复变函数第四版课后习题答案

合集下载

高等教育出版社《复变函数》与《积分变换》第四版课后习题参考答案

π 3
+
isin
π 3
⎟⎞ ⎠
=
i
2e
π 3
；
（4）1− cosϕ
+
isinϕ
=
2sin 2
ϕ 2
+ i2sin
ϕ 2
ϕ cos
2
=
2sin
ϕ 2
⎛ ⎜⎝
sin
ϕ 2
+
ϕ icos
2
⎞ ⎟⎠
=
2sin
ϕ
⎜⎛ cos
π
−ϕ
+ isin
π
−ϕ
⎟⎞
=
2sin
ϕ
i π−ϕ
e2
, (0
≤ϕ
≤
π)
；
2⎝ 2
2⎠
x2 − y2 + 2ixy = x2 + y2 ，即 x2 − y2 = x2 + y2 , xy = 0 。由此可得 z 为实数。
6．当 | z |≤ 1 时，求 | zn + a | 的最大值，其中 n 为正整数，a 为复数。
解：由于
zn
+
a
≤ |z|n
+ |a| ≤ 1 + |a| ，且当
z
⎜⎝⎛i8 − 4i21 + i⎟⎠⎞ = 1 + 3i ， | i8 − 4i21 + i |= 10

复变函数课后部分答案讲解

知识点3.
课堂练习：
2.若(1 i)n (1 i)n , 试求n的值。
解：由已知可得，
n
22 (cos
n
i sin
n
)

n
22 (cos
n
i sin
n
),
即
4
4Leabharlann Baidu
4
4
sin n sin n
4
4
n n 2k.
44
则n 4k, k Z.
解：
1）（1 i 3）10 [2(cos 2 i sin 2 )]10
3
3
210 (cos 20 i sin 20 )
3
3
1024(cos 2 i sin 2 )
3
3
512 i512 3.
5.指出下列各题中点z的轨迹，并作图： 1）z 2 3i 5;
知识点4. 知识点5.
知识点6.
课堂练习： 4.讨论函数f (z) x3 i(1 y)3的可导性与解析性。
解：因为u x3, v (1 y)3,
所以 u 3x2, v 3(1 y)2,
x
y
u 0, v 0,
y
x
由这四个偏导数连续，可知u,v在整个复平面可微；
x

复变函数第四版的第五章答案

复变函数第四版的第五章答案【篇一：安徽工业大学复变函数与积分变换客观题

5(第五章)】

数

一、选择题： 1．函数

cot?z

在z?i?2内的奇点个数为 ( )

2z?3

（a）1 （b）2（c）3 （d）4

2．设函数f(z)与g(z)分别以z?a为本性奇点与m级极点，则z?a 为函数f(z)g(z) 的( )

（a）可去奇点（b）本性奇点

（c）m级极点（d）小于m级的极点

1?ex

3．设z?0为函数4的m级极点，那么m?( )

zsinz

（a）5 （b）4 (c)3（d）2 4．z?1是函数(z?1)sin

的( ) z?1

(a)可去奇点（b）一级极点（c）一级零点（d）本性奇点

3?2z?z3

5．z??是函数的( )

(a)可去奇点（b）一级极点（c）二级极点（d）本性奇点 6．设f(z)?

?anzn在z?r内解析，k为正整数，那么res[

n?0

f(z)

,0]?( ) kz

（a）ak （b）k!ak（c）ak?1 （d）(k?1)!ak?1 7．设z?a为解析函数f(z)的m级零点，那么res[

f?(z)

,a]?( ) f(z)

(a)m （b）?m（c） m?1 （d）?(m?1) 8．在下列函数中，

res[f(z),0]?0的是（）

ez?1sinz1

（a） f(z)?（b）f(z)?? 2

zzz

（c）f(z)?

sinz?cosz11

? (d) f(z)?z

ze?1z

9．下列命题中，正确的是() （a）设f(z)?(z?z0)

?(z)，?(z)在z0点解析，m为自然数，则z0为f(z)的m级极点．（b）如果无穷远点?是函数f(z)的可去奇点，那么res[f(z),?]?0 （c）若z?0为偶函数f(z)的一个孤立奇点，则res[f(z),0]?0 （d）

复变函数课后习题答案(全)

习题一答案

1．求下列复数的实部、虚部、模、幅角主值及共轭复数：

（1）1

32i

+ （2）(1)(2)i i i --

（3）131i i i

-- （4）821

4i i i -+-

解：（1）1323213i

z i -==

+，因此：32

Re , Im 1313z z ==-，

1232, arg arctan , 3131313

z z z i ==-=+

（2）3(1)(2)1310

i i i

z i i i -+===

---，因此，31

Re , Im 1010

z z =-=，

1131, arg arctan , 3101010

z z z i π==-=--

（3）133335122

i i i

z i i i --=-=-+=

-，因此，35

Re , Im 32z z ==-，

34535, arg arctan , 232

i z z z +==-=

（4）821

41413z i i i i i i =-+-=-+-=-+

因此，Re 1, Im 3z

z =-=，

10, arg arctan3, 13z z z i π==-=--

2．将下列复数化为三角表达式和指数表达式：（1）i （2）13i -+ （3）(sin cos )r i θθ+

（4）(cos sin )r i θθ- （5）1cos sin (02)i θθθπ-+≤≤

解：（1）2

cos

sin

i e π

=+=

（2）13i -+23

222(cos sin )233

i i e πππ=+=

（3）(sin cos )r i θθ+()2

复变函数(第四版)课后习题答案

解：设 A = a1 + ib1 ， z1 = x1 + iy1 ， z = x + iy ，则有 1） z = z1 + A ；2） z = z1(cosα + i sinα ) = z1eiα 。
10．一个复数乘以-i，它的模与辐角有何改变？
( ) 解：设复数 z =| z | eiArgz ，则 z − i
1
i⎜⎛ − π +2kπ ⎟⎞ 3
2e−iπ/4 3 = 6 2e ⎝ 4 ⎠ ,
k = 0,1,2 。
可知 (1− i)1/3 的 3 个值分别是
6 2e−iπ / 2 = 6 2⎜⎛ cos π − i sin π ⎟⎞,
⎝ 12
12 ⎠
6 2ei7π /12 = 6 2⎜⎛ cos 7π + i sin 7π ⎟⎞,
i
⎟⎞ ⎠
+
2kπ
= − arctan 2 + 2kπ , k = 0,±1,±2," 3
（2）
1 i
−
3i 1−i
=
−i
i(− i)
−
3i(1 + i) (1 − i)(1 + i)
=
−i
−
1 2
(−
3
+
3i)
=
3 2

《复变函数与积分变换》(西安交大-第四版)课后答案解析

m 10．一个复数乘以-i，它的模与辐角有何改变？
o ( ) 解：设复数 z =| z | eiArgz ，则 z − i
=|
z
|
ei Arg z
⋅
−i π
e2
i⎜⎛ Arg z− π
= |z|e ⎝ 2
⎟⎞ ⎠
，可知复数的模不变，
网 c 辐角减少π 。 2
案 . 11．证明：| z1 + z2 |2 + | z1 − z2 |2 = 2(| z1 |2 + | z2 |2 ) ，并说明其几何意义。
6．当 | z |≤ 1 时，求 | zn + a | 的最大值，其中 n 为正整数，a 为复数。
解：由于
zn
+
a
≤ |z|n
+ |a| ≤ 1 + |a| ，且当
z
=
arg a i
en
时，有
om ( ) | zn + a|=
⎜⎜⎝⎛
i
e
arg n
a
⎟⎞n ⎟⎠
+ |a|eiarg a
=
1+ a
ei arg a
= 1 + |a|
网 c 故1+ | a | 为所求。
8．将下列复数化成三角表示式和指数表示式。
案 . （1）i；答 w （4）1− cosϕ + isinϕ(0 ≤ ϕ ≤ π)；

高等教育出版社《复变函数》与《积分变换》第四版课后习题参考答案

i
⎟⎞ ⎠
+
2kπ
= − arctan 2 + 2kπ , k = 0,±1,±2," 3
（2）
1 i
−
3i 1−i
=
−i
i(− i)
−
3i(1 + i) (1 − i)(1 + i)
=
−i
−
1 2
(−
3
+
3i)
=
3 2
−
5 2
i,
所以
Re⎩⎨⎧1i
−
3i 1−i
⎫ ⎬ ⎭
=
3 2
,
Im⎩⎨⎧1i
−
⎝ 12
12 ⎠
6 2ei5π / 4 = 6 2⎜⎛ cos 5π + i sin 5π ⎟⎞ 。
⎝4
4⎠
15．若 (1+ i)n = (1− i)n ，试求 n 的值。
5
解由题意即 ( 2eiπ / 4 )n = ( 2e−iπ / 4 )n , einπ / 4 = e−inπ / 4 ， sin n π = 0 ， 4
eiπ/6 = 3 + i , eiπ/2 = i ， eii5π/6 = − 3 + i
22
22
ei7π/6 = − 3 − i ， ei3π/2 = − i ， ei11π/4 = 3 − i 。

复变函数第四版余家荣答案

【篇一：1第一章复数与复变函数】

京

第一章复数与复变函数

1 复数及其代数运算

1.复数的概念①

在解方程时，有时会遇到负数开方的问题，但在实数范围内负数是不能开平方的。为此，需要扩大数系。

我们给出如下的代数形式的复数定义：复数的代数定义：

把有序实数对(x,y)作代数组合所确定的形如x?iy的数称为（代数形式的）复数，记为

z?x?iy，

其中，i满足i??1。我们称i为虚单位；实数x和y分别称为复数z 的实部和虚部，并记为x?rez，

y?imz。

特别地，当imz?0时，z?x?i0?rez?x是实数；当rez?0时且

imz?0时，z?iimz?iy称为纯虚数；虚部不为零的复数称为虚数（即不为实数的复数称为虚数）；z?0当且仅当rez?0且imz?0，即复

数0?0?i?0。

z1?z2当且仅当rez1?rez2且imz1?imz2。

2.复数的代数运算

2.1 四则运算

设z1?x1?iy1，z2?x2?iy2为任意两个复数，它们的四则运算定义为: 加法：z1?z2?(x1?x2)?i(y1?y2) 减法：z1?z2?(x1?x2)?i(y1?y2) 乘法：z1z2?(x1x2?y1y2)?i(x1y2?x2y1) 除法：

z1x1x2?y1y2y1x2?x1y2

（z2?0） ??i2222

z2x2?y2x2?y2

【注】：

(1).可见，复数的四则运算，可以按照多项式的四则运算进行，只要注意将i换成?1。

(2).关于除法的具体操作可以按两种方法来进行：

①.先看成分式的形式，然后分子分母同乘以一个与分母的实部相等而虚部只相差一个正负号的

《复变函数与积分变换》(西安交大_第四版)课后答案

网
Re i8 − 4i 21 + i = 1, Im i8 − 4i 21 + i = −3
{
}
{
co
}
k = 0,±1,±2, ".
= 1 − 4i + i = 1 − 3i
m
（4） i 8 − 4i 21 + i = i 2 − 4 i 2 i + i = (− 1)4 − 4(− 1)10 i + i
其几何意义平行四边形的对角线长度平方的和等于四个边的平方的和。 12．证明下列各题：
1）任何有理分式函数 R ( z ) =
ww
的根，那么 a − ib 也是它的根。证 1） R ( z ) =
w.
2） R ( z ) = 3）事实上
有实系数的 x 与 y 的有理分式函数；
2）如果 R ( z ) 为 1）中的有理分式函数，但具有实系数，那么 R ( z ) = X − iY ； 3）如果复数 a + ib 是实系数方程
2
2
m
2 ⎧ 1 ⎫ ⎧ 1 ⎫ 3 Re⎨ ⎬ = ， Im⎨ ⎬=− , 13 ⎩ 3 + 2 i ⎭ 13 ⎩ 3 + 2i ⎭
课后答案网 www.khdaw.com
⎡ (3 + 4i )(2 − 5i ) ⎤ 7 ⎢ ⎥ = − + l3i 2i 2 ⎣ ⎦

高等教育出版社《复变函数》与《积分变换》第四版课后习题参考答案

3 + 2i 13
3 + 2i ⎝ 13 ⎠ ⎝ 13 ⎠ 13
Arg⎜⎛ ⎝
3
1 +2
i
⎟⎞ ⎠
=
arg⎜⎛ ⎝
3
1 +2
i
⎟⎞ ⎠
+
2kπ
= − arctan 2 + 2kπ , k = 0,±1,±2," 3
（2）
1 i
−
3i 1−i
=
−i
i(− i)
−
3i(1 + i) (1 − i)(1 + i)
−1+i 2
2 ⎜⎜⎝⎛
1 −i 2
1 2
⎟⎟⎠⎞
= 2⎜⎛ cos π − isin π ⎟⎞
⎝4
4⎠
−i π
= 2e 4
( ) ( ) (( )) （6）
cos5ϕ + isin5ϕ cos3ϕ − isin3ϕ
2
=
3
ei5ϕ
2
/
e−i3ϕ
3 = ei10ϕ /e−i9ϕ = ei19ϕ
3
= cos19ϕ + isin19ϕ
（2）原方程的特征方程 λ3 + 8 = 0 有根 λ1 = 1 + 3 i ， λ2 = −2 ， λ3 = 1 − 3i ，故其一般形式为

复变函数课后习题答案(全)

习题一答案1．求以下复数的实部、虚部、模、幅角主值及共轭复数：（ 1）1（2）i

2i1)(i2)

3(i

（3）1

3i（4）i84i 21i i1i

解：（ 1）z

132i 32i13

，

所以： Re z 3,Im z2

，

13 13

（ 2）z

2)1

i3i ，1)(i3i10

所以， Re z 3 ,Im z1，

1010

（ 3）z 13i

33i35i i1i2

，

所以， Re z 3 ,Im z5，

（ 4）z i 84i 21i 1 4i i 1 3i 所以， Re z1,Im z3，

2．将以下复数化为三角表达式和指数表达式：

（ 1）i （）

13i

（） r (sin i cos ) 23

（ 4）r (cos i sin) （5）1 cos i sin(02)

解：（ 1）i cos i sin

i e2

2(cos 2

i sin

（2）13i)

i 2e3

（ 3）r (sin i cos) r[cos()i sin()]

() i re 2

（） r (cos

i sin )

r[cos( ) i sin( )] re

（5） 1 cos

i sin

2sin 2

2i sin cos

2 2 2

3．求以下各式的值：

（1）( 3

i)5

（ 2） (1 i )100

(1 i)100

3i )(cos

i sin

)

(cos5 i sin 5 )2 （3）

i )(cos

i sin ) （4）

(cos3 i sin 3 )3

（5） 3

i （ 6）

1 i

解：（ 1） ( 3 i )5

[2(cos(

《复变函数与积分变换》(西安交大-第四版)课后答案

习题一解答

1．求下列复数的实部与虚部、共轭复数、模与辐角。（1）

i 231+；（2）i

13i i 1−−；（3）

()()2i 5i 24i 3−+；（4）

i 4i i 218+−解（1）()()()2i 313

2i 32i 32i 32i 31−=−+−=

+ 所以

133

=⎭⎬⎫⎩⎨⎧+i 231Re ，1322i 31Im −=⎭

⎬⎫⎩⎨⎧+,

()2i 31312i 31+=+，131********i 312

2=⎟⎠

⎞

⎜⎝⎛−+⎟⎠⎞⎜⎝⎛=+， k π2i 231arg i 231Arg +⎟⎠

⎞

⎜⎝⎛+=⎟⎠⎞⎜⎝⎛+

",2,1,0,23

arctan ±±=+−=k k π

（2）()()()()i,25233i 321i i)

(1i 1i 13i i i i i 13i i 1−=+−−−=+−+−

−−=−− 所以

3i 13i i 1Re =⎭⎬⎫⎩⎨⎧−− 25i 13i i 1Im −=⎭

⎬⎫

⎩⎨⎧−−

i 23i 13i i 1+=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−，2342523i 13i i 12

=⎟⎠

⎞⎜⎝⎛−+⎟⎠⎞⎜⎝⎛=−−， k π2i 1i 3i 1arg i 1i 3i 1Arg +⎟⎠

⎞

⎜⎝⎛−−=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−− ",±,±,=,+−=21023

arctan k k π.

（3）

()()()()()()()()()4

2i 7i 262i 2i 2i 5i 24i 32i 5i 24i 3−−=−−−+=−+ 13i 2

226i 7−−=−−=

复变函数课后习题答案（全）第四版

习题一答案

1．求下列复数的实部、虚部、模、幅角主值及共轭复数：

（1）

32i

+ （2）(1)(2)i i i --

（3）131i i i

-- （4）821

4i i i -+-

解：（1）1323213i

z i -==

+，因此：32

Re , Im 1313z z ==-，

1232, arg arctan , 3131313

z z z i ==-=+

（2）3(1)(2)1310

i i i

z i i i -+===

---，因此，31

Re , Im 1010

z z =-=，

1131, arg arctan , 3101010

z z z i π==-=--

（3）133335122

i i i

z i i i --=-=-+=

-，因此，35

Re , Im 32z z ==-，

34535, arg arctan , 232

i z z z +==-=

（4）821

41413z i i i i i i =-+-=-+-=-+

因此，Re 1, Im 3z z =-=，

10, arg arctan3, 13z z z i π==-=--

2．将下列复数化为三角表达式和指数表达式：（1）i （2）13i -+ （3）(sin cos )r i θθ+

（4）(cos sin )r i θθ- （5）1cos sin (02)i θθθπ-+≤≤

解：（1）2

cos

sin

i e π

=+=

（2）13i -+23222(cos sin )233

i i e πππ=+=

（3）(sin cos )r i θθ+()2[cos()sin()]22i

《复变函数与积分变换》(西安交大-第四版)课后答案

−7 − 26i 7 = − − 13i 2 2
w.
2
案
网
⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞ Arg⎜ ⎟ = arg⎜ ⎟ + 2kπ ⎝ 3 + 2i ⎠ ⎝ 3 + 2i ⎠
co
1 1 1 13 ⎛3⎞ ⎛ 3⎞ = (3 + 2i ) ， = ⎜ ⎟ + ⎜− ⎟ = ， 3 + 2i 13 3 + 2i 13 13 13 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
网
Re i8 − 4i 21 + i = 1, Im i8 − 4i 21 + i = −3
{
}
{
co
}
k = 0,±1,±2, ".
= 1 − 4i + i = 1 − 3i
m
（4） i 8 − 4i 21 + i = i 2 − 4 i 2 i + i = (− 1)4 − 4(− 1)10 i + i
所以
kh
=
da
⎧1 3i ⎫ 3 Re⎨ − ⎬= , ⎩i 1− i ⎭ 2 5 ⎧1 3i ⎫ Im⎨ − ⎬=− i 1 i 2 − ⎩ ⎭
2
课
后
2 + 2kπ , k = 0,±1,±2, " 3 −i 3 5 1 1 3i 3i(1 + i ) = （2） − = −i − (− 3 + 3i ) = − i, − 2 2 2 i 1 − i i(− i ) (1 − i )(1 + i) = − arctan

复变函数—课后答案习题四解答

习题四解答

1．下列数列{}n α是否收敛？如果收敛，求出它们的极限：

1）1i 1i n n n α+=−；2）i 1;2n

n α−⎛⎞=+⎜⎟⎝⎠

3）i (1);1n

n n α=−++4）；5）

i /2n n e πα−=i /21n n e n

πα−=

解 1）2221i 12i 1i 11n n n n n n n α+−==+−++，又2212lim 1,lim 011n n n n

n n

→∞→∞−2=−=++n ，故α收敛，lim 1n n α→∞

=−

）i 12n n

i n θα−−⎞⎛

⎞=+=⎜⎟

⎟⎝⎠

⎠

，又lim 0n

i n θ−→∞⎞

=⎟⎠

，故n α收敛，lim 0n n α→∞

= 3）由于n α的实部{

}(1)n

−发散，故n

发散

4）由于i /2

cos

isin 22

n n n n e πππ

α−==−，其实部、虚部数列均发散，故n α发散 5）i /2111cos i sin 22n n n n e

n n n πππα−=

=−，知11lim cos 0,lim sin 022

n n n n n n ππ

→∞→∞==，故n α收敛，lim 0n n α→∞

2．证明：

0,||<1,,||>1,lim 1,1,||=1, 1.

n n αααααα→∞⎧⎪∞⎪

=⎨=⎪

⎪≠⎩不存在， 3．判断下列级数的绝对收敛性与收敛性：

1）1i n n n ∞

=∑； 2）2

i ln n

n n ∞

=∑； 3）1(6+5i)8n

n n ∞

=∑； 4）2

cosi 2n

n n ∞

=∑。解 1）由i cos

复变函数 第四版 课后习题答案

高等教育出版社《复变函数》与《积分变换》第四版课后习题参考答案

复变函数课后部分答案讲解

复变函数第四版的第五章答案

复变函数课后习题答案(全)

复变函数(第四版)课后习题答案

《复变函数与积分变换》(西安交大-第四版)课后答案解析

高等教育出版社《复变函数》与《积分变换》第四版课后习题参考答案

复变函数第四版余家荣答案

《复变函数与积分变换》(西安交大_第四版)课后答案

高等教育出版社《复变函数》与《积分变换》第四版课后习题参考答案

复变函数课后习题答案(全)

《复变函数与积分变换》(西安交大-第四版)课后答案

复变函数课后习题答案（全）第四版

《复变函数与积分变换》(西安交大-第四版)课后答案

复变函数—课后答案习题四解答

复变函数第四版课后习题答案