1)受力特征 f kx
恢复力
劲度系数
2) 振动方程 xAcost0
3）微分方程
d2 dt
x
2
2
x
0
以上1）、2）、3）中任一条成立即可判定为简谐振动。
第学11习章交机流械PP振T动
36
36
简谐振动的三种表示方法
mg kx m d2x
dt2
d2x dt 2
k m
x
g
（不是谐振动）
O'
x 0o
原点取在平衡位置 建立 ox轴
mgk(xx0)mddt22x
xx xx
d 2x dt 2
k m
x
0
xAcos(t0)
第学11习章交机流械PP振T动
kkx(x x0) mg
19
19
推论： 若振动系统除受弹性力外，还受一恒力作 用，则系统的振动规律不变，只是改变了平衡位置， 而坐标原点取在新的平衡位置上。
《大学物理》同方向的简谐振动的合成
同方向的简谐振动的合成
§10-5 同方向的简谐振动的合成
1.同方向同频率的两个简谐振动的合成
设一质点同时参与沿同一方向的两个独立的 同频率的简谐振动，两个简谐振动的频率为 ω，
振动方向为 X 轴方向，以 x1和 x2 分别代表同一
个质点的两个运动位移：
x1 A1 cos(t 10) x2 A2 cos(t 20)
解：已知 A = 20 cm
A1 = 17.3 cm A2 =[A2 +A12 -2AA1cos( - １)]1/2
= 10 cm
o
A
A2
１ A1 x
∵A2 = A12 + A22 + 2A1A2 cos ( 1 - 2 ) ∴ cos (1 - 2 ) = [A2 - A12 - A22] / 2A1A2
同相迭加，合振幅最大。
(2)当D 2010(2k+1) (k=0及 正负整数), cos(20-10)=0, 有
O
A1
A A1 A2 A A1 A2
A2
O
X
反相迭加，合振幅最小。 当A1=A2 时，A=0。
(3)通常情况下，合振幅介于 和
之间。
A1 A2 A1 A2
补例1两个同方向同频率的简谐振动，其合 振动的振幅为 20 cm，与第一个简谐振动的 相位差为 - １= π/6，若第一个简谐动的振 幅为 17.3 cm，试求： 1、第二个简谐振动的振幅 A2 2、第一、二两个简谐振动的相位差 1 - 2
旋转矢量图示法
矢量沿X 轴之投影表征了合运动的规律。
A1
10
X
O
x2
x x1
A
同方向同频率的两个简谐振动的合成
§10-5 同方向的简谐振动的合成
1.同方向同频率的两个简谐振动的合成
设一质点同时参与沿同一方向的两个独立的 同频率的简谐振动，两个简谐振动的频率为 ω，
振动方向为 X 轴方向，以 x1和 x2 分别代表同一
个质点的两个运动位移：
x1 A1 cos(t 10) x2 A2 cos(t 20)
解：已知 A = 20 cm
A1 = 17.3 cm A2 =[A2 +A12 -2AA1cos( - １)]1/2
= 10 cm
o
A
A2
１ A1 x
∵A2 = A12 + A22 + 2A1A2 cos ( 1 - 2 ) ∴ cos (1 - 2 ) = [A2 - A12 - A22] / 2A1A2
同相迭加，合振幅最大。
(2)当D 2010(2k+1) (k=0及 正负整数), cos(20-10)=0, 有
O
A1
A A1 A2 A A1 A2
A2
O
X
反相迭加，合振幅最小。 当A1=A2 时，A=0。
(3)通常情况下，合振幅介于 和
之间。
A1 A2 A1 A2
补例1两个同方向同频率的简谐振动，其合 振动的振幅为 20 cm，与第一个简谐振动的 相位差为 - １= π/6，若第一个简谐动的振 幅为 17.3 cm，试求： 1、第二个简谐振动的振幅 A2 2、第一、二两个简谐振动的相位差 1 - 2
旋转矢量图示法
矢量沿X 轴之投影表征了合运动的规律。
A1
10
X
O
x2
x x1
A
同方向同频率的两个简谐振动的合成
相互垂直的简谐振动的合成ppt课件
1.频率相差很小，合运动轨迹缓慢变化。
2.频率相差较大，数值有简单的整数比值关系时，运动轨迹 为闭合曲线，称为李萨如图形。
y
x
A1
A2
o
-A2
- A1
如图所示，图中所描绘的是 x :y=3:2， 2 0= 0， 10 = /4 时的 李萨如图形。
图形与y轴切点数
图形与x轴切点数
不同频率比不同初相位差的李萨如图
2、
合振动运动轨迹为直线
合振动运动轨迹为直线
3、
4、 两个简谐振动振幅相同时
合振动运动轨迹为正椭圆
合振动运动轨迹为园
二、两个频率不同的相互垂直的简谐振动的合成
两个频率不同的相互垂直的简谐振动合成之后运动轨迹随时间变化，不是稳定曲线。
设一个质点同时参与两个相互垂直的同频率简谐振动
一、两个频率相同的相互垂直的简谐振动的合成
消去时间t得轨迹方程：
两个频率相同的相互垂直的简谐振动的合成为椭圆
椭圆的形状由两个振动的初相位差 决定
用旋转矢量描绘振动合成动画
两个频率相同的相互垂直的简谐振动的合成为椭圆
当初相位差不同时两个沿垂直方向的同频简谐振动的合成
在电子技术中常用李萨如图测定未知频率
2.频率相差较大，数值有简单的整数比值关系时，运动轨迹 为闭合曲线，称为李萨如图形。
y
x
A1
A2
o
-A2
- A1
如图所示，图中所描绘的是 x :y=3:2， 2 0= 0， 10 = /4 时的 李萨如图形。
图形与y轴切点数
图形与x轴切点数
不同频率比不同初相位差的李萨如图
2、
合振动运动轨迹为直线
合振动运动轨迹为直线
3、
4、 两个简谐振动振幅相同时
合振动运动轨迹为正椭圆
合振动运动轨迹为园
二、两个频率不同的相互垂直的简谐振动的合成
两个频率不同的相互垂直的简谐振动合成之后运动轨迹随时间变化，不是稳定曲线。
设一个质点同时参与两个相互垂直的同频率简谐振动
一、两个频率相同的相互垂直的简谐振动的合成
消去时间t得轨迹方程：
两个频率相同的相互垂直的简谐振动的合成为椭圆
椭圆的形状由两个振动的初相位差 决定
用旋转矢量描绘振动合成动画
两个频率相同的相互垂直的简谐振动的合成为椭圆
当初相位差不同时两个沿垂直方向的同频简谐振动的合成
在电子技术中常用李萨如图测定未知频率
谐振动的合成 ppt课件
A A1 A2 相互削弱
一般情况
A1 A2 A A1 A2
PPT课件
6
大学物理 第三次修订本
第6章 机械振动基础
例1 质点同时参与的两个谐振动
x1 4cos3t cm, x2 2cos(3t π) cm
求合成谐振动的初相位、振幅和振动方程。
解 合成运动仍是谐振动
第6章 机械振动基础
6.2 谐振动的合成
一、同方向同频率谐振动的合成
x1 A1 cos(t 1) x2 A2 cos(t 2 )
方法一 解析法
x x1 x2 A1 cos(t 1) A2 cos(t 2 ) (A1 cos1 A2 cos2 ) cost ( A1 sin1 A2 sin2 ) sin t
tan A1 sin 1 A2 sin 2 A1 cos1 A2 cos2
PPT课件
2
大学物理 第三次修订本
第6章 机械振动基础
方法二 旋转矢量法
x1 A1 cos(t 1) x2 A2 cos(t 2 )
x x1 x2 Acos( t ) O
合成谐振动的振动方程为
x 2cos3t cm
旋转矢量法也可得到同样的结果。
PPT课件
8
大学物理 第三次修订本
第6章 机械振动基础
二、同方向不同频率谐振动的合成、拍
x1 A1 cosω1 t x2 A2 cosω2t 合振动 x x1 x2
合振幅 A A12 A22 2A1A2 cos(2 1)t
非整数
轨迹
周期性
闭合曲线 周期性运动
非闭合曲线 非周期性运动
两个简谐振动的合成.ppt
D．航空运输
解析：根据所学1872年李鸿章创办轮船招商局，这是洋务
运动中由军工企业转向兼办民用企业、由官办转向官督商
办的第一个企业。具有打破外轮垄断中国航运业的积极意
义，这在一定程度上保护了中国的权利。据此本题选C项。
答案：C
2. 右图是1909年《民呼日报》上登载的 一幅漫画，其要表达的主题是( ) A．帝国主义掠夺中国铁路权益 B．西方国家学习中国文化 C．西方列强掀起瓜分中国狂潮 D．西方八国组成联军侵略中国
2．特点 (1)近代中国交通业逐渐开始近代化的进程，铁路、水运和 航空都获得了一定程度的发展。 (2)近代中国交通业受到西方列强的控制和操纵。 (3)地域之间的发展不平衡。 3．影响 (1)积极影响：促进了经济发展，改变了人们的出行方式， 一定程度上转变了人们的思想观念；加强了中国与世界各地的 联系，丰富了人们的生活。 (2)消极影响：有利于西方列强的政治侵略和经济掠夺。
(2)特点：进程曲折，发展缓慢，直到20世纪30年代情况才发生变 化。
3．交通通讯变化的影响 (1)新式交通促进了经济发展，改变了人们的通讯手段和 ，出行 方式转变了人们的思想观念。
(2)交通近代化使中国同世界的联系大大增强，使异地传输更为便 捷。
(3)促进了中国的经济与社会发展，也使人们的生活 多。姿多彩
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[自读教材·填要点]
一、铁路，更多的铁路 1．地位 铁路是 交通建运设输的重点，便于国计民生，成为国民经济 发展的动脉。 2．出现 1881年，中国自建的第一条铁路——唐山 至开胥平各庄铁 路建成通车。 1888年，宫廷专用铁路落成。
3．发展 (1)原因： ①甲午战争以后列强激烈争夺在华铁路的 修。筑权 ②修路成为中国人 救的亡强图烈存愿望。 (2)成果：1909年 京建张成铁通路车；民国以后，各条商路修筑 权收归国有。 4．制约因素 政潮迭起，军阀混战，社会经济凋敝，铁路建设始终未入 正轨。
简谐振动PPT幻灯片课件
a
2
A cos (t
2
)
以上结果表明：
(1)v,a与x的ω相同
(2) vmax A, amax 2 A
(3)a与x方向相反，且成正比
x、v、a相位依次差π/2。
振幅
10
二、初始条件确定振幅和初相位
初始条件： t 0, x0 , v0
x0 Acos
写为：
v0 Asin
3
利用旋转矢量法求解很直观，
根据初始条件就可画出如图所 示的振幅矢量的初始位置，从 而得到：
O
x0 v0
x
21
(2) v Asin(t ) 0.12 sin(t )
3
a 2 Acos(t ) 0.12 2 cos(t )
3
半径R——振幅A
角速度——角频率ω
初始矢径与x轴的交角—初相位 o
t时刻A矢量在x轴上的投影
x Acos(t 0 )
2.旋转矢量
表示出三个特征量
A
t
t 0 0
x
A
用旋转矢量法处理问题更直观、 动画
O
x
更方便，必须掌握。
17
18
19
[例题3]一质点沿x轴作简谐振动，振幅 A=0.12m，周期T=2s， 当 t=0 时，质点对平衡位置的位移 x0=0.06m，此时向x轴正 向运动。 求：(1)此振动的表达式
由牛顿第二定律，有： kx m d2 x
令：
k 2,
dt2
m
则有：
d2 dt
x
2
大学物理教程3.2 简谐振动的合成
Ay tg = A x
A1 sin 1 A2 sin 2 tg A1 cos 1 A2 cos 2
第7章 机械振动
3.2 简谐振动的合成
3. 两种特殊情况
2 A A12 A2 2 A1 A2 cos(2 - 1 )
(1)若两分振动同相
2- 1=0（2k，k=0,1,2,…）
x =A cos( t+ )
第7章 机械振动
3.2 简谐振动的合成
x =A cos( t+ )
由图知：
Ax = A1cos1 + A2cos2 Ay = A1sin1 + A2sin2 由： A2 = Ax2 + Ay2
y Ay
A A2
o
1
A1 A
x
2
x
2 2 A A1 A2 2 A1 A2 cos( 2 - 1 )
x1 4 cos 3t cm x2 2 cos(3t π) cm
求合成振动的振幅、初相位和振动表达式。
解 这两个谐振动的频率相同 3rad s ，振动方向相 同。所以它们的合成振动仍然是在x方向的、具有相同频 率的简谐振动。
-1
第7章 机械振动
3.2 简谐振动的合成
由于这两个振动反相，因此在旋转矢量图上，振幅矢 量 A1 和 A2 的方向始终相反，而合矢量 A 沿 A1 方向。
A 的模，即合成振动振幅为
A (4 - 2) 2
合振动的初相
1 0
x 2cos 3t cm
合振动的表达式为
第7章 机械振动
3.2 简谐振动的合成
二 同方向不同频率的简谐振动的合成 拍
大学物理-12第十二讲简谐振动的合成、阻尼、受迫振动（001）
解得 ω = ωr = ω02 − 2β 2
则
A=
2mβ
F0
ω02 − β 2
= Amax
A
β2 β3
β1
ω
β1 > βω2 0> β3
23
2.速度共振—使速度振幅达最大值的状态
v = dx = − Aω sin(ωt − δ )
dt
速度振幅 vm = Aω
而 Aω =
F0ω
m (ω02 − ω2 ) + 4β 2ω2
●合振幅A的大小由两个分振动的初相差决定。
当 Δϕ = ϕ2 − ϕ1 = ±2kπ
(k = 0，1，2") 同相
Y ωK
A2
ωK
A ωK
A = A1 + A2 = Amax
θ2
Δθ θ1
A1
合振动加强
x2 θ x1 x x
4
当 Δϕ = ϕ2 −ϕ1 = ±(2k +1)π 反相
(k = 0，1，2")
ϕ =0
t
19
2. β =ω0（临界阻尼） x = e −βt (C1 + C 2t)
●在临界阻尼时，质点到达平衡位置时速度即减为 零，振动不可能发生。
◆原理常用于阻尼天平等，以减少摆动时间.
3. β >ω0（过阻尼）
x = e − βt (C 1e ω1t + C 2 e −ω1t )
●过阻尼时，质点的速度 x
F强 = F0 cosωt
v = dx = Aω cos ωt v与强迫力同位相。
dt
●在整个周期内外力的方向和物体运动方向一致， 不断对物体作正功，使振动最强。 ◆外力的周期性变化与物体的固有振动“合拍”。
大学物理,机械振动16-4 简谐振动的合成
o A1 A2 A3 A4 A5 x
A Ai NA0
A
(k 0,1,2,) 2） N 2k 'π
A5
A4 A
i
3
(k ' kN , k ' 1,2,)
N个矢量依次相接构
成一个闭合的多边形。
O A6
2 1
1t 1
A
1 A1
o
x2
x1
x
x
A12 A22 2 A1 A2 cos
1 2 0
2π ( 2 1 )t
20
( 2 1 )t ( 2 1 )
16.4 简谐振动的合成
A A12 A22 2 A1 A2 பைடு நூலகம்os
11
16.4 简谐振动的合成
* 多个同方向同频率简谐运动的合成
第16章 机械振动
x1 A1 cos(t 1 ) x2 A2 cos(t 2 ) xn An cos(t n )
A A 3
x x1 x2 xn
x A cos(t )
x A cos(t )
两个同方向同频率简谐运动合成后仍为简谐 运动，且其方向和频率与原来相同。
2
16.4 简谐振动的合成
第16章 机械振动
x x1 x2
解 析 法
A1 cos t 1 ＋A2 cos t 2 A1 cos 1 A2 cos 2 cos t A1 sin 1 A2 sin 2 sin t
随 t 变化缓慢 随 t 变化较快 由于振幅是周期性变化的，所以合振 动不再是简谐振动。 讨论
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1）相位差 212kπ(k 0 ， 1 ， 2 , ) xx
o
A1
o
A2
A
T
t
A A1 2 A 212kπx . (A 1 A 2 )cot s3)(
A A 1 2 A 2 2 2 A 1 A 2 co 2 s1 )(
2）相位差 21 (2 k 1 )π(k0， 1 , )
x1A1cost
21
x2
x
A1
1
xx
A A 1 2 A 2 2 2 A 1 A 2 co 2 s1 )(
tanA A 1 1c sio n 1 1s A A 2 2s cio n2 2s
两个同方向同频 率简谐运动合成 后仍为简谐运动
.
2
讨论 A A 1 2 A 2 2 2 A 1 A 2 co 2 s1 )(
分别为
x1
0.05cos(10t
3
5
)
(m)
x2
0.06cos(10t
1)
5
(m)
(1) 求其合振动的振幅及初相位；
(2) 设另一同方向同频率简谐振动的振动方程为
x 3 0 .0 7 c o s (1 0 t3 )(m ，)问 3 为何值时x1＋x3的振
幅最大？ 3 为何值时x1＋x3的振幅最小？
2
合振动可看作振幅缓.变的简谐振动
13
振幅变化的情况 最大为2A 最小为0
2Acos(2 1 t)
2
设振co幅s变[化22的 周1期(t为TT拍拍)]
cos[21t]
2
2
T拍
1
2
(t T拍)
2
2 1
2 1 t
2
拍频
1/T拍
2 1 2
2
1
拍现象的频率等于两个分. 振动频率之差。
14
四 两个相互垂直的同频率简谐运动的合成
0.05 sin 3 0.06 sin
arctan
0.05 cos
5 3
0.06
cos
5
5
5
6 8 o1 2 ' 或 2 4 8 o1 2 '
248º12′位于第三象限不合题意，故知合振动的初相
位φ＝68º12′
.
8
(2) 设另一同方向同频率简谐振动的振动方程为
x 3 0 .0 7 c o s (1 0 t3 )(m )，问 3为何值时x1＋x3的振
S x 2y2A 1 2A 2 2cot s()
A x 1 2 2A y2 2 2 2A x 1A y 2co2 s1 () si2(n 21)
(3)2
1
2
x2 y2 1 A1 A2
合振动的轨迹为以x轴和y轴为 轴线的椭圆
xA 1co ts (1)
yA1cost (12)
y
x
质点沿椭圆的运动方向是顺时针的。
用作图法来合成
Y
A2
xA1cost
幅最大？ 3 为何值时x1＋x3的振幅最小？
当 3135 32k时，(x1＋x3)的振幅最
大，得
35 32k (k0,1,2,L) 当 3135 3(2k1)时，(x1＋x3)的振
幅最大，得
33 5 (2 k 1 )(k0 ,1 ,2 ,L)
.
9
三.两个同方向不同频率谐振动的合成
一般 :不同频率的谐振动的叠加出现较复杂性的情况
解 (1) 由题意知 A 1 0 .0 5 m ,1 5 3,A 2 0 .0 6 m , 2 1 5
将上述各值代入, 得合振动的振幅
.
7
A A12 A22 2A1A2 cos(2 1)
0.052 0.062 20.050.06cos(2)
5 8.92102 (m)
合振动的初相位为 arctan A1 sin 1 A2 sin 2 A1 co s 1 A2 co s 2
x2A 2cots π ()
x (A 2 A 1 )cot sπ()
xx
AA1A2
A1
2
o
o
2
Tt
A
A2
.
4
1）相位差 212kπ (k0， 1， )
AA1A2 相互加强
2）相位差 21(2k1)π(k0， 1， )
AA1A2
3）一般情况
相互削弱
A 1A 2A A 1A 2
.
5
二 多个同方向同频率简谐运动的合成
x 1 A 1 co t s1 ) ( x 2 A 2 co t s2 ) (
x n A ncot sn ( )
x x 1 x 2 x n
xA co ts () o
A
A3
3
x
A2
2
1 A1
多个同方向同频率简谐运动合成仍为简谐运动
.
6
例8-5 已知两个同方向同频率简谐振动的振动方程
x
x1
xx1x2
非简谐振动
x2
t
下面研究频率相差不大的两个谐振动的叠加
.
10
拍 合振动忽强忽弱的现象
.
11
声音时大时小 “拍现象”
若有： x 1A 1co1 ts (1)
x 2A 2co2 ts (2)
设 1 2
1221
为简单： 令 A1A2A 1 2 0
.
12
x 1A c o s1 t A c o s2 π1 t
8.2 简谐振动的合成
主讲教师：刘秀英
作业：P33 8-17和8-18 预习：§9.1
.
1
一 两个同方向同频率简谐运动的合成
x 1 A 1cot s1 ) (
A x 2 A 2 co t s2 ) (
xx1x2
A2
A 1 c o s (t 1 ) A 2 c o s (t 2 )
xA cots () 0
S x 2y2A 1 2A 2 2cot s()
A x 1 2 2A y2 2 2 2A x 1A y 2co2 s1 () si2(n 21)
(22 )1
( x y )2 0 A1 A2
y A2 x A1
合振动的轨迹为通过原点且
y
在第二、第四象限内的直线 x
斜率 A2 A1
质点离开平衡位置的位移
x 2 A c o s2 t A c o s2 π2 t
xx1x2
x x 1 x 2 A 1 c2 π o 1 t s A 2 c2 π o 2 ts
x (2 A 1c o s2 π22 1t)c o s2 π22 1t
不是简谐振动！
振幅部分
合振动频率
则 ： xA(t)cos2t
c A(t)o 2 2sA 1ctos 2c2o22 1st2 随1 t t缓变随t 快变
xA1cos(t1)
质点运动轨迹
yA2cos(t2)
A x1 2 2A y2 2 2A 21 x A y2cos(21)sin2(21)（椭圆方程）
讨论
(12 )10
( x y )2 0 A1 A2
y A2 x A1
x
合振动的轨迹为通过原点且 在第一、第三象限内的直线
斜率 A2 A1
质点离开平衡位置的位移
o
A1
o
A2
A
T
t
A A1 2 A 212kπx . (A 1 A 2 )cot s3)(
A A 1 2 A 2 2 2 A 1 A 2 co 2 s1 )(
2）相位差 21 (2 k 1 )π(k0， 1 , )
x1A1cost
21
x2
x
A1
1
xx
A A 1 2 A 2 2 2 A 1 A 2 co 2 s1 )(
tanA A 1 1c sio n 1 1s A A 2 2s cio n2 2s
两个同方向同频 率简谐运动合成 后仍为简谐运动
.
2
讨论 A A 1 2 A 2 2 2 A 1 A 2 co 2 s1 )(
分别为
x1
0.05cos(10t
3
5
)
(m)
x2
0.06cos(10t
1)
5
(m)
(1) 求其合振动的振幅及初相位；
(2) 设另一同方向同频率简谐振动的振动方程为
x 3 0 .0 7 c o s (1 0 t3 )(m ，)问 3 为何值时x1＋x3的振
幅最大？ 3 为何值时x1＋x3的振幅最小？
2
合振动可看作振幅缓.变的简谐振动
13
振幅变化的情况 最大为2A 最小为0
2Acos(2 1 t)
2
设振co幅s变[化22的 周1期(t为TT拍拍)]
cos[21t]
2
2
T拍
1
2
(t T拍)
2
2 1
2 1 t
2
拍频
1/T拍
2 1 2
2
1
拍现象的频率等于两个分. 振动频率之差。
14
四 两个相互垂直的同频率简谐运动的合成
0.05 sin 3 0.06 sin
arctan
0.05 cos
5 3
0.06
cos
5
5
5
6 8 o1 2 ' 或 2 4 8 o1 2 '
248º12′位于第三象限不合题意，故知合振动的初相
位φ＝68º12′
.
8
(2) 设另一同方向同频率简谐振动的振动方程为
x 3 0 .0 7 c o s (1 0 t3 )(m )，问 3为何值时x1＋x3的振
S x 2y2A 1 2A 2 2cot s()
A x 1 2 2A y2 2 2 2A x 1A y 2co2 s1 () si2(n 21)
(3)2
1
2
x2 y2 1 A1 A2
合振动的轨迹为以x轴和y轴为 轴线的椭圆
xA 1co ts (1)
yA1cost (12)
y
x
质点沿椭圆的运动方向是顺时针的。
用作图法来合成
Y
A2
xA1cost
幅最大？ 3 为何值时x1＋x3的振幅最小？
当 3135 32k时，(x1＋x3)的振幅最
大，得
35 32k (k0,1,2,L) 当 3135 3(2k1)时，(x1＋x3)的振
幅最大，得
33 5 (2 k 1 )(k0 ,1 ,2 ,L)
.
9
三.两个同方向不同频率谐振动的合成
一般 :不同频率的谐振动的叠加出现较复杂性的情况
解 (1) 由题意知 A 1 0 .0 5 m ,1 5 3,A 2 0 .0 6 m , 2 1 5
将上述各值代入, 得合振动的振幅
.
7
A A12 A22 2A1A2 cos(2 1)
0.052 0.062 20.050.06cos(2)
5 8.92102 (m)
合振动的初相位为 arctan A1 sin 1 A2 sin 2 A1 co s 1 A2 co s 2
x2A 2cots π ()
x (A 2 A 1 )cot sπ()
xx
AA1A2
A1
2
o
o
2
Tt
A
A2
.
4
1）相位差 212kπ (k0， 1， )
AA1A2 相互加强
2）相位差 21(2k1)π(k0， 1， )
AA1A2
3）一般情况
相互削弱
A 1A 2A A 1A 2
.
5
二 多个同方向同频率简谐运动的合成
x 1 A 1 co t s1 ) ( x 2 A 2 co t s2 ) (
x n A ncot sn ( )
x x 1 x 2 x n
xA co ts () o
A
A3
3
x
A2
2
1 A1
多个同方向同频率简谐运动合成仍为简谐运动
.
6
例8-5 已知两个同方向同频率简谐振动的振动方程
x
x1
xx1x2
非简谐振动
x2
t
下面研究频率相差不大的两个谐振动的叠加
.
10
拍 合振动忽强忽弱的现象
.
11
声音时大时小 “拍现象”
若有： x 1A 1co1 ts (1)
x 2A 2co2 ts (2)
设 1 2
1221
为简单： 令 A1A2A 1 2 0
.
12
x 1A c o s1 t A c o s2 π1 t
8.2 简谐振动的合成
主讲教师：刘秀英
作业：P33 8-17和8-18 预习：§9.1
.
1
一 两个同方向同频率简谐运动的合成
x 1 A 1cot s1 ) (
A x 2 A 2 co t s2 ) (
xx1x2
A2
A 1 c o s (t 1 ) A 2 c o s (t 2 )
xA cots () 0
S x 2y2A 1 2A 2 2cot s()
A x 1 2 2A y2 2 2 2A x 1A y 2co2 s1 () si2(n 21)
(22 )1
( x y )2 0 A1 A2
y A2 x A1
合振动的轨迹为通过原点且
y
在第二、第四象限内的直线 x
斜率 A2 A1
质点离开平衡位置的位移
x 2 A c o s2 t A c o s2 π2 t
xx1x2
x x 1 x 2 A 1 c2 π o 1 t s A 2 c2 π o 2 ts
x (2 A 1c o s2 π22 1t)c o s2 π22 1t
不是简谐振动！
振幅部分
合振动频率
则 ： xA(t)cos2t
c A(t)o 2 2sA 1ctos 2c2o22 1st2 随1 t t缓变随t 快变
xA1cos(t1)
质点运动轨迹
yA2cos(t2)
A x1 2 2A y2 2 2A 21 x A y2cos(21)sin2(21)（椭圆方程）
讨论
(12 )10
( x y )2 0 A1 A2
y A2 x A1
x
合振动的轨迹为通过原点且 在第一、第三象限内的直线
斜率 A2 A1
质点离开平衡位置的位移