2018届高考第六章第2讲等差数列的前n项和

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2018高考数学考点突破数列：等差数列及其前n项和含解

等差数列及其前n 项和【考点梳理】1．等差数列的有关概念(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．用符号表示为a n ＋1－a n ＝d(n ∈N *，d 为常数)．(2)等差中项：数列a ，A ，b 成等差数列的充要条件是A ＝a ＋b2，其中A 叫做a ，b 的等差中项．2．等差数列的有关公式(1)通项公式：a n ＝a 1＋(n －1)d ，a n ＝a m ＋(n －m )d . (2)前n 项和公式：S n ＝na 1＋n (n －1)d 2＝n (a 1＋a n )2.3．等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：a n ＝a m ＋(n －m )d (n ，m ∈N *)．(2)若{a n }为等差数列，且k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N *)，则a k ＋a l ＝a m ＋a n . (3)若{a n }是等差数列，公差为d ，则{a 2n }也是等差数列，公差为2d . (4)若{a n }，{b n }是等差数列，则{pa n ＋qb n }也是等差数列．(5)若{a n }是等差数列，公差为d ，则a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…(k ，m ∈N *)是公差为md 的等差数列．【考点突破】考点一、等差数列的基本运算【例1】 (1)已知{a n }是公差为1的等差数列，S n 为{a n }的前n 项和，若S 8＝4S 4，则a 10＝( )A.172 B.192 C ．10D ．12(2)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S 11＝22，a 4＝－12，若a m ＝30，则m ＝( ) A ．9 B ．10 C ．11D ．15答案](1)B (2)B 解析] (1)∵公差为1，∴S 8＝8a 1＋8×(8－1)2×1＝8a 1＋28，S 4＝4a 1＋6.∵S 8＝4S 4，∴8a 1＋28＝4(4a 1＋6)，解得a 1＝12， ∴a 10＝a 1＋9d ＝12＋9＝192.(2)设等差数列{a n }的公差为d ，依题意⎩⎪⎨⎪⎧S 11＝11a 1＋11×(11－1)2d ＝22，a 4＝a 1＋3d ＝－12，解得⎩⎨⎧a 1＝－33，d ＝7，∴a m ＝a 1＋(m －1)d ＝7m －40＝30，∴m ＝10. 【类题通法】1.等差数列的通项公式及前n 项和公式，共涉及五个量a 1，a n ，d ，n ，S n ，知三求二，体现了方程思想的应用．2．数列的通项公式和前n 项和公式在解题中起到变量代换作用，而a 1和d 是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法，称为基本量法．【对点训练】1. (1)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S 33－S 22＝1，则数列{a n }的公差是( )A.12 B ．1 C ．2D ．3(2)设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，a 12＝－8，S 9＝－9，则S 16＝__________. 答案] (1)C (2)－72解析] (1)∵S n ＝n (a 1＋a n )2，∴S n n ＝a 1＋a n 2，又S 33－S 22＝1，得a 1＋a 32－a 1＋a 22＝1，即a 3－a 2＝2，∴数列{a n }的公差为2.(2)设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，由已知，得⎩⎪⎨⎪⎧a 12＝a 1＋11d ＝－8，S 9＝9a 1＋9d ×82＝－9，解得⎩⎨⎧a 1＝3，d ＝－1.∴S 16＝16×3＋16×152×(－1)＝－72.考点二、等差数列的判定与证明【例2】已知数列{a n }中，a 1＝35，a n ＝2－1a n －1(n ≥2，n ∈N *)，数列{b n }满足b n ＝1a n －1(n ∈N *)．(1)求证：数列{b n }是等差数列． (2)求数列{a n }中的通项公式a n .解析] (1)证明：因为a n ＝2－1a n －1(n ≥2，n ∈N *)，b n ＝1a n －1.所以n ≥2时，b n －b n －1＝1a n －1－1a n －1－1＝1⎝ ⎛⎭⎪⎫2－1a n －1－1－1a n －1－1＝a n －1a n －1－1－1a n －1－1＝1. 又b 1＝1a 1－1＝－52，所以数列{b n }是以－52为首项，1为公差的等差数列. (2)由(1)知，b n ＝n －72，则a n ＝1＋1b n＝1＋22n －7. 【类题通法】1.判断等差数列的解答题，常用定义法和等差中项法，而通项公式法和前n 项和公式法主要适用于选择题、填空题中的简单判断．2．用定义证明等差数列时，常采用两个式子a n ＋1－a n ＝d 和a n －a n －1＝d ，但它们的意义不同，后者必须加上“n ≥2”，否则n ＝1时，a 0无定义．【对点训练】2．(1)若{a n }是公差为1的等差数列，则{a 2n －1＋2a 2n }是( ) A ．公差为3的等差数列 B ．公差为4的等差数列 C ．公差为6的等差数列 D ．公差为9的等差数列(2)在数列{a n }中，若a 1＝1，a 2＝12，2a n ＋1＝1a n ＋1a n ＋2(n ∈N *)，则该数列的通项为( )A ．a n ＝1n B ．a n ＝2n ＋1C ．a n ＝2n ＋2D ．a n ＝3n答案] (1)C (2)A解析] (1)∵a 2n －1＋2a 2n －(a 2n －3＋2a 2n －2) ＝(a 2n －1－a 2n －3)＋2(a 2n －a 2n －2) ＝2＋2×2＝6，∴{a 2n －1＋2a 2n }是公差为6的等差数列． (2) 由已知式2a n ＋1＝1a n ＋1a n ＋2可得1a n ＋1－1a n ＝1a n ＋2－1a n ＋1，知⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是首项为1a 1＝1，公差为1a 2－1a 1＝2－1＝1的等差数列，所以1a n＝n ，即a n ＝1n .考点三、等差数列的性质与最值【例3】 (1)如图所示的数阵中，每行、每列的三个数均成等差数列，如果数阵中所有数之和等于63，那么a 52＝( )⎝ ⎛⎭⎪⎫a 41a 42 a 43a 51 a 52 a 53a 61a 62a 63 A ．2 B ．8 C ．7D ．4(2)等差数列{a n }中，设S n 为其前n 项和，且a 1>0，S 3＝S 11，则当n 为多少时，S n 取得最大值．答案] (1)C (2) n ＝7解析] (1)法一：第一行三数成等差数列，由等差中项的性质有a 41＋a 42＋a 43＝3a 42，同理第二行也有a 51＋a 52＋a 53＝3a 52，第三行也有a 61＋a 62＋a 63＝3a 62，又每列也成等差数列，所以对于第二列，有a 42＋a 52＋a 62＝3a 52，所以a 41＋a 42＋a 43＋a 51＋a 52＋a 53＋a 61＋a 62＋a 63＝3a 42＋3a 52＋3a 62＝3×3a 52＝63，所以a 52＝7，故选C.法二：由于每行每列都成等差数列，不妨取特殊情况，即这9个数均相同，显然满足题意，所以有63÷9＝7，即a 52＝7，故选C.(2)法一：由S 3＝S 11，可得3a 1＋3×22d ＝11a 1＋11×102d ，即d ＝－213a 1.从而S n ＝d 2n 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－d 2n ＝－a 113(n －7)2＋4913a 1，因为a 1>0，所以－a 113<0. 故当n ＝7时，S n 最大. 法二：由法一可知，d ＝－213a 1. 要使S n 最大，则有⎩⎨⎧a n ≥0，a n ＋1≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋(n －1)⎝ ⎛⎭⎪⎫－213a 1≥0，a 1＋n ⎝ ⎛⎭⎪⎫－213a 1≤0，解得6.5≤n ≤7.5，故当n ＝7时，S n 最大. 法三：由S 3＝S 11，可得2a 1＋13d ＝0，即(a 1＋6d )＋(a 1＋7d )＝0，故a 7＋a 8＝0，又由a 1>0，S 3＝S 11可知d <0，所以a 7>0，a 8<0，所以当n ＝7时，S n 最大. 【类题通法】 1.等差数列的性质(1)项的性质：在等差数列{a n }中，a m －a n ＝(m －n )d ⇔a m －a nm －n ＝d (m ≠n )，其几何意义是点(n ，a n )，(m ，a m )所在直线的斜率等于等差数列的公差．(2)和的性质：在等差数列{a n }中，S n 为其前n 项和，则 ①S 2n ＝n (a 1＋a 2n )＝…＝n (a n ＋a n ＋1)； ②S 2n －1＝(2n －1)a n .2．求等差数列前n 项和S n 最值的两种方法(1)函数法：利用等差数列前n 项和的函数表达式S n ＝an 2＋bn ，通过配方或借助图象求二次函数最值的方法求解．(2)邻项变号法：①当a 1>0，d <0时，满足⎩⎨⎧ a m ≥0，a m ＋1≤0的项数m 使得S n 取得最大值为S m ；②当a 1<0，d >0时，满足⎩⎨⎧a m ≤0，a m ＋1≥0的项数m 使得S n 取得最小值为S m .【对点训练】3．(1)在等差数列{a n }中，a 3＋a 9＝27－a 6，S n 表示数列{a n }的前n 项和，则S 11＝( )A ．18B ．99C ．198D ．297(2)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 5＝10，S 10＝30，则S 15＝( ) A ．60 B ．70 C ．90D ．40答案] (1)B (2)A解析] (1)因为a 3＋a 9＝27－a 6,2a 6＝a 3＋a 9，所以3a 6＝27，所以a 6＝9，所以S 11＝112(a 1＋a 11)＝11a 6＝99.(2)因为数列{a n }为等差数列，所以S 5，S 10－S 5，S 15－S 10也成等差数列，设S 15＝x ，则10,20，x －30成等差数列，所以2×20＝10＋(x －30)，所以x ＝60，即S 15＝60.。

2018课标版理数一轮（6）第六章-数列（含答案）2第二节等差数列及其前n项和夯基提能作业本

2018课标版理数一轮（6）第六章-数列（含答案）2第二节等差数列及其前n项和夯基提能作业本第二节等差数列及其前n项和A组基础题组1.(2016青岛模拟)在等差数列{a n}中,a2+a12=32,则2a3+a15的值是()A.24B.48C.96D.无法确定2.在等差数列{a n}中,若a4+a6+a8+a10+a12=120,则a9-13a11的值为()A.14B.15C.16D.173.(2016淄博模拟)设等差数列{a n}的前n项和为S n,若-a m<a1<-a m+1(m∈n*,m≥2),则必有()<="" p="">A.S m>0且S m+1<0B.S m<0且S m+1>0C.S m>0且S m+1>0D.S m<0且S m+1<04.数列{a n}的前n项和S n=2n2+3n(n∈N*),若p-q=5,则a p-a q=()A.10B.15C.-5D.205.设数列{a n}的前n项和为S n,若S nS2n为常数,则称数列{a n}为“吉祥数列”.已知等差数列{b n}的首项为1,公差不为0,若数列{b n}为“吉祥数列”,则数列{b n}的通项公式为()A.b n=n-1B.b n=2n-1C.b n=n+1D.b n=2n+16.在等差数列{a n}中,公差d=12,前100项的和S100=45,则a1+a3+a5+…+a99=.7.等差数列{a n}中,已知a5>0,a4+a7<0,则{a n}的前n项和S n中最大的为.8.(2016福建莆田期中)如果数列{a n}满足a1=2,a2=1,且an-1-a nan-1=a n-a n+1a n+1(n≥2),则这个数列的第10项等于.9.(2016威海模拟)已知S n为正项数列{a n}的前n项和,且满足S n=12a n2+12a n(n∈N*).(1)求a1,a2,a3,a4的值;(2)求数列{a n}的通项公式.10.已知数列{a n}的前n项和为S n,a1=1,a n≠0,a n a n+1=λS n-1,其中λ为常数,(1)证明:a n+2-a n=λ;(2)是否存在λ,使得{a n}为等差数列?并说明理由.B组提升题组11.(2016德州模拟)已知正项数列{a n}的前n项的乘积T n=14n2-6n(n∈N*),b n=log2a n,则数列{b n}的前n项和S n中最大的是()A.S6B.S5C.S4D.S312.已知等差数列{a n}的公差d>0,若a1+a2+…+a2017=2017a m(m∈N*),则m=.13.(2016四川成都一诊)设等差数列{a n}的前n项和为S n,若a2+a4+a9=24,则S88·S1010的最大值为.14.(2016安徽安庆二模)已知数列{a n}是各项均不为零的等差数列,S n为其前n项和,且a n=S2n-1(n∈N*).若不等式λa n ≤n+8n对任意n∈N*恒成立,则实数λ的最大值为.15.已知数列{a n}是等差数列,b n=a n2-a n+12.(1)证明:数列{b n}是等差数列;(2)若a1+a3+a5+…+a25=130,a2+a4+a6+…+a26=143-13k(k为常数),求数列{b n}的通项公式;(3)在(2)的条件下,若数列{b n}的前n项和为S n,是否存在实数k,使S n当且仅当n=12时取得最大值?若存在,求出k的取值范围;若不存在,说明理由.16.已知函数f(x)=x2-2(n+1)x+n2+5n-7.(1)设函数y=f(x)的图象的顶点的纵坐标构成数列{a n},求证:{a n}为等差数列;(2)设函数y=f(x)的图象的顶点到x轴的距离构成数列{b n},求{b n}的前n项和S n.答案全解全析 A 组基础题组1.B 由等差数列的通项公式知,a 2+a 12=2a 1+12d=2(a 1+6d)=32,所以 a 1+6d=16,所以2a 3+a 15=3a 1+18d=3(a 1+6d)=48.2.C 设等差数列{a n }的公差为d,∵a 4+a 6+a 8+a 10+a 12=120,∴5a 8=120,a 8=24,∴a 9-13a 11=(a 8+d)-13(a 8+3d)=23a 8=16.3.A 由题意知,a 1+a m >0,a 1+a m+1<0,得S m =m (a 1+a m )2>0,S m+1=(m +1)(a 1+a m +1)2<0.4.D 解法一:当n ≥2时,a n =S n -S n-1=2n 2+3n-[2(n-1)2+3(n-1)]=4n+1, 当n=1时,a 1=S 1=5,符合上式, ∴a n =4n+1,∴a p -a q =4(p-q)=20.解法二:由题意可知{a n }为等差数列,且公差d=2×2=4,∴a p -a q =d(p-q)=20.5.B 设等差数列{b n }的公差为d(d ≠0),S n S 2n=k,因为b 1=1,则n+12n(n-1)d=k 2n +12×2n(2n-1)d ,即2+(n-1)d=4k+2k(2n-1)d,整理得(4k-1)dn+(2k-1)(2-d)=0.因为对任意的正整数n 上式均成立,所以(4k-1)d=0,(2k-1)(2-d)=0,解得d=2,k=14.所以数列{b n }的通项公式为b n =2n-1.6.答案 10 解析 S 100=1002(a 1+a 100)=45,a 1+a 100=0.9,a 1+a 99=a 1+a 100-d=0.4,则a 1+a 3+a 5+…+a 99=502(a 1+a 99)=502×0.4=10.7.答案 S 5解析∵ a 4+a7=a 5+a 6<0,a 5>0,∴ a 5>0,a 6<0,∴S n 中最大的为S 5. 8.答案15解析∵a n -1-a n a n -1=a n -a n +1a n +1(n ≥2),∴a n =2a n -1a n +1an +1+a n -1(n ≥2),∴2a n=1an +1+1a n -1(n ≥2),∴ 1a n为等差数列.∴公差d=1a 2-1a 1=1-12=12,∴1a 10=12+9×12=5,∴a 10=15.9.解析(1)已知{a n}是正项数列,由S n=1 2a n2+12a n(n∈N*),可得a1=12a12+12a1,解得a1=1;S2=a1+a2=12a22+12a2,解得a2=2;同理,a3=3,a4=4.(2)S n=12a n2+12a n,①当n≥2时,S n-1=12an-12+12a n-1,②①-②化简得(a n-a n-1-1)(a n+a n-1)=0(n≥2),又{a n}为正项数列,∴a n-a n-1=1(n≥2).由(1)知a1=1,故数列{a n}是首项为1,公差为1的等差数列,故a n=n.10.解析(1)证明:由题设a n a n+1=λS n-1,知a n+1a n+2=λS n+1-1.两式相减可得a n+1(a n+2-a n)=λa n+1. 由于a n+1≠0,所以a n+2-a n=λ.(2)存在.由a1=1,a1a2=λa1-1,可得a2=λ-1,由(1)知,a3=λ+1.令2a2=a1+a3,解得λ=4.此时a n+2-a n=4,由此可得,{a2n-1}(n∈N*)是首项为1,公差为4的等差数列,a2n-1=1+(n-1)·4=4n-3; {a2n}(n∈N*)是首项为3,公差为4的等差数列,a2n=3+(n-1)·4=4n-1.所以a n=2n-1,a n+1-a n=2.因此存在λ=4,使得{a n}为等差数列.B组提升题组11.D当n=1时,a1=T1=14-5=45,当n≥2时,a n=T nTn-1=142n-7,显然a1=45也适合上式,所以数列{a n}的通项公式为a n=142n-7,所以b n=log2a n=14-4n,数列{b n}是以10为首项,-4为公差的等差数列,所以S n=10n+n(n-1)(-4)2=-2n2+12n=-2[(n-3)2-9],易得S n中最大的是S3.12.答案1009解析因为数列{a n}是等差数列,所以a1+a2+…+a2017=2017a1+2017×20162d=2017(a1+1008d),又 a m=a1+(m-1)d,所以根据题意得,2017(a1+1008d)=2017[a1+(m-1)d],解得m=1009.13.答案 64解析设等差数列{a n }的公差为d,则a 2+a 4+a 9=3a 1+12d=24,即a 1+4d=8,所以S n n=na 1+n (n -1)2d n=a 1+n -12d=8-4d+n -12d,则S 88=8-4d+72d=8-d 2,S 1010=8-4d+92d=8+d 2,S 88·S 1010= 8-d 2 8+d2 =64-d 24≤64,当且仅当d=0时取等号,所以S88·S 1010的最大值为64.14.答案 9解析 a n = S 2n -1?a n = (2n -1)(a 1+a 2n -1)2= (2n -1)a n ?a n 2=(2n-1)a n ?a n =2n-1,n ∈N *.因为λa n ≤n +8n,所以λ≤(+8)(2n -1)n,即λ≤2n-8n+15.易知y=2x-8x(x>0)为增函数,∴2n -8n+15≥2×1-81+15=9,所以λ≤9,故实数λ的最大值为9. 15.解析 (1)证明:设{a n }的公差为d,则b n+1-b n =(a n +12-a n +22)-(a n 2-a n +12)=2a n +12-(a n+1-d)2-(a n+1+d)2=-2d 2,∴数列{b n }是以-2d 2为公差的等差数列.(2)∵a 1+a 3+a 5+…+a 25=130,a 2+a 4+a 6+…+a 26=143-13k,∴13d=13-13k,∴d=1-k,又13a 1+13×(13-1)2×2d=130,∴a 1=-2+12k,∴a n =a 1+(n-1)d=(-2+12k)+(n-1)(1-k)=(1-k)n+13k-3,∴b n =a n 2-a n +12=(a n +a n+1)·(a n -a n+1)=-2(1-k)2n+25k 2-30k+5.(3)存在.要满足当且仅当n=12时S n 最大,则b 12>0,b 13<0.即-2(1-k )2·12+25k 2-30k +5>0,-2(1-k )2·13+25k 2-30k +5<0? k 2+18k-19>0,k 2-22k +21>0? k >1或k <-19,k >21或k <1?k>21或k<-19,故存在满足题意的实数k,此时k ∈(-∞,-19)∪(21,+∞). 16.解析 (1)证明:∵f(x)=x 2-2(n+1)x+n 2+5n-7=[x-(n+1)]2+3n-8,∴a n =3n-8.∵a n+1-a n =3(n+1)-8-(3n-8)=3,∴数列{a n }为等差数列.(2)由题意知,b n =|a n |=|3n-8|,∴当1≤n ≤2,n ∈N *时,b n =8-3n,S n =n (b 1+b n )2=n [5+(8-3n )]2=13n -3n 22;当n ≥3,n ∈N *时,b n =3n-8,S n =b 1+b 2+b 3+…+b n =5+2+1+…+(3n-8)=7+(n -2)[1+(3n -8)]2=3n 2-13n+282.∴S n = 13n-3n 22,1≤n ≤2,n ∈N *,3n 2-13n+282,n ≥3,n ∈N *.</a1<-a>。

2018届高三数学一轮复习第六章数列第二节等差数列及其前n项和课件理

n(n 1) na1+ 2 d
=⑧
n(a1 an ) 2
.
判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)数列{an}(n∈N*)为等差数列的充要条件是对任意n∈N*,都有2an+1=an +an+2. (√) (2)等差数列{an}的单调性是由公差d决定的. (√) (3)等差数列的前n项和公式可看作常数项为0的二次函数.(√) (4)在等差数列{an}中,若am+an=ap+aq,则一定有m+n=p+q. (×) (5)数列{an},{bn}(项数相同)都是等差数列,则数列{an+bn}也一定是等差
2 4 4 答案 B 由S5= ⇒25= ⇒a4=7,所以 7=3+2d⇒d=2,所
以a7=a4+3d=7+3×2=13,故选B.
2.(2016课标全国Ⅰ,3,5分)已知等差数列{an}前9项的和为27,a10=8,则a100
= ( A.100 ) B.99 C.98 D.97
答案 C 设{an}的公差为d,由等差数列前n项和公式及通项公式,得
* (1)设cn= bn21 - bn2 ,n∈N ,求证:数列{cn}是等差数列; k 2 * (2)设a1=d,Tn= (-1) bk ,n∈N ,求Tn.
2n
k 1
解析 (1)证明:由题意得 an+2-anan+1=2dan+1,因此 bn2 =anan+1,有cn= bn21 - bn2 =an+1· cn+1-cn=2d(an+2-an+1)=2d2,所以{cn}是等差数列. (2)Tn=(- b12 + b22 )+(- b32 + b42 )+…+(- b22n1 + b22n ) =2d(a2+a4+…+a2n)

数学(文)一轮教学案：第六章第2讲等差数列及前n项和 Word版含解析

第2讲等差数列及前n 项和考纲展示命题探究1 等差数列的定义一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示，定义的表达式为a n ＋1－a n ＝d ，d 为常数．2 等差中项如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项，且A ＝a ＋b 2.3 等差数列的通项公式及其变形通项公式：a n ＝a 1＋(n －1)d ，其中a 1是首项，d 是公差．通项公式的变形：a n ＝a m ＋(n －m )d ，m ，n ∈N *.4 等差数列的前n 项和等差数列的前n 项和公式：S n ＝n (a 1＋a n )2＝na 1＋n (n －1)2d . 5 等差数列的单调性当d >0时，数列{a n }为递增数列；当d <0时，数列{a n }为递减数列；当d ＝0时，数列{a n }为常数列．注意点定义法证明等差数列时的注意事项(1)证明等差数列时，切忌只通过计算数列的a 2－a 1，a 3－a 2，a 4－a 3等有限的几个项的差后，发现它们都等于同一个常数，就断言数列{a n }为等差数列．(2)用定义法证明等差数列时，常采用a n ＋1－a n ＝d ，若采用a n －a n －1＝d ，则n ≥2，否则n ＝1时无意义.1．思维辨析(1)若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．( )(2)数列{a n }为等差数列的充要条件是对任意n ∈N *，都有2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2.( )(3)等差数列{a n }的单调性是由公差d 决定的．( )(4)数列{a n }为等差数列的充要条件是其通项公式为n 的一次函数．( )(5)等差数列的前n 项和公式是常数项为0的二次函数．( ) 答案 (1)× (2)√ (3)√ (4)× (5)×2．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 3＝6，a 3＝4，则公差d 等于( )A ．1 B.53 C ．2D ．3答案 C解析因为S 3＝(a 1＋a 3)×32＝6，而a 3＝4.所以a 1＝0，所以d ＝a 3－a 12＝2.3．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝2，S 3＝12，则a 6等于( )A ．8B ．10C ．12D ．14 答案 C解析 ∵S 3＝3(a 1＋a 3)2＝3a 2＝12，∴a 2＝4. ∵a 1＝2，∴d ＝a 2－a 1＝4－2＝2.∴a 6＝a 1＋5d ＝12.故选C.[考法综述] 等差数列的定义，通项公式及前n 项和公式是高考中常考内容，用定义判断或证明等差数列，由n ，a n ，S n ，a 1，d 五个量之间的关系考查基本运算能力．命题法1 等差数列的基本运算典例1 等差数列{a n }的前n 项和记为S n .已知a 10＝30，a 20＝50.(1)求通项a n ；(2)若S n ＝242，求n .[解] (1)由a n ＝a 1＋(n －1)d ，a 10＝30，a 20＝50，得方程组⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋9d ＝30，a 1＋19d ＝50. 解得a 1＝12，d ＝2.所以a n ＝2n ＋10；(2)由S n ＝na 1＋n (n －1)2d ，S n ＝242，得方程12n ＋n (n －1)2×2＝242，解得n ＝11或n ＝－22(舍去)．【解题法】等差数列计算中的两个技巧(1)等差数列的通项公式及前n 项和公式，共涉及五个量a 1，a n ，d ，n ，S n ，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想解决问题．(2)数列的通项公式和前n 项和公式在解题中起到变量代换作用，而a 1和d 是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法．命题法2 等差数列的判定与证明典例2 数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝2，a n ＋2＝2a n ＋1－a n ＋2.(1)设b n ＝a n ＋1－a n ，证明{b n }是等差数列；(2)求{a n }的通项公式．[解] (1)证明：∵a n ＋2＝2a n ＋1－a n ＋2，∴b n ＋1－b n ＝a n ＋2－a n ＋1－(a n ＋1－a n )＝2a n ＋1－a n ＋2－2a n ＋1＋a n ＝2.∴{b n }是以1为首项，2为公差的等差数列．(2)由(1)得b n ＝1＋2(n －1)，即a n ＋1－a n ＝2n －1，∴a 2－a 1＝1，a 3－a 2＝3，a 4－a 3＝5，…，a n －a n －1＝2n －3，累加法可得a n －a 1＝1＋3＋5＋…＋(2n －3)＝(n －1)2，∴a n ＝n 2－2n ＋2.【解题法】等差数列的判定方法(1)定义法：对于n ≥2的任意自然数，验证a n －a n －1为同一常数．(2)等差中项法：验证2a n －1＝a n ＋a n －2(n ≥3，n ∈N *)成立．(3)通项公式法：验证a n ＝pn ＋q .(4)前n 项和公式法：验证S n ＝An 2＋Bn .1．在等差数列{a n }中，若a 2＝4，a 4＝2，则a 6＝( )A ．－1B ．0C ．1D ．6答案 B解析设数列{a n }的公差为d ，由a 4＝a 2＋2d ，a 2＝4，a 4＝2，得2＝4＋2d ，d ＝－1，∴a 6＝a 4＋2d ＝0.故选B.2.已知{a n }是等差数列，公差d 不为零，前n 项和是S n .若a 3，a 4，a 8成等比数列，则( )扫一扫·听名师解题A ．a 1d >0，dS 4>0B ．a 1d <0，dS 4<0C ．a 1d >0，dS 4<0D ．a 1d <0，dS 4>0答案 B解析由a 24＝a 3a 8，得(a 1＋2d )(a 1＋7d )＝(a 1＋3d )2，整理得d (5d ＋3a 1)＝0，又d ≠0，∴a 1＝－53d ，则a 1d ＝－53d 2<0，又∵S 4＝4a 1＋6d ＝－23d ，∴dS 4＝－23d 2<0，故选B.3．设{a n }是首项为a 1，公差为－1的等差数列，S n 为其前n 项和．若S 1，S 2，S 4成等比数列，则a 1的值为________．答案－12解析由已知得S1＝a1，S2＝a1＋a2＝2a1－1，S4＝4a1＋4×32×(－1)＝4a1－6，而S1，S2，S4成等比数列，所以(2a1－1)2＝a1(4a1－6)，整理得2a1＋1＝0，解得a1＝－1 2.4.已知数列{a n}的前n项和为S n，a1＝1，a n≠0，a n a n＋1＝λS n－1，其中λ为常数．(1)证明：a n＋2－a n＝λ；(2)是否存在λ，使得{a n}为等差数列？并说明理由．解(1)证明：由题设，a n a n＋1＝λS n－1，a n＋1a n＋2＝λS n＋1－1.两式相减得a n＋1(a n＋2－a n)＝λa n＋1.由于a n＋1≠0，所以a n＋2－a n＝λ.(2)由题设，a1＝1，a1a2＝λS1－1，可得a2＝λ－1.由(1)知，a3＝λ＋1.令2a2＝a1＋a3，解得λ＝4.故a n＋2－a n＝4，由此可得{a2n－1}是首项为1，公差为4的等差数列，a2n－1＝4n－3；{a2n}是首项为3，公差为4的等差数列，a2n＝4n－1.所以a n＝2n－1，a n＋1－a n＝2.因此存在λ＝4，使得数列{a n}为等差数列．等差数列及其前n项和的性质已知{a n}为等差数列，d为公差，S n为该数列的前n项和．(1)有穷等差数列中与首末两项等距离的两项的和相等，即a1＋a n＝a2＋a n－1＝a3＋a n－2＝…＝a k＋a n－k＋1＝….(2)等差数列{a n}中，当m＋n＝p＋q时，a m＋a n＝a p＋a q(m，n，p，q∈N*)．特别地，若m＋n＝2p，则2a p＝a m＋a n(m，n，p∈N*)．(3)相隔等距离的项组成的数列是等差数列，即a k，a k＋m，a k＋2m，…仍是等差数列，公差为md(k，m∈N*)．(4)S n，S2n－S n，S3n－S2n，…也成等差数列，公差为n2d.(5)⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 也成等差数列，其首项与{a n }首项相同，公差是{a n }的公差的12.(6)在等差数列{a n }中，①若项数为偶数2n ，则S 2n ＝n (a 1＋a 2n )＝n (a n ＋a n ＋1)；S 偶－S 奇＝nd ；S 奇S 偶＝a n a n ＋1. ②若项数为奇数2n －1，则S 2n －1＝(2n －1)a n ；S 奇－S 偶＝a n ；S 奇S 偶＝n n －1. (7)若数列{a n }与{b n }均为等差数列，且前n 项和分别是S n 和T n ，则S 2m －1T 2m －1＝a m b m. (8)若数列{a n }，{b n }是公差分别为d 1，d 2的等差数列，则数列{pa n }，{a n ＋p }，{pa n ＋qb n }都是等差数列(p ，q 都是常数)，且公差分别为pd 1，d 1，pd 1＋qd 2.注意点前n 项和性质的理解等差数列{a n }中，设前n 项和为S n ，则S n ，S 2n ，S 3n 的关系为2(S 2n －S n )＝S n ＋(S 3n －S 2n )不要理解为2S 2n ＝S n ＋S 3n .1．思维辨析(1)等差数列{a n }中，有a 1＋a 7＝a 2＋a 6.( )(2)若已知四个数成等差数列，则这四个数可设为a －2d ，a －d ，a ＋d ，a ＋2d .( )(3)若三个数成等差数列，则这三个数可设为：a －d ，a ，a ＋d .( )(4)求等差数列的前n 项和的最值时，只需将它的前n 项和进行配方，即得顶点为其最值处．( )答案 (1)√ (2)× (3)√ (4)×2．若S n 是等差数列{a n }的前n 项和，a 2＋a 10＝4，则S 11的值为( )A ．12B ．18C ．22D ．44答案 C 解析由题可知S 11＝11(a 1＋a 11)2＝11(a 2＋a 10)2＝11×42＝22，故选C.3．在等差数列{a n }中，若a 4＋a 6＋a 8＋a 10＋a 12＝90，则a 10－13a 14的值为( )A ．12B ．14C ．16D ．18答案 A解析由题意知5a 8＝90，a 8＝18，a 10－13a 14＝a 1＋9d －13(a 1＋13d )＝23a 8＝12，选A 项．[考法综述] 等差数列的性质是高考中的常考内容，灵活应用由概念推导出的重要性质，在解题过程中可以达到避繁就简的目的．命题法1 等差数列性质的应用典例1 等差数列{a n }中，如果a 1＋a 4＋a 7＝39，a 3＋a 6＋a 9＝27，则数列{a n }前9项的和为( )A ．297B ．144C ．99D ．66[解析] 由a 1＋a 4＋a 7＝39，得3a 4＝39，a 4＝13.由a 3＋a 6＋a 9＝27，得3a 6＝27，a 6＝9.所以S 9＝9(a 1＋a 9)2＝9(a 4＋a 6)2＝9×(13＋9)2＝9×11＝99，故选C.[答案] C【解题法】应用等差数列性质应注意(1)要注意等差数列通项公式及前n 项和公式的灵活应用，如a n＝a m ＋(n －m )d ，d ＝a n －a m n －m，S 2n －1＝(2n －1)a n ，S n ＝n (a 1＋a n )2＝n (a 2＋a n －1)2(n ，m ∈N *)等． (2)如果{a n }为等差数列，m ＋n ＝p ＋q ，则a m ＋a n ＝a p ＋a q ( m ，n ，p ，q ∈N *)．一般地，a m ＋a n ≠a m ＋n ，必须是两项相加，当然也可以是a m －n ＋a m ＋n ＝2a m .因此，若出现a m －n ，a m ，a m ＋n 等项时，可以利用此性质将已知条件转化为与a m (或其他项)有关的条件．命题法2 与等差数列前n 项和有关的最值问题典例2 等差数列{a n }中，设S n 为其前n 项和，且a 1>0，S 3＝S 11，则当n 为多少时，S n 最大？[解] 解法一：由S 3＝S 11得3a 1＋3×22d ＝11a 1＋11×102d ，则d＝－213a 1.从而S n ＝d 2n 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－d 2n ＝－a 113(n －7)2＋4913a 1，又a 1>0，所以－a 113<0.故当n ＝7时，S n 最大．解法二：由于S n ＝an 2＋bn 是关于n 的二次函数，由S 3＝S 11，可知S n ＝an 2＋bn 的图象关于n ＝3＋112＝7对称．由解法一可知a ＝－a 113<0，故当n ＝7时，S n 最大．解法三：由解法一可知，d ＝－213a 1.要使S n 最大，则有⎩⎪⎨⎪⎧ a n ≥0，a n ＋1≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋(n －1)⎝ ⎛⎭⎪⎫－213a 1≥0，a 1＋n ⎝ ⎛⎭⎪⎫－213a 1≤0，≤n ≤n ＝7时，S n 最大．解法四：由S 3＝S 11，可得2a 1＋13d ＝0，即(a 1＋6d )＋(a 1＋7d )＝0，故a 7＋a 8＝0，又由a 1>0，S 3＝S 11可知d <0，所以a 7>0，a 8<0，所以当n ＝7时，S n 最大．【解题法】求等差数列前n 项和的最值的方法(1)二次函数法：用求二次函数最值的方法(配方法)求其前n 项和的最值，但要注意n ∈N *.(2)图象法：利用二次函数图象的对称性来确定n 的值，使S n 取得最值．(3)项的符号法：当a 1>0，d <0时，满足⎩⎪⎨⎪⎧ a n ≥0a n ＋1≤0的项数n ，使S n 取最大值；当a 1<0，d >0时，满足⎩⎪⎨⎪⎧a n ≤0，a n ＋1 ≥0的项数n ，使S n 取最小值，即正项变负项处最大，负项变正项处最小，若有零项，则使S n 取最值的n 有两个．1．设{a n }是等差数列．下列结论中正确的是( )A ．若a 1＋a 2>0，则a 2＋a 3>0B ．若a 1＋a 3<0，则a 1＋a 2<0C ．若0<a 1<a 2，则a 2>a 1a 3D ．若a 1<0，则(a 2－a 1)(a 2－a 3)>0答案 C解析若{a n }是递减的等差数列，则选项A 、B 都不一定正确．若{a n }为公差为0的等差数列，则选项D 不正确．对于C 选项，由条件可知{a n }为公差不为0的正项数列，由等差中项的性质得a 2＝a 1＋a 32，由基本不等式得a 1＋a 32>a 1a 3，所以C 正确．2．在等差数列{a n }中，a 1>0，a 2012＋a 2013>0，a 2012·a 2013<0，则使S n >0成立的最大自然数n 是( )A ．4025B ．4024C ．4023D ．4022答案 B解析 ∵等差数列{a n }的首项a 1>0，a 2012＋a 2013>0，a 2012·a 2013<0，假设a 2012<0<a 2013，则d >0，而a 1>0，可得a 2012＝a 1＋2011d >0，矛盾，故不可能．∴a 2012>0，a 2013<0.再根据S 4024＝4024(a 1＋a 4024)2＝2012(a 2012＋a 2013)>0，而S 4025＝4025a 2013<0，因此使前n 项和S n >0成立的最大自然数n 为4024.3.已知等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，若S n T n＝2n 3n ＋1，则a n b n＝( ) A.23B.2n －13n －1C.2n ＋13n ＋1D.2n －13n ＋4 答案 B解析 a n b n ＝2a n 2b n＝2n －12(a 1＋a 2n －1)2n －12(b 1＋b 2n －1)＝S 2n －1T 2n －1＝2(2n －1)3(2n －1)＋1＝2n －13n －1.故选B.4．在等差数列{a n }中，若a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝25，则a 2＋a 8＝________.答案 10解析由a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝25，得5a 5＝25，所以a 5＝5，故a 2＋a 8＝2a 5＝10.5．中位数为1010的一组数构成等差数列，其末项为2015，则该数列的首项为________．答案 5解析设等差数列的首项为a 1，根据等差数列的性质可得，a 1＋2015＝2×1010，解得a 1＝5.6．在等差数列{a n }中，a 1＝7，公差为d ，前n 项和为S n ，当且仅当n ＝8时S n 取得最大值，则d 的取值范围为________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－78 解析由题意知d <0且⎩⎪⎨⎪⎧ a 8>0，a 9<0，即⎩⎪⎨⎪⎧7＋7d >0，7＋8d <0，解得－1<d <－78.7.若等差数列{a n }满足a 7＋a 8＋a 9>0，a 7＋a 10<0，则当n ＝________时，{a n }的前n 项和最大．答案 8解析根据题意知a 7＋a 8＋a 9＝3a 8>0，即a 8>0.又a 8＋a 9＝a 7＋a 10<0，∴a 9<0，∴当n ＝8时，{a n }的前n 项和最大．8．已知公差大于零的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a 3·a 4＝117，a 2＋a 5＝22.(1)求通项a n ； (2)求S n 的最小值；(3)若数列{b n }是等差数列，且b n ＝S nn ＋c ，求非零常数c .解 (1)因为数列{a n }为等差数列，所以a 3＋a 4＝a 2＋a 5＝22. 又a 3·a 4＝117，所以a 3，a 4是方程x 2－22x ＋117＝0的两实根，又公差d >0，所以a 3<a 4，所以a 3＝9，a 4＝13，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋2d ＝9，a 1＋3d ＝13，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝4.所以通项a n ＝4n －3. (2)由(1)知a 1＝1，d ＝4.所以S n ＝na 1＋n (n －1)2×d ＝2n 2－n ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫n －142－18.所以当n ＝1时，S n 最小，最小值为S 1＝a 1＝1.(3)由(2)知S n ＝2n 2－n ，所以b n ＝S n n ＋c ＝2n 2－n n ＋c，所以b 1＝11＋c ，b 2＝62＋c ，b 3＝153＋c .因为数列{b n }是等差数列，所以2b 2＝b 1＋b 3，即62＋c ×2＝11＋c ＋153＋c ，所以2c 2＋c ＝0，所以c ＝－12或c ＝0(舍去)，故c ＝－12.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 5＝9，S 5＝15，则使其前n 项和S n 取得最小值时的n ＝________.[错解][错因分析] 等差数列的前n 项和最值问题，可以通过找对称轴来确定，本题只关注到n ∈N *，并未关注到n ＝1与n ＝2时，S 1＝S 2，导致错误．[正解] ∵a 5＝9，S 5＝15，∴a 1＝－3，d ＝3. ∴a n ＝3n －6，S n ＝32n 2－92n .把S n 看作是关于n 的二次函数，其对称轴为n ＝32. ∴当n ＝1或n ＝2时，S 1＝S 2且最小． [心得体会]………………………………………………………………………………………………时间：60分钟基础组1.[2016·冀州中学猜题]已知等差数列{a n }中，a 7＋a 9＝16，S 11＝992，则a 12的值是( )A ．15B ．30C ．31D ．64答案 A解析由题意可知2a 8＝a 7＋a 9＝16⇒a 8＝8，S 11＝11(a 1＋a 11)2＝11×2a 62＝11a 6＝992，a 6＝92，则d ＝a 8－a 62＝74，所以a 12＝a 8＋4d ＝15，故选A.2．[2016·武邑中学仿真]已知S n 表示数列{a n }的前n 项和，若对任意的n ∈N *满足a n ＋1＝a n ＋a 2，且a 3＝2，则S 2014＝( )A ．1006×2013B ．1006×2014C ．1007×2013D ．1007×2014答案 C解析在a n ＋1＝a n ＋a 2中，令n ＝1，则a 2＝a 1＋a 2，a 1＝0，令n ＝2，则a 3＝2＝2a 2，a 2＝1，于是a n ＋1－a n ＝1，故数列{a n }是首项为0，公差为1的等差数列，S 2014＝2014×20132＝1007×2013.故选C. 3．[2016·冀州中学期末]在数列{a n }中，若a 1＝1，a 2＝12，2a n ＋1＝1a n ＋1a n ＋2(n ∈N *)，则该数列的通项为( ) A ．a n ＝1n B ．a n ＝2n ＋1C ．a n ＝2n ＋2D ．a n ＝3n答案 A 解析由已知式2a n ＋1＝1a n ＋1a n ＋2可得1a n ＋1－1a n ＝1a n ＋2－1a n ＋1，知⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n是首项为1a 1＝1，公差为1a 2－1a 1＝2－1＝1的等差数列，所以1a n ＝n ，即a n ＝1n .4．[2016·衡水中学预测]设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝9，S 6＝36，则a 7＋a 8＋a 9＝( )A ．63B ．45C ．36D ．27答案 B解析 S 3＝9，S 6－S 3＝36－9＝27，根据S 3，S 6－S 3，S 9－S 6成等差数列，S 9－S 6＝45，S 9－S 6＝a 7＋a 8＋a 9＝45，故选B.5．[2016·衡水二中期中]已知等差数列{a n }中，前四项和为60，最后四项和为260，且S n ＝520，则a 7＝( )A ．20B ．40C ．60D ．80答案 B解析前四项的和是60，后四项的和是260，若有偶数项，则中间两项的和是(60＋260)÷4＝80.S n ＝520,520÷80不能整除，说明没有偶数项，有奇数项，则中间项是(60＋260)÷8＝40.所以共有520÷40＝13项，因此a 7是中间项，所以a 7＝40.6．[2016·枣强中学模拟]已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 4S2＝4，则S 6S 4＝( )A.94B.32C.53 D ．4答案 A解析由S 4S 2＝4，可设S 2＝x ，S 4＝4x .∵S 2，S 4－S 2，S 6－S 4成等差数列，∴2(S 4－S 2)＝S 2＋(S 6－S 4)．则S 6＝3S 4－3S 2＝12x －3x ＝9x ，因此，S 6S 4＝9x 4x ＝94.7．[2016·衡水二中热身]设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝－3，a k ＋1＝32，S k ＝－12，则正整数k ＝______.答案 13解析由S k ＋1＝S k ＋a k ＋1＝－12＋32＝－212，又S k ＋1＝(k ＋1)(a 1＋a k ＋1)2＝(k ＋1)⎝ ⎛⎭⎪⎫－3＋322＝－212，解得k ＝13.8.[2016·武邑中学期末]设正项数列{a n }的前n 项和是S n ，若{a n }和{S n }都是等差数列，且公差相等，则a 1＝________.答案 14解析设等差数列{a n }的公差为d ，则S n ＝d 2n 2＋(a 1－d2)n ， ∴S n ＝d 2n 2＋⎝⎛⎭⎪⎫a 1－d 2n ，数列{S n }是等差数列，则S n 是关于n 的一次函数(或者是常数)，则a 1－d2＝0，S n ＝d2n ，从而数列{S n }的公差是d2，那么有d 2＝d ，d ＝0(舍去)或d ＝12，故a 1＝14.9．[2016·衡水中学周测]已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 2＝10，S 5＝55，则a 10＝________.答案 39解析设等差数列{a n }的公差为d ，由题意可得⎩⎨⎧a 1＋(a 1＋d )＝10，5a 1＋5×42d ＝55，即⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋d ＝10，a 1＋2d ＝11，解得a 1＝3，d ＝4，a 10＝a 1＋(10－1)d ＝39.10．[2016·冀州中学月考]设数列{a n }为等差数列，数列{b n }为等比数列．若a 1<a 2，b 1<b 2，且b i ＝a 2i (i ＝1,2,3)，则数列{b n }的公比为________．答案 3＋2 2解析设a 1，a 2，a 3分别为a －d ，a ，a ＋d ，因为a 1<a 2，所以d >0，又b 22＝b 1b 3，所以a 4＝(a －d )2(a ＋d )2＝(a 2－d 2)2，则a 2＝d 2－a 2或a 2＝a 2－d 2(舍)，则d ＝±2a .若d ＝－2a ，则q ＝b 2b 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2a 12＝(1－2)2＝3－22<1，舍去；若d ＝2a ，则q ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2a 12＝3＋2 2.11．[2016·衡水中学模拟]等差数列{a n }的前n 项和为S n .已知a 1＝10，a 2为整数，且S n ≤S 4.(1)求{a n }的通项公式；(2)设b n ＝1a n a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和T n .解 (1)由a 1＝10，a 2为整数知，等差数列{a n }的公差d 为整数，又S n ≤S 4，故a 4≥0，a 5≤0，于是10＋3d ≥0,10＋4d ≤0.解得－103≤d ≤－52.因此d ＝－3.数列{a n }的通项公式为a n ＝13－3n . (2)b n ＝1(13－3n )(10－3n )＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫110－3n －113－3n .于是T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n＝13⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫17－110＋⎝ ⎛⎭⎪⎫14－17＋…＋⎝ ⎛ 110－3n －⎭⎪⎫113－3n ＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫110－3n －110＝n 10(10－3n ). 12．[2016·冀州中学期中]已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足：a n ＋2S n S n －1＝0(n ≥2，n ∈N *)，a 1＝12，判断{a n }是否为等差数列，并说明你的理由．解数列{a n }不是等差数列，a n ＝S n －S n －1(n ≥2)，a n ＋2S n S n －1＝0， ∴S n －S n －1＋2S n S n －1＝0(n ≥2)， ∴1S n－1S n －1＝2(n ≥2)，又S 1＝a 1＝12，∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是以2为首项，2为公差的等差数列． ∴1S n＝2＋(n －1)×2＝2n ，故S n ＝12n .∴当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝12n －12(n －1)＝－12n (n －1)，∴a n ＋1＝－12n (n ＋1)，而a n ＋1－a n ＝－12n (n ＋1)－－12n (n －1)＝－12n⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋1－1n －1＝1n (n －1)(n ＋1). ∴当n ≥2时，a n ＋1－a n 的值不是一个与n 无关的常数，故数列{a n }不是一个等差数列．能力组13.[2016·衡水中学猜题]已知正项数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝2,2a 2n ＝a 2n ＋1＋a 2n －1(n ≥2)，则a 6等于( )A ．16B ．8C ．2 2D ．4答案 D解析由2a 2n ＝a 2n ＋1＋a 2n －1(n ≥2)可得，数列{a 2n }是首项为a 21＝1，公差为a 22－a 21＝3的等差数列，由此可得a 2n ＝1＋3(n －1)＝3n －2，即得a n ＝3n －2，∴a 6＝3×6－2＝4，故应选D.14.[2016·衡水中学一轮检测]已知数列{a n }为等差数列，若a 11a 10<－1，且它们的前n 项和S n 有最大值，则使S n >0的n 的最大值为( )A ．11B ．19C ．20D ．21答案 B解析 ∵a 11a 10<－1，且S n 有最大值，∴a 10>0，a 11<0，且a 10＋a 11<0， ∴S 19＝19(a 1＋a 19)2＝19·a 10>0， S 20＝20(a 1＋a 20)2＝10(a 10＋a 11)<0，故使得S n >0的n 的最大值为19.15.[2016·武邑中学猜题]已知等差数列{a n }中，a 5＝12，a 20＝－18. (1)求数列{a n }的通项公式； (2)求数列{|a n |}的前n 项和S n . 解 (1)设数列{a n }的公差为d ，依题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 5＝a 1＋4d ＝12a 20＝a 1＋19d ＝－18，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝20d ＝－2，∴a n ＝20＋(n －1)×(－2)＝－2n ＋22.(2)由(1)知|a n |＝|－2n ＋22|＝⎩⎪⎨⎪⎧－2n ＋22，n ≤112n －22，n >11，∴当n ≤11时，S n ＝20＋18＋…＋(－2n ＋22)＝n (20－2n ＋22)2＝(21－n )n ；当n >11时，S n ＝S 11＋2＋4＋…＋(2n －22)＝110＋(n －11)(2＋2n －22)2＝n 2－21n ＋220. 综上所述，S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧(21－n )n ，n ≤11n 2－21n ＋220，n >11.16．[2016·冀州中学仿真]已知数列{a n }的各项均为正数，前n 项和为S n ，且满足2S n ＝a 2n ＋n －4.(1)求证{a n }为等差数列； (2)求{a n }的通项公式．解 (1)证明：当n ＝1时，有2a 1＝a 21＋1－4，即a 21－2a 1－3＝0，解得a 1＝3(a 1＝－1舍去)．当n ≥2时，有2S n －1＝a 2n －1＋n －5，又2S n ＝a 2n ＋n －4，两式相减得2a n ＝a 2n －a 2n －1＋1，即a 2n －2a n ＋1＝a 2n －1，也即(a n －1)2＝a 2n －1，因此a n －1＝a n －1或a n －1＝－a n －1. 若a n －1＝－a n －1，则a n ＋a n －1＝1，而a 1＝3，所以a 2＝－2，这与数列{a n }的各项均为正数相矛盾，所以a n －1＝a n －1，即a n －a n －1＝1，因此{a n }为等差数列．(2)由(1)知a 1＝3，d ＝1，所以数列{a n }的通项公式a n ＝3＋(n －1)＝n ＋2，即a n ＝n ＋2.。

浙江版2018年高考数学一轮复习专题6.2等差数列及其前n项和讲201711283100

第02节等差数列及其前n项和【考纲解读】考点考纲内容五年统计分析预测2013浙江文19；理18；1.理解等差数列的概念，掌2014浙江文19；1.利用方程思想进行基本量等差数列的概握等差数列的通项公式；2015浙江文10,17；理3；的计算.念与运算2.了解等差数列与一次函数. 2016浙江文8；,理6；2等差、等比数列的综合问题.2017浙江6. 3.特别关注:2013浙江文19；理18；(1)方程思想在数列计算中的 1.掌握等差数列前n 项和2014浙江文19；应用;等差数列的公式及其应用；2015浙江理3；(2)等差数列的通项公式、前前n项和 2.会用数列的等差关系解决2016浙江文8；,理6；n项和公式的综合应用.实际问题.2017浙江6.【知识清单】一．等差数列的有关概念1.定义：等差数列定义：一般地，如果一个数列从第2 项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示.用递推公式表示为a a 1 d(n2) 或n n a 1 a d(n1).n n2.等差数列的通项公式：a a 1 (n 1)d；n说明：等差数列（通常可称为A P数列）的单调性：d 0 为递增数列，d 0 为常数列，d0 为递减数列.3.等差中项的概念：定义：如果a，A，b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项,其中Aa ba，A，b成等差数列A .2n(a a) n(n 1) 4.等差数列的前n和的求和公式：S 1 na d.nn 12 2 a b. 25.要注意概念中的“从第2项起”．如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或第4项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列．6.注意区分等差数列定义中同一个常数与常数的区别．1对点练习：【2017届浙江省温州市二模】在等差数列{푎푛}中，若푎22 + 2푎2푎8 + 푎6푎10 = 16，则푎4푎6 = _______. 【答案】4二、等差数列的前 n 项和n (aa )n (n 1) 等差数列的前 n 和的求和公式： S1nnad .n122对点练习：【2018届浙江省“七彩阳光”联盟高三上期初联考】已知等差数列a 的前 n 项和为nS ，若nS14， 9 S，则 a__________，kkka 的最大值为__________．1【答案】 5 4.【解析】aSS15 ，因为 Skkkkk a159 ，又 k 的最小值为 2，可知2a 的最大值 1为 4.三、等差数列的相关性质 1.等差数列的性质：（1）在等差数列a 中，从第 2项起，每一项是它相邻二项的等差中项；n（2）在等差数列a 中，相隔等距离的项组成的数列是等差数列，如： a ， a ， a ，n135a ，……； a ， 73a ， a ， a ，……；81318a an m d ， d a n a m(m n ) ；（3）在等差数列a中，对任意m ， n N ，( )nnmn m（4）在等差数列a中，若m，n，p，q N且m n p q，则a a a a,特n m n p q殊地，2m p q时，则2a a a，a是a、a的等差中项.m p q m p q（5）等差数列被均匀分段求和后，得到的数列仍是等差数列，即S,S S,S S成等n2n n3n2n差数列.2（6）两个等差数列{a }与{b }的和差的数列{ab }仍为等差数列．nnnn（7）若数列{a }是等差数列,则{ka }仍为等差数列．nn2．设数列{a }是等差数列，且公差为 d ，（Ⅰ）若项数为偶数，设共有 2n 项，则n① S -Snd奇偶； ②Sa 奇nSa偶 n 1；（Ⅱ）若项数为奇数，设共有 2n 1项，则① SS 偶奇aa中(中间项)；②nS n 奇Sn 1偶.3.,a,a q a p pq ,则pqp qS S Smnd .m nmn4.如果两个等差数列有公共项，那么由它们的公共项顺次组成的新数列也是等差数列，且新等差数列的公差是两个原等差数列公差的最小公倍数．aS 5.若{ }b 为等差数列，且前 n 项和分别为 S n 与 S n '，则21.a 与{ }mmnnbS 'm2m16．等差数列的增减性： d 0 时为递增数列，且当a 1 0 时前 n 项和 S 有最小值． d0 时n为递减数列，且当a 10 时前 n 项和S 有最大值．n对点练习： 1.在等差数列a 中，已知 a 3a 810 ，则3aa = （）n57A ．10B ．18C ．20D ．28【答案】C2.已知等差数列{a}的前n项和为n S，满足nS5 S，且0a1 ，则S中最大的是（）9 nA．S B．S C．S D．S6 7 8 15【答案】B【解析】由 5 S 6 7 8 9 2 7 8 0S,得a a a a a a,由a1 0知,a7 0,a0 ,所以S9 8 7最大，故B正确.3【考点深度剖析】等差数列的性质、通项公式和前n项和公式构成等差数列的重要内容，在历届高考中必考，既有独立考查的情况，也有与等比数列等其它知识内容综合考查的情况．选择题、填空题、解答题多种题型加以考查．【重点难点突破】考点1 等差数列的定义、通项公式、基本运算S为等差数列a的前n项和．若 6 8a a，4 5 24 S ，【1-1】【2017全国卷1（理）】记n n则{a}的公n差为（）.A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】C【1-2】【2017全国卷2（理））】等差数列a的前n项和为n S，a，3 3nS ，则4 10n1kS k1．【答案】2n n1【解析】设a首项为n a，公差为d．则a 3 a 1 2d 3 ，1S a d ，求得a ，d 1，则a n，4 4 1 6 10 1 1n Snn n1，22 1 1 1 1 1 1 1 1 n1 2 2 22kS kn nn n12 23112 2 3n 1 nn n 1 112n 2 1n 1n1. 【1-3】【2017届天津市耀华中学二模】已知等差数列a 的前项和为 S ，且 nnS，若记2142b2，则数列2aa ab （）11913nnA. 是等差数列但不是等比数列B. 是等比数列但不是等差数列4C. 既是等差数列又是等比数列D. 既不是等差数列又不是等比数列【答案】C【领悟技法】1．等差数列的四种判断方法(1) 定义法：对于数列1 n N(常数)，则数列a，若a a d a是等差数列；nn n n(2) 等差中项：对于数列a，若n 2 n a aa n N ，则数列a是等差数列;1 n n2 n(3)通项公式：a pn q( p,q为常数,n N )⇔a是等差数列;n n(4)前n项和公式： 2 a是等差数列;S An Bn(A, B为常数, n N )⇔n nS(5)a是等差数列⇔nnn是等差数列.2．活用方程思想和化归思想在解有关等差数列的问题时可以考虑化归为a和d等基本量，通过建立方程(组)获得解．即1n(a a) n(n 1)1 ( 1)等差数列的通项公式a a n d及前n项和公式 1 n，共S nad n n 12 2涉及五个量a1,d,n,a n,S n，知其中三个就能求另外两个,即知三求二，多利用方程组的思想，体现了用方程的思想解决问题,注意要弄准它们的值.运用方程的思想解等差数列是常见题型，解决此类问题需要抓住基本量a、d，掌握好设未知数、列出方程、解方程三个环节，常通1过“设而不求，整体代入”来简化运算．3.特殊设法:三个数成等差数列，一般设为a d,a,a d；四个数成等差数列，一般设为a3d,a d,a d,a3d.这对已知和,求数列各项,运算很方便.54．若判断一个数列既不是等差数列又不是等比数列，只需用a a a 验证即可．1, 2 , 35.等差数列的前 n 项和公式n (aa )若已知首项a 和末项 a ，则 S1n，或等差数列{an }的首项是 a 1 ，公差是 d ，则其1n n2n (n 1)前 n 项和公式为 Snad .n12【触类旁通】【变式一】【2018届甘肃省兰州市西北师范大学附属中学高三一调】在《张丘建算经》有一道题：“今有女子不善织布，逐日所织的布同数递减，初日织五尺，末一日织一尺，计织三十日，问共织布几何？” （） A.尺B.尺C.尺D.尺【答案】Ca【变式二】【2018届安徽省合肥市高三调研性检测】数列 a 满足 a 1,an 10【变式二】【2018届安徽省合肥市高三调研性检测】数列n1n2a1n 1.1（Ⅰ）求证：数列an是等差数列； b 2a（Ⅱ）若数列2, nn2, nnb 满足b1n1ba 1nn，求b 的前 n 项和 S .nn【答案】（Ⅰ）证明见解析（Ⅱ） Sn23 2n 16 n【解析】a试题分析：（1）先依据题设条件将 a1nn2a1n 1变形为112 ，进而借助等差数aan 1n1列的定义证明数列an是等差数列；（2）借助（1）的结论可求得 1anba1 2 n 1 2n 1,进而依据12 a b从而求得求得2 2n 1 2nnnn nbann 1b2n 12n ，然后与运用错位相减法求得S 2n32n16 ： nn6解：（Ⅰ）若a10，则 a0，这与 a 1 1矛盾，nn∴a10 ，n由已知得2 0a aaa，n n 1nn 1∴ 112 ， a an 1n故数列a 是以 n1 a 11为首项，2为公差的等差数列. 1（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，12 n 12n 1，a1ba 由12 1 12nn可知a 1b12a b .又 a bnnn nbann 1∴ a b22n12n ∴b2n 12 ，nn nn∴ S123n，1 2 3 2 5 2212nn则21 2 3 2 5 2 2 1 2nS234n1 ，n∴2311S2 2 2 2222n2n 1 2n3 2n 2n6，n∴1S2n 32n6n考点2 等差数列的性质【2-1】【河北省武邑中学2018届高三上学期第二次调研数学（理）】数列a满足n2a a a n 2，且a aa ，n n 1 n 11 3 5 9 a a a ，则a aa2 4 6 123 4 5（）A. 9B. 10C. 11D. 12【答案】D7【2-2】【云南省昆明一中 2018届高三第二次月考】在数列a 中， na 28 ，a ，且522nN ），则a aa （*n 1n 2naaa 的值是（）1210A. -10B. 10C. 50D. 70【答案】C 【解析】由2aaa 得 2a 是等差数列，由aaa，即数列n 1n 2nn 1n 2nna，a ，可得 an ，，当1n6时， a0，当28 5 2 a 11 0，d2 ，，所以2 12nnn 7 时， a0，所以naa a SS，选 C ．1210261050【2-3】【2017届宁夏石嘴山市第三中学高三三模】已知函数 f x在1,上单调,且函数 yf x 2的图象关于 x1对称,若数列a 是公差不为 0的等差数列,且nf afa ,则a 的前 100项的和为( )5051nA.200B.100 C. 0D.50【答案】B【领悟技法】1. 等差数列的性质是等差数列的定义、通项公式以及前n项和公式等基础知识的推广与变形，熟练掌握和灵活应用这些性质可以有效、方便、快捷地解决许多等差数列问题．2.等差数列的性质多与其下标有关，解题需多注意观察，发现其联系，加以应用, 故应用等差数列的性质解答问题的关键是寻找项的序号之间的关系．83.应用等差数列的性质要注意结合其通项公式、前n项和公式．4.解综合题的成败在于审清题目，弄懂来龙去脉，透过给定信息的表象，抓住问题的本质，揭示问题的内在联系和隐含条件，明确解题方向、形成解题策略.【触类旁通】【变式一】【2017届湖南省衡阳市高三下第二次联考】设等差数列a的前n项和为n S，已n知a 8 1 3a 8 2 ，则下列选项正确的是（）a 3 a ，35 1 3 5 4A.S 1212 ，a a B.5 8S 1224 ，a aC.5 8S 1212 ，a aD.5 8S 12 24 ，a a5 8【答案】A【解析】由a3 a ，5 1 3 5 4 aa 可得：38 1 3 82aaaa，构造函数f(x ) x 3 x，显然函数是奇函3 35 1 3( 5 1) 1, 8 1 3( 8 1) 1数且为增函数，所以f(a 1) 11f(a 1) a1a 1，5 8 5 8a a，又5 8f af a所以(a1) (a 1) 所以 5 8 2( 1) ( 1) 0 a a ，故5 8 5 812(a a)S 6(a a ) 121 1212 5 82【变式二】【”超级全能生”2018届高考全国卷26省9月联考乙卷】已知数列,a b满足n na ab，且对任意的正整数m, n, p,q ，当m n p q时，都有1 1,2 2, 1 112018a b a b，则a b 的值是__________． mn p q ii2018i 1【答案】 2019 【解析】由题意可得ab ab ，21 12b， 2 2ab ab 得 a ，又3122,33abab，n 1 nnn 1a1b 1 aba 1b 10，即 ab ,ab 2a ，原nnnnnnnnn式可化为当 m+n=p+q 时aaaa ，即 a 为等差列， mnpq n12018a n ，ab=nii 2018i 1i 11 201820182a=2019，填2019.ii 1考点 3 等差数列的前 n 项和公式的综合应用【3-1】【2017届陕西省黄陵中学高三（重点班）模拟一】若数列a 满足 na且11593 3 2aa ，则使a a 1 0 的k的值为( )n 1 n k kA. 21B. 22C. 23D. 24 【答案】C【3-2】【2017届浙江嘉兴市高三上基础测试】设等差数列{a}的前n项和为n S，已知na，3 16a，则公差d；S为最大值时的n．6 10n【答案】d2 n 10 或116 3 (6 3) , 10 16 3 , 2 a 3 a 1 (31)d，【解析】a add d，因为16 a 2(2)，1a ， 2 211 20 S nn，当n1 20 S n n，当n n212(1)，由n 得n 10 或11时，S为最大值．n【3-3】【2017届安徽省池州市东至县高三12月联考】已知S 是等差数列a的前n项和，n n且S S S，给出下列五个命题：①d 0 ；②S ；③S ；④数列S中的最6 7 5 n11 0 12 0大项为S；⑤11 a a，其中正确命题的个数为（）6 7A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】B10【领悟技法】求等差数列前 n 项和的最值，常用的方法：1.利用等差数列的单调性或性质，求出其正负转折项，便可求得和的最值．当a 10 ， d时，S 有最大值； na 1 0 ， d0 时，S 有最小值；若已知 a ，则 nnS 最值时 n 的值n（ n N ）则当a， d 0 ，满足10 a0 na的项数 n 使得n 1S 取最大值，(2)当 1 0a，nd0 时，满足an的项数 n 使得an 1S 取最小值.n2.利用等差数列的前 n 项和： SAn 2 Bn (A , B 为常数, n N)为二次函数，通过配方n或借助图像，二次函数的性质，转化为二次函数的最值的方法求解；有时利用数列的单调性（ d0 ,递增； d 0 ，递减）；aa n n 13. 利用数列中最大项和最小项的求法：求最大项的方法：设a 为最大项，则有na an n 1；aa n n 1求最小项的方法：设a 为最小项，则有na an n 1.只需将等差数列的前 n 项和 n 1, 2,3,依次看成数列S，利用数列中最大项和最小项的求法即可.n4.在解含绝对值的数列最值问题时,注意转化思想的应用.【触类旁通】【变式一】【2017浙江卷6】已知等差数列{a n}的公差为d，前n项和为S n，则“d>0”是“S4+ S6>2S5”的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】C11【变式二】【2018届湖北省武汉市部分学校新高三起点调研】设等差数列a满足na 3 a 736，a4a 6 275，且a a 有最小值，则这个最小值为__________．n n 1【答案】-12【解析】因为数列a是等差数列，且a 3 a 7 36，所以a 4 a 6 36 ，na4a 6 275,a4 ,a6 是一元二次方程t 2 36t 275 0 的二根，由t 2 36t 275 0 得t 25t110，t 或a a时，1 25 t2 11，当4 25, 6 11da a6 4 11 2576 4 2，a a时，，当a a4 n 4 d7n53 0, 0n n n 17n 53a a 取得最小值，由{n n n17 1 53 0解得46 53，n 7时，n7 7a a 取得最小n n 1值，此时aaa a，当7 4, 8 3, 1 min 12 aa时，n n4 11, 6 25da a6 4 25 1176 4 2，a a n d n，当n4 4 7 17a0,a 0 时，a n a n 1取n n 17n 17 0得最小值，由{10 17解得，n 2时，a a 取得最小值，此时n n 17 n 1 17n7 7aaa a，故答案为12.2 3,3 4, 1 min 12n n【易错试题常警惕】易错典例：在等差数列a中，已知a1＝20，前n项和为n S，且S10＝S15，求当n取何值n时，S有最大值，并求出它的最大值．n10 × 9 15 × 14 5 【错解一】设公差为d，∵S10＝S15，∴10×20＋d＝15×20＋ d.得d＝－，2 2 35a n＝20－(n－1)· .35 12 × 11 5 当a n＞0时，20－(n－1)·＞0，∴n＜13.∴n＝12时，S n最大，S12＝12×20＋ 2 ×(－3 )3＝130.当n＝12时，S n有最大值S12＝130.125【错解二】由a1＝20，S10＝S15，解得公差d＝－，令3520＋（n－1）(－3 )＞0，①{ 3 )≤0，②)520＋n(－由①得n＜13，由②得n≥12，∴n＝12时，S n有最大值S12＝130.易错分析：错解一中仅解不等式an＞0不能保证Sn最大，也可能an＋1＞0，应有an≥0且an＋1≤0.错解二中仅解an＋1≤0也不能保证Sn最大，也可能an≤0，应保证an≥0才行．10×915×14 正确解析：解法一：∵a1＝20，S10＝S15，∴10×20＋d＝15×20＋ d.∴d＝－225.35 565∴a n＝20＋(n－1)×(－3 )＝－n＋.∴a13＝0.即当n≤12时，a n＞0，n≥14时，a n＜0.3312 × 11 5 ∴当n＝12或13时，S n取得最大值，且最大值为S12＝S13＝12×20＋×＝130.2 (－3 )5 n（n－1） 5 5 125解法二：同解法一，求得d＝－，∴S n＝20n＋·＝－n2＋n2 (－3 )3 6 65 25 2 3 125＝－6(n－＋.∵n∈N*，∴当n＝12或13时，S n有最大值，且最大值为S12＝S13＝2)24130.5解法三：同解法一，求得d＝－，又由S10＝S15，得a11＋a12＋a13＋a14＋a15＝0，3∴5a13＝0，即a13＝0.又a1＞0，∴a1，a2，…，a12均为正数．而a14及以后各项均为负数，∴当n＝12或13时，S n有最大值，且最大值为S12＝S13＝130.温馨提醒：1.解决等差数列前n项和最值问题时一般利用通项不等式组法，即①当a1＞0，d＜an0时，S n最大⇔aa 0n；②当a1＜0，d＞0时，S n最小⇔.a0 n 10 n 12.在关于正整数n的二次函数中其取最值的点要根据正整数距离二次函数的对称轴的远近而定．3.等差数列的基本运算中，容易出现的问题主要有两个方面：一是忽视题中的条件限制，如公差与公比的符号、大小等，导致增解；二是不能灵活利用等差(比)数列的基本性质转化已知条件，导致列出的方程或方程组较为复杂，增大运算量．13【学科素养提升之思想方法篇】----函数思想在数列求最值问题中的应用数列是特殊的函数关系，因此常利用函数的思想解决数列中最值问题1．等差数列的前n项和与函数的关系n(n 1)d d d等差数列的前n项和公式为S nad可变形为Sn＝n2＋n，令A＝，B＝a12 (a1－2)n 12 2d－，则S n＝An2＋Bn.2当A≠0，即d≠0时，S n是关于n的二次函数，(n，S n)在二次函数y＝Ax2＋Bx的图象上，为抛物线y＝Ax2＋Bx上一群孤立的点．利用此性质可解决前n项和S n的最值问题．2．等差数列前n项和的最值(1)若等差数列的首项a1>0，公差d<0，则等差数列是递减数列，正数项有限，前n项和有最大值，且满足Error!(2)若等差数列的首项a1<0，公差d>0，则等差数列是递增数列，负数项有限，前n项和有最小值，且满足Error!3．求等差数列前n项和的最值的方法(1)二次函数法：用求二次函数最值的方法(配方法)求其前n项和的最值，但要注意n∈N*.(2)图象法：利用二次函数图象的对称性来确定n的值，使S n取得最值．(3)项的符号法：当a1>0，d<0时，满足Error!的项数n，使S n取最大值；当a1<0，d>0时，满足Error!的项数n，使S n取最小值，即正项变负项处最大，负项变正项处最小，若有零项，则使S n取最值的n有两个．【典例】【2018届吉林省吉林市五十五中开学考试】已知数列{a}是一个等差数列，且na ， 5 52 1a.（Ⅰ）求{a}的通项n a；n（Ⅱ）求{a}前n项和n S的最大值．n【答案】（1）a 2n 5 ；（2）n S的最大值为4. n【解析】14方得2Sn 24，根据二次函数图象及性质可知，当 n 2 时，前 n 项和取得最大值，n最大值为 4.等差数列前 n 项和 SAn 2Bn 2 ，因此可以看出二次函数或一次函数（ dn时）来求最值，考查数列与函数.a a5 1试题解析：（1） d5 225252，所以a a 2n 2 d1n222n 5；n（2）a ，S3n2n 4nn n 11322当 n 2 时，前 n 项和取得最大值，最大值为 415。

第六章第2讲等差数列及其前n项和

抓住3个考点
突破4个考向
揭秘3年高考
即当 n≤12 时，an＞0，n≥14 时，an＜0. ∴当 n＝12 或 13 时， Sn 取得最大值，且最大值为 S12＝S13 12×11 5 ＝12×20＋ ×－3＝130. 2 5 法二同法一求得 d＝－ . 3
nn－1 5 5 2 125 －＝－ n ＋ n ∴Sn＝20n＋ · 2 6 6 3 252 3 125 5 ＝－ n－ 2 ＋ . 6 24 ∵n∈N*，∴当 n＝12 或 13 时，Sn 有最大值，且最大值为 S12＝S13＝130.
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解
(1)当 n＝1 时，8a1＝a2 1＋4a1＋3，a1＝1 或 a1＝3.
当 n≥2 时，8Sn－1＝a2 n－1＋4an－1＋3， 1 2 则 an＝Sn－Sn－1＝ (an＋4an－a2 n－1－4an－1)， 8 从而(an＋an－1)(an－an－1－4)＝0.
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(2)假设存在符合条件的 a. 由(1)知，an＝4n－3，bn＝5n－1，从而 an－logabn＝4n－3－loga5n
－1
＝4n－3－(n－1)loga5＝(4－loga5)n－3＋loga5. 由题意，得 4－loga5＝0，所以 a＝ 5. 所以满足条件的 a 存在，即 a＝ 5. 4 4
＋78⇒(a1＋a20)＋(a2＋a19)＋(a3＋a18)＝54⇒a1＋a20＝18⇒ a1＋a20 18 S20＝ ×20＝ ×20＝180. 2 2
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(2)令 Sn＝7n2＋45n，则 an＝14n＋38，Tn＝n2＋3n，则 bn＝2n＋2， an 14n＋38 7n＋19 7 1 31 则＝＝＝＋ × ，由 2n＋1∈N*， b2n 4n＋2 2n＋1 2 2 2n＋1 则 2n＋1＝31，n＝15.

等差数列的前N项和公式

等差数列的前N项和公式等差数列是指数列中任意两个相邻项之差保持不变的数列。

前N项和指的是数列前N项之和。

首先，我们来推导等差数列的通项公式。

设等差数列的第一项为a1，公差为d，第n项为an。

根据等差数列的定义可知，第2项为a2 = a1 + d，第3项为a3 = a1 + 2d，以此类推，第n项为an = a1 + (n-1)d。

我们可以把等差数列展开，得到：a1,a1+d,a1+2d,a1+3d,...,a1+(n-2)d,a1+(n-1)d将这些项相加，得到：S=(a1+a1+d+a1+2d+a1+3d+...+a1+(n-2)d+a1+(n-1)d)我们可以将等差数列中的每一项按照公差d进行分组，得到：S=(a1+a1+(n-1)d)+(a1+d+a1+(n-2)d)+(a1+2d+a1+(n-3)d)+...+(a1+(n-2)d+a1+d)+(a1+(n-1)d+a1)根据等差数列的恒等差性质，每一组中的两项之和都等于2a1+(n-1)d。

因此，上式可以进一步化简为：S=n(2a1+(n-1)d)这就是等差数列的前N项和公式，也被称为等差数列求和公式。

为了更好地理解该公式，我们可以举一个具体的例子。

假设有一个等差数列：2,5,8,11,14，求前四项的和。

首先，确定已知量：a1=2(第一项)d=5-2=3(公差)n=4(前四项)代入前N项和公式，可得：S=4(2+(4-1)3)=4(2+3*3)=4(2+9)=4*11=44因此，2,5,8,11的和为44除了使用前N项和公式，我们还可以利用等差数列的性质进行计算。

等差数列可以通过两种方法计算前N项的和：方法一：逐项相加。

通过将每一项相加，可以得到等差数列的前N项和。

在大多数情况下，这种方法适用于较小的N。

方法二：首项加末项乘N除以2、由于等差数列的第一项和最后一项之和等于N，将这两项相加，并乘以N除以2，即可得到前N项和。

这个方法适用于所有的等差数列。

2018版高考数学复习第六章数列6.2等差数列及其前n项和课件理新人教版

思维升华
等差数列的四个判定方法 (1)定义法：证明对任意正整数n都有an＋1－an等于同一个常数. (2)等差中项法：证明对任意正整数n都有2an＋1＝an＋an＋2后，可递推得出an＋2－an＋1＝an＋1－an＝an－an－1＝an－1－an－2＝…＝a2－a1，根据定义得出数列{an}为等差数列. (3)通项公式法：得出an＝pn＋q后，得an＋1－an＝p对任意正整数n恒成立，根据定义判定数列{an}为等差数列. (4)前n项和公式法：得出Sn＝An2＋Bn后，根据Sn，an的关系，得出an，再使用定义法证明数列{an}为等差数列.
∵a3＋a5＝2a4＝0，∴a4＝0. 又a1＝6，∴a4＝a1＋3d＝0，∴d＝－2.
6×6－1 ∴S6＝6×6＋ 2 ×(－2)＝6.
思维升华
等差数列运算问题的通性通法 (1)等差数列运算问题的一般求法是设出首项a1和公差d，然后由通项公式或前n项和公式转化为方程(组)求解. (2)等差数列的通项公式及前n项和公式，共涉及五个量a1，an，d，n， Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想解决问题.
(4)若{an}，{bn}是等差数列，则{pan＋qbn}也是等差数列. (5)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差为 md 的等差数列.
(6)数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…构成等差数列.
5.等差数列的前n项和公式
na1＋an
设等差数列{an}的公差为 d，其前 n 项和 Sn＝
考点自测
1.在等差数列{an}中，若a2＝4，a4＝2，则a6等于答案解析
A.－1
B.0
C.1
D.6
由等差数列的性质，得a6＝2a4－a2＝2×2－4＝0，故选B.

高考备考指南文科数学第6章第2讲等差数列及其前n项

A．671
B．672
C．673
D．674
【答案】D 【解析】因为{an}是首项a1＝1，公差d＝3的等差数列，所以an＝a1＋(n－1)d＝1 ＋(n－1)×3＝3n－2.因为an＝2 020，所以3n－2＝2 020，解得n＝674.故栏目选索引D．
第六章数列
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文科数学
3 ． (2018 年北京模拟 ) 设等差数列 {an} 的前 n 项和为 Sn ，若 a4 ＋ a10 ＝ 4 ，则 S13 ＝
文科数学
【解析】(1)因为数列{an}为等差数列，a1＋a7＋a13＝2π，所以 3a7＝2π，即 a7＝23π. 则 tan a7＝tan23π＝－tanπ3＝－ 3.故选 A．
(2)因为 S10，S20－S10，S30－S20 成等差数列，且 S10＝10，S20＝30，S20－S10＝20，所以 S30－30＝10＋2×10＝30.所以 S30＝60.
(3)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差为
_______m_d________的等差数列．
(4)数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列．
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4．等差数列的前 n 项和公式与函数的关系
Sn＝d2n2＋a1－d2)n.
栏目索引
(2)由(1)可得{an}前 n 项和 Sn＝n12＋22n＋10＝11n＋n2，所以 S3＝11×3＋32＝42.
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等差数列的判定与证明
已知数列{an}中，a1＝35，an＝2－an1－1(n≥2，n∈N*)，数列{bn}满足 bn

2018年高考数学一轮复习：等差数列及其前n项和(讲)

等差数列及其前n 项和【知识清单】一．等差数列的有关概念1.定义：等差数列定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示.用递推公式表示为1(2)n n a a d n --=≥或1(1)n n a a d n +-=≥.2.等差数列的通项公式：1(1)n a a n d =+-；说明：等差数列（通常可称为A P 数列）的单调性：d 0>为递增数列，0d =为常数列，0d < 为递减数列.3.等差中项的概念：定义：如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项,其中2a bA +=. a ，A ，b 成等差数列⇔2a bA +=. 4.等差数列的前n 和的求和公式：11()(1)22n n n a a n n S na d +-==+. 5.要注意概念中的“从第2项起”．如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或第4项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列． 6.注意区分等差数列定义中同一个常数与常数的区别．对点练习：【2017届浙江省温州市二模】在等差数列中，若，则_______.【答案】二、等差数列的前n 项和等差数列的前n 和的求和公式：11()(1)22n n n a a n n S na d +-==+. 对点练习：【2018届浙江省“七彩阳光”联盟高三上期初联考】已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若14k S -=，9k S =，则k a =__________， 1a 的最大值为__________．【答案】 5 4.【解析】15k k k a S S -=-=，因为()1592k k a S +==，又k 的最小值为2，可知1a 的最大值为4.三、等差数列的相关性质 1.等差数列的性质：（1）在等差数列{}n a 中，从第2项起，每一项是它相邻二项的等差中项；（2）在等差数列{}n a 中，相隔等距离的项组成的数列是等差数列，如：1a ，3a ，5a ，7a ，……；3a ，8a ，13a ，18a ，……；（3）在等差数列{}n a 中，对任意m ，n N +∈，()n m a a n m d =+-，n ma a d n m-=-()m n ≠；（4）在等差数列{}n a 中，若m ，n ，p ，q N +∈且m n p q +=+，则m n p q a a a a +=+,特殊地，2m p q=+时，则2m p q a a a =+，m a 是p q a a 、的等差中项.（5）等差数列被均匀分段求和后，得到的数列仍是等差数列，即232,,n n n n n S S S S S --成等差数列. （6）两个等差数列{}n a 与{}n b 的和差的数列{}n n a b ±仍为等差数列．（7）若数列{}n a 是等差数列,则{}n ka 仍为等差数列．2．设数列{}n a 是等差数列，且公差为d ，（Ⅰ）若项数为偶数，设共有2n 项，则①-S S nd =奇偶； ②1n n S a S a +=奇偶；（Ⅱ）若项数为奇数，设共有21n -项，则①S S -偶奇n a a ==中(中间项)；②1S nS n =-奇偶. 3.(),p q a q a p p q ==≠,则0p q a +=,m n m n S S S mnd +=++.4.如果两个等差数列有公共项，那么由它们的公共项顺次组成的新数列也是等差数列，且新等差数列的公差是两个原等差数列公差的最小公倍数．5.若{}n a 与{}n b 为等差数列，且前n 项和分别为n S 与'n S ，则2121'm m m m a S b S --=. 6．等差数列的增减性：0d >时为递增数列，且当10a <时前n 项和n S 有最小值．0d <时为递减数列，且当10a >时前n 项和n S 有最大值．对点练习：1.在等差数列{}n a 中，已知3810a a +=，则753a a += （） A ．10 B ．18 C ．20 D ．28 【答案】C2.已知等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，满足95S S =，且01>a ，则n S 中最大的是（） A ．6S B ．7S C ．8S D ．15S 【答案】B【解析】由95S S =,得()67897820a a a a a a +++=+=,由01>a 知,0,087<>a a ,所以7S 最大，故B 正确.【考点深度剖析】等差数列的性质、通项公式和前n 项和公式构成等差数列的重要内容，在历届高考中必考，既有独立考查的情况，也有与等比数列等其它知识内容综合考查的情况．选择题、填空题、解答题多种题型加以考查．【重点难点突破】考点1 等差数列的定义、通项公式、基本运算【1-1】【2017全国卷1（理）】记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若4524a a +=，68S =，则{}n a 的公差为（）. A ．1B ．2C ．4D ．8【答案】C【1-2】【2017全国卷2（理））】等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，33a =，410S =，则11nk kS ==∑ ．【答案】21nn + 【解析】设{}n a 首项为1a ，公差为d ．则3123a a d =+=，414610S a d =+=，求得11a =，1d =，则n a n =，()12n n n S +=，()()112222122311nk kS n n n n ==++++⨯⨯-+∑11111112122311n n n n ⎛⎫=-+-++-+-= ⎪-+⎝⎭122111n n n ⎛⎫-= ⎪++⎝⎭. 【1-3】【2017届天津市耀华中学二模】已知等差数列{}n a 的前项和为n S ，且2142S=，若记2119132a a a n b --=，则数列{}n b （）A. 是等差数列但不是等比数列B. 是等比数列但不是等差数列C. 既是等差数列又是等比数列D. 既不是等差数列又不是等比数列【答案】C【领悟技法】1．等差数列的四种判断方法(1) 定义法：对于数列{}n a ，若d a a n n =-+1()n N ∈*(常数)，则数列{}n a 是等差数列； (2) 等差中项：对于数列{}n a ，若212+++=n n n a a a ()n N ∈*，则数列{}n a 是等差数列; (3)通项公式：n a pn q =+(,p q 为常数,n N ∈*)⇔{}n a 是等差数列;(4)前n 项和公式：2n S An Bn =+(,A B 为常数, n N ∈*)⇔{}n a 是等差数列;(5){}n a 是等差数列⇔n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列. 2．活用方程思想和化归思想在解有关等差数列的问题时可以考虑化归为1a 和d 等基本量，通过建立方程(组)获得解．即等差数列的通项公式1(1)n a a n d =+-及前n 项和公式11()(1)22n n n a a n n S na d +-==+，共涉及五个量1,,,,n n a d n a S ，知其中三个就能求另外两个,即知三求二，多利用方程组的思想，体现了用方程的思想解决问题,注意要弄准它们的值.运用方程的思想解等差数列是常见题型，解决此类问题需要抓住基本量1a 、d ，掌握好设未知数、列出方程、解方程三个环节，常通过“设而不求，整体代入”来简化运算．3.特殊设法:三个数成等差数列，一般设为,,a d a a d -+；四个数成等差数列，一般设为3,,,3a d a d a d a d --++.这对已知和,求数列各项,运算很方便.4．若判断一个数列既不是等差数列又不是等比数列，只需用123,,a a a 验证即可． 5.等差数列的前n 项和公式若已知首项1a 和末项n a ，则1()2n n n a a S +=，或等差数列{a n }的首项是1a ，公差是d ，则其前n 项和公式为1(1)2n n n S na d -=+. 【触类旁通】【变式一】【2018届甘肃省兰州市西北师范大学附属中学高三一调】在《张丘建算经》有一道题：“今有女子不善织布，逐日所织的布同数递减，初日织五尺，末一日织一尺，计织三十日，问共织布几何？” （） A.尺 B. 尺 C.尺 D.尺【答案】C【变式二】【2018届安徽省合肥市高三调研性检测】数列{}n a 满足1111,021n n n a a a a ++=+=-.（Ⅰ）求证：数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列；（Ⅱ）若数列{}n b 满足1122,1n nn n b a b b a +==+，求{}n b 的前n 项和n S . 【答案】（Ⅰ）证明见解析（Ⅱ）()12326n n S n +=-⋅+【解析】试题分析：（1）先依据题设条件将11021n n n a a a +++=-变形为1112n na a +-=，进而借助等差数列的定义证明数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列；（2）借助（1）的结论可求得()112121n n n a =+-=-,进而依据112n n n n b a b a ++=⋅求得1222n n n n a b -=⨯= 从而求得()212nn b n =-⋅，然后与运用错位相减法求得()12326n n S n +=-⋅+：解：（Ⅰ）若10n a +=，则0n a =，这与11a =矛盾， ∴10n a +≠，由已知得1120n n n n a a a a ++-+=， ∴1112n na a +-=，故数列{}n a 是以111a =为首项，2为公差的等差数列. （Ⅱ）由（Ⅰ）可知，()1112121n n a =+-=-，由112n n n n b ab a ++=⋅可知112n n n n a b a b ++=.又112a b = ∴1222n n n n a b -=⨯= ∴()212nn b n =-⋅， ∴()123123252212n n S n =⋅+⋅+⋅++-⋅，则()23412123252212n n S n +=⋅+⋅+⋅++-⋅，∴()()231122222222123226n n n n S n n ++-=+⋅+⋅++⋅--⋅=-⋅-，∴()12326n n S n +=-⋅+考点2 等差数列的性质【2-1】【河北省武邑中学2018届高三上学期第二次调研数学（理）】数列{}n a 满足112n n n a a a -+=+()2n ≥，且1359a a a ++=， 24612a a a ++=，则345a a a ++=（）A. 9B. 10C. 11D. 12【答案】D【2-2】【云南省昆明一中2018届高三第二次月考】在数列{}n a 中， 28a =， 52a =，且122n n n a a a ++-=（*n N ∈），则1210a a a +++的值是（）A. -10B. 10C. 50D. 70 【答案】C【解析】由122n n n a a a ++-=得122n n n a a a ++=+，即数列{}n a 是等差数列，由2582a a ==，，可得1102a d ==-，，，所以212n a n =-+，，当1n 6≤≤时， 0n a ≥，当7n ≥时， 0n a <，所以1210610250a a a S S +++=-=，选C ．【2-3】【2017届宁夏石嘴山市第三中学高三三模】已知函数()f x 在()1,-+∞上单调,且函数()2y f x =-的图象关于1x =对称,若数列{}n a 是公差不为0的等差数列,且()()5051f a f a =,则{}n a 的前100项的和为( )A. 200-B. 100-C. 0D. 50- 【答案】B【领悟技法】1. 等差数列的性质是等差数列的定义、通项公式以及前n 项和公式等基础知识的推广与变形，熟练掌握和灵活应用这些性质可以有效、方便、快捷地解决许多等差数列问题．2.等差数列的性质多与其下标有关，解题需多注意观察，发现其联系，加以应用, 故应用等差数列的性质解答问题的关键是寻找项的序号之间的关系．3.应用等差数列的性质要注意结合其通项公式、前n 项和公式．4.解综合题的成败在于审清题目，弄懂来龙去脉，透过给定信息的表象，抓住问题的本质，揭示问题的内在联系和隐含条件，明确解题方向、形成解题策略. 【触类旁通】【变式一】【2017届湖南省衡阳市高三下第二次联考】设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知()355134a a -+=， ()388132a a -+=，则下列选项正确的是（）A. 1212S =， 58a a >B. 1224S =， 58a a >C. 1212S =， 58a a <D. 1224S =， 58a a < 【答案】A【解析】由()355134a a -+=， ()388132a a -+=可得：()()33558813(1)1,13(1)1a a a a -+-=-+-=-，构造函数3()f x x x =+，显然函数是奇函数且为增函数，所以5858(1)11(1)11f a f a a a -=>-=-⇒->-， 58a a >，又58(1)(1)0f a f a -+-=所以58(1)(1)a a -=--所以582a a +=，故112125812()6()122a a S a a +==+=【变式二】【”超级全能生”2018届高考全国卷26省9月联考乙卷】已知数列{}{},n n a b 满足1211,2,1a a b ===-，且对任意的正整数m,n,p,q ，当m n p q +=+时，都有m n p q a b a b -=-，则()2018112018i i i a b =∑-的值是__________．【答案】2019【解析】由题意可得2112a b a b -=-， 22b =-， 3122,a b a b -=-得33a =，又11n n n n a b a b ++-=-，11110n n n n a b a b a b +++=+==+=，即,2n n n n n a b a b a =--=，原式可化为当m+n=p+q 时m n p q a a a a +=+，即{}n a 为等差列， n a n =，()2018112018i i i a b =∑-=()20181122018i i a =∑=2019，填2019. 考点3 等差数列的前n 项和公式的综合应用【3-1】【2017届陕西省黄陵中学高三（重点班）模拟一】若数列{}n a 满足115a =且1332n n a a +=-，则使10k k a a +⋅<的k 的值为( )A. 21B. 22C. 23D. 24【答案】C【3-2】【2017届浙江嘉兴市高三上基础测试】设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知316a =，610a =，则公差d = ；n S 为最大值时的n = ．【答案】2d =- 10n =或11【解析】63(63),10163,2a a d d d =+-∴=+∴=-，因为31(31)a a d =+-，1162(2)a ∴=+⨯-，120a ∴=，221n S n n ∴=-+，当212(1)n =-⨯-，由n ∈Z 得10n =或11时，n S 为最大值．【3-3】【2017届安徽省池州市东至县高三12月联考】已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，且675S S S >>，给出下列五个命题：①0d <；②110S >；③120S <；④数列{}n S 中的最大项为11S ；⑤67a a >，其中正确命题的个数为（） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B【领悟技法】求等差数列前n 项和的最值，常用的方法：1.利用等差数列的单调性或性质，求出其正负转折项，便可求得和的最值．当10a >，0d <时，n S 有最大值；10a <，0d >时，n S 有最小值；若已知n a ，则n S 最值时n 的值（n N +∈）则当10a >，0d <，满足100n n a a +≥⎧⎨≤⎩的项数n 使得n S 取最大值，(2)当10a <，0d >时，满足10n n a a +≤⎧⎨≥⎩的项数n 使得n S 取最小值.2.利用等差数列的前n 项和：2n S An Bn =+(,A B 为常数, n N ∈*)为二次函数，通过配方或借助图像，二次函数的性质，转化为二次函数的最值的方法求解；有时利用数列的单调性（0d >,递增；0d <，递减）；3. 利用数列中最大项和最小项的求法：求最大项的方法：设n a 为最大项，则有11n n n n a a a a -+≥⎧⎨≥⎩；求最小项的方法：设n a 为最小项，则有11n n nn a a a a -+≤⎧⎨≤⎩.只需将等差数列的前n 项和1,2,3,n =依次看成数列{}n S ，利用数列中最大项和最小项的求法即可.4.在解含绝对值的数列最值问题时,注意转化思想的应用. 【触类旁通】【变式一】【2017浙江卷6】已知等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，则“d >0”是“S 4 + S 6>2S 5”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【变式二】【2018届湖北省武汉市部分学校新高三起点调研】设等差数列{}n a 满足3736a a +=，46275a a =，且1n n a a +有最小值，则这个最小值为__________．【答案】-12【解析】因为数列{}n a 是等差数列，且3736a a +=，所以4636a a +=，4646275,,a a a a =∴是一元二次方程2362750t t -+=的二根，由2362750t t -+=得()()25110t t --=， 125t ∴=或211t =，当4625,11a a ==时， 6411257642a a d --===--， ()44753n a a n d n ∴=+-=-+，当10,0n n a a +><时， 1n n a a +取得最小值，由()7530{ 71530n n -+>-++<解得465377n <<， 7n ∴=时， 1n n a a +取得最小值，此时()781min 4,3,12n n a a a a +==-=-，当4611,25a a ==时， 6425117642a a d --===-， ()44717n a a n d n ∴=+-=-，当10,0n n a a +时， 1n n a a +取得最小值，由()7170{ 71170n n -<+->解得101777n <<， 2n ∴=时， 1n n a a +取得最小值，此时()231min 3,4,12n n a a a a +=-==-，故答案为12-. 【易错试题常警惕】易错典例：在等差数列{}n a 中，已知a 1＝20，前n 项和为n S ，且S 10＝S 15，求当n 取何值时，n S 有最大值，并求出它的最大值．【错解一】设公差为d ，∵S 10＝S 15，∴10×20＋10×92d ＝15×20＋15×142 d.得d ＝－53，a n ＝20－(n －1)·53. 当a n ＞0时，20－(n －1)·53＞0，∴n＜13.∴n＝12时，S n 最大，S 12＝12×20＋12×112×⎝ ⎛⎭⎪⎫－53＝130. 当n ＝12时，S n 有最大值S 12＝130.【错解二】由a 1＝20，S 10＝S 15，解得公差d ＝－53，令⎩⎪⎨⎪⎧20＋（n －1）⎝ ⎛⎭⎪⎫－53＞0， ①20＋n ⎝ ⎛⎭⎪⎫－53≤0， ② 由①得n ＜13，由②得n≥12，∴n＝12时，S n 有最大值S 12＝130.易错分析：错解一中仅解不等式a n ＞0不能保证S n 最大，也可能a n ＋1＞0，应有a n ≥0且a n ＋1≤0. 错解二中仅解a n ＋1≤0也不能保证S n 最大，也可能a n ≤0，应保证a n ≥0才行．正确解析：解法一：∵a 1＝20，S 10＝S 15，∴10×20＋10×92d ＝15×20＋15×142 d.∴d＝－53. ∴a n ＝20＋(n －1)×⎝ ⎛⎭⎪⎫－53＝－53n ＋653.∴a 13＝0.即当n≤12时，a n ＞0，n≥14时，a n ＜0. ∴当n ＝12或13时，S n 取得最大值，且最大值为S 12＝S 13＝12×20＋12×112×⎝ ⎛⎭⎪⎫－53＝130. 解法二：同解法一，求得d ＝－53，∴S n ＝20n ＋n （n －1）2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－53＝－56n 2＋1256n＝－56⎝ ⎛⎭⎪⎫n －2522＋3 12524.∵n∈N *，∴当n ＝12或13时，S n 有最大值，且最大值为S 12＝S 13＝130. 解法三：同解法一，求得d ＝－53，又由S 10＝S 15，得a 11＋a 12＋a 13＋a 14＋a 15＝0， ∴5a 13＝0，即a 13＝0.又a 1＞0，∴a 1，a 2，…，a 12均为正数．而a 14及以后各项均为负数，∴当n ＝12或13时，S n 有最大值，且最大值为S 12＝S 13＝130.温馨提醒：1.解决等差数列前n 项和最值问题时一般利用通项不等式组法，即①当a 1＞0，d ＜0时，S n 最大⇔100n n a a +≥⎧⎨≤⎩；②当a 1＜0，d ＞0时，S n 最小⇔100n n a a +≤⎧⎨≥⎩.2.在关于正整数n 的二次函数中其取最值的点要根据正整数距离二次函数的对称轴的远近而定．3.等差数列的基本运算中，容易出现的问题主要有两个方面：一是忽视题中的条件限制，如公差与公比的符号、大小等，导致增解；二是不能灵活利用等差(比)数列的基本性质转化已知条件，导致列出的方程或方程组较为复杂，增大运算量．【学科素养提升之思想方法篇】----函数思想在数列求最值问题中的应用数列是特殊的函数关系，因此常利用函数的思想解决数列中最值问题1．等差数列的前n 项和与函数的关系等差数列的前n 项和公式为1(1)2n n n S na d -=+可变形为S n ＝d 2n 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－d 2n ，令A ＝d 2，B ＝a 1－d 2，则S n ＝An 2＋Bn .当A ≠0，即d ≠0时，S n 是关于n 的二次函数，(n ，S n )在二次函数y ＝Ax 2＋Bx 的图象上，为抛物线y ＝Ax 2＋Bx 上一群孤立的点．利用此性质可解决前n 项和S n 的最值问题．2．等差数列前n 项和的最值(1)若等差数列的首项a 1>0，公差d <0，则等差数列是递减数列，正数项有限，前n 项和有最大值，且满足⎩⎪⎨⎪⎧a n ≥0，a n ＋1≤0. (2)若等差数列的首项a 1<0，公差d >0，则等差数列是递增数列，负数项有限，前n 项和有最小值，且满足⎩⎪⎨⎪⎧ a n ≤0，a n ＋1≥0.3．求等差数列前n 项和的最值的方法(1)二次函数法：用求二次函数最值的方法(配方法)求其前n 项和的最值，但要注意n ∈N *.(2)图象法：利用二次函数图象的对称性来确定n 的值，使S n 取得最值．(3)项的符号法：当a 1>0，d <0时，满足⎩⎪⎨⎪⎧ a n ≥0，a n ＋1≤0的项数n ，使S n 取最大值；当a 1<0，d >0时，满足⎩⎪⎨⎪⎧ a n ≤0，a n ＋1≥0的项数n ，使S n 取最小值，即正项变负项处最大，负项变正项处最小，若有零项，则使S n 取最值的n 有两个．【典例】【2018届吉林省吉林市五十五中开学考试】已知数列{}n a 是一个等差数列，且21a =，55a =-. （Ⅰ）求{}n a 的通项n a ；（Ⅱ）求{}n a 前n 项和n S 的最大值．【答案】（1）25n a n =-+；（2）n S 的最大值为4.【解析】方得()224n S n =--+，根据二次函数图象及性质可知，当2n =时，前n 项和取得最大值，最大值为4.等差数列前n 项和22n S An Bn =+，因此可以看出二次函数或一次函数（0d =时）来求最值，考查数列与函数.试题解析：（1）525125252a a d ---===---，所以()()()2212225n a a n d n n =+-=+-⨯-=-+；（2）13a =，()()213242n n n S n n n -=+⨯-=-+ 当2n =时，前n 项和取得最大值，最大值为4。

第2讲-等差数列及其前n项和

第2讲-等差数列学习提纲与学习目标1、掌握等差数列的定义、通项公式和前n项和公式的求法2、熟练掌握等差数列的性质，并能利用这些性质解决相应问题1．等差数列的定义对于数列{}n a ，如果对任意的*1()n n N ≥∈，都有1n n a a d +-=（常数），则称{}n a 为等差数列，常数d 叫这个等差数列的公差。

如,,a b c 三个数成等差数列，则称b 为,a c 的等差中项。

2．等差数列的通项公式若等差数列{}n a 的首项是1a ，公差是d ，则其通项公式为1(1)n a a n d =+-。

3．等差数列的前n 项和公式2111()(1)()2222n n n a a n n d d d S na n a n +-==+=+-；4. 数列{}n a 是等差数列2n S An Bn ⇔=+(,A B 为常数)nS n⇔为等差数列。

5．等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：a n＝a m＋(n－m)d(n，m∈N*)．(2)若m＋n＝p＋q，则a m＋a n＝a p＋a q(m，n，p，q∈N*)．(3)a k，a k＋m，a k＋2m，…(k，m∈N*)是公差为md的等差数列．(4)数列S m，S2m－S m，S3m－S2m，…也是等差数列．(5)S2n－1＝(2n－1)a n.例1（1）（2018全国I ）设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若3243S S S =+，12a =，则=5a A ．12- B ．10- C ．10 D ．12（2）（2017浙江）已知等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为n S ,则“0d >”是465"+2"S S S >的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【解析】（1）32433343332133233()S S S S S a a S S d S d a d a d d =+⇒=-++=+⇒=⇒=⇒+=，因12a =，故3d =-，故51410a a d =+=-，选C 。

2018届高考数学复习数列第2节等差数列及其前n项和课件理

等差数列的性质应用规律根据等差数列的性质求值，首先要对所求值进行分析，然后通过利用等差数列的性质进行转化，逐步向已知条件靠拢，关键是寻找项的序号之间的关系，从而求出所要求的值．但要注意性质运用的条件，如 m＋n＝p＋q，则 am＋an ＝ap＋aq(m，n，p，q∈N*)，只有当序号之和相等、项数相同时才成立．
(3)如奇数个数成等差数列，可设为…，a－2d，a－d，a， a＋d，a＋2d，…(公差为 d)；偶数个数成等差数列，可设为…， a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，…(公差为 2d)．
考点二等差数列的性质——共研型
角度 1：等差数列项的性质及应用
(1)(2016·广东广州毕业班综合测试 ) 设等差数
1．[角度 1](2016·德阳质检)在等差数列{an}中，若 a4＋a6
＋a8＋a10＋a12＝120，则 2a10－a12 的值为(
)
A．20
B．22
C．24
D．28
[解析] ∵{an}为等差数列，∴a4＋a6＋a8＋a10＋a12＝5a8 ＝120，∴a8＝24，∴2a10－a12＝a10＋a10－a12＝a8＋a12－a12 ＝a8＝24.
[解析] (1)设{an}的首项为 a1，公差为 d，则 S9＝9a1＋ 36d＝9(a1＋4d)＝27，∴a1＋4d＝3.又∵a10＝a1＋9d＝8，∴a1 ＝－1，d＝1.∴a100＝a1＋99d＝98.故选 C.
(2)设等差数列{an}的首项为 a1，公差为 d，由 a3＝6，S3＝12，得3aa1＋ 1＋23dd＝＝61，2，解得da＝ 1＝22. ，
[答案] C
2．[角度 2]设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，已知aS2235＝5，

2018高考数学(理)大一轮复习课件：第六章数列第二节等差数列及其前n项和

解析：设等差数列 {an} 的首项为 a1 ，公差为 d ，依题意有 4 2 a ＋ d ＝ 3 a ＋ 9 d ， 1 a1＝3， 1 解得 5 1 2a1＋d＝2， d＝－6，答案：D 4 即甲得3钱，故选 D.
2.[考点一]设 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和，若 a1＝1，公差 d ＝2，Sn＋2－Sn＝36，则 n＝ A． 5 C． 7 B． 6 D． 8 ( )
第二节等差数列及其前n项和
本节主要包括 3 个知识点： 1.等差数列的性质及基本量的计算； 2.等差数列前 n 项和及性质的应用； 3.等差数列的判定与证明.
突破点(一)
基础联通
等差数列的性质及基本量的计算
抓主干知识的“源”与“流”
1．等差数列的有关概念 (1)定义：如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．符号表示为 an＋1－an＝d (n∈N*，d为常数)． (2)等差中项：数列a，A，b成等差数列的充要条件是 a＋b A＝ 2 __________，其中A叫做a，b的等差中项．
2．等差数列的有关公式 (1)通项公式：an＝ a1＋(n－1)d .
na1＋an nn－1 na1＋ 2 d 2 (2)前n项和公式：Sn＝_______________＝__________.
3．等差数列的常用性质 (1)通项公式的推广：an＝am＋ (n－m)d (n，m∈N*)． (2)若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈ N*)，则ak＋al＝ am＋an . (3)若{an}是等差数列，公差为d，则{a2n}也是等差数列，公差为 2d .
能力练通
抓应用体验的“得”与“失”

2018-2019学年高考数学(文)大一轮复习人教版第六章数列第2节等差数列及其前n项和

第2节等差数列及其前n 项和最新考纲 1.理解等差数列的概念；2.掌握等差数列的通项公式与前n 项和公式；3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用等差数列的有关知识解决相应的问题；4.了解等差数列与一次函数的关系.知识梳理1.等差数列的概念(1)如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列.数学语言表达式：a n ＋1－a n ＝d (n ∈N *，d 为常数).(2)若a ，A ，b 成等差数列，则A 叫做a ，b 的等差中项，且A ＝a ＋b 2.2.等差数列的通项公式与前n 项和公式(1)若等差数列{a n }的首项是a 1，公差是d ，则其通项公式为a n ＝a 1＋(n －1)d . 通项公式的推广：a n ＝a m ＋(n －m )d (m ，n ∈N *).(2)等差数列的前n 项和公式S n ＝n （a 1＋a n ）2＝na 1＋n （n －1）2d (其中n ∈N *). 3.等差数列的有关性质已知数列{a n }是等差数列，S n 是{a n }的前n 项和.(1)若m ＋n ＝p ＋q (m ，n ，p ，q ∈N *)，则有a m ＋a n ＝a p ＋a q .(2)若{a n }是等差数列，公差为d ，则a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…(k ，m ∈N *)是公差为md 的等差数列.(3)数列S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…也是等差数列.(4)数列{a n }是等差数列⇔S n ＝An 2＋Bn (A ，B 为常数).4.等差数列的前n 项和的最值在等差数列{a n }中，a 1＞0，d ＜0，则S n 存在最大值；若a 1＜0，d ＞0，则S n 存在最小值.[常用结论与微点提醒]1.已知数列{a n }的通项公式是a n ＝pn ＋q (其中p ，q 为常数)，则数列{a n }一定是等差数列，且公差为p .2.用定义法证明等差数列应注意“从第2项起”，如证明了a n ＋1－a n ＝d (n ≥2)时，应注意验证a 2－a 1是否等于d ，若a 2－a 1≠d ，则数列{a n }不为等差数列.3.等差数列{a n }的单调性：当d ＞0时，{a n }是递增数列；当d ＜0时，{a n }是递减数列；当d ＝0时，{a n }是常数列.诊断自测1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)数列{a n }为等差数列的充要条件是对任意n ∈N *，都有2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2.( )(2)等差数列{a n }的单调性是由公差d 决定的.( )(3)数列{a n }为等差数列的充要条件是其通项公式为n 的一次函数.( )(4)等差数列的前n 项和公式是常数项为0的二次函数.( )解析 (3)若公差d ＝0，则通项公式不是n 的一次函数.(4)若公差d ＝0，则前n 项和不是二次函数.答案 (1)√ (2)√ (3)× (4)×2.在等差数列{a n }中，若a 2＝4，a 4＝2，则a 6等于( )A .－1B .0C .1D .6解析由等差数列的性质，得a 6＝2a 4－a 2＝2×2－4＝0.答案 B3.(2016·全国Ⅰ卷)已知等差数列{a n }前9项的和为27，a 10＝8，则a 100＝( )A .100B .99C .98D .97解析设等差数列{a n }的公差为d ，由已知，得⎩⎨⎧9a 1＋36d ＝27，a 1＋9d ＝8，所以⎩⎨⎧a 1＝－1，d ＝1，所以a 100＝a 1＋99d ＝－1＋99＝98.答案 C4.在等差数列{a n }中，a 1＝7，公差为d ，前n 项和为S n ，当且仅当n ＝8时S n 取得最大值，则d 的取值范围为______.解析由题意知d ＜0且⎩⎨⎧a 8＞0，a 9＜0，即⎩⎨⎧7＋7d ＞0，7＋8d ＜0，解得－1＜d ＜－78.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－78 5.(必修5P68A8改编)在等差数列{a n }中，若a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝450，则a 2＋a 8＝________.解析由等差数列的性质，得a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝5a 5＝450，∴a 5＝90，∴a 2＋a 8＝2a 5＝180.答案 180考点一等差数列基本量的运算【例1】 (1)在数列{a n }中，若a 1＝－2，且对任意的n ∈N *有2a n ＋1＝1＋2a n ，则数列{a n }前10项的和为( )A .2B .10 C.52 D.54(2)(2017·全国Ⅰ卷)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和.若a 4＋a 5＝24，S 6＝48，则{a n }的公差为( )A .1B .2C .4D .8解析 (1)由2a n ＋1＝1＋2a n 得a n ＋1－a n ＝12，所以数列{a n }是首项为－2，公差为12的等差数列，所以S 10＝10×(－2)＋10×（10－1）2×12＝52. (2)设{a n }的公差为d ，首项为a 1，由⎩⎨⎧a 4＋a 5＝24，S 6＝48，得⎩⎨⎧2a 1＋7d ＝24，①6a 1＋15d ＝48，②解得d ＝4.答案 (1)C (2)C规律方法 1.等差数列的通项公式及前n 项和公式共涉及五个量a 1，a n ，d ，n ，S n ，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想来解决问题.2.数列的通项公式和前n 项和公式在解题中起到变量代换作用，而a 1和d 是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法.【训练1】 (1)(2015·全国Ⅰ卷)已知{a n }是公差为1的等差数列，S n 为{a n }的前n 项和.若S 8＝4S 4，则a 10等于( )A.172B.192 C .10 D .12(2)(一题多解)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S 3＝6，S 4＝12，则S 6＝________.解析 (1)由S 8＝4S 4，得8a 1＋8×72×1＝4×⎝ ⎛⎭⎪⎫4a 1＋4×32×1，解得a 1＝12， ∴a 10＝a 1＋9d ＝192.(2)法一设数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，由S 3＝6，S 4＝12，可得⎩⎨⎧S 3＝3a 1＋3d ＝6，S 4＝4a 1＋6d ＝12，解得⎩⎨⎧a 1＝0，d ＝2，即S 6＝6a 1＋15d ＝30.法二由{a n }为等差数列，故可设前n 项和S n ＝An 2＋Bn ，由S 3＝6，S 4＝12可得⎩⎨⎧S 3＝9A ＋3B ＝6，S 4＝16A ＋4B ＝12，解得⎩⎨⎧A ＝1，B ＝－1，即S n ＝n 2－n ，则S 6＝36－6＝30. 答案 (1)B (2)30考点二等差数列的判定与证明(典例迁移)【例2】 (经典母题)若数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a n ＋2S n S n －1＝0(n ≥2)，a 1＝12.(1)求证：⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 成等差数列； (2)求数列{a n }的通项公式.(1)证明当n ≥2时，由a n ＋2S n S n －1＝0，得S n －S n －1＝－2S n S n －1，所以1S n －1S n －1＝2，又1S 1＝1a 1＝2，故⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是首项为2，公差为2的等差数列.(2)解由(1)可得1S n＝2n ，∴S n ＝12n . 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝12n －12（n －1）＝n －1－n 2n （n －1）＝－12n （n －1）. 当n ＝1时，a 1＝12不适合上式.故a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧12，n ＝1，－12n （n －1），n ≥2.【迁移探究1】本例条件不变，判断数列{a n }是否为等差数列，并说明理由. 解因为a n ＝S n －S n －1(n ≥2)，a n ＋2S n S n －1＝0，所以S n －S n －1＋2S n S n －1＝0(n ≥2).所以1S n －1S n －1＝2(n ≥2). 又1S 1＝1a 1＝2，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是以2为首项，2为公差的等差数列.所以1S n＝2＋(n －1)×2＝2n ，故S n ＝12n . 所以当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝12n －12（n －1）＝－12n （n －1），所以a n ＋1＝－12n （n ＋1），又a n ＋1－a n ＝－12n （n ＋1）－－12n （n －1）＝－12n ⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋1－1n －1＝1n （n －1）（n ＋1）. 所以当n ≥2时，a n ＋1－a n 的值不是一个与n 无关的常数，故数列{a n }不是一个等差数列.【迁移探究2】将本例条件“a n ＋2S n S n －1＝0(n ≥2)，a 1＝12”改为“S n (S n －a n )＋2a n ＝0(n ≥2)，a 1＝2”，问题不变，试求解.(1)证明当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1且S n (S n －a n )＋2a n ＝0.∴S n [S n －(S n －S n －1)]＋2(S n －S n －1)＝0，即S n S n －1＋2(S n －S n －1)＝0.即1S n －1S n －1＝12. 又1S 1＝1a 1＝12. 故数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是以首项为12，公差为12的等差数列. (2)解由(1)知1S n＝n 2，∴S n ＝2n ，当n ≥2时， a n ＝S n －S n －1＝－2n （n －1）. 当n ＝1时，a 1＝2不适合上式，故a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，－2n （n －1），n ≥2. 规律方法等差数列的证明方法：(1)定义法：对于n ≥2的任意自然数，验证a n －a n －1为同一常数.(2)等差中项法：验证2a n －1＝a n ＋a n －2(n ≥3，n ∈N *)都成立.考点三等差数列的性质及应用【例3】 (1)(2018·贵阳质检)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 3＋a 9＝16，则S 11＝( )A .88B .48C .96D .176(2)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝9，S 6＝36，则a 7＋a 8＋a 9等于( )A .63B .45C .36D .27解析 (1)依题意得S 11＝11（a 1＋a 11）2＝11（a 3＋a 9）2＝11×162＝88. (2)由{a n }是等差数列，得S 3，S 6－S 3，S 9－S 6为等差数列.即2(S 6－S 3)＝S 3＋(S 9－S 6)，得到S 9－S 6＝2S 6－3S 3＝45.答案 (1)A (2)B规律方法等差数列的常用性质和结论(1)在等差数列{a n }中，若m ＋n ＝p ＋q ＝2k (m ，n ，p ，q ，k ∈N *)，则a m ＋a n ＝a p＋a q ＝2a k .(2)在等差数列{a n }中，数列 S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m 也成等差数列.【训练2】 (1)若一个等差数列前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列的项数为( )A .13B .12C .11D .10(2)设等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，若对任意自然数n 都有S n T n＝2n －34n －3，则a 9b 5＋b 7＋a 3b 8＋b 4的值为________. 解析 (1)因为a 1＋a 2＋a 3＝34，a n －2＋a n －1＋a n ＝146，a 1＋a 2＋a 3＋a n －2＋a n －1＋a n ＝34＋146＝180，又因为a 1＋a n ＝a 2＋a n －1＝a 3＋a n －2，所以3(a 1＋a n )＝180，从而a 1＋a n ＝60，所以S n ＝n （a 1＋a n ）2＝n ×602＝390，即n ＝13. (2)因为{a n }，{b n }为等差数列，所以a 9b 5＋b 7＋a 3b 8＋b 4＝a 92b 6＋a 32b 6＝a 9＋a 32b 6＝a 6b 6. 故a 6b 6＝2a 62b 6＝a 1＋a 11b 1＋b 11＝S 11T 11＝2×11－34×11－3＝1941. 答案 (1)A (2)1941考点四等差数列前n 项和及其最值【例4】 (1)(一题多解)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝13，S 3＝S 11，当S n 最大时，n 的值是( )A .5B .6C .7D .8(2)设数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －10(n ∈N *)，则|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 15|＝________.解析 (1)法一由S 3＝S 11，得a 4＋a 5＋…＋a 11＝0，根据等差数列的性质，可得a 7＋a 8＝0.根据首项等于13可推知这个数列递减，从而得到a 7>0，a 8<0，故n ＝7时S n 最大.法二由S 3＝S 11，可得3a 1＋3d ＝11a 1＋55d ，把a 1＝13代入，得d ＝－2，故S n＝13n －n (n －1)＝－n 2＋14n .根据二次函数的性质，知当n ＝7时S n 最大.(2)由a n ＝2n －10(n ∈N *)知{a n }是以－8为首项，2为公差的等差数列，又由a n ＝2n －10≥0得n ≥5，∴n ≤5时，a n ≤0，当n >5时，a n >0，∴|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 15|＝－(a 1＋a 2＋a 3＋a 4)＋(a 5＋a 6＋…＋a 15)＝20＋110＝130.答案 (1)C (2)130规律方法求等差数列前n 项和的最值，常用的方法：(1)利用等差数列的单调性，求出其正负转折项；(2)利用性质求出其正负转折项，便可求得和的最值；(3)将等差数列的前n 项和S n ＝An 2＋Bn (A ，B 为常数)看作二次函数，根据二次函数的性质求最值.【训练3】 (1)设数列{a n }是公差d ＜0的等差数列，S n 为其前n 项和，若S 6＝5a 1＋10d ，则S n 取最大值时，n 的值为( )A .5B .6C .5或6D .11(2)已知等差数列{a n }的首项a 1＝20，公差d ＝－2，则前n 项和S n 的最大值为________.解析 (1)由题意得S 6＝6a 1＋15d ＝5a 1＋10d ，所以a 6＝0，故当n ＝5或6时，S n 最大.(2)因为等差数列{a n }的首项a 1＝20，公差d ＝－2，S n ＝na 1＋n （n －1）2d ＝20n －n （n －1）2×2 ＝－n 2＋21n ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫n －2122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2122，又因为n ∈N *，所以n ＝10或n ＝11时，S n 取得最大值，最大值为110. 答案 (1)C (2)110基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1.(2018·安徽江南十校联考)已知数列{a n }是等差数列，a 3＋a 13＝20，a 2＝－2，则a 15＝( )A .20B .24C .28D .34 解析由已知，得a 3＋a 13＝2a 8＝20，∴a 8＝10，又a 2＝－2，∴d ＝2，∴a 15＝a 2＋13d ＝－2＋13×2＝24.答案 B2.已知等差数列{a n }的公差为2，项数是偶数，所有奇数项之和为15，所有偶数项之和为25，则这个数列的项数为( )A .10B .20C .30D .40 解析设项数为2n ，则由S 偶－S 奇＝nd 得，25－15＝2n 解得n ＝5，故这个数列的项数为10.答案 A3.(2018·郑州质检)已知⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是等差数列，且a 1＝1，a 4＝4，则a 10＝( ) A .－45B .－54 C.413 D.134 解析设等差数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的公差为d ，由已知，得14＝1＋3d ，解得d ＝－14，所以1a 10＝1＋9×⎝ ⎛⎭⎪⎫－14＝－54，即a 10＝－45. 答案 A4.(2017·全国Ⅲ卷)等差数列{a n }的首项为1，公差不为0.若a 2，a 3，a 6成等比数列，则{a n }前6项的和为( )A .－24B .－3C .3D .8 解析根据题意得a 23＝a 2·a 6，即(a 1＋2d )2＝(a 1＋d )(a 1＋5d )，解得d ＝－2，所以数列{a n }的前6项和为S 6＝6a 1＋6×52d ＝1×6＋6×52×(－2)＝－24.答案 A5.(2018·东北三省三校联考)已知数列{a n }是等差数列，满足a 1＋2a 2＝S 5，下列结论中错误的是( )A .S 9＝0B .S 5最小C .S 3＝S 6D .a 5＝0解析由题意知a 1＋2(a 1＋d )＝5a 1＋5×42d ，则a 5＝0，∴a 4＋a 6＝0，∴S 3＝S 6，且S 9＝9a 5＝0，故选B.答案 B二、填空题6.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 10＝10，S 20＝30，则S 30＝________. 解析 ∵S 10，S 20－S 10，S 30－S 20成等差数列，且S 10＝10，S 20＝30，S 20－S 10＝20，∴S 30－30＝10＋2×10＝30，∴S 30＝60.答案 607.正项数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝2，2a 2n ＝a 2n ＋1＋a 2n －1(n ∈N *，n ≥2)，则a 7＝________.解析由2a 2n ＝a 2n ＋1＋a 2n －1(n ∈N *，n ≥2)，可得数列{a 2n }是等差数列，公差d ＝a 22－a 21＝3，首项a 21＝1，所以a 2n ＝1＋3(n －1)＝3n －2，∴a n ＝3n －2，∴a 7＝19.答案 198.已知{a n }，{b n }都是等差数列，若a 1＋b 10＝9，a 3＋b 8＝15，则a 5＋b 6＝________.解析因为{a n }，{b n }都是等差数列，所以2a 3＝a 1＋a 5，2b 8＝b 10＋b 6，所以2(a 3＋b 8)＝(a 1＋b 10)＋(a 5＋b 6)，即2×15＝9＋(a 5＋b 6)，解得a 5＋a 6＝21. 答案 21三、解答题9.(2016·全国Ⅱ卷)等差数列{a n }中，a 3＋a 4＝4，a 5＋a 7＝6.(1)求{a n }的通项公式；(2)设b n ＝[a n ]，求数列{b n }的前10项和，其中[x ]表示不超过x 的最大整数，如[0.9]＝0，[2.6]＝2.解 (1)设数列{a n }首项为a 1，公差为d ，由题意得⎩⎨⎧2a 1＋5d ＝4，a 1＋5d ＝3.解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝25. 所以{a n }的通项公式为a n ＝2n ＋35.(2)由(1)知，b n ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2n ＋35.当n ＝1，2，3时，1≤2n ＋35<2，b n ＝1；当n ＝4，5时，2≤2n ＋35<3，b n ＝2；当n ＝6，7，8时，3≤2n ＋35<4，b n ＝3；当n ＝9，10时，4≤2n ＋35<5，b n ＝4.所以数列{b n }的前10项和为1×3＋2×2＋3×3＋4×2＝24.10.(2018·桂林、百色、崇左调研)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝2n －1(n ∈N *).(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝log 4a n ＋1，求{b n }的前n 项和T n .解 (1)当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n －1，当n ＝1时，a 1＝2－1＝1，满足a n ＝2n －1，∴数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －1(n ∈N *).(2)由(1)得，b n ＝log 4a n ＋1＝n ＋12，则b n ＋1－b n ＝n ＋22－n ＋12＝12，∴数列{b n }是首项为1，公差d ＝12的等差数列，∴T n ＝nb 1＋n （n －1）2d ＝n 2＋3n 4. 能力提升题组(建议用时：20分钟)11.(2017·石家庄模拟)已知正项等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 12＝24，则a 6·a 7的最大值为( )A .36B .6C .4D .2解析在等差数列{a n }中，∵S 12＝6(a 6＋a 7)＝24，∴a 6＋a 7＝4，又a 6>0，a 7>0，∴a 6·a 7≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a 6＋a 722＝4，当且仅当a 6＝a 7＝2时，“＝”成立.故a 6·a 7的最大值为4.答案 C12.(2018·河南百校联盟联考)我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤，问次一尺各重几何？”意思是：“现有一根金杖，长5尺，一头粗，一头细，在粗的一端截下1尺，重4斤；在细的一端截下1尺，重2斤；问依次每一尺各重多少斤？”设该金杖由细到粗是均匀变化的，其重量为M ，现将该金杖截成长度相等的10段，记第i 段的重量为a i (i ＝1，2，…，10)，且a 1<a 2…<a 10，若48a i ＝5M ，则i ＝________. 解析根据题意知，由细到粗每段的重量成等差数列，记为{a n }，设公差为d ，则⎩⎨⎧a 1＋a 2＝2，a 9＋a 10＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1516，d ＝18.所以该金杖的总重量M ＝10×1516＋10×92×18＝15，因为48a i ＝5M ，所以48⎣⎢⎡⎦⎥⎤1516＋（i －1）×18＝75，即39＋6i ＝75，解得i ＝6. 答案 613.(2018·康杰中学、晋城一中联考)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a n ≠0，a 1＝1，且2a n a n ＋1＝4S n －3(n ∈N *).(1)求a 2的值并证明：a n ＋2－a n ＝2；(2)求数列{a n }的通项公式.解 (1)令n ＝1得2a 1a 2＝4S 1－3，又a 1＝1，∴a 2＝12.2a n a n ＋1＝4S n －3，①2a n ＋1a n ＋2＝4S n ＋1－3.②②－①得，2a n ＋1(a n ＋2－a n )＝4a n ＋1.∵a n ≠0，∴a n ＋2－a n ＝2.(2)由(1)可知：数列a 1，a 3，a 5，…，a 2k －1，…为等差数列，公差为2，首项为1，∴a 2k －1＝1＋2(k －1)＝2k －1，当n 为奇数时，a n ＝n .数列a 2，a 4，a 6，…，a 2k ，…为等差数列，公差为2，首项为12，∴a 2k ＝12＋2(k －1)＝2k －32，则当n 为偶数时，a n ＝n －32.综上所述，a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧n ，n 为奇数，n －32，n 为偶数.。

2018高考数学考点突破--等差数列及其前n项和附解析

2018高考数学考点突破--等差数列及其前n项和（附解析）等差数列及其前n项和【考点梳理】1．等差数列的有关概念(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．用符号表示为an＋1－an＝d(n∈N*，d为常数)．(2)等差中项：数列a，A，b成等差数列的充要条件是A ＝a＋b2，其中A叫做a，b的等差中项．2．等差数列的有关公式(1)通项公式：an＝a1＋(n－1)d，an＝am＋(n－m)d.(2)前n项和公式：Sn＝na1＋nn－1d2＝na1＋an2.3．等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)．(2)若为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则ak＋al＝am＋an.(3)若是等差数列，公差为d，则也是等差数列，公差为2d.(4)若，是等差数列，则{pan＋qbn}也是等差数列．(5)若是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差为md的等差数列．【考点突破】考点一、等差数列的基本运算【例1】(1)已知是公差为1的等差数列，Sn为的前n项和，若S8＝4S4，则a10＝()A.172B.192C．10D．12(2)设等差数列的前n项和为Sn，S11＝22，a4＝－12，若am＝30，则m＝()A．9B．10C．11D．15答案](1)B(2)B解析](1)∵公差为1，∴S8＝8a1＋8×8－12×1＝8a1＋28，S4＝4a1＋6.∵S8＝4S4，∴8a1＋28＝4(4a1＋6)，解得a1＝12，∴a10＝a1＋9d＝12＋9＝192.(2)设等差数列的公差为d，依题意S11＝11a1＋11×11－12d＝22，a4＝a1＋3d＝－12，解得a1＝－33，d＝7，∴am＝a1＋(m－1)d＝7m－40＝30，∴m＝10.【类题通法】1.等差数列的通项公式及前n项和公式，共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知三求二，体现了方程思想的应用．2．数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换作用，而a1和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法，称为基本量法．【对点训练】1.(1)已知等差数列的前n项和为Sn，且满足S33－S22＝1，则数列的公差是()A.12B．1C．2D．3(2)设Sn为等差数列的前n项和，a12＝－8，S9＝－9，则S16＝__________.答案](1)C(2)－72解析](1)∵Sn＝na1＋an2，∴Snn＝a1＋an2，又S33－S22＝1，得a1＋a32－a1＋a22＝1，即a3－a2＝2，∴数列的公差为2.(2)设等差数列的首项为a1，公差为d，由已知，得a12＝a1＋11d＝－8，S9＝9a1＋9d×82＝－9，解得a1＝3，d＝－1.∴S16＝16×3＋16×152×(－1)＝－72.考点二、等差数列的判定与证明【例2】已知数列中，a1＝35，an＝2－1an－1(n≥2，n∈N*)，数列满足bn＝1an－1(n∈N*)．(1)求证：数列是等差数列．(2)求数列中的通项公式an.解析](1)证明：因为an＝2－1an－1(n≥2，n∈N*)，bn＝1an－1.所以n≥2时，bn－bn－1＝1an－1－1an－1－1＝12－1an－1－1－1an－1－1＝an－1an－1－1－1an－1－1＝1.又b1＝1a1－1＝－52，所以数列是以－52为首项，1为公差的等差数列. (2)由(1)知，bn＝n－72，则an＝1＋1bn＝1＋22n－7.【类题通法】1.判断等差数列的解答题，常用定义法和等差中项法，而通项公式法和前n项和公式法主要适用于选择题、填空题中的简单判断．2．用定义证明等差数列时，常采用两个式子an＋1－an ＝d和an－an－1＝d，但它们的意义不同，后者必须加上“n≥2”，否则n＝1时，a0无定义．【对点训练】2．(1)若是公差为1的等差数列，则{a2n－1＋2a2n}是() A．公差为3的等差数列B．公差为4的等差数列C．公差为6的等差数列D．公差为9的等差数列(2)在数列中，若a1＝1，a2＝12，2an＋1＝1an＋1an＋2(n∈N*)，则该数列的通项为()A．an＝1nB．an＝2n＋1C．an＝2n＋2D．an＝3n答案](1)C(2)A解析](1)∵a2n－1＋2a2n－(a2n－3＋2a2n－2)＝(a2n－1－a2n－3)＋2(a2n－a2n－2)＝2＋2×2＝6，∴{a2n－1＋2a2n}是公差为6的等差数列．(2)由已知式2an＋1＝1an＋1an＋2可得1an＋1－1an＝1an＋2－1an＋1，知1an是首项为1a1＝1，公差为1a2－1a1＝2－1＝1的等差数列，所以1an＝n，即an＝1n. 考点三、等差数列的性质与最值【例3】(1)如图所示的数阵中，每行、每列的三个数均成等差数列，如果数阵中所有数之和等于63，那么a52＝()a41a42a43a51a52a53a61a62a63A．2B．8C．7D．4(2)等差数列中，设Sn为其前n项和，且a10，S3＝S11，则当n为多少时，Sn取得最大值．答案](1)C(2)n＝7解析](1)法一：第一行三数成等差数列，由等差中项的性质有a41＋a42＋a43＝3a42，同理第二行也有a51＋a52＋a53＝3a52，第三行也有a61＋a62＋a63＝3a62，又每列也成等差数列，所以对于第二列，有a42＋a52＋a62＝3a52，所以a41＋a42＋a43＋a51＋a52＋a53＋a61＋a62＋a63＝3a42＋3a52＋3a62＝3×3a52＝63，所以a52＝7，故选C.法二：由于每行每列都成等差数列，不妨取特殊情况，即这9个数均相同，显然满足题意，所以有63÷9＝7，即a52＝7，故选C.(2)法一：由S3＝S11，可得3a1＋3×22d＝11a1＋11×102d，即d＝－213a1.从而Sn＝d2n2＋a1－d2n＝－a113(n－7)2＋4913a1，因为a10，所以－a1130.故当n＝7时，Sn最大.法二：由法一可知，d＝－213a1.要使Sn最大，则有an≥0，an＋1≤0，即a1＋n－1－213a1≥0，a1＋n－213a1≤0，解得6.5≤n≤7.5，故当n＝7时，Sn最大.法三：由S3＝S11，可得2a1＋13d＝0，即(a1＋6d)＋(a1＋7d)＝0，故a7＋a8＝0，又由a10，S3＝S11可知d0，所以a70，a80，所以当n＝7时，Sn最大.【类题通法】1.等差数列的性质(1)项的性质：在等差数列中，am－an＝(m－n)d⇔am－anm－n＝d(m≠n)，其几何意义是点(n，an)，(m，am)所在直线的斜率等于等差数列的公差．(2)和的性质：在等差数列中，Sn为其前n项和，则①S2n＝n(a1＋a2n)＝…＝n(an＋an＋1)；②S2n－1＝(2n－1)an.2．求等差数列前n项和Sn最值的两种方法(1)函数法：利用等差数列前n项和的函数表达式Sn＝an2＋bn，通过配方或借助图象求二次函数最值的方法求解．(2)邻项变号法：①当a10，d0时，满足am≥0，am＋1≤0的项数m使得Sn取得最大值为Sm；②当a10，d0时，满足am≤0，am＋1≥0的项数m使得Sn取得最小值为Sm.【对点训练】3．(1)在等差数列中，a3＋a9＝27－a6，Sn表示数列的前n项和，则S11＝()A．18B．99C．198D．297(2)设等差数列的前n项和为Sn，且S5＝10，S10＝30，则S15＝()A．60B．70C．90D．40答案](1)B(2)A解析](1)因为a3＋a9＝27－a6,2a6＝a3＋a9，所以3a6＝27，所以a6＝9，所以S11＝112(a1＋a11)＝11a6＝99.(2)因为数列为等差数列，所以S5，S10－S5，S15－S10也成等差数列，设S15＝x，则10,20，x－30成等差数列，所以2×20＝10＋(x－30)，所以x＝60，即S15＝60.。

2018届高考 第六章 第2讲等差数列的前n项和

2018高考数学考点突破数列：等差数列及其前n项和 含解

2018课标版理数一轮（6）第六章-数列（含答案）2第二节等差数列及其前n项和夯基提能作业本

2018届高三数学一轮复习第六章数列第二节等差数列及其前n项和课件理

数学(文)一轮教学案：第六章第2讲 等差数列及前n项和 Word版含解析