第3课时 等差数列的概念和通项公式
等差数列的定义与通项公式教案
等差数列的定义与通项公式教案第一章：等差数列的概念引入1.1 等差数列的定义1.1.1 引导学生回顾自然数的排列，引入等差数列的概念。
1.1.2 通过具体例子，让学生理解等差数列的含义。
1.1.3 引导学生总结等差数列的特点。
1.2 等差数列的表示方法1.2.1 介绍等差数列的表示方法，引导学生理解首项、末项、公差等概念。
1.2.2 通过示例，让学生学会用符号表示等差数列。
1.2.3 让学生尝试自己表示一些等差数列，并判断其是否正确。
第二章：等差数列的性质2.1 等差数列的通项公式2.1.1 引导学生探究等差数列的通项公式。
2.1.2 通过推导，让学生理解并掌握等差数列的通项公式。
2.1.3 让学生运用通项公式计算等差数列的特定项。
2.2 等差数列的求和公式2.2.1 引导学生探究等差数列的求和公式。
2.2.2 通过推导，让学生理解并掌握等差数列的求和公式。
2.2.3 让学生运用求和公式计算等差数列的前n项和。
第三章：等差数列的通项公式的应用3.1 求等差数列的特定项3.1.1 让学生运用通项公式求解等差数列的特定项。
3.1.2 提供一些练习题，让学生巩固求特定项的方法。
3.2 求等差数列的前n项和3.2.1 让学生运用求和公式求解等差数列的前n项和。
3.2.2 提供一些练习题，让学生巩固求前n项和的方法。
第四章：等差数列的综合应用4.1 等差数列与函数的关系4.1.1 引导学生理解等差数列与函数的关系。
4.1.2 提供一些示例，让学生学会如何将等差数列问题转化为函数问题。
4.2 等差数列在实际问题中的应用4.2.1 提供一些实际问题，让学生运用等差数列的知识解决问题。
4.2.2 引导学生思考等差数列在其他领域的应用，如数学建模、数据处理等。
第五章：总结与拓展5.1 等差数列的定义与通项公式的总结5.1.1 与学生一起总结等差数列的定义与通项公式的关键点。
5.1.2 鼓励学生提出疑问，解答学生的疑惑。
《等差数列的概念》课件
等差数列在实际问题中的应用
物理学中的周期问题
在物理学中，很多周期性问题可以用等差数 列来表示和解决。例如，摆动问题、振动问 题、波动问题等。
统计学中的数据分组
在统计学中，数据分组是常见的数据处理方 法。而等差数列可以用来表示数据的组距和 分组范围。例如，将一组数据分成若干组， 每组的组距相等，就可以用等差数列来表示 各组的范围。
题目二
等差数列的通项公式是什么？ 如何推导？
题目三
等差数列的前n项和公式是什 么？如何推导？
题目四
等差数列的性质有哪些？请举 例说明。
习题答案与解析
答案一
等差数列是指每一项与它前一项的差等于同一个常数的数列。例如：1, 4, 7, 10, 13...，其 中每一项与前一项的差为3。
解析一
通过举例说明等差数列的定义，帮助学生理解等差数列的基本概念。
总结词：严谨规范
详细描述：等差数列的一般形式是 a_n=a_1+(n-1)d，其中 a_n 是第 n 项的值，a_1 是首项，d 是公 差，n 是项数。
等差数列的图像表示
总结词：直观形象
详细描述：等差数列的图像是一条直线，任意两个相邻的点在这条直线上等距。首项 a_1 是图像在 y 轴上的截距，公差 d 控 制着直线的斜率。
答案二
等差数列的通项公式为$a_n=a_1+(n-1)d$，其中$a_1$是首项，$d$是公差，$n$是项 数。推导过程如下：$a_n=a_1+(n-1)d=a_1+a_2+(n-2)d=...=a_1+a_2+...+a_{n1}+nd=S_n+nd$，其中$S_n$为前n项和。
习题答案与解析
等差数列的定义和通项公式
等差数列的定义和通项公式一、等差数列的定义和通项公式1、等差数列的定义一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，常用字母$d$表示。
2、等差数列的通项公式等差数列的通项公式为$a_n=a_1+(n-1)d$，其中$a_1$为首项，$d$为公差。
注：已知等差数列$\{a_n\}$中的任意两项$a_n$，$a_m(n,m∈\mathbf{N}^*,m≠n)$，则$\begin{cases}a_n=a_1+(n-1)d,\\a_m=a_1+(m-1)d\end{cases}\Rightarrow$$a_n-a_m=$$(n-m)d\Rightarrow$$\begin{cases}d=\frac{a_n-a_m}{n-m},\\a_n=a_m+(n-m)d。
\end{cases}$即已知等差数列中的任意两项，可求得其公差，进而求得其通项公式。
3、等差中项由三个数$a$，$A$，$b$组成的等差数列可以看成最简单的等差数列。
这时，$A$叫做$a$与$b$的等差中项。
此时，$2A=a+b$，$A=\frac{a+b}{2}$。
若数列中相邻三项之间存在如下关系：$2a_n=a_{n+1}+a_{n-1}(n\geqslant2)$，则该数列是等差数列。
4、等差数列与函数的关系将等差数列的通项公式$a_n=a_1+(n-1)d$变形，整理得$a_n=nd+(a_1-d)$。
则从函数的角度来看$a_n=a_1+(n-1)d$是关于$n$的一次函数（$d≠0$时）或常函数（$d=0$时）。
它的图象是一条射线上的一系列横坐标为正整数的孤立的点，公差$d$是该射线所在直线的斜率。
（1）当$d>0$时，数列$\{a_n\}$是递增数列；（2）当$d=0$时，数列$\{a_n\}$是常数列；（3）当$d<0$时，数列$\{a_n\}$是递减数列；5、等差数列的性质若数列$\{a_n\}$是首项为$a_1$，公差为$d$的等差数列，则它具有以下性质（1）若$m+n=p+q(m,n,p,q∈\mathbf{N}^*)$，则$a_m+a_n=a_p+a_q$。
第3课时等差数列`等比数列的前n项和公式要点·疑点·考点
n = 5时, bn 有极小值50；n = 3时, bn 有极大值54 又n = 1时, b1 =34 ⇒ bn 有最小值为34
延伸· 延伸·拓展
7.(06陕西 已知正数数列 n}，Sn为其前 项的和，满足 陕西)已知正数数列 项的和， 陕西 已知正数数列{a ， 为其前n项的和
10Sn = an2 + 5an + 6 , 且a1 ,a3 ,a15 成等比数列，求数列 n}的 成等比数列，求数列{a 的
第3课时 等差数列、等比数列 的前n项和公式 要点·疑点·考点 课 前 热 身 能力·思维·方法 延伸·拓展 误 解 分 析
要点·疑点· 要点·疑点·考点
(n = 1) S1 1.如果某个数列前 项和为 n，则 an = 如果某个数列前n项和为 如果某个数列前 项和为S Sn − Sn−1 (n ≥ 2)
解题提示 在等差数列{a 中 提示】 【解题提示】在等差数列 n}中： (1)项数 为2k时，则Sn=k a中 =k ( ak + ak+1 ) ， 项数n为 时 项数 S偶-S奇＝kd， S偶/ S奇 ＝ak+1 / ak ； ， (2)项数 为2k-1时，则Sn= (2k-1) a中= (2k-1)ak， 项数n为 项数 时 S奇-S偶＝a中=ak， S奇＝ka中=kak， S偶＝(k-1)a中=(k-1)ak， S奇/ S偶＝k/(k-1)， ， 思考： 在等差数列{a 中 前 项的和为 项的和为Sn， 思考 ： 在等差数列 n}中,前 n项的和为 ， 且 a5 +a21 = a12 ，求 S27
(n =1) =1 S1 解题回顾】 【 解题回顾 】 公式 an = 给出了数列的项 Sn − Sn−1 (n ≥ 2)
4.2.1.1等差数列得的概念和通项公式(知识梳理+变式+例题))
4.2.1.1等差数列的概念和通项公式要点一 等差数列的概念(1)文字语言：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d_表示． (2)符号语言：a n ＋1－a n ＝d (d 为常数，n ∈N *)． 【重点概要】(1)“从第2项起”是因为首项没有“前一项”．(2)一个数列从第2项起，每一项与它前一项的差即使等于常数，这个数列也不一定是等差数列，因为当这些常数不同时，该数列不是等差数列，因此定义中强调“同一个常数”，即该常数与n 无关．(3)求公差d 时，可以用d ＝a n －a n －1来求，也可以用d ＝a n ＋1－a n 来求．注意公差是每一项与其前一项的差，且用a n －a n －1求公差时，要求n ≥2，n ∈N *. 要点二 等差中项(1)条件：如果a ，A ，b 成等差数列． (2)结论：那么A 叫做a 与b 的等差中项． (3)满足的关系式是________． 【重点概要】在等差数列{a n }中，任取相邻的三项a n －1，a n ，a n ＋1(n ≥2，n ∈N *)，则a n 是a n －1与a n ＋1的等差中项． 反之，若a n －1＋a n ＋1＝2a n 对任意的n ≥2，n ∈N *均成立，则数列{a n }是等差数列．因此，数列{a n }是等差数列⇔2a n ＝a n －1＋a n ＋1(n ≥2，n ∈N *)．用此结论可判断所给数列是不是等差数列，此方法称为等差中项法．要点三 等差数列的通项公式以a 1为首项，d 为公差的等差数列{a n }的通项公式a n ＝1(1)a n d +-【重点总结】从函数角度认识等差数列{a n }若数列{a n }是等差数列，首项为a 1，公差为d ，则a n ＝f(n)＝a 1＋(n －1)d ＝nd ＋(a 1－d)． (1)点(n ，a n )落在直线y ＝dx ＋(a 1－d)上； (2)这些点的横坐标每增加1，函数值增加d. 【基础自测】1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)若一个数列从第二项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．( ) (2)等差数列{a n }的单调性与公差d 有关．( )(3)若三个数a ，b ，c 满足2b ＝a ＋c ，则a ，b ，c 一定是等差数列．( )(4)一个无穷等差数列{a n }中取出所有偶数项构成一个新数列，公差仍然与原数列相等．( ) 【答案】（1）×（2）√（3）√（4）×2．(多选题)下列数列是等差数列的有( ) A ．1,1,1,1,1 B ．4,7,10,13,16 C.13，23，1，43，53 D ．－3，－2，－1,1,2 【答案】ABC3．已知等差数列{a n }的通项公式a n ＝3－2n ，则它的公差d 为( )A ．2B ．3C ．－2D ．－3 【答案】C【解析】由等差数列的定义，得d ＝a 2－a 1＝－1－1＝－2.故选C. 4．在△ABC 中，三内角A 、B 、C 成等差数列，则B 等于________． 【答案】60°【解析】因为三内角A 、B 、C 成等差数列， 所以2B ＝A ＋C ，又因为A ＋B ＋C ＝180°， 所以3B ＝180°，所以B ＝60°.题型一 等差数列的通项公式 探究1 基本量的计算【例1】(1)在等差数列{a n }中，已知a 6＝12，a 18＝36，则a n ＝________. (2)已知数列{a n }为等差数列，a 3＝54，a 7＝－74，则a 15＝________.【答案】(1)2n (2)－314【解析】(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋5d ＝12a 1＋17d ＝36，⎩⎪⎨⎪⎧解得d ＝2，a 1＝2，∴a n ＝2＋(n －1)×2＝2n .(2)法一：(方程组法)由⎩⎨⎧a 3＝54，a 7＝－74，得⎩⎨⎧a 1＋2d ＝54，a 1＋6d ＝－74，解得⎩⎨⎧a 1＝114，d ＝－34，∴a 15＝a 1＋(15－1)d ＝114＋14×⎝⎛⎭⎫－34＝－314. 法二：(利用a m ＝a n ＋(m －n )d 求解)由a 7＝a 3＋(7－3)d ，即－74＝54＋4d ，解得d ＝－34，∴a 15＝a 3＋(15－3)d ＝54＋12×⎝⎛⎭⎫－34＝－314. 探究2 判断数列中的项【例2】100是不是等差数列2,9,16，…的项？如果是，是第几项？如果不是，说明理由． 【解析】∵a n ＝2＋(n －1)×7＝7n －5， 由7n －5＝100，得n ＝15， ∴100是这个数列的第15项．探究3 等差数列中的数学文化 【例3】《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一，书中有一道这样的题目：把100个面包分给五个人，使每个人所得成等差数列，最大的三份之和的17是最小的两份之和，则最小的一份的量是( )A.116B.103C.56D.53【答案】D【解析】由题意可得中间的那份为20个面包， 设最小的一份为a 1，公差为d ，由题意可得[20＋(a 1＋3d )＋(a 1＋4d )]×17＝a 1＋(a 1＋d )，解得a 1＝53，故选D.【方法归纳】(1)已知a n ，a 1，n ，d 中的任意三个量，求出第四个量．(2)应用等差数列的通项公式求a 1和d ，运用了方程的思想．一般地，可由a m ＝a ，a n ＝b ，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋(m －1)d ＝aa 1＋(n －1)d ＝b ，求出a 1和d ，从而确定通项公式．(3)若已知等差数列中的任意两项a m ，a n ，求通项公式或其它项时，则运用a m ＝a n ＋(m －n )d 较为简捷． 【跟踪训练】(1)等差数列{a n }中，a 1＝13，a 2＋a 5＝4，a n ＝33，则n 等于( )A ．50B ．49C ．48D ．47 【答案】A【解析】由题得2a 1＋5d ＝4，将a 1＝13代入得，d ＝23，则a n ＝13＋23(n －1)＝33，故n ＝50.(2)等差数列{a n }中，已知a 5＝10，a 12＝31. ①求a 20；②85是不是该数列中的项？若不是，说明原因；若是，是第几项？ 【解析】(2)①设数列{a n }的公差为d . 因为a 5＝10，a 12＝31，由a n ＝a 1＋(n －1)d 得，⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋4d ＝10，a 1＋11d ＝31，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－2，d ＝3. 即a n ＝－2＋3(n －1)＝3n －5，则a 20＝3×20－5＝55. ②令3n －5＝85，得n ＝30，所以85是该数列{a n }的第30项． 题型二 等差数列的判定与证明【例4】已知数列{a n }满足a 1＝4且a n ＝4－4a n －1(n >1)，记b n ＝1a n －2.(1)求证：数列{b n }是等差数列； (2)求数列{a n }的通项公式．【解析】(1)证明：∵b n ＋1－b n ＝1a n ＋1－2－1a n －2＝1⎝⎛⎭⎫4－4a n －2－1a n －2＝a n 2(a n －2)－1a n －2＝a n －22(a n －2)＝12又b 1＝1a 1－2＝12∴数列{b n }是首项为12，公差为12的等差数列．(2)由(1)知，b n ＝12＋(n －1)×12＝12n ∵b n ＝1a n －2∴a n ＝1b n ＋2＝2n＋2.要证{b n }是等差数列，只需证b n ＋1－b n ＝常数或b n －b n －1＝常数(n ≥2)．【变式探究1】将本例中的条件“a 1＝4，a n ＝4－4a n －1”改为“a 1＝2，a n ＋1＝2a na n ＋2”，求a n .【解析】∵a n ＋1＝2a na n ＋2∴取倒数得：1a n ＋1＝a n ＋22a n ＝12＋1a n ∴1a n ＋1－1a n ＝12，又1a 1＝12，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是首项为12，公差为12的等差数列， ∴1a n ＝1a 1＋(n －1)×12＝12＋n 2－12＝n 2，∴a n ＝2n . 【方法归纳】定义法判断或证明数列{a n }是等差数列的步骤： (1)作差a n ＋1－a n ，将差变形；(2)当a n ＋1－a n 是一个与n 无关的常数时，数列{a n }是等差数列；当a n ＋1－a n 不是常数，是与n 有关的代数式时，数列{a n }不是等差数列．【跟踪训练】已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋2n .(1)设b n ＝a n2n －1，证明：数列{b n }是等差数列．(2)求数列{a n }的通项公式．【解析】(1)证明：因为a n ＋1＝2a n ＋2n ，所以a n ＋12n ＝2a n ＋2n 2n ＝a n2n －1＋1，所以a n ＋12n －a n2n －1＝1，n ∈N *.又b n ＝a n2n －1，所以b n ＋1－b n ＝1.所以数列{b n }是等差数列，其首项b 1＝a 1＝1，公差为1. (2)由(1)知b n ＝1＋(n －1)×1＝n ，所以a n ＝2n －1b n ＝n ·2n －1，经检验，n ＝1时a 1＝1也满足上式． 题型三 等差中项【例5】已知三个数成等差数列，其和为15，其平方和为83，则这三个数为________． 【答案】3,5,7或7,5,3【解析】设此三个数分别为x －d ，x ，x ＋d ， 则⎩⎪⎨⎪⎧(x －d )＋x ＋(x ＋d )＝15(x －d )2＋x 2＋(x ＋d )2＝83 解得x ＝5，d ＝±2.∴所求三个数分别为3,5,7或7,5,3.【总结】三个数成等差数列可设为x -d,x,x+d【变式探究2】已知四个数成等差数列，它们的和为26，中间两项的积为40，求这四个数． 【解析】法一：(设四个变量)设这四个数分别为a ，b ，c ，d ，根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧b －a ＝c －b ＝d －c ，a ＋b ＋c ＋d ＝26，bc ＝40，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，b ＝5，c ＝8，d ＝11或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝11，b ＝8，c ＝5，d ＝2，∴这四个数分别为2,5,8,11或11,8,5,2.法二：(设首项与公差)设此等差数列的首项为a 1，公差为d ，根据题意，得 ⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋(a 1＋d )＋(a 1＋2d )＋(a 1＋3d )＝26，(a 1＋d )(a 1＋2d )＝40，化简，得⎩⎪⎨⎪⎧4a 1＋6d ＝26，a 21＋3a 1d ＋2d 2＝40， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝2，d ＝3，或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝11，d ＝－3，∴这四个数分别为2,5,8,11或11,8,5,2.法三：(灵活设元)设这四个数分别为a －3d ，a －d ，a ＋d ，a ＋3d ，根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ (a －3d )＋(a －d )＋(a ＋d )＋(a ＋3d )＝26，(a －d )(a ＋d )＝40，化简，得⎩⎪⎨⎪⎧4a ＝26，a 2－d 2＝40，解得⎩⎨⎧a ＝132，d ＝±32.∴这四个数分别为2,5,8,11或11,8,5,2.【小结】四个数成等差数列可设为a －3d ，a －d ，a ＋d ，a ＋3d【变式探究3】已知五个数成等差数列，它们的和为5，平方和为859，求这5个数．【解析】设第三个数为a ，公差为d ，则这5个数分别为a －2d ，a －d ，a ，a ＋d ，a ＋2d .由已知有 ⎩⎪⎨⎪⎧(a －2d )＋(a －d )＋a ＋(a ＋d )＋(a ＋2d )＝5，(a －2d )2＋(a －d )2＋a 2＋(a ＋d )2＋(a ＋2d )2＝859， 整理得⎩⎪⎨⎪⎧ 5a ＝5，5a 2＋10d 2＝859.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，d ＝±23. 当d ＝23时，这5个分数分别是－13，13，1，53，73.当d ＝－23时，这5个数分别是73，53，1，13，－13.综上，这5个数分别是－13，13，1，53，73或73，53，1，13，－13.【方法归纳】当等差数列{a n }的项数n 为奇数时，可设中间的一项为a ，再以d 为公差向两边分别设项，即设为…，a －2d ，a －d ，a ，a ＋d ，a ＋2d ，…；当等差数列的项数n 为偶数时，可设中间两项分别为a －d ，a ＋d ，再以2d 为公差向两边分别设项，即设为…，a －3d ，a －d ，a ＋d ，a ＋3d ，….【易错辨析】忽视等差数列中的隐含条件致误【例6】已知{a n }为等差数列，首项为125，它从第10项开始比1大，那么公差d 的取值范围是( )A ．d >875B ．d <325C.875<d <325D.875<d ≤325 【答案】D【解析】由题意可得a 1＝125，且⎩⎪⎨⎪⎧a 10>1a 9≤1即⎩⎨⎧125＋9d >1125＋8d ≤1解得875<d ≤325，故选D.【易错警示】1. 出错原因(1)错选A ，只看到了a 10>1而忽视了a 9≤1，是审题不仔细而致误； (2)错选C ，误认为a 9<1，是由不会读题，马虎造成错误. 2. 纠错心得认真审题，充分挖掘题目中的隐含条件.一、单选题1．等差数列{}n a 的公差为3，若2a ，4a ，8a 成等比数列，则{}n a 的前2n 项2n S =（ ）． A ．3(21)n n - B ．3(21)n n + C ．3(1)2n n + D ．3(1)2n n - 【答案】B 【分析】根据等差数列与等比数列的性质可得数列的通项公式，进而可得2n S . 【解析】等差数列{}n a 的公差为3，且2a ，4a ，8a 成等比数列，2428a a a ∴=，()()2222618a a a ∴+=+，解得26a =，1233a a ∴=-=，{}∴n a 的前2n 项， 22(21)2332n n n S n -=⋅+⨯ 3(21)n n =+．故选：B ．2．已知数列{}n a 满足()()11220n n n n a a a a ++--+=，下列结论正确的是（ ） A ．当11a =时，10a 的最大值258 B ．当11a =时，9a 的最小值384- C ．当101a =时，1a 的最小值17- D ．当91a =时，1a 的最大值132【答案】C【分析】根据题干中的条件可得：12n n a a +-=或120n n a a ++=，即{}n a 是等差数列或等比数列，A 选项分别把两种情况下的10a 算出来，比较大小，求出10a 的最大值，同样的道理，其他选项也可以判断出来，进而选出正确的选项 【解析】()()11220n n n n a a a a ++--+=则120n n aa +--=或120n n a a ++=A 选项，当120n n a a +--=时，{}n a 是等差数列，公差为2，当11a =时，101911819a a d =+=+= 当120n n a a ++=时，12n na a +=-，{}n a 是等比数列，公比为-2，当11a =时，()9102512a =-=-，10a 的最大值为19，故A 选项错误；B 选项，当120n n a a +--=时，{}n a 是等差数列，公差为2，当11a =时，91811617a a d =+=+=当120n n a a ++=时，12n na a +=-，{}n a 是等比数列，公比为-2，当11a =时，()892256a =-=，9a 的最小值为17，故B 选项错误；C 选项，当120n n a a +--=时，{}n a 是等差数列，公差为2，当101a =时，即1192a +⨯=，解得：117a =- 当120n n a a ++=时，12n n a a +=-，{}n a 是等比数列，公比为-2，当101a =时，即()9112a -=，解得：11512a =-，117512<--，故1a 的最小值为17-，故选项C 正确 D 选项，当120n n a a +--=时，{}n a 是等差数列，公差为2，当91a =时，1161a += ，解得：115a =- 当120n n a a ++=时，12n n a a +=-，{}n a 是等比数列，公比为-2，当91a =时，即()8112a -=，解得：11256a =，此时1a 的最大值为1256，D 选项错误 故选：C3．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若235a a +=，728S =，则数列{}n a 的公差为（ ） A ．1- B ．2-C ．1D ．2【答案】C 【分析】由等差数列性质，747S a =求得44a =，根据项与项之间的关系代入条件求得公差. 【解析】由题知，74728S a ==，则44a =，设数列公差为d ，则234424435a a a d a d d +=-+-=+-=， 解得1d =， 故选：C4．在等差数列{}n a 中，前9项和918S =，266a a +=，则3n a =（ ） A ．33-n B ．35n + C ．73n - D ．213n -【答案】C 【分析】根据918S =，266a a +=，可求得公差，再利用等差数列的通项公式即可得解. 【解析】 解：()199599182a a S a ===+，52a ∴=，又26426a a a +==，43a ∴=，∴公差541d a a =-=-，()447n a a n d n =+-⋅=-，373n a n ∴=-．故选：C.5．在ABC ∆中，“π3B =”是“角A ，B ，C 成等差数列”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C 【分析】若π3B =，则2π23AC B +==，若A ，B ，C 成等差数列，则π3B =，得到答案. 【解析】在ABC ∆中，若π3B =，则2ππ23A CB B +=-==，所以A ，B ，C 成等差数列，充分性成立. 反之，若A ，B ，C 成等差数列，则2B A C =+，因为3πA B C B ++==，所以π3B =，必要性成立.所以“π3B =”是“角A ，B ，C 成等差数列”的充要条件. 故选：C.6．已知数列{}n a 的前n 项和n S ，且{}n a 满足122n n n a a a ++=+，532a a -=，若424S S =，则9a =（ ） A ．9 B ．172C ．10D ．192【答案】B 【分析】根据122n n n a a a ++=+判断出{}n a 是等差数列，然后将条件化为基本量，进而解出答案. 【解析】由122n n n a a a ++=+可知，{}n a 是等差数列，设公差为d ，所以53221a a d d -==⇒=， 由()1421114642241S S a a a ⇒+=⨯+⇒==，所以9117822a =+=. 故选：B.7．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若3724a a +=，840S =，则29a a +等于（ ） A ．44- B ．14C ．24D ．38【答案】D 【分析】根据条件，列出方程组，求出首项和公差即可求解. 【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ，由3724a a +=，840S =得112824,82840,a d a d +=⎧⎨+=⎩ 解得144,14,a d =-⎧⎨=⎩则2912938a a a d +=+= 故选：D8．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，43a =，1224S =，若i 0j a a +=（i ，j N *∈，且1i j ≤<），则i 的取值集合是（ ）A ．{}1,2,3B ．{}1,2,3,4,5C ．{}6,7,8D ．{}6,7,8,9,10【答案】B 【分析】设公差为d ，结合等差数列的通项公式和求和公式即可求出首项和公差，即可写出数列中的项，从而可选出正确答案. 【解析】设公差为d ，由4133a a d =+=-及121121112242S a d ⨯=+=，解得19a =-，2d =， 所以数列为9-，7-，5-，3-，1-，1，3，5，7，9，11，…，故i 取值的集合为{}1,2,3,4,5. 故选:B .二、多选题9．将2n 个数排成n 行n 列的一个数阵，如下图： 1112131n a a a a ⋯⋯ 2122232n a a a a ⋯⋯ 3132333n a a a a ⋯⋯ ……123n n n nn a a a a ⋯⋯ 该数阵第一列的n 个数从上到下构成以m 为公差的等差数列，每一行的n 个数从左到右构成以m 为公比的等比数列(其中0m >).已知1113612,1a a a ==+，记这2n 个数的和为S .下列结论正确的有（ ） A ．3m =B ．767173a =⨯C ．1()313j ij a i -=⨯-D ． (13)131(4)n S n n =-＋ 【答案】ACD 【分析】根据题意，利用等差数列和等比数列的通项公式以及求和公式，对各选项进行判断，即可得到结果. 【解析】由11136121a a a ==+，，可得22131161112525a a m m a a m m ===+=+，，所以22251m m =++，解得3m =或12m =- (舍去)，所以选项A 是正确的； 又由6666761(253)3173a a m ==+⨯⨯=⨯，所以选项B 不正确；又由1111111[()][2]11333()(3)1j j j j ij i a a m a i m m i i ----==+-⋅⋅=+-⨯⨯=-⨯，所以选项C 是正确的；又由这2n 个数的和为S ，则111212122212()()()n n n n nn S a a a a a a a a a =++⋯++++⋯++⋯+++⋯+()()()11211131313...131313n n n n a a a ---=+++--- ()()()()23111 313131224n n n n n n +-=-⨯=+-，所以选项D 是正确的； 故选：ACD.10．设等差数列{a n }的前n 项和为S n .若S 3＝0，a 4＝8，则（ ）A ．S n ＝2n 2－6nB ．S n ＝n 2－3nC ．a n ＝4n －8D ．a n ＝2n【答案】AC【分析】根据已知条件求得1,a d ，由此求得,n n a S ，从而确定正确选项，【解析】 依题意3408S a =⎧⎨=⎩， 1113304,438a d a d a d +=⎧⇒=-=⎨+=⎩， 所以2148,262n n n a a a n S n n n +=-=⋅=-. 故选：AC11．已知等差数列{a n }中，a 1＝3，公差为d (d ∈N *)，若2021是该数列的一项，则公差d 不可能是（ ） A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】BCD【分析】由已知得2021＝3＋(n －1)d ，即有n ＝2018d ＋1，因为d ∈N *，所以d 是2 018的约数，故d 不可能是3，4和5.由此可得选项.【解析】解：由2021是该数列的一项，即2021＝3＋(n －1)d ，所以n ＝2018d＋1，因为d ∈N *，所以d 是2 018的约数，故d 不可能是3，4和5.故选：BCD.第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明三、填空题12．设n S 为正项数列{n a }的前n 14n a +，则通项公式n a =___________ 【答案】21()4n n N +-∈ 【分析】当1n =时，求得114a =；当2n ≥时，可得21()4n n S a =+，则2111()4n n S a --=+， 两式相减得到112n n a a --=，结合等差数列的定义，即可求解其通项公式. 【解析】由n S 为正项数列{n a }的前n 14n a =+，当1n =114a =+，可得2111()4a a =+，解得114a =， 当2n ≥时，可得21()4n n S a =+，则2111()4n n S a --=+， 两式相减，可得1-11()()02n n n n a a a a -+--=， 因为0n a >，所以112n n a a --=， 所以数列{n a }是以12为公差，以14为首项的等差数列， 所以1121(1)424n n a n -=+-=. 故答案为：21()4n n N +-∈. 13．在等差数列{a n }中，a 3＝0．如果a k 是a 6与a k ＋6的等比中项，那么k ＝________．【答案】9【分析】根据等比数列的性质以及等差数列的通项公式求解即可.【解析】设等差数列{a n }的公差为d ，由题意得a 3＝a 1＋2d ＝0，∈a 1＝－2d ．又∈a k 是a 6与a k ＋6的等比中项，266k k a a a +∴=，即[a 1＋(k －1)d ]2＝(a 1＋5d )·[a 1＋(k ＋5)d ]，[(k －3)d ]2＝3d ·(k ＋3)d ，解得k ＝9或k ＝0(舍去)． 故答案为：914．在等差数列{a n }中，a 1＋a 5＝2，a 3＋a 7＝8，则a 11＋a 15＝________.【答案】32【分析】由a 1＋a 5＝2，a 3＋a 7＝8，两式相减求得公差即可.【解析】因为a 1＋a 5＝2，a 3＋a 7＝8，所以(a 3＋a 7)－(a 1＋a 5)＝4d ＝6，解得d ＝32， 所以a 11＋a 15＝(a 1＋a 5)＋20d ＝2＋20×32＝32. 故答案为：32四、解答题15．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且28S =，9411S a =. （1）求n a ；（2）若3n n S a =+2 ，求n .【答案】（1）21n a n =+（2）4n =【分析】（1）设公差为d ，根据28S =，9411S a =，列出方程组，求得首项跟公差，即可得出答案； （2）利用等差数列前n 项和的公式求得n S ，再根据3n n S a =+2 ，即可的解. （1）解：设公差为d ，由已知294811S S a =⎧⎨=⎩， 得：()11128936113a d a d a d +=⎧⎨+=+⎩，解得：132a d =⎧⎨=⎩， 所以21n a n =+；（2）解：()232122n n n S n n ++==+， 因为3n n S a =+2 ，即()223212n n n +=++，得2450n n --=，解得4n =，或1n =-（舍去）， 所以4n =.16．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，1646,2a a a +==. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求n S 的最大值及相应的n 的值.【答案】（1）102n a n =-（2）当4n =或5n =时，n S 有最大值是20【分析】（1）用等差数列的通项公式即可. （2）用等差数列的求和公式即可. （1）在等差数列{}n a 中，∈1646,2a a a +==, ∈1125632a d a d +=⎧⎨+=⎩， 解得182a d =⎧⎨=-⎩， ∈1(1)102n a n d a n ==--+；（2）∈18,2a d ==-，1(1)2n n n S na d -=+ ∈1(1)(1)8(2)22n n n n n S na d n --=+=+-29n n =-+ ， ∈当4n =或5n =时，n S 有最大值是20。
第三课时 等差数列(一)
第三课时 等差数列(一)教学目标：明确等差数列的定义，掌握等差数列的通项公式，会解决知道a n ,a 1,d ,n 中的三个，求另外一个的问题；培养学生观察能力，进一步提高学生推理、归纳能力，培养学生的应用意识.教学重点：1.等差数列的概念的理解与掌握.2.等差数列的通项公式的推导及应用.教学难点：等差数列“等差”特点的理解、把握和应用.教学过程：Ⅰ.复习回顾上两节课我们共同学习了数列的定义及给出数列的两种方法——通项公式和递推公式.这两个公式从不同的角度反映数列的特点，下面我们看这样一些例子Ⅱ.讲授新课1，2，3，4，5，6； ①10，8，6，4，2，…； ②21，2112 ，22，2212 ，23，2312 ，24，2412 ，25 ③2，2，2，2，2，… ④首先，请同学们仔细观察这些数列有什么共同的特点?是否可以写出这些数列的通项公式？（引导学生积极思考，努力寻求各数列通项公式，并找出其共同特点）数列①是一递增数列，后一项总比前一项多1，其通项公式为：a n ＝n (1≤n ≤6).数列②是由一些偶数组成的数列，是一递减数列，后一项总比前一项少2，其通项公式为：a n ＝12－2n (n ≥1).数列③是一递增数列，后一项总比前一项多12 ，其通项公式为：a n ＝2012 ＋12n （1≤n ≤9) 数列④的通项公式为：a n ＝2(n ≥1)是一常数数列.综合上述所说，它们的共同特点是什么呢？它们的共同特点是：从第2项起，每一项与它的前一项的“差”都等于同一个常数.也就是说，这些数列均具有相邻两项之差“相等”的特点.具有这种特点的数列，我们把它叫做等差数列.1.定义等差数列：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d 表示.如：上述4个数列都是等差数列，它们的公差依次是1，－2，12，0. 2.等差数列的通项公式等差数列定义是由一数列相邻两项之间关系而得.若一等差数列{a n }的首项是a 1，公差是d ，则据其定义可得：(n －1)个等式⎩⎪⎨⎪⎧a 2－a 1＝d a 3－a 2＝da 4－a 3＝d …a n －a n －1＝d若将这n －1个等式左右两边分别相加，则可得：a n －a 1＝(n －1)d 即：a n ＝a 1＋(n －1)d当n ＝1时，等式两边均为a 1，即上述等式均成立，则对于一切n ∈N *时上述公式都成立，所以它可作为数列{a n }的通项公式.或者由定义可得：a 2－a 1＝d 即：a 2＝a 1＋d ；a 3－a 2＝d 即：a 3＝a 2＋d ＝a 1＋2d ；a 4－a 3＝d 即：a 4＝a 3＋d ＝a 1＋3d ；……；a n －a n －1＝d ，即：a n ＝a n －1＋d ＝a 1＋(n －1)d看来，若已知一数列为等差数列，则只要知其首项a 1和公差d ,便可求得其通项.如数列①：a n ＝1＋(n －1)×1＝n (1≤n ≤6),数列②：a n ＝10＋(n －1)×(－2)＝12－2n (n ≥1),数列③：a n ＝22＋(n －1) 12 ＝2112 －12n (n ≥1), 数列④：a n ＝2＋(n －1)×0＝2(n ≥1)由通项公式可类推得：a m ＝a 1＋(m －1)d ，即：a 1＝a m －(m －1)d ，则：a n ＝a 1＋(n －1)d ＝a m －(m －1)d ＋(n －1)d ＝a m ＋(n －m )d .如：a 5＝a 4＋d ＝a 3＋2d ＝a 2＋3d ＝a 1＋4d3.例题讲解［例1］(1)求等差数列8，5，2…的第20项.分析：由给出的三项先找到首项a 1,求出公差d ，写出通项公式，然后求出所要项.解：由题意可知：a 1＝8，d ＝5－8＝2－5＝－3∴该数列通项公式为：a n ＝8＋(n －1)×(－3)，即：a n ＝11－3n (n ≥1)，当n ＝20时，则a 20＝11－3×20＝－49.答案：这个数列的第20项为－49.(2)－401是不是等差数列－5，－9，－13…的项?如果是，是第几项?分析：要想判断－401是否为这数列的一项，关键要求出通项公式，看是否存在正整数n ，可使得a n ＝－401.解：由题意可知：a 1＝－5，d ＝－9－(－5)＝－4,∴数列通项公式为：a n ＝－5－4(n －1)＝－4n －1.令－401＝－4n －1，解之得n ＝100.∴－401是这个数列的第100项.［例2］在等差数列{a n }中，已知a 5＝10，a 12＝31，求首项a 1与公差d .解：由题意可知，⎩⎨⎧a 1＋4d ＝10 ①a 1＋11d ＝31 ②这是一个以a 1和d 为未知数的二元一次方程组，解这个方程组，得a 1＝－2，d ＝3.即这个等差数列的首项是－2，公差是3.［例3］在等差数列{a n }中，已知a 5＝10，a 15＝25，求a 25.思路一：根据等差数列的已知两项，可求出a 1和d ，然后可得出该数列的通项公式，便可求出a 25.解法一：设数列{a n }的首项为a 1,公差为d ,则根据题意可得：⎩⎨⎧a 1＋4d ＝10a 1＋14d ＝25这是一个以a 1和d 为未知数的二元一次方程组，解这个方程组，得a 1＝4，d ＝32. ∴这个数列的通项公式为：a n ＝4＋32 ×(n －1)，即：a n ＝32 n ＋52. ∴a 25＝32 ×25＋52＝40. 思路二：若注意到已知项为a 5与a 15，所求项为a 25，则可直接利用关系式a n ＝a m ＋(n －m )d .这样可简化运算.解法二：由题意可知：a 15＝a 5＋10d ，即25＝10＋10d ,∴10d ＝15.又∵a 25＝a 15＋10d ，∴a 25＝25＋15＝40.思路三：若注意到在等差数列{a n }中，a 5，a 15，a 25也成等差数列，则利用等差中项关系式，便可直接求出a 25的值.解法三：在等差数列{a n }中，a 5，a 15，a 25成等差数列∴2a 15＝a 5＋a 25，即a 25＝2a 15－a 5,∴a 25＝2×25－10＝40.［例4］已知等差数列{a n }中，a 15＝33，a 45＝153，试问217是否为此数列的项？若是说明是第几项；若不是，说明理由.分析：这是一个探索性问题，但由于在条件中已知道两项的值，所以，在求解方法上，可以考虑运用方程思想求解基本量a 1和d ，也可以利用性质求d ，再就是考虑运用等差数列的几何意义.解法一：由通项公式，知⎩⎨⎧a 15＝a 1＋14d ＝33a 45＝a 1＋44d ＝153 得：⎩⎨⎧a 1＝－23d ＝4由217＝－23＋4(n －1)，得n ＝61.解法二：由等差数列性质，得a 45－a 15＝30d ＝153－33，即d ＝4又a n ＝a 15＋(n －15)d ，217＝33＋4(n －15)，解得n ＝61.解法三：由等差数列的几何意义可知，等差数列的图象是一些共线的点由于P （15，33），Q （45，153），R （n ，217）在同一条直线上.故有153－3345－15 ＝217－153n －45，解得n ＝61. 评述：运用等差数列的通项公式，知三求一.如果已知两个条件，就可以列出方程组解之.如果利用等差数列的性质，几何意义去考虑也可以，因此要根据具体问题具体分析.［例5］已知数列{a n }为等差数列，a 3＝54 ，a 7＝－34，求a 15的值. 解法一：利用通项公式，设数列{a n }的首项为a 1,公差为d则⎩⎨⎧a 1＋2d ＝54 a 1＋6d ＝－34 解之得⎩⎨⎧a 1＝94 d ＝－12a 15＝a 1＋14d ＝94 ＋14×(－12 )＝－194解法二：利用等差数列的性质a 7＝a 3＋4d 把已知条件代入,得：d ＝－12∴a 15＝a 7＋(15－7)d ＝－194. 解法三：∵{a n }为等差数列，∴a 3,a 7,a 11,a 15……也成等差数列由a 3＝54 ，a 7＝－34知上述数列首项为54，公差为－2 ∴a 15＝54 ＋(3－1)·（－2）＝－194［例6］两个等差数列5，8，11，……和3，7，11，……都有100项，那么它们共有多少相同的项？ 分析：显然，已知的两数列的所有相同的项将构成一个新的数列{a n }，这样问题就转化为一个研究数列{a n }的项数问题了.解法一：设已知的两数列的所有相同的项将构成的新数列为{c n }，c 1=11,又数列5，8，11，……的通项公式为a n ＝3n ＋2，数列3，7，11，……的通项公式为b n ＝4n －1.∴数列{c n }为等差数列，且d ＝12.∴c n ＝12n －1又∵a 100＝302，b 100＝399，∴c n ＝12n －1＜302得n ≤2514，可见已知两数列共有25个相同的项. 解法二：∵a n ＝3n ＋2，b n ＝4n －1，设a n ＝b m则有3n ＋2＝4m －1(n ，m ∈N *)，即n ＝43m －1(n ，m ∈N *) 要使n 为正整数，m 必须是3的倍数.设m ＝3k (k ∈N *)，代入前式得n ＝4k －1又∵1≤3k ≤100，且1≤4k －1≤100，解得1≤k ≤25∴共有25个相同的项.［例7］一个首项为23，公差为整数的等差数列，如果前六项均为正数，第七项起为负数，则它的公差是多少？解：由⎩⎨⎧23＋（6－1）d ＞023＋（7－1）d ＜0得－4.6＜d ＜－236 答案：－4 Ⅲ.课堂练习课本P 34练习1，2，31.（1）求等差数列3，7，11，……的第4项与第10项.分析：根据所给数列的前3项求得首项和公差，写出该数列的通项公式，从而求出所求项.解：根据题意可知：a 1＝3，d ＝7－3＝4.∴该数列的通项公式为：a n ＝3＋(n －1)×4，即a n ＝4n －1(n ≥1，n ∈N *)∴a 4＝4×4－1＝15，a 10＝4×10－1＝39.评述：关键是求出通项公式.（2）求等差数列10，8，6，……的第20项.解：根据题意可知：a 1＝10，d ＝8－10＝－2.∴该数列的通项公式为：a n ＝10＋(n －1)×(－2)，即：a n ＝－2n ＋12，∴a 20＝－2×20＋12＝－28.评述：要注意解题步骤的规范性与准确性.（3）100是不是等差数列2，9，16，……的项？如果是，是第几项？如果不是，说明理由.分析：要想判断一数是否为某一数列的其中一项，则关键是要看是否存在一正整数n 值，使得a n 等于这一数.解：根据题意可得：a 1＝2，d ＝9－2＝7.∴此数列通项公式为：a n ＝2＋(n －1)×7＝7n －5.令7n －5＝100，解得：n ＝15,∴100是这个数列的第15项.（4）－20是不是等差数列0，－312，－7，……的项？如果是，是第几项？如果不是，说明理由. 解：由题意可知：a 1＝0，d ＝－312∴此数列的通项公式为：a n ＝－72 n ＋72令－72 n ＋72 ＝－20，解得n ＝477因为－72 n ＋72＝－20没有正整数解，所以－20不是这个数列的项. 2.在等差数列{a n }中，（1）已知a 4＝10，a 7＝19，求a 1与d ；(2)已知a 3＝9，a 9＝3，求a 12.解：（1）由题意得：⎩⎨⎧a 1＋3d ＝10a 1＋6d ＝19 解之得：⎩⎨⎧a 1＝1d ＝3(2)解法一：由题意可得：⎩⎨⎧a 1＋2d ＝9a 1＋8d ＝3 解之得：⎩⎨⎧a 1＝11d ＝－1∴该数列的通项公式为：a n ＝11＋(n －1)×(－1)＝12－n∴a 12＝0解法二：由已知得：a 9＝a 3＋6d ，即：3＝9＋6d∴d ＝－1又∵a 12＝a 9＋3d ，∴a 12＝3＋3×(－1)＝0.Ⅳ.课时小结通过本节学习，首先要理解与掌握等差数列的定义及数学表达式：a n －a n －1＝d (n ≥2).其次，要会推导等差数列的通项公式：a n ＝a 1＋(n －1)d (n ≥1)，并掌握其基本应用.最后，还要注意一重要关系式：a n ＝a m ＋(n －m )d 的理解与应用.Ⅴ.课后作业课本P 39习题 1，2，3，4。
等差数列(第3课时)
1 3．已知a 是等差数列，且 n
a4＝6，a6＝4，则 a10＝
12 ______. 5
1 1 1 1 1 解析 － ＝ － ＝2d，即 d＝ . a6 a4 4 6 24 1 1 1 1 5 12 所以 ＝ ＋4d＝ ＋ ＝ ，所以 a10＝ . a10 a6 4 6 12 5
4． 已知方程(x2－2x＋m)(x2－2x＋n)＝0 的四个根组成 1 1 一个首项为 的等差数列，则|m－n|＝________. 2 4
方法二
因为 a60＝a15＋(60－15)d， a60－a15 20－8 4 所以 d＝ ＝ ＝ ， 60－15 60－15 15 4 所以 a75＝a60＋(75－60)d＝20＋15× ＝24. 15
总结
方法一：先求出 a1，d，然后求 a75；方法二：
应用通项公式的变形公式 an＝am＋(n－m)d 求解．
课堂练习
1．一个等差数列的首项为 a1＝1， 的取值个数是 ( B ) A．6
解析
B．7
C．8
D．不确定
由 an＝a1＋(n－1)d， 40 得 41＝1＋(n－1)d，d＝ 为整数． n－1 则 n＝3,5,6,9,11,21,41 共 7 个．
2． 等差数列{an}的公差 d<0， a2· 4＝12， 2＋a4＝8， 且 a a 则数列{an}的通项公式是 A．an＝2n－2 (n∈N*) B．an＝2n＋4 (n∈N*) C．an＝－2n＋12 (n∈N*) D．an＝－2n＋10 (n∈N*)
解析 a a2·4＝12， 由a2＋a4＝8， d<0，
(1)证明 当 n>1，n∈N*时， an－1 2an－1＋1 1－2an 2an－1＋1 an ＝ 1－2an ⇔ an ＝ an－1 1 1 1 1 ⇔ －2＝2＋ ⇔ － ＝4⇔bn－bn－1＝4，且 b1 an an an－1 an－1 1 ＝a ＝5. 1 ∴{bn}是等差数列，且公差为 4，首项为 5.
等差数列的定义与通项公式(张好科)
（七）板书设计
等差数列
1、定义
an+1-an=d (d是常数，n∈N+)
2、通项公式
an=a1+(n-1)d
例 1 、2、3
题组练习1、2、3、4
域领用应
设计意图：展现过程，突出重点。
教材分析 教法学法 教学过程 教学反思
本节课抓住等差数列与实际问题的相关联系,把上课 的着眼点放在如何引导学生探究知识，获得知识上，以 学生的自主探索，合作交流为主线，让学生经历数学知 识的形成、应用过程，加深对所学知识的理解，让“抬 头教学”落到了实处。本节课是一个用眼观察，动脑思 考，寻找规律，动手推导，公式应用，共同提高的动态 生成过程。教师是知识学习的策划者，组织者，学生是 学习的主人，由于学生的层次不一，老师要全程关注学 生的学习动态，进行分层施教，教师在观察学生自主探 究、合作交流中的表现时，给予指导，肯定和鼓励，通 过课堂设问和练习及时反馈学生学习情况，及时进行补 偿性教学。学生在小组活动中实现自我评价和他人评价。 对于生成过程中可能出现的突发事件，做到因势利导， 随机应变，适时调节教学环节，激活课堂气氛，提高课 堂效益，让课堂教学达到最佳状态。
三种方法：迭加法 迭代法 不完全归纳法
设计意图：小结在教师的引导下由学生完成，教师鼓励学 生积极回答,以此培养学生的口头表达能力和归纳概括能力。 从知识，思想，方法层面进行小结。让学生在明确本节课 重难点的同时，强化本节课所学内容。
课后作业：（1）课本练习题A组第1、2题
（2）选做题B组3、4
（3）寻找生活中等差数列的实例 .
公差 d=0
设计意图：
主要是让学生通过例子直观感受等差数列的定义，检测 学生对等差数列概念的理解
等差数列的概念及通项公式说课稿
等差数列的概念及通项公式说课稿一、教材分析1、教材的地位和作用：数列就是职专数学关键内容之一，它不仅有著广为的实际应用领域，而且起至着承前启后的促进作用。
一方面,数列做为一种特定的函数与函数思想密不可分；另一方面,自学数列也为进一步自学数列的音速等内容搞好准备工作。
而等差数列就是在学生自学了数列的有关概念和得出数列的两种方法——通项公式和关系式公式的基础上，对数列的科学知识进一步深入细致和拓广。
同时等差数列也为今后自学等比数列提供更多了自学对照的依据。
2、教学目标根据教学大纲的建议和学生的实际水平，确认了本次课的教学目标1、在知识上：理解并掌握等差数列的概念，并用定义判断一个数列是否为等差数列；了解等差数列的通项公式的推导过程及思想，会求等差数列的公差及通项公式，并能在解题中灵活应用；初步引入“数学建模”的思想方法并能运用。
2、在能力上：培育学生观测、分析、概括、推理小说的能力；通过阶梯性练，提升学生分析问题和解决问题的能力。
3、在情感上：通过对等差数列的研究，培养学生主动探索、勇于发现的求知精神；养成细心观察、认真分析、善于总结的良好思维习惯。
3、教学重点根据教学大纲的要求确定本节课的教学重点为:1、等差数列的概念。
4、教学难点1、用数学建摸的思想化解实际问题2、通项公式的灵活运用二、学情分析由于是中专学生，他们学习基础差且参差不齐，幸好经过几个月的磨合，学生对学习数学产生了浓厚兴趣。
课堂上均能听老师的指挥，能大胆发言，乐于做练习,基本堂堂清。
三、教法分析针对中专生思维特点和心理特征，本节课我采用启发式、讨论式以及讲练结合的教学方法，通过问题激发学生求知欲，使学生主动参与数学实践活动，以独立思考和相互交流的形式，在教师的指导下发现、分析和解决问题。
四、学法指导在引导分析时，留出学生的思考空间，让学生去联想、探索，同时鼓励学生大胆质疑，围绕中心各抒己见，把思路方法和需要解决的问题弄清。
五、教学程序本节课的教学过程由（一）新课导入（二）新课讲授（三）讲解范例（四）课堂小结（五）作业布置（六）板书设计，六个教学环节构成。
等差数列的概念及通项公式 PPT
1、通过实例，理解等差数列的概念． 2、探索并掌握等差数列的通项公式． 3、体会等差数列与一次函数的关系．
自学教材 P36—P38 解决下列问题
一、探索并掌握等差数列的通项公式． 二、完成《导学案》.
引例一
请你说出本月的星期天依次是几号? 得到的数列: 1, 8, 15, 22, 29
这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示。
an-an-1=d ( n∈N*,n≥2 ) {an}为等差数列
大家有疑问的，可以询问和交流
可以互相讨论下，但要小声点
观察下列数列是否是等差数列：
1 1 , 2 , 4 , 6 , 8 ,10 , 12 ,L
2 -3 , -2 , 1 , 3 , 5 , 7 , L
证明数列是等差数列的又一常用方法
等差数列的图象1
10 9
●
（1）数列：-2，0，2，4，6，8，10，…
8
●
7
6
●
5
a Q 2n4,nN. n
4
●
y2x4, xR.
3
2
●
1
●
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
●
10
等差数列的图象2
9 （2）数列：7，4，1，-2，…
8
7
●
6
5
4
●
a 3n10,nN. n
发现？
运动鞋尺码的数列
22
1 ，23， 23 2
1 ，24， 24 2
1 2
，25， 25
1 ，26 2
观察：以上数列有什么共同特点？
对于每个数列而言,从第 2项起，每一项与前一项的 差都等于同一常数。
等差数列知识总结(基础)
等差数列知识总结
1、定义
1(2)n n a a d n --=≥ 1(1)n n a a d n +-=≥
注意：
①数列{}n a ，{}n b 是等差数列，数列{}n n ma kb +也是等差数列 ②若0d >，数列{}n a 为递增数列，若0d <，数列{}n a 为递减数列，若0d =，数列{}n a 为常数列
2、等差中项
若,,a A b 成等差数列，则2a b A +=；
若112(2)n n n a a a n -+=+≥，数列{}n a 是等差数列.
3、等差数列的通项公式
1(1)n a a n d =+-
①推导方法：归纳法、累加法
②公式的变形：()n m a a m n d -=-
③公式的形式（可以用来判断等差数列）：n a pn q =+（,p q 为常数） ④若p q s t +=+，则p q s t a a a a +=+
4、等差数列的前n 项和
1(+)2n n n a a S =，1(1)2
n n n S na d -=+ 注意：
①推导方法：倒序相加法
②“片段和”性质：数列{}n a 是等差数列，则232,,m m m m m S S S S S --也是等差数列
③公式的形式（可以用来判断等差数列）：2n S An Bn =+（,A B 为常数）
④n S 的最值问题
⑤数列{||}n a 的求和问题。
等差数列的概念和通项公式 课件
【名师点评】 在等差数列{an}中，首项a1 与公差d是两个最基本的元素；有关等差数 列的问题,如果条件与结论间的联系不明显, 则均可化成有关a1、d的关系列方程组求解, 但是要注意公式的变形及整体计算，以减少 计算量．
题型三 等差中项及运用
例3 (本题满分12分)已知等差数列{an}中, a5＋a6＋a7＝15，a5·a6·a7＝45，求数列{an} 的通项公式． 【思路点拨】显然a6是a5和a7的等差中项， 可利用等差中项的定义求解a5和a7，进而求 an.
方法技巧
1．等差数列的通项公式可以解决以下三类 问题
(1)已知an，a1，n，d中的任意三个量，可 求出第四个量；
(2)已知数列{an}的通项公式，可以求出等差 数列{an}中的任一项，也可以判断某一个数 是否是该数列中的项；
(3)若已知{an}的通项公式是关于n的一次函
数或常数函数，则可判断{an}是等差数列．
∴cn＋1－cn(n≥1)不等于同一个常数，不符 合等差数列的定义．
∴{cn}不是等差数列．
3．已知单调递增等差数列{an}的前三项之 和为21，前三项之积为231，求数列{an}的 通项公式． 解：法一：由题意可得a1＋a2＋a3＝21，
a1a2a3＝231，
则3a1＋3d＝21， a1a1＋da1＋2d＝231，
(2)由an＝n2＋n， 得a1＝2，a2＝6，a3＝12， ∴a2－a1≠a3－a2. 由此可知数列{an}不是等差数列． 【名师点评】 定义法判断或证明数列{an} 是等差数列的步骤：
(1)作差an＋1－an，将差变形；
(2)当an＋1－an是一个与n无关的常数时，数 列{an}是等差数列；当an＋1－an不是常数， 是与n有关的代数式时，数列{an}不是等差 数列．
第3课时 等差数列的性质
知识梳理
1.下标性质：在等差数列{an}中，若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)， 则am＋an＝ ap＋aq . 2.特别地，若m＋n＝2p(m，n，p∈N*)，则有am＋an＝ 2ap . 注意点：(1)推广：若m＋n＋p＝x＋y＋z，则am＋an＋ap＝ax＋ay＋az； (2)该性质要求下标的和相等，且左右两侧项数相同；(3)在有穷等差数 列中，与首末两项等距离的两项之和都相等，即a1＋an＝a2＋an－1＝….
例1 有两个等差数列2,6,10，…，190和2,8,14，…，200，由这两个等
差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列，则这个新数列的
项数为
A.15
√B.16
C.17
D.18
解析 易知，第一个数列的公差为4，第二个数列的公差为6，
故新数列的公差为具有相同首项的两个数列公差的最小公倍数，其公
学习目标
1.能根据等差数列的定义推出等差数列的常用性质. 2.能运用等差数列的性质简化计算.
导语
同学们，前面我们学习了等差数列的概念，明白了等差数列是 一种特殊的函数，在学习过程中，我们发现了一个非常有意思 的事情，比如说an＝n，这是一个正整数列，如果我们把其中的 偶数拿出来，即2,4,6,8,10…容易发现这也是一个等差数列，同 样，如果我们把所有的奇数拿出来，也能构成一个新的数列， 今天我们就具体研究等差数列中有哪些性质.
1234
3.在等差数列{an}中，a3＋a7＝4，则必有
A.a5＝4
√C.a5＝2
B.a6＝4 D.a6＝2
解析 因为a3＋a7＝2a5＝4，所以a5＝2.
1a2＋a4，a8＝－3，则a20的值是_－__1_5__. 解析 ∵数列{an}是等差数列，∴a1＋a5＝a2＋a4， 又a1＝a2＋a4，∴a5＝0， ∴d＝a88－ －a55＝－33＝－1，故 a20＝a5＋15d＝－15.
§12.03等差数列的概念与通项公式
§12.3 等差数列的概念与通项公式教学目标(1)进一步熟悉等差数列的定义和通项公式，并能利用它们解决数列的相关问题；(2)了解等差数列的一些简单性质．重点、难点重点：等差数列定义及其通项公式的应用；难点：等差数列的性质．教学过程一、回顾复习1．等差数列的定义如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d 表示．2．等差数列的通项公式a n ＝a 1＋(n －1)d ；a n ＝a m ＋(n －m )d ．(n ，m ∈N *)．3．等差中项若a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项，其中A ＝a ＋b 2． 4．等差数列的判定方法利用定义判定：{a n }成A ．P ． a n ＋1－a n ＝d ．二、数学探究与应用1．探究一问题1 等差数列的通项公式是什么？问题2 如何方便地画出等差数列的图象？问题3 我们知道函数y ＝kx ＋b 的图象是一条直线，那么如果一个数列{a n }的通项公式为a n ＝kn ＋b ，其中k ，b 都是常数，那么这个数列一定是等差数列吗？分析 由等差数列的定义，要判定{a n }是不是等差数列，只要看a n －a n －1(n ≥2)是不是一个与n 无关的常数．证明 因为当n ≥2时，a n －a n －1＝(kn ＋b )－[k (n －1)＋b ]＝k (为常数)，所以{a n }是等差数列，首项a 1＝k ＋b ，公差为k ．注：①若k ＝0，则{a n }是公差为0的等差数列，即为常数列b ，b ，b ，…．②若k ≠0，则{a n }是关于n 的一次式,从图象上看，表示数列的各点均在一次函数y ＝kx ＋b 的图象上，一次项的系数是公差，直线在y 轴上的截距为b ．2．数学应用1例1 已知等差数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －１，求首项a 1和公差d ．解 由题知a 1＝2×1－1＝1，a 2＝2×2－1＝3，所以d ＝a 2－a 1＝2．例2 (1)在等差数列{a n }中，已知a 1＝10，a 2＝4，求a n ；(2)在等差数列{a n }中，已知a 1＝10，a 7＝28，求a n ；(3)在等差数列{a n }中，已知a 3＝10，a 9＝28，求a n ． 解 (1)因为d ＝ a 2－a 1＝4－10＝－6，所以a n ＝ a 1＋(n －1)d ＝10－6(n －1)＝16－6n ．(2)因为a 7＝a 1＋6d ＝10＋6d ＝28，所以 d ＝3，a n ＝a 1＋(n －1)d ＝10＋3(n －1)＝3n ＋7．(3)解法一：因为a 3＝10，a 9＝28，所以 ⎩⎨⎧a 1＋2d ＝10，a 1＋8d ＝28， 解得 ⎩⎨⎧a 1＝4，d ＝3．所以a n ＝ a 1＋(n －1)d ＝4＋3(n －1)＝ 3n ＋1．解法二：因为d ＝a 9－a 39－3＝3， 所以a n ＝a 3＋(n －3)d ＝10＋3(n －3)＝3n ＋1． (或a n ＝a 9＋(n －9)d ＝28＋3(n －9)＝3n ＋1)例3 梯子最高一级宽33cm ，最低一级宽为110cm ，中间还有10级，各级的宽度成等差数列，试求梯子中间各级的宽度． 解 梯子共有12级，设a n 表示梯子自上而下第n 级的宽度，所以a 1，a 2，…，a n …，a 12成等差数列．由已知条件，a 1＝33，a 12＝110，可得a 12－a 1＝(12－1)d ＝110－33，解得 d ＝7．因此 a 2＝a 1＋d ＝33＋7＝40，a 3＝a 2＋d ＝40＋7＝47，a 4＝a 3＋d ＝47＋7＝54，a 5＝a 4＋d ＝54＋7＝61，a 6＝a 5＋d ＝61＋7＝68，a 7＝a 6＋d ＝68＋7＝75，a 8＝a 7＋d ＝75＋7＝82，a 9＝a 8＋d ＝82＋7＝89，a 10＝a 9＋d ＝89＋7＝96，a 11＝a 10＋d ＝96＋7＝103，答 梯子中间各级的宽度从上到下依次是40cm ，47cm ，54cm ，61cm ，68cm ，75cm ，82cm ，89cm ，96cm ，103cm ．3．探究2问题4 如果A ，B ，C 成等差数列，则A ，B ，C 满足什么关系？问题5 任意给一个等差数列{a n }，任取其相邻的三项，该三项是否构成等差数列？问题6 问题5中任取相邻的三项a n －1，a n ，a n ＋1满足什么关系？ 问题7 在数列{a n }中，如果对于任意的正整数n (n ≥2)，都有a n ＝a n －1＋a n +12，那么数列{a n }一定是等差数列吗？证明：在数列{a n }中，对于任意的正整数n (n ≥2)，都有a n ＝a n －1＋a n +12， 那么 a n ＋1－a n ＝a n －a n －1(n ≥2)． 这表明，这个数列从第2项起，后一项减去前一项所得的差始终相等，所以数列{a n }是等差数列．说明：如果a n ＝a n －1＋a n +12，则称a n 为a n －1，a n ＋1的等差中项． 4．数学应用2例4 如图，三个正方形的边AB ，BC ，CD的长组成等差数列，且AD ＝21cm ，这三个正方形的面积之和是179cm 2．(1)求AB ，BC ，CD 的长； (2)若AB ，BC ，CD 的长为等差数列的前三项，以第10项为边长的正方形的面积是多少？解 (１)设公差为d (d ＞0)，BC ＝x ，则AB ＝x －d ，CD ＝x ＋d ．由题意得 ⎩⎨⎧(x －d )＋x ＋(x ＋d )＝21，(x －d )2＋x 2＋(x ＋d )2＝179， 解得 ⎩⎨⎧x ＝7，d ＝4．所以AB ＝3(cm)，BC ＝7(cm)，CD ＝11(cm)．(2)因为正方形的边长组成首项是3，公差是4的等差数列{a n }，所以a 10＝3＋(10－1)×4＝39．a 210＝392＝1521(cm 2)．答 所求正方形的面积为1521cm 2．5．探究3数列：1，3，5，7，9，11，13…中，5是3和7的等差中项，也是1和9的等差中项；9是7和11的等差中项，也是5和13的等差中项．由此我们发现，在这个数列中，a 1＋a 5＝a 2＋a 4，a 3＋a 7＝a 4＋a 6．从而可得：在等差数列{a n }中，若n ＋m ＝p ＋q ，且n ，m ，p ，q ∈N*，则a n ＋a m ＝a p ＋a q ．问题8 在等差数列{a n }中，若a n ＋a m ＝a p ＋a q ，且n ，m ，p ，q ∈N*，则n ＋m ＝p ＋q 成立吗？6．数学应用3例5 在等差数列{a n }中，若a 1＋a 6＝9，a 4＝7，求a 3，a 9． 分析 要求一个数列的某项，通常情况下是先求其通项公式，而要求通项公式，必须知道这个数列中的至少一项和公差，或者知道这个数列的任意两项(知道任意两项就知道公差)，本题中，只已知一项，和另一个双项关系式，想到从这双项关系式入手．解 因为{a n }是等差数列，所以 a 1＋a 6＝a 4＋a 3＝9，a 3＝9－a 4＝2，所以 d ＝a 4－a 3＝7－2＝5，A B C D所以 a 9＝a 4＋(9－4)d ＝32．故 a 3＝2，a 9＝32．例6 等差数列{a n }中，a 1＋a 3＋a 5＝－12，且a 1·a 3·a 5＝80，求通项a n ．分析 要求通项，仍然是先求公差和其中至少一项的问题．而已知两个条件均是三项复合关系式，欲求某项必须消元(项)或再弄一个等式出来．解 因为 a 1＋a 5＝2a 3且a 1＋a 3＋a 5＝－12，所以 a 1＋a 5＝－8，a 3＝－4．所以 ⎩⎨⎧a 1 a 5＝－20，a 1＋a 5＝－8． 解得 ⎩⎨⎧a 1＝－10，a 5＝2或⎩⎨⎧a 1＝2，a 5＝－10．因为 d ＝a 5－a 15－1， 所以 d ＝3或d ＝－3，所以 a n ＝－10＋3(n －1)＝3n －13或 a n ＝2－3(n －1)＝－3n ＋5．例7 已知两个等差数列5，8，11，…和3，7，11…都有100项，问它们有多少共同项？分析 两个等差数列的相同的项按原来的前后次序组成一个新的等差数列，且公差为原来两个公差的最小公倍数． 解 设两个数列的共同项组成的新数列为{a n }，则{a n }是首项为11的等差数列．因为等差数列5，8，11，…和3，7，11…的公差分别为3与4，所以数列{a n }公差d ＝3×4＝12，所以 a n ＝11＋(n －1)·12＝12n －1．因为数列5，8，11，…和3，7，11…的第100项分别为302与399，所以 a n ＝12n －1≤302，所以 n ≤25.5，因为 n ∈N*，所以所给两数列有25共同项．例8 已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝a n 1＋6a n(n ∈N *)，求数列{a n }的通项公式．解 因为 a n ＋1＝a n 1＋6a n ，a 1＝1， 所以 a n ≠0．否则，若存在a k ＝0(k ≥2)，则根据a k ＝a k －11＋6a k －1a k －1＝0，从而可推得a 1＝0，与a 1＝1≠0矛盾．所以 1a n ＋1＝1a n ＋6，所以数列{1a n }是以1a 1＝1为首项，6为公差的等差数列， 所以 1a n＝1＋6(n －1)＝6n －5， 所以数列{a n }的通项公式为a n ＝16n －5． 三、课堂反馈1．已知三个数成等差数列，其和为15，首末两项的积为9，求这三个数．2．成等差数列的四个数之和为26，第二数与第三数之积为40．求这四个数．3．有四个数成等差数列．四个数的平方和等于94，第一数与第四数的积比第二数与第三数的积少18，求这四个数．4．在三角形ABC 中，若角A ，B ，C 成等差数列，则求B ．5．已知实数a ，b ，c ，若a 2，b 2，c 2成等差数列，求证：1b ＋c1c ＋a ，1a ＋b成等差数列．四、回顾反思1．利用定义判定：{a n }成A ．P ．⇔a n ＋1－a n ＝d ．说明：(1)2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2(n ∈N *)⇔{a n }是等差数列；(2)a n ＝kn ＋b (k ，n 为常数)⇔{a n }是等差数列．等差数列的通项公式可以表示为a n ＝kn ＋b ，通项公式是a n ＝kn ＋b 的数列是等差数列，其中k 是该数列的公差． 等差数列的性质2．在公差为d 的等差数列{a n }中．(1)若d ＞0，则{a n }是递增数列；若d ＜0，则{a n }是递减数列．(2)d ＝a n ＋1－a n ＝a n －a 1n －1＝a n －a m n －m． (3)设n ，m ，p ，q ，k ∈N*，若n ＋m ＝p ＋q ，则a n ＋a m ＝a p ＋a q ；若n ＋m ＝2k ，则a n ＋a m ＝2a k ．反之不成立．(4){a n }是有穷等差数列，则首末两项等距离的两项之和都相等，且等于首末两项之和，即a 1＋a n ＝a 2＋a n －1＝…＝a k ＋a n ＋1－k ．(5)若{a n }是等差数列，{b n }是等差数列，则{a n ±b n }，{ka n ±b n }也是等差数列．五、课堂反馈P 37——1，2，3，4，5，6．六、课外作业P 38——7，8，10．。
【课件】等差数列的概念及通项公式课件2022-2学年高023下人教A版(2019)选择性必修第二册
情景引入
问题1
观察数列①②③你能发现他们的规律吗？？
解：对于数列①，有这样的规律：数列从第2项起，每一项与它的前
一项的差都等于同一个常数12。
数列②满足从第二项起，每一项与前一项的差都等于同一个常数-5。
数列③满足从第二项起，每一项与前一项的差都等于同一个常数7。
学习新知
问题2
什么是等差数列，你能给出等差数列的定义吗？
分析(1)先根据条件由等差中项概念列方程求a,然后求出通项公式,再代入
n=2 020求解;(2)先根据等差中项求出b,再依次利用等差中项求出a,c.
解 (1)由等差中项公式可得 2(2a-1)=a+(3-a),解得
2×
5
-1
4
5
4
− =
2 020 项为
5
5
a= ,所以首项为 ,公差为
4
4
1
5
1
,所以数列的通项公式为
-2
=
1
1
− -2
4
4-2
1
,
2
1
1
∴数列{bn}是首项为 ,公差为 的等差数列.
2
2
(2)解 由(1)知
1
1
bn=2+(n-1)·2
=
1
n.
2
1
1
2
∵bn= -2,∴an= +2= +2.
∴数列{an}的通项公式为
2
an= +2.
=
1
− -2
2( -2)
an 1 an 2 d
进行累加，
an 2 an 3 d
等差数列的有关概念公式与性质
等差数列的有关概念公式与性质一、知识要点：1．等差数列的概念（1）一个数列{}n a ：若满足1(n na a d d +-=为常数），则数列{}n a 叫做等差数列（2）等差数列的证明方法：定义法1(n n a a d d +-=为常数） 或112(2)n n n a a a n -+=+≥。
（3）等差中项：若,,a A b 成等差数列，则A 叫做a 与b 的等差中项，且2a bA +=。
2.等差数列主要公式： （1）等差数列的通项公式：*11(1)()n a a n d dn a d n N =+-=+-∈；（2）两项之间的关系式：d m n a a m n )(-+= （3）前n 项和公式为：1()2n nn a a S +=1(1)2n n na d -=+3.等差数列主要性质（1）若公差0d >，则为递增等差数列，若公差0d <，则为递减等差数列，若公差0d =，则为常数列。
（2）当m n p q +=+时,则有q p nm a a a a +=+，特别地，当2m n p +=时，则有2m n p a a a +=（3）若{}n a 是等差数列，232,,n n n n n S S S S S -- ，…也成等差数列，公差D=d n 2。
（4）在等差数列{}n a 中，当项数为偶数2n 时，S S nd =偶奇－；项数为奇数21n -时，S S a -=奇偶中，21(21)n S n a -=-⋅中（这里a 中即n a ）；)1(:-=n n S S 偶奇：。
（()n n a n S 1212-=- ）（5）若等差数列{}n a 、{}n b 的前n 和分别为n A ，n B ,且()n nA f nB =，则2121(21)(21)n n n n n n a n a A b n b B ---==-(21)f n =-.(6)“首正”的递减等差数列中，前n 项和的最大值是所有非负项之和；“首负”的递增等差数列中，前n 项和的最小值是所有非正项之和。
等差数列的通项公式
等差数列的的例题3
a1 33, a12 110 , n 12, a12 a1 (12 1)d ,
即 110=33+11d,
an 表示题中的等差数列，由已知条件，有
an a1 (n 1)d
解得 d=7 a2 因此， 3
a 96 7 103
简记作：
an
复习数列的有关概念2 如果数列 an 的第n项 an 与n之间的关
系可以用一个公
Sn a1 a2 a3 an1 an 叫做数列 an 的前n项和。
S1 (n 1) an S n S n1 (n 2)
等差数列的 通项公式
新疆奎屯市一中 王新敞
复习数列的有关概念1
按一定的次序排列的一列数叫做数列。 数列中的每一个数叫做这个数列的项。 数列中的各项依次叫做这个数列的 第1项（或首项）用 a1 表示，
第2项用 a2 表示，…， 第n项用 an 表示，…， 数列的一般形式可以写成： a1 , a2 , a3 , …， an , …，
(5) (6) 5，5，5，5，5，5，… 0，0，0，0，0，…
公差 d= -4x
公差 d= -2 递减数列 公差 d=0 非零常数列 公差 d=0 零常数列
定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等 于同一个常数（指与n无关的数），这个数列就叫做等差数列， 这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示。
an1 an d (是与n无关的数或式子）
以上6个数列的公差分别为…
等差数列的通项公式 如果一个数列 a , a , a , …，a , …， 1 2 n 3
是等差数列，它的公差是d，那么
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第3课时 等差数列的概念和通
项公式
【分层训练】 1． 1.2005是数列7,13,19,25,31,,中的第（ ）项.
A. 332
B. 333
C. 334
D. 335 2.若数列{}n a 的通项公式为25n a n =+，则此数列是（ ）
A.公差为2的等差数列
B. 公差为5的等差数列
C.首项为5的等差数列
D. 公差为n 的等差数列
3．等差数列3,7,11,,---的一个通项公式为（ ）
A. 47n -
B. 47n --
C. 41n +
D. 41n -+
4．若{}n a 是等差数列，则123a a a ++，
456a a a ++，789a a a ++，，
32313n n n a a a --++，是（ ）
A.一定不是等差数列
B. 一定是递增数列
C.一定是等差数列
D. 一定是递减数列
5．已知等差数列{}n a 中，26a a 与的等差中项为5，37a a 与的等差中项为7，则
n a = .
6. 如果等差数列{}n a 的第5项为5，第10项为5-，则此数列的第1个负数项是第 项.
7. 等差数列{}n a 中，350a =，530a =，则7a = .
8．若｛a n ｝是等差数列，a 3,a 10是方程x 2-3x-5=0的两根，则a 5+a 8= . 【拓展延伸】
9．判断数52，27()k k N ++∈是否是等差数列{}n a :5,3,1,1,,---中的项，若是，
是第几项？
10. 在等差数列{}n a 中，
（１）已知3a ＝31，3a ＝76，求1a 和ｄ； （２）已知1a ＋6a ＝12，4a ＝７，求9a ．。