世纪金榜2016最新版数学文科课时提升作业(五十七) 选修4-1 1

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世纪金榜二轮专题辅导与练习选修 4-1

7.圆内接四边形：
互补． (1)圆内接四边形性质定理：圆内接四边形的对角_____ (2)圆内接四边形判定定理：互补，则此四边形内接于圆； ①如果四边形的对角_____ ②若两点在一条线段同侧且对该线段张角相等，则此两点与线段两个端点共圆，特别地，对定线段张角为直角的点共圆．
1.(2013·江苏高考 ) 如图 , AB 和 BC 分别与圆 O 相切于点 D,C,AC 经过圆心O,且BC=2OC.
BC＝2CD，所以
S ABC BC ＝( ) 2＝4， S FCD CD
又因为S△FCD＝5，所以S△ABC＝20.因为S△ABC＝ BC＝10，所以20＝
1 ×10×AM，所以AM＝4. 2 5 1 又因为DE∥AM，所以 DE ＝ BD ，因为DM＝ DC＝， 2 2 AM BM 1 DE 5 BM＝BD＋DM，BD＝ BC＝5，所以＝， 5 2 4 5 8 所以 DE＝ . 2 3
系列4部分选修4-1 几何证明选讲
1．平行截割定理：
(1)平行线等分线段定理及其推论
相等，那 ①定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段_____ 相等．么在任一条(与这组平行线相交的)直线上截得的线段也_____
②推论：经过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平分另一腰．
(2)平行线分线段成比例定理及其推论
所以S四边形DEFC =14S△BEF，因此
S BEF S四边形DEFC 1 ． 14
【互动探究】在本题中，若点E是BD的n等分点(左边第一个)，
试用n的代数式表示且 S DMC n－1，从而S四边形DEFC=(2n2－n－1)S△BEF, 所以 S BEF
S四边形DEFC 1 . 2 2n －n－1 S BEF S四边形DEFC

【世纪金榜】人教版2016第一轮复习理科数学教师用书配套选修4-1 1

4.直角三角形的射影定理比例中项直角三角形的每一条直角边是它在斜边上的射影与斜边的_________, 比例中项斜边上的高是两条直角边在斜边上射影的_________.
【小题快练】(本部分为教师用书独具) 1.(2015·天津模拟)如图所示,在平行四边形ABCD中,AE∶EB=1∶2, 若S△AEF=6cm2,则S△ADF为 ( )
【规律方法】对射影定理的理解和应用
(1)利用直角三角形的射影定理解决问题首先确定直角边与其射影.
(2)要善于将有关比例式进行适当的变形转化,有时还要将等积式转化为比例式或将比例式转化为等积式,并且注意射影定理的其他变式. (3)注意射影定理与勾股定理的结合应用.
【变式训练】如图,在△ABC中,∠C=90°,∠BAC的平分线AD交BC边于
设AE=DE=FC=xcm.
由EF∥BC得 AE AF , 即
BE FC x 4 , 15 x x
解得x1=6,x2=-10(舍去).
所以DE=AE=6cm,BE=15-6=9(cm).
【加固训练】如图,E,F是四边形ABCD的对角线AC上的两点,AE=CF,BE=DF,BE∥DF,AD=DC,求证:四边形ABCD是菱形.
AD 1 AE=BE,则有 , AC 3
(
)
A.△AED∽△BED C.△AED∽△ABD
B.△AED∽△CBD D.△BAD∽△BCD
【解析】选B.在正三角形ABC中, AD 1 , AE=BE,
AC 3 在△AED与△CBD中,∠A=∠C, CD BC 2 , AD AE 1
故△AED∽△CBD.
④平移变换、旋转变换、反射变换的性质:
一个图形通过平移变换、旋转变换、反射变换变为另外一个图形,其不变对应角的大小_____. 不变因此,变换前后两个图形对应线段的长度_____, 全等的,但图形的位置可能发生改变. 是_____

金版新学案2016-2017学年()高中数学选修4-1检测：本讲高效整合3含答案

第三讲本讲高效整合一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．在空间中，有如下命题：①互相平行的两条直线在同一个平面内的射影必然是互相平行的两条直线；②若平面α∥平面β，则平面α内任意一条直线m∥平面β；③若平面α与平面β的交线为m，平面α内的直线n⊥直线m,则直线n⊥平面β；④若点P到三角形三条边的距离相等，则点P在该三角形内部的射影是该三角形的内心．其中正确命题的个数为（)A．1个B．2个C．3个D．4个解析：①互相平行的两条直线在同一平面内的射影可能是同一条直线，①错；③只有当α⊥β时，此命题才成立,③错；②、④正确，故正确命题的个数为2个．答案: B2．下列说法不正确的是（)A．圆柱面的母线与轴线平行B．圆柱面的任一轴截面总是垂直于直截面（垂直于母线的截面)C．圆柱面被平面截得的椭圆的离心率与圆柱面半径无关，只与母线和斜截面的夹角有关D．平面截圆柱面的截线椭圆中，短轴长即为圆柱面的半径解析：A显然正确；轴截面总过轴线,因此轴截面与直截面垂直，∴B正确；由公式e＝cos φ知,C正确；短轴长实际上是圆柱面的直径，故D错．答案: D3．一平面截圆锥的截线为椭圆，椭圆的长轴为8，长轴的两端点到顶点的距离分别是6和10，则椭圆的离心率为( ）A．错误!B．错误!C．错误!D．错误!解析：如图所示为截面的轴面，则AB＝8，SB＝6，SA＝10，则∠SBA＝错误!,cos∠ASB＝错误!，cos∠BSP＝cos 错误!∠ASB＝错误!＝错误!.∴cos∠SPB＝sin∠BSP＝错误!。

∴e＝错误!＝错误!。

答案: C4．已知平面上直线l的方向向量e＝错误!，点O（0，0)和A(1，－2）在l上的正射影分别是O′和A′,且错误!＝λe，则λ＝（)A．错误!B．－错误!C．2 D．－2解析：∵错误!＝（1,－2),∴错误!＝错误!·e＝错误!·e＝－2e,∴λ＝－2。

世纪金榜2016最新版数学文科课时提升作业（二十九）5.2

世纪⾦榜2016最新版数学⽂科课时提升作业（⼆⼗九）5.2温馨提⽰：此套题为Word 版，请按住Ctrl,滑动⿏标滚轴，调节合适的观看⽐例，答案解析附后。

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课时提升作业(⼆⼗九)等差数列及其前n 项和(25分钟 60分)⼀、选择题(每⼩题5分,共25分)1.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若2a 6=a 8+6,则S 7等于 ( ) A.49 B.42 C.35 D.24【解析】选B.设公差为d,由已知得2(a 1+5d)=a 1+7d+6,即a 1+3d=6, 所以S 7=7a 1+d=7(a 1+3d)=7×6=42.【加固训练】(2013·安徽⾼考)设S n 为等差数列{a n }的前n 项和,S 8=4a 3,a 7=-2,则a 9=( )A.-6B.-4C.-2D.2 【解析】选 A.由S 8=4a 3?8a 1+d=4×(a 1+2d);由a 7=-2?a 1+6d=-2,联⽴解得a 1=10,d=-2,所以a 9=a 1+8d=10-16=-6.2.设S n 为等差数列{a n }的前n 项和,若a 3=3,S 9-S 6=27,则该数列的⾸项a 1等于( )A.-B.-C.D. 【解析】选D.由111a 2d 3,9a 36d (6a 15d)27,+=??+-+=?得11a 2d 3,a 7d 9,+=??+=?解得a1=.故选D.3.已知数列{a n}中,a3=2,a7=1,若数列{}为等差数列,则a等于( )11A.0B.C.D.-1【解析】选B.设{}的公差为d,则=+4d,即4d=-=,所以d=,4.(2015·吉林模拟)等差数列{a n}的前n项和为S n(n=1,2,3,…),当⾸项a1和公差d变化时,若a5+a8+a11是⼀个定值,则下列各数中为定值的是( )A.S17B.S18C.S15D.S16【解析】选C.由等差数列的性质得:a5+a11=2a8,所以a5+a8+a11为定值,即a8为定值.⼜因为S15===15a8,所以S15为定值.故选C.【加固训练】已知等差数列{a n}中,|a3|=|a9|,公差d<0,S n是数列{a n}的前n项和,则( )A.S5>S6B.S5C.S6=0D.S5=S6【解题提⽰】根据已知得到a3+a9=0,从⽽确定出a6=0,然后根据选项即可判断. 【解析】选D.因为d<0,|a3|=|a9|,所以a3>0,a9<0,且a3+a9=0,所以a6=0,a5>0,a7<0,所以S5=S6.5.(2015·马鞍⼭模拟)等差数列{a n}中,“a1A.充分⽽不必要条件B.必要⽽不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选C.等差数列中,由a10,所以a n+1=a n+d>a n,即a n反过来,由a n0,所以a3=a1+2d>a1,即a1等差数列{a n}中,“a1⼆、填空题(每⼩题5分,共15分)6.已知数列{a n}中,a1=1且=+(n∈N*),则a10= .【解析】由=+知,数列{}为等差数列,则=1+(n-1),即a n=.所以a10==.答案:7.已知等差数列{a n}的⾸项a1=20,公差d=-2,则前n项和S n的最⼤值为.【解题提⽰】等差数列前n项的和S n是关于n的⼆次函数,可将S n的最⼤值转化为求⼆次函数的最值问题.【解析】因为等差数列{a n}的⾸项a1=20,公差d=-2,代⼊求和公式得,⼜因为n∈N*,所以n=10或n=11时,S n取得最⼤值,最⼤值为110.答案:110【⽅法技巧】求等差数列前n项和的最值的常⽤⽅法(1)利⽤等差数列的单调性,求出其正负转折项,或者利⽤性质求其正负转折项,便可求得S n的最值.(2)利⽤公差不为零的等差数列的前n项和S n=An2+Bn(A,B为常数)为⼆次函数,根据⼆次函数的性质求最值.(3)注意区别等差数列前n项和S n的最值和S n的符号.【加固训练】在数列{a n}中,a1=-18,a n+1=a n+3(n∈N*),则数列{a n}的前n项和S n 的最⼩值为.【解析】由a n+1=a n+3知{a n}是等差数列,⾸项为-18,公差为3,所以a n=-21+3n. 当n=7时,a n=0,当n≤6时,a n<0,所以当n=6或7时,S n有最⼩值-63.答案:-638.如果有穷数列a1,a2,…,a m(m为正整数)满⾜条件:a1=a m,a2=a m-1,…,a m=a1,则称其为“对称”数列.例如数列1,2,5,2,1与数列8,4,2,4,8都是“对称”数列.已知在21项的“对称”数列{c n}中c11,c12,…,c21是以1为⾸项,2为公差的等差数列,则c2= .【解析】因为c11,c12,…,c21是以1为⾸项,2为公差的等差数列,所以c20=c11+9d=1+9×2=19,⼜{c n}为21项的对称数列,所以c2=c20=19.答案:19三、解答题(每⼩题10分,共20分)9.已知数列{a n}的前n项和为S n,且满⾜a n+2S n·S n-1=0(n≥2),a1=.(1)求证:{}是等差数列.(2)求数列{a n}的通项公式.【解析】(1)因为a n=S n-S n-1(n≥2),⼜a n=-2S n·S n-1,所以S n-1-S n=2S n·S n-1,S n≠0,所以⼜==2,故数列{}是以2为⾸项,以2为公差的等差数列.(2)由(1)知=+(n-1)d=2+(n-1)×2=2n,所以S n=.当n≥2时,有a n=-2S n·S n-1=-,⼜因为a1=,不适合上式,【加固训练】已知数列{a n}是⼀个等差数列,且a2=1,a5=-5.(1)求{a n}的通项公式.(2)设c n=,b n=,求T=log2b1+log2b2+log2b3+…+log2b n的值.【解析】(1)设{a n}的公差为d,由已知条件解得a1=3,d=-2.所以a n=a1+(n-1)d=-2n+5.(2)因为a n=-2n+5,所以c n===n,所以b n==2n,所以T=log 2b1+log2b2+log2b3+…+log2b n=log22+log222+log223+…+log22n=1+2+3+…+n=.10.(2015·成都模拟)数列{a n}中,a1=-23,a n+1-a n-3=0.(1)求数列的前n项和S n.(2)求使得数列{S n}是递增数列的n的取值范围.【解析】(1)因为a n+1-a n-3=0,所以a n+1-a n=3,即数列{a n}是等差数列,公差d=3.⼜a1=-23,所以数列{a n}的前n项和为S n=-23n+n(n-1)·3,即S n=n2-n.(2)S n=n2-n的对应函数为f(x)=x2-x,它的图象是⼀条抛物线,其开⼝⽅向向上,对称轴为x=.当x≥时,函数f(x)是增函数.因为8<<9,且-8<9-,所以f(8)综上,可知使得数列{S n}是递增数列的n的取值范围是{n|n≥8,n∈N*}.【加固训练】(2015·郑州模拟)数列{a n}满⾜a1=,a n+1=(n∈N*).(1)求证:为等差数列,并求出{a n}的通项公式.(2)设b n=-1,数列{b n}的前n项和为B n,对任意n≥2都有B3n-B n>成⽴,求正整数m的最⼤值.【解析】(1)a n+1=,===-1+,所以-=-1,所以为⾸项为-2,公差为-1的等差数列,所以=-2+(n-1)×(-1)=-(n+1),所以a n=.(2)b n=-1=,令C n=B3n-B n=++…+,所以C n+1-C n=++…+--…-=-+++=-+>-=0,所以C n+1-C n>0,所以{C n}为单调递增数列,所以(B3n-B n)min=B6-B2=+++=,所以<,所以m<19,⼜m∈N*,所以m的最⼤值为18.(20分钟40分)1.(5分)(2015·唐⼭模拟)在等差数列{a n}中,a1=-2015,其前n项和为S n,若-=2,则S2015的值等于( )A.-2015B.-2014C.-2013D.-2012【解析】选A.设等差数列{a n}的公差为d,因为-=2,根据等差数列的性质可得也为等差数列,所以d=2.所以S2015=2015a1+=-2015.【加固训练】(2015·延吉模拟)等差数列{a n}中,是⼀个与n⽆关的常数,则该常数的可能值的集合为( )A.{1}B.C. D.【解析】选 B.等差数列{a n}中,设=是与n⽆关的常数m,所以a1+(n-1)d=ma1+m(2n-1)d对任意n恒成⽴,即(2md-d)n+(ma1-md+d-a1)=0对任意n 恒成⽴,故由第⼀个⽅程得d=0或者m=.若d=0,代⼊第⼆个⽅程可得m=1(因为a1≠0);若m=,代⼊第⼆个⽅程得d=a1.2.(5分)(2015·⼤连模拟)下⾯是关于公差d>0的等差数列{a n}的四个命题: p1:数列{a n}是递增数列;p2:数列{na n}是递增数列;p3:数列{}是递增数列;p4:数列{a n+3nd}是递增数列.其中的真命题为( )A.p1,p2B.p3,p4C.p2,p3D.p1,p4【解析】选D.3.(5分)(2015·郑州模拟)已知数列{a n }的前n 项和S n =n 2-6n,则{|a n |}的前n 项和T n = ( ) A.6n-n 2 B.n 2-16n+18C.()226n n (1n 3)n 6n 18n 3?-≤≤??-+>?? D.()226n n (1n 3)n 6n n 3?-≤≤??->??【解析】选C.因为由S n =n 2-6n 得{a n }是等差数列,且⾸项为-5,公差为2. 所以a n =-5+(n-1)×2=2n-7, 所以n ≤3时,a n <0,n>3时,a n >0,所以T n =()226n n (1n 3),n 6n 18n 3.-≤≤-+>4.(12分)已知数列{a n }的奇数项是公差为d 1的等差数列,偶数项是公差为d 2的等差数列.S n 是数列{a n }的前n 项和,a 1=1,a2=2. (1)若S 5=16,a 4=a 5,求a 10.(2)若d 1=3d 2(d 1≠0),且存在正整数m,n(m ≠n),使得a m =a n ,求当d 1最⼤时,数列{a n }的通项公式.【解析】(1)由题意,当n 为奇数时,a n =1+d 1;当n 为偶数时,a n =2+(-1)d 2. 由S 5=16,a 4=a 5可得122133d 4d 16,2d 12d ,+++=??+=+?解得d 1=2,d 2=3, 所以a 10=2+4d 2=14.(2)因为d 1≠0,d 2≠0,且存在正整数m,n(m ≠n),使得a m =a n , 所以m,n 中必然⼀个为奇数,⼀个为偶数. 不妨设m 为奇数,n 为偶数,由a m =a n ,得1+d 1=2+（-1）d 2,将d 1=3d 2代⼊,化简得d 1=.因为m 为奇数,n 为偶数,所以3m-n-1的最⼩值为2,此时d 1=3,d 2=1,【加固训练】已知数列{a n },a n ∈N *,S n =(a n +2)2. (1)求证:{a n }是等差数列.(2)设b n=a n-30,求数列{b n}的前n项和T n的最⼩值.【解析】(1)因为S n=(a n+2)2, ①所以S n-1=(a n-1+2)2(n≥2). ②①-②得S n-S n-1=(a n+2)2-(a n-1+2)2(n≥2),即a n=(a n+2)2-(a n-1+2)2.所以(a n-2)2=(a n-1+2)2,所以a n+a n-1=0或a n-a n-1=4.因为a n∈N*,所以a n+a n-1=0舍去,所以a n-a n-1=4.a1=S1=(a1+2)2,所以(a1-2)2=0,a1=2.所以{a n}是⾸项为2,公差为4的等差数列.(2)b n=a n-30=(4n-2)-30=2n-31.b n+1-b n=2(n+1)-31-(2n-31)=2.b1=a1-30=×2-30=-29.所以{b n}是以b1=-29为⾸项,d=2为公差的等差数列.T n=nb1+d=-29n+×2=n2-30n.所以T n=(n-15)2-225.当n=15时,数列{b n}的前n项和有最⼩值为-225.5.(13分)(能⼒挑战题)设同时满⾜条件:①≤b n+1(n∈N*);②b n≤M(n∈N*,M是与n⽆关的常数)的⽆穷数列{b n}叫“特界”数列.(1)若数列{a n}为等差数列,S n是其前n项和,a3=4,S3=18,求S n.(2)判断(1)中的数列{S n}是否为“特界”数列,并说明理由.【解析】(1)设等差数列{a n}的公差为d,则a1+2d=4,S3=a1+a2+a3=3a1+3d=18,解得a1=8,d=-2,所以S n=na1+d=-n2+9n.(2)由故数列{S n}适合条件①.则当n=4或5时,S n有最⼤值20,即S n≤20,故数列{S n}适合条件②.综上,数列{S n}是“特界”数列.关闭Word⽂档返回原板块。

金版新学案2016-2017学年()高中数学选修4-1检测：本讲高效整合1含答案

第一讲本讲高效整合一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．如图，梯形ABCD的对角线交于点O，有以下四个结论：①△AOB∽△COD；②△AOD∽△ACB；③S△DOC∶S△AOD＝DC∶AB；④S△AOD＝S△BOC，其中，始终正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个解析: ①正确,②③显然错误，又由S△ABD＝S△ABC,故④正确．答案：B2．如图，△ABC中,M是BC的中点，AN平分∠BAC，BN⊥AN，若AB＝14，AC＝19，则MN的长为（)A．2 B．2。

5C．3 D．3。

5解析：延长BN交AC于D，则△ABD为等腰三角形，∴AD＝AB＝14,∴CD＝5.又M、N分别是BC、BD的中点，故MN＝错误!CD＝2.5。

答案：B3．若三角形的三条边之比为3∶5∶7，与它相似的三角形的最长边为21 cm，则其余两边的长度之和为( ）A．24 cm B．21 cmC．19 cm D．9 cm解析: 设其余两边的长度分别为x cm，y cm，则错误!＝错误!＝错误!,解得x＝15 cm,y＝9 cm.故x＋y＝24 cm.答案：A4．如图，在Rt△ABC内画有边长依次为a、b、c的三个正方形,则a、b、c之间的关系是（）A．b＝a＋c B．b2＝acC．b2＝a2＋c2D．b＝2a＝2c解析: 由三角形相似知错误!＝错误!，得ac－bc＝b2－bc,∴b 2＝ac 。

答案: B5．若D 是△ABC 的边AB 上的一点，△ADC ∽△ACB ,AD ＝5，AC ＝6,△ABC 的面积是S ,则△BCD 的面积是（）A ．错误!SB ．错误!SC ．错误!SD ．错误!S解析： ∵△ADC ∽△ACB ，∴S △ADC ∶S △ACB ＝（AD ∶AC ）2＝25∶36。

∵S △ABC ＝S ，∴S △ACD ＝错误!S . ∴S △BCD ＝S －2536S ＝错误!S 。

世纪金榜2016最新版数学文科课时提升作业(二十三) 4.1

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课时提升作业(二十三)平面向量的概念及其线性运算(25分钟50分)一、选择题(每小题5分,共35分)1.如图,在平行四边形ABCD中,E为DC边的中点,且=a,=b,则= ( )A.b-aB.b+aC.a+bD.a-b【解析】选A.=-=+-=+-=-=b-a.2.(2015·石家庄模拟)已知a,b是两个非零向量,且|a+b|=|a|+|b|,则下列说法正确的是( )A.a+b=0B.a=bC.a与b共线反向D.存在正实数λ,使a=λb【解析】选D.因为a,b是两个非零向量,且|a+b|=|a|+|b|.则a与b共线同向,故D正确.【误区警示】解答本题易误选B,若a=b,则|a+b|=|a|+|b|,反之不一定成立.3.已知AB=a+2b,BC=-5a+6b,CD=7a-2b,则下列一定共线的三点是( )A.A,B,CB.A,B,DC.B,C,DD.A,C,D【解析】选 B.因为AD AB BC CD=++=3a+6b=3(a+2b)=3AB,又AB,AD有公共点A.所以A,B,D 三点共线.4.(2015·攀枝花模拟)在△ABC 中,已知D 是AB 边上一点,1CD CA CB,3=+λ则实数λ=( )2112A. B. C. D.3333-- 【解析】选D.如图,D 是AB 边上一点,过点D 作DE ∥BC,交AC 于点E,过点D 作DF ∥AC,交BC 于点F,连接CD,则CD CE CF.=+1CD CA CB,31CE CA,CF CB.3DE AE 2ADE ABC,,BC AC 322ED CF CB,.33=+λ==λ====λ=因为所以由∽得所以故【加固训练】已知△ABC 和点M 满足MA MB MC ++=0,若存在实数m 使得AB AC mAM +=成立,则m=( )A.2B.3C.4D.5【解析】选B.根据题意,由于△ABC 和点M 满足MA MB MC ++=0,则可知点M 是三角形ABC 的重心,设BC 边的中点为D,则可知()()2211AM AD AB AC AB AC ,3323==⨯+=+所以AB AC 3AM,+=故m=3.5.(2015·兰州模拟)已知D 为△ABC 的边AB 的中点.M 在DC 上且满足5=+3,则△ABM 与△ABC 的面积比为 ( )A. B. C. D. 【解题提示】只要明确DM 与DC 之比即可,故利用已知转化为与之间关系即可.【解析】选C.由5=+3得2=2+3-3,即2(-)=3(-), 即2=3, 故=,故△ABM 与△ABC 同底且高的比为3∶5, 故S △ABM ∶S △ABC =3∶5.6.如图所示,在△ABC 中,点O 是BC 的中点,过点O 的直线分别交直线AB,AC 于不同的两点M,N,若AB mAM,AC nAN,==则m+n 的值为( )A.1B.2C.3D.4 【解析】选B.因为O 是BC 的中点, 所以()1AO AB AC .2=+ 又因为AB mAM,AC nAN,== 所以m nAO AM AN.22=+ 因为M,O,N 三点共线,所以m n22+=1,所以m+n=2.7.(2015·泉州模拟)已知D,E,F分别为△ABC的边BC,CA,AB的中点,且BC=a,CA=b,给出下列命题:①AD=12a-b;②BE=a+12b;③CF=-12a+12b;④AD BE CF++=0.其中正确的是( )A.①②B.②③C.③④D.②③④【解析】选D.所以正确命题为②③④.二、填空题(每小题5分,共15分)8.在▱ABCD中,AB=a,AD=b,3AN NC=,M为BC的中点,则MN= .(用a,b 表示)【解析】如图所示.答案:【方法技巧】利用基底表示向量的方法在用基底表示向量时,要尽可能将向量转化到平行四边形或三角形中,运用平行四边形法则或三角形法则进行求解,同时要注意平面几何知识的综合运用,如利用三角形的中位线、相似三角形对应边成比例等性质,把未知向量用基底向量表示.【加固训练】(2014·海口模拟)在△ABC 中,AB =c ,AC =b ,若点D 满足BD 2DC =,则AD = .【解析】如图,因为在△ABC 中, AB = c , AC =b ,且点D 满足BD 2DC =,答案:23b +13c9.(2015·长春模拟)已知m ,n 满足|m |=2,|n |=3,|m -n |=,则|m +n |= .【解题提示】利用向量加减法几何意义及平行四边形对角线与边的关系求解.【解析】由平行四边形的对角线与边的关系及|m-n|与|m+n|为以m,n为邻边的平行四边形的两条对角线的长,得|m-n|2+|m+n|2=2|m|2+2|n|2=26,又|m-n故|m+n|2=26-17=9,故|m+n|=3.答案:310.给出下列命题:①若A,B,C,D是不共线的四点,则AB DC=是四边形ABCD为平行四边形的充要条件;②0a=0;③a=b的充要条件是|a|=|b|且a∥b;④若a与b均为非零向量,则|a+b|与|a|+|b|一定相等.其中正确命题的序号是.【解析】①正确;②数乘向量的结果为向量,而不是实数,故不正确;③当a=b时|a|=|b|且a∥b,反之不成立,故错误;④当a,b不同向时不成立,故错误.答案:①(20分钟40分)1.(5分)已知A,B,C是平面上不共线的三点,O是△ABC的重心,动点P满足111=++则点P一定为三角形ABC的( )OP(OA OB2OC),322A.AB边中线的中点B.AB边中线的三等分点(非重心)C.重心D.AB 边的中点【解析】选B.设AB 的中点为M,则()11112OA OB OM,OP OM 2OC OM OC,22333+==+=+所以即3OP OM 2OC =+,也就是MP 2PC =,又MP PC 与有公共点P,所以P,M,C 三点共线,且P 是CM 上靠近C 点的一个三等分点.2.(5分)(2015·大理模拟)O 是△ABC 所在平面外一点且满足,λ为实数,则动点P 的轨迹必经过△ABC 的( )A.重心B.内心C.外心D.垂心【解题提示】明确是AB,AC 方向上的单位向量,利用平行四边形法则可转化为AP 与共线后可解.【解析】选B.如图,设AB AF,AB=AC AE,AC=已知AF,AE 均为单位向量,故▱AEDF 为菱形,所以AD 平分∠BAC, 由AB AC OP OA ()ABAC=+λ+得AP AD,AP AD =λ又与有公共点A, 故A,D,P 三点共线,所以P 点在∠BAC 的平分线上,故P 的轨迹经过△ABC 的内心.3.(5分)(2015·重庆模拟)若∀k ∈R,BA kBC CA -≥恒成立,则△ABC 的形状一定是.【解题提示】利用向量加减的几何意义,数形结合求解.【解析】如图,设BD kBC,BA kBC BA BD DA,则=-=-=由对任意k∈R,都有DA CA≥恒成立知AC BC⊥,故△ABC为直角三角形.答案:直角三角形4.(12分)(2015·贵阳模拟)如图,在平行四边形ABCD中,O是对角线AC,BD的交点,N是线段OD的中点,AN的延长线与CD交于点E,若AE mAB AD=+,求实数m 的值.【解析】由N是OD的中点得又因为A,N,E三点共线,故AE AN,=λ.故实数m=13【加固训练】已知△ABC中,AB=a,AC=b,对于平面ABC上任意一点O,动点P满足OP OA=+λa+λb,若动点P的轨迹与边BC的交点为M,试判断M点的位置.【解析】依题意,由OP OA=+λa+λb,得OP OA-=λ(a+b),即()AP AB AC.=λ+如图,以AB,AC为邻边作平行四边形ABDC,对角线交于点M,则AP AD,=λ所以A,P,D三点共线,即P点的轨迹是AD所在的直线,由图可知P点轨迹与BC的交点为BC的中点,即点M为BC的中点.5.(13分)(能力挑战题)设a,b是不共线的两个非零向量.(1)若OA=2a-b,OB=3a+b,OC=a-3b,求证:A,B,C三点共线.(2)若AB=a+b,BC=2a-3b,CD=2a-k b,且A,C,D三点共线,求k的值.【解析】(1)由已知得=-=3a+b-2a+b=a+2b,AB OB OA=-=a-3b-3a-b=-2a-4b,BC OC OB故BC2AB,=-又BC与AB有公共点B,所以A,B,C三点共线.(2)因为AC AB BC=+=a+b+2a-3b=3a-2b,CD=2a-k b,且A,C,D三点共线,故存在实数λ使得CD AC,=λ即2a-k b=3λa-2λb,关闭Word文档返回原板块。

金版新学案2016-2017学年()高中数学选修4-1检测：本讲高效整合2含答案

第二讲本讲高效整合一、选择题(本大题共10小题，每题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．如图所示，已知AB是半⊙O的直径，弦AD，BC相交于点P，那么错误!＝（）A．sin∠BPD B．cos∠BPDC．tan∠BPD D．错误!解析：如右图所示，连接BD．∴AB是直径，∴∠ADB＝90°。

又∵∠ADC＝∠ABC,∠APB＝∠CPD，∴△APB∽△CPD，∴错误!＝错误!。

在Rt△PDB中，cos∠BPD＝错误!，∴错误!＝cos∠BPD，故选B．答案：B2．如右图所示，PA、PB是⊙O的两条切线，A、B为切点，C 是错误!上的一点，已知⊙O半径为r,PO＝2r，设∠PAC＋∠PBC＝α，∠APB＝β.则α、β的大小关系是( )A．α＞βB．α＝βC．α＜βD．不能确定解析：连结OA,则OA⊥PA,又PO＝2r＝2OA，∴∠APO＝30°，∴β＝∠APB＝60°。

连结OB，则∠POA＝∠POB＝60°，又α＝∠PAC＋∠PBC＝错误!∠AOB＝60°,∴α＝β。

答案：B3．如图，已知EF是⊙O的直径，把∠A为60°的直角三角板ABC的一条直角边BC放在直线EF上,斜边AB与⊙O交于点P，点B与点O重合．将三角板ABC沿OE方向平移，使得点B与点E 重合为止．设∠POF＝x°，则x的取值范围是（)A．30≤x≤60B．30≤x≤90C．30≤x≤120D．60≤x≤120答案：A4．如图所示,在⊙O中，AB＝2CD，那么（)A．AB〉2CDB．错误!<2错误!C．错误!＝2错误!D．错误!与2错误!的大小关系不能确定解析：如右图所示，作错误!＝错误!，则错误!＝2错误!。

∵在△CDE中，CD＋DE〉CE，∴2CD>CE，∵AB＝2CD,∴AB〉CE,∴错误!>错误!，即错误!>2错误!。

世纪金榜2016最新版数学文科课时提升作业(三) 1.3

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课时提升作业(三)简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词(25分钟50分)一、选择题(每小题5分,共35分)1.(2014·湖北高考)命题“∀x∈R,x2≠x”的否定是( )A.∀x∉R,x2≠xB.∀x∈R,x2=xC.∃x0∉R,x02≠x0D.∃x0∈R,x02=x0【解析】选D.全称命题的否定是特称命题,所以命题“∀x∈R,x2≠x”的否定是“∃x0∈R,x02=x0”.2.(2015·开封模拟)已知命题p,q,“p为真”是“p∧q为假”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选A.由“p为真”知p为假,则“p∧q为假”;反之,若“p∧q为假”,则命题p,q至少有一个为假,从而“p为假”不一定成立,即“p为真”不一定成立,因此,“p为真”是“p∧q为假”的充分不必要条件.【加固训练】(2015·成都模拟)已知命题p:∃x0∈R,2-x0>0x e,命题q:∀a∈R+且a≠1,log a(a2+1)>0,则( )A.命题p∨q是假命题B.命题p∧q是真命题C.命题p∨q是假命题D.命题p∧q是真命题【解析】选B.对于命题p:∃x0∈R,2-x0>0x e,当x0=0时,此命题成立,故是真命题;命题q:∀a∈R+且a≠1,log a(a2+1)>0,当0<a<1时,对数式的值是负数,故命题q 是假命题.由此知命题p∨q是真命题,命题p∧q是真命题,命题p∨q是真命题,命题p∧q是假命题,故选B.3.(2015·长沙模拟)“对x∈R,关于x的不等式f(x)>0有解”等价于( )A.∃x0∈R,使得f(x0)>0成立B.∃x0∈R,使得f(x0)≤0成立C.∀x∈R,f(x)>0成立D.∀x∈R,f(x)≤0成立【解析】选A.“对x∈R,关于x的不等式f(x)>0有解”的意思就是∃x0∈R,使得f(x0)>0成立,故选A.4.已知命题p:“∀x∈[1,2],x2-a≥0”,命题q:“∃x0∈R,使x02+2ax0+2-a=0”,若命题“p∧q”是真命题,则实数a的取值范围是( )A.{a|a≤-2或a=1}B.{a|a≥1}C.{a|a≤-2或1≤a≤2}D.{a|-2≤a≤1}【解析】选A.由题意知,p:a≤1,q:a≤-2或a≥1,因为“p∧q”为真命题,所以p,q均为真命题,所以a≤-2或a=1.5.已知命题p:函数y=a x(a>0且a≠1)在R上是增函数,命题q:log a2+log2a≥2(a>0且a≠1),则下列命题为真命题的是( )A.p∨qB.p∧qC.(p)∧qD.p∨(q)【解析】选 D.当0<a<1时,y=a x 在R 上是减函数,因此p 假,p 真,当a=12时,log a 2+log 2a=-2<2,因此q 假,q 真.从而命题p ∨(q)为真命题. 6.下列命题中,真命题是( ) A.∃x 0∈[0,2π],sin x 0+cos x 0≥2 B.∀x ∈(3,+∞),x 2>2x+1 C.∃x 0∈R,x 02+x 0=-1D.∀x ∈(2π,π),tan x>sin x【解析】选B.对于选项A,∀x ∈[0,2π],sin x+cos x4π)所以此命题为假命题; 对于选项B,当x ∈(3,+≦)时, x 2-2x-1=(x-1)2-2>0, 所以此命题为真命题;对于选项C,∀x ∈R,x 2+x+1=(x+12)2+34>0, 所以此命题为假命题;对于选项D,当x ∈(2π,π)时,tan x<0<sin x, 所以此命题为假命题,故选B.【加固训练】已知命题p:∃x 0∈R,使tan x 0=3,命题q:x 2-3x+2<0的解集是{x|1<x<2},下列结论: ①命题“p ∧q ”是真命题; ②命题“p ∧(q)”是假命题; ③命题“(p)∨q ”是真命题;④命题“(p)∨(q)”是假命题. 其中正确的是( )A.②③B.①②④C.①③④D.①②③④【解析】选D.命题p 是真命题,命题q 也是真命题.所以p,q 是假命题,从而得①②③④都正确.7.(2015·葫芦岛模拟)已知f(x)=3sin x-πx,命题p:∀x ∈(0,2π),f(x)<0,则( )A.p 是假命题,p:∀x ∈(0,2π),f(x)≥0B.p 是假命题,p:∃x 0∈(0,2π),f(x 0)≥0C.p 是真命题,p:∀x ∈(0,2π),f(x)>0D.p 是真命题,p:∃x 0∈(0,2π),f(x 0)≥0【解析】选D.由三角函数线的性质可知, 当x ∈(0,2π)时,sin x<x,所以3sin x<3x<πx,所以f(x)=3sin x-πx<0. 即命题p:∀x ∈(0,2π),f(x)<0为真命题. 根据全称命题的否定为特称命题可知: p:∃x0∈(0,2π),f(x 0)≥0. 二、填空题(每小题5分,共15分)8.命题:“对任意k>0,方程x 2+x-k=0有实根”的否定是 .【解析】“任意k>0”的否定为“存在k>0”,“方程x 2+x-k=0有实根”的否定为“方程x 2+x-k=0无实根”.从而命题的否定为“存在k 0>0,方程x 2+x-k 0=0无实根”.答案:存在k0>0,方程x2+x-k0=0无实根9.已知p和q都是命题,则“命题:p∨q为真命题”是“命题:p∧q为真命题”的条件.(填“充分不必要,必要不充分,充要,既不充分又不必要”四者之一)【解析】p∨q为真,二者至少有一个为真,p∧q为真,二者均为真,故“p∨q真”⇐“p∧q真”,所以填“必要不充分”.答案:必要不充分10.已知命题p:∃x0∈R,mx02+2≤0,命题q:∀x∈R,x2-2mx+1>0,若“p∨q”为假命题,则实数m的取值范围为.【解析】因为命题“p∨q”是假命题,所以命题p,q都是假命题,所以命题p:∃x0∈R,mx02+2≤0是假命题,则m≥0,命题q:∀x∈R,x2-2mx+1>0是假命题,所以Δ=(-2m)2-4≥0,所以m2≥1,得m≤-1或m≥1,所以实数m的取值范围是[1,+≦). 答案:[1,+≦)(20分钟40分)1.(5分)(2014·江西高考)下列叙述中正确的是( )A.若a,b,c∈R,则“ax2+bx+c≥0”的充分条件是“b2-4ac≤0”B.若a,b,c∈R,则“ab2>cb2”的充要条件是“a>c”C.命题“对任意x∈R,有x2≥0”的否定是“存在x0∈R,有x02≥0”D.l是一条直线,α,β是两个不同的平面,若l⊥α,l⊥β,则α∥β【解析】选D.对于选项A,a<0时不成立;对于选项B,b=0时不成立;对于选项C,应为x2<0;对于选项D,垂直于同一直线的两平面平行.所以只有D正确.【加固训练】(2014·马鞍山模拟)下列命题中,错误的是( )A.命题“若x2-3x+2=0,则x=1”的逆否命题为“若x≠1,则x2-3x+2≠0”B.若p∧q为假命题,则p,q均为假命题C.命题p:∃x 0∈R,使得x02+x0+1<0,则p:任意x∈R,都有x2+x+1≥0D.“x>2”是“x2-3x+2>0”的充分不必要条件【解析】选B.根据逆否命题的定义,命题“若x2-3x+2=0,则x=1”的逆否命题为“若x≠1,则x2-3x+2≠0”,故A正确;若p∧q为假命题,则p,q至少存在一个假命题,但p,q不一定均为假命题,故B错误;命题p:∃x0∈R,使得x02+x0+1<0的否定为:任意x∈R,都有x2+x+1≥0,故C正确;因为x>2⇒x2-3x+2>0,x2-3x+2>0⇒x<1或x>2,故“x>2”是“x2-3x+2>0”的充分不必要条件,故D正确.故选B.2.(5分)(2014·辽宁高考)设a,b,c是非零向量,已知命题p:若a·b=0,b·c=0,则a·c=0;命题q:若a∥b,b∥c,则a∥c.则下列命题中真命题是( )A.p∨qB.p∧qC.(p)∧(q)D.p∨(q)【解析】选 A.当非零向量a,c方向相同且都和非零向量b垂直时,结论a·b=0,b·c=0成立,但是a·c=0不成立,可知命题p是假命题,命题p是真命题;易知命题q为真命题,命题q是假命题.结合复合命题p∨q,p∧q,p的真假判断方法知,选项A正确.3.(5分)(2014·新课标全国卷Ⅰ)不等式组x y1,x2y4+≥⎧⎨-≤⎩的解集记为D.有下面四个命题:p1:∀(x,y)∈D,x+2y≥-2,p2:∃(x,y)∈D,x+2y≥2,p3:∀(x,y)∈D,x+2y≤3,p4:∃(x,y)∈D,x+2y≤-1.其中真命题是( )A.p2,p3B.p1,p2C.p1,p4D.p1,p3【解题提示】画出可行域,求出x+2y的最优解,根据最优解判断命题的真假. 【解析】选B.画出可行域如图所示,设x+2y=z,则1z=-+y x,22当直线经过点(2,-1)时z取得最小值,z min=2+2×(-1)=0,即z≥0,所以命题p1,p2是真命题.4.(12分)已知命题p:方程2x2+ax-a2=0在[-1,1]上有解;命题q:只有一个实数x 满足不等式x2+2ax+2a≤0,若命题“p∨q”是假命题,求a的取值范围.或x=-a,所以当命题p为真【解析】由2x2+ax-a2=0,得(2x-a)(x+a)=0,所以x=a2|≤1或|-a|≤1,所以|a|≤2.命题时,|a2又“只有一个实数x满足不等式x2+2ax+2a≤0”.即抛物线y=x2+2ax+2a与x轴只有一个公共点,所以Δ=4a2-8a=0,所以a=0或a=2.所以当命题q为真命题时,a=0或a=2.因为命题“p ∨q ”为假命题,所以a>2或a<-2; 即a 的取值范围为a>2或a<-2.5.(13分)(能力挑战题)设a 为实数,给出命题p:关于x 的不等式x 11()2-≥a 的解集为∅,命题q:函数f(x)=lg[ax 2+(a-2)x+98]的定义域为R,若命题“p ∨q ”为真,“p ∧q ”为假,求a 的取值范围.【解析】若p 正确,则由0<x 11()2-≤1,得a>1. 若q 正确,则ax 2+(a-2)x+98>0解集为R. 当a=0时,-2x+98>0不合题意,舍去;当a ≠0时,则2a 0,9(a 2)4a 0,8>⎧⎪⎨--⨯<⎪⎩解得12<a<8. 由题意知,p 和q 中有且仅有一个正确,所以a 1,1a a 82>⎧⎪⎨≤≥⎪⎩或或a 1,1a 8,2≤⎧⎪⎨<<⎪⎩ 所以a ≥8或12<a ≤1.【方法技巧】根据命题真假确定参数取值范围的方法 (1)把所给命题当真求出参数的取值范围.(2)根据含逻辑联结词命题的真值表递推所给命题的真假. (3)由(2)的结果列关于参数的不等式(组),并解之即可.关闭Word 文档返回原板块。

《世纪金榜》2016届高三文科数学总复习课时提升作业(十七)3.3三角函数的图象与性质

课时提升作业(十七)三角函数的图象与性质(25分钟 60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.函数y=-4sin x+1,x ∈[-π,π]的单调性是( ) A.在[-π,0]上是增函数,在[0,π]上是减函数B.在,22ππ-[]上是增函数,在[-π,-2π]和[2π,π]上都是减函数 C.在[0,π]上是增函数,在[-π,0]上是减函数D.在[2π,π]和[-π,-2π]上是增函数,在[-2π,2π]上是减函数【解析】选D.由正弦函数的图象知,函数y=4sin x,x ∈[-π,π]时,在[-2π,2π]上是增函数,在[-π,-2π]和[2π,π]上是减函数.所以函数y=-4sin x+1在[-2π,2π]上是减函数,在[-π,-2π]和[2π,π]上是增函数,故选D. 2.(2015·济南模拟)下列函数中周期为π且为偶函数的是 ( )A.y=sinB.y=cosC.y=sinD.y=cos【解析】选A.y=sin =-cos2x 为偶函数,且周期是π,所以选A.3.(2015·郑州模拟)如果函数y=3sin(2x+φ)的图象关于直线x=6π对称,则|φ|的最小值为( )A. 6πB.4π C.3π D.2π【解析】选A.由题意,得sin(2×6π+φ)=±1. 所以3π+φ=2π+k π,即φ=6π+k π(k ∈Z), 故|φ|min =6π.4.已知函数f(x)=cos x 在区间[a,b]上是减函数,且f(a)+f(b)=0,则a+b 的值可能是( )A.0B.πC.2πD.3π 【解题提示】结合余弦函数f(x)=cos x 的图象解答. 【解析】选B.因为f(a)+f(b)=0,所以f(a)=-f(b).由余弦函数f(x)=cos x 的图象知区间[a,b]的中点是2π+2k π,(k ∈Z), 所以a+b=2(2π+2k π)=π+4k π(k ∈Z), 故a+b 的可能值是π.5.(2015·大连模拟)已知函数f(x)=2sin(ωx+φ),x ∈R,其中ω>0,-π<φ≤π.若f(x)的最小正周期为6π,且当x=2π时,f(x)取得最大值,则( )A.f(x)在区间[-2π,0]上是增函数B.f(x)在区间[-3π,-π]上是增函数C.f(x)在区间[3π,5π]上是减函数D.f(x)在区间[4π,6π]上是减函数【解题提示】先由题中条件确定ω与φ的值,再验证各选项即可. 【解析】选A.因为f(x)的最小正周期为6π,所以ω=13, 因为当x=2π时,f(x)有最大值,所以13×2π+φ=2π+2k π(k ∈Z),φ=3π+2k π(k ∈Z),因为-π<φ≤π,所以φ=3π.所以f(x)=2sin(x3+3π),由此函数验证易得,在区间[-2π,0]上是增函数,而在区间[-3π,-π]或[3π,5π]上均没单调性,在区间[4π,6π]上是增函数. 二、填空题(每小题5分,共15分)6.函数的定义域是 . 【解析】由tan x-1≥0,得tan ≥1.所以k π+4π≤x<k π+2π (k ∈Z).答案:[k π+4π,k π+2π)(k ∈Z)7.cos 23°,sin 68°,cos 97°从小到大的顺序是 . 【解析】sin 68°=sin(90°-22°)=cos 22°. 因为余弦函数y=cos x 在[0,π]上是单调递减的. 且22°<23°<97°,所以cos 97°<cos 23°<cos 22°. 答案:cos 97°<cos 23°<sin 68°8.(2015·天津模拟)函数f(x)=-sin(2x-4π),x ∈[0, 2π]的最大值是 .【解题提示】先由x 的取值范围确定2x-4π的范围,再根据正弦曲线求解.【解析】因为x ∈[0, 2π], 所以-4π≤2x-4π≤34π. 根据正弦曲线,得当2x-4π=-4π时.sin(2x-4π)取得最小值为-2.故f(x)=-sin(2x-4π)的最大值为2.答案:2【误区警示】解答本题易忽视函数表达式前面的负号而误填1. 三、解答题(每小题10分,共20分) 9.若x ∈[0,π],且满足cos x ≤0,求函数的最大、最小值. 【解题提示】先求x 的取值范围,然后换元求解. 【解析】由x ∈[0,π],且满足cos x ≤0,得 x ∈[2π,π].=令t=sin x,则t ∈[0,1],=所以y max =min =2. 10.已知函数f(x)=2sin(2ωx+4π)(ω>0)的最小正周期为π. (1)求ω的值.(2)讨论f(x)在区间[0,2π]上的单调性. 【解析】(1)因为f(x)=2sin(2ωx+4π)的最小正周期为π,且ω>0.从而有22πω=π,故ω=1.(2)因为f(x)=2sin(2x+4π).若0≤x ≤2π,则4π≤2x+4π≤54π.当4π≤2x+4π≤2π,即0≤x ≤8π时, f(x)单调递增;当2π<2x+4π≤54π,即8π<x ≤2π时,f(x)单调递减. 综上可知,f(x)在区间[0, 8π]上单调递增,在区间(8π,2π]上单调递减.(20分钟 40分)1.(5分)(2015·哈师大附中模拟)若函数f(x)=Asin 2ωx(A>0,ω>0)在x=1处取得最大值,则函数f(x+1)为( ) A.偶函数 B.奇函数 C.既是奇函数又是偶函数 D.非奇非偶函数【解析】选A.因为f(x)=Asin 2ωx 在x=1处取得最大值,故f(1)=A,即 sin 2ω=1,所以2ω=2π+2k π,k ∈Z.因此,f(x+1)=Asin(2ωx+2ω) =Asin(2ωx+2π+2k π)=Acos 2ωx,故f(x+1)是偶函数.2.(5分)(2015·邯郸模拟)已知函数f(x)=2sin ωx(ω>0)在区间[,]34ππ-上的最小值是-2,则ω的最小值为( )A.23B.32C.2D.3 【解题提示】结合正弦函数的图象解答.【解析】选B.因为ω>0,所以-3πω≤ωx ≤4πω,由题意,结合正弦曲线易知,- 3πω≤-2π,即ω≥32.故ω的最小值是32.3.(5分)(2015·浦东模拟)若Sn=sin 7π +sin 27π+…+sin n 7π(n ∈N *),则在S 1,S 2,…,S 100中,正数的个数是( ) A.16 B.72 C.86 D.100【解析】选C.因为函数f(x)=sinx7π的最小正周期为 T=14,又sin 7π>0,sin 27π>0,…,sin 67π>0,sin 77π=0,sin 87π<0,…,sin 137π<0,sin 147π=0,所以在S 1,S 2,S 3,…,S 13,S 14中,只有S 13=S 14=0,其余均大于0.由周期性可知,在S 1,S 2,…,S 100中共有14个0,其余都大于0,即共有86个正数.【加固训练】若f(x)=sin(x+4π),x ∈[0,2π],关于x 的方程f(x)=m 有两个不相等实数根x 1,x 2,则x 1+x 2等于( )A. 2π或52πB.2π C. 52πD.不确定【解析】选A.对称轴x=4π+k π∈[0,2π], 得对称轴x=4π或x=54π, 所以x 1+x 2=2×4π=2π或x 1+x 2=2×54π=52π, 故选A.4.(12分)已知函数f(x)=2asin(2x-3π)+b 的定义域为[0, 2π],函数的最大值为1,最小值为-5,求a 和b 的值.【解题提示】先求出2x-3π的范围,再分a>0,a<0两类情况讨论,列出a,b 的方程组,可求解. 【解析】易知a ≠0.因为0≤x ≤2π,所以-3π≤2x-3π≤23π. 所以-2≤sin(2x-3π)≤1. 若a>0,则2a b 1,b 5,+=⎧⎪⎨+=-⎪⎩解得a 12b 23⎧=-⎪⎨=-+⎪⎩若a<0,则2a b 5,b 1,+=-⎧⎪⎨+=⎪⎩解得a 12b 19⎧=-+⎪⎨=-⎪⎩综上可知或. 5.(13分)(能力挑战题)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(0<ω<1,0≤φ≤π)是R 上的偶函数,其图象关于点M(34π,0)对称. (1)求φ,ω的值.(2)求f(x)的单调递增区间. (3)x ∈3[,]42ππ-,求f(x)的最大值与最小值. 【解析】(1)因为f(x)=sin(ωx+φ)是R 上的偶函数, 所以φ=2π +k π,k ∈Z,且0≤φ≤π,则φ=2π, 即f(x)=cos ωx.因为图象关于点M(34π,0)对称, 所以ω×34π=2π+k π,k ∈Z,且0<ω<1,所以ω=23.(2)由(1)得f(x)=cos 23x,由-π+2k π≤23x ≤2k π且k ∈Z 得,3k π-32π≤x ≤ 3k π,k ∈Z,所以函数的递增区间是[3k π-32π,3k π],k ∈Z.(3)因为x ∈[-34π,2π],所以23x ∈[-2π,3π], 当23x=0时,即x=0,函数f(x)的最大值为1,当23x=-2π时,即x=-34π,函数f(x)的最小值为0. 【加固训练】设函数f(x)=sin(2x+φ)(-π<φ<0),y=f(x)图象的一条对称轴是直线x=8π. (1)求φ.(2)求函数y=f(x)的单调增区间.【解析】(1)令2×8π+φ=k π+2π,k ∈Z,所以φ=k π+4π,又-π<φ<0,则-54<k<-14,所以k=-1,则φ=-34π.(2)由(1)得:f(x)=sin(2x-34π),令-2π+2k π≤2x-34π≤2π+2k π,k ∈Z,可解得8π+k π≤x ≤58π+k π,k ∈Z,因此y=f(x)的单调增区间为[8π+k π, 58π+k π],k ∈Z.关闭Word 文档返回原板块。

《世纪金榜》2016届高三文科数学总复习课时提升作业(五十六)10.3几何概型

课时提升作业(五十六)几何概型(25分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.一数学兴趣小组利用几何概型的相关知识做试验计算圆周率,他们向一个边长为1米的正方形区域均匀撒豆,测得正方形区域有豆5120颗,正方形的内切圆区域有豆4009颗,则他们所测得的圆周率约为(保留三位有效数字) ( )A.3.13B.3.14C.3.15D.3.16【解析】选A.根据几何概型的定义有21()21=,得π≈3.13.2.一个路口的红绿灯,红灯的时间为30秒,黄灯的时间为5秒,绿灯的时间为40秒,当某人到达路口时看见的是红灯的概率是( )A. B. C. D.【解题提示】以时间的长短作为度量,用几何概型求解.【解析】选B.以时间的长短进行度量,故P==.【方法技巧】求与长度(角度)有关的几何概型的概率的方法求与长度(角度)有关的几何概型的概率的方法是把题中所表示的几何模型转化为长度(角度),然后求解.确定点的边界位置是解题的关键. 3.分别以正方形ABCD的四条边为直径画半圆,重叠部分如图中阴影区域所示,若向该正方形内随机投一点,则该点落在阴影区域的概率为( )A. B. C. D.【解析】选B.设正方形边长为2,阴影区域的面积的一半等于半径为1的圆减去2个△BOC 的面积,即为π-2,则阴影区域的面积为2π-4,所以所求概率为P==.4.任意画一个正方形,再将这个正方形各边的中点相连得到第二个正方形,依此类推,这样一共画了4个正方形,如图所示,若向图形中随机投一点,则所投点落在第四个正方形中的概率是( )【解析】选C.依题意可知,第四个正方形的边长是第一个正方形边长的4倍,所以第四个正方形的面积是第一个正方形面积的18倍,由几何概型可知,所投点落在第四个正方形中的概率为18.5.随着科技的进步,微爆技术正逐步被应用到我们日常生活中的各个方面.某医院为探究微爆技术在治疗肾结石方面的应用,设计了一个试验:在一个棱长为1cm的正方体的中心放置微量手术专用炸药,而爆炸的威力范围是一个半径为R的球,则爆炸之后形成的碎片全部落在正方体内部的概率为( )【解析】选A.由题意可知,要使碎片全部落在正方体的内部,则该爆炸的.所以该事件的概威力范围的半径r不大于正方体的内切球的半径R=12率P=二、填空题(每小题5分,共15分)6.(2015·安顺模拟)如图,在边长为1的正方形OABC中任取一点P,分画圆弧,点P在两圆之外的概率别以O,B为圆心,半径为2为.【解析】依题设知所求概率答案:1-47.(2015·贵阳模拟)图(2)中实线围成的部分是长方体(图(1))的平面展开图,其中四边形ABCD是边长为1的正方形.若向虚线围成的矩形内,则此长方任意抛掷一质点,它落在长方体的平面展开图内的概率是14体的体积是 .【解题提示】设长方体的高为h,用h 表示出图(2)中虚线围成的矩形的面积及平面展开图的面积,再由几何概型的概率公式构造含有h 的方程,求出h 后再求解体积.【解析】设长方体的高为h,则图(2)中虚线围成的矩形长为2+2h,宽为1+2h,面积为(2+2h)(1+2h),展开图的面积为2+4h;由几何概型的概率公式知()()24h 122h 12h 4+=++,得h=3,所以长方体的体积是V=1×3=3. 答案:38.已知m ∈[1,7],则函数f(x)=3x 3-(4m-1)x 2+(15m 2-2m-7)x+2在实数集R 上是增函数的概率为 .【解析】f ′(x)=x 2-2(4m-1)x+15m 2-2m-7,依题意,知f ′(x)在R 上恒大于或等于0,所以Δ=4(m 2-6m+8)≤0,得2≤m ≤4.又m ∈[1,7],所以所求的概率为421713-=-. 答案: 13三、解答题(每小题10分,共20分)9.如图,在边长为25cm的正方形中挖去边长为23cm的两个等腰直角三角形,现有均匀的粒子散落在正方形中,问粒子落在中间带形区域的概率是多少?【解析】因为均匀的粒子落在正方形内任何一点是等可能的,所以符合几何概型的条件.设A=“粒子落在中间带形区域”,则依题意得正方形面积为:25×25=625(cm2).两个等腰直角三角形的面积为:2××23×23=529(cm2),带形区域的面积为:625-529=96(cm2).所以P(A)=.10.如图所示,圆O的方程为:x2+y2=4.(1)已知点A的坐标为(2,0),B为圆周上任意一点,求的长度小于π的概率.(2)若P(x,y)为圆O内任意一点,求点P到原点距离大于的概率. 【解析】(1)圆O的周长为4π,所以弧的长度小于π的概率为=.(2)记事件A为P到原点的距离大于,则Ω(A)={(x,y)|x2+y2>2},Ω={(x,y)|x2+y2≤4},所以P(A)==.【加固训练】已知向量a=(-2,1),b=(x,y).(1)若x,y分别表示将一枚质地均匀的正方体骰子(六个面的点数分别为1,2,3,4,5,6)先后抛掷两次时第一次、第二次出现的点数,求满足a·b=-1的概率.(2)若x,y在连续区间[1,6]上取值,求满足a·b<0的概率.【解析】(1)将一枚质地均匀的正方体骰子先后抛掷两次,所包含的基本事件总数为6×6=36个;由a·b=-1有-2x+y=-1,所以满足a·b=-1的基本事件为(1,1),(2,3),(3,5),共3个,故满足a·b=-1的概率为=.(2)若x,y在连续区间[1,6]上取值,则全部基本事件的结果为Ω={(x,y)|1≤x≤6,1≤y≤6};满足a·b<0的基本事件的结果为A={(x,y)|1≤x≤6,1≤y≤6且-2x+y<0};画出图形如图,正方形的面积为S正方形=25,阴影部分的面积为S阴影=25-×2×4=21,故满足a·b<0的概率为.(20分钟40分)1.(5分)向边长为2米的正方形木框ABCD内随机投掷一粒绿豆,记绿豆的概率为落在P点,则P点到A点的距离大于1米,同时∠DPC∈(0,)2( )【解析】选A.由题意,易知:(1)点P 在以A 点为圆心,1为半径的圆外;(2)若点P 在以DC 为直径的圆上,则∠DPC=2π,若点P 在以DC 为直径的圆内,则∠DPC>2π,故只有点P 在以DC 为直径的圆外时满足∠DPC 为锐角.因此,点P 落入图中的阴影部分,故所求概率为43421416ππ--π=-. 【方法技巧】解决几何概型的关键解答几何概型问题的关键在于弄清题中的考察对象和对象的活动范围.当考察对象为点,点的活动范围在线段上时,用线段长度比计算;当考察对象为线时,一般用角度比计算,即当半径一定时,由于弧长之比等于其所对应的圆心角的度数之比,所以角度之比实际上是所对的弧长(曲线长)之比.2.(5分)(2015·贵阳模拟)在区间[0,π]上随机取一个数x,则事件“sinx+≤1”发生的概率为()【解析】选C.由题意知,此概率符合几何概型,所有基本事件包含的区域长度为π,设A 表示取出的x 满足≤1这样的事件,对条件变形为1sin(x )32π+≤,即事件A 包含的区域长度为2π.所以P(A)=122π=π. 3.(5分)在区间[0,10]上任取一个实数a,使得不等式2x 2-ax+8≥0在(0,+∞)上恒成立的概率为 .【解析】要使2x 2-ax+8≥0在(0,+∞)上恒成立,只需ax ≤2x 2+8,即a ≤2x+8x 在(0,+∞)上恒成立.又2x+8x ≥当且仅当x=2时等号成立,故只需a ≤8,因此0≤a ≤8.由几何概型的概率计算公式可知所求概率为8041005-=-. 答案: 45 4.(12分)已知集合A=[-2,2],B=[-1,1],设M={(x,y)|x ∈A,y ∈B},在集合M 内随机取出一个元素(x,y).(1)求以(x,y)为坐标的点落在圆x 2+y 2=1内的概率.(2)求以(x,y)为坐标的点到直线x+y=0的距离不大于2的概率. 【解析】(1)集合M 内的点形成的区域面积S=8.因圆x 2+y 2=1的面积S 1=π,故所求概率为1S S 8π=. (2)2≤,即-1≤x+y ≤1,形成的区域如图中阴影部分,阴影部分面积S 2=4,所求概率为2S 1.S 2= 5.(13分)(能力挑战题)已知袋子中放有大小和形状相同的小球若干,其中标号为0的小球1个,标号为1的小球1个,标号为2的小球n 个.若从袋子中随机抽取1个小球,取到标号为2的小球的概率是.(1)求n 的值.(2)从袋子中不放回地随机抽取2个小球,记第一次取出的小球标号为a,第二次取出的小球标号为b.(ⅰ)记“a+b=2”为事件A,求事件A的概率;(ⅱ)在区间[0,2]内任取2个实数x,y,求事件“x2+y2>(a-b)2恒成立”的概率.【解析】(1)依题意=,得n=2.(2)(ⅰ)记标号为0的小球为s,标号为1的小球为t,标号为2的小球为k,h,则取出2个小球的可能情况有:(s,t),(s,k),(s,h),(t,s),(t,k),(t,h),(k,s), (k,t),(k,h),(h,s),(h,t),(h,k),共12种,其中满足“a+b=2”的有4种:(s,k),(s,h)(k,s),(h,s).所以所求概率为P(A)==.(ⅱ)记“x2+y2>(a-b)2恒成立”为事件B,则事件B等价于“x2+y2>4恒成立”,(x,y)可以看成平面中的点的坐标,则全部结果所构成的区域为Ω={(x,y)|0≤x≤2,0≤y≤2,x,y∈R},而事件B构成的区域为B={(x,y)|x2+y2>4,(x,y)∈Ω}.所以所求的概率为P(B)=1-.关闭Word文档返回原板块。

世纪金榜2016最新版数学文科课时提升作业(二十) 3.6

12
5.(2015·临沂模拟)已知函数 f(x)=sin x+2 3 cos2 x ,设 a f( ), b f (),c f () ,则
a,b,c 的大小关系是( )
A.a<b<c
C.b<a<c
【解题提示】先化简函数 f(x)的解析式,再利用其单调性比较大小.
【解析】选 B.f(x)= sin x 2 3A1 cos x sin x 3cos x 3 2sin(x ) 3,
2 26 2
【解析】因为

3sin
1 cos x 1
2
sin(x ), 6
所以 f(x)max=1.
答案:1
f(x)= 2sin
x sin2 x 1
22
22
x (
3 cos
x
1 sin
22 22 2 2
x) 1
【加固训练】(2015·咸阳模拟)函数 y=4cos2 x +1,x∈[-π,π]的最小值是 .
【解析】选 A.角是的 2 倍,
24
所以 sin2

4

1 cos
因为 α∈(0,2π),所以 ∈(0, ),
42
所以 sin = 1 10 .
4 10 10
2.化简: 1 cos =( )
1 cos
A.sin2α
2
2
1 4 5
B.tan2α
【解题提示】用二倍角公式化简,α 是的二倍.
因为函数 f(x)在[0, ]上单调递增,所以 f( ) f( ) ,而 c= f( )
6
=2sin 2 + 3 =2sin + 3 =f(0)< f( ) ,所以 c<a<b.

(人教A版)数学高中选修4-1课时同步练习 (全书完整版)

（人教A 版）高中数学选修4-1（全册）课时同步练习汇总课时跟踪检测(一) 平行线等分线段定理一、选择题1．在梯形ABCD 中, M , N 分别是腰AB 与腰CD 的中点, 且AD ＝2, BC ＝4, 则MN 等于( )A ．2.5B ．3C ．3.5D ．不确定解析：选B 由梯形中位线定理知选B.2．如图, AD 是△ABC 的高, E 为AB 的中点, EF ⊥BC 于F , 如果DC ＝13BD , 那么FC是BF 的( )A.53倍B.43倍C.32倍D.23倍解析：选A ∵EF ⊥BC , AD ⊥BC , ∴EF ∥AD .又E 为AB 的中点, 由推论1知F 为BD 的中点, 即BF ＝FD . 又DC ＝13BD ,∴DC ＝23BF .∴FC ＝FD ＋DC ＝BF ＋DC ＝53BF .3．梯形的中位线长为15 cm, 一条对角线把中位线分成3∶2两段, 那么梯形的两底长分别为( )A ．12 cm 18 cmB ．20 cm 10 cmC ．14 cm 16 cmD ．6 cm 9 cm解析：选A 如图, 设MP ∶PN ＝2∶3, 则MP ＝6 cm, PN ＝9 cm. ∵MN 为梯形ABCD 的中位线, 在△BAD 中, MP 为其中位线, ∴AD ＝2MP ＝12 cm. 同理可得BC ＝2PN ＝18 cm.4．梯形的一腰长为10 cm, 该腰和底边所形成的角为30°, 中位线长为12 cm, 则此梯形的面积为 ( )A ．30 cm 2B ．40 cm 2C ．50 cm 2D ．60 cm 2 解析：选D 如图, 过A 作AE ⊥BC , 在Rt △ABE 中, AE ＝AB sin 30°＝5 cm.又已知梯形的中位线长为12 cm, ∴AD＋BC＝2×12＝24(cm)．∴梯形的面积S＝12(AD＋BC)·AE＝12×5×24＝60 (cm2)．二、填空题5．如图, 在AD两旁作AB∥CD且AB＝CD, A1, A2为AB的两个三等分点, C1, C2为CD 的两个三等分点, 连接A1C, A2C1, BC2, 则把AD分成四条线段的长度________(填“相等”或“不相等”)．解析：如图, 过A作直线AM平行于A1C, 过D作直线DN平行于BC2, 由AB∥CD, A1, A2为AB的两个三等分点, C1, C2为CD的两个三等分点, 可得四边形A1CC1A2, 四边形A2C1C2B为平行四边形,所以A1C∥A2C1∥C2B, 所以AM∥A1C∥A2C1∥C2B∥DN, 因为AA1＝A1A2＝A2B＝CC1＝C1C2＝C2D, 由平行线等分线段定理知, A1C, A2C1, BC2把AD分成四条线段的长度相等．答案：相等6．如图, 在△ABC中, E是AB的中点, EF∥BD, EG∥AC交BD于G, CD＝12AD, 若EG＝2 cm, 则AC＝______；若BD＝10 cm, 则EF＝________.解析：由E是AB的中点, EF∥BD, 得F为AD的中点．由EG∥AC, 得EG＝12AD＝FD＝2 cm,结合CD＝12AD,可以得到F, D是AC的三等分点, 则AC＝3EG＝6 cm.由EF∥BD, 得EF＝12BD＝5 cm.答案：6 cm 5 cm7．如图, AB＝AC, AD⊥BC于点D, M是AD的中点, CM交AB于点P, DN∥CP.若AB ＝6 cm, 则AP＝________；若PM＝1 cm, 则PC＝________.解析：由AD⊥BC, AB＝AC, 知BD＝CD,又DN∥CP,∴BN＝NP,又AM＝MD, PM∥DN, 知AP＝PN,∴AP＝13AB＝2 cm.易知PM＝12DN, DN＝12PC,∴PC＝4PM＝4 cm.答案：2 cm 4 cm三、解答题8．已知△ABC中, D是AB的中点, E是BC的三等分点(BE>CE), AE, CD交于点F.求证：F是CD的中点．证明：如图,过D作DG∥AE交BC于G,在△ABE中, ∵AD＝BD, DG∥AE,∴BG＝GE.∵E是BC的三等分点,∴BG＝GE＝EC.在△CDG中, ∵GE＝CE, DG∥EF,∴DF＝CF,即F是CD的中点．9.如图, 在等腰梯形中, AB∥CD, AD＝12 cm, AC交梯形中位线EG于点F, 若EF＝4 cm, FG＝10 cm.求此梯形的面积．解：作高DM, CN,则四边形DMNC为矩形．∵EG是梯形ABCD的中位线,∴EG∥DC∥AB.∴F是AC的中点．∴DC＝2EF＝8, AB＝2FG＝20,MN＝DC＝8.在Rt△ADM和Rt△BCN中,AD＝BC, ∠DAM＝∠CBN, ∠AMD＝∠BNC,∴△ADM≌△BCN.∴AM＝BN＝12(20－8)＝6.∴DM＝AD2－AM2＝122－62＝6 3.∴S梯形＝EG·DM＝14×63＝84 3 (cm2)．10.已知：梯形ABCD中, AD∥BC, 四边形ABDE是平行四边形, AD 的延长线交EC于F.求证：EF＝FC.证明：法一：如图, 连接BE交AF于点O.∵四边形ABDE是平行四边形,∴BO＝OE.又∵AF∥BC,∴EF＝FC.法二：如图,延长ED交BC于点H.∵四边形ABDE是平行四边形,∴AB∥ED, AB∥DH,AB＝ED.又∵AF∥BC,∴四边形ABHD是平行四边形．∴AB＝DH.∴ED＝DH.∴EF＝FC.法三：如图, 延长EA交CB的延长线于点M.∵四边形ABDE是平行四边形,∴BD∥EA, AE＝BD.又∵AD∥BC.∴四边形AMBD是平行四边形．∴AM ＝BD . ∴AM ＝AE . ∴EF ＝FC .课时跟踪检测(二) 平行线分线段成比例定理一、选择题1.如图所示, DE ∥AB , DF ∥BC , 下列结论中不．正确的是( ) A.AD DC ＝AF DE B.CE CB ＝BF ABC.CD AD ＝CE DFD.AF BF ＝DF BC解析：选D ∵DF ∥EB , DE ∥FB , ∴四边形DEBF 为平行四边形． ∴DE ＝BF , DF ＝EB . ∴AD DC ＝AF FB ＝AFDE , A 正确． CE CB ＝DE AB ＝BFAB , B 正确． CD AD ＝CE EB ＝CEDF , C 正确．2．已知线段a , m , n 且ax ＝mn , 求作x , 图中作法正确的是( )解析：选C 因为ax ＝mn , 所以a m ＝nx , 故选C.3.如图, 在△ACE 中, B , D 分别在AC , AE 上, 下列推理不．正确的是( )A．BD∥CE⇒ABAC＝BDCE B．BD∥CE⇒ADAE＝BDCEC．BD∥CE⇒ABBC＝ADDE D．BD∥CE⇒ABBC＝BDCE解析：选D由平行线分线段成比例定理的推论不难得出选项A、B、C都是正确的, D 项是错误的．4．如图, 将一块边长为12的正方形纸ABCD的顶点A, 折叠至DC边上的点E, 使DE ＝5, 折痕为PQ, 则线段PM和MQ的比是()A．5∶12 B．5∶13 C．5∶19 D．5∶21解析：选C如图, 作MN∥AD交DC于N,∴DNNE＝AMME.又∵AM＝ME, ∴DN＝NE＝12DE＝52.∴NC＝NE＋EC＝52＋7＝192.∵PD∥MN∥QC,∴PMMQ＝DNNC＝52192＝519.二、填空题5．如图所示, 已知DE∥BC, BF∶EF＝3∶2, 则AC∶AE＝________.解析：∵DE∥BC,∴AEAC＝DEBC＝EFBF.∵BF∶EF＝3∶2,∴AC∶AE＝3∶2.答案：3∶26.如图, 在△ABC中, 点D是AC的中点, 点E是BD的中点, AE的延长线交BC于点F, 则BFFC＝________.解析：过点D作DM∥AF交BC于点M. ∵点E是BD的中点,∴在△BDM中, BF＝FM.∵点D是AC的中点,∴在△CAF中, CM＝MF.∴BFFC＝BFFM＋MC＝12.答案：1 27．如图, 四边形ABCD中, ∠A＝∠B＝90°, AD∶AB∶BC＝3∶4∶6, E, F分别是AB, CD上的点, AE∶AB＝DF∶DC＝1∶3.若四边形ABCD的周长为1, 则四边形AEFD的周长为________．解析：因为在四边形ABCD中, ∠A＝∠B＝90°, AD∶AB∶BC＝3∶4∶6,所以可设AD＝3k, AB＝4k, BC＝6k,作DG⊥BC交BC于点G, 交EF于点H,则DG＝4k, GC＝3k,所以DC＝16k2＋9k2＝5k,因为四边形ABCD的周长为1,所以3k＋4k＋6k＋5k＝1, 所以k＝1 18,因为E, F分别是AB, CD上的点, AE∶AB＝DF∶DC＝1∶3,所以AE＝4k3, DF＝5k3,取BE , CF 的中点M , N , 令EF ＝x , MN ＝y ,则由梯形中位线得⎩⎪⎨⎪⎧2x ＝3k ＋y ，2y ＝x ＋6k ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4k ，y ＝5k ，即EF ＝4k .所以四边形AEFD 的周长是 3k ＋4k 3＋4k ＋5k 3＝10k ＝10×118＝59.答案：59三、解答题8.如图, B 在AC 上, D 在BE 上, 且AB ∶BC ＝2∶1, ED ∶DB ＝2∶1, 求AD ∶DF .解：过点D 作DG ∥AC 交FC 于点G , 则DG BC ＝ED EB ＝23, 所以DG ＝23BC , 又BC ＝13AC ,所以DG ＝29AC ,所以DF AF ＝DG AC ＝29, 所以DF ＝29AF ,从而AD ＝79AF , 故AD ∶DF ＝7∶2.9.如图, 在四边形ABCD 中, AC , BD 交于点O , 过O 作AB 的平行线, 与AD , BC 分别交于E , F , 与CD 的延长线交于K .求证：KO 2＝KE ·KF .证明：延长CK , BA , 设它们交于点H . 因为KO ∥HB ,所以KO HB ＝DK DH , KE HA ＝DK DH . 所以KO HB ＝KE HA , 即KO KE ＝HB HA . 因为KF ∥HB , 同理可得KF KO ＝HBHA .所以KO KE ＝KFKO , 即KO 2＝KE ·KF .10.如图所示, 在梯形ABCD中, AD∥BC, EF经过梯形对角线的交点O, 且EF∥AD.(1)求证：EO＝OF；(2)求EOAD＋EOBC的值；(3)求证：1AD＋1BC＝2EF.解：(1)证明：∵EF∥AD, AD∥BC, ∴EF∥AD∥BC.∵EF∥BC, ∴EOBC＝AEAB,OFBC＝DFDC.∵EF∥AD∥BC,∴AEAB＝DFDC.∴EOBC＝OFBC.∴EO＝OF. (2)∵EO∥AD,∴EOAD＝BEBA.由(1)知EOBC＝AEAB,∴EOAD＋EOBC＝BEBA＋AEAB＝BE＋AEAB＝1.(3)证明：由(2)知EOAD＋EOBC＝1,∴2EOAD＋2EOBC＝2.又EF＝2EO,∴EFAD＋EFBC＝2.∴1AD＋1BC＝2EF.课时跟踪检测(三)相似三角形的判定一、选择题1．如图所示, 点E是▱ABCD的边BC延长线上的一点, AE与CD相交于点F, 则图中相似三角形共有()A．2对B．3对C．4对D．5对解析：选B有3对, 因为∠ABC＝∠ADF, ∠AEB＝∠EAD, 所以△ABE∽△FDA, 因为∠ABC＝∠DCE, ∠E为公共角,所以△BAE∽△CFE.因为∠AFD＝∠EFC, ∠DAF＝∠AEC,所以△ADF∽△ECF.2．三角形的一条高分这个三角形为两个相似三角形, 则这个三角形是()A．直角三角形B．等腰三角形C．等腰直角三角形D．等腰三角形或直角三角形解析：选D等腰三角形底边上的高或直角三角形斜边上的高分得的两个三角形分别相似．3．如图, 要使△ACD ∽△BCA , 下列各式中必须成立的是( ) A.AC AB ＝AD BC B.AD CD ＝AC BC C ．AC 2＝CD ·CB D ．CD 2＝AC ·AB解析：选C ∠C ＝∠C , 只有AC CD ＝CBAC , 即AC 2＝CD ·CB 时, 才能使△ACD ∽△BCA . 4．如图, 在等边三角形ABC 中, E 为AB 的中点, 点D 在AC 上, 使得AD AC ＝13, 则有( )A ．△AED ∽△BEDB ．△AED ∽△CBDC ．△AED ∽△ABD D ．△BAD ∽△BCD 解析：选B 因为∠A ＝∠C , BC AE ＝CDAD＝2, 所以△AED ∽△CBD . 二、填空题5．如图所示, 在△ABC 中, 点D 在线段BC 上, ∠BAC ＝∠ADC , AC ＝8, BC ＝16, 那么CD ＝________.解析：∵∠BAC ＝∠ADC , 又∠C ＝∠C , ∴△ABC ∽△DAC . ∴AC CD ＝BC AC . 又∵AC ＝8, BC ＝16. ∴CD ＝4. 答案：46．如图所示, ∠ACB＝90°, CD⊥AB于点D, BC＝3, AC＝4, 则AD＝________, BD＝________.解析：由题设可求得AB＝5,∵Rt△ABC∽Rt△ACD,∴ABAC＝ACAD.∴AD＝AC2AB＝165.又∵Rt△ABC∽Rt△CBD,∴ABCB＝BCBD.∴BD＝BC2AB＝95.答案：165957．已知在△ABC中, AD为∠BAC的平分线, AD的垂直平分线EF与AD交于点E, 与BC的延长线交于点F, 若CF＝4, BC＝5, 则DF＝________.解析：连接AF.∵EF⊥AD, AE＝ED,∴AF＝DF,∠FAD＝∠FDA.又∵∠FAD＝∠DAC＋∠CAF,∠FDA＝∠BAD＋∠B,且∠DAC＝∠BAD,∴∠CAF＝∠B.而∠CFA＝∠AFB, ∴△AFC∽△BFA.∴AFCF＝BFAF.∴AF2＝CF·BF＝4×(4＋5)＝36.∴AF＝6, 即DF＝6.答案：6三、解答题8.如图, D在AB上, 且DE∥BC交AC于点E, F在AD上, 且AD2＝AF·AB.求证：△AEF∽△ACD.证明：∵DE∥BC, ∴ADAB＝AEAC.∵AD2＝AF·AB, ∴ADAB＝AFAD.∴AEAC＝AFAD.又∠A＝∠A, ∴△AEF∽△ACD.9.如图, 直线EF交AB, AC于点F, E, 交BC的延长线于点D, AC⊥BC, 且AB·CD＝DE·AC.求证：AE·CE＝DE·EF.证明：∵AB·CD＝DE·AC∴ABDE＝ACCD.∵AC⊥BC,∴∠ACB＝∠DCE＝90°.∴△ACB∽△DCE.∴∠A＝∠D.又∵∠AEF＝∠DEC, ∴△AEF∽△DEC.∴AEDE＝EFCE.∴AE·CE＝DE·EF.10.如图, 在△ABC中, EF∥CD, ∠AFE＝∠B, AE＝6, ED＝3, AF＝8.(1)求AC的长；(2)求CD2BC2的值．解：(1)∵EF∥CD,∴AEAD＝AFAC.∵AE＝6, ED＝3, AF＝8,∴66＋3＝8AC.∴AC＝12.(2)∵EF∥DC, ∴∠AFE＝∠ACD, 又∠AFE＝∠B, ∴∠ACD＝∠B. 又∠A＝∠A,∴△ACD∽△ABC.∴CDBC＝ADAC＝6＋312＝34.∴CD2BC2＝916.课时跟踪检测(四) 相似三角形的性质一、选择题1．如图, △ABC 中, DE ∥BC , 若AE ∶EC ＝1∶2, 且AD ＝4 cm, 则DB 等于( )A ．2 cmB ．6 cmC ．4 cmD ．8 cm解析：选D 由DE ∥BC , 得△ADE ∽△ABC , ∴AD AB ＝AE AC , ∴AD DB ＝AE EC ＝12. ∴DB ＝4×2＝8(cm)．2.如图, 在▱ABCD 中, E 是BC 的中点, AE 交对角线BD 于点G , 且△BEG 的面积是1 cm 2, 则▱ABCD 的面积为( )A ．8 cm 2B ．10 cm 2C ．12 cm 2D ．14 cm 2解析：选C 因为AD ∥BC , 所以△BEG ∽△DAG , 因为BE ＝EC , 所以BE BC ＝BE DA ＝12.所以S △BEG S △DAG ＝⎝⎛⎭⎫BE DA 2＝14, 即S △DAG ＝4S △BEG ＝4(cm 2)．又因为AD ∥BC , 所以AG EG ＝DABE ＝2, 所以S △BAG S △BEG ＝AG EG＝2,所以S △BAG ＝2S △BEG ＝2(cm 2),所以S △ABD ＝S △BAG ＋S △DAG ＝2＋4＝6(cm 2), 所以S ▱ABCD ＝2S △ABD ＝2×6＝12(cm 2)．3．如图所示, 在▱ABCD 中, AB ＝10, AD ＝6, E 是AD 的中点, 在AB 上取一点F , 使△CBF ∽△CDE , 则BF 的长是( )A ．5B ．8.2C ．6.4D ．1.8解析：选D ∵△CBF ∽△CDE , ∴BF DE ＝CB CD .∴BF ＝DE ·CB CD ＝3×610＝1.8.4．如图, AB ∥EF ∥CD , 已知AB ＝20, DC ＝80, 那么EF 的值是( )A ．10B ．12C ．16D ．18解析：选C ∵AB ∥EF ∥CD , ∴AE EC ＝AB DC ＝2080＝14.∴EF AB ＝EC AC ＝45.∴EF ＝45AB ＝45×20＝16.二、填空题5．(广东高考)如图, 在平行四边形 ABCD 中, 点E 在AB 上且EB ＝2AE , AC 与DE 交于点F , 则△CDF 的周长△AEF 的周长＝________.解析：由CD ∥AE , 得△CDF ∽△AEF , 于是△CDF 的周长△AEF 的周长＝CD AE ＝AB AE ＝3.答案：36．如图, 在△ABC 中有一个矩形EFGH , 其顶点E , F 分别在AC , AB 上, G , H 在BC 上, 若EF ＝2FG , BC ＝20, △ABC 的高AD ＝10, 则FG ＝________.解析：设FG ＝x , 因为EF ＝2FG , 所以EF ＝2x .因为EF ∥BC , 所以△AFE ∽△ABC , 所以AM AD ＝EFBC , 即10－x 10＝2x 20,解得x ＝5, 即FG ＝5. 答案：57．如图所示, 在矩形ABCD 中, AE ⊥BD 于E , S 矩形ABCD ＝40 cm 2.S △ABE ∶S △DBA ＝1∶5, 则AE 的长为________．解析：因为∠BAD ＝90°, AE ⊥BD , 所以△ABE ∽△DBA .所以S △ABE ∶S △DBA ＝AB 2∶DB 2. 因为S △ABE ∶S △DBA ＝1∶5, 所以AB ∶DB ＝1∶ 5. 设AB ＝k cm, DB ＝5k cm, 则AD ＝2k cm.因为S 矩形ABCD ＝40 cm 2,所以k ·2k ＝40, 所以k ＝25(cm)．所以BD ＝5k ＝10 (cm), AD ＝45(cm)．又因为S △ABD ＝12BD ·AE ＝20,所以12·10·AE ＝20.所以AE ＝4(cm)．答案：4 cm 三、解答题8．如图, 已知△ABC 中, ∠A ＝90°, AB ＝AC , D 为AB 的中点, E 是AC 上的点, BE , CD 交于点M .若AC ＝3AE , 求∠EMC 的度数．解：如图, 作EF ⊥BC 于点F , 设AB ＝AC ＝3, 则AD ＝32, BC ＝32,CE ＝2, EF ＝FC ＝ 2. ∴BF ＝BC －FC ＝2 2.∴EF ∶BF ＝2∶22＝1∶2＝AD ∶AC . ∴△FEB ∽△ADC , ∴∠2＝∠1. ∵∠EMC ＝∠2＋∠MCB ,∴∠EMC ＝∠1＋∠MCB ＝∠ACB ＝45°.9.如图, ▱ABCD 中, E 是CD 的延长线上一点, BE 与AD 交于点F , DE ＝12CD .(1)求证：△ABF ∽△CEB ；(2)若△DEF 的面积为2, 求▱ABCD 的面积．解：(1)证明：∵四边形ABCD 是平行四边形, ∴∠A ＝∠C , AB ∥CD . ∴∠ABF ＝∠E . ∴△ABF ∽△CEB .(2)∵四边形ABCD 是平行四边形, ∴AD ∥BC , AB ∥CD .∴△DEF ∽△CEB , △DEF ∽△ABF . ∵DE ＝12CD ,∴S △DEF S △CEB ＝⎝⎛⎭⎫DE EC 2＝19, S △DEF S △ABF ＝⎝⎛⎭⎫DE AB 2＝14. ∵S △DEF ＝2,∴S △CEB ＝18, S △ABF ＝8, ∴S 四边形BCDF ＝S △CEB －S △DEF ＝16. ∴S ▱ABCD ＝S 四边形BCDF ＋S △ABF ＝16＋8＝24.10．如图所示, 甲、乙、丙三位同学欲测量旗杆AB 的高度, 甲在操场上C 处直立3 m 高的竹竿CD , 乙从C 处退到E 处恰好看到竹竿顶端D 与旗杆顶端B 重合, 量得CE ＝3 m, 乙的眼睛到地面的距离FE＝1.5 m ；丙在C 1处也直立3 m 高的竹竿C 1D 1, 乙从E 处退后6 m 到E 1处, 恰好看到竹竿顶端D 1与旗杆顶端B 也重合, 量得C 1E 1＝4 m, 求旗杆AB的高．解：设F 1F 与AB , CD , C 1D 1分别交于点G , M , N , GB ＝x m, GM ＝y m. 因为MD ∥GB ,所以∠BGF ＝∠DMF , ∠GBF ＝∠MDF , 所以△BGF ∽△DMF , 所以MD GB ＝MF GF.又因为MD ＝CD －CM ＝CD －EF ＝1.5 (m), 所以1.5x ＝33＋y.①又因为ND 1∥GB , 同理可证得△BGF 1∽△D 1NF 1, 所以ND 1GB ＝NF 1GF 1,即1.5x ＝4y ＋3＋6.②解方程①②组成的方程组, 得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝9，y ＝15.又AB ＝GB ＋GA ＝9＋1.5＝10.5(m), 即旗杆AB 的高为10.5 m.课时跟踪检测(五) 直角三角形的射影定理一、选择题1．已知Rt △ABC 中, 斜边AB ＝5 cm, BC ＝2 cm, D 为AC 上一点, DE ⊥AB 交AB 于点E , 且AD ＝3.2 cm, 则DE 等于( )A ．1.24 cmB ．1.26 cmC ．1.28 cmD ．1.3 cm 解析：选C 如图, ∵∠A ＝∠A , ∴Rt △ADE ∽Rt △ABC , ∴AD AB ＝DEBC, ∴DE ＝AD ·BC AB ＝3.2×25＝1.28 (cm)．2．已知直角三角形中两直角边的比为1∶2, 则它们在斜边上的射影比为( ) A ．1∶2 B ．2∶1 C ．1∶4D ．4∶1解析：选C 设直角三角形两直角边长分别为1和2, 则斜边长为5, ∴两直角边在斜边上的射影分别为15和45. 3．一个直角三角形的一条直角边为3 cm, 斜边上的高为2.4 cm, 则这个直角三角形的面积为( )A ．7.2 cm 2B ．6 cm 2C ．12 cm 2D ．24 cm 2解析：选B 长为3 cm 的直角边在斜边上的射影为32－2.42＝1.8(cm), 由射影定理知斜边长为321.8＝5(cm),∴三角形面积为12×5×2.4＝6(cm 2)．4．如图所示, 在△ABC 中, ∠ACB ＝90°, CD ⊥AB , D 为垂足, 若CD ＝6 cm, AD ∶DB ＝1∶2, 则AD 的长是( )A．6 cm B．3 2 cm C．18 cm D．3 6 cm解析：选B∵AD∶DB＝1∶2,∴可设AD＝t, DB＝2t.又∵CD2＝AD·DB, ∴36＝t·2t,∴2t2＝36, ∴t＝32(cm), 即AD＝3 2 cm.二、填空题5．若等腰直角三角形的一条直角边长为1, 则该三角形在直线l上的射影的最大值为________．解析：射影的最大值即为等腰直角三角形的斜边长．答案： 26．如图所示, 四边形ABCD是矩形, ∠BEF＝90°, ①②③④这四个三角形能相似的是________．解析：因为四边形ABCD为矩形,所以∠A＝∠D＝90°.因为∠BEF＝90°, 所以∠AEB＋∠DEF＝90°.因为∠DEF＋∠DFE＝90°, 所以∠AEB＝∠DFE.所以△ABE∽△DEF.答案：①③7．如图, 在Rt△ABC中, ∠ACB＝90°, CD⊥AB, AC＝6, AD＝3.6, 则BC＝________.解析：由射影定理得,AC2＝AD·AB, BC2＝BD·AB,∴AC2BC2＝ADBD, 即BC2＝AC2·BDAD.又∵CD2＝AD·BD,∴BD＝CD2 AD.∴BC2＝AC2·CD2AD2＝62(62－3.62)3.62＝64.∴BC＝8.答案：8三、解答题8．如图所示, D为△ABC中BC边上的一点, ∠CAD＝∠B, 若AD ＝6, AB＝10, BD＝8, 求CD的长．解：在△ABD中, AD＝6, AB＝10, BD＝8,满足AB2＝AD2＋BD2,∴∠ADB＝90°, 即AD⊥BC.又∵∠CAD＝∠B, 且∠C＋∠CAD＝90°.∴∠C＋∠B＝90°, 即∠BAC＝90°.故在Rt△BAC中, AD⊥BC,由射影定理知AD2＝BD·CD, 即62＝8·CD,∴CD＝9 2.9.如图, AD, BE是△ABC的两条高, DF⊥AB, 垂足为F, 直线FD交BE 于点G , 交AC 的延长线于点H .求证：DF 2＝GF ·HF .证明：在△AFH 与△GFB 中,因为∠H ＋∠BAC ＝90°, ∠GBF ＋∠BAC ＝ 90°, 所以∠H ＝∠GBF .因为∠AFH ＝∠GFB ＝90°, 所以△AFH ∽△GFB . 所以HF BF ＝AF GF ,所以AF ·BF ＝GF ·HF .因为在Rt △ABD 中, FD ⊥AB , 所以DF 2＝AF ·BF , 所以DF 2＝GF ·HF .10．已知直角三角形的周长为48 cm, 一锐角平分线分对边为3∶5两部分． (1)求直角三角形的三边长； (2)求两直角边在斜边上的射影的长．解：(1)如图, 设CD ＝3x , BD ＝5x , 则BC ＝8x , 过D 作DE ⊥AB , 由题意可得, DE ＝3x , BE ＝4x , ∴AE ＋AC ＋12x ＝48. 又AE ＝AC ,∴AC ＝24－6x , AB ＝24－2x . ∴(24－6x )2＋(8x )2＝(24－2x )2,解得x 1＝0(舍去), x 2＝2. ∴AB ＝20, AC ＝12, BC ＝16, ∴三边长分别为20 cm,12 cm,16 cm. (2)作CF ⊥AB 于点F , ∴AC 2＝AF ·AB .∴AF ＝AC 2AB ＝12220＝365(cm)；同理, BF ＝BC 2AB ＝16220＝645(cm)．∴两直角边在斜边上的射影长分别为365 cm, 645 cm.课时跟踪检测(六) 圆周角定理一、选择题1．如图, △ABC 内接于⊙O , OD ⊥BC 于D , ∠A ＝50°, 则∠OCD 的度数是( )A ．40°B ．25°C ．50°D ．60°解析：选A 连接OB .因为∠A ＝50°, 所以BC 弦所对的圆心角∠BOC ＝100°, ∠COD ＝12∠BOC ＝50°, ∠OCD ＝90°－∠COD ＝90°－50°＝40°.所以∠OCD ＝40°.2．如图, CD 是⊙O 的直径, 弦AB ⊥CD 于点E , ∠BCD ＝25°, 则下列结论错误的是( )A ．AE ＝BEB ．OE ＝DEC ．∠AOD ＝50°D ．D 是AB 的中点解析：选B 因为CD 是⊙O 的直径, 弦AB ⊥CD , 所以AD ＝BD , AE ＝BE . 因为∠BCD ＝25°,所以∠AOD ＝2∠BCD ＝50°, 故A 、C 、D 项结论正确, 选B.3．Rt △ABC 中, ∠C ＝90°, ∠A ＝30°, AC ＝23, 则此三角形外接圆的半径为( ) A. 3 B ．2 C ．2 3D ．4解析：选B 由推论2知AB 为Rt △ABC 的外接圆的直径, 又AB ＝23cos 30°＝4, 故外接圆半径r ＝12AB ＝2.4．如图, 已知AB 是半圆O 的直径, 弦AD , BC 相交于点P , 若CD ＝3, AB ＝4, 则tan ∠BPD 等于( )A.34B.43C.53D.73解析：选D 连接BD , 则∠BDP ＝90°. ∵△CPD ∽△APB , ∴CD AB ＝PD PB ＝34.在Rt △BPD 中, cos ∠BPD ＝PD PB ＝34,∴tan ∠BPD ＝73. 二、填空题5．如图, △ABC 为⊙O 的内接三角形, AB 为⊙O 的直径, 点D 在⊙O 上, ∠ADC ＝68°, 则∠BAC ＝________.解析：AB 是⊙O 的直径, 所以弧ACB 的度数为180 °, 它所对的圆周角为90°, 所以∠BAC ＝90°－∠ABC ＝90°－∠ADC ＝90°－68°＝22°.答案：22°6．如图, A , E 是半圆周上的两个三等分点, 直径BC ＝4, AD ⊥BC , 垂足为D , BE 与AD 相交于点F , 则AF 的长为______．解析：如图, 连接AB , AC , 由A , E 为半圆周上的三等分点, 得∠FBD ＝30°, ∠ABD ＝60°, ∠ACB ＝30°. 由BC ＝4,得AB ＝2, AD ＝3, BD ＝1,则DF ＝33, 故AF ＝233. 答案：2337．如图所示, 已知⊙O 为△ABC 的外接圆, AB ＝AC ＝6, 弦AE 交BC 于点D , 若AD ＝4, 则AE ＝________.解析：连接CE , 则∠AEC ＝∠ABC . 又△ABC 中, AB ＝AC , ∴∠ABC ＝∠ACB , ∴∠AEC ＝∠ACB , ∴△ADC ∽△ACE , ∴AD AC ＝AC AE , ∴AE ＝AC 2AD ＝9.答案：9 三、解答题8．如图, AB 是⊙O 的直径, 弦CD ⊥AB 于点N , 点M 在⊙O 上, ∠1＝∠C .(1)求证：CB ∥MD ；(2)若BC ＝4, sin M ＝23, 求⊙O 的直径．解：(1)证明：因为∠C 与∠M 是同一弧所对的圆周角, 所以∠C ＝∠M .又∠1＝∠C , 所以∠1＝∠M ,所以CB ∥MD (内错角相等, 两直线平行)．(2)由sin M ＝23知, sin C ＝23,所以BN BC ＝23, BN ＝23×4＝83.由射影定理得：BC 2＝BN ·AB , 则AB ＝6. 所以⊙O 的直径为6.9.如图, 已知△ABC 内接于圆, D 为BC 的中点, 连接AD 交BC 于点E . 求证：(1)AE EC ＝BE ED ； (2)AB ·AC ＝AE 2＋EB ·EC . 证明：(1)连接CD . ∵∠1＝∠3, ∠4＝∠5, ∴△ABE ∽△CDE .∴AE EC ＝BE ED. (2)连接BD . ∵AE EC ＝BEDE, ∴AE ·DE ＝BE ·EC .∴AE 2＋BE ·EC ＝AE 2＋AE ·DE ＝AE (AE ＋DE )＝AE ·AD .①在△ABD 与△AEC 中, ∵D 为BC 的中点, ∴∠1＝∠2.又∵∠ACE ＝∠ACB ＝∠ADB , ∴△ABD ∽△AEC .∴AB AE ＝AD AC , 即AB ·AC ＝AD ·AE ②由①②知：AB ·AC ＝AE 2＋EB ·EC .10.如图所示, ⊙O是△ABC的外接圆, ∠BAC与∠ABC的平分线相交于点I, 延长AI 交⊙O于点D, 连接BD, DC.(1)求证：BD＝DC＝DI；(2)若⊙O的半径为10 cm, ∠BAC＝120°, 求△BCD的面积．解：(1)证明：因为AI平分∠BAC,所以∠BAD＝∠DAC,所以BD＝DC, 所以BD＝DC.因为BI平分∠ABC, 所以∠ABI＝∠CBI,因为∠BAD＝∠DAC, ∠DBC＝∠DAC,所以∠BAD＝∠DBC.又因为∠DBI＝∠DBC＋∠CBI,∠DIB＝∠ABI＋∠BAD,所以∠DBI＝∠DIB, 所以△BDI为等腰三角形,所以BD＝ID, 所以BD＝DC＝DI.(2)当∠BAC＝120°时,△ABC为钝角三角形,所以圆心O在△ABC外．连接OB, OD, OC,则∠DOC＝∠BOD＝2∠BAD＝120°,所以∠DBC＝∠DCB＝60°,所以△BDC为正三角形．所以OB是∠DBC的平分线．延长CO交BD于点E, 则OE⊥BD,所以BE＝12BD.又因为OB＝10,所以BC＝BD＝2OB cos 30°＝2×10×32＝103,所以CE＝BC·sin 60°＝103×32＝15,所以S△BCD＝12BD·CE＝12×103×15＝75 3.所以△BCD的面积为75 3.课时跟踪检测(七) 圆内接四边形的性质与判定定理一、选择题1．四边形ABCD的一个内角∠C＝36°, E是BA延长线上一点, 若∠DAE＝36°, 则四边形ABCD()A．一定有一个外接圆B．四个顶点不在同一个圆上C．一定有内切圆D．四个顶点是否共圆不能确定解析：选A因为∠C＝36°, ∠DAE＝36°, 所以∠C与∠BAD的一个外角相等, 由圆内接四边形判定定理的推论知, 该四边形有外接圆, 故选A.2．圆内接四边形ABCD中, ∠A∶∠B∶∠C∶∠D可以是()A．4∶2∶3∶1B．4∶3∶1∶2C．4∶1∶3∶2 D．以上都不对解析：选B由四边形ABCD内接于圆, 得∠A＋∠C＝∠B＋∠D, 从而只有B项符合题意．3．如图, 四边形ABCD是⊙O的内接四边形, E为AB的延长线上一点, ∠CBE＝40°, 则∠AOC等于()A．20°B．40°C．80°D．100°解析：选C四边形ABCD是圆内接四边形, 且∠CBE＝40°, 由圆内接四边形性质知∠D＝∠CBE＝40°, 又由圆周角定理知∠AOC＝2∠D＝80°.4．已知四边形ABCD是圆内接四边形, 下列结论中正确的有()①如果∠A＝∠C, 则∠A＝90°；②如果∠A＝∠B, 则四边形ABCD是等腰梯形；③∠A的外角与∠C的外角互补；④∠A∶∠B∶∠C∶∠D可以是1∶2∶3∶4A．1个B．2个C．3个D．4个解析：选B由“圆内接四边形的对角互补”可知：①相等且互补的两角必为直角；②两相等邻角的对角也相等(亦可能有∠A＝∠B＝∠C＝∠D的特例)；③互补两内角的外角也互补；④两组对角之和的份额必须相等(这里1＋3≠2＋4)．因此得出①③正确, ②④错误．二、填空题5．如图, 直径AB＝10, 弦BC＝8, CD平分∠ACB, 则AC＝______, BD＝________.解析：∠ACB＝90°, ∠ADB＝90°.在Rt△ABC中, AB＝10, BC＝8,∴AC＝AB2－BC2＝6.又∵CD平分∠ACB, 即∠ACD＝∠BCD,∴AD＝BD.∴BD＝AB22＝5 2.答案：65 26．如图, 在圆内接四边形ABCD中, AB＝AD, AC＝1, ∠ACD＝60°, 则四边形ABCD 的面积为________．解析：过A作AE⊥BC于E, AF⊥CD于F.因为∠ADF＋∠ABC＝180°,∠ABE＋∠ABC＝180°,所以∠ABE＝∠ADF.又因为AB＝AD,∠AEB＝∠AFD＝90°,所以Rt△AEB≌Rt△AFD.所以S四边形ABCD＝S四边形AECF, AE＝AF. 又因为∠E＝∠AFC＝90°, AC＝AC, 所以Rt△AEC≌Rt△AFC.因为∠ACD＝60°, ∠AFC＝90°,所以∠CAF＝30°.因为AC＝1,所以CF＝12, AF＝32,所以S四边形ABCD＝2S△ACF＝2×12CF×AF＝34.答案：3 47.如图, 已知四边形ABCD内接于圆, 分别延长AB和DC相交于点E, EG平分∠E, 且与BC, AD分别相交于F, G, 若∠AED＝40°, ∠CFG＝80°, 则∠A＝________.解析：∵EG平分∠E, ∴∠FEC＝20°.∴∠FCE＝∠CFG－∠FEC＝60°.∵四边形ABCD内接于圆,∴∠A＝∠FCE＝60°.答案：60°三、解答题8.如图, 在△ABC中, ∠C＝60°, 以AB为直径的半圆O分别交AC, BC于点D, E, 已知⊙O的半径为2 3.(1)求证：△CDE∽△CBA；(2)求DE的长．解：(1)证明：因为四边形ABED为⊙O的内接四边形,所以∠CED＝∠A(或∠CDE＝∠B)．又∠C＝∠C,所以△CDE∽△CBA.(2)法一：连接AE.由(1)得DEBA＝CECA,因为AB为⊙O的直径,所以∠AEB ＝∠AEC ＝90°.在Rt △AEC 中, 因为∠C ＝60°, 所以∠CAE ＝30°, 所以DE BA ＝CE CA ＝12, 即DE ＝2 3.法二：连接DO , EO . 因为AO ＝DO ＝OE ＝OB , 所以∠A ＝∠ODA , ∠B ＝∠OEB .由(1)知∠A ＋∠B ＝∠CDE ＋∠CED ＝120°, 又∠A ＋∠B ＋∠ADE ＋∠DEB ＝360°, 所以∠ODE ＋∠OED ＝120°, 则∠DOE ＝60°,所以△ODE 为等边三角形, 所以DE ＝OB ＝2 3.9.如图, A , B , C , D 四点在同一圆上, AD 的延长线与BC 的延长线交于E 点, 且EC ＝ED .(1)证明：CD ∥AB ；(2)延长CD 到F , 延长DC 到G , 使得EF ＝EG , 证明：A , B , G , F 四点共圆．证明：(1)因为EC ＝ED , 所以∠EDC ＝∠ECD .因为A , B , C , D 四点在同一圆上, 所以∠EDC ＝∠EBA . 故ECD ＝∠EBA . 所以CD ∥AB . (2)由(1)知, AE ＝BE . 因为EF ＝EG ,故∠EFD ＝∠EGC , 从而∠FED ＝∠GEC . 连接AF , BG , 则△EFA ≌△EGB , 故∠FAE ＝∠GBE .又CD ∥AB , ∠EDC ＝∠ECD , 所以∠FAB ＝∠GBA . 所以∠AFG ＋∠GBA ＝180°. 故A , B , G , F 四点共圆．10．如图, 已知⊙O 的半径为2, 弦AB 的长为23, 点C 与点D 分别是劣弧AB 与优弧ADB 上的任一点(点C , D 均不与A , B 重合)．(1)求∠ACB ；(2)求△ABD 的最大面积．解：(1)连接OA , OB , 作OE ⊥AB , E 为垂足, 则AE ＝BE . Rt △AOE 中, OA ＝2, AE ＝12AB ＝12×23＝ 3.∴sin ∠AOE ＝AE OA ＝32,∴∠AOE ＝60°, ∠AOB ＝2∠AOE ＝120°. 又∠ADB ＝12∠AOB , ∴∠ADB ＝60°.又四边形ACBD 为圆内接四边形, ∴∠ACB ＋∠ADB ＝180°. 从而有∠ACB ＝180°－∠ADB ＝120°. (2)作DF ⊥AB , 垂足为F , 则S △ABD ＝12AB ·DF ＝12×23×DF ＝3DF .显然, 当DF 经过圆心O 时, DF 取最大值, 从而S △ABD 取得最大值．此时DF ＝DO ＋OF ＝3, S △ABD ＝33, 即△ABD 的最大面积是3 3.课时跟踪检测(八) 圆的切线的性质及判定定理一、选择题1.如图, AB切⊙O于点B, 延长AO交⊙O于点C, 连接BC.若∠A＝40°, 则∠C等于()A．20°B．25°C．40°D．50°解析：选B连接OB, 因为AB切⊙O于点B,所以OB⊥AB, 即∠ABO＝90°,所以∠AOB＝50°,又因为点C在AO的延长线上, 且在⊙O上,所以∠C＝12∠AOB＝25°.2．如图, AB是⊙O的直径, BC是⊙O的切线, AC交⊙O于D.若AB＝6, BC＝8, 则BD等于()A．4 B．4.8C．5.2 D．6解析：选B∵AB是⊙O的直径, ∴BD⊥AC.∵BC是⊙O的切线, ∴AB⊥BC.∵AB＝6, BC＝8, ∴AC＝10.∴BD＝AB·BCAC＝4.8.3．如图, AB是⊙O的直径, BC交⊙O于点D, DE⊥AC于点E, 要使DE是⊙O的切线, 还需补充一个条件, 则补充的条件不正确的是()A．DE＝DO B．AB＝AC C．CD＝DB D．AC∥OD解析：选A当AB＝AC时, 如图,连接AD, 因为AB是⊙O的直径,所以AD⊥BC, 所以CD＝BD.因为AO ＝BO ,所以OD 是△ABC 的中位线, 所以OD ∥AC .因为DE ⊥AC , 所以DE ⊥OD , 所以DE 是⊙O 的切线．所以选项B 正确．当CD ＝BD 时, AO ＝BO , 同选项B, 所以选项C 正确．当AC ∥OD 时, 因为DE ⊥AC , 所以DE ⊥OD .所以DE 是⊙O 的切线．所以选项D 正确．4．如图, 在⊙O 中, AB 为直径, AD 为弦, 过B 点的切线与AD 的延长线交于C , 若AD ＝DC , 则sin ∠ACO 等于( )A.1010 B.210 C.55 D.24解析：选A 连接BD , 则BD ⊥AC . ∵AD ＝DC , ∴BA ＝BC , ∴∠BCA ＝45°.∵BC 是⊙O 的切线, 切点为B , ∴∠OBC ＝90°.∴sin ∠BCO ＝OB OC ＝OB 5OB ＝55,cos ∠BCO＝BCOC＝2OB5OB＝255.∴sin ∠ACO＝sin(45°－∠BCO)＝sin 45°cos ∠BCO－cos 45°sin ∠BCO＝22×255－22×55＝1010.二、填空题5.如图, ⊙O的半径为3 cm, B为⊙O外一点, OB交⊙O于点A, AB ＝OA, 动点P从点A出发, 以π cm/s的速度在⊙O上按逆时针方向运动一周回到点A立即停止．当点P运动的时间t为________s时, BP与⊙O相切．解析：连接OP.当OP⊥PB时, BP与⊙O相切．因为AB＝OA, OA＝OP,所以OB＝2OP,又因为∠OPB＝90°, 所以∠B＝30°,所以∠O＝60°.因为OA＝3 cm,所以AP＝60×π×3180＝π, 圆的周长为6π,所以点P运动的距离为π或6π－π＝5π；所以当t＝1 s或5 s时, BP与⊙O相切．答案：1或56．已知PA是圆O的切线, 切点为A, PA＝2, AC是圆O的直径, PC与圆O交于B点, PB ＝1.则圆O的半径R＝________.解析：如图, 连接AB,则AB＝AP2－PB2＝ 3.由AB2＝PB·BC,∴BC＝3, 在Rt△ABC中,AC＝AB2＋BC2＝2 3.∴半径R＝ 3.答案： 37．圆O的直径AB＝6, C为圆周上一点, BC＝3, 过C作圆的切线l, 过A作l的垂线AD , AD 分别与直线l 、圆交于点D , E , 则∠DAC ＝________, DC ＝________.解析：连接OC .∵OC ＝OB , ∴∠OCB ＝∠OBC . 又∠DCA ＋∠ACO ＝90°, ∠ACO ＋∠OCB ＝90°, ∴∠DCA ＝∠OCB . ∵OC ＝3, BC ＝3, ∴△OCB 是正三角形．∴∠OBC ＝60°, 即∠DCA ＝60°. ∴∠DAC ＝30°.在Rt △ACB 中, AC ＝AB 2－BC 2＝33, DC ＝AC sin 30°＝32 3.答案：30° 332三、解答题8．如图, 已知在△ABC 中, AB ＝AC , 以AB 为直径的⊙O 交BC 于D , 过D 点作⊙O 的切线交AC 于E .求证：(1)DE ⊥AC ； (2)BD 2＝CE ·CA . 证明：(1)连接OD , AD . ∵DE 是⊙O 的切线, D 为切点, ∴OD ⊥DE .∵AB 是⊙O 的直径, ∴AD ⊥BC .又AB ＝AC , ∴BD ＝DC .又O 为AB 的中点, ∴OD ∥AC .∴DE ⊥AC . (2)∵AD ⊥BC , DE ⊥AC , ∴△CDE ∽△CAD . ∴CD CA ＝CECD.∴CD 2＝CE ·CA . 又∵BD ＝DC , ∴BD 2＝CE ·CA .9.如图, ⊙O 内切于△ABC , 切点分别为D , E , F , AB ＝AC , 连接AD 交⊙O 于H , 直线FH 交BC 的延长线于G .(1)求证：圆心O 在AD 上；(2)求证：CD＝CG；(3)若AH∶AF＝3∶4, CG＝10, 求FH的长．解：(1)证明：由题知AE＝AF,CF＝CD, BD＝BE,又∵AB＝AC,∴CD＝CF＝BE＝BD.∴D为BC中点．∴AD是∠BAC的角平分线．∴圆心O在AD上．(2)证明：连接DF.∵O在AD上, ∴DH为直径．∴∠DFH＝90°.∵CF＝CD, ∴∠CFD＝∠FDC.∴∠G＝90°－∠FDC＝90°－∠CFD＝∠CFG.∴CG＝CF.∴CG＝CD.(3)∵∠AFH＝∠90°－∠CFD＝90°－∠FDC＝∠FDA, 又∠FAD为公共角, 则△AHF∽△AFD.∴FHFD＝AHAF＝34.∴在Rt△HFD中, FH∶FD∶DH＝3∶4∶5. ∵△HDF∽△DGF,∴DF∶GF∶DG＝3∶4∶5.∴DF＝3×20×15＝12, ∴FH＝34FD＝9.10.如图, 四边形ABCD内接于⊙O, BD是⊙O的直径, AE⊥CD, 垂足为E, DA平分∠BDE.(1)求证：AE是⊙O的切线；(2)若∠DBC＝30°, DE＝1 cm, 求BD的长．解：(1)证明：连接OA.∵DA平分∠BDE,∴∠BDA＝∠EDA.∵OA＝OD,∴∠ODA＝∠OAD.∴∠OAD＝∠EDA.∴OA∥CE.∵AE⊥DE,∴AE⊥OA.∴AE是⊙O的切线．(2)∵BD是直径,∴∠BCD＝∠BAD＝90°.∵∠DBC＝30°, ∴∠BDC＝60°.∴∠BDE＝120°.∵DA平分∠BDE,∴∠BDA＝∠EDA＝60°.∴∠ABD＝∠EAD＝30°.在Rt△AED中, ∠AED＝90°, ∠EAD＝30°,∴AD＝2DE.在Rt△ABD中, ∠BAD＝90°, ∠ABD＝30°,∴BD＝2AD＝4DE＝4 (cm)．课时跟踪检测(九) 弦切角的性质一、选择题1．P在⊙O外, PM切⊙O于C, PAB交⊙O于A, B, 则()A．∠MCB＝∠B B．∠PAC＝∠PC．∠PCA＝∠B D．∠PAC＝∠BCA解析：选C由弦切角定理知∠PCA＝∠B.2．如图, PC与⊙O相切于C点, 割线PAB过圆心O, ∠P＝40°, 则∠ACP等于()A．20°B．25°C．30°D．40°解析：选B连接OC.∵PC切⊙O于C点,∴OC⊥PC.∵∠P＝40°,∴∠POC＝50°.连接BC,则∠B＝12∠POC＝25°,∴∠ACP＝∠B＝25°.3．如图, AB是⊙O的直径, EF切⊙O于C, AD⊥EF于D, AD＝2, AB＝6, 则AC的长为()A．2 B．3 C．2 3 D．4解析：选C连接BC, 则∠ACB＝90°, 又AD⊥EF,∴∠ADC＝90°,即∠ADC＝∠ACB,又∵∠ACD＝∠ABC,∴△ABC∽△ACD,∴ACAD＝ABAC,∴AC2＝AD·AB＝12,即AC＝2 3.4．如图, AB是⊙O的直径, P在AB的延长线上, PD切⊙O于C点, 连接AC, 若AC＝PC, PB＝1, 则⊙O的半径为()A．1 B．2C．3 D．4解析：选A连接BC.∵AC＝PC, ∴∠A＝∠P.∵∠BCP＝∠A, ∴∠BCP＝∠P.∴BC＝BP＝1.由△BCP∽△CAP得PC PA＝PB PC.∴PC2＝PB·PA,即AC2＝PB·PA.而AC2＝AB2－BC2,设⊙O半径为r,则4r2－12＝1·(1＋2r), 解得r＝1.二、填空题5．如图, AB是⊙O的直径, PB, PE分别切⊙O于B, C, 若∠ACE＝40°, 则∠P＝________.解析：连接BC,∵AB是⊙O的直径,∴∠ACB＝90°.又∠ACE＝40°,∴∠PCB＝∠PBC＝50°.∴∠P＝80°.答案：80°6．如图, 点P在圆O直径AB的延长线上, 且PB＝OB＝2, PC切圆O于C点, CD⊥AB于D点, 则CD＝________.解析：连接OC.∵PC切⊙O于C点,∴OC⊥PC.∵PB＝OB＝2, OC＝2.∴PC＝2 3.∵OC·PC＝OP·CD,∴CD＝2×234＝ 3.答案： 37．如图, 过圆O外一点P分别作圆的切线和割线交圆于A, B, 且PB＝7, C是圆上一点使得BC＝5, ∠BAC＝∠APB, 则AB＝________.解析：由PA为⊙O的切线, BA为弦,得∠PAB＝∠BCA,又∠BAC＝∠APB,于是△APB∽△CAB,所以PBAB＝ABBC.而PB＝7, BC＝5,故AB2＝PB·BC＝7×5＝35, 即AB＝35.答案：35三、解答题8.如图, AB是半圆O的直径, C是圆周上一点(异于A, B), 过C作圆O的切线l, 过A作直线l的垂线AD, 垂足为D, AD交半圆于点E.求证：CB＝CE.证明：连接AC, BE, 在DC延长线上取一点F, 因为AB是半圆O的直径, C为圆周上一点,所以∠ACB＝90°,即∠BCF＋∠ACD＝90°.又因为AD⊥l, 所以∠DAC＋∠ACD＝90°.所以∠BCF＝∠DAC.又因为直线l是圆O的切线, 所以∠CEB＝∠BCF,又∠DAC＝∠CBE,所以∠CBE＝∠CEB,所以CB＝CE.9.如图所示, △ABC内接于⊙O, AB＝AC, 直线XY切⊙O于点C, 弦BD∥XY, AC, BD相交于点E.(1)求证：△ABE≌△ACD；(2)若AB＝6 cm, BC＝4 cm, 求AE的长．解：(1)证明：因为XY是⊙O的切线,所以∠1＝∠2.因为BD∥XY, 所以∠1＝∠3,所以∠2＝∠3.因为∠3＝∠4, 所以∠2＝∠4.因为∠ABD＝∠ACD,又因为AB＝AC,所以△ABE≌△ACD.(2)因为∠3＝∠2, ∠ABC＝∠ACB,所以△BCE∽△ACB, 所以BCAC＝CECB,即AC·CE＝BC2.因为AB＝AC＝6 cm, BC＝4 cm, 所以6·(6－AE)＝16.所以AE＝103(cm)．10.如图, 已知C点在圆O直径BE的延长线上, CA切圆O于A点, DC是∠ACB的角平分线, 交AE于点F, 交AB于D点．(1)求∠ADF的度数；(2)若AB＝AC, 求AC∶BC.解：(1)∵AC为圆O的切线,∴∠B＝∠EAC.又DC是∠ACB的平分线,∴∠ACD＝∠DCB.∴∠B＋∠DCB＝∠EAC＋∠ACD, 即∠ADF＝∠AFD.又∵BE为圆O的直径,∴∠DAE＝90°,∠ADF＝12(180°－∠DAE)＝45°.(2)∵∠B＝∠EAC, ∠ACB＝∠ACE,∴△ACE∽△BCA.∴ACBC＝AEAB.又∵AB＝AC,∴∠B＝∠ACB＝23∠ADF＝30°.∴在Rt△ABE中, ACBC＝AEAB＝tan ∠B＝tan 30°＝33.课时跟踪检测(十) 与圆有关的比例线段一、选择题1．在半径为12 cm的圆中, 垂直平分半径的弦的长为()A．3 3 cm B．27 cm C．12 3 cm D．6 3 cm解析：选C法一：如图所示, OA＝12, CD为OA的垂直平分线, 连接OD.在Rt△POD中,PD＝OD2－OP2＝122－62＝63,∴CD＝2PD＝123(cm)．法二：如图, 延长AO交⊙O于M,由相交弦定理得PA·PM＝PC·PD.又∵CD为线段OA的垂直平分线,∴PD2＝PA·PM.又∵PA＝6, PM＝6＋12＝18,∴PD2＝6×18.∴PD＝6 3.∴CD＝2PD＝123(cm)．2．如图, CA, CD分别切圆O1于A, D两点, CB, CE分别切圆O2于B, E两点．若∠1＝60°, ∠2＝65°, 判断AB, CD, CE的长度, 下列关系正确的是()A．AB>CE>CD B．AB＝CE>CDC．AB>CD>CE D．AB＝CD＝CE解析：选A因为∠1＝60°, ∠2＝65°,所以∠ABC＝180°－∠1－∠2＝180°－60°－65°＝55°,所以∠2>∠1>∠ABC,所以AB>BC>AC.。

世纪金榜2016最新版数学文科课时提升作业(四十七) 8.5

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课时提升作业(四十七)椭圆(25分钟 60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.已知椭圆与双曲线22x y 412-=1的焦点相同,且椭圆上任意一点到两焦点的距离之和为10,那么椭圆的离心率等于( ) A.35B.45C.54D.34【解析】选B.因为双曲线的焦点在x 轴上,所以设椭圆的方程为2222x y a b +=1(a>b>0),因为椭圆上任意一点到两焦点的距离之和为10,所以根据椭圆的定义可得2a=10⇒a=5,则c4,a5=选B.2.(2015·烟台模拟)一个椭圆中心在原点,焦点F 1,F 2在x 轴上是椭圆上一点,且|PF 1|,|F 1F 2|,|PF 2|成等差数列,则椭圆方程为( )A.2x 8+2y 6=1 B.2x 16+2y 6=1 C.2x 8+2y 4=1D.2x 16+2y 4=1【解析】选A.设椭圆的标准方程为2222x y a b +=1(a>b>0).由点在椭圆上知2243a b+=1.又|PF 1|,|F 1F 2|,|PF 2|成等差数列,则|PF 1|+|PF 2|=2|F 1F 2|,即2a=2〓2c,c 1,a 2=又c 2=a 2-b 2,联立得a 2=8,b 2=6.【加固训练】已知两圆C 1:(x-4)2+y 2=169,C 2:(x+4)2+y 2=9,动圆在圆C 1内部且和圆C 1相内切,和圆C 2相外切,则动圆圆心M 的轨迹方程为( )A.2x 64-2y 48=1 B.2x 48+2y 64=1 C.2x 48-2y 64=1D.2x 64+2y 48=1 【解析】选D.设圆M 的半径为r,则|MC 1|+|MC 2|=(13-r)+(3+r)=16,所以M 的轨迹是以C 1,C 2为焦点的椭圆,且2a=16,2c=8,故所求的轨迹方程为2x 64+2y 48=1. 3.设椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F 1,F 2,P 是C 上的点,PF 2⊥F 1F 2,∠PF 1F 2=30°,则C 的离心率为 ( )A. B. C. D.【解析】选 D.在Rt △PF 1F 2中,令|PF 2|=1,因为∠PF 1F 2=30°,所以|PF 1|=2,|F 1F 2|=.所以e===.故选D.4.(2015·聊城模拟)椭圆2222x y a b +=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F 1,F 2,P 是椭圆上的一点,l :x=2a c-,且PQ ⊥l ,垂足为Q,若四边形PQF 1F 2为平行四边形,则椭圆的离心率的取值范围是( )A.(12,1) B.(0,12) C.(0,2) D.(2,1) 【解析】选A.设点P(x 1,y 1),由于PQ ⊥l ,故|PQ|=x 1+2a c ,因为四边形PQF 1F 2为平行四边形,所以|PQ|=|F 1F 2|=2c,即x 1+2a c =2c,则有x 1=2c-2a c>-a,所以2c 2+ac-a 2>0,即2e 2+e-1>0,解得e<-1或e>12,由于0<e<1,所以12<e<1,即椭圆离心率的取值范围是(12,1).故选A.【加固训练】(2015·金华模拟)已知椭圆C:2222x y a b+=1(a>b>0)的左右焦点分别为F 1,F 2,若椭圆C 上恰有8个不同的点P,使得△F 1F 2P 为直角三角形,则椭圆C 的离心率的取值范围是( )) ]C.(2,1) D.[2,1) 【解析】选C.由题意,问题等价于椭圆上存在四个点P 使得直线PF 1与直线PF 2垂直,所以|OP|=c>b,即c 2>a 2-c 2,所以因为e=c a,0<e<1,所以2<e<1. 5.若点O 和点F 分别为椭圆22x y 43+=1的中心和左焦点,点P 为椭圆上的任意一点,则·的最大值为( )A.2B.3C.6D.8【解析】选C.设椭圆上任意一点P(x 0,y 0),则有2200x y 43+=1,即=3-34,O(0,0),F(-1,0),则〃=x 0(x 0+1)+=14+x 0+3=14(x 0+2)2+2. 因为|x 0|≤2,所以当x 0=2时,〃取得最大值为6,故选C.二、填空题(每小题5分,共15分)6.设F 1,F 2分别是椭圆22x y 2516+=1的左、右焦点,P 为椭圆上一点,M 是F 1P 的中点,|OM|=3,则P 点到椭圆左焦点的距离为 . 【解析】由题意知|OM|=12|PF 2|=3, 所以|PF 2|=6,所以|PF 1|=2a-|PF 2|=10-6=4. 答案:47.分别过椭圆2222x y a b+=1(a>b>0)的左、右焦点F 1,F 2所作的两条互相垂直的直线l 1,l 2的交点在此椭圆的内部,则此椭圆的离心率的取值范围是 . 【解题提示】关键是由l 1,l 2的交点在此椭圆的内部,得到a,b,c 间的关系,进而求得离心率e 的取值范围.【解析】由已知得交点P 在以F 1F 2为直径的圆x 2+y 2=c 2上. 又点P 在椭圆内部,所以有c 2<b 2, 又b 2=a 2-c 2,所以有c 2<a 2-c 2,即2c 2<a 2,亦即:22c 1,a 2<所以c 0a <<答案:8.已知椭圆C:2222x y a b+ =1(a>b>0)的左焦点为F,C 与过原点的直线相交于A,B 两点,连接AF,BF.若|AB|=10,|BF|=8,cos ∠ABF=45,则C 的离心率为 . 【解题提示】利用余弦定理确定|AF|,进而判定△ABF 的形状,然后利用椭圆定义及直角三角形性质确定离心率.【解析】如图,设|AF|=x,则cos ∠ABF=222810x 4.28105+-=⨯⨯解得x=6(负值舍去),所以∠AFB=90°,由椭圆及直线关于原点对称可知|AF 1|=8,且∠FAF 1=∠FAB+∠FBA=90°,△FAF 1是直角三角形,所以|F 1F|=10,故2a=8+6=14,2c=10,所以c 5.a7= 答案:57三、解答题(每小题10分,共20分)9.(2014·江苏高考)如图,在平面直角坐标系xOy 中,F 1,F 2分别是椭圆2222x y a b +=1(a>b>0)的左、右焦点,顶点B 的坐标为(0,b),连接BF 2并延长交椭圆于点A,过点A 作x 轴的垂线交椭圆于另一点C,连接F 1C.(1)若点C 的坐标为41(,)33,且|BF 2求椭圆的方程. (2)若F 1C ⊥AB,求椭圆离心率e 的值. 【解析】(1)由题意F 2(c,0),B(0,b), |BF 2a ==又C 41(,)33,所以22241()()332b+=1,解得b=1,所以椭圆方程为2x 2+y 2=1.(2)直线BF 2方程为x y c b +=1,与椭圆方程2222x y a b+=1联立方程组,解得A 点坐标为2322222a c b (,),a c a c -++则C 点的坐标为2322222a c b (,),a c a c++又F 1(-c,0),=332222322b b ac ,2a c 3a c cc a c +=+++又k AB =-b c ,由F 1C ⊥AB, 得323b 3ac c+〃(-b c )=-1, 即b 4=3a 2c 2+c 4, 所以(a 2-c 2)2=3a 2c 2+c 4, 化简得e=c a=10.(2015·台州模拟)已知椭圆E:2222x y a b+=1的右焦点恰好是抛物线C:y 2=4x 的焦点F,点A 是椭圆E 的右顶点,过点A 的直线l 交抛物线C 于M,N 两点,满足OM ⊥ON,其中O 是坐标原点. (1)求椭圆E 的方程.(2)过椭圆E 的左顶点B 作y 轴平行线BQ,过点N 作x 轴平行线NQ,直线BQ 与NQ 相交于点Q,若△QMN 是以MN 为一条腰的等腰三角形,求直线MN 的方程. 【解析】(1)F(1,0),所以a 2-b 2=1,A(a,0), 设直线l :x=a+my 代入y 2=4x 中, 整理得y 2-4my-4a=0,设M(x 1,y 1),N(x 2,y 2),则1212y y 4m,y y 4a.+=⎧⎨=-⎩又因为=4x 1,=4x 2,所以x 1x 2=2212y y 16=a 2,由OM ⊥ON,得〃=x 1x 2+y 1y 2=a 2-4a=0,解得a=4或a=0(舍),得b 2=15,所以椭圆E 的方程为22x y 1615+=1.(2)椭圆E 的左顶点B(-4,0),所以点Q(-4,y 2),易证M,O,Q 三点共线. ①当QM 为等腰△QMN 的底边时,由于ON ⊥OM, 所以O 是线段MQ 的中点,所以2112y 40,4y y 0,⎧-=⎪⎨⎪+=⎩ 所以m=0,即直线MN 的方程为x=4.②当QN 为等腰△QMN 的底边时, 21y 4〓2=22y 4-4,又因为y 1y 2=-16,解得21112222y 8,y y y 32,y y ⎧⎧⎧===-⎪⎪⎪⎨⎨⎨==-=⎪⎪⎪⎩⎩⎩ 所以m=〒,2所以直线MN 的方程为x=4即y=综上所述,当△QMN 为等腰三角形时,直线MN 的方程为x=4或y=(20分钟 40分)1.(5分)已知椭圆22x y 43+=1,若此椭圆上存在不同的两点A,B 关于直线y=4x+m 对称,则实数m 的取值范围是( )A.(,),)【解析】选B.设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2), AB 的中点M(x,y),k AB =2121y y x x --=-14, x 1+x 2=2x,y 1+y 2=2y,3+4=12 ①,3+4=12 ②,①②两式相减得3(-)+4(-)=0,即y 1+y 2=3(x 1+x 2),即y=3x,与y=4x+m 联立得x=-m,y=-3m, 而M(x,y)在椭圆的内部,则22m 9m 43+<1,即-13<m<13.【方法技巧】点差法解直线与椭圆相交问题的适用条件及技巧对于直线与椭圆相交问题,若题设和待求涉及弦的中点和所在直线的斜率,求解时一般先设交点坐标,代入曲线方程,再用平方差公式求解,这种解法大大减少了将直线方程与椭圆方程联立求解带来的繁杂运算.2.(5分)(2015·泉州模拟)若函数f(x)的图象能够把椭圆的周长和面积同时分为相等的两部分,则函数f(x)称为椭圆的“可分函数”,下列函数不是椭圆2x 4+y 2=1的可分函数的是( ) A.f(x)=x 3 B.f(x)=sin x C.f(x)=ln2x2x-+ D.f(x)=e x +e -x -2【解析】选D.A 中,因为f(x)=x 3是奇函数,所以f(x)=x 3的图象关于原点对称,故f(x)=x 3是椭圆的“可分函数”; B 中,因为f(x)=sin x 是奇函数,所以其图象关于原点对称. 所以f(x)=sin x 是椭圆的“可分函数”; C 中,因为f(x)+f(-x)=ln2x 2x -++ln 2x2x+-=ln1=0, 所以f(x)是奇函数,同理可知f(x)是椭圆的“可分函数”; D 中,因为f(x)=e x +e -x -2不是奇函数, 所以f(x)=e x +e -x -2的图象关于原点不对称, 所以f(x)=e x +e -x -2不是椭圆的“可分函数”.【加固训练】1.已知F 1,F 2分别是椭圆22x y 43+=1的左、右焦点,A 是椭圆上一动点,圆C 与F 1A 的延长线、F 1F 2的延长线以及线段AF 2相切,若M(t,0)为一个切点,则( )A.t=2B.t>2C.t<2D.t 与2的大小关系不确定【解题提示】先画出图形,注意圆的切线的性质以及椭圆的定义即可求解. 【解析】选A.如图,P,Q 分别是圆C 与F 1A 的延长线、线段AF 2相切的切点,则|MF 2|=|F 2Q|=2a-(|F 1A|+|AQ|)=2a-|F 1P|=2a-|F 1M|, 即|F 1M|+|MF 2|=2a. 所以t=a=2.2.已知椭圆2222x y 1a b+=(a>b>0),以O 为圆心,短半轴长为半径作圆O,过椭圆的长轴的一端点P 作圆O 的两条切线,切点为A,B,若四边形PAOB 为正方形,则椭圆的离心率为( )3A.2233【解析】选 B.由题意知|OA|=|AP|=b,|OP|=a,OA ⊥AP,所以2b 2=a 2,22b 1,a 2=故=故选B.3.(5分)已知F 1,F 2是椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点,过F 1的直线与椭圆相交于A,B 两点,若·2AF =0,||=|2AF |,则椭圆的离心率为 .【解析】在Rt △ABF 2中,设|AF 2|=m,则|AB|=m, |BF 2|=m,所以4a=(2+)m.又在Rt △AF 1F 2中,|AF 1|=2a-m=m,|F 1F 2|=2c, 所以(2c)2=(m)2+m 2=m 2,则2c=m.所以椭圆的离心率e===-.答案:-【加固训练】直线与椭圆C:2222x y a b+=1(a>b>0)交于A,B 两点,以线段AB为直径的圆恰好经过椭圆的右焦点,则椭圆C 的离心率为( )A.2B.12【解析】选C.设椭圆的左、右焦点分别为F 1,F 2,由题意可得 |OF 2|=|OA|=|OB|=|OF 1|=c,由3得∠AOF 2=23π,∠AOF 1=3π.所以 |AF21|=c.由椭圆定义知,|AF 1|+|AF 2|=2a,所以所以e=ca4.(12分)(2015·兰州模拟)已知椭圆C: 2222x y a b+=1(a>b>0)的焦距为2,且过点(1,2),右焦点为F 2,设A,B 是C 上的两个动点,线段AB 的中点M 的横坐标为-12,线段AB 的中垂线交椭圆C 于P,Q 两点.(1)求椭圆C 的方程. (2)求·的取值范围.【解析】(1)因为焦距为2,所以a 2-b 2=1. 因为椭圆C 过点(1,),所以2211a 2b +=1,故a 2=2,b 2=1,所以椭圆C 的方程为2x 2+y 2=1. (2)讨论当直线AB 垂直于x 轴,直线AB 方程为x=-12,此时得〃=-1.当直线AB 不垂直于x 轴时,设直线AB 的斜率为k(k ≠0),M(-12,m)(m ≠0),A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),利用“点差法”,首先得到4mk=1; 得到PQ 的直线方程为y-m=-4m(x+12), 即y=-4mx-m.联立22y 4mx m,x y 1,2=--⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y,整理得(32m 2+1)x 2+16m 2x+2m 2-2=0. 设P(x 3,y 3),Q(x 4,y 4),应用根与系数的关系,得到〃=2219m 1.32m 1-+ 根据M(-12,m ）在椭圆的内部,得到0<m 2<78,进一步得到〃的取值范围为125[1,).232- 5.(13分)(能力挑战题)已知焦点在y 轴上的椭圆C 1:+=1经过点A(1,0),且离心率为. (1)求椭圆C 1的方程.(2)抛物线C 2:y=x 2+h(x ∈R)在点P 处的切线与椭圆C 1交于两点M,N,记线段MN 与PA 的中点分别为G,H,当GH 与y 轴平行时,求h 的最小值.【解析】(1)由题意可得222211,b c aa b c ⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪+⎪⎩＝＝＝，解得a=2,b=1,所以椭圆C 1的方程为+x 2=1. (2)设P(t,t 2+h),由y ′=2x,得抛物线C 2在点P 处的切线斜率为k=y ′|x=t =2t, 所以MN 的方程为y=2tx-t 2+h, 代入椭圆方程得4x 2+(2tx-t 2+h)2-4=0, 化简得4(1+t 2)x 2-4t(t 2-h)x+(t 2-h)2-4=0, 又MN 与椭圆C 1有两个交点, 故Δ=16[-t 4+2(h+2)t 2-h 2+4]>0,①设M(x 1,y 1),N(x 2,y 2),MN 中点的横坐标为x 0, 则x 0==,设线段PA 中点的横坐标为x 3=,由已知得x 0=x 3,即=,②显然t ≠0,所以h=-(t++1),③当t>0时,t+≥2,当且仅当t=1时取等号,此时h ≤-3,不满足①式,故舍去; 当t<0时,(-t)+(-)≥2,当且仅当t=-1时取等号,此时h ≥1,满足①式. 综上,h 的最小值为1.【加固训练】(2014·南宁模拟)设椭圆C: 2222x y a b +=1(a>b>0)的离心率,点A 是椭圆上的一点,且点A 到椭圆C 两焦点的距离之和为4. (1)求椭圆C 的方程.(2)椭圆C 上一动点P(x 0,y 0)关于直线y=2x 的对称点为P 1(x 1,y 1),求3x 1-4y 1的取值范围.【解析】(1)依题意知,2a=4,所以a=2.因为c e a2==所以= 所以所求椭圆C 的方程为22x y 42+=1.(2)因为点P(x 0,y 0)关于直线y=2x 的对称点为P 1(x 1,y 1),所以01010101y y 21,x x y y x x 2.22-⎧⨯=-⎪-⎪⎨++⎪=⨯⎪⎩ 解得0000114y 3x 3y 4x x ,y .55-+==所以3x 1-4y 1=-5x 0.因为点P(x 0,y 0)在椭圆C:22x y 42+=1上,所以-2≤x 0≤2,则-10≤-5x 0≤10. 所以3x 1-4y 1的取值范围为[-10,10].关闭Word 文档返回原板块。

北师大版数学高二-选修4-1 第1章课时作业

选修4-1 第1章1.2.2课时作业一、选择题1．AB 是⊙O 的切线，能确定CD ⊥AB 的条件是( ) A ．O ∈CD B ．CD 过切点 C ．O ∈CD ，且CD 过切点D ．CD 是⊙O 的直径【解析】由切线的性质定理知，选项C 正确．【答案】 C2．如图1－2－33所示，在△ABC 中，BC ＝14 cm ，AC ＝9 cm ，AB ＝13 cm ，内切圆分别和BC ，AC ，AB 切于D ，E ，F ，那么AF ，BD ，CE 分别为()图1－2－33A ．AF ＝4 cm ，BD ＝9 cm ，CE ＝5 cmB ．AF ＝4 cm ，BD ＝5 cm ，CE ＝9 cmC ．AF ＝5 cm ，BD ＝4 cm ，CE ＝9 cm D ．AF ＝9 cm ，BD ＝4 cm ，CE ＝5 cm【解析】由题意知AE ＝AF ，CE ＝CD ，BD ＝BF ，且AC ＝9 cm ，BC ＝14 cm ，AB ＝13 cm ，则⎩⎪⎨⎪⎧AF ＋BD ＝13BD ＋CE ＝14CE ＋AF ＝9，解得AF ＝4，BD ＝9，CE ＝5.【答案】 A3．(2013·商丘模拟)如图1－2－34所示，⊙O 是正△ABC 的内切圆，切点分别为E 、F 、G ，点P 是弧EG 上的任意一点，则∠EPF 等于( )图1－2－34A．120°B．90°C．60°D．30°【解析】如图所示，连接OE、OF.∵OE⊥AB，OF⊥BC，∴∠BEO＝∠BFO＝90°.∴∠EOF＋∠ABC＝180°.∴∠EOF＝120°.∴∠EPF＝12∠EOF＝60°.【答案】 C4．如图，在⊙O中，AB为直径，AD为弦，过B点的切线与AD的延长线交于C，若AD＝DC，则sin ∠ACO等于()A.1010 B.210C.55 D.24【解析】连接BD，作OE⊥AC于E. ∵BC切⊙O于B，∴AB⊥BC，∵AB为直径，∴BD⊥AC，∵AD＝DC，∴BA＝BC，∠A＝45°，设⊙O的半径为R，∴OC＝BC2＋OB2＝4R2＋R2＝5R.OE＝22R，∴sin∠ACO＝OEOC ＝22R5R＝1010.【答案】 A二、填空题5．如图1－2－35，在半径分别为5 cm和3 cm的两个同心圆中，大圆的弦AB与小圆相切于点C，则弦AB的长为________cm.图1－2－35【解析】连接OA、OC，∵AB是小圆的切线，∴OC⊥AB，∴AC＝12AB.∵在Rt△AOC中，AC ＝52－32＝4(cm)，∴AB ＝8 cm. 【答案】 86．如图1－2－36所示，AC 切⊙O 于D ，AO 的延长线交⊙O 于B ，且AB ⊥BC ，若AD ∶AC ＝1∶2，则AO ∶OB ＝________图1－2－36【解析】如图所示，连接OD ，则OD ⊥AC .∵AC 是⊙O 的切线，∴OB ＝OD ，OC ＝OC ，∠ODC ＝∠OBC ＝90°.∴△CDO ≌△CBO .∴BC ＝DC . ∵AD AC ＝12，∴AD ＝DC . ∴BC ＝12AC .又OB ⊥BC ，∠ABC ＝90°，∴∠A ＝30°. ∴OB ＝OD ＝12AO . ∴AO OB ＝21. 【答案】 2∶1 三、解答题7．如图1－2－37，AB 是⊙O 的直径，∠BAC ＝30°，M 是OA 上一点，过M 作AB 的垂线交AC 于点N ，交BC 的延长线于点E ，直线CF 交EN 于点F ，且∠ECF ＝∠E .求证：CF 是⊙O 的切线．图1－2－37【证明】连接OC，∵AB是⊙O的直径．∴∠ACB＝90°，∵∠BAC＝30°，∴∠ABC＝60°，又∵OB＝OC，∴∠OCB＝∠OBC＝60°.在Rt△EMB中，∵∠E＋∠MBE＝90°，∴∠E＝30°.∵∠E＝∠ECF，∴∠ECF＝30°，∴∠ECF＋∠OCB＝90°，又∵∠ECF＋∠OCB＋∠OCF＝180°，∴∠OCF＝90°，∴CF为⊙O的切线．8．如图1－2－38，AB是⊙O的直径，点P在BA的延长线上，弦CD⊥AB 于E，∠POC＝∠PCE.图1－2－38(1)求证：PC是⊙O的切线；(2)若OE∶EA＝1∶2，PA＝6，求⊙O半径．【解】(1)证明：在△OCP与△CEP中，∵∠POC＝∠PCE，∠OPC＝∠CPE，∴∠OCP＝∠CEP.∵CD⊥AB，∴∠CEP＝90°，∴∠OCP＝90°. 又C点在圆上，∴PC是⊙O的切线．(2)法一设OE＝x，则EA＝2x，OC＝OA＝3x.∵∠COE＝∠AOC，∠OEC＝∠OCP＝90°，∴△OCE∽△OPC，∴OCOE ＝OP OC.即(3x)2＝x(3x＋6)，∴x＝1，∴OA＝3x＝3，即圆的半径为3.法二由(1)知PC是⊙O的切线，∴∠OCP＝90°.又∵CD⊥OP，由射影定理知OC2＝OE·OP，以下同法一．9．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3 cm，BC＝4 cm.(1)求△ABC内切圆的半径；(2)若移动圆心O的位置，使⊙O保持与△ABC的边AC和边BC都相切，求r的取值范围．【解】(1)如图所示，⊙O是Rt△ABC的内切圆，切点分别为D，E，F.连接OD，OE，OF，OB，则OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB.在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3 cm，BC＝4 cm，∴AB＝5 cm.∵OE＝OD，∠C＝90°，∴四边形CEOD是正方形．∴CD＝DO.∵OB＝OB，OD＝OF，∠ODB＝∠OFB＝90°，∴△ODB≌△OFB.∴BD＝BF.同理可得，AE＝AF.∴AC＋BC－AB＝AE＋EC＋BD＋DC－AF－BF＝EC＋DC＝2OD.∴内切圆的半径r＝OD＝AC＋BC－AB2＝3＋4－52＝1 cm.(2)如图所示，动⊙O与AC，BC相切的最大的圆与AC，BC的切点分别是A，D，连接OA，OD，则四边形AODC是正方形，此时应有OA＝AC＝3 cm，∴动圆的半径r的范围为(0,3]．10. 如图，BE是⊙O的直径，点A在EB的延长线上，弦PD⊥BE，垂足为C，连接OD，且∠AOD＝∠APC.求证：AP是⊙O的切线．【证明】连接OP.∵PD⊥BE，∴∠OCD＝90°.∴∠ODC＋∠COD＝90°.∵OD＝OP，∴∠ODC＝∠OPC.∵∠AOD＝∠APC，∴∠OPC＋∠APC＝90°.∴∠APO＝90°，即AP⊥PO.∴AP是⊙O的切线．。

《世纪金榜》2016届高三文科数学总复习课时提升作业(七)2.4指数函数

课时提升作业(七)指数函数(25分钟 60分)一、选择题(每小题5分,共25分)6a -等于( )B.【解析】选A.由已知可得a ≤0,所以原式=1136a (a)-=2.(2015·北京模拟)y=a x-1+2(a>0且a ≠1)的图象一定过点 ( ) A.(1,1) B.(1,3) C.(2,0) D.(4,0)【解析】选B.由x-1=0,解得x=1,此时y=1+2=3,即函数的图象过定点(1,3).3.(2015·昆明模拟)设a=22.5,b=2.50,c=(12)2.5,则a,b,c 的大小关系是( )A.a>c>bB.c>a>bC.a>b>cD.b>a>c 【解析】选C.b=2.50=1,c=(12)2.5=2-2.5, 则2-2.5<1<22.5,即c<b<a.【方法技巧】比较指数幂大小的技巧(1)比较两个指数幂大小时,尽量化同底或同指,当底数相同,指数不同时,构造同一指数函数,然后比较大小.(2)当指数相同,底数不同时,构造两个指数函数,利用图象比较大小.4.(2015·洛阳模拟)已知函数f(x)=2x-2,则函数y=|f(x)|的图象可能是( )【解析】选B.|f(x)|=|2x-2|=易知函数y=|f(x)|的图象的分段点是x=1,且过点(1,0),(0,1),.又|f(x)|≥0,故选B.【误区警示】本题易误选A或D,出现错误的原因是误以为y=|f(x)|是偶函数.5.当x∈[-2,2]时,a x<2(a>0,且a≠1),则实数a的范围是( )),1)C.(,1)∪)2D.(0,1)∪)【解析】选C.x ∈[-2,2]时,a x <2(a>0,且a ≠1), 若a>1,y=a x 是一个增函数,则有a 2<2,可得,故有; 若0<a<1,y=a x 是一个减函数,则有a -2<2,可得a>2,故有2<a<1.综上知a ∈(2,1)∪二、填空题(每小题5分,共15分) 6.(2015·天津模拟)函数y=(14)x -(12)x+1在x ∈[-3,2]上的值域是 .【解析】因为x ∈[-3,2],若令t=(12)x ,则t ∈[14,8].则y=t 2-t+1=(t-12)2+34. 当t=12时,y min =34;当t=8时,y max =57. 答案:[34,57]【误区警示】忽视换元后新元的取值范围致误,解决本题在令t=(12)x ,易忽视t 的范围,误认为t ∈R 或t ∈[-3,2],从而结果出现错误. 【加固训练】函数y=x x 11()()193++的值域是 . 【解析】函数y=x x x 2x 1111()()1[()]()1,9333++=++令t=x 1()3,则y=t 2+t+1=(t+12)2+34,由t=x 1()3,知t>0,因为函数y=(t+12)2+34在(0,+∞)上为增函数,所以y>1,即函数的值域为(1,+∞). 答案:(1,+∞)7.(2015·长春模拟)已知函数f(x)=a -x (a>0,且a ≠1),且f(-2)>f(-3),则a 的取值范围是 .【解析】因为f(x)=a -x =(1a)x ,且f(-2)>f(-3),所以函数f(x)在定义域上单调递增,所以1a>1,解得0<a<1. 答案:(0,1) 8.若函数f(x)=x 2是奇函数,则常数a 的值等于 .【解题提示】把f(x)看成两个函数的积,判断出的奇偶性,然后求解.【解析】设g(x)=a+,t(x)=x 2,因为t(x)=x 2是偶函数,而f(x)=x 2是奇函数,所以g(x)=a+是奇函数, 又因为g(-x)=a+=a+,所以a+=-对定义域内的一切实数都成立,解得a=.答案:三、解答题(每小题10分,共20分)9.(2014·上海高考)设常数a ≥0,函数f(x)=x x 2a2a+-根据a 的不同取值,讨论函数y=f(x)的奇偶性,并说明理由.【解析】若f(x)为偶函数,则f(x)=f(-x)对任意x 均成立,所以x x x x 2a 2a2a 2a--++=--, 整理可得a(2x -2-x )=0,因为2x -2-x 不恒为0,所以a=0,此时f(x)=1,x ∈R,满足条件;若f(x)为奇函数,则f(x)=-f(-x)对任意x 均成立,所以x x x x 2a 2a2a 2a--++=---,整理可得a 2-1=0,所以a=±1, 因为a>0,所以a=1,此时f(x)=x x 2121+-,x ≠0,满足条件;综上所述,a=0时,f(x)是偶函数;a=1时,f(x)是奇函数. 10.已知函数f(x)=2ax 4x 31().3-+ (1)若a=-1,求f(x)的单调区间. (2)若f(x)有最大值3,求a 的值. 【解析】(1)当a=-1时,f(x)=2x 4x 31()3--+, 令g(x)=-x 2-4x+3,由于g(x)在(-∞,-2)上单调递增, 在(-2,+∞)上单调递减, 而y=x 1()3在R 上单调递减, 所以f(x)在(-∞,-2)上单调递减, 在(-2,+∞)上单调递增,即函数f(x)的递增区间是(-2,+∞), 递减区间是(-∞,-2).(2)令h(x)=ax 2-4x+3,y=h(x)1()3,由于f(x)有最大值3,所以h(x)应有最小值-1,因此必有a 0,12a 161,4a>⎧⎪-⎨=-⎪⎩解得a=1, 所以当f(x)有最大值3时,a 的值等于1.【加固训练】设a>0且a ≠1,函数y=a 2x +2a x -1在[-1,1]上的最大值是14,求a 的值.【解析】令t=a x (a>0且a ≠1), 则原函数化为y=(t+1)2-2(t>0). (1)当0<a<1时,x ∈[-1,1],t=a x ∈[a,1a],此时f(t)在[a,1a ]上为增函数.所以f(t)max =f(1a )=(1a+1)2-2=14.所以(1a +1)2=16,所以a=-15或a=13.又因为0<a<1,所以a=13.(2)当a>1时,x ∈[-1,1],t=a x ∈[1a,a],此时f(t)在[1a,a]上是增函数.所以f(t)max =f(a)=(a+1)2-2=14, 解得a=3(a=-5舍去).综上得a=13或3.(20分钟 40分)1.(5分)(2015·金华模拟)函数y=xxa |x|(0<a<1)的图象的大致形状是( )【解析】选D.因为y=x xa |x|=xx a ,x 0,a ,x 0,⎧>⎪⎨-<⎪⎩且0<a<1,所以结合选项知,选D.2.(5分)(2015·南昌模拟)设函数f(x)定义在实数集上,它的图象关于直线x=1对称,且当x ≥1时,f(x)=3x -1,则有( )A.f(13)<f(32)<f(23)B.f(23)<f(32)<f(13)C.f(23)<f(13)<f(32)D.f(32)<f(23)<f(13)【解题提示】根据f(x)的图象关于直线x=1对称可得f(x)=f(2-x),由此可把f (13),f (23)转化为[1,+∞)上的函数值. 【解析】选B.由已知条件可得f(x)=f(2-x). 所以f (13)=f(53),f (23)=f(43). 又因为f(x)=3x -1在[1,+∞)上递增,所以f(53)>f (32)>f(43).即f(13)>f(32)>f(23).【方法技巧】比较函数值大小的方法(1)单调性法:先利用相关性质,将待比较函数值调节到同一单调区间内,然后利用该函数在该区间上的单调性比较大小.(2)图象法:先利用相关性质作出函数的图象,再结合图象比较大小.3.(5分)(2015·泰安模拟)若函数f(x)=ka x-a-x(a>0且a≠1)在(-∞,+∞)上既是奇函数又是增函数,则函数g(x)=log a(x+k)的图象是( )【解析】选C.因为函数f(x)=ka x-a-x(a>0,a≠1)在(-∞,+∞)上是奇函数,则f(-x)+f(x)=0,即(k-1)(a x+a-x)=0,则k=1,又因为函数f(x)=ka x-a-x(a>0,a≠1)在(-∞,+∞)上是增函数,则a>1,则g(x)=log a(x+k)=log a(x+1)的图象必过原点,且为增函数,故选C.4.(12分)已知函数f(x)=2a·4x-2x-1.(1)当a=1时,求函数f(x)在x∈[-3,0]的值域.(2)若关于x的方程f(x)=0有解,求a的取值范围.【解析】(1)当a=1时,f(x)=2·4x-2x-1=2(2x)2-2x-1,令t=2x,x∈[-3,0],则t∈[18,1].故y=2t2-t-1=2(t-14)2-98,t∈[18,1],故值域为[-98,0].(2)关于x的方程2a(2x)2-2x-1=0有解,等价于方程2am2-m-1=0在(0,+∞)上有解.记g(m)=2am 2-m-1,当a=0时,解为m=-1<0,不成立.当a<0时,开口向下,对称轴m=14a <0,过点(0,-1),不成立. 当a>0时,开口向上,对称轴m=14a>0,过点(0,-1),必有一个根为正,所以,a>0.【一题多解】本题还有以下解法: 方程2am 2-m-1=0可化为a=22m 11111()2m 2m 28+=+-,所以a 的范围即为函数g(m)= 21111()2m28+-在(0,+∞)上的值域,所以a>0.5.(13分)(能力挑战题)设函数f(x)=ka x -a -x (a>0且a ≠1)是定义域为R 的奇函数.(1)若f(1)>0,求不等式f(x 2+2x)+f(x-4)>0的解集.(2)若f(1)=32,且g(x)=a 2x +a -2x -4f(x),求g(x)在[1,+∞)上的最小值. 【解析】因为f(x)是定义域为R 的奇函数,所以f(0)=0, 所以k-1=0,所以k=1.故f(x)=a x -a -x .(1)因为f(1)>0,所以1a a->0,又a>0且a ≠1,所以a>1,而当a>1时,y=a x 和y=-a -x 在R 上均为增函数,所以f(x)在R 上为增函数,原不等式化为:f(x 2+2x)>f(4-x),所以x 2+2x>4-x,即x 2+3x-4>0,所以x>1或x<-4,所以不等式的解集为{x|x>1或x<-4}.(2)因为f(1)=32,所以13a a2-=,即2a 2-3a-2=0, 所以a=2或a=-12(舍去),g(x)=22x +2-2x -4(2x -2-x )=(2x -2-x )2-4(2x -2-x )+2.令t=2x -2-x (x ≥1), 则t=h(x)在[1,+∞)上为增函数,即h(x)≥h(1)=3.所以g(t)=t2-4t+2=(t-2)2-2,2所以当t=2时,g(x)min=-2,此时x=log2),故当x=log2)时,g(x)有最小值-2.关闭Word文档返回原板块。

北师大版数学选修4-1练习(第1章)第1节全等与相似(含答案)

全等与相似同步练习一，选择题1，在四边形ABCD 中，AB//CD ，∠DAB=∠DBC ，AB=4，BD=5，则=∆∆ABC ABD S S :（） A.2516 B. 54 C. 4116 D. 41252，在⊿ABC 中，D ，F 是AB 上的点，E ，H 是AC 上的点，直线DE//FH//BC ，且DE ，FH 将⊿ABC 分成面积相等的三部分,若线段FH=65，则BC 的长为（）A. 15B.10C.2615 D. 3152 3，在⊿ABC 中，DE//BC ，DE 交AB 于D ，交AC 于E ，且2:1:=∆ABC AD e S S 四边形，则梯形的高与三角形的边BC 上的高的比为（）A. 2:1B. )12(:1-C. )13(:1-D. 3:)13(-4，在⊿ABC 中，∠C=90°，CD 是斜边AB 上的高，AC=5，BC=8，则CBD ACD S S ∆∆:为（） A.85 B. 6425 C. 3925 D. 89255，如图，若⊿ACD~⊿ABC ，则下开式子中成立的是（）A. DB AD CD ⋅=2BDB. AB AD AC ⋅=2C. CD AB AD AC ⋅=⋅D. AD AB BC AC ⋅=⋅ 6，如图，ABCD 是边长为4的正方形，PC PQ PB AP ⊥=,31，则PQ 的长是（）A.54 B. 45 C. 34 D. 43 7，如图，BDEF 是平行四边形，如果CD ：DB=2：3，那么ABC BD EF S S 三角形平行四边形是的（）CDA.94 B. 163 C. 196 D. 2512 8，在直角三角形中，斜边上的高为6cm,且把斜边分成3：2两段，则斜边上的中线的长为（） A.265 B. 64 C. 65 D. 235 9，矩形的长为8cm,宽为6cm,EF 是对角线BD 的垂直平分线，那么线段EF 的长为（）A.415 B. 5 C. 215 D. 8 10，AD 为RtABC 斜边BC 上的高，作DE ⊥AC 于E ，45=AC AB 则=EACE（） A. 2516 B. 54 C. 45 D. 162511，如图，PQ//RS//AC ，RS=6，PQ=9，QC=31SC ，则AB 等于（）PA. 415B. 436C. 217 D.5 12，在⊿ABC 中，∠A=60°，BE ⊥AC 于E ，CD ⊥AB 于D ，连结DE ，则=BCDE（） A.21 B. 31 C. 32 D. 21 二，填空题13，三角形三内角之比为1：2：3，则它的三边之比是14，在⊿ABC 中，DE//BC ，D ，E 分别在AB ，AC 边上，若AD=1，DB=2，那么=+DEBCDE15，等腰三角形底边上的高为8，周长为32，则此三角形的面积是16，在⊿ABC 中，BD ，CE 分别为AC ，AB 边上的中线，M ，N 分别是BD ，CE 的中点，则MN ：BC= 三，解答题 17，在Rt ⊿ABC 中，∠C=90°，CD ⊥AB 于D ，AD C ABC BCD S S S ∆∆∆⋅=2求证：BD=AC18，如图，在平行四边形ABCD 中，E 为AB 的中点，在AD 上取一点F ，使21FD AF ，连结FE 交CB 的延长线于H ，交AC 于G ，求证AG=51ACA19，如图，在⊿ABC 中，AD ，BE 分别为BC ，AC 上的中线，AD ，BE 交于点P ，过P 作AB 的平行线FG 交BC ，AC 于F ，G ，求证：PF=PG20，如图，CD 为Rt ⊿ABC 斜边AB 上的中线，CE ⊥CD ，CE=310，连结DE 交BC 于F ，AC=4，BC=3，求证：①⊿ABC~⊿EDC ②∠A=∠ACDE参考答案1. C2.A3.D4.B5.B6.B7.D8.A9.C 10.A 11.A 12.A 13. 2:3:1 14.4 15.48 16.41。

世纪金榜2016最新版数学文科 课时提升作业(五十七) 选修4-1 1