空间图形的基本关系及平行关系

(2)空间图形的基本关系及平行关系一、知识要点：1．几个公理公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内（判断直线是否在平面内的主要依据）公理2：经过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面。

（点、线共面的主要依据）公理3：如果两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线。

公理4：平行于同一条直线的两条直线平行2．位置关系：（1）空间直线与直线位置关系有：_____________________________（2）空间直线与平面的位置关系有：___________________________（3）空间两个平面的位置关系有：___________________________3．平行关系：aα（1）直线与平面平行：直线a与平面α没有公共点，称直线a平行于平面α，记为//判定定理：___________________________ 符号表示：__________________________ 性质定理：__________________________ 符号表示：_________________________αβ(2)平面与平面平行：平面α与平面β没有公共点，则称平面α与平面β平行，记为//判定定理：___________________________符号表示：__________________________ 性质定理：___________________________ 符号表示：__________________________ 4．常见平行关系：（自己用符号表示）（1）、平行于同一条直线的两条直线平行。

（2）、垂直于同一个平面的两条直线互相平行。

（3）、如果一条直线和一个平面平行，过这条直线的平面与该平面相交，则这条直线和交线平行。

（4）、如果一条直线和两个相交平面都平行，那么这条直线和这两个平面的交线平行。

（5）、两平面平行且同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。

（6）、平面外一条直线平行与平面内一条直线，则该直线与此平面平行。

（7）、两平面平行，其中一个平面内的任意一条直线都平行于另一个平面。

（8）、平面外两条平行线，如果其中一条平行于该平面，则另一条也与此平面平行。

（9）、一个平面内有两条相交直线都平行与另一个平面，则两个平面平行。

（10）、一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，则这两个平面平行。

（11）、垂直于同一条直线的两个平面平行。

（12）、同时平行于第三个平面的两个平面平行。

二、例题：1．已知E 、F 、G 、H 为空间四边形ABCD 的边AB 、BC 、CD 、DA 上的点， 且EH FG //．求证：EH BD //.2．正方体1111ABCD A BC D -中，点N 在BD 上，点M 在1B C 上，且CM DN =， 求证：直线MN //平面11AA B B .三、练习：1．垂直于同一条直线的两条直线A ．平行B ．相交C ．异面D ．以上都有可能 2．下面四个说法中，正确的个数为 A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 （1）如果两个平面有三个公共点，那么这两个平面重合（2）两条直线可以确定一个平面 （3）若点M α∈，M β∈，l αβ⋂=，则M l ∈ （4）空间中，相交于同一点的三直线在同一平面内3．正方体1111ABCD A BC D -中，O 是11B D 的中点，直线1AC交平面11AB D 于点M ，则下列结论中错误的是H G F ED BACA ．A 、M 、O 三点共线B ．M 、O 、1A 、A 四点共面C ．A 、O 、C 、M 四点共面D ．B 、1B 、O 、M 四点共面4．已知平面α内有无数条直线都与平面β平行，那么A ．//αβB ．α与β相交C ．α与β重合D ．//αβ或α与β相交5．下列四个说法 ①//a α，b ⊂α,则//a b ②a P α⋂=，b ⊂α，则a 与b 不平行③a ⊄α，则a //α④a //α，b //α，则//a b其中错误的说法的个数是 A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 6．下列命题中正确的是A ．经过两条异面直线中的一条且与另一条平行的平面至少有一个B ．若两条直线在同一平面内的射影平行，则这两条直线也平行C ．若a , b 是异面直线，则一定存在平面α与a , b 所成的角相等D ．与两条异面直线都平行的平面只有一个7．若直线m 不平行于平面α，且m ⊄α，则下列结论成立的是 A ．α内所有直线与m 异面 B ．α内不存在与m 平行的直线 C ．α内存在惟一的直线与m 平行 D ．α内的直线与m 都相交8．如图，是正方体的平面展开图，在这个正方体中，① BM 与ED 平行；② CN 与BE 是异面直线；③ CN 与BM 成60°角；④ DM 与BN 垂直。

以上四个命题中，正确命题的序号是 A ．①②③ B ．②④ C ．③④ D ．②③④9．正方体1111ABCD A BC D -中，平面11AAC C 和平面11BB D D 的交线与棱1CC 的位置关系是 . 10．设直线a ⊂平面α，则“//αβ”是//a β的______条件。

11．如图，已知正方形ABCD 的边长是13，平面ABCD外一点P 到正方形各顶点的距离都为13，,M N 分别是,P A B D 上的点，且::5:8PM MA BN ND ==，（1）求证：MN //平面PBC ； （2）求线段MN 的长。

12．如图所示，正方体1111ABCD A BC D -中，E F 、分别是AB BC 、的中点，G 为1DD 上一点，且1:1:2D G GD =，AC BD O =，求证：平面AGO //平面1D EF ．13．如图2－72，棱长为a 的正方体1111A -ABCD D C B 中，E 、F 分别是11C B 、11D C 的中点，（1）求证：E 、F 、B 、D 四点共面；（2）求四边形EFDB 的面积．14．右图是一个直三棱柱（以111A B C 为底面）被一平面所截得到的几何体，截面为ABC ．已知11111A B B C ==，11190A B C ∠=，1114,2,3AABB CC ===。

（1）设点O 是AB 的中点，证明：111//OC A B C 平面； （2）求此几何体的体积；(2)空间图形中的平行关系参考答案例1、证明：//,EH FG EH ⊄面BCD ，FG ⊂面BCD//EH ∴面BCD又EH ⊂面BCD ，面BCD 面ABD BD =，//EH BD ∴例2、提示：过点N 作NO ⊥BC 交BC 于O ，连接MO 在△BCD 是中NO//DC ，1,,DN COBD B C CM DN BD BC∴===且 11//CO MCMO B B BC B C∴=∴由面面平行推出线面平行 一、9、___平行_________； 10、________充分不必要条件_____ 11．连AN 并延长和BC 交于E 点，则EN ：NA=BN ：ND（1）证明：//,NE PMMN PE NA MA∴=∴而MN ⊄平面PBC ，//PE 平面PBC //MN ∴平面PBC（2）解：由余弦定理可得：222912cos 60,8oPE PB BE PB EB PE =+-⋅=8713MN PE ∴== 12.证明：设EF ∩BD ＝H ，在△DD 1H 中，132DD DG DH DO ==，∴GO//D 1H ，又GO ⊄平面D 1EF ，D 1H ⊂平面D 1EF ， ∴GO//平面D 1EF ，在△BAO 中，BE ＝EF ，BH ＝HO ， ∴EH//AOAO ⊄平面D 1EF ，EH ⊂平面D 1EF ， ∴AO//平面D 1EF ， AO ∩GO ＝O ，∴平面AGO//平面D 1EF.13、⑴证明：如答图所示，连结B 1D 1，在△C 1B 1D 1中，C 1E ＝EB 1，C 1F ＝FD 1 ，∴EF//B 1D 1，且EF ＝21B 1D 1，又A 1A =//B 1B ，A 1A =//D 1D ，∴B 1B =//D 1D ，∴四边形BB 1D 1D 是平行四边形. ∴B 1D//BD ，EF//BD ，∴E 、F 、D 、B 四点共面⑵由AB ＝a ，知BD ＝B 1D 1＝2a ，EF ＝22a ，A B CD A 1D 1 C 1 B 1FE HGAA 112A 2DF ＝BE ＝2121E B BB +＝a a a 25222=⎪⎭⎫ ⎝⎛+， 过F 作FH ⊥DB 于H ，则DH ＝a EF DB 422=-∴FH ＝a a a a DH DF 42316181624522222==-=-四边形的面积为a a a FH BD EF S EFBD 423)222(21)(21⨯+=⨯+=＝228942322321a a =⨯⨯14. （1）证明：作1OD AA ∥交11A B 于D ，连1C D ．则11OD BB CC ∥∥． 因为O 是AB 的中点， 所以1111()32OD AA BB CC =+==． 则1ODC C 是平行四边形，因此有1OC C D ∥．1C D ⊂平面111C B A 且OC ⊄平面111C B A，则OC ∥面111A B C ． （2）因为BH =，所以222211121(12)23322B AAC C AA C C V S BH -==+=． 1112211111212A B C A BC A B C V S BB -===△． 所求几何体体积为221112232B AAC C A B C A BC V V V --=+=．。