圆周角第一课时教案

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《24.1.4 圆周角》第1课时教学设计【初中数学人教版九年级上册】

第二十四章圆24.1 圆的有关性质24.1.4 圆周角教学设计第1课时一、教学目标1．了解圆周角的概念，会证明圆周角定理及其推论．2．结合圆周角定理的探究与证明的过程，进一步体会分类讨论、化归的思想方法．二、教学重点及难点重点：圆周角定理．难点：分情况证明证圆周角定理．三、教学用具多媒体课件，三角板、直尺、圆规、量角器．四、相关资源《复习圆心角定义》动画，《不同位置的圆周角》图片．五、教学过程【知识回顾，引入新课】1．复习圆心角的定义问题我们是如何给圆心角下定义的呢？师生活动：学生回顾圆心角的概念，并回答问题；教师演示课件导入．2．圆周角的定义问题观察下列三个图中的∠BAC，这样的角有什么特点？【数学探究】同弧或同弦所对的圆周角交互动动画,可以好的展现出不等位置的圆周角.学生活动：学生在回顾圆心角的基础上观察上述三个角的特征，合作交流后类比出上述三个角的共同特征；教师引导学生类比观察并归纳出圆周角的定义．顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．3．练习：判断下列图形中的角是不是圆周角，并说明理由．设计意图：首先创设问题情境激发学生的求知欲，在复习圆心角的基础上又为类比得出圆周角的特征打下了良好的基础，让学生通过观察、类比、思考、合作交流，探究出圆周角的特征．通过“判断是否是圆周角”的练习使学生加深对圆周角定义的理解，同时也及时反馈了讲课效果．【合作探究，形成新知】1．探究圆周角定理【数学探究】探究同弧所对的圆周角与圆心角之间的数量关系交互式动画,探究圆周周与圆心角的数量关系.（1）分别测量下图中AB所对的圆周角∠ACB和圆心角∠AOB的度数，它们之间有什么关系？师生活动：教师出示探究，让学生动手测量，相互交流，观察多媒体展示归纳猜想，得出同弧所对的圆周角之间的关系，同弧所对的圆心角与圆周角之间的关系．设计意图：教师出示探究，让学生培养动手实践、归纳猜想的能力．通过动态演示让学生进一步感知圆周角顶点在圆周上运动时同弧所对的圆周角和圆心角之间的关系．学生通过亲自动手测量初步感知，相互交流及观察多媒体展示形成猜想．（2）在⊙O上任取一条弧，作出这条弧所对的圆周角和圆心角，测量它们的度数，你能得出同样的结论吗？由此你能发现什么规律？师生活动：学生在圆上任取一条弧，作出这条弧所对的圆周角和圆心角，测量它们的度数，总结结论．教师巡查，在活动中，教师应关注：①学生是否积极参与活动；②学生是否度量准确，观察、发现的结论是否正确．归纳同弧所对的圆周角的度数没有变化，并且圆周角的度数恰好等于这条弧所对的圆心角的度数的一半．设计意图：这里把直观操作与逻辑推理有机结合，使将要进行的推理论证成为学生观察、实验、探究得出结论的自然延续．（3）在圆上任取一个圆周角，观察圆心与圆周角的位置关系有几种情况？师生活动：教师演示多媒体动画，启发学生观察并分类画图．学生观察，小组合作交流，进行分类并画出图形，然后展示．教师深入讨论小组参与活动，并积极引导帮助．教师关注：①学生是否会与人合作，并能与他人交流思考的过程和结果；②学生能否发现圆心与圆周角的三种位置关系．归纳（1）在圆周角的一条边上；（2）在圆周角的内部；（3）在圆周角的外部．设计意图：通过动态演示让学生感知圆周角顶点在圆周上运动时，圆心与圆周角不同的位置关系，启发学生对圆心与圆周角的三种位置关系的认识，培养学生的观察能力，也渗透了数学中分类讨论的思想．（4）当圆心在圆周角的一边上时，如何证明所发现的结论？师生活动：教师引导学生从特殊情况入手证明所发现的结论．学生写出已知、求证，然后完成证明．教师关注：①学生能否用准确的数学符号语言表述已知和求证，并准确地画出图形；②学生能否证明出结论．设计意图：让学生学会一种分析问题、解决问题的方法：从特殊到一般．让学生学会运用化归思想将问题转化．（5）另外两种情况如何证明，能否转化成第一种情况呢？师生活动：学生采取小组合作的学习方式进行探索发现，教师观察指导小组活动．启发并引导学生，通过添加辅助线，将问题进行转化．教师关注：①学生是否会想到添加辅助线，将另外两种情况进行转化；②学生添加辅助线的合理性．设计意图：在培养学生逻辑思维能力的基础上，使学生体会从一般到特殊情况的过程，体验转化的数学思想．在探究活动中，教师应给予学生更多的空间与时间，让学生展开讨论交流．2．探讨圆周角定理的推论（1）半圆（或直径）所对的圆周角是多少度？师生活动：学生独立思考，回答问题；教师讲评．教师关注：学生是否能由半圆（或直径）所对的圆心角的度数得出圆周角的度数．AB（2）90°的圆周角所对的弦是什么？师生活动：学生独立思考，回答问题，教师讲评．教师关注：学生是否能由90°的圆周角推出同弧所对的圆心角度数是180°，从而得出90°的圆周角所对的弦是直径．【知识点解析】圆周角微课,主要介绍圆周角定义及圆周角定理【知识点解析】弧、弦、圆心角之间的关系知识卡片主要总结圆周角定理及推论.设计意图：通过问题的形式让学生完成对圆周角定理的推论的认识．定理的推论也是定理在特殊条件下得出的结论．【例题分析，深化提升】例如图，⊙O的直径AB为10 cm，弦AC为6 cm，∠ACB的平分线交⊙O于点D，求BC，AD，BD的长．OCBA师生活动：学生尝试解答．教师关注：①学生是否能由已知条件得出直角三角形ABC，直角三角形ABD；②学生能否将要求的线段放到三角形里求解；③学生能否得出AD与BD相等，进而推出AD=BD．设计意图：让学生在例题中加深对本节所学知识的理解．教师通过学生解答，及时发现问题，评价教学效果．【练习巩固，综合应用】1．在⊙O中，若圆心角∠AOB=100°，点C是AB上一点，则∠ACB等于（）．A．80°B．100°C．130°D．140°2．在⊙O中，弦AB，CD相交于点E．若∠ADC=46°，∠BCD=33°，则∠DEB等于（）．A．13°B．79°C．38.5°D．101°3．在⊙O中，同弦所对的圆周角( )．A．相等B．互补C．相等或互补D．都不对4．下列说法正确的是( )．A．顶点在圆上的角是圆周角B．两边都和圆相交的角是圆周角C．圆心角是圆周角的2倍D．一条弧所对的圆周角的度数等于它所对的圆心角的度数的一半5．如图，已知点A，B，C，D，E均在⊙O上，且AC为⊙O的直径，则∠A＋∠B＋∠C=________度．6．已知：如图，△ABC内接于圆O，AD⊥BC于点D，弦BH⊥AC于点E，交AD于点F．求证：FE=EH．参考答案1．C 2．B 3．C 4．D 5．906．解：连接AH．，∴∠CBH=∠CAH．∵CH CH∵AD⊥BC，BH⊥AC，∠BFD=∠AFE，∴∠CBF=∠DAC．∴∠F AE=∠HAE．∵∠AEF=∠AEH=90°，AE=AE，∴△AEF≌△AEH．∴FE=HE．设计意图：加深对圆周角定理及其推论的理解．六、课堂小结师生活动：学生小组内进行交流，谈一谈本节课的收获．教师提示学生从以下四个方面入手：1．学到了哪些知识；2．掌握了哪些数学方法；3．体会到了哪些数学思想；4．还有哪些发现与猜想？设计意图：让学生总结出自己的收获，理清思路，整理经验，从而形成良好的学习习惯，同时也提出自己的疑问和困惑便于教师及时回馈．七、板书设计24.1 圆的有关性质——24.1.4 圆周角（1）1．圆周角定义2．圆周角定理及推论。

3.4第1课时圆周角和圆心角的关系(教案)

举例：引导学生通过折叠、旋转等方法，观察圆周角和圆心角的变化，从而理解两者关系。
（2）运用圆周角和圆心角的关系解决问题：在实际问题中，学生可能不知道如何将所学的圆周角和圆心角关系应用到解题过程中。
举例：针对不同类型的题目，指导学生分析问题，找到运用圆周角和圆心角关系的关键步骤，并给出解题策略。
四、教学流程
3.加强实践活动的引导，让学生在讨论和操作过程中，能够更加深入地思考问题；
4.提高自己的课堂应变能力，针对学生的反馈，及时调整教学方法和策略。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“圆周角和圆心角在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
本节课将紧密围绕核心素养目标，关注学生能力培养，使学生在掌握知识的同时，提高数学学科综合素养。
三、教学难点与重点
1.教学重点
（1）圆周角和圆心角的概念及其关系：圆周角是圆上一段弧所对的角，圆心角是以圆心为顶点的角。圆周角是圆心角的一半，这是本节课的核心知识点。
举例：讲解圆周角和圆心角的定义，通过图示和实际操作，让学生直观感受两者的关系。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调圆周角和圆心角的关系，以及它们在解题中的应用这两个重点。对于难点部分，我会通过举例和比较来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与圆周角和圆心角相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作。通过观察和测量圆周角和圆心角，验证圆周角是圆心角的一半这一性质。

九年级数学上册《圆周角》教学设计(第一课时)

24.1.4 圆周角教案设计（第一课时）教学目标： 1、理解圆周角的概念,会在具体情境中辨别圆周角。

2、掌握圆周角定理的内容及推论，并能灵活运用这些知识进行简单的计算和证明。

3、继续培养学生观察、分析、想象、归纳和逻辑推理的能力。

教学重点：圆周角的概念和圆周角定理教学难点：圆周角定理的证明中由“特殊到一般” 的数学思想方法和完全归纳法的数学思想。

过程与方法：1、在探索圆周角与圆心角的关系的过程中，学会运用分类讨论、转化的数学思想解决问题。

2、学习中经历操作、观察、发现、猜想、分析、交流、归纳等数学活动，体验圆周角定理的探索过程，培养合理推理能力，发展逻辑思维能力、推理论证能力和用几何语言表达的能力。

教学活动设计：（一）情境引入动画和画面：2012年欧洲足球杯西班牙与意大利比赛中的一个片段中，Fabregas 带球冲到对方球门附近，Fabregas 没有直接射门，而是将球传给离球门较远的队友David Silva ，由他射门，为什么？（球进了吗？）问：射门的位置跟什么因素有关?学了这节课我们就明白了这个问题。

设计意图：从学生熟悉的足球活动引入，设置问题引起悬念，引起学生的好奇心、调动学生的积极性。

（二）圆周角的概念1、探索问题：将圆心角顶点向上移，直至与⊙O 相交于点 C ，观察得到的∠ACB 。

问：顶点在哪里？两边与圆有什么位置关系?圆周角的定义：顶点在圆上,并且两边都和圆相交的角叫圆周角..A C B学生活动：1、认识圆周角师问：判断圆周角有什么方法？学生归纳：先找顶点在不在圆周上，再看角的两边是否与圆相交。

设计意图：在具体情境中辨别圆周角，巩固知识的形成。

学生活动：2、找一找：圆中有多少个圆周角？分别说出来。

问：你是怎么找到的？设计意图：在复杂的图中找圆周角，进一步强化圆周角的两个特征，学会分类思想。

问：每个圆周角对应一条相应的弧，观察一下，有没有某两个圆周角对应同一条弧，也就是说同一条弧对着多个圆周角？设计意图：引入下一个环节（三）探究一条弧所对的圆周角和圆心角的关系学生活动3：试着画一画，一条弧所对的圆周角有多少个? 问：虽然一条弧所对的圆周角有无数个,但观察它们与圆心的位置关系，可分为哪几种情况? （交流讨论后学生回答）设计意图：通过学生动手操作，想象，观察，对比分析，从圆周角与圆心的位置关系可分为三种，让学生亲自体验并学会分类讨论。

圆周角教案(1)

人教版九年级上册§24.1.4 圆周角（教案）第一课时24.1.4 圆周角（第一课时教案）教材分析：1、本节课是在学习了圆的有关概念、垂径定理、圆心角定理的基础上对圆的有关性质的进一步探索。

2、利用弧等构造弦等、角等是解决圆中相关问题非常重要的方法。

学情分析：九年级的学生虽然已经具备了一些问题的说理能力，但是初三的几何证明过程中，学生的逻辑思维仍然是不成熟的，所以对于知识的生成过程任然是教学中的重点内容，针对上述情况，本节课我采用了学生动手操作——猜想——验证——组长对组员进一步讲解的学习过程。

一、目标设计：（一）知识技能：1、了解圆周角的概念，会证明圆周角的定理及推论。

2、掌握圆周角定理的两个推论，并能简单应用。

（二）过程方法：1、培养学生观察、分析、想象、归纳和逻辑推理的能力。

2、结合圆周角定理的探索与证明的过程，进一步体会分类讨论和转化的思想方法。

（三）情感态度：1、通过组长的讲，小组的交流，增进同学间互相学习、互相帮助、共同提高的氛围。

2、通过小组合作学习创造学习气氛，培养学生的学习兴趣。

二、教学重难点：重点：定理及推论的理解与运用难点：定理的证明三、教学过程：【课前引入】：出示几何画板，一个圆柱形房间有4人：A、B、C、D,D站在圆心位置，A,B,C三人在圆周上观察弧形落地窗外的风景，四人谁的视角比较大？大多少？设计意图：带着问题进入本节内容，培养学生的学习兴趣。

【课堂探究】：探究一：圆周角概念的理解。

圆周角：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角。

针对性思考：判断下列图形中的角，哪些是圆周角？（）（）（）（）（）（）（）（）设计意图：学生通过对图形的识别，得出圆周角的两个特点：顶点在圆上；两边都与圆相交。

通过正例与反例的判断，加深对概念的理解。

探究二：圆周角定理的掌握。

1、学生度量图1中弧BC所对的圆周角和圆心角的大小，猜想这两个角的大小关系。

教师也可利用几何画板的动态性来加以验证。

人教版数学九年级上册《24.1.4 圆周角》(第1课时)教案

《24.1.4 圆周角》教案第1课时圆周角的概念和圆周角定理教学目标1．理解圆周角的定义,了解与圆心角的关系，会在具体情景中辨别圆周角。

2．通过学生的探索过程，培养学生的动手操作、自主探索和合作交流的能力。

3．通过操作交流等活动，培养学生互相帮助、团结协作、互相讨论的团队精神，培养学生学习数学的兴趣。

教学重点圆周角定理及其推论的探究与应用。

教学难点圆周角定理的证明中由一般到特殊的数学思想方法以及圆周角定理及推论的应用。

课时安排1课时教学方法启发引导、合作探究、拓展新知课前准备课件、课本等教学过程一、导入新知活动：请同学们口答下面两个问题．1．什么叫圆心角？2．圆心角、弦、弧之间有什么内在联系呢？点评：1．我们把顶点在圆心的角叫圆心角．2．在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，•那么它们所对的其余各组量都分别相等．刚才讲的，顶点在圆心上的角，有一组等量的关系，如果顶点不在圆心上，它在其它的位置上？如在圆周上，是否还存在一些等量关系呢？这节课，我们就一起来学习《圆周率的概念和圆周角定理》。

（板书课题）二、探究新知（一）师生互动，启发猜想1.摆一摆：一条弧对的圆心角有几个，圆周角有几个？学生利用手中的学具和皮筋，通过由实验、观察等方法可得出：一条弧对的圆心角只有一个，圆周角有无数个；2.找一找：圆心与圆周角有几种位置关系?充分的活动交流后,教师挑选有代表性的几个小组派代表在展台上展示图片，说明圆心与圆周角的位置关系：①圆心O在∠BAC的内部②圆心O在∠BAC的一边上③圆心O在∠BAC的外部请同学们思考除这三种位置关系外是否还有遗漏？分别做出这三个图中的圆心角∠BOC，①圆心O在∠BAC的内部②圆心O在∠BAC的一边上③圆心O在∠BAC的外部3.量一量：同一条弧所对的圆周角∠BAC与圆心角∠BOC的度数,你有什么发现?（二）观察猜想，寻找规律1．教师出示同一条弧所对圆周角为90°，圆心角为180°和同一条弧所对圆周角为45°，圆心角为90°的特殊情况的图形．提出问题：在这两个图形中，对着同一条弧的圆周角和圆心角，它们之间有什么数量关系．由于情况特殊，学生观察、测量后，容易得出：对着同一条弧的圆周角是圆心角的一半．2．教师提出：在一般情况下，对着同一条弧的圆周角还是圆心角的一半吗？通过上面的特例，学生猜想，得出命题：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．（三）动手画图，证明定理1．猜想是否正确，还有待证明．教师引导学生结合命题，画出图形，写出已知、求证．2．先分小组交流画出的图形，议一议：所画图形是否相同？所画图形是否合理？3．利用实物投影在全班交流，得到三种情况．若三种位置关系未出现全，教师利用电脑演示同一条弧所对圆周角的顶点在圆周上运动的过程，得出同一条弧所对的圆心角和圆周角之间可能出现的不同位置关系，得到圆心角的顶点在圆周角的一边上、内部、外部三种情况．4．引导学生选一种最特殊、最容易证明的“圆心角的顶点在圆周角的一边上”进行证明，写出证明过程，教师点评．5．引导学生通过添加辅助线，把“圆心角的顶点在圆周角的内部、外部”转化成“圆心角的顶点在圆周角的一边上”的情形，进行证明，若学生不能构造过圆周角和圆心角顶点的直径，教师给予提示．然后小组交流讨论，上台展示证明过程，教师点评证明过程．6．将“命题”改为“定理”，即“圆周角定理”．三、随堂练习1．教材第88页练习第1题．2．如图，∠BAC和∠BOC分别是⊙O中的弧BC所对的圆周角和圆心角，若∠BAC＝60°，那么∠BOC＝________.3．如图，AB，AC为⊙O的两条弦，延长CA到D，使AD＝AB，如果∠ADB＝30°，那么∠BOC＝________.答案：1.略；2.120°；3.120°.四、归纳新知1．圆周角概念及定理．2．类比从一般到特殊的数学方法及分类讨论、转化与化归的数学思想．五、教后反思。

圆周角1教案

教学内容
圆周角（1）
课标对本节课的教学要求
掌握圆周角与圆心角的关系的定理及推论，会应用其进行计算和推理。体会用运动和变化的观点认识圆中的动态问题。
教学目标
知识与技能：
探索并理解圆周角和圆心角的关系定理及其推论，并会应用其进行推理和论证。
过程与方法：
初步体会运用分类讨论、转化、完全归纳法等数学思想方法解决问题，培养学生分析问题和解决问题的能力。
情感态度与价值观：
体会几何定理学习的特点，培养科学的思维方法和良好的数学品质，形成严谨求实的科学态度。
教学重点
难点
1.重点：圆周角的概念和圆心角定理。
2.难点：Leabharlann 分类讨论的思想证明圆周角定理，尤其是分类标准的确定。
教学准备
教科书、课件、圆形纸片。
教学时间
1课时
教学过程
第（1）课时
教学环节
教师活动预设
2、点与圆的位置关系有哪些?
学生边听讲边思考。
复习旧知，为新课打好基础。使学生理解圆心角和所对弧的关系。
新课讲授
当角的顶点发生变化时，这个角的位置有哪几种情况?
教师画图，三种情况
练习：判断下列图中的角是不是圆周角。（课件演示）
教师画图演示在同一个圆中同一条弧所对的圆心角和圆周角的关系。
自己动手量一量
学生活动预设
设计意图
备注
复习旧知
1、圆心角的定义？
2、圆心角、弧、弦之间有什么关系？
学生思考后回答
复习旧知，引入新课。
情境导入
1、在同圆或等圆中圆心角的度数和它所对的弧的度数的关系我们把顶点在圆心的周角等分成360份时，每一份的圆心角是1的角。因为同圆中相等的圆心角所对的弧相等，所以整个圆也被等分成360份。我们把每一份这样的弧叫做1°的弧。在同圆或等圆中，圆心角的度数和它所对的弧的度数相等。

圆周角(第一课时)+教案

交流的课堂，生命的欢唱——“圆周角（一）” 教学设计滨海县坎北初级中学顾伟军一、教学目标1、知识与能力(1)使学生正确理解圆周角的概念，并初步掌握圆周角的性质；(2)使学生能准确地运用圆周角性质进行简单的计算或证明。

2、过程与方法引导学生通过观察、猜想、验证“圆周角与圆心角的关系”，培养学生的合情推理能力。

3、情感态度与价值观创设生活情景激发学生对数学的“好奇心、求知欲”；打造“学本课堂”，让学生主动学习，在愉快的学习中不断获得成功的体验，学会数学思考。

二、教学重难点重点：经历探索“圆周角与圆心角的关系”的过程，掌握圆周角定理。

难点：用化归思想和合情推理验证“圆周角与圆心角的关系”。

三、课前准备教师：几何画板课件、圆规、三角板学生：课堂探索用的学案纸四、教学过程（一）课前自习，温故知新1、如图,已知⊙O 、⊙O '半径相等，AB 、CD分别是⊙O 、⊙O '的两条弦.①若AB=CD ，则，②若AB= CD ，则，③若∠AOB=∠CO 'D ，则， .2、圆心角的度数与相等.【设计说明】圆心角的定义和性质是学好本节课的重要基础，每节课之前设计一组课前自习题，旨在承前启后，扫清新课学习障碍，此环节要求学生课前完成，基本上不占用课堂时间，由小组长督促学生按时完成，符合我校校情。

（二）课堂助学，师生互动活动一、认识圆周角教师用几何画板画一圆心角∠AOB ，移动顶点O 到圆周，形成另一个角，提问：这个角的顶点与两边有什么关系？类比圆心角的定义给这个角命名。

教师结合示意图和圆心角的定义，引导学生得出圆周角的定义。

由学生口述，教师板书：圆周角：顶点在圆上，且两边都与圆相交的角叫做圆周角。

O ’ D C O BA教师继续利用几何画板演示，让学生辨析圆周角：A B CD提问：上述各图中，哪一个角是圆周角？强调：定义中顶点在圆周上、两边都和圆相交这两个条件缺一不可。

【设计说明】通过改变圆心角顶点的位置得到圆周角，暗示圆周角和圆心角之间存在某种联系；通过改变圆周角的位置，渗透运动变化思想，让学生深刻认识、准确把握圆周角定义的内涵。

《圆周角》教案

《圆周角》教案1教学目标1.理解圆周角的定义，会区分圆周角和圆心角.2.能在证明或计算中熟练运用圆周角的定理.过程与方法经历探索圆周角与圆心角的关系的过程，加深对分类讨论和由特殊到一般的转化等数学思想方法的理解.情感态度1.在探究过程中体验数学的思想方法，进一步提高探究能力和动手能力.2.通过分组讨论，培养合作交流意识和探索精神.教学重点理解并掌握圆周角的概念及圆周角与圆心角之间的关系，能进行有关圆周角问题的简单推理和计算.教学难点分类讨论及由特殊到一般的转化思想的应用.教学过程一、情境导入，初步认识阅读教材，回答下列问题.1.如图所示的角中，哪些是圆周角？2.顶点在______上，并且两边都与圆_________的角叫做圆周角.3.在同圆或等圆中，_____或_______所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的______的一半.4.在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也_______.二、思考探究，获取新知探究圆周角定理.1.同学们作出»AB所对的圆周角，和圆心角，学生分组讨论，并回答下列问题：问题1»AB所对的圆周角有几个？问题2度量下这些圆周角的关系.问题3这些圆周角与圆心角∠AOB的关系.【教学说明】①»AB所对的圆周角的个数有无数个.②通过度量，这些圆周角相等.③通过度量，同弧对的圆周角是它所对圆心角的一半.2.同学们思考如何推导上面的问题(3)的结论？教师引导，学生讨论①当点O在∠BAC边AB上，②当点O在∠BAC的内部，③当点O在∠BAC外部.①②由同学们分组讨论，自己完成.③由同学们讨论，代表回答.【教学说明】作直径AE，由∠BAC=∠OAC-∠OAB，由∠OAC=12∠EOC，∠OAB=12∠BOE得:∠BAC=12∠EOC-12∠BOE=12(∠EOC-∠BOE)=12∠BOC.从①②③得出圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半.还可以得出下面推论:同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，那么它们所对的弧一定相等；3.例题1:如图，(1)已知»»AD BC=.求证:AB=CD.(2)如果AD=BC，求证:»»DC AB=.证明:(1)∵»»AD BC=，∴»»»»AD AC BC AC+=+，∴»»DC AB=，∴AB=CD.(2)∵AD=BC，∴»»AD BC=，∴»»»»AD AC BC AC+=+，即»»DC AB=.例题2：如课本图，OA，OB，OC都是圆O的半径，∠AOB=50°，∠BOC=70°.求∠ACB 和∠BAC的度数.【教学说明】在今后证明线段相等的题目中又加了一种有弧相等也可以得到线段相等的方法了.练习题：1、如课本图，各角是不是圆周角？请说明理由.2、如课本图，在圆O中，弦AB与CD相交于点M，若∠CAB=25度，∠ABD=95°，试求∠CDB与∠ACD的度数.3、如课本图，点A，B，C在圆O上，AC∥OB.若∠OBA=25°，求∠BOC的度数.三、师生互动，课堂小结1.这节课你学到了什么？还有哪些疑惑？2.在学生回答基础上.【教学说明】①圆周角的定义是基础.②圆周角的定理是重点，圆周角定理的推导是难点.③圆周角定理的应用才是重中之重.《圆周角》教案2教学目标1.巩固圆周角概念及圆周角定理.2.掌握圆周角定理的推论:直径所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径.3.圆内接四边形的对角互补.过程与方法在探索圆周角定理的推论中，培养学生观察、比较、归纳、概括的能力.情感态度在探索过程中感受成功，建立自信，体验数学学习活动充满着探索与创造，交流与合作的乐趣.教学重点对直径所对的圆周角是直角及90°的圆周角所对的弦是直径这些性质的理解.教学难点对圆周角定理推论的灵活运用是难点.教学过程一、情境导入，初步认识1.如图，木工师傅为了检验如图所示的工作的凹面是否成半圆，他只用了曲尺(它的角是直角)即可，你知道他是怎样做的吗？【分析】当曲尺的两边紧靠凹面时，曲尺的直角顶点落在圆弧上，则凹面是半圆形状，因为90度的圆周角所对的弦是直径.解:当曲尺的两边紧靠凹面时，曲尺的直角顶点落在圆弧上，则凹面是半圆形状，否则工作不合格.2.半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径.3.圆内接四边形的对角互补.【教学说明】半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对弦是直径都是圆周角定理可推导出来的.试着让学生简单推导，培养激发他们的学习兴趣.二、思考探究，获取新知1.直径所对的圆周角是直角，90°的角所对的弦是直径.如图，∠C1、∠C2、∠C3所对的圆心角都是∠AOB，只要知道∠AOB的度数，就可求出∠C1、∠C2、∠C3的度数.【教学说明】∵A、O、B在一条直线上，∠AOB是平角，∠AOB=180°，由圆周角定理知∠C1=∠C2=∠C3=90°，反过来也成立.2.例3：如课本图，BC是圆O的直径，∠ABC=60°，点D在圆O上，求∠ADB的度数.【教学说明】在圆中求角时，一种方法是利用圆心角的度数求，另一种方法是把所求的角放在90°的三角形中去求.3.讲圆内接四边形和四边形的外接圆的概念.如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做多边形的外接圆；圆内接四边形对角互补.例1如图所示，OA为⊙O的半径，以OA为直径的圆⊙C与⊙O的弦AB相交于点D，若OD=5cm，则BE=10cm.【教学说明】在题中利用两个直径构造两个垂直，从而构造平行，产生三角形的中位线，从而求解.例2如图，已知∠BOC=70°，则∠BAC=_____，∠DAC=______.【分析】由∠BOC=70°可得所对的圆周角为35°，又∠BAC与该圆周角互补，故∠BAC=145°.而∠DAC+∠BAC=180°，则∠DAC=35°.答案:145°5°例3如图，点A、B、D、E在⊙O上，弦AE、BD的延长线相交于点C.若AB是⊙O的直径，D是BC的中点.(1)试判断AB、AC之间的大小关系，并给出证明；(2)在上述题设条件下，△ABC还需满足什么条件，使得点E一定是AC的中点(直接写出结论)例4：如课本图，四边形ABCD为圆O的内接四边形，已知∠BOD=100°，求∠BAD与∠B CD的度数.三、练习题：1、如课本图，在圆O中，AB是直径，C，D是圆上两点，且AC=AD.求证：BC=BD.2、怎样运用三角板画出如课本图所示的圆形表面上的直径，并标出圆心，是说明画法的理由.3、如课本图，圆内接四边形ABCD的外角∠DCE=85°，求∠A的度数.【教学说明】连接AD，得AD⊥BC，构造出Rt△ABD≌Rt△ACD.解：(1)AB=AC.证明:如图，连接AD，则AD⊥BC.∵AD是公共边，BD=DC，∴Rt△ABD≌Rt△ACD，∴AB=AC.(2)△ABC为正三角形或AB=BC或AC=BC或∠BAC=∠B或∠BAC=∠C.四、师生互动，课堂小结1.这节课你学到了什么？还有哪些疑惑？在学生回答基础上.2.教师强调:①半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径；②圆内接四边形定义及性质；③关于圆周角定理运用中，遇到直径，常构造直角三角形.课后作业1、课后习题2.22、完成同步练习册中本课时的练习.。

九年级数学圆周角第一课时教案

九年级数学圆周角第一课时教案一、教学目标1. 知识与技能：理解圆周角的概念，掌握圆周角定理及其推论，并能运用其解决一些简单的问题。

2. 过程与方法：通过观察、操作、推理、交流等活动，培养学生的合情推理能力以及初步的演绎推理能力。

同时，通过解决圆周角问题，培养学生用动态的观点来分析问题。

3. 情感态度与价值观：在探索圆周角的过程中，感受数学的严谨性和图形的对称美；在与同学的合作中体验数学的乐趣，激发学生的学习兴趣，增强学生学好数学的信心。

二、教学重点和难点重点：圆周角定理的证明及初步应用。

难点：圆周角定理的理解与证明。

三、教学过程1. 导入：通过实物展示和生活中的实例，引出圆周角的概念。

比如，展示一个时钟的表盘，指出其上的圆周角。

2. 新知探究：首先，引导学生观察圆周角与对应的圆心角，探究它们之间的关系。

然后，通过推理和证明，得出圆周角定理及其推论。

3. 课堂活动：设计一些与圆周角相关的问题，让学生自行解答或小组讨论。

例如，让学生自己画图、分析并证明一些特殊的圆周角定理推论。

4. 知识运用：选取一些具有代表性的例题，引导学生分析并解答。

通过实例，让学生进一步理解并掌握圆周角定理的应用。

5. 课堂小结：总结本节课的主要内容，强调圆周角定理的重要性，以及在解题过程中需要注意的问题。

6. 布置作业：根据学生的学习情况，布置适当的作业，巩固所学知识。

同时，要求学生预习下一节内容，为下节课的学习做好准备。

四、教学方法和手段本节课主要采用直观演示法、讨论法、讲解法等教学方法，通过多媒体课件展示图形和动画，帮助学生更好地理解圆周角的概念和定理。

同时，采用小组讨论的方式，引导学生自主探究和合作学习，提高他们的数学思维能力。

五、课堂练习、作业与评价方式1. 课堂练习：设计一些与圆周角相关的问题，让学生在课堂上思考并回答。

教师可以根据学生的答题情况，及时调整教学策略。

2. 作业：布置一些具有代表性的习题，要求学生独立完成。

圆周角(一)数学教案

圆周角（一）数学教案
标题：圆周角
一、教学目标：
1. 学生能够理解并掌握圆周角的概念。

2. 学生能够运用圆周角的性质解决实际问题。

3. 通过探究学习，培养学生的观察力和逻辑思维能力。

二、教学重点与难点：
1. 教学重点：圆周角的概念及其性质。

2. 教学难点：运用圆周角的性质解决实际问题。

三、教学准备：
1. 圆形教具
2. 多媒体设备
四、教学过程：
1. 导入新课：
通过回顾以前学习过的关于圆的知识，引入圆周角的概念。

2. 新课讲解：
（1）定义：圆周角的概念，强调圆周角的顶点在圆上，两边都与圆相交。

（2）性质：引导学生观察并总结圆周角的性质，如圆心角等于它所对的圆周角的两倍等。

3. 实例解析：
通过具体的例子，让学生理解如何运用圆周角的性质解决问题。

4. 小组讨论：
分小组进行讨论，设计一些题目让各小组完成，然后分享他们的答案和解题思路。

5. 巩固练习：
设计一些习题供学生自我检查，巩固他们对圆周角的理解。

6. 课堂小结：
让学生复述本节课学到的内容，教师进行补充和点评。

7. 布置作业：
设计一些难度适中的题目作为家庭作业，以进一步巩固学生的学习效果。

五、教学反思：
在课程结束后，反思本次教学的效果，包括学生对知识的掌握程度，教学方法的有效性，以及需要改进的地方。

圆周角第1课时圆周角定理及推论教案 2020-2021学年沪科版数学九年级下册

24.3 圆周角第1课时圆周角定理及推论一、教学目标1．理解圆周角的概念，学会识别圆周角；2．了解圆周角与圆心角的关系，能够理解和掌握圆周角定理及推论，并进行简单的计算与证明．二、教学重点及难点重点：了解圆周角与圆心角的关系.难点：能够理解和掌握圆周角定理及推论，并进行简单的计算与证明.三、教学用具多媒体课件四、相关资料无五、教学过程【情景引入】你喜欢看足球比赛吗？你踢过足球吗？第六届东亚四强赛于2015年在武汉举行，共有来自亚洲的8支球队参加赛事，共进行24场比赛决定冠军队伍．比赛如图所示，甲队员在圆心O处，乙队员在圆上C处，丙队员带球突破防守把球传给乙，乙依然把球传给了甲，你知道为什么吗？你能用数学知识解释一下吗？【探究新知】【知识点解析】圆周角，本微课资源针对圆周角进行讲解，并结合具体例题，提高知识的应用能力。

【探究1】圆心角、圆周角问题：我们已经知道，顶点在圆心的角叫圆心角，那么当角的顶点发生变化时，我们能得到几种情况？图3－4－13处理方式：学生根据上图的几种情况，类比圆心角定义，得出圆周角定义：顶点在圆上，并且两边分别与圆还有另一个交点的角叫做圆周角．【数学探究】探究圆周角与圆心角的数量关系，通过探究的方式 ,定量地揭示出圆周角与圆心角的数量关系,同时根据圆周角和圆心角不同的分布,分类讨论,证明定理的正确性. 试一试：指出图3－4－14中的圆心角和圆周角．图3－4－14解：圆心角有∠AOB ，∠AOC ，∠BOC ；圆周角有∠BAC ，∠ABC ，∠ACB .处理方式：图中圆里有3条半径和3条弦，当学生讲出正确答案后，则需要老师从旁总结寻找圆心角和圆周角的方法．寻找圆心角关注的是半径，任意两条半径所夹的角就是一个圆心角，个数由半径的条数决定．寻找圆周角则应关注弦和弦与圆的交点，任意两弦和两弦的交点组成一个圆周角，数圆周角关键是看弦与圆的交点，看以这个交点为顶点能引出多少条弦，每两条弦所夹的角即是一个圆周角，数完一个交点后，再数另一个交点．这里要注意，因为半径AO 没有延长，所以∠OAB 严格来说还不算是一个圆周角，这里有必要向学生说明一下，但以后在解题中，我们又往往会忽略这些角，因为只要把半径AO 延长与圆相交后，就会形成圆周角了，所以这里要特别注意．【探究2】探究同一条弧所对圆周角与圆心角的关系画一个80°的圆心角，然后再画同弧所对的圆周角，动手画一画并思考下列问题：问题1：你所画的这几个圆周角与圆心角的大小有什么关系？如果改变圆心角度数，这个关系依然成立吗？问题2：通过上述问题，你有何猜想？问题3：对于有限次的测量得到的结论，必须通过其论证，怎么证明呢？说说你的想法，并与同伴交流．(几何画板展示)教师适时引导：能否考虑从特殊情况入手试一下．圆周角――→特殊一边经过圆心．由图3－4－15可知，显然∠ABC ＝12∠AOC ，结论成立．(预设学生口述，并展示)证明：∵∠AOC 是△ABO 的外角， ∴∠AOC ＝∠ABO ＋∠BAO .∵OA ＝OB ，∴∠ABO ＝∠BAO .∴∠AOC ＝2∠ABO . 图3－4－15即∠ABC ＝12∠AOC .如果∠ABC 的两边都不经过圆心(如图3－4－16)，那么结果怎样？特殊情况会给我们什么启发吗？你能将下图中的两种情况分别转化成上图中的情况去解决吗？(学生互相交流、讨论)图3－4－16如图①，当点O 在∠ABC 内部时，只要作出直径BD ，将这个角转化为上述情况的两个角的和即可证出．由刚才的结论可知：∠ABD ＝12∠AOD ，∠CBD ＝12∠COD ，∴∠ABD ＋∠CBD ＝12(∠AOD ＋∠COD )，即∠ABC ＝12∠AOC .如图②，当点O 在∠ABC 外部时，仍然是作出直径BD ，将这个角转化成上述情形的两个角的差即可.由前面的结果，有∠ABD ＝12∠AOD ，∠CBD ＝12∠COD ，∴∠ABD －∠CBD ＝12(∠AOD －∠COD )，即∠ABC ＝12∠AOC .问题4：还会有其他情况吗？经过刚才我们一起探讨，得到了什么结论？教师适时总结：这一结论称为圆周角定理．板书：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半．问题5：在上述经历探索圆周角和圆心角的关系的过程中，我们学到了什么方法？图3－4－17处理方式：学生通过从对特殊角的圆周角与圆心角的数量关系入手进行猜想，进而提出猜想、作图，然后写出已知、求证，并进行讨论、交流，在教师的引导下寻找解决问题的途径．教师在讲台利用几何画板演示圆心与圆周角的三种不同位置情况，配合学生的思考过程进行逐步演示分析．并给学生充足的时间思考．通过回顾圆周角定理的证明过程，体会探究过程中的数学思想方法的运用．多让学生用自己的语言表述当中用到的方法，然后教师再进行深加工．【探究3】探究同弧或等弧所对圆周角之间的关系问题回顾：如图3－4－18，当球员在B ，D ，E 处射门时，他所处的位置对球门AC 分别形成三个张角∠ABC ，∠ADC ，∠AEC ，这三个角的大小有什么关系？处理方式：通过回顾之前提出的问题，直接应用圆周角定理解决问题，然后推导出另一条圆周角与弧的定理．分析：如图3－4－18，连接AO ，CO ，∵∠ABC ＝12∠AOC ，∠ADC ＝12∠AOC ，∠AEC ＝12∠AOC ，∴∠ABC ＝∠ADC ＝∠AEC .图3－4－18由此得出定理：同弧或等弧所对的圆周角相等. 【新知运用】探究点一：圆周角定理【类型一】利用圆周角定理求角例1 如图，AB 是⊙O 的直径，C ，D 为圆上两点，∠AOC ＝130°，则∠D 等于( )A ．25°B ．30°C ．35°D ．50°解析：本题考查同弧所对圆周角与圆心角的关系．∵∠AOC ＝130°，∠AOB ＝180°，∴∠BOC ＝50°，∴∠D ＝25°.故选A .方法总结：在同圆或等圆中，同弧和等弧所对的圆周角相等，一条弧所对的圆周角是它所对的圆心角的一半．【类型二】同弦所对圆周角中的分类讨论思想例2 已知⊙O 的弦AB 长等于⊙O 的半径，求此弦AB 所对的圆周角的度数．解析：弦AB 的长恰好等于⊙O 的半径，则△OAB 是等边三角形，则∠AOB ＝60°.而弦AB 所对的弧有两段，一段是优弧，一段是劣弧，因此本题要分类讨论．解：分下面两种情况：如图①所示，连接OA ，OB ，在⊙O 上任取一点C ，连接CA ，CB .∵AB ＝OA ＝OB ，∴∠AOB ＝60°，∴∠ACB ＝12∠AOB ＝30°.即弦AB 所对的圆周角等于30°.如图②所示，连接OA ，OB ，在劣弧上任取一点D ，连接AD ，OD ，BD ，则∠BAD ＝12∠BOD ，∠ABD ＝12∠AOD .∴∠BAD ＋∠ABD ＝12(∠BOD ＋∠AOD )＝12∠AOB .∵AB 的长等于⊙O 的半径，∴△AOB 为等边三角形，∠AOB ＝60°.∴∠BAD ＋∠ABD ＝30°，∠ADB ＝180°－(∠BAD ＋∠ABD )＝150°，即弦AB 所对的圆周角为150°.综上所述，弦AB 所对的圆周角的度数是30°或150°.方法总结：本题考查了等边三角形的判定和性质、圆周角定理和圆内接四边形的性质．要注意的是弦AB 所对的圆周角有两种情况，需分类讨论，解题时可分别作图，结合图形求解，以免漏解．探究点二：圆周角定理的推论【类型一】利用圆周角定理的推论1解题例3 如图所示，边长为1的小正方形构成的网格中，半径为1的⊙O 的圆心O 在格点上，则∠AED 的正切值等于( )A .55 B .255 C ．2 D .12解析：根据同弧或等弧所对的圆周角相等来求解，∵∠E ＝∠ABD ，∴tan ∠AED ＝tan∠ABD ＝ AC AB ＝12.故选D .方法总结：解题的关键是在同圆或等圆中，相等的两条弧所对的圆周角也相等．注意与三角函数的结合．【类型二】利用圆周角定理的推论2解题例4 如图所示，已知△ABC 的顶点在⊙O 上，AD 是△ABC 的高，AE 是⊙O 的直径，求证：∠BAE ＝∠CAD .解析：连接BE 构造Rt △ABE ，由AD 是△ABC 的高得Rt △ACD ，要证∠BAE ＝∠CAD ，只要证出它们的余角∠E 与∠C 相等，而∠E 与∠C 是同弧AB 所对的圆周角．证明：连接BE ，∵AE 是⊙O 的直径，∴∠ABE ＝90°，∴∠BAE ＋∠E ＝90°.∵AD 是△ABC 的高，∴∠ADC ＝90°，∴∠CAD ＋∠C ＝90°.∵AB ︵＝AB ︵，∴∠E ＝∠C .∵∠BAE ＋∠E ＝90°，∠CAD ＋∠C ＝90°，∴∠BAE ＝∠CAD .方法总结：涉及直径时，通常是利用“直径所对的圆周角是直角”来构造直角三角形，并借助直角三角形的性质来解决问题．【随堂检测】1．如图，在⊙O 中，△ABC 是等边三角形，AD 是直径，则∠ADB ＝________°，∠DAB ＝________°.2.如图，A ，B ，E ，C 四点都在⊙O 上，AD 是△ABC 的高，∠CAD ＝∠EAB ，AE 是⊙O 的直径吗？为什么？3.如图，在⊙O 中，直径AB 为10 cm ，弦AC 为6 cm ，∠ACB 的平分线交⊙O 于点D .求BC ，AD 和BD 的长．六、课堂小结1．圆周角的概念 2．圆周角定理一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半． 3．圆周角定理的推论推论1：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，相等的圆周角所对的弧也相等．推论2：半圆或直径所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径．设计意图：通过问题的设置将本节课所学的知识点进行集中的梳理，归纳总结出本节课的重点知识。

圆周角第一课时教学设计.1.4《圆周角第一课时》教学设计

24.1.4《圆周角第一课时》教学设计学情分析学生在上一节的内容中已掌握了圆心角的定义及圆心角的性质。

掌握了在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。

在以前的数学学习中，学生经历过小组合作学习的过程，具有了一定的合作学习的经验，具备了一定的合作与交流的能力。

教学目标知识与技能 1.了解圆周角的概念。

2.理解圆周角定理的证明。

过程与方法 1.经历探索圆周角和圆心角的关系的过程，学会以特殊情况为基础，通过转化来解决一般性问题的方法，渗透分类讨论的数学思想。

2.体会类比、分类讨论、转化归纳等数学思想方法。

情感态度与价值观通过观察、猜想、验证推理，培养学生探索问题的能力和方法。

教学重点圆周角定理及其推论的证明。

教学难点圆周角定理及其推论的证明。

课前准备圆规、尺子、量角器教学过程活动目的一新课引入请观察比较下列两图.图1 图2二新课探究1.概念：如图2，∠ACB的顶点在，它的两边都和相交，像这样的角叫做 .2.辨析练习：判断下列图中的角哪些是圆周角： .让学生通过观察，类比圆心角定义，自主探索形成圆周角概念，使学生更好地理解概念：顶点在圆上，角的两边与圆相交，像这样的角，叫做圆周角。

学生通过抢答题，明确圆周角的两个3.动手操作，自主探索(1) 请画出下图中弧BC 所对的圆周角.(2) 猜想：作出弧BC 所对的圆心角，用量角器度量圆周角和圆心角的大小，猜想弧BC 所对的圆周角与弧BC 所对的圆心角的数量关系是： (3) 证明：结合上图（1）（2）（3）分别完成证明过程。

(4) 总结：圆周角定理：一条弧所对的等于它所对的的一半. 师生活动：引导学生通过小组交流讨论，以圆心O 与∠BAC 位置关系为分类依据，考虑下列三种情况中∠ABC 和∠AOC 之间的大小关系。

引导学生由特殊到一般地思考问题，再使用推理论证得到结论。

当学生证明了图1的情形后，让学生思考：图2、图3两种情况能否转化为第一种情况？如何转化？实际上，实现转化的方法是连接AO 并延长。

《圆周角+第1课时》教学方案

第二十四章圆24.3 圆周角第1课时圆周角一、教学目标1.了解圆周角的概念；2.掌握圆周角定理及其推论，并会熟练运用它们解决问题；3.由圆周角与圆心角的关系的探索学会以特殊情形为基础，通过转化来解决一般问题的方法，并渗透分类的数学思想；4.通过学生自主探究圆周角的概念及定理，合作交流的学习过程，体验实现自身价值的愉悦和数学的应用.二、教学重难点重点：圆周角定理及其两个推论与应用.难点：分三种情况探索圆周角定理及理解两个推论.三、教学用具多媒体课件四、教学过程设计【回顾】什么是圆心角？教师活动：教师提出问题，全班学生回顾并作答：“顶点在圆心的角叫做圆心角(如下图)”.然后教师可追问：一个三角形，当它内接于一个圆时，它的任一个角都与圆有什么位置关系？【观察思考】预设答案：①顶点在圆上；②角的两边与圆各另有一个公共点.教师活动：教师以∠A为例引导学生观察思考，找出∠A的顶点、两条边分别与圆的位置关系.进而归纳出圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆还有另一个公共点的角叫做圆周角.教师适当强调，圆周角应该满足两个条件，①顶点在圆上；②角的两边与圆各另有一个公共点.这两个条件缺一不可.【想一想】判断下列各图中，哪些是圆周角？预设答案：(1)√，(2)×，(3)×，(4)×，(5)×，(6)√.【思考】问题2：如图，△ABC是等边三角形，⊙O是其外接圆.你能发现∠BAC和∠BOC的大小有什么关系吗？预设答案：∠BAC=12∠BOC教师活动：教师提出问题，引导学生思考，因为△ABC是等边三角形，不难得出∠BAC=60°，∠AOB=∠BOC=∠AOC=120°.从而∠BAC=12∠BOC.进而教师追问：当△ABC是任意三角形时，这个结论还成立吗？如图，△ABC是⊙O的任一内接三角形.继续探究∠BAC和∠BOC的大小关系.教师活动：教师提出问题，组织学生动手测量，得出结论：∠BAC=12∠BOC.然后小组交流讨论，通过得出的结论，提出猜想.【猜想】一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半.追问：你能证明这个猜想吗？教师活动：教师提出问题后，先让学生在圆中画出同弧所对的圆心角和圆周角，引导学生观察圆心与圆周角位置，发现有3类情况：1.圆心在圆周角的一边上，如图(1)；2.圆心在圆周角的内部，如图(2)；3.圆心在圆周角的外部，如图(3).【证明】在第（1）种情况下，如何证明1=2A BOC ∠∠预设答案：∵OA=OC，∴∠A=∠C又∵∠BOC=∠A+∠C∴1=2A BOC ∠∠.教师活动：教师提出问题，带领学生分析第(1)种情况的证明思路，然后让学生自行完成第(2)、(3)种情况的证明，最终教师PPT 展示.第(2)种情形：=BAC DAC DAB +∠∠∠11=22DOC DOB +∠∠ 1=2BOC ∠ 第(3)种情形：=BAC DAC DAB -∠∠∠11=22DOC DOB -∠∠ 1=2BOC ∠ 【归纳】圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半. 【做一做】如图，在⊙O 中，∠BOC =50°，求∠A 的大小.答：25°.【思考】问题3：“在同圆或等圆中，同弧所对的圆心角相等”那么同弧所对的圆周角呢？预设答案：相等.教师活动：教师提出问题后，先让学生试着猜想，然后再验证.证明：连接OA ，OB .由圆周角定理得：11=2AC B AOB ∠∠，21=2AC B AOB ∠∠，31=2AC B AOB ∠∠.∴∠AC 1B =∠AC 2B =∠AC 3B追问1：等弧所对的圆周角呢？相等吗？教师活动：教师提出问题，学生仿照前面的思路证明，教师PPT 展示过程.证明：连接OA 、OB 、OC 、OD ；∵ AC BD =，∴∠AOC =∠BOD又∵1=2ADC AOC ∠∠，1=2BAD BOD ∠∠∴∠ADC =∠BAD. 结论：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等.追问2：反过来，在同圆或等圆中，如果圆周角相等，那它们所对的弧相等吗？预设答案：相等.教师活动：教师引导学生理解由圆周角相等，可推出所对的圆心角相等，结合“圆心角的度数与它所对的弧的度数相等”可得：在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等.从而得出圆周角定理的推论：推论1：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等.相等的圆周角所对的弧也相等.【做一做】如图，AB是直径，C是圆上任意一点(不与A、B重合)，求∠ACB=°.预设答案：90.教师活动：教师提出问题，学生应用所学知识作答.在学生得到结果后，教师追问：如果∠ACB=90°，能得出AB是直径吗？引导学生得出答案后，归纳总结圆周角定理的另一个推论：推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径.【归纳】【典型例题】教师活动：教师提出问题，学生先独立思考，解答.然后再小组交流探讨，教师巡视，如遇到有困难的学生适当点拨，最终教师展示答题过程.例1 如图，AB为⊙O的直径，弦CD交AB 于点P，∠ACD=60°，∠ADC=70°. 求∠APC的度数.解：连接BC，则∠ACB=90°，∠DCB=∠ACB-∠ACD=90°-60°=30°.又∵∠BAD=∠DCB=30°，∴∠APC=∠BAD+∠ADC=30°+70°=100°.教师活动：教师给出练习，随时观察学生完成情况并相应指导，最后给出答案，根据学生完成情况适当分析讲解.1.如图，四边形ABCD的四个顶点在⊙O上，找出图中分别与∠1、∠2、∠3、∠4相等的角.解：∠1=∠CBD；∠2=∠ACB；∠3=∠CAB；∠4=∠ABD.2.如图AB是⊙O的直径，C，D是圆上的两点，若∠ABD=40°，则∠BCD=＿＿＿.答：50°.3.已知：如图，OA，OB，OC都是⊙O的半径，∠AOB=2∠BOC.求证：∠ACB=2∠BAC.解：∵∠AOB=2∠ACB，∠AOB=2∠BOC，∴∠ACB=∠BOC.∵∠BOC=2∠BAC，∴∠ACB=2∠BAC.4.证明：如果三角形一边上的中线等于该边的一半，那么这个三角形是直角三角形.已知：△ABC中，OB是AC边的中线，且OB=12 AC.求证：△ABC是直角三角形.证明：由题意得：OA=OB=OC.即△ABC三个顶点都在以点O为圆心，OA的长为半径的圆上.∵AC是⊙O的直径，根据直径所对的圆周角是90°可得：∠ABC=90°，即△ABC是直角三角形.思维导图的形式呈现本节课的主要内容：教科书第31页习题24.3第1、2题.。