第三章：中值定理与导数的应用3-4

1、凹凸的判定
y
y f (x )
A
B
y
y f ( x)
B
A
o
a
f ( x ) 递增
x b y 0
o
a
f ( x ) 递减
b x y 0
定理2 设 f ( x ) C I ，在 I 内部二阶可导，则 (1) 若 f ( x ) 0 , 则 f ( x ) 在 I 上是凹的; ( 2) 若 f ( x ) 0 , 则 f ( x ) 在 I 上是凸的 .
0.075 0.05 0.025
f ( x ) 1
4 1 ( 2 k ) 2
Hale Waihona Puke 0-0.1-0.05 -0.025 -0.05 -0.075
0.05
0
1 当 x 时， f ( x ) 1 0 2 k
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o
o
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易证
定理4（拐点的第一充分条件）
设 f ( x )在 x0 连续，在x0 的左右邻近内二阶可导 。
(1) 若在 x0 两近旁 f ( x ) 异号, 则 x0 为 f ( x ) 拐点 ;
( 2) 若在 x0 两近旁 f ( x ) 同号，则x0 不是 f ( x ) 拐点。
4.
二、三两步可借助于表格方式完成。
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例1
确定 f ( x ) ( x 1) 3 x 2 的单调区间 .
解 D f ( ,).
5x 2 2 f ( x ) 的零点为 ，不存在的点为 。 0 3 5 3 x 将 f 的符号与 f 的单调性列表如下：
x f f
f ( x ) f ( x0 ) o(1 ) x x0 f ( x ) 在 x0 邻近 与 f ( x0 ) 同号 x x0 在 x0 的左右邻近 f ( x ) 异号
x0 为 f ( x ) 的拐点。证毕。
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f ( x0 ) ( x x0 ) o( x x0 )
改变弯曲方向的点——拐点;
凹凸性及拐点可以由二阶导数的符号确定;
利用函数的凹凸性可以证明不等式.
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作
• 习题3-4 3-(3) 4-(2)(3)
业
6 9-(3) 14
思考题
若 f (0) 0 ，是否能断定 f ( x ) 在原点的充分 小的邻域内单调递增？
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解答：不能断定.
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注 利用导数符号与单调性之间的关系可证明 一些不等式。 例4 当 x 0 时, 试证 x ln(1 x ) 成立 .
证 设 f ( x ) x ln(1 x ) ,
f ( x ) 在 [0, ) 上连续、 (0, ) 上可导且 在 x f ( x ) 0, 1 x 又 f ( x ) 在 [0, ) 上单调增； f (0) 0 , 当 x 0 时， f ( x ) x ln(1 x ) 0,
拐点只能是 f 的零点或 f 不存在的点。
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*证: （用反证法）若f ( x0 ) 0, 则由
1 f ( x0 )( x x0 )2 o(( x x0 )2 ), 2 f ( x ) [ f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 )] 1 f ( x0 ) o(1), 2 ( x x0 ) 2 f ( x ) f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 )
f ( x )


5
5
5
0
拐点

不存在


f ( x)

非拐点
此函数在( , 1 / 5] 上是凸的、在 1 / 5, 0] 及 [ [0, ) 上是凹的，拐点为 1 / 5。曲线 y y( x )) （
问：此函数在 1 / 5, ) 上是凹的？ [
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( x ) 3 x 2 的零点为0 , 其余点处 f ( x ) 0 , f
f ( x )在 (, ) 上单调增。
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例3
解
D f ( , 1) (1, ).
局部性
x 2 ( x 1) 确定 f ( x ) 的单调区间 . x 1
在 D 上 f ( x )
注：利用凹凸性也可以证明一些不等式。
例6 试证： x 0 、y 0 ，x y 及 1 ， 对 有
1 x y (x y ) ( ) . 2 2 解 令 f ( t ) t , 则 f ( t ) ( 1)t 2 , 在 t 0 时有 f ( t ) 0 , 在 t 0 时 f 是凹的。
(-, 0) +
0 不存在 连续
(0, 2/5) -
2/5 0 连续
(2/5, +) +
2 2 f 在 ( , 0] 上单调增；在 [0, ]上单调减；在 , ) [ 5 5 上单调增。
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例2
确定 f ( x ) x 3 的单调性 .
解 D f ( ,),
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证明与第三节的例类似（略）。 3
注 若 f C I 、在 I 内部二 阶可导， 且除有 限个点处 f ( x ) 0 之外 ，恒有 f ( x ) 0 ，则 f 在 I 上？
f 在 I 上仍是凹的。
2、拐点的判定
定理 3 （拐点的必要条件） 如果 f ( x ) 在 x0 二阶可 导，则 x0 是拐点的必要条件是 f ( x0 ) 0 .
内部 可导. 那么 定理1 设 f 在区间 I 上连续，在 I 的 (1) 如果在 I 内部恒有 f 0 ，则 f 在 I 上单调增； ( 2) 如果在I 内部恒有 f 0 ，则 f 在 I 上单调减 .
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证 x1、x2 I， 且 x1 x2， 在 [x1, x2] 上应用拉氏中值定理，得
即 x ln(1 x ). 证毕.
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三、凹凸与拐点的定义
定义: 若曲线段向上（下）弯曲， 则称之为凹（凸）的。
y
C
B
A
o
x
y f ( x)
问题: 如何用准确的数学语言描述曲线的凹凸性?
y
y f ( x)
y
o
x1
x2 x
o
x1
x2
x
图形上任意弧段（的中点） 位于所张弦的下方。
图形上任意弧段（的中点） 位于所张弦的上方。
在某个U ( x0 )上，恒有 f ( x ) [ f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 )] 0 (或 0),
即在某个 U ( x0 ) 上，恒有曲线y f ( x ) 在切线 y f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 ) 的一侧，从而x0 不会是拐点。矛盾。证 毕。
对 x、y (0, ) 且 x y , 有 1 x y ( f ( x ) f ( y )) f ( ), 2 2 即所证不等式成立。 证毕。
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六、小结
函数的单调性的可以由导数的符号确定；
利用函数的单调性可以确定某些方程实根的个数
和证明不等式;
曲线的弯曲方向——凹凸性;
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x 定义 设 f ( x ) C I 。若 对 x1、 2 I , x1 x2 , x1 x2 f ( x1 ) f ( x2 ) 恒有 f( ) , 2 2 那 么 称 函 数 f ( x ) 在 I 上 是凹 的，同 时 称 曲 线 f ( x ) y 在 I 上 是凹 的 或凹 弧 ; （ ）
个点处 f(x)=0之外，其余点处恒有f(x)>0”，会有什么结果？
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二、单调性的判定步骤
1.
2.
在 f 的定义域上求 f 的零点及 f 不存在的点；
用 f 的零点及 f 不存在的点将 f 的定义区间划
分为子区间；
3.
根据 f 在各子区间内的符号及 f 在各子区间端
点处的连续性确定 f 的单调性。
1 2 x 2 x sin , x 0 x 例 f ( x) 0, x0 1 f (0) lim (1 2 x sin ) 1 0 x 0 x 1 1 但 f ( x ) 1 4 x sin 2 cos , x 0 x x 1 当 x 1 时， ( 2 k ) 2

*定理5（拐点的第二充分条件）
设f ( x0 ) 0 且f ( x0 ) 0 x0 为 f ( x ) 的拐点。
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*定理5（拐点的第二充分条件）
设f ( x0 ) 0 且f ( x0 ) 0 x0 为 f ( x ) 的拐点。
*证 f ( x ) f ( x0 ) f ( x0 ) ( x x0 ) o( x x0 )
同样方式定义 凸函数 凸曲线 与 。
若 f ( x ) 在 x0连 续 ， 在 x0的 两 侧 其 凹 凸 性 发 生 转 换 ， 则 称x0为函 数 f ( x ) 的 拐 点， （x0 , f ( x0 ))为 曲 线 y f ( x )的 拐 点 。
拐点是函数的局部性质。
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四、二阶导数符号与凹凸性
( x 2 ) 2 x ,
零点为0 。
将 f 的符号与 f 的单调性列表如下： x 0 (0, 1) (1, +) (-, 0)
f f
上单调增。
-
0 连续
+
+
f 在 ( , 0] 上单调减；在 1)上单调增；在 1, ) [0, (
问： 在 [0, )上单调增？ f