织金二中高三数学第一轮复习测试题函数、基本初等函数

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织金二中高三数学第一轮复习测试题(函数、基本初等函数)参考答案

织金二中高三数学第一轮复习测试题(函数、基本初等函数)参考答案work Information Technology Company.2020YEAR织金二中高三数学第一轮复习测试题（二）参考答案一、选择题：1.解析：⎩⎪⎨⎪⎧ 9－x 2≥0，x ＋1>0，x ＋1≠1，∴－1<x <0或0<x ≤3.答案：C 2.解析：依题意得，当x ≤0时，f (x )＝2x＋13sin3t |π60＝2x ＋13，故f (2 012)＝f (4×503)＝f (0)＝20＋13＝43，选B. 答案：B3.解析：由已知得0≤16－3x <16,0≤16－3x <16＝4，即函数y ＝16－3x 的值域是[0,4)．答案：C4.解析：B 、C 在(0，＋∞)上为减函数，D 在(0,1)上减，(1，＋∞)上增．故选A.答案：A5.解析：由f (x )＝f (－x －6)得f (x )的图象关于直线x ＝－3对称，当x ≥－3时，f (x )是增函数，f (－1)<0<f (0)，因此，在区间[－3，＋∞)上使f (x )＝0的x 0∈(－1,0)，相应的整数k ＝0；由对称性，在(－∞，－3)上使f (x )＝0的－6－x 0∈(－6，－5)，相应的整数k ＝－5.∴k 的取值集合是{－5,0}．答案：C6.解析：a ＝21.1>b ＝20.6>1，又c ＝log 54<1，∴c <b <a .答案：C7.解析：∵log 12(x 2－kx ＋3)>0在[1,2]上恒成立，∴0<x 2－kx ＋3<1在[1,2]上恒成立，∴⎩⎪⎨⎪⎧ k <x ＋3x k >x ＋2x 在[1,2]上恒成立又当1≤x ≤2时，y ＝x ＋3x ∈[23，4]，y ＝x ＋2x ∈[22，3]．∴3<k <2 3.答案：D8.解析：设幂函数为y ＝x α，∵其图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，14，∴14＝2α， ∴α＝－2，∴该函数为y ＝x －2，∴其单调增区间为(－∞，0)．答案：D9.解析：∵f (x )＝ax 2＋2x ＋c 的值域是[0，＋∞)．∴⎩⎨⎧ a >0，Δ＝4－4ac ＝0，即⎩⎨⎧ a >0，ac ＝1， ∴a ＋1c ＋c ＋1a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a c ＋c a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1c ＋1a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a c ＋c a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a ≥2a c ·c a ＋2a ·1a ＝4.当且仅当a ＝c ＝1时，取等号．答案：A10.解析：因y ＝－15x ＝－5－x ，所以关于原点对称．答案：B 11.解析：y ＝lg|x ＋1|x ＋1的图象可以看作是由函数y ＝lg|x |x 的图象向左平移1个单位而得到的，函数y ＝lg|x |x 的图象关于原点对称，所以 y ＝lg|x ＋1|x ＋1的图象关于点(－1,0)对称，排除A 、B ，而当x ＝9时，y ＝110＞0，排除C ，选择D.答案：D12.解析：函数f (x )，g (x )，h (x )的零点即为方程2x ＝－x ，ln x ＝－x ，－x －1＝－x 的根，画出y ＝2x ，y ＝ln x ，y ＝－x ，y ＝－x －1的图象如图所示，由图象得x 1<x 2<x 3.答案：B二、填空题：13.解析：令2x ＋1＝t ，则x ＝t －12，∴f (t )＝3t －32－2，即f (x )＝32x －72，又32a －72＝4，∴a ＝5.答案：514.解析：据已知可得⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－9≥0，log 2(x －1)≠0，x －1>0，不等式的解集即为函数的定义域．可得x ≥3.答案：[3，＋∞)15.解析：若m ＝0，则f (x )＝x －43的定义域为R ；若m ≠0，则须满足分母对应函数的Δ＝16m 2－12m <0，得0<m <34，综上可知，所求的实数m 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，34. 答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，34 16.解析：解法一：根据条件可得f (3)＝f (2＋1)＝f (－2＋1)＝f (－1)＝－f (1)＝－1.解法二：使用特例法，寻求函数模型，令f (x )＝sin π2x ；则f (x ＋1)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2x ＋π2＝cos π2x ，满足以上条件，所以f (3)＝sin 3π2＝－1.答案：－1三、解答题：17.解析：(1)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧c ＝0，a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＋c ＝ax 2＋bx ＋c ＋x ＋1，整理得⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＋b ＝b ＋1，a ≠0，a ＋b ＝1，c ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝12，b ＝12，c ＝0，∴f (x )＝12x 2＋12x . (2)由(1)知y ＝f (x 2－2)＝12(x 2－2)2＋12(x 2－2) ＝12(x 4－3x 2＋2)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－322－18，当x 2＝32时，y 取最小值－18，故函数值域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－18，＋∞. 18. 解析：∵函数y ＝a ·2x －1－a 2x －1，∴y ＝a －12x －1. (1) ∵y ＝－12－12x －1， ∴2x －1≠0，即x ≠0.∴函数y ＝－12－12x －1的定义域为{x |x ≠0}． (2) 由奇函数的定义，可得f (－x )＋f (x )＝0，即a －12－x －1＋a －12x －1＝0， ∴2a ＋1－2x 1－2x ＝0，∴a ＝－12. 19.解析：(1)函数f (x )＝log 12(a 2－3a ＋3)x 的定义域为R .又f (－x )＝log 12(a 2－3a ＋3)-x＝－log 12(a 2－3a ＋3)x ＝－f (x )，所以函数f (x )是奇函数．(2)函数f (x )＝log 12(a 2－3a ＋3)x 在(－∞，＋∞)上为减函数，则y ＝(a 2－3a ＋3)x 在(－∞，＋∞)上为增函数，由指数函数的单调性，有a 2－3a ＋3>1，解得a <1或a >2.所以a 的取值范围是(－∞，1)∪(2，＋∞)．20.解析：(1)f (x )＝log a (x ＋1)－log a (1－x )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，1－x >0，解得－1<x <1. 故所求定义域为{x |－1<x <1}．(2)f (x )为奇函数．证明如下：由(1)知f (x )的定义域为{x |－1<x <1}，且f (－x )＝log a (－x ＋1)－log a (1＋x )＝－[log a (x ＋1)－log a (1－x )]＝－f (x )．故f (x )为奇函数．21.解析：(1)设x <0，则－x >0，所以f (－x )＝－(－x )2＋2(－x )＝－x 2－2x .又f (x )为奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，于是x <0时，f (x )＝x 2＋2x ＝x 2＋mx ，所以m ＝2.(2)要使f (x )在[－1，a －2]上单调递增，结合f (x )的图象知⎩⎪⎨⎪⎧a －2>－1，a －2≤1，所以1<a ≤3，故实数a 的取值范围是(1,3]．22.解析：(1)∵f ′(x )＝a sin x ＋ax cos x －sin x ＝(a －1)sin x ＋ax cos x ， f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝(a －1)·22＋π4·a ·22＝2π8， ∴a ＝1，f ′(x )＝x cos x .当f ′(x )>0时，－π<x <－π2或0<x <π2；当f ′(x )<0时，－π2<x <0或π2<x <π，∴f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π，－π2，⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上单调递增；在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上单调递减． (2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，f (x )单调递增，∴f (x )min ＝f (0)＝1，则只需g (x )≥1在x ∈[0，＋∞)上恒成立即可．g ′(x )＝m ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋m －2m (mx ＋1)(x ＋1)2(x ≥0，m >0)， ①当m ≥2时，m －2m ≥0，∴g ′(x )≥0在[0，＋∞)上恒成立，即g (x )在[0，＋∞)上单调递增，又g (0)＝1，∴g (x )≥1在x ∈[0，＋∞)上恒成立，故m ≥2时成立．②当0<m <2时，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0， 2－m m 时，g ′(x )<0，此时g (x )单调递减，∴g (x )<g (0)＝1，故0<m <2时不成立．综上m ≥2.☆说明：如上如所示。

新教材老高考适用2023高考数学一轮总复习单元质检卷二函数与基本初等函数北师大版(含答案)

新教材老高考适用2023高考数学一轮总复习：单元质检卷二函数与基本初等函数(时间:120分钟满分:150分)一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2021山东潍坊高三期中)若函数f(x)=axx+a的定义域是{x|x∈R,x≠2},则函数f(x)的值域为()A.(-∞,-2)∪(-2,+∞)B.(-∞,2)∪(2,+∞)C.(-∞,-2)D.(-2,+∞)2.(2021天津和平高三期中)若2a=3b=6,则1a2+1ab+1b=()A.1B.16C.32D.653.(2021江苏南京高三月考)函数y=4x-6·2x+8的所有零点的和等于()A.8B.6C.3D.24.(2021湖南师大附中高三期中)若f(x)是R上周期为5的奇函数,且满足f(1)=1,f(2)=2,则f(-12)-f(4)等于()A.-2B.2C.-1D.15.(2021广东佛山高三月考)已知函数f(x)=ln|x|+e x+e-x,则f-13,f12,f14的大小关系是()A.f-13>f14>f12B.f14>f-13>f12C.f12>f-13>f14D.f12>f14>f -136.已知函数f (x )=x 2-2ax+a 在区间[0,3]上的最小值为-2,则实数a 的值为( ) A.-2 B.-2或115 C.-2或1D.±27.(2021山东省实验中学高三二模)中国科学院院士吴文俊在研究中国古代数学家刘徽著作的基础上,把刘徽常用的方法概括为“出入相补原理”:一个图形不论是平面的还是立体的,都可以切割成有限多块,这有限多块经过移动再组合成另一个图形,则后一图形的面积或体积保持不变.利用这个原理,解决下面问题:已知函数f (x )满足f (4-x )=f (x ),且当x ∈[0,2]时的解析式为f (x )={-log 2(2-x),0≤x ≤1,log 2x,1<x ≤2,则函数y=f (x )在[0,4]上的图象与直线y=-1围成的封闭图形的面积是( ) A.2 B.2log 23 C.4D.4log 238.(2021湖北宜昌高三期末)已知函数f (x )=ln(x-2)+ln(4-x ),则( ) A.f (x )的图象关于直线x=3对称 B.f (x )的图象关于点(3,0)对称 C.f (x )在(2,4)上单调递增 D.f (x )在(2,4)上单调递减9.下列函数中,既是偶函数,又在区间(0,+∞)上单调递减的函数是( ) A.y=x 3B.y=ln 1|x| C.y=2|x|D.y=cos x10.定义一种运算:a b={a,a ≥b,b,a <b,设f (x )=(5+2x-x 2) |x-1|,则下列结论错误的是( )A.f (x )的图象关于直线x=1对称B.f (x )的图象与直线y=5有三个公共点C.f (x )的单调递减区间是(-∞,-1]和[1,3]D.f(x)的最小值是211.已知函数y=a x(a>0且a≠1)的图象如图,则下列四个函数图象与函数解析式对应错误的是()12.设函数f(x)=sinπxx2-x+1,则下列说法错误的是()A.f(x)的最大值为43B.|f(x)|≤5|x|C.曲线y=f(x)存在对称轴D.曲线y=f(x)存在对称中心二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.(2021福建三明高三三模)能够说明“若ax >ay,a<0,则x>y”是假命题的一组整数x,y的值依次为.14.函数f(x)=a x+5-2(a>0,a≠1)的图象恒过定点P,则点P的坐标为.15.(2021辽宁锦州高三模拟)函数y=21−x的图象与函数y=4sin πx(-4≤x≤6)的图象所有交点的横坐标之和为.16.(2021山东济南高三期中)已知函数f(x)=x,g(x)=ax2-x,其中a>1.若∀x1∈[1,3],∃x2∈[1,3],使得f(x1)f(x2)=g(x1)g(x2)成立,则实数a=.三、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10分)(2021江苏镇江高三月考)已知幂函数f(x)=(m-1)2x m2-4m+2在(0,+∞)上单调递增,函数g(x)=2x-k.(1)求实数m的值;(2)当x∈[1,2]时,记f(x),g(x)的值域分别为集合A,B,若A∪B=A,求实数k的取值范围.18.(12分)(2021山东烟台高三期中)已知函数f(x)={log14(x+3),−3<x≤1,(12)x+a,x>1,(1)若函数f(x)在定义域上是单调函数,求实数a的取值范围;(2)若函数f(x)的值域为[-1,+∞),求实数a的取值范围.19.(12分)已知命题p:函数f(x)=|x+2c|在[-1,+∞)上单调递增;命题q:函数g(x)=cxx2+1-a(a>0)有零点.(1)当a=2时,命题p和q均为真命题,求实数c的取值范围;(2)若“p为真命题”是“q为真命题”的充分不必要条件,求实数a的取值范围.20.(12分)(2021上海格致中学高三三模)“弗格指数f=log a x+bx-b”是用来衡量地区内居民收益差距的一个经济指标,其中b是该地区的最低保障收入系数,a是该地区收入中位系数,x是该地区收入均值系数.经换算后,a,b,x都是大于1的实数,当f∈(1,2)时,该地区收入均衡性最为稳定.(1)指出函数g(x)=f=log a x+bx-b的定义域与单调性(不用证明),并说明其实际意义.经测算,某地区的“弗格指数”为0.89,收入均值系数为3.15,收入中位系数为2.17,则该地区的最低保障收入系数为多少(参考数据:2.170.89≈2)?(2)要使该地区收入均衡性最为稳定,求该地区收入均值系数的取值范围(用a,b表示).21.(12分)(2021浙江高三月考)已知函数f(x)=(x-1)·|x-a|.(1)若a=2,求f (x )在0,52上的最大值;(2)已知函数g (x )=f (x )+|x-a|-x+a-m ,若存在实数a ∈(-1,2],使得函数g (x )有三个零点,求实数m 的取值范围.22.(12分)(2021山东淄博高三期末)已知函数f (x )=log a (a x+1)+bx (a>0且a ≠1,b ∈R )是偶函数,函数g (x )=a x(a>0且a ≠1). (1)求实数b 的值;(2)若函数h (x )=f (x )-12x-a 有零点,求实数a 的取值范围.单元质检卷二函数与基本初等函数1.A 解析:由x+a ≠0得x ≠-a ,因此a=-2,所以f (x )=-2-4x -2,由于4x -2≠0,因此-2-4x -2≠-2,即函数f (x )的值域为(-∞,-2)∪(-2,+∞),故选A .2.A 解析:由于2a=3b=6,所以a=log 26,b=log 36,因此1a =log 62,1b =log 63,则1a +1b =1,于是1a 2+1ab +1b =1a 1a+1b +1b =1a +1b =1,故选A . 3.C 解析:令y=4x-6·2x+8=0得(2x-4)(2x-2)=0,所以2x=4或2x=2,解得函数的零点为x 1=2,x 2=1,故零点之和等于3.4.C 解析:若f (x )是R 上周期为5的奇函数,则f (-x )=-f (x ),f (x+5)=f (x ),所以f (-12)=-f (12)=-f (2)=-2,f (4)=f (-1)=-f (1)=-1,所以f (-12)-f (4)=-2-(-1)=-1,故选C .5.C 解析:由f (-x )=ln |-x|+e -x+e-(-x )=ln |x|+e x +e -x =f (x )且f (x )的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),即f (x )为偶函数,所以当x>0时,f (x )=ln x+e x +e -x ,则f'(x )=1x +e 2x -1e x>0,即f (x )在(0,+∞)上单调递增,所以f -13=f13,而14<13<12,故f14<f -13<f12,故选C .6.D 解析:函数f (x )=x 2-2ax+a=(x-a )2-a 2+a ,当a ≤0时,函数在区间[0,3]上单调递增,函数的最小值f (0)=a=-2,符合题意;当0<a<3时,函数在区间[0,3]上的最小值f (a )=-a 2+a=-2,解得a=-1(舍)或a=2,所以a=2;当a ≥3时,函数在区间[0,3]上单调递减,函数的最小值f (3)=9-6a+a=-2,解得a=115,不合题意,综上可知a=±2,故选D .7.C 解析:由题意知f (x )关于直线x=2对称,而f (x )={-log 2(2-x),0≤x ≤1,log 2x,1<x ≤2,且f (0)=f (4)=-1,f (2)=1,所以在[0,4]上函数f (x ),f (4-x )及y=-1的图象如图.将所围成的图形在x 轴下半部分阴影区域分成两部分相补到x 轴上半部分阴影区域,可得到由x 轴,y 轴,y=1,x=4所围成的矩形的面积,所以函数y=f (x )在[0,4]上的图象与直线y=-1围成的封闭图形的面积为4,故选C .8.A 解析:f (x )的定义域为(2,4).对于A,因为f (x+3)=ln(x+1)+ln(1-x )=f (3-x ),所以f (x )的图象关于x=3对称,因此A 选项正确;对于B,由A 知f (x+3)≠-f (3-x ),所以f (x )的图象不关于点(3,0)对称,因此B 选项错误;对于C,f (x )=ln(x-2)+ln(4-x )=ln(-x 2+6x-8),函数y=-x 2+6x-8=-(x-3)2+1在(2,3)上单调递增,在(3,4)上单调递减,因此f (x )在(2,3)上单调递增,在(3,4)上单调递减,因此C 选项,D 选项错误,故选A .9.B 解析:对于A,函数是奇函数,不满足题意;对于B,因为ln 1|-x|=ln 1|x|,所以函数是偶函数,在区间(0,+∞)上,y=-ln x ,函数单调递减,满足题意;对于C,因为2|-x|=2|x|,所以函数是偶函数,在区间(0,+∞)上,y=2x ,函数单调递增,不满足题意;对于D,函数是偶函数,在区间(0,+∞)上不单调,不满足题意,故选B .10.B 解析:由题意,f (x )=(5+2x-x 2) |x-1|={5+2x -x 2,-1≤x ≤3,|x -1|,x <−1或x >3,作出函数的图象如图所示,由图象可知,函数f (x )的图象关于直线x=1对称,故A 正确;函数f (x )的图象与直线y=5有四个公共点,故B 错误;函数f (x )的单调递减区间是(-∞,-1]和[1,3],故C 正确;函数f (x )的最小值是2,故D 正确,故选B .11.C 解析:由图可得a 1=2,即a=2,y=a -x=12x单调递减且过点(-1,2),故A 正确;y=x -a =x -2为偶函数,在(0,+∞)上单调递减,在(-∞,0)上单调递增,故B 正确;y=a |x|=2|x|={2x ,x ≥0,2-x ,x <0为偶函数,结合指数函数图象可知不符合题意,故C 错误;y=|log a x|=|log 2x|,根据“上不动、下翻上”可知D 正确,故选C .12.D 解析:对于选项A,因为sin πx ∈[-1,1],x 2-x+1=x-122+34≥34,所以f (x )=sin πx x 2-x+1≤134=43,故A 正确;对于选项B,由于f(x)x=sin πx πx·π(x -12) 2+34≤43π<5,所以|f (x )|≤5|x|,故B 正确;对于选项C,因为直线x=12是曲线y=sin πx 的对称轴,也是曲线y=x 2-x+1=x-122+34的对称轴,所以直线x=12是曲线y=f (x )的对称轴,故C 正确;对于选项D,因为f (a-x )+f (a+x )不可能为常数,所以曲线y=f (x )不存在对称中心,即D 错误,故选D .13.-1,1(答案不唯一) 解析:当a x >a y ,a<0时,可得1x <1y ,①当x ,y 同号时,可得x>y ;②当x ,y 异号时,y>0>x ,故取整数x ,y 满足y>0>x 即可.14.(-5,-1) 解析:当x+5=0,即x=-5时,y=a 0-2=-1,即f (-5)=-1,故函数图象恒过定点(-5,-1),即点P 的坐标为(-5,-1).15.12 解析:设f (x )=21−x ,g (x )=4sin πx ,当x ≠1时,f (2-x )=21−(2−x)=2x -1=-f (x ),即f (2-x )+f (x )=0,所以函数f (x )=21−x 的图象关于点(1,0)中心对称,g (2-x )=4sin[π(2-x )]=4sin(2π-πx )=-4sin πx=-g (x ),即g (2-x )+g (x )=0,所以,函数g (x )=4sin πx 的图象也关于点(1,0)中心对称,作出函数y=21−x与函数y=4sin πx (-4≤x ≤6)的图象如图:由图象可知,两个函数图象共有12个交点,形成6对关于点(1,0)对称的点对,因此两个函数所有交点的横坐标之和为6×2=12.16.43 解析:∀x 1∈[1,3],∃x 2∈[1,3],使得f (x 1)f (x 2)=g (x 1)g (x 2)成立,即为g(x 1)f(x 1)=f(x 2)g(x 2),即ax 1-1=1ax 2-1成立.由于a>1,可得ax 1-1在[1,3]上的值域为[a-1,3a-1],1ax 2-1在[1,3]上的值域为13a -1,1a -1,由题意可得在[1,3]内,ax 1-1的值域为1ax 2-1的值域的子集,因此13a -1≤a-1<3a-1≤1a -1,所以(a-1)(3a-1)=1,解得a=43.17.解(1)依题意,得(m-1)2=1,解得m=0或m=2.当m=2时,f (x )=x -2在(0,+∞)上单调递减,与题设矛盾,舍去. 当m=0时,f (x )=x 2在(0,+∞)上单调递增,满足题意. 故m 的值为0.(2)由(1)知f (x )=x 2,在区间[1,2]上,f (x ),g (x )均单调递增, 所以A=[1,4],B=[2-k ,4-k ], 因为A ∪B=A ,得到B ⊆A , 所以{2−k ≥1,4−k ≤4,解得0≤k ≤1.故实数k 的取值范围为[0,1].18.解(1)当x ∈(-3,1]时,f (x )=lo g 14(x+3)单调递减,当x ∈(1,+∞)时,f (x )=12x+a 单调递减.所以要使函数f (x )在定义域上是单调函数,应满足lo g 14(1+3)≥121+a ,即a+12≤-1,解得a ≤-32.故实数a 的取值范围是-∞,-32.(2)当x ∈(-3,1]时,f (x )=lo g 14(x+3)∈[-1,+∞),当x ∈(1,+∞)时,f (x )=12x+a ∈a ,a+12,由于函数f (x )的值域为[-1,+∞),所以a ,a+12⊆[-1,+∞), 因此a ≥-1,即实数a 的取值范围是[-1,+∞). 19.解由于f (x )=|x+2c|={x +2c,x ≥−2c,-x -2c,x <−2c,所以f (x )的单调递增区间是[-2c ,+∞).又因为f (x )在[-1,+∞)上单调递增,所以-2c ≤-1, 解得c ≥12.即命题p 为真命题时,c 的取值范围是12,+∞.(1)当a=2时,g (x )=cxx 2+1-2有零点,所以方程cxx 2+1-2=0有实数根,即2x 2-cx+2=0有实数根,因此c 2-16≥0,解得c ≥4或c ≤-4.即命题q 为真命题时c 的取值范围是(-∞,-4]∪[4,+∞). 故当命题p 和q 均为真命题时,应有{c ≥12,c ≥4或c ≤−4,即c ≥4.故实数c 的取值范围是[4,+∞).(2)函数g (x )=cx x 2+1-a 有零点,则方程cxx 2+1-a=0有实数根, 即ax 2-cx+a=0有实数根,所以c 2-4a 2≥0,解得c ≥2a 或c ≤-2a. 由于“p 为真命题”是“q 为真命题”的充分不必要条件, 所以12>2a , 解得0<a<14.故实数a 的取值范围是0,14.20.解(1)要使函数g(x)有意义,须使x+bx-b>0, 又因为x>1且b>1,解得x>b,所以函数g(x)的定义域为(b,+∞).令t=x+bx-b(x>b),则f=log a t.因为t=x+bx-b =1+2bx-b,所以当x∈(b,+∞)时,函数t=x+bx-b单调递减;又因为a>1,所以f=log a t在(0,+∞)上单调递增,故f=log a x+bx-b在定义域(b,+∞)上是减函数.其实际意义是当该地区收入均值系数x大于该地区的最低保障收入系数b时,收入均值系数x越大,弗格指数f越小.将f=0.89,x=3.15,a=2.17代入函数得0.89=log2.173.15+b3.15−b,所以3.15+b3.15−b =2.170.89≈2⇒b≈3.15-6.33=1.05.故该地区的最低保障收入系数为1.05.(2)要使该地区收入均衡性最为稳定,则f∈(1,2),即1<log a x+bx-b<2.又因为a>1,所以a<x+bx-b<a2,即a-1<2bx-b<a2-1.又因为x>b,a>1,所以1a2-1<x-b2b<1a-1,解得a 2b+ba2-1<x<ab+ba-1.即该地区收入均值系数x的取值范围是a 2b+ba2-1,ab+ba-1.21.解(1)当a=2时,f(x)=(x-1)|x-2|.若x ∈[0,2],则f (x )=-(x-1)(x-2)=-x-322+14, 所以f (x )max =f 32=14. 若x ∈2,52,则f (x )=(x-1)(x-2)=x-322-14,f (x )在区间内单调递增,所以f (x )max =f 52=34.综上f (x )在0,52上的最大值为34.(2)由题设,令g (x )=x|x-a|-(x-a )-m=0.所以x|x-a|-(x-a )=m 在a ∈(-1,2]上有三个根, 即h (x )={x 2-(a +1)x +a,x ≥a,-x 2+(a -1)x +a,x <a 与y=m 有三个交点.当-1<a<1时,h (x )在-∞,a -12,a+12,+∞上单调递增,在a -12,a+12上单调递减,此时,h a+12<m<h a -12,可得-(a -1)24<m<(a+1)24,故-1<m<1;当1≤a ≤2时,h (x )在-∞,a -12,(a ,+∞)上单调递增,在a -12,a 上单调递减,此时,0<m<h a -12,可得0<m<(a+1)24∈1,94,故0<m<94.综上,实数m 的取值范围为-1,94.22.解(1)因为f (x )为偶函数,所以∀x ∈R ,有f (-x )=f (x ). 即log a (a -x+1)-bx=log a (a x+1)+bx 在R 上恒成立.所以log a (a -x +1)-log a (a x+1)=2bx 在R 上恒成立.所以2bx=-x ,故b=-12.(2)若函数h (x )=f (x )-12x-a 有零点,所以log a (a x+1)-x=a 有解,即log a 1+1a x =a 有解.令p (x )=log a 1+1a x ,则函数y=p (x )图象与直线y=a 有交点.当0<a<1时,因为1+1a x >1,p(x)=log a1+1a x<0,所以log a1+1a x=a无解.当a>1时,因为1+1a x >1,p(x)=log a1+1a x>0,由log a1+1a x=a有解可知a>0,所以a>1.故a的取值范围是(1,+∞).。

2021高考数学一轮复习统考第2章函数与基本初等函数第4讲幂函数与二次函数课件北师大版

3．一元二次不等式恒成立的条件 (1)“ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立”的充要条件是“a>0 且 Δ<0”． (2)“ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立”的充要条件是“a<0 且 Δ<0”． 4．二次函数的对称轴二次函数 y＝f(x)对定义域内的所有 x，都有 f(a＋x)＝f(a－x)成立的充要条件是函数 y＝f(x)的图象关于直线 x＝a 对称(a 为常数)．
(－∞，＋∞)
□02 ___4_a_c4_－a__b_2，__＋__∞____
f(x)＝ax2＋bx＋c(a<0)
(－∞，＋∞)
□03 __－__∞__，__4_a_c_4－_a_b_2_ __
解析式
f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)
f(x)＝ax2＋bx＋c(a<0)
单调性
在 x∈－∞，－2ba上单调递减；在 x∈□05 __－__∞__，__－__2b_a__ ___上
在 x∈□04 ___－__2b_a_，__＋__∞_____上单
调递增
单调递增；在 x∈－2ba，＋∞上单调递
减
对称性
函数的图象关于 x＝－2ba对称
1．幂函数图象特征 (1)在(0,1)上，幂函数中指数越大，函数图象越接近 x 轴(简记为“指大图低”)； (2)在(1，＋∞)上，幂函数中指数越大，函数图象越远离 x 轴． 2．二次函数解析式的三种形式 (1)一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)． (2)顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)． (3)两根式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．
(3)性质 ①幂函数在(0，＋∞)上都有定义． ②当 α>0 时，幂函数的图象都过点(1,1)和(0,0)，且在(0，＋∞)上单调递增． ③当 α<0 时，幂函数的图象都过点(1,1)，且在(0，＋∞)上单调递减．

织金二中高三数学第一轮复习测试题集合与常用逻辑用语

织金二中高三数学第一轮复习测试题测试内容：集合与常用逻辑用语班级：高三（）班姓名：___________ 成绩：___________一、选择题(共12个小题，每小题5分，满分60分) 1．设全集 U ＝{0,1,2,3,4,5}，集合A ＝{2,3}，B ＝{y |y ＝log 2(x －1)，x ∈A }，则集合(∁U A )∩(∁U B )＝( )A ．{0,4,5,2}B ．{0,4,5}C ．{2,4,5}D ．{1,3,5} 2．设集合M ＝{x |x 2－x <0}，N ＝{x |x 2<4}，则( )A ．M ∩N ＝∅B ．M ∩N ＝MC ．M ∪N ＝MD ．M ∪N ＝R 3．已知x ∈R ，那么|x |>1是x >1的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件4．已知p ：x －1x ≤0，q ：4x ＋2x －m ≤0，若p 是q 的充分条件，则实数m 的取值范围是( )A ．m >2＋ 2B ．m ≤2＋ 2C ．m ≥2D ．m ≥65．命题：“对任意x ∈R ，都有x 2＋1>2x ”的否定是( )A ．不存在x ∈R ，使得x 2＋1>2xB ．存在x ∈R ，使得x 2＋1>2xC ．不存在x ∈R ，使得x 2＋1≤2xD ．存在x ∈R ，使得x 2＋1≤2x 6．下列命题中是假命题的是( )A ．∃α，β∈R ，使sin(α＋β)＝sin α＋sin βB ．∃m ∈R ，使f (x )＝(m －1)·xm 2－4m ＋3是幂函数，且在(0，＋∞)上单调递减C ．∀φ∈R ，函数f (x )＝sin(2x ＋φ)都不是偶函数D ．∀a >0，函数f (x )＝ln 2 x ＋ln x －a 有零点7．如图，已知R 是实数集，集合A ＝{x |log 12(x －1)>0}，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪2x －3x <0，则阴影部分表示的集合是( )A ．[0,1]B ．[0,1)C ．(0,1)D ．(0,1]8．已知p ：x －1x ≤0，q ：4x ＋2x －m ≤0，若p 是q 的充分条件，则实数m 的取值范围是( )A ．m >2＋ 2B ．m ≤2＋ 2C ．m ≥2D ．m ≥69．已知a <0，函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c .若x 0满足关于x 的方程2ax ＋b ＝0，则下列选项的命题中为假命题的是( )A ．∃x ∈R ，f (x )≤f (x 0)B ．∃x ∈R ，f (x )≥f (x 0)C ．∀x ∈R ，f (x )≤f (x 0)D ．∀x ∈R ，f (x )≥f (x 0) 10．设φ∈R ，则“φ＝0”是“f (x )＝cos(x ＋φ)(x ∈R )为偶函数”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 11．已知命题p ：∃x ∈R ，mx 2＋1≤0，命题q ：∀x ∈R ，(m ＋2)x 2＋1>0，若p ∧q 为真命题，则实数m 的取值范围是( )A ．(－∞，－2)B ．[－2,0)C ．(－2,0)D ．(0,2)12．若f (x )是R 上的减函数，且f (0)＝3，f (3)＝－1，设P ＝{x |－1<f (x ＋t )<3}， Q ＝{x |f (x )<－1}，若“x ∈P ”是“x ∈Q ”的充分不必要条件，则实数t 的取值范围是( )A ．t ≤0B ．t ≥0C ．t ≤－3D ．t ≥－3二、填空题(共4个小题，每小题5分，满分20分)13．已知U ＝R ，集合A ＝{x |x 2－x －2＝0}，B ＝{x |mx ＋1＝0}，B ∩∁U A ＝∅，则m ＝________.14．命题“若m >0，则关于x 的方程x 2＋x －m ＝0有实数根”与它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为________．15．设命题p ：－1≤4x －3≤1；命题q ：x 2－(2a ＋1)x ＋a (a ＋1)≤0，若綈p 是綈q 的必要不充分条件．则实数a 的取值范围是________．16．已知命题p ：关于x 的方程a 2x 2＋ax －2＝0在[－1,1]上有解；命题q ：只有一个实数x 满足不等式x 2＋2ax ＋2a ≤0.若命题“p 或q ”是假命题，则a 的取值范围是________．三、解答题(共6个题，满分70分) 17．（10分）已知A＝{x||x－a|<4}，B＝{x||x－2|>3}．(1)若a＝1，求A∩B；(2)若A∪B＝R，求实数a的取值范围．18．（12分）分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假．(1)若x、y都是奇数，则x＋y是偶数；(2)若x>2，y>3，则x＋y>5. 19．（12分）写出由下列各组命题构成的“p或q”，“p且q”，“非p”形式的新命题，并判断其真假．(1)p：2是4的约数，q：2是6的约数；(2)p：矩形的对角线相等，q：矩形的对角线互相平分；(3)p：方程x2＋x－1＝0的两实根的符号相同，q：方程x2＋x－1＝0的两实根的绝对值相等．20．（12分）已知c >0，设命题p ：函数y ＝c x为减函数．命题q ：当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2时，函数f (x )＝x ＋1x >1c 恒成立．如果p 或q 为真命题，p 且q 为假命题．求c 的取值范围．21．(12分)集合A ＝{x |x 2－2ax ＋4a 2－3＝0}，B ＝{x |x 2－x －2＝0}，C ＝{x |x 2＋2x －8＝0}．(1)是否存在实数a 使A ∩B ＝A ∪B ？若存在，试求a 的值，若不存在，说明理由； (2)若∅ A ∩B ，A ∩C ＝∅，求a 的值．22．(12分)已知集合A ＝{t |t 使{x |x 2＋2tx －4t －3≥0}＝R }，集合B ＝{t |t 使{x |x 2＋2tx －2t ＝0}≠∅}，其中x ，t 均为实数． (1)求A ∩B ；(2)设m 为实数，g (m )＝m 2－3，求M ＝{m |g (m )∈A ∩B }．。

高考数学一轮总复习第2章函数的概念与基本初等函数第3节二次函数与幂函数模拟创新题理-人教版

【大高考】2017版高考数学一轮总复习第2章函数的概念与基本初等函数第3节二次函数与幂函数模拟创新题理一、选择题1.(2016·某某某某模拟)已知函数f (x )＝x 2－2x ＋4在区间[0，m ](m >0)上的最大值为4，最小值为3，则实数m 的取值X 围是( ) A.[1，2]B.(0，1]C.(0，2]D.[1，＋∞)解析 f (0)＝4；f (1)＝3，结合二次函数图象可得1≤m ≤2.故选A. 答案 A2.(2015·某某某某模拟)设函数y ＝x 13与y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x的图象的交点为(x 0，y 0)，则x 0所在的区间是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1B.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，12 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，13 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14 解析构造函数f (x )＝x 13－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，从而转化为函数的零点的问题，因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12·f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13<0，所以在⎝ ⎛⎭⎪⎫13，12存在零点，故选B.答案 B3.(2016·某某某某一中月考)若a <0，则下列不等式成立的是( )A.2a >⎝ ⎛⎭⎪⎫12a>(0.2)aB.(0.2)a>⎝ ⎛⎭⎪⎫12a>2a C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12a>(0.2)a>2a D.2a >(0.2)a>⎝ ⎛⎭⎪⎫12a解析若a <0，则幂函数y ＝x a在(0，＋∞)上是减函数，所以(0.2)a>⎝ ⎛⎭⎪⎫12a>0.所以(0.2)a >⎝ ⎛⎭⎪⎫12a>2a . 答案 B 二、填空题4.(2016·某某某某联考)若函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 的两个零点是－2和3，则不等式a ·f (－2x )>0的解集是________.解析依题意得方程x2＋ax ＋b ＝0的两根是－2和3，所以⎩⎪⎨⎪⎧－2＋3＝－a ，－2×3＝b ，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－6.所以f (x )＝x 2－x －6，不等式a ·f (－2x )>0，即为－(4x 2＋2x －6)>0.所以2x 2＋x －3<0，解得－32<x <1.所求解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪－32<x <1.答案 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪－32<x <1三、解答题5.(2014·某某模拟)指出函数f (x )＝x 2＋4x ＋5x 2＋4x ＋4的单调区间，并比较f (－π)与f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－22的大小.解 f (x )＝x 2＋4x ＋5x 2＋4x ＋4＝1＋1（x ＋2）2＝1＋(x ＋2)－2，其图象可由幂函数y ＝x －2向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度得到，所以该函数在(－2，＋∞)上是减函数，在(－∞，－2)上是增函数，且其图象关于直线x ＝－2对称(如图).又∵－2－(－π)＝π－2＜－22－(－2)＝2－22， ∴f (－π)＞f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－22.创新导向题二次函数图象的应用6.已知“0<t <m (m >0)”是“函数f (x )＝－x 2－tx ＋3t 在区间(0，2)上只有一个零点”的充分不必要条件，则m 的取值X 围是( ) A.(0，2)B.(0，2]C.(0，4)D.(0，4]解析由f (x )在区间(0，2)上只有一个零点得f (0)·f (2)<0，解得0<t <4，由题意得(0，m )(0，4)，所以0<m <4，故选C.答案 C专项提升测试模拟精选题一、选择题7.(2016·某某滨州模拟)定义在R 上的函数f (x )，当x ∈(－1，1]时，f (x )＝x 2－x ，且对任意的x 满足f (x －2)＝af (x )(常数a >0)，则函数f (x )在区间(5，7]上的最小值是( ) A.－14a 3B.14a 3 C.14a3 D.－14a3解析 f (x －2)＝af (x )⇒f (x －4)＝af (x －2)＝a 2f (x )⇒f (x －6)＝af (x －4)＝a 3f (x )，x ∈(5，7]⇒x －6∈(－1，1]，则f (x )＝1a 3f (x －6)＝1a 3[(x －6)2－(x －6)]＝1a 3⎣⎢⎡⎦⎥⎤（x －6）－122－14a 3，当x －6＝12时，f (x )有最小值为－14a3. 答案 D8.(2015·某某某某模拟)已知幂函数f (x )的图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫18，24，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)(x 1<x 2)是函数图象上的任意不同两点，给出以下结论： ①x 1f (x 1)>x 2f (x 2)；②x 1f (x 2)<x 2f (x 1)；③f （x 1）x 1>f （x 2）x 2；④f （x 1）x 1<f （x 2）x 2. 其中正确结论的序号是( ) A.①②B.①③C.②④D.②③解析设幂函数为y ＝x n，则有⎝ ⎛⎭⎪⎫18n ＝2－3n ＝24＝2－32，得n ＝12，则幂函数为y ＝x ，由其图象知图象上的点与原点连线的直线的斜率随x 增大而减小，即f （x 2）x 2<f （x 1）x 1，x 1f (x 2)<x 2f (x 1)，所以②③正确，选D.答案 D 二、填空题9.(2016·某某天门模拟)已知幂函数y ＝xm 2－2m －3(m ∈N *)的图象与x 轴，y 轴无交点，且关于原点对称，则m 的值为________. 解析由题意m 2－2m －3<0，解得－1<m <3，∵m ∈N *，∴m ＝1，2，幂函数图象关于原点对称，则函数为奇函数，当m ＝1时，y ＝x －4为偶函数；当m ＝2时，y ＝x －3满足条件，即m ＝2. 答案 2 三、解答题10.(2015·某某七校模拟)已知函数f (x )＝x 2＋(x －1)·|x －a |. (1)若a ＝－1，解方程f (x )＝1；(2)若函数f (x ) 在R 上单调递增，某某数a 的取值X 围；(3)若a <1且不等式f (x )≥2x －3对一切实数x ∈R 恒成立，求a 的取值X 围.解 (1)当a ＝－1时，有f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x 2－1，x ≥－1，1，x <－1.当x ≥－1时，2x 2－1＝1，解得：x ＝1或x ＝－1，当x <－1时，f (x )＝1恒成立. ∴方程的解集为：{x |x ≤－1或x ＝1}.(2)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x 2－（a ＋1）x ＋a ，x ≥a ，（a ＋1）x －a ，x <a .若f (x )在R 上单调递增，则有⎩⎪⎨⎪⎧a ＋14≤a a ＋1>0，解得：a ≥13，即实数a 的取值X 围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，＋∞.(3)设g (x )＝f (x )－(2x －3)，则g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x 2－（a ＋3）x ＋a ＋3，x ≥a ，（a －1）x －a ＋3，x <a .即不等式g (x )≥0对一切实数x ∈R 恒成立.∵a <1，∴当x <a 时，g (x )单调递减，其值域为：(a 2－2a ＋3，＋∞). ∵a 2－2a ＋3＝(a －1)2＋2≥2，∴g (x )≥0恒成立.当x ≥a 时，∵a <1，∴a <a ＋34，∴g (x )min ＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋34＝a ＋3－（a ＋3）28≥0，得－3≤a ≤5.∵a <1，∴－3≤a <1，综上：a 的取值X 围是[－3，1).创新导向题利用二次函数单调性求参数取值X 围11.已知函数f (x )＝－2x 2＋|x |＋1，若f (log 2m )>f (3)，则实数m 的取值X 围是________. 解析 f (3)＝－2×32＋3＋1＝－14，若f (log 2m )>f (3)，则－3<log 2m <3，所以18<m <8.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫18，8 幂函数的解析式及求值12.已知幂函数y ＝f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，22，则lg f (2)＋lg f (5)＝________.解析设f (x )＝x α，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12α＝22，解得α＝12，故f (x )＝x 12，所以lg f (2)＋lg f (5)＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫212×512＝lg 1012＝12. 答案 12。

高三数学理一轮专题突破训练解析：第2单元函数概念与基本初等函数

高三单元滚动检测卷·数学考生注意：1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共4页．2．答卷前，考生务必用蓝、黑色字迹的钢笔或圆珠笔将自己的姓名、班级、学号填写在相应位置上．3．本次考试时间120分钟，满分150分． 4．请在密封线内作答，保持试卷清洁完整．单元检测二函数概念与基本初等函数Ⅰ第Ⅰ卷一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．(·重庆)函数f (x )＝log 2(x 2＋2x －3)的定义域是( ) A ．[－3,1]B ．(－3,1)C ．(－∞，－3]∪[1，＋∞)D ．(－∞，－3)∪(1，＋∞)2．(·北京)下列函数中为偶函数的是( ) A ．y ＝x 2sin x B ．y ＝x 2cos x C ．y ＝|ln x |D ．y ＝2－x3．(·慈溪联考)函数y ＝x 2lg x －2x ＋2的图象( ) A ．关于x 轴对称 B ．关于原点对称 C ．关于直线y ＝x 对称D ．关于y 轴对称4．(·江西省师大附中联考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x <1，f (x －1)，x ≥1，则f (log 25)等于( )A.516 B.58 C.54D.525．(·山东)若函数f (x )＝2x ＋12x －a是奇函数，则使f (x )＞3成立的x 的取值范围为( )A ．(－∞，－1)B ．(－1,0)C ．(0,1)D ．(1，＋∞)6．下列各式中错误的是( ) A ．0.83>0.73 B ．log 0.50.4>log 0.50.6 C ．0.75－0.1<0.750.1D ．lg 1.6>lg 1.47．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(a －2)x ，x ≥2，(12)x －1，x <2满足对任意的实数x 1≠x 2，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<0成立，则实数a 的取值范围为( ) A ．(－∞，2) B ．(－∞，138]C ．(－∞，2]D ．[138，2)8．(·山东19所名校联考一模)函数y ＝x ln|x ||x |的图象可能是( )9．(·青海西宁第四高级中学上学期第一次月考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋x ，x ≤1，log 0.5x ，x >1.若对于任意x ∈R ，不等式f (x )≤t 24－t ＋1恒成立，则实数t 的取值范围是( )A ．(－∞，1]∪[2，＋∞)B ．(－∞，1]∪[3，＋∞)C ．[1,3]D ．(－∞，2]∪[3，＋∞)10．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2－2x ＋a ，x <0，f (x －1)，x ≥0，且函数y ＝f (x )－x 恰有3个不同的零点，则实数a的取值范围是( ) A ．(0，＋∞) B ．[－1,0) C ．[－1，＋∞)D ．[－2，＋∞)11．(·蚌埠模拟)已知函数f (x ) (x ∈R )是以4为周期的奇函数，当x ∈(0,2)时，f (x )＝ln(x 2－x ＋b )．若函数f (x )在区间[－2,2]上有5个零点，则实数b 的取值范围是( ) A ．－1<b ≤1B.14≤b ≤54C ．－1<b <1或b ＝54D.14<b ≤1或b ＝5412．(·湖南浏阳一中联考)设f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ≥0时，f (x )＝x 2，若对任意x ∈[a ，a ＋2]，不等式f (x ＋a )≥f (3x ＋1)恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，－5) B ．(5，＋∞) C ．[5，＋∞)D ．(－∞，－5]第Ⅱ卷二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上) 13．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x >0，0，x ＝0，－1，x <0，g (x )＝x 2f (x －1)，则函数g (x )的递减区间是________．14．已知f (x )是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数，且在(－∞，0]上是增函数，设a ＝f (log 47)，b ＝f (log 123)，c ＝f (0.2－0.6)，则a ，b ，c 的大小关系是__________．15．卡车以x 千米/小时的速度匀速行驶130千米路程，按交通法规限制50≤x ≤100(单位：千米/小时)．假设汽油的价格是每升6元，而汽车每小时耗油(2＋x 2360)升，司机的工资是每小时42元．(1)这次行车总费用y 关于x 的表达式为________； (2)当x ＝________时，这次行车总费用最低．16．设f (x )是定义在R 上的偶函数，且对任意的x ∈R 恒有f (x ＋1)＝f (x －1)，已知当x ∈[0,1]时，f (x )＝(12)1－x ，则给出下列结论：①2是f (x )的周期；②f (x )在(1,2)上单调递减，在(2,3)上单调递增； ③f (x )的最大值是1，最小值是0； ④当x ∈(3,4)时，f (x )＝(12)x －3.其中正确结论的序号是________．(写出所有正确结论的序号)三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(10分)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x >0时，f (x )＝2x －3·2－x . (1)当x <0时，求f (x )的解析式；(2)若f (x )＝12，求x 的值．18．(12分)(·山东淄博实验中学第一次诊断性考试)已知函数f (x )＝ax 2＋2x －1x 的定义域为不等式log 2|x ＋3|＋log 12x ≤3的解集，且f (x )在定义域内单调递减，求实数a 的取值范围．19.(12分)某厂生产某种产品的年固定成本为250万元，每生产x 千件，需另投入成本为C (x )万元，当年产量不足80千件时，C (x )＝13x 2＋10x (万元)；当年产量不少于80千件时，C (x )＝51x ＋10 000x －1 450(万元)．通过市场分析，若每件售价为500元时，该厂年内生产的商品能全部销售完．(1)写出年利润L (万元)关于年产量x (千件)的函数解析式；(2)年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？20．(12分)(·余姚联考)已知函数f (x )＝x 2＋a |x －1|，a 为常数． (1)当a ＝2时，求函数f (x )在[0,2]上的最小值和最大值； (2)若函数f (x )在[0，＋∞)上单调递增，求实数a 的取值范围．21.(12分)(·浙江新高考单科综合调研卷(一))已知函数f (x )＝lg(x ＋ax －2)，其中x >0，a >0.(1)求函数f (x )的定义域；(2)若对任意x ∈[2，＋∞)恒有f (x )>0，试确定a 的取值范围．22．(12分)(·北京第六十六中学上学期期中)已知函数f (x )对任意实数x ，y 恒有f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )，当x >0时，f (x )<0，且f (1)＝－2. (1)判断f (x )的奇偶性；(2)求f (x )在区间[－3,3]上的最大值； (3)解关于x 的不等式f (ax 2)－2f (x )<f (ax )＋4.答案解析1．D 2.B 3．B[∵y ＝x 2lgx －2x ＋2， ∴其定义域为(－∞，－2)∪(2，＋∞)， ∴f (－x )＝x 2lg x ＋2x －2＝－x 2lgx －2x ＋2＝－f (x )， ∴函数为奇函数，∴函数的图象关于原点对称，故选B.]4．C [∵2<log 25<3，∴f (log 25)＝2log 25－2＝2log 25·2－2＝54，故选C.]5．C [∵f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－f (x )，即2－x ＋12－x －a ＝－2x ＋12x －a ，整理得(1－a )(2x ＋1)＝0， ∴a ＝1，∴f (x )＞3即为2x ＋12x －1＞3，化简得(2x －2)(2x －1)＜0，∴1＜2x ＜2，∴0＜x ＜1.]6．C [对于A ，构造幂函数y ＝x 3，为增函数，故A 对；对于B 、D ，构造对数函数y ＝log 0.5x 为减函数，y ＝lg x 为增函数，B 、D 都正确；对于C ，构造指数函数y ＝0.75x ，为减函数，故C 错．]7．B [由题意知函数f (x )是R 上的减函数，于是有⎩⎪⎨⎪⎧a －2<0，(a －2)×2≤(12)2－1，由此解得a ≤138，即实数a 的取值范围为(－∞，138]，故选B.]8．B [函数y ＝x ln|x ||x |的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，定义域关于原点对称．当x >0时，y＝x ln|x ||x |＝x ln x x ＝ln x ；当x <0时，y ＝x ln|x ||x |＝x ln (－x )－x ＝－ln(－x )，此时函数图象与当x >0时函数y ＝ln x 的图象关于原点对称．故选B.]9．B [由题意可知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋x ，x ≤1，log 0.5x ，x >1的最大值为14，若对于任意x ∈R ，不等式f (x )≤t 24－t ＋1恒成立，则14≤t 24－t ＋1，解得t ∈(－∞，1]∪[3，＋∞)，故选B.]10．C [当x ≥0时，f (x －1)＝f (x )，此时函数f (x )是周期为1的周期函数；当x <0时，f (x )＝－x 2－2x ＋a ＝－(x ＋1)2＋1＋a ，对称轴为x ＝－1，顶点为(－1，1＋a )，若a ≥0，则y ＝f (x )－x 在(－∞，0)上有1个零点，在[0，＋∞)上有2个零点，满足题意；若－1<a <0，则y ＝f (x )－x 在(－∞，－1]，(－1,0)，[0，＋∞)上各有1个零点，满足题意；若a ＝－1，则y ＝f (x )－x 在(－∞，－1]，(－1,0)上各有1个零点，x ＝0也是零点，在(0，＋∞)上无零点，满足题意；若a <－1，则至多有2个零点，不满足题意．所以实数a 的取值范围是[－1，＋∞)．] 11．D [本题可以采用排除法．若b ＝0，则f (x )＝ln(x 2－x )，x ∈(0,2)，当x ＝12∈(0,2)时，f (x )无意义，故b ≠0，所以排除A ，C ；若b ＝14，则f (x )＝ln ⎝⎛⎭⎫x 2－x ＋14，x ∈(0,2)，当x ＝12∈(0,2)时，f (x )无意义，故b ≠14，所以排除B ，所以选D.]12．D [因为当x ≥0时，f (x )＝x 2，所以f (x )是[0，＋∞)上的增函数，又f (x )是定义在R 上的奇函数，所以f (x )是R 上的增函数，所以若对任意x ∈[a ，a ＋2]，不等式f (x ＋a )≥f (3x ＋1)恒成立，即对任意x ∈[a ，a ＋2]，x ＋a ≥3x ＋1⇒a ≥2x ＋1.因为函数2x ＋1是[a ，a ＋2]上的增函数，所以2x ＋1有最大值2a ＋5，所以a ≥2a ＋5⇒a ≤－5.] 13．[0,1)解析 g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x >1，0，x ＝1，－x 2，x <1.如图所示，其递减区间是[0,1)． 14．c <b <a解析 ∵f (x )为偶函数，在(－∞，0]上是单调增函数，∴f (x )在(0，＋∞)上为单调减函数．∵log 47>1，log 123<0,0.2－0.6＝⎝⎛⎭⎫15－35>⎝⎛⎭⎫15－12＝5，f ⎝⎛⎭⎫log 123＝f (－log 123)＝f (log 23)＝f (log 49)，而log 47<log 49<2< 5.∴c <b <a .15．(1)y ＝7 020x ＋136x ，x ∈[50,100] (2)1810解析 (1)由题意知行车所用时间t ＝130x 小时，则这次行车总费用y 关于x 的表达式为y ＝130x ×6×(2＋x 2360)＋42×130x ，x ∈[50,100]，即y ＝7 020x ＋136x ，x ∈[50,100]；(2)y ＝7 020x ＋136x ≥7810，当且仅当7 020x ＝136x ，即x ＝1810时等号成立，故当x ＝1810时，这次行车总费用最低． 16．①②④解析 ①∵对任意的x ∈R 恒有f (x ＋1)＝f (x －1)，∴f (x ＋2)＝f [(x ＋1)－1]＝f (x )，即2是f (x )的周期，①正确；②∵当x ∈[0,1]时，f (x )＝(12)1－x＝2x －1为增函数，又f (x )是定义在R 上的偶函数，∴f (x )在区间[－1,0]上单调递减，又其周期T ＝2，∴f (x )在(1,2)上单调递减，在(2,3)上单调递增，②正确；③由②可知，f (x )max ＝f (1)＝21－1＝20＝1，f (x )min ＝f (0)＝20－1＝12，③错误；④当x ∈(3,4)时，4－x ∈(0,1)，∴f (4－x )＝(12)1－(4－x )＝(12)x －3，又f (x )是周期为2的偶函数，∴f (4－x )＝f (x )＝(12)x －3，④正确．综上所述，正确结论的序号是①②④.17．解 (1)当x <0时，－x >0，f (－x )＝2－x －3·2x ，又f (x )是奇函数，∴f (－x )＝－f (x )， ∴－f (x )＝2－x －3·2x ，即当x <0时，f (x )＝－2－x ＋3·2x . (2)当x <0时，由－2－x ＋3·2x ＝12，得6·22x －2x －2＝0，解得2x ＝23或2x ＝－12(舍去)，∴x ＝1－log 23；当x >0时，由2x －3·2－x ＝12，得2·22x －2x －6＝0，解得2x ＝2或2x ＝－32(舍去)，∴x ＝1.综上，x ＝1－log 23或x ＝1. 18．解由log 2|x ＋3|＋log 12x ≤3，得⎩⎨⎧x >0，log 2x ＋3x ≤3，即⎩⎨⎧x >0，x ＋3x ≤8，解得x ≥37，即f (x )的定义域为⎣⎡⎭⎫37，＋∞. 因为f (x )在定义域内单调递减，所以∀x 2>x 1≥37时，恒有f (x 1)－f (x 2)>0，即⎝⎛⎭⎫ax 1－1x 1＋2－⎝⎛⎭⎫ax 2－1x 2＋2＝a (x 1－x 2)－⎝⎛⎭⎫1x 1－1x 2＝(x 1－x 2)⎝⎛⎭⎫a ＋1x 1x 2>0恒成立．由x 1<x 2，得x 1－x 2<0，∴a ＋1x 1x 2<0，即a <－1x 1x 2恒成立．又∵x 2>x 1≥37，∴x 1x 2>949，即－x 1x 2<－949，因此实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－∞，－499.19．解 (1)当0<x <80，x ∈N *时， L (x )＝500×1 000x 10 000－13x 2－10x －250＝－13x 2＋40x －250；当x ≥80，x ∈N *时，L (x )＝500×1 000x 10 000－51x －10 000x ＋1 450－250＝1 200－(x ＋10 000x)，∴L (x )＝⎩⎨⎧－13x 2＋40x －250(0<x <80，x ∈N *)，1 200－(x ＋10 000x)(x ≥80，x ∈N *).(2)当0<x <80，x ∈N *时， L (x )＝－13(x －60)2＋950，∴当x ＝60时，L (x )取得最大值L (60)＝950. 当x ≥80，x ∈N *时，L (x )＝1 200－(x ＋10 000x )≤1 200－2x ·10 000x＝1 200－200＝1 000， ∴当x ＝10 000x ，即x ＝100时，L (x )取得最大值L (100)＝1 000>950.综上所述，当x ＝100时，L (x )取得最大值1 000，即年产量为100千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大．20．解 (1)当a ＝2时，f (x )＝x 2＋2|x －1|＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋2x －2，x ≥1，x 2－2x ＋2，x ≤1＝⎩⎪⎨⎪⎧(x ＋1)2－3，x ≥1，(x －1)2＋1，x <1，所以当x ∈[1,2]时，[f (x )]max ＝6，[f (x )]min ＝1，当x ∈[0,1]时，[f (x )]max ＝2，[f (x )]min ＝1，所以f (x )在[0,2]上的最大值为6，最小值为1.(2)因为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋ax －a ，x ≥1，x 2－ax ＋a ，x <1，＝⎩⎨⎧ (x ＋a 2)2－a 24－a ，x ≥1，(x －a 2)2－a 24＋a ，x <1，而f (x )在[0，＋∞)上单调递增，所以当x ≥1时，f (x )必单调递增，得－a 2≤1即a ≥－2，当0≤x <1时，f (x )亦必单调递增，得a 2≤0即a ≤0，且12＋a －a ≥12－a ＋a 恒成立．即a 的取值范围是{a |－2≤a ≤0}．21．解 (1)由x ＋a x －2>0，得x 2－2x ＋a x>0，因为x >0，所以x 2－2x ＋a >0.当a >1时，x 2－2x ＋a >0恒成立，定义域为(0，＋∞)，当a ＝1时，定义域为{x |x >0且x ≠1}，当0<a <1时，定义域为{x |0<x <1－1－a 或x >1＋1－a }．(2)对任意x ∈[2，＋∞)恒有f (x )>0，即x ＋a x－2>1对x ∈[2，＋∞)恒成立． ∴a >3x －x 2对x ∈[2，＋∞)恒成立，而h (x )＝3x －x 2＝－(x －32)2＋94在x ∈[2，＋∞)上是减函数， ∴h (x )max ＝h (2)＝2.∴a >2.故a 的取值范围是{a |a >2}．22．解 (1)取x ＝y ＝0，则f (0＋0)＝2f (0)，∴f (0)＝0. 取y ＝－x ，则f (x －x )＝f (x )＋f (－x )，∴f (－x )＝－f (x )对任意x ∈R 恒成立，∴函数f (x )为奇函数．(2)任取x1，x2∈(－∞，＋∞)且x1<x2，则x2－x1>0.∴f(x2)＋f(－x1)＝f(x2－x1)<0，∴f(x2)<－f(－x1)．又∵f(x)为奇函数，∴f(x1)>f(x2)．∴f(x)在(－∞，＋∞)上是减函数．∴对任意x∈[－3,3]，恒有f(x)≤f(－3)．∵f(3)＝f(2＋1)＝f(2)＋f(1)＝3f(1)＝－2×3＝－6，∴f(－3)＝－f(3)＝6，∴f(x)在[－3,3]上的最大值为6.(3)∵f(x)为奇函数，∴整理原不等式得f(ax2)＋f(－2x)<f(ax)＋f(－2)，进一步可得f(ax2－2x)<f(ax－2)．∵f(x)在(－∞，＋∞)上是减函数，∴ax2－2x>ax－2，即(ax－2)(x－1)>0.∴当a＝0时，x∈(－∞，1)；当a＝2时，x∈{x|x≠1且x∈R}；当a<0时，x∈{x|2a<x<1}；或x<1}；当0<a<2时，x∈{x|x>2a或x>1}．当a>2时，x∈{x|x<2a综上所述，当a＝0时，x∈(－∞，1)；当a＝2时，x∈{x|x≠1且x∈R}；当a<0时，x∈{x|2a<x<1}；当0<a<2时，x∈{x|x>2或x<1}；a或x>1}．当a>2时，x∈{x|x<2a。

高考第一轮复习数学：函数（附答案）

素质能力检测（二）一、选择题（每小题5分，共60分）1.（年全国）函数y =x 2+bx +c （x ∈［0，+∞））是单调函数的充要条件是 A.b ≥0 B.b ≤0 C.b ＞0 D.b ＜0 解析：y =x 2+bx +c 的对称轴为x =－2b ，∴－2b≤0.∴b ≥0. 答案：A2.（年全国Ⅲ，理11）设函数f （x ）=⎪⎩⎪⎨⎧--+14)1(2x x ,1,1≥<x x 则使得f （x ）≥1的自变量x的取值范围为A.（－∞，－2］∪［0，10］B.（－∞，－2］∪［0，1］C.（－∞，－2］∪［1，10］D.［－2，0］∪［1，10］解析：当x ＜1时，f （x ）≥1⇔（x +1）2≥1⇔x ≤－2或x ≥0，∴x ≤－2或0≤x ＜1.当x ≥1时，f （x ）≥1⇔4－1-x ≥1⇔1-x ≤3⇔1≤x ≤10.综上，知x ≤－2或0≤x ≤10. 答案：A3.f （x ）是定义在R 上的奇函数，它的最小正周期为T ，则f （－2T）的值为 A.0B.2TC.TD.－2T 解法一：由f （2T ）=f （－2T +T ）=f （－2T ）=－f （2T ），知f （2T）=0. 解法二：取特殊函数f （x ）=sin x . 答案：A4.（年上海，文15）若函数y =f （x ）的图象与函数y =lg （x +1）的图象关于直线x －y =0对称，则f （x ）等于A.10x －1B.1－10xC.1－10－xD.10－x －1 解析：∵y =f （x ）与y =lg （x +1）关于x －y =0对称， ∴y =f （x ）与y =lg （x +1）互为反函数. ∴由y =lg （x +1），得x =10y －1. ∴所求y =f （x ）=10x －1. 答案：A5.函数f （x ）是一个偶函数，g （x ）是一个奇函数，且f （x ）+g （x ）=11-x ，则f（x ）等于A.112-xB.1222-x x C.122-xD.122-x x解析：由题知f （x ）+g （x ）=11-x ，①以－x 代x ，①式得f （－x ）+g （－x ）=11--x ，即f （x ）－g （x ）=11--x ， ②①+②得f （x ）=112-x . 答案：A6.（年江苏，11）设k ＞1，f （x ）=k （x －1）（x ∈R ），在平面直角坐标系xOy 中，函数y =f （x ）的图象与x 轴交于A 点，它的反函数y =f －1（x ）的图象与y 轴交于B 点，且这两个函数的图象交于P 点.已知四边形OAPB 的面积是3，则k 等于A.3B.23 C.34D.56 解析：用k 表示出四边形OAPB 的面积. 答案：B7.F （x ）=（1+122-x ）·f （x ）（x ≠0）是偶函数，且f （x ）不恒等于零，则f （x ）A.是奇函数B.是偶函数C.既是奇函数，又是偶函数D.是非奇非偶函数解析：g （x ）=1+122-x 是奇函数，∴f （x ）是奇函数. 答案：A8.（年杭州市质检题）当a ≠0时，函数y =ax +b 和y =b ax 的图象只可能是Oxy OxyOxyOy1111AB答案：C9.（年全国Ⅳ，12）设函数f （x ）（x ∈R ）为奇函数，f （1）=21，f （x +2）=f （x ）+ f （2），则f （5）等于A.0B.1C.25D.5解析：∵f （x +2）=f （x ）+f （2）且f （x ）为奇函数，f （1）=21，∴f （1）=f （－1+2）=f （－1）+f （2）=－f （1）+f （2）.∴f （2）=2f （1）=1.∴f （5）=f （3）+f （2）=f （1+2）+ f （2）=f （1）+2f （2）=25. 答案：C 10.设函数f （x ）=cx bax ++2的图象如下图所示，则a 、b 、c 的大小关系是 11-1-1OxyA.a ＞b ＞cB.a ＞c ＞bC.b ＞a ＞cD.c ＞a ＞b 解析：f （0）=c b=0，∴b =0. f （1）=1，∴ca+1=1.∴a =c +1.由图象看出x ＞0时，f （x ）＞0，即x ＞0时，有cx ax+2＞0，∴a ＞0.又f （x ）= xc x a +，当x ＞0时，要使f （x ）在x =1时取最大值1，需x +x c≥2c ，当且仅当x =c =1时.∴c =1，此时应有f （x ）=2a=1.∴a =2. 答案：B11.偶函数y =f （x ）（x ∈R ）在x ＜0时是增函数，若x 1＜0，x 2＞0且|x 1|＜|x 2|，下列结论正确的是A.f （－x 1）＜f （－x 2）B.f （－x 1）＞f （－x 2）C.f （－x 1）=f （－x 2）D.f （－x 1）与f （－x 2）大小关系不确定解析：|x |越小，f （x ）越大.∵|x 1|＜|x 2|，∴选B. 答案：B12.方程log 2（x +4）=3x 实根的个数是 A.0 B.1 C.2D.3解析：设y =log 2（x +4）及y =3x . 画图知交点有两个. 答案：C二、填空题（每小题4分，共16分）13.（年浙江，理13）已知f （x ）=⎩⎨⎧<-≥,0,1,0,1x x 则不等式x +（x +2）·f （x +2）≤5的解集是___________________.解析：当x +2≥0时，原不等式⇔x +（x +2）≤5⇔x ≤23.∴－2≤x ≤23. 当x +2＜0时，原不等式⇔x +（x +2）（－1）≤5⇔－2≤5.∴x ＜－2.综上，知x ≤23.答案：（－∞，23］14.设函数f （x ）的定义域是N *，且f （x +y ）=f （x ）+f （y ）+xy ，f （1）=1，则f （25）= ___________________.解析：由f （x +y ）=f （x ）+f （y ）+xy ⇒f （2）=f （1）+f （1）+1=3. ∴f （2）－f （1）=2. 同理，f （3）－f （2）=3. ……f （25）－f （24）=25.∴f （25）=1+2+3+…+25=325. 答案：32515.（年春季上海）已知函数f （x ）=log 3（x4+2），则方程f －1（x ）=4的解x =___________________.解析：由f －1（x ）=4，得x =f （4）=log 3（44+2）=1.答案：116.对于函数y =f （x ）（x ∈R ），有下列命题：①在同一坐标系中，函数y =f （1+x ）与y =f （1－x ）的图象关于直线x =1对称； ②若f （1+x ）=f （1－x ），且f （2－x ）=f （2+x ）均成立，则f （x ）为偶函数； ③若f （x －1）=f （x +1）恒成立，则y =f （x ）为周期函数；④若f （x ）为单调增函数，则y =f （a x ）（a ＞0，且a ≠1）也为单调增函数. 其中正确命题的序号是______________. （注：把你认为正确命题的序号都填上）解析：①不正确，y =f （x －1）与y =f （1－x ）关于直线x =1对称.②正确.③正确.④不正确.答案：②③三、解答题（共6小题，满分74分）17.（12分）函数y =lg （3－4x +x 2）的定义域为M ，x ∈M 时，求f （x ）=2x +2－3×4x的最值.解：由3－4x +x 2＞0得x ＞3或x ＜1， ∴M ={x |x ＞3或x ＜1}，f （x ）=－3×22x +22·2x =－3（2x －32）2+34. ∵x ＞3或x ＜1， ∴2x ＞8或0＜2x ＜2.∴当2x =32即x =log 232时，f （x ）最大，最大值为34. f （x ）没有最小值.18.（12分）（年高考新课程卷）设a ＞0，求函数f （x ）=x －ln （x +a ）（x ∈（0，+∞））的单调区间.分析：本小题主要考查导数的概念和计算，应用导数研究函数性质的方法及推理和运算能力.解：f '（x ）=x21－ax +1（x ＞0）. 当a ＞0，x ＞0时，f '（x ）＞0⇔x 2+（2a －4）x +a 2＞0， f '（x ）＜0⇔x 2+（2a －4）x +a 2＜0.①当a ＞1时，对所有x ＞0，有x 2+（2a －4）x +a 2＞0，即f '（x ）＞0. 此时f （x ）在（0，+∞）内单调递增.②当a =1时，对x ≠1，有x 2+（2a －4）x +a 2＞0，即f '（x ）＞0，此时f （x ）在（0，1）内单调递增，在（1，+∞）内单调递增. 又知函数f （x ）在x =1处连续.因此，函数f （x ）在（0，+∞）内单调递增. ③当0＜a ＜1时，令f '（x ）＞0，即x 2+（2a －4）x +a 2＞0，解得x ＜2－a －2a -1，或x ＞2－a +2a -1.因此，函数f （x ）在区间（0，2－a －2a -1）内单调递增，在区间（2－a +2a -1，+∞）内也单调递增.令f '（x ）＜0，即x 2+（2a －4）x +a 2＜0，解得2－a －2a -1＜x ＜2－a +2a -1. 因此，函数f （x ）在区间（2－a －2a -1，2－a +2a -1）内单调递减.19.（12分）（年春季北京，理20）现有一组互不相同且从小到大排列的数据:a 0，a 1，a 2，a 3，a 4，a 5，其中a 0=0.为提取反映数据间差异程度的某种指标，今对其进行如下加工:记T =a 0+a 1+…+a 5，x n =5n ，y n =T1（a 0+a 1+…+a n ），作函数y =f （x ），使其图象为逐点依次连结点P n （x n ，y n ）（n =0，1，2，…，5）的折线.（1）求f （0）和f （5）的值；（2）设P n －1P n 的斜率为k n （n =1，2，3，4，5），判断k 1、k 2、k 3、k 4、k 5的大小关系；（3）证明f （x n ）＜x n （n =1，2，3，4）.（1）解:f （0）=500a a a +⋅⋅⋅+=0，f （5）=5050a a a a +⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+=1.（2）解:k n =11----n n n n x x y y =T5a n ，n =1，2， (5)因为a 1＜a 2＜a 3＜a 4＜a 5，所以k 1＜k 2＜k 3＜k 4＜k 5.（3）证法一:对任何n （n =1，2，3，4）， 5（a 1+…+a n ）=［n +（5－n ）］（a 1+…+a n ） =n （a 1+…+a n ）+（5－n ）（a 1+…+a n ） ≤n （a 1+…+a n ）+（5－n ）na n =n ［a 1+…+a n +（5－n ）a n ］＜n （a 1+…+a n +a n +1+…+a 5）=nT ，所以f （x n ）=T a a n +⋅⋅⋅+1＜5n=x n .证法二：对任何n （n =1，2，3，4），当k n ＜1时，y n =（y 1－y 0）+（y 2－y 1）+…+（y n －y n －1） =51（k 1+k 2+…+k n ）＜5n=x n . 当k n ≥1时， y n =y 5－（y 5－y n ）=1－［（y n +1－y n ）+（y n +2－y n +1）+…+（y 5－y 4）］=1－51（k n +1+k n +2+…+k 5）＜1－51（5－n ）=5n=x n ，综上，f （x n ）＜x n .20.（12分）（年北京）有三个新兴城镇，分别位于A 、B 、C 三点处，且AB =AC =a ，BC =2b .今计划合建一个中心医院，为同时方便三镇，准备建在BC 的垂直平分线上的P 点处.（建立坐标系如下图）O x y A PB b, (-0)(),0h C (0) （1）若希望点P 到三镇距离的平方和为最小，点P 应位于何处？（2）若希望点P 到三镇的最远距离为最小，点P 应位于何处？分析：本小题主要考查函数、不等式等基本知识，考查运用数学知识分析问题和解决问题的能力.（1）解：由题设可知，a ＞b ＞0，记h =22b a -，设P 的坐标为（0，y ），则P 至三镇距离的平方和为f （y ）=2（b 2+y 2）+（h －y ）2=3（y －3h ）2+32h 2+2b 2. ∴当y =3h时，函数f （y ）取得最小值. ∴点P 的坐标是（0，3122b a -）. （2）解法一：P 至三镇的最远距离为g （y ）=⎪⎩⎪⎨⎧-+||22y h y b ,||,||2222时当时当y h y b y h y b -<+-≥+由22y b +≥|h －y |解得y ≥h b h 222-，记y *=hb h 222-，于是g （y ）=⎪⎩⎪⎨⎧-+||22y h y b .,**时当时当y y y y <≥当y *=hb h 222-≥0，即h ≥b 时，22y b +在［y *，+∞）上是增函数，而|h －y |在（－∞，y *）上是减函数，由此可知，当y =y *时，函数g （y ）取得最小值；当y *=hb h 222-＜0，即h ＜b 时，函数22y b +在［y *，+∞）上，当y =0时，取得最小值b ，而|h －y |在（－∞，y *）上为减函数，且|h －y |＞b .可见，当y =0时，函数g （y ）取得最小值.∴当h ≥b 时，点P 的坐标为（0，222222ba b a --）；当h ＜b 时，点P 的坐标为（0，0）.其中h =22b a -. 解法二：P 至三镇的最远距离为g （y ）=⎪⎩⎪⎨⎧-+||22y h y b .||,||2222时当时当y h y b y h y b -<+-≥+由22y b +≥|h －y |解得y ≥h b h 222-，记y *=hb h 222-，于是 g （y ）=⎪⎩⎪⎨⎧-+||22y h y b .,**时当时当y y y y <≥当y *≥0，即h ≥b 时，z =g （y ）的图象如图（a ），因此，当y =y *时，函数g （y ）取得最小值.当y *＜0，即h ＜b 时，z =g （y ）的图象如图（b ），因此，当y =0时，函数g （y ）取得最小值.O h by O y y hb g g ()y ()y (b )'∴当h ≥b 时，点P 的坐标为（0，222222ba b a --）；当h ＜b 时，点P 的坐标为（0，0）.其中h =22b a -. 解法三：∵在△ABC 中，AB =AC =a ，∴△ABC 的外心M 在射线AO 上，其坐标为（0，222222ba b a --），且AM =BM =CM .当P 在射线MA 上，记P 为P 1；当P 在射线MA 的反向延长线上，记P 为P 2. 若h =22b a -≥b 〔如图（c ）〕，2 Pxy O B (-b,0) C (b ,0) A MP 1(c)则点M 在线段AO 上.这时P 到A 、B 、C 三点的最远距离为P 1C 或P 2A ，且P 1C ≥MC ，P 2A ≥MA ，所以点P 与外心M 重合时，P 到三镇的最远距离最小. 若h =22b a -＜b 〔如图（d ）〕，则点M 在线段AO 外.xy O B (-b,0)C (b,0) AM P 1P2(d)这时P 到A 、B 、C 三点的最远距离为P 1C 或P 2A ，且P 1C ≥OC ，P 2A ≥OC ，所以点P 与BC 边的中点O 重合时，P 到三镇的最远距离最小.∴当22b a -≥b 时，点P 的位置在△ABC 的外心（0，222222ba b a --）；当22b a -＜b 时，点P 的位置在原点O .21.（12分）设f （x ）是定义在R 上的偶函数，其图象关于直线x =1对称，对任意x 1、x 2∈［0，21］，都有f （x 1+x 2）=f （x 1）·f （x 2）. （1）设f （1）=2，求f （21），f （41）；（2）证明f （x ）是周期函数.（1）解：由f （x 1+x 2）=f （x 1）·f （x 2），x 1、x 2∈［0，21］知f （x ）=f （2x）·f （2x ）=［f （2x）］2≥0，x ∈［0，1］. 因为f （1）=f （21）·f （21）=［f （21）］2，及f （1）=2，所以f （21）=221.因为f （21）=f （41）·f （41）=［f （41）］2，及f （21）=221，所以f （41）=241.（2）证明：依题设y =f （x ）关于直线x =1对称，故f （x ）=f （1+1－x ）⇔f （x ）=f （2－x ），x ∈R .又由f （x ）是偶函数知f （－x ）=f （x ），x ∈R ，所以f （－x ）=f （2－x ），x ∈R .将上式中－x 以x 代换，得f （x ）=f （x +2），x ∈R .这表明f （x ）是R 上的周期函数，且2是它的一个周期.22.（14分）设函数y =f （x ）定义在R 上，对任意实数m 、n ，恒有f （m +n ）=f （m ）·f （n ）且当x ＞0时，0＜f （x ）＜1.（1）求证：f （0）=1，且当x ＜0时，f （x ）＞1；（2）求证：f （x ）在R 上递减；（3）设集合A ={（x ，y ）|f （x 2）·f （y 2）＞f （1）}，B ={（x ，y ）|f （ax －y +2）=1，a ∈R }，若A ∩B =∅，求a 的取值范围.（1）证明：在f （m +n ）=f （m ）f （n ）中，令m =1，n =0，得f （1）=f （1）f （0）. ∵0＜f （1）＜1，∴f （0）=1.设x ＜0，则－x ＞0.令m =x ，n =－x ，代入条件式有f （0）=f （x ）·f （－x ），而f （0）=1，∴f （x ）=)(1x f -＞1.（2）证明：设x 1＜x 2，则x 2－x 1＞0， ∴0＜f （x 2－x 1）＜1. 令m =x 1，m +n =x 2，则n =x 2－x 1，代入条件式，得 f （x 2）=f （x 1）·f （x 2－x 1），即0＜)()(12x f x f ＜1.∴f （x 2）＜f （x 1）. ∴f （x ）在R 上单调递减.（3）解：由f （x 2）·f （y 2）＞f （1）⇒f （x 2+y 2）＞f （1）. 又由（2）知f （x ）为R 上的减函数，∴x 2+y 2＜1⇒点集A 表示圆x 2+y 2=1的内部.由f （ax －y +2）=1得ax －y +2=0⇒点集B 表示直线ax －y +2=0. ∵A ∩B =∅，∴直线ax －y +2=0与圆x 2+y 2=1相离或相切. 于是122+a ≥1⇒－3≤a ≤3.。

高考数学一轮复习(函数与基本初等函数)

阶段性测试题(函数与基本初等函数)．第Ⅰ卷(选择题共50分)一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知log a 2＝m ，log a 3＝n ，则a 2m ＋n的值为( )A ．6B ．18C ．12D ．72．下列函数f (x )中，满足“对任意x 1，x 2∈(－∞，0)，当x 1<x 2时，都有f (x 1)<f (x 2)”的函数是( ) A ．f (x )＝－x ＋1 B ．f (x )＝x 2－1 C ．f (x )＝2xD ．f (x )＝ln(－x )3．若函数y ＝f (x )的定义域是[0,2]，则函数g (x )＝f (2x )ln x 的定义域是( )A ．[0,1]B ．[0,1)C ．[0,1)∪(1,4]D ．(0,1)4．设a ＝log 13 12，b ＝log 13 23，c ＝log 343，则a 、b 、c 的大小关系是( )A ．a <b <cB ．c <b <aC ．b <a <cD ．b <c <a5．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x (x >0)3x (x ≤0)，则f ⎣⎡⎦⎤f ⎝⎛⎭⎫14的值是( ) A ．9 B.19 C ．－9D ．－196．若函数f (x )＝(a 2－2a －3)x 2＋(a －3)x ＋1的定义域和值域都为R ，则a 的取值范围是( ) A ．a ＝－1或3 B ．a ＝－1 C ．a >3或a <－1D ．－1<a <37．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2， x ≤0－x ＋2， x >0，则不等式f (x )≥x 2的解集为( )A ．[－1,1]B ．[－2,2]C ．[－2,1]D ．[－1,2]8．函数f (x )对于任意实数x 满足条件f (x ＋2)＝1f (x )，若f (1)＝－5，则f [f (5)]＝( )A ．－5B ．－15C.15D ．59．已知函数f 1(x )＝a x ，f 2(x )＝x a ，f 3(x )＝log a x (其中a >0，且a ≠1)在同一坐标系中画出其中两个函数在第一象限的图像，其中正确的是( )10．已知函数f (x )＝2x ＋ln x ，若a n ＝0.1n (其中n ∈N ＋)，则使得|f (a n )－2012|取得最小值的n 的值是( )A ．100B ．110C ．11D ．10第Ⅱ卷(非选择题共100分)二、填空题(本大题共5个小题，每小题5分，共25分，把正确答案填在题中横线上) 11．函数f (x )＝log 2(2x ＋1)的单调增区间是________．12．设奇函数f (x )的定义域为R ，且周期为5，若f (1)<－1，f (4)＝log a 2(a >0，且a ≠1)，则实数a 的取值范围是________．13．函数f (x )＝|log 3x |在区间[a ，b ]上的值域为[0,1]则b －a 的最小值为________．14．已知实数a ≠0，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋a ， x <1－x －2a ， x ≥1，若f (1－a )＝f (1＋a )，则a 的值为________．15．设a >1，若对于任意的x ∈[a,2a ]，都有y ∈[a ，a 2]满足方程log a x ＋log a y ＝3，这时a 的取值集合为________．三、解答题(本大题共6个小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 16．已知函数f (x )＝a －1|x |.(1)求证：函数y ＝f (x )在(0，＋∞)上是增函数；(2)若f(x)<2x在(1，＋∞)上恒成立，求实数a的取值范围．17．二次函数f(x)满足f(x＋1)－f(x)＝2x，且f(0)＝1.(1)求f(x)的解析式；(2)在区间[－1,1]上，y＝f(x)的图像恒在y＝2x＋m的图像上方，试确定实数m的范围．18．已知f(x)＝x2－x＋k，且log2f(a)＝2，f(log2a)＝k(a>0，a≠1)．(1)求a，k的值；(2)当x为何值时，f(log a x)有最小值？并求出该最小值．19．函数f(x)对任意的a，b∈R，都有f(a＋b)＝f(a)＋f(b)－1，并且当x>0时，f(x)>1.(1)求证：f(x)是R上的增函数；(2)若f(4)＝5，解不等式f(3m2－m－2)<3.20．提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度v(单位：千米/小时)是车流密度x(单位：辆/千米)的函数．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时．研究表明：当20≤x≤200时，车流速度v是车流密度x的一次函数．(1)当0≤x ≤200时，求函数v (x )的表达式；(2)当车流密度x 为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时)f (x )＝x ·v (x )可以达到最大，并求出最大值．(精确到1辆/小时)21．已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)且满足f (－1)＝0，对任意实数x, 恒有f (x )－x ≥0，并且当x ∈(0,2)时，f (x )≤⎝⎛⎭⎫x ＋122.(1)求f (1)的值； (2)证明：a >0，c >0；(3)当x ∈[－1,1]时，函数g (x )＝f (x )－mx (x ∈R )是单调函数，求证：m ≤0或m ≥1.。

近年高考数学一轮总复习第二章函数与基本初等函数题组训练11幂函数及基本初等函数的应用理(2021年

2019版高考数学一轮总复习第二章函数与基本初等函数题组训练11 幂函数及基本初等函数的应用理编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2019版高考数学一轮总复习第二章函数与基本初等函数题组训练11 幂函数及基本初等函数的应用理）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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题组训练11 幂函数及基本初等函数的应用1．（2017·福州模拟）若f(x)是幂函数，且满足错误!＝3，则f(错误!）＝( ) A．3 B．－3C.错误!D．－错误!答案C2．当x∈（1，＋∞)时,下列函数中图像全在直线y＝x下方的增函数是（）A．y＝x错误!B．y＝x2C．y＝x3D．y＝x－1答案A解析y＝x2，y＝x3在x∈(1，＋∞)时,图像不在直线y＝x下方，排除B，C,而y＝x－1是(－∞，0）,（0，＋∞）上的减函数．3．设a∈｛－1，1，错误!,3｝，则使函数y＝x a的定义域为R,且为奇函数的所有a的值为（）A．－1，1，3 B。

错误!，1C．－1，3 D．1，3答案D解析当a＝－1时，函数的定义域为{x｜x≠0｝，不满足定义域为R；当a ＝1时，函数的定义域为R且为奇函数，满足要求；当a＝错误!时，函数的定义域为｛x｜x≥0｝，不满足定义域为R;当a＝3时,函数的定义域为R且为奇函数，满足要求．故所有a的值为1，3.4．已知幂函数y＝xm2－2m－3(m∈Z)的图像与x轴、y轴没有交点,且关于y 轴对称,则m的所有可能取值为( )A．1 B．0，2C．－1,1，3 D．0，1,2答案C解析∵幂函数y＝xm2－2m－3（m∈Z）的图像与x轴、y轴没有交点，且关于y轴对称,∴m2－2m－3≤0且m2－2m－3(m∈Z）为偶数,由m2－2m－3≤0得－1≤m≤3，又m∈Z,∴m＝－1，0，1,2，3，当m＝－1时，m2－2m－3＝1＋2－3＝0为偶数，符合题意；当m＝0时，m2－2m－3＝－3为奇数，不符合题意；当m＝1时，m2－2m－3＝1－2－3＝－4为偶数,符合题意；当m＝2时，m2－2m－3＝4－4－3＝－3为奇数，不符合题意;当m＝3时,m2－2m－3＝9－6－3＝0为偶数，符合题意．综上所述，m＝－1,1,3，故选C。

高考数学一轮复习第二章函数概念与基本初等函数Ⅰ阶段滚动检测理北师大版-北师大版高三全册数学试

【创新设计】2017版高考数学一轮复习第二章函数概念与基本初等函数Ⅰ阶段滚动检测理北师大版(建议用时：40分钟)一、选择题1.(2015·某某监测)已知集合P ＝{x |x ≥0}，Q ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ＋1x －2≥0，则P ∩(∁R Q )＝( )A.(－∞，2)B.(－∞，－1]C.(－1，0)D.[0，2]解析由题意可知Q ＝{x |x ≤－1或x ＞2}，则∁R Q ＝{x |－1＜x ≤2}，所以P ∩(∁R Q )＝{x |0≤x ≤2}.故选D. 答案 D2.(2016·齐鲁名校联合测试)函数f (x )＝ln （－x 2＋2x ＋3）1－x ＋x 0的定义域为( )A.(－1，1)B.[－1，1)C.(－1，0)∪(0，1)D.(－1，0)∪(0，3)解析要使函数f (x )有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ＋3＞0，1－x ＞0，x ≠0，解得－1＜x ＜1且x ≠0，故选C.答案 C3.(2015·某某检测)已知命题p ：存在x 0∈R ，x 20＋ax 0－4＜0，命题q ：任意x ∈R ，2x ＜3x，则下列命题是真命题的是( ) A.p 且qB.p 且(綈q )C.(綈p )且(綈q )D.(綈p )且q解析由方程x 2＋ax －4＝0得，Δ＝a 2－4×(－4)＝a 2＋16＞0，所以命题p 为真命题.当x ＝0时，20＝30＝1，所以命题q 为假命题，所以p 且q 为假命题，p 且(綈q )为真命题，(綈p )且(綈q )为假命题，(綈p )且q 为假命题，故选B. 答案 B4.(2015·潍坊模拟)已知函数y ＝f (x )的定义域为{x |x ∈R 且x ≠0}，且满足f (x )＋f (－x )＝0，当x ＞0时，f (x )＝ln x －x ＋1，则函数y ＝f (x )的大致图像为( )解析函数y ＝f (x )的定义域为{x |x ∈R 且x ≠0}，且满足f (x )＋f (－x )＝0，所以f (x )为奇函数，故排除C 、D ，又f (e)＝1－e ＋1＜0，所以(e ，f (e))在第四象限，排除B ，故选A. 答案 A5.(2016·某某质检)给定下列三个命题：p 1：函数y ＝a x ＋x (a ＞0，且a ≠1)在R 上为增函数； p 2：存在a ，b ∈R ，a 2－ab ＋b 2＜0；p 3：cos α＝cos β成立的一个充分不必要条件是α＝2k π＋β(k ∈Z ).则下列命题中的真命题为( ) A.p 1或p 2B.p 2且p 3C.p 1或(綈p 3)D.(綈p 2)且p 3解析对于p 1，令f (x )＝a x＋x (a ＞0，且a ≠1)，当a ＝12时，f (0)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫120＋0＝1，f (－1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1－1＝1，所以p 1为假命题；对于p 2，因为a 2－ab ＋b 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －12b 2＋34b 2≥0，所以p 2为假命题；对于p 3，因为cos α＝cos β⇔α＝2k π±β(k ∈Z )，所以p 3是真命题，所以(綈p 2)且p 3为真命题，故选D. 答案 D6.(2015·某某质量监测)已知函数f (x )＝|x ＋a |在(－∞，－1)上是单调函数，则a 的取值X 围是( )A.(－∞，1]B.(－∞，－1]C.[－1，＋∞)D.[1，＋∞)解析结合函数f (x )＝|x ＋a |的图像知此函数的单调递减区间为(－∞，－a ]，由题意得(－∞，－1)⊆(－∞，－a ]，从而－1≤－a ，即a ≤1，故选A. 答案 A7.(2016·某某一模)函数f (x )＝9x－a 3x 的图像关于原点对称，g (x )＝lg(10x＋1)＋bx 是偶函数，则a ＋b ＝( ) A.1B.－1C.－12D.12解析函数f (x )关于原点对称，且当x ＝0时，f (x )有意义.∴f (0)＝0，得a ＝1.又g (x )为偶函数，∴g (－1)＝g (1)，得b ＝－12.∴a ＋b ＝12.故选D.答案 D8.(2016·某某五校联考)下列选项中，说法正确的是( )A.命题“存在x ∈R ，x 2－x ≤0”的否定是“存在x ∈R ，x 2－x ＞0” B.命题“p 或q 为真”是命题“p 且q 为真”的充分不必要条件 C.命题“若am 2≤bm 2，则a ≤b ”是假命题D.命题“在△ABC 中，若sin A ＜12，则A ＜π6”的逆否命题为真命题解析 A 中命题的否定是“任意x ∈R ，x 2－x ＞0”，故A 不对；B 中，当p 为假命题，q 为真命题时，满足p 或q 为真，但p 且q 为假，故B 不对；C 中，当m ＝0时，由am 2≤bm2不能确定出a ≤b ，故C 正确；D 中，易知命题“在△ABC 中，若sin A ＜12，则A ＜π6”为假命题，所以其逆否命题为假命题，所以D 不对. 答案 C9.某市生产总值连续两年持续增加.第一年的增长率为p ，第二年的增长率为q ，则该市这两年生产总值的年平均增长率为( ) A.p ＋q2B.（p ＋1）（q ＋1）－12C.pqD.（p ＋1）（q ＋1）－1解析设年平均增长率为x ，原生产总值为a ，则(1＋p )(1＋q )a ＝a (1＋x )2，解得x ＝（1＋p ）（1＋q ）－1，故选D. 答案 D10.(2016·某某模拟)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧（1－2a ）x ＋3a ，x ＜1，ln x ，x ≥1的值域为R ，那么a 的取值X围是( ) A.(－∞，－1] B.⎝⎛⎭⎪⎫－1，12C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1，12D.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12解析 ∵当x ≥1时，f (x )＝ln x ≥0，且函数的值域为R ，∴当x ＜1时，f (x )的值须取遍所有的负数.∴⎩⎪⎨⎪⎧1－2a ＞0，（1－2a ）×1＋3a ≥0，解得－1≤a ＜12，故选C.答案 C11.(2016·某某统一考试)已知方程|x 2－a |－x ＋2＝0(a ＞0)有两个不等的实数根，则实数a 的取值X 围是( ) A.(0，4)B.(4，＋∞)C.(0，2)D.(2，＋∞)解析依题意，知方程|x 2－a |＝x －2有两个不等的实数根，即函数y ＝|x 2－a |的图像与函数y ＝x －2的图像有两个不同交点.如图，则a ＞2，即a ＞4，选B.答案 B12.(2015·某某预测)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2，x ＞a ，x 2＋5x ＋2，x ≤a ，函数g (x )＝f (x )－2x 恰有三个不同的零点，则实数a 的取值X 围是( ) A.[－1，1) B.[0，2]C.[－2，2)D.[－1，2)解析法一作y ＝x ＋2与y ＝x 2＋5x ＋2在同一坐标系中的图像如图，要使g (x )＝f (x )－2x 恰有三个不同零点，即f (x )与y ＝2x 有三个不同交点，观察可知，需y ＝x ＋2与y ＝2x 交于C 点；y ＝x 2＋5x ＋2与y ＝2x 交于A 、B 点；故令x 2＋5x ＋2＝2x 得x ＝－1或x ＝－2，令2x ＝x ＋2得x ＝2.∴－1≤a ＜2.法二由题意可知即⎩⎪⎨⎪⎧x ＞a ，x ＋2＝2x 有一根x ＝2且⎩⎪⎨⎪⎧x ≤a ，x 2＋5x ＋2＝2x有两根.令g (x )＝x 2＋3x ＋2，∴a ＜2且⎩⎪⎨⎪⎧Δ＞0，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＜0，－32＜a ，g （a ）≥0，解得－1≤a ＜2.答案 D 二、填空题13.(2016·某某自主诊断)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x ≤0，|log 2x |，x ＞0，则f (f (－1))＝________.解析因为f (－1)＝2－1＝12，所以f (f (－1))＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝|log 212|＝1.答案 114.(2016·某某模拟)已知f (x )为偶函数，它在[0，＋∞)上是减函数，若f (lg x )＞f (1)，则x 的取值X 围是________.解析由题意知f (|lg x |)＞f (1)，则|lg x |＜1，即－1＜lg x ＜1，解得110＜x ＜10.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫110，10 15.(2016·某某模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋ax ＋1，x ≥1，ax 2＋x ＋1，x ＜1在R 上是单调增函数，则实数a的取值X 围是________.解析 f (x )在R 上是单调增函数，需满足a ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧－a2≤1.a ＜0，－12a ≥1，解得－12≤a ≤0.答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，0 16.(2015·卷)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x－a ，x ＜1，4（x －a ）（x －2a ），x ≥1.①若a ＝1，则f (x )的最小值为________；②若f (x )恰有2个零点，则实数a 的取值X 围是________.解析 ①当a ＝1时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x－1，x ＜1，4（x －1）（x －2），x ≥1，其大致图像如图所示：由图可知f (x )的最小值为－1. ②当a ≤0时，显然函数f (x )无零点；当0＜a ＜1时，易知f (x )在(－∞，1)上有一个零点，要使f (x )恰有2个零点，则当x ≥1时，f (x )有且只有一个零点，结合图像可知，2a ≥1，即a ≥12，则12≤a ＜1；当a ≥1时，2a ＞1，由二次函数的性质可知，当x ≥1时，f (x )有2个零点，则要使f (x )恰有2个零点，则需要f (x )在(－∞，1)上无零点，则2－a ≤0，即a ≥2.综上可知，满足条件的a 的取值X 围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1∪[2，＋∞).答案 ①－1 ②⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1∪[2，＋∞).。

全国通用近年高考数学一轮复习第三单元基本初等函数(Ⅰ)及应用高考达标检测(六)幂函数、二次函数的3

（全国通用版）2019版高考数学一轮复习第三单元基本初等函数（Ⅰ）及应用高考达标检测（六）幂函数、二次函数的3类考查点——图象、性质、解析式理编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（（全国通用版）2019版高考数学一轮复习第三单元基本初等函数（Ⅰ）及应用高考达标检测（六）幂函数、二次函数的3类考查点——图象、性质、解析式理）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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高考达标检测(六）幂函数、二次函数的3类考查点——图象、性质、解析式一、选择题1．(2018·绵阳模拟）幂函数y＝(m2－3m＋3)x m的图象过点(2，4)，则m＝（)A．－2 B．－1C．1 D．2解析：选D ∵幂函数y＝(m2－3m＋3）x m的图象过点（2，4），∴错误!解得m＝2.故选D.2．（2018·杭州测试)若函数f（x）＝x2－2x＋1在区间[a，a＋2］上的最小值为4，则实数a的取值集合为( ）A．[－3，3] B．[－1,3］C．{－3，3｝D．{－1，－3，3｝解析：选C ∵函数f（x)＝x2－2x＋1＝（x－1）2的图象的对称轴为直线x＝1，f（x）在区间［a,a＋2］上的最小值为4,∴当a≥1时，f（x）min＝f(a)＝（a－1)2＝4，a＝－1(舍去)或a＝3；当a＋2≤1，即a≤－1时，f（x）min＝f（a＋2)＝(a＋1）2＝4，a＝1(舍去）或a＝－3;当a〈1〈a＋2,即－1〈a〈1时，f(x)min＝f（1）＝0≠4。

2019-2020年高三数学一轮总复习第二章函数与基本初等函数Ⅰ第五节二次函数与幂函数课时跟踪检测理

2019-2020年高三数学一轮总复习第二章函数与基本初等函数I 第五节二次函数与幕函数课时跟踪检测理一抓基础，多练小题做到眼疾手快1. 二次函数的图象过点 (0,1)，对称轴为 x = 2，最小值为一1，则它的解析式为解析：依题意可设f (x )= a (x — 2)2 — 1, •••图象过点(0,1), /.4a — 1 = 1,「・ a =—.， 2•-f (x )= 2(x — 2) - 1.答案：f (x )= 2( x — 2)2— 1答案: 3.函数 f (x ) =2x 2 — mx+ 3，当 x € ［ — 2,+^ )时，f (x )是增函数，当 x € ( —^，―2］时，f (x )是减函数，则f (1)的值为 ____________ .2m解析：函数f (x ) = 2x — mx+ 3图象的对称轴为直线 x =-，由函数f (x )的增减区间可知 4== — 2,••• m = — 8，即 f (x )= 2x 2+ 8x + 3,二 f (1) = 2+ 8 + 3 =13.答案：13 4.函数f (x ) =(m — m- 1)x m 是幕函数，且在x € (0，+)上为增函数，则实数 m 的值是 ________ .解析：f (x ) = (n i — m- 1)x m 是幕函数？ m — m- 1 = 1? m= — 1 或 m= 2.又 x € (0 ,+^) 上是增函数，所以 m= 2.答案：25. _______________________________________________________________________ 若幕函数y = f (x )的图象过点”2,半［，贝U y = f (x 2— 2x )的单调减区间为 ____________________ .解析: 2.已知幕函数f (x ) = k • x由幕函数的定义知 k = 1.又f，所以2 a=，解得a = 2从而k + a1 1 11=2 —石，得 a =—-，所以 f (x ) = x — - = ^=，该函 2 22xu = x — 2x 在(—g, 1)上为单调减函数，在(1 , 得x >2或x <0,故所求函数y = f (x 2— 2x )的单调减区间为(2 ,+s ).答案：(2 ,+^)—保咼考，全练题型做到咼考达标函数y = mx (m n € R)的图象经过点\8, 4，贝y mn =1 n—2 3n22解析：根据幕函数的概念得 m= 1，且4 = 8 ,即卩2—= 2，所以n = —3所以mn= —-.答案：-I 2.若函数f (x ) = (1 — x 2)( X 2 + ax — 5)的图象关于直线x = 0对称，贝U f (x )的最大值是解析：依题意，函数 f (x )是偶函数，则y =x 2 + ax — 5是偶函数，故a = 0, f (x ) = (1 — x 2)( x 2— 5) =— x 4 + 6x 2— 5 =— (x 2— 3)2+ 4, 当 x 2= 3 时，f (x )取最大值为 4.答案：43. (xx •无锡调研)若幕函数 y = (m — 3m + 3) • xm — m- 2的图象不过原点，贝Um=解析：由幕函数性质可知卅一3n + 3= 1 ,「• m = 2或m= 1.又幕函数图象不过原点，m—m-2<0,即一K me2,• m= 2 或 m= 1. 答案：2或1_ 24. 设函数 f (x ) = x — 23x + 60, g (x ) = f (x ) + | f (x )|，则 g (1) + g (2) +…+ g (20)=解析：由二次函数图象的性质得，当 3<x e 20时，f (x ) + | f (x )| = 0,「. g (1) + g (2)+ …+ g (20) = g (1) + g (2) = 112.答案：11227 2544解析：设f (x ) = x"，则由2" = -22数是定义在(0,+^)上的单调减函数•而 + )上为单调增函数，且 u = x 2— 2x >0, A丿貝:5. (xx •南京调研)若函数y = x — 3x — 4的定义域为［0 , m ，值域为 —T,— 4，则m的取值范围是解析：二次函数图象的对称轴为 x = 3,且f g =—乎，f (3) = f (0) =—4由图得m€憾，3 .答案：if , 3 16. ________________________________________________________________________ 若函数y = x + (a + 2)x + 3, x € ［ a , b ］的图象关于直线 x = 1对称，则b = _________________ .a + 2 a + b解析：由已知得一 2 = 1，解得a =— 4.又因为一—=1,所以b = 2 — a = 6. 答案：67. 设二次函数f (x ) = ax 2 + 2ax + 1在［—3,2］上有最大值4,则实数a 的值为 _____________ . 解析：此函数图象的对称轴为直线x =— 1.当a >0时，图象开口向上，所以 x = 2时取3得最大值，f (2) = 4a + 4a + 1 = 4,解得a = s ；当a <0时，图象开口向下，所以 x =— 1时取8 得最大值，f ( 一 1) = a — 2a +1 = 4，解得 a =— 3.3答案：—3或81&已知幕函数f (x ) = x —2，若f (a + 1) V f (10 — 2a )，贝y a 的取值范围是 _____________ . 1 1解析：I f (x ) = x —-=一 (x > 0)，易知 x € (0 ,+^)时为减函数，又f (a + 1) V f (102p x一 2a ),[a+ 1 > 0,f> — 1，10 — 2a > 0,解得 a V 5,3 V a V 5.a + 1 > 10 — 2a ,a > 3,答案：(3,5)9. (xx •金陵中学检测)已知函数f (x ) = x — 2卅+ 3( m€ Z)是偶函数，且f (x )在(0 ,+ s )上单调递增.(1)求m 的值，并确定f (x )的解析式;(2) g (x ) = log 2[3 — 2x — f (x )]，求 g (x )的定义域和值域. 解:(1)因为f (x )在(0,+^)单调递增，由幕函数的性质得一2吊+3>0,解得一1<m|.M/4，因为n€ Z,所以m= 0或m= 1. 当m= 0时，f (x) = x3不是偶函数；当m= 1时，f (x) = x2是偶函数，所以m= 1, f (x) = x2.⑵由(1)知g(x) = log 2( —x2—2x+ 3),2由一x —2x + 3>0,得一3<x<1,所以g (x )的定义域为(一3,1).设 t =-X 2— 2x + 3, x € ( — 3,1)，贝y t € (0,4］, 此时g (x )的值域就是函数 y = log 2t , t € (0,4］的值域. 又y = log 2t 在区间(0,4］上是增函数，所以 y € ( —3 2］, 所以函数g (x )的值域为(一3, 2］.10. (xx •南师附中月考)已知函数f (x ) = ax + bx + 1( a, b 为实数，a *0, x € R). (1) 若函数f (x )的图象过点(一2,1)，且方程f (x ) = 0有且只有一个根，求 f (x )的表达式； (2) 在⑴ 的条件下，当x € ［ — 1,2］时，g (x ) = f (x ) — kx 是单调函数，求实数 k 的取值范围.解：(1)因为 f ( — 2) = 1，即 4a — 2b + 1 = 1，所以 b = 2a .因为方程f (x ) = 0有且只有一个根, 所以△ = b 2— 4a = 0. 所以 4a 2— 4a = 0，所以 a = 1, b = 2. 所以 f (x ) = (x + 1)2.⑵ g (x ) = f (x ) — kx = x 2 + 2x + 1— kx = x 2— (k — 2)x + 1 = xk — 2 k — 2—>2 或一^<— 1，即 k 或 k w 0,三上台阶，自主选做志在冲刺名校€ ［ a , b ］上有两个不同的零点，则称 f (x )和g (x )在［a , b ］上是"关联函数”，区间［a , b ］称为"关联区间”.若f (x ) = x 2— 3x + 4与g (x ) = 2x + m 在［0,3］上是"关联函数”，则 m的取值范围为 _________ .2解析：由题意知，y = f (x ) — g (x ) = x — 5x + 4 — m 在［0,3］上有两个不同的零点.在同一直角坐标系下作出函数 y = m 与y = x 2— 5x +4(x € ［0,3］) 的图象如图所示，结合图象可知，当x € ［2,3］时，y = x 2 — 5x + 4 €, — 2 -故当 m€「4，— 2 时，函数 y = m 与 y = x — 5x +4( x € ［0,3］)的图象有两个交点.—2+ 1—*由g (x )的图象知，要满足题意，则 •••所求实数k 的取值范围为(—3,0] U [6 ,+3).1.设f (x )与g ( x )是定义在同一区间［a , b ］上的两个函数，若函数y = f (x ) — g (x )在 x答案:-9,2.已知二次函数 f (x ) = x 2— x + k , k € Z ,若函数g (x ) = f (x ) — 2在一1, 3上有两个此时f (x ) +厂二一单调递增,T x7［ f x2+ 2 81所以当f(x) =4时，〒^ 取得最小值28.答案：88. . _________________________ 23. (xx •镇江四校联考)已知函数f (x ) = x - 1, g (x ) = a | x — 1|.⑴ 若当x € R 时，不等式f (x ) > g (x )恒成立，求实数 a 的取值范围; ⑵ 求函数h (x ) = | f (x )| + g (x )在区间［0,2］上的最大值.2解：⑴不等式f (x ) > g (x )对x € R 恒成立，即x —1> a | x — 1|(*)对x € R 恒成立.时，(*)显然成立，此时 a € R ；x 2 — 1时，(*)可变形为a w 収二百,所以0 (x )> — 2,故此时a w — 2.不同的零点，贝y -f的最小值为x解析：若函数g (x ) = x 2— x + k — 2在j — 1, 3上有两个不同的零点,厂g -1貝」，g|>0，-A = 1 — 1 k — 2解得k = 2.所以二次函数2f (x ) = x —x + 2,其值域为7 +/'4,+/2[f x ] + 2 T_x2=f (x ) +厂厂，其中f (x )①当x = 1②当X M1 x 2— 1令 0 (x) = |x — 1|x +1, x >1, —x +1, x <1.因为当x >1时，0 (x )>2，当x <1时, 0 (x )> — 2,综合①②，得所求实数 a 的取值范围是(—m ，— 2].r- 2—x — ax + a + 1, 0W x <1,⑵ h (x ) = 0, x = 1,I 2x + ax — a — 1, 1<x w 2. a2①当一2三0时，即a >0, ( — x — ax +(x + ax —a 一 1) max = h (2) = a + 3. 此时，h (x )max = a + 3.a②当Ov — 2W1时，2即一2 w a <0, (— x — ax + a + 1) maxf a 、a 22=h — 2 = 4 + a +1, (x + ax — a — 1) max =h (2) = a + 3. 此时h (x ) max = a + 3.a③当1<— 2W2时，即—4w a <— 2, ( — x 2— ax + a + 1) max = h (1) = 0 ,20, — 4w a < — 3, (x + ax — a — 1) max = max{h (1) , h (2)} = max{0,3 + a } =«3+ a ,— 3< a <— 2.了0,— 4< a < — 3, 此时 h ( x ) max =3+ a,— 3< a <— 2. ■u ④当一a >2时，2即 a <一 4, ( 一 x 一 ax + a +1) max = h (1) = 0,2(x + ax —a — 1) max = h (1) = 0. 此时 h (x ) max = 0.(3+ a , a 》一3,综上：h (x )max =|0, a<— 3.ia + 1) max = h (0) = a + 1,。

高考数学(理)一轮复习文档第二章基本初等函数、导数及其应用第4讲二次函数与幂函数 Word版含答案

第4讲二次函数与幂函数1．幂函数(1)定义：形如y ＝x α(α∈R )的函数称为幂函数，其中底数x 是自变量，α为常数．常见的五类幂函数为y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝x 12，y ＝x －1.(2)性质①幂函数在(0，＋∞)上都有定义；②当α>0时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，＋∞)上单调递增； ③当α<0时，幂函数的图象都过点(1，1)，且在(0，＋∞)上单调递减． 2．二次函数(1)二次函数解析式的三种形式 ①一般式：f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)． ②顶点式：f (x )＝a (x －m )2＋n (a ≠0)． ③零点式：f (x )＝a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0)． (2)二次函数的图象和性质1．辨明两个易误点(1)对于函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，要认为它是二次函数，就必须满足a ≠0，当题目条件中未说明a ≠0时，就要讨论a ＝0和a ≠0两种情况．(2)幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限内，至于是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性；幂函数的图象最多只能同时出现在两个象限内；如果幂函数图象与坐标轴相交，则交点一定是原点．2．会用两种数学思想(1)数形结合是讨论二次函数问题的基本方法．特别是涉及二次方程、二次不等式的时候常常要结合图形寻找思路．(2)含字母系数的二次函数问题经常使用的方法是分类讨论．比如讨论二次函数的对称轴与给定区间的位置关系，讨论二次方程根的大小等．1.教材习题改编幂函数y ＝f (x )经过点(2，2)，则f (9)为( ) A ．81 B ．13 C.181D ．3D 设f (x )＝x α，由题意得2＝2α，所以α＝12.所以f (x )＝x 12，所以f (9)＝912＝3，故选D ．2．已知函数f (x )＝ax 2＋x ＋5的图象在x 轴上方，则a 的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，120 B ．⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－120 C.⎝⎛⎭⎪⎫120，＋∞D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－120，0C 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，Δ＜0，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，1－20a ＜0，得a ＞120.3．已知函数y ＝x 2－2x ＋3在闭区间上有最大值3，最小值2，则m 的取值范围为( ) A ． B ． C ．(1，2]D ．(1，2)B 如图，由图象可知m 的取值范围是．4．若f (x )＝(x ＋a )(x －4)为偶函数，则实数a ＝________．f (x )＝x 2＋(a －4)x －4a ，由f (x )是偶函数知a －4＝0，所以a ＝4.45.教材习题改编函数g (x )＝x 2－2x (x ∈)的值域是________．由g (x )＝x 2－2x ＝(x －1)2－1，x ∈，得g (x )在上是减函数，在上是增函数．所以g (x )min ＝g (1)＝－1，而g (0)＝0，g (3)＝3. 所以g (x )的值域为．幂函数的图象及性质(1)(2017·贵州省适应性考试)幂函数y ＝f (x )的图象经过点(3，3)，则f (x )是( )A ．偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数B ．偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数C ．奇函数，且在(0，＋∞)上是减函数D ．非奇非偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数(2)(2016·高考全国卷丙)已知a ＝243，b ＝425，c ＝2513，则( ) A ．b ＜a ＜c B ．a ＜b ＜c C ．b ＜c ＜aD ．c ＜a ＜b【解析】 (1)设幂函数f (x )＝x a，则f (3)＝3a＝3，解得a ＝12，则f (x )＝x 12＝x ，是非奇非偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数．(2)因为a ＝243＝1613，b ＝425＝1615，c ＝2513，且幂函数y ＝x 13在R 上单调递增，指数函数y ＝16x在R 上单调递增，所以b ＜a ＜c .【答案】 (1)D (2)A幂函数的图象特征(1)对于幂函数图象的掌握只要抓住在第一象限内三条线分第一象限为六个区域，即x ＝1，y ＝1，y ＝x 所分区域．根据α<0，0<α<1，α＝1，α>1的取值确定位置后，其余象限部分由奇偶性决定．(2)在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较．1．(2017·西安模拟)函数y ＝3x 2的图象大致是( )C y ＝3x 2＝x 23，其定义域为x ∈R ，排除A ，B ，又0<23<1，图象在第一象限为上凸的，排除D ，故选C.2．已知幂函数f (x )＝(n 2＋2n －2)·xn 2－3n (n ∈Z )在(0，＋∞)上是减函数，则n 的值为( )A ．－3B ．1C ．2D ．1或2B 由于f (x )为幂函数，所以n 2＋2n －2＝1，解得n ＝1或n ＝－3.当n ＝1时，f (x )＝x －2＝1x2在(0，＋∞)上是减函数；当n ＝－3时，f (x )＝x 18在(0，＋∞)上是增函数．故n＝1符合题意，应选B ．求二次函数的解析式已知二次函数f (x )满足f (2)＝－1，f (－1)＝－1，且f (x )的最大值是8，试确定此二次函数的解析式．【解】法一：(利用一般式) 设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)．由题意得⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋2b ＋c ＝－1，a －b ＋c ＝－1，4ac －b 24a＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4，b ＝4，c ＝7.所以所求二次函数的解析式为f (x )＝－4x 2＋4x ＋7. 法二：(利用顶点式)设f (x )＝a (x －m )2＋n (a ≠0)．因为f (2)＝f (－1)，所以抛物线的对称轴为x ＝2＋（－1）2＝12. 所以m ＝12.又根据题意函数有最大值8，所以n ＝8，所以f (x )＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋8.因为f (2)＝－1，所以a ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－122＋8＝－1，解得a ＝－4，所以f (x )＝－4⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋8＝－4x 2＋4x ＋7.法三：(利用零点式)由已知f (x )＋1＝0的两根为x 1＝2，x 2＝－1，故可设f (x )＋1＝a (x －2)(x ＋1)，即f (x )＝ax 2－ax －2a －1.又函数有最大值8，即4a （－2a －1）－a24a ＝8.解得a ＝－4或a ＝0(舍去)，所以所求函数的解析式为f (x )＝－4x 2＋4x ＋7.求二次函数解析式的方法根据已知条件确定二次函数的解析式，一般用待定系数法，但所给条件不同选取的求解方法也不同，选择规律如下：已知二次函数图象的对称轴为x ＝－2，截x 轴所得的弦长为4，且过点(0，－1)，求函数的解析式．因为二次函数图象的对称轴为x ＝－2，所以可设所求函数的解析式为f (x )＝a (x ＋2)2＋b . 因为二次函数f (x )的图象截x 轴所得的弦长为4，所以f (x )过点(－2＋2，0)和(－2－2，0)．又二次函数f (x )的图象过点(0，－1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋b ＝0，2a ＋b ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝－2.所以f (x )＝12(x ＋2)2－2＝12x 2＋2x －1.二次函数的图象与性质(高频考点)高考对二次函数图象与性质进行考查，多与其他知识结合，且常以选择题形式出现，难度为中高档题．高考对二次函数图象与性质的考查主要有以下三个命题角度： (1)二次函数图象的识别问题； (2)二次函数的最值问题； (3)一元二次不等式恒成立问题．(1)已知函数f (x )＝－x 2＋2ax ＋1－a 在x ∈时有最大值2，则实数a 的值为________．(2)已知函数f (x )＝x 2＋mx －1，若对于任意x ∈，都有f (x )<0成立，则实数m 的取值范围是___________________________．【解析】 (1)f (x )＝－(x －a )2＋a 2－a ＋1，当a ≥1时，y max ＝a ；当0＜a ＜1时，y max ＝a 2－a ＋1；当a ≤0时，y max ＝1－a .根据已知条件得，⎩⎪⎨⎪⎧a ≥1a ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧0＜a ＜1a 2－a ＋1＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a ≤01－a ＝2，解得a ＝2或a ＝－1.(2)作出二次函数f (x )的图象，对于任意x ∈，都有f (x )<0，则有⎩⎪⎨⎪⎧f （m ）<0，f （m ＋1）<0，即⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m 2－1<0，（m ＋1）2＋m （m ＋1）－1<0，解得－22<m <0. 【答案】 (1)－1或2 (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，0(1)二次函数最值问题的类型及处理思路①类型：a.对称轴、区间都是给定的；b.对称轴动、区间固定；c.对称轴定、区间变动．②解决这类问题的思路：抓住“三点一轴”数形结合，三点是指区间两个端点和中点，一轴指的是对称轴，结合配方法，根据函数的单调性及分类讨论的思想即可完成．(2)二次函数中恒成立问题的求解思路①一般有两个解题思路：一是分离参数；二是不分离参数．②两种思路都是将问题归结为求函数的最值，至于用哪种方法，关键是看参数是否已分离．这两个思路的依据是：a≥f(x)⇔a≥f(x)max，a≤f(x)⇔a≤f(x)min.角度一二次函数图象的识别问题1．已知函数y＝ax2＋bx＋c，如果a>b>c，且a＋b＋c＝0，则它的图象是( )D 因为a>b>c，且a＋b＋c＝0，得a>0，且c<0，所以f(0)＝c<0，所以函数y＝ax2＋bx＋c的图象开口向上，与y轴的交点在y轴的负半轴上．角度二二次函数的最值问题2．设函数y＝x2－2x，x∈，若函数的最小值为0，则a＝________．因为函数y＝x2－2x＝(x－1)2－1，所以对称轴为直线x＝1，因为x＝1不一定在区间内，所以应进行讨论．当－2<a≤1时，函数在上单调递减，则当x＝a时，y取得最小值，即y min＝a2－2a；所以a2－2a＝0，所以a＝0，a＝2(舍去)，当a>1时，函数在上单调递减，在上单调递增，则当x＝1时，y取得最小值，即y min ＝－1.不合题意．故a的值为0.角度三一元二次不等式恒成立问题3．已知f(x)＝x2＋2(a－2)x＋4，如果对x∈，f(x)>0恒成立，则实数a的取值范围为________．因为f(x)＝x2＋2(a－2)x＋4，对称轴x＝－(a－2)，对x∈，f(x)>0恒成立，所以讨论对称轴与区间的位置关系得：⎩⎪⎨⎪⎧－（a －2）<－3，f （－3）>0，或⎩⎪⎨⎪⎧－3≤－（a －2）≤1，Δ<0，或⎩⎪⎨⎪⎧－（a －2）>1，f （1）>0，解得a ∈∅或1≤a <4或－12<a <1，所以a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，4. ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，4——三个“二次”间的转化若二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)满足f (x ＋1)－f (x )＝2x ，且f (0)＝1. (1)求f (x )的解析式；(2)若在区间上，不等式f (x )>2x ＋m 恒成立，求实数m 的取值范围．【解】 (1)由f (0)＝1，得c ＝1，所以f (x )＝ax 2＋bx ＋1. 又f (x ＋1)－f (x )＝2x ，所以a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＋1－(ax 2＋bx ＋1)＝2x ，即2ax ＋a ＋b ＝2x .所以⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝2，a ＋b ＝0.所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－1.因此，所求解析式为f (x )＝x 2－x ＋1.(2)f (x )>2x ＋m 等价于x 2－x ＋1>2x ＋m ，即x 2－3x ＋1－m >0，要使此不等式在区间上恒成立，只需使函数g (x )＝x 2－3x ＋1－m 在区间上的最小值大于0即可．因为g (x )＝x 2－3x ＋1－m 在区间上单调递减，所以g (x )min ＝g (1)＝－m －1，由－m －1>0，得m <－1. 因此满足条件的实数m 的取值范围是(－∞，－1)．二次函数、二次方程与二次不等式统称三个“二次”，它们常结合在一起，而二次函数又是三个“二次”的核心，通过二次函数的图象贯穿为一体．因此，解决此类问题首先采用转化思想，把方程、不等式问题转化为函数问题．借助于函数思想研究方程、不等式(尤其是恒成立)问题是高考命题的热点．已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋b (a ，b ∈R )的值域为根据函数f (x )＝x 2＋ax＋b ≥0，得到a 2－4b ＝0，又因为关于x 的不等式f (x )<c ，可化为：x 2＋ax ＋b －c <0，它的解集为(m ，m ＋6)，设函数g (x )＝x 2＋ax ＋b －c 的图象与x 轴的交点的横坐标分别为x 1，x 2，则|x2－x1|＝m＋6－m＝6，从而，(x2－x1)2＝36，即(x1＋x2)2－4x1x2＝36，又因为x1x2＝b－c，x1＋x2＝－a，a2－4(b－c)＝a2－4b＋4c＝36，代入a2－4b＝0得到c＝9.91．如图是①y＝x a；②y＝x b；③y＝x c在第一象限的图象，则a，b，c的大小关系为( )A．c<b<a B．a<b<cC．b<c<a D．a<c<bD 根据幂函数的性质，可知选D．2．已知函数f(x)＝x2－m是定义在区间上的奇函数，则下列成立的是( )A．f(m)<f(0)B．f(m)＝f(0)C．f(m)>f(0)D．f(m)与f(0)大小不确定A 因为函数f(x)是奇函数，所以－3－m＋m2－m＝0，解得m＝3或－1.当m＝3时，函数f(x)＝x－1，定义域不是，不合题意；当m＝－1时，函数f(x)＝x3在定义域上单调递增，又m<0，所以f(m)<f(0)．3．若函数f(x)＝x2＋bx＋c对任意的x∈R都有f(x－1)＝f(3－x)，则以下结论中正确的是( )A．f(0)<f(－2)<f(5)B．f(－2)<f(5)<f(0)C．f(－2)<f(0)<f(5)D．f(0)<f(5)<f(－2)A 若函数f(x)＝x2＋bx＋c对任意的x∈R都有f(x－1)＝f(3－x)，则f(x)＝x2＋bx ＋c的图象的对称轴为x＝1且函数f(x)的图象的开口方向向上，则函数f(x)在(1，＋∞)上为增函数，所以f(2)<f(4)<f(5)，又f(0)＝f(2)，f(－2)＝f(4)，所以f(0)<f(－2)<f(5)．4．(2017·西城期末测试)定义域为R的函数f(x)满足f(x＋1)＝2f(x)，且当x∈时，f(x)＝x2－x，则当x∈时，f(x)的最小值为( )A．－116B．－18C ．－14D ．0A 当x ∈时，x ＋2∈，则f (x ＋2)＝(x ＋2)2－(x ＋2)＝x 2＋3x ＋2，又f (x ＋2)＝f ＝2f (x ＋1)＝4f (x )，所以当x ∈时，f (x )＝14(x 2＋3x ＋2)，所以当x ＝－32时，f (x )取得最小值，且最小值为－116，故选A.5．若函数f (x )＝x 2－2x ＋1在区间上的最小值为4，则a 的取值集合为( ) A ．B ．C ．{－3，3}D ．{－1，－3，3}C 因为函数f (x )＝x 2－2x ＋1＝(x －1)2，对称轴x ＝1，因为在区间上的最小值为4，所以当1≤a 时，y min ＝f (a )＝(a －1)2＝4，a ＝－1(舍去)或a ＝3，当a ＋2≤1时，即a ≤－1，y min ＝f (a ＋2) ＝(a ＋1)2＝4，a ＝1(舍去)或a ＝－3，当a <1<a ＋2，即－1<a <1时，y min ＝f (1)＝0≠4，故a 的取值集合为{－3，3}．6．已知函数f (x )＝x 2＋x ＋c ，若f (0)>0，f (p )<0，则必有( ) A ．f (p ＋1)>0 B ．f (p ＋1)<0C ．f (p ＋1)＝0D ．f (p ＋1)的符号不能确定A 由题意知，f (0)＝c >0，函数图象的对称轴为x ＝－12，则f (－1)＝f (0)>0，设f (x )＝0的两根分别为x 1，x 2(x 1<x 2)，则－1<x 1<x 2<0，根据图象知，x 1<p <x 2，故p ＋1>0，f (p ＋1)>0.7．已知幂函数f (x )＝x α的图象过点(2，4)，那么函数f (x )的单调递增区间是________．因为f (2)＝2α＝4，所以α＝2，故函数f (x )的解析式为f (x )＝x 2，则其单调递增区间为，则y ＝f (x )的值域为________．因为f (x )＝ax 2＋bx ＋3a ＋b 是偶函数，所以其定义域关于原点对称，所以a －1＝－2a ，所以a ＝13，因为f (x )＝ax 2＋bx ＋3a ＋b 是偶函数，即f (－x )＝f (x )，所以b ＝0，所以f (x )＝13x 2＋1，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－23，23，其值域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫y ⎪⎪⎪1≤y ≤3127.⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，31279．设函数f (x )＝x 2－1，对任意x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x m －4m 2f (x )≤f (x －1)＋4f (m )恒成立，则实数m 的取值范围是________．依据题意，得x 2m 2－1－4m 2(x 2－1)≤(x －1)2－1＋4(m 2－1)在x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞上恒成立，即1m 2－4m 2≤－3x 2－2x ＋1在x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞上恒成立．当x ＝32时，函数y ＝－3x 2－2x ＋1取得最小值－53，所以1m 2－4m 2≤－53，即(3m 2＋1)(4m 2－3)≥0，解得m ≤－32或m ≥32. ⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－32∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞ 10．(2017·北京丰台区统一练习)已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2－2x ，如果函数g (x )＝f (x )－m (m ∈R )恰有4个零点，则m 的取值范围是________．函数g (x )＝f (x )－m (m ∈R )恰有4个零点，可转化为函数y ＝f (x )与函数y ＝m 的图象有四个交点，作出函数y ＝f (x )的图象，如图所示，可知当m ∈(－1，0)时满足要求．(－1，0)11．已知幂函数f (x )＝x (m 2＋m )－1(m ∈N *)的图象经过点(2，2)，试确定m 的值，并求满足条件f (2－a )>f (a －1)的实数a 的取值范围．因为函数f (x )的图象经过点(2，2)，所以2＝2(m 2＋m )－1，即212＝2(m 2＋m )－1，所以m 2＋m ＝2，解得m ＝1或m ＝－2.又因为m ∈N *，所以m ＝1，f (x )＝x 12. 又因为f (2－a )>f (a －1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧2－a ≥0，a －1≥0，2－a >a －1，解得1≤a <32，故函数f (x )的图象经过点(2，2)时，m ＝1.满足条件f (2－a )>f (a －1)的实数a 的取值范围为1≤a <32. 12．已知函数f (x )＝x 2＋2ax ＋2，x ∈．(1)当a ＝－1时，求函数f (x )的最大值和最小值；(2)求实数a 的取值范围，使y ＝f (x )在区间上是单调函数．(1)当a ＝－1时，f (x )＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1，x ∈，所以当x ＝1时，f (x )取得最小值1；当x ＝－5时，f (x )取得最大值37.(2)函数f (x )＝(x ＋a )2＋2－a 2的图象的对称轴为直线x ＝－a ，因为y ＝f (x )在区间上是单调函数，所以－a ≤－5或－a ≥5，即a ≤－5或a ≥5.故a 的取值范围是(－∞，－5]∪ 因为二次函数的图象与x 轴交于两点，所以b 2－4ac >0，即b 2>4ac ，①正确；对称轴为x ＝－1，即－b 2a＝－1，2a －b ＝0，②错误；结合图象，当x ＝－1时，y >0，即a －b ＋c >0，③错误；由对称轴为x ＝－1知，b ＝2a ，又函数图象开口向下，所以a <0，所以5a <2a ，即5a <b ，④正确．故选 B ．14．定义：如果在函数y ＝f (x )定义域内的给定区间上存在x 0(a <x 0<b )，满足f (x 0)＝f （b ）－f （a ）b －a，则称函数y ＝f (x )是上的“平均值函数”，x 0是它的一个均值点，如y ＝x 4是上的平均值函数，0就是它的均值点．现有函数f (x )＝－x 2＋mx ＋1是上的平均值函数，则实数m 的取值范围是________．因为函数f (x )＝－x 2＋mx ＋1是上的平均值函数，设x 0为均值点，所以f （1）－f （－1）1－（－1）＝m ＝f (x 0)，即关于x 0的方程－x 20＋mx 0＋1＝m 在(－1，1)内有实数根，解方程得x 0＝1或x 0＝m －1.所以必有－1<m －1<1，即0<m <2，所以实数m 的取值范围是(0，2)．(0，2)15．已知函数f (x )＝x 2＋4ax ＋2a ＋6.(1)若函数f (x )的值域为 (1)因为函数的值域为上恒成立，试求b 的取值范围．(1)由已知c ＝1，a －b ＋c ＝0，且－b2a＝－1，解得a ＝1，b ＝2，所以f (x )＝(x ＋1)2.所以F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧（x ＋1）2，x ＞0，－（x ＋1）2，x ＜0. 所以F (2)＋F (－2)＝(2＋1)2＋＝8.(2)由题意知f (x )＝x 2＋bx ，原命题等价于－1≤x 2＋bx ≤1在(0，1]上恒成立，即b ≤1x －x 且b ≥－1x－x 在(0，1]上恒成立．又当x ∈(0，1]时，1x －x 的最小值为0，－1x－x 的最大值为－2.所以－2≤b ≤0.故b 的取值范围是．。

织金二中高三数学第一轮复习测试题三

织金二中高三数学第一轮复习测试题（三）测试内容：函数与方程、导数应用、定积分、任意角的三角函数和诱导公式一、选择题(共12个小题，每小题5分，满分60分) 1．已知函数f (x )＝ax 2＋3x －2在点(2，f (2))处的切线斜率为6，则实数a 的值为( )A ．－1B ．34C ．±34 D ．－2 2．角α的终边过点(1, －2)，则cos α＝( )A.55B.255 C ．－55 D ．－255 3．如图，由函数f (x )＝e x －e 的图象，直线x ＝2及x 轴所围成的阴影部分面积等于( )A ．e 2－2e －1B ．e 2－2eC ．e 2－e2 D ．e 2－2e ＋14．如果函数y ＝f (x )的图象如右图，那么导函数y ＝f ′(x )的图象可能是( )5．函数f (x )＝(3－x )e x 的单调递减区间是( )A ．(－∞，2)B ．(－∞，3)C ．(2，＋∞)D ．(3，＋∞) 6．若θ为第二象限角，则能确定为正值的是( )A ．sin θ2B ．cos θ2C ．tan θ2D ．- sin θ2 7．已知角α终边上一点M (2，tan300°)，则sin α=( )A ．217B ．－277C ．277D ．－ 2178．函数f (x )＝⎩⎨⎧(12)x －x 2＋2x (x >0)，2x ＋1(x ≤0)的零点个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．39．已知f (α)＝sin (3π－α)cos (2π－α)tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－α＋7π2cos (－π－α)，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－31π3的值为( )A.12 B ．－12 C.32 D ．－3210．已知函数y ＝f (x )的图象在点(1，f (1))处的切线方程是3x －4y ＋1＝0，则f (1)＋2f ′(1)的值是( )A ．-52B ．72C ．-72D ．5211．已知扇形的周长是8 cm ，面积是4 cm 2，则扇形的中心角的弧度数是( ) A ．1或4 B ．1 C ．4 D ．212．已知α∈(2 013π，2 014π)，且sin(α＋2 013π)＝33，则cos(α－2 014π)等于( )A ．±63B ．－63 C.33 D ．－33 二、填空题(共4个小题，每小题5分，满分20分)13．函数f (x )＝(m －1)x 2＋2(m ＋1)x －1的图象与x 轴只有一个交点，则实数m 的取值的集合是________．14．函数y ＝-sin x ＋cos x 的定义域是________________．15．终边与单位圆交点的横坐标是－22的钝角为________________16．已知tan θ＝3，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ－cos (π－θ)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ－sin (π－θ)等于________．三、解答题(共6个题，满分70分)17．（10分）已知函数f (x )＝x 3＋ax ，g (x )＝4x 2＋3b ，它们的图象在x ＝1处有相同的切线．求函数f (x )和g (x )的解析式.18．（12分）设函数f (x )＝|log 2x |，f (x )在区间(m －2,2m )内有定义且不是单调函数.求m 的取值范围.19．（12分）已知曲线y ＝x 3＋3x 2＋6x +3的切线中，求该曲线斜率最小的切线方程.20．（12分）已知sin α＝12，求tan(α＋π)＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2－α的值．21．(12分) 已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，曲线y ＝f (x )在点x ＝1处的切线为l ：3x －y ＋1＝0，若x ＝23时，y ＝f (x )有极值． (1)求a ，b ，c 的值； (2)求y ＝f (x )在[－3,1]上的最大值和最小值． 22．(12分) 已知函数f (x )＝A sin(2x ＋φ)(A >0，x ∈(－∞，＋∞)，0<φ<π)在x ＝π8时取得最大值4.(1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )的解析式.织金二中高三数学第一轮复习测试题（三）参考答案一、选择题：1. 解析：因为f ′(x )＝2ax ＋3，所以由题意得2a ×2＋3＝6，解得a ＝34.故选B.答案：B2. 解析：由题意得r ＝5，∴cos α＝x r ＝15＝55.答案：A3. 解析：面积S ＝⎠⎛12f (x )d x ＝⎠⎛12(e x－e)d x ＝(e x －e x ) |21＝(e 2－2e)－(e 1－e)＝e 2－2e.答案：B4. 解析：由原函数的单调性可以得到导函数的正负情况依次是正→负→正→负，只有选项A 满足．答案：A5. 解析：f ′(x )＝－1×e x ＋(3－x )·e x ＝e x (2－x )，令f ′(x )<0，由于e x >0， ∴2－x <0，解得x >2. 答案：C6.解析：解析：∵2k π<θ<π2＋2k π(k ∈Z )，∴k π<θ2<π4＋k π(k ∈Z )，4k π<2θ<π＋4k π(k ∈Z )．可知θ2是第一、三象限角，sin θ2，cos θ2都可能取负值，只有tan θ2能确定为正值.答案：C7.解析：∵tan300°＝tan(360°－60°)＝－tan60°＝－3，∴M (2，－3)．故点M (2，tan300°)位于第四象限．|OM |=7根据终边相同的角的三角函数定义可得sin α= y r =－217.答案：D8. 解析：在同一坐标系中作出函数y ＝(12)x 与y ＝x 2－2x (x >0)的图象如图，可知f (x )在x >0时有一个零点；x ≤0时，由2x ＋1＝0得x ＝－12.所以选C.答案：C9.解析：解析：∵f (α)＝sin αcos α－cos αtan α＝－cos α，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－31π3＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－31π3 ＝－cos 31π3＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫10π＋π3 ＝－cos π3＝－12. 答案：B10. 解析：(1，f (1))在直线3x －4y ＋1＝0上，所以3－4f (1)＋1＝0，∴f (1)＝1. 又∵f ′(1)＝12，∴f (1)＋2f ′(1)＝1＋2×34＝52.答案：D11. 解析：设此扇形的半径为r ，弧长是l ，则⎩⎨⎧2r ＋l ＝8，12rl ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧r ＝2，l ＝4，从而α＝l r ＝42＝2 答案：D12. 解析：由α∈(2 013π，2 014π)，知α为第三、四象限的角，而sin(α＋2 013π)＝－sin α＝33，∴sin α＝－33，于是cos(α－2 014π)＝cos α ＝±1－sin 2α＝±63，故选A.二、填空题：13. 解析：当m ＝1时，f (x )＝4x －1，其图象和x 轴只有一个交点⎝ ⎛⎭⎪⎫14，0. 当m ≠1时，依题意得Δ＝4(m ＋1)2＋4(m －1)＝0，即m 2＋3m ＝0，解得m ＝－3或m ＝0.∴m 的取值的集合为{－3,0,1}．答案：{－3,0,1}14.解析：解析：由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ －sin x ≥0， cos x ≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧sin x ≤0，cos x ≥0，∴x 的范围为3π2＋2k π≤x ≤2π＋2k π(k ∈Z )．答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π2＋2k π，2π＋2k π(k ∈Z )15.解析：所求角为钝角，终边必落在第二象限，故其坐标为⎝⎛⎭⎪⎫－22，22，该角为3π4，16.解析：sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ－cos (π－θ)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ－sin (π－θ)＝cos θ＋cos θcos θ－sin θ＝21－tan θ＝－1. 答案：－1 三、解答题：17.解析： f ′(x )＝3x 2＋a ，g ′(x )＝4x ，由条件知⎩⎪⎨⎪⎧f (1)＝g (1)，f ′(1)＝g ′(1)，∴⎩⎪⎨⎪⎧1＋a ＝4＋3b ，3＋a ＝4，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝-1， ∴f (x )＝x 3＋x ，g (x )＝2x 2-3. 18. 解析：由题知，只需1∈(m －2,2m )，且m －2≥0即可．于是0≤m －2<1，且2m >1，于是2≤m <3.19.解析：y ′＝3x 2＋6x ＋6＝3(x ＋1)2＋3≥3.当x ＝－1时，y ′min ＝3，y ＝－7.∴切线方程为y ＋7＝3(x ＋1)，即3x －y －4＝0.20.解析：∵sin α＝12>0， ∴α为第一或第二象限角． (1)当α是第一象限角时，cos α＝1－sin 2α＝32，tan(α＋π)＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2－α＝tan α＋cos αsin α＝sin αcos α＋cos αsin α＝1sin αcos α＝233.(2)当α是第二象限角时， cos α＝－1－sin 2α＝－32，原式＝1sin αcos α＝－233.21.解析： (1)由f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，得f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，当x ＝1时，切线l 的斜率为3，可得2a ＋b ＝0. ① 当x ＝23时，y ＝f (x )有极值，则f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝0，可得4a ＋3b ＋4＝0. ②由①②解得a ＝2，b ＝－4. 由于切点的横坐标为x ＝1，∴f (1)＝4.∴1＋a ＋b ＋c ＝4，∴c ＝5. ∴a ＝2，b ＝－4，c ＝5. (2)由(1)可得f (x )＝x 3＋2x 2－4x ＋5，∴f ′(x )＝3x 2＋4x －4，令f ′(x )＝0，得x 1＝－2，x 2＝23. 当x 变化时，y 、y ′的取值及变化如下表：单调递增单调递减单调递增最小值为952722.解析：(1)∵f (x )＝A sin(2x ＋φ)，∴f (x )的最小正周期T ＝2π2 ＝π，(2)∵当x ＝π6时，f (x )有最大值4，∴A ＝4.∴4＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π8＋φ，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋φ＝1. 即π4＋φ＝2k π＋π2(k ∈Z )，得φ＝2k π＋π4(k ∈Z )． ∵0<φ<π，∴φ＝π4. ∴f (x )＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4.。

全国版高考数学一轮复习第2章函数概念与基本初等函数Ⅰ第2讲函数的基本性质试题2理含解析

第二章函数的概念与基本初等函数I第二讲函数的基本性质1.[2021江西红色七校第一次联考]下列函数中，既是偶函数又在区间(0，+∞)上单调递减的是( ) A.y =cos x B.y =x 2C.y =ln|x |D.y =e-|x |2.[2021湖北省四地七校联考]若函数f (x )=sIn x ·ln(mx +√1+4x 2)的图象关于y 轴对称，则m =( ) A .2B .4C .±2D .±43.[2020郑州三模]若函数f (x )={e x -x +2a ,x >0,(a -1)x +3a -2,x ≤0在(-∞，+∞)上是单调函数，则a 的取值范围是( )A .[1，+∞)B .(1，3]C .[12，1) D .(1，2]4.[2021广州市阶段模拟]已知f (x )，g (x )分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且 f (x )-g (x )=x 3+x 2+a ，则g (2)=( ) A.-4B.4C.-8D.85.[2021长春市第一次质量监测]定义在R 上的函数f (x )满足f (x )=f (x +5)，当x ∈[-2，0)时，f (x )=-(x +2)2，当x ∈[0，3)时，f (x )=x ，则f (1)+f (2)+…+f (2 021)=( ) A.809 B.811 C.1 011 D.1 0136.[2021陕西省部分学校摸底检测]已知函数f (x )=2x cosx 4x +a是偶函数，则函数f (x )的最大值为( )A.1B.2C.12 D .37.[2021济南名校联考]已知定义在R 上的函数f (x )满足f (x +6)=f (x )，y =f (x +3)为偶函数，若f (x )在(0，3)上单调递减，则下面结论正确的是( ) A .f (192)<f (e 12)<f (ln 2)B .f (e 12)<f (ln 2)<f (192)C .f (ln 2)<f (192)<f (e 12) D .f (ln 2)<f (e 12)<f (192)8.[2020陕西省百校联考]函数f (x )在[0，+∞)上单调递增，且f (x +2)的图象关于直线x =-2对称，若f (-2)=1，则满足f (x -2)≤1的x 的取值范围是( ) A.[-2，2]B.(-∞，-2]∪[2，+∞)C.(-∞，0]∪[4，+∞)D.[0，4]9.[2020江苏苏州初调]若y =f (x )是定义在R 上的偶函数，当x ∈[0，+∞)时，f (x )={sInx ,x ∈[0,1),f (x -1),x ∈[1,+∞),则f (-π6-5)= .10.函数f (x )=x 3-3x 2+5x -1图象的对称中心为 .11.[2021蓉城名校联考]已知函数f (x )=x +cos x ，x ∈R，设a = f (0.3-1)， b = f (2-0.3)，c = f (log 20.2)，则( )A.b <c <aB.c <a <bC.b <a <cD.c <b <a12.[2021辽宁葫芦岛第二次测试]已知y =f (x -1)是定义在R 上的偶函数，且y =f (x )在[-1，+∞)上单调递增，则不等式f (-2x -1-1)<f (3)的解集为( ) A.(2，+∞) B.(3，+∞) C.(-∞，2) D.(-∞，3)13.已知f (x )是定义在(1，+∞)上的增函数，若对于任意x ，y ∈(1，+∞)，均有f (x )+f (y )=f (2x +y)，f (2)=1，则不等式f (x )+f (x -1)-2≥0的解集为( ) A.[52，+∞) B.(52，+∞)C.[1，52] D .(2，52]14.[2020长春市质量监测]已知函数y =f (x )是定义在R 上的奇函数，且满足f (2+x )+f (x )=0，当x ∈[-2，0]时，f (x )=-x 2-2x ，则当x ∈[4，6]时，y =f (x )的最小值为( )A.-8B.-1C.0D.115.[2020广东七校联考]已知定义在R 上的偶函数y =f (x +2)，其图象是连续的，当x >2时，函数y =f (x )是单调函数，则满足f (x )=f (1-1x+4)的所有x 之积为( )A .3B .-3C .-39D .3916.[原创题]设增函数f (x )={lnx ,x >1,-1+ax x,0<x ≤1的值域为R ，若不等式f (x )≥x +b 的解集为{x |c ≤x ≤e}，则实数c 的值为( ) A.e−√e 2-42B.e+√e 2-42C.e±√e 2-42D.12答案第二讲函数的基本性质1.D 函数y =cos x 是偶函数且是周期为2π的周期函数，所以y =cos x 在(0，+∞)上不具有单调性，所以A 选项不符合题意;函数y =x 2为偶函数，但在(0，+∞)上单调递增，所以B 选项不符合题意;函数y =ln|x |={lnx ,x >0,ln(−x ),x <0为偶函数，但在(0，+∞)上单调递增，所以C 选项不符合题意;函数y =e -|x |={e -x ,x ≥0,e x ,x <0为偶函数，在(0，+∞)上单调递减，所以D 选项符合题意.故选D .2.C ∵f (x )的图象关于y 轴对称，∴f (x )为偶函数，又y =sin x 为奇函数，∴y =ln(mx +√1+4x 2)为奇函数，即ln[-mx +√1+4·(−x )2]+ln(mx +√1+4x 2)=0，即ln(1+4x 2-m 2x 2)=0，1+4x 2-m 2x 2=1，解得m =±2.故选C .3.B 当x >0时，f (x )=e x -x +2a ，则f'(x )=e x-1>0，所以函数f (x )在(0，+∞)上单调递增.因为函数f (x )在(-∞，+∞)上是单调函数，所以函数f (x )在(-∞，+∞)上是单调递增函数.当x ≤0时，f (x )=(a -1)x +3a -2是单调递增函数，所以a -1>0，得a >1.e 0-0+2a ≥(a -1)×0+3a -2，解得a ≤3.所以1<a ≤3，故选B .4.C 依题意f (x )是偶函数，g (x )是奇函数，且f (x )-g (x )=x 3+x 2+a ①，所以f (-x )-g (-x )=-x 3+x 2+a ，即f (x )+g (x )=-x 3+x 2+a ②，②-①得2g (x )=-2x 3，g (x )=-x 3，所以g (2)=-23=-8.故选C .5.A 由f (x )=f (x +5)可知f (x )的周期为5，又f (0)=0，f (1)=1，f (2)=2，f (-1)=-1，f (-2)=0，∴f (3)=f (-2)=0，f (4)=f (-1)=-1，f (5)=f (0)=0，∴f (1)+f (2)+f (3)+f (4)+f (5)=2，∴f (1)+f (2)+…+f (2 021)=f (1)+2×404=809.故选A .6.C 解法一因为函数f (x )=2x cosx 4x +a是偶函数，所以f (-x )=f (x )，即2-x cos(−x )4-x +a=2x cosx 4x +a，化简可得a (4x -1)=4x-1，得a =1，所以f (x )=2x cosx4x +1=cosx2x +2-x .又cos x ≤1，2x +2-x ≥2，当且仅当x =0时两个“=”同时成立，所以f (x )≤12.故选C .解法二因为函数f (x )为偶函数，所以f (-1)=f (1)，即2-1cos(−1)4-1+a=21cos14+a，解得a =1，所以f (x )=2x cosx 4x +1=cosx2x +2-x .因为cos x ≤1，2x+2-x≥2，当且仅当x =0时两个“=”同时成立，所以f (x )max =12，故选C .7.A 由f (x +6)=f (x )知函数f (x )是周期为6的函数.因为y =f (x +3)为偶函数，所以f (x +3)=f (-x +3)，所以f (192)=f (72)=f (12+3)=f (-12+3)=f (52).(题眼)(难点:利用函数的性质把自变量的取值化到同一个单调区间内)因为1<e 12<2，0<ln 2<1，所以0<ln 2<e 12<52<3.因为f (x )在(0，3)上单调递减，所以f (52)<f (e 12)<f (ln 2)，即f (192)<f (e 12)<f (ln 2)，故选A .8.D 依题意得，函数f (x )是偶函数，则f (x -2)≤1，即f (|x -2|)≤f (|-2|).由函数f (x )在[0，+∞)上单调递增得|x -2|≤2，即-2≤x -2≤2，0≤x ≤4.所以满足f (x -2)≤1的x 的取值范围是[0，4]，故选D .9.12 因为y =f (x )是定义在R 上的偶函数，所以f (-π6-5)=f (π6+5).因为x ≥1时，f (x )=f (x -1)，所以f (π6+5)=f (π6+4)=…=f (π6).又0<π6<1，所以f (π6)=sin π6=12.故f (-π6-5)=12.10.(1，2) 解法一由题意设图象的对称中心为(a ，b )，则2b =f (a +x )+f (a -x )对任意x 均成立，代入函数解析式得，2b =(a +x )3-3(a +x )2+5(a +x )-1+(a -x )3-3(a -x )2+5(a -x )-1=2a 3+6ax 2-6a 2-6x 2+10a -2=2a 3-6a 2+10a -2+(6a -6)x 2对任意x 均成立，所以6a -6=0，且2a 3-6a 2+10a -2=2b ，即a =1，b =2，即f (x )的图象的对称中心为(1，2). 解法二由三次函数对称中心公式可得，f (x )的图象的对称中心为(1，2).11.D f (x )=x +cos x ，则f'(x )=1-sin x ≥0，所以f (x )在R 上单调递增，又log 20.2<2-0.3<1<0.3-1=103，所以f (log 20.2)<f (2-0.3)<f (103)，即c <b <a.12.D 由题可知y =f (x -1)的图象关于y 轴对称.因为y =f (x )的图象向右平移1个单位长度得到y =f (x -1)的图象，所以y =f (x )的图象关于直线x =-1对称.因为y =f (x )在[-1，+∞)上单调递增，所以f (x )在(-∞，-1)上单调递减.所以|-2x -1-1-(-1)|<|3-(-1)|，即0<2x -1<4，解得x <3，所以原不等式的解集为(-∞，3)，故选D . 13.A 根据f (x )+f (y )=f (2x +y)，f (2)=1，可得2=1+1=f (2)+f (2)=f (24)，所以f (x )+f (x -1)-2≥0得f (22x -1)≥f (24).又f (x )是定义在(1，+∞)上的增函数，所以{22x -1≥24,x >1,x -1>1, 解得x ≥52.所以不等式f (x )+f (x -1)-2≥0的解集为[52，+∞).14.B 由f (2+x )+f (x )=0，得函数f (x )是以4为周期的周期函数.设x ∈[0，2]，则-x ∈[-2，0]，f (-x )=-(-x )2-2(-x )=-x 2+2x.因为函数y =f (x )是定义在R 上的奇函数，所以f (x )=-f (-x )=x 2-2x =(x -1)2-1，当x =1时，f (x )取得最小值-1.由周期函数的性质知，当x ∈[4，6]时，y =f (x )的最小值是-1，故选B .15.D 因为函数y =f (x +2)是偶函数，所以函数y =f (x )图象关于x =2对称，因为f (x )在(2，+∞)上单调，所以f (x )在(-∞，2)上也单调，所以要使f (x )=f (1-1x+4)，则x =1-1x+4或4-x =1-1x+4.由x =1-1x+4，得x 2+3x -3=0，Δ1>0，设方程的两根分别为x 1，x 2，则x 1x 2=-3;由4-x =1-1x+4，得x 2+x -13=0，Δ2>0，设方程的两根分别为x 3，x 4，则x 3x 4=-13.所以x 1x 2x 3x 4=39.故选D .16.A 当x >1时，f (x )为增函数，且f (x )∈(0，+∞)，当0<x ≤1时，-1+ax x=a -1x ≤a -1，即f (x )∈(-∞，a -1].因为f (x )为增函数，所以a -1≤0，则a ≤1，又函数f (x )的值域为R ，所以a -1≥0，即a ≥1，从而a =1，函数f (x )={lnx ,x >1,-1+x x,0<x ≤1.因为不等式f (x )≥x +b 的解集为{x |c ≤x ≤e}，易知ln x =x +b 的解为x =e ，所以b =1-e ，当x =1时，x +b =1+1-e=2-e<0=f (1)，故0<c <1.令-1+x x=x +1-e ，得x 2-e x +1=0，从而x =e−√e 2-42，则c =e−√e 2-42，故选A .。

织金二中高三数学第一轮复习测试题 函数、基本初等函数