2.3.1 等比数列的概念苏教版优秀版本
高中数学(苏教版必修5)2.3.1等比数列的概念(一)2.3.2等比数列的通项公式(一)
§2.3 等比数列2.3.1 等比数列的概念(一)2.3.2 等比数列的通项公式(一)一、基础过关1.在等比数列{a n }中,a 1=1,公比|q |≠1.若a m =a 1a 2a 3a 4a 5,则m =________.2.已知a ,b ,c ,d 成等比数列,且曲线y =x 2-2x +3的顶点是(b ,c ),则ad =________.3.已知等比数列{a n }的前三项依次为a -1,a +1,a +4,则a n =________.4.如果-1,a ,b ,c ,-9成等比数列,那么b =________.5.一个数分别加上20,50,100后得到的三个数成等比数列,其公比为________.6.若a ,b ,c 成等比数列,m 是a ,b 的等差中项,n 是b ,c 的等差中项,则a m +c n=________. 7.已知等比数列{a n },若a 1+a 2+a 3=7,a 1a 2a 3=8,求a n .8.在四个正数中,前三个成等差数列,和为48,后三个成等比数列,积为8 000,求这四个数.二、能力提升9.若数列{a n }满足a n +1=⎩⎨⎧2a n (n 为奇数)2a n +1(n 为偶数),若a 1=1,则a 19=________. 10.若正项等比数列{a n }的公比q ≠1,且a 3,a 5,a 6成等差数列,则a 3+a 5a 4+a 6=________. 11.设{a n }是公比为q 的等比数列,|q |>1,令b n =a n +1(n =1,2,…),若数列{b n }有连续四项在集合{-53,-23,19,37,82}中,则6q =________.12.已知(b -c )log m x +(c -a )log m y +(a -b )log m z =0.(1)若a ,b ,c 依次成等差数列且公差不为0,求证:x ,y ,z 成等比数列;(2)若正数x ,y ,z 依次成等比数列且公比不为1,求证:a ,b ,c 成等差数列.三、探究与拓展13.互不相等的三个数之积为-8,这三个数适当排列后可成为等比数列,也可排成等差数列,求这三个数排成的等差数列.答案 1.11 2.2 3.4·(32)n -1 4.-3 5.536.2 7.解 方法一 ∵a 1a 3=a 22,∴a 1a 2a 3=a 32=8,∴a 2=2.从而⎩⎪⎨⎪⎧a 1+a 3=5a 1a 3=4,解得a 1=1,a 3=4或a 1=4,a 3=1. 当a 1=1时,q =2;当a 1=4时,q =12. 故a n =2n -1或a n =23-n . 方法二 由等比数列的定义知a 2=a 1q ,a 3=a 1q 2代入已知得,⎩⎪⎨⎪⎧a 1+a 1q +a 1q 2=7a 1·a 1q ·a 1q 2=8,即⎩⎪⎨⎪⎧ a 1(1+q +q 2)=7,a 31q 3=8, 即⎩⎪⎨⎪⎧a 1(1+q +q 2)=7, ①a 1q =2, ② 将a 1=2q代入①得2q 2-5q +2=0, ∴q =2或q =12, 由②得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1=1q =2或⎩⎪⎨⎪⎧ a 1=4,q =12.∴a n =2n -1或a n =23-n . 8.解 设前三个数分别为a -d ,a ,a +d ,则有a -d +a +a +d =48,即a =16.设后三个数分别为b q,b ,bq ,则有 b q·b ·bq =b 3=8 000,即b =20, ∴这四个数分别为m,16,20,n ,∴m =2×16-20=12,n =20216=25. 即所求的四个数分别为12,16,20,25.9.1 023 10.5-1211.-9 12.证明 (1)∵a ,b ,c 成等差数列且d ≠0,∴b -c =a -b =-d ,c -a =2d ,∴(b -c )log m x +(c -a )log m y +(a -b )·log m z=2d log m y -d log m x -d log m z=d (2log m y -log m x -log m z )=d log m (y 2xz)=0. ∵d ≠0,∴log m y 2xz =0,∴y 2xz=1. ∴y 2=xz ,即x ,y ,z 成等比数列.(2)∵x ,y ,z 成等比数列,且公比q ≠1,∴y =xq ,z =xq 2,∴(b -c )log m x +(c -a )log m y +(a -b )·log m z=(b -c )log m x +(c -a )log m (xq )+(a -b )log m (xq 2)=(b -c )log m x +(c -a )log m x +(c -a )·log m q +(a -b )log m x +2(a -b )log m q =(c -a )log m q +2(a -b )log m q=(a +c -2b )log m q =0,∵q ≠1,∴log m q ≠0,∴a +c -2b =0,即a ,b ,c 成等差数列.13.解 设三个数为a q,a ,aq , ∴a 3=-8,即a =-2,∴三个数为-2q,-2,-2q . (1)若-2为-2q 和-2q 的等差中项,则2q+2q =4, ∴q 2-2q +1=0,q =1,与已知矛盾;(2)若-2q 为-2q 与-2的等差中项,则1q+1=2q , 2q 2-q -1=0,q =-12或q =1(舍去), ∴三个数为4,1,-2;(3)若-2q 为-2q 与-2的等差中项,则q +1=2q,∴q 2+q -2=0, ∴q =-2或q =1(舍去),∴三个数为4,1,-2.综合(1)(2)(3)可知,这三个数排成的等差数列为4,1,-2或-2,1,4.。
高中数学 第2章 数列 2.3.1 等比数列的概念课件 苏教
求这四个数.
解:设这四个数依次为 a-d,a,a+d,(������+������������)2,
由条件得
������-������
+
(������+������)2 ������
=
16,
������ + (������ + ������) = 12.
解得:
������ ������
= =
4, 4
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2.等比中项 若a,G,b成等比数列,则称G为a和b的等比中项,即G2=ab.等比数列 中,除首项与末项之外的任何一项是它的前一项与后一项的等比中 项,即 ���������2��� =an-1an+1. 预习交流2 若G2=ab,则a,G,b一定成等比数列吗? 提示:不一定.若G=0,且a,b中至少有一个为0时,构不成等比数列, 只有a,G,b全不为0时才构成等比数列.
三
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2.已知数列{an}满足a1=1,an+1=2an+1.证明数列{an+1}是等比数 列.
证明:因为an+1=2an+1, 所以an+1+1=2(an+1). 由a1=1,知a1+1≠0,从而an+1≠0. 所所以以数������������������+���列���+1+{11a=n+21(n}∈是N等*比). 数列.
其中正确的结论是
(填序号).
提示:(1)1 2 (2)±1 (3)③④
一
二
三
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2018-2019学年高二数学苏教版必修5学案:2.3.1 等比数列的概念
2.3.1 等比数列的概念明目标、知重点 1.理解等比数列的定义,会用定义判断一个数列是否为等比数列.2.能利用等比数列的定义求等比数列中的某一项.3.理解等比中项的概念,并能利用等比中项的概念判断一个数列是否为等比数列.1.等比数列的概念一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比都等于同一个常数,那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比,公比通常用字母q 表示. 2.等比中项的概念若a 、G 、b 成等比数列,则称G 为a 和b 的等比中项,且G =±ab .[情境导学]在前面我们学习了等差数列,其特点是从第2项起,每一项与它前一项的差等于同一个常数,在生活中也常见从第2项起,每一项与它前一项的比等于同一个常数的数列,本节我们就来研究这类数列.探究点一 等比数列的概念思考1 阅读教材45页中的三个实例,请同学们写出这3个实例中对应的3个数列,与等差数列相比,所得3个数列有什么共同特点? 答 这3个数列分别为(1)10,10×12,10×⎝⎛⎭⎫122,10×⎝⎛⎭⎫123,…. (2)36,36×0.9,36×0.92,36×0.93,….(3)10000×1.05,10000×1.052,…,10000×1.055.它们的特点为从第2项起,每一项与它的前一项的比都等于同一个常数. 思考2 结合等差数列的定义,如何给等比数列下一个准确定义?答 一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比都等于同一个常数,那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比,公比通常用字母q 表示. 思考3 我们在使用等比数列定义时,往往需要符号化、等式化.如何用符号语言简捷地表示它?答 a na n -1=q (n >1,q ≠0).例1 判断下列数列是否为等比数列: (1)1,1,1,1,1;(2)0,1,2,4,8;(3)1,-12,14,-18,116.解 (1)所给数列是首项为1,公比为1的等比数列. (2)因为0不能作除数,所以这个数列不是等比数列.(3)所给数列是首项为1,公比为-12的等比数列.反思与感悟 判断一个数列是否为等比数列的依据是等比数列的定义,由定义可知:一个数列中如果有一项为0,则此数列不是等比数列,等比数列的公比也不为0. 跟踪训练1 下列所给数列中,是等比数列的为________. ①1,2,4,8,…;②2-3,-1,2+3,…; ③1,3,9,27,81,… 答案 ①②③解析 对于①数列1,2,4,8,….显然符合等比数列的定义,所以是等比数列;对于②由于-12-3=-12-3=-2+3(2-3)(2+3)=2+3-1,所以②是等比数列;对于③明显能看出是等比数列,公比为3.例2 求出下列等比数列中的未知项: (1)2,a,8; (2)-4,b ,c ,12;(3)d,3,27.解 (1)根据题意,得a 2=8a ,所以a =4或a =-4.(2)根据题意,得⎩⎪⎨⎪⎧b -4=c b,12c =c b ,解得⎩⎪⎨⎪⎧b =2,c =-1.(3)根据题意,得3d =273,所以d =13.反思与感悟 解决本类型题的方法,依据等比数列的定义,列出关于未知数的方程或方程组,解方程得出结果.跟踪训练2 已知下列数列是等比数列,试在括号内填上适当的数: (1)( ),12,36; (2)3,( ),5;(3)1,( ),( ),818.答案 (1)4 (2)±15 (3)332 274解析 (1)设所填的数为a ,由等比数列的定义,得12a =3612,所以a =4.(2)设所填的数为b ,由等比数列的定义,得b 3=5b ,所以b =±15.(3)设所填的数为x ,y ,由等比数列的定义,得⎩⎪⎨⎪⎧x 1=yx,818y =y x ,解得⎩⎨⎧x =332,y =274.探究点二 等比中项思考1 请你类比等差中项的概念,给出等比中项的概念. 答 若a 、G 、b 成等比数列,则称G 为a 和b 的等比中项.例3 (1)在等比数列{a n }中,是否有a 2n =a n -1a n +1(n ≥2)?(2)如果数列{a n }中,对于任意的正整数n (n ≥2),都有a 2n =a n -1a n +1,那么,{a n }一定是等比数列吗?解 (1)因为{a n }是等比数列,所以a n +1a n =a na n -1,即a 2n =a n -1a n +1(n ≥2)成立. (2)不一定.例如对于数列0,0,0,…,总有a 2n =a n -1a n +1,但这个数列不是等比数列.只有当数列{a n }中各项都是非0时,a 2n =a n -1a n +1⇔a n +1a n =a na n +1,所以才有数列{a n }是等比数列. 反思与感悟 当一个数列{a n }中的各项都不为0时,若a 2n =a n -1a n +1,则数列{a n }是等比数列. 跟踪训练3 已知等比数列{a n }中,a 2a 3a 4=64,a 3+a 6=36,求a 1与a 5的等比中项. 解 ∵{a n }是等比数列,∴a 3是a 2与a 1的等比中项,因此a 23=a 2a 4.可得a 33=64,于是a 3=4.又a 3+a 6=36,所以a 6=32.若设公比为q ,则⎩⎪⎨⎪⎧ a 1q 2=4,a 1q 5=32,解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1=1,q =2.于是a 5=a 1q 4=16.设a 1与a 5的等比中项为G ,则G 2=16, 故G =±4.即a 1与a 5的等比中项为±4.1.在等比数列{a n }中,a 1=8,a 4=64,则a 3=________. 答案 32解析 由a 4=a 1q 3,得q 3=8,即q =2,所以a 3=a 4q=32.2.已知等比数列{a n }满足a 1+a 2=3,a 2+a 3=6,则a 7=________. 答案 64解析 ∵{a n }为等比数列,∴a 2+a 3a 1+a 2=q =2.又a 1+a 2=3,∴a 1=1.故a 7=1·26=64. 3.45和80的等比中项为________. 答案 -60或60解析 设45和80的等比中项为G ,则 G 2=45×80,∴G =±60.4.已知{a n }为等比数列,a 3=2,a 2+a 4=203,求{a n }的首项a 1和公比q .解 设等比数列{a n }的公比为q ,则q ≠0.a 2=a 3q =2q ,a 4=a 3q =2q ,∴2q +2q =203.解得q 1=13,q 2=3. 当q =13时,a 1=18.当q =3时,a 1=29.[呈重点、现规律]1.等比数列的判断或证明(1)利用定义:a n +1a n=q (与n 无关的常数).(2)利用等比中项:a 2n +1=a n a n +2(n ∈N *,a n ≠0).2.两个同号的实数a 、b 才有等比中项,而且它们的等比中项有两个(±ab ),而不是一个ab ,这是容易忽视的地方.一、基础过关1.在等比数列{a n }中,a 4=4,则a 2·a 6=________. 答案 16解析 由于a 24=a 2·a 6,所以a 2·a 6=16. 2.在等比数列{a n }中,a n >0,且a 1+a 2=1,a 3+a 4=9,则a 4+a 5=________. 答案 27解析 由于a 1+a 2=1,a 3+a 4=9,∴q 2=9. ∴q =3(q =-3舍去),∴a 4+a 5=(a 3+a 4)q =27. 3.等比数列x,3x +3,6x +6,…的第4项等于________. 答案 -24解析 由x,3x +3,6x +6成等比数列得, (3x +3)2=x (6x +6).解得x 1=-3或x 2=-1(不合题意,舍去). 故数列的第四项为-24.4.如果-1,a ,b ,c ,-9成等比数列,那么b =________,ac =________. 答案 -3 9解析 ∵b 2=(-1)×(-9)=9且b 与首项-1同号, ∴b =-3,且a ,c 必同号. ∴ac =b 2=9.5.在等比数列{a n }中,a 3=3,a 5=384,则公比q =________. 答案 8 2解析 因为a 5=a 3q 2=384,q 2=128,所以q =8 2.6.在160与5中间插入4个数,使它们同这两个数成等比数列,则这4个数依次为________. 答案 80,40,20,10解析 设这6个数所成等比数列的公比为q ,则5=160q 5,∴q 5=132,∴q =12.∴这4个数依次为80,40,20,10.7.设数列{a n }是等差数列,b n =⎝⎛⎭⎫12a n ,已知b 1+b 2+b 3=218,b 1·b 2·b 3=18,求数列{a n }的通项公式.解 设数列{a n }的公差为d ,则b n +1b n =⎝⎛⎭⎫12d.∵⎝⎛⎭⎫12d 为非零常数, ∴数列{b n }是等比数列,设公比为q .∵b 1+b 2+b 3=218,b 1·b 2·b 3=18,∴⎩⎨⎧b 2q +b 2+b 2q =218,b 32=18.解得b 2=12,q =14或q =4.当q =4时,b 1=18,b n =b 1·q n -1=18×4n -1=⎝⎛⎭⎫125-2n . 又b n =⎝⎛⎭⎫12a n ,∴a n =5-2n .当q =14时,b 1=2,b n =⎝⎛⎭⎫122n -3. 又b n =⎝⎛⎭⎫12a n ,∴a n =2n -3.综上可知a n =5-2n 或a n =2n -3. 二、能力提升8.一个数分别加上20,50,100后得到的三个数成等比数列,其公比为________.答案 53解析 设这个数为x , 则(50+x )2=(20+x )·(100+x ), 解得x =25,∴这三个数为45,75,125,公比q 为7545=53.9.若a ,b ,c 成等比数列,m 是a ,b 的等差中项,n 是b ,c 的等差中项,则a m +cn =________.答案 2解析 设等比数列公比为q .由题意知:m =a +b 2,n =b +c2,则a m +c n =2a a +b +2c b +c =21+q +2q 1+q=2. 10.已知6,a ,b,48成等差数列,6,c ,d,48成等比数列,则a +b +c +d =________. -答案 90解析 6,a ,b,48成等差数列,则a +b =6+48=54;6,c ,d,48成等比数列,则q 3=486=8,q =2,故c =12,d =24从而a +b +c +d =90.11.在四个正数中,前三个成等差数列,和为48,后三个成等比数列,积为8000,求这四个数.解 设前三个数分别为a -d ,a ,a +d ,则有 (a -d )+a +(a +d )=48,即a =16.设后三个数分别为bq,b ,bq ,则有b q·b ·bq =b 3=8000,即b =20, ∴这四个数分别为m,16,20,n ,∴m =2×16-20=12,n =20216=25.即所求的四个数分别为12,16,20,25.12.有四个数,其中前三个数成等差数列,后三个数成等比数列,并且第一个数与第四个数的和是16,第二个数与第三个数的和是12,求这四个数.解 方法一 设四个数依次为a -d ,a ,a +d ,(a +d )2a ,由条件得⎩⎪⎨⎪⎧a -d +(a +d )2a =16,a +a +d =12.解得错误!或错误!所以,当a =4,d =4时,所求四个数为0,4,8,16; 当a =9,d =-6时,所求四个数为15,9,3,1.故所求四个数为0,4,8,16或15,9,3,1.方法二 设四个数依次为2a q -a ,aq,a ,aq (q ≠0),由条件得⎩⎨⎧2aq -a +aq =16a q+a =12,解得⎩⎪⎨⎪⎧a =8q =2或⎩⎪⎨⎪⎧a =3q =13.当a =8,q =2时,所求四个数为0,4,8,16;当a =3,q =13时,所求四个数为15,9,3,1.故所求四个数为0,4,8,16或15,9,3,1. 三、探究与拓展13.已知数列{a n }满足a 1=1,a n +1=2a n +1, (1)求证:数列{a n +1}是等比数列; (2)求a 2和a 3的值.(1)证明 方法一 ∵a n +1=2a n +1, ∴a n +1+1=2(a n +1), ∴a n +1+1a n +1=2,且a 1+1=2. ∴{a n +1}是以2为首项,2为公比的等比数列.方法二 ∵a n +1+1a n +1=2a n +1+1a n +1=2(a n +1)a n +1=2(n ∈N *),∴数列{a n+1}是等比数列.(2)解由(1)知{a n+1}是等比数列.公比为2,首项为a1+1=2. ∴a2+1=(a1+1)q=(1+1)×2=4,a2=3;a3+1=(a2+1)q=(3+1)×2=8,a3=7.。
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等比数列江苏省泗洪中学穆婷婷一、教学内容解析本节课是江苏普通高中课程标准教科书必修5第二章《等比数列》的第一课时.等比数列是反映自然规律的重要数学模型之一,与等差数列一样在现实生活中有广泛的应用;同时,等比数列作为一种特殊的函数,与指数函数、方程等数学知识也有横向联系。
通过分析必修五第二章的章节结构可知,第四节等比数列与已经学过的等差数列之间存在着很多类似的地方,可将研究等差数列定义、通项公式的方法迁移到等比数列的学习中,这一思想方法可在教学中体现出来。
同时也应该关注等比数列和等差数列的不同,避免学生在学习过程中将两者混淆。
二、教学目标设置教学目标1 通过实例让学生认识到数列的等比关系,并归纳出等比数列的定义;2 通过类比等差数列,探究等比数列的证明方法;3 运用类比和归纳推理,提高学生分析问题和解决问题的能力。
教学重点理解等比数列的定义教学难点理解并掌握等比数列的证明方法三、教学方法问题式教学法、启发式教学法、三动式教学法、类比探究式学习法。
(1)问题式教学法整个教学过程以“问题串”的形式贯穿始终,使学生一环扣一环,在有效问题的驱动下进行积极地思考,探究,类比,讨论,学习知识。
(2)发现式教学法:新课程倡导:强调过程,强调学生探索新知识的经历和获得新知的体验,不能再让教学脱离学生的内心感受,必须让学生有追求过程的体验.在教学中,给提供学生自主探索的空间和余地,让学生充分体验数学知识的形成过程,让学生经历观察、分析、猜想、抽象、概括、归纳、类比等发现和探索的过程,把人类已发现的“现成的数学”在教师的指导下变为学生亲自“发现”的结论,也就是学生自己“做出来的数学”。
这种亲身体验和经历的过程,如同是重新经历数学的发现过程,也就是学生的“再发现”过程,可以启迪学生发现问题,再创造的解决问题,为以后适应社会发展,解决面临的新问题、新情况做好基础的铺垫。
(3)三动式教学法这个三动式教学法具体是指师生互动、生生互动、落实行动。
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《等比数列》教学设计一、教材分析:1、内容简析:本节主要内容是等比数列的概念及通项公式,它是继等差数列后有一个特殊数列,是研究数列的重要载体,与实际生活有密切的联系,如汽车折旧,银行福利问题等都要用等比数列的知识来解决,在研究过程中体现了由特殊到一般的数学思想、函数思想和方程思想,在高考中占有重要地位2、教学目标确定:从知识结构来看,本节核心内容是等比数列的概念,可从等比数列的“等比”的特点入手,结合具体的例子来学习等比数列的概念,同时,还要注意“比”的特性。
从而可以确定如下教学目标:理解等比数列的概念,掌握等比数列的通项公式及其推导;能运用等比数列通项公式解决相关问题;掌握等比中项的定义并能进行相关运算3、教学重、难点:【重点】等比数列和等差中项的概念;【难点】等比数列“等比”特征的理解、把握和应用4教学手段:多媒体辅助教学5教学方法:启发式和讨论式相结合,类比教学二、教学过程设计1、温故知新(1)等差数列定义:)(1为常数ddaann=--(2)等差数列的通项公式那么,还有像等差数列这样前项与后项的关系特殊的数列吗?师生互动:多媒体展示问题,学生回答,教师补充(设计意图:复习就知识,为新知识的学习做准备)2、引入概念举出几个关于等比数列的实际例子,让学生归纳总结出其特点,从而引入等比数列的定义情境一:《庄子·天下篇》中写到:“一尺之棰,日取其半,万世不竭”。
现代语言“一尺长的木棒,每日取其一半,永远也取不完。
”我们把“一尺之锤”看做单位“1”,那么可以得到:1,21 , 41, 81… 情境二:某轿车的售价约36万元,年折旧率约为10%(就是说这辆车每年减少它的价值的10%),那么该车从购买当年算起,逐年的价值依次为:2336,360.9,360.9,360.9,⨯⨯⨯情境三:某人年初投资10000,如果年收益率是005,那么按照复利,5年内各年末的本利和依次为:234510000 1.05,10000 1.05,10000 1.05,10000 1.05,10000 1.05⨯⨯⨯⨯⨯师:类比等差数列的特点,以上三个数列有什么共同的特点?生:从第二项起,每一项与它前一项的比都等于同一个常数.(师板书)师:回答正确,好,上述三个数列都具有很好的特点,它和等差数列一样,是一类重要的数列,谁能为这样的数列起个名字吗?生:叫“等比数列”师:可以,请完整地叙述一下定义:一般地,如果一个数列从第二项起每一项与它的前一项的比等于同一个常数,那么这个数列就叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的公比,公比通常用字母q 表示(q ≠0)师生互动:学生完成引例,教师引导学生依照等差数列的定义,尝试总结出等比数列的定义(设计意图:为了增加学生对等比数列定义的理解和记忆,同时培养学生的总结能力和习惯)师:等比数列的定义还可以用怎样的数学式子来刻划? 生:1()n n n a q a +=常数(=1,2,3,) 得出等比数列数学语言:)N*n 0q q (1∈;≠为常数,且q a a nn =+ 或)N*n 2n 0q q (1∈;≠为常数,且≥=-q a a n n 师生互动:教师引导,学生解答,深刻等比数列的概念、性质(设计意图:为了让学生深刻记忆等比数列的概念、性质,并应用于解题)3、 深化概念(1)讨论:说出情境一至三中数列的公比q 的值①1,21,41,81…; ②2336,360.9,360.9,360.9,⨯⨯⨯③234510000 1.05,10000 1.05,10000 1.05,10000 1.05,10000 1.05⨯⨯⨯⨯⨯(设计意图:为了加深学生对等比数列定义的理解,运用情景三的例子)(2)引入例题深化定义【例1】判断下列各组数列中哪些是等比数列,哪些不是?如果是,写出首项1a 和公比q, 如果不是,说明理由。
苏教版数学必修五同步讲义:2.3.1等比数列的概念
2.3 等比数列2.3.1 等比数列的概念1.理解等比数列的概念.2.理解等比中项的概念.3.能够利用等比数列的定义去解决一些问题., [学生用书P29])1.等比数列的概念(1)定义:一般地,如果一个数列从第二项起,每一项与它的前一项的比都等于同一个常数,那么这个数列就叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的公比,公比通常用字母q 表示.(2)表达式:a n +1a n =q (q 为常数,q ≠0).2.等比中项如果a ,G ,b 这三个数成等比数列,则G 叫做a 和b 的等比中项,G =±ab . 3.等比数列的判定方法(1)定义法:对于数列{a n },若a n +1a n=q (q 为常数,q ≠0),则数列{a n }是等比数列.(2)等比中项法:对于数列{a n },若a n a n +2=a 2n +1(a n ·a n +1·a n +2≠0,n ∈N *),则数列{a n }是等比数列.1.判断下列命题是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)若一个数列从第二项起每一项与前一项的比为常数,则该数列为等比数列.( ) (2)等比数列的首项不能为零,但公比可以为零.( ) (3)常数列一定为等比数列.( ) (4)任何两个数都有等比中项.( )解析:(1)错误,根据等比数列的定义,只有比值为同一个常数时,该数列才是等比数列.(2)错误,当公比为零时,根据等比数列的定义,数列中的项也为零. (3)错误,当常数列不为零数列时,该数列才是等比数列.(4)错误.当两数同号时才有等比中项,异号时不存在等比中项. ★答案☆:(1)× (2)× (3)× (4)×2.下列数列为等比数列的序号是________.①2,22,3×22;②1a ,1a 2,1a 3,1a 4,1a 5(a ≠0);③s -1,(s -1)2,(s -1)3,(s -1)4,(s -1)5;④0,0,0,0,0.解析:222≠3×2222,所以①不是等比数列;②是首项为1a ,公比为1a的等比数列;③中,当s =1时,数列为0,0,0,0,0,所以不是等比数列;④显然不是等比数列.★答案☆:②3.等比数列{a n }中,a 2=2,a 5=14,则公比q =________.解析:由定义知a 2a 1=a 3a 2=a 4a 3=a 5a 4=q ,则a 2=a 1q =2,①a 5=a 4q =a 3q 2=a 2q 3=a 1q 4=14,②所以②÷①得q 3=18,所以q =12.★答案☆:124.在等比数列{a n }中,a 4=27,q =-3,则a 7=________. 解析:由等比数列定义知a 7a 6=a 6a 5=a 5a 4=q .所以a 5=a 4q =27×(-3)=-81, a 6=a 5q =-81×(-3)=243, a 7=a 6q =243×(-3)=-729. ★答案☆:-729等比数列的判定[学生用书P29]观察下面几个数列,判断是不是等比数列. (1)数列1,2,6,18,54; (2)数列{a n }中,已知a 2a 1=2,a 3a 2=2;(3)常数列a ,a ,…,a ;(4)数列{a n }中,a n +1a n =q (q 为常数,q ≠0),其中n ∈N *.【解】 (1)不符合等比数列的定义,故不是等比数列.(2)不一定是等比数列,当数列只有三项时,它是等比数列;当数列多于3项时,a 4a 3不一定也等于2,故它不一定是等比数列.(3)不一定是等比数列.当a =0时,a a 无意义,不是等比数列;当a ≠0时,aa =1(常数),数列是等比数列.(4)是等比数列.等比数列的定义用符号表示就是a n +1a n=q (q 为常数,q ≠0)(n ∈N *).(1)关于等比数列①定义中“同一个常数”非常重要,切不可丢掉.②常数列是等差数列,但不一定是等比数列,各项都为0的常数列,不是等比数列;各项都不为0的常数列,是等比数列.③定义给出了等比数列任意相邻两项的递推关系:a n +1a n=q (q 为常数,q ≠0,n ∈N *),即a n +1=a n q (n ∈N *),注意a n +1与a n 的顺序.(2)判断等比数列①紧扣定义,是判断一个数列是不是等比数列的通法; ②举反例法是否定结论常用的方法.1.在数列{a n }中,若a n >0,且a n +1=2a n +3(n ∈N *).证明:数列{a n +3}是等比数列.证明:法一:因为a n >0, 所以a n +3>0.又因为a n +1=2a n +3,所以a n +1+3a n +3=2a n +3+3a n +3=2(a n +3)a n +3=2.所以数列{a n +3}是首项为a 1+3, 公比为2的等比数列.法二:因为a n >0,所以a n +3>0. 又因为a n +1=2a n +3, 所以a n +2=4a n +9.所以(a n +2+3)(a n +3)=(4a n +12)(a n +3) =(2a n +6)2 =(a n +1+3)2.即a n +3,a n +1+3,a n +2+3成等比数列, 所以数列{a n +3}是等比数列.等比数列定义的应用[学生用书P30]有四个数,其中前三个数成等差数列,后三个数成等比数列,并且第一个数与第四个数的和是16,第二个数与第三个数的和是12,求这四个数.【解】 法一:设四个数依次为a -d ,a ,a +d ,(a +d )2a (a ≠0),由条件得⎩⎪⎨⎪⎧a -d +(a +d )2a =16,a +(a +d )=12,解得⎩⎪⎨⎪⎧a =4,d =4或⎩⎪⎨⎪⎧a =9,d =-6.所以,当a =4,d =4时, 所求四个数为0,4,8,16; 当a =9,d =-6时,所求四个数为15,9,3,1.故所求四个数为0,4,8,16或15,9,3,1. 法二:设四个数依次为2a q -a ,aq ,a ,aq (a ≠0),由条件得⎩⎨⎧2aq-a +aq =16,aq+a =12,解得⎩⎪⎨⎪⎧a =8,q =2或⎩⎪⎨⎪⎧a =3,q =13.当a =8,q =2时,所求四个数为0,4,8,16;当a =3,q =13时,所求四个数为15,9,3,1.法三:设这四个数依次为x ,y ,12-y ,16-x .则⎩⎪⎨⎪⎧2y =x +(12-y ),(12-y )2=y (16-x ), 解得⎩⎪⎨⎪⎧x =0,y =4或⎩⎪⎨⎪⎧x =15,y =9. 当x =0,y =4时,所求四个数为0,4,8,16; 当x =15,y =9时,所求四个数为15,9,3,1.综上可得这四个数依次为0,4,8,16或15,9,3,1.若三个数成等差数列,常设成a -d ,a ,a +d .类比,若三个数成等比数列,常设成aq ,a ,aq 或a ,aq ,aq 2.2.已知三个数成等比数列,若三个数的积为125,三个数的和为31,求此三个数.解:设这三个数为xq,x ,xq ,根据题意,得⎩⎨⎧x q·x ·xq =125,xq +x +xq =31,解得⎩⎪⎨⎪⎧x =5,q =5,或⎩⎪⎨⎪⎧x =5,q =15.所以所求的三个数为 1,5,25或25,5,1.等比中项问题[学生用书P30]等差数列{a n }中,公差d ≠0,且a 1,a 3,a 9成等比数列,则a 1+a 3+a 9a 2+a 4+a 10等于多少?【解】 由题意知a 3是a 1和a 9的等比中项,所以a 23=a 1a 9,所以(a 1+2d )2=a 1(a 1+8d ),得a 1=d , 所以a 1+a 3+a 9a 2+a 4+a 10=13d 16d =1316.(1)理解等比中项时应注意①如果G 是a 和b 的等比中项,那么G a =bG,即G 2=ab ;②两个符号相同的非零实数,都有两个等比中项即G =±ab .(2)运用等比中项解决问题,会大大减少运算过程.同时等比中项在解决问题时常起到桥梁作用.3.若a ,b ,c 成等比数列,试证:-(ab +bc )是b 2+a 2与b 2+c 2的一个等比中项.证明:因为a ,b ,c 成等比数列,所以b 2=ac . 从而[-(ab +bc )]2=b 2(a +c )2=ac (a +c )2. (a 2+b 2)(b 2+c 2)=(a 2+ac )(ac +c 2) =a (a +c )·c (a +c ) =ac (a +c )2,于是[-(ab +bc )]2=(a 2+b 2)(b 2+c 2),即-(ab +bc )是a 2+b 2与b 2+c 2的一个等比中项.1.对等比数列概念的理解(1)定义中“从第二项起”这一前提条件有两层含义:其一,第一项前面没有项,无法与后续条件中的“与它的前一项的比”相吻合; 其二:定义包括首项这一基本量,且必须从第二项起保证数列中各项均与其前面一项作商.(2)定义中“每一项与它的前一项的比”这一运算要求的含义也有两个:其一是作商的顺序,即后面的项比前面的项;其二强调这两项必须相邻.(3)注意定义中要求“同一常数”,否则这个数列不是等比数列. 2.对等比中项的两点说明 (1)如果ab >0,则a ,b 的等比中项有两个,为±ab ;如果ab <0,则a ,b 没有等比中项.(2)若G 2=ab ,则a ,G ,b 不一定成等比数列,如a =G =b =0.给出下列四个命题:①数列{a n }满足a n +1=qa n ,则{a n }为等比数列;②数列{a n }的通项公式为a n =a 1q n -1,则{a n }为等比数列; ③常数列{a n }既是等差数列,又是等比数列;④数列{a n }:1,1,2,6,24,…由于a 2a 1=1是常数,a 3a 2=2是常数,a 4a 3=3是常数,a 5a 4=4是常数,…,所以{a n }是等比数列.其中错误命题的序号是________.[解析] 对概念的理解停留在表象上.{a n }为等比数列隐含了a n ≠0,q ≠0,而在①②③中都可能有a n =0或q =0,所以①②③全错,④显然错.[★答案☆] ①②③④要弄清数学概念的内涵和外延.等比数列首先能作比例,要求各项不为0,其次比值是一个不变的相等的常数.1.下列关于“等比中项”的说法中,正确的是________(填序号). ①任何两个实数都有等比中项; ②两个正数的等比中项必是正数; ③两个负数的等比中项不存在;④同号不为零的两数必存在互为相反数的两个等比中项. 解析:①一正数、一负数没有等比中项;②两个正数的等比中项有两个,它们一正、一负;③两个负数a ,b 的等比中项为±ab ; 所以①、②、③错误,易知④正确. ★答案☆:④2.已知数列a ,a (1-a ),a (1-a )2,…是等比数列,则实数a 的取值范围是________. 解析:由a (1-a )≠0得a ≠0且a ≠1. ★答案☆:a ≠0且a ≠13.若-1,a ,b ,8成等比数列,则a +b =________.解析:由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a 2=-b ,b 2=8a ,解得⎩⎪⎨⎪⎧a =2,b =-4,所以a +b =-2.★答案☆:-2, [学生用书P90(单独成册)])[A 基础达标]1.下列说法中正确的有________(填序号).①一个数列每一项与它的前一项的比都等于常数,这个数列就叫等比数列;②一个数列每一项与它的前一项的比都等于同一个常数,这个数列就叫等比数列; ③一个数列从第二项起,每一项与它的前一项的比都等于常数,这个数列就叫等比数列; ④一个数列从第二项起,每一项与它的前一项的比都等于同一个常数,这个数列就叫等比数列.解析:由等比数列的定义知④正确. ★答案☆:④2.4+3与4-3的等比中项是________. 解析:设它们的等比中项为A ,则A 2=(4+3)·(4-3)=13,所以A =±13. ★答案☆:±133.若一个数列既是等差数列,又是等比数列,则该数列是________. ★答案☆:非零的常数列4.下列数列中,一定是等比数列的个数是________.①-1,-2,-4,-8;②1,-3,3,-33;③3,3,3,3;④b ,b ,b ,b .解析:①②③为等比数列,④只有b ≠0时,方为等比数列,故一定是等比数列的个数有3个.★答案☆:35.在3和9之间插入两个正数,使前三个数成等比数列,后三个数成等差数列,则这两个数的和是________.解析:设这两个正数为x ,y ,由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧x 2=3y ,2y =x +9,解得⎩⎪⎨⎪⎧x =-3,y =3(舍去)或⎩⎨⎧x =92,y =274.所以x +y =454=1114.★答案☆:11146.已知2a =3,2b =6,2c =12,则a ,b ,c __________等差数列,________等比数列.(填“成”或“不成”)解析:a =log 23,b =log 26,c =log 212, 因为2log 26=log 236=log 23+log 212,所以2b =a +c ,所以a ,b ,c 成等差数列.但(log 26)2≠log 23·log 212,所以a ,b ,c 不成等比数列. ★答案☆:成 不成7.如果a ,b ,c 成等比数列,那么函数f (x )=ax 2+bx +c 的图象与x 轴交点的个数是________.解析:因为a ,b ,c 成等比数列,所以b 2=ac ,所以b 2-4ac =-3ac <0,所以f (x )的图象与x 轴没有交点. ★答案☆:08.一个数分别加上20,50,100后得到的三个数成等比数列,其公比为________. 解析:设这个数为x , 则(50+x )2=(20+x )·(100+x ),解得x =25, 所以这三个数为45,75,125,公比q 为7545=53.★答案☆:539.已知三个数成等比数列,其和为26,其平方和为1 092,求这三个数. 解:设这三个数为aq,a ,aq ,由已知可得⎩⎨⎧aq+a +aq =26,⎝⎛⎭⎫a q 2+a 2+(aq )2=1 092,所以⎩⎨⎧a ⎝⎛⎭⎫1q +1+q =26,a 2⎝⎛⎭⎫1q 2+1+q 2=1 092.由⎝⎛⎭⎫q +1q 2=q 2+1q 2+2,得⎝⎛⎭⎫26a -12=1 092a 2+1, 解得a =-8,q =-4或-14.所以这三个数为2,-8,32或32,-8,2.10.数列{a n }是首项为2,公差为-1的等差数列,令b n =⎝⎛⎭⎫12a n,求证数列{b n }是等比数列.证明:由已知得,a n =2+(n -1)×(-1)=3-n ,故b n +1b n =⎝⎛⎭⎫123-(n +1)⎝⎛⎭⎫123-n=⎝⎛⎭⎫123-(n +1)-3+n=⎝⎛⎭⎫12-1=2,所以数列{b n }是等比数列.[B 能力提升]1.{a n },{b n }都是等比数列,那么下列正确的序号是______. ①{a n +b n },{a n ·b n }都一定是等比数列;②{a n +b n }一定是等比数列,但{a n ·b n }不一定是等比数列;③{a n +b n }不一定是等比数列,但{a n ·b n }一定是等比数列; ④{a n +b n },{a n ·b n }都不一定是等比数列.解析:{a n +b n }不一定是等比数列,如a n =1,b n =-1,因为a n +b n =0,所以{a n +b n }不是等比数列.设{a n },{b n }的公比分别为p ,q ,因为a n +1b n +1a n b n =a n +1a n ·b n +1b n =pq ≠0,所以{a n ·b n }一定是等比数列.★答案☆:③ 2.已知a ,b ,c ,d 成等比数列,且曲线y =x 2-2x +3的顶点坐标是(b ,c ),则ad =________. 解析:由y =x 2-2x +3=(x -1)2+2,得b =1,c =2.又a ,b ,c ,d 成等比数列,即a ,1,2,d 成等比数列,所以d =4,a =12,故ad =4×12=2.★答案☆:23.等差数列{a n }的公差不为零,首项a 1=1,a 2是a 1和a 5的等比中项,则数列{a n }的前10项之和是________.解析:因为a 22=a 1·a 5, 所以(a 1+d )2=a 1(a 1+4d ). 所以d 2=2a 1d ,而d ≠0, 所以d =2a 1=2.所以S 10=10×1+10×92×2=100.★答案☆:1004.(选做题)某厂生产微机,原计划第一季度每月增加台数相同,在生产过程中,实际上二月份比原计划多生产10台,三月份比原计划多生产25台,这样三个月产量成等比数列,而第3个月的产量比原计划第一季度总产量的一半少10台,问该厂第一季度实际生产微机多少台?解:根据已知,可设该厂第一季度原计划3个月生产微机台数分别为x -d ,x ,x +d (d >0),则实际上3个月生产微机台数分别为x -d ,x +10,x +d +25.由题意得⎩⎪⎨⎪⎧(x +10)2=(x -d )(x +d +25),x +d +25=3x2-10, 解得x =90,d =10.故有(x -d )+(x +10)+(x +d +25) =3x +35=3×90+35=305(台),即该厂第一季度实际生产微机305台.。
苏教版高中数学必修五2.3.1 等比数列的概念(一).docx
2.3.1 等比数列的概念(一)2.3.2 等比数列的通项公式(一) 课时目标 1.理解等比数列的定义,能够利用定义判断一个数列是否为等比数列.2.掌握等比数列的通项公式并能简单应用.3.掌握等比中项的定义,能够应用等比中项的定义解决有关问题.1.如果一个数列从第____项起,每一项与它的前一项的____都等于同一个常数,那么这个数列叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的________,通常用字母____表示(q ≠0).2.等比数列的通项公式:__________.3.等比中项的定义如果a 、G 、b 成等比数列,那么G 叫做a 与b 的________,且G =__________.一、填空题1.在等比数列{a n }中,a n >0,且a 2=1-a 1,a 4=9-a 3,则a 4+a 5的值为________.2.已知等比数列{a n }的前三项依次为a -1,a +1,a +4,则a n =________.3.已知等比数列{a n }满足a 1+a 2=3,a 2+a 3=6,则a 7等于________.4.如果-1,a ,b ,c ,-9成等比数列,那么b =________,ac =________.5.已知等比数列{a n }中,各项都是正数,且a 1,12a 3,2a 2成等差数列,则a 9+a 10a 7+a 8等于________.6.设数列{a n }为公比q >1的等比数列,若a 4,a 5是方程4x 2-8x +3=0的两根,则a 6+a 7=________.7.一个数分别加上20,50,100后得到的三个数成等比数列,其公比为________.8.首项为3的等比数列的第n 项是48,第2n -3项是192,则n =________.9.若正项等比数列{a n }的公比q ≠1,且a 3,a 5,a 6成等差数列,则a 3+a 5a 4+a 6等于________. 10.一个直角三角形的三边成等比数列,则较小锐角的正弦值是________.二、解答题11.已知{a n }为等比数列,a 3=2,a 2+a 4=203,求{a n }的通项公式.12.已知数列{a n }的前n 项和为S n ,S n =13(a n -1) (n ∈N *). (1)求a 1,a 2;(2)求证:数列{a n }是等比数列.能力提升13.设{a n }是公比为q 的等比数列,|q |>1,令b n =a n +1(n =1,2,…),若数列{b n }有连续四项在集合{-53,-23,19,37,82}中,则6q =________.14.已知数列{a n }满足a 1=1,a n +1=2a n +1,(1)求证:数列{a n +1}是等比数列;(2)求a n 的表达式.1.等比数列的判断或证明(1)利用定义:a n +1a n =q (与n 无关的常数). (2)利用等比中项:a 2n +1=a n a n +2 (n ∈N *).2.等比数列{a n }的通项公式a n =a 1q n -1共涉及a n ,a 1,q ,n 四个量.已知其中三个量可求得第四个.§2.3 等比数列2.3.1 等比数列的概念(一)2.3.2 等比数列的通项公式(一)答案知识梳理1.2 比 公比 q 2.a n =a 1q n -1 3.等比中项 ±ab作业设计1.27解析 由已知a 1+a 2=1,a 3+a 4=9,∴q 2=9.∴q =3(q =-3舍),∴a 4+a 5=(a 3+a 4)q =27.2.4·(32)n -1 解析 由已知(a +1)2=(a -1)(a +4),得a =5,则a 1=4,q =64=32, ∴a n =4·(32)n -1. 3.64解析 ∵{a n }为等比数列,∴a 2+a 3a 1+a 2=q =2. 又a 1+a 2=3,∴a 1=1.故a 7=1·26=64.4.-3 9解析 ∵b 2=(-1)×(-9)=9且b 与首项-1同号,∴b =-3,且a ,c 必同号.∴ac =b 2=9.5.3+2 2解析 设等比数列{a n }的公比为q ,∵a 1,12a 3,2a 2成等差数列, ∴a 3=a 1+2a 2,∴a 1q 2=a 1+2a 1q ,∴q 2-2q -1=0,∴q =1±2. ∵a n >0,∴q >0,q =1+ 2.∴a 9+a 10a 7+a 8=q 2=(1+2)2=3+2 2. 6.18解析 由题意得a 4=12,a 5=32,∴q =a 5a 4=3. ∴a 6+a 7=(a 4+a 5)q 2=(12+32)×32=18. 7.53解析 设这个数为x ,则(50+x )2=(20+x )·(100+x ),解得x =25,∴这三个数45,75,125,公比q 为7545=53. 8.5解析 设公比为q ,则⎩⎪⎨⎪⎧ 3q n -1=483q 2n -4=192⇒⎩⎪⎨⎪⎧q n -1=16q2n -4=64⇒q 2=4, 得q =±2.由(±2)n -1=16,得n =5. 9.5-12解析 a 3+a 6=2a 5,∴a 1q 2+a 1q 5=2a 1q 4,∴q 3-2q 2+1=0,∴(q -1)(q 2-q -1)=0 (q ≠1),∴q 2-q -1=0,∴q =5+12 (q =1-52<0舍) ∴a 3+a 5a 4+a 6=1q =5-12. 10.5-12解析 设三边为a ,aq ,aq 2 (q >1),则(aq 2)2=(aq )2+a 2,∴q 2=5+12. 较小锐角记为θ,则sin θ=1q 2=5-12. 11.解 设等比数列{a n }的公比为q ,则q ≠0.a 2=a 3q =2q,a 4=a 3q =2q , ∴2q +2q =203. 解得q 1=13,q 2=3. 当q =13时,a 1=18, ∴a n =18×⎝⎛⎭⎫13n -1=2×33-n . 当q =3时,a 1=29, ∴a n =29×3n -1=2×3n -3. 综上,当q =13时,a n =2×33-n ; 当q =3时,a n =2×3n -3.12.(1)解 由S 1=13(a 1-1),得a 1=13(a 1-1), ∴a 1=-12. 又S 2=13(a 2-1),即a 1+a 2=13(a 2-1),得a 2=14. (2)证明 当n ≥2时,a n =S n -S n -1=13(a n -1)-13(a n -1-1), 得a n a n -1=-12,又a 2a 1=-12,所以{a n }是首项为-12,公比为-12的等比数列. 13.-9解析 由题意知等比数列{a n }有连续四项在集合{-54,-24,18,36,81}中,由等比数列的定义知,四项是两个正数、两个负数,故-24,36,-54,81,符合题意,则q =-32,∴6q =-9.14.(1)证明 ∵a n +1=2a n +1,∴a n +1+1=2(a n +1),∴a n +1+1a n +1=2. ∴{a n +1}是等比数列,公比为2,首项为2.(2)解 由(1)知{a n +1}是等比数列.公比为2,首项a 1+1=2.∴a n +1=(a 1+1)·2n -1=2n .∴a n =2n -1.。
苏教版高中数学必修五课件2.3.1等比数列的概念必修5
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第2.3节 等比数列
1.等比数列的定义: 如果在数列{an}中,有:
a2 q, a3 q, a4 q, , an q (q为非零的常数)
a1
a2
a3
an1
则称数列{an}为等比数列,q叫做这个等比数列的公比.
注意:等比数列的每一个项都不能为0.
Байду номын сангаас
例1
例2
答:不是等比数列.
例2 在下列每题的空格上填写适当的数列,使每 个数列成等比数列:
(1)3,6,_1_2_,24. (2)8,6,_4_.5_.
Understand?
(3)-1,__2_,_-4__,8.
(4)7,_±__3_5_,105.
例3 判断下列数列是否为等差数列或等比数列, 如果是等差数列,则说出它的首项和公差,
判断下列数列是否为等差数列或等比数列, 练习3 如果是等差数列,则说出它的首项和公差,
如果是等比数列,则说出它的首项和公比:
(1)1,4,7,10,13. (2)8,6,4,2,0. (3)5,-10,20,-40,80. (4)22,2,1,2-1,2-2. (5)0,0,0,0,0.
能全做对吗?
如果是等比数列,则说出它的首项和公比:
(1)1,4,7,10,13. (答2:)是8等,差6数,列4,,首2,项0是. 1,公差为3.
(答3:)是5等,差-数1列0,,首20项,是-8,40公,差8为0.-2.
注意 这个 数列
(答4:)是2等2,比2数,列1,,首2项-1是,52,-公2.比为-2. (答5:)是0等,比0数,列0,,首0,项0是. 4,公比为0.5.
的特 殊性
苏教版数学高二苏教版必修5学案 等比数列的概念
2.3.1 等比数列的概念明目标、知重点 1.理解等比数列的定义,会用定义判断一个数列是否为等比数列.2.能利用等比数列的定义求等比数列中的某一项.3.理解等比中项的概念,并能利用等比中项的概念判断一个数列是否为等比数列.1.等比数列的概念一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比都等于同一个常数,那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比,公比通常用字母q 表示. 2.等比中项的概念若a 、G 、b 成等比数列,则称G 为a 和b 的等比中项,且G =±ab .[情境导学]在前面我们学习了等差数列,其特点是从第2项起,每一项与它前一项的差等于同一个常数,在生活中也常见从第2项起,每一项与它前一项的比等于同一个常数的数列,本节我们就来研究这类数列.探究点一 等比数列的概念思考1 阅读教材45页中的三个实例,请同学们写出这3个实例中对应的3个数列,与等差数列相比,所得3个数列有什么共同特点? 答 这3个数列分别为(1)10,10×12,10×⎝⎛⎭⎫122,10×⎝⎛⎭⎫123,…. (2)36,36×0.9,36×0.92,36×0.93,….(3)10 000×1.05,10 000×1.052,…,10 000×1.055.它们的特点为从第2项起,每一项与它的前一项的比都等于同一个常数. 思考2 结合等差数列的定义,如何给等比数列下一个准确定义?答 一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比都等于同一个常数,那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比,公比通常用字母q 表示. 思考3 我们在使用等比数列定义时,往往需要符号化、等式化.如何用符号语言简捷地表示它?答 a na n -1=q (n >1,q ≠0).例1 判断下列数列是否为等比数列: (1)1,1,1,1,1;(2)0,1,2,4,8;(3)1,-12,14,-18,116.解 (1)所给数列是首项为1,公比为1的等比数列. (2)因为0不能作除数,所以这个数列不是等比数列.(3)所给数列是首项为1,公比为-12的等比数列.反思与感悟 判断一个数列是否为等比数列的依据是等比数列的定义,由定义可知:一个数列中如果有一项为0,则此数列不是等比数列,等比数列的公比也不为0. 跟踪训练1 下列所给数列中,是等比数列的为________. ①1,2,4,8,…;②2-3,-1,2+3,…; ③1,3,9,27,81,… 答案 ①②③解析 对于①数列1,2,4,8,….显然符合等比数列的定义,所以是等比数列;对于②由于-12-3=-12-3=-2+3(2-3)(2+3)=2+3-1,所以②是等比数列;对于③明显能看出是等比数列,公比为3.例2 求出下列等比数列中的未知项: (1)2,a,8; (2)-4,b ,c ,12;(3)d,3,27.解 (1)根据题意,得a 2=8a ,所以a =4或a =-4.(2)根据题意,得⎩⎨⎧b -4=c b,12c =c b ,解得⎩⎪⎨⎪⎧b =2,c =-1.(3)根据题意,得3d =273,所以d =13.反思与感悟 解决本类型题的方法,依据等比数列的定义,列出关于未知数的方程或方程组,解方程得出结果.跟踪训练2 已知下列数列是等比数列,试在括号内填上适当的数: (1)( ),12,36; (2)3,( ),5;(3)1,( ),( ),818.答案 (1)4 (2)±15 (3)332 274解析 (1)设所填的数为a ,由等比数列的定义,得12a =3612,所以a =4.(2)设所填的数为b ,由等比数列的定义,得b 3=5b,所以b =±15.(3)设所填的数为x ,y ,由等比数列的定义,得⎩⎪⎨⎪⎧x 1=y x ,818y =y x,解得⎩⎨⎧x =332,y =274.探究点二 等比中项思考1 请你类比等差中项的概念,给出等比中项的概念. 答 若a 、G 、b 成等比数列,则称G 为a 和b 的等比中项.例3 (1)在等比数列{a n }中,是否有a 2n =a n -1a n +1(n ≥2)?(2)如果数列{a n }中,对于任意的正整数n (n ≥2),都有a 2n =a n -1a n +1,那么,{a n }一定是等比数列吗?解 (1)因为{a n }是等比数列,所以a n +1a n =a n a n -1,即a 2n =a n -1a n +1(n ≥2)成立. (2)不一定.例如对于数列0,0,0,…,总有a 2n =a n -1a n +1,但这个数列不是等比数列.只有当数列{a n }中各项都是非0时,a 2n =a n -1a n +1⇔a n +1a n =a n a n +1,所以才有数列{a n }是等比数列. 反思与感悟 当一个数列{a n }中的各项都不为0时,若a 2n =a n -1a n +1,则数列{a n }是等比数列.跟踪训练3 已知等比数列{a n }中,a 2a 3a 4=64,a 3+a 6=36,求a 1与a 5的等比中项. 解 ∵{a n }是等比数列,∴a 3是a 2与a 1的等比中项,因此a 23=a 2a 4. 可得a 33=64,于是a 3=4. 又a 3+a 6=36,所以a 6=32.若设公比为q ,则⎩⎪⎨⎪⎧ a 1q 2=4,a 1q 5=32,解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1=1,q =2.于是a 5=a 1q 4=16.设a 1与a 5的等比中项为G ,则G 2=16, 故G =±4.即a 1与a 5的等比中项为±4.1.在等比数列{a n }中,a 1=8,a 4=64,则a 3=________. 答案 32解析 由a 4=a 1q 3,得q 3=8,即q =2,所以a 3=a 4q=32.2.已知等比数列{a n }满足a 1+a 2=3,a 2+a 3=6,则a 7=________. 答案 64解析 ∵{a n }为等比数列,∴a 2+a 3a 1+a 2=q =2.又a 1+a 2=3,∴a 1=1.故a 7=1·26=64. 3.45和80的等比中项为________. 答案 -60或60解析 设45和80的等比中项为G ,则 G 2=45×80,∴G =±60.4.已知{a n }为等比数列,a 3=2,a 2+a 4=203,求{a n }的首项a 1和公比q .解 设等比数列{a n }的公比为q ,则q ≠0.a 2=a 3q =2q ,a 4=a 3q =2q ,∴2q +2q =203.解得q 1=13,q 2=3. 当q =13时,a 1=18.当q =3时,a 1=29.[呈重点、现规律] 1.等比数列的判断或证明(1)利用定义:a n +1a n=q (与n 无关的常数).(2)利用等比中项:a 2n +1=a n a n +2(n ∈N *,a n ≠0).2.两个同号的实数a 、b 才有等比中项,而且它们的等比中项有两个(±ab ),而不是一个ab ,这是容易忽视的地方.一、基础过关1.在等比数列{a n }中,a 4=4,则a 2·a 6=________. 答案 16解析 由于a 24=a 2·a 6,所以a 2·a 6=16.2.在等比数列{a n }中,a n >0,且a 1+a 2=1,a 3+a 4=9,则a 4+a 5=________. 答案 27解析 由于a 1+a 2=1,a 3+a 4=9,∴q 2=9. ∴q =3(q =-3舍去),∴a 4+a 5=(a 3+a 4)q =27. 3.等比数列x,3x +3,6x +6,…的第4项等于________. 答案 -24解析 由x,3x +3,6x +6成等比数列得, (3x +3)2=x (6x +6).解得x 1=-3或x 2=-1(不合题意,舍去). 故数列的第四项为-24.4.如果-1,a ,b ,c ,-9成等比数列,那么b =________,ac =________. 答案 -3 9解析 ∵b 2=(-1)×(-9)=9且b 与首项-1同号, ∴b =-3,且a ,c 必同号. ∴ac =b 2=9.5.在等比数列{a n }中,a 3=3,a 5=384,则公比q =________. 答案 82解析 因为a 5=a 3q 2=384,q 2=128,所以q =8 2.6.在160与5中间插入4个数,使它们同这两个数成等比数列,则这4个数依次为________. 答案 80,40,20,10解析 设这6个数所成等比数列的公比为q ,则5=160q 5,∴q 5=132,∴q =12.∴这4个数依次为80,40,20,10.7.设数列{a n }是等差数列,b n =⎝⎛⎭⎫12a n ,已知b 1+b 2+b 3=218,b 1·b 2·b 3=18,求数列{a n }的通项公式.解 设数列{a n }的公差为d ,则b n +1b n=⎝⎛⎭⎫12d . ∵⎝⎛⎭⎫12d 为非零常数, ∴数列{b n }是等比数列,设公比为q .∵b 1+b 2+b 3=218,b 1·b 2·b 3=18,∴⎩⎨⎧b 2q +b 2+b 2q =218,b 32=18.解得b 2=12,q =14或q =4.当q =4时,b 1=18,b n =b 1·q n -1=18×4n -1=⎝⎛⎭⎫125-2n . 又b n =⎝⎛⎭⎫12a n ,∴a n =5-2n .当q =14时,b 1=2,b n =⎝⎛⎭⎫122n -3. 又b n =⎝⎛⎭⎫12a n ,∴a n =2n -3.综上可知a n =5-2n 或a n =2n -3. 二、能力提升8.一个数分别加上20,50,100后得到的三个数成等比数列,其公比为________.答案 53解析 设这个数为x , 则(50+x )2=(20+x )·(100+x ), 解得x =25,∴这三个数为45,75,125,公比q 为7545=53.9.若a ,b ,c 成等比数列,m 是a ,b 的等差中项,n 是b ,c 的等差中项,则a m +cn =________.答案 2解析 设等比数列公比为q .由题意知:m =a +b 2,n =b +c2,则a m +c n =2a a +b +2c b +c =21+q +2q 1+q=2. 10.已知6,a ,b,48成等差数列,6,c ,d,48成等比数列,则a +b +c +d =________. -答案 90解析 6,a ,b,48成等差数列,则a +b =6+48=54;6,c ,d,48成等比数列,则q 3=486=8,q =2,故c =12,d =24从而a +b +c +d =90.11.在四个正数中,前三个成等差数列,和为48,后三个成等比数列,积为8 000,求这四个数.解 设前三个数分别为a -d ,a ,a +d ,则有 (a -d )+a +(a +d )=48,即a =16.设后三个数分别为bq,b ,bq ,则有bq·b ·bq =b 3=8 000,即b =20, ∴这四个数分别为m,16,20,n ,∴m =2×16-20=12,n =20216=25.即所求的四个数分别为12,16,20,25.12.有四个数,其中前三个数成等差数列,后三个数成等比数列,并且第一个数与第四个数的和是16,第二个数与第三个数的和是12,求这四个数. 解 方法一 设四个数依次为a -d ,a ,a +d ,(a +d )2a ,由条件得⎩⎨⎧a -d +(a +d )2a =16,a +a +d =12.解得⎩⎪⎨⎪⎧ a =4,d =4,或⎩⎪⎨⎪⎧a =9,d =-6.所以,当a =4,d =4时,所求四个数为0,4,8,16; 当a =9,d =-6时,所求四个数为15,9,3,1. 故所求四个数为0,4,8,16或15,9,3,1.方法二 设四个数依次为2a q -a ,aq,a ,aq (q ≠0),由条件得⎩⎨⎧2aq -a +aq =16a q+a =12,解得⎩⎪⎨⎪⎧ a =8q =2或⎩⎪⎨⎪⎧a =3q =13.当a =8,q =2时,所求四个数为0,4,8,16;当a =3,q =13时,所求四个数为15,9,3,1.故所求四个数为0,4,8,16或15,9,3,1. 三、探究与拓展13.已知数列{a n }满足a 1=1,a n +1=2a n +1, (1)求证:数列{a n +1}是等比数列; (2)求a 2和a 3的值.(1)证明 方法一 ∵a n +1=2a n +1, ∴a n +1+1=2(a n +1), ∴a n +1+1a n +1=2,且a 1+1=2. ∴{a n +1}是以2为首项,2为公比的等比数列. 方法二 ∵a n +1+1a n +1=2a n +1+1a n +1=2(a n +1)a n +1=2(n ∈N *), ∴数列{a n +1}是等比数列.(2)解 由(1)知{a n +1}是等比数列.公比为2,首项为a 1+1=2. ∴a 2+1=(a 1+1)q =(1+1)×2=4,a 2=3; a 3+1=(a 2+1)q =(3+1)×2=8,a 3=7.。
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情境3:某轿车的售价约为10万元,年折旧率约为 50﹪(就是说这辆车每年 减少它的价值的 50﹪),那么该车从购买当年算起,逐年的价值依次为
1 1 2 10,10 , 10 ( ) 2 2
问题:与等差数列相比,上面这些数列有什么特点?
等比数列的概念
一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与 它的前一项的比都等于同一个常数,那么这个数列 就叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的公比, 公比通常用字母 q 表示.
等比数列.
课堂小结:
1.了解等比数列的概念,类比等差数列学习等比数列.
2.等比数列的每一项均不为0.
3.证明一个数列是等比数列要用定义法证明,即 a n qn 2 an1
G 2 ab, G ab
注:1. 同号的两个数才有等比中项 2. 等比中项有两个,它们互为相反数.
数学运用
例2 (1)在等比数列 an 中,是否有 an an1an1 (n 2) ?
2
(2)如果数列 an 中,对于任意的正整数 n 2,都 有
an an1an1 ,那么 an 一定成等比数列吗?
2
小结:判断一个数列是等比数列有哪些方法?
巩固练习
1.已知下列数列是等比数列,试在括号内填上适当的数: ①( ),3,27; ②3,( ),5;
③1,( ),(
81 ), 8
c 为斜边,则 sin A _____ 2.直角三角形的三边 a, b, c 成等比,
lg an 3n 5 ,试用定义证明 an 是 3.已知数列 an 满足:
等差数列的概念是什么?用数学方法怎么表示? 等比数列的公比可以为0吗? 可以有0的项吗? 忆一忆
an q(n 2) 等比数列的数学记法: an1
探索发现
问题1:下列数列是否为等比数列,如果是,公比是多少? (1 )
1,1,1,1,1
(2 )
0,1,2,4,8
1 1 1 1 1 , , , , (3 ) 2 4 8 16
(4) x, x
,x ,x
3
4
问题2:一个数列是等比数列,那么它的项和公比必须满足什么条件?
问题3:当等比数列的公比为负数的时候,数列每一项有什么样的特征?
数学运用:
例1 求出下列等比数列中的未知项: (1 )
2, a,8
;
(2 )
1 4, b, c, 2
等比中项的概念
若 a, G, b 成等比数列,那么 G 叫 a 和 b 的等比中项,且
问题情境
情境1:某种细胞,如果每个细胞每分钟分裂为2个,那么每过1分钟,1个 细胞分裂的个数依次为
1,2,4,8,16,
情境2:“一尺之棰,日取其半,万世不竭”的意思为:一尺长的木棒,每日 取其一半,永远也取不完。如果将“一尺之棰”视为1份,那么每日剩下的部 分依次为
1 1 1 1 , , , , 2 4 8 16