6-2 常用校正装置及其特性

1 ωm = bT
ωm是频率特性的两个交接频率的几何中心。 是频率特性的两个交接频率的几何中心。 可得
b −1 ϕ m = arctg 2 b
或
1− b ϕm = arcsin 1+ b
U o ( s ) 1 + bTs Gc ( s ) = = U i ( s ) 1 + Ts
图表明相位滞后校正网络实际是一低通滤波器 图表明相位滞后校正网络实际是一低通滤波器, 它对低频信 低通滤波器 号基本没有衰减作用, 但能削弱高频噪声,b值愈大 值愈大, 号基本没有衰减作用 但能削弱高频噪声 值愈大 抑制噪声的能 力愈强。通常选择 ＝ 较为适宜 较为适宜。 力愈强。通常选择b＝10较为适宜。 采用相位滞后校正装置改善系统的暂态性能时, 采用相位滞后校正装置改善系统的暂态性能时, 主要是利用 其高频幅值衰减特性, 以降低系统的开环截止频率, 其高频幅值衰减特性 以降低系统的开环截止频率 提高系统的相 角裕度。 因此, 角裕度。 因此 力求避免使最大滞后相角发生在校正后系统的开 环对数频率特性的剪切频率ω 附近 附近, 环对数频率特性的剪切频率 c’’附近 以免对暂态响应产生不良 影响。 影响。一般可取
Uo ( s) ( R1C1s + 1)( R2C2 s + 1) Gc ( s ) = = 2 U i ( s ) R1R2C1C2 s + ( R1C1 + R2C2 + R1C2 ) s + 1
择参量, 两个不相等的负实数极点, 若适当选 择参量 使式具有 两个不相等的负实数极点 即令 T1=R1C1, T2=R2C2, βT1+T2/β= R1C1 + R2C2 + R1C2, β＞1, 且使 1＞ ＞ 且使T T2, 则式可改写为
1 + α Ts Gc ( s ) = 1 + Ts
超前校正的主要作用是产生超前角 超前校正的主要作用是产生超前角, 可以用 作用是产生超前角 它部分地补偿被校正对象在截止频率ω 它部分地补偿被校正对象在截止频率 c附近的 相角迟后, 提高系统的相角裕度, 相角迟后 以提高系统的相角裕度 改善系统的 动态性能。 上节所讲的PD控制器也是一种超前 动态性能。 上节所讲的 控制器也是一种超前 校正装置。 校正装置。
L( ) / dB
相 位 超 前 校 正0 装 置 的 伯 德 图
0O
20dB/dec 20lg 10lg
1 + α Ts Gc ( s ) = 1 + Ts
20lga
( ) / ( ¡) ã
1/( T) ωm = 1/ T α
1/T
m
ωm = 1/ T α
1 + jαTω Gc ( jω ) = 相位超前网络的相角： 相位超前网络的相角： 1 + jTω (α − 1)T ω ϕc (ω ) = arctan α T ω − arctan T ω = arctan 1 + α T 2ω 2 利用d =0的条件 的条件, 利用dφc/dω=0的条件, 可以求出最大超前 1 相角的频率为
2 相位迟后校正装置
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱR2
C
R3 + R1 ui R
2
+ uo －
+ R1 ui -
+ uo -
C
(a)
(b)
无源校正装置 相位迟后校正装置
有源校正装置
2 相位滞后校正装置 相位滞后校正装置
相位滞后校正装置可用如图所示的电气网络实现, 相位滞后校正装置可用如图所示的电气网络实现 图(a)是由 是由 RC无源网络实现的。假设输入信号源的内阻为零 输出负载阻 无源网络实现的。假设输入信号源的内阻为零, 无源网络实现的 抗为无穷大, 抗为无穷大 则此相位迟后校正装置的传递函数是
其伯德图如图所示， 程序如下： 其伯德图如图所示， 程序如下： bode(［10 1］, ［1 1］) ［ ］ ］
1 + α Ts Gc ( s ) = 1 + Ts
其幅频特性具有正斜率段, 相频特性具有 其幅频特性具有正斜率段 正相移。正相移表明, 正相移。正相移表明 校正网络在正弦信号作 用下的正弦稳态输出信号, 用下的正弦稳态输出信号 在相位上超前于输 入信号, 所以称为超前校正装置或超前网络。 入信号 所以称为超前校正装置或超前网络。
ωm =
表明, 表明,ωm是频率特性的两个交接频率的几何 中心。 中心。可得
T α
α −1 α −1 ϕm = arctan 或ϕm = arcsin α +1 2 α
1 + sin ϕ m 由上式可得 α = 1 − sin ϕ m
1 + jαTω Gc ( jω ) = 1 + jTω
点有L(ωm)=(20lgα)/2=10lgα。 在ωm点有 。 最大超前角φm仅与分度系数 有关 越大， 最大超前角 仅与分度系数α有关， α越大， 仅与分度系数 有关， 越大 超前网络的微分效应越强。 超前网络的微分效应越强。相位迟后校正网络 高通滤波器 实际是一高通 实际是一高通滤波器 为了保持较高的系统信噪比, 为了保持较高的系统信噪比 一般实际中选 用的α不大于 用的 不大于20, 。 不大于
Gc ( s ) = Ui ( s) = −K 1 + Ts
式中,K=Rf/R1, α=(R1+R2)/R2＞1, T=R2C。负号是 式中 。 因为采用了负反馈的运放, 因为采用了负反馈的运放 如果再串联一只反相 放大器即可消除负号。 放大器即可消除负号。 1 1 + α Ts
Gc ( s ) = ⋅ 在采用相位超前校正装置 α 1 + Ts
U o ( s ) 1 + bTs Gc ( s ) = = U i ( s ) 1 + Ts
式中b=R2 /(R1+R2) <1, T= (R1+ R2 ) C 。 式中 的有源校正装置, 对于图 (b)的有源校正装置 其对应的传递函数为 的有源校正装置
U o (s) 1 + Ts Gc ( s ) = = −K U i ( s) 1 + bTs
相位滞后-超前校正装置的频率特性为 相位滞后 超前校正装置的频率特性为
(1 + jT1ω )(1 + jT2ω ) Gc ( jω ) = (1 + jT1ω )(1 + jT2ω / β )
其伯德图如图所示， 程序如下： 其伯德图如图所示， 程序如下： bode(conv(［100 1］, ［10 1］), conv(［1000 1］, ［1 1］)) ［ ］ ］ ［ ］ ］ 在ω由0增至 1的频带中 此网络有滞后的相角特性 在ω由 增至ω 由 增至 的频带中, 此网络有滞后的相角特性; 由 ω1增至 的频带中 此网络有超前的相角特性 在ω＝ω1处, 相角 增至∞的频带中 此网络有超前的相角特性; 的频带中, 为零。 可由下式求出: 为零。ω1可由下式求出
U o ( s ) 1 1 + α Ts Gc ( s ) = = ⋅ U i ( s ) α 1 + Ts
式中, 式中 α=(R1+R2)/R2＞1, T= R1R2C/(R1+R2)。 。 α——分度系数；T——时间常数 分度系数； 分度系数 时间常数
的有源校正装置, 对于图 (b)的有源校正装置 其对应的传递函数为 的有源校正装置 Uo ( s) 1 + αTs
L(ω)(dB) 0
1/T
ωm＝ 1/( β T)
1/(bT)
ω
相 位 迟 后 校 正 装 置 的 伯 德 图
－20dB/dec 20lgb －10lgb
20lgb
¡ 0 ã
ϕ(ω)( ° )
ωm＝ 1/( β T) ω
ϕm
与相位超前校正装置类似, 与相位超前校正装置类似 迟后网络的相角 可用下式计算： 可用下式计算： (b − 1)T ω ϕc (ω ) = arctg 1 + bT 2ω 2 最大迟后相角的频率为
1 ωc = bT 10
''
3 相位滞后 超前校正装置 相位滞后-超前校正装置 超前校正装置
C1 + R2 uo ui C1 R1 + R1 ui R
2
C2 R3 R4
+
+ uo -
C2
(a)
(b)
无源校正装置
有源校正装置
相位滞后-超前校正装置 相位滞后 超前校正装置
相位滞后-超前校正装置可用如图所示的电网络实现 相位滞后 超前校正装置可用如图所示的电网络实现, 超前校正装置可用如图所示的电网络实现 图 (a)是由 无源网络实现的。假设输入信号源的内 是由RC无源网络实现的。 是由 无源网络实现的 阻为零, 输出负载阻抗为无穷大, 阻为零 输出负载阻抗为无穷大 则其传递函数为
0
¡ ã
ω1
ω
相位滞后-超前校正装置的伯德图 图6-10 相位滞后 超前校正装置的伯德图
超前校正装置可增加频带宽度, 提高快速性, 超前校正装置可增加频带宽度 提高快速性 但损失增益, 不利于稳态精度; 但损失增益 不利于稳态精度 迟后校正装置则 可提高平稳性及稳态精度, 但降低了快速性。 可提高平稳性及稳态精度 但降低了快速性。 若采用滞后-超前校正装置 则可全面提高系统 若采用滞后 超前校正装置, 超前校正装置 的控制性能。 的控制性能。 PID控制器是一种迟后 超前校正装置。 控制器是一种迟后-超前校正装置 控制器是一种迟后 超前校正装置。
U o ( s ) T1s + 1 T2 s + 1 Gc ( s ) = = ⋅ U i ( s ) βT1s + 1 T2 s / β + 1
对于图(b)的有源校正装置 对于图 的有源校正装置, 其对应的传递函数为 的有源校正装置
R3 R 4 1 + R + R Cc s [1 + ( R1 + R2 )C1s ] Uo ( s) R3 + R 4 3 4 =− ⋅ Gc ( s ) = Ui ( s) R1 (1 + R4C2 s )(1 + R2C1s )
ω1 = 1 / T1T2
可见, 滞后-超前校正装置就是滞后装置和超前装置的组合 超前校正装置就是滞后装置和超前装置的组合。 可见 滞后 超前校正装置就是滞后装置和超前装置的组合。
L(ω) / dB 0
1/(βT1)
1/T1
1/T2
β/T2
ω
20lgβ
－20dB/dec
20dB/dec
ϕ(ω) / ( ° )
式中， 式中，K=(R2+R3)/R1, β=(R2+R3)/R2＞1, T=R2R3/(R2+R3)C。 。
1 + jbT ω 相位迟后校正装置的频率特性为 Gc ( jω ) = 1 + jT ω 其伯德图如图所示， 程序如下： 其伯德图如图所示， 程序如下：
bode(［1 1］, ［10 1］) ［ ］ ］ 由于传递函数分母的时间常数大于分子的时间常 所以其幅频特性具有负斜率段, 数, 所以其幅频特性具有负斜率段 相频特性出现负相 移。负相移表明, 校正网络在正弦信号作用下的正弦稳 负相移表明 态输出信号, 在相位上迟后于输入信号, 态输出信号 在相位上迟后于输入信号 所以称为迟后 校正装置或迟后网络。 校正装置或迟后网络。
6.2 常用校正装置及其特性
1 相位超前校正装置
C + R1 ui R2 uo ui + + R2 C uo R1 Rf +
(a)
(b)
无源校正装置
有源校正装置
相位超前校正装置
相位超前校正装置可用如图所示的电网络 实现, 是由无源阻容元件组成的。 实现 图 (a)是由无源阻容元件组成的 。 设此网 是由无源阻容元件组成的 络输入信号源的内阻为零, 络输入信号源的内阻为零 输出端的负载阻抗为 无穷大, 无穷大 则此相位超前校正装置的传递函数将是
令
R3 + R4 R3 R4C2 K= , T1 = R1 R3 + R4 R3 + R4 R1 + R2 T2 = ( R1 + R2 )C1 , β = = >1 R3 R2
且使T 且使 1＞T2, 则式可改写为
(T1s + 1)(T2 s + 1) Gc ( s ) = − K ( βT1s + 1)(T2 s / β + 1)
系统的开环增益会有α(或 倍的衰减,为此 时, 系统的开环增益会有 或1/K)倍的衰减 为此 倍的衰减 为此, 用放大倍数α(或 的附加放大器予以补偿, 用放大倍数 或1/K)的附加放大器予以补偿 经 的附加放大器予以补偿 1 + jαTω 补偿后, 补偿后 其频率特性为 Gc ( jω ) = 1 + jTω