复变函数 第四版 课后习题答案
复变函数论第四版答案钟玉泉
复变函数论第四版答案钟玉泉（1）提到复变函数，首先需要了解复数的基本性质和四则运算规则。
怎么样计算复数的平方根，极坐标与xy 坐标的转换，复数的模之类的。
这些在高中的时候基本上都会学过。
（2）复变函数自然是在复平面上来研究问题，此时数学分析里面的求导数之类的运算就会很自然的引入到复平面里面，从而引出解析函数的定义。
那么研究解析函数的性质就是关键所在。
最关键的地方就是所谓的Cauchy—Riemann 公式，这个是判断一个函数是否是解析函数的关键所在。
（3）明白解析函数的定义以及性质之后，就会把数学分析里面的曲线积分的概念引入复分析中，定义几乎是一致的。
在引入了闭曲线和曲线积分之后，就会有出现复分析中的重要的定理：Cauchy 积分公式。
这个是复分析的第一个重要定理。
（4）既然是解析函数，那么函数的定义域就是一个关键的问题。
可以从整个定义域去考虑这个函数，也可以从局部来研究这个函数。
这个时候研究解析函数的奇点就是关键所在，奇点根据性质分成可去奇点，极点，本性奇点三类，围绕这三类奇点，会有各自奇妙的定理。
（5）复变函数中，留数定理是一个重要的定理，反映了曲线积分和零点极点的性质。
与之类似的幅角定理也展示了类似的关系。
（6）除了积分，导数也是解析函数的一个研究方向。
导数加上收敛的概念就可以引出Taylor 级数和Laurent 级数的概念。
除此之外，正规族里面有一个非常重要的定理，那就是Arzela 定理。
（7）以上都是从分析的角度来研究复分析，如果从几何的角度来说，最重要的定理莫过于Riemann 映照定理。
这个时候一般会介绍线性变换，就是Mobius 变换，把各种各样的区域映射成单位圆。
研究Mobius 变换的保角和交比之类的性质。
（8）椭圆函数，经典的双周期函数。
这里有Weierstrass 理论，是研究Weierstrass 函数的，有经典的微分方程，以及该函数的性质。
以上就是复分析或者复变函数的一些课程介绍，如果有遗漏或者疏忽的地方请大家指教。
复变函数课后习题答案(全)
创作编号：BG7531400019813488897SX创作者：别如克*习题一答案1．求下列复数的实部、虚部、模、幅角主值及共轭复数：（1）132i+（2）(1)(2)ii i--（3）131ii i--（4）8214i i i-+-解：（1）1323213i zi-==+，因此：32 Re, Im1313 z z==-，232arg arctan,31313z z z i==-=+（2）3(1)(2)1310i i izi i i-+===---，因此，31Re, Im1010z z=-=，131arg arctan,31010 z z z iπ==-=--（3）133335122i i iz ii i--=-=-+=-，因此，35Re, Im32z z==-，535,arg arctan,232iz z z+ ==-=（4）82141413z i i i i i i=-+-=-+-=-+因此，Re1,Im3z z=-=，arg arctan3,13z z z iπ==-=--2． 将下列复数化为三角表达式和指数表达式： （1）i （2）1-+ （3）(sin cos )r i θθ+（4）(cos sin )r i θθ-（5）1cos sin (02)i θθθπ-+≤≤解：（1）2cossin22iii e πππ=+=（2）1-+23222(cos sin )233i i e πππ=+=（3）(sin cos )r i θθ+()2[cos()sin()]22ir i reπθππθθ-=-+-=（4）(cos sin )r i θθ-[cos()sin()]i r i re θθθ-=-+-=（5）21cos sin 2sin 2sin cos 222i i θθθθθ-+=+ 22sin [cossin]2sin 2222ii eπθθπθπθθ---=+=3． 求下列各式的值：（1）5)i - （2）100100(1)(1)i i ++-（3）(1)(cos sin )(1)(cos sin )i i i θθθθ-+-- （4）23(cos5sin 5)(cos3sin 3)i i ϕϕϕϕ+-（5（6解：（1）5)i -5[2(cos()sin())]66i ππ=-+-5552(cos()sin()))66i i ππ=-+-=-+（2）100100(1)(1)i i ++-50505051(2)(2)2(2)2i i =+-=-=-（3）(1)(cos sin )(1)(cos sin )i i i θθθθ-+--2[cos()sin()](cos sin)33)sin()][cos()sin()]44i ii iππθθππθθ-+-+=-+--+-)sin()](cos2sin2)1212i iππθθ=-+-+(2)12)sin(2)]1212iiπθππθθ-=-+-=（4）23(cos5sin5)(cos3sin3)iiϕϕϕϕ+-cos10sin10cos19sin19cos(9)sin(9)iiiϕϕϕϕϕϕ+==+-+-（5=11cos(2)sin(2)3232k i kππππ=+++1,0221,122,2i ki ki k+=⎪⎪⎪=-+=⎨⎪-=⎪⎪⎩（6=11(2)sin(2)]2424k i kππππ=+++88,0,1iie ke kππ==⎪=⎩4．设12,z z i==-试用三角形式表示12z z与12zz解：12cos sin, 2[cos()sin()]4466 z i z iππππ=+=-+-，所以12z z 2[cos()sin()]2(cos sin )46461212i i ππππππ=-+-=+，12z z 1155[cos()sin()](cos sin )2464621212i i ππππππ=+++=+ 5． 解下列方程： （1）5()1z i += （2）440 (0)z a a +=>解：（1）z i += 由此25k i z i ei π=-=-， (0,1,2,3,4)k =（2）z==11[cos (2)sin (2)]44a k i k ππππ=+++，当0,1,2,3k =时，对应的4个根分别为：(1), 1), 1), )i i i i +-+--- 6． 证明下列各题：（1）设,zx iy =+z x y≤≤+证明：首先，显然有z x y =≤+；创作编号：BG7531400019813488897SX创作者： 别如克*其次，因222,x y x y +≥ 固此有2222()(),x y x y +≥+从而z =≥。
《复变函数》第四版习题解答第3章
-1-
∫ ∫
C
Re[ f (z )]dz = Im[ f (z )]dz =
∫ ∫
2π
0 2π
Re e iθ de iθ = cos θ (− sin θ + i cos θ )dθ = π i ≠ 0
[ ]
∫
2π
0
C
0
Im e iθ deiθ = sin θ (− sin θ + i cos θ )dθ = −π ≠ 0
3．设 f ( z ) 在单连域 D 内解析，C 为 D 内任何一条正向简单闭曲线，问
∫
解
C
Re[ f (z )]dz =
∫
C
Im[ f (z )]dz = 0
是否成立，如果成立，给出证明；如果不成立，举例说明。 未必成立。令 f ( z ) = z ， C : z = 1 ，则 f ( z ) 在全平面上解析，但是
e z dz v ∫C z 5 ， C :| z |= 1
= 2πe 2 i
解
（1）由 Cauchy 积分公式， ∫ 解 1： ∫ 解 2： ∫
C
ez dz = 2π i e z z−2
z =2
（2）
C
1 dz 1 = ∫ z + a dz = 2π i 2 2 C z−a z+a z −a
2
=
z =a
=0
（8）由 Cauchy 积分公式， （9）由高阶求导公式， ∫
v ∫
C
sin zdz = 2π i sin z |z =0 = 0 z
2
sin z
C
π⎞ ⎛ ⎜z − ⎟ 2⎠ ⎝
dz = 2π i(sin z )'
复变函数(第四版)课后习题答案
3 = ei10ϕ /e−i9ϕ = ei19ϕ
3
= cos19ϕ + isin19ϕ
9．将下列坐标变换公式写成复数的形式：
1）平移公式：
⎧ ⎨ ⎩
x y
= =
x1 y1
+ +
a1, b1;
2）旋转公式：
⎧ ⎨ ⎩
x y
= =
x1 x1
cosα sin α
− +
y1 y1
sinα , cos α .
⎜⎝⎛i8 − 4i21 + i⎟⎠⎞ = 1 + 3i ， | i8 − 4i21 + i |= 10
( ) ( ) Arg i8 − 4i21 + i = arg i8 − 4i21 + i + 2kπ = arg(1 − 3i) + 2kπ
= −arctan3 + 2kπ k = 0,±1,±2,".
4．证明
1) | z |2 = zz #
6) Re(z) = 1 (z + z), Im(z) = 1 (z − z )
2
2i
2
证明：可设 z = x + iy ，然后代入逐项验证。
5．对任何 z ， z2 =| z |2 是否成立？如果是，就给出证明。如果不是，对 z 那些
值才成立？
解：设 z = x + iy ，则要使 z2 =| z |2 成立有
34
= 1 [5x + 3y − 4]+ i(− 3x + 5y −18) = 1 + i
34
比较等式两端的实、虚部，得
⎧ 5x + 3y − 4 = 34 ⎩⎨− 3x + 5y −18 = 34
复变函数课后习题答案(全)
习题一答案1．求下列复数的实部、虚部、模、幅角主值及共轭复数：（1）132i+（2）(1)(2)ii i--（3）131ii i--（4）8214i i i-+-解：（1）1323213i zi-==+，因此：32 Re, Im1313 z z==-，232arg arctan,31313z z z i==-=+（2）3(1)(2)1310i i izi i i-+===---，因此，31Re, Im1010z z=-=，131arg arctan,31010z z z iπ==-=--（3）133335122i i iz ii i--=-=-+=-，因此，35Re, Im32z z==-，535,arg arctan,232iz z z+==-=（4）82141413z i i i i i i=-+-=-+-=-+因此，Re1,Im3z z=-=，arg arctan3,13z z z iπ==-=--2．将下列复数化为三角表达式和指数表达式：（1）i（2）1-+（3）(sin cos)r iθθ+（4）(cos sin)r iθθ-（5）1cos sin (02)iθθθπ-+≤≤解：（1）2cossin22ii i e πππ=+=（2）1-+23222(cos sin )233i i e πππ=+=（3）(sin cos )r i θθ+()2[cos()sin()]22ir i reπθππθθ-=-+-=（4）(cos sin )r i θθ-[cos()sin()]i r i re θθθ-=-+-=（5）21cos sin 2sin2sin cos 222i i θθθθθ-+=+ 22sin [cossin]2sin 2222ii eπθθπθπθθ---=+=3． 求下列各式的值：（1）5)i - （2）100100(1)(1)i i ++-（3）(1)(cos sin )(1)(cos sin )i i i θθθθ-+-- （4）23(cos5sin 5)(cos3sin 3)i i ϕϕϕϕ+-（5（6解：（1）5)i -5[2(cos()sin())]66i ππ=-+-5552(cos()sin()))66i i ππ=-+-=-+（2）100100(1)(1)i i ++-50505051(2)(2)2(2)2i i =+-=-=-（3）(1)(cos sin )(1)(cos sin )i i i θθθθ-+--2[cos()sin()](cos sin )33)sin()][cos()sin()]44i i i i ππθθππθθ-+-+=-+--+-)sin()](cos2sin 2)1212i i ππθθ=-+-+(2)12)sin(2)]1212ii πθππθθ-=-+-=（4）23(cos5sin 5)(cos3sin 3)i i ϕϕϕϕ+- cos10sin10cos19sin19cos(9)sin(9)i i i ϕϕϕϕϕϕ+==+-+-（5=11cos (2)sin (2)3232k i k ππππ=+++1, 0221, 122, 2i k i k i k +=⎪⎪⎪=-+=⎨⎪-=⎪⎪⎩（6=11(2)sin (2)]2424k i k ππππ=+++88, 0, 1i i e k e k ππ==⎪=⎩4．设12 ,z z i ==-试用三角形式表示12z z 与12z z 解：12cossin, 2[cos()sin()]4466z i z i ππππ=+=-+-，所以12z z 2[cos()sin()]2(cos sin )46461212i i ππππππ=-+-=+，12z z 1155[cos()sin()](cos sin )2464621212i i ππππππ=+++=+5． 解下列方程： （1）5()1z i += （2）440 (0)z a a +=>解：（1）z i += 由此25k i z i ei π=-=-， (0,1,2,3,4)k =（2）z==11[cos (2)sin (2)]44a k i k ππππ=+++，当0,1,2,3k =时，对应的4(1), 1), 1), )i i i i +-+--- 6． 证明下列各题：（1）设,z x iy =+z x y≤≤+证明：首先，显然有z x y =≤+；其次，因222,x y x y +≥固此有2222()(),x y x y +≥+从而z =≥。
2023大学_工程数学《复变函数》西安交通大学第四版课后答案下载
2023工程数学《复变函数》西安交通大学第四版课后答案下载工程数学《复变函数》内容简介第一章复数与复变函数第一节复数及其运算第二节复数的几何表示第三节复数的乘幂与方根第四节复平面上的点集第五节复变函数第六节复变函数的极限与连续性小结习题第二章解析函数第一节复变函数的导数第二节解析函数第三节初等函数小结习题第三章复变函数的积分第一节复变函数的积分第二节柯西积分定理第三节不定积分第四节柯西积分公式第五节调和函数小结习题第四章解析函数的级数表示第一节复数项级数第二节幂级数第三节泰勒级数第四节洛朗级数小结习题第五章留数定理及其应用第一节孤立奇点第二节留数定理第三节应用留数定理计算实积分第四节辐角原理小结习题第六章保形映射第一节复平面上的曲线及其简单性质第二节保形映射第三节几个初等函数构成的映射第四节分式线性映射第五节关于保形映射的例题第六节几个特殊的保形映射和一般性定理第七节保形映射的一个应用小结习题第七章傅立叶变换第一节傅立叶变换第二节傅立叶变换的性质小结习题第八章拉普拉斯变换第一节拉普拉斯变换第二节拉普拉斯变换的性质第三节拉普拉斯逆变换小结习题习题解答工程数学《复变函数》图书目录本书是根据复变函数课程教学基本要求编写的，全书共八章，包括复数与复变函数、解析函数、复变函数的积分、解析函数的'级数表示、留数定理及其应用、保形映射、傅立叶变换、拉普拉斯变换，每章末有小结，以帮助学生掌握要点;书后附有习题答案，供学生参考。
书中带“__”号内容，可供各专业选用。
复变函数课后习题答案（全）
复变函数课后习题答案（全）习题一答案1.求下列复数的实部、虚部、模、幅角主值及共轭复数: (3) 13i(4).8 21 .i 4i ii 1 i13 2i 解： (1) z3 2i 131 3i .3 3i 3 5i(3) z -ii 1 i2 2 因此, Rez 35 Im z532(4).8 z i 4i 21 i1 4i i1 3i因此, Rez 1, Im z 3,2.将下列复数化为二角表达式和指数表达式:(1)i (2) 1 Vi (3)r(si ni cos )(4) r(cosisin )( 5) 1 cos i sin(02 )解： (1) i cosi sin - —i-e 22 22一i(2) 1 2(cosi..2 isin32e 3 (3) r(sin icos ) r[cos (-i sin(-)](1)13~2\(2) \ (\ 1)(\ 2)因此：Rez3 13 Im z2 13(2)zi (i 1)(i 2)i 1 3i 3 i 10因此，Rez3 10Im z 1 10(4) r(cos isin ) r[cos( ) i sin( )] re(5) 1 cos isin 2sin 2i sin — cos-2 23.求下列各式的值:(1) (\3 i)5(2)(1 100i) (1 100i)(3) (1 \3i)(cos(1 i)(cos isin )i sin ) 2(cos5 isin5 )3(cos3 isin 3(5) (6) d i解: (1) (七i)5[2(cos(舌)isin( -))]5 6(2) (1 100i) (1 100 50i) (2i) (2i)502(2)50251(3) (1 i sin ) (1 i)(cos isin )(4)2 (cos5 isin5 )(cos3 isin3 )3(5) cos— isin —2 2\ 2(cos —isin )44.设z-ii,试用三角形式表示z1z2与-ZZ2解：z1 cos i sin , z24 42[cos( ) i sin()]，所以6 6弓勺2[cosq g is"(4 6)]5.解下列方程:(1) (z i)5 1 (2) z4 a40 (a 0) 解：（1）z i 51,由此从而z由此，左端=右端，即原式成立。
《复变函数与积分变换》(西安交大-第四版)课后答案解析
网 c ⎜⎝⎛i8 − 4i21 + i⎟⎠⎞ = 1+ 3i ，| i8 − 4i21 + i |= 10 案 . ( ) ( ) Arg i8 − 4i21 + i = arg i8 − 4i21 + i + 2kπ = arg(1− 3i)+ 2kπ
9．将下列坐标变换公式写成复数的形式：
1）平移公式：
⎧ ⎨ ⎩
x y
= =
x1 y1
+ +
a1, b1;
2）旋转公式：
⎧ ⎨ ⎩
x y
= =
x1 x1
cosα sin α
− +
y1 y1
sinα , cos α .
解：设 A = a1 + ib1 ， z1 = x1 + iy1 ， z = x + iy ，则有 1） z = z1 + A ；2） z = z1(cosα + i sinα ) = z1eiα 。
故 n = 4k, k = 0, ±1, ±2,"。
16．（1）求方程 z3 + 8 = 0 的所有根 （2）求微分方程 y'''+8y = 0 的一般解。
( )1
π i
(1+
2k
)
解 （1） z = −8 3 = 2e 3 ，k=0,1,2。
即原方程有如下三个解：
1 + i 3, −2, 1 − i 3 。
−
5π 6
⎞ ⎟⎠
+
复变函数第四版余家荣答案
复变函数第四版余家荣答案【篇一：1第一章复数与复变函数】京1第一章复数与复变函数1 复数及其代数运算1.复数的概念①在解方程时，有时会遇到负数开方的问题，但在实数范围内负数是不能开平方的。
为此，需要扩大数系。
我们给出如下的代数形式的复数定义：复数的代数定义：把有序实数对(x,y)作代数组合所确定的形如x?iy的数称为（代数形式的）复数，记为z?x?iy，2其中，i满足i??1。
我们称i为虚单位；实数x和y分别称为复数z 的实部和虚部，并记为x?rez，y?imz。
特别地，当imz?0时，z?x?i0?rez?x是实数；当rez?0时且imz?0时，z?iimz?iy称为纯虚数；虚部不为零的复数称为虚数（即不为实数的复数称为虚数）；z?0当且仅当rez?0且imz?0，即复数0?0?i?0。
z1?z2当且仅当rez1?rez2且imz1?imz2。
2.复数的代数运算2.1 四则运算设z1?x1?iy1，z2?x2?iy2为任意两个复数，它们的四则运算定义为: 加法：z1?z2?(x1?x2)?i(y1?y2) 减法：z1?z2?(x1?x2)?i(y1?y2) 乘法：z1z2?(x1x2?y1y2)?i(x1y2?x2y1) 除法：z1x1x2?y1y2y1x2?x1y2（z2?0） ??i2222z2x2?y2x2?y22【注】：(1).可见，复数的四则运算，可以按照多项式的四则运算进行，只要注意将i换成?1。
(2).关于除法的具体操作可以按两种方法来进行：①.先看成分式的形式，然后分子分母同乘以一个与分母的实部相等而虚部只相差一个正负号的复数（在后面将会看到，这被定义为共轭复数），再进行简化；②.用复数z1?x1?iy1除以非零复数z2?x2?iy2，就是要求出这样一个复数z?x?iy，使得z1?z2?z。
按乘法的定义，为求出z需要解方程组?x2x?y2y?x1??x2y?xy2?y12.2 共轭复数复数x?iy和x?iy互称为对方的共轭复数，如果记z?x?iy，则用记其共轭复数，即?x?iy?x?iy。
复变函数课后习题答案(全)
习题一答案1．求下列复数的实部、虚部、模、幅角主值及共轭复数：（1）132i+（2）(1)(2)ii i--（3）131ii i--（4）8214i i i-+-解：（1）1323213i zi-==+，因此：32 Re, Im1313 z z==-，232arg arctan,31313z z z i==-=+（2）3(1)(2)1310i i izi i i-+===---，因此，31Re, Im1010z z=-=，131arg arctan,31010z z z iπ==-=--（3）133335122i i iz ii i--=-=-+=-，因此，35Re, Im32z z==-，535,arg arctan,232iz z z+==-=（4）82141413z i i i i i i=-+-=-+-=-+因此，Re1,Im3z z=-=，arg arctan3,13z z z iπ==-=--2．将下列复数化为三角表达式和指数表达式：（1）i（2）1-+（3）(sin cos)r iθθ+（4）(cos sin)r iθθ-（5）1cos sin (02)iθθθπ-+≤≤解：（1）2cos sin22ii i eπππ=+=（2）1-+23222(cos sin )233i i e πππ=+=（3）(sin cos )r i θθ+()2[cos()sin()]22ir i reπθππθθ-=-+-=（4）(cos sin )r i θθ-[cos()sin()]i r i re θθθ-=-+-=（5）21cos sin 2sin 2sin cos 222i i θθθθθ-+=+ 22sin [cossin]2sin 2222ii eπθθπθπθθ---=+=3． 求下列各式的值：（1）5)i - （2）100100(1)(1)i i ++-（3）(1)(cos sin )(1)(cos sin )i i i θθθθ-+-- （4）23(cos5sin 5)(cos3sin 3)i i ϕϕϕϕ+-（5（6解：（1）5)i -5[2(cos()sin())]66i ππ=-+-5552(cos()sin()))66i i ππ=-+-=-+ （2）100100(1)(1)i i ++-50505051(2)(2)2(2)2i i =+-=-=-（3）(1)(cos sin )(1)(cos sin )i i i θθθθ-+--2[cos()sin()](cos sin )33)sin()][cos()sin()]44i i i i ππθθππθθ-+-+=-+--+-)sin()](cos2sin 2)1212i i ππθθ=-+-+(2)12)sin(2)]1212ii πθππθθ-=-+-=（4）23(cos5sin 5)(cos3sin 3)i i ϕϕϕϕ+- cos10sin10cos19sin19cos(9)sin(9)i i i ϕϕϕϕϕϕ+==+-+- （5=11cos (2)sin (2)3232k i k ππππ=+++1, 0221, 122, 2i k i k i k +=⎪⎪⎪=-+=⎨⎪-=⎪⎪⎩（6=11(2)sin (2)]2424k i k ππππ=+++88, 0, 1i i e k e k ππ==⎪=⎩4．设12 ,z z i ==-试用三角形式表示12z z 与12z z解：12cossin, 2[cos()sin()]4466z i z i ππππ=+=-+-，所以12z z 2[cos()sin()]2(cos sin )46461212i i ππππππ=-+-=+，12z z 1155[cos()sin()](cos sin )2464621212i i ππππππ=+++=+ 5． 解下列方程： （1）5()1z i += （2）440 (0)z a a +=>解：（1）z i += 由此25k iz i e iπ=-=-，(0,1,2,3,4)k=（2）z==11[cos(2)sin(2)]44a k i kππππ=+++，当0,1,2,3k=时，对应的4(1),1),1),)i i i i+-+---6．证明下列各题：（1）设,z x iy=+z x y≤≤+证明：首先，显然有z x y=≤+；其次，因222,x y x y+≥固此有2222()(),x y x y+≥+从而z=≥。
《复变函数》第四版习题解答第2章
（2）由于 ∂u = 6x2 ， ∂u = 0 ， ∂v = 0 ， ∂v = 9 y2
∂x
∂y
∂x
∂y
在 z 平面上处处连续，且当且仅当 2x2 = 3y2 ,即 2x ± 3y = 0 时，u,v 才满足 C-R 条件，故
f ( z ) = u + i v = 2x3 + 3y3i 仅在直线 2x ± 3y = 0 上可导，在 z 平面上处处不解析。
解 （1）由于 ∂u = 2x, ∂u = 0, ∂v = 0, ∂v = −1
∂x
∂y ∂x ∂y
在 z 平面上处处连续，且当且仅当 x = − 1 时，u,v 才满足 C-R 条件，故 f (z) = u + i v = x − i y 仅在
2
直线 x = − 1 上可导，在 z 平面上处处不解析。 2
（5）命题假。如函数 f (z) = z Re z = x2 + i xy 仅在点 z=0 处满足 C-R 条件，故 f (z)仅在点 z=0
处可导。
（6）命题真。由 u 是实常数，根据 C-R 方程知 v 也是实常数，故 f (z) 在整个 D 内是常数；
后面同理可得。
7．如果 f (z) = u + i v 是 z 的解析函数，证明：
解
（1）命题假。如函数 f (z) =| z |2 = x 2 + y 2 在 z 平面上处处连续，除了点 z=0 外处处不可导。 （2）命题假，如函数 f (z) =| z |2 在点 z=0 处可导，却在点 z=0 处不解析。
（3）命题假，如果 f (z)在z0点不解析，则z0称为f (z)的奇点。如上例。 （4）命题假，如 f (z) = sin x ch y, g(z) = i cos x sh y ， z = (π / 2, 0) 为它们的奇点，但不 是 f (z) + g(z) 的奇点。
第四版复变函数答案2
习题一解答1．求下列复数的实部与虚部、共轭复数、模与辐角。
（3）(3 + 4i )(2 − 5i ) ； 1（2）1 − ； 3i （4）i 8 − 4i 21 + i（1）； 3 + 2ii 1 − i 2i 1 = 3 − 2i = 1（1） (3 3 + 2i (3 + 2i )(3 − 2i ) 13− 2i )解 所以3 1 2 Re ⎧ 1 ⎫ ⎬ = ， Im ⎧ ⎫ = − , ⎨⎨ ⎬ ⎩3 + 2 i ⎭ 13 ⎩3 + 2i ⎭ 132 21 = 1 (3 + 2i ) ， 3 3 ⎜ ⎟ + ⎜ − ⎟ 13 ， ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ = = 3 + 2i 13 3 2i 13 13 ⎠ 13 ⎝⎠ ⎝ ⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞Arg ⎜ ⎟ = arg ⎜ ⎟ + 2k π⎝ 3 + 2 i ⎠ ⎝ 3 + 2 i ⎠= − arctan 2+ 2k π , k = 0,±1,±2,31 3i − i 3i (1 + i ) 1 3 5（2） − = − = −i − (− 3 + 3i ) = − i,i 1 − i i (− i ) (1 − i )(1 + i) 2 2 2所以Re ⎧1 3i⎬ = ,⎫ ⎨ i − 1 − i ⎭ 2 ⎩ Im ⎧1 − ⎬ = − 53i ⎫ ⎨ ⎩i 1 − i ⎭ 2 ⎛ 3 ⎞2⎛ 5 ⎞2⎛ 1 3 5 ⎜ − ⎟= + i ， 3i ⎞ 1 34 ， − = ⎜ ⎟ + ⎜− ⎟= ⎝ i 1 − i ⎠ 2 2 i ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠2 Arg ⎜ 1 − = arg ⎜ 1 − ⎟ + 2k π3 i 3 i ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎝ i 1 − i ⎠ ⎝ i 1 − i ⎠= − arctan 5+ 2k π, k = 0,±1,±2, .3 （3） (3 + 4i )(2 − 5i ) = (3 + 4i )(2 − 5i )(− 2i ) =(26 − 7i )(− 2i ) (2i )(− 2i ) 2i 4= −7 − 26i = − 7 − 13i2 2所以⎧ (3 + 4i )(2 − 5i )⎫ 7 ⎬ = − ，Re ⎨ 2i 2 ⎩ ⎭ ⎧(3 + 4i )(2 − 5i )⎫ ⎬ = −13 ，⎭Im ⎨ ⎩ 2i 3i 1 − i 1 +⎡(3 + 4i )(2 −5i )⎤7⎥= −+ l3i ⎢⎣2i 2⎦，=2⎡(3+ 4i)(2−5i)⎤⎡(3+ 4i)(2−5i)⎤26 Arg⎢⎥= arg⎢⎥+ 2kπ= 2 arctan −π+ 2kπ2i 2i 7⎣⎦⎣⎦= arctan26+(2k−1)π, k = 0,±1,±2,.7（4）i8 −4i21 +i = (i 2 )4 −4(i2 )10 i +i = (−1)4 −4(−1)10 i +i=1 −4i +i =1 −3i所以Re{i8 −4i21 +i}=1,Im{i8 −4i21 +i}=−3⎜⎛i8 −4i21 +i ⎟=1 +3i ，| i8 −4i21 +i |=10⎝⎠Arg(i8−4i21 +i)=arg(i8−4i21 +i)+2kπ = arg(1−3i)+ 2kπ= −arctan3+ 2kπk = 0,±1,±2,.2．如果等式x +1+i(y−3)=1+i 成立，试求实数x, y 为何值。
复变函数课后习题答案（全）第四版
习题一答案1． 求下列复数的实部、虚部、模、幅角主值及共轭复数：（1）132i+ （2）(1)(2)i i i --（3）131i i i-- （4）8214i i i -+-解：（1）1323213iz i -==+， 因此：32Re , Im 1313z z ==-，1232, arg arctan , 3131313z z z i ==-=+（2）3(1)(2)1310i i iz i i i -+===---， 因此，31Re , Im 1010z z =-=，1131, arg arctan , 3101010z z z i π==-=--（3）133335122i i iz i i i --=-=-+=-， 因此，35Re , Im 32z z ==-，34535, arg arctan , 232i z z z +==-=（4）82141413z i i i i i i =-+-=-+-=-+因此，Re 1, Im 3z z =-=，10, arg arctan3, 13z z z i π==-=--2． 将下列复数化为三角表达式和指数表达式： （1）i （2）13i -+ （3）(sin cos )r i θθ+（4）(cos sin )r i θθ- （5）1cos sin (02)i θθθπ-+≤≤解：（1）2cossin22iii e πππ=+=（2）13i -+23222(cos sin )233i i e πππ=+=（3）(sin cos )r i θθ+()2[cos()sin()]22ir i reπθππθθ-=-+-=（4）(cos sin )r i θθ-[cos()sin()]i r i re θθθ-=-+-=（5）21cos sin 2sin 2sin cos 222i i θθθθθ-+=+22sin [cossin]2sin 2222ii e πθθπθπθθ---=+=3． 求下列各式的值：（1）5(3)i - （2）100100(1)(1)i i ++-（3）(13)(cos sin )(1)(cos sin )i i i i θθθθ-+-- （4）23(cos5sin5)(cos3sin3)i i ϕϕϕϕ+-（5）3i （6）1i +解：（1）5(3)i -5[2(cos()sin())]66i ππ=-+-5552(cos()sin())16(3)66i i ππ=-+-=-+ （2）100100(1)(1)i i ++-50505051(2)(2)2(2)2i i =+-=-=-（3）(13)(cos sin )(1)(cos sin )i i i i θθθθ-+--2[cos()sin()](cos sin )332[cos()sin()][cos()sin()]44i i i i ππθθππθθ-+-+=-+--+-2[cos()sin()](cos2sin 2)1212i i ππθθ=-+-+(2)122[cos(2)sin(2)]21212ii eπθππθθ-=-+-=（4）23(cos5sin5)(cos3sin3)i i ϕϕϕϕ+- cos10sin10cos19sin19cos(9)sin(9)i i i ϕϕϕϕϕϕ+==+-+- （5）3i 3cossin22i ππ=+11cos (2)sin (2)3232k i k ππππ=+++31, 02231, 122, 2i k i k i k ⎧+=⎪⎪⎪=-+=⎨⎪-=⎪⎪⎩（6）1i +2(cossin )44i ππ=+ 4112[cos (2)sin (2)]2424k i k ππππ=+++48482, 02, 1i i e k e k ππ⎧=⎪=⎨⎪-=⎩4． 设121, 3,2iz z i +==-试用三角形式表示12z z 与12z z解：12cossin , 2[cos()sin()]4466z i z i ππππ=+=-+-，所以12z z 2[cos()sin()]2(cos sin )46461212i i ππππππ=-+-=+， 12z z 1155[cos()sin()](cos sin )2464621212i i ππππππ=+++=+ 5． 解下列方程： （1）5()1z i += （2）440 (0)z a a +=> 解：（1）51,z i+= 由此2551k i z i ei π=-=-， (0,1,2,3,4)k =（2）4444(cos sin )za a i ππ=-=+11[cos (2)sin (2)]44a k i k ππππ=+++，当0,1,2,3k =时，对应的4个根分别为：(1), (1), (1), (1)2222a a a ai i i i +-+--- 6． 证明下列各题：（1）设,z x iy =+则2x y z x y +≤≤+证明：首先，显然有22z x y x y =+≤+；其次，因222,x y x y +≥固此有2222()(),x y x y +≥+ 从而222x y z x y +=+≥。
复变函数习题四参考答案
习题四4.1判别下列复数列的收敛性，若收敛求其极限。
（1）11n ni z n +=+；（2）()cos +sin 1n nn i n z i =+；（3）cos n in z n =；（4）nin z e = 解：（1）1lim lim1n n n niz i n→∞→∞+==+所以复数列11nin++收敛。
（2）()()cos +sin 111nnii n nnn i ne e z i i i ⎛⎫=== ⎪+++⎝⎭， 11i e i <+，所以复数列()cos +sin 1n n i ni +收敛，且lim 0n n z →∞=。
（3）cos =2n nn in e e z n n-+=，复数列cos in n 不收敛。
（4）cos +sin ni n z e n i n ==，cos n ，sin n 都不收敛，所以复数列ni e 不收敛。
4.4判别下列级数的收敛性（1）1n n i n ∞=∑；（2）()1658n n n i ∞=+∑；（3）()012nnn i ∞=-+∑；（4）011n i n ∞=++∑ 解：（1）由于1n i n n =，所以1n n i n ∞=∑发散，但是1n n i n∞=∑收敛，所以原级数条件收敛；（2）6518i +<，所以()1658nn n i ∞=+∑绝对收敛； （3）()12nnn ∞=-∑和012n n ∞=∑均绝对收敛，所以()012nn n i ∞=-+∑绝对收敛； （4）一般项的实部，虚部为11n +，都发散，所以011n in ∞=++∑发散。
4.5判断下列命题是否正确。
（1）每个幂级数在它的收敛圆上处处收敛。
（2）每个幂级数的和函数在收敛圆内可能有奇点。
（3）每个在0z 连续的函数必能在0z 的邻域能展开成泰勒级数。
解：（1）错，幂级数在它的收敛圆上可能收敛，也可能发散。
（2）错，每个幂级数的和函数在收敛圆内不可能有奇点。
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习题一解答1．求下列复数的实部与虚部、共轭复数、模与辐角。
（1）i 231+； （2）i13i i 1−−； （3）()()2i 5i 24i 3−+； （4）i 4i i 218+−解 （1）()()()2i 31312i 32i 32i 32i 31−=−+−=+ 所以133=⎭⎬⎫⎩⎨⎧+i 231Re ，1322i 31Im −=⎭⎬⎫⎩⎨⎧+,()2i 31312i 31+=+，131********i 3122=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−+⎟⎠⎞⎜⎝⎛=+， k π2i 231arg i 231Arg +⎟⎠⎞⎜⎝⎛+=⎟⎠⎞⎜⎝⎛+",2,1,0,232arctan ±±=+−=k k π（2）()()()()i,25233i 321i i)(1i 1i 13i i i i i 13i i 1−=+−−−=+−+−−−=−− 所以,23i 13i i 1Re =⎭⎬⎫⎩⎨⎧−− 25i 13i i 1Im −=⎭⎬⎫⎩⎨⎧−−25i 23i 13i i 1+=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−，2342523i 13i i 122=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−+⎟⎠⎞⎜⎝⎛=−−， k π2i 1i 3i 1arg i 1i 3i 1Arg +⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−− ",±,±,=,+−=210235arctan k k π.（3）()()()()()()()()()42i 7i 262i 2i 2i 5i 24i 32i 5i 24i 3−−=−−−+=−+ 13i 27226i 7−−=−−=所以()()272i 5i 24i 3Re −=⎭⎬⎫⎩⎨⎧−+，()()132i 5i 24i 3Im −=⎭⎫⎩⎨⎧−+，()()l3i 272i 5i 24i 3+−=⎥⎦⎤⎢⎣⎡−+()()22952i5i 24i 3=−+， ()()()()k ππk π2726arctan 22i 2i 52i 43arg i 2i 52i 43Arg +−=+⎥⎦⎤⎢⎣⎡−+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡−+ ()",2,1,0,12726arctan±±=−+=k k π.（4）()()()()i i 141i i i 4i i 4i i 10410242218+−−−=+−=+−3i 1i 4i 1−=+−=所以{}{}3i 4i i Im 1,i 4i i Re 218218−=+−=+−3i 1i 4i i 218+=⎟⎠⎞⎜⎝⎛+−，10|i 4i i |218=+−()()()2k π3i 1arg 2k πi 4i i arg i 4i i Arg 218218+−=++−=+−=.2,1,0,k 2k πarctan3"±±=+−2．如果等式()i 13i53y i 1x +=+−++成立，试求实数x , y 为何值。
解：由于()()[]()()()3i 53i 53i 53y i 1x 3i 53y i 1x −+−−++=+−++()()()()[]343y 51x 3i 3y 31x 5−++−+−++=[]()i 1185y 3x i 43y 5x 341+=−+−+−+= 比较等式两端的实、虚部，得⎩⎨⎧=−+−=−+34185334435y x y x 或 ⎩⎨⎧=+−=+52533835y x y x 解得11,1==y x 。
3．证明虚单位i 有这样的性质：-i=i -1=i 。
4．证明21)||116)Re()(),Im()(22iz zz z z z z z =z =+=#−证明：可设i z x y =+，然后代入逐项验证。
5．对任何，是否成立？如果是，就给出证明。
如果不是，对那些值才成立？z 2||z z =222z 解：设，则要使成立有i z x y =+2||z z =2222i x y xy x −+=+y 0，即。
由此可得为实数。
2222,x y x y xy −=+=z 6．当时，求的最大值，其中n 为正整数，a 为复数。
1||≤z ||a z n +解：由于|a||a||z|a z nn +≤+≤+1，且当na ez arg i=时，有()|a|e a |a|e e a|z a a nn a n+=+=+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=+|11arg i arg i arg i 故为所求。
||1a +8．将下列复数化成三角表示式和指数表示式。
（1）i ； （2）-1； （3）1+3i ；（4）()π0isin cos 1≤≤+−ϕϕϕ； （5）i 12i+−； （6）()()32isin3cos3isin5cos5ϕϕϕϕ−+ 解：（1）2πi e 2πisin 2πcos i =+=；（2）i πe isin πcos π1=+=−（3）3πi 2e 3πisin 3πcos 223i 2123i 1=⎟⎠⎞⎜⎝⎛+=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+=+； （4）21cos isin 2sin i2sincos2sinsin icos 222222ϕϕϕϕϕϕϕϕ⎛⎞−+=+=+⎜⎟⎝⎠π)(0,e22sin 2πisin 2πcos 22sin 2πi ≤≤=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−+−=−ϕϕϕϕϕϕ；（5）()⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=−=−−=+−21i 212i 1i 12i 21i 12i ⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=4πisin 4πcos 2=4πie2−（6）()()()()223i5i3i10i9i193cos5isin5e /e e /e e cos3isin3ϕϕϕϕϕϕϕϕ−−+==−ϕ=ϕϕisin19cos19+=9．将下列坐标变换公式写成复数的形式： 1）平移公式：1111,;x x a y y b =+⎧⎨=+⎩2）旋转公式：1111cos sin ,sin cos .x x y y x y αααα=−⎧⎨=+⎩解：设11i A a b =+，11i z x y 1=+，i z x y =+，则有 1）；2）1z z A =+i 11(cos isin )e z z z ααα=+=。
10．一个复数乘以-i ，它的模与辐角有何改变？ 解：设复数，则z e z z Arg i ||=()⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−=⋅||=−2Arg i 2i Arg i πz πz |z|e e e z i z ，可知复数的模不变，辐角减少2π。
11．证明：，并说明其几何意义。
222121212||||2(|||z z z z z z ++−=+2|)证明：2212121212121211222212||||()()()(2()2(||||)z z z z z z z z z z z z z z z z z z ++−=+++−−=+=+) 其几何意义平行四边形的对角线长度平方的和等于四个边的平方的和。
12．证明下列各题： 1）任何有理分式函数()()()P z R z Q z =可以化为i X Y +的形式，其中X 与Y 为具有实系数的x 与的有理分式函数；y 2）如果()R z 为1）中的有理分式函数，但具有实系数，那么(i R z X Y =−； 3）如果复数i a b +是实系数方程10110n n n n a z a z a z a −−++++="的根，那么也是它的根。
i a b −证 1）()()()Re(()())Im(()())()()(,)(,)()()P z P z Q z P z Q z P z Q z R z Q z q x y q x y Q z Q z ===+; 2）()()()()i i ()()()P z P z P z R z X Q z Q z Q z ⎛⎞Y X Y ====+=−⎜⎟⎝⎠; 3）事实上()1011n n n n P z a z a z a z a −−=++++"()z P z a z a z a a n n =++++="221013．如果，试证明 it e z =（1）nt zz nn cos 21=+； （2）nt z z n n sin i 21=− 解 （1）nt e e e e z z n n sin 21int int int int =+=+=+− （2）nt e e e e zz n n sin i 21int int int int =−=−=−−14．求下列各式的值 （1）(5i 3−)； （2）()6i 1+； （3）61−； （4）()31i 1−解 （1）()()6/5i 56/i 553222i 232i 3ππ−−==⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=−e e5π5π32cos isin 16i 66⎡⎤⎛⎞⎛⎞=−+−=−−⎜⎟⎜⎟⎢⎥⎝⎠⎝⎠⎣⎦（2）())666i /43i/21i 8e 8i ππ⎤+====−⎥⎦。
（3()()1i π21/6i π+26ee,0,1,2,3,4,5k k k π+===。
可知61−的6个值分别是,2i 23e /6i +=πi e /2i =π，2i 23ei /65i +−=π 2i 23e /6i7−−=π，，i 23i −=/πe 2i23411i −=/πe 。
（4）()()0,1,2=,==⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛2−212=−13⎟⎠⎞⎜⎝⎛+−31/−3131k eek πππ24i 64i 22i i 。
可知的3个值分别是()1/31i −,127sin i 127cos 22,12sin i 12cos 22612/7i 662/i 6⎟⎠⎞⎜⎝⎛+=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=−ππππππe e⎟⎠⎞⎜⎝⎛+=45sini 45cos 2264/5i 6πππe 。
15．若(1i)(1i)nn+=−，试求n 的值。
解由题意即i /4i /4i /4i /4)),e e nn n n ππππ−−==，sin ，04nπ=故4,0,1,2,n k k ==±±"。
16．（1）求方程的所有根 083=+z （2）求微分方程08'''=+y y 的一般解。
解 （1）()()1i123382k z eπ+=−=，k=0,1,2。
即原方程有如下三个解：,3i 1+ ,2− 3i 1−。
（2）原方程的特征方程有根083=+λi 311+=λ，22−=λ，i 313−=λ，故其一般形式为()x C x C e e C y x x 3sin 3cos 3221++=−17．在平面上任意选一点，然后在复平面上画出下列各点的位置： z111,,,,,z z z z z z−−−。