东北三省三校2015届高三第一次高考模拟考试 理科数学(扫描版含答案)

2015年东北三省三校第一次高考模拟考试
理科数学参考答案
13．90°
14．64π
15．84
16．4
5
-
三、解答题 17．解：
（1）设ΔABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为 a 、b 、c ，
则由已知：1
sin 22bc θ=，0cos 4bc θ<≤， ……4分
可得，tan 1θ≥，所以：[,)42ππ
θ∈ ……6分
（2）2()2sin ()[1cos(2)]42
f ππ
θθθθθ=+=-+
(1sin 2)sin 212sin(2)13
π
θθθθθ=+=+=-+ ……8分
∵[,)42ππθ∈，∴22[,)363πππθ-∈，∴π22sin(2)133
θ≤-+≤
即当512πθ=
时，max ()3f θ=；当4
π
θ=时，min ()2f θ= 所以：函数()f θ的取值范围是[2,3] ……12分 18．解：
（1）由表知：①，②分别填35、0.300补全频率分布直方图如下： ……2分
……3分
平均年龄估值为：1
(450.05550.2650.35750.3850.1)33.52
⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=岁……6分
（2）由表知：抽取的20人中，年龄低于30岁的有5人，X 的可能取值为0，1，2
21522021(0)38C P X C ===，1151522015(1)38C C P X C ===，252
202
(2)38
C P X C === ……9分 X
……10分
期望211521
()0123838382
E X =⨯
+⨯+⨯=（人） ……12分 19．证明：
（1）取PD 中点M ，连接MF ，MA 在ΔCPD 中，F 为PC 的中点，
∴MF 平行且等于12DC ，正方形ABCD 中E 为AB 中点， AE 平行且等于1
2
DC ，
∴AE 平行且等于MF ，故：EFMA 为平行四边形，∴EF ∥AM ……2分
年龄（岁）
0.010.020.030.040.050.060.070.080.09
又∵EF ⊄平面P AD ，AM ⊂平面P AD ∴EF ∥平面P AD ……4分 （2）如图：以点A 为坐标原点建立空间直角坐标系：
(0,0,2)P ，(0,1,0)B ，(1,1,0)C ，1(0,,0)2E ，11
(,,1)22F
由题易知平面PAD 的法向量为(0,1,0)n =， ……6分
假设存在Q 满足条件：设EQ EF λ=，1
(,0,1)2
EF =，
1(,,)22Q λλ=，[0,1]λ∈，(0,0,2)AP =，1(,,)22
AQ λλ=
设平面P AQ 的法向量为(,,)m x y z =，
10
(1,,0)2
20x y z m z λ
λλ⎧++=⎪⇒=-⎨⎪=⎩ ……10分 ∴cos ,1m n m n m n
⋅<>=
=
+，由已知：
=
解得：1
2
λ=，所以：满足条件的Q 存在，是EF 中点。

……12分 20．解：
（1）有已知：c
= 2，2
b a
，∴
a =，24
b = 故椭圆方程为22
184
x y +=
……4分
（2）当AB 斜率不存在时：1
22
AOB S ∆=⨯=
……6分
当AB 斜率存在时：设其方程为：
(2) (y k x k -≠
由222)2=8y kx k x
y ⎧=+⎪
⎨+⎪⎩，得 ()))
2
22214
22
280k
x k kx k
+++
-=
由已知：
)
())
(2
2
2
2
2
16282124820k k k k
k ⎡
⎤∆=
-+-=+>⎢⎥⎣
⎦
即：k ≠
AB =
……8分
x
y
O 到直线AB 的距离：
d =
∴214
221
ABC S AB d k ∆==-+ ……10分
∵
k ≠2212k +≠，∴[)()2211,22,k +∈+∞，∴
)()24
22,00,221k -∈-⎡⎣
+
此时AOB S ∆∈
综上所求：当AB 斜率不存在或斜率为零时，ΔAOB
面积取最大值为 ……12分 21．解：
（1）由已知：()ln 12(0)f x x ax x '=++>，切点(1,)P a ……1分 切线方程：(21)(1)y a a x -=+-，把(0,2)-代入得：a = 1 ……3分 （2）（I ）依题意：()0f x '=有两个不等实根
设()ln 21g x x ax =++，则：1
()2(0)g x a x x
'=
+> ①当0a ≥时：()0g x '>，所以()g x 是增函数，不符合题意； ……5分 ②当0a <时：由()0g x '=得：1
02x a
=-> 列表如下：
依题意：11()ln()022g a a -
=->，解得：1
02
a -<< 综上所求：1
02
a -<<，得证； ……8分
（II ）由（I ）知：()f x ，()f x '变化如下：
由表可知：()f x 在12[,]x x 上为增函数，所以：21()()f x f x > ……10分 又(1)(1)210f g a '==+>， 故1(0,1)x ∈ 由（I ）知：1
11ln 2x ax --=
，2111111111
()ln (x ln )(01)2
f x x x ax x x x =+==-<< 设1()(ln )(01)2h x x x x x =-<<，则1
()ln 02h x x '=<成立，所以()h x 单调递减，
故：1()(1)2h x h >=-，也就是11
()2
f x >-
综上所证：211
()()2
f x f x >>-成立。

……12分
22．选修4-1：几何证明选讲
证明：
（1）连结OE ，∵点D 是BC 的中点，点O 是AB 的中点，
∴ OD 平行且等于
1
2
AC ，∴
∠A =∠BOD ， ∠AEO = ∠EOD ， ∵OA = OE ，∴∠A = ∠AEO ，∴∠BOD = ∠EOD ……3分 在ΔEOD 和ΔBOD 中，∵OE = OB ，∠BOD
= ∠EOD ，OD = OD ， ∴ΔEOD ≌ ΔBOD ，∴∠OED = ∠OBD = 90°，即OE ⊥BD
∵是圆O 上一点，∴DE 是圆O 的切线 ……5分 （II ）延长DO 交圆O 于点F ∵ΔEOD ≌ ΔBOD ，∴DE = DB ，∵点D 是BC 的中点，∴BC = 2DB ， ∵DE 、DB 是圆O 的切线，∴DE = DB ，∴DE ·BC = DE ·2DB = 2DE 2 ……7分 ∵AC = 2OD ，AB = 2OF ∴DM · AC + DM · AB = DM · (AC + AB ) = DM · (2OD + 2OF ) = 2DM · DF ∵DE 是圆O 的切线，DF 是圆O 的割线， ∴DE 2 = DM · DF ，∴DE · BC = DM · AC + DM · AB ……10分 23．选修4-4： 坐标系与参数方程
解：（1）由 2cos ρθ=，得：22cos ρρθ=，∴ 222x y x +=，即22(1)1x y -+=， ∴曲线C 的直角坐标方程为22(1)1x y -+= ……3分
F
C D M
O B
E
A
由12
x m y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
，得x m +
，即0x m -=， ∴直线l
的普通方程为0x m -= ……5分 （2
）将12
x m y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩代入22(1)1x y -+=
，得：221112m t ⎫⎛⎫+-+=⎪ ⎪⎪
⎝⎭⎝⎭，
整理得：221)20t m t m m -+-=，
由0∆>，即223(1)4(2)0m m m --->，解得：-1 < m < 3
设t 1、t 2
是上述方程的两实根，则121)t t m +=-，2122t t m m =- ……8分 又直线l 过点(,0)P m ，由上式及t 的几何意义得
212|||||||2|1PA PB t t m m ⋅==-=，解得：1m =
或1m =，都符合-1 < m < 3， 因此实数m 的值为1
或1
1 ……10分 24．选修4-5： 不等式选讲
解：（1）当x < -2时，()|21||2|1223f x x x x x x =--+=-++=-+， ()0f x >，即30x -+>，解得3x <，又2x <-，∴2x <-；
当1
22
x -≤≤
时，()|21||2|12231f x x x x x x =--+=---=--， ()0f x >，即310x -->，解得1
3
x <-，又122x -≤≤，∴123x -≤<-；
当1
2
x >
时，()|21||2|2123f x x x x x x =--+=---=-， ()0f x >，即30x ->，解得3x >，又1
2
x >
，∴3x >. ……3分 综上，不等式()0f x >的解集为1,(3,)3⎛
⎫-∞-+∞ ⎪
⎝
⎭. ……5分
11 （2）3,21()|21||2|31,2213,2
x x f x x x x x x x ⎧⎪-+<-⎪⎪=--+=---≤≤⎨⎪⎪->⎪⎩ ∴min 15()22
f x f ⎛⎫==- ⎪⎝⎭. ……8分 ∵0x R ∃∈，使得20()24f x m m +<，∴2min 5
42()2m m f x ->=-， 整理得：24850m m --<，解得：15
22m -<<，
因此m 的取值范围是1
5
(,)22-.
……10分。