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7.正切函数的性质与图像-【新】人教B版高中数学必修第三册演示PPT
2．解正切不等式的两种方法 (1)图像法：先画出函数图像，找出符合条件的边界角，再写出 符合条件的角的集合； (2)三角函数线法：先在单位圆中作出角的边界值时的正切线， 得到边界角的终边，在单位圆中画出符合条件的区域．要特别注意函 数的定义域．
[跟进训练] 1．求函数 y＝ tatnanx＋x－π61 的定义域．
第七章 三角函数
7.3 三角函数的性质与图像 7.3.4 正切函数的性质与图像
学习目标
核心素养
1.能画出正切函数的图像．(一般) 1.通过正切函数图像与性质的
2．会利用 y＝tan x 的性质确定与正切 学习，培养学生直观想象核心
函数有关的函数性质．(难点) 素养．
3．会利用正切函数的单调性比较函 2．借助正切函数图像与性质的
2．判定与正切函数有关的函数奇偶性的方法 先求函数的定义域，看其定义域是否关于原点对称，若其不关于 原点对称，则该函数为非奇非偶函数；若其关于原点对称，再看 f(－ x)与 f(x)的关系．
[跟进训练] 2．(1)求 f(x)＝tan2x＋π3的周期； (2)判断 y＝sin x＋tan x 的奇偶性． [解] (1)因为 tan2x＋π3＋π＝tan2x＋π3， 即 tan2x＋π2＋3π＝tan2x＋π3， 所以 f(x)＝tan2x＋π3的周期是π2.
7.正切函数的性质与图像-【新】人教 B版高 中数学 必修第 三册PPT 全文课 件[1] 【完美 课件】
(2)正切函数的图像叫做 正切曲线
．
(3＋kπ，0(k∈Z)
线隔开的无穷多支曲线所组成．
且与 y轴
平行的直
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新教材人教B版高中数学必修第三册全册精品教学课件(共762页)
对于α2、α3的判定还有另一种方法——八卦图法．
第2课时 诱导公式(二) P204
7．3 三角函数的性质与图像
7．3.1 正弦函数的性质与图像 P230 7．3.2 正弦型函数的性质与图像 P270
7．3函数的性质与图像 P376
7．3.5 已知三角函数值求角 P411
7．4 数学建模活动：周期现象的描述 P443
2．象限角 (1)使角的顶点与坐标原点重合，角的始边落在 x 轴的正半轴 上，角的终边在第几象限，把这个角称为第几象限角． 如果终边在 坐标轴 上，就认为这个角不属于任何象限．
(2)①象限角的集合 第一象限角的集合{α|k·360°<α<90°＋k·360°，k∈Z}＝{α|α＝ β＋k·360°，0°<β<90°，k∈Z}． 第二象限角的集合 {α|90°＋k·360°<α<180°＋k·360°，k∈Z} ＝{α|α＝β＋k·360°，90°<β<180°，k∈Z}． 第三象限角的集合{α|180°＋k·360°<α<270°＋k·360°，k∈Z} ＝{α|α＝β＋k·360°，180°<β<270°，k∈Z}． 第四象限角的集合 {α|270°＋k·360°<α<360°＋k·360°，k∈Z} ＝{α|α＝β＋k·360°，270°<β<360°，k∈Z}．
②终边落在坐标轴上的角的集合 终边落在 x 轴正半轴上的角的集合为{α|α＝k·360°，k∈Z}． 终边落在 x 轴负半轴上的角的集合为
{α|α＝k·360°＋180°，k∈Z} ． 终边落在 x 轴上的角的集合为{α|α＝k·180°，k∈Z}． 终边落在 y 轴正半轴上的角的集合为{α|α＝k·360°＋90°，k ∈Z}． 终边落在 y 轴负半轴上的角的集合为
第2课时 诱导公式(二) P204
7．3 三角函数的性质与图像
7．3.1 正弦函数的性质与图像 P230 7．3.2 正弦型函数的性质与图像 P270
7．3函数的性质与图像 P376
7．3.5 已知三角函数值求角 P411
7．4 数学建模活动：周期现象的描述 P443
2．象限角 (1)使角的顶点与坐标原点重合，角的始边落在 x 轴的正半轴 上，角的终边在第几象限，把这个角称为第几象限角． 如果终边在 坐标轴 上，就认为这个角不属于任何象限．
(2)①象限角的集合 第一象限角的集合{α|k·360°<α<90°＋k·360°，k∈Z}＝{α|α＝ β＋k·360°，0°<β<90°，k∈Z}． 第二象限角的集合 {α|90°＋k·360°<α<180°＋k·360°，k∈Z} ＝{α|α＝β＋k·360°，90°<β<180°，k∈Z}． 第三象限角的集合{α|180°＋k·360°<α<270°＋k·360°，k∈Z} ＝{α|α＝β＋k·360°，180°<β<270°，k∈Z}． 第四象限角的集合 {α|270°＋k·360°<α<360°＋k·360°，k∈Z} ＝{α|α＝β＋k·360°，270°<β<360°，k∈Z}．
②终边落在坐标轴上的角的集合 终边落在 x 轴正半轴上的角的集合为{α|α＝k·360°，k∈Z}． 终边落在 x 轴负半轴上的角的集合为
{α|α＝k·360°＋180°，k∈Z} ． 终边落在 x 轴上的角的集合为{α|α＝k·180°，k∈Z}． 终边落在 y 轴正半轴上的角的集合为{α|α＝k·360°＋90°，k ∈Z}． 终边落在 y 轴负半轴上的角的集合为
人教B版新教材高中数学选择性必修第三册课件等差数列的性质
(3)若{an}，{bn}分别是公差为 d1，d2 的等差数列，则数列{pan＋ qbn}(p，q 是常数)是公差为 pd1＋qd2 的等差数列．
(4){an}的公差为 d，则 d>0⇔{an}为递增数列； d<0⇔{an}为递减数列；d＝0⇔{an}为常数列．
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
a＝2， 解得bc＝＝85，，
d＝11，
a＝11， 或bc＝＝58，，
d＝2，
∴这四个数分别为 2,5,8,11 或 11,8,5,2.
法二：设此等差数列的首项为 a1，公差为 d，根据题意，得 aa1＋1＋ad1＋a1d＋＋2da＝1＋420d，＋a1＋3d＝26，
化简，得4aa21＋1＋36ad1d＝＋226d，2＝40， 解得ad＝1＝32，， 或ad1＝＝－113，， ∴这四个数分别为 2,5,8,11 或 11,8,5,2.
第五章 数列
5.2 等差数列 5．2.1 等差数列 第2课时 等差数列的性质
学习目标
核心素养
1.理解等差中项的概念．(重点) 1.借助等差数列中项的学习，提
2．掌握等差数列中两项及多项 升数据分析的素养．
之间的关系．(重点、易错点) 2．通过等差数列性质的学习，
3．能灵活运用等差数列的性质 培养数学运算的素养.
(2)等差数列{an}中，每隔相同的项抽出来的项按照原来的顺序排 列，构成的新数列仍然是等差数列．
(3)等差数列{an}中，若 m＋n＝p＋q，则 am＋an＝ap＋aq(n，m， p，q∈N＋)，特别地，若 m＋n＝2p，则 am＋an＝2ap.
3．等差数列{an}中，首项 a1 与公差 d 是两个最基本的元素；有 关等差数列的问题，如果条件与结论间的联系不明显，则均可化成有 关 a1、d 的关系列方程组求解，但是，要注意公式的变形及整体计算， 以减少计算量．
新教材2023版高中数学新人教B版必修第三册：单位圆与三角函数线课件
3
；cos
2
1
α≤－ .
2
3
，cos
2
1
α＝－ 的角的终边，然后根据已
2
状元随笔 作出满足sin α＝
知条件和三角函数的单调性确定角α终边的范围．
(2)设a＝cos
A．a<c<b
C．b<c<a
【答案】
B
2
3
2
，b＝sin ，c＝tan ，则(
5
5
5
B．a<b<c
D．b<a<c
)
方法归纳
(1)通过解答本题，我们可以总结出用三角函数线来探讨三角函数不
6
2
6
课堂探究·素养提升
题型1 三角函数线的概念
例1 作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线：
3
14
(1) ；(2)－ ；(3)－ ；(4)
.
4
6
4
3
方法归纳
(1)作正弦线、余弦线时，首先找到角的终边与单位圆的交点，然后
过此交点作x轴的垂线，得到垂足，从而得到正弦线和余弦线．
(2)作正切线时，应从A(1，0)点引单位圆的切线交角的终边于一点T，
(0， ) ∪ ( ，2π)
到α的取值范围是_______________；
3
3
解析：利用单位圆作出正弦线、余弦线，
π
3
5π
3
所以α的范围是0<α< 或 <α<2π.
3
，cos
2
1
α> ，利用三角函数线得
2
(2)已知0≤x≤2π，且sin x<cos x，则x的取值范围是(
人教B版高中数学必修第三册精品课件 第7章 三角函数 习题课——三角函数的性质与图象
π
π
ω>0,-2 ≤φ<2
的图象关于直线
象上相邻两个最高点的距离为 π.
(1)求 ω 和 φ 的值;
(2)当 x∈
π
0, 2
时,求函数 y=f(x)的最大值和最小值.
π
x=3 对称,且图
解:(1)因为 f(x)的图象上相邻两个最高点的距离为 π,所以 f(x)的最小正周期
T=π,从而
2π
ω= =2.
解:由题意知, tan
则 u∈
π π
-3,4
1
2
+
π
6
=2m,令 y= tan
,则 y=|tan u|的图象如图所示.
1
∴0<2m<1,∴0<m< .
2
∴m 的取值范围是
1
0,
2
.
1
2
π
+6
,x∈
π
-π, 6
.令
1
π
u=2x+6 ,
思想方法
利用数形结合法解三角不等式
【典例】 解关于 x 的不等式 sin
解:令
π
u=2x+ ,则
4
y=tan u 在区间
则满足 tan u<1 的 u 的范围是
π π
- ,
2 2
−
3π
π
<x< ,k∈Z.
8
2
∴不等式的解集为
π 3π π
,
2
8
2
,k∈Z.
<1.
内的图象如图所示,
π
π
kπ- 2 ,kπ+ 4
新教材人教B版高中数学必修3精品课件：第八章 向量数量积的概念 向量数量积的运算律
如 图（1 ）, 当〈 a， b 〉 <π2 时，������′������′的 方向与b的方向相同，而且
| ������′������′|＝|a|cos〈a，b〉；
图（1）
如
图（2）
,当〈a
，b〉
＝π时
2
，
������′������′为零向量，即| ������′������′|＝0；
如
图
（
3
）
另外，我们还能得到数量积的如下性质. （3）a，b垂直的充要条件是它们的数量积为0，即
������ ⊥ ������ ⇔ ������ · ������＝0.
（4）如果a，b都是非零向量，则
cos〈a，b〉＝
������∙������ ������ ������
.
点拨 1.性质（1）中，当且仅当������ ∥ ������时，等号成立，此性质 可用来解决不等式的相关问题. 2.性质（2）用数量积来求向量的模.实现了实数运算与 向量运算的相互转化. 3.性质（3）可用来证明向量垂直或由向量垂直推出等 量关系. 4.性质（4）是数量积定义的变形，又称为夹角公式， 建立了向量与三角函数的联系.
π
例如，下图中向量a与b的夹角为π4，即〈a，b〉＝ 4 .
类似地，上图中， 向量a与c的夹角为π2，即〈a，c〉＝π2； 向量a与d的夹角为0，即〈a，d〉＝0； 向量a与e的夹角为π，即〈a，e〉＝ π .
根据向量夹角的定义可知，两个非零向量的夹角是唯一 确定的，而且
0≤〈a，b〉≤π， 〈a，b〉＝〈b，a〉. 当〈a，b〉＝π2时，称向量a与向量b垂直，记作a⊥b. 由于零向量方向是不确定的，在讨论垂直问题时， 规定零向量与任意向量垂直.
人教B版高中数学选择性必修第三册精品课件 第五章 数列 5.1.2 数列中的递推
--1 , ≥ 2.
(3)数列{an}前(n+1)项的和减去其前n项的和,差是 Sn+1-Sn=an+1 .(列式表示)
3.设数列{an}的前n项和Sn=n2,则a8的值为(
A.15
B.16
解析:a8=S8-S7=64-49=15.
答案:A
C.49
)
D.64
【思考辨析】
判断下列说法是否正确,正确的在它后面的括号里画“√”,错误的画“×”.
1 , = 1,
分段表示为 an=
[如本例(2)].
--1 , ≥ 2
【变式训练 3】 已知数列{an}的前 n 项和
3 2 205
Sn=-2n + 2 n,求数列{an}的通项公
式.
解:由题意知
3 2 205
a1=S1=- ×1 + ×1=101,
2
2
3
3 2 211
2 205
Sn-1=- (n-1) + (n-1)=- n + n-104.
分析:已知数列{an}的通项
计算 an+1-an
确定单调性
大项
10 +1
10
10 9-
解:方法一:∵an+1-an=(n+2)·
-(n+1)·
=
· ,
11
11
11
11
当n<9时,an+1-an>0,即an+1>an;
当n=9时,an+1-an=0,即an+1=an;
当n>9时,an+1-an<0,即an+1<an,
都可以用一个公式来表示,则称这个公式为数列的递推关系(也称为递推公
(3)数列{an}前(n+1)项的和减去其前n项的和,差是 Sn+1-Sn=an+1 .(列式表示)
3.设数列{an}的前n项和Sn=n2,则a8的值为(
A.15
B.16
解析:a8=S8-S7=64-49=15.
答案:A
C.49
)
D.64
【思考辨析】
判断下列说法是否正确,正确的在它后面的括号里画“√”,错误的画“×”.
1 , = 1,
分段表示为 an=
[如本例(2)].
--1 , ≥ 2
【变式训练 3】 已知数列{an}的前 n 项和
3 2 205
Sn=-2n + 2 n,求数列{an}的通项公
式.
解:由题意知
3 2 205
a1=S1=- ×1 + ×1=101,
2
2
3
3 2 211
2 205
Sn-1=- (n-1) + (n-1)=- n + n-104.
分析:已知数列{an}的通项
计算 an+1-an
确定单调性
大项
10 +1
10
10 9-
解:方法一:∵an+1-an=(n+2)·
-(n+1)·
=
· ,
11
11
11
11
当n<9时,an+1-an>0,即an+1>an;
当n=9时,an+1-an=0,即an+1=an;
当n>9时,an+1-an<0,即an+1<an,
都可以用一个公式来表示,则称这个公式为数列的递推关系(也称为递推公
新教材人教B版高中数学必修第三册 第八章 向量的数量积与三角恒等变换 精品教学课件(共305页)
[变式训练 1] 设 a，b，c 是任意的非零向量，且它们相互 不共线，给出下列结论：
①a·c－b·c＝(a－b)·c； ②(b·c)·a－(c·a)·b 不与 c 垂直； ③|a|－|b|<|a－b|； ④(3a＋2b)·(3a－2b)＝9|a|2－4|b|2. 其中正确的序号是__①__③__④___.
[答一答] 1．如何理解平面向量的数量积？
提示：(1)此定义式同时也是两向量数量积的计算式． (2)向量的数量积 a·b，不能表示为 a×b 或 ab. (3)两个向量的数量积是一个数量，而不是向量． (4)a·b 的几何意义是：a 的长度与 b 在 a 方向上的射影的数 量的乘积或 b 的长度与 a 在 b 方向上的射影的数量的乘积．
2．向量的数量积(内积) (1)当 a 与 b 都是非零向量时，称__|_a_||b_|_c_o_s〈__a_，__b_〉__为向量 a 与 b 的数量积(也称为内积)，记作 a·b，即 a·b＝__|a_||_b_|c_o_s_〈__a_，__b_〉． (2)两向量的数量积不是向量而是__实__数__，它可以为正数、
第八章 向量的数量积与三角恒等变换
8.1.1 向量数量积的概念 8.1.2 向量数量积的运算律 P24 8.1.3 向量数量积的坐标运算 P51 8.2.1 两角和与差的余弦 P80 8.2.2 两角和与差的正弦、正切 第1课时 两角和与差的正弦 P112 第2课时 两角和与差的正切 P148 8.2.3 倍角公式 P186 8.2.4 三角恒等变换的应用
求平面向量数量积的步骤是：(1)求 a 与 b 的夹角 θ，θ∈[0， π]；(2)分别求|a|和|b|；(3)求数量积，即 a·b＝|a||b|cosθ，要特别 注意书写时 a 与 b 之间用实心圆点“·”连接，而不能用“×” 连接，也不能省去．
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(2)设P(x，y)，则F→P＝(x，y－1)，C→F＝(－2，－1)， B→P＝(x－2，y)， 因为F→P∥C→F，所以－x＝－2(y－1)，即x＝2y－2. 同理，由B→P∥B→E，得y＝－2x＋4，代入x＝2y－2， 解得x＝65，所以y＝85，即P65，85.
所以|A→P|2＝652＋852＝4＝|A→B|2，
【例2】 已知向量 A→B ＝(4,3)， A→D ＝(－3，－1)，点A(－1，－ 2)．
(1)求线段BD的中点M的坐标； (2)若点P(2，y)满足P→B＝λB→D(λ∈R)，求y与λ的值．
[思路探究] (1)先求B，D点的坐标，再求M点坐标； (2)由向量相等转化为y与λ的方程求解．
[解] (1)设点B的坐标为(x1，y1)． 因为A→B＝(4,3)，A(－1，－2)，所以(x1＋1，y1＋2)＝(4,3)， 所以xy11＋ ＋12＝ ＝43， ， 所以xy11＝ ＝31， ， 所以B(3,1)．同理可得D(－4，－3)． 设线段BD的中点M的坐标为(x2，y2)，
2|a|2－|b|2＋a·b＝0， 2|a|2－2|b|2－3a·b＝0，
解得|a|2＝－52a·b， |b|2＝－4a·b，
所以|a||b|＝－ 10a·b，
所以cos
θ＝|aa|·|bb|＝－
10 10 .
向量的数量积运算,数量积的运算是平面向量的核心内容，利用 数量积可以解决以下几个大问题：垂直问题、求模问题、求夹角问 题以及求向量及进行数量积运算等.
所以|A→P|＝|A→B|，即AP＝AB．
利用向量数量积解决平面几何问题的步骤 1用向量表示几何关系； 2进行向量运算； 3还原为几何结论.
[跟进训练] 3．已知三个点A(2,1)，B(3,2)，D(－1,4)． (1)求证：AB⊥AD； (2)要使四边形ABCD为矩形，求点C的坐标，并求矩形ABCD的 两对角线所夹的锐角的余弦值．
人教B版新教材高中数学选择性必修第三册课件导数及其几何意义
ΔΔyx＝Δlixm→0
(3－Δx)＝3.
(2)∵Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝3(1＋Δx)2－3＝6Δx＋3(Δx)2，
∴ΔΔyx＝6＋3Δx，∴f′(1)＝Δlixm→0 ΔΔyx＝Δlixm→0 (6＋3Δx)＝6.
1．通过本例(1)进一步感受平均变化率与瞬时变化率的关系，对 于 Δy 与 Δx 的比值，感受和认识在 Δx 逐渐变小的过程中趋近于一个 固定的常数 k 这一现象．
1．(变结论)第(1)小题中的切线与曲线 C 是否还有其他的公共 点？
[解] 由yy＝＝3x3x，－2， 解得xy＝＝11，， 或xy＝＝－－28，， 从而求得公共点为 P(1,1)或 M(－2，－8)， 即切线与曲线 C 的公共点除了切点外，还有另一公共点(－2，－ 8)．
2．(变条件)求曲线 f(x)＝x2＋1 过点 P(1,0)的切线方程．ຫໍສະໝຸດ 故由 2a＝2 得 a＝1.]
3.(一题两空)如图所示，函数 y＝f(x)的图像在点 P 处的切线方程 是 y＝－x＋8，则 f(5)＝______，f′(5)＝________.
3 －1 [由图像知 f(5)＝－5＋8＝3，f′(5)等于在该点 P 处切线 的斜率，故 f′(5)＝－1.]
求曲线的切线方程 [探究问题] 1．如何求曲线 f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程？ [提示] y－y0＝k(x－x0)．即根据导数的几何意义，求出函数 y ＝f(x)在点(x0，f(x0))处的导数，即曲线在该点处的切线的斜率，再由 直线方程的点斜式求出切线方程．
利用导数的几何意义求切线方程的方法 1若已知点x0，y0在已知曲线上，求在点x0，y0处的切线方程， 先求出函数 y＝fx在点 x0 处的导数，然后根据直线的点斜式方程， 得切线方程 y－y0＝f′x0x－x0. 2若点x0，y0不在曲线上，求过点x0，y0的切线方程，首先应 设出切点坐标，然后根据导数的几何意义列出等式，求出切点坐标， 进而求出切线方程.
人教B版高中数学必修第三册精品课件 复习课 第1课时 三角函数
2
2
正弦曲线、余弦曲线、正切曲线
图象
图象特征
三角函数的图象与性质
定义域、值域
性质 周期性、奇偶性、单调性
最大值、最小值、零点
,,对函数图象的影响
函数 = sin( + )的图象
图象画法
已知正弦值求角
已知三角函数值求角 已知余弦值求角
已知正切值求角
五点法
变换法
【要点梳理】
1.角是如何分类的?
解得 tan
1
θ=2.
1+2sin cos
故 si n 2 -co s 2
=
si n 2 +co s 2 +2sin cos
si n 2 -co s 2
=
ta n 2 +1+2tan
=-3.
2
ta n -1
通过化简条件能更加清楚地理清条件与结论的关系,为快速找到解题途径
—
-tan α
-sin α
—
π
-α
2
π
+α
2
3π
+α
2
3π
-α
2
-cos α
sin α
—
-cos α
-sin α
—
口诀
函数名不变,符号看象限
函数名改变,符号看象限
9.正弦、余弦、正切函数的性质有哪些?请完成下表.
三角函数
定义域
y=sin x
y=cos x
y=tan x
R
R
π
≠ π + , ∈Z
复习课
第1课时 三角函数
内
容
索
引
01
2
正弦曲线、余弦曲线、正切曲线
图象
图象特征
三角函数的图象与性质
定义域、值域
性质 周期性、奇偶性、单调性
最大值、最小值、零点
,,对函数图象的影响
函数 = sin( + )的图象
图象画法
已知正弦值求角
已知三角函数值求角 已知余弦值求角
已知正切值求角
五点法
变换法
【要点梳理】
1.角是如何分类的?
解得 tan
1
θ=2.
1+2sin cos
故 si n 2 -co s 2
=
si n 2 +co s 2 +2sin cos
si n 2 -co s 2
=
ta n 2 +1+2tan
=-3.
2
ta n -1
通过化简条件能更加清楚地理清条件与结论的关系,为快速找到解题途径
—
-tan α
-sin α
—
π
-α
2
π
+α
2
3π
+α
2
3π
-α
2
-cos α
sin α
—
-cos α
-sin α
—
口诀
函数名不变,符号看象限
函数名改变,符号看象限
9.正弦、余弦、正切函数的性质有哪些?请完成下表.
三角函数
定义域
y=sin x
y=cos x
y=tan x
R
R
π
≠ π + , ∈Z
复习课
第1课时 三角函数
内
容
索
引
01
模块综合提升-【新】人教B版高中数学必修第三册PPT全文课件
[提示] 在 y＝3sin(2x－5)中 x＝0 时的相位 φ＝－5 称为初相， 故初相为－5.
模块综合提升-【新】人教B版高中数 学必修 第三册P PT全文 课件【 完美课 件】
11．由函数 y＝sinx＋π3 的图像得到 y＝sin x 的图像，必须向左
平移．
(× )
[提示] 由函数 y＝sinx＋π3 的图像得到 y＝sin x 的图像，可以 把 y＝sinx＋π3 的图像向右平行移动π3 得到 y＝sin x 的图像．
cos
x－y 2
，又
1ππ 0<2<6<2
，所以 sin
1 2<sin
π 6.
所以 2sin
1 2<2sin
π6＝1，所以 sin x＋sin y
＝2sin
1 2cos
x－y 2 <cos
x－y 2
≤1.
所以 sin x＋sin y<1.
高考 真题 感悟
高考对三角函数的考查主要体现在考查三角函数的图像与性质、简单的 三角恒等变换等基本知识和基本方法．考查的热点内容有三角函数的图像 (特别是图像变换问题)、三角函数的性质(特别是函数y＝Asin(ωx＋φ)的性 质)、三角函数式的求值问题等．高考中主要以选择题或填空题的形式呈 现，偶尔会出现在解答题中．其中选择题或填空题主要考查三角函数的图像 与性质、三角函数的求值问题．解答题主要考查三角函数的图像与性质．高 考中对向量的数量积的考查主要体现在考查向量数量积的运算及运算律，试 题以选择题和填空题的形式呈现．属于容易题和中等难度的题目．
(× )
[提示] 〈A→B，B→C〉＝120°.
21．数量积 a·b 等于 a 的长度|a|与 b 在 a 方向上的投影数量|b|·cos
新教材高中数学第8章第2课时三角函数的积化和差与和差化积ppt课件新人教B版必修第三册
和差化积问题
【例2】 已知cos α－cos β＝12，sin α－sin β＝－13，求sin(α＋β) 的值．
[思路探究] 利用和差化积公式，对所求式子进行变形，利用 所给条件求解．
[解] 因为 cos α－cos β＝12，
所以－2sin
α＋β 2 sin
α－2 β＝12.
①
又因为 sin α－sin β＝－13，
A．12
B．14
C．－14
D．－12
B [sin 105°cos 75°＝12(sin 180°＋sin 30°)＝14.]
2．sinπ4＋αcosπ4＋β化成和差的形式为(
)
A．12sin(α＋β)＋12cos(α－β)
B．12cos(α＋β)＋12sin(α－β)
C．12sin(α＋β)＋12sin(α－β)
sin(2A＋2B)＝－sin 2C，cos(2A＋2B)＝cos 2C．
【例3】 在△ABC中，求证：sin A＋sin B－sin C＝4sinA2sinB2 cosC2 .
[思路探究] 利用和差化积进行转化，转化时要注意A＋B＋C ＝π.
[证明]
左边＝sin(B＋C)＋2sin
B－C 2 cos
＝
3 2 cos
10°cos
50°cos
70°＝
2312cos
60°＋cos
40°·cos
70°
＝
3 8 cos
70°＋
3 4 cos
Байду номын сангаас
40°cos
70°
＝
3 8 cos
70°＋
3 8 (cos
110°＋cos
30°)
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2．向量的坐标运算是将几何问题代数化的有力工具，它是转化 思想、函数与方程、分类讨论、数形结合等思想方法的具体体现．
3．通过向量坐标运算主要解决求向量的坐标、向量的模、夹 角、判断共线、平行、垂直等问题．
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[解] 设 D(x，y)，则A→D＝(x－2，y＋1)，
B→D＝(x－3，y－2)，B→C＝(－6，－3)，
因为A→D⊥B→C，所以A→D·B→C＝0，
[跟进训练]
1．如果等腰三角形ABC的周长是底边长BC的5倍，BC＝1，则
A→B·B→C＝( )
A．12
B．14
C．－12
D．－14
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C [设D是BC的中点，等腰三角形ABC的周长是底边长BC的5 倍，BC＝1，
34π＋α＝153
，cos
π4－β＝
3 5
，且0＜α＜π4＜β＜34π，求
cos(α＋β)的值．
[解] 因为0＜α＜π4＜β＜34π， 所以34π＜34π＋α＜π，－π2＜π4－β＜0. 又sin34π＋α＝153，cosπ4－β＝35， 所以cos34π＋α＝－1132.
sinπ4－β＝－45.
所以|A→P|＝|A→B|，即AP＝AB．
利用向量数量积解决平面几何问题的步骤 1用向量表示几何关系； 2进行向量运算； 3还原为几何结论.
[跟进训练] 3．已知三个点A(2,1)，B(3,2)，D(－1,4)． (1)求证：AB⊥AD； (2)要使四边形ABCD为矩形，求点C的坐标，并求矩形ABCD的 两对角线所夹的锐角的余弦值．
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则x2＝3－2 4＝－12，y2＝1－2 3＝－1，所以M－12，－1. (2)由已知得P→B＝(3,1)－(2，y)＝(1,1－y)， B→D＝(－4，－3)－(3,1)＝(－7，－4)． 又P→B＝λB→D，所以(1,1－y)＝λ(－7，－4)＝(－7λ，－4λ)，
(2)设P(x，y)，则F→P＝(x，y－1)，C→F＝(－2，－1)， B→P＝(x－2，y)， 因为F→P∥C→F，所以－x＝－2(y－1)，即x＝2y－2. 同理，由B→P∥B→E，得y＝－2x＋4，代入x＝2y－2， 解得x＝65，所以y＝85，即P65，85.
所以|A→P|2＝652＋852＝4＝|A→B|2，
平面向量的应用
1.向量在平面几何中的应用，向量的加减运算遵循平行四边形 法则或三角形法则，数乘运算和线段平行之间、数量积运算和垂 直、夹角、距离问题之间联系密切，因此用向量方法可以解决平面 几何中的相关问题．
2．向量在解析几何中的应用，主要利用向量平行与垂直的坐标 条件求直线的方程．
3．在物理中的应用，主要解决力向量、速度向量等问题．
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[解] (1)设点B的坐标为(x1，y1)． 因为A→B＝(4,3)，A(－1，－2)，所以(x1＋1，y1＋2)＝(4,3)， 所以xy11＋ ＋12＝ ＝43， ， 所以xy11＝ ＝31， ， 所以B(3,1)．同理可得D(－4，－3)． 设线段BD的中点M的坐标为(x2，y2)，
α＋8sin －2
α＋11＋11cos 2cos α
α－16
＝4s－in α＋2c3ocsoαs
α＝4ta－n
α＋3＝－5 2
6
2.
给值求值 解决给值求值问题时，关键是分析已知条件和结论中的角之间 的内在关系，通过角的变换拆角、配角，发现解题思路，选择相 应的三角公式进行求解.
[跟进训练]
4．已知sin
从而A→C＝(－2,4)，B→D＝(－4,2)， 所以|A→C|＝2 5，|B→D|＝2 5，A→C·B→D＝8＋8＝16. 设A→C与B→D的夹角为θ， 则cos θ＝|AA→→CC|·|BB→→DD|＝1260＝45， 所以矩形ABCD的两条对角线所夹的锐角的余弦值为45.
给值求值问题
给出某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，解题 的关键在于“变角”．使其角相同或具有某种关系，解题的基本方 法是：①将待求式用已知三角函数表示．②将已知条件转化而推出 可用的结论．其中“凑角法”是解决此类问题的常用技巧．解题时 首先是分析已知式与待求式之间角、函数、结构间的差异，有目的 的将已知式、待求式的一方或两方加以变换，找出它们之间的联 系，最后求出待求式的值．
cos(α＋β)＝sinπ2＋α＋β＝sin34π＋α－4π－β
＝sin
34π＋α
cos
π4－β
－cos
34π＋α
sin
π4－β
＝
5 13
×
3 5
－
－1123
×－45＝－3635.
三角恒等变形的综合应用
与三角恒等变形有关的综合问题一般有以下两种类型： (1)以三角恒等变形为主要的化简手段，考查三角函数的性 质．当给出的三角函数关系式较为复杂，我们要先通过三角恒等变 换，将三角函数的表达式变形化简，将函数表达式变形为y＝ Asin(ωx＋φ)＋k或y＝Acos(ωx＋φ)＋k等形式，然后再根据化简后的 三角函数，讨论其图像和性质．
所以cos
θ＝|aa|·|bb|＝－
10 10 .
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向量的数量积运算,数量积的运算是平面向量的核心内容，利用 数量积可以解决以下几个大问题：垂直问题、求模问题、求夹角问 题以及求向量及进行数量积运算等.
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于tan α的式子代入求值即可．
[解]
(1)由tan
α＋
1 tan
α
＝－
10 3
，得3tan2α＋10tan
α＋3＝0，即
tan α＝－3或tan α＝－13.
又34π<α<π，所以tan α＝－13.
(2)原式＝5×1－c2os
α＋4sin α＋11×1＋c2os － 2cos α
α－8
＝5－5cos
【例4】 已知34π<α<π，tan α＋tan1 α＝－130.
(1)求tan α的值2icnoαs－α2π2＋ 11cos2α2－8的值．
[思路探究] (1)结合α的取值范围，求解tan α的值；
(2)利用降幂公式和诱导公式先统一角，通过三角变换转化成关
第八章 向量的数量积与三角恒等变 换
章末综合提升
巩固 层知 识整 合
提升 层题 型探 究
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平面向量的数量积
平面向量的数量积是由物理问题中的做功问题引入的，向量数 量积的结果是一个数量，根据定义式可知，当向量夹角为锐角、钝 角和直角时，其结果分别为正值、负值和零，零向量与任何一个向 量的数量积均为零．平面向量的数量积是向量的核心内容，通过向 量的数量积考查向量的平行、垂直等关系，利用向量的数量积可以 计算向量的夹角和长度．
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【例1】 非零向量a，b满足(a＋b)⊥(2a－b)，(a－2b)⊥(2a＋ b)，求a，b的夹角的余弦值．
[思路探究] 由a＋b⊥2a－b，a－2b⊥2a＋b列出方程组 → 求出|a|2，|b|2，a·b的关系 → 利用夹角公式可求
(2)以向量运算为载体，考查三角恒等变形．这类问题往往利用 向量的知识和公式，通过向量的运算，将向量条件转化为三角条 件，然后通过三角变换解决问题；有时还从三角与向量的关联点处 设置问题，把三角函数中的角与向量的夹角统一为一类问题考查．
【例5】 已知向量a＝(1，－ 3 )，b＝(sin x，cos x)，f(x)＝
在Rt△ABD中，cos∠ABC＝14，A→B·B→C＝|A→B||B→C|·cos(π－∠ABC) ＝2×1×－14＝－12.故选C．]
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向量的坐标运算
1.向量的坐标表示实际上是向量的代数表示．引入向量的坐标 表示后，向量的运算完全化为代数运算，实现数与形的统一．
[解] (1)证明：因为A(2,1)，B(3,2)，D(－1,4)， 所以A→B＝(1,1)，A→D＝(－3,3)， 所以A→B·A→D＝1×(－3)＋1×3＝0，
所以A→B⊥A→D，即AB⊥AD．
(2)因为四边形ABCD为矩形，所以A→B⊥A→D，A→B＝D→C. 设C点的坐标为(x，y)， 则A→B＝(1,1)，D→C＝(x＋1，y－4)， 所以xy＋－14＝＝11，， 解得xy＝＝05，， 所以C点的坐标为(0,5)．
则11＝－－y＝7－λ，4λ，
所以λ＝－17， y＝73.
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3．通过向量坐标运算主要解决求向量的坐标、向量的模、夹 角、判断共线、平行、垂直等问题．
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[解] 设 D(x，y)，则A→D＝(x－2，y＋1)，
B→D＝(x－3，y－2)，B→C＝(－6，－3)，
因为A→D⊥B→C，所以A→D·B→C＝0，
[跟进训练]
1．如果等腰三角形ABC的周长是底边长BC的5倍，BC＝1，则
A→B·B→C＝( )
A．12
B．14
C．－12
D．－14
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C [设D是BC的中点，等腰三角形ABC的周长是底边长BC的5 倍，BC＝1，
34π＋α＝153
，cos
π4－β＝
3 5
，且0＜α＜π4＜β＜34π，求
cos(α＋β)的值．
[解] 因为0＜α＜π4＜β＜34π， 所以34π＜34π＋α＜π，－π2＜π4－β＜0. 又sin34π＋α＝153，cosπ4－β＝35， 所以cos34π＋α＝－1132.
sinπ4－β＝－45.
所以|A→P|＝|A→B|，即AP＝AB．
利用向量数量积解决平面几何问题的步骤 1用向量表示几何关系； 2进行向量运算； 3还原为几何结论.
[跟进训练] 3．已知三个点A(2,1)，B(3,2)，D(－1,4)． (1)求证：AB⊥AD； (2)要使四边形ABCD为矩形，求点C的坐标，并求矩形ABCD的 两对角线所夹的锐角的余弦值．
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则x2＝3－2 4＝－12，y2＝1－2 3＝－1，所以M－12，－1. (2)由已知得P→B＝(3,1)－(2，y)＝(1,1－y)， B→D＝(－4，－3)－(3,1)＝(－7，－4)． 又P→B＝λB→D，所以(1,1－y)＝λ(－7，－4)＝(－7λ，－4λ)，
(2)设P(x，y)，则F→P＝(x，y－1)，C→F＝(－2，－1)， B→P＝(x－2，y)， 因为F→P∥C→F，所以－x＝－2(y－1)，即x＝2y－2. 同理，由B→P∥B→E，得y＝－2x＋4，代入x＝2y－2， 解得x＝65，所以y＝85，即P65，85.
所以|A→P|2＝652＋852＝4＝|A→B|2，
平面向量的应用
1.向量在平面几何中的应用，向量的加减运算遵循平行四边形 法则或三角形法则，数乘运算和线段平行之间、数量积运算和垂 直、夹角、距离问题之间联系密切，因此用向量方法可以解决平面 几何中的相关问题．
2．向量在解析几何中的应用，主要利用向量平行与垂直的坐标 条件求直线的方程．
3．在物理中的应用，主要解决力向量、速度向量等问题．
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[解] (1)设点B的坐标为(x1，y1)． 因为A→B＝(4,3)，A(－1，－2)，所以(x1＋1，y1＋2)＝(4,3)， 所以xy11＋ ＋12＝ ＝43， ， 所以xy11＝ ＝31， ， 所以B(3,1)．同理可得D(－4，－3)． 设线段BD的中点M的坐标为(x2，y2)，
α＋8sin －2
α＋11＋11cos 2cos α
α－16
＝4s－in α＋2c3ocsoαs
α＝4ta－n
α＋3＝－5 2
6
2.
给值求值 解决给值求值问题时，关键是分析已知条件和结论中的角之间 的内在关系，通过角的变换拆角、配角，发现解题思路，选择相 应的三角公式进行求解.
[跟进训练]
4．已知sin
从而A→C＝(－2,4)，B→D＝(－4,2)， 所以|A→C|＝2 5，|B→D|＝2 5，A→C·B→D＝8＋8＝16. 设A→C与B→D的夹角为θ， 则cos θ＝|AA→→CC|·|BB→→DD|＝1260＝45， 所以矩形ABCD的两条对角线所夹的锐角的余弦值为45.
给值求值问题
给出某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，解题 的关键在于“变角”．使其角相同或具有某种关系，解题的基本方 法是：①将待求式用已知三角函数表示．②将已知条件转化而推出 可用的结论．其中“凑角法”是解决此类问题的常用技巧．解题时 首先是分析已知式与待求式之间角、函数、结构间的差异，有目的 的将已知式、待求式的一方或两方加以变换，找出它们之间的联 系，最后求出待求式的值．
cos(α＋β)＝sinπ2＋α＋β＝sin34π＋α－4π－β
＝sin
34π＋α
cos
π4－β
－cos
34π＋α
sin
π4－β
＝
5 13
×
3 5
－
－1123
×－45＝－3635.
三角恒等变形的综合应用
与三角恒等变形有关的综合问题一般有以下两种类型： (1)以三角恒等变形为主要的化简手段，考查三角函数的性 质．当给出的三角函数关系式较为复杂，我们要先通过三角恒等变 换，将三角函数的表达式变形化简，将函数表达式变形为y＝ Asin(ωx＋φ)＋k或y＝Acos(ωx＋φ)＋k等形式，然后再根据化简后的 三角函数，讨论其图像和性质．
所以cos
θ＝|aa|·|bb|＝－
10 10 .
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向量的数量积运算,数量积的运算是平面向量的核心内容，利用 数量积可以解决以下几个大问题：垂直问题、求模问题、求夹角问 题以及求向量及进行数量积运算等.
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于tan α的式子代入求值即可．
[解]
(1)由tan
α＋
1 tan
α
＝－
10 3
，得3tan2α＋10tan
α＋3＝0，即
tan α＝－3或tan α＝－13.
又34π<α<π，所以tan α＝－13.
(2)原式＝5×1－c2os
α＋4sin α＋11×1＋c2os － 2cos α
α－8
＝5－5cos
【例4】 已知34π<α<π，tan α＋tan1 α＝－130.
(1)求tan α的值2icnoαs－α2π2＋ 11cos2α2－8的值．
[思路探究] (1)结合α的取值范围，求解tan α的值；
(2)利用降幂公式和诱导公式先统一角，通过三角变换转化成关
第八章 向量的数量积与三角恒等变 换
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平面向量的数量积
平面向量的数量积是由物理问题中的做功问题引入的，向量数 量积的结果是一个数量，根据定义式可知，当向量夹角为锐角、钝 角和直角时，其结果分别为正值、负值和零，零向量与任何一个向 量的数量积均为零．平面向量的数量积是向量的核心内容，通过向 量的数量积考查向量的平行、垂直等关系，利用向量的数量积可以 计算向量的夹角和长度．
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【例1】 非零向量a，b满足(a＋b)⊥(2a－b)，(a－2b)⊥(2a＋ b)，求a，b的夹角的余弦值．
[思路探究] 由a＋b⊥2a－b，a－2b⊥2a＋b列出方程组 → 求出|a|2，|b|2，a·b的关系 → 利用夹角公式可求
(2)以向量运算为载体，考查三角恒等变形．这类问题往往利用 向量的知识和公式，通过向量的运算，将向量条件转化为三角条 件，然后通过三角变换解决问题；有时还从三角与向量的关联点处 设置问题，把三角函数中的角与向量的夹角统一为一类问题考查．
【例5】 已知向量a＝(1，－ 3 )，b＝(sin x，cos x)，f(x)＝
在Rt△ABD中，cos∠ABC＝14，A→B·B→C＝|A→B||B→C|·cos(π－∠ABC) ＝2×1×－14＝－12.故选C．]
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向量的坐标运算
1.向量的坐标表示实际上是向量的代数表示．引入向量的坐标 表示后，向量的运算完全化为代数运算，实现数与形的统一．
[解] (1)证明：因为A(2,1)，B(3,2)，D(－1,4)， 所以A→B＝(1,1)，A→D＝(－3,3)， 所以A→B·A→D＝1×(－3)＋1×3＝0，
所以A→B⊥A→D，即AB⊥AD．
(2)因为四边形ABCD为矩形，所以A→B⊥A→D，A→B＝D→C. 设C点的坐标为(x，y)， 则A→B＝(1,1)，D→C＝(x＋1，y－4)， 所以xy＋－14＝＝11，， 解得xy＝＝05，， 所以C点的坐标为(0,5)．
则11＝－－y＝7－λ，4λ，
所以λ＝－17， y＝73.
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