§8.2参数假设检验(精)

山东农业大学
概率论与数理统计
主讲人：程述汉 苏本堂
8.2.1 单个正态总体均值的假设检验
设 X ~N(, 2 )， (X1, X2, …, Xn)为样本， 0, 02为已知数。 假设(1) H0： = 0 , H1： ≠ 0 (双 侧 ) (2) H0： = 0( ≤ 0 ), H1： ＞ 0 (右单侧) (3) H0： = 0( ≥ 0 )，H1： ＜ 0 (左单侧)
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§8.2
参数假设检验
抽样分布回顾： 若X~N(,2)，(X1,X2,…,Xn)为样本，则
X X 1. u ~ N (0 ,1) ; t ~ t (n 1) /2 n S/ n
P{| u | u } ; P{| t | t a (n 1)}
54 52 u 1.7678 s / n 8 / 50
查表得u0.05=1.645, u0.025=1.96. 故当
x 0
=0.05时拒绝H0接受H1, =0.025时接受H0.
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假设 （Ⅰ）双侧检验 H0: 2 =02，H1: 2 ≠ 02 （Ⅱ）右边单侧检验 H0: 2 =02，H1: 2 > 02 （Ⅲ）左边单侧检验 H0: 2 =02，H1: 2 < 02 1. 已知时2的2检验
2 当H0成立时，统计量
8.2.2 单个正态总体方差2的2检验
1
0 i 1 2 2 拒绝H0的条件分别为 { 2 12 ( n )} { / 2 / 2 (n)}; 2 { 2 (n)}; { 2 12 (n)}.
2
2 2 ( x ) ~ (n) i 2
U X Y

2 1
n1


2 2
~ N (0, 1)
n2
给定，查表得临界值u/2 和u，使 P{| u |> u/2 }= ；P{u＞ u}= ；P{u＜- u}＝ .
由样本观察值计算出统计量 u 的值，当 | u |> u/2 ， u＞ u， u＜- u 时拒绝H0，认为 1与 2差异显著。
1. 2 = 02 已知的情形(u 检验) 若假设H0为真，则有
u
X 0
0
n
~ N (0,1)
计算出统计量u的值，对于上述假设(1), (2), (3)，H0(关于统 计量u)的拒绝域分别为
|u|>ua/2
u>ua
u<-ua
检验中使用了u统计量，故称为U检验 (有些教材称为Z检验)。
x 4.364
4.364 4.55 u 3.781, / n 0.11/ 5
x 0
u u u0.05 1.645
所以拒绝H0接受H1，即认为铁水的含碳量有显著下降。
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例4 一般情况下1/15ha粮食产量服从正态分布。某县在秋收时 随机抽查了20个村的1/15ha产量(单位: kg)，平均产量为981kg， 标准差s=50kg，问该县已达到吨粮县的结论是否成立？( =0.05) 解 本题是 2未知的左边单侧检验。 H0: μ=1000；H1: μ＜1000 由于 2未知，用t检验。由题设n=20，s=50， =0.05，则
981 1000 x 981 , t 1.70, s/ n 50 / 20
x 0
ta (n 1) t0.05 (19) 1.7291,
t t0.05 (19),
所以接受H0，认为该县已经达到了吨粮县的标准。 若取 =0.06，由于t < -t0.06(19)=1.6280, 则应当拒绝H0，认为该 县尚未达到吨粮县的标准。
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3. 总体分布未知，但为大样本时的u检验 若总体X的分布未知，均值和方差2存在， (x1, x2, …, xn)是 来自总体X的一个大样本(n≥50)，由独立同分布的中心极限定理， 对任意实数x，都有
n x n x t2 1 1 x i 1 i lim P x lim P x e 2 dt n n n / n 2 当2已知，且H0 ： = 0为真时
n
2. 未知时2的2检验 当H0成立时，统计量
1
2 0 i 1 0 2 2 拒绝H0的条件分别为 { 2 12 ( n 1)} { / 2 / 2 (n 1)}; 2 { 2 (n 1)}; { 2 12 (n 1)}.
u
x 0
/ n
渐近服从N(0,1)分布，故可进行U检验。 计算出统计量u的值，对于前述假设(1), (2), (3)，H0的拒绝 域分别为
|u|>ua/2
u>ua
u<-ua
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例5 某果园，苹果树剪枝前平均每株产苹果52kg，剪枝后任 取50株单独采收，经核算平均株产量为54kg，标准差s=8kg，试 问剪枝是否提高了株产量？ 解 此为总体分布未知且方差亦未知的大样本下，对μ的假设 检验问题。 H0: μ=52；H1: μ>52
2 2
n
(x)
1-
/2
-u/2
0
u/2 x
2. 2
1

2 2 2 ( X ) ~ ( n ) ; i 2 i 1
(n 1) S 2
2
~ 2 (n 1)
2 P({ 2 2 (n)}{ 2 (n)}) 1 2 2 2 P({ 2 2 (n 1)}{ 2 (n 1)}) 1 2 2
( xi x ) 2
2
n
n 1
S 2 ~ 2 (n 1)
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例6 已知某种棉花的纤度服从N(, 0.0482) ，2003年从中任取8 个样品，测得纤度为1.36, 1.40, 1.38, 1.32, 1.42, 1.36, 1.44, 1.32 . 问2003年棉花纤度的方差与已知纤度的方差是否相同？(=0.10) 解 这是未知情况下，对总体方差的双侧检验. H0: 2 =02 (=0.0482) 由于n = 8，02 = 0.0482，且由样本观察值计算得
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2. 12 =22= 2 但未知时的t检验
当H0成立时 t
X Y (n1 1) S (n2 1) S 1 1 ( ) n1 n2 2 n1 n2
2 1 2 2
~ t (n1 n2 2)
由样本计算出 t 值且对应于 查得临界值：
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欲检验假设： （Ⅰ）双侧检验 H0: 1= 2， H1： 1≠ 2 （Ⅱ）右边单侧检验 H0: 1= 2， H1： 1＞ 2 （Ⅲ）左边单侧检验 H0: 1= 2， H1： 1＜ 2
1 .12 ，22已知时的U检验 当H0成立时
2 2
2 2 (n 1) 0 (7) 14.067 .10
由于
2
1

2
(n 1) (n 1)
2 2 2
2
2
所以接受H0，认为2003年棉花纤度的方差与0.0482无显著不同。
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8Байду номын сангаас2.3 两个正态总体均值的假设检验
|t|>ta/2(n-1)
t>ta(n-1)
t<-ta(n-1)
n 5 25
2
2
x 415
415 400 u 1.3416 25 / 5
故接受原假设H0。
由于
u 1.3416 u0.025 1.96
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例2 据往年统计，某杏园中株产量(单位: kg)服从N(54, 3.52)， 1993年整枝施肥后，在收获时任取10株单收，结果如下： 59.0 55.1 58.1 57.3 54.7 53.6 55.0 60.2 59.4 58.8 假定方差不变，问本年度的株产量是否有提高？（=0.05） 解 此为已知方差2=3.52的右边单侧检验，其假设为 H0：μ=54； H1：μ>54 n=10， =3.5，所以
X =1.375， S2 = 0.043752 = 0.0019142857 2 n 1 7 0 . 04375 2 2 S2 5.81597 2 0 0.048 2 2 对=0.10，查 2 分布表得 1 (n 1) 1 0.10 (7) 2.167
t (n1 n2 2) ; t (n1 n2 2)
2
当
|t|> t/2(n1+n2-2); t > t(n1+n2-2); t <- t(n1+n2-2) 时，分别拒绝相应的假设H0.
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例7 为比较两种农药残留时间（单位：d）的长短，现分别取 12块地施甲种农药，10块地施乙种农药，经一段时间后，分别 测得结果为： 2 甲: x 12.35, s12 3.52; 乙: y 10.75, s2 2.88. 假设两药的残留时间均服从正态分布且方差相等，试问两种农 药的残留时间有无显著差异？（=0.05） 解 此为12 =22= 2但未知时，两个正态总体均值差的t检验。 H0：1= 2； H1： 1≠ 2
设X~N(1,12) ，Y ~ N(2,22) ，且它们相互独立。样本信息 分别为
2 n1 , X , S12 ; n2 , Y , S2 .
则
X ~ N (1 ,
12
n1
2 1
) ; Y ~ N ( 2 ,
2 2
n2
).
（1） u
( X Y ) ( 1 2 )

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2. 2 未知的情形(t 检验)
若假设H0为真，则有
t
X 0 s n
~ t (n 1)
相当于在情形1的u统计量中，将 换成S，N(0,1)换成 t(n-1)。 计算出统计量u的值，对于上述假设(1), (2), (3)，H0的拒绝 域分别为 例1 对§8.1中例1的问题(1)，在=0. 05下做出检验。 解 其假设如（8.1）式，为已知时的U检验。由样本观察值计 算出
x 57.12 57.12 54 u 2.8189 3.5 / 10
u 2.8189 u 1.645
所以拒绝H0，认为本年度的株产量较往年有较大提高。
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例3 已知某炼铁厂的铁水含碳量（%）在正常情况下服从正 态分布N(4.55，0.112)，今测得5炉铁水含碳量如下： 4.28，4.40，4.42，4.35，4.37. 若标准差不变，铁水的含碳量是否有明显的降低？（ =0.05） 解 此为方差 2=0.112时的左边单侧检验，其假设为 H0: μ=4.55； H1: μ<4.55 由题设知n=5， 2=0.112，＝0.05，又由样本观察值计算出
n1


2 2
~ N (0,1) , X Y ~ N ( 1 2 ,
12
n1

2 2
n2
)
n2
2 2 ( X Y ) ( 1 2 ) ( n 1) S ( n 1) S 2 1 2 2 （2） t ~ t (n1 n2 2) , Sw 1 n1 n2 2 1 1 Sw n1 n2