高中数学人教A版必修一 1.3.1 单调性与最大(小)值 第1课时 教案 (1)

1.3函数的基本性质1．3.1 单调性与最大(小)值第1课时函数的单调性●三维目标1．知识与技能(1)使学生从形与数两方面理解函数单调性的概念；(2)初步掌握利用函数图象和单调性定义判断、证明函数单调性的方法．2．过程与方法(1)培养从概念出发，进一步研究其性质的意识及能力；(2)感悟数形结合、分类讨论的数学思想．3．情感、态度与价值观领会用运动的观点去观察分析事物的方法，培养学生细心观察、认真分析、严谨论证的良好思维习惯；由合适的例子引发学生探求数学知识的欲望，突出学生的主观能动性，激发学生学习的兴趣．●重点难点重点：函数单调性的概念，判断并证明函数的单调性．难点：根据定义证明函数的单调性和利用函数图象证明单调性．(1)重点的突破：以学生们熟悉的函数(一次函数、二次函数)为切入点，从直观入手，顺应学生的认知规律，让学生对图象的上升和下降有一个初步感性认识，在此基础上，教师通过启发式提问，层层分解函数单调性的定义中所涉及到的关键词(如：区间内，任意，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)等)，必要时教师借助多媒体，以动态的过程演示变量同函数值的变化关系，以帮助学生实现从“图形语言”⇒“文字语言”⇒“符号语言”多角度认识函数的单调性的过程，顺利完成“形”到“数”的转换，最终师生共同总结出单调增函数的定义；(2)难点的解决：首先让学生明确用函数图象判断函数单调性是最直观的一种方式，在此基础上通过实例提出问题：函数图象不能作出时，应如何处理函数单调性，通过分组讨论，让学生明确用数量大小关系严格表述函数单调性的必要性，从而将函数的单调性研究，从研究函数图象过渡到研究函数的解析式．最后师生共同总结利用定义证明函数单调性的基本步骤：设值，作差，变形，断号，定论．如图，观察函数y＝x2的图象，回答下列问题：1．当x>0时，函数值y随自变量x的增大而发生什么变化？【提示】增大．2．如果在y轴右侧部分任取两点(x1，y1)，(x2，y2)，当x1<x2时，y1，y2的大小关系如何？是不是在定义域内任取两个点都有这个规律呢？【提示】y1<y2.并非在定义域内任取两个点都有这个规律．如－4<1，但(－4)2>12.3．如何用数学符号语言来描述y 轴右侧的图象变化规律？【提示】 在区间(0，＋∞)上，任取两个x 1，x 2，得到f (x 1)＝x 21，f (x 2)＝x 22，当x 1<x 2时，有f (x 1)<f (x 2)．y ＝f (x )在这一区间具有(严格的)单调性，区间D 叫做y ＝f (x )的单调区间．数．(1)y ＝3x －2；(2)y ＝－1x；(3)y ＝－x 2＋2x ＋3.【思路探究】 画出函数的草图―→结合图象“升降” 给出单调区间 【自主解答】 (1)函数y ＝3x －2的单调区间为R ，其在R 上是增函数． (2)函数y ＝－1x的单调区间为(－∞，0)，(0，＋∞)，其在(－∞，0)及(0，＋∞)上均为增函数．(3)函数y ＝－x 2＋2x ＋3的对称轴为x ＝1，并且开口向下，其单调增区间为(－∞，1]，单调减区间为(1，＋∞)，其在(－∞，1]上是增函数，在(1，＋∞)上是减函数．1．本题中求函数单调区间的方法是图象法，除这种方法外，求单调区间时还可以使用定义法，也就是由增、减函数的定义求单调区间．求出单调区间后，若单调区间不唯一，中间用“，”隔开，如本题第(2)小题．2．一、二次函数及反比例函数的单调性：(1)一次函数y ＝kx ＋b 的单调性由参数k 决定：当k ＞0时，该函数在R 上是增函数；当k ＜0时，该函数在R 上为减函数．(2)反比例函数y ＝kx (k ≠0)的单调性如下表所示：(3)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的单调性以对称轴方程x ＝－2a为分界线．如图1－3－1是定义在区间[－4,7]上的函数y ＝f (x )的图象，则函数f (x )的单调增区间是________，单调减区间是________．图1－3－1【解析】 由图可知，函数y ＝f (x )的图象在[－4，－1.5]及[3,5)，[6,7]上具有下降趋势．在[－1.5,3]及[5,6)上具有上升趋势，故函数f (x )的单调增区间是[－1.5,3]及[5,6)；单调减区间是[－4，－1.5)，[3,5)及[6,7]．【答案】 [－1.5,3)，[5,6) [－4，－1.5)，[3,5)，[6,7]判断函数f (x )＝x ＋x在x ∈[3，＋∞)上的单调性并用定义证明．【思路探究】 取值→作差→变形→判号→定论 【自主解答】 函数f (x )＝x ＋9x在[3，＋∞)上是增函数．任取x 1，x 2∈[3，＋∞)，且x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1＋9x 1－x 2－9x 2＝x 1－x 2 x 1x 2－9x 1x 2又x 1<x 2，∴x 1－x 2<0，又x 1，x 2∈[3，＋∞)，∴x 1x 2－9>0， ∴f (x 1)－f (x 2)<0，∴f (x 1)<f (x 2)． 即f (x )＝x ＋9x在[3，＋∞]上为增函数．1．定义法判断函数单调性的四个步骤2．除定义法外，在判断或证明函数的单调性时还经常运用图象法．就是作出函数图象，由图象上升或下降，判断出单调性．判断函数f (x )＝x ＋9x在(0,3)上的单调性．【解】 任取x 1，x 2∈(0,3)，且x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1＋9x 1－x 2－9x 2＝ x 1－x 2 x 1x 2－9x 1x 2.又∵0<x 1<x 2<3，∴x 1－x 2<0，x 1x 2－9<0，∴f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)．∴f (x )＝x ＋9x在(0,3)上为减函数．已知函数()＝－4－8在[5,20]上是单调函数，求实数k 的取值范围．【思路探究】 首先对二次项系数k 是否为零进行分类讨论，然后利用数形结合思想方法进行解答．【自主解答】 当k ＝0时，f (x )＝－4x －8，其在[5,20]上是单调减函数， 所以k ＝0符合题意．当k ≠0时函数f (x )＝kx 2－4x －8对称轴为x ＝2k，有两种情况：①k >0时，要使f (x )在[5,20]上单调，必有5≥2k 或20≤2k ，即k ≥25或0<k ≤110.②k <0时2k<0，显然[5,20]在对称轴右侧是单调减区间，所以k <0成立．综上可知，实数k 的取值范围是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫k⎪⎪⎪k ≤110或k ≥25由函数的单调性求参数取值范围的两种方法 (1)利用单调性的定义例如，由f (x 1)>f (x 2)结合单调性，转化为x 1与x 2的大小关系． (2)利用函数的特征例如，二次函数单调区间被对称轴一分为二，根据对称轴相对于所给单调区间的位置求参数的取值范围．已知函数f (x )是定义在R 上的增函数，且f (4a －3)>f (5＋6a )，则实数a 的取值范围是________．【解析】 由题意得，4a －3>5＋6a ，即a <－4. 【答案】 (－∞，－4)因混淆“单调区间”和“区间上单调”两个概念致误若函数f (x )＝x 2＋2(a －1)x ＋4的单调递减区间是(－∞，4]，则实数a 的取值范围是________．【错解】 函数f (x )的图象的对称轴为直线x ＝1－a ，由于函数在区间(－∞，4]上单调递减，因此1－a ≥4，即a ≤－3.【错因分析】 错解中把单调区间误认为是在区间上单调．【防范措施】 单调区间是一个整体概念，比如说函数的单调递减区间是I ，指的是函数递减的最大范围为区间I.而函数在某一区间上单调，则指此区间是相应单调区间的子集．所以我们在解决函数的单调性问题时，一定要仔细读题，明确条件含义．【正解】因为函数的单调递减区间为(－∞，4]，且函数图象的对称轴为直线x＝1－a，所以有1－a＝4，即a＝－3.【答案】a＝－31．定义单调性时应强调x1，x2，在其定义域内的任意性，其本质是把区间上无限多个函数值的大小比较转化为两个任意值的大小比较．2．证明函数的单调性(利用定义)一定要严格遵循设元、作差、变形、判号、定论的步骤，特别在变形上，一定要注意因式分解、配方等技巧的运用，直到符号判定水到渠成才可．3．已知函数单调性求参数的范围时，要树立两种意识：一是等价转化意识：如f(x)在D上递增，则f(x1)<f(x2)⇔x1<x2.二是数形结合意识：如处理一(二)次函数及反比例函数中的含参数的范围问题．图1－3－21．函数f (x )的图象如图1－3－2所示，则( ) A ．函数f (x )在[－1,2]上是增函数 B ．函数f (x )在[－1,2]上是减函数 C ．函数f (x )在[－1,4]上是减函数 D ．函数f (x )在[2,4]上是增函数【解析】 结合图象可知函数f (x )在[－1,2]上是“上升”的，故A 正确． 【答案】 A2．函数y ＝－x 2＋2x －2的单调递减区间是( ) A ．(－∞，1] B ．[1，＋∞) C ．(－∞，2]D ．[2，＋∞)【解析】 ∵函数y ＝－x 2＋2x －2的开口向下，且对称轴为x ＝1， ∴函数y ＝－x 2＋2x －2的单调递减区间是[1，＋∞)． 【答案】 B3．若函数y ＝－bx在(0，＋∞)上是减函数，则实数b 的取值范围是________．【解析】 由反比例函数的单调性知，－b >0，∴b <0. 【答案】 (－∞，0)4．判断函数f (x )＝x 2－2在(0，＋∞)上的单调性，并证明． 【解】 任取x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1<x 2，f (x 1)－f (x 2)＝x 21－2－(x 22－2)＝(x 1－x 2)(x 1＋x 2)因为x 1，x 2∈(0，＋∞)，所以x 1＋x 2>0. 又因为x 1<x 2，所以x 1－x 2<0，所以(x 1－x 2)(x 1＋x 2)<0，所以f (x 1)<f (x 2)， 即函数f (x )＝x 2－2在(0，＋∞)上单调递增.一、选择题1．函数y ＝(k ＋2)x ＋1在(－∞，＋∞)上是增函数，则k 的范围是( ) A ．{k |k ≥－2} B ．{k |k ≤－2} C ．{k |k <－2}D ．{k |k >－2}【解析】 由题意结合一次函数的图象可知k ＋2>0，即k >－2. 【答案】 D2．关于函数y ＝－5x的单调性的叙述正确的是( )A ．在(－∞，0)上是递增的，在(0，＋∞)上是递减的B ．在(－∞，0)∪(0，＋∞)上是递增的C ．在[0，＋∞)上是递增的D ．在(－∞，0)和(0，＋∞)上都是递增的【解析】结合函数y ＝－5x的图象可知，其在(－∞，0)和(0，＋∞)上都是递增的．【答案】 D3．下列函数中，在区间(0，＋∞)上是增函数的是( ) A ．y ＝－x 2B ．y ＝x 2－2C ．y ＝－2x ＋1D ．y ＝1x【解析】 结合A 、B 、C 、D 四个选项所对应函数的图象可知，B 正确． 【答案】 B4．若函数f (x )在(－∞，＋∞)上为减函数，则( ) A ．f (a )>f (2a ) B ．f (a 2)<f (a ) C ．f (a 2－1)<f (a )D ．f (a 2＋1)<f (a )【解析】 ∵a 2＋1－a ＝⎝⎛⎭⎪⎫a －122＋34>0，∴a 2＋1>a .∴f (a 2＋1)<f (a )．【答案】 D5．(2014·芜湖高一检测)已知函数f (x )＝x 2＋2ax ＋2在[－5,5]上单调，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－5]B ．[5，＋∞)C ．[－5,5]D ．(－∞，－5]∪[5，＋∞)【解析】 函数f (x )＝x 2＋2ax ＋2的对称轴是x ＝－a ，由函数f (x )在[－5,5]上单调，所以－a ≤－5或－a ≥5从而a ≤－5或a ≥5，即实数a 的取值范围是(－∞，－5]∪[5，＋∞)．【答案】 D 二、填空题6．若函数f (x )是[－2,2]上的减函数，则f (－1)________f (2)．(填“＞”，“＜”，“＝”)【解析】 ∵f (x )在[－2,2]上是减函数，且－1＜2，∴f (－1)＞f (2)． 【答案】 ＞7．函数y ＝|x ＋2|的单调递增区间为________．【解析】 y ＝|x ＋2|＝⎩⎪⎨⎪⎧－x －2，x <－2x ＋2，x ≥－2，图象如右图．故函数的单调递增区间为[－2，＋∞)． 【答案】 [－2，＋∞)8．函数f (x )＝2x 2－mx ＋3，当x ∈[－2，＋∞)时是增函数，当x ∈(－∞，－2]时是减函数，则f (1)＝________.【解析】 ∵函数f (x )在(－∞，－2]上是减函数，在[－2，＋∞)上是增函数，∴x ＝－b 2a ＝m4＝－2，∴m ＝－8，故f (x )＝2x 2＋8x ＋3，∴f (1)＝13.【答案】 13 三、解答题9．(2014·济宁高一检测)求证函数f (x )＝1x2在(0，＋∞)上是减函数【证明】 对于任意的x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1<x 2， 有f (x 1)－f (x 2)＝ x 2－x 1 x 2＋x 1x 21x 22. ∵0<x 1<x 2，∴x 2－x 1>0，x 2＋x 1>0，x 21x 22>0，∴f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)， ∴函数f (x )＝1x2在(0，＋∞)上是减函数．10．已知函数f (x )的定义域为[－2,2]，且f (x )在区间[－2,2]上是增函数，f (1－m )＜f (m )，求实数m 的取值范围．【解】 因为f (x )在区间[－2,2]上单调递增，所以当－2≤x 1＜x 2≤2时，总有f (x 1)＜f (x 2)成立；反之也成立，即若f (x 1)＜f (x 2)，则－2≤x 1＜x 2≤2.因为f (1－m )＜f (m )， 所以⎩⎪⎨⎪⎧－2≤m ≤2－2≤1－m ≤21－m ＜m ，解得12＜m ≤2.∴实数m 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2.11．画出函数y ＝－x 2＋2|x |＋3的图象，并指出该函数的单调区间．【解】 x ≥0时，y ＝－x 2＋2x ＋3；x <0时，y ＝－x 2－2x ＋3. ∴y ＝{ －x 2＋2x ＋3，x ≥0 －x 2－2x ＋3，x <0画出该函数的图象如图所示，由图象知，该函数的单调递增区间是(－∞，－1]，(0,1]；单调递减区间是(－1,0]，(1，＋∞).。