山东省2014届理科数学一轮复习试题选编8：三角函数的概念
2014年全国高考数学理科(三角函数部分)解析汇编
= sin(x + ϕ) cosϕ + cos(x + ϕ)sinϕ ∴ f (x) = sin(x + ϕ) cosϕ − cos(x + ϕ) sinϕ
= sin[(x + ϕ) −ϕ] = sin x
为
解：由正弦定理 a = b = c = 2R 化简题式得： sin A sin B sin C
∵b−c = 1 a 4
∴b = 3a，c = 1 a
4
2
由余弦定理得：
cos A =
b2
+ c2
− a2
=
9 a2 16
+
1 a2 4
− a2
=−1
2bc
2⋅3a⋅1 a
4
42
= 1 cos x sin x − 3 cos2 x + 3
2
2
4
= 1 sin 2x − 3 (2 cos2 x −1)
= 43.612 + 352 − 2 × 43.61× 35× cos 38.12o ≈26.93 米
【天津市·第 12 题】在△ABC 中，内角 A，B，C 所
对的边分别是 a，b，c，已知 b-c= 1 a，2sinB=3sinC， 4
则 cosA 的值为
解：由正弦定理和 2sinB=3sinC 得： c = 2 b 3
解：由
tan α
=
1+ sin β cos β
得：
sin α cosα
=
1+ sin β cos β
即 sinα cos β − cosα sin β = cosα
∴ sin(α
−β)
2014届高考数学一轮复习 第四章《三角函数》精编配套试题(含解析)理 新人教A版
2014届高考数学（理）一轮复习单元测试第四章三角函数一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．每小题中只有一项符合题目要求) 1.【某某省某某一中2013届高三第二次高中新课程双基检测理】函数tan(2)y x ϕ=+的最小正周期是A ．2πB ．πC ．2πD ．4π2、（2013某某理）计算：4cos 50°－tan 40°＝( )A. 2B.2＋32C. 3 D ．2 2－1 3、【某某省枣庄三中2013届高三上学期1月阶段测试理】已知,135)4sin(-=+πx 则x 2sin 的值等于 A.169120 B.169119 C.169120- D.119169- 4、（2013高考某某理）将函数sin(2)y x ϕ=+的图象沿x 轴向左平移8π个单位后,得到一个偶函数的图象,则ϕ的一个可能取值为(A) 34π (B) 4π (C)0 (D) 4π-5、【市丰台区2013届高三上学期期末理】函数2sin()y x ωϕ=+在一个周期内的图象如图所示，则此函数的解析式可能是(A) 2sin(2)4y x π=-(B) 2sin(2)4y x π=+(C) 32sin()8y x π=+ (D) 72sin()216x y π=+6、（2013高考某某)）既是偶函数又在区间(0 )π，上单调递减的函数是( )(A)sin y x = (B)cos y x = (C)sin 2y x = (D)cos 2y x = 7、（2013某某理）在锐角中ABC ∆，角,A B 所对的边长分别为,a b .若2sin 3,a B b A =则角等于A ．12πB ．6πC ．4πD ．3π8、函数()3sin 2cos 2f x x x =+（） A ．在(,)36ππ--单调递减 B ．在(,)63ππ单调递增C ．在(,0)6π-单调递减 D ．()f x 在(0,)6π单调递增 9、【某某省某某四中2013届高三第四次月考理】已知函数()sin()f x A x ωϕ=+（其中π0,2A ϕ><）的部分图象如右图所示，为了得到()sin 2g x x =的图象，则只需将()f x 的图象（ ）（A ）向右平移π6个长度单位（B ）向右平移π12个长度单位 （C ）向左平移π6个长度单位 （D ）向左平移π12个长度单位10、（2013某某理）在△ABC 中，∠ABC ＝π4，AB ＝2，BC ＝3，则sin∠BAC ＝( )A.1010 B.105 C.31010 D.55 11．（2013某某理）在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a sin B cos C ＋c sinB cos A ＝12b ，且a >b ，则∠B ＝( )A.π6B.π3 C.2π3 D.5π612、给出以下4个命题：①函数44sin cos y x x =-的最小正周期是π； ②终边在y 轴上的角的集合是{|,}2k k Z παα=∈；③把函数3sin 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向右平移6π个单位得到函数3sin 2y x =的图象；④函数sin 2y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭在区间[0,]π上是减函数． 其中真命题的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上) 13、（某某某某市2013届高三期末） 在△ABC 中，sin :sin :sin 2:3:4A B C =，则cos C =▲． 14、（2013某某理）在△ABC ，∠C =90︒，M 是BC 的中点．若sin ∠BAM =13，则sin ∠BAC =．15．（2013某某理）若12cos cos sin sin ,sin 2sin 223x y x y x y +=+=，则sin()________x y +=16．设()sin2cos2f x a x b x ＝＋，其中,,0a b R ab ∈≠. 若()6f x f π⎛⎫≤⎪⎝⎭对一切x R ∈恒成立，则 ①11012f π⎛⎫=⎪⎝⎭； ②7125f f ππ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；③()f x 既不是奇函数也不是偶函数； ④()f x 的单调递增区间是()2,63k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦； ⑤ 存在经过点(),a b 的直线与函数()f x 的图象不相交．以上结论正确的是__________________（写出所有正确结论的编号）．三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分) （2013某某理）已知函数()12f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭,x ∈R .(Ⅰ) 求6f π⎛⎫- ⎪⎝⎭的值； (Ⅱ) 若3cos 5θ=,3,22πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,求23f πθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭．18．(本小题满分12分) （2013届某某奉贤区二模）位于A 处的雷达观测站，发现其北偏东45°，与A 相距海里的B 处有一货船正以匀速直线行驶，20分钟后又测得该船只位于观测站A 北偏东45θ︒+()0450<<θ的C 处，135=AC ．在离观测站A 的正南方某处E ，13132cos -=∠EAC （1）求θcos ； （2）求该船的行驶速度v （海里/小时）；19．(本小题满分12分)（2013年高考某某理）设向量)(),sin ,cos ,sinx ,0,.2a x x b x x π⎡⎤==∈⎢⎥⎣⎦(I)若.a b x =求的值；(II)设函数()(),.f x a b f x =求的最大值20．(本小题满分12分) （2013高考某某卷（理））已知函数()2sin()f x x ω=,其中常数0ω>;(1)若()y f x =在2[,]43ππ-上单调递增,求ω的取值X 围;(2)令2ω=,将函数()y f x =的图像向左平移6π个单位,再向上平移1个单位,得到函数()y g x =的图像,区间[,]a b (,a b R ∈且a b <)满足:()y g x =在[,]a b 上至少含有30个零点,在所有满足上述条件的[,]a b 中,求b a -的最小值.21．(本小题满分12分)【某某省某某一中2013届高三1月调研理】（本小题满分12分）在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ， q =（a 2，1），p =（c b -2， C cos ）且q p //．求：（I ）求sin A 的值；（II ）求三角函数式1tan 12cos 2++-CC的取值X 围．22．(本小题满分12分)【某某省某某中学2013届高三第一次调研考试理】（本题12分）某海滨浴场的岸边可以近似的看成直线，位于岸边A 处的救生员发现海中B 处有人求救，救生员没有直接从A 处游向B 处，而是沿岸边自A 跑到距离B 最近的D 处，然后游向B 处.若救生员在岸边的行进速度是6米/秒，在海中的行进速度是2米/秒.（不考虑水流速度等因素）（1）请分析救生员的选择是否正确；（2）在AD 上找一点C ，使救生员从A 到B参考答案： 1、【答案】C【解析】根据正切函数的周期公式可知最小正周期为2T ππω==，选C. 2、C[解析] 原式＝4sin 40°－sin 40°cos 40°＝4sin 40°cos 40°－sin 40°cos 40°＝2sin 80°－sin 40°cos 40°＝2cos （40°－30°）－sin 40°cos 40°＝2（cos 40°cos 30°＋sin 40°sin 30°）－sin 40°cos 40°＝3cos 40°cos 40°＝3，故选C.3、【答案】D【解析】因为,135)4sin(-=+πx 所以5cos )13x x +=-，两边平方得125(1sin 2)2169x +=，解得119sin 2169x =-，选D. 4、B 5、【答案】B 【解析】由图象可知52882T πππ=-=，所以函数的周期T π=，又2T ππω==，所以2ω=。
2014届高考数学一轮复习 《三角函数》
2014届高考数学（文）三角函数一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．每小题中只有一项符合题目要求)1、【山东省聊城市东阿一中2013届高三上学期期初考试 】若0sin2<θ，则角θ是 （ ）A.第一或第二象限角B.第二或第三象限角C.第三或第四象限角D.第二或第四象限角2、（2013年高考江西卷文）sincos 2αα==若（ ） A ．23-B ．13-C ．13D ．233、【山东省济南外国语学校2013届高三上学期期中考试 文科】 若点(,9)a 在函数3xy =的图象上，则tan6πa 的值为（ ）4、（上海市静安、杨浦、青浦、宝山区2013届高三4月高考模拟数学(文)试题）已知),2(ππα∈,53sin =α,则)4tan(πα-的值等于（ ）A ．71. B ．71-. C ．7 .D ．7-.5 ．（2013年高考湖南（文5））在锐角ABC ∆中，角,A B 所对的边长分别为,a b .若2sin ,a B A =则角等于A.3πB.4πC.6πD.12π6．（2013年高考广东卷（文4））已知51sin()25πα+=,那么cos α=（ ）A ．25-B ．15-C ．15 D ．257．（2013年高考山东卷（文7））ABC ∆的内角A B C 、、的对边分别是a b c 、、,若2B A =,1a =,b =则c =（ ）A ．B ．2CD ．18、（2013年高考天津卷（文6））函数()sin 24f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值是（ ）A ．1-B ．CD ．09、【北京市丰台区2013届高三上学期期末考试数学文】函数2sin()y x ωϕ=+在一个周期内的图象如图所示，则此函数的解析式是(A) 2sin(2)4y x π=-(B) 2sin(2)4y x π=+(C) 32sin()8y x π=+ (D) 72sin()216x y π=+10．甲船在岛A 的正南B 处，以4 km/h 的速度向正北航行，AB ＝10 km ，同时乙船自岛A出发以6 km/h 的速度向北偏东60°的方向驶去，当甲、乙两船相距最近时，它们所航行的时间为( )A.1507 minB.157 h C ．21.5 min D ．2.15 h 11．【山东省师大附中2013届高三12月第三次模拟检测文】在,,ABC A B C ∆中，的对边分别为,,a b c ，若cos ,cos ,cos a C b B c A 成等差数列，则B = A.6π B. 4π C. 3π D. 23π12、【北京四中2013届高三上学期期中测验数学（文）】已知函数，给出下列四个说法： ①若，则；②的最小正周期是；③在区间上是增函数；④的图象关于直线对称．其中正确说法的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上) 13、【北京市海淀区2013届高三上学期期末考试数学文】 tan 225的值为________.14、（2013年高考四川卷（文14））设sin 2sin αα=-,(,)2παπ∈,则tan 2α的值是________.15．【云南师大附中2013届高三高考适应性月考卷（三）文】在锐角△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若2b =，3B π=且sin cos c A C =，则△ABC 的面积为 ．16．（2013年高考课标Ⅱ卷（文16））函数cos(2)()y x ϕπϕπ=+-≤<的图像向右平移2π个单位后,与函数sin(2)3y x π=+的图像重合,则||ϕ=___________.三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分) （2013年高考湖南（文））已知函数f(x)=(1) 求2()3f π的值; (2) 求使 1()4f x <成立的x 的取值集合18．(本小题满分12分) （2013年高考广东卷（文））已知函数(),12f x x x R π⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭.(1) 求3f π⎛⎫⎪⎝⎭的值; (2) 若33cos ,,252πθθπ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭,求6f πθ⎛⎫- ⎪⎝⎭.19．(本小题满分12分) 【北京市石景山区2013届高三上学期期末考试数学文】 已知函数sin 2(sin cos )()cos x x x f x x+=．（Ⅰ）求)(x f 的定义域及最小正周期； （Ⅱ）求)(x f 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-46ππ，上的最大值和最小值．20．(本小题满分12分) （2013年高考陕西卷（文））已知向量1(cos ,),,cos 2),2x x x x =-=∈a b R , 设函数()·f x =a b . (Ⅰ) 求f (x)的最小正周期.(Ⅱ) 求f (x) 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.21．(本小题满分12分)（上海市奉贤区2013届高考二模数学（文）试题 ）位于A 处的雷达观测站,发现其北偏东45°,与A 相距海里的B 处有一货船正以匀速直线行驶,20分钟后又测得该船只位于观测站A 北偏东45θ︒+()0450<<θ的C 处,135=AC .在离观测站A 的正南方某处E ,13132cos -=∠EAC(1)求θcos ; (2)求该船的行驶速度v (海里/小时);北BAE22．(本小题满分12分)（江苏泰州市2013届高三期末）如图，一个半圆和长方形组成的铁皮，长方形的边AD为半圆的直径，O为半圆的圆心，AB＝1，BC＝2，现要将些铁皮剪出一个等腰三角形PMN，其底边MN⊥BC。
山东省高考数学一轮复习 试题选编10 三角函数的图像及性质 理 新人教A版
山东省2014届理科数学一轮复习试题选编10：三角函数的图像及性质一、选择题1 ．（山东省潍坊市2013届高三上学期期末考试数学理A ．）函数x x y sin =在[]ππ,-上的图象是【答案】A【解析】函数x x y sin =为偶函数,所以图象关于y 对称,所以排除 D ．当2x π=时,02y π=>,排除B ．当34x π=时,3sin 44422y πππππ===<,排除C,选A ．2 ．（山东省潍坊市2013届高三第一次模拟考试理科数学）设曲线sin y x =上任一点(,)x y 处切线斜率为()g x ,则函数2()y x g x =的部分图象可以为.【答案】C 'cos y x =,即()cos g x x =,所以22()cos y x g x x x ==,为偶函数,图象关于y 轴对称,所以排除A,B ．当2cos 0y x x ==,得0x =或,2x k k Z ππ=+∈,即函数过原点,所以选C ． 3 ．（山东省德州市乐陵一中2013届高三十月月考数学(理)试题）已知a 是实数,则函数axa x f sin 1)(+=的图象不可能是【答案】D 【解析】A 中,周期22T aππ=>,所以1a <,函数的最大值为12a +<,所有的图象有可能.B 周期22T aππ=<,所以1a >,函数的最大值为12a +>,所以B 的图象有可能.C 中当0a =时,函数为()1f x =,所以C 的图象有可能.D 周期22T aππ=>,所以1a <,函数的最大值为12a +<,而D 的图象中的最大值大于2,所以D 的图象不可能,综上选 D ． 4 ．（山东省兖州市2013高三9月入学诊断检测数学(理)试题）函数π)0(sin ln <<=x x y 的大致图象是【答案】C5 ．（山东威海市2013年5月高三模拟考试数学（理科））函数)2ln(sin )(+=x xx f 的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A ．6 ．（2013山东高考数学（理））函数cos sin y x x x =+的图象大致为【答案】 D 【解析】函数y=xcosx + sinx 为奇函数,所以图象关于原点对称,所以排除B, C ．当x π=时,()0f ππ=-<,排除A,选 D ．7 ．（山东省淄博市2013届高三复习阶段性检测（二模）数学（理）试题）函数()2tan 22f x xx ππ⎛⎫=--⎪⎝⎭在，上的图象大致为【答案】C 函数()2tan f x x x =-为奇函数,所以图象关于原点对称,所以排除A, B ．当2x π→时,0y <,所以排除D,选 C ．8 ．（2013届山东省高考压轴卷理科数学）已知函数4sin(2)y x π=-,则其图象的下列结论中,正确的是（ ）A ．关于点()8,1π-中心对称B ．关于直线8x π=轴对称C ．向左平移8π后得到奇函数D ．向左平移8π后得到偶函数【答案】C 【解析】对于A:sin(2)sin 244y x x ππ⎛⎫==-- ⎪⎝⎭-,其对称中心的纵坐标应为0,故排除A;对于B:当8x π=时,y=0,既不是最大值1,也不是最小值-1,故可排除B;对于C:sin(2)sin 244y x x ππ⎛⎫==-- ⎪⎝⎭-,向左平移8π后得到: sin 2sin 284y x x ππ⎡⎤⎛⎫=-+-=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦为奇函数,正确;可排除D ．故选 C ．9 ．（山东省青岛即墨市2013届高三上学期期末考试数学（理）试题）函数x xy sin 3+=的图象大致是【答案】C【 解析】函数()sin 3xy f x x ==+为奇函数,所以图象关于原点对称,排除B ．当x →+∞时,0y >,排除D ．1'()cos 3f x x =+,由1'()cos 03f x x =+=,得1cos 3x =-,所以函数()sin 3xy f x x ==+的极值有很多个,所以选C ． 10．（山东省济南市2013届高三4月巩固性训练数学（理）试题）函数)22sin(2x y -=π是 （ ）A ．最小正周期为π的奇函数B ．最小正周期为π的偶函数C ．最小正周期为2π的奇函数 D ．最小正周期为2π的偶函数 【答案】B11．（2011年高考（山东理））若函数()sin (0)f x x ωω=>在区间[0,]3π上单调递增,在区间[,]32ππ上单调递减,则ω= （ ）A ．8B ．2C ．32D ．23【答案】解析:函数()sin (0)f x x ωω=>在区间[0,]2πω上单调递增,在区间3[,]22ππωω上单调递减, 则23ππω=,即32ω=,答案应选 C ． 另解1:令[2,2]()22x k k k ππωππ∈--∈Z 得函数()f x 在22[,]22k k x ππππωωωω∈-+为增函数,同理可得函数()f x 在223[,]22k k x ππππωωωω∈++为减函数,则当0,23k ππω==时符合题意,即32ω=,答案应选C ．另解2:由题意可知当3x π=时,函数()sin (0)f x x ωω=>取得极大值,则)03f π'=,即cos03πωω=,即()32k k ππωπ=+∈Z ,结合选择项即可得答案应选C ．另解3:由题意可知当3x π=时,函数()sin (0)f x x ωω=>取得最大值,则2()32k k ππωπ=+∈Z ,36()2k k ω=+∈Z ,结合选择项即可得答案应选 C ．12．（山东省莱钢高中2013届高三4月模拟检测数学理试题 ）函数()sin()(0,0)f x A x A ωϕω=+>>的图像关于直线3π=x 对称,它的最小正周期为π,则函数)(x f 图像的一个对称中心是 （ ）A ．)0,12(πB ．)1,3(πC ．）0,125(πD ．）（0,12-π 【答案】A13．（山东省文登市2013届高三3月二轮模拟考试数学（理））设函数()sin(2)6f x x π=+,则下列结论正确的是（ ）A ．()f x 的图像关于直线3x π=对称B ．()f x 的图像关于点(,0)6π对称C ．()f x 的最小正周期为π,且在[0,]12π上为增函数D ．把()f x 的图像向右平移12π个单位,得到一个偶函数的图像【答案】C14．（山东省济南市2012届高三3月高考模拟题理科数学（2012济南二模））函数)2sin(sin x x y +=π的最小正周期是 （ ）A ．π2B ．πC ．2πD ．4π【答案】B【解析】函数x x x x x y 2sin 21cos sin )2sin(sin ==+=π,所以周期为π,选 B ．15．（山东省泰安市2013届高三第一轮复习质量检测数学（理）试题）当4x π=时,函数()()()s i n 0f x A x A ϕ=+>取得最小值,则函数34y f x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭是 （ ）A ．奇函数且图像关于点,02π⎛⎫⎪⎝⎭对称 B ．偶函数且图像关于点(),0π对称C ．奇函数且图像关于直线2x π=对称D ．偶函数且图像关于点,02π⎛⎫⎪⎝⎭对称【答案】C 当4x π=时,函数()()()s i n 0fx A xA ϕ=+>取得最小值,即2,42k k Z ππϕπ+=-+∈,即32,4k k Z πϕπ=-+∈,所以()()3si n ()04fx A xAπ=->,所以333()s in ()s i n 444y f x A x A x πππ=-=--=-,所以函数为奇函数且图像关于直线2x π=对称,选C ．16．（山东省德州市2013届高三3月模拟检测理科数学）函数2cos ()4y x π=+的图象沿x 轴向右平移a 个单位(0)a >,所得图象关于y 轴对称,则a 的最小值为（ ）A ．πB ．34π C ．2πD ．4π【答案】D 21cos(2)1sin 2112cos ()sin 242222x x y x x ππ++-=+===-,函数向右平移a 个单位得到函数为1111sin 2()sin(22)2222y x a x a =--=--,要使函数的图象关于y 轴对称,则有2,2a k k Z ππ-=+∈,即,42k a k Z ππ=--∈,所以当1k =-时,得a 的最下值为4π,选 D ．17．（山东济南外国语学校2012—2013学年度第一学期高三质量检测数学试题（理科））已知函数()2sin(),,f x x x R ωϕ=+∈其中0,.ωπϕπ>-<≤若()f x 的最小正周期为6π,且当2x π=时,()f x 取得最大值,则（ ） A ．()f x 在区间[2,0]π-上是增函数 B ．()f x 在区间[3,]ππ--上是增函数 C ．()f x 在区间[3,5]ππ上是减函数 D ．()f x 在区间[4,6]ππ上是减函数【答案】A 【解析】由26T ππω==,所以13ω=,所以函数1()2sin()3f x x ϕ=+,当2x π=时,函数取得最大值,即12322k ππϕπ⨯+=+,所以23k πϕπ=+,因为πϕπ-<≤,所以3πϕ=,1()2sin()33f x x π=+,由1222332k x k πππππ-+≤+≤+,得56622k x k ππππ-+≤≤+,函数的增区间为5[6,6]22k k ππππ-++,当0k =时,增区间为5[,]22ππ-,所以()f x 在区间[2,0]π-上是增函数,选A18．（山东师大附中2013届高三第四次模拟测试1月理科数学）已知ω>0,0ϕπ<<,直线x =4π和x =54π是函数()sin()f x x ωϕ=+图象的两条相邻的对称轴,则ϕ= （ ）A ．4πB ．3π C ．2π D ．34π 【答案】A 【解析】由题意可知5244T πππ=-=,所以函数的周期为2T π=.即22T ππω==,所以1ω=,所以()s i n (f x x ϕ=+,所以由()s i n ()144f ππϕ=+=,即242k ππϕπ+=+,所以24k πϕπ=+,所以当0k =时,4πϕ=,所以选A ．19．（山东师大附中2013届级高三12月第三次模拟检测理科数学）设函数()()()sin cos f x x x ωϕωϕ=+++0,||2πωϕ⎛⎫>< ⎪⎝⎭的最小正周期为π,且()()f x f x -=,则（ ）A ．()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递减 B ．()f x 在3,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减 C ．()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递增D ．()f x 在3,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递增 【答案】A 【解析】因为()()()sin cos )4f x x x x πωϕωϕωϕ=+++=++且函数的最小正周期为π,所以2T ππω==,所以2ω=,即函数())4f x x πϕ=++,又函数()()f x f x -=,所以函数为偶函数,所以,42k k Z ππϕπ+=+∈,即,4k k Z πϕπ=+∈,因为||2πϕ<,所以当0k =时,4πϕ=,所以()s i n (2)2s i 2)2c o s 2442fx xx x πππ=+++=,当02x π<<时,02x π<<,此时函数()2f x x =单调递减,选（ ）A ．20．（山东省青岛市2013届高三上学期期中考试数学（理）试题）已知函数()sin()f x A x ωϕ=+(其中0,2A πϕ><)的图象如图所示,则函数()f x 的解析式为（ ）A ．()sin(2)3f x x π=- B ．()sin(2)6f x x π=+ C ．()sin(2)3f x x π=+D ．()sin(4)6f x x π=+【答案】C21．（山东省菏泽市2013届高三5月份模拟考试数学（理）试题）已知函数①sin cos ,y x x =+②cos y x x =,则下列结论正确的是 （ ）A ．两个函数的图象均关于点(,0)4π-,成中心对称B ．①的纵坐标不变,横坐标扩大为原来的2倍,再向右平移4π个单位即得② C ．两个函数在区间(-4π,4π)上都是单调递增函数 D ．两个函数的最小正周期相同 【答案】C22．（山东省烟台市2013届高三3月诊断性测试数学理试题）若函数f(x)=2sin )0(>ωωx 在区间]4,3[ππ-上单调递增,则ω的最大值等于 （ ）A ．32 B ．23 C ．2 D ．3 【答案】B 因为函数在[,]44T T -上递增,所以要使函数f(x)=2sin )0(>ωωx 在区间]4,3[ππ-上单调递增,则有34T π-≥-,即43T π≥,所以243T ππω=≥,解得32ω≤,所以ω的最大值等于23,选 B ．二、填空题23．（山东省烟台市2013届高三上学期期中考试数学试题(理科)）函数）（ππ2,0),3sin(2∈-=x x y 的单调递增区间为______________【答案】]61165[ππ， 【解析】由)3sin(2)3sin(2ππ--=-=x x y 知当≤-≤+322πππx k ππk 223+即)(2611265Z k k x k ∈+≤≤+ππππ时,y 为增函数. )2,0(π∈x ,∴函数的增区间为]611,65[ππ.24．（山东省青岛即墨市2013届高三上学期期末考试数学（理）试题）已知函数2()2sin ()3cos 21,,442f x x x x πππ⎡⎤=+--∈⎢⎥⎣⎦,则)(x f 的最小值为_________.【答案】1【 解析】2()2sin ()3cos 211cos 2()3cos 2144f x x x x x ππ=+--=-+--cos(2)3cos 2sin 23cos 22sin(2)23x x x x x ππ=-+-=-=-,因为42x ππ≤≤,所以22633x πππ≤-≤,所以sin sin(2)sin 632x πππ≤-≤,即1sin(2)123x π≤-≤,所以12sin(2)23x π≤-≤,即1()2f x ≤≤,所以)(x f 的最小值为1.25．（山东省济南市2013届高三3月高考模拟理科数学）函数sin()(0)2y x πϕϕ=+>的部分图象如图所示,设P 是图象的最高点,,A B 是图象与x 轴的交点,则tan APB ∠_______________.【答案】2-函数的最大值是1,周期242T ππ==,则14TAD ==,3,1BD PD ==,则tan 1,tan 3,AD BDAPD BPD PD PD∠==∠==所以tan tan()APB APD BPD ∠=∠+∠ tan tan 1321tan tan 113APD BPD APD BPD ∠+∠+===--∠⋅∠-⨯. 26．（山东省枣庄市2013届高三3月模拟考试数学（理）试题）设()y f t =是某港口水的深度y(米)关于时间t(时)的函数,其中0≤t≤24.下表是该港口某一天从0时至24时记录的时间t 与水深y 的关系:经长期观察,函数y=f(t)的图象可以近似地看成函数sin()y h A x ωφ=++的图象.最能近似表示表中数据间对应关系的函数是_______. 【答案】 5.0 2.5sin6y t π=+由数据可知函数的周期12T =,又212T πω==,所以6πω=.函数的最大值为7.5,最小值为2.5,即7.5, 2.5h A h A +=-=,解得 5.0, 2.5h A ==,所以函数为() 5.0 2.5sin()6y f x t πφ==++,又(3) 5.0 2.5sin(3)7.56y f πφ==+⨯+=,所以sin()cos 12πφφ+==,即2,k k Z φπ=∈,所以最能近似表示表中数据间对应关系的函数是 5.0 2.5sin6y t π=+.27．（山东省济宁邹城市2013届高三上学期期中考试数学（理）试题）已知函数()3sin(2)3f x x π=-的图象为C,关于函数()f x 及其图象的判断如下: ①图象C 关于直线112x π=对称; ②图象C 关于点2(,0)3π对称; ③由3sin 2y x =得图象向右平移3π个单位长度可以得到图象C; ④函数f(x)在区间(5,1212ππ-)内是增函数;⑤函数|()1|f x +的最小正周期为2π. 其中正确的结论序号是_________.(把你认为正确的结论序号都填上) 【答案】①②④ 三、解答题28．（山东省济南市2013届高三4月巩固性训练数学（理）试题）已知函数)()4sin cos 03f x x x πωωω⎛⎫=++> ⎪⎝⎭的最小正周期为π.⑴求)(x f 的解析式;(2)求)(x f 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-6,4ππ上的最大值和最小值及取得最值时x 的值. 【答案】解()4sin cos cos sin sin 33f x x x x ππωωω⎛⎫=- ⎪⎝⎭22sin cos x x x ωωω=-sin 2x x ωω=2sin 23x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭2,12T ππωω==∴=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=∴32sin 2)(πx x f(2)46x ππ-≤≤,22633x πππ∴-≤+≤1sin 2123x π⎛⎫∴-≤+≤ ⎪⎝⎭,即()12f x -≤≤,当2,36x ππ+=-即4x π=-时,()min 1f x =-,当2,32x ππ+=即12x π=时,()max 2f x =294月模拟检测数学理试题 ）已知函数,并求函数取得最大值和最小值时的自变量x 的值.(3)已知ABC ∆中,角C B A ,,的对边分别为.,,c b a 若3(),f A = 2.b c +=求边a 的最小值.(2)[,12x ππ∈∴当26x π+=ππ4min (3)2345)62sin(21)(=++=πA A f 21)62sin(=+∴πA），6136(62πππ∈+A 6562ππ=+∴A3π=∴A∵b+c=2∴1)2(34343)(22222=+-≥-=-+=-+=c b bc bc c b bc c b a 当且仅当b=c 时取等号 ∴a 的最小值是130．（山东省枣庄三中2013届高三上学期1月阶段测试理科数学）设x x x x f cos sin 32cos 6)(2-=.(Ⅰ)求)(x f 的最小正周期及单调递增区间; (Ⅱ)将函数)(x f 的图象向右平移3π个单位,得)(x g y =的图象,求x x g x F 323)()(-=在4π=x 处的切线方程.【答案】解:(Ⅰ)(1cos 2)()62)326x f x x x π+==++,故f (x )的最小正周期π=T ,由ππππk x k 2622≤+≤+-得f (x )的单调递增区间为()Z k k k ∈--]12,127[ππππ (Ⅱ)由题意:()23cos[2()]323sin 2336g x x x ππ=-++=+, x xxx g x F 2sin 323)()(=-=, 2'2sin 2cos 2)(x xx x x F -=, 因此切线斜率2'16)4(ππ-==F k ,切点坐标为)4,4(ππ,故所求切线方程为)4(1642πππ--=-x y ,即08162=-+ππy x 31．（山东省德州市乐陵一中2013届高三十月月考数学(理)试题）已知函数()()x x f x 23sin cos sin x 2424ππ⎛⎫⎛⎫=++-+π ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.(I)求()f x 的最小正周期;www. (Ⅱ)若将()f x 的图象按向量a =(6π,0)平移得到函数g(x)的图象,求函数g(x)在区间[]0,π上的最大值和最小值.【答案】32．（山东省日照市2013届高三12月份阶段训练数学(理)试题）已知向量)(),0,0,sin a x b x ==,记函数()()22f x a b x =++.求:(I)函数()f x 的最小值及取得小值时x 的集合;(II)函数()f x 的单调递增区间.【答案】解:(Ⅰ)x x f 2sin 3)()(2++=b a212cos 2cos 222x x x x =++=+ =2)6π2sin(2++x , 当且仅当23ππ26π2+=+k x ,即32ππ+=k x )(Z ∈k 时,()0f x =min , 此时x 的集合是⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+=Z k k x x π,32π| (Ⅱ)由)(2ππ26π22ππ2Z ∈+≤+≤k k x k －,所以)(6ππ3ππZ ∈+≤≤k k x k －, 所以函数()f x 的单调递增区间为)](6ππ,3ππ[Z ∈+k k k - 33．（山东师大附中2013届高三第四次模拟测试1月理科数学）已知函数ππ1()cos()cos()sin cos 334f x x x x x =+--+ (1)求函数)(x f 的最小正周期和最大值;(2)求函数()f x 单调递增区间【答案】【解析】:(Ⅰ)ππ11()cos()cos()sin 23324f x x x x =+--+1111(cos )(cos )sin 2222224x x x x x =-+-+ 221311cos sin sin 24424x x x =--+1cos 233cos 211sin 28824x x x +-=--+1(cos 2sin 2)2x x =-cos 224x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ 函数)(x f 的最小正周期为 T π=,函数)(x f 的最大值为2(II)由 222,4k x k k z ππππ-≤+≤∈ 得 5,88k x k k z ππππ-≤≤-∈ 函数)(x f 的 单调递增区间为5[,],88k k k z ππππ--∈ 34．（山东省济宁邹城市2013届高三上学期期中考试数学（理）试题）已知向量21cos 213(sin ,sin ),(cos 22,2sin )22x m x x n x x x +=+=-,设函数 (),.f x m n x =⋅∈R(I)求函数f(x)的最小正周期及单调增区间;(Ⅱ)若[0,],()2x f x π∈求函数值域.【答案】。
三角函数定义知识点及例题[练习与答案]超强推荐
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三角函数的定义专题关键词： 三角函数的定义 终边 弧长公式 扇形面积 同角的基本关系 学习目标： 理解角的概念，掌握同角三角函数基本关系☆ 对角的概念的理解：（1）无界性 R ∈α 或 ),(+∞-∞ （2）周期性（3）终边相同的角的表示：（1）α终边与θ终边相同(α的终边在θ终边所在射线上)⇔2()k k αθπ=+∈Z ，注意：相等的角的终边一定相同，终边相同的角不一定相等.如与角1825-的终边相同，且绝对值最小的角的度数是＿＿＿，合＿＿＿弧度。
（答：25-；536π-）（2）α终边与θ终边共线(α的终边在θ终边所在直线上) ⇔()k k αθπ=+∈Z . （3）α终边与θ终边关于x 轴对称⇔2()k k αθπ=-+∈Z . （4）α终边与θ终边关于y 轴对称⇔2()k k απθπ=-+∈Z . （5）α终边与θ终边关于原点对称⇔2()k k απθπ=++∈Z .（6）α终边在x 轴上的角可表示为：,k k Z απ=∈；α终边在y 轴上的角可表示为：,2k k Zπαπ=+∈；α终边在坐标轴上的角可表示为：,2k k Zπα=∈.如α的终边与6π的终边关于直线x y =对称，则α＝____________。
（答：Zk k ∈+,32ππ）☆ 角与角的位置关系的判断 （1） 终边相同的角 （2） 对称关系的角（3） 满足一些常见关系式的两角例如：若α是第二象限角，则2α是第_____象限角 ：一、三）☆ 弧长公式：||l R α=，扇形面积公式：211||22S lR R α==，1弧度(1rad)57.3≈.例如：已知扇形AOB 的周长是6cm ，该扇形的中心角是1弧度，求该扇形的面积。
（答：22cm ）☆ 三角函数的定义：高中阶段对三角函数的定义与初中的定义从本质上讲不同。
但既有联系，又有区别。
定义：设α是任意一个角，P (,)x y 是α的终边上的任意一点（异于原点），它与原点的距离是220r x y =+>，那么sin ,cos y x r r αα==，()tan ,0y x x α=≠，cot x y α=(0)y ≠，sec r x α=()0x ≠，()csc 0r y y α=≠。
【志鸿优化设计】(山东专用)2014届高考数学一轮复习 第四章三角函数、解三角形4.3三角函数的图象
4.3 三角函数的图象与性质考纲要求1．能画出y ＝sin x ，y ＝cos x ，y ＝tan x 的图象，了解三角函数的周期性． 2．理解正弦函数、余弦函数在区间[0,2π]上的性质(如单调性、最大值和最小值以及与x 轴的交点等)，理解正切函数在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2内的单调性．1．周期函数及最小正周期对于函数f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有__________，则称f (x )为周期函数，T 为它的一个周期．若在所有周期中，有一个最小的正数，则这个最小的正数叫做f (x )的最小正周期．2．正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质x ∈R x ∈Rx ∈R 且x ≠π2＋k π，k ∈Z1．函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3，x ∈R ( )．A ．是奇函数B ．是偶函数C ．既不是奇函数也不是偶函数_D ．既是奇函数又是偶函数2．下列函数中，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π上是增函数的是( )． A ．y ＝sin x B ．y ＝cos x C ．y ＝sin 2x D ．y ＝cos 2x3．函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2的图象的一条对称轴方程是( )． A ．x ＝－π2B ．x ＝－π4C ．x ＝π8D ．x ＝π4．函数f (x )＝tan ωx (ω＞0)的图象的相邻的两支截直线y ＝π4所得线段长为π4，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4的值是( )．A ．0B ．1C ．－1D ．π45．已知函数y ＝sin x 的定义域为[a ，b ]，值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，12，则b －a 的值不可能是( )． A ．π3 B ．2π3C ．π D．4π3一、三角函数的定义域与值域【例1】(1)求函数y ＝lg sin 2x ＋9－x 2的定义域． (2)求函数y ＝cos 2x ＋sin x ⎝ ⎛⎭⎪⎫|x |≤π4的最大值与最小值．方法提炼1．求三角函数定义域实际上是解简单的三角不等式，常借助三角函数线或三角函数图象来求解．2．求解涉及三角函数的值域(最值)的题目一般常用以下方法： (1)利用sin x ，cos x 的值域；(2)形式复杂的函数应化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的形式逐步分析ωx ＋φ的范围，根据正弦函数单调性写出函数的值域；(3)换元法：把sin x 或cos x 看作一个整体，可化为求函数在区间上的值域(最值)问题．请做演练巩固提升2二、三角函数的单调性【例2－1】已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)，x ∈R ，其中ω＞0，－π＜φ≤π.若f (x )的最小正周期为6π，且当x ＝π2时，f (x )取得最大值，则( )．A ．f (x )在区间[－2π，0]上是增函数B ．f (x )在区间[－3π，－π]上是增函数C ．f (x )在区间[3π，5π]上是减函数D ．f (x )在区间[4π，6π]上是减函数【例2－2】设a ∈R ，f (x )＝cos x (a sin x －cos x )＋cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x 满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝f (0)，求函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，11π24上的最大值和最小值．方法提炼1．熟记y ＝sin x ，y ＝cos x ，y ＝tan x 的单调区间是求复杂的三角函数单调区间的基础．2．求形如y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的单调区间时，只需把ωx ＋φ看作一个整体代入y ＝sin x 的相应单调区间即可，注意A 的正负以及要先把ω化为正数．求y ＝A cos(ωx ＋φ)＋k 和y ＝A tan(ωx ＋φ)＋k 的单调区间类似．请做演练巩固提升3三、三角函数的周期性和奇偶性及对称性【例3－1】设函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω＞0，|φ|＜π2，给出以下四个论断：①它的最小正周期为π；②它的图象关于直线x ＝π12成轴对称图形；③它的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0成中心对称图形； ④在区间⎣⎢⎡⎭⎪⎫－π6，0上是增函数．以其中两个论断作为条件，另两个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题__________(用序号表示即可)．【例3－2】(2012湖北高考)设函数f (x )＝sin 2ωx ＋23sin ωx ·cos ωx －cos 2ωx＋λ(x ∈R )的图象关于直线x ＝π对称，其中ω，λ为常数，且ω∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1.(1)求函数f (x )的最小正周期；(2)若y ＝f (x )的图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0，求函数f (x )的值域． 方法提炼1．求三角函数周期的方法： (1)利用周期函数的定义；(2)利用公式：y ＝A sin(ωx ＋φ)和y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期为2π|ω|，y ＝tan(ωx ＋φ)的最小正周期为π|ω|； (3)利用图象．2．三角函数的对称性：正、余弦函数的图象既是中心对称图形，又是轴对称图形．正切函数的图象只是中心对称图形，应熟记它们的对称轴和对称中心，并注意数形结合思想的应用．请做演练巩固提升1不注意A ，ω的符号，易把单调性 弄反或把区间左右的值弄反【典例】设f (x )＝a sin 2x ＋b cos 2x ，其中a ，b ∈R ，ab ≠0，若f (x )≤⎪⎪⎪⎪⎪⎪f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6对一切x ∈R 恒成立，则①f ⎝⎛⎭⎪⎫11π12＝0②⎪⎪⎪⎪⎪⎪f ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π10＜⎪⎪⎪⎪⎪⎪f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π5 ③f (x )既不是奇函数也不是偶函数④f (x )的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z ) ⑤存在经过点(a ，b )的直线与函数f (x )的图象不相交． 以上结论正确的是__________(写出正确结论的编号)．解析：由f (x )≤⎪⎪⎪⎪⎪⎪f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6对一切x ∈R 恒成立知，直线x ＝π6是f (x )的对称轴，又f (x )＝a 2＋b 2sin(2x ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫其中tan φ＝b a的周期为π，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1112π＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋3π4可看作x ＝π6的值加了34个周期．∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1112π＝0，故①正确．∵7π10－2π3＝π30，π5－π6＝π30， ∴7π10和π5与对称轴的距离相等． ∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪f ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π10＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π5，故②不正确． ∵x ＝π6是对称轴，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π6＋φ＝±1.∴π3＋φ＝±π2＋2k π，k ∈Z . ∴φ＝π6＋2k π或φ＝－5π6＋2k π，k ∈Z .∵tan φ＝ba＝13，∴a ＝3b .∴f (x )＝2|b |sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6或f (x )＝2|b |sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －5π6.∴f (x )既不是奇函数也不是偶函数，故③正确．由以上知，f (x )＝2|b |sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3＋k π，π6＋k π，k ∈Z ，f (x )＝2|b |sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －56π的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6＋k π，2π3＋k π，k ∈Z ， 由于f (x )的解析式不确定，∴单调递增区间也不确定，故④不正确．∵f (x )＝a sin 2x ＋b cos 2x ＝a 2＋b 2sin(2x ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫其中tan φ＝b a ， ∴－a 2＋b 2≤f (x )≤a 2＋b 2. 又∵ab ≠0，∴a ≠0，b ≠0. ∴－a 2＋b 2＜b ＜a 2＋b 2.∴过点(a ，b )的直线必与函数f (x )的图象相交，故⑤不正确． 答案：①③答题指导：1．在解答本题时易犯以下两点错误：(1)在求④中f (x )的单调递增区间时，运算化简不准确，而使判断错误； (2)对于⑤的判断不是根据推导，而是凭借印象想当然做出判断，而使解答错误． 2．解决三角函数性质的问题时，还有以下几点在备考时要高度关注： (1)化简时公式应用要准确；(2)有的题目涉及到角的范围时要考虑全面； (3)和其他内容结合时要注意三角函数的值域．1．(2012大纲全国高考)若函数f (x )＝sin x ＋φ3(φ∈[0,2π])是偶函数，则φ＝( )．A ．π2B ．2π3C ．3π2D ．5π32．函数y ＝ln(sin x －cos x )的定义域为__________．3．函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4的单调递增区间为__________．4．已知函数f (x )＝2sin x 4cos x 4＋3cos x2. (1)求函数f (x )的最小正周期及最值；(2)令g (x )＝f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3，判断函数g (x )的奇偶性，并说明理由． 5．已知函数f (x )＝sin x (cos x －3sin x )． (1)求函数f (x )的最小正周期；(2)将函数y ＝sin 2x 的图象向左平移a ⎝ ⎛⎭⎪⎫0＜a ＜π2个单位，向下平移b 个单位，得到函数y ＝f (x )的图象，求a ，b 的值；(3)求函数f (x )的单调增区间．参考答案基础梳理自测 知识梳理 1．f (x ＋T )＝f (x )2．{y |－1≤y ≤1} {y |－1≤y ≤1} R⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2＋2k π，π2＋2k π ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2＋2k π，3π2＋2k π [(2k －1)π，2k π] [2k π，(2k ＋1)π] ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＋k π，π2＋k π π2＋2k π－π2＋2k π 2k π π＋2k π 奇 偶 奇 (k π，0)，k ∈Z ⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋π2，0，k ∈Z ⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2，0，k ∈Z x ＝k π＋π2，k ∈Z x ＝k π，k ∈Z 2π 2π π基础自测1．C 解析：∵f (－x )≠f (x )且f (－x )≠－f (x )，∴f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3，x ∈R 既不是奇函数，也不是偶函数．2．D 解析：y ＝sin x 和y ＝cos x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π上是减函数，y ＝sin 2x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π上不单调，y ＝cos 2x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π上是增函数．3．B 解析：令2x ＋π2＝k π(k ∈Z )．即x ＝k π2－π4(k ∈Z )，检验知，x ＝－π4，故选B.4．A 解析：由题意，周期T ＝π4，∴ω＝πT ＝4.则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫4×π4＝tan π＝0.故选A.5．A 解析：画出函数y ＝sin x 的草图(图略)，分析知b －a 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π3，4π3，故选A.考点探究突破【例1】解：(1)依题意有⎩⎪⎨⎪⎧sin 2x >0，9－x 2≥0，解得⎩⎪⎨⎪⎧k π<x <k π＋π2，k ∈Z ，－3≤x ≤3，即函数的定义域为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫－3≤x <－π2，或0<x <π2.(2)设sin x ＝t ，则t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22，22. ∴y ＝1－sin 2x ＋sin x ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫t －122＋54，t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22，22. 故当t ＝12，即x ＝π6时，y max ＝54，当t ＝－22，即x ＝－π4时，y min ＝1－22. 【例2－1】A 解析：∵函数f (x )的最小正周期为6π， ∴2πω＝6π，得ω＝13，在x ＝π2时，函数f (x )取得最大值， ∴13×π2＋φ＝2k π＋π2. 又∵－π＜φ≤π，∴φ＝π3. ∴f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ＋π3.由2k π－π2≤13x ＋π3≤2k π＋π2(k ∈Z )，得6k π－52π≤x ≤6k π＋12π(k ∈Z )．∴f (x )的增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤6k π－52π，6k π＋π2(k ∈Z )．取k ＝0，得⎣⎢⎡⎦⎥⎤－52π，π2是f (x )的一个增区间，∴函数f (x )在区间[－2π，0]上是增函数．【例2－2】解：f (x )＝a sin x cos x －cos 2x ＋sin 2x ＝a2sin 2x －cos 2x .由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝f (0)得－32·a 2＋12＝－1，解得a ＝2 3. 因此f (x )＝3sin 2x －cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6.当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π3时，2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π2，f (x )为增函数，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，11π24时，2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，3π4，f (x )为减函数，所以f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，11π24上的最大值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝2.又因f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝3，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π24＝2， 故f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，11π24上的最小值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π24＝ 2. 【例3－1】①②⇒③④(答案不唯一，也可填①③⇒②④) 解析：若把①②作条件可知ω＝2ππ＝2，ωx ＋φ＝2×π12＋φ＝k π＋π2，取φ＝π3.因此f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3， 可验证③④都是正确的，因此①②⇒③④， 同理可验证①③⇒②④.【例3－2】解：(1)因为f (x )＝sin 2ωx －cos 2ωx ＋23sin ωx ·cos ωx ＋λ＝－cos 2ωx ＋3sin 2ωx ＋λ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωx －π6＋λ，由直线x ＝π是y ＝f (x )图象的一条对称轴，可得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωπ－π6＝±1.所以2ωπ－π6＝k π＋π2(k ∈Z )，即ω＝k 2＋13(k ∈Z )．又ω∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，k ∈Z ，所以ω＝56. 所以f (x )的最小正周期是6π5.(2)由y ＝f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0， 得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝0， 即λ＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫56×π2－π6 ＝－2sin π4＝－2，即λ＝－ 2. 故f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫53x －π6－2，函数f (x )的值域为[－2－2，2－2]． 演练巩固提升1．C 解析：∵f (x )＝sinx ＋φ3是偶函数，∴f (0)＝±1. ∴sin φ3＝±1.∴φ3＝k π＋π2(k ∈Z )． ∴φ＝3k π＋3π2(k ∈Z )． 又∵φ∈[0,2π]，∴当k ＝0时，φ＝3π2.故选C. 2．⎩⎨⎧ x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫π4＋2k π<x <54π＋2k π，k ∈Z解析：由已知得sin x －cos x ＞0，即sin x ＞cos x .在[0,2π]内满足sin x ＞cos x 的x 的集合为⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，54π. 又正弦、余弦函数的周期为2π，∴所求定义域为⎩⎪⎨⎪⎧ x ⎪⎪⎪ π4＋2k π<x < ⎭⎬⎫54π＋2k π，k ∈Z . 3．⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π4，2k π＋3π4(k ∈Z ) 解析：由2k π－π2≤x －π4≤2k π＋π2(k ∈Z )，得2k π－π4≤x ≤2k π＋3π4(k ∈Z )， ∴函数的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π4，2k π＋3π4(k ∈Z )． 4．解：(1)f (x )＝sin x 2＋3cos x 2＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π3， ∴f (x )的最小正周期T ＝2π12＝4π. 当sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π3＝－1时，f (x )取得最小值－2， 当sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π3＝1时，f (x )取得最大值2. (2)由(1)知f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π3， 又g (x )＝f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3， ∴g (x )＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋π3 ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π2＝2cos x 2. ∴g (－x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 2＝2cos x 2＝g (x )， ∴函数g (x )是偶函数．5．解：f (x )＝sin x (cos x －3sin x )＝sin x cos x －3sin 2x＝12sin 2x －3×1－cos 2x 2＝12sin 2x ＋32cos 2x －32＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3－32. (1)f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π. (2)将函数y ＝sin 2x 的图象向左平移a 个单位得y ＝sin 2(x ＋a )的图象，再向下平移b 个单位，得函数y ＝sin(2x ＋2a )－b 的图象，依题意得a ＝π6，b ＝32.(3)由2k π－π2≤2x ＋π3≤2k π＋π2(k ∈Z )得，k π－5π12≤x ≤k π＋π12(k ∈Z )， 所以f (x )的单调增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－5π12，k π＋π12(k ∈Z )．。
山东省2014届理科数学一轮复习试题选编11：三角函数图象的变换问题(学生版)
山东省2014届理科数学一轮复习试题选编11：三角函数图象的变换问题一、选择题1 ．（2009高考(山东理)）将函数sin 2y x =的图象向左平移4π个单位, 再向上平移1个单位,所得图象的函数解析式是 （ ）A ．cos 2y x =B ．22cos y x =C ．)42sin(1π++=x y D ．22sin y x =2 ．（山东省济南市2013届高三上学期期末考试理科数学）将函数 ()sin(2)6f x x π=+的图象向右平移6π个单位后,所得的图象对应的解析式为 （ ）A ．y =sin 2xB ．y =cos 2xC ．y =2sin(2)3x π+D ．y =sin(2)6x π- 3 ．（山东省泰安市2013届高三上学期期末考试数学理）函数()()sin f x A x ωϕ=+(其中0,2A πϕ><)的图象如图所示,为了得到()sin 2g x x =的图象,则只需将()f x 的图象（ ）A ．向右平移6π个长度单位 B ．向右平移12π个长度单位 C ．向左平移6π个长度单位D ．向左平移12π个长度单位4 ．（山东省威海市2013届高三上学期期末考试理科数学）函数()sin(2),(||)2f x x πϕϕ=+<向左平移6π个单位后是奇函数,则函数()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为 （ ）A ．B ．12-C ．12D 5 ．（山东省潍坊市2013届高三上学期期末考试数学理（ ）A ．）要得到函数)23sin(-=x y 的图象,只要将函数x y 3sin =的图象（ ）A ．向左平移2个单位B ．向右平移2个单位C ．向左平移32个单位 D ．向右平移32个单位 6 ．（山东省滨州市2013届高三第一次（3月）模拟考试数学（理）试题）函数()sin()f x A x ωϕ=+(其中A >0,ϕ<π2的图象如图所示,为了得到()sin 3g x x =的图象,只需将()f x 的图象 （ ）C ．向右平移π12个单位长度D ．向左平移π12个单位长度7 ．（山东省济南市2013届高三3月高考模拟理科数学）右图是函数sin()()y A x x R ωϕ=+∈在区间5[,]66ππ-上的图象.为了得到这个函数的图象,只需将sin ()y x x R =∈的图象上所有的点（ ）A ．向左平移3π个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的12倍,纵坐标不变 B ．向左平移3π个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变 C ．向左平移6π个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的12倍,纵坐标不变 D ．向左平移6π个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变8 ．（2013年山东临沂市高三教学质量检测考试理科数学）函数f (x )A sin(x )ωϕ=+(其中A>0,2||πϕ<)的部分图象如图所示,为了得到2g(x )cos x =的图象,则只要将f (x )的图象（ ）A ．向左平移12π个单位长度B ．向右平移12π个单位长度 C ．向左平移6π个单位长度D ．向右平移6π个单位长度9 ．（山东省德州市乐陵一中2013届高三十月月考数学(理)试题）为了得到函数)322sin(π+=x y 的图像,只需把函数)62sin(π+=x y 的图像（ ）A ．向左平移2π个单位长度 B ．向右平移2π个单位长度10．（山东省潍坊市四县一校2013届高三11月期中联考(数学理)）将函数x y 2sin =的图象向右平移4π个单位,再向上平移1个单位,所得函数图象对应的解析式为 （ ）A ．1)42sin(+-=πx yB ．x y 2cos 2=C ．x y 2sin 2=D ．x y 2cos -=11．（山东省烟台市2013届高三上学期期中考试数学试题(理科)）函数)2||,0,0)(sin()(πφωφω<>>+=A x A x f 的 部分图象如图示,则将()y f x =的图象向右平移6π个单位后,得到的图象解析式为（ ）A ．x y 2sin =B ．x y 2cos = C．)322sin(π+=x yD ．)62sin(π-=x y12．（山东省烟台市莱州一中2013届高三第二次质量检测数学(理)试题）函数()()sin f x x ωϕ=+(ω其中>0,ϕ<2π)的图象如图所示,为了得到()sin g x x ω=的图象,可以将()f x 的图象（ ）A ．向右平移6π个单位长度 B ．向右平移3π个单位长度 C ．向左平移6π个单位长度D ．向左平移3π个单位长度13．（山东省烟台市莱州一中2013届高三第三次质量检测数学(理)试题）要得到函数sin(2)3π=-y x 的图像,只需将函数sin 2y x =的图像 （ ）A ．向左平移12π个单位B ．向左平移6π个单位 C ．向右平移6π个单位D ．向右平移12π个单位14．（山东省兖州市2013高三9月入学诊断检测数学(理)试题）函数)sin()(ϕω+=x A x f (0,>ωA )的图象如右图所示,为了得到x A x g ωcos )(-=的图象,可以将)(x f 的图象（ ）C ．向左平移12π个单位长度D ．向左平移125π个单位长度15．（山东师大附中2013届高三第四次模拟测试1月理科数学）为了得到函数sin(2)3y x π=+的图象,只要将sin ()y x x R =∈的图象上所有的点（ ）A ．向左平移3π个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的12倍,纵坐标不变 B ．向左平移3π个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变C ．向左平移6π个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的12倍,纵坐标不变D ．向左平移6π个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变16．（山东省莱芜市第一中学2013届高三12月阶段性测试数学（理）试题）已知函数2()sin 22cos 1f x x x =+-,将()f x 的图象上各点的横坐标缩短为原来的21,纵坐标不变,再将所得图象向右平移π4个单位,得到函数()y g x =的图象,则函数()y g x =的解析式为 （ ）A ．()g x x =B ．()g x x =C ．3π())4g x x =-D ．()4g x x =17．（山东省2013届高三高考模拟卷（一）理科数学）将函数x x x f 2sin 2cos )(-=的图象向左平移8π个单位后得到函数)(x F 的图象,则下列说法中正确的是 （ ）A ．函数)(x F 是奇函数,最小值是2-B ．函数)(x F 是偶函数,最小值是2-C ．函数)(x F 是奇函数,最小值是2-D ．函数)(x F 是偶函数,最小值是2-18．（山东省临沂市2013届高三第三次模拟考试 理科数学）要得到函数()cos(2)3f x x =+π的图象,只需将函数()sin(2)3g x x =+π的图象（ ）A ．向左平移2π个单位长度 B ．向右平移2π个单位长度 C ．向左平移4π个单位长度D ．向右平移4π个单位长度19．（2013山东高考数学（理））将函数sin(2)y x ϕ=+的图象沿x 轴向左平移8π个单位后,得到一个偶函数的图象,则ϕ的一个可能取值为 （ ）A ．34πB ．4πC ．0D ．4π-二、填空题 三、解答题20．（山东省莱芜五中2013届高三4月模拟数学（理）试题）已知函数21()s i nc o s s i n c o sc o sc o s ()(0)2f x x x x ϕϕπϕϕπ=+++<<,其图象过点1(,).34π(1)求ϕ的值;(2)将函数)(x f y =图象上各点向左平移6π个单位长度,得到函数)(x g y =的图象,求函数)(x g 在2[,]43ππ-上的单调递增区间.21．（山东省德州市2013届高三上学期期末校际联考数学（理））若函数2()22cos f x x x m =++在区间[0,]2π上的最大值为2,将函数()f x 图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变),再将图象上所有的点向右平移6π个单位,得到函数()g x 的图象.(1)求函数()f x 解析式;(2)在△AB C 中,角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c,又8(),225g A b π-==,△ABC 的面 积等于3,求边长a 的值,22．（山东省烟台市2013届高三3月诊断性测试数学理试题）已知平面向量 a=(cosϕ,sin ϕ),b=(cosx,sinx),c=(sin ϕ,-cos ϕ),其中0<ϕ<π,且函数f(x)=(a·b)cosx+(b·c)sinx 的图像过点(6π,1).(1)求ϕ的值;(2)先将函数y=f(x)的图像向左平移12π个单位,然后将得到函数图像上各点的横坐标变为原来的2倍,纵坐标不变,得到函数y=g(x)的图像,求函数y=g(x)在[0,2π]上的最大值和最小值.23．（山东省实验中学2013届高三第三次诊断性测试理科数学）设函数a x x x x f ++=2cos cos sin 3)(.(Ⅰ)写出函数的最小正周期及单调递减区间;(Ⅱ)当]3,6[ππ-∈x 时,函数)(x f 的最大值与最小值的和为23,求)(x f 的解析式;(Ⅲ)将满足(Ⅱ)的函数)(x f 的图像向右平移12π个单位,纵坐标不变横坐标变为原来的2倍,再向下平移21,得到函数)(x g ,求)(x g 图像与x 轴的正半轴、直线2π=x 所围成图形的面积.24．（山东省青岛市2013届高三上学期期中考试数学（理）试题）已知向量22(cos sin ,sin )a x x x ωωω=- ,2cos )b x ω= ,设函数()(R)f x a b x =⋅∈ 的图象关于直线2x π=对称,其中ω为常数,且(0,1)ω∈.(Ⅰ)求函数()f x 的表达式;(Ⅱ)若将()y f x =图象上各点的横坐标变为原来的16,再将所得图象向右平移3π个单位,纵坐标不变,得到()y h x =的图象, 若关于x 的方程()0h x k +=在区间[0,]2π上有且只有一个实数解,求实数k 的取值范围.25．（山东省潍坊市2013届高三第二次模拟考试理科数学）已知函数()cos()cos()sin cos 44f x x x x x ππ=+-+.(I)求()f x 的最小正周期和最大值;(Ⅱ)在给出的坐标系中画出函数()y f x =在[]0,π上的图象,并说明()y f x =的图象 是由sin 2y x =的图象怎样变换得到的.26．（山东省淄博市2013届高三复习阶段性检测（二模）数学（理）试题）已知函数()()21cos cos 02f x x x x ωωωω=+-> ,其最小正周期为.2π(I)求()f x 的表达式;(II)将函数()f x 的图象向右平移8π个单位,再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),得到函数()y g x =的图象,若关于x 的方程()0g x k +=,在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有且只有一个实数解,求实数k 的取值范围.山东省2014届理科数学一轮复习试题选编11：三角函数图象的变换问题参考答案一、选择题1. 【解析】:将函数s i n 2y x =的图象向左平移4π个单位,得到函数sin 2()4y x π=+即sin(2)cos 22y x x π=+=的图象,再向上平移1个单位,所得图象的函数解析式为21cos 22sin y x x =+=,故选D.答案:D2. 【答案】D【 解析】将函数()sin(2)6f x x π=+的图象向右平移6π个单位得到()sin[2()]sin(2)666f x x x πππ=-+=-,选D.3. 【答案】A【解析】由图象可知1A =,741234T πππ=-=,即周期2T ππω==,所以2ω=,所以函数为()()sin 2f x x ϕ=+.又77()sin(2)11212f ππϕ=⨯+=-,即sin()16πϕ+=,所以2,62k k Z ππϕπ+=+∈,即2,3k k Z πϕπ=+∈,因为2πϕ<,所以当0k =时,3πϕ=,所以()sin(2)3f x x π=+.()sin 2sin[2()]63g x x x ππ==-+,所以只需将()f x 的图象向右平移6π,即可得到()sin 2g x x =的图象,所以选A. 4. 【答案】A 函数()sin(2),(||)2f x x πϕϕ=+<向左平移6π个单位后得到函数为()sin[2()]sin(2)663f x x x πππϕϕ+=++=++,因为此时函数为奇函数,所以,3k k Z πϕπ+=∈,所以,3k k Z πϕπ=-+∈.因为||2πϕ<,所以当0k =时,3πϕ=-,所以()sin(2)3f x x π=-.当02x π≤≤,所以22333x πππ-≤-≤,即当233x ππ-=-时,函数()sin(2)3f x x π=-有最小值为sin()3π-=,选A. 5. 【答案】D【解析】因为2sin(32)sin 3()3y x x =-=-,所以只需将函数x y 3sin =的图象向右平移32个单位,即可得到)23sin(-=x y 的图象,选D.6. 【答案】C 由图象可知,51,41246T A πππ==-=,即223T ππω==,所以3ω=,所以()sin(3)f x x ϕ=+,又555()sin(3)sin()112124f πππϕϕ=⨯+=+=-,所以532,42k k Z ππϕπ+=+∈,即2,4k k Z πϕπ=+∈,又ϕ<π2,所以4πϕ=,即()sin(3)4f x x π=+.因为()sin 3sin(3)sin[3()]44124g x x x x ππππ==-+=-+,所以只需将()f x 的图象向右平移π12个单位长度,即可得到()sin 3g x x =的图象,选C.7. 【答案】A由图象知1A =,5()66T πππ=--=,2T ππω==,所以2ω=.所以()sin(2)y f x x ϕ==+.由2()06πϕ⨯-+=,得3πϕ=,所以()sin(2)3y f x x π==+.所以为了得到这个函数的图象,只需将sin ()y x x R =∈的图象上所有的点向左平移3π个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的12倍,纵坐标不变,选A.8. 【答案】A 由图象可知1A =,741234T πππ=-=,所以T π=.又2T ππω==,所以2ω=,即()sin(2)f x x ϕ=+.又777()sin(2)sin()112126f πππϕϕ=⨯+=+=-,所以732,62k k Z ππϕπ+=+∈,即2,3k k Z πϕπ=+∈,所以3πϕ=,即()sin(2)3f x x π=+.因为()cos 2sin(2)sin[2()]2123g x x x x πππ==+=++,所以直线将()f x 向左平移12π个单位长度即可得到()g x 的图象,选A.9. C 【解析】依题意,把函数sin(2)6y x π=+左右平移a 各单位长得函数sin(22)6y x a π=++的图象,即函数2sin(2)3y x π=+的图象,∴2263a ππ+=,解得4a π=,故选C. 10. C 【解析】函数x y 2sin =的图象向右平移4π个单位得到sin 2()sin(2)cos 242y x x xππ=-=-=-,再向上平移1个单位,所得函数图象对应的解析式为22cos 21(12sin )12sin y x x x =-+=--+=,选C.11. D 【解析】由图象知A=1,T=,262,2,234)61211(πφπωωππππ=+⨯=∴==⨯- 6πφ=∴),62sin()(π+=∴x x f 将)(x f 的图象平移6π个单位后的解析式为)..62sin(]6)6(2sin[πππ-=+-=x x y 故选D.12. A 【解析】由图象知741234T πππ=-=,所以周期T π=,又2T ππω==,所以2ω=,所以()()sin 2f x x ϕ=+,又77()sin(2)11212f ππϕ=⨯+=-,即7sin()16πϕ+=-,所以732,62k k Z ππϕπ+=+∈,即2,3k k Z πϕπ=+∈,所以当0k =时,3πϕ=,所以()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,又()sin 2sin[2]sin[2()]3363g x x x x ππππ==-+=-+,所以要得到()sin g x x ω=的图象只需将()f x 的图象向右平移6π个单位长度,选A.13. C 【解析】因为sin(2)sin 2()36y x x ππ=-=-,所以将函数sin 2y x =的图像向右平移6π个单位,即可得到函数sin(2)3π=-y x 的图像,选C.14. B 解析:123A πωϕ===由图像可求得，，，将选项代入检验即可。
山东省2014届理科数学一轮复习试题选编7：函数的综合问题(教师版)
山东省2014届理科数学一轮复习试题选编7：函数的综合问题一、选择题1 ．（山东省潍坊市2013届高三第二次模拟考试理科数学）某学校要召开学生代表大会,规定根据班级人数每10人给一个代表名额,当班级人数除以10的余数大于6时,再增加一名代表名额.那么各班代表人数y 与该班人数x 之间的函数关系用取整函数[]y x =([x]表示不大于*的最大整数)可表示为（ ） A ．[]10x y = B ．3[]10x y += C ．4[]10x y += D ．5[]10x y += 【答案】B 法一:特殊取值法,若x=56,y=5,排除 C ．D,若x=57,y=6,排除A,所以选B法二:设)90(10≤≤+=ααm x ,，时⎥⎦⎤⎢⎣⎡==⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+≤≤10103103,60x m m x αα 1101103103,96+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+≤<x m m x αα时当,所以选B 2 ．（山东省寿光市2013届高三10月阶段性检测数学（理）试题）已知函数321,,1,12()111,0,.362x x x f x x x ⎧⎛⎤∈ ⎪⎥+⎪⎝⎦=⎨⎡⎤⎪-+∈⎢⎥⎪⎣⎦⎩函数π()sin()22(0)6g x a x a a =-+ ,若存在[]12,0,1x x ∈,使得12()()f x g x =成立,则实数a 的取值范围是 （ ）A ．14,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B ．10,2⎛⎤⎥⎝⎦ C ．24,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】B3 ．（山东省德州市2013届高三第二次模拟考试数学（理）试题）若对于定义在R 上的函数f(x),存在常数()t t R ∈,使得f(x+t)+tf(x)=0对任意实数x 均成立,则称f(x )是阶回旋函数,则下面命题正确的是（ ）A ．f(x)=2x是12-阶回旋函数 B ．f(x)=sin(πx)是1阶回旋函数 C ．f (x)=x 2是1阶回旋函数 D ．f(x)=log a x 是0阶回旋函数【答案】B4 ．（山东省2013届高三高考模拟卷（一）理科数学）已知c b a ,,为互不相等的三个正实数,函数)(x f 可能满足如下性质:①)(a x f -为奇函数;②)(a x f +为奇函数;③)(b x f -为偶函数;④)(b x f +为偶函数;⑤()()f x c f c x +=-.类比函数2013sin y x =的对称中心、对称轴与周期的关系,某同学得到了如下结论:(i)若满足①②,则)(x f 的一个周期为4a ;(ii)若满足①③;则)(x f 的一个周期为||4b a -;(iii)若满足③④,则)(x f 的一个周期为||3b a -;(iv)若满足②⑤;则)(x f 的一个周期为||4c a +. 其中正确结论的个数为 （ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】B 【解析】由2013sin y x =的图象知,两相邻对称中心的距离为2T 两相邻对称轴的距离为2T,对称中心与距其最近的对称轴的距离为4T,若满足①②,则)(x f 的两个相邻对称中心分别为)0,(a ,)0,(a -,从而有a a a T2)(2=--=,即a T 4=;若满足①③,则)(x f 的对称轴为b x =,与对称轴相邻的对称中心为)0.(a ,有||4b a T-=,即||4b a T -=;若满足③④,则)(x f 的两个相邻的对称轴为b x -=和b x =,从而有=--=)(2b b Tb 2,即b T 4=;若满足②⑤,则)(x f 的对称中心为)0,(a -,与其相邻的对称轴为c x =,从而有()4Tc a a c =-+=-,即=T 4||a c -.故只有(iii)(iv)错误.5 ．（山东省枣庄市2013届高三3月模拟考试数学（理）试题）已知函数2()1f x x =+的定义域为[,]()a b a b <,值域为[1,5],则在平面直角坐标系内,点(a,b)的运动轨迹与两坐标轴围成的图形的面积是 （ ）A ．8B ．6C ．4D ．2【答案】C由2()15f x x =+=,得24x =,即2x =±.故根据题意得a,b 的取值范围为:20a -≤≤且2b =或者02b ≤≤且2a =-,所以点(a,b)的运动轨迹与两坐标轴围成的图形是一个边长为2的正方形面积为4,选 C ．6 ．（山东省德州市2013届高三3月模拟检测理科数学）已知函数(1)y f x =-的图象关于直线1x =对称,且当(,0),()'()0x f x x f x ∈-∞+<成立若a=(20.2)·0.2(2),(12)f b n =·121(12),(1)4f n c og =·121(1)4f og ,则a,b,c 的大小关系是（ ）A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c a b >>D ．a c b >>【答案】B 因为函数(1)y f x =-的图象关于直线1x =对称,所以()y f x =关于y 轴对称,所以函数()y xf x =为奇函数.因为[()]'()'()xf x f x xf x =+,所以当(,0)x ∈-∞时,[()]'()'()0xf x f x xf x =+<,函数()y xf x =单调递减,当(0,)x ∈+∞时,函数()y xf x =单调递减.因为0.2122<<,0ln 21<<,121log 24=,所以0.21210ln 22log 4<<<,所以b a c >>,选B ．7 ．（2012年山东理）(12)设函数f (x)=,g(x )=ax 2+bx 若y=f(x)的图像与y=g(x)图像有且仅有两个不同的公共点A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则下列判断正确的是 （ ） A ．当a<0时,x 1+x 2<0,y 1+y 2>0 B ．当a<0时, x 1+x 2>0, y 1+y 2<0 C ．当a>0时,x 1+x 2<0, y 1+y 2<0 D ．当a>0时,x 1+x 2>0, y 1+y 2>0【答案】解析:令bx ax x+=21,则)0(123≠+=x bx ax ,设23)(bx ax x F +=,bx ax x F 23)(2+=' 令023)(2=+='bx ax x F ,则ab x 32-=,要使y=f(x)的图像与y=g(x)图像有且仅有两个不同的公共点只需1)32()32()32(23=-+-=-abb a b a a b F ,整理得23274a b =,于是可取3,2=±=b a 来研究,当3,2==b a 时,13223=+x x ,解得21,121=-=x x ,此时2,121=-=y y ,此时0,02121>+<+y y x x ;当3,2=-=b a 时,13223=+-x x ,解得21,121-==x x ,此时2,121-==y y ,此时0,02121<+>+y y x x .答案应选 B ．另解:令)()(x g x f =可得b ax x+=21.设b ax y xy +=''=',12 不妨设21x x <,结合图形可知, 当0>a 时如右图,此时21x x >,即021>>-x x ,此时021<+x x ,112211y x x y -=->=,即021>+y y ;同理可由图形经过推理可得当0<a 时0,02121<+>+y y x x .答案应选B ．8 ．（山东省2013届高三高考模拟卷（一）理科数学）我们定义若函数)(x f 为D 上的凹函数须满足以下两条规则:(1)函数在区间D 上的任何取值有意义;(2)对于区间D 上的任意n 个值n x x x ,,,21 ,总满足)()()()(2121nx x x nf x f x f x f n n +++≥+++ ,那么下列四个图象中在]2,0[π上满足凹函数定义的是【答案】A 【解析】要判断是不是凹函数,需要先明确凹函数的定义,由定义的第一点可以排除D,在 （ ） A ． B ．C 这三个选项中可以考虑特值法,取01=x ,22π=x ,则显然选项 B ．C 不满足)2(2)()(2121x x f x f x f +>+,故选（ ） A ．9 ．（山东省夏津一中2013届高三4月月考数学（理）试题）函数y=f(x),x∈D,若存在常数C,对任意的x l ∈D,仔在唯一的x 2∈D,使得C =,则称函数f(x)在D 上的几何平均数为 C ．已知f(x)=x 3,x∈[1,2],则函数f(x)=x 3在[1,2]上的几何平均数为 （ ）A B ．2C ．4D ．【答案】D10．（山东省威海市2013届高三上学期期末考试理科数学）对于函数()f x ,如果存在锐角θ使得()f x 的图象绕坐标原点逆时针旋转角θ,所得曲线仍是一函数,则称函数()f x 具备角θ的旋转性,下列函数具有角4π的旋转性的是 （ ）A ．y =B ．ln y x =C ．1()2x y =D ．2y x =【答案】C 设直线y x b =+,要使()f x 的图像绕坐标原点逆时针旋转角4π,所得曲线仍是一函数,则函数y x b =+与()f x 不能有两个交点.由图象可知选C ．11．（山东省实验中学2013届高三第一次诊断性测试数学（理）试题）已知定义在R 上的函数()y f x =满足以下三个条件:①对于任意的x R ∈,都有(4)()f x f x +=;②对于任意的121212,,02,()();x x R x x f x f x ∈≤<≤<且都有③函数(2)y f x =+的图象关于y 轴对称,则下列结论中正确的是（ ）A ．(4.5)(7)(6.5)f f f <<B ．(7)(4.5)(6.5)f f f <<C ．(7)(6.5)(4.5)f f f <<D ．(4.5)(6.5)(7)f f f << 【答案】A【解析】由(4)()f x f x +=知函数的周期是4,由②知,函数在[0,2]上单调递增,函数(2)y f x =+的图象关于y 轴对称,即函数函数()y f x =的图象关于2x =对称,即函数在[2,4]上单调递减.所以(4.5)(0.5)f f =,(6.5)(2.5)(1.5)f f f ==,(7)(3)(1)f f f ==,由(0.5)(1)(1.5)f f f <<可知(4.5)(7)(6.5)f f f <<,选（ ） A ．12．（山东省青岛市2013届高三上学期期中考试数学（理）试题）已知定义在R 上的奇函数()f x 满足(4)()f x f x -=-,且[]0,2x ∈时,2()log (1)f x x =+,甲、乙、丙、丁四位同学有下列结论:甲:()31f =;乙:函数()f x 在[]6,2--上是减函数;丙:函数()f x 关于直线4x =对称;丁:若()0,1m ∈,则关于x 的方程()0f x m -=在[]8,8-上所有根之和为8-,其中正确的是（ ）A ．甲、乙、丁B ．乙、丙C ．甲、乙、丙D ．甲、丙二、填空题:本大题共4小题,每小题4分,共16分. 【答案】A13．（山东省夏津一中2013届高三4月月考数学（理）试题）函数y = 1n|x-1|的图像与函数y=-2 cosπx(-2≤x≤4)的图像所有交点的横坐标之和等于（ ）A ．8B ．6C ．4D ．2【答案】B14．（山东省文登市2013届高三3月二轮模拟考试数学（理））对于正实数α,记M α为满足下述条件的函数()f x 构成的集合:12,x x R ∀∈且21x x >,有212121()()()()x x f x f x x x αα--<-<-.下列结论中正确的是（ ）A ．若12(),()f x M g x M αα∈∈,则12()()f x g x M αα++∈B ．若12(),()f x M g x M αα∈∈且12αα>,则12()()f x g x M αα--∈C ．若12(),()f x M g x M αα∈∈,则12()()f x g x M αα⋅⋅∈D ．若12(),()f x M g x M αα∈∈且()0g x ≠,则12()()f x M g x αα∈ 【答案】A15．（2013年山东临沂市高三教学质量检测考试理科数学）已知集合M={(x,y )|y f (x )=},若对于任意11(x ,y )M ∈,存在22(x ,y )M ∈,使得12120x x y y +=成立,则称集合M 是“垂直对点集”.给出下列四个集合:①M={1(x,y )|y x=};②M={1(x,y )|y sin x =+}; ③M={2(x,y )|y log x =};④{(,)2}x M x y y e ==-.其中是“垂直对点集”的序号是 （ ）A ．①②B ．②③C ．①④D ．②④【答案】 【答案】D①1y x=是以,x y 轴为渐近线的双曲线,渐近线的夹角为90°,在同一支上,任意(x 1,y 1)∈M,不存在(x 2,y 2)∈M,满足“垂直对点集”的定义;对任意(x 1,y 1)∈M,在另一支上也不存在(x 2,y 2)∈M,使得x 1x 2+y 1y 2=0成立,所以不满足“垂直对点集”的定义,不是“垂直对点集”.②{(,)sin 1}M x y y y x ===+,如图在曲线上,两点构成的直角始存在,所以{(,)sin 1}M x y y y x ===+是“垂直对点集”.对于③2{(,)log }M x y y x ==,如图在曲线上两点构成的直角始存在,例如取M (0,1)-,N 2(log 2,0),满足“垂直对点集”的定义,所以正确.对于④{(,)2}x M x y y e ==-,如图取点(1,0),曲线上不存在另外的点,使得两点与原点的连线互相垂直,所以不是“垂直对点集”. ,故选 D ．二、填空题16．（山东省枣庄三中2013届高三上学期1月阶段测试理科数学）已知()f x 为R 上的偶函数,对任意x R∈都有(6)()(3)f x f x f +=+且当[]12,0,3x x ∈, 12x x ≠ 时,有1212()()0f x f x x x ->-成立,给出四个命题:①(3)0f = ② 直线6x =-是函数()y f x =的图像的一条对称轴③ 函数()y f x =在[]9,6--上为增函数 ④ 函数()y f x =在[]9,9--上有四个零点其中所有正确命题的序号为______________ 【答案】①②④【解析】令3x =-,得(36)(3)(3)(3)f f f f -+=-+=,即(3)0f =,所以①正确.因为(6)()(3)f x f x f +=+,所以(6)()(3)()(3)f x f x f f x f -+=-+=+,即(6)(6)f x f x -+=+,所以直线6x =是函数()y f x =的图像的一条对称轴,因为函数为偶函数,所以6x =-也是函数()y f x =的图像的一条对称轴所以②正确.由1212()()0f x f x x x ->-可知函数()f x 在区间[0,3]上递增,又(6)()(3)()f x f x f f x +=+=,所以函数的周期为6,所以函数在[6,9]上递增,所以在[]9,6--上为减函数,所以③错误.因为函数的周期为6,所以(9)(3)(3)(9)0f f f f -=-===,故函数()y f x =在[]9,9--上有四个零点,所以④正确,所以正确的命题为①②④17．（山东省潍坊市2013届高三上学期期末考试数学理（A ））若函数)(x f 满足0,≠∈∃m R m ,对定义域内的任意)()()(,m f x f m x f x +=+恒成立,则称)(x f 为m 函数,现给出下列函数:①xy 1=; ②x y 2=;③x y sin =;④nx y 1= 其中为m 函数的序号是.(把你认为所有正确的序号都填上) 【答案】②③【解析】①若x y 1=,则由()()()f x m f x f m +=+得111x m x m=++,即111()m x m x x x m m -==++,所以22()m x x m x mx =+=+,显然不恒成立.②若x y 2=,由()()()f x m f x f m +=+得由2()22x m x m +=+恒成立,所以②为m 函数.③若x y sin =,由()()()f x m f x f m +=+得sin()sin sin x m x m +=+,当2m π=时,有sin(2)sin x x π+=,sin sin 20m π==,此时成立,所以③为m 函数.④若nx y 1=,由()()()f x m f x f m +=+得由ln()ln ln ln x m x m mx +=+=,即x m mx +=,即(1)0m x m -+=,要使(1)0m x m -+=恒成立,则有10m -=,即1m =.但此时(1)0110m x m -+=+=≠,所以不存在m ,所以④不是m 函数.所以为m 函数的序号为②③.18．（2009高考(山东理)）已知定义在R 上的奇函数)(x f ，满足(4)()f x f x -=-,且在区间[0,2]上是增函数,若方程f(x)=m(m>0)在区间[]8,8-上有四个不同的根1234,,,x x x x ,则1234_________.x x x x +++=【答案】【解析】:因为定义在R 上的奇函数，满足(4)()f x f x -=-,所以(4)()f x f x -=-,所以,由)(x f 为奇函数,所以函数图象关于直线2x =对称且(0)0f =,由(4)()f x f x -=-知(8)()f x f x -=,所以函数是以8为周期的周期函数,又因为)(x f 在区间[0,2]上是增函数,所以)(x f 在区间[-2,0]上也是增函数.如图所示,,不妨设1234x x x x <<<由对称性知1x +答案:-819．（山东省济宁市2013[a,b]⊆D,使得函数f (x )满足:(1) f (x )在[a,b]内是单调函数;(2)f (x )在[a,b]上的值域为[2a,2b],则称区间[a,b]为y=f (x )的“和谐区间”.下列函数中存在“和谐区间”的是_______ (只需填符合题意的函数序号) ①20f (x )x (x )=≥;②xf (x )e (x R )=∈; ③10f (x )(x )x =>;④2401xf (x )(x )x =≥+. 【答案】①③④【解析】①若2()f x x =,则由题意知()2()2f a a f b b =⎧⎨=⎩,即2222a a b b ⎧=⎪⎨=⎪⎩,解得02a b =⎧⎨=⎩时,满足条件.②若()x f x e =,则由题意知()2()2f a a f b b =⎧⎨=⎩,即22a b e a e b⎧=⎪⎨=⎪⎩,即,a b 是方程2xe x =的两个根,由图象可知方程2xe x =无解时,所以不满足条件.③若1()f x x =,则由题意知()2()2f a b f b a =⎧⎨=⎩,即1212b a ab⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,所以只要12ab =即可,所以满足条件.④若24()1xf x x =+,因为22244'()(1)x f x x -=+,则由题意知当01x ≤≤时,'()0f x >,函数递增,当1x >时,'()0f x <,函数递减.当01x ≤≤时由()2()2f a af b b =⎧⎨=⎩得22421421aa ab b b ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩,由2421x x x =+,解得0x =或1x =,所以当0,1a b ==时,满足条件,即区间为[0,1].所以存在“和谐区间”的是①③④.20．（山东省烟台市2013届高三上学期期中考试数学试题(理科)）函数()f x 的定义域为A ,若12,x x A ∈且12()()f x f x =时总有12x x =,则称()f x 为单函数.例如:函数)(12)(R x x x f ∈+=是单函数.给出下列命题:①函数)()(2R x x x f ∈=是单函数; ②指数函数)(2)(R x x f x∈=是单函数;③若()f x 为单函数,12,x x A ∈且12x x ≠,则12()()f x f x ≠; ④在定义域上具有单调性的函数一定是单函数,其中的真命题是 ______________.(写出所有真命题的序号)【答案】②③④ 【解析】当122,2x x ==-时,12()4(),f x f x ==故①错;()2x f x =为单调增函数,故②正确;而③④显然正确21．（山东济南外国语学校2012—2013学年度第一学期高三质量检测数学试题（理科））具有性质:1()()f f x x=-的函数,我们称为满足“倒负”交换的函数,下列函数: ①1;y x x =-②1;y x x=+ ③,(01)0,(1)1(1)x x y x x x⎧⎪<<⎪==⎨⎪⎪->⎩中满足“倒负”变换的函数是________________.【答案】①③ 【解析】当1y x x =-时,11()()f x f x x x=-=-,所以①满足“倒负”变换的函数.当1y x x =+时,11()()f x f x x x =+=,所以②不满足“倒负”变换的函数.当,(01)0,(1)1(1)x x y x x x⎧⎪<<⎪==⎨⎪⎪->⎩时,当1x >时,101x <<,11()()f f x x x ==-,当01x <<时,1x >,1()()f x f x x=-=-,所以③满足“倒负”变换的函数,所以满足条件的函数是①③.22．（山东省日照市2013届高三12月份阶段训练数学(理)试题）定义在R 上的函数()yf x =,若对任意不等实数12,x x 满足()()12120f x f x x x -<-,且对于任意的,x y R ∈,不等式()()22220f x x f y y -+-≤成立.又函数()1y f x =-的图象关于点()1,0对称,则当14x ≤≤时,yx的取值范围为_______________.【答案】1[,1]2-【解析】若对任意不等实数12,x x 满足1212()()0f x f x x x -<-,可知函数()y f x =为R 上递减函数.由函数(1)y f x =-的图象关于点(1,0)对称,可知函数()y f x =的图象关于点(0,0)对称,所以函数()y f x =为奇函数.又22(2)(2)0f x x f y y -+-≤,即222(2)(2)(2)f x x f y y f y y -≤--=-,所以2222+x x y y -≥-,即()(2)0.x y x y -+-≥()(2)014x y x y x -+-≥⎧⎨≤≤⎩表示的平面区域如图所示,yx 表示区域中的点与原点连线的斜率,又12OA k =-,所以yx的取值范围为1[,1]2-.如图23．（山东省青岛市2013届高三上学期期中考试数学（理）试题）已知函数()f x 的定义域为R ,若存在常数0m >,对任意R x ∈,有()f x m x ≤,则称函数()f x 为F -函数.给出下列函数:①2()f x x =;②2()1x f x x =+;③()2xf x =;④()sin 2f x x =. 其中是F -函数的序号为_________________.【答案】②④24．（山东省淄博市2013届高三复习阶段性检测（二模）数学（理）试题）已知函数()f x 在实数集R 上具有下列性质:①直线1x =是函数()f x 的一条对称轴;②()()2f x f x +=-;③当1213x x ≤<≤时,()()()21f x f x -⋅()210,x x -<则()2012f 、()2013f 从大到小的顺序为_______.【答案】(2013)(2012)(2011)f f f >> 由()()2f x f x +=-得()()4f x f x +=,所以周期是4所以(2011)(3)f f =,()2012(0)f f =,(2013)(1)f f =.因为直线1x =是函数()f x 的一条对称轴,所以()2012(0)(2)f f f ==..由()()()21f x f x -⋅()210x x -<,可知当1213x x ≤<≤时,函数单调递减.所以(2013)(2012)(2011)f f f >>.25．（山东省莱芜市莱芜二中2013届高三4月模拟考试数学（理）试题）如图,已知边长为8米的正方形钢板有一个角锈蚀,其中4AE =米,6CD =米. 为了合理利用这块钢板,将在五边形ABCDE 内截取一个矩形块BNPM ,使点P 在边DE 上. 则矩形BNPM 面积的最大值为_________平方米 .A MEPDCB N F【答案】48 三、解答题26．（2009高考(山东理)）两县城A 和B 相距20km ，现计划在两县城外以AB 为直径的半圆弧上选择一点C 建造垃圾处理厂，其对城市的影响度与所选地点到城市的的距离有关，对城A 和城B 的总影响度为城A 与城B 的影响度之和，记C 点到城A 的距离为x km ，建在C 处的垃圾处理厂对城A 和城B 的总影响度为y,统计调查表明：垃圾处理厂对城A 的影响度与所选地点到城A 的距离的平方成反比，比例系数为4；对城B 的影响度与所选地点到城B 的距离的平方成反比，比例系数为k ,当垃圾处理厂建在的中点时，对城A 和城B 的总影响度为0.065.（1）将y 表示成x 的函数；（11）讨论（1）中函数的单调性，并判断弧上是否存在一点，使建在此处的垃圾处理厂对城A 和城B 的总影响度最小？若存在，求出该点到城A 的距离;若不存在，说明理由。
2014年高考真题数学解答题：三角函数(理科)
2014年高考真题数学解答题：三角函数（理科）1.（2014.（1（2）求.2．（2014.（1）求()f x 的单调递增区间； （2）若α是第二象限角，，求cos sin αα-的值.3．（2014.陕西）ABC ∆的内角C B A ，，所对的边分别为c b a ，，. （1）若c b a ，，成等差数列，证明：()C A C A +=+sin 2sin sin ； （2）若c b a ，，成等比数列，求B cos 的最小值.4．（2014.山东）已知向量(,cos2)a m x =，(sin 2,)b x n =，设函数()f x a b =⋅，且()y f x =的图象过点（Ⅰ）求,m n 的值；（Ⅱ）将()y f x =的图象向左平移ϕ（0ϕπ<<）个单位后得到函数()y g x =的图象.若()y g x =的图象上各最高点到点(0,3)的距离的最小值为1，求()y g x =的单调增区间.5．（2014.江西）已知函数()sin()cos(2)f x x a x θθ=+++，（1时，求()f x 在区间[0,]π上的最大值与最小值；（2，求,a θ的值.6．（2014.，x R ∈，且 （1）求A 的值；（27．（2014.（1，求()f α的值； （2）求函数()f x 的最小正周期及单调递增区间.8．（2014.对称，且图像上相邻两个最高点的距离为π.（1）求ω和ϕ的值；（2）若.9．（2014.天津）在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .1）求角C 的大小；（2）求ABC ∆的面积.10．（2014.辽宁）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边a ，b ，c ，且a c >，已知2BA BC ⋅=，，3b =，求：（1）a 和c 的值；（2）cos()B C -的值.内角A ，B ，C 所对的边分别为,,a b c ，已知21）求角C 的大小；（2）已知4b =，ABC ∆的面积为6，求边长c 的值.形ABCD 中，13．（2014.湖北）某实验室一天的温度（单位：C ）随时间t （单位：h ）的变化近似（1）求实验室这一天的最大温差；（2）若要求实验室温度不高于11C ，则在哪段时间实验室需要降温？14．（2014.大纲卷）ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知3cos 2cos a C c A =，B.15．（2014.北京）如图，在ABC ∆中，点D 在BC 边上，且2CD =，.16．(2014.安徽)设ABC 的内角,,A B C 所对边的长分别是,,a b c ，且3,1,2b c A B === （1（2.2014年高考真题数学解答题：三角函数（理科）参考答案1．（1（2 【解析】试题分析：(1)的值，根据两角和的正弦公式，可知还要求得cos α，由于，所以cos 0α<，利用同角关系可得；（2差的余弦公式我们知要先求得sin 2,cos 2αα，而这由二倍角公式结合（1）可很容易得到.本题应该是三角函数最基本的题型，只要应用公式，不需要作三角函数问题中常见的“角”的变换，“函数名称”的变换等技巧，可以算得上是容易题，当然要正确地解题，也必须牢记公式，及计算正确.试题解析：（1（2）由（1【考点】三角函数的基本关系式，二倍角公式，两角和与差的正弦、余弦公式．2．（1（2 【解析】看作一个整体，根据正弦函数sin y x =的单调递增区间便可得间.（2求三角函数值时，首先考虑统一角，故利用和角公式和函数得：意这里不能将.若sin cos 0αα+=，则 若sin cos 0αα+≠，则 【考点定位】三角函数的性质、三角恒等变换三角函数的求值.3．（1）证明见解析；（2 【解析】试题分析：（1）因为c b a ，，成等差数列，所以2a c b +=，再由三角形正弦定理得sin sin 2sin A C B+=，又在ABC∆中，有()B A B π=-+，所以sin sin[()]sin()B A C A C π=-+=+，最后得：()sin sin 2sin A C A C +=+，即得证；（2）因为c b a ，，成等比数列，所以2b a c=，由余弦定理得根据基本不等式222a c ac +≥（当且仅当a c =时等号成立）（当且仅当a c =时等号成立），所以B cos 试题解析：（1）c b a ，，成等差数列2a c b ∴+=由正弦定理得sin sin 2sin A C B +=sin sin[()]sin()B A C A C π=-+=+()sin sin 2sin A C A C ∴+=+（2）c b a ，，成等比数列2b ac∴=222a c ac+≥（当且仅当a c=时等号成立）（当且仅当a c=时等号成立）（当且仅当a c=时等号成立）所以Bcos的最小值为考点：正弦定理；余弦定理；基本不等式.4．（I（II ）函数()y g x=的单调递增区间为【解析】试题分析：（1）由题意知()sin2cos2f x a b m x n x=∙=+.根据()y f x=的图象过点（2）由（依题意知到点0,3（）的距离为1的最高点为0,2（）.由222,k x k k Zπππ-≤≤∈，得得到()y g x =的单调递增区间为2试题解析：（1）由题意知：()sin 2cos2f x a b m xn x =∙=+. 因为()y f x =的图象过点（2）由（设()y g x =的图象上符合题意的最高点为0(,2)x ，由题意知：2011x +=，所以00x =，即到点0,3（）的距离为1的最高点为0,2（）.由222,k x k k Z πππ-≤≤∈，得所以，函数()y g x =的单调递增区间为考点：平面向量的数量积，三角函数的化简，三角函数的图象和性质.5．（1-1. （2【解析】试题分析：（1合基本三角函数性质求最值：因为[0,]x π∈，从而，故()f x 在[0,]π上-1.（2）两个独立条件求两个未知数，联立方程组求解即可. 由得2cos (12sin )02sin sin 1a a a θθθθ-=⎧⎨--=⎩，又知cos 0,θ≠试题解析：解（1因为[0,]x π∈，从而故()f x 在[0,]π上的最大值为-1. （2）由得2cos (12sin )02sin sin 1a a a θθθθ-=⎧⎨--=⎩，又知cos 0,θ≠解得考点：三角函数性质 6．（1（2【解析】试题分析：（1代入函数()f x 的解析式求出A 的值；（2）先利用已知条件θ的某个三角函数值，然后将代入函数()f x 的解析式，并结合诱导公式对. 试题解析：（1）（20,2πθ⎛∈ ⎝，sin 0θ>，则 34f π⎛∴- 【考点定位】本题考查诱导公式、同角三角函数的基本关系以及两角和的三角函数，综合考查三角函数的求值问题，属于中等题. 7． ;(2) π,【解析】试题分析：(1)求出角α的余弦值,再根据函数即可求得结论.(2) 由正弦与余弦的二倍角公式,以及三角函f x化简.根据三角函数周期的公式即可的结论.根据函数的单调递数的化一公式,将函数()增区间,通过解不等式即可得到所求的结论.试题解析：(1)因为,所以.所以12(2)因为-.由得f x的单调递增区间为所以()考点：1.三角函数的性质.2.三角的恒等变形.8．（1（2【解析】试题分析：（1）由函数图像上相邻两个最高点的距离为π求出周期，再利用公式出ω的值；.x，由（2）由（1）知n2结合用同角三角函数的基本关系可求值，因为可由两角和与差的三角函数公式求出sin α从而用诱导公式求得. 解：（1）因()f x 的图象上相邻两个最高点的距离为π，所以()f x 的最小正周期T π=，2,,因得0k =（2）由（1考点：1、诱导公式；2、同角三角函数的基本关系；3、两角和与差的三角函数公式；4、三角函数的图象和性质.9．（1（2 【解析】试题分析：（1）求角C 的大小，由已知可利用降幂公式进行降幂，及倍角公式变形得，移项整理，有两角和与差的三角函数关系，得（2）求ABC∆的面积，面积，故求出sin B即可，故由()sin sinB A C=+即可求出sin B，从而得面积．（1得，A B≠，又()0,A Bπ+∈，得由a c<，得A C<，故，所以ABC∆的面积为点评：本题主要考查诱导公式，两角和与差的三角函数公式，二倍角公式，正弦定理，余弦定理，三角形面积公式，等基础知识，同时考查运算求解能力．10．（1）a=3，c=2；（2【解析】试题分析：（1）由2BA BC⋅=和ac=6.由余弦定理，得2213a c+=.解22613aca c=⎧⎪⎨+=⎪⎩，即可求出a，c；（2）在ABC∆中，a b c =>，所以C 为锐角，因此，利用cos()cos cos sin sin B C B C B C -=+，即可求出结果.（1）由2BA BC⋅=得，cos 2c a B ⋅=，又ac=6.由余弦定理，得2222cos a c b ac B +=+.又b=3，所以2292213ac +=+⨯=.解22613ac a c =⎧⎪⎨+=⎪⎩，得a=2，c=3或a=3，c=2. 因为a>c,∴ a=3，c=2. （2）在ABC ∆中，，又因为a b c =>，所以C 为锐角，于是cos()cos cos sin sin B C B C B C -=+= 考点：1.解三角形；2.三角恒等变换.11．（1（2 【解析】试题分析：（1）再用两个角的和的余弦公式求)cos(B A +，由三角形三内角和定理可求得C cos ，从而求得角C ；（2）根据三角形的面积公式求出边a ，再由余弦定理求c 边.（1（2，4=b ， 由余弦定理得C ab b a Ccos 2222-+=，所以考点：两个角和差公式、二倍角公式、余弦定理、三角形的面积公式. 12．【解析】试题分析:(1)在CDE ∆中已知两边与一角,利用余弦定理即可求出第三条边DC 的长度,再利用余弦定理即可求出角CED 的正弦值.(2)由(1)三角形DEC 的三条边,根据正余弦直角的关系可得角DEC 的余弦值(或者利用正余弦之间的关系也可求的),角,,DEC BEC AEB ∠∠∠之和为0180,其中两个角的正余弦值已知,则可以利用余弦的和差角公式求的角AEB 的余弦值,AE 长度已知,利用直角三角形AEB 中余弦的定义即可求的BE 长. 如图设CED α∠=(1)在CDE ∆中,由余弦定理可得2222cos EC CD DE CD DE EDC =+-∠,于是又题设可知 271CD CD =++,即260CD CD +-=,解得2CD =(30CD =-<舍去),在CDE∆中,由正弦定理可得23sin2213277CD EC π== (2)由题设可得,于是根据正余弦之间的关系可得,而,所以s s i n在Rt EAB ∆中考点：正余弦定理 正余弦和差角公式 直角三角形 正余弦之间的关系 13．（1）4C ；（2）在10时至18时实验室需要降温. 【解析】试题分析：（1）利用两个角的和的正弦公式把)(t f 变成的取值范围，从而求得)(t f 在)24,0[上的最大值与最小值；（2），得出t 的取值范围，从而得到结论.（1于是)(t f 在)24,0[上取得最大值12，取得最小值8. （2）依题意，当11)(>t f 时实验室需要降温.故在10时至18时实验室需要降温.考点：三角函数的实际运用，两个角的和的正弦公式，三角不等式的解法. 14．135B ? ． 【解析】试题分析：由题设及正弦定理得：3sin cos 2sin cos ,A C C A =从而得tan A 与tan C 的关系式，由已知tan A 的值即可得tan C 的值，再利用三角形内角和定理及两角和的正切函数公式可求得tan B 的值，最后求得B Ð的大小． 试题解析：由题设和正弦定理得1.tan 3A =又考点：1．正弦定理；2．三角恒等变换．15．（1（2）7. 【解析】试题分析：（1）由条件，根据1cos sin 22=+αα求ADC ∠sin ，再由两个角的差的正弦公式求BAD ∠sin ；（2）根据正弦定理求出BD ，再由余弦定理求AC .（1）在ADC ∆中，因为 所以B ADC B ADC B ADC BAD ∠∠-∠∠=∠-∠=∠sin cos cos sin )sin(sin（2）在ABD ∆中，由正弦定理得 在ABC ∆中由余弦定理得B BC AB BC AB AC cos 2222⋅⋅-+=考点：同角三角函数的关系，两个角的差的正弦公式，正弦定理与余弦定理.16．（1（2【解析】试题分析：（1）根据2A B =，则有sin sin 22sin cos A B B B ==，再由正、余弦定理.可以求得.（2）由余弦定理可以求出，而0A π<<，所以.故（1）因为2A B=，所以s i n s i n 22s i n c o A B B B ==，由正、余弦定理得因为3,1b c ==，所以由余弦定理得.由于0A π<<，所以考点：1.正、余弦定理；2.三角函数恒等变形.。
山东省2014届理科数学一轮复习试题选编9：两角和与差的三角函数及二倍角公式(教师版)
山东省2014届理科数学一轮复习试题选编9：两角和与差的三角函数及二倍角公式一、选择题1 ．（山东省枣庄三中2013届高三上学期1月阶段测试理科数学）已知,135)4sin(-=+πx 则x 2sin 的值等于（ ）A ．169120B ．169119C ．169120-D ．119169-【答案】D【解析】因为,135)4sin(-=+πx所以5cos )13x x +=-,两边平方得125(1sin 2)2169x +=,解得119sin 2169x =-,选 D ． 2 ．（山东师大附中2013届级高三12月第三次模拟检测理科数学）若,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,1tan ,sin ()47παα⎛⎫+== ⎪⎝⎭则（ ）A ．35B ．45C ．35-D ．45-【答案】A 【解析】由1tan ,47πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭得11tan()tan3744tan tan()14441tan()tan 1447ππαππααππα-+-=+-===-+++,所以解得3sin 5α=,选A 3 ．（山东省日照市2013届高三12月份阶段训练数学(理)试题）已知3cos ,05ααπ=<<,则tan 4πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A ．15B ．17C ．1-D ．7-【答案】D 【解析】因为3cos 0,05ααπ=><<,所以0,sin 02παα<<>,所以4sin ,5α=故4tan ,3α=所以41tan tan34tan()7441tan tan 143παπαπα+++===--⋅-,选D 4 ．（山东省实验中学2013届高三第一次诊断性测试数学（理）试题）一已知倾斜角为α的直线l 与直线220x y -+=平行,则tan 2α的值为（ ） A ．45 B ．43 C ．34 D ．23【答案】B【解析】直线的斜率为12,即直线l 的斜率为1tan 2k α==,所以22122tan 142tan 2131tan 31()24ααα⨯====--,选 B ．5 ．（山东省潍坊市2013届高三上学期期末考试数学理A ．）已知34(,),cos ,25αππα∈=-则)4tan(απ-等于 （ ）A ．7B ．71C ．71-D ．7-【答案】B【解析】因为34(,),cos ,25αππα∈=-所以sin 0α<,即33sin tan 54αα=-=，.所以311tan 14tan()341tan 71+4πααα---===+,选 B ． 6 ．（山东省德州市2013届高三第二次模拟考试数学（理）试题）已知向量a=(sin α,1),b=(2,2cos α2παπ<<),若a⊥b,则sin(4πα-)= （ ）A ．B ．-12 C ．12D【答案】D7 ．（山东省实验中学2013届高三第三次诊断性测试理科数学）若3)4tan(=-απ,则αcot 等于（ ）A ．2B ．21-C ．21 D ．-2【答案】D 【解析】由3)4tan(=-απ得,tantan()13144tan tan[()]441321tan()4ππαππααπα---=--===-++-,所以1cot 2tan αα==-选 D ． 8 ．（山东省兖州市2013高三9月入学诊断检测数学(理)试题）已知ααsin 2sin -=,⎪⎭⎫⎝⎛∈ππα,2,则=αtan（ ）A ．23-B ．53- C ．33- D ．3- 【答案】D9 ．（山东师大附中2013届高三第四次模拟测试1月理科数学）已知α为第二象限角,3sin 5α=,则sin 2α= （ ）A ．2425-B ．1225-C ．1225D ．2425【答案】A 【解析】因为α为第二象限角,所以4c o s 5α=-,所以3424s i n 22s i n c o s 2()5525ααα==⨯⨯-=-,选A ． 10．（2012年山东理）(7)若42ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，,sin 2θ,则sin θ=（ ）A ．35B ．45CD ．34【答案】解析:由42ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，可得],2[2ππθ∈,812sin 12cos 2-=--=θθ,4322cos 1sin =-=θθ,答案应选D ． 另解:由42ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，及sin 2θ可得434716776916761687312sin 1cos sin +=++=+=+=+=+θθθ,而当42ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时θθcos sin >,结合选项即可得47cos ,43sin ==θθ.答案应选 D ．11．（山东省凤城高中2013届高三4月模拟检测数学理试题 ）已知2)tan(-=-απ,则221sin 2cos αα=- （ ）A ．2B ．52 C ．3 D ．25【答案】D12．（山东省淄博市2013届高三上学期期末考试数学（理））已知,54cos ,23,-=⎪⎭⎫ ⎝⎛∈αππα则)4tan(απ-等于 （ ）A ．7B ．71C ．71-D ．7-【答案】B【 解析】因为 ,54cos ,23,-=⎪⎭⎫ ⎝⎛∈αππα所以3sin 5α=-,3tan 4α=.所以3tan tan 1144tan()3471tan tan 144παπαπα---===++,选 B ．13．（山东省寿光市2013届高三10月阶段性检测数学（理）试题）已知4cos 5α=-,且π(,π)2α∈,则πtan()4α-等于（ ）A ．-17B ．-7C ．17D ． 7【答案】D14．（山东省泰安市2013届高三上学期期末考试数学理）设向量()()cos ,1,2,sin a b αα=-=,若a b ⊥ ,则tan 4πα⎛⎫- ⎪⎝⎭等于 （ ）A ．13-B ．13C ．3-D ．3【答案】B【解析】因为a b⊥ ,所以2cos sin 0a b αα=-=,即tan 2α=.所以tan 1211tan()41tan 123πααα---===++,选 B ．15．（山东省青岛即墨市2013届高三上学期期末考试数学（理）试题）已知53)4sin(=+x π,则x 2sin 的值为 （ ）A ．2524-B ．2524 C ．257-D ．257 【答案】C【 解析】27sin 2sin[2()]cos 2()[12sin ()]424425x x x x ππππ=+-=-+=--+=-,选 C ．16．（山东省烟台市2013届高三上学期期中考试数学试题(理科)）已知25242sin -=α,⎪⎭⎫⎝⎛-∈04，πα,则ααcos sin +等于（ ） A ．51- B ．51 C ．57- D ．57【答案】B 【解析】由⎪⎭⎫⎝⎛-∈04，πα知|,cos ||sin |0cos ,0sin αααα<><，ααcos sin +∴ .512sin 1=+=x 故选B二、填空题 17．（山东省烟台市2013届高三上学期期中考试数学试题(理科)）在ABC ∆中,若sin 2cos cos A B C =,则tan tan B C +=__________.【答案】2 【解析】在ABC ∆中,C B C B C B A sin cos cos sin )sin(sin +=+=,cos cos 2C B =两边.同除以cos cos B C 得tan tan 2B C +=.18．（山东省德州市乐陵一中2013届高三十月月考数学(理)试题）若α是锐角,且1sin(),cos 63παα-=则的值是__________.【答案】【解析】∵α是锐角,∴02πα<<,663πππα-<-<,所以cos()63πα-==,cos cos[()]cos()cos sin()sin 666666ππππππαααα=-+=---1132=-⨯= 19．（山东省临沂市2013届高三5月高考模拟理科数学）若tan()2α-=π,则sin 2α=___________.【答案】45-由tan()2α-=π得tan =2α-,所以22222sin cos 2tan 2(2)4sin 2sin cos 1tan 1(2)5ααααααα⨯-====-+++-. 三、解答题20．（山东省夏津一中2013届高三4月月考数学（理）试题）已知函数f(x)=2 sin 63x ππ⎛⎫+⎪⎝⎭(0≤x≤5),点A 、B 分别是函数y=f(x)图像上的最高点和最低点.(1)求点A 、B 的坐标以及OA ·OB的值;(2)设点A 、B 分别在角α、β的终边上,求tan(2αβ-)的值.【答案】解:(1)50≤≤x , ππ7π3636x π∴≤+≤, ∴1ππsin()1263x -≤+≤当πππ632x +=,即1=x 时,ππsin()163x +=,)(x f 取得最大值2; 当ππ7π636x +=,即5=x 时,ππ1sin()632x +=-,)(x f 取得最小值1-. 因此,点A 、B 的坐标分别是(1,2)A 、(5,1)B - 152(1)3OA OB ∴⋅=⨯+⨯-=(2) 点)2,1(A 、)1,5(-B 分别在角α、β的终边上,tan 2α∴=,51tan -=β,212()55tan 21121()5β⨯-==---, ∴52()2912tan(2)5212()12αβ---==+⋅- 21．（山东省泰安市2013届高三第二次模拟考试数学（理）试题）已知函数()5sin cos 44f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(I)求()f x 的单调递增区间;(II)已知()()()33cos ,cos ,0,552f παβαβαββ-=+=-<<≤求. 【答案】22．（山东省德州市乐陵一中2013届高三十月月考数学(理)试题）已知 .471217,53)4(cos πππ<<=+x x(1) 求x 2sin 的值. (2)求 xxx tan 1sin 22sin 2-+的值【答案】解: (1) ∵x x x 2sin )22cos()4(2cos -=+=+ππ1)4(cos 2)4(2cos 2-+=+x x ππ又25712592-=-⨯= ∴2572sin =x )4tan(2sin tan 1)tan 1(2sin tan 1)cos sin 1(2sin tan 1sin 22sin )2(2x x x x x xxxx xxx +=-+=-+=-+π∵.471217ππ<<x ∴πππ2435<+<x ∴54)4(cos 1)4sin(2-=+--=+x x ππ∴34)4tan(-=+x π∴ x x x tan 1sin 22sin 2-+7528)34(257-=-⨯=(此题也可先求出x x cos ,sin 再进行计算)。
2014届高考数学(理)一轮复习章节训练：三角函数的概念、图象与性质(人教A版)
2014届高考数学（理）一轮复习章节训练：三角函数的概念、图象与性质（人教A 版）(时间：40分钟 满分：75分)一、选择题(每小题5分，共50分) 1．sin 600°的值为( )．A.32B ．－32 C ．－12D.12解析 sin 600°＝sin(720°－120°)＝－sin 120°＝－32. 答案 B2．若角α的终边经过点P (1，－2)，则tan 2α的值为( )．A ．－43B.43C.34D ．－34解析 tan α＝－21＝－2，tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2×(－2)1－4＝43.答案 B3．(2013·福州质检)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝23，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α的值等于( )．A.23B ．－23C.53D ．±53解析 sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝23. 答案 A4．(2012·洛阳统考)函数y ＝2cos x (sin x ＋cos x )的最大值和最小正周期分别是( )．A ．2，π B.2＋1，π C ．2,2πD.2＋1,2π解析 y ＝2cos x sin x ＋2cos 2x ＝sin 2x ＋cos 2x ＋1＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋1，所以当2x ＋π4＝2k π＋π2(k ∈Z )，即x ＝k π＋π8(k ∈Z )时取得最大值2＋1，最小正周期T＝2π2＝π. 答案 B[来源: ]5．(2012·北京东城区综合练习)将函数y ＝sin x 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再把所得各点向右平移π10个单位长度，所得图象的函数解析式是( )．A ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π10B ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π20C ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π5D ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π10解析 将函数y ＝sin x 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到y ＝sin 12x ，再把所得各点向右平移π10个单位长度，所得图象的函数解析式是y ＝sin 12⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π10＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π20.答案 B6.(2012·孝感统考)已知f (x )＝2sin(ωx ＋φ)的部分图象如图所示，则f (x )的表达式为 ( )． A ．f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫32x ＋π4B ．f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫32x ＋5π4C ．f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫43x ＋2π9D ．f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫43x ＋2518π解析 由函数的部分图象可知34T ＝5π6－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，则T ＝4π3，结合选项知ω>0，故ω＝2πT ＝32，排除选项C ，D ；又因为函数图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6，2，代入验证可知只有选项B 满足条件． 答案 B7．(2013·衡阳六校联考)给定性质：①最小正周期为π；②图象关于直线x ＝π3对称，则下列四个函数中，同时具有性质①②的是 ( )．A ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π6B ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6 C ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6D ．y ＝sin|x |解析 注意到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6的最小正周期T ＝2π2＝π，当x ＝π3时，y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π3－π6＝1，因此该函数同时具有性质①②. 答案 B8．(2013·福州质检)将函数f (x )＝sin 2x (x ∈R )的图象向右平移π4个单位后，所得到的图象对应的函数的一个单调递增区间是( )．A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，0B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π4D.⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，π 解析 将函数f (x )＝sin 2x (x ∈R )的图象向右平移π4个单位后得到函数g (x )＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＝－cos 2x 的图象，则函数g (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π，k π＋π2，k ∈Z ，而满足条件的只有B. 答案 B9．(2012·广州调研)已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋3π2(x ∈R )，给出下面四个命题：①函数f (x )的最小正周期为π；②函数f (x )是偶函数；③函数f (x )的图象关于直线x ＝π4对称；④函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上是增函数．其中正确命题的个数是( )．A ．1B ．2C ．3D ．4解析 函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋3π2＝－cos 2x ，则其最小正周期为π，故①正确；易知函数f (x )是偶函数，②正确；由f (x )＝－cos 2x 的图象可知，函数f (x )的图象不关于直线x ＝π4对称，③错误；由f (x )的图象易知函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上是增函数，故④正确．综上可知，选C. 答案 C10．(2013·湖北八校联考)如图所示，点P 是函数y ＝2sin(ωx ＋φ)(x ∈R ，ω>0)图象的最高点，M ，N 是图象与x 轴的交点，若PM →·PN →＝0，则ω＝ ( )． A ．8B.π8C.π4D.π2解析 依题意得PM ＝PN ，PM ⊥PN ，所以△PMN 是等腰直角三角形，又斜边MN 上的高为2，因此有MN ＝4，即该函数的最小正周期的一半为4，所以2πω＝8，ω＝π4，选C. 答案 C二、填空题(每小题5分，共25分)11．(2013·杭州调研)若sin(π＋α)＝12，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，则tan α＝________.解析 ∵sin(π＋α)＝－sin α＝12，∴sin α＝－12，又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，∴α＝－π6，tan α＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝－33.答案 －3312．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝13，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－2α的值为________．解析 ∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝13，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－2α＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α－1＝－79.答案 －7913．(2012·西安五校模拟)将函数y ＝2sin 2x 的图象向右平移π6个单位后，其图象的一条对称轴方程可以是________．解析 依题意得，将函数y ＝2sin 2x 的图象向右平移π6个单位得到y ＝2sin2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的图象．令2x －π3＝k π＋π2，得x ＝5π12＋k π2，其中k ∈Z ，即其图象的一条对称轴方程可以是x ＝5π12. 答案 x ＝5π12(符合x ＝5π12＋k π2，k ∈Z 即可)14．(2013·九江调研)若将函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋5π6(ω>0)的图象向右平移π3个单位长度后，与函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4的图象重合，则ω的最小值为________．解析 依题意，将函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋5π6(ω>0)的图象向右平移π3个单位长度后，所得图象对应的函数解析式是y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋5π6－π3ω(ω>0)，它的图象与函数y＝sin ωx ＋π4的图象重合，所以5π6－π3ω＝π4＋2k π(k ∈Z )，解得ω＝74－6k (k ∈Z )．因为ω>0，所以ωmin ＝74. 答案 7415．给出下列命题：①存在实数x ，使得sin x ＋cos x ＝32；②若α，β为第一象限角，且α>β，则tan α>tan β；③函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2x 5的最小正周期为5π；④函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 3＋7π2是奇函数；⑤函数y ＝sin 2x 的图象向左平移π4个单位，得到y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图象．其中正确命题的序号是________．解析 对于①，因为sin x ＋cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4∈[－2，2]，而32>2，因此不存在实数x ，使得sin x ＋cos x ＝32，故①不正确；对于②，取α＝30°＋360°，β＝30°，则tan α＝tan β，因此②不正确；对于③，函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2x 5的最小正周期是T ＝2π25＝5π，因此③正确；对于④，令f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 3＋7π2＝sin 2x 3，显然f (－x )＝－f (x )，即原函数为奇函数，因此④正确；对于⑤，函数y ＝sin 2x 的图象向左平移π4个单位，得到y ＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2的图象，因此⑤不正确．综上所述，其中正确命题的序号是③④. 答案 ③④。
2014高考数学一轮复习-三角函数资料
2014高考数学一轮复习：三角函数复习第一讲任意角的三角函数及诱导公式第二讲三角函数的恒等变化第三讲三角函数的图像和性质第四讲平面向量第五讲解三角形本教程把三角函数图像和性质从三角函数诱导公式中分离出来，主要是因为大部分学生针对三角函数的图像和性质重视度不够高，造成在解三角函数题的时候只是能够解决前面的基础问题，不能够得满分。
本课程针对高三基础较差学生、艺体类成绩较好的学生进行设计，在课程中没有设计相关训练和课后练习，不过在例题的选择上都是相同知识点，两道相关例题，老师在使用的时候可以选择一道作为讲解，另一道作为学生训练使用。
第一讲任意角的三角函数及诱导公式一、知识要点1．任意角的概念：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形。
一条射线由原来的位置OA，绕着它的端点O按逆时针方向旋转到终止位置OB，就形成角α。
旋转开始时的射线OA叫做角的始边，OB叫终边，射线的端点O叫做叫α的顶点。
2．正角和负角：按逆时针方向旋转所形成的角叫正角,按顺时针方向旋转所形成的角叫负角。
如果一条射线没有做任何旋转,我们称它形成了一个零角。
3．终边相同的角、区间角与象限角：角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合。
那么，角的终边（除端点外）在第几象限，我们就说这个角是第几象限角。
要特别注意:如果角的终边在坐标轴上,就认为这个角不属于任何一个象限,称为非象限角。
终边相同的角是指与某个角α具有同终边的所有角，它们彼此相差2kπ(k∈Z)，即β∈{β|β=2kπ+α，k∈Z}，根据三角函数的定义，终边相同的角的各种三角函数值都相等。
4．弧度制：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度角，记作1rad，或1弧度，或1(单位可以省略不写)。
圆的周长为R C π2=，圆周所对的圆心角为。
360，所以。
，1803602==ππ，弧长公式：r l ||α=（α是圆心角的弧度数），扇形面积公式：2||2121r r l S α==。
十年(2014-2023)高考数学真题(全国通用)：专题08 三角函数选择题(理科)(解析版)
，解得 sin
1
，
4
cos 1 sin2 15 ， tan sin 15 ．
4
cos 15
故选：A．
【点睛】关键点睛：本题考查三角函数的化简问题，解题的关键是利用二倍角公式化简求出 sin ．
π
4．(2020 年高考课标Ⅲ卷理科·第 9 题)已知 2tanθ–tan(θ+ )=7，则 tanθ=
cos
3 2
，故 sin cos ,sin cos ,sin
cos
不可能均大于
1 2
．
取
6
，
3
，
4
，则 sin
cos
1 4
1 ,sin 2
cos
6 1 ,sin cos 42
61 ， 42
故三式中大于
1 2
的个数的最大值为
2，故选 C．
法 2：不妨设 ，则 cos cos cos ,sin sin sin ，
2
cos 2 sin
，则
tan
()
A． 15 15
B． 5 5
C． 5 3
D． 15 3
【答案】A
解析：∵ tan
2
cos 2 sin
tan 2
sin 2 cos 2
2sin cos 1 2sin2
cos 2 sin
，
∵
0,
2
，
cos
0
，
1
2 sin 2 sin2
1 2 sin
4 cos
4
0 ，解得 cos
2 3
或 cos
2 (舍去)，
又∵ (0, ),sin 1 cos2 5 ． 3
山东省青岛理工大学附中2014年高考数学一轮复习《三角函数》精品训练新人教A版
青岛理工大学附中三维设计2014年高考数学一轮复习：三角函数 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题 (本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若3sin ,,052a πα⎛⎫=-∈- ⎪⎝⎭，则5cos 4απ⎛⎫+= ⎪⎝⎭( )A ．BC ．D 【答案】C2．如图，设A 、B 两点在河的两岸，一测量者在A 的同侧所在的河岸边选定一点C ，测出AC 的距离为50m ， 105,45=∠=∠CAB ACB 后，就可以计算出A 、B 两点的距离为( )A ． m 250B ． m 350C ．m 225D ．m 2225 【答案】A3．角θ的终边与单位圆交于点(P ，则cos()πθ-的值为( )A ．B ．CD 【答案】C4．下列四个命题中，正确的是( )A ． 第一象限的角必是锐角B ． 锐角必是第一象限的角C ． 终边相同的角必相等D ． 第二象限的角必大于第一象限的角 【答案】B5．已知α∈(2π-，0)，55)23sin(=--πα，则()απ--sin =( ) A ． 55 B ． 552 C ．55- D ． 552- 【答案】D6．下列关系式中正确的是( )A ．000sin10cos10sin160<<B ．000sin160sin10cos10<<C ．000sin10sin160cos10<<D ．000sin160cos10sin10<<【答案】C7，则a =( )A ．1 BC ．2D ．3【答案】B8．计算 43cos 13sin 13cos 43sin -的值等于( )A ．12 BC ．D【答案】A9．若已知tan10°=a ，求tan110°的值，那么在以下四个值 ①a a a a a 211333132--+-+；③；②④2a 12-中，正确的是( )A ．①和③B ．①和④C ．②和③D ．②和④【答案】C10．为了得到函数sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，只要将sin ()y x x R =∈的图象上所有的点( )A ．向左平移3π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变B ．向左平移3π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变C ．向左平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变D ．向左平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变【答案】A11．设角35,6απ=-则)(cos )sin(sin 1)cos(2)cos()sin(22απαπααπαπαπ++-+++--+的值等于( )A ．21-B ．－23C ．23D ．21【答案】D12．下列各命题正确的是( )A ．终边相同的角一定相等．B ．第一象限角都是锐角．C ．锐角都是第一象限角．D ．小于90度的角都是锐角．【答案】C第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题 (本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)13．cos 480的值为____________ 【答案】12- 14．已知扇形的半径为10㎝，圆心角为120°，则扇形的面积为_____________． 【答案】1003π㎝2 15．54sinlg 2lg 7cos lg 63ππ⋅-++= __ 【答案】016．函数()cos 2x f x x π=，则(1)(2)(3)(2012)f f f f ++++= ．【答案】1006三、解答题 (本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c，且(2)cos cos b A C -=． (Ⅰ）求角A 的大小；(Ⅱ）若54cos ,1==B a ，求ABC ∆的面积． 【答案】（1）∵(2)cos cos b A C =，∴(2sin )cos cos B C A A C =．即2sin cos cos cos B A A C C A =．∴2sin cos )B A A C =+．则2sin cos B A B =，∴cos A =， 因为0A π<<则6A π=． (2）4cos sin 5=B B 由得，35=又1cos sin 2A A ==，143sin 255=sin(A+B)=C ∴⨯由sin sin a b A B =得，65b =1sin 2ABC S ab C ∆∴== 18．在△ABC中，0120,,ABC A c b a S =>==c b ,。
山东省2014届理科一轮复习试题选编10三角函数的图像及性质
山东省2014届理科数学一轮复习试题选编10：三角函数的图像及性质一、选择题1 ．（山东省潍坊市2013届高三上学期期末考试数学理A ．）函数x x y sin =在[]ππ,-上的图象是【答案】A【解析】函数x x y sin =为偶函数,所以图象关于y 对称,所以排除 D ．当2x π=时,02y π=>,排除 B ．当34x π=时,3sin 44422y πππππ===<,排除C,选A ．2 ．（山东省潍坊市2013届高三第一次模拟考试理科数学）设曲线sin y x =上任一点(,)x y 处切线斜率为()g x ,则函数2()y x g x =的部分图象可以为.【答案】C 'cos y x =,即()cos g x x =,所以22()cos yx g x x x ==,为偶函数,图象关于y 轴对称,所以排除A, B ．当2cos 0y x x ==,得0x =或,2x k k Z ππ=+∈,即函数过原点,所以选C ．3 ．（山东省德州市乐陵一中2013届高三十月月考数学(理)试题）已知a 是实数,则函数ax a x f sin 1)(+=的图象不可能是【答案】D 【解析】A 中,周期22T aππ=>,所以1a <,函数的最大值为12a +<,所有的图象有可能.B 周期22T aππ=<,所以1a >,函数的最大值为12a +>,所以B 的图象有可能.C 中当0a =时,函数为()1f x =,所以C 的图象有可能.D 周期22T aππ=>,所以1a <,函数的最大值为12a +<,而D 的图象中的最大值大于2,所以D 的图象不可能,综上选 D ． 4 ．（山东省兖州市2013高三9月入学诊断检测数学(理)试题）函数π)0(sin ln <<=x x y 的大致图象是【答案】C5 ．（山东威海市2013年5月高三模拟考试数学（理科））函数)2ln(sin)(+=x xx f 的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A ． 6 ．（2013山东高考数学（理））函数cos sin y x x x =+的图象大致为【答案】 D 【解析】函数y=xcosx + sinx 为奇函数,所以图象关于原点对称,所以排除B,C ．当x π=时,()0f ππ=-<,排除A,选D ．7 ．（山东省淄博市2013届高三复习阶段性检测（二模）数学（理）试题）函数()2tan 22f x x x ππ⎛⎫=--⎪⎝⎭在，上的图象大致为【答案】C 函数()2tan f x x x =-为奇函数,所以图象关于原点对称,所以排除A,B ．当2x π→时,0y <,所以排除D,选 C ．8 ．（2013届山东省高考压轴卷理科数学）已知函数4sin(2)y x π=-,则其图象的下列结论中,正确的是（ ）y1 1 -1 -2xy11 -1 O xO y11 -1 O xy1 -1-1 -2xOA ．关于点()8,1π-中心对称 B ．关于直线8x π=轴对称 C ．向左平移8π后得到奇函数D ．向左平移8π后得到偶函数【答案】C 【解析】对于A:sin(2)sin 244y x x ππ⎛⎫==-- ⎪⎝⎭-,其对称中心的纵坐标应为0,故排除A;对于B:当8x π=时,y=0,既不是最大值1,也不是最小值-1,故可排除B;对于C:sin(2)sin 244y x x ππ⎛⎫==-- ⎪⎝⎭-,向左平移8π后得到: sin 2sin 284y x x ππ⎡⎤⎛⎫=-+-=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦为奇函数,正确;可排除D ．故选 C ．9 ．（山东省青岛即墨市2013届高三上学期期末考试数学（理）试题）函数x xy sin 3+=的图象大致是【答案】C【 解析】函数()sin 3xy f x x ==+为奇函数,所以图象关于原点对称,排除B ．当x →+∞时,0y >,排除D ．1'()cos 3f x x =+,由1'()cos 03f x x =+=,得1cos 3x =-,所以函数()sin 3xy f x x ==+的极值有很多个,所以选C ． 10．（山东省济南市2013届高三4月巩固性训练数学（理）试题）函数)22sin(2x y-=π是（ ）A ．最小正周期为π的奇函数B ．最小正周期为π的偶函数C ．最小正周期为2π的奇函数 D ．最小正周期为2π的偶函数 【答案】B11．（2011年高考（山东理））若函数()sin (0)f x x ωω=>在区间[0,]3π上单调递增,在区间[,]32ππ上单调递减,则ω= （ ）A ．8B ．2C ．32D ．23【答案】解析:函数()sin (0)f x x ωω=>在区间[0,]2πω上单调递增,在区间3[,]22ππωω上单调递减, 则23ππω=,即32ω=,答案应选C ． 另解1:令[2,2]()22x k k k ππωππ∈--∈Z 得函数()f x 在22[,]22k k x ππππωωωω∈-+为增函数,同理可得函数()f x 在223[,]22k k x ππππωωωω∈++为减函数,则当0,23k ππω==时符合题意,即32ω=,答案应选C ．另解2:由题意可知当3x π=时,函数()sin (0)f x x ωω=>取得极大值,则)03f π'=,即cos03πωω=,即()32k k ππωπ=+∈Z ,结合选择项即可得答案应选C ．另解3:由题意可知当3x π=时,函数()sin (0)f x x ωω=>取得最大值,则2()32k k ππωπ=+∈Z ,36()2k k ω=+∈Z ,结合选择项即可得答案应选C ． 12．（山东省莱钢高中2013届高三4月模拟检测数学理试题 ）函数()sin()(0,0)f x A x A ωϕω=+>>的图像关于直线3π=x 对称,它的最小正周期为π,则函数)(x f 图像的一个对称中心是 （ ）A ．)0,12(πB ．)1,3(πC ．）0,125(πD ．）（0,12-π 【答案】A13．（山东省文登市2013届高三3月二轮模拟考试数学（理））设函数()sin(2)6f x x π=+,则下列结论正确的是（ ）A ．()f x 的图像关于直线3x π=对称 B ．()f x 的图像关于点(,0)6π对称C ．()f x 的最小正周期为π,且在[0,]12π上为增函数D ．把()f x 的图像向右平移12π个单位,得到一个偶函数的图像【答案】C14．（山东省济南市2012届高三3月高考模拟题理科数学（2012济南二模））函数)2sin(sin x x y +=π的最小正周期是 （ ）A ．π2B ．πC ．2πD ．4π【答案】B【解析】函数x x x x x y 2sin 21cos sin )2sin(sin ==+=π,所以周期为π,选 B ．15．（山东省泰安市2013届高三第一轮复习质量检测数学（理）试题）当4x π=时,函数()()()s i n 0fx A xA ϕ=+>取得最小值,则函数34y f x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭是（ ）A ．奇函数且图像关于点,02π⎛⎫⎪⎝⎭对称 B ．偶函数且图像关于点(),0π对称C ．奇函数且图像关于直线2x π=对称D ．偶函数且图像关于点,02π⎛⎫⎪⎝⎭对称【答案】C当4x π=时,函数()()()s i n 0fx A xA ϕ=+>取得最小值,即2,42k k Z ππϕπ+=-+∈,即32,4k k Zπϕπ=-+∈,所以()()3si n ()4fx A xA π=->,所以333()s in ()s i n 444y f x A x A x πππ=-=--=-,所以函数为奇函数且图像关于直线2x π=对称,选C ．16．（山东省德州市2013届高三3月模拟检测理科数学）函数2cos ()4y x π=+的图象沿x 轴向右平移a 个单位(0)a >,所得图象关于y 轴对称,则a 的最小值为 （ ）A ．πB ．34πC ．2πD ．4π【答案】D 21cos(2)1sin 2112cos ()sin 242222x x y x x ππ++-=+===-,函数向右平移a 个单位得到函数为1111sin 2()sin(22)2222y x a x a =--=--,要使函数的图象关于y 轴对称,则有2,2a k k Z ππ-=+∈,即,42k a k Z ππ=--∈,所以当1k =-时,得a 的最下值为4π,选 D ．17．（山东济南外国语学校2012—2013学年度第一学期高三质量检测数学试题（理科））已知函数()2sin(),,f x x x R ωϕ=+∈其中0,.ωπϕπ>-<≤若()f x 的最小正周期为6π,且当2x π=时,()f x 取得最大值,则（ ） A ．()f x 在区间[2,0]π-上是增函数 B ．()f x 在区间[3,]ππ--上是增函数 C ．()f x 在区间[3,5]ππ上是减函数 D ．()f x 在区间[4,6]ππ上是减函数【答案】A 【解析】由26T ππω==,所以13ω=,所以函数1()2sin()3f x x ϕ=+,当2x π=时,函数取得最大值,即12322k ππϕπ⨯+=+,所以23k πϕπ=+,因为πϕπ-<≤,所以3πϕ=,1()2sin()33f x x π=+,由1222332k x k πππππ-+≤+≤+,得56622k x k ππππ-+≤≤+,函数的增区间为5[6,6]22k k ππππ-++,当0k =时,增区间为5[,]22ππ-,所以()f x 在区间[2,0]π-上是增函数,选A18．（山东师大附中2013届高三第四次模拟测试1月理科数学）已知ω>0,0ϕπ<<,直线x =4π和x =54π是函数()sin()f x x ωϕ=+图象的两条相邻的对称轴,则ϕ= （ ）A ．4π B ．3π C ．2πD ．34π【答案】A 【解析】由题意可知5244T πππ=-=,所以函数的周期为2T π=.即22T ππω==,所以1ω=,所以()sin()f x x ϕ=+,所以由()sin()144f ππϕ=+=,即242k ππϕπ+=+,所以24k πϕπ=+,所以当0k =时,4πϕ=,所以选A ．19．（山东师大附中2013届级高三12月第三次模拟检测理科数学）设函数()()()s i nc o s fx x x ωϕωϕ=+++0,||2πωϕ⎛⎫><⎪⎝⎭的最小正周期为π, 且()()f x f x -=,则（ ）A ．()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递减 B ．()f x 在3,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减 C ．()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递增D ．()f x 在3,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递增【答案】A 【解析】因为()()()sin cos )4f x x x x πωϕωϕωϕ=+++=++且函数的最小正周期为π,所以2T ππω==,所以2ω=,即函数())4f x x πϕ=++,又函数()()f x f x -=,所以函数为偶函数,所以,42k k Z ππϕπ+=+∈,即,4k k Z πϕπ=+∈,因为||2πϕ<,所以当0k =时,4πϕ=,所以()s i n (2)2s i 2)2co s 2442fx x x x πππ=+++=,当02x π<<时,02x π<<,此时函数()2f x x =单调递减,选（ ）A ．20．（山东省青岛市2013届高三上学期期中考试数学（理）试题）已知函数()sin()f x A x ωϕ=+(其中0,2A πϕ><)的图象如图所示,则函数()f x 的解析式为（ ）A ．()sin(2)3f x x π=- B ．()sin(2)6f x x π=+ C ．()sin(2)3f x x π=+D ．()sin(4)6f x x π=+【答案】C21．（山东省菏泽市2013届高三5月份模拟考试数学（理）试题）已知函数①sin cos ,y x x =+②cos y x x =,则下列结论正确的是 （ ）A ．两个函数的图象均关于点(,0)4π-,成中心对称B ．①的纵坐标不变,横坐标扩大为原来的2倍,再向右平移4π个单位即得② C ．两个函数在区间(-4π,4π)上都是单调递增函数 D ．两个函数的最小正周期相同 【答案】C22．（山东省烟台市2013届高三3月诊断性测试数学理试题）若函数f(x)=2sin )0(>ωωx 在区间]4,3[ππ-上单调递增,则ω的最大值等于 （ ）A ．32B ．23 C ．2 D ．3 【答案】B 因为函数在[,]44T T -上递增,所以要使函数f(x)=2sin )0(>ωωx 在区间]4,3[ππ-上单调递增,则有34T π-≥-,即43T π≥,所以243T ππω=≥,解得32ω≤,所以ω的最大值等于23,选 B ． 二、填空题23．（山东省烟台市2013届高三上学期期中考试数学试题(理科)）函数）（ππ2,0),3sin(2∈-=x x y 的单调递增区间为______________【答案】]61165[ππ， 【解析】由)3sin(2)3sin(2ππ--=-=x x y 知当≤-≤+322πππx k ππk 223+即)(2611265Z k k x k ∈+≤≤+ππππ时,y 为增函数. )2,0(π∈x ,∴函数的增区间为]611,65[ππ.24．（山东省青岛即墨市2013届高三上学期期末考试数学（理）试题）已知函数2()2sin ()21,,442f x x x x πππ⎡⎤=+--∈⎢⎥⎣⎦,则)(x f 的最小值为_________.【答案】1【解析】2()2sin ()211cos 2()2144f x x x x x ππ=+-=-+--cos(2)2sin 222sin(2)23x x x x x ππ=-+-==-,因为42x ππ≤≤,所以22633x πππ≤-≤,所以sin sin(2)sin 632x πππ≤-≤,即1sin(2)123x π≤-≤,所以12sin(2)23x π≤-≤,即1()2f x ≤≤,所以)(x f 的最小值为1.25．（山东省济南市2013届高三3月高考模拟理科数学）函数sin()(0)2yx πϕϕ=+>的部分图象如图所示,设P 是图象的最高点,,A B 是图象与x 轴的交点,则tan APB ∠_______________.【答案】2-函数的最大值是1,周期242T ππ==,则14TAD ==,3,1BD PD ==,则tan 1,tan 3,AD BDAPD BPD PD PD∠==∠==所以tan tan()APB APD BPD ∠=∠+∠ tan tan 1321tan tan 113APD BPD APD BPD ∠+∠+===--∠⋅∠-⨯. 26．（山东省枣庄市2013届高三3月模拟考试数学（理）试题）设()y f t =是某港口水的深度y(米)关于时间t(时)的函数,其中0≤t≤24.下表是该港口某一天从0时至24时记录的时间t 与水深y 的关系:经长期观察,函数y=f(t)的图象可以近似地看成函数sin()y h A x ωφ=++的图象.最能近似表示表中数据间对应关系的函数是_______.【答案】 5.0 2.5sin6y t π=+由数据可知函数的周期12T =,又212T πω==,所以6πω=.函数的最大值为7.5,最小值为2.5,即7.5, 2.5h A h A +=-=,解得 5.0, 2.5h A ==,所以函数为() 5.0 2.5sin()6y f x t πφ==++,又(3) 5.0 2.5sin(3)7.56y f πφ==+⨯+=,所以sin()cos 12πφφ+==,即2,k k Z φπ=∈,所以最能近似表示表中数据间对应关系的函数是 5.0 2.5sin6y t π=+.27．（山东省济宁邹城市2013届高三上学期期中考试数学（理）试题）已知函数()3sin(2)3f x x π=-的图象为C,关于函数()f x 及其图象的判断如下: ①图象C 关于直线112x π=对称; ②图象C 关于点2(,0)3π对称; ③由3sin 2y x =得图象向右平移3π个单位长度可以得到图象C; ④函数f(x)在区间(5,1212ππ-)内是增函数; ⑤函数|()1|f x +的最小正周期为2π. 其中正确的结论序号是_________.(把你认为正确的结论序号都填上) 【答案】①②④三、解答题28．（山东省济南市2013届高三4月巩固性训练数学（理）试题）已知函数)()4sin cos 03f x x x πωωω⎛⎫=++> ⎪⎝⎭的最小正周期为π.⑴求)(x f 的解析式;(2)求)(x f 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-6,4ππ上的最大值和最小值及取得最值时x 的值. 【答案】解()4sin cos cos sin sin 33f x x x x ππωωω⎛⎫=- ⎪⎝⎭22sin cos x x x ωωω=-+sin 22x x ωω=+2sin 23x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭2,12T ππωω==∴=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=∴32sin 2)(πx x f(2)46x ππ-≤≤,22633x πππ∴-≤+≤1sin 2123x π⎛⎫∴-≤+≤ ⎪⎝⎭,即()12f x -≤≤, 当2,36x ππ+=-即4x π=-时,()min 1f x =-,当2,32x ππ+=即12x π=时,()max 2f x =29．（山东省莱钢高中2013届高三4月模拟检测数学理试题 ）已知函数. (1)求函数的最小正周期; (2)求函数在上的最大值和最小值,并求函数取得最大值和最小值时的自变量的值. (3)已知ABC ∆中,角C B A ,,的对边分别为.,,c b a 若3(),2f A = 2.b c +=求边a 的最小值.【答案】(1)的最小正周期(2)∴当,即时,当或时,即或时,435)(min +=x f(3)2345)62sin(21)(=++=πA A f 21)62sin(=+∴πA），6136(62πππ∈+A 6562ππ=+∴A 3π=∴A∵b+c=2∴1)2(34343)(22222=+-≥-=-+=-+=c b bc bc c b bc c b a 当且仅当b=c 时取等号∴a 的最小值是130．（山东省枣庄三中2013届高三上学期1月阶段测试理科数学）设x x x x f cos sin 32cos 6)(2-=.(Ⅰ)求)(x f 的最小正周期及单调递增区间;4x π=12x π=2263x ππ+=263x ππ+=max 157()244f x =+=6x π=262x ππ+=22[,]633x πππ∴+∈[,]124x ππ∈ 22T ππ==()f x 15sin(2)264x π=++15cos 2244x x =+21()cos cos 12f x x x x =+x [,]124ππ()f x ()fx 21()cos cos 1,22f x x x x x R =++∈(Ⅱ)将函数)(x f 的图象向右平移3π个单位,得)(x g y =的图象,求x x g x F 323)()(-=在4π=x 处的切线方程.【答案】解:(Ⅰ)(1cos 2)()62)326x f x x x π+==++,故f (x )的最小正周期π=T , 由ππππk x k 2622≤+≤+-得f (x )的单调递增区间为()Z k k k ∈--]12,127[ππππ(Ⅱ)由题意:())]32336g x x x ππ=-++=+, x xxx g x F 2sin 323)()(=-=, 2'2sin 2cos 2)(x xx x x F -=, 因此切线斜率2'16)4(ππ-==F k ,切点坐标为)4,4(ππ,故所求切线方程为)4(1642πππ--=-x y ,即08162=-+ππy x 31．（山东省德州市乐陵一中2013届高三十月月考数学(理)试题）已知函数()()x xf x cos sin x 2424ππ⎛⎫⎛⎫=++-+π ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.(I)求()f x 的最小正周期;www.(Ⅱ)若将()f x 的图象按向量a =(6π,0)平移得到函数g(x)的图象,求函数g(x)在区间[]0,π上的最大值和最小值. 【答案】32．（山东省日照市2013届高三12月份阶段训练数学(理)试题）已知向量)(),0,0,sin a x b x ==,记函数()()22f x a b x =++.求:(I)函数()f x 的最小值及取得小值时x 的集合;(II)函数()f x 的单调递增区间.【答案】解:(Ⅰ)x x f 2sin 3)()(2++=b a212cos 2cos 222x x x x =++=+ =2)6π2sin(2++x , 当且仅当23ππ26π2+=+k x ,即32ππ+=k x )(Z ∈k 时,()0f x =min , 此时x 的集合是⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+=Z k k x x π,32π| (Ⅱ)由)(2ππ26π22ππ2Z ∈+≤+≤k k x k －,所以)(6ππ3ππZ ∈+≤≤k k x k －, 所以函数()f x 的单调递增区间为)](6ππ,3ππ[Z ∈+k k k - 33．（山东师大附中2013届高三第四次模拟测试1月理科数学）已知函数ππ1()cos()cos()sin cos 334f x x x x x =+--+ (1)求函数)(x f 的最小正周期和最大值;(2)求函数()f x 单调递增区间【答案】【解析】:(Ⅰ)ππ11()cos()cos()sin 23324f x x x x =+--+131311(cos sin )(cos sin )sin 2222224x x x x x =-+-+221311cos sin sin 24424x x x =--+1cos 233cos 211sin 28824xxx +-=--+1(cos 2sin 2)2x x =-2cos 224x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭函数)(x f 的最小正周期为 T π=,函数)(x f 的最大值为22(II)由 222,4k x k k z ππππ-≤+≤∈得 5,88k x k k z ππππ-≤≤-∈函数)(x f 的 单调递增区间为5[,],88k k k z ππππ--∈34．（山东省济宁邹城市2013届高三上学期期中考试数学（理）试题）已知向量21cos 213(sin ,sin ),(cos 2sin 2,2sin )222x m x x n x x x +=+=-,设函数(),.f x m n x =⋅∈R(I)求函数f(x)的最小正周期及单调增区间;(Ⅱ)若[0,],()2x f x π∈求函数值域.【答案】。
【山东专用】2014届高考数学(理)一轮复习专题集训《三角函数的图象与性质》Word版含解析
三角函数的图象与性质一、选择题(每小题6分，共36分)1.(预测题)已知函数f(x)＝sin(ωx ＋π3)(ω>0)的最小正周期为π，则该函数的图象( ) (A)关于直线x ＝π3对称 (B)关于点(π3，0)对称 (C)关于直线x ＝－π6对称 (D)关于点(π6，0)对称 2.(2012·抚顺模拟)函数f(x)＝3sinx ＋4cosx ＋5的最小正周期为( )(A)π5 (B)π2(C)π (D)2π 3.已知函数f(x)＝2cos(ωx ＋π6)(ω＞0)的最小正周期为π，那么ω＝( ) (A)13 (B) 12(C)1 (D)2 4.(2012·济南模拟)使函数f(x)＝sin(2x ＋φ)为R 上的奇函数的φ的值可以是( ) (A)π4 (B) π2 (C)π (D)3π25.已知函数f(x)＝sin(2x －π6)，若存在a∈(0，π)，使得f(x ＋a)＝f(x －a)恒成立，则a 的值是( ) (A)π6 (B)π3 (C)π4 (D)π26.已知函数y ＝sinx 的定义域为[a ，b]，值域为[－1，12]，则b －a 的值不可能是( ) (A)π3 (B)2π3 (C)π (D)4π3二、填空题(每小题6分，共18分)7.(2012·潍坊模拟)函数y ＝sin(x ＋π3)在区间[0，π2]的最小值为 . 8.函数y ＝sin(2x ＋φ)(0≤φ≤π)是R 上的偶函数，则φ的值是 .9.在(0,2π)内，使sinx ＞cosx 成立的x 的取值范围是 .三、解答题(每小题15分，共30分)10.(2012·聊城模拟)已知sin(π－θ)＋3cos(π＋θ)＝0，其中θ∈(0，π2)(1)求sin θ，cos θ的值；(2)求函数f(x)＝sin 2x ＋tan θcosx(x∈R)的值域.11.已知函数f(x)＝cosx －3sinx ＋1(x∈R).(1)求函数y ＝f(x)的最大值，并指出取得最大值时相应的x 的值；(2)求函数y ＝f(x)的单调增区间.【探究创新】(16分)已知函数f(x)＝sin2x ＋acos 2x(a∈R，a 为常数)，且π4是函数y ＝f(x)的零点. (1)求a 的值，并求函数f(x)的最小正周期；(2)若x∈[0，π2]，求函数f(x)的值域，并写出f(x)取得最大值时x 的值.答案解析1.【解析】选B.由题意知T ＝2πω＝π，则ω＝2，所以f(x)＝sin(2x ＋π3)，又f(π3)＝sin(23π＋π3)＝sin π＝0，故图象关于点(π3，0)对称. 2.【解析】选D.f(x)＝5sin(x ＋φ)＋5(其中sin φ＝45，cos φ＝35). ∴f(x)的最小正周期T ＝2π1＝2π. 3.【解析】选D.由题设知T ＝2πω＝π，∴ω＝2. 4.【解析】选C.若f(x)是R 上的奇函数，则必须满足f(0)＝0即sin φ＝0∴φ＝k π(k ∈Z)，故选C.5.【解析】选D.因为函数满足f(x ＋a)＝f(x －a)，所以函数是周期函数，且周期为2a,2a ＝2π2，所以a ＝π2. 【方法技巧】周期函数的理解(1)周期函数定义中的等式：f(x ＋T)＝f(x)是定义域内的恒等式，即对定义域内的每个x 值都成立，若只是存在个别x 满足等式的常数T 不是周期.(2)每个周期函数的定义域是一个无限集，其周期有无穷多个，对于周期函数y ＝f(x)，T 是周期，则kT(k ∈Z ，k ≠0)也是周期，但并非所有周期函数都有最小正周期.6.【解题指南】解决此类题目利用数形结合，画出草图，因为知道最小值是－1，再根据周期性就可得到b －a 的可能的值.【解析】选A.画出函数y ＝sinx 的草图，分析知b －a 的取值范围为[2π3，4π3]. 【变式备选】已知函数f(x)＝Asin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)满足条件f(x ＋12)＋f(x)＝0，则ω的值为( )(A)2π (B)π (C)π2 (D)π4【解析】选A.由f(x ＋12)＋f(x)＝0得f(x ＋12)＝－f(x)，所以f(x ＋1)＝f(x)，故函数的周期是1，又由2πω＝1得ω＝2π. 7.【解析】∵x ∈[0，π2]，∴x ＋π3∈[π3，5π6]， 12≤sin(x ＋π3)≤1， ∴y ＝sin(x ＋π3)在[0，π2]上的最小值为12. 答案：128.【解析】若函数为偶函数，则φ＝k π＋π2(k ∈Z)，因为0≤φ≤π，所以φ＝π2. 答案：π29.【解题指南】利用函数图象或者三角函数线可以得到答案.【解析】利用y ＝sinx 和y ＝cosx 的图象可知道在(0,2π)上sin π4＝cos π4，sin 5π4＝cos 5π4，所以若sinx ＞cosx ，则有π4＜x ＜5π4. 答案：(π4，5π4) 10.【解析】(1)由题意得sin θ－3cos θ＝0，又sin 2θ＋cos 2θ＝1，θ∈(0，π2)，∴sin θ＝31010，cos θ＝1010， (2)f(x)＝sin 2x ＋3cosx ＝1－cos 2x ＋3cosx.令t ＝cosx ，t ∈[－1,1]，则y ＝－t 2＋3t ＋1，∴y min ＝－3，y max ＝3，即值域为[－3,3].11.【解析】(1)f(x)＝cosx －3sinx ＋1＝2(12cosx －32sinx)＋1 ＝2(cosxcos π3－sinxsin π3)＋1＝2cos(x ＋π3)＋1， (注：此处也可是2sin(π6－x)＋1等) 所以f(x)的最大值是3，此时x ＋π3＝2k π，即x ＝2k π－π3，k ∈Z. (2)因为余弦函数的单调增区间为[2k π－π， 2k π](k ∈Z)∴2k π－π≤x ＋π3≤2k π ∴2k π－4π3≤x ≤2k π－π3∴y ＝f(x)的单调增区间为[2k π－4π3，2k π－π3](k ∈Z) 【探究创新】【解析】(1)由于π4是函数y ＝f(x)的零点， 即x ＝π4是方程f(x)＝0的解， 从而f(π4)＝sin π2＋acos 2π4＝0， 则1＋12a ＝0，解得a ＝－2. 所以f(x)＝sin2x －2cos 2x ＝sin2x －cos2x －1，则f(x)＝2sin(2x －π4)－1， 所以函数f(x)的最小正周期为π.(2)由x ∈[0，π2]，得2x －π4∈[－π4，3π4]， 则sin(2x －π4)∈[－22，1]， 则－1≤2sin(2x －π4)≤2， －2≤2sin(2x －π4)－1≤2－1， ∴函数f(x)的值域为[－2，2－1].当2x －π4＝2k π＋π2(k ∈Z)，即x ＝k π＋38π时，f(x)有最大值， 又x ∈[0，π2]，故k ＝0时，x ＝38π， f(x)有最大值2－1.。
【山东专用】2014届高考数学(理)一轮复习专题集训《三角函数的图象与性质》1Word版含解析
三角函数的图象与性质(时间：45分钟 分值：100分)基础热身 1．[2013·石家庄质检] 下列函数中，周期是π，又是偶函数的是( ) A ．y ＝sin x B ．y ＝cos x C ．y ＝sin2x D ．y ＝cos2x 2．[2013·唐山模拟] 函数f (x )＝3sin2x ＋cos2x ( )A ．在⎝⎛⎭⎫－π3，－π6单调递减B ．在⎝⎛⎭⎫π6，π3单调递增C ．在⎝⎛⎭⎫－π6，0单调递减D ．在⎝⎛⎭⎫0，π6单调递增3．函数f (x )＝cos2x ＋2sin x 的最小值和最大值分别为( ) A ．－3，1 B ．－2，2C ．－3，32D ．－2，324．[2013·太原外国语学校模拟] 下列函数中，以π为最小正周期的偶函数，且在⎝⎛⎭⎫π2，π上为减函数的是( )A ．y ＝sin2x ＋cos2xB ．y ＝|sin x |C ．y ＝cos 2xD ．y ＝tan x能力提升5．下列函数中，周期为π，且在⎣⎡⎦⎤π4，π2上为减函数的是( )A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2B ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2C ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2D ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π26．函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π4在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上( )A ．单调递增且有最大值B ．单调递增但无最大值C ．单调递减且有最大值D ．单调递减但无最大值7．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sin πx （0≤x ≤1），log 2 012x （x >1），若a ，b ，c 互不相等，且f (a )＝f (b )＝f (c )，则a＋b ＋c 的取值范围是( )A ．(2，2 013)B ．(2，2 014)C ．(3，2 013)D ．(3，2 014)8．已知函数y ＝sin x 的定义域为[a ，b ]，值域为⎣⎡⎦⎤－1，12，则b －a 的值不可能是( ) A.π3 B.2π3 C ．π D.4π39．[2013·唐山模拟] 若x ＝π6是函数f (x )＝3sin ωx ＋cos ωx 图象的一条对称轴，当ω取最小正数时( )A ．f (x )在⎝⎛⎭⎫－π3，－π6单调递减B ．f (x )在⎝⎛⎭⎫π6，π3单调递增C ．f (x )在⎝⎛⎭⎫－π6，0单调递减D ．f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π6单调递增10．函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4－22sin 2x 的最小正周期是________． 11．已知f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3(ω>0)，f ⎝⎛⎭⎫π6＝f ⎝⎛⎭⎫π3，且f (x )在区间⎝⎛⎭⎫π6，π3有最小值，无最大值，则ω＝________．12．函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3－3cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π3，x ∈[0，2π]的单调递减区间是________．13．[2013·泉州四校联考] 设f (x )＝a sin2x ＋b cos2x ，其中a ，b ∈R .若f (x )≤⎪⎪⎪⎪f ⎝⎛⎭⎫π6对一切x ∈R 恒成立，则①f ⎝⎛⎭⎫11π12＝0；②⎪⎪⎪⎪f ⎝⎛⎭⎫7π12<⎪⎪⎪⎪f ⎝⎛⎭⎫π5； ③f (x )既不是奇函数也不是偶函数；④f (x )的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z )；⑤存在经过点(a ，b )的直线与函数f (x )的图象不相交． 以上结论正确的是________(写出所有正确结论的编号)．14．(10分)[2013·山西五校调研] 设函数f (x )＝3cos 2x ＋sin x cos x －32.(1)求函数f (x )的最小正周期T ，并求出函数f (x )的单调递增区间； (2)求在[0，3π)内使f (x )取到最大值的所有x 的和．15．(13分)[2013·黄冈模拟] 已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω>0，0≤φ≤π)为偶函数，其图象上相邻的两个最低点间的距离为2π.(1)求f (x )的解析式；(2)若α∈－π3，π2，fα＋π3＝13，求sin2α＋2π3的值．难点突破16．(12分)已知函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋2sin ⎝⎛⎭⎫x －π4sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4.(1)求函数f (x )的最小正周期和图象的对称轴方程；(2)求函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π12，π2上的值域．【基础热身】1．D [解析] 周期是π的函数是y ＝sin2x 和y ＝cos2x ，其中y ＝cos2x 是偶函数．2．D [解析] f (x )＝3sin2x ＋cos2x ＝2⎝⎛⎭⎫32sin2x ＋12cos2x＝2⎝⎛⎭⎫sin2x cos π6＋cos2x sin π6＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6.由2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2，k ∈Z ，知f (x )的增区间为⎣⎡⎦⎤k π－π3，k π＋π6，k ∈Z ，∴f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π6单调递增．3．C [解析] ∵f (x )＝1－2sin 2x ＋2sin x ＝－2⎝⎛⎭⎫sin x －122＋32，∴当sin x ＝12时，f (x )max ＝32，当sin x ＝－1时，f (x )min ＝－3；故选C.4．B [解析] 由函数为偶函数，排除A ，D ；由在⎝⎛⎭⎫π2，π上为减函数，排除C ，故选B.【能力提升】5．A [解析] 选项C ，D 中函数周期为2π，所以错误，当x ∈⎣⎡⎦⎤π4，π2时，2x ＋π2∈⎣⎡⎦⎤π，3π2， 函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2为减函数，而函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2为增函数，所以选A.6．A [解析] 由－π2≤x －π4≤π2，得－π4≤x ≤3π4，则函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π4在区间⎣⎡⎦⎤－π4，3π4上是增函数，又⎣⎡⎦⎤0，π2⊆⎣⎡⎦⎤－π4，3π4，所以函数在⎣⎡⎦⎤0，π2上是增函数，且有最大值22，故选A.7．A [解析] 数形结合法，画出函数f (x )的简图，作直线y ＝h ，移动此直线观察直线y＝h 与函数f (x )的图象有三个交点的情形，不妨设a ＜b ＜c ，则a ＋b 2＝12，1＜c ＜2 012，∴2＜a＋b ＋c ＜2 013.8．A [解析] 画出函数y ＝sin x 的简图，要使函数的值域为⎣⎡⎦⎤－1，12，则函数定义域为⎣⎡⎦⎤2k π＋5π6，2k π＋13π6，k ∈Z 或其子集，又定义域为[a ，b ]，则a ，b 在同一个k 所对应的区间内，且[a ，b ]必须含2k π＋3π2，还有2k π＋5π6、2k π＋13π6之一，知b －a 的取值范围为⎣⎡⎦⎤2π3，4π3，故选A.9．D [解析] f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6，由π6ω＋π6＝k π＋π2得ω＝6k ＋2，取最小正数为2，所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，其在⎝⎛⎭⎫0，π6单调递增．10．π [解析] f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4－2，故最小正周期为π.11.143 [解析] 依题f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3(ω>0)，f ⎝⎛⎭⎫π6＝f ⎝⎛⎭⎫π3，且f (x )在区间⎝⎛⎭⎫π6，π3有最小值，无最大值，∴区间⎝⎛⎭⎫π6，π3为f (x )的一个半周期的子区间，且知f (x )的图象关于x ＝π6＋π32＝π4对称，∴π4·ω＋π3＝2k π＋3π2，k ∈Z ，取k ＝0得ω＝143. 12.⎣⎡⎦⎤π2，3π2 [解析] 本题主要考查两角和与差的正弦和余弦公式，y ＝A sin(ωx ＋φ)的单调性．属于基础知识、基本运算的考查．f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3－3cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＝sin x cos π3＋cos x sin π3－3cos x cos π3－sin x sin π3＝2sin x ，∴函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3－3cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π3，x ∈[0，2π]的单调递减区间是⎣⎡⎦⎤π2，3π2.13．①②③ [解析] 因为f (x )＝a sin2x ＋b cos2x ＝a 2＋b 2sin(2x ＋θ)，若f (x )≤⎪⎪⎪⎪f ⎝⎛⎭⎫π6对一切x ∈R 恒成立，θ＝π6，f (x )＝a 2＋b 2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，①f ⎝⎛⎭⎫11π12＝0正确；②⎪⎪⎪⎪f ⎝⎛⎭⎫7π12<⎪⎪⎪⎪f ⎝⎛⎭⎫π5正确；③f (x )既不是奇函数也不是偶函数正确；④错误，⑤错误． 14．解：(1)f (x )＝32(cos2x ＋1)＋12sin2x －32＝32cos2x ＋12sin2x ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3， 故T ＝π.由2k π－π2≤2x ＋π3≤2k π＋π2(k ∈Z )，得k π－512π≤x ≤k π＋π12，所以f (x )单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－512π，k π＋π12(k ∈Z )．(2)令f (x )＝1，即sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝1，则2x ＋π3＝2k π＋π2(k ∈Z )．于是x ＝k π＋π12(k ∈Z )，∵0≤x <3π，且k ∈Z ，∴k ＝0，1，2，则π12＋⎝⎛⎭⎫π＋π12＋⎝⎛⎭⎫2π＋π12＝13π4.∴在[0，3π)内使f (x )取到最大值的所有x 的和为134π.15．解：(1)因为周期为2π，所以ω＝1，又因为0≤φ≤π，f (x )为偶函数，所以φ＝π2，则f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2＝cos x .(2)因为cos ⎝⎛⎭⎫α＋π3＝13，又α＋π3∈⎝⎛⎭⎫0，5π6，所以sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3＝223，所以sin ⎝⎛⎭⎫2α＋2π3＝2sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3cos ⎝⎛⎭⎫α＋π3＝2×223×13＝429.【难点突破】16．解：(1)f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋2sin ⎝⎛⎭⎫x －π4sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝12cos2x ＋32sin2x ＋(sin x －cos x )(sin x ＋cos x ) ＝12cos2x ＋32sin2x ＋sin 2x －cos 2x ＝12cos2x ＋32sin2x －cos2x ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6.∴周期T ＝2π2＝π.对称轴方程为2x －π6＝π2＋k π，即x ＝π3＋k π2，k ∈Z .(2)∵x ∈⎣⎡⎦⎤－π12，π2，∴2x －π6∈⎣⎡⎦⎤－π3，5π6，∵f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6在区间⎣⎡⎦⎤－π12，π3上单调递增，在区间⎣⎡⎦⎤π3，π2上单调递减，∴当x ＝π3时，f (x )取最大值1.又∵f ⎝⎛⎭⎫－π12＝－32<f ⎝⎛⎭⎫π2＝12，∴当x ＝－π12时，f (x )取最小值－32，∴函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π12，π2上的值域为⎣⎡⎦⎤－32，1.。
2014年高考试题分类汇编(三角函数)
2014年高考试题分类汇编（三角函数）考点1 任意角的三角函数考法1 三角函数的定义1.（2014·全国大纲卷·文科）已知角α的终边经过点(4,3)-，则cos α=A ．45B ．35C ．35-D ．45-考法2 三角函数的图像1.（2014·安徽卷·理科）若将函数()sin(2)4f x x π=+的图像向右平移ϕ个单位，所得图像关于y 轴对称，则ϕ的最小正值是________.2.（2014·山东卷·理科）已知向量(,cos2)a m x = ，(sin 2,)b x n =，设函数()f x a b =⋅ ，且()y f x =的图象过点(12π和点2(,2)3π-.（Ⅰ）求,m n 的值；（Ⅱ）将()y f x =的图象向左平移ϕ（0ϕπ<<）个单位后得到函数()y g x =的图象.若()y g x =的图象上各最高点到点(0,3)的距离的最小值为1，求()y g x =的单调增区间.3.（2014·江苏卷）已知函数cos y x =与函数sin(2)(0)y x ϕϕπ=+≤<，它们的图像有一个横坐标为3π的交点，则ϕ的值是 . 4.（2014·安徽卷·文科）若将函数x x x f 2cos 2sin )(+=的图像向右平移ϕ个单位，所得图像关于y 轴对称，则ϕ的最小正值是 A.8π B.4π C.83π D.43π 5.（2014·浙江卷·文理）为了得到函数sin3cos3y x x =+的图像，可以将函数y x =的图像A.向右平移4π个单位 B.向左平移4π个单位 C.向右平移12π个单位 D.向左平移12π个单位6.（2014·四川卷·文科）为了得到函数sin(1)y x =+的图象，只需把函数sin y x =的图象上所有的点A.向左平行移动1个单位长度B.向右平行移动1个单位长度C.向左平行移动π个单位长度D.向右平行移动π个单位长度 7.（2014·四川卷·文科）为了得到函数sin(21)y x =+的图象，只需把函数sin 2y x =的图象上所有的点A.向左平行移动1个单位长度B.向右平行移动1个单位长度C.向左平行移动12个单位长度D.向右平行移动12个单位长度8.（2014·重庆卷·文科）将函数()sin()f x x ωϕ=+（0ω>，22ππϕ-≤<）图像上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移6π的单位长度得到sin y x =的图像，则()6f π=_ _.9.（2014·福建卷·文科）将函数sin y x =的图象向左平移2π个单位，得到函数()y f x =的函数图象，则下列说法正确的是A.()y f x =是奇函数B. ()y f x =是周期是πC.()y f x =的图像关于直线2x π=对称 D.()y f x =的图像关于点(,0)2π-对称10.（2014·辽宁卷·理科）将函数3sin(2)3y x π=+的图象向右平移2π个单位长度，所得图象对应的函数A ．在区间7[,]1212ππ上单调递减B ．在区间7[,]1212ππ上单调递增C ．在区间[,]63ππ-上单调递减D ．在区间[,]63ππ-上单调递增11.（2014·湖北卷·文科）某实验室一天的温度（单位：C ）随时间t （单位：h ）的变化近似满足函数关系：()10sin 1212f t t t ππ=-，[0,24)t ∈.（Ⅰ）求实验室这一天上午8时的温度； （Ⅱ）求实验室这一天的最大温差.12.（2014·湖北卷·理科）某实验室一天的温度（单位：C ）随时间t （单位：h ）的变化近似满足函数关系：()10sin 1212f t t t ππ=-，[0,24)t ∈.（Ⅰ）求实验室这一天上午8时的温度；（Ⅱ）若要求实验室温度不高于011C ，则在哪段时间实验室需要降温？13.（2014·重庆卷·理科）已知函数())f x x ωϕ=+（0ω>，22ππϕ-≤<）的图像关于直线3x π=对称，且图像上相邻两个最高点的距离为π.（Ⅰ）求ω和ϕ的值；（Ⅱ）若2()()263f αππα=<<，求3cos()2πα+的值.考法3 三角函数的性质1.（2014·陕西卷·理科）函数()cos(2)6f x x π=-的最小正周期是A.2πB.πC.2πD.4π 2.（2014·陕西卷·文科）函数()cos(2)4f x x π=+的最小正周期是A.2πB.πC.2πD.4π 3.（2014·全国卷Ⅰ·文科）在函数①|2|cos x y =，② |cos |x y =， ③ )62cos(π+=x y ，④)42tan(π-=x y 中，最小正周期为π的所有函数为 A. ①②③④ B. ①③④ C.②④ D.①③4.（2014·山东卷·文科）函数22cos y x x =+的最小正周期为 . 5.（2014·北京卷·理科）设函数()sin()f x x ωϕ=+，0,0>>ωA ，若)(x f 在区间[,]62ππ上具有单调性，且2()()()236f f f πππ==-，则()f x 的最小正周期为 .6.（2014·天津·文科）已知函数()cos (0),.f x x x x R ωωω=+>∈在曲线()y f x =与直线1y =的交点中，若相邻交点距离的最小值为3π，则()f x 的最小正周期为A.2πB.23πC.πD.2π7.（2014·全国卷Ⅱ·文科）函数()sin()2sin cos f x x x ϕϕ=+-的最大值为___ _. 8.（2014·全国卷Ⅱ·理科）函数()()()sin 22sin cos f x x x ϕϕϕ=+-+的最大 _.9.（2014·全国大纲卷·理科）设0sin 33a =，0cos55b =，0tan 35c =，则 A ．a b c >> B ．b c a >> C ．c b a >> D ．c a b >> 10.（2014·山东卷·文科）已知实数,x y 满足(01)x y a a a <<<， 则下列关系式恒成立的是A.33x y >B.sin sin x y >C.22ln(1)ln(1)x y +>+D.221111x y >++ 11.（2014·全国大纲卷·理科）若函数()cos 2sin f x x a x =+在区间(,)62ππ是减函数，则a 的取值范围是 .12.（2014·全国大纲卷·文科）函数cos 22sin y x x =+的最大值为 . 13.（2014·安徽卷·理科）设函数(),f x x R ∈满足()()sin f x f x x π+=+，当0x π≤≤时，()0f x =，则23()6f π= A.21 B.23 C.0 D.21- 14.（2014·广东卷·文科）下列函数为奇函数的是A.x x 212- B.x x sin 3 C.1cos 2+x D.x x 22+15.（2014·江西卷·文科）已知函数2()(2cos )cos(2)f x a x x θ=++为奇函数，且()04f π=，其中(0)a R θπ∈∈，，. （Ⅰ）求θ，a 的值； （Ⅱ）若2()()452f απαπ=-∈，，，求sin()3πα+的值. 16.（2014·四川卷·文理）已知函数()sin(3)4f x x π=+.（Ⅰ）求()f x 的单调递增区间；（Ⅱ）若α是第二象限角，4()cos()cos 2354f απαα=+，求cos sin αα-的值.17.（2014·广东卷·文科）已知函数()sin(),3f x A x x R π=+∈，且5()12f π=（Ⅰ）求A 的值；（Ⅱ）若()()(0,)2f f πθθθ--=∈，求()6f πθ-.18.（2014·广东卷·理科）已知函数R x x A x f ∈+=),4sin()(π，且23)125(=πf ， （Ⅰ）求A 的值； （Ⅱ）若23)()(=-+θθf f ，)2,0(πθ∈，求)43(θπ-f . 考点2 三角函数的恒等变换1.（2014·陕西卷·文理）设20πθ<<，向量()()1cos cos 2sin ，，，θθθ==b a，若b//，则=θtan ____.2.（2014·全国卷Ⅰ·理科）设(0,)2πα∈，(0,)2πβ∈，且1sin tan cos βαβ+=，则A.32παβ-=B.22παβ-=C.32παβ+=D.22παβ+=4.（2014·江苏卷）已知(,)2παπ∈，sin 5α=.（Ⅰ）求sin()4πα+的值；（Ⅱ）求5cos(2)6πα-的值.5.（2014·天津卷·理科）已知函数2()cos sin()3f x x x x π=⋅+x R ∈.（Ⅰ）求()f x 的最小正周期； （Ⅱ）求()f x 在闭区间[,]44ππ-上的最大值和最小值.6.（2014·福建卷·文科）已知函数()2cos (sin cos )f x x x x =+. （Ⅰ）求5()4f π的值； （Ⅱ）求函数()f x 的最小正周期及单调递增区间.7.（2014·福建卷·理科）已知函数1()cos (sin cos )2f x x x x =+-.（Ⅰ）若02πα<<，且sin 2α=，求()f α的值；（Ⅱ）求函数()f x 的最小正周期及单调递增区间.考点3 解三角形考法1 正弦定理1.（2014·广东卷·文科）在ABC ∆中，角,,A B C 所对应的边分别为,,a b c ，则“a b ≤”是“sin sin A B ≤”的A.充分必要条件B.充分非必要条件C.必要非充分条件D.非充分非必要条件2.（2014·江西卷·文科）在ABC ∆中，内角,,A B C 所对应的边分别为,,,c b a ，若32a b =，则2222sin sin sin B AA-的值为A.19B. 13C. 1D.723.（2014·湖北卷·文科）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .已知6A π=，1a =，b =B = .4.（2014·广东卷·理科）在ABC ∆中，角,,A B C 所对应的边分别为c b a ,,，已知b B c C b 2cos cos =+，则=ba. 5.（2014·全国大纲卷·文理）ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知3cos 2cos a C c A =,1tan 3A =，求B .考法2 余弦定理1.（2014·北京卷·文科）在ABC ∆中，1a =，2b =，1cos 4C =，则c = ； sin A = .2.（2014·天津卷·理科）在ABC D 中，内角,,A B C 所对的边分别是,,a b c .已知14b c a -=，2sin 3sin B C =，则cos A 的值为_______.3.（2014·福建卷·文科）在ABC ∆中，60A = ，2AC =，BC ，则AB = .4.（2014·天津卷·文科）在ABC ∆中，内角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，已知b c a 66=-，C B sin 6sin = （Ⅰ）求A cos 的值；（Ⅱ）求)62cos(π-A 的值.5.（2014·辽宁卷·文理）在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边,,a b c ，且a c >，已知2BA BC ⋅= ，1cos 3B =，3b =，求：（Ⅰ）a 和c 的值； （Ⅱ）cos()B C -的值.考法3 正弦定理、余弦定理、面积公式的综合应用1.（2014·福建卷·理科）在ABC ∆中，60A = ，2AC =，BC =，则A B C ∆面积等于_ __.2.（2014·全国卷Ⅰ·理科）已知,,a b c 分别为ABC ∆的三个内角,,A B C 的对边，2a =，且(2)(sin sin )()sin b A B c b C +-=-，则ABC ∆面积的最大值为 .3.（2014·全国卷Ⅱ·理科）钝角三角形ABC 的面积是12，1AB =，BC =则AC =4.（2014·江西卷·理科）在ABC ∆中，内角C B A ，，所对应的边分别为,,a b c ，若22()6c a b =-+，3C π=则ABC ∆的面积A.3B.2 C. 2D. 5.（2014·山东卷·文科）ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c . 已知3a =，cos 3A =，2B A π=+.（Ⅰ）求b 的值； （Ⅱ）求ABC ∆的面积.6.（2014·安徽卷·理科）设ABC ∆的内角,,A B C 所对边的长分别是,,a b c ，且3b =，1c =，2A B =.（Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）求sin()4A π+的值.7.（2014·安徽卷·文科）设ABC ∆的内角,,A B C 所对边的长分别是,,a b c ，且3b =，1c =，ABC ∆cos A 与a 的值.8.（2014·浙江卷·理科）在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知a b ≠，c =22cos cos cos cos A B A A B B -= （Ⅰ）求角C 的大小；（Ⅱ）若4sin 5A =，求ABC ∆的面积.9.（2014·浙江卷·文科）在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知24sin 4sin sin 2A BA B -+2=（Ⅰ）求角C 的大小；（Ⅱ）已知4b =，ABC ∆的面积为6，求边长c 的值.10.（2014·陕西卷·理科）ABC ∆的内角C B A ，，所对的边分别为c b a ，，. （Ⅰ）若c b a ，，成等差数列，证明：()C A C A +=+sin 2sin sin ； （Ⅱ）若c b a ，，成等比数列，求B cos 的最小值. 11.（2014·陕西卷·文科）ABC ∆的内角C B A ，，所对的边分别为c b a ，，. （Ⅰ）若c b a ，，成等差数列，证明：()C A C A +=+sin 2sin sin ； （Ⅱ）若c b a ，，成等比数列，且2c a =，求B cos 的值. 12.（2014·重庆卷·文科）在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且8a b c ++=（Ⅰ）若52,2a b ==，求cos C 的值； （Ⅱ）若22sin cos sin cos 2sin 22B A A B C +=，且ABC ∆的面积9sin 2S C =，求a 和b 的值.考点4 三角形中的几何计算1.（2014·全国卷Ⅱ·文科）四边形ABCD 的内角A 与C 互补，1AB =，3BC =,2CD DA ==.（Ⅰ）求C 和BD ；（Ⅱ）求四边形ABCD 的面积.2.（2014·北京卷·理科）如图，在ABC ∆中，3B π∠=，8AB =.点D 在BC 边上，且2CD =，1cos 7ADC ∠=. （Ⅰ）求sin BAD ∠； （Ⅱ）求BD ，AC 的长.3. （2014·湖南卷·理科）在平面四边形ABCD 中，1AD =，2CD =，AC =. （Ⅰ）求cos CAD ∠的值；（Ⅱ）若cos BAD ∠=，sin 6CBA ∠=，求BC 的长．4. （2014·湖南卷·文科）在平面四边形ABCD 中，DA AB ⊥，1DE =，EC 2EA =，23ADC π∠=，3BEC π∠=. （Ⅰ）求CED ∠sin 的值； （Ⅱ）求BE 的长.ABC ABCDE BACD。
山东省高三数学一轮复习 考试试题精选(1)分类汇编12 三角函数的概念、同角三角函数的基本关系式及诱
山东省2014届高三数学一轮复习考试试题精选（1）分类汇编12：三角函数的概念、同角三角函数的基本关系式及诱导公式一、选择题 1 ．（山东省德州市平原一中2014届高三9月月考数学（理）试题）点P(tanα,cosα)在第三象限,则角α的终边在 （ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 【答案】B 2 ．（山东省威海市2014届高三上学期期中考试数学（理）试题）角α的终边经过点(sin10,cos10)P -,则α的可能取值为 （ ）A ．10B ．80C ．10-D ．80-【答案】D 3 ．（山东省烟台市莱州一中2014届高三10月阶段测试数学试题（理））点P 从(1,0)出发,沿单位圆221x y +=逆时针方向运动23π弧长到达Q 点,则Q 的坐标为 （ ）A ．13,22⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭B ．31,22⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭ C ．13,22⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭ D ．31,22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭【答案】 （ ） A ． 4 ．（山东省济南一中等四校2014届高三上学期期中联考数学（理）试题）已知角x 的终边上一点坐标为55(sin,cos )66ππ,则角x 的最小正值为 （ ）A ．56πB ．116πC ．53πD ．23π【答案】C5 ．（山东师大附中2014届高三第一次模拟考试数学试题）已知tan 2x =,则2sin 1x += （ ）A ．0B ．95C ．43D ．53【答案】B6 ．（山东省烟台市莱州一中2014届高三10月阶段测试数学试题（理））已知3sin cos ,cos sin 842ππααααα=<<-且，则的值是（ ）A ．12B ．12-C ．14-D ．12±【答案】B ．7 ．（山东省文登市2014届高三上学期期中统考数学（理）试题）若113πα＝,则ααcos tan = （ ） A ．21B ．21-C ．23-D ．23 【答案】C8 ．（山东省桓台第二中学2014届高三第二次阶段性测试数学试题）已知sin cos 2αα-=,α∈(0,π),则tan α= （ ）A ．-1B ．22-C ．22D ．1【答案】A9 ．（山东省德州市平原一中2014届高三9月月考数学（理）试题）如果sin x +cos x =15,且0<x <π,那么tan x的值是 （ ）A ．-43B ．-43或-34C ．-34D ．43或-34【答案】 （ ） A ．10．（山东省枣庄市2014届高三上学期期中检测数学（理）试题）化简11cos()cos()cos()229cos()sin()sin()2πππαααππαπαα++----+的结果是 （ ） A ．1- B ．1 C ．tan α D ．tan α- 【答案】C 11．（山东省潍坊市诸城一中2014届高三10月阶段性测试数学（理）试题）已知角θ的顶点在坐标原点,始边与x 轴正半轴重合,终边在直线20x y -=上,则()()3sin cos 2sin sin 2πθπθπθπθ⎛⎫++- ⎪⎝⎭⎛⎫--- ⎪⎝⎭= （ ）A ．2-B ．2C ．0D ．23【答案】B12．（山东省威海市2014届高三上学期期中考试数学（理）试题）sin 300=（ ）A ．32-B ．32C ．12-D ．12【答案】A13．（山东省桓台第二中学2014届高三第二次阶段性测试数学试题）300cos 的值是（ ）A ．21B ．21-C ．23 D ．23-【答案】A14．（山东省德州市平原一中2014届高三9月月考数学（理）试题）sin(1920)-的值为（ ）A ．32-B ．12-C ．32D ．12【答案】A 二、填空题 15．（山东省潍坊市诸城一中2014届高三10月阶段性测试数学（理）试题）已知3sin 5ααα=，且为第二象限角，则tan 的值为_______.【答案】43-16．（山东省菏泽市2014届高三上学期期中考试数学（理）试题）已知4sin cos (0)34πθθθ+=<<,则sin cos θθ-=____________.【答案】23-17．（山东省烟台市莱州一中2014届高三10月阶段测试数学试题（理））已知17sin cos 12312ππαα⎛⎫⎛⎫+=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则的值等于___________. 【答案】.31-。
2014届高三数学一轮复习精讲精练：3.1三角函数的概念
2014届高三数学一轮复习精讲精练：3.1三角函数的概念2019高中数学精讲精练 第三章 三角函数【知识导读】【方法点拨】 三角函数是一种重要的初等函数，它与数学的其它部分如解析几何、立体几何及向量等有着广泛的联系，同时它也提供了一种解决数学问题的重要方法——“三角法”．这一部分的内容，具有以下几个特点：1．公式繁杂.公式虽多，但公式间的联系非常密切，规律性强.弄清公式间的相互联系和推导体系，是记住这些公式的关键.2．思想丰富.化归、数形结合、分类讨论和函数与方程的思想贯穿于本单元的始终，类比的思维方法在本单元中也得到充分的应用.如将任意角的三角函数值的问题化归为锐角的三角函数的问题，将不同名的三角函数问题化成同名的三角函数的问题，将不同角的三角函数问题化成同角的三角函数问题等.3．变换灵活.有角的变换、公式的变换、三角函数名称的变换、三角函数次数的变换、三角函任意角度任意弧长与三角函和 差几个倍同角诱 正弦定解斜三化简、计算、角的终边上任取一点(,)P x y （不同于坐标原点），设OP r =（220r x y =+>），则α的三个三角函数值定义为：sin ,cos ,tan y x y r r xααα===． 从定义中不难得出六个三角函数的定义域：正弦函数、余弦函数的定义域为R ；正切函数的定义域为{|,,}2R k k Z παααπ∈≠+∈． 1． 掌握判断三角函数值的符号的规律，熟记特殊角的三角函数值．由三角函数的定义不难得出三个三角函数值的符号，可以简记为：一正（第一象限内全为正值），二正弦（第二象限内只有正弦值为正），三切（第三象限只有正切值为正），四余弦（第四象限内只有余弦值为正）．另外，熟记0、6π、4π、3π、2π的三角函数值，对快速、准确地运算很有好处.2． 掌握正弦线、余弦线、正切线的概念． 在平面直角坐标系中，正确地画出一个角的正弦线、余弦线和正切线，并能运用正弦线、余弦线和正切线理解三角函数的性质、解决三角不等式等问题． 【基础练习】 1．885-化成2(02,)k k Z πααπ+≤≤∈的形式是 ．2．已知α为第三象限角，则2α所在的象限是 ．3．已知角α的终边过点(5,12)P -，则cos α= ，tan α= ．4．tan(3)sin 5cos8-的符号为 ．5．已知角θ的终边上一点(,1)P a -（0≠a ），且a -=θtan ，求θsin ，θcos 的值．解：由三角函数定义知，1a =±，当1a =时，2sin 2θ=2cos 2θ=；当1a =-时，2sin 2θ=2cos 2θ=【范例解析】例1.（1）已知角α的终边经过一点(4,3)(0)P a a a -≠，求2sin cos αα+的值；（2）已知角α的终边在一条直线3y =上，求sin α，tan α的值．13612ππ-+第二或第513- 125- 正分析：利用三角函数定义求解．解：（1）由已知4x a =，5r a =．当0a >时，5r a =，3sin 5α=-，4cos 5α=，则22sin cos 5αα+=-；当0a <时，5r a =-，3sin 5α=，4cos 5α=-，则22sin cos 5αα+=．（2）设点(3)(0)P a a a ≠是角α的终边3y =上一点，则tan 3α=；当0a >时，角α是第一象限角，则3sin 2α=；当0a <时，角α是第三象限角，则3sin 2α= 点评：要注意对参数进行分类讨论．例 2.（1）若sin cos 0θθ⋅>，则θ在第_____________象限．（2）若角α是第二象限角，则sin 2α，cos 2α，sin 2α，cos2α，tan 2α中能确定是正值的有____个． 解：（1）由sin cos 0θθ⋅>，得sin θ，cos θ同号，故θ在第一，三象限．（2）由角α是第二象限角，即222k k ππαππ+<<+，得422k k παπππ+<<+，4224k k ππαππ+<<+，故仅有tan 2α为正值．点评：准确表示角的范围，由此确定三角函数的符号．例3. 一扇形的周长为20cm ，当扇形的圆心角α等于多少时，这个扇形的面积最大？最大面积是多少？分析：选取变量，建立目标函数求最值． 解：设扇形的半径为x ㎝，则弧长为(202)l x =-㎝，故面积为21(202)(5)252y x x x =-=--+，当5x =时，面积最大，此时5x =，10l =，2lx α==，所以当2α=弧度时，扇形面积最大252cm ．点评：由于弧度制引入，三角函数就可以看成是以实数为自变量的函数． 【反馈演练】1．若sin cos θθ>且sin cos 0θθ⋅<则θ在第_______象限． 2．已知6α=，则点(sin ,tan )A αα在第________象限． 3．已知角θ是第二象限，且(5)P m 为其终边上一点，若2cos 4θ=，则m 的值为_______．4．将时钟的分针拨快30min ，则时针转过的弧度为 ． 5．若46παπ<<，且α与23π-终边相同，则二 三 3-12π-163π11sin2α= ．6．已知1弧度的圆心角所对的弦长2，则这个圆心角所对的弧长是_______，这个圆心角所在的扇形的面积是___________．7．（1）已知扇形AOB 的周长是6cm ，该扇形中心角是1弧度，求该扇形面积．（2）若扇形的面积为82cm ，当扇形的中心角α(0)α>为多少弧度时，该扇形周长最小．简解：（1）该扇形面积22cm ；（2）2182r l yrl +=⎧⎪⎨=⎪⎩，得16282y r r=+≥，当且仅当22r =等号．此时，42l =，2lr α==．11cos1-。
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山东省2014届理科数学一轮复习试题选编8：三角函数的概念、基本关系式及诱导公式一、选择题1 ．(2012年高考(江西文))若sin cos 1sin cos 2αααα+=-,则tan2α=（ ）A ．-34B ．34C ．-43D ．43【答案】B【解析】主要考查三角函数的运算,分子分母同时除以cos α可得tan 3α=-,带入所求式可得结果.2 ．已知角α的终边经过点)60cos 6,8(0--m P ,且54cos -=α,则m 的值为（ ）A ．21 B ．21-C ．23-D ．23【答案】A3 ．(广西桂林等四市2012届高三第一次联考试题)点P (o300cos ,o300sin )在直角坐标平面上位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】D ．4 ．已知函数R ∈-=x x x x f ,cos sin 3)(,若1)(≥x f ,则x 的取值范围为（ ）A ．⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈π+π≤≤π+πZ k k x k x ,3 B ．⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈π+π≤≤π+πZ k k x k x ,232 C ．⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈π+π≤≤π+πZ k k x k x ,656 D ．⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈π+π≤≤π+πZ k k x k x ,65262【答案】B5 ．（山东省实验中学2013届高三第一次诊断性测试数学（理）试题）若,(,),tan cot ,2παβπαβ∈<且那么必有（ ）A ．2παβ+<B ．32αβπ+<C ．αβ>D ．αβ<【答案】B【解析】因为3cot =tan =tan =tan 222πππββπββ-+--（）（）（）,因为2πβπ<<,所以2πβπ->->-,322ππβπ<-<,而函数tan y x =在(,)2x ππ∈上单调递增,所以由tan cot αβ<,即3tan tan 2παβ<-（）可得32παβ<-,即32παβ+<,选 B ． 6 ．（山东省济宁邹城市2013届高三上学期期中考试数学（理）试题）已知角α的终边过点4(8,6sin 30),cos 5P m α--=- 且,则m 的值为（ ）A ．12B ．—12C ．2D ．—2【答案】A7 ．（山东省烟台市莱州一中2013届高三第二次质量检测数学(理)试题）已知2sin 3α=,则()cos 32πα-等于 （ ）A ．B ．19C ．19-D【答案】C 【解析】()()2cos 32cos 2cos 2(12sin )παπααα-=-=-=--24112sin 1299α=-+=-+⨯=-,选C ．8 ．（山东省莱芜市莱芜十七中2013届高三4月模拟数学（理）试题）角α的终边经过点A ()a ,且点A在抛物线214y x =-的准线上,则sin α= （ ）A ．12-B ．12C．D 【答案】B9 ．(2012年东北三省四市教研协作体第二次调研测试文科数学试卷及答案(Word 版))已知α∈(π2,π),3tan 4α=-,则sin()απ+等于（ ）A ．35B ．35-C ．45 D ．45- 【答案】B ．由题意可知,3sin 5α=,3sin()sin 5απα+=-=-.故选B ．10．(2011-2012学年厦门市3月份高三数学质量检查试题(文科))已知锐角α满足3sin 5α=,则sin(2)πα+=（ ）A ．1225-B ．2425-C ．1225D ．2425【答案】B ．11．(广西桂林市、防城港市2012届高三第一次调研联合考试数学(理)试题及答案)在直角坐标平面内,（ ）A ．B ．C 分别是ABC ∆的三个内角,已知顶点(0,1),A B ,且顶点C 与点A 关于x 轴对称,则cos B 的值为 （） A ．12-B ．C ．12 D 【答案】C 12．sin(225)-︒的值是（ ）A．2B．2-C．2-D ．2【答案】A13．(2013大纲卷高考数学(文))已知a 是第二象限角,5sin ,13a=则cos a = （ ）A ．1213-B ．513-C ．513D ．1213【答案】 A 【解析】因为α是第二象限角,∴12cos 13α===-,故选（ ）A ．14．(2012年高考(大纲理))已知α为第二象限角,sin cos 3αα+=,则cos2α= （ ）A．3-B．9-C ．9D ．3【答案】 答案A【解析】sin cos αα+=,两边平方可得121sin 2sin 233αα+=⇒=- α 是第二象限角,因此sin 0,cos 0αα><,所以cos sin 3αα-===-22cos 2cos sin (cos sin )(cos sin )ααααααα∴=-=+-=法二:单位圆中函数线+估算,因为α是第二象限的角,又1sin cos2αα+所以“正弦线”要比“余弦线”长一半多点,如图,故2cos α的“余弦线”应选A .15．(2012年高考(辽宁理))已知sin cos αα-=,α∈(0,π),则tan α= （ ）A ．-1B ．2-C ．2D ．1【答案】 【答案】A【解析一】sin cos )sin()144ππαααα-=-=∴-=3(0),,tan 14παπαα∈∴=∴=- ，,故选A【解析二】2sin cos (sin cos )2,sin 21,ααααα-=∴-=∴=-33(0,),2(0,2),2,,tan 124ππαπαπααα∈∴∈∴=∴=∴=- ,故选A16．(辽宁省东北育才学校2012届高考数学模拟最后一卷试题+文+新人教A 版)已知tan α=2,则2sin 2α＋1sin2α=（ ）A ．53B ．-134C ．135D ．134【答案】 D ．17．(吉林省实验中学2012届高三第六次模拟(数学文))角α的终边经过点A ()a ,且点A 在抛物线214y x =-的准线上,则sin α=（ ）A ．12-B ．12C ．2-D ．2【答案】B18．(2013广东高考数学(文))已知51sin()25πα+=,那么cos α=（ ） A ．25-B ．15-C ．15D ．25【答案】C ．51sin sin()cos ()cos()cos 22225ππππααααα⎛⎫⎡⎤+=+=-+=-== ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦;二、填空题19．(北京市海淀区2012届高三5月查漏补缺试题(数学))以原点为顶点,以x 轴正半轴为始边的角α的终边与直线21y x =-垂直,则cos α=_____________.【答案】 20．(2013大纲版高考数学(理))已知α是第三象限角,1sin 3a=-,则cot a =____________.【答案】依题意有cos 3α==-,故cos cot sin ααα=. 21．(2012届顺义高三一模(文数))已知点()3,4P -在角α的终边上,则sin α=_____________【答案】45; 22．若(cos )cos 2f x x =,则(sin15)f ︒=____________.【答案】解析:(sin15)(cos 75)cos150cos(18030)cos302f f ︒=︒=︒=︒-︒=-︒=- 23．（山东省曲阜市2013届高三11月月考数学（理）试题）已知4sin cos (0)34πθθθ+=<<,则sin cos θθ-=__________.【答案】3-24．(2011年上海市普通高等学校春季招生考试数学卷)在ABC ∆中,若tan 3A =,则sin A =___ 【答案】【解】11.因为tan 03A =>,则A ∠是锐角,于是2221111tan 199cos A A+=+==, 则29cos 11A =,cos A =,sin tan cos 311A A A =⋅==. (或由29cos 11A =得22sin 11A =,因为sin 0A >,则sin 11A =.)25．（山东省青岛市2013届高三上学期期中考试数学（理）试题）15tan 4π=__________________________;【答案】1-26．已知sin α、sin β是方程286210x kx k -++=的两根,且,αβ终边互相垂直,则k 的值为________.【答案】解析:依题意有2,2k k Z πβαπ=++∈故sin sin(2)cos 2k πβαπα=++=而sin α、sin β是方程286210x kx k -++=的两根3sin sin 421sin sin 8k k αβαβ⎧+=⎪⎪∴⎨+⎪=⎪⎩,即3sin cos 421sin cos 8k k αααα⎧+=⎪⎪∴⎨+⎪=⎪⎩故22921(sin cos )2sin cos 164k k αααα++-=-即298200k k --= 解之得2k =或109k =-当2k =时,3sin cos 2αα+=,而sin cos )[4πααα+=+∈,故舍去当109k =-时,511111sin cos [cos sin 2[,]627222ααααα+=-∈==-∈-,符合要求故答案为:109k =-27．己知5sin cos 3cos 3sin =-+αααα,则αααcos sin sin 2-= ________________.【答案】2528．(2012年广西南宁市第三次适应性测试(理数))已知α为第二象限角,3cos()2πα-=则α2tan 的值为_________.【答案】-提示:由3cos()2πα-=可得sin α=,而α为第二象限角,故cos α==,故tan 2α=-,所以22tan tan 211tan 12ααα===---. 三、解答题29．（山东省寿光市2013届高三10月阶段性检测数学（理）试题）已知π0,tan 2.2x x -=- (1)求sin cos x x -的值;(2)求22sin(360)cos(180)sin cos(180)cos(90)cos x x x x x x︒-︒--︒+︒-+ 的值. 【答案】解:πtan 2,02x x =-- 且cos x x ∴==(1)sin cos x x -=-=(2)原式=22(sin )(cos )sin (cos )sin cos x x xx x x-⋅---⋅+=222sin cos sin tan tan 242cos sin cos tan 121x x x x x x x x x ----===--+-++。