2005年高考理科数学(天津卷)试题及答案

2005天津卷试题及答案本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分,共150分，考试用时120分钟第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至10页考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回祝各位考生考试顺利！第Ⅰ卷（选择题共50分）注意事项：1.答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考号、科目涂写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码2.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号答在试卷上的无效参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么球的体积公式)()()(B P A P B A P +=+334R V π=球如果事件A、B 相互独立，那么其中R 表示球的半径)(B A P ⋅=)()(B P A P ⋅柱体（棱柱、圆柱）的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率V 柱体=Sh是P，那么n 次独立重复试验中恰好发其中S 表示柱体的底面积，生k 次的概率h 表示柱体的高P n （k）=C n P k (1-P)n-k一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的（1）设集合},914{R x x x A ∈≥-=,},03{R x x xxB ∈≥+=,则=B A （）(A)]2,3(--(B)]25,0[]2,3(⋃--(C)),25[]3,(+∞⋃--∞(D)),25[)3,(+∞⋃--∞(2)若复数iia 213++（R a ∈，i 为虚数单位位）是纯虚数，则实数a 的值为（）（A）-2(B)4(C)-6(D)6(3)给出下列三个命题：①若1->≥b a ,则bb a a +≥+11；②若正整数m 和n 满足n m ≤,则2)(n m n m ≤-；③设),(11y x P 为圆9:221=+y x O 上任一点，圆2O 以),(b a Q 为圆心且半径为1.当1)()(2121=-+-y b x a 时,圆1O 与圆2O 相切其中假命题的个数为（）(A)0(B)1(C)2(D)3(4)设γβα、、为平面，l n m 、、为直线，则β⊥m 的一个充分条件是（）(A)l m l ⊥=⋂⊥,,βαβα(B)γβγαγα⊥⊥=⋂,,m (C)αγβγα⊥⊥⊥m ,,(D)αβα⊥⊥⊥m n n ,,(5)设双曲线以椭圆192522=+y x 长轴的两个端点为焦点，其准线过椭圆的焦点，则双曲线的渐近线的斜率为（）(A)2±(B)34±(C)21±(D)43±(6)从集合}11,,3,2,1{ 中任选两个元素作为椭圆方程12222=+ny m x 中的m 和n ,则能组成落在矩形区域,11|||),{(<=x y x B 且}9||<y 内的椭圆个数为（）(A)43(B)72(C)86(D)90(7)某人射击一次击中的概率为0.6,经过3次射击,此人至少有两次击中目标的概率为（）(A)12581(B)12554(C)12536(D)12527(8)要得到函数x y cos 2=的图象，只需将函数)42sin(2π+=x y 的图象上所有的点的（）(A)横坐标缩短到原来的21倍（纵坐标不变）,再向左平行移动8π个单位长度(B)横坐标缩短到原来的21倍（纵坐标不变），再向右平行移动4π个单位长度(C)横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平行移动4π个单位长度(D)横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向右平行移动8π个单位长度(9)设)(1x f -是函数)1( )(21)(>-=-a a a x f x x 的反函数，则使1)(1>-x f 成立的x的取值范围为（）(A)),21(2+∞-aa (B)21,(2a a --∞(C)),21(2a aa -(D)),[+∞a (10)若函数)1,0( )(log )(3≠>-=a a ax x x f a 在区间)0,21(-内单调递增，则a 的取值范围是（）(A))1,41[(B))1,43[(C)),49(+∞(D))49,1(第Ⅱ卷（非选择题共100分）注意事项：1答卷前将密封线内的项目填写清楚2用钢笔或圆珠笔直接答在试卷上二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分，把答案填在题中横线上（11）设*∈N n ,则=++++-12321666n nn n n n C C C C ．（12）如图，PA⊥平面ABC，∠ACB=90°且PA=AC=BC=a 则异面直线PB 与AC 所成角的正切值等于________．（13）在数列{a n }中,a 1=1,a 2=2,且)( )1(12*+∈-+=-N n a a nn n 则100S =_____．（14）在直角坐标系xOy 中，已知点A(0,1)和点B(-3,4)，若点C 在∠AOB 的平分线上且|OC |=2,则OC =．（15）某公司有5万元资金用于投资开发项目，如果成功，一年后可获利12%，一旦失败，一年后将丧失全部资金的50%，下表是过去200例类似项目开发的实施结果：投资成功投资失败192次8次则该公司一年后估计可获收益的期望是___________（元）（16）设)(x f 是定义在R 上的奇函数，且)(x f y =的图象关于直线21=x 对称，则)5()4()3()2()1(f f f f f ++++=________________．三、解答题：本大题共6小题，共76分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤(17)(本小题满分12分)在ABC ∆中，C B A ∠∠∠、、所对的边长分别为c b a 、、，设c b a 、、满足条件222a bc cb =-+和321+=b c ，求A ∠和B tan 的值（18）（本小题满分12分）已知)0,0,( 1221>>∈+++++=*---b a N n b ab b a b aa u n n n n nn （Ⅰ）当b a =时，求数列{}n u 的前n 项和n S （Ⅱ）求1lim-∞→n nn u u （19）（本小题满分12分）如图，在斜三棱柱111C B A ABC -中，a B A A A AC AB AC A AB A ===∠=∠1111,,，ABP侧面11BCC B 与底面ABC 所成的二面角为120，E、F 分别是棱A A C B 111、的中点（Ⅰ）求A A 1与底面ABC 所成的角（Ⅱ）证明E A 1∥平面FCB 1（Ⅲ）求经过C B A A 、、、1四点的球的体积（20）（本小题满分12）某人在一山坡P 处观看对面山项上的一座铁塔，如图所示，塔高BC=80（米），塔所在的山高OB=220（米），OA=200（米），图中所示的山坡可视为直线l 且点P 在直线l 上，l 与水平地面的夹角为α,tan α=1/2试问此人距水平地面多高时，观看塔的视角∠BPC 最大（不计此人的身高）（21）（本小题满分14分）抛物线C 的方程为)0(2<=a ax y ，过抛物线C 上一点P(x 0,y 0)(x 0≠0)作斜率为k 1,k 2C 1B 1A 1ABCF E的两条直线分别交抛物线C 于A(x 1,y 1)B(x 2,y 2)两点(P,A,B 三点互不相同)，且满足)10(012-≠≠=+λλλ且k k （Ⅰ）求抛物线C 的焦点坐标和准线方程（Ⅱ）设直线AB 上一点M，满足MA BM λ=，证明线段PM 的中点在y 轴上（Ⅲ）当λ=1时，若点P 的坐标为（1，-1），求∠PAB 为钝角时点A 的纵坐标1y 的取值范围（22）（本小题满分14分）设函数)( sin )(R x x x x f ∈=.（Ⅰ）证明x k x f k x f sin 2)()2(ππ=-+,其中为k 为整数；（Ⅱ）设0x 为)(x f 的一个极值点，证明240201)]([x x x f +=；（Ⅲ）设)(x f 在(0,+∞)内的全部极值点按从小到大的顺序排列 ,,,,21n a a a ,证明),2,1( 21 =<-<+n a a n n ππ2005天津卷试题及答案参考答案一、选择题（每小题5分，共50分）题号（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）答案DCBDCBACAB二、填空题（每小题4分，共24分）（11）)17(61-n；（12）2；（13）2600；（14）)5103,510(-；（15）4760；（16）0．解法：∵f(x)是定义在R 上的奇函数，∴f(x)=-f(-x)①又∵y=f(x)的图象关于直线x=1/2对称，∴f(1-x)=f(x)②∴f(1)=f(1-0)=f(0)=0由①②得f(1-x)=-f(-x)∴f(1-x)+f(-x)=0即f(1+n)+f(n)=0∴f(3)+f(2)=0,f(5)+f(4)=0∴f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)=0三、解答题（共76分，以下各题为累计得分，其他解法请相应给分）（17）解：由余弦定理212cos 222=-+=bc a c b A ，因此 60=∠A ．在ABC ∆中，B B A C ∠-=∠-∠-=∠120180．由已知条件，应用正弦定理21cot 23sin sin 120cos cos 120sin sin )120sin(sin sin 321+=-=-===+B B B B B B B C b c ，解得2cot =B ,从而21tan =B ．（18）解：（Ⅰ）当b a =时，nn a n u )1(+=．这时数列}{n u 的前n 项和n n n a n na a a a S )1(432132++++++=- ．①①式两边同乘以a ，得1432)1(432+++++++=n nn a n na a a a aS ②①式减去②式，得132)1(2)1(++-++++=-n nn a n a a a a S a 若1≠a ，aa n aa a S a n n n ++---=-+1)1(1)1()1(，221212)1(2)2()1(1)1()1()1(a a a a n a n a a n a a a a S n n n n n -+-+-+=-+-+--=+++若1=a ，2)3()1(32+=+++++=n n n n S n （Ⅱ）由（Ⅰ），当b a =时，nn a n u )1(+=，则a n n a na a n u u n n n n n n n =+=+=∞→-∞→-∞→)1(lim )1(lim lim 11．当b a ≠时，)(11)(1)()(1[111211+++----=--=++++=++++=n n n n n n n n n n n b a b a ab a ba ab a b a b a b ab b a a u 此时，nn n n n n b a b a u u --=++-111．若0>>b a ，a aba b b a b a ba u u nnn nnn n n n n n =--=--=∞→++∞→-∞→(1)(limlim lim111．若0>>a b ，b ba b b aa u u nn n n nn =--==∞→-∞→1()(lim lim1．（19）解：（Ⅰ）过1A 作⊥H A 1平面ABC ，垂足为H ．连结AH ，并延长交BC 于G ，于是AH A 1∠为A A 1与底面ABC 所成的角．∵AC A AB A 11∠=∠，∴AG 为BAC ∠的平分线．又∵AC AB =，∴BC AG ⊥，且G 为BC 的中点．因此，由三垂线定理BC A A ⊥1．1∵B B A A 11//，且B B EG 1//，∴BC EG ⊥．于是AGE ∠为二面角E BC A --的平面角，即120=∠AGE ．由于四边形AGE A 1为平行四边形，得601=∠AG A ．（Ⅱ）证明：设EG 与C B 1的交点为P ，则点P 为EG 的中点．连结PF ．在平行四边形1AGEA 中，因F 为A A 1的中点，故FP E A //1．而⊂FP 平面FC B 1，⊄E A 1平面FC B 1，所以//1E A 平面FC B 1．（Ⅲ）连结C A 1．在AC A 1∆和AB A 1∆中，由于AB AC =，AC A AB A 11∠=∠，A A A A 11=，则AC A 1∆≌AB A 1∆，故B A C A 11=．由已知得a C A B A A A ===111．又∵⊥H A 1平面ABC ，∴H 为ABC ∆的外心．设所求球的球心为O ，则H A O 1∈，且球心O 与A A 1中点的连线A A OF 1⊥．在FO A Rt 1∆中，3330cos 21cos 111a aH AA F A O A === ．故所求球的半径a R 33=，球的体积33273434a R V ππ==．（20）解：如图所示，建立平面直角坐标系，则)0,200(A ，)220,0(B ，)300,0(C ．直线l 的方程为αtan )200(-=x y ，即2200-=x y ．设点P 的坐标为),(y x ，则)2200,(-x x P （200>x ）由经过两点的直线的斜率公式x x x x k PC 28003002200-=--=，xx x x k PB26402202200-=--=．由直线PC 到直线PB 的角的公式得6401602886426402800121601tan 2⨯+-=-⋅-+=+-=x x x xx x x x k k k k BPC PCPB PC PB 28864016064-⨯+=xx （200>x ）要使BPC tan 达到最大，只须288640160-⨯+xx 达到最小．由均值不等式2886401602288640160-⨯≥-⨯+x x ．当且仅当xx 640160⨯=时上式取等号．故当320=x 时BPC tan 最大．这时，点P 的纵坐标y 为602200320=-=y ．由此实际问题知，20π<∠<BPC ，所以BPC tan 最大时，BPC ∠最大．故当此人距水平地面60米高时，观看铁塔的视角BPC ∠最大．（21）解：（Ⅰ）由抛物线C 的方程2ax y =（0<a ）得，焦点坐标为)41,0(a，准线方程为ay 41-=．（Ⅱ）证明：设直线PA 的方程为)(010x x k y y -=-，直线PB 的方程为)(020x x k y y -=-．点),(00y x P 和点),(11y x A 的坐标是方程组0102()y y k x x y ax -=-⎧⎨=⎩①②的解．将②式代入①式得000112=-+-y x k x k ax ，于是a k x x 101=+，故011x akx -=③又点),(00y x P 和点),(22y x B 的坐标是方程组0102()y y k x x y ax -=-⎧⎨=⎩④⑤的解．将⑤式代入④式得000222=-+-y x k x k ax ．于是a k x x 202=+，故022x ak x -=．由已知得，12k k λ-=，则012x k ax --=λ．⑥设点M 的坐标为),(M M y x ，由MA BM λ-，则λλ++=112x x x M ．将③式和⑥式代入上式得0001x x x x M -=+--=λλ，即00=+x x M ．所以线段PM 的中点在y 轴上．（Ⅲ）因为点)1,1(-P 在抛物线2ax y =上，所以1-=a ，抛物线方程为2x y -=．由③式知111--=k x ，代入2x y -=得211)1(+-=k y ．将1=λ代入⑥式得112-=k x ，代入2x y -=得222)1(+-=k y ．因此，直线PA 、PB 分别与抛物线C 的交点A 、B 的坐标为)12,1(1211-----k k k A ，)12,1(1211-+--k k k B ．于是)2,2(1211k k k AP ++=，)4,2(11k k AB =，)12)(2(2)2(4)2(2111121111++=+++=⋅k k k k k k k k AB AP ．因PAB ∠为钝角且P 、A 、B 三点互不相同，故必有0<⋅AB AP ．求得1k 的取值范围是21-<k 或0211<<-k ．又点A 的纵坐标1y 满足211)1(+-=k y ，故当21-<k 时，11-<y ；当0211<<-k 时，4111-<<-y ．即41,1()1,(1----∞∈ y （22）解：（Ⅰ）证明：由函数)(x f 的定义，对任意整数k ，有(2)()(2)sin(2)sin f x k f x x k x k x xπππ+-=++-(2)sin sin 2sin x k x x x k x ππ=+-=．（Ⅱ）证明：函数)(x f 在定义域R 上可导，x x x x f cos sin )(+='①令0)(='x f ，得0cos sin =+x x x ．显然，对于满足上述方程的x 有0cos ≠x ，上述方程化简为x x tan -=．此方程一定有解．)(x f 的极值点0x 一定满足00tan x x -=．由x x x x x x 222222tan 1tan cos sin sin sin +=+=，得020202tan 1tan sin x x x +=．因此，20400220201sin )]([x x x x x f +==．（Ⅲ）证明：设00>x 是0)(='x f 的任意正实数根，即00tan x x -=，则存在一个非负整数k ，使),2(0ππππk k x ++∈，即0x 在第二或第四象限内．由①式，)(tan cos )(x x x x f +='在第二或第四象限中的符号可列表如下：x),2(0x k ππ+0x ),(0ππk x +)(x f '的符号k 为奇数－0＋k 为偶数＋0－所以满足0)(='x f 的正根0x 都为)(x f 的极值点．由题设条件，1a ，2a ，…，n a ，…为方程x x tan -=的全部正实数根且满足 <<<<n a a a 21，那么对于 ,2,1=n ，)tan()tan tan 1()tan (tan 1111n n n n n n n n a a a a a a a a -⋅+-=--=-++++．②由于ππππ)1()1(2-+<<-+n a n n ，ππππn a n n +<<++12，则2321ππ<-<+n n a a ，由于0tan tan 1>⋅+n n a a ，由②式知0)tan(1<-+n n a a ．由此可知n n a a -+1必在第二象限，即π<-+n n a a 1．综上，ππ<-<+n n a a 12．。