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概率论期末考试复习题及答案

第一章

1.设P （A ）=

31，P （A ∪B ）=21

，且A 与B 互不相容，则P （B ）=____6

1_______.

2. 设P （A ）=

31，P （A ∪B ）=21

，且A 与B 相互独立，则P （B ）=______4

1_____.

3．设事件A 与B 互不相容，P （A ）=0.2，P （B ）=0.3，则P （B A ⋃）=___0.5_____. 4．已知P （A ）=1/2，P （B ）=1/3，且A ，B 相互独立，则P （A B ）=________1/3________. A 与B 相互独立

5．设P （A ）=0.5，P （A B ）=0.4，则P （B|A ）=___0.2________.

6．设A ，B 为随机事件，且P(A)=0.8，P(B)=0.4，P(B|A)=0.25，则P(A|B)=____ 0.5______．

7．一口袋装有3只红球，2只黑球，今从中任意取出2只球，则这两只恰为一红一黑的概率是________ 0.6________．

8．设袋中装有6只红球、4只白球，每次从袋中取一球观其颜色后放回，并再放入1只同颜色的球，若连

取两次，则第一次取得红球且第二次取得白球的概率等于____12/55____.

9．一袋中有7个红球和3个白球，从袋中有放回地取两次球，每次取一个，则第一次取得红球且第二次取得白球的概率p=___0.21_____.

10．设工厂甲、乙、丙三个车间生产同一种产品，产量依次占全厂产量的45%，35%，20%，且各车间的次品率分别为4%，2%，5%.求：（1）从该厂生产的产品中任取1件，它是次品的概率； 3.5% （2）该件次品是由甲车间生产的概率.

概率论期末复习试题

复习试题

第一章概率的计算

1、袋中有4个白球，7个黑球，从中任意取一个球．则取出白球的概率为

． 2、设A 、B 是随机事件，()7.0=A P ，()3.0=-B A P ，求()

AB P ＝．

3 假设()0.4,P A =()0.7P A B = ，若A 与B 互斥，则()________P B =； 4.已知0403().,().,P A P B ==06().P B A ⋃=。则()P A B -= 0.3 .

5、甲、乙两人相约8—12点在预定地点会面。先到的人等候另一人30分钟后离去，则甲、乙两人能会面的概率为______

1564

6.有两批同类型的产品各有12件和10件，在每一批产品中有一件次品，无意之中将第一批产品中（12件）的一件产品混入了第二批产品中，现在从第二批产品中随机抽取一件，问取出的产品为次品的概率是多少？

7．在第一台机器上生产一级品零件的概率是0.4，二在第二台机器上生产一级品零件的概率是0.9．试求在第一台机器上生产两个零件，在第二台机器生产三个零件，所有零件全是一级品的概率？

8、商店销售一批空调共10 台，其中有3台次品，但是已经售出两台。试求从剩下的空调中，任取一台是正品的概率？

9、有两批产品：第一批20件，其中有5件特级品：第二批12件，其中有2件特级品，现从第一批中任取2件混入第二批中，再从混合后的第二批中抽取2件.试求所抽2件都是特级品的概率。

第二章随机变量及其概率分布

1、设离散型随机变量X 的分布律为{},(1,2,,)(1)

P X k k N k k ==

概率论期末测试题

期末测试题

1．设P （A ）=0.4，P （B ）=0.5，且P （B |A ）=0.3，求P （AB ）.

2．一台仪器装有6只相互独立工作的同类电子元件，其寿命X （单位：年）的概率密度为

⎪⎩

⎪

⎨⎧≤>=-,x x e x f x

000313，；

，）（且任意一只元件损坏时这台仪器都会停止工作，试求：（1）一只元件能正常工作2年以上的概率；（2）这台仪器在2年内停止工作的概率.

3．设事件A 在5次独立试验中发生的概率为p ，当事件A 发生时，指示灯可能发出信号，以X 表示事件A 发生的次数. (1)当P{X=1}=P{X=2}时，求p 的值；

(2)取p=0.3，只有当事件A 发生不少于3次时，指示灯才发出信号，求指示灯发出信号的概率.

4．某气象站天气预报的准确率0.8，且各次预报之间相互独立.试求：（1）5次预报全部准确的概率p 1；（2）5次预报中至少有1次准确的概率p 2；

（3）5次预报中至少有4次准确的概率p 3.

5．设有两种报警系统Ⅰ与Ⅱ，它们单独使用时有效的概率分别为0.92与0.93，且已知在系统Ⅰ失效的条件下，系统Ⅱ有效的概率为0.85，试求：（1）系统Ⅰ与Ⅱ同时有效的概率；（2）至少有一个系统有效的概率.

6.设某批鸡蛋每只的重量X(以克计)服从N(50，52

)分布， (1)从该批鸡蛋中任取一只，求其重量不足45克的概率.

(2)从该批鸡蛋中任取5只，求至少有2只鸡蛋其重量不足45克的概率.

7.有甲、乙两个盒子，甲盒中放有3个白球，2个红球；乙盒中放有4个白球，4个红球，现从甲盒中随机地取一个球放到乙盒中，再从乙盒中取出一球，试求： (1)从乙盒中取出的球是白球的概率；

概率论期末考试题

1．自动包装机把白色和淡黄色的乒乓球混装入盒子，每盒装12只，已知每盒内装有的白球的个数是等可能的。为检查某一盒子内装有白球的数量，从盒中任取一球发现是白球，求此盒中装的全是白球的概率。

解：令 A={抽出一球为白球}， t B ={盒子中有t 个白球}，12,,2,1,0 =t . 由已知条件，131)(=

t B P ，12

)(t

B A P t =,12,,2,1,0 =t ， [ 111)(=

t B P ,10

)(t

B A P t =,10,,2,1,0 =t ] 由全概率公式，∑∑====120

012131)()()(t t t t t B A P B P A P , [∑==10010111)(t t

A P ] 由Bayes 公式，13

)

()

()()(12

131121212=

∑

=t t A P B A P B P A B P . [ 112)(10=A B P ]

2．设二维随机变量（X,Y ）的联合密度函数为

1,02,max{0,1}min{1,}

(,)0,x x y x f x y otherwise

≤≤-≤≤⎧=⎨

⎩ 求：边缘密度函数(),()X Y f x f y .

解： ,

01()2,120,X x x f x x x otherwise ≤<⎧⎪

=-≤≤⎨

⎪⎩ [1,[0,1]()0,[0,1]X x f x x ∈⎧=⎨∉⎩ （4分）] 1,[0,1]()0,[0,1]Y y f y y ∈⎧=⎨

∉⎩ [,

01()2,120,Y y y f y y y otherwise ≤<⎧⎪

概率论期末习题

试题一（A ）

一、填空题（每小题3分，共30分）。

1.设A 1和A 2随机事件，则A 1和A 2至少有一个发生的事件为 .

2.某人投篮命中率为0.8，现连续投篮10次，则恰好投中三次的概率为 .（用式子作答）

3.已知()0.3P A =，()0.6P B =.则当

A B 与互不相容时，()______.P A B +=

4.从数字1，2，3，4，5中任取3个组成无重复数字的三位数，则这个三位数为奇数的概率为____________.

5.设随机变量ξ服从0-1分布，且(1)(0)P P ξ

ξ==是的三分之一，则(1)P ξ==____________.

6．设事件A 与B 相互独立，则()______.P AB =

设

随

机

变

量

的分布

律

为

(),(1,2,3,4,5)15

P k k ξ==

=，则

(0.5 2.5)P ξ<<=_____________.

8设随机变量X 服从正态分布),(2

σμN ，则对0>∀ε ，()P X με-<≥__________.

9.设两个相互独立的随机变量ξη与的方差分别为4和2，则D(ξη-2)__________.

10.若2

~(,),N ξμσ则~ξμσ

-_____________ 二、单项选择题（每小题3分，共15分）。 1. 对任意两个事件，都有（） A ．

()A B B A +-= B ． ()A B B A +-⊂

C ．()A B B

A -+= D ．()A

B B A -+⊂

2. 设连续型随机变量X 的密度函数为

概率论期末试题及答案

在概率论的学习过程中，期末试题是评估学生对该学科知识理解和应用的重要方式。本文将给出一份概率论的期末试题及答案，以供参考。试题将按照适当的格式整理，确保排版整洁美观，语句通顺，全文表达流畅，同时符合阅读体验的要求。

试题一：概率基础

1. 已知事件A发生的概率为0.4，事件B发生的概率为0.6，求事件A和事件B同时发生的概率。

2. 一桶中装有6个红色球和4个蓝色球，从中随机抽取2个球，求这2个球颜色相同的概率。

3. 掷一颗骰子，点数为1至6的概率各为1/6。连续投掷两次，求两次投掷结果和为7的概率。

试题二：概率分布

1. 某商品的销售量服从正态分布N(150, 25)，计算销售量在120至180之间的概率。

2. 某批产品的质量服从均匀分布U(60, 80)，求产品质量小于75的概率。

3. 甲、乙两个小组分别进行同一项任务，甲组平均完成时间为4小时，标准差为0.5小时；乙组平均完成时间为3.8小时，标准差为0.3小时。求完成时间小于

4.2小时的概率。

试题三：条件概率

1. 假设事件A和事件B是相互独立的，已知P(A)=0.3，P(B)=0.4，求P(A|B)和P(B|A)。

2. 某城市的天气预报根据历史数据和气象模型给出，根据预报可以推测出降雨的概率。已知天气预报准确率为80%，预报为有降雨的概率为30%，求实际发生降雨的概率。

3. 从一批产品中随机抽取一件进行检验，已知该批产品中次品率为5%，已检一件产品为次品，求该件产品来自次品批次的概率。

试题四：随机变量

1. 设随机变量X服从指数分布Exp(λ)，已知λ=0.1，求P(X≥2)。

概率论复习题经典罕见版

复习题

1、设,,A B C 为三个事件，满足,C AB C AB ⊃⊃。

（1）证明：AC CB AB = ；

（2）若进一步有()()()P AB P A P B =，求证：()()()P AC P A P C ≥。

2、一枚硬币出现正面的概率为p ．甲乙两人轮流掷硬币，先掷得正面者为获胜．

（1）甲先掷，求甲、乙为获胜者的概率各是多少？

（2）如果有k 个人轮流掷硬币，各人获胜的概率又是多少？

3、将“每天进入图书馆的人数为n ”的事件记为,0,1,2,n A n = 设(),0,!n n P A e n λλλ-=>每个进入图书馆的人以概率(01)p p <

（1）求进入图书馆的人中恰有k 个人借书的概率.

（2）若某天借书的人数为k ,试求该天进入图书馆的人数为n 的概率.

4、甲、乙二人轮流抛掷一枚均匀的骰子，甲先抛，一直到抛出了1点交给乙，而到乙抛出了1点再交给甲掷，并如此下去.

（1）求第n 次抛掷由甲掷的概率；

（2）如果已知第n 次是由甲抛掷的，求第1-n 次也是由甲抛掷的概率。

5、设随机变量X 的概率密度函数为

||1,()0,||1,x p x x <=≥⎩

其中A 为常数．

（1）求A 的值；

（2）计算(||0.5)P X ≤。

6、设二维随机向量(,)X Y 的联合概率密度函数为

22,1(,)0,

Cx y x y f x y ⎧≤≤=⎨⎩其它，求：（1）常数C ；

（2）()P X Y >。

7、设二维随机变量(,)X Y 具有联合概率密度函数:

2(),01,(,)0,.x y y x p x y +≤≤≤⎧=⎨⎩

概率论期末考题

第八章

1.（2011.2012末（2010））某种电子元件的使用寿命服从正态分布, 总体均值不低于2000小时, 现从中抽取25件, 测得寿命平均值为1970（1920）小时, 样本标准差为150小时,试问在显著性水平0.01α=下这批原件是否合格? 参考数据:()()()()0.010.010.0050.00524

2.49, 25 2.48 24 2.80, 25 2.79t t t t ====，

2.（2012补）某型号晶体管使用寿命服从正态分布, 随机抽取25件, 测得样本均值1474.2小时, 样本标准差为64.5小时,试问在显著性水平0.05α=下，能否认为该批晶体管的平均寿命是1500小时?

()()()()0.0250.050.0250.0250.050.051.96, 1.65,24 2.064, 25 2.060 24 1.711, 25 1.708z t t t t t ======， 3.（2012补）在假设检验中，记1H 为备择假设，则犯第一类错误是指（ B ）

A. 1H 真，接受1H ；

B. 1H 不真，接受1H

C. 1H 真，拒绝1H ；

D. 1H 不真，拒绝1H

4.（2011，2012末）对总体期望μ的检验中，如果在显著性水平0.05下，接受假设0H ：0μμ=，那么在显著性水平0.01下，（接受）0H

5.（2011末）在对总体参数的假设检验中，若给定显著性水平α，则犯第一类错误的概率是

（ B ） A. 1α-； B. α； C. 2α

； D.不能确定

(完整版)《概率论与数理统计》期末考试试题及解答

一、填空题（每小题3分，共15分）

1．设事件仅发生一个的概率为0.3，且，则至少有一个不发

B A ,5.0)()(=+B P A P B A ,生的概率为__________.

答案：0.3解：

.0)(=+A B A P 即

)(25.0)()()()()()(3.0AB P AB P B P AB P A P A P B A P -=-+-=+=所以

.0)(=AB P

9.0)(1)((=-==AB P AB P B A P 2．设随机变量服从泊松分布，且，则______.

X )2(4)1(==≤X P X P ==)3(X P 答案：

1-e 解答：

λλ---=

=+==+==≤e X P e e

X P X P X P 2

)2(,

)1()0()1(2

由知 λ

λλ

λλ---=+e e e 22)2(4)1(==≤X P X P

即 0122

=--λλ 解得

，故

1=λ

)3(-==e X P 3．设随机变量在区间上服从均匀分布，则随机变量在区间内的概率

X )2,0(2

X Y =)4,0(密度为_________.=

)(y f

答案：

04,()()0,.

Y Y X y f y F y f <<'===⎩

其它解答：设的分布函数为的分布函数为，密度为则

Y (),Y F y X ()

F x ()

X f x

2()()()((Y X X F y P Y y P X y P X F F =≤=≤=

≤≤=- 因为，所以，即~(0,2)X

U (0X F =()Y X F y F =

概率论考试题及答案

一、选择题（每题2分，共10分）

1. 某校有100名学生，其中60名男生和40名女生。随机抽取1名学生，该学生是女生的概率是多少？

A. 0.4

B. 0.6

C. 0.8

D. 1.0

答案：A

2. 抛一枚均匀的硬币，正面朝上和反面朝上的概率相等，那么连续抛掷3次硬币，得到至少两次正面朝上的概率是多少？

A. 0.5

B. 0.75

C. 0.875

D. 0.625

答案：D

3. 一个袋子里有5个红球和3个蓝球，随机抽取2个球，那么两个球都是红球的概率是多少？

A. 1/6

B. 1/3

C. 1/2

D. 2/5

答案：D

4. 如果事件A的概率是0.3，事件B的概率是0.4，且A和B互斥，那么A和B至少有一个发生的概率是多少？

A. 0.7

B. 0.5

C. 0.6

D. 0.4

答案：A

5. 一个骰子被抛掷，那么得到的点数是偶数的概率是多少？

A. 0.5

B. 0.33

C. 0.25

D. 0.16

答案：A

二、填空题（每题3分，共15分）

6. 概率论中的_______定义了事件发生的可能性大小。

答案：概率

7. 如果事件A和事件B是独立的，那么P(A∩B) = _______。

答案：P(A) * P(B)

8. 随机变量X服从参数为λ的泊松分布，那么X的概率质量函数为：P(X=k) = _______。

答案：(λ^k / k!) * e^(-λ)

9. 在连续概率分布中，随机变量X的取值范围是无限的，其概率密度

函数f(x)满足________。

答案：∫f(x)dx = 1

10. 两个事件A和B互斥的充分必要条件是P(A∩B) = _______。

《概率论与数理统计》期末考试题(附答案)

三、（6分）设随机变量X ，Y 的概率密度分别为：=)(x f X ⎩⎨⎧≤≤其它 ,

0,10 ,32x x ，=)(y f Y ⎩⎨⎧≤≤其它 ,

0,10 ,2y y ，且随机变量X ，Y 相互独立（1）求（X ，Y ）的联合概率密度为：),(y x f

（2）计算概率值{}X Y p 2≤。

解:(1) X ，Y 的边缘密度分别为:

⎪⎩⎪⎨⎧≤≤===⎪⎩⎪⎨⎧≤≤===⎰⎰⎰⎰∞+∞-+∞∞-其他，，其他，， 010 26)()(

010 36)()(1021022y y ydx x dx y x f y f x x ydy x dy y x f x f Y X

X ，Y 相互独立，可见（X ，Y ）的联合概率密度为）

（）（），（y f x f y x f Y X ⋅=, ⎩⎨⎧≤≤≤≤=其它 ,

010,10 ,6),(2y x y x y x f 2’ ⎰⎰⎰⎰===

<<10122220

196),()2(y x y ydx x dy dxdy Y x f X Y P 4 四、（8分）从总体X ~) ,(2σu N 中抽取容量为25的一个样本，样本均值和样本方差分别是：9,802==S X ， 36.39)24(,4.12)24(,0639.2)24(2025.02975.0025.0===x x t

求u 的置信度为0.95的置信区间和2σ 的置信度为0.95的置信区间。解: (1)n=25,置信水平025.02/,95.01==-αα,,1315.2)1(025.0=t

概率论与数理统计(第三版)第七章习题 PPT课件

10.设X1,X2,X3,X4是来自均值为的指数分布总体的样本,其中未知.
设有估计量
T1
1 6
(
X1
X2
)
1 3
(
X3
X4
)
T2=(X1+2X2+3X3+4X4)/5,
T3=(X1+X2+X3+X4)/4 . (1)指出T1,T2,T3中哪几个是的无偏估计量;
(2)在上述的无偏估计量中指出哪一个较为有效.
得到的最大似然估计值
1 n
n
xi
i 1
x
的最大似然估计量
1 n
n
Xi
i 1
X
8 (1)验证第六章§2定理四中的统计量
Sw2
n1 1 n1 n2
2
S12
n2 1 n1 n2
2
S22
(n1
1)S12 (n2 1)S22 n1 n2 2
是两总体公共方差2的无偏估计量(SW2称为2的合并估计). 证两正态总体N(1, 12 ) ,N(2, 22 )中, 12=22=2
得到参数的矩估计量 X
设x1,x2,…,xn为相应的样本值,
似然函数 L( x1, x2 , , xn , )
n xi
e
i1 xi !
e n
n

《概率论》期末考试试题及答案

07级《概率论》期末考试试题B 卷及答案

一、填空题（满分15分）：

1.一部五卷的文集，按任意次序放到书架上，则（1）“第一卷出现在旁边”的概率为 5

2 。 5

2!5!422=⨯=p 2.设,)(,)(,)(r AB P q B P p A P ===则=)(B A P r p - 。性质 r p AB P A P AB A P B A P B A P -=-=-=-=)()()][)()(

3.设随机变量ξ的密度函数为() 00

3，其它⎩⎨⎧>=-x ce x x

ϕ则c= 3 . 33

)(130=⇒===-+∞+∞

∞-⎰⎰c c dx e c dx x x ϕ 4. 设ξ、η为随机变量，且D （ξ＋η）＝7，D （ξ）＝4，D （η）＝1，则Cov(ξ,η)= 1 .

1472)(),cov()

,cov(2)(=--=--+=++=+ηξηξηξηξηξηξD D D D D D 5.设随机变量ξ服从两点分布)

1,1(B ，其分布律为

则ξ的特征函数为=

)(t f ξit e 3132+。二、单项选择题（满分15分）：

1.设.A 、B 、C 为三个事件,用A 、B 、C 的运算关系表示“三个事件恰好一个发生”为( ②. ).

① C B A ⋃⋃. ② C B A C B A C B A ++

③ ABC -Ω. ④ C B A C B A C B A C B A +++

2.设随机变量ξ的分布函数为

000)(22<≥⎪⎩⎪⎨⎧+=-x x B

Ae x F x

则其中常数为（① ）。

概率论考试题及答案

一、选择题（每题2分，共20分）

1. 事件A和事件B是互斥事件，如果P(A)=0.3，P(B)=0.4，那么

P(A∪B)等于多少？

A. 0.3

B. 0.4

C. 0.7

D. 0.1

2. 如果随机变量X服从参数为λ的泊松分布，那么P(X=k)的表达式是什么？

A. λ^k * e^(-λ) / k!

B. λ^k / k!

C. e^(-λ) * k!

D. k * e^(-λ)

3. 抛一枚均匀硬币两次，求出现至少一次正面的概率。

A. 0.5

B. 0.75

C. 0.25

D. 1

4. 随机变量Y服从标准正态分布，那么P(Y < 0)等于多少？

A. 0.5

B. 0.3

C. 0.7

D. 0.2

5. 某工厂的次品率是0.05，求至少有一件次品的箱子的概率。

A. 0.95

B. 0.05

C. 1 - 0.95^n

D. 0.05^n

6. 已知P(A)=0.6，P(B|A)=0.8，根据贝叶斯公式，求P(A|B)。

A. 0.75

B. 0.6

C. 0.8

D. 无法确定

7. 若随机变量X和Y的协方差是-3，X的方差是25，Y的方差是16，求X和Y的相关系数。

A. -0.6

B. -0.75

C. -0.8

D. -0.9

8. 一个骰子连续抛掷两次，求两次点数之和为7的概率。

A. 1/6

B. 1/3

C. 5/36

D. 2/3

9. 某班有30个学生，其中10个是女生，20个是男生。随机选取2个学生，求至少有1个是女生的概率。

A. 0.7

B. 0.3

C. 0.5

D. 0.2

10. 已知随机变量X服从均匀分布U(0,θ)，求E(X)。