美国_共同核心州立数学标准_中_高中代数_内容解读及启示_胡典顺
中俄高中数学教材的比较及启示——以“三角恒等变换”的对比为例
3-42欽学款学2020年第3期中俄高中数学教材的比较及启示**基金项目：1.华中师范大学2018年中央高校基本科研业务费专项资金资助项目（教师教育研究专项）——基于学习分析技术的学生数学核心素养形成机理研究（CCNUTE2018 - 09）.2. 2017年湖北省高等学校省级教学研究项目 ——提升数学卓越教师数学核心素养的理论与实践研究（201794）.----以“三角恒等变换”的对比为例王学萌胡典顺（华中师范大学数学与统计学学院，湖北 武汉430079）1问题提出一直以来，我国在数学和数学教育方面都受到了前苏联全面而深远的影响.苏联解体后，俄罗斯在1992年颁布了《俄罗斯联邦教育法》，并于1993年完成《国家数学教育标准》的 讨论稿⑷，这使得俄罗斯数学基础教育的改革获得了迅猛的发展，成为了世界上数学研究与 教育最发达的国家之一 •数学教材作为课程目标和教学内容的重要载体，对中俄两国的数学教材进行细化的比较和分析，不仅有利于我们 了解俄罗斯教育改革的理念与实质，而且可以帮助我们分析自己国家教材的优势和不足，了 解别国对于数学知识的新观念和新视角，获得有关教材编写和数学教学的启发，为我国的教 材编写提供必要的经验借鉴.2研究对象在充分了解两国教材使用情况后，本文选取了由人民教育出版社出版的高中数学教材（以下简称“人教版”）和由俄罗斯ILEKSA 出 版社出版的拉扎列夫等人编写的高中数学教材（以下简称“ILEKSA ”版）进行比较.其中， ILEKSA 版于2016年出版，能够高度契合俄罗 斯联邦政府与国家教育标准的最新相关要求,是当下俄罗斯众多教师所青睐的教材.人教版在我国得到了广泛的使用，是各版本教材中使用人数最多的一种，因此选择了这两个版本的教材作为比较对象•以“三角恒等变换”作为比较的切入点JLEKSA 版的《代数与数学分析初步》10年级第二单元第16节“加法公式及其推 论”与人教版必修四第三章“三角恒等变换”内容相近，有很大的可比性，本文将从教材的编排顺序、编写内容和习题设计三个方面对两本教材进行比较研究，从而基于国际视角真实客观地反映两国数学教育的一些差异.3两本教材的比较研究3.1编排顺序3.1.1整体比较为了更加直观地体现两本教材在编排顺 序上的差异，我们首先将所选内容在两本教材中所处的整体章节位置进行对比，如表1所示:表1中俄教材中三角恒等变换外部编排顺序教材版本人教版ILEKSA 版先行章节第一章三角函数§ 14三角函数的图像及其性质第二章平面向量§ 15同角三角函数的基本关系所选章节第三章三角恒等变换§ 16加法公式及其推论后续章节必修五第一章解三角形第三单元三角方程与不等式2020年第3期欽学款学3-A3由表1,我们可以看出两种教材在“三角恒等变换”的前后内容安排上均有一定的联系,但又有所不同.人教版教材“三角恒等与变换”与第一章“三角函数”的关系十分密切.三角函数是学习三角恒等变换的基础，它的学习为进一步探索和理解三角恒等变换做好了准备.第二章“平面向量”与三角恒等变换并无显著联系，只是在推导余弦公式时可以在单位圆中借助平面向量进行证明，这样编排一定程度上打断了学生学习三角知识的连续性和完整性.随后继续学习的“解三角形”是对三角学习的进一步深化，也是将数学紧密联系进生活的体现.ILEKSA版教材第一单元“集合、方程、不等式”与第二单元“三角函数”并无显著联系，但是第二单元本身内部的联系却是紧密而又完整的，从一开始最基础的角度测量、弧度制到三角函数的图像，再到后来的基本关系，最后学习一系列的三角恒等变换，整个过程一气呵成，非常流畅，体现了由易到难的层次性，同时也为第三单元“三角方程”的学习打下基础.3.1.2内部比较整体上两国教材的编排存在差异，在三角恒等变换的内部顺序上两国也各有自己的特色,我们对两种教材关于“三角恒等变换”部分的内容纵向展开进行比较，如表2：表2中俄教材中三角恒等变换内部编排顺序教材版本人教版ILEKSA版本章框架3.1.1两角差的余弦公式3.1.2两角和与差的正弦、余弦和正切公式3.1.3二倍角的正弦、余弦、正切公式3.2简单的三角恒等变换§16.1组成公式§16.2二倍角公式§16.3诱导公式§16.4和差化积与积化和差§16.5三倍角和半角公式§16.6辅助角公式由表2可知，两种教材对于三角恒等变换内容的处理都是从两角差的余弦公式出发，并以此为基础，通过一系列恒等变换得到其余公式,其中存在的差异主要如下：人教版将诱导公式放在了本教材第一章的第三节，因此在学习恒等变换时，便将其作为已知工具，在差角余弦公式的基础上迅速推出剩余的两角和与差的三角公式.ILEKSA版教材的诱导公式放在了组成公式（即三角函数两角和与差公式）的后面，并且诱导公式的推导过程是以组成公式为工具来进行的，这与我国人教版教材的顺序完全相反.3.2编写内容3.2.1包含知识点情况从知识广度看，人教版“三角恒等变换”包含了20个知识点,ILEKSA版“加法公式及其推论”包含了25个知识点，且将人教版中的20个全部覆盖.同时，结合教材可知ILEKSA版中多出的5个知识点，其中有4个都是关于正切和余切的相关推论，还有1个是万能公式.这说明，俄罗斯在进行知识点选取和目标定位时，将正切和余切作为和正余弦同等地位的三角函数,人教版则并未将正切、余切的全部知识作为需要掌握的内容，尤其余切是人教版完全没有涉及的知识点.相同之处在于两国都非常重视两角和与差的正弦、余弦和正切公式，并都将其作为其余变换或推论的前提和基础.从知识深度看，我们借助Cmaptools软件,利用节点表示重要知识点，连线表示知识点之间的意义联系，箭头代表方向，并在连线上用连接词表明两知识点之间的关系，从而分别制作出两个版本教材的概念图⑸，如图1、图2,进而通过计算最长链接长度和链接总和,来对教材知识的深度进行比较.3 44欽学款学2020年第3期"一诱导公式一-差角正切公式H 和角正切公式正弦积化和差余弦积化和差和角余弦公式卜分为换元推导和角正弦公式差角正弦公式推导和（差）角公式分为/积化和差换元一彳和差化积］-分为转化正弦和差化积余弦和差化积差角余弦公式倍角公式二倍角余弦公式推论三角恒等变换应用化归基础二倍角正切公式二倍角正弦公式半角正弦公式半角公式换元彳辅助角公式］V ______________)、j 推导-------z・图1人教版教材概念图半角正弦公式半角余弦公式］__赋值差角正切公式正弦积化和差-转化余弦积化和差分为/ ______________/［和角正切殳式差严公式h 诱导公式和角正弦公式和（差）角公式换元I 推导推论!|和角余弦公式差角余弦公式基础一一三角恒等变换正弦和差化积余弦和差化积积化和差正切和差化积1右发、换元一彳和差化积］—分孤、_辅助角公式三倍角正弦公式三倍角公式卜分为一4三倍角余弦公式J［万能公式 卜-推导分为:倍角公式、------------分为'—巧用广二倍角公式［三倍角余切公式］分为三倍角正切公式半角公式k 换元二倍角余弦公式I 二倍角正切公式二倍角正弦公式分半角正弦公式半角余弦公式半角正切公式半角余切公式图2 ILEKSA 版教材概念图通过对比两个概念图节点数量以及链接， 越多，长度越长,某种意义上说明深度越深.通可以发现人教版教材的概念图比较简单，而 过列表枚举两版本教材各长度链接的个数，并ILEKSA 版教材概念图比较复杂.链接的总和 计算其总和得到表3：2020年第3期3—45表3中俄教材中三角恒等变换知识链接数量统计教材版本人教版ILEKSA版连接长度111 201 374 441 539 635总和=Yi=1（链接长度ix相应数量）7194由表3可知，两种教材中最长链接长度均为6,链接长度总和分别是71和94,从这个角度可以得出在三角恒等变换的章节中.ILEKSA 版教材内容的深度大于人教版教材•这可以看出,ILEKSA版教材更加注重三角恒等变换的深度学习，人教版教材由于没有讲解万能公式，同时余切部分的内容也没有介绍，因此深度较浅.3.2.2知识呈现情况依据人教版“三角恒等变换”和ILEKSA 版“加法公式及其推论”的教材内容，我们从引入、思考探索、知识证明、知识表征、知识反思、信息技术、数学思想和数学史八个维度对两者进行比较，如表4：表4中俄教材中三角恒等变换知识学习过程比较教材版本人教版ILEKSA版引入以电视塔为问题背景，已知具体值，如何求出题目需要的值无思考探索如何用任意角的正、余弦值表示无知识证明利用三角函数线和向量两种方法利用向量一种方法知识表征在证明之后用单独矩形框给出符号表征（部分符号表征过程需学生自己完善），无文字表征在每节的最开始用表格列出本节所有的知识点清单,之后分条进行符号与文字表征知识反思整个章节末尾有“本章知识结构”图和“回顾与思考”每节的最后有“需掌握问题”信息技术利用信息技术制作三角函数表无数学思想直接表明换元思想与方程思想未点明，需学生自行感悟数学史无来自历史的信息由表4知，两种教材对于知识的呈现有较大不同，结合各自教材的具体内容来看，主要有以下差异：在知识获取阶段，人教版教材借助生活中的实际问题来引导学生思考如何利用已知三角函数值来求解未知的三角函数值,进而将学生的思考演变为猜测、探究任意两角的三角函数值与给定角的三角函数值之间的关系. ILEKSA版教材则没有引导过程，开篇直接给出两角和与差的三角函数公式.两种教材在推导两角和与差的正弦公式时略有不同.前文提到，人教版教材的诱导公式之前章节已经学过，所以顺其自然地使用诱导公式对差角余弦公式稍加变形就可以得到正弦的相关公式;然而ILEKSA版将诱导公式放在了这部分内容的后面，所以其采用的方法是对已经得到的公式进行赋值,再通过代换得到结果.值得一提的是，在利用两角和与差的正余弦公式作商推导两角和与差的正切公式时,ILEKSA版注意到了由分母不为零带来的角的范围问题，人教版没有提及.对比两种教材对于差角余弦公式的证明过程，人教版首先是借助三角函数线，将要探索的不同角之间的关系全部转化为单位圆中的三角函数线之间的数量关系，从而得出想要的结果;其次是运用向量知识，结合数量积的定义，在单位圆中完成了公式的证明.而ILEKSA版则只用了向量一种方法，过程与人3462020年第3期教版相同.3.3习题设计我们从习题设计的位置、题型和难易度三个层面对所选两种教材进行比较.由于两个版本中都出现了大题分小题的情况，这里统一按照小题数目进行统计•并且在习题难易度这一维度中，为了更好地比较两种教材给学生的习题体验，未将例题纳入统计范围，关于题目难易度的划分,ILEKSA版直接在每个题目的题号后用“°”表示简单题，用“*”表示难题，未作标记的即为中等难度的题;人教版教材在章节练习中用AB组分出了较难的题组B,但对于简单题和中等难度题并未作标记，因此本文将直接利用公式进行求值的题划为简单题，需要运用化归转化等思想方法、三角函数恒等变换“1”的巧用题目划为中等题,得到表5：表5中俄教材中三角恒等变换习题设计比较维度数量百分比人教版ILEKSA版人教版ILEKSA版习题位置例题192911.05%14.43%小节练习4314625%72.64%章节练习1102663.95%12.94%总计172201/题型计算959855.23%4&76%化简253814.53%1&91%证明455726.16%2&36%应用60 3.49%0画图180.58% 3.98%总计172201/难易度简单362623.53%15.12%中等10112866.01%74.42%难题161810.46%10.47%总计153172/统计表明，从习题位置的比较，人教版在“三角恒等变换”章节中共出现习题172题，ILEKSA版在相应内容中出现201题.这些题目包括了例题和每章节结束时的作业练习.可以看出，两种教材例题占总习题的比重都很小，大部分习题都要求学生自己完成•但是关于小节练习与章节练习的数量安排大相径庭.ILEKSA版将大量的习题分散在每一节的结尾处，意在给予学生及时的巩固和深化,至于章节练习占习题总数的比重就显的微不足道;人教版将更多的习题放在了每一章的最后,在学生系统地学完一章所有内容之后进行集中训练,这说明我国习题的设置更加注重知识体系的完整性,希望学生在比较完整的知识结构中解决更多的数学问题.从习题题型的比较可以看出，两种教材关于“三角恒等变换”习题设计的类型十分相似,均以计算题为主，其次是证明和化简，应用题和画图题涉及很少.相较而言,人教版更重视计算题,ILEKSA版更强调证明，这表明我国习题的设计仍然比较重视学生“双基”的掌握.关于应用题和画图题,ILEKSA版中没有出现三角恒等变换在其他知识或生活中的应用，而人教版教材关于三角作图题大多出现在了先行章节“三角函数”中.对于习题难易度的比较，我们根据鲍建生教授的综合难度模型⑶，采用等级变量的自然2020年第3期欽学孰学3-47赋值法，将习题深度的各个水平从低到高依次赋值1,2,3作为各自权重，利用以下计算公式工n i d i3S=-------------(H]= n；i=1,2,3),计算两种教材习题的难易度加权平均数，其中n,表示不同深度的习题数,仏为对应的赋值数,"表示习题总数，计算结果得人教版为1.87,ILEKSA版为1.95.以上表明，在两种教材的习题样本中，纵向来看，中等难度的题都占了很大比重，均超过各自的一半，其次是利用已知公式直接得到答案的简单题大概占总体的五分之一,难题相对较少;横向来看,ILEKSA版难易度加权平均数高于人教版，说明ILEKSA版教材的习题更注重知识的深度,人教版习题则以理解和运用为主.4结论4.1两个版本教材关于“三角恒等变换”的共同点(1)两个版本的教材都将差角余弦公式作为本章的基础.(2)两个版本的教材在内容编写上都体现了很强的系统性与逻辑性，在相关内容的证明过程中体现了数学推理与证明的严密性.(3)两个版本的教材在习题设计方面，题型均以计算和证明为主，同时题目层次性多样.(4)两个版本的教材均设有与数学史料相关的模块，供学生拓展知识面、了解数学知识的源流⑷.4.2两个版本教材关于“三角恒等变换”的不同点(1)人教版将诱导公式作为进行三角恒等变换的工具,ILEKSA版将其作为一个推论.(2)ILEKSA版知识点广度更广,人教版涉及知识点数量相对较少;从知识的深度上看,ILEKSA版比人教版更深.(3)人教版教材内容更具交互性，每个章节均有章头图和导入语，同时设有信息技术和阅读思考等与学生生活体验相关的模块;ILEKSA版教材相较而言比较简明抽象，没有与学生生活紧密相关的内容.(4)人教版习题主要集中在章节最后，并关注三角恒等变换在其他相关知识中的应用; ILEKSA版习题均匀分布在每一小节之后，注重对各种变换本身的灵活运用.5思考与启示教材是指依据课程标准和学生认知结构编写的教学用书，它的编写顺序是否能够在保证学科知识逻辑体系完整的情况下符合学生认知心理发展的过程，很大程度上影响着学生的学习结果.数学教材编写者只有充分了解数学知识本身的科学性以及学生自身已有的数学认知结构，从宏观角度上准确把握知识在数学教材中的布局,注重核心内容的突出以及不同知识之间的联系，关注学生进行数学学习时的整体性和流畅性，学生学习起来才会有一气呵成之感.在编写数学教材时,应充分选取合适的学习素材，构建丰富的内容板块,如背景知识的介绍、数学史料的呈现以及与知识相关阅读材料的补充.同时还应设计必要的数学交流活动，让学生在学习教材时能够经历观察、思考、推理和反思等必要环节,并从中感悟数学知识的形成过程.在进行数学教材的编写时,应针对所学内容,合理编排巩固性问题、拓展性问题、探索性问题等具有多层次特点的习题模块，既有满足大多数学生夯实基础需要的简单问题,也有为少数同学提供进一步发展空间的探究性问题.对于那些高于基础要求具有较高难度的题目，应当用明确的符号进行标记，从而帮助不同层次的学生进行选择.在数学教材的编写过程中,应通过引导学生利用信息技术手段，完成数学图像的绘制、数据信息的处理以及对生活中的实际问题进行数学抽象等活动,将培养学生直观想象、数学建模和数据分析等数学核心素养的要求落到实处•数学教材与信息技术的结合,既可以帮助学生对数学理论知识有更深的理解,提高学生进行动手操作的能力，也能带领学生感悟数学学科自身的科学价值与应用价值.(下转第3-37页)2020年第3期欽学执学3-37而事实上，对原不等式k{xy + yz + zx) > 5(/ +/ +?),只要心> 5,至少存在一组解沢 y 、z(比如x =y =z = 1)可以构成一个三角形(k > 10更是如此).为何以上在％ > 10时从不 等式(* * )会推出丘无解，从而不能构成三角形的结论呢？实际上，仔细推敲以上演算过程，不等式(*)的得出用到了基本不等式矽W (宁)的放缩，而不是恒等变形，产生了偏差.因此，当％ > 10时，通过特殊值不难得 出满足不等式k(xy + yz + zx} > 5(x 2 +y 2 +z 2)的％、y 、z 可能构成三角形.—•又由问题1的结论知k > 5时才可40/2-20能构成三角形，即当k > ——时，满足 k(^xy + yz + zx) > 5(x 2 + y 2 +z?)的％、y 、z 可以构成一个直角三角形.由以上对问题1、问题2的研究，本文开始 的题目答案一目了然.以上通过对一道日常练习题的多层次研究,从不同的角度看待一个问题，可以训练学 生的逻辑推理能力，养成严谨的数学思考与研究的习惯,并在思考的过程中让我们更加看清 很多问题的本质，深入地理解问题.2013,33(11) ： 115-121.[3] 鲍建生•中英两国初中数学期望课程综合难度的比较[J].全球教育展望,2002,31(9): 48-52.[4] 胡典顺，沈晓凯，于芹•三个版本高中数学教材中“拓展栏目”的比较研究[J].中小 学教师培训,2017(12)： 69-73.综上分析可知，当5 < k W 6时，满足不等式 A:(%y + yz + zx) > 5(x 2 + y 2 + z 2)的％、y 、z一定可以构成三角形；当％ > 6时，满足不等式 k{xy + yz + zx ) > 5(x 2 + y 2 + z 2)的％、y 、z 可能构成三角形.问题2的解：根据问题1的结论满足不等 ^k(xy + yz + zx) > 5(x 2 + y 2 + z 2)的；c 、y 、z能够构成一个三角形的条件是％ > 5.根据已知不等式的对称性，若乂、y 、z 可以 构成一个直角三角形，只需满足x 2 +y 2 =z 2即 可.设％ = zcos 0, y = zsin 0, 0 e (0, yj ，则已知不等式可化为：r^j r<^j ,(上接第3-47页)参考文献[1 ] CTaH^apT CpeaHero MaTeMarane- CKoro o6pa3OBaHHH. MaTeMaraxa. 1993 ( 4)：10-24.[2]章建跃，宋莉莉，王嵯，周丹.美国高中数学核心概念图[J] •课程・教材・教法，10sin 0 + cos 0 + sin 0cos 0 > —.k于是问题转化为当e e (0, yj 时，关于0的不等式 sin 0 + cos 0 + sin Ocos 0 > \ 有解的 k 的k取值范围.令 t = sin 0 + cos 0,则 t w (1, Q],20不等式化为t 2 + 2t > 1 +〒，易得『+ 2t e (3,k 202 + 2扭],于是 1 + 〒 < 2 + 2j2,得 k >k40- 20 *34。
9.美国高中Core_PlusMat_省略_ics数学教材编排结构特点及启示_林丹
美国高中Ｃｏｒｅ－Ｐｌｕｓ Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ数学教材编排结构特点及启示①林 丹１ 胡典顺!１，２ 王明巧!１（１．华中师范大学数学与统计学学院４３００７９；２．华中师范大学教师教育学院 ４３００７９） 随着课程程改革的进行，对美国数学基础教育课程标准与教材的研究、中美数学比较研究已逐渐成为我国研究者感兴趣的课题．从教材研究的角度看，主要体现在对美国教材的内容选择和结构编排方面，学习美国是如何将他们的课程理念较好地体现在教材编写中．笔者选取的教材是由Ｇｌｅｎｃｏｅ／ＭｃＧｒａｗ－Ｈｉｌｌ ２００８年出版（ｃｏｐｙｒｉｇｈｔ２００８ｂｙ ｔｈｅ ＭｃＧｒａｗ－Ｈｉｌｌ Ｃｏｍｐａｎｉｅｓ，Ｉｎｃ，Ａｌｌｒｉｇｈｔｓ ｒｅｓｅｒｖｅｄ）的《现代核心数学》（《Ｃｏｒｅ－ＰｌｕｓＭａｔｈｅｍａｔｉｃｓ：Ｃｏｎｔｅｍｐｏｒａｒｙ Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ ｉｎＣｏｎｔｅｘｔｓ》）高中数学教材第二版（以下简称“ＣＰＭ教材”）．ＣＰＭ教材是一套共四册的高中综合式教材，前三册是必修课程，最后一册是选修课程，是微积分的预备学习，专为１０～１２年级的学生设计．本文中笔者根据前三册必修课程进行研究．教材每册均分为四大分支：代数与函数、几何与三角函数、概率和统计、离散数学．它区别于一些教材将代数、几何、三角、概率统计等分科编写，比如美国芝加哥大学研发的ＵＣＳＭＰ教材、美国弗吉尼亚州编写的《天才教育》等．该教材在综合编排、编写理念、呈现方式以及培养学生的创新方面做得比较突出，是美国现用教材中比较好的一版，使用也比较广泛［１］．笔者通过反复研读该套英文原版教材，立足于教材本身，着眼于该套教材的编写理念、教材知识构成、特殊编排方式，从而总结该套教材的特点，以期对我国的数学教材编写提供借鉴．１ 教材的编写理念２０１０年，美国州长协会和美国州首席教育官员理事会联合颁布了首部《共同核心州立数学标准》（Ｃｏｍｍｏｎ Ｃｏｒｅ Ｓｔａｔｅ Ｓｔａｎｄａｒｄｓ ｆｏｒ Ｍａｔｈｅ－ｍａｔｉｃｓ），该标准的高中数学部分旨在解决美国数学不够连贯和重点不够突出的问题，解决美国数学课程内容宽泛但不够深入的问题，力求实现标准的清晰与具体详尽，强调核心内容理解，建立核心内容之间的结构联系．ＣＰＭ教材反映了美国最新的课程、教学理念，给学生提供了一个面向全体学生、具有广泛意义的、有用的核心数学课程，而且该教材的编写也得到了国家科学基金（Ｎａｔｉｏｎ－ａｌ Ｓｃｉｅｎｃｅ Ｆｏｕｎｄａｔｉｏｎ，ＮＳＦ）的资助，在美国被称为“改革版教材”，它符合《共同核心州立数学标准》的要求．ＣＰＭ教材是一个基于课程标准的混编式综合教材，四部分的内容混合编写、知识交叉呈现，各块知识内容分散在高中三年课程中，采用螺旋式上升的方式逐一介绍．ＣＰＭ教材的编写理念主要以问题解决、知识应用为主，导入及例题多以问题探究形式呈现，注重学生的合作交流、逻辑推理及知识的意义建构．在每一册的前言都详细描述了四部分内容的理念和要求，具体内容如下：（１）代数和函数旨在发展学生认识、表示函数，并解决涉及定量和变量关系问题的能力；（２）几何和三角①基金项目：中央高校基本科研业务费专项资金资助———数学问题提出与数学教育改革：跨国比较研究（ＣＣＮＵ１３Ｆ０２１）；湖北省教学研究项目———数学师范生拔尖创新人才培养的理论与实践（２０１３０９０）；华中师范大学研究生教学改革研究项目———免费师范生攻读教育硕士培养模式的改革研究与实践（２０１３ＪＧ１８）；华中师范大学教师教育学院研究专项资助（２０１２ＪＳ０７）；湖北省教育科学“十二五”规划２０１３年度立项课题———数学问题提出与数学教育改革：跨国比较研究（２０１３Ｂ０１５）．学的主要目标是开发视觉思维和建模能力，推理、解释及在视觉和物理背景的模式下应用数学模型的能力；（３）统计和概率的主要作用是培养学生快速、准确分析数据、认识测量变量的能力，以及理解以概率情形为基础模式的能力．最终目标是使学生了解当看到一个人口样本时可以得到有关人口的推论；（４）离散数学旨在发展学生使用顶点边缘图、欧拉回路、递归公式的能力，以及用矩阵处理数据，建立模型，优化实际问题，解决算法问题等技能．２ 教材的知识内容ＣＰＭ教材一共是４册，前三册给学生呈现一些具有普遍意义、运用广泛的知识，第４册是微积分的预备学习，是为了学生能更好的进入大学学习的预备课程．教材每册封面的下方都写着：代数与函数、概率和统计、几何与三角函数、离散数学．现按照册名、章名、节名及所属领域统计各部分的内容（结果如表１）．表１ ＣＰＭ教材知识内容第一册章名节名第二册章名节名第三册章名节名单元１变化模式（代函）!因果关系"随时间变化#研究变化模型的工具单元１函数、方程与方程组（代函）!直接变化和逆变化"多变量函数#线性方程组单元１推理和证明（离散）!推理策略"几何推理和论证#代数推理和论证④统计推理单元２数据模式（概统）!探索分布"测量差异单元２矩阵方法（离散）!矩阵的建立、分析和操作"矩阵乘法#矩阵和线性方程组单元２不等式和线性规划（代函）!一元不等式"二元一次不等式单元３线性函数（代函）!建立线性关系"线性方程组和不等式#相同表达式单元３坐标法（几三）!平面坐标"坐标转换模型#变换矩阵与动画单元３相似和全等（几三）!相似三角形的判定"全等三角形的判定单元４顶点边缘图（离散）!欧拉回路———寻找最佳路径"顶点着色———避免冲突单元４回归和相关（概统）!二元关系"最小二乘回归和相关性单元４样本和变量（概统）!正态分布"二项分布#统计过程控制单元５指数函数（代函）!指数式增长"指数式衰减单元５非线性函数和方程（代函）!二次函数表达式及其方程"非线性方程#常用对数和指数方程单元５多项式函数和有理函数（代函）!多项式表达式和函数"二项式#有理函数及其表达单元６图形模式（几三）!平面图形"多边形及其属性#立体图形单元６网络优化（离散）!跨越网络最佳路线"使用关键路径调度项目单元６圆和圆的方程（几三）!圆的性质"圆周运动和周期函数单元７二次函数（代函）!二次函数"二次函数的相同表达式#解二次方程单元７三角法（几三）!三角函数"任意三角形中的三角函数单元７递归和迭代（离散）!使用递归和迭代判断数列变化模型"递归函数#迭代函数单元８机会模式（概统）!计算概率"建立概率模型单元８概率分布（概统）!概率模型"预期值#Ｗａｉｔｉｎｇ－Ｔｉｍｅ分布单元８反函数（代函）!什么是反函数"常见对数函数及其性质#反三角函数 （表１注：为了方便书写，代数与函数简写为“代函”，概率与统计简写为“概统”，几何与三角函数简写为“几三”，离散数学简写为“离散”．） 由表２可知，ＣＰＭ教材这四部分内容在必修教材中共２４章８７节，每章后面均有一节内容回顾复习本章所学的知识，其中代数与函数内容共９章，概率与统计共５章，几何与三角函数共５章，离散数学共５章，其比例依次为３７．５１％，２０．８３％，２０．８３％，２０．８３％．由此可见，代数与函数的内容所占比例是最大的．而且每册分布也比较均匀，第一册共４章，第二册共３章，第三册共３章，但重点是在第一册．其他三部分的比例相差不大，三部分每册的分布都是一章或者两章，分布也非常均匀．在编排方式上，ＣＰＭ教材把四部分的内容综合编排，知识由浅到深，螺旋式上升．从内容来看，代数与函数部分内容主要涉及线性函数、指数函数、二次函数、反函数、方程等，其中有一半的内容是中国初中阶段的内容，比如二次函数、线性函数、函数与方程等，相对来说，该教材知识点少，较注重函数模型的实际应用；统计和概率部分涉及面较广，具体涉及散点图、概率模型、概率计算、正态分布、盒状图、强正相关、中心极限定理等知识点，内容比中国教材更丰富，而且在知识呈现方式上，把统计知识和概率知识交叉进行，利于学生更透彻的理解概率统计知识；几何与三角函数内容包括平面图形、立体图形、相似三角形和全等三角形的判定、圆与圆的方程等；离散数学这部分的内容具有较强的实际意义，主要包括用顶点边缘图、欧拉回路、顶点着色问题、回归、相关性、网络优化问题等，其中大部分内容，中国教材中都未呈现．另外，对于这四部分的内容都特别强调用计算机软件等信息技术辅助完成，基本上每个小节都需要使用ＣＰＭＰ软件．３ 教材的编排结构教材的编排结构是指教材内容的展开顺序及表现形式，教材的结构制约着学习活动的开展形式，影响着学生的思维方式和学习方法，优化的教材编排结构有助于激发学生的非智力因素参与学习，充分发挥教材的功能．下面我将根据图１来详细呈现ＣＰＭ教材的编排结构．ＣＰＭ教材先由单元引言说明学生在本单元中需要学习的知识和技能，然后列出此单元中所包含的各小节内容，并用简短精炼的句子概括每节课的主要内容以及学习目标．具体每节课包括图１ ＣＰＭ教材结构图２～５个数学探究（Ｉｎｖｅｓｔｉｇａｔｉｏｎ），每个探究都先以一小段文字引出问题，或设置一个问题情景，然后由几道例题组成，值得注意的是，教材上的例题、习题等均没有答案，每道例题下又设有ａ、ｂ、ｃ、ｄ等几个小问．这些小问将一个复杂的问题分解为几步引导学生深入而有序的思考，逐步递进，由易到难，从而得到所需的定理公式．在每个数学探究之后，呈现的是总结环节（Ｓｕｍｍａｒｉｚｅ ｔｈｅＭａｔｈｅｍａｔｉｃｓ），这个环节并没有直接生硬的呈现本节课的重要内容和方法，而是同样设置了几个问题，让学生自己总结、解释、分享他们的发现和收获，最终目的是梳理探究过程所学的知识和方法，使学生形成系统的知识结构．接着是练习环节（Ｃｈｅｃｋ Ｙｏｕｒ Ｕｎｄｅｒｓｔａｎｄｉｎｇ），通常通过一道习题来检测学生对所学内容的理解与掌握程度．最后，在所有课堂探究之后有一个“自我检测（Ｏｎ Ｙｏｕｒ Ｏｗｎ）”环节，这部分又分为应用（Ａｐ－ｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ），联系（Ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎｓ），反馈（Ｒｅｆｌｅｃ－ｔｉｏｎｓ），扩展（Ｅｘｔｅｎｓｉｏｎｓ），复习（Ｒｅｖｉｅｗ）五个层次的习题，各个层次习题的难度和目的不同，层次分明、目的明确，有利于学生加深巩固所学的数学知识．通常每单元有三到五小节，最后一小节为回顾，主要是用来梳理整个单元所学到的知识，这个部分通过７～９个例题来巩固所学的知识和方法，最后也有一个“总结”和“练习”两个环节，“总结”环节也是以问题给出，一般一个问题涉及一个知识点，弄懂了这些问题也就掌握了章节所学内容．４ 教材中的数学探究ＣＰＭ教材的每个单元都是围绕一个比较大的问题设计出连续的课程，每个小节的内容包含２～５个数学探究，让学生参与课堂活动的四阶段循环探究：开始、探索、分享、总结．最后就是练习环节．这个循环的目的是让学生在探究过程中理解问题情境，建立重要的数学概念和思想方法、总结和证明数学相关知识的联系，并互相交流他们的研究成果以及学习到的数学思想．其中大部分探究的设计，需要以两到四个学生为小组进行合作完成．通常在探究前每节开头都会给出一个跟本节课内容相关、带有启发性的现实生活问题，接着呈现环节“思考这种情形”，这个环节主要是给出几个更具体的问题，让学生讨论思考．之后就是与中心问题有关的几个探究，下面我们以第三册单元１———推理证明为例进行分析（如表２所示）．该单元一共四小节内容，每节有２～３个探究，每个探究中的例题数从４～９不等，共５４道，例题的素材来源很丰富，比如第４小节探究１从绿豆种子的发芽、小儿麻痹症疫苗实验、安慰效应等让学生探究有效实验设计的三个重要特征及其注意问题．而且该小节的情境引入（“思考这种情形”）也是以一个判断用左手和右手叠硬币结果是否相同的实验引出．每个探究之后都有一个“总结”和“练习”，总结部分也是以几个问题为主，比如第４小节探究３中的问题：什么是随机抽样？在抽样调查、实验调查、观察调查中如何做到随意性？你能从抽样调查、实验调查、观察调查中得到什么结论？思考并分享你的结果．表２ 第１单元———推理证明探究部分探究例题数解释说明推理策略①推理因素４从犯罪现场、游戏、数据、面积的推理介绍数学和非数学情境的推理策略和推理因素②“如果－那么”语句推理７介绍“如果－那么”模式，归纳推理和演绎推理概念及其运用．几何推理及证明 ①相交直线及其角度推理４探究两条相交直线所形成的角之间的关系，并用归纳推理和演绎推理说明．②平行直线及其角度推理８探究平行直线被另外一条直线所截所形成角之间的关系，并用归纳推理和演绎推理说明．续表探究例题数解释说明代数推理及证明 ①代数法９探究用代数方法来证明数据模型和重要的数学性质．②方程法５探究用方程的思想证明重要的代数、几何、三角函数中重要的定理．统计推理①实验设计６主要是介绍如何设计实验、探索有效实验设计的三个条件以及需要注意的问题．②偶然还是必然６主要探索随机测试及其推理步骤，随机测试的作用，统计推理与数学证明的不同．③统计研究４介绍统计研究的三个类型及其特点：抽样调查、实验调查、观察调查．抽样调查中的随意性．５ 教材的习题特色习题作为数学教科书的一个重要组成部分，有着巩固和深化新知、补充与延伸新知、综合运用新知、领悟数学思想方法、诊断反馈补救与育人等功能．习题配置在一定程度上反映了数学教材编者的价值取向和编写风格．ＣＰＭ教材的习题设置具有较强的特色，习题主要呈现在每节后面的“自我检测（Ｏｎ Ｙｏｕｒ Ｏｗｎ）”，此部分习题也常作为学生的家庭作业．以ＣＰＭ教材全三册概率与统计部分的习题为例，对该部分的习题进行统计，统计方法为：ＣＭＰ教材以阿拉伯数字１，２，３……标注习题题号，用小写字母ａ，ｂ，ｃ……表示下设的小问题题号，笔者以小题号为一题．统计结果如表３所示：表３ 概率与统计部分习题应用联系反思拓展复习总计１－２数据模式６５ ３４ ２２ ４９ ６７ ２３７１－８机会模式６２ ２８ ３２ ３４ ６２ ２１８２－４回归与相关５４ ２９ ２３ ３２ ５３ １９１２－８概率分布８１ ５３ ３０ ２７ ７４ ２６５续表应用联系反思拓展复习总计３－１－４统计推理２３ １２ ４ １２ ３１ ８２３－４样本和变量８６ ５３ ３０ ２７ ７４ ２７０总计３７１ ２０９ １４１ １８１ ３６１ １２６３ （表３注：１－２表示第一册单元２，１－８表示第一册单元８，２－２表示第二册单元２，２－８表示第二册单元８，３－４表示第三册单元４，由于第三册单元１第四小节的内容属于概率与统计知识，故表示为３－１－４．）（１）习题配置注重层次性．在编写上，习题共分为５个层次：应用（Ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ）、联系（Ｃｏｎ－ｎｅｃｔｉｏｎｓ）、反思（Ｒｅｆｌｅｃｔｉｏｎｓ）、拓展（Ｅｘｔｅｎｓｉｏｎｓ）、复习（Ｒｅｖｉｅｗ）．每个层次有较强的针对性并且阶梯性强，而且各个层次的习题量和难度也不同，一般是“运用”和“复习”层次题量较大，“反思”和“拓展”层次难度大，能够满足不同水平学生的要求，给学生更大的选择性、自由性．值得一提的是，联系层次是把本节内容与先前所学的相关内容联系起来，从不同方面考察学生对知识的掌握程度；拓展层次是对一些与本节内容相关内容的综合，有利于开阔学生的知识面和见解；回顾层次是对所学内容的整理复习，不仅包含本小节内容的巩固练习，还包括前面所学知识的复习深化，利于学生对教材中的所有内容进行循环复习．（２）习题数量配置较大，由表４可知，该部分的习题小题总量为１２６３道题，每章的平均题量为２３６道，每节平均题量为９７道（共１３小节），从大题数来看，共３９１道，平均每节配置３０－４０道大题，而且大部分的习题都有３－６问（７２．５％的大题至少有三小问），层层铺垫，逐步推进解题过程，能较好的帮助学生寻找方法解决问题．另外，“运用”和“复习”层次题量各占２９．４％、２８．６％，这两种题型已占总题数的一半以上，“反思”层次题量所占比例最少．除此之外，ＣＰＭ教材习题还有如下特点：（１）知识含量丰富，比如拓展层次是对一些与本节知识相关的综合，回顾层次的题目不仅包含本小节内容的巩固练习，还包括前面所学知识的复习深化；（２）与例题匹配程度高，部分习题是以探究中的例题为背景，题目也与例题相似，直接是对例题的巩固深化、延伸拓展；（３）以培养问题解决和运用数学能力为主．教材的习题设置以关注如何更好的让学生运用数学知识解决生活中的问题为主，给学生提供一个数学实践的机会．６ 启示６．１ 现方式独特，结构编排流畅ＣＰＭ教材的内容非常丰富，它在单册的内容编写方面是逐步提升的，整体上为综合编排、知识交叉呈现，每册都包含四个分支：代数和函数，概率和统计，几何和三角学，离散数学，重要的数学思想和数学思维的培养经常通过各内容之间的整合与分开逐步渗透，按照由易到难顺序，过程中也可以出现回旋和重复，特别是在每节习题中设置了部分与所学内容不同领域的复习题，给学生提供与其他领域相联系的机会，这有利于学生学习和理解其他领域的内容并促使学生建构一个完整、相互联系的数学知识体系．整版教材完美体现了综合编排理念，不过每册的侧重点不同．在知识呈现方面均是以问题解决为中心，按照“目标问题→探究１→总结→练习→探究２→总结→…→”模式展开，环环相扣，新颖独特．教材除去某一些定义、定理、公式直接详细给出之外，其他内容都是以问题的形式出现，且例题、习题等均没有答案，所有的东西都需要通过学生自己探究得出．教学过程的设置以学生的理解为出发点，注重学生自己发现、探究、证明、总结、分享知识．６．２ 视数学应用，强调问题解决美国数学教育以问题解决为中心，强调学生对知识的理解和建构，注重能力的培养．ＣＰＭ教材非常重视数学中的应用，特别是数学在实际生活中的运用，教材更是从多角度、多层次编排了数学应用的内容，几乎所有知识的探究都有一个应用性的背景作为依托，并突出数学应用的思想方法，增强应用的实践性、综合性．而且这些应用与学生的日常生活中的问题密切相关，在每节课之前的“思考这种情形”环节，经常是围绕一个与学生生活息息相关的问题进行展开，“探究”部分所引用的例题均是以学生感兴趣的事物作为知识的生长点，让学生从周围熟悉的事物中学习数学和理解数学，从而使学生积极的参与到整个学习过程中．问题解决也是美国《共同核心州立数学标准》的一个重要课程目标，解决数学问题的能力是具有数学素养的重要标志．ＣＰＭ教材每章都通过创设问题情境引导学生通过探究解决问题，在例题和习题部分贯穿问题解决，在课程中重点安排内容介绍问题解决策略，鼓励应用各种方法解决新的问题情境，用问题解决来培养学生的数学思维．６．３ 注重数学探究，强调数学交流弗莱登塔尔在《作为教育任务的数学》中指出“学习数学的唯一正确方法是实行‘再创造’，也就是由学生本人把要学的东西自己去发现或创造出来”［２］．美国高中数学的焦点是推理与意义建构，这指学生在新情境中运用数学工具与方法解决问题的能力，数学问题解决、推理与证明、交流等数学过程的基础．数学探究作为培养学生自主学习、创新能力的重要途径，已成为一个颇受关注的研究问题．ＣＰＭ教材的正文是由一个个探究及一个个问题构成，整个课堂是个大型的探究课，包括探究背景、探究问题、探究过程、探究结论等．习题中也设置了大量的自主探究题，部分还是学生之前没有学习的新知识，主要通过学生动手试验自己学习得出结论，开放性程度高．教材不仅提倡对探究能力的培养，也注重对学生交流能力的培养，比如在每个探究后的总结环节中提出几个问题后，都会要求学生做好向全班同学解释自己方法的准备，在课后习题中也会有总结分享的要求．因此，数学探究和数学交流贯穿在整个教材当中，较好的培养了学生独立思考、动手解决问题、合作探究的能力，更培养了学生的创新能力和全面思考的能力．６．４ 整合信息技术，培养数学能力信息技术与数学课程的整合越来越成为基础教育领域中一个颇受关注的问题，信息技术既能以最有效的方式传递数学教学过程中的各种信息，又能强化教师、学生之间的互动［３］，能较好的改善学生的学习方式和教师的教学方式．对教材文本信息技术内容的分析可知，ＣＰＭ教材与现代信息技术密切相关，在“探究”的例题和“自我检测”题当中，对各个问题的探究都依赖于计算器、计算机、图形计算器、网络浏览器等工具的使用，学生可以使用计算器、计算机重复试验，模拟探究，最终得出结论并与同学分享、交流，使学生能够更深刻地理解数学、应用数学，从而增加学生动手实践、合作互助、主动探索的机会，较好地培养了学生的数学能力，极大地丰富了学生进行数学探索的范围和质量［４］．美国ＣＰＭ教材还配有专门的学习工具软件ＣＰＭＰ，其使用贯穿在整个教学过程中．教材在序言中也强调图形计算器的使用将贯穿整个课程，ＣＰＭＰ工具将为数学学习和问题解决提供强大的辅助功能，信息技术的使用以培养学生数学思维能力和解决问题的能力为核心．这也与《共同核心州立课程标准》中把数学工具（数学技术）的使用（如数学软件等）列为核心的数学思维能力的要求是一致的．参考文献１ Ｍｉｃｈａｅｌ Ｒ．Ｈａｒｗｅｌｌ，Ａｍａｎｕｅｌ Ｍｅｄｈａｎｉｅ．Ｐｒｅｐａｒａｔｉｏｎ ｏｆ Ｓｔｕｄ－ｅｎｔｓ Ｃｏｍｐｌｅｔｉｎｇ ａ Ｃｏｒｅ－Ｐｌｕｓ ｏｒ Ｃｏｍｍｅｒｃｉａｌｌｙ ＤｅｖｅｌｏｐｅｄＨｉｇｈ Ｓｃｈｏｏｌ Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ Ｃｕｒｒｉｃｕｌｕｍ ｆｏｒ Ｉｎｔｅｎｓｅ ＣｏｌｌｅｇｅＭａｔｈｅｍａｔｉｃｓ Ｃｏｕｒｓｅｗｏｒｋ．Ｔｈｅ Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｅｘｐｅｒｉｍｅｎｔａｌ Ｅｄｕ－ｃａｔｉｏｎ，２０１２２ 弗赖登塔尔．作为教育任务的数学［Ｍ］．上海：上海教育出版社，１９９５３ 刘晓玫，刘志菡．论信息技木与中学数学课程整合的意义和存在的问题［Ｊ］．课程·教材·教法，２００６，２：６４－６７４ 吴华，马东艳．美国信息技术与数学课程整合的研究与启示［Ｊ］．电化教育研究，２００８，４：７５－７９（上接第３１页）另外，课堂教学不可忽视学生的主体地位，好的教学设计必须考虑学生的参与度，要让学生在整个教学环节中都主动积极参与、探究知识的形成过程；教师也要充分认识学生的心理特征和知识结构，这样才能激发学生的学习兴趣和求知欲，让课堂焕发师生生命的活力，让课堂更精彩．参考文献１ 王海青．“平面向量基本定理”的教学重点及教学建议［Ｊ］．数学通报，２０１３，７２ 陆正海．基于课程理念的平面向量教学［Ｊ］．数学通报，２０１２，８３ 肯尼斯．莫尔．课堂教学技巧［Ｍ］．北京：人民教育出版社，２０１０，１。
美国共同核心州课程标准高中数学
美国共同核心州课程标准高中数学作者：莫文骅来源：《课程教育研究·中》2013年第11期【摘要】2010年3月10日推出了《美国共同核心州课程标准》（草案），并于6月初正式公布。
这是由美国50个州长在内“全美州长协会”和全美范无党派组织“学校管理委员会”共同研制的标准。
该标准的数学部分旨在解决美国数学不够连贯和重点的问题，解决美国数学课程宽泛而不够深入的问题，实现强调核心内容理解与建立核心内容之间的组织原则，以及提高学生的数学学习水平。
【关键词】州课程标准 CCSD课程标准数学【中图分类号】G633.6 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2013）11-0144-012010年3月10日，全美州长协会（National Governors Association ，以下简称NGA）和美国州首席教育官员理事会（The Council of Chief State School Officers，以下简称CCSSO）联合推出了《美国共同核心州课程标准》（草案）《Common Core State Standards（Draft）》这是一个涵盖K-12各个年级的，包括数学与英语通识（English Language Arts and Literacy in History/Social Studies & Science）两个基础学科的课程标准体系。
6月初正式公布了Common Core State Standards for Mathematics（以下简称CCSSM）。
一、CCSD标准的基本理念该标准旨在确定学生在K-12年级所学的知识、技能，进而确保学生高中毕业以后，可以在高校课程和劳动力职业培训方面获得成功。
该标准力求以数学和英语（这里的英语相对于国内的语文学科来讲有更为广泛的覆盖面）两个核心的基础性科目为突破，进而开发其他学科（如科学）的共同核心课程标准。
该标准旨在实现如下特征：（1）力求与高校和职业的需求相一致；（2）力求清晰、可理解、一致；力求包括严格的知识内容（rigorous content）和高级技能（high-order skills）的应用；（3）建立在现有州课程标准的经验和教训之上；（4）吸收其他表现优秀国家的经验，以便学生可以为将来的国际经济与社会竞争中取得成功；（5）基于实证证据。
美国CCSSM数学实践标准的内涵、渊源与实施路径分析(定稿修改1)+(1)
美国CCSSM数学实践标准的内涵、渊源与实施路径分析摘要美国《州共同核心数学标准》自2010年颁布以来受到各界广泛关注，特别是其中的数学实践标准因叙述简约,如何理解其涵义使其有效实施就成为美国数学教育领域当前讨论的热点。
本文阐释NCTM数学过程观（问题解决、推理与证明、交流、关联、表征）与NRC数学素养观（概念理解、过程流畅、策略能力、适当推理、积极的态度），剖析比较CCSSM数学实践标准的内涵、渊源，通过案例分析数学实践标准的具体实施路径，并得出如下启示：培养学生数学素养是数学教育的重要目标，数学实践是贯穿于数学内容的统领线，数学教育理论研究在于改善数学教育实践，国际数学课程标准的趋同化。
关键词：CCSSM,数学实践标准,数学素养,数学过程ABSTRACT Since The Common Core State Standard for Mathematics promulgated in 2010,it has been received extensive attention from all walks of life. Especially the mathematics practice standards narrated contractedly, how to understand its connotation to make it effective is a hot-spot in the current discussion of mathematics education to the United States.This article explains NCTM mathematical process(Problem solving, reasoning and proof, communication, association, characterization),analyzes and compares CCSSM mathematics practice standards connotation and origin.Through the case analyzes mathematical practice standard specific implementation path and concluded the following enl ightenment:to cultivate students’ mathematical proficiency is an important goal of mathematical education,mathematics education theory research is to improve the mathematical education practice and international mathematics curriculum standards are convergence.KEY WORDS CCSSM; mathematical practice standards;mathematical proficiency;math- ematical process目录前言 (1)第一章美国数学教育中的数学“过程与素养”观 (1)1.1 NCTM“过程”理解 (1)1.2 《加起来——帮助学生学习数学》的数学素养观 (3)第二章CCSSM数学实践标准的渊源 (5)2.1 CCSSM数学实践标准的内涵阐释 (5)2.2 CCSSM数学实践标准的渊源分析 (8)第三章CCSSM数学实践标准的实施路径 (20)3.1各州实施数学实践标准的具体方法 (20)3.2 案例分析 (22)第四章讨论与思考 (24)4.1数学教育理论研究在于改善数学教育实践 (24)4.2国际数学课程标准制定的趋同化 (25)4.3数学实践是贯穿于数学内容的统领线 (25)4.4数学素养的教育价值 (26)参考文献： (27)致谢 (28)前言2010年6月2日，美国颁布了首部《州共同核心数学实践标准》,旨在通过培养学生的数学素养，提高学生的数学学习。
美国《州共同核心数学标准》解读
美国《州共同核心数学标准》解读范文贵;李伟华【期刊名称】《天津师范大学学报（基础教育版）》【年(卷),期】2012(000)002【摘要】The National Gvoernors Association Center for Best Practices and The Council of Chief State School Office released the Common Core State Standards for Mathematics.The standards include teaching contents of kindergarten,grade 1-8,and senior high school,whose characteristics are as follows：develop practical ability of students;emphasize understanding of mathematics;technology plays an important role in mathematics;definite the mathematical proficiency of American primary and secondary students.There is gap between the development work of Standards and international benchmarks;design of the content of geometric still needs to test in teaching practice.%美国州长协会最佳实践中心和州首席教育官员理事会共同颁布了首部《州共同核心数学标准》。
《标准》阐述了幼儿园、1～8年级、高中三个阶段的教学内容。
《标准》旨在实现如下特征：发展学生数学的实践能力、强调理解数学、技术对数学产生巨大影响、明确了美国中小学生数学素养内涵。
共同核心州立英语标准
共同核心州立英语标准一. 什么是CCSS？CCSS（Common Core States Standard），又称美国共同核心州立标准，是2010年颁布的统一美国K-12的课程标准。
过去，美国各州对待教育的态度不同、教育系统和要求也不一。
也许在德克萨斯州文学得A的孩子到了加利福尼亚州只能得C，所以美国大学很难按照各州孩子的成绩来判定他们是否符合自己的招生标准。
为了改变全美各州课程、教学各成体系，彼此之间难以匹配协调这一问题，奥巴马政府时期，美国48个州的政府教育官员和专家共同制定的这套针对数学和英语语言文学（ELA）的学术水平标准，明确了学龄前至12年级学生所应该掌握的知识和技能，强调培养学生成功所需的批判性思维（critical-thinking）、解决问题（problem-solving）和分析能力（analytical skills）。
二. CCSS每个阶段对应的阅读能力是怎么样的？在英语阅读方面，CCSS从文学作品（literature)、信息类文本（informational text）、基本阅读技巧（foundational skills）三个方面作出了分级要求。
例如文学作品这一项下，对每个年级孩子在主要观点与细节（Key Ideas and Details）、写作手法与文章结构（Craft and Structure）、知识与思想的结合（Integration of Knowledge and Ideas）、阅读范围及文本难度（range of reading and level of text complexity）上的理解能力做了更加细致的要求。
随着年龄的增长，CCSS对学生阅读理解能力的要求逐步提升，简而言之就是：✔主要观点与细节：由文本的简单复述过渡到对细节、主旨、人物（思想、言语或行为）的批判性对比分析。
✔写作手法与文章结构：由识别生词、文本类型和叙事角度过渡到对词汇的深层意义和作者选词用意的分析，对文本结构、要素、风格的探讨，对不同叙事者观点的比较。
美国“共同核心州立标准”中K-2年级数学标准简介
美国“共同核心州立标准”中K-2年级数学标准简介作者：郭力平谢萌来源：《幼儿教育·教育科学版》2012年第03期【摘要】美国2010年颁布的“共同核心州立标准”包括《共同核心州立数学标准》和《共同核心州立英语语言标准》。
“共同核心州立标准”的颁布对美国基础教育整体质量的提升有积极作用。
本文对《共同核心州立数学标准》的目标、结构以及K－2年级的具体内容作了介绍。
美国的经验有一定借鉴价值。
【关键词】“共同核心州立标准”；数学标准；K－2年级；美国【中图分类号】G619【文献标识码】A【文章编号】1004－4604(2012)03－0045－052010年美国全国州长协会和各州教育长官委员会联合正式颁布“共同核心州立标准”(Common Core State Standards，简称CCSS)。
“共同核心州立标准”是在原有各州立标准的基础上形成的共同的核心标准，旨在改善各州标准分立、低效的局面，促使全国各个年级的学生明确所需掌握的知识、技能，为进入大学及未来就业做好充分的准备，进而提高美国的国际竞争力。
最新颁布的“共同核心州立标准”包括《共同核心州立英语语言标准》与《共同核心州立数学标准》(以下简称数学标准)两份文件。
本文将具体介绍“共同核心州立标准”中美国K－2年级(即幼儿园－小学二年级)的数学标准。
一、数学标准的基本目标及结构相关研究认为，美国各州原有的数学标准的主要问题在于内容宽泛，不够深入。
因此，《共同核心州立数学标准》制定的一个主要目的就是让美国K－12年级学生的数学学习内容更具针对性和连贯性。
在已有研究成果的基础上，数学标准描述了八条数学领域的通用能力标准，即问题意识、解决问题的坚持性、抽象思维、定量思维、对他人的看法提出建设性意见、数学建模、合理利用工具、逐步掌握精确化的数学逻辑。
通用能力标准若能与学习内容标准相结合，将确保儿童数学学习的有效性和深入性。
K－12年级的数学标准按六个领域划分，分别是数和量、代数、函数、几何、概率与统计、数学建模(具体名称表述各年级有所不同)。
美国中学数学课程标准概述
美国中学数学课程标准概述
胡庆芳;程可拉
【期刊名称】《中小学教学研究》
【年(卷),期】2003(000)005
【摘要】@@ 美国全国数学教师委员会在2000年发表了<2000年数学标准>.全国数学教师委员会规定,所有中学生都要打下数学概念、数学定理及其运用的牢固基础.这对于将来进大学继续深造的学生或进入工作世界的学生来说都一样重要.所有学生在中学的4年里每一年都要学习数学.因为学生的兴趣和志向在中学期间和毕业之后会发生变化,所以他们的数学教育应当保证享受到职业和学术取向的广泛选择.他们应当学习代数、几何、统计、概率和离散的内容.他们应当理解函数、对数、恒等、变形等数学概念.他们应当学会用数学术语来熟练地描述和分析不同的情形,并且能够证明和证实一些数学命题.
【总页数】1页(P61)
【作者】胡庆芳;程可拉
【作者单位】华东师范大学,200062;华东师范大学,200062
【正文语种】中文
【中图分类】G51
【相关文献】
1.基于核心素养的《普通高中数学课程标准(2017年版)》解读——访数学课程标准修订组组长、东北师范大学原校长史宁中教授
2.美国中学教育：我们值得借鉴
什么——评《一个中国女孩的美国中学生活》3.基于核心素养的《普通高中数学课程标准（2017年版）》解读——访数学课程标准修订组组长、东北师范大学原校长史宁中教授4.美国中学教育:我们值得借鉴什么--评《一个中国女孩的美国中学生活》5.美国中学生课外活动概述
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课程研制视角下的美国《州际共同核心标准》评介
研 制 的视 角分析和解 读这一标 准 ，进 而为我 国的基础教 育 改革提供 参考 。
关键词 ：课程研 制 ；美 国；州际共 同核心标 准 ；评介 作者简 介 ：王 健／ 京师 范大学生命 科 学学院讲 师 （ 北 北京 １０ ７ ） ０ ８５ 刘恩 山／ 北京师 范大学生命科 学学院教 授 （ 北京 １０ ７ ） ０８５
一
轮课 程改革 的序幕 。
些标 准 应 该纳 入 到共 同标 准之 中，这确 保 了共
二 、 《 同标 准》 的研 制机制 共 经 ＮＧ Ｃ Ｓ Ａ／ ＣＳ Ｏ的授 权 ，在 ＮＧ Ａ的 资 助 下 ，美 国Ａ ｈｅ ｅ ｃ ｉ 公司 负责起 草阅读和 数学 学科 ｖ
的共 同标准 。
经济 的数学和科 学教育 改革 （ ｈ Ｏ ｐ ｒ ｎｔ Ｃ ｎｅ） 的代 表 在 芝加 哥 召 开会 议 ，讨 论 美 国 Ｔ ｅ ｐ ｏｔ ｉ ｕ ｙ ｅ ｔｒ
Ｅｑ ａ ｉｎ： ａ ｓ ｏ ｍ ｉ ｇ Ｍ ａｈ ｍ ａｉ ｓａ ｄ Ｓ ｉｎ ｅ ｕ ｔｏ Ｔｒ ｎ ｆ ｒ ｎ ｔ ｅ ｔ ｎ ｃｅ ｃ ｃ
州 数 学和科 学 教育 的共 同标 准 ；建 立 有效 的教
育 管理 体 系 ，改进 教师 的教学 技 能和 专业 知 识 学 习 ， 同时改 革学 校和 教 育体 系 ， 以提 高学 生 的学业成绩 。Ｌ ２ 该 报 告 的发布 引起 了美 国社会 各 界对 基 础 教育 问题 的关 注 。２ ０ 年 ，美 国４ 个 州 的代 表 ０９ １
美 国教育 行政 的最大特 点是地 方 分权 制 ， 由地 方 控 制 教育 ，【各州 有权 独 立 地 制 定教 育 ｌ 政策 和 教学 标准 。各 州 在基 础教 育各 个 学科 教
中美高中代数标准的比较研究
为中学代数的主要脉络．数与量，式与方程是传统 意义上高中代数的重要组成部分．近二十年来，中 美两国高中代数内容安排上逐步拉开距离． ３．１对于数系扩张，两国处理完全不同 美国高中数学标准把数与量作为首项．而我 国高中课标把“数系扩充复数引入”分别安排在 选修１—２（文科）和２—２（理科），注意力有所 降低．
美国数学实践标准
美国高中数学建模标准 （把实际情境转化为数学模式） ３．分析与变形，推理与计算； （即对所得的模式进行数学操作） ４．解释，翻译与还原； （即把所得数学结果还原为实际
（计算是数学推理的一种有效表述形
式）
３．构建可行论据，形成思维序列． ４．利用数学，建立模型 （建模促进数学应用） ５．讲究策略，利用合理的工具；
探究：
（蛎）”一口
数
概
用有理指数幂的序列逼近无理指数幂 １．扩展指数的性质到有理指数 复数系 ・执行复数的算术运算， ・在复平面上表示复数及其运算， ・在多项式恒等式和方程中使用复数
ｎ詈一沥ｉ（口＞０，ｍ，聍∈Ｎ）
用逼近法求无理指数幂 数系扩充与复数引入 １．在问题情境中了解数系扩张过程
念
的 发 展
６．关注精确性；
情境的解答．） （模式改进，经历过程）
７．寻找和使用结构
８．寻找和表述重复推理过程；
５有效性验证，模式的改进； ６实践中感悟，运用中创新；
由表２可见，我国高中数学理念，特别是６， ７，８条，具体反映了建国以来数学课程与教学改 革的成果，具有我国自身特色．美国的两组标准， 对数学实践提出了新颖见解，也反映了美国一贯 对数学建模的重视． ３对数与量概念处理的比较 数的概念的发展，是传统代数学的第一根支 柱．建国以来我国代数教材把数的概念发展看成
美国《共同核心数学课程标准》的背景、内容、特色与启示
美国《共同核心数学课程标准》的背景、内容、特色与启示曾小平;刘效丽
【期刊名称】《课程．教材．教法》
【年(卷),期】2011(000)007
【摘要】为了提高基础教育质量和国际竞争力，为学生上大学和工作做好充分准备，美国研制了首部各州统一的数学课程标准，即《共同核心数学课程标准》，规定了美国K-12年级学生需要掌握的数学知识与技能。
该标准目标明确、重点突出、系统性强、内容简洁，对我国基础教育数学课程改革有启发意义。
【总页数】5页(P92-96)
【作者】曾小平;刘效丽
【作者单位】首都师范大学初等教育学院,北京100048;首都师范大学初等教育学院,北京100048
【正文语种】中文
【中图分类】G633.6
【相关文献】
1.《美国州际核心数学课程标准：历史、内容和实施》 [J], ;
2.美国《州共同核心数学标准》的内容与特色 [J], 廖运章
3.美国《共同核心州立英语标准》的内容、特征及启示 [J], 胡进
4.美国《共同核心州立英语标准》的内容、特征及启示 [J], 胡进
5.融合教育背景下美国重度障碍学生数学课程标准对我国的启示
——以路易斯安那州为例 [J], 何红艳;王世滢;马兰;刘春玲;王和平
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中美两国课程标准中高中函数内容的比较
中美两国课程标准中高中函数内容的比较严卿;胡典顺;汪钰雯;纪静萍;黄舒娴【摘要】美国于2010年颁布了《共同核心州立数学标准》,其高中函数部分的内容与中国《普通高中数学课程标准(实验)》相比,二者的知识点都有比较清晰、具体的要求,都重视函数的应用以及与信息技术的结合;而在课程实施的灵活性、内容编排的逻辑性与具体知识点的要求等多方面都有一定的区别.比较中美两国数学课程标准的高中函数内容,可以得到不少启示,在未来的课程改革中要处理好数学课程标准中函数内容的限定与自主的关系,函数知识的理解与应用的关系,函数知识与其它数学知识的关系.【期刊名称】《数学教育学报》【年(卷),期】2015(024)004【总页数】6页(P19-24)【关键词】共同核心州立数学标准;函数;中美比较【作者】严卿;胡典顺;汪钰雯;纪静萍;黄舒娴【作者单位】华中师范大学数学与统计学学院,湖北武汉430079;华中师范大学数学与统计学学院,湖北武汉430079;华中师范大学教师教育学院,湖北武汉430079;华中师范大学数学与统计学学院,湖北武汉430079;华中师范大学数学与统计学学院,湖北武汉430079;华中师范大学数学与统计学学院,湖北武汉430079【正文语种】中文【中图分类】G40-059.3长期以来，美国认识到如果不提高基础教育，特别是数学教育的质量，美国就会失去全球化竞争力.强烈的危机感以及学生在第三次国际数学与科学教育研究（TIMSS），国际学生评估计划（Program for International Student Assessment，简称PISA）等国际比较项目中表现不佳，促使美国数学教育界不断地反思、比较，以改进自己的数学教育[1].近年来，全美数学教师理事会（National Council of Teachers of Mathematics，NCTM）公布了一系列的数学课程与数学标准，如《学校数学的原则和标准》（2000）、《课程焦点》（2006）、《高中数学焦点：推理与意义建构》（2009）等.这些课程与标准的出台旨在提高美国学生的数学成绩，建立具有国际竞争力的全美统一的优质数学教育.2010年，全美州长协会（National Governors Association，NGA）和各州教育长官理事会（The Council of Chief State School Officers，CCSSO）共同推出了《共同核心州立数学标准》（Common Core State Standards for Mathematics，简称CCSSM），标准的出台在美国引起了很大的反响[2~4].进入新世纪，中国也相继成立了义务教育和普通高中课程标准研制小组.2003年4月，出台了《普通高中数学课程标准（实验）》.纵观两国数学课程标准，可以找到许多值得相互借鉴的地方.在《共同核心州立数学标准》中就明确指出借鉴了中国的课程标准；而在《普通高中数学课程标准（实验）》中虽然没有专门注明，但注重提供知识的实际背景、对于活动过程与问题解决的重视等都能看出对于美国数学教育的借鉴.以上也就体现了东西方教育“相向运动”的态势[5].目前，国内学者关于美国数学教育的研究有不少成果[6~14]，中美两国数学课程标准的比较及其相关研究也是研究的热点问题之一[15~19].显然，借鉴美国经验，既能为解决中国当前数学教育的问题提供参考，又能给课程改革以启示.函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型.通过函数的学习，学生可以理解数学知识来源于生活、而又应用于现实生活，能够加深对于数学本质的认识.和《美国学校数学教育的原则和标准》（NCTM，2000）相比，《共同核心州立数学标准》中的函数部分脱离了代数而单独列出，足见其所受到的重视.中国《普通高中数学课程标准（实验）》中，函数也占据着重要的地位.在编排顺序上，函数是必修数学1中的主要内容，数学1又是其它内容的基础，且专门提到“函数的思想方法将贯穿高中数学课程的始终”[20].距离《普通高中数学课程标准（实验）》颁布已有10年，其中函数部分的相关内容始终是研究关注的重点领域[21~24].以中美两国课程标准中的“函数”内容为例，对中国《普通高中数学课程标准（实验）》（2003）（以下简称“中国《标准》”）和美国《共同核心州立数学标准》（2010）（以下简称“美国《标准》”）进行比较.希望通过比较研究能给中国数学课程标准的修订与教学改革提供一些参考.美国《标准》函数部分的内容标准分为4大板块：（1）理解函数；（2）建立函数；（3）线性函数，二次函数，指数函数模型；（4）三角函数.中国《标准》关于函数的内容来自数学1中函数概念与基本初等函数Ⅰ以及数学4中的三角函数.主要内容包括：（1）函数；（2）指数函数；（3）对数函数；（4）幂函数；（5）函数与方程；（6）函数模型及其应用；（7）实习作业；（8）三角函数等8个部分，以及“说明与建议”部分中相应内容的补充.下面以美国《标准》的划分维度为依据进行比较.2.1 理解函数理解函数见表1.美国《标准》中的“理解函数”部分涵盖内容很广，既包含了函数的概念、性质等，又涉及从线性函数、二次函数到指数函数、对数函数等各初等函数的性质.与此同时，美国《标准》中没有专门涉及各初等函数的板块.因此，在这里把中国《标准》中（1）至（5）板块都归入该维度.从而，这种结构上的不同带来的一个主要区别即是对于具体初等函数要求的不同.以指数函数为例，中国《标准》中包括引入，概念、性质以及解决简单实际问题，强调连贯、全面学习指数函数.而在《美国》标准中，则有“会画指数函数图象，会求截距和极端情况”“会根据指数的性质去理解指数函数的意义”等，主要侧重于对于指数函数特点的分析.此外，美国《标准》将各初等函数的分析放在同一板块中，有利于对其进行比较.对于函数特点的分析，美国《标准》的要求更加丰富、具体.中国《标准》中所涉及的特点包括定义域、值域、单调性、最大（小）值、奇偶性、特殊点，美国《标准》中则多出了截距、正（负）区间、对称性、极端情况（当x趋向于无穷时的情况）、周期性、指定区间上的平均变化率、渐近线等.对于函数的表征，两国《标准》都强调了绘制函数图象以及利用图象研究函数性质.中国《标准》明确要求会画指数函数和对数函数的图象，美国《标准》除此之外还要求会画平方根、立方根、分段函数、多项式函数、有理函数等的图象.此外中国《标准》只是提出“根据需要选择恰当方法表示函数”.美国《标准》指出运用因式分解、配方等方法研究函数性质，并“会比较两个使用不同形式表征的函数的性质”，这就要求能够熟练地在不同表征间转换和转译，要求更加具体也更高.在结合实际方面，中国《标准》强调通过实例引出函数及初等函数内容，并利用实例帮助理解概念和性质.美国《标准》则侧重于实际背景下函数的运用，例如“在实际问题中根据实际意义确定函数的定义域”.最后，在与相关数学知识的联系方面，两国《标准》都提到了函数与一元二次方程的关系，美国《标准》简单指出二者图象上的关系，中国《标准》则专门利用一个板块，介绍利用函数零点来判断方程根的情况，以及根据图象，利用二分法求解方程.此外，美国《标准》还通过函数引出了数列的基本内容.2.2 建立函数建立函数见表2.美国《标准》中“建立函数”板块主要包括函数的运算、复合、变换以及反函数等.中国《标准》中相关内容较少，在此仅把“说明与建议”部分中反函数相关要求归入本维度.反函数是高中数学中的难点概念之一[25]，对于该部分的内容，中国《标准》只是要求“以具体函数为例进行解释和直观理解”，与之相比，美国《标准》具体列出了关于反函数的几条标准，例如求反函数在特定点的值、反函数的存在条件等，并要求能求已知函数的反函数.两国《标准》都提到了指数函数与对数函数这一对重要反函数，美国《标准》还要求会将其用于解决现实问题.美国《标准》要求会进行函数间的运算与复合，对于函数的变换要求会识别当解析式变化时图象的变化情况，并利用计算机研究参数改变时函数图象的变化.从“*”标记的情况与所给例子来看，美国《标准》这一板块的内容很重视函数与现实情境的联系.现实世界中的问题如果要转化为函数模型，往往不可能由某一种函数简单描绘，因此函数的运算、复合乃至变换就十分重要.此外，虽然中国《标准》在数列部分提到了其与函数的联系，但数列安排在了数学5中.而美国《标准》继“理解函数”部分提出数列概念后，这里又进一步涉及了等差数列和等比数列的通项公式.数列既是函数在数学领域中的应用、又是函数在现实中的应用，美国《标准》很好地诠释了这一点.2.3 线性函数二次函数指数函数模型线性函数，二次函数，指数函数模型见表3.美国《标准》中该板块要求在现实情境中，根据需要，在理解线性、二次和指数模型增长情况的前提下能够选择并利用合适的函数模型，重点在于能够识别这几种函数模型增长的差异.相应的，中国《标准》中“（6）函数模型及其应用”也包含了指数函数、对数函数等增长差异的比较以及初等函数应用等内容，故归入此维度. 两国《标准》都注意到了对几种增长型函数进行比较分析的必要性，也都认识到这种比较是基于实际应用中的需要，其中美国《标准》在这一板块的标题上直接标注了“*”，开宗明义地指出了这部分就是为函数模型服务的，例如“根据具体情境理解线性函数和指数函数中参数的意义”，正是由于现实情境的千差万别，导致会面对同种函数不同参数的情况，因此安排该知识点正是考虑到了函数的实际运用，与此同时，这种结合具体情境的安排对于学习者来说也是十分合理的，否则学习者恐怕难以理解为何要研究参数变化的情况.类似的，中国《标准》也提到“结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义”.具体到条目中的要求，美国《标准》的表述更加详细.例如，对于线性函数和指数函数的区别，要求证明二者在相等区间长度上函数值增长情况的不同；会在给定图象、关系描述或数据的情况下建立线性函数或指数函数模型；能够从图象或数表观察函数增长情况的区别.既有严格证明方面的要求，又要会识别图象或数据信息.相对而言，中国《标准》中只是简单提出要“比较差异”、“体会不同增长的含义”，没有具体说明要比较几种函数的哪些方面，要求不明确.“收集函数模型实例、了解函数的广泛应用”作为一条标准，很难界定需要怎样执行才算达到要求.2.4 三角函数三角函数见表4.在美国《标准》中，三角函数是唯一单独列出的初等函数，中国标准中更是将其安排在了数学4中，体现了对其特殊性的认识与重要性的认可.就具体内容来说，两国《标准》都由弧度制的定义入手，借助单位圆理解三角函数并推导出诱导公式，对于同角三角函数的关系式也做出了类似要求.对于三角函数的性质，两国《标准》共同关注的都有周期性.此外中国《标准》强调了单调性、最值以及图象与x轴的交点，美国《标准》则更重视三角函数的对称性、奇偶性.中国《标准》要求利用计算机画出三角函数图象，并研究参数变化时对函数图象变化的影响.美国《标准》对反三角函数提出了明确要求，能够求解反三角函数，并使用计算器求出数值.美国《标准》包含了和角与差角公式，相关内容中国《标准》则安排在了三角恒等变换中，由向量数量积引出.在三角函数的应用方面，美国《标准》要求能根据给定周期现象的特点选择合适的三角函数模型，根据具体情境列出三角方程；中国《标准》只提到用三角函数解决简单实际问题，缺乏更加细致的要求.中美《标准》中“函数”部分内容有很多相似之处，主要表现在以下几个方面：（1）知识点的要求都比较清晰、具体.中国《标准》中体现在“指数函数”、“对数函数”以及“函数与方程”部分的内容比较细致，美国《标准》在函数的表征、函数的运算与复合函数、反函数、初等函数比较等方面都有十分详尽的要求.另外，两国标准都提供了一些具体例子来配合说明，例如，美国《标准》在谈到数列是定义在整数子集上的特殊函数时联系了斐波那契数列的例子，中国《标准》在“运用函数图象理解和研究函数的性质”时也附加了一个关于变速跑步的参考案例. （2）都很重视函数的应用.中国《标准》中函数、初等函数的概念强调了解其实际背景，对于指数函数具体给出了几个背景实例如细胞分裂等，对于指数函数、分段函数、三角函数等也都要求能够简单应用，并且安排了“函数模型及其应用”板块，要求收集函数模型实例，体会其广泛应用.美国《标准》直观上通过“*”标记了大量与函数模型有关的内容，并且在涉及这些内容的地方安排了具体实例，如在复合函数部分安排了这样一个例子：随着时间变化的气球温度的函数由随着时间变化的高度函数与随着高度变化的温度函数合成.这种例子的安排能够帮助学生了解该知识点是如何应用于实际的.（3）都强调利用信息技术帮助理解和分析函数性质.例如美国《标准》要求“会使用计算机绘制复杂函数的图象，并会从图象中得到函数的主要特征”、“会使用计算机来验证和解释参数对于函数图象的影响”以及使用计算器求解反三角函数；中国《标准》中也有“能借助计算器或计算机画出具体指数函数、对数函数的图象，探索并理解指数函数、对数函数的单调性与特殊点”、“利用计算工具，比较指数函数、对数函数以及幂函数增长差异”以及借助计算机研究参数对于三角函数图象变化的影响等.两国《标准》“函数”部分内容也有很多不同之处，主要表现在以下几个方面：（1）标准实施中的灵活程度不同.美国《标准》虽然规定了函数部分的内容及要求，但并没有限定哪一个年级必须执行哪些知识点，课程设置有一定的自由度.中国《标准》则把除三角函数外的内容都列入了数学1中.数学1是数学2至数学5的基础，这样一来，函数课程的开设时间就相对被限定了.（2）板块（或内容）间的逻辑关系不同.两国《标准》中三角函数部分都被相对独立地安排，其余板块以及之间联系都有很大不同.美国《标准》“理解函数”部分侧重整个函数内容基础知识的学习，之后的“建立函数”与“线性函数，二次函数，指数函数模型”则是在此基础上的深入，且明显立足于函数的实际应用，即这3个板块体现了从学习知识到应用知识的递进过程，反映了由理解知识到在现实中应用知识，并在应用中加深理解的构想.与之不同，中国《标准》将几种基本初等函数单独设立了板块，前4个板块都主要强调函数的理解，第五板块“函数与方程”是函数在数学中的一个应用，其后才又专门设置了“函数模型及其应用”.（3）知识点的广度、深度不同.广度上，主要体现在美国《标准》相比中国《标准》多出了函数的运算、复合及变换这部分的内容，以及在绘制函数图象方面，要求能画平方根、立方根、多项式函数等的图象；中国《标准》则多出了用二分法求相应方程近似解.另外，美国《标准》没有涉及映射的概念.深度方面，美国《标准》在反函数与表征方面有较高要求，如求已知函数的反函数（包括反三角函数）以及比较两个使用不同形式表征的函数的性质等.而中国《标准》则在对数函数、函数与方程等内容上有更高的要求.4.1 处理好函数内容的限定与自主的关系美国《标准》是基于当前各州教育水平参差不齐，内容广而浅的现状而制定.要通过一部标准解决这些问题，对于标准中的知识点做出多大程度上的限定是关键.针对教育水平参差不齐的现状，《标准》中知识点呈现十分具体、详细的特点；针对内容浅显的问题，《标准》中很多知识点的要求也都有一定的难度.这样一来，内容比较固定，内容上允许的自由度较小.与此同时，美国《标准》并没有规定该部分内容在课程实施中的时间、顺序，就这一点来说，又留出了一定的自主空间，使得各州可以灵活安排实施.而在中国《标准》中，内容上同样比较固定，但相比美国《标准》多了按照模块划分的限制.函数所在的数学1作为其它必修内容的基础，被限定在高中数学课程的最开始，相关内容则分散在不同模块中，给教学带来了一些问题.例如，不等式是函数的基础，但却被安排在数学5，因此不得不提前给学习者讲授这一部分的内容[26].又如，三角函数和三角恒等变换安排在数学4中，而解三角形则被安排在数学5中，和数列、不等式放在一起，而数列也由此与函数分割开.归根结底，模块化的安排是为了让知识编排呈现螺旋形上升，帮助学习者逐步理解.然而，根据美国《标准》的附录A——《基于共同核心州立标准的高中数学课程设计》（Designing High School Mathematics Courses Based on the Common Core State Standards）所给出的4种课程编排模式，单是“理解函数”部分的知识点就被分散到了不同年级的内容当中[27]，螺旋上升的程度相比中国《标准》有过之而无不及.既然如此，又何必要作出模块化的限定呢？4.2 处理好函数知识的理解与应用的关系重视函数模型是两国《标准》共同的特点，如何贯彻这一点，处理好知识理解与应用的关系，两国《标准》的方式有所不同，主要体现在“结论”部分所指出的两国《标准》板块间逻辑关系的区别上.美国《标准》的编排从总体上看呈现由理解知识到应用知识的递进过程，具体到其中侧重于应用的两个部分（“建立函数”，“线性函数、二次函数、指数函数模型”），也体现了知识理解与应用的结合——由实际情境中运用函数的需求引出了复合函数、初等函数的比较等知识点，详细而有条理，内容充实，而不是空谈应用.中国《标准》在理解函数的内容中并没有忽视应用，强调由实例引出函数和初等函数的概念，这是该《标准》的一个特点，但落脚点仍在帮助学生更好地理解函数的概念与性质.至于之后安排的“函数模型及其应用”部分，其一内容太少，涉及的现实问题单一；其二缺乏具体相关知识点支撑，难以达到一定深度；其三该部分被放到最后，与其它内容割裂，容易流于形式.据此，建议联系具体函数知识点，适当增加现实情境中运用函数的内容，并力求详细、清晰，从而为函数模型的深入学习与运用创造条件.4.3 处理好函数知识与其它数学知识的关系函数的思想方法贯穿了高中数学中的许多知识点.F·克莱因曾提出，用函数的思想方法统领数学教育的内容.联系函数与相关数学知识，不仅对后者的学习有所帮助，也能加深对函数本身的理解.美国《标准》把“数列”的内容纳入函数中，此外还涉及了导数、方程等内容，并用“（+）”标明了与高等数学（如微积分，高级统计学，离散数学等）有联系的部分.相对而言，中国《标准》只是安排了“函数与方程”这一板块.虽然在选修与必修中的大量内容（方程、不等式、线性规划、数列、算法、信息安全与密码、优选法与试验设计等）中都蕴含了函数的思想方法，但由于模块化的安排所限，难以及时、灵活地与函数相关内容进行互动.因此，在函数内容中，对于这些部分，不妨做出适当引申，简单指出其与相关知识的联系.此外，由于这些内容相比函数本身往往更加接近现实情境，也可以结合函数的应用来一并考虑.【相关文献】[1]聂必凯，郑庭曜，孙伟，等.美国现代数学教育改革[M].北京：人民教育出版社，2010.[2]曹一鸣，王立东，Paul Cobb.美国统一州核心课程标准高中数学部分述评[J].数学教育学报，2010，19（5）：8-11.[3]廖运章.美国《州共同核心数学标准》的内容与特色[J].数学教育学报，2012，21（4）：68-72.[4]胡典顺，汪钰雯.美国《共同核心州立数学标准》中“高中代数”内容解读及启示[J].数学通讯，2013，（3）：1-5.[5]童莉，黄翔.寻求课程的一致性——对美国数学课程焦点的分析与思考[J].数学教育学报，2007，16（3）：79-82.[6]周莹，蔡金法.美国综合大学中学数学教育专业的课程设置探析——以美国特拉华大学为例[J].数学教育学报，2011，20（5）：70-73.[7]东洪平，张维忠.美国《成功的基础》评介及其对数学课程改革的启示[J].数学教育学报，2011，20（5）：74-76.[8]霍雨佳，黄翔.发掘数学教材的评价功能——对美国加州小学数学教材的分析与启示[J].数学教育学报，2011，20（3）：76-79.[9]刘玉波，汤大林，马仲立.关于美国微积分改革的思考[J].数学教育学报，2011，20（3）：80-82.[10]吕世虎，高丽.美国《中学数学教与学》教材的特点及其对中国数学教师教育的启示[J].数学教育学报，2010，19（2）：90-93.[11]吴俊利，郜舒竹.美国明尼苏达州数学学业标准的变化[J].数学教育学报，2010，19（4）：63-65.[12]李善良.美国中小学数学教育的现状及思考[J].数学教育学报，2012，21（1）：68-72.[13]方勤华，宋晓梅，孙名符.美国中小学数学教师数学知识素养要求及其问题与启示[J].数学教育学报，2009，18（5）：75-78.[14]王兆云.追寻优质的数学教育——一所综合了东西方教育理念的美国高中学校简介[J].数学教育学报，2011，20（6）：48-50.[15]胡典顺.美国学校数学教育中的“表征”及其启示[J].数学教育学报，2009，18（5）：72-74.[16]张伟平.TIMSS测试的认知诊断评价标准下中美学生数学能力比较[J].数学教育学报，2010，19（4）：66-69.[17]吴仲和.国际数学成就比较和教材评价[J].数学教育学报，2008，17（1）：20-29.[18]何小亚.教育战争与数学教育的出路[J].数学教育学报，2008，17（1）：70-74.[19]孙名符，丁玮.对20世纪以来美国中学数学教育目标变迁的再思考[J].数学教育学报，2007，16（2）：82-86.[20]中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（实验）[M].北京：人民教育出版社，2003.[21]吕世虎，刘鹏飞.《标准》与《大纲》中函数内容难度的比较研究[J].数学教育学报，2010，19（3）：63-66.[22]钟志敏，李士锜.高一学生函数对应关系的理解的研究[J].数学教育学报，2010，19（1）：33-36.[23]李祥兆，王小杭.高一学生对函数奇偶性的认知研究[J].数学教育学报，2010，19（3）：50-52.[24]李耀光，何小亚.新课程数学概念“螺旋式”上升编排的认知审视[J].数学教育学报，2010，19（4）：12-14.[25]阮晓明，王琴.高中数学十大难点概念的调查研究[J].数学教育学报，2012，21（5）：29-33.[26]张永超.关于《普通高中数学课程标准（实验）》适用性和科学性的几点思考[J].数学教育学报，2008，17（2）：61-64.[27]廖运章.美国基于CCSSM的高中数学课程设计模式[J].课程·教材·教法，2012，（9）：113-121.。
美国共同核心州立标准
Application t o S tudents w ith D isabilitiesThe Common Core State Standards articulate rigorous grade-level expectations in the areas of mathematics and English language arts.. These standards identify the knowledge and skills students need in order to be successful in college and careersStudents with disabilities ―students eligible under the Individuals with Disabilities Education Act (IDEA)―must be challenged to excel within the general curriculum and be prepared for success in their post-school lives, including college and/or careers. These common standards provide an historic opportunity to improve access to rigorous academic content standards for students with disabilities. The continued development of understanding about research-based instructional practices and a focus on their effective implementation will help improve access to mathematics and English language arts (ELA) standards for all students, including those with disabilities.Students with disabilities are a heterogeneous group with one common characteristic: the presence of disabling conditions that significantly hinder their abilities to benefit from general education (IDEA 34 CFR §300.39, 2004). Therefore, how these high standards are taught and assessed is of the utmost importance in reaching this diverse group of students.In order for students with disabilities to meet high academic standards and to fully demonstrate their conceptual and procedural knowledge and skills in mathematics, reading, writing, speaking and listening (English language arts), their instruction must incorporate supports and accommodations, including: •supports and related services designed to meet the unique needs of these students and to enable their access to the general education curriculum (IDEA 34 CFR §300.34, 2004).•An Individualized Education Program (IEP)1 which includes annual goals aligned with and chosen to facilitate their attainment of grade-level academic standards.•Teachers and specialized instructional support personnel who are prepared and qualified to deliver high-quality, evidence-based, individualized instruction and support services.Promoting a culture of high expectations for all students is a fundamental goal of the Common Core State Standards. In order to participate with success in the general curriculum, students with disabilities, as appropriate, may be provided additional supports and services, such as:•Instructional supports for learning―based on the principles of Universal Design for Learning (UDL)2―which foster student engagement by presenting information in multiple ways andallowing for diverse avenues of action and expression.1 A ccording to IDEA, an IEP includes appropriate accommodations that are necessary to measure the individual achievement and functional performance of a child2 UDL is defined as “a scientifically valid framework for guiding educational practice that (a) provides flexibility in the ways information is presented, in the ways students respond or demonstrate knowledge and skills, and in the ways students are engaged; and (b) reduces barriers in instruction, provides appropriate accommodations, supports, and challenges, and maintains•Instructional accommodations (Thompson, Morse, Sharpe & Hall, 2005)―changes in materials or procedures―which do not change the standards but allow students to learn within the framework of the Common Core.•Assistive technology devices and services to ensure access to the general education curriculum and the Common Core State Standards.Some students with the most significant cognitive disabilities will require substantial supports and accommodations to have meaningful access to certain standards in both instruction and assessment, based on their communication and academic needs. These supports and accommodations should ensure that students receive access to multiple means of learning and opportunities to demonstrate knowledge, but retain the rigor and high expectations of the Common Core State Standards.ReferencesIndividuals with Disabilities Education Act (IDEA), 34 CFR §300.34 (a). (2004).Individuals with Disabilities Education Act (IDEA), 34 CFR §300.39 (b)(3). (2004).Thompson, Sandra J., Amanda B. Morse, Michael Sharpe, and Sharon Hall. “Accommodations Manual: How to Select, Administer and Evaluate Use of Accommodations and Assessment for Students with Disabilities,”2nd Edition. Council for Chief State School Officers, 2005/content/pdfs/AccommodationsManual.pdf . (Accessed January, 29, 2010).high achievement expectations for all students, including students with disabilities and students who are limited English proficient.” by Higher Education Opportunity Act (PL 110-135)。
在标准化和多样性之间——美国基础教育州共同核心标准分析及启示
作者： 胡仲勋 俞可
作者机构： 上海师范大学教育学院
出版物刊名： 世界教育信息
页码： 61-65页
年卷期： 2013年 第3期
主题词： 同核心 美国基础教育 多样性 教育标准 标准化 学业成绩 发展历程 教育机会公平区域均衡发展 课程标准
摘要：<正>美国基础教育领域正在实施的州共同核心标准有着深刻的现实背景,是对教育标准化和多样性的重新思考和创新尝试。
州共同核心标准设计的目的在于提高学生学业成绩,促进教育机会公平和区域均衡发展,保持军队吸引力、国际竞争力和国家凝聚力等。
文章还对美国州共同核心标准的发展历程和核心内容进行了解读,以为中国基础教育发展提供启示。
中国和美国小学数学教材中问题提出的比较研究
Comparative Study of Problem-Posing in Primary Mathematics Textbook in China and the United
States
作者： 胡典顺[1];薛亚乔[2];王明巧[3]
作者机构： [1]华中师范大学数学与统计学学院,湖北武汉430079 [2]惠阳一中实验学校,广东惠阳516211 [3]广州市真光中学,广东广州510380
出版物刊名： 数学教育学报
页码： 37-41页
年卷期： 2016年 第4期
主题词： 小学数学教材 问题提出 中国和美国比较
摘要：中国和美国3个版本小学数学教材中问题提出的编写有较大差异.主要表现在：问题提出数量方面,美国问题提出的编写多于中国,但百分比却低于中国;问题提出的类型方面,中国注重从已有情境中提出问题,而美国注重学生提出符合给定运算的问题;问题提出所处知识领域方面,3个版本教材的分布差异较大,但中国和美国在＂数与代数＂领域的编写比例都比较高,除BNU教材外,其它两个版本在综合领域的编写比例都较低;含特定要求的问题提出方面,美国教材中问题提出的编写含有更多的限定语.中国教材中问题提出的编写可以关注以下几个方面：合理增加教材中问题提出的比例,均衡各类型问题提出的分布,适当调整各知识领域问题提出的设置,对问题提出加以适当引导.。
州际共同核心课程标准
州际共同核心课程标准“……学生们应该了解的知识和达到的能力。
”2010年8月2日，加州教育委员会（SBE）经过投票，一致通过了新的数学与英语水平标准。
新标准经过了深入研究，以严格为准绳，旨在让每一个学生都为成功升学与入职做好准备。
该标准具备国际水准，确保我们的学生有能力与全球各地的学生竞争。
《州际共同核心课程标准》2009年，全美州首席教育官员委员会(CCSSO)与全美州长协会最佳实践中心(NGA)致力于研究制订一套课程标准，以帮助学生在高校与职场取得成功。
在该过程的第一阶段，制定了大学与就业准备标准，该标准随后成为了《州际共同核心课程标准》(CCSS)的基础。
《州际共同核心课程标准倡议书》由CCSSO与NGA在州府主导下自愿协调完成，建立了明确而统一的教育标准。
来自48个州、2个地区以及哥伦比亚特区的家长、教育工作者、课程专家、研究人员、国家机构以及社区团体全部参加了标准制订工作。
CCSS专门针对从幼儿园至12年级的英语语言水平与数学能力而制订。
新标准以最佳州立标准为基础，收集了教师、课程专家以及一流思想家的各种经验与公众的反馈意见。
加州与《共同核心课程》第五次特别会议的《参议院1号法案》(SB X51)设立了进行语言与数学课程标准制订工作的教学内容标准委员会(ACSC)。
在州标准中，CCSS至少占85%的内容，至多15%的其它材料则由委员会建议而定。
SB X5 1规定加州必须：确保维持本州严格的阅读、写作与数学教学内容标准、课程与评估水平，让高中毕业生通过基于《州际共同核心课程标准倡议》的新标准学习过程，具备升学及入职所需的素养。
同时，SB X51要求SBE在2010年8月2日前接受或拒绝ACSC的建议。
ACSC在2010年夏季期间招集会议，对CCSS的严格性及其与加州标准的统一性进行评估。
他们加入了各种文字、短语，并选择全部加州标准，以保持加州对学生的高度期望。
2010年7月15日，委员会正式建议SBE采纳CCSS修订本。
数学核心素养测评:内涵、方法及价值
数学核心素养测评：内涵、方法及价值
胡典顺;常宁
【期刊名称】《湖北教育》
【年(卷),期】2023()2
【摘要】为顺应全球教育改革发展,强化我国基础教育优势,我国数学教育着力从以知识为核心迈向以素养为本位。
新一轮基础教育数学课程改革十分重视培养学生的数学核心素养。
科学、有效地测评数学核心素养,对学生数学核心素养的培育有重要价值。
【总页数】3页(P28-30)
【作者】胡典顺;常宁
【作者单位】华中师范大学数学与统计学学院;华中师范大学数学教育教研室;喀什大学教育科学学院
【正文语种】中文
【中图分类】G63
【相关文献】
1.论数学课堂文化的内涵与模式及对培养数学核心素养的价值
2.中职数学核心素养的内涵和教育价值
3.高中数学核心素养的内涵及教育价值
4.浅论小学数学核心素养的内涵与价值
5.高中数学核心素养的内涵及教育价值
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王池富院长主持“数学课程与教学”中英座谈会
2014年第3期本刊讯（通讯员：谢琼）应中国教育部邀请，2月23日至28日，英国教育和儿童事务部莉兹·特鲁斯副部长率团来华访问。
期间，代表团一行于2月26日来湖北武汉访问。
武汉市教科院院长、享受国务院津贴专家、湖北省数学特级教师王池富主持座谈会。
2月26日下午，王池富院长陪同特鲁斯女士一行分别观摩了一年级、三年级的数学课，并围绕“数学课程与教学”展开交流。
参加座谈会的有中英双方的教育专家，分别是英国大使馆文化教育处教育参赞、英国文化协会教育总监苏珊女士，英国教育标准局东英格兰地区主任、新任教师教育项目总监肖恩先生，灵感信托首席执行官瑞秋女士，教育和工业数学机构首席执行官、国家数学教学优秀中心主任查尔斯先生，Elmhurst 小学校长、英国国家课程审查咨询委员会成员沙希德先生，武汉市华中师范大学教授胡典顺先生，湖北省教研室数学教研员、省特级教师刘莉女士，武汉外国语学校党委书记、省特级教师黄敏女士，武汉市育才二小校长、市管专家徐宇珊先生。
双方互相介绍之后，王池富院长简单介绍了新课程改革背景下中小学数学课程标准、教育学方式的转变、数字化资源建设、学业质量监测等情况。
他从社会、学校、家长、老师对数学学习的高度重视；专业机构通过建章立制来开展系统、持续的数学教学研究；省市教研机构深入学校、课堂帮助教师改进教学，帮助学生改善学习；及时开展有效训练、学习反馈、激励性评价等四个方面向英国专家介绍了武汉市中小学数学教学的经验。
同时，也反思了中小学数学教学还存在的一些问题。
英国专家一致认为：武汉市中小学数学课堂上老师采用的边讲边练的教学方式和学生在课堂上的积极参与给他们留下了深刻的印象。
就他们关心的如何做好及时评价，如何对不同基础、不同能力的学生进行因材施教，如何进行数学教师的培训，怎样让高年级女生也愿意学好数学等话题，王院长带领参加座谈会的省市数学专家和英国客人进行了深入探讨。
座谈会后，英国教育代表团表示，他们分享了武汉市数学教学的成功密诀，希望双方能有进一步交流的平台共同促进中英双方中小学数学教学的发展。
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美国5共同核心州立数学标准6中/高中代数0内容解读及启示胡典顺 汪钰雯(华中师范大学数学与统计学学院,430079)基金项目:全国教育科学规划中小学数学教育专项研究课题)))高中数学课程整体设计研究(GIA117001);华中师范大学教师教育学院研究专项资助(201207);华中师范大学国家教师教育创新平台理论创新研究成果)))免费师范生数学专业素质的形成与发展研究(985ZX06).1 引言由于教育平庸一直困扰美国中小学教育.1983年4月,美国国家高质量教育委员会发表了5国家处于危险之中,教育改革势在必行6,报告列举了美国教育质量下降的种种事实,剖析了美国教育平庸的根源.美国学生国际测试成绩低落是不争的事实.最近,由波士顿学院(Boston College)国际研究中心(International Study Center)与参与国政府教育官员和学术研究人员共同设计的国际测试表明,四年级和八年级学生在数学和科学成绩方面仍落后于多个东亚国家和部分欧洲国家.在数学和四年级科学方面,韩国和新加坡在国际上处于领跑位置,而新加坡和台湾的八年级学生则在科学学科一马当先.在美国,只有7%的八年级学生达到了数学学科的高阶水平,而这一数字在新加坡为48%,在韩国为47%[1].近年来,在美国的数学教育改革中,公布了一系列的数学课程与教学的标准.例如,1989年,全美数学教师理事会(National Council of T eachers of M athematics,NCT M)公布了美国有史以来第一个国家性5学校数学课程与评价标准6,旨在为建立一个指导今后十年学校数学改革的广阔框架.1991年(NCTM )公布了5数学教学的职业标准6,旨在为数学教师的日常工作提出指导性文件.1995年(NCTM )公布了5学校数学的评定标准6,阐述了进行数学教学评定的方法为教师提供了评判数学教学质量的标准.1998年(NCTM )提出讨论稿5学校数学的原则与标准6,2000年正式推出.所有这些文件的出台都旨在促进美国学生数学成绩的提高,建立具有国际竞争力的全美统一的优质数学教育.由于美国各州在课程的内容、重点、难度以及特征等方面有较大的差异.2010年6月2日,全美州长协会(National Governors Association,NGA)和各州教育长官理事会(T he Council of Chief State School Officers,CCSSO)共同推出了5共同核心州立课程标准6(Common Core State Standards,CCSS).这是一个涵盖K-12各个年级,包含数学(Common Core State Standards for mathematics,CCSSM)与英语通识两个基础学科的课程标准体系.现阶段美国的许多州都在思考怎样成功实施5共同核心州立数学标准6(以下简称/标准0),该/标准0已经引起了越来越多的中国学者的关注[2-5].中学代数的内容与教学一直是美国国内争议的话题,围绕着中学代数的重要性和这门课程的教学目的、教学对象的争论一直在进行.例如,评论家David Sneddon 曾声称,/美国高中所教的代数是完全没有作用的,对90%的男孩和99%的女孩来说,代数几乎是没有价值的课程.0[6]然而,NCTM 从公平原则的角度提出,所有的学生必须学习代数.2012年8月,纽约城市大学皇后学院的政治学教授安德鲁#海克(Andrew Hacker)在5纽约时报6上发表了一篇题为5学习代数有必要吗6(Is Algebra Necessary?)的文章,文中写道,/在美国的学校,每天约有600万名高中生和200万名大一新生在与代数作斗争.不管是在高中还是大学,都会有大量学生代数考试不及格.我们为什么要让美国学生受这样的折磨?我发现自己越来越强烈地认为,我们不应该这么做.0[7]为何中学代数课程在美国国内会引起如此大的争议?其中原因之一是不少美国人持安德鲁#海克类似的观点,/作为基础教育的数学课过于艰深,远远超出大多数普通学生的需要以及能力范围,既给孩子带来额外的负担和痛苦,也和现实就业市场的要求相脱节.0[8]那么,美国高中代数究竟包含哪些内容?这些内容真是像那些美国学者所描述的那么艰深吗?对于中国数学教育的研究者和一线教师来说,了解/标准0中的相关具体内容.特别是了解我国中小学课程中一些重要的内容在/标准0中的相应知识是非常必要的.然而,目前对/标准0具体内容解读的文章并不多见.基于这些原因,在本文中,我们将介绍/标准0中高中代数的相关内容.这将为我国数学课程标准中相应内容的修改与完善提供参考,对于一线教师的教育教学也是有帮助的.2高中代数内容概要2.1表达式表达式是由数和表示数的字母经有限次加、减、乘、除、乘方和开方等代数运算所得的式子,在更高级的水平上,计算函数值的运算需要用到表达式.括号的使用和操作的顺序约定保证了每个表达式是明确的.建立一个涉及一般变量计算的表达式需要从具体实例中抽象出一般形式的能力.要理解一个表达式涉及对其基本结构的分析.写出表达式的一个等价的表达形式可以呈现出它的其他方面的含义.例如,p+0105p可以理解为对价格为p的商品征收5%的税后的价格.若把p+ 0105p改写成1105p,则表明增加的税收是相同的价格乘以一个常数.代数运算是由计算和指数式的性质以及代数符号的约定来决定的.有时表达式是对形式更简单的式子运算的结果.例如,p+0105p可以看成是两个更简单的表达式p和0105p的和.把一个表达式看成是形式更简单的表达式的运算结果可以使它的基本结构更加的清晰.电子制表软件或计算机代数系统(Computer a-l gebra system,CAS)可以用来进行复杂的表达式的计算,并了解表达式计算的变形过程.2.2方程和不等式方程是表示两个数学式之间相等关系的一种等式.解方程就是求解变量的值使得方程的左右两边相等.这个值就叫作方程的解.恒等式是无论其变量如何取值,等式永远成立的算式.通过把一个代数式写成它的等价形式就可以得到一个恒等式.一元方程的解可以组成一个数集,二元方程的解可以组成一个二维有序数组组成的集合,可以在平面直角坐标系中画出.方程组或不等式组的解可以形成一个系统,这个解必须使得每个方程或每个不等式都成立.解方程可以通过将方程依次变为简单形式来求解.例如,在方程两边加上一个常数,方程的解不变;若把方程的两边平方,就可能会产生增根.解方程的策略能力包括富有成效的选择计算方法以及预见根的性质.有的方程在给定的数系里无解,但是在扩充的数系中有解.例如,方程x+1=0的解是一个整数,但不是自然数;方程2x+1=0的解是一个有理数,不是整数;方程x2-2=0的解是实数,不是有理数;方程x2+2=0的解是复数,不是实数.利用方程的同解变形可以改写公式,求出其他的量.例如,可以对梯形的面积公式A=(b1+b2) h/2变形求出h.可以利用不等式的性质求解不等式.等式的一部分性质可以推广到不等式中,在解决不等式的问题中非常有用.2.3与函数和模型的联系表达式可以用来定义函数,等价的表达式定义了相同的函数.当两个函数有相同的值时求解自变量的值涉及到解方程,把它们的图象画出来观察图象可以得到方程的近似解.把口头表达转化为方程、不等式或是方程组和不等式组是在数学建模中的必备技巧.2.4内容范围及其学习目标(1)表达式结构观察#解释表达式的结构;#会写出表达式的等价形式去解决问题.(2)式与有理表达式的运算#会进行多项式的运算;#理解多项式的零值与它的因式的关系;#会使用多项式恒等式去解决问题;#会改写有理表达式.(3)构造方程#会构造方程用来描述数和关系.(4)方程与不等式的推理#理解解方程的过程是一个推理过程,并会解释这个推理过程;#会解一元方程和一元不等式;#会解方程组;#会使用图象法表征并求解方程和不等式.3代数具体内容在/标准0中,(+)表示为了学习高等课程(如微积分,高级统计学,离散数学等)做准备的内容;*表示可以用来建立数学模型模拟现实情境的内容. 3.1表达式结构观察3.1.1理解表达式的结构(1)会根据具体情境理解表达式*a.理解表达式的各个部分,例如项、因式、系数;b.复杂的表达式可以通过把它的一个或多个部分作为一个单独的实体来理解.例如,P(1+r)n 可以理解为P和一个与P无关的因子的乘积.(2)利用表达式的结构去鉴别改写它的方式.例如,把x4-y4看成(x2)2-(y2)2,就可以运用平方差公式将其分解为(x2-y2)(x2+y2).3.1.2会写出表达式的等价形式去解决问题(3)会选择和生成表达式的等价形式去揭示表达式的性质*.a.会分解二次的表达式从而求出它所定义的函数的零点;b.对于二次的表达式会通过配方法求出它所定义的函数的最大值和最小值;c.对于指数函数,会使用指数的性质去转换表达式.例如,在年利率是15%的条件下,把1.15t改写成(1.151/12)12t U1.01212t就可以求出月利率的近似值.(4)会使用有限项等比数列的求和公式(q X1)去解决问题.例如计算抵押的回报*.3.2多项式与有理表达式的运算3.2.1会进行多项式的运算(1)理解多项式形成一个类似于整数的系统,对于加法、减法、乘法封闭.3.2.2理解多项式的零值与它的因式的关系(2)理解并会运用余式定理:对于一个多项式p(x)和常数a,p(x)除以x-a的余式是p(a),当且仅当x-a是p(x)的因式时有p(a)=0.(3)进行适当的因式分解后会识别多项式的零值,并会根据零值画出这个多项式定义的函数的大致图象.3.2.3会使用多项式恒等式去解决问题(4)会证明多项式恒等式并利用它们去描述数量关系.例如,利用恒等式(x2+y2)2=(x2-y2)2+ (2x y)2可以生成勾股数.(5)(+)理解并会运用二项式定理:(x+y)n=C0n x n+C1n x n-1y+C2n x n-2y2+,+ C n-1nx y n-1+C n n y n(其中n为任意正整数,x,y为任意实数).其中各项系数可以从帕斯卡三角形中求出.(注:二项式定理可以用数学归纳法或组合数公式证明)3.2.4会改写有理表达式(6)会把有理表达式写成不同的形式;例如把a(x)/b(x)写成q(x)+r(x)/b(x)的形式,其中a(x),b(x),q(x),r(x)都是多项式,并且r(x)的次数低于b(x)的次数.使用长除法检验可以完成上述步骤,若对于更复杂的多项式,就要使用计算机代数系统(CAS)了.(7)(+)理解有理表达式形成一个类似于有理数的系统,对于加法、减法、乘法、除法(除数或除式不为零)封闭.3.3会构造方程用来描述数和关系(1)会构造一元方程和一元不等式去解决问题.包括从线性函数、二次函数,以及简单的有理函数和指数函数中产生的方程.(2)会构造二元或多元方程去表征变量间的复杂关系.会使用图象法求解方程.(3)理解方程与不等式、方程组与不等式组的限制性,在具体情境中会求可行解.例如,在问题/怎样组合不同的食物能使得营养最丰富和花费最小0中,可以通过列不等式组求解.(4)会对公式变形从而求出我们需要的量.例如,把欧姆定律U=IR改写成R=U/I就可以求出电阻.3.4方程与不等式的推理3.4.1理解解方程的过程是一个推理过程,并会解释这个过程(1)假定方程有解,能解释一个简单方程解决过程中变形的每一个步骤,会建立一个可行的论据来证明一个解法是有效的.(2)会解简单的一元有理方程和一元根式方程,会举例说明增根是如何产生的.3.4.2会解一元方程和一元不等式(3)会解一元线性方程和一元不等式,包括带有字母系数的方程.(4)会解一元二次方程.a.会使用配方法把未知数是x的一元二次方程写成(x-p)2=q的同解形式,并会从中推导出求根公式;b.会根据原方程最初的形式选择合适的方法求解,有直接开平方法,配方法,因式分解法和公式法.认识到当使用求根公式求出复根时,要写成a+b i的形式,其中a,b是实数.3.4.3会解方程组(5)会证明:对于一个二元方程组,把其中一个方程换成两个方程的和,另一个方程换成之前方程的数乘,所得的方程组和原来的方程组同解.(6)会求线性方程组的精确解和近似解(图象法),尤其是二元一次方程组.(7)会用代数方法和图象法解由一个线性方程和一个二次方程构成的方程组.例如,直线y=-3x和圆x2+y2=3的交点坐标就是它们组成的方程组的解.(8)(+)会把线性方程组用以向量为变量的矩阵形式表示出来.(9)(+)会求一个可逆矩阵的逆,并会运用它去解线性方程组(3@3阶矩阵或更高阶矩阵).3.4.4会使用图象表征并求解方程和不等式(10)理解二元方程的所有解在平面直角坐标系中形成一条曲线.(11)会解释为什么y=f(x)和y=g(x)的图象交点的横坐标就是方程f(x)=g(x)的根;会求方程的近似解,例如,使用计算机技术画出函数的图象,制作数表,或求逐步逼近的值.包括f(x)和g(x)是线性函数、多项式函数、有理函数、绝对值函数、指数函数、对数函数*.(12)二元线性不等式的解集在坐标平面上表示出来是半平面(严格不等式不包括边界),会画二元不等式组的解集组成的区域.4启示4.1内容清晰明了,目标要求明确尽管/标准0中没有指定教师该如何进行高中代数的教学,但是给出了每个学生需要掌握的知识与技能的明确目标./标准0改变了以往美国各州数学课程/一英里宽,一英寸厚0的倾向,难度和深度有所增加./标准0中出现的代数内容在我国的初高中数学课程中都体现出来了,其中不少内容都是我国初中数学课程中的内容,当然在要求方面中美两国略有不同.可以发现,相对我国的高中代数内容,/标准0中的内容还是比较简单的.由于在我国的数学课程标准中并没有按照数学的知识领域来划分(在/标准0中,高中数学知识被划分为数与量、代数、函数、建模、几何以及统计与概率等领域),相对而言,我国普通高中数学课程标准中代数内容与要求描述得相对简洁.美国/标准0中的代数内容非常清晰且具有可操作性,目标十分明确.这样,教师可以比较准确地理解和执行.反之,由于我国数学课程标准中关于代数的教学目标、教学要求的表述比较笼统,教师的理解和执行可能各不相同.另外,由于我国数学教育没有相关的质量评价体系,任课教师的教学往往根据自己的理解,教学内容及目标随意化.因此,适当对我国数学课程标准的代数内容和学习目标提出更清晰的规定,有助于教师的教学,也有助于减轻学生的负担.4.2突出主干内容,重视知识的连贯性/标准0中代数内容主干突出,强调知识的连贯性以及对代数概念的掌握.例如,在多项式恒等式中,只明确标出一些非常重要的内容,而涉及一些繁琐的计算,复杂的证明的代数公式基本上没有.又如,要求学生/理解有理表达式形成一个类似于有理数的系统,对于加法、减法、乘法、除法(除数或除式不为零)封闭.0在高中学习阶段了解这些知识,对于学生的代数思维与代数观点的形成是有好处的,对于他们后续的学习也是有帮助的.在/标准0中,像这样非常清晰地标明哪些内容是进一步学习需要的还有不少.事实上,/标准0中的/核心0两字意味着必不可少、极其重要.这里的核心标准含有两个方面的意思:一是K-12年级的学生人人都必须掌握的数学知识与技能;二是如何确保所有学生在高中毕业时能为升学、就业以及今后在国际竞争中取得成功做好准备.在我国的数学课程改革中.无论是初高中数学内容的衔接,还是高中、大学的数学内容衔接,有些不尽人意的地方,存在这样或那样的问题.就拿新一轮数学课程改革来说,由于方方面面的原因,中学、大学数学内容的衔接就存在很大的问题.有时候,大学老师在讲解某个知识之前往往需要花一两次课的时间补充相关内容.由此,我国数学课程标准应考虑数学知识的连贯性等问题,以便帮助高中生顺利而自信地进入大学数学学习中.4.3注重代数理解,强调建模应用/标准0中注重代数的理解,而不是简单地记住代数的表达式,也不只是让学生了解代数的一些抽象模型,而是在理解代数的过程中,强调代数与现实情境的联系./标准0还对需要建立数学模型模拟现实情境的内容明确加以注明.强调在具体活动中学习代数,让学生在/做中学0.强调现代技术的运用,特别是图形计算器的使用.正是由于鼓励学生在学习中广泛使用计算器(机)等现代技术,/标准0中明确提出,/计算机代数系统(Computer algebra sys-tem,CAS)可以用来进行复杂的表达式的计算,并了解表达式计算的变形过程.0/标准0对学生在代数学习中应用方面的能力要求是比较高的,不仅要求学生理解一些已知的代数,还要会根据现实需要自己构造方程,这在标准中作为四大内容之一明确地提了出来.而在我国的数学课程标准或数学教材中,还是代数的抽象形式居多.不少中国学生即使学完了高中全部代数知识,仍然认为代数只不过是一些枯燥的符号运算,没有任何的实际意义,觉得代数符号及运算是一些看不见、摸不着、很神秘的东西.例如,在我国的一般数学教材的代数内容中,讨论得比较多的是代数式的运算、分解因式、解方程(组)、代数恒等变形、代数等式的证明等内容,缺少代数知识与实际生活的联系.5结语不可否认,/标准0以及美国数学教育的其它方面有许多值得中国数学教育学习的地方.但是我们应该吸取他人之长,发挥自身特色,不应盲目地崇洋媚外,而是对自己要有清醒的认识.在学习别人长处的同时,要保持自己的特色、自己的优势,不要别人的长处没有学会,自己的优势也丢掉了.新近的一系列国际测试表明,受儒家文化影响的国家或地区数学成绩都非常好,而美国学生的数学成绩并不是很好.尽管近年来中国内地没有学生参加国际测试,但就运算、方程(组)解法的掌握情况来说,与中国学生相比,可以说很多美国大中学生掌握状况是十分糟糕的.例如,在我参与的美国特拉华大学蔡金法教授主持的一个研究项目的调查问卷中,形如x=16x ,(x-5)2=0的方程至少有一半以上的美国11或12年级的学生不会做,简单的二元一次方程组2x+5y=8x+y=1能够完整解答的学生更是少之又少;又如,在我所看到的美国大学数学系二年级学生中,对于x+y<3与3x2-4x-4\0在平面坐标中表示的意义没有几个人能够说清楚;再如,如果不是笔者在美国大学课堂亲眼所见,我绝对不敢相信,就是/48+160这样的简单加法,美国大学数学系二年级的学生竟然还要用笔算.重视双基是中国数学教育的特色,中国学生的勤奋也是世所尽知.今天,重视双基绝不等于傻练,双基应该围绕基本的数学知识与方法展开.我们国家无论是小学,还是初高中的各类考试中,设计了太多只有考试才用得上的数学问题,平时训练类似的题目浪费了学生太多宝贵的时间.高考题目在某些地方是越来越难,甚至把某些竞赛水平的题目都加了进来,而一些高中教师为了确保学生能够在知识方面没有遗漏,又大大超过了数学课程标准中数学知识的范围.所有这一切加重了学生的课业负担,阻碍了学生创新能力的发展,影响了学生对数学的认识,对学生的未来发展是十分不利的.参考文献:[1]/article/education/2012/12/17/c17test/.[2]廖运章.美国5州共同核心数学标准6的内容与特色[J].数学教育学报,2012,21(4),68-72.[3]曾小平,刘效丽.美国共同核心数学课程标准的背景、内容、特色与启示[J].课程#教材#教法,2011,31(7),92-96.[4]曹一鸣,王立东,P aul Cobb.美国统一州核心课程标准高中数学部分述评[J].数学教育学报,2010,19(5),8-11.[5]范文贵,李伟华.美国5州共同核心数学标准6中的/统计与概率0内容解读[J].数学通报,2011,50(10),7-11.[6]NCT M.Alg ebra and Algebraic T hinking in School M ath-ematics,2008.[7]http://cn.nytimes.co m/article/opinion/2012/08/08/c08algebr a/.[8]/article/china/2012/09/14/cc14math/.(收稿日期:2013-01-11)。