线性代数(武汉纺织大学)

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《线性代数》知识点归纳整理-大学线代基础知识

《线性代数》知识点归纳整理诚毅

学生编

01、余子式与代数余子式- 2 -

02、主对角线- 2 -

03、转置行列式- 2 -

04、行列式的性质- 3 -

05、计算行列式- 3 -

06、矩阵中未写出的元素- 4 -

07、几类特殊的方阵- 4 -

08、矩阵的运算规则- 4 -

09、矩阵多项式- 6 -

10、对称矩阵- 6 -

11、矩阵的分块- 6 -

12、矩阵的初等变换- 6 -

13、矩阵等价- 7 -

14、初等矩阵- 7 -

15、行阶梯形矩阵与行最简形矩阵- 7 -

16、逆矩阵- 7 -

17、充分性与必要性的证明题- 8 -

18、伴随矩阵- 9 -

19、矩阵的标准形：- 9 -

20、矩阵的秩：- 9 -

21、矩阵的秩的一些定理、推论- 10 -

22、线性方程组概念- 10 -

23、齐次线性方程组与非齐次线性方程组（不含向量）- 10 -

24、行向量、列向量、零向量、负向量的概念- 12 -

25、线性方程组的向量形式- 12 -

26、线性相关与线性无关的概念- 12 -

27、向量个数大于向量维数的向量组必然线性相关- 12 -

28、线性相关、线性无关；齐次线性方程组的解；矩阵的秩这三者的关系及其例题- 12 -

29、线性表示与线性组合的概念- 12 -

30、线性表示；非齐次线性方程组的解；矩阵的秩这三者的关系其例题- 12 -

31、线性相关（无关）与线性表示的3个定理- 13 -

32、最大线性无关组与向量组的秩- 13 -

33、线性方程组解的结构- 13 -

01、余子式与代数余子式

（1）设三阶行列式D ＝33

信息技术条件下代数与几何的整合

的特点是形象，因而学生学起来生动、有趣．因此，可借助直观形象的几何模型来描述、解释代数中的概念和定理，以降低学习难度，提高学习兴趣；同时，代数为几何问题提供了有效的解决方法，有很多几何
问题用代数的方法解决更容易．１．２培养学生能力的需要
数相对较多，因此除了讲授线性代数的上述内容外，也可以讲授相关的空间解析几何知识，但大部分教师也只是增加了对几何知识的介绍，而并没有将其与代数进行有效整合．
合、具体案例和相关知识结合的方式将代数与几何进行整合口］．
例１行列式与几何的关系
基金项目：科技部创新方法工作专项基金（２００９１Ｍ０１０４００ — １ — ３０）；高等学校大学数学教学研究与发展中心教学改革项目作者简介：王强（１９７６－），男，北京市人，编辑，从事大学数学教材出
代数可培养学生的抽象思维能力、逻辑思维能力，几何可培养学生的形象思维能力．这些能力的培养不应该被孤立，而应该结合起来．一个直观形象的几何模型可以启迪学生的思维，反之，抽象的概念和结论可以借助几何模型来加深理解．因此，一个较好的培养模式应该是：形象一抽象一形象或抽象一形象一抽象，使学生的各种思维能力实现螺旋式增长．

线性代数_武汉大学中国大学mooc课后章节答案期末考试题库2023年

1.设A，B为可逆矩阵，则下列矩阵不一定可逆的是( ).

参考答案:

A+B.

2.已知三阶方阵A的特征值为【图片】，则【图片】

参考答案:

3.若【图片】阶行列式D的值为0，则D中必有一行元素全为0.

参考答案:

错误

4.设【图片】, 则 A 的任意 m 个列向量必线性无关.

参考答案:

错误

5.设 A 是【图片】矩阵，A 的秩为 m，m < n, 则 A 中任一 m 阶的子式不等于

零。

参考答案:

错误

6.n 阶⽅阵 A 可对⽅化的充分必要条件是 A 有 n 个互不相同的特征值.

参考答案:

错误

7.行列式为0的充分条件是( ).

参考答案:

行列式中各行元素之和为0.

8.已知三阶行列式中第二列元素依次为1,2,3，其对应的余子式的值依次为

3,2,1，则该行列式的值为

参考答案:

-2.

9.已知 4 阶行列式中第一行元素依次为 1，0，-4，3，第三行对应元素的代数

余子式的值依次为 1，5，-2，x. 则x的值为：

参考答案:

-3.

10.在函数【图片】中，【图片】的系数为

参考答案:

11.设A 是 3 阶正交矩阵，【图片】是A 的逆矩阵。若向量【图片】, 则向量

【图片】的长度为_____ .

参考答案:

12.设向量【图片】且向量【图片】在向量【图片】上的投影向量为【图片】

则 x= ____ .

参考答案:

13.如果矩阵A能对角化，那么A的特征值一定互不相同.

参考答案:

错误

14.实对称矩阵一定可以相似对角化，且相似矩阵是正交阵.

参考答案:

错误

15.设A，B为n阶矩阵，且A与B相似，则【图片】.

线性代数知识点归纳与梳理

线性代数是现代数学的一个重要分支，不仅是数学领域中的基础性学科，也是物理学、计算机科学、经济学、工程学等多个领域的重要应用基础。在计算机科学领域中，线性代数是机器学习、计算机图形学、计算机视觉等多个领域必不可少的数学工具。本文将介绍线性代数的重要知识点，并对其进行归纳与梳理。

1. 线性方程组

线性方程组是线性代数研究的一个基础问题。线性方程组可以表示为Ax = b的形式，其中A是一个矩阵，x和b是向量。

解线性方程组即求出x的值，这对于很多实际问题来说是十分重要的。常见的解法有高斯消元法、LU分解法和QR分解法等。

2. 矩阵和向量空间

矩阵是线性代数中的一个基础概念，具有加法、数乘、转置、乘积等运算。矩阵可以用来表示线性变换和向量的坐标，因此在物理学、计算机图形学、计算机视觉等领域中得到了广泛的应用。向量空间则是由向量和它们之间的运算构成的一个集合，其具有一些基本性质，如加法结合律、数乘结合律等。

3. 特征值与特征向量

某些重要的线性变换具有特殊的性质，即它们在某个向量上的

作用相当于对该向量进行数乘。对于某个向量空间中的线性变换A，如果存在一个实数λ和非零向量v，使得Av = λv，则

称该向量v为矩阵A的特征向量，λ为特征值。特征值和特征

向量是线性代数中重要的概念，在很多数学及工程应用中都有广泛的应用。

4. 行列式

行列式是线性代数中的一个基础概念，用于表示一个方阵中各元素按照一定规律排列的乘积之和。行列式可以用来求解线性方程组的解、判断矩阵的秩以及计算线性变换的缩放因子等。行列式是线性代数中必须掌握的基础知识。

线性代数 (12)

21世纪全国应用型本科计算机系列实用规划教材联合编写学校名单（按拼音顺序排名）

1 安徽财经大学

2 安徽工业大学

3 安阳师范学院

4 北华大学

5 北京化工大学

6 北京建筑工程学院

7 北京理工大学

8 渤海大学

9 长春大学

10 长春工业大学

11 长春理工大学

12 长春税务学院

13 滁州学院

14 楚雄师范学院

15 东北电力大学

16 福建工程学院

17 福建师范大学

18 广西财经学院

19 桂林工学院

20 哈尔滨理工大学

21 海南大学

22 韩山师范学院23 杭州师范学院

24 合肥工业大学

25 合肥学院

26 河北经贸大学

27 河南科技学院

28 黑龙江八一农垦大学

29 黑龙江科技学院

30 湖南大学

31 湖北经济学院

32 孝感学院

33 湖州师范学院

34 华北科技学院

35 华南师范大学

36 华中农业大学

37 华中师范大学

38 华北水利水电学院

39 淮北煤炭师范学院

40 黄石理工学院

41 吉林农业大学

42 集美大学

43 江汉大学

44 江苏科技大学

45 内蒙古大学

46 南昌工程学院

47 南京航空航天大学

48 南开大学

49 南阳理工学院

50 宁波工程学院

51 平顶山学院

52 青岛理工大学

53 青岛科技大学

54 青海民族学院

55 曲阜师范大学

56 山西大学

57 山西广播电视大学

58 陕西理工学院

59 上海第二工业大学

60 上海海事大学

61 沈阳大学

62 沈阳化工学院

63 石家庄铁道学院64 苏州大学

65 台州学院

66 太原理工大学

67 太原师范学院

68 唐山师范学院

69 同济大学

70 皖西学院

71 武汉大学

72 武汉科技学院

(完整版)大学数学工程数学线性代数教材

第一章n阶行列式

在初等数学中讨论过二阶、三阶行列式，并且利用它们来解二元、三元线性方程组. 为了研究n元线性方程组，需要把行列式推广到n 阶，即讨论n阶行列式的问题. 为此，下面先介绍全排列等知识，然后引出n阶行列式的概念.

§1 全排列及其逆序数

先看一个例子.

引例用1、2、3三个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？

解这个问题相当于说，把三个数字分别放在百位、十位与个位上，有几种不同的放法？

显然，百位上可以从1、2、3三个数字中任选一个，所以有3种放法；十位上只能从剩下的两个数字中选一个，所以有两种放法；个位上只能放最后剩下的一个数字，所以只有1种放法. 因此，共有⨯

⨯种放法.

这六个不同的三位数是：

123，132，213，231，312，321.

在数学中，把考察的对象，如上例中的数字1、2、3叫做元素. 上述问题就是：把3个不同的元素排成一列，共有几种不同的排法？

对于n个不同的元素，也可以提出类似的问题：把n个不同的元素排成一列，共有几种不同的排法？

把n个不同的元素排成一列，叫做这n个元素的全排列，简称排列.

n个不同元素的所有排列的种数，通常用P n表示. 有引例的结果可知P3 = 3 . 2 . 1 = 6 .

为了得出计算P n 的公式，可以仿照引例进行讨论：

从n 个元素中任取一个放在第一个位置上，有n 种取法；又从剩下的n －1个元素中任取一个放在第二个位置上，有n －1种取法；

这样继续下去，直到最后只剩下一个元素放在第n 个位置上，只有1种取法. 于是

P n =n .（n －1）. … . 3 . 2 . 1 = n ! .

独立学院服务外包人才差异化培养模式探讨

对方意图，调双方利益关系，协涉外交际和经营能力强，
２政策支持．
教育部、商务部在联合发布的《关于加强服务外包人
才培养促进高校毕业生就业工作的若干意见》教高（
『０］号）中指：高校要根据服务外包产业所涉及专业２９０５ “ 的特点采取灵活措施，按照国际先进技术和全球化的理念，索多种模式培养服务外包人才。” 务外包促进政探服策正在形成国家战略体系，至２１截００年，务院已陆续国
［图分类－＇６［标识码】【编－］０９１０２１）３０６ —４中￣］４文献ＧＡ文章￣１０ — ７Ｘ（２０ — ０１０－０
一
、
，各项人才培养独立学院服务外包人才培养模式差异化训中心” 并依托各地高校推进培训工作，
政策相继推出。独立学院依据差异化模式培养服务外包
势与特色。
３高新技术型服务外包人才需求及培养对象．
主要适应于离岸ＫＯ业务。这类人才能熟练运用掌Ｐ
Ｉ模式
Ｉ基
课程

线性代数(武汉纺织大学)

线性代数及其应用

作者：方文波段汕江世宏胡雁玲

出版社：高等教育出版社

第0章线性方程组的研究

第1章行列式

1.1 二阶与三阶行列式

1.1.1 二阶行列式

1.1.2 三阶行列式

1.2 n阶行列式

1.2.1 排列及其逆序数

1.2.2 n阶行列式的定义

1.3 行列式的性质

1.4 克拉默法则

1.5 应用举例

1.5.1 用二阶行列式求平行四边形的面积

1.5.2 用三阶行列式求平行六面体的体积

习题一

第2章矩阵及其运算

2.1 矩阵的定义

2.1.1 引例

2.1.2 定义

2.2 矩阵的运算

2.2.1 矩阵的线性运算

2.2.2 矩阵的乘法运算

2.2.3 转置

2.2.4 方阵的行列式

2.3 逆矩阵

2.3.1 引例

2.3.2 定义

2.3.3 方阵可逆的条件

2.4 分块矩阵

2.4.1 定义

2.4.2 分块矩阵的运算

2.4.3 常用的三种分块法

2.5 应用举例

2.5.1 平面图形变换

2.5.2 矩阵在计算机图形学中的应用——齐次坐标2.5.3 希尔密码

习题二

第3章线性方程组

3.1 消元法

3.1.1 引例

3.1.2 消元法的一般形式

3.2 矩阵的初等变换

3.2.1 定义

3.2.2 初等变换的性质

3.3 矩阵的秩

3.3.1 引例

3.3.2 秩的定义

3.3.3 秩的性质

3.4 初等矩阵

3.4.1 定义

3.4.2 初等矩阵的性质

3.4.3 求逆矩阵的初等行变换法

3.4.4 初等矩阵决定的线性变换

3.5 线性方程组的解

3.5.1 线性方程组有解的条件

3.5.2 线性方程组的解法

3.6 应用举例

3.6.1 剑桥减肥食谱问题

2023年武汉大学873线性代数考研精品资料

一、武汉大学873线性代数考研真题汇编

1．武汉大学873线性代数1998、2000、2002-2023、2023年考研真题，其中2023-2023、2023年有答案。

说明：分析历年考研真题可以把握出题脉络，了解考题难度、风格，侧重点等，为考研复习指明方向。

二、2023年武汉大学873线性代数考研资料

2．北京大学《高等代数》考研相关资料

（1）北京大学《高等代数》[笔记+课件+提纲]

①2023年武汉大学873线性代数之北京大学《高等代数》考研复习笔记。

说明：本书重点复习笔记，条理清晰，重难点突出，提高复习效率，基础强化阶段必备资料。

②2023年武汉大学873线性代数之北京大学《高等代数》本科生课件。

说明：参考书配套授课PPT课件，条理清晰，内容详尽，非本校课件，版权归属

制作教师，本项免费赠送。

③2023年武汉大学873线性代数之北京大学《高等代数》复习提纲。

说明：该科目复习重难点提纲，提炼出重难点，有的放矢，提高复习针对性。

（2）北京大学《高等代数》考研核心题库（含答案）

①2023年武汉大学873线性代数考研核心题库之北京大学《高等代数》解答题精编。

说明：本题库涵盖了该考研科目常考题型及重点题型，根据历年考研大纲要求，结合考研真题进行的分类汇编并给出了详细答案，针对性强，是考研复习首选资料。

（3）北京大学《高等代数》考研题库[仿真+强化+冲刺]

①2023年武汉大学873线性代数之高等代数考研专业课五套仿真模拟题。

说明：严格按照本科目最新专业课真题题型和难度出题，共五套全仿真模拟试题含答案解析。

基于知识点的智能学习系统

ｌＩ
３关键技术
３．１知识点模板馏】
ｙ
本系统是以武汉纺织大学方文波教授的《线性代数及其应用》为蓝本进行设计，每章设有一套测试题，试题有五种题型：判断题、填空题、计算题、几何题和证明题。每套测试题有１８道试题，共９Ｏ道题。每
道题就是一个知识点模板，本测试系统由９０个不同的知识点模板构成，每一个试题模板就相当于一个类，每次系统生成题目就是一次试题模板实例化从而产生一个具体对象的过程，每次实例化时试题模板的数据都是按照一定要求随机产生的，所以本系统能保证产生同一知识点的无穷道试题并且每次题目的难度相同。以第五章测试题中计算机题为例说明。（注：为了真实展示系统，以下举例都是直接从测试系统中截图）
（武汉纺织大学数学与计算机学院，湖北武汉４３００７３）
摘
要：介绍一种智能学＞Hale Waihona Puke Baidu－ｊ系统，该智能学习系统没有试题库，能根据知识点生成无穷道难度相同、不重复的题
目，能有效防止学生作弊，并提高学生学习兴趣。教师使用该系统能全面了解学生的知识点掌握情况，便于在教学过程中不断调整教学内容，提高学生学习成绩。该系统应用以来，已有５万多学生使用，使用次数达１００万人次，

湖北省小自考之武汉纺织大学市场营销专业本科小自考简介

为同学们介绍下武汉纺织大学市场营销专业本科小自考，包括了武汉纺织大学的简短介绍，市场营销专业本科的就业方向，选择武汉纺织大学市场营销专业本科小自考的理由，武汉纺织大学市场营销专业本科小自考的考试科目及考试相关，武汉纺织大学市场营销专业本科小自考的毕业与学位相关等等，以期帮助各位同学更好的了解武汉纺织大学市场营销专业本科小自考，方便大家备考。

一、武汉纺织大学简介

武汉纺织大学（Wuhan Textile University），简称“纺大（WTU）”，是一所以工科为主体，涵盖理、工、文、法、经、管、艺等7个学科门类的教学研究型大学，是湖北省“国内一流学科”建设高校、全国十大时装名校，入选中西部高校基础能力建设工程、卓越工程师教育培养计划、高等学校学科创新引智计划，为欧洲纺织大学联盟成员、世界纺织大学联盟成员。2021成为湖北第一个拥有自主培养院士的省属高校，2022年学校纺织科学与工程学科入选湖北省“省属高校一流学科重点建设学科”。

二、市场营销专业本科简介

市场营销是一门普通高等学校本科专业，属于工商管理类专业，授予管理学学士学位，是建立在经济科学、管理科学和现代信息技术等基础之上的一门交叉学科专业。该专业以满足顾客需求为出发点，探索企业如何满足市场需求，寻求经营

之道与商业模式创新等市场规律，培养适应现代市场经济需要，具有人文精神、科学素养和诚信品质，掌握管理学、经济学、市场营销学的基本理论方法和市场营销专业技能，具备创新创业思维和综合运用相关知识发现、分析和解决营销实际问题的能力的应用型、复合型专业人才。

武汉大学线性代数-01 第一章

0 0 ann
2020/1/22
22
(2) 下三角形行列式
a11
D

a21
0 a22
0
0
a11a22 ann
a a a
n1
n2
nn
2020/1/22
23
(3) 对角行列式
a11
D
a22
a11a22 ann
ann
2020/1/22
24
(4) 副对角行列式

19 5
24 10
18 5 1 12 5 2 0 0
18 5 5 2
c1 3c4
0 0 01 00 01
2020/1/22
40
4 1 10 3 8 1 10 3
12 1 18 5 0 1 18 5

40
0 0 5 2 0 0 5 2
(1)t a1 p1 a2 p2 anpn
称为 n 阶行列式 (n≥1)，记作
a11 a12 a1n a21 a22 a2n
an1 an2 ann
2020/1/22
19
例1：写出四阶行列式中含有因子 a11a 23 的项。
a11a 23a34a 42
a11a 23a32a 44

关于教案检查的通知

各院部：

根据期初教学检查的安排，校教学督导组、教务处将抽查部分教师的教案，请各院部将相关教师的教学进度表、课程教学大纲以及完整的教案（第三周教学所需部分除外）于3月4日（周五）下午4：00前交教务处质量管理办公室，ppt电子档(如有)发到jwc@。

联系人：陈老师、何老师电话：9775

教务处

2011年2月24日

附件一：教案检查人员名单

附件二：教案基本要求

附件三：教案评价标准

附件一：教案检查人员名单理学院：

向小刚：线性代数

冯存芳：大学物理

经管学院：

杨晓花：物流管理

冯燕：物流系统分析

艺术与设计学院：

杨家芳：设计方法学

彭艳：平面构成

外国语学院：

刘丹：大学英语

吴凤竹：大学英语

人文社科学院：

燕妮：侵权行为法

唐晓丹：数字视音频技术

服装学院：

周奕：服装品牌运作

江学为：服装机械原理

工商学院：

付华：统计学

王娟：管理学

财经学院：

蔡玲：金融经济学

赵勇：微观经济学

会计学院：

丁璐：管理信息系统

李星：EXCEL的财会应用

环境与城建学院：

曹刚：环境工程原理

张大捷：水力学

计算机科学学院：

陈佳：数据结构

陈旭辉：C语言程序设计

机电工程学院：

祖耀：机械制造技术基础

刘芳：仪器制造基础

化学工程学院：

张金生：金属腐蚀与防护

王运利：染整工艺设备

纺织学院：

林丽娜：技术经济分析

蔡光明：纺织材料学

材料学院：

徐琪：高分子材料学

左丹英：高分子材料加工原理

电子信息工程学院：

张明：运动控制系统

王骏：电子技术

体育课部：

陈宁

徐斐

附件二：教案基本要求

教案是教师为顺利有效地开展教学活动，根据教学大纲的要求，以课时或课题为单位，对教学内容，教学步骤，教学方法等进行具体的安排和设计的一种实用性教学文书，是教师实施教学活动的具体方案，是影响教学效果的重要因素和提高教学质量的必要保证。教案应自主编写，内容完整，教学目的明确，教学方法得当，教学内容和教学时间安排合理，教学重点突出，对教学难点分析透彻；教案层次清晰，过渡衔接自然顺畅，小结能起到画龙点睛的作用，有作业或思考题，便于学生复习。

华工《线性代数与概率统计》(工建数学)随堂练习参考答案

《线性代数与概率统计》随堂练习参考答案

1.计算？（A）

A． B． C． D．

2.行列式？(B)

A．3 B．4 C．5 D．6

3.利用行列式定义计算n阶行列式：=?( C) A． B．C． D．

4.用行列式的定义计算行列式中展开式，的系数。(B) A．1, 4 B．1，-4 C．-1，4 D．-1，-4

5.计算行列式=？（B ）

A．-8 B．-7 C．-6 D．-5

6.计算行列式=？（D ）

A．130 B．140 C．150 D．160

7.四阶行列式的值等于（ D）

A． B．

C． D．

8.行列式=？（B ）

A． B． C． D．

9.已知，则？(A) A．6m B．-6m C．12m D．-12m

10.设＝，则? (D)

A．15|A| B．16|A| C．17|A| D．18|A|

11.设矩阵，求=？(B)

A．-1 B．0 C．1 D．2

12.计算行列式=?(C)

A．1500 B．0 C．1800 D．1200

13.齐次线性方程组有非零解，则=？（C ）

A．-1 B．0 C．1 D．2

14.齐次线性方程组有非零解的条件是=？（A）

A．１或－３ B．１或３ C．－１或３ D．－１或－３

15.齐次线性方程组总有___解；当它所含方程的个数小于未知量的个数时，它一定有

_B__解。

A．零零 B．零非零 C．非零零 D．非零非零

16.设，，求=？（D ）

A． B． C． D．

17.设矩阵，，为实数，且已知，则的取值分别为？（A ）

A．1，-1，3 B．-1，1，3 C．1，-1，-3 D．-1，1，-3

基于知识点分析的教学策略研究

１．６９８０．２５４
为了让学生能够学好这门基础数学类课程，武
汉纺织大学于２００９年开始使用线性代数智能教学
平台，教学平台不仅能帮助学生巩固应该掌握的知识点，同时，能为教师改进教学提供了大量的数据支
的标准后的回归系数表见表３：
表３各章节回归系数分析
（Ｃｏｎｓｔａｎｔ）
０．２２９０．１３５０．９９５０．００５
０．９９８０．Ｏ０３０．９９９０．００４
识点的掌握情况，并分析知识点之间的联系来改进
教学方法，提高学生成绩。
到２２左右。它作为一门工具学科，在很多领域都
有广泛的用途。
３研究结果
根据学生的成绩记录，２９名学生中，有１名学
持。
生没有前四章均成绩，３名学生第五章没有成绩，由
于数据不完整，我们将他们的成绩记录从分析中剔
除，进行分析结果如表１：

武汉纺织大学 2014 年学术型硕士研究生招生专业目录及参考书目

080200 机械工程
梅顺齐、孔令学、林富生、 ①101 思想政治理论
吴世林、肖卫兵、范良志、 ②201 英语一
机械综合或
①理论力学
25 01 机械电子工程姬巧玲、陈燚涛、苏工兵、 ③301 数学一
C 语言程序
②计算机基础
肖志权、刘芳、张智明、宋 ④812 机械设计或 838 设计
志峰、胡峰、吴晓光
①英语听力、
②201 英语一
087100
险管理
济平
口语
①管理经济学
③301 数学一
管理科学与工 25
黎继子、田文迪、曹晓刚、
② 管理科学或数据库原理
03 供应链管理
④815 运筹学或 820 管
程
周兴建
综合理论与 ②数理统计
理学或 822 管理信息系
04 企业信息管理彭怡、夏火松、张星、侯德统
泽
方向 01-04 联系人：张尚勇吴丽联系电话：027-59367574
学院：001 纺织科学与工程学院
方向 05-08 联系人：权衡古江波联系电话：027-59367350,59367336 学院：008 化学与化工学院
方向 09-11 联系人：熊兆飞魏辉联系电话：027-59363717
明
05 纳米复合材料
张汉民、彭俊军、刘丽君、张金生、李卫东