数学归纳法的应用习题
数学归纳法在中学数学中的应用
数学归纳法在中学数学中的应用数学归纳法是高中数学中的一项重要内容，它不仅在代数学和数学分析中具有广泛的应用，而且在初中数学中也扮演着重要的角色。
本文将重点介绍中学数学中数学归纳法的应用，以及如何正确运用数学归纳法解题。
一、数学归纳法的基本思想数学归纳法是一种证明方法，通常用于证明由自然数组成的数列或命题，其基本思想是：第一步：证明当n=1时，命题成立。
第二步：假设当n=k（k≥1）时命题成立，并用此假设来证明当n=k+1时命题也成立。
第三步：由第一、二步可知，对于集合{1,2…}中的每一个正整数n，命题成立。
二、应用举例1.证明1+2+…+n=n(n+1)/2对于此题，我们可以按照数学归纳法的步骤逐步解题。
第一步：当n=1时，1=1(1+1)/2，命题成立。
第二步：假设当n=k时1+2+…+k=k(k+1)/2，根据假设，当n=k+1时：1+2+…+k+(k+1)=(k)(k+1)/2+(k+1)=(k+1)(k/2+1)=(k+1)((k+1)+1)/2命题成立。
第三步：由第一、二步可知，对于集合{1,2…}中的每一个正整数n，命题成立。
因此，数学归纳法可以用来证明1+2+…+n=n(n+1)/2。
（注：此处省略了对不符合条件的情况的讨论）2.证明以下命题成立2的n次方大于等于n+1，其中n为正整数。
第一步：当n=1时，2的1次方大于等于1+1，命题成立。
第二步：假设当n=k时，2的k次方大于等于k+1，根据假设，当n=k+1时：2的k+1次方大于等于2(k+1)而(k+1)+1=k+2因此，当n=k+1时，命题成立。
第三步：由第一、二步可知，对于集合{1,2…}中的每一个正整数n，命题成立。
因此，命题为真。
三、数学归纳法的要点虽然数学归纳法是一种简单的证明方法，但是正确的运用还有一定难度。
下面是数学归纳法中需注意的要点：1.首先要确保递推式适用于所有的正整数。
2.要明确所要证明的命题。
3.要分清递推式、递推式中的变量和由递推式推出的式子。
用数学归纳法证明
用数学归纳法证明用数学归纳法证明1/2+2/2^2+3/2^3+......+n/2^n=2-n+2/2^n.1/2+2/2^2+3/2^3+......+n/2^n=2-(n+2)/2^n.1、当n=1时候，左边=1/2;右边=2-3/2=1/2左边=右边，成立。
2、设n=k时候，有：1/2+2/2^2+3/2^3+......+k/2^k=2-(k+2)/2^k成立，则当n=k+1时候：有：1/2+2/2^2+3/2^3+.....+k/2^k+(k+1)/2^(k+1)=2-(k+2)/2^k+(k+1)/2^(k+1)=2-/2^(k+1)=2-(k+3)/2^(k+1)=2-/2^(k+1)得证。
我觉得不是所有的猜想都非要用数学归纳法.比如a1=2,a(n+1)/an=2,这显然是个等比数列如果我直接猜想an=2^n,代入检验正确,而且对所有的n都成立,这时候干嘛还用数学归纳法啊.可是考试如果直接这样猜想是不得分的,必须要用数学归纳法证明.我觉得如果是数列求和,猜想无法直接验证,需要数学归纳法,这个是可以接受的.但是上面那种情况,谁能告诉我为什么啊.我觉得逻辑已经是严密的了.结果带入递推公式验证是对n属于正整数成立.用数学归纳法,无论n=1,还是n=k的假设,n=k+1都需要带入递推公式验证,不是多此一举吗.我又不是一个一个验证,是对n这个变量进行验证,已经对n属于正整数成立了.怎么说就是错误的.怎么又扯到思维上了,论严密性我比谁都在意,虽然是猜出来的,毕竟猜想需要,我的问题是--------这样的验证方式严不严密,在没有其他直接证明方法的情况下,是不是一定要用数学归纳法-------,并没有说这样就是对待数学的态度,没有猜想数学怎么发展.这说明你一眼能看出答案，是个本领。
然而，考试是要有过程的，这个本领属于你自己，不属于其他人，比如你是股票牛人，直接看出哪支会涨哪支会跌，但是不说出为什么，恐怕也不会令人信服。
数学论文 浅谈数学归纳法的应用
浅谈数学归纳法的应用数学归纳法是证明与自然数有关的命题的一种方法，应用广泛．在最近几年的高考试卷中体现的特别明显，以下通过几道高考试题来谈一谈数学归纳法的应用。
一、用数学归纳法证明整除问题用数学归纳法证明整除问题时，由到时，首先要从要证的式子中拼凑出假设成立的式子，然后证明剩余的式子也能被某式（数）整除，这是数学归纳法证明问题的一大技巧。
例1、是否存在正整数m ，使得f （n ）=（2n +7）·3n +9对任意自然数n 都能被m 整除?若存在，求出最大的m 值，并证明你的结论;若不存在，请说明理由.证明：解：由f （n ）=（2n +7）·3n +9，得f （1）=36， f （2）=3×36， f （3）=10×36， f （4）=34×36，由此猜想m =36.下面用数学归纳法证明：（1）当n =1时，显然成立.（2）假设n =k 时， f （k ）能被36整除，即f （k ）=（2k +7）·3k +9能被36整除;当n =k +1时，［2（k +1）+7］·3k +1+9=3［（2k +7）·3k +9］+18（3k --1－1），由于3k -1－1是2的倍数，故18（3k －1－1）能被36整除.这就是说，当n =k +1时，f （n ）也能被36整除.由（1）（2）可知对一切正整数n 都有f （n ）=（2n +7）·3n +9能被36整除，m 的最大值为36.二、用数学归纳法证明恒等式问题对于证明恒等的问题，在由证等式也成立时，应及时把结论和推导过程对比，也就是我们通常所说的两边凑的方法，以减小计算的复杂程度，从而发现所要证明的式子，使问题的证明有目的性．例2、是否存在常数c b a ,,，使得等式)(12)1()1(32212222c bn an n n n n +++=+•++•+•对一切自然数n 成立？并证明你的结论．解：假设存在c b a ,,，使得题设的等式成立，则当时3,2,1=n 也成立，代入得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧++=++=++=c b a c b a c b a 3970)24(2122)(614 解得10,11,3===c b a ，于是对3,2,1=n ，下面等式成立：)10113(12)1()1(32212222+++=+•++•+•n n n n n n 令222)1(3221+•++•+•=n n S n假设k n =时上式成立，即)10113(12)1(2+++=k k k k S k 那么21)2)(1(+++=+k k S S k k 22)2)(1()10113(12)1(++++++=k k k k k k2)2)(1()53)(2(12)1(++++++=k k k k k k )101253(12)2)(1(2+++++=k k k k k ]10)1(11)1(3[12)2)(1(2++++++=k k k k 这就是说，等式当1+=k n 时也成立．综上所述，当10,11,3===c b a 时，题设的等式对一切自然数n 都成立． 三、用数学归纳法证明不等式问题用数学归纳法证明一些与n 有关的不等式时，推导“n ＝k ＋1”时成立，有时要进行一些简单的放缩，有时还要用到一些其他的证明不等式的方法，如比较法、综合法、分析法、反证法等等．例3．已知函数).1(13)(-≠++=x x x x f 设数列n a {}满足)(,111n n a f a a ==+，数列n b {}满足).(|,3|*21N n b b b S a b n n n n ∈+++=-=（Ⅰ）用数学归纳法证明12)13(--≤n n n b ； （Ⅱ）证明.332<n S 证明：解：（Ⅰ）证明：当.1121)(,0≥++=≥x x f x 时 因为a 1=1，所以*).(1N n a n ∈≥下面用数学归纳法证明不等式.2)13(1--≤n nn b （1）当n=1时，b 1=13-，不等式成立，（2）假设当n=k 时，不等式成立，即.2)13(1--≤k kk b 那么 kk k k a a a b +--=-=+-1|3|)13(|3|11.2)13(2131k k k b +-≤-≤ 所以，当n=k+1时，不等也成立。
2.1(2)数学归纳法及其应用举例
第二章 极 限
一 数学归纳法
北京大峪中学高三数学组
数学归纳法及其应用举例
2.1数学归纳法及其应用举例
（2）
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数学归纳法及其应用举例
数学归纳法 1.先证明当n 取第一个值n0(如n0=1)时命题成立 2.假设当n=k(kN*,kn0)时命题成立，再证明当n=k+1 时命题也成立， 由1、2可知命题对大于等于n0的所有自然数都成立 递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉
归纳假设，除l外的其他k条直线的交点个数为 f(k) k(k1)
∵任何两条直线不平行，
2
∴直线l必与平面内其它k条直线都相交(有k个交点)；
又∵已知任何三条直线不过同一点， ∴上面的k个交点两两不相同，且与平面内的其它 k ( k 1)
2 个交点也两两不相同，从而平面内交点的个数是
k(k1)k(k1)[k (1)1]
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课堂练习
p67
数学归纳法及其应用举例
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数学归纳法及其应用举例 •1、书籍是朋友,虽然没有热情,但是非常忠实。2022年3月3日星期四2022/3/32022/3/32022/3/3
•2、科学的灵感，决不是坐等可以等来的。如果说，科学上的发现有什么偶然的机遇的话，那么这种‘偶然的机遇’只能给那些学有素养的人，给那些善于独 立思考的人，给那些具有锲而不舍的人。2022年3月2022/3/32022/3/32022/3/33/3/2022 •3、书籍—通过心灵观察世界的窗口.住宅里没有书,犹如房间里没有窗户。2022/3/32022/3/3March 3, 2022 •4、享受阅读快乐，提高生活质量。2022/3/32022/3/32022/3/32022/3/3
数学归纳法及应用举例
数学归纳法及应用举例重点难点分析：（1）数学归纳法的第一步是验证命题递推的基础，第二步是论证命题递推的依据，两个步骤密切相关，缺一不可。
（2）归纳思想充分体现了辩证唯物主义的特殊与一般的思想，是数学的基本思想，数学归纳法体现了有限与无限的辩证关系与转化思想。
（3）归纳——猜想——证明是经常运用的数学方法，观察是解决问题的前提条件，需要进行合理的试验和归纳，提出合理的猜想，从而达到解决问题的目的。
（4）数学归纳法的应用通常与数学的其它方法联系在一起，如比较法，放缩法，配凑法，分析法和综合法等。
典型例题：例1．用数学归纳证明：=-n(n+1)(4n+3)。
证明：①当n=1时，左边，右边=-1(1+1)(4+3)=-14，等式成立。
②假设n=k时等式成立，即=-k(k+1)(4k+3)。
那么n=k+1时，+[(2k+1)(2k+2)2-(2k+2)(2k+3)2] =-k(k+1)(4k+3)-2(k+1)(4k2+12k+9-4k2-6k-2)=-(k+1)[4k2+3k+2(6k+7)]=-(k+1)(4k2+15k+14)=-(k+1)(k+2)(4k+7)=-(k+1)[(k+1)+1][4(k+1)+3]，等式也成立。
由①②知，当n∈N′时等式成立，∴原命题成立。
例2．试证S n=n3+(n+1)3+(n+2)3能被9整除。
证明：①n=1时，S1=4×9，能9整除。
②假设，n=k时，S k能被9整除，则S k+1=(k+1)3+(k+2)3+(k+3)3=S k+(k+3)3-k3=S k+9(k3+3k+3)由归纳假设知S k+1能被9整除，也就是说n=k+1时命题也成立。
综上所述：命题成立。
点评：用数学归纳法证明整除问题时，关键是把n=k+1时的式子分成两部分，其中一部分应用归纳假设，另一部分经过变形处理，确定其能被某数（某式）整除。
例3．通过一点有n个平面，其中没有任何3个平面交于同一条直线，用数学归纳法证明这些平面把空间分成(n2-n+2)个部分。
数学归纳和递归问题
数学归纳和递归问题知识点：数学归纳法知识点：递归问题知识点：递归的定义与特性知识点：递归的类型与例子知识点：数学归纳法的步骤与条件知识点：数学归纳法的应用与例子知识点：递归与数学归纳法的联系与区别知识点：递归的转换与化简知识点：数学归纳法在不同领域的应用知识点：递归问题解决策略知识点：递归问题的训练与提高习题及方法：习题1：证明对于任何自然数n，以下等式成立：n(n+1)(2n+1) = (2n^2 + 2n + 1) - (n^2 - n + 1)答案与解题思路：首先展开等式的右边，得到：2n^3 + 2n^2 + n - n^2 + n - 1= 2n^3 + n^2 + 2n - 1然后将等式的左边展开，得到：n^3 + n^2 + n^2 + 2n + n= n^3 + 2n^2 + 3n比较等式的两边，可以看出它们相等，因此证明了该等式对于任何自然数n成立。
习题2：编写一个递归函数，计算自然数的阶乘。
答案与解题思路：一个递归函数计算自然数的阶乘可以写为：def factorial(n):if n == 0:return 1return n * factorial(n-1)该函数通过递归调用自身来计算阶乘。
当n等于0时，返回1，因为0的阶乘定义为1。
否则，返回n乘以n-1的阶乘。
习题3：证明对于任何自然数n，以下等式成立：1^3 + 2^3 + 3^3 + … + n^3 = (1 + 2 + 3 + … + n)^2答案与解题思路：首先使用数学归纳法证明该等式。
基础步骤：当n=1时，等式成立，因为1^3 = (1)^2。
归纳步骤：假设当n=k时等式成立，即1^3 + 2^3 + 3^3 + … + k^3 = (1 + 2 + 3 + … + k)^2。
接下来需要证明当n=k+1时等式也成立。
根据归纳假设，有：1^3 + 2^3 + 3^3 + … + k^3 = (1 + 2 + 3 + … + k)^2将k+1的立方加到等式的两边，得到：1^3 + 2^3 + 3^3 + … + k^3 + (k+1)^3 = (1 + 2 + 3 + … + k)^2 + (k+1)^3根据求和公式，有1 + 2 + 3 + … + k = k(k+1)/2，因此可以将等式简化为：(k(k+1)/2)^2 + (k+1)^3 = (k+1)2(k+2)/2)2展开等式的两边，得到：k2(k+1)2/4 + (k+1)^3 = (k^2 + 2k + 1)(k+2)^2/4化简等式，得到：k2(k+1)2/4 + (k+1)^3 = (k+1)(k+2)^2/4因此证明了当n=k+1时等式也成立。
高中数学数学归纳法检测试题(有答案)
高中数学数学归纳法检测试题（有答案）高中数学数学归纳法检测试题（有答案）数学归纳法及其应用举例一、选择题(共49题，题分合计245分)1.用数学归纳法证明:1+ + +…+ 1)时,由n=k(k1)不等式成立,推证n=k+1时,左边应增加的项数是A.2k-1B.2k-1C.2kD.2k+12.球面上有n个大圆,其中任何三个都不相交于同一点,设球面被这n个大圆所分成的部分为f(n),则下列猜想:①f(n)=n,②f(n)=f(n-1)+2n,③f(n)=n2-n+2中,正确的是A.①与②B.①与③C.②与③D.只有③3.某个命题与自然数m有关,若m=k(kN)时该命题成立,那么可以推得m=k+1时该命题成立,现已知当m=5时,该命题不成立,那么可推得A.当m=6时该命题不成立B.当m=6时该命题成立C.当m=4时该命题不成立D.当m=4时该命题成立4.设f(n)= (nN),那么f(n+1)-f(n)等于A. B. C. + D. -5.用数学归纳法证明1+a+a2+…+ = (nN,a1)中,在验证n=1时,左式应为A.1B.1+aC.1+a+a2D.1+a+a2+a312.用数字归纳法证明1+2+…+(2n+1)=(n+1)(2n+1)时,在验证n=1成立时,左边所得的代数式是A.1B.1+3C.1+2+3D.1+2+3+413.用数学归纳法证明当n是非负数时,34n+2+52n+1能被14整除的第二步中,为了使用归纳假设应将34k+6+52k+3变形为A.34k+281+52k+125B.34k+1243+52k125C.25(34k+2+52k+1)+5634k+2D.34k+49+52k+2514.用数学归纳法证明+ + +……+ = (nN)时,从n=k到n=k+1,等式左边需增添的项是A. B. C. D.15.利用数学归纳法证明不等式 ,(n2,nN)的过程中,由n=k 变到n=k+1时,左边增加了A.1项B.k项C.2k-1项D.2k项16.用数学归纳法证明5n-2n能被3整除的第二步中，n=k＋1时，为了使用假设，应将5k+1-2k+1变形为A.(5k-2k)＋45k-2kB.5(5k-2k)＋32kC.(5-2)(5k-2k)D.2(5k-2k)-35k17.平面内原有k条直线,它们的交点个数记为f(k),则增加一条直线后,它们的交点个数最多为A.f(k)+1B.f(k)+kC.f(k)+k+1D.kf(k)18.已知一个命题P(k),k=2n(nN),若n=1,2,…,1000时,P(k)成立,且当n=1000+1时它也成立,下列判断中,正确的是A.P(k)对k=2019成立 B.P(k)对每一个自然数k成立C.P(k)对每一个正偶数k成立D.P(k)对某些偶数可能不成立19.用数学归纳法证明: ,从k到k+1需在不等式两边加上A. B. C. D.20.设 ,则f(2k)变形到f(2k+1)需增添项数为A.2k+1项B.2k项C.2项D.1项21.欲用数学归纳法证明：对于足够大的自然数n，总有2n ＞n3,n0为验证的第一个值，则A.n0=1B.n0为大于1小于10的某个整数C.n0D.n0=222.某同学回答用数字归纳法证明 n+1(nN)的过程如下：证明：(1)当n=1时,显然命题是正确的;(2)假设n=k时有 k+1那么当n=k+1时, =(k+1)+1,所以当n=k+1时命题是正确的,由(1)、(2)可知对于(nN),命题都是正确的.以上证法是错误的,错误在于A.当n=1时,验证过程不具体B.归纳假设的写法不正确C.从k到k+1的推理不严密D.从k到k+1的推理过程没有使用归纳假设23.平面上有k(k3)条直线,其中有k-1条直线互相平行,剩下一条与它们不平行,则这k条直线将平面分成区域的个数为A.k个B.k+2个C.2k个D.2k+2个24.已知凸k边形的对角线条数为f(k)(k3)，则凸k＋1边形的对角线条数为A.f(k)＋kB.f(k)＋k＋1C.f(k)＋k-1D.f(k)＋k-225.平面内原有k条直线，它们将平面分成f(k)个区域，则增加第k＋1条直线后，这k＋1条直线将平面分成的区域最多会增加A.k个B.k＋1个C.f(k)个D.f(k)＋1个26.同一平面内有n个圆,其中每两个圆都有两个不同交点,并且三个圆不过同一点,则这n个圆把平面分成A.2n部分B.n2部分C.2n－2部分D.n2－n＋2部分27.平面内有n个圆，其中每两个圆都相交于两点，并且每三个圆都不相交于同一点，这n个圆把平面分成f(n)个部分，则满足上述条件的n＋1个圆把平面分成的部分f(n＋1)与f(n)的关系是A.f(n＋1)=f(n)＋nB.f(n＋1)=f(n)＋2nC.f(n＋1)=f(n)＋n＋1D.f(n＋1)=f(n)＋n＋228.用数学归纳法证明不等式成立时，应取的第一个值为A.1B.3C.4D.529.若，则等于A. B.C. D.30.设凸n边形的内角和为f (n)，则f (n+1) - f (n) 等于A. B. C. D.31.用数学归纳法证明不等式成立,则n的第一个值应取A.7B.8C.9D.1032. 等于A. B. C. D.33.已知ab是不相等的正数,若 ,则b的取值范围是A.02B.02C.bD.b234.利用数学归纳法证明对任意偶数n,an-bn能被a+b整除时,其第二步论证,应该是A.假设n=k时命题成立,再证n=k+1时命题也成立B.假设n=2k时命题成立,再证n=2k+1时命题也成立C.假设n=k时命题成立,再证n=k+2时命题也成立D.假设n=2k时命题成立,再证n=2(k+1)时命题也成立35.用数学归纳法证明42n-1+3n+1(nN)能被13整除的第二步中,当n=k+1时为了使用假设,对42k+1+3k+2变形正确的是A.16(42k-1+3k+1)-133k+1B.442k+93kC.(42k-1+3k+1)+1542k-1+23k+1D.3(42k-1+3k+1)-1342k-136.用数学归纳法证明(n+1)(n+2)…(n+n)=2n13…(2n-1)(nN)时,从两边同乘以一个代数式,它是A.2k+2B.(2k+1)(2k+2)C.D.37.用数学归纳法证明某命题时,左式为+cos+cos3+…+cos(2n-1)(kZ,nN),在验证n=1时,左边所得的代数式为A. B. +cos C. +cos+cos 3 D. +cos+cos 3+cos 538.用数学归纳法证明(n+1)(n+2)…(n+n)=2n13…(2n-1)时,第二步n=k+1时的左边应是n=k时的左边乘以A.(k+1+k+1)B.(k+1+k)(k+1+k+1)C.D.39.设Sk= + + +……+ ,则Sk+1为A. B.C. D.40.用数字归纳法证明某命题时,左式为1- +…+ ,从n=k到n=k+1,应将左边加上A. B. C. D.41.用数学归纳法证明当n为正奇数时,xn+yn能被x+y整除时,第二步应是A.假设n=k(kN)时命题成立,推得n=k+1时命题成立B.假设n=2k+1(kN)时命题成立,推得n=2k+3时命题成立C.假设k=2k-1(kN)时命题成立,推得n=2k+1时命题成立D.假设nk(k1,kN)时命题成立,推得n=k+2时命题成立42.设p(k):1+ (k N),则p(k+1)为A.B.C.D.上述均不正确43.k棱柱有f(k)个对角面，则k＋1棱柱有对角面的个数为A.2f(k)B.k－1＋f(k)C.f(k)＋kD.f(k)＋244.已知，则等于A. B.C. D.45.用数学归纳法证明，在验证n=1等式成立时，左边计算所得的项是A. B. C. D.46.用数学归纳法证明某不等式，其中证时不等式成立的关键一步是：，括号中应填的式子是A. B. C. D.47.对于不等式，某人的证明过程如下：当时，不等式成立。
2.3 数学归纳法(3)
例7、平面内有n条直线，其中任何两条不平行，任何 平面内有n条直线，其中任何两条不平行， 三条不过同一点，求证交点个数是f(n)= 2 n(n三条不过同一点，求证交点个数是f(n)= 1 n(n-1).
证明： 证明：1）n=2时：两条直线交点个数为1, n=2时 两条直线交点个数为1, (2∴命题成立 命题成立。 而f(2)= 1 ×2×(2-1)=1, ∴命题成立。
3
时公式仍成立。 ∴ 当n=k+1时公式仍成立。 时公式仍成立
3
由1）、 2）可知，对一切 ∈N ，均有 S n ）、 ）可知，对一切n∈N
n ( 2 n 2 + 1) = 3
。
￭ 数学归纳法在整除问题、几何问题、归纳猜想问题 数学归纳法在整除问题、几何问题、 及不等式问题中的应用。 及不等式问题中的应用。
练习6.用数学归纳法证明：对任意自然数 ， 练习 用数学归纳法证明：对任意自然数n，数11n+2+122n+1是 用数学归纳法证明 133的倍数 的倍数 证明： 当 证明：(1)当n=1时，11n+2+122n+1=113+123=23×133 时 × 能被133整除 整除， ∴23×133能被 整除，即n=1时命题成立 × 能被 时命题成立 (2)假设 假设n=k时，11k+2+122k+1能被 能被133整除 假设 时 整除 那么11 那么 (k+1)+2+122(k+1)+1=11⋅11k+2+122⋅122k+1 ⋅ =11⋅(11k+2+122k+1)−11×122k+1+122⋅122k+1 ⋅ − × =11⋅(11k+2+122k+1)+ 122k+1(144−11) ⋅ − = 11⋅(11k+2+122k+1)+ 122k+1⋅133 ⋅ 由归纳假设知11 都能被133整除 由归纳假设知 k+2+122k+1及122k+1⋅133都能被 整除 都能被 能被133整除，即n=k+1时命题也成立 整除， 整除 时命题也成立 ∴11(k+1)+2+122(k+1)+1能被 由(1)、(2)，可知命题对一切自然数 都成立 、 ，可知命题对一切自然数n都成立
课件2-数学归纳法应用-
胎儿性别检查 [单选,A1型题]下列哪项不是黄连的主治病证（）A.肺热咳嗽B.血热吐血C.胃热呕吐D.湿热泻痢E.痈疽疮毒 胎儿性别检查 [单选]国家对音像制品的零售，实行（）。A.保证金制度B.追惩制度C.备案制度D.许可制度 胎儿性别检查 [单选]风湿性心脏瓣膜病主动脉瓣关闭不全和主动脉瓣狭窄不具有以下哪项表现（）.A.左心室大B.左心室负荷量增加C.S1亢进D.心绞痛E.A2减弱 胎儿性别检查 [单选,A2型题]生后7天足月正常产新生儿，地段保健医师进行家庭巡视时发现其全身皮肤黄染，但反应正常，此时最佳处理方法是（）A.该新生儿需要立即去医院接受检查治疗B.无须特殊处理C.停止母乳喂养，改牛乳喂养D.注意保温，多饮水E.口服抗生素 胎儿性别检查 [单选]仲裁案件当事人甲公司与乙公司在案件审理过程中通过协商，就已经提交仲裁的争议达成和解协议。随后申请人甲公司撤回了仲裁申请。后甲公司反悔，此时甲、乙两公司的纠纷应如何解决？（）A.甲公司只能另外通过诉讼解决纠纷B.甲公司只能与乙公司重新达成仲裁协议 胎儿性别检查 [判断题]涡轮的阻力包括ATF油的摩擦阻力、与涡轮相联系的各元件的运动阻力等。（）A.正确B.错误 胎儿性别检查 [单选]削痂主要用于（）A.Ⅰ度烧伤B.浅Ⅱ度烧伤C.Ⅲ度烧伤D.深Ⅱ度烧伤E.轻度烧伤 胎儿性别检查 [判断题]在金融机构开立个人存款账户的，金融机构应当要求其出示本人身份证件，进行核对，并登记其身份证件上的姓名和号码。（）A.正确B.错误 胎儿性别检查 [单选]校对人员通读的主要任务是（）。A.校是非B.校异同C.对片D.誊样 胎儿性别检查 [单选]保留给自环测试的IP地址是（）A.164.0.0.0B.130.0.0.0C.200.0.0.0D.127.0.0.0 胎儿性别检查 [单选]某大型项目施工期间，项目经理刘某因个人原因辞职去另一家施工企业担任负责人，但该项目发包人不同意承包人变更项目负责人的请求，则在此情况下，（）。A．注册管理机关应当为刘某办理变更注册B．注册管理机关应当为刘某办理增项注册C．在项目竣工交接前，刘某 胎儿性别检查 [问答题]在公共场所怎样避震？ 胎儿性别检查 [单选]慢性胃炎伴哪项改变属癌前病变()A．浅表性胃炎伴肠腺化生B．浅表性胃炎伴脐状突起C．萎缩性胃炎伴肠腺化生D．萎缩性胃炎伴假性幽门腺化生E．萎缩性胃炎伴重度不典型增生 胎儿性别检查 [单选]下列对骨质疏松描述错误的是（）A.骨质疏松症可分为原发性、继发性两类B.雌激素可抑制骨吸收，雌激素水平不足是病因之一C.多数患者为原发性骨质疏松症D.女性绝经期后发病率升高E.骨折是本病最为严重的后果 胎儿性别检查 [单选]在建设项目招投标的交易方式下，通常由()作为招标人，通过发布招标公告或者向一定数量的特定承包人发出招标邀请等方式发出招标信息。A.业主B.工程承包人C.公证人D.工程发包人 胎儿性别检查 [问答题,简答题]营养物质大部分在哪一器官吸收？ 胎儿性别检查 [填空题]（）是所有人际合作交往的基础。 胎儿性别检查 [单选,B型题]根据内容划分，冲突可以分为（）A.目标冲突、认知冲突、感情冲突、程序冲突B.建设性冲突、破坏性冲突C.个人冲突、人际冲突、群体冲突D.人际冲突、群体冲突、组织间冲突E.积极性冲突、消极性冲突 胎儿性别检查 [单选]光面爆破时，应尽可能减少周边眼间的起爆时差，相邻光面炮眼的起爆间隔时问不应大于（）。A．200msB．150msC．100ms 胎儿性别检查 [单选]下列关于类风湿关节炎药物治疗正确的是（）。A.早期应用快作用抗风湿病药B.大部分患者用一种慢作用药就可以阻止关节破坏C.可以常规应用糖皮质激素D.非甾体抗炎药是改善关节症状的一线药物E.不能使用中枢性镇痛药 胎儿性别检查 [单选,A2型题,A1/A2型题]在性成熟期，中医认为：乳房属（）A.肝B.脾C.胃D.胆E.肾 胎儿性别检查 [单选]在对市场经济进行规制的法律体系中，（）处于基本法的地位。A.民商法B.婚姻法C.刑法D.民事诉讼法 胎儿性别检查 [填空题]拆组件时要注意把（）的（）和（）的（）分开放到盆子内，并放到指定位置。 胎儿性别检查 [单选]具备条件的快件运营人可以通过（）申请办理报检。A.电子邮件的方式B.电子数据交换的方式C.传真的方式D.电话的方式 胎儿性别检查 [单选]下列各项中，会导致企业资产负债率下降的是()。A.收回应收款项B.计提资产减值准备C.盈余公积转增资本D.接受股东追加投资 胎儿性别检查 [单选]铁路平面无线调车A型号电台，在调车作业中，连结员或制动员按下绿键时，辅助语音提示为（）。A.起动B.推进C.紧急停车（×号×号）D.×号解锁 胎儿性别检查 [单选]雪情通告的标志是（）.A.NOTAMSB.SNOTAMC.SNOWTAM 胎儿性别检查 [单选]某产妇，产后2天，自述下腹阵发性疼痛，无恶心、呕吐，查子宫底在脐下3指，可能的诊断为（）。A.阑尾炎B.腹膜炎C.产后宫缩痛D.胰腺炎E.卵巢囊肿 胎儿性别检查 [单选,A2型题,A1/A2型题]抗酒石酸酸性磷酸酶染色阳性的是（）A.慢性淋巴细胞白血病B.淋巴肉瘤C.多毛细胞白血病D.尼曼-匹克病E.B淋巴细胞 胎儿性别检查 [单选,A2型题,A1/A2型题]脑性瘫痪肌张力测定不包括（）A.头背屈角B.臂弹回试验C.围巾征D.内收肌角E.WeeFIMSM 胎儿性别检查 [单选]以下跳汰机是按矸石的运动方向加以区分的（）。A、单槽跳汰机B、正排矸跳汰机C、块煤跳汰机D、三段跳汰机 胎儿性别检查 [多选]关于航空运输市场的含义下列说法正确的是()A.航空运输市场是一种特定的市场B.是航空运输产品和服务交易的场所C.是指航空运输产品供求关系的总和D.是在一定时空条件下对航空运输产品和服务需求的总和E.供求关系的无法测量的市场 胎儿性别检查 [单选]国产指示仪表准确度等级分为：0.1，0.2，0.5，1.5，2.5，5.0七级数字表示意义是什么？（）A.数字越大表示准确度越高B.数字越小表示准确度越高C.数字越小表示仪表准确度越低 胎儿性别检查 [单选,A型题]下列是片剂的特点的叙述，不包括（）A、体积较小，其运输、贮存及携带、应用都比较方便B、片剂生产的机械化、自动化程度较高C、产品的性状稳定，剂量准确，成本及售价都较低D、可以制成不同释药速度的片剂而满足临床医疗或预防的不同需要E、具有靶向作用 胎儿性别检查 [单选]（）是一种由此及彼，由已知到未知或未来的研究方法。通过它可以对事物获得新的认识。A、比较B、分析与综合法C、推理D、数据整合方法 胎儿性别检查 [单选]不属于煮炉加药前的准备工作的是（）。A.操作人员要配备工作服、胶皮手套、胶鞋、防护镜等劳保用品以及救护药品，操作地点附近要有清水B.准备好加药桶和其他工具C.不得将固体药品注入锅筒内，更不得使药液进入过滤器内D.将煮炉用药品先调成20%浓度的水溶液，搅 胎儿性别检查 [配伍题,B1型题]患者体内含有抗-A、抗-B，按照同型输注原则可接受（）</br>患者体内含有抗-B，按照同型输注原则可接受（）A型血B.O型血C.B型血D.O型血或B型血E.O型血或A型血 胎儿性别检查 [单选]胃癌最好发的部位是（）A.幽门管B.胃窦大弯侧C.胃体大弯侧D.胃窦小弯侧E.贲门小弯侧 胎儿性别检查 [单选]对固定资产采用加速折旧法，体现了会计核算的（）要求。A.重要性B.谨慎性C.可比性D.实质重于形式 胎儿性别检查 [单选,A2型题,A1/A2型题]中枢神经系统白血病多见于（）A.儿童急性粒细胞白血病B.急性淋巴细胞白血病治疗缓解后C.慢性粒细胞白血病急变期D.慢性淋巴细胞白血病E.以上都不正确
高中数学选修本(理科)数学归纳法及其应用举例2
用的方法：乘法公式、因式分解、添拆项、配方等。5）两个步骤、一个结论缺一不可，否则结论不能 成立：。递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉
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12/9/2021
第十三页，共十三页。
证明：1、当n=1时,左=12=1，右= 1(11)(21) 1
∴n=1时，等式成立
6
2、假设n=k时，等式成立，即
1 2 2 2 3 2 k 2 k (k 1 )2 ( k 1 )
那么，当n=k+1时
6
左=12+22+…+k2+(k+1)2= k(k1)2 (k1)(k1)2 6
k ( k 1 )2 k ( 1 ) 6 ( k 1 ) 2 ( k 1 )k ( 2 )2 k ( 3 )
数数数数学数学学学(归s(hshùùx归xu归纳ué)é归)归纳纳法纳纳法法及法及其及其其应其应应用应应用(用yìn用g用举yò举ng举)例举例例例例
第二课时
第一页，共十三页。
复习引入：
找准起点 (qǐdiǎn)
奠基要稳
数学归纳法是一种证明与自然数有关的数学命题的重要方法。
其格式主要有两个步骤、一个结论:
第十一页，共十三页。
练习(liànxí)巩固 1.求证:当n∈N*时，
1 1 1 1 1 1 11 1 234 2 n 12 nn 1n 2 2n3n2 n12
4
第十二页，共十三页。
内容(nèiróng)总结
数学归纳法及其应用举例。2、假设n=k时，等式成立，即。那么，当n=k+1时，有。根据①②问可 知，对n∈N＊，等式成立.。＋k(k+1)＝。1）明确(míngquè)首先取值n0并验证命题真假（必不可少）。
数学归纳法在高中数学中的应用
数学归纳法在高中数学中的应用
数学归纳法在高中数学中的应用非常广泛，可以用来解决各类问题。
1、推理问题：使用数学归纳法可以快速地推理出数学问题的解决方案。
例如：设f(n)表示一个函数，若f(1)=2，f(2)=6，f(3)=3；则可使用数学
归纳法推出f(n)=2n+1，注意n≥1。
2、极限问题：对于极限问题，利用数学归纳法可以更快捷地得到结果。
例如：当n→+∞时，求函数f(n)的极限：f(n)=n^2+2n，可使用数学归
纳法推出极限为+∞
3、方程组求解问题：数学归纳法可以用来解决方程组的求解问题。
例如：有n个方程，每个方程有m个未知数，可以利用数学归纳法快速
地求出这n个方程的解。
4、数列问题：可以利用数学归纳法求解等差、等比等数列的通项公式、和、最大项和最小项等属性。
很多高中数学问题都可以应用数学归纳法解答，并且数学归纳法是高
效的，易于理解，使用方便，广泛应用于学习和科学研究。
体现数学归纳法原理的例子
体现数学归纳法原理的例子数学归纳法是一种证明方法，常用于证明一个数学命题对于所有自然数都成立。
它的基本原理是：首先证明当自然数为最小值时命题成立，然后假设对于某个自然数k命题成立，再证明对于k+1这个数命题也成立，即可得出对于所有自然数命题都成立的结论。
这种证明方法通常用于证明一些数学公式的成立，例如等差数列的求和公式、等比数列的求和公式等。
以等差数列的求和公式为例，假设有一个等差数列，首项为a，公差为d，共有n项，我们想要求这个等差数列的和Sn。
可以使用数学归纳法来证明等差数列的求和公式成立。
首先，当n=1时，这个等差数列就只有一个项a，此时显然有S1=a，所以等差数列的求和公式对于n=1的情况成立。
假设对于某个自然数k，等差数列的求和公式成立，即\[S_k = \frac {k(2a + (k-1)d)}{2}\]其中a为首项，d为公差。
我们希望证明对于k+1这个数，等差数列的求和公式也成立，即\[S_{k+1} = \frac {(k+1)(2a + kd)}{2}\]。
根据等差数列的性质，我们知道\[S_{k+1} = S_k + (a + kd)\]。
带入假设的等差数列的求和公式，即\[S_{k+1} = \frac {k(2a + (k-1)d)}{2} + (a + kd)\]。
整理得到\[S_{k+1} = \frac {k(2a + (k-1)d) + 2a + 2kd}{2}\]。
继续整理化简可得\[S_{k+1} = \frac {(k+1)(2a + kd)}{2}\]。
因此，等差数列的求和公式对于k+1这个数也成立。
综合以上两部分证明，我们可以得出结论：对于任意正整数n，等差数列的求和公式\[S_n = \frac {n(2a + (n-1)d)} {2}\]都成立。
这就是数学归纳法的典型应用，首先证明基本情况下命题成立，然后假设对于某个自然数命题成立，再证明对于这个自然数加一命题也成立，从而推论得出对于所有自然数命题都成立。
高一数学必修一中的数学归纳法应用实例
高一数学必修一中的数学归纳法应用实例在高一数学必修一中，数学归纳法是一个重要的证明方法，它为解决与自然数相关的命题提供了有力的工具。
接下来，让我们通过一些具体的实例来深入理解数学归纳法的应用。
首先，我们来明确一下数学归纳法的基本步骤。
第一步是“奠基”，也就是证明当 n 取第一个值 n₀（通常 n₀＝ 1）时命题成立。
第二步是“归纳递推”，假设当 n ＝ k（k ≥ n₀，k 为自然数）时命题成立，证明当 n ＝ k ＋ 1 时命题也成立。
有了这个基础，我们来看第一个实例。
证明：1 ＋ 3 ＋ 5 ＋… ＋（2n 1) ＝ n²当 n ＝ 1 时，左边＝ 1，右边＝ 1²＝ 1，左边＝右边，命题成立。
假设当 n ＝ k 时，命题成立，即 1 ＋ 3 ＋ 5 ＋… ＋（2k 1) ＝ k²。
那么当 n ＝ k ＋ 1 时，左边＝ 1 ＋ 3 ＋ 5 ＋… ＋（2k 1) ＋（2(k ＋ 1) 1)＝ k²＋（2k ＋ 1)＝ k²＋ 2k ＋ 1＝（k ＋ 1)²右边＝（k ＋ 1)²所以左边＝右边，当 n ＝ k ＋ 1 时，命题也成立。
由上述数学归纳法的步骤，可证明该命题对任意自然数 n 都成立。
再来看一个关于数列的例子。
已知数列{aₙ}满足 a₁＝ 1，aₙ₊₁＝ 2aₙ ＋ 1，证明 aₙ ＝2ⁿ 1当 n ＝ 1 时，a₁＝ 2¹ 1 ＝ 1，命题成立。
假设当 n ＝ k 时，命题成立，即 aₙ ＝ 2ᵏ 1当 n ＝ k ＋ 1 时，aₙ₊₁＝ 2aₙ ＋ 1＝ 2(2ᵏ 1) ＋ 1＝ 2 × 2ᵏ 2 ＋ 1＝ 2ᵏ⁺¹ 1所以当 n ＝ k ＋ 1 时，命题也成立。
从而证明了对于任意自然数 n，aₙ ＝2ⁿ 1 都成立。
接下来这个例子是关于不等式的证明。
证明：1 ＋ 1/2 ＋ 1/3 ＋… ＋ 1/n ＞ ln(n ＋ 1) （n ∈ N）当 n ＝ 1 时，左边＝ 1，右边＝ ln(1 ＋ 1) ＝ ln2 ＜ 1，左边＞右边，命题成立。
12.1数学归纳法
第十二章 极限一 数学归纳法【考点阐述】数学归纳法．数学归纳法应用． 【考试要求】（1）理解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题． 【考题分类】（一）填空题（共3题） 1．（湖北卷理15）观察下列等式：2111,22ni i n n ==+∑ 2321111,326ni in n n ==++∑ 34321111,424ni i n n n ==++∑ 454311111,52330ni in n n n ==++-∑ 5654211151,621212ni i n n n n ==++-∑ 67653111111,722642ni i n n n n n ==++-+∑ ……………………………………212112101,nkk k k k k k k k i ia n a n a n a n a n a +--+--==++++⋅⋅⋅++∑可以推测，当x ≥2（*k N ∈）时，1111,,12k k k a a a k +-===+ ，2k a -= . 【标准答案】15．,012k【试题解析】由观察可知当2k ≥时，每一个式子的第三项的系数是成等差数列的，所以112k k a -=， 第四项均为零，所以20k a -=。
【高考考点】考查学生的观察能力与归纳猜想思想。
【易错提醒】没有正确理解题意。
【备考提示】数列是高中的重要内容，要重点复习。
2．（江苏卷10）将全体正整数排成一个三角形数阵：12345678910按照以上排列的规律，第n 行(3)n ≥从左向右的第3个数为 。
【答案】262n n -+【解析】本小题考查归纳推理和等差数列求和公式。
前1n -行共用了123(1)n +++-(1)2n n -个数，因此第n 行(3)n ≥从左向右的第3个数是全体正整数中的第(1)32n n-+个，即为262n n -+。
3．（上海春卷11）已知12,,,n a a a ；12,,,n b b b （n 是正整数），令112n L b b b =+++，223L b b =+,n b ++，n n L b =. 1122n n a b a b a b +++=112233a L c L c L +++k kc L +n n c L ++，则k c = (2)k n ≤≤.【答案】 1k k a a --. （二）解答题（共1题）1．（全国Ⅰ卷理22）设函数()ln f x x x x =-．数列{}n a 满足101a <<，1()n n a f a +=． （Ⅰ）证明：函数()f x 在区间(01)，是增函数； （Ⅱ）证明：11n n a a +<<；（Ⅲ）设1(1)b a ∈，，整数11ln a bk a b-≥．证明：1k a b +>． 【解析】()f '(x)=1ln x 1=ln x x 0,1,ln x<0,ln x>0f '(x)>0(0,1)f(x)(0,1)∈解：⑴由－－－ ∵∴∴－∴在内恒成立∴在区间内是增函数。
4-5.4.1数学归纳法及其应用举例(1)
证明：(i)当n＝1时，34×1+2＋52×1+1＝754＝14×16， ∴当n＝1时，34n+2＋52n+1能被14整除． (ii)设n＝k(k≥1，k∈N*)时，34k+2＋52k+1能被14整除． 那么当n＝k＋1时
34(k+1)+2＋52(k+1)+1＝34k+2· 34＋52k+1· 52 ＝81· 34k+2＋25· 52k+1 ＝(25＋56)· 34k+2＋25· 52k+1
1×4+2×7+3×10+…+k(3k+1)=k(k+1)2
3）当n=k+1时，命题的形式是
1×4+2×7+3×10+…+k(3k+1) +(k+1)[3(k+1)+1] =(k+1)[(k+1)+1]2
4）此时，左边增加的项是
(k+1)[3(k+1)+1]
5)从左到右如何变形？
证明： （1）当n=1时，左边＝1×4＝4，右边＝1×22＝4，等式成立。 （2）假设 n= k时 命题成立，即 1× 4+2×7+3×10+…+k(3k+1)=k(k+1)2 当n=k+1时 左边=1×4+2×7+3×10+…+k(3k+1)
k k 1 k 1 k 1
5(5 2 3 1) 4(3 1) 5 Ak 4(3 1) 因为 Ak 是 8 的倍数,3k-1 +1 是偶数即 4(3k-1 +1)也是 8 的倍数,所以 Ak+1 也是 8 的倍数 ,即当 n=k +1 时,命题成立. 由(1)、(2)知对一切正整数 n, An 能被 8 整除.
数学归纳法典型例题
数学归纳法典型例题(总14页)-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1-CAL-本页仅作为文档封面，使用请直接删除数学归纳法典型例题一. 教学内容：高三复习专题：数学归纳法二. 教学目的掌握数学归纳法的原理及应用三. 教学重点、难点数学归纳法的原理及应用四. 知识分析【知识梳理】数学归纳法是证明关于正整数n的命题的一种方法，在高等数学中有着重要的用途，因而成为高考的热点之一。
近几年的高考试题，不但要求能用数学归纳法去证明现代的结论，而且加强了对于不完全归纳法应用的考查，既要求归纳发现结论，又要求能证明结论的正确性，因此，初步形成“观察—－归纳—－猜想—－证明”的思维模式，就显得特别重要。
一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：（1）（归纳奠基）证明当n取第一个值n = n0时命题成立；（2）（归纳递推）假设n = k（）时命题成立，证明当时命题也成立。
只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从开始的所有正整数n都成立。
上述证明方法叫做数学归纳法。
数学归纳法是推理逻辑，它的第一步称为奠基步骤，是论证的基础保证，即通过验证落实传递的起点，这个基础必须真实可靠；它的第二步称为递推步骤，是命题具有后继传递性的保证，即只要命题对某个正整数成立，就能保证该命题对后继正整数都成立，两步合在一起为完全归纳步骤，称为数学归纳法，这两步各司其职，缺一不可，特别指出的是，第二步不是判断命题的真伪，而是证明命题是否具有传递性，如果没有第一步，而仅有第二步成立，命题也可能是假命题。
【要点解析】1、用数学归纳法证明有关问题的关键在第二步，即n＝k＋1时为什么成立，n＝k＋1时成立是利用假设n＝k时成立，根据有关的定理、定义、公式、性质等数学结论推证出n＝k＋1时成立，而不是直接代入，否则n＝k＋1时也成假设了，命题并没有得到证明。
用数学归纳法可证明有关的正整数问题，但并不是所有的正整数问题都是用数学归纳法证明的，学习时要具体问题具体分析。
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数学归纳法的应用
1．利用数学归纳法证明1
n＋
1
n＋1
＋
1
n＋2
＋…＋
1
2n<1(n∈N
*，且n≥2)时，第二步
由k到k＋1时不等式左端的变化是
()．
A．增加了
1
2k＋1
这一项
B．增加了
1
2k＋1
和
1
2k＋2
两项
C．增加了
1
2k＋1
和
1
2k＋2
两项，同时减少了
1
k这一项
D．以上都不对
2．用数学归纳法证明“当n为正奇数时，x n＋y n能被x＋y整除”的第二步是
()．A．假使n＝2k＋1时正确，再推n＝2k＋3正确
B．假使n＝2k－1时正确，再推n＝2k＋1正确
C．假使n＝k时正确，再推n＝k＋1正确
D．假使n≤k(k≥1)，再推n＝k＋2时正确(以上k∈N*)
3．已知平面内有n条直线(n∈N*)，设这n条直线最多将平面分割成f(n)个部分，则f(n＋1)等于
()．A．f(n)＋n－1 B．f(n)＋n
C．f(n)＋n＋1 D．f(n)＋n＋2
4．已知S n＝
1
1·3＋
1
3·5＋
1
5·7＋…＋
1
(2n－1)(2n＋1)
，则S1＝________，S2＝________，
S3＝________，S4＝________，猜想S n＝________.
5．用数学归纳法证明“当n为正偶数时x n－y n能被x＋y整除”第一步应验证n ＝________时，命题成立；第二步归纳假设成立应写成________________．
6．用数学归纳法证明：
1＋1
22＋
1
32＋…＋
1
n2＜2－
1
n(n≥2)．
7．用数学归纳法证明不等式
1
n＋1
＋
1
n＋2
＋…＋
1
2n>
11
24(n∈N
*)的过程中，由n＝k
递推到n＝k＋1时，下列说法正确的是
()．
A．增加了一项
1
2(k＋1)
B．增加了两项
1
2k＋1
和
1
2(k＋1)
C．增加了B中的两项，但又减少了一项
1 k＋1
D．增加了A中的一项，但又减少了一项
1 k＋1
8．命题P(n)满足：若n＝k(k∈N*)成立，则n＝k＋1成立，下面说法正确的是()．A．P(6)成立则P(5)成立
B．P(6)成立则P(4)成立
C．P(4)成立则P(6)成立
D．对所有正整数n，P(n)都成立
9．已知1＋2×3＋3×32＋4×33＋…＋n×3n－1＝3n(na－b)＋c对一切n∈N*都成立，则a、b、c的值为________．
10．数列{a n}中，已知a1＝2，a n＋1＝a n
3a n＋1
(n∈N*)，依次计算出a2，a3，a4后，
归纳、猜测得出a n的表达式为________．
11．求证：1＋n
2≤1＋
1
2＋
1
3＋…＋
1
2n≤
1
2＋n.
12．(创新拓展)数列{a n}满足S n＝2n－a n，n∈N*，先计算前4项后猜想a n，并用数学归纳法证明．
数学归纳法的应用
1．C 2 B 3．C
4．解析分别将1,2,3,4代入观察猜想S n＝n
2n＋1. 答案
1
3
2
5
3
7
4
9
n
2n＋1
5．答案2x2k－y2k能被x＋y整除6．用数学归纳法证明：
1＋1
22＋
1
32＋…＋
1
n2＜2－
1
n(n≥2)．
证明：(1)当n＝2时，1＋1
22＝
5
4＜2－
1
2＝
3
2，命题成立．
(2)假设当n＝k时命题成立，即1＋1
22＋
1
32＋…＋
1
k2＜2－
1
k，当n＝k＋1时，
1＋1
22＋
1
32＋…＋
1
k2＋
1
(k＋1)2
＜2－
1
k＋
1
(k＋1)2
＜2－
1
k＋
1
k(k＋1)
＝2－
1
k＋
1
k－
1 k＋1＝2－
1
k＋1
，命题成立．
由(1)、(2)知原不等式在n≥2时均成立．
7．C 8．C 9．答案a＝1
2，b＝c＝
1
410．答案a n＝
2
6n－5
11．求证：1＋n
2≤1＋
1
2＋
1
3＋…＋
1
2n≤
1
2＋n.
证明(1)当n＝1时，f(1)＝1＋1
2，原不等式成立；
(2)设n＝k(k∈N*)时，原不等式成立即1＋k
2≤1＋
1
2＋
1
3＋…＋
1
2k≤
1
2＋k成立，
当n＝k＋1时，
f(k＋1)＝f(k)＋
1
2k＋1
＋
1
2k＋2
＋…＋
1
2k＋1
≥1＋
k
2＋
1
2k＋1
＋
1
2k＋2
＋…＋
1
2k＋1
>1＋
k 2
＋＝1＋k
2＋
1
2＝1＋
k＋1
2，
f(k＋1)＝f(k)＋
1
2k＋1
＋
1
2k＋2
＋…＋
1
2k＋1
≤
1
2＋k＋
1
2k＋1
＋
1
2k＋2
＋…＋
1
2k＋1
<
1
2＋
k ＋
∴f (k ＋1)<1
2＋(k ＋1)即n ＝k ＋1时，命题成立． 综合(1)、(2)可得：原命题对n ∈N *恒成立．
12．(创新拓展)数列{a n }满足S n ＝2n －a n ，n ∈N *，先计算前4项后猜想a n ，并用数学归纳法证明．
证明 当n ＝1时，S 1＝2－a 1，∴a 1＝1， n ＝2时，S 2＝a 1＋a 2＝4－a 2，∴a 2＝3
2， n ＝3时，S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝6－a 3，∴a 3＝7
4， n ＝4时，S 4＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝8－a 4，∴a 4＝15
8. ∴猜想a n ＝2n －1
2
n －1.
用数学归纳法证明：①当n ＝1时，a 1＝1，猜想成立， ②假设n ＝k 时猜想成立，即a k ＝2k －1
2
k －1成立．
那么，当n ＝k ＋1时，S k ＋1＝2(k ＋1)－a k ＋1＝S k ＋a k ＋1＝2k －a k ＋a k ＋1，∴2a k ＋1＝2＋a k ＝2＋2k －12k －1＝2k ＋1－1
2
k －1，
∴a k ＋1＝2k ＋1－1
2k ，即n ＝k ＋1时猜想成立． 由①②可知，对n ∈N *猜想均成立．。