1.1.2棱柱、棱锥、棱台的结构特征(1)多面体与棱柱

§1.1.2 棱柱、棱锥和棱台的结构特征（1）

【学习目标】

1.利用实物模型、多媒体展示大量空间图形，认识多面体；

2.掌握棱柱的定义，能区分概念相近的几何体的概念.

【新知探究】

（一）多面体

1.定义：由若干个所围成的几何体.

2.基本元素：顶点、棱、对角线、面.

说明：多面体的对角线是指体对角线，而非面对角线.

3.分类：⑴凹凸性：凸多面体与凹多面体；⑵按围成多面体的面数：分为四面体、五面体、…….

4.截面：一个几何体和一个平面相交所得的（含其内部），叫做这个几何体的截面. 例1.用一个平面去截一个正方体，所得截面的边数为 .

（二）棱柱

1.定义：有两个面平行，并且其余每相邻两个面的交线 .

思考1：有两个面平行，其余各面均为平行四边形的多面体一定是棱柱吗？

2.基本元素：顶点、侧棱、高线、底面、侧面.

3.表示：两底面的对应顶点的字母或同一对角线端点的两个字母来表示.

4.分类：

⑴按底面多边形的边数：三棱柱、四棱柱、五棱柱、……；

⑵按侧棱与底面的位置关系：和 .

5．正棱柱是的直棱柱.

研究对象底面侧棱侧面截面

棱柱底面是凸多边形；两

底面互相平行且全等

侧棱互相平

行且全等

侧面是平行

四边形

平行于底面的截面与底面是全等

的多边形；对角面是平行四边形

7.特殊的四棱柱（※）

⑴平行六面体：的棱柱叫做平行六面体；

⑵直平行六面体：的平行六面体叫做直平行六面体；

⑶长方体：的直平行六面体叫做长方体；

⑷正四棱柱：的长方体叫做正四棱柱；

⑸正方体：的正四棱柱叫做正方体.

思考2：先运用维恩图描述上述几何体所构成集合的间的包含关系，

之后再利用集合符号写出这一关系.

例2．验证以下关于平行六面体的结论：

⑴平行六面体的任何一组相对的面都可作为它的底面；

⑵平行六面体的对角线交于一点且被该点平分；

⑶当对角线长都相等时，平行六面体是长方体；

⑷平行六面体所有面都是平行四边形；A B

C

D

1

A

1

B1

C

1

D

a

b

c

⑸长方体的一条对角线长的平方等于长方体的长宽高的平方和，即2222

l a b c =++ 【自评自测】 1. (2020·福建福州三中期末考试)下列说法正确的是( )

A ．棱柱的各条棱长都相等

B ．棱柱的侧面可以是三角形

C ．棱柱的所有侧棱与底面都垂直

D ．正方体是四棱柱

2.关于平行六面体的说法，正确的是( )

A ．正四棱柱是正方体

B ．底面是矩形的平行六面体是长方体

C ．直四棱柱是平行六面体

D ．底面是平行四边形的棱柱是平行六面体

3.下列各棱柱中，没有对角线的是( )

A ．三棱柱

B ．四棱柱

C ．五棱柱

D ．不存在这样的棱柱

4.若长方体共顶点的三个面的面积分别为2，3，6，则其对角线长为( ) A ．2 3 B ．3 2 C . 3 D .6

【典例剖析】

题型1：棱柱的概念、性质

例1．关于棱柱，下列说法正确的是( )

A ．棱柱的面中，至少有两个面互相平行

B ．棱柱中两个互相平行的平面一定是棱柱的底面

C ．棱柱的侧棱长叫做棱柱的高

D ．棱柱的侧面是平行四边形，而底面一定不是平行四边形

变式训练1.关于棱柱的说法，下列正确的个数为( )

①一个棱柱至少有5个面、6个顶点、9条棱；②棱柱的侧面不可能是菱形；③直四棱柱的侧面是矩形；④正棱柱的对角线的长度都相等．

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

题型2:特殊四棱柱的关系

例2.关于平行六面体，说法正确的是( )

A ．棱长都相等的直平行六面体是正方体

B ．底面是正方形的平行六面体是正四棱柱

C．平行六面体的三组对面都互相平行D．侧棱垂直底面的平行六面体是长方体

变式训练2.已知集合I＝{四棱柱}，M＝{平行六面体}，N＝{直平行六面体}，P＝{正四棱柱}，Q＝{长方体}，R＝{直四棱柱}，S＝{正方体}，则下列关系中不正确的是()

A．S⊂P⊂Q⊂R B．S⊂Q⊂N⊂M C．(M∩R)⊂Q D．(M∪R)⊂I

题型3:侧面展开问题

例3.如图，长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB＝3，BC＝2，AA1＝1，一只蚂蚁由A到C1在长方体表面上爬行的最短距离为多少？

变式训练3.如图，在正三棱柱ABC—A1B1C1中，AB＝3，AA1＝4，M为AA1中点，P是BC上一点，且由P沿棱柱侧面经过棱CC1到M的最短距离为29，设这条最短路线与CC1交于N.

求：(1)该三棱柱的侧面展开图的对角线长； (2)PC与NC的长度．

题型4:柱体中的简单计算

例4.长方体的表面积为11，十二条棱长度之和为24，求长方体的一条对角线长．

变式训练4.一个正三棱柱的底面边长是4，高是6，过下底面的一条棱和该棱所对的上底面的顶点作截面，求这个截面的面积．