湖南省衡阳县高三数学模拟考试试题(一)文

合集下载

湖南省衡阳市高考数学一模试卷(文科)

高考数学一模试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知复数z=x+yi（x∈R，y∈R，i为虚数单位）满足z=，则x+y=（）A. 1B. 0C. -1D. -22.若集合M={y|y=x2-1，x∈R}，N={x|x2+y2=1，x∈R，y∈R}，则M∩N=（）A. （-1，1）B. [-1，1]C. [-1，1）D. ∅3.甲、乙两名同学八次数学测试成绩的茎叶图如图所示，则甲同学成绩的众数与乙同学成绩的中位数依次为（）A. 85，85B. 85，86C. 85，87D. 86，864.cos15°+sin375°的值为（）A. B. C. D.5.在等比数列{a n}中，a1a3=a4=4，则a6的所有可能值构成的集合是（）A. {6}B. {-8，8}C. {-8}D. {8}6.关于两条不同的直线m、n与两个不同的平面α、β，下列命题正确的是（）A. m∥α，n∥β且α∥β，则m∥nB. m⊥α，n⊥β且α⊥β，则m∥nC. m⊥α，n∥β且α∥β，则m⊥nD. m∥α，n⊥β且α⊥β，则m∥n7.若实数x，y满足，则2y的最大值为（）A. B. 1 C. D. 28.若双曲线（a＞0，b＞0）的一个焦点到一条渐近线的距离等于焦距的，则该双曲线的渐近线方程是（）A. x±2y=0B. 2x±y=0C.D.9.某多面体的三视图如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，则该多面体的表面积为（）A. 2+4+2B. 2+2+4C. 2+6D. 8+410.现有四个函数：①y=x sinx；②y=x cosx；③y=x|cos x|；④y=x•2x的图象（部分）如图所示，则按照图象从左到右的顺序，将其对应的函数序号排列正确的一组是（）A. ①④③②B. ①④②③C. ④①②③D. ③④②①11.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，函数y=[x]（x∈R）称为高斯函数，其中[x]表示不超过x的最大整数，例如：[-2.1]=-3，[3.1]=3．已知函数f（x）=，则函数y=[f（x）]的值域是（）A. {0，1}B. （0，1]C. （0，1）D. {-1，0，1}12.已知a-ln b=0，c-d=1，（a，b，c，d∈R），则（a-c）2+（b-d）2的最小值是（）A. 4B. 2C. 1D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知点A（0，1），B（3，2），向量=（4，3），则向量的坐标是______．14.阅读程序框图，运行相应的程序，则输出的值为______．15.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若=，△ABC外接圆的半径为3，则a=______．16.已知函数f（x）=，若在区间[-2，2]内随机选取一个实数a，则方程[f（x）]2+af（x）-1=0有且只有两个不同实根的概率为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且S3=15，a3+a8=2a5+2．（1）求a n；（2）设数列{}的前n项和为T n，求证：T n．18.从某企业生产的产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频数分布表：（）在表格中作出这些数据的频率分布直方图；（2）估计这种产品质量指标的平均数及方差（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（3）根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品80%”的规定？19.如图，四棱锥S-ABCD的底面ABCD为直角梯形，AB∥CD，AB⊥BC，AB=2BC=2CD=2，△SAD为正三角形．（1）点M为棱AB上一点，且BC∥平面SDM，求线段AM的长度；（2）若BC⊥SD，求点B到平面SAD的距离．20.如图，圆C与x轴相切于点T（2，0），与y轴正半轴相交于两点M，N（点M在点N的下方），且|MN|=3．（Ⅰ）求圆C的方程；（Ⅱ）过点M任作一条直线与椭圆相交于两点A、B，连接AN、BN，求证：∠ANM=∠BNM．21.已知f（x）=4x+ax2（x∈R），且f（x）在区间[-1，1]上是增函数．（1）求实数a的值组成的集合A；（2）设函数f（x）的两个极值点为x1、x2，试问：是否存在实数m，使得不等式m2+tm+1≥|3x1-x2|对任意a∈A及t∈[-1，1]恒成立？若存在，求m的取值范围；若不存在，请说明理由．22.以平面直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，已知直线l的参数方程是（t为参数），曲线C的极坐标方程为ρsin2θ-4cosθ=0（ρ≥0）．（1）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；（2）若直线l与曲线C交于A，B两点，且|AB|=16，求实数m的值．23.已知函数f（x）=|x+2|-|ax-2|．（1）当a=2时，求不等式f（x）≥2x+1的解集；（2）若不等式f（x）＞x-2对任意的x∈（0，2）恒成立，求a的取值范围．答案和解析1.【答案】C【解析】解：∵x+yi=，∴x=0，y=-1，∴x+y=-1．故选：C．利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数相等的条件列式求解．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数相等的条件，是基础题．2.【答案】B【解析】解：M=[-1，+∞），N=[-1，1]；∴M∩N=[-1，1]．故选：B．可解出集合M，N，然后进行交集的运算即可．考查描述法、区间的定义，圆的标准方程，以及交集的运算．3.【答案】B【解析】解：根据茎叶图中的数据知，甲同学成绩的众数是85，乙同学成绩的中位数是×（85+87）=86．故选：B．由茎叶图中的数据利用众数、中位数的概念求出结果．本题考查了利用茎叶图求众数、中位数的应用问题，是基础题．4.【答案】A【解析】解：cos15°+sin375°=cos15°+sin15°=．故选：A．利用诱导公式及两角和的正弦化简求值．本题考查三角函数的化简求值，考查诱导公式及两角和的正弦，是基础题．5.【答案】D【解析】解：∵a1a3=a22=4，a4=4，∴a2=2，∴q2==2，∴a6=a2q4=2×4=8，故a6的所有可能值构成的集合是{8}，故选：D．根据等比数列的通项公式即可求出．本题考查了等比数列的通项公式，属于基础题．6.【答案】C【解析】解：若m∥α，n∥β且α∥β，则m与n可能平行与可能异面，故A错误；若m⊥α，n⊥β且α⊥β，则m⊥n，故B错误；当n∥β且α∥β时，存在直线l⊂α，使l∥n，又由m⊥α，故m⊥l，则m⊥n，故C正确；若n⊥β且α⊥β，则n∥α或n⊂α，若m∥α，则m与n可能平行，也可能垂直，也可能相交，故D错误；故选：C．根据空间中面面平行及线面平行的性质，我们易判断A的对错，根据线线垂直的判定方法，我们易判断出B的真假；根据空间中直线与直线垂直的判断方法，我们可得到C的正误；根据线面平行及线面平行的性质，我们易得到D的对错，进而得到结论．本题考查的知识点是空间中直线与直线之间的位置关系，熟练掌握空间中线与面之间位置关系的定义及判定方法是解答本题的关键．7.【答案】D【解析】解：做出直线y=2x，2y=x与圆（x-1）2+y2=1的图象，得出不等式组对应的可行域，如图阴影部分所示，根据题意得：y的最大值为1，所以2y的最大值为2．故选：D．做出不等式组的简单线性规划，如图阴影部分所示，找出y的最大值即可．此题考查了简单线性规划，做出满足题意的图形是解本题的关键．8.【答案】C【解析】解：对于双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为b，而，因此，∴，因此其渐近线方程为．故选：C．由题设知，因此，所以，由此可求出其渐近线方程．本题考查双曲线的性质和应用，解题时要认真审题，仔细求解．9.【答案】A【解析】解：由题意可知几何体的三棱锥，是正方体的一部分，棱长为2，所以，几何体的表面积为：=2+4+2．故选：A．判断几何体的形状，画出直观图，然后求解表面积．本题考查空间几何体的三视图求解几何体的表面积，判断几何体的形状是解题的关键．10.【答案】B【解析】解：①y=x sinx是偶函数，其图象关于y轴对称；②y=x cosx是奇函数，其图象关于原点对称；③y=x|cos x|是奇函数，其图象关于原点对称．且当x＞0时，y≥0；④y=x•2x为非奇非偶函数，且当x＞0时，y＞0；当x＜0时，y＜0；故选：B．根据函数的奇偶性和函数值得特点即可判断．本题考查了函数的奇偶性和函数值特点，属于基础题11.【答案】A【解析】解：f（x）==，∵2x+≥2，∴0＜f（x）≤1，则函数y=[f（x）]的值域为{0，1}，故选：A．先求出函数的值域，再根据新定义即可求出函数y=[f（x）]的值域本题考查了函数性质，以及新定义的应用，属于基础题．12.【答案】B【解析】解：（b，a）是曲线C：y=ln x上的点，（d，c）是直线l：y=x+1上的点；（a-c）2+（b-d）2可看成曲线C上的点到直线l上的点的距离的平方．对函数y=ln x求导得，令y′=1，得x=1，所以，曲线C上一点到直线l上距离最小的点为（1，0），该点到直线l的距离为．因此，（a-c）2+（b-d）2的最小值为．故选：B．将点（b，a）是曲线C：y=ln x上的点，点（d，c）是直线l：y=x+1上的点；（a-c）2+（b-d）2可看成曲线C上的点到直线l上的点的距离的平方．然后将问题转化为求曲线C上一点到直线l距离的最小值的平方，直接对函数y=ln x求导，令导数为零，可求出曲线C上到直线l距离最小的点，然后利用点到直线的距离公式可求出最小距离，从而得出答案．本题考查距离的最值问题，将问题进行转化是解本题的关键，属于中等题．13.【答案】（1，2）【解析】解：∵点A（0，1），B（3，2），∴=（3，1），∵=（4，3），∴=-=（1，2），故答案为：（1，2）根据向量的坐标运算即可求出．本题考查了向量的坐标运算，属于基础题14.【答案】4【解析】解：第一次循环，i=1，a=2；第二次循环，i=2，a=2×2+1=5；第三次循环，i=3，a=3×5+1=16；第四次循环，i=4，a=4×16+1=65＞50，退出循环，此时输出的值为4故答案为4：利用循环体，计算每执行一次循环后a的值，即可得出结论．本题考查循环结构，考查学生的读图能力，解题的关键是读懂循环结构．15.【答案】3【解析】解：由=，可得，那么cos A=，∵0＜A＜180°∴A=150°．正弦定理：∴a=2×3×sin A=3故答案为：3．通分化简=，可得，那么cos A=，此时A=150°．正弦定理可得a的值；本题考查三角形的正弦定理的运用，考查运算能力，属于基础题．16.【答案】【解析】解：设t=f（x），则方程[f（x）]2+af（x）-1=0可化为t2+at-1=0，由t=f（x）的图象可知：方程[f（x）]2+af（x）-1=0有且只有两个不同实根等价于关于t的方程t2+at-1=0必有一正根t1、一负根t2，且t1∈（1，2），所以解得：-，设“方程[f（x）]2+af（x）-1=0有且只有两个不同实根”为事件A，则P（A）==，故答案为：由函数与方程的关系得：方程[f（x）]2+af（x）-1=0有且只有两个不同实根等价于关于t的方程t2+at-1=0必有一正根t1、一负根t2，且t1∈（1，2），所以解得：-，由几何概型中的线段型得：P（A）==，得解本题考查复合方程的解的个数与函数图象交点个数的转化及几何概型中的线段型，属中档题17.【答案】解：（1）等差数列{a n}的公差设为d，S3=15，a3+a8=2a5+2，可得3a1+3d=15，2a1+9d=2（a1+4d）+2，解得d=2，a1=3，则a n=a1+（n-1）d=3+2（n-1）=2n+1；（2）证明：===（-），前n项和T n=（1-+-+-+…+-+-）=（1+--）=-．由＞0，可得T n．【解析】（1）等差数列{a n}的公差设为d，运用等差数列的通项公式和求和公式，可得首项和公差的方程组，解方程可得首项和公差，即可得到所求通项公式；（2）运用等差数列的求和公式可得===（-），再由数列的裂项相消求和，化简整理，结合不等式的性质即可得证．本题考查等差数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列的裂项相消求和，以及方程思想和运算能力，属于中档题．18.【答案】解：（1）频率分布直方图如图所示：（2）质量指标的样本平均数为=80×0.06+90×0.26+100×0.38+110×0.22+120×0.08=100，质量指标的样本的方差为S2=（-20）2×0.06+（-10）2×0.26+0×0.38+102×0.22+202×0.08=104，这种产品质量指标的平均数的估计值为100，方差的估计值为104．（3）质量指标值不低于95的产品所占比例的估计值为0.38+0.22+0.08=0.68，由于该估计值小于0.8，故不能认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品80%”的规定．【解析】（1）根据频率分布直方图做法画出即可；（2）用样本平均数和方差来估计总体的平均数和方差，代入公式计算即可．（3）求出质量指标值不低于95的产品所占比例的估计值，再和0.8比较即可．本题主要考查了频率分布直方图，样本平均数和方差，考查了学习的细心的绘图能力和精确的计算能力．19.【答案】解：（1）∵BC∥平面SDM，BC⊂平面ABCD，平面SDM∩平面ABCD=DM，∴BC∥DM，∵AB∥DC，∴M为AB的中点，∴AM=1．（2）∵BC⊥SD，BC⊥CD，SD∩CD=D，∴BC⊥平面SCD，又∵BC⊂平面ABCD，∴平面SCD⊥平面ABCD，平面SCD∩平面ABCD=CD，在平面SCD内过点S作SE⊥直线CD于点E，则SE⊥平面ABCD，在Rt△SEA和Rt△SED中，∵SA=SD，∴AE===DE，又由题知∠EDA=45°，∴AE⊥ED，由题意得AD=，∴AE=ED=SE=1，连结BD，则V S-ABD==，，∵V S-ABD=V B-ASD，∴点B到平面SAD的距离d===．【解析】（1）推导出BC∥DM，M为AB的中点，由此能求出AM．（2）由BC⊥SD，BC⊥CD，得BC⊥平面SCD，从而平面SCD⊥平面ABCD，连结BD，由V S-ABD=V B-ASD，能求出点B到平面SAD的距离．本题考查线段长的求法，考查点到平面的距离的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．20.【答案】解：（Ⅰ）设圆C的半径为r（r＞0），依题意，圆心坐标为（2，r）．∵|MN|=3，∴，解得，故圆C的方程为．（Ⅱ）把x=0代入方程，解得y=1或y=4，即点M（0，1），N（0，4）．（1）当AB⊥y轴时，由椭圆的对称性可知∠ANM=∠BNM．（2）当AB与y轴不垂直时，可设直线AB的方程为y=kx+1．联立方程，消去y得，（1+2k2）x2+4kx-6=0．设直线AB交椭圆Γ于A（x1，y1）、B（x2，y2）两点，则，．∴=0，∴∠ANM=∠BNM．综上所述，∠ANM=∠BNM．【解析】（Ⅰ）设圆C的半径为r（r＞0），依题意，圆心坐标为（2，r），根据|MN|=3，利用弦长公式求得r的值，可得圆C的方程．（Ⅱ）把x=0代入圆C的方程，求得M、N的坐标，当AB⊥y轴时，由椭圆的对称性可知∠ANM=∠BNM，当AB与y轴不垂直时，可设直线AB的方程为y=kx+1，代入椭圆的方程，利用韦达定理求得K AB+K BN=0，可得∠ANM=∠BNM．本题考查了圆的标准方程求法以及圆锥曲线问题中韦达定理的应用，弦长公式，是综合类的题目，考虑到证两条直线的斜率互为相反数是解决此题的关键，属于中档题．21.【答案】解：（1）∵f（x）在区间[-1，1]上是增函数．∴f′（x）=4+2ax-2x2≥0，在区间[-1，1]上恒成立．∴f′（-1）=4-2a-2≥0，f′（1）=4+2a-2≥0，解得-1≤a≤1．∴A=[-1，1]．（2）函数f（x）的两个极值点为x1、x2，∴x1+x2=a，x1x2=-2．∴|3x1-x2|=|2（x1-x2）+（x1+x2）|≤2|（x1-x2|+（x1+x2）=2+|a|，∵a∈A，设h（a）=2+|a|，a∈[-1，1]，则h（a）是偶函数，且在[0，1]上单调递增．∴|3x1-x2|的最大值为h（1）=7．设g（t）=m2+tm+1=tm+（m2+1），t∈[-1，1]，g（t）≥|3x1-x2|对任意a∈A及t∈[-1，1]恒成立，则，解得m≤-3或m≥3．∴存在实数m≤-3或m≥3，使得不等式m2+tm+1≥|3x1-x2|对任意a∈A及t∈[-1，1]恒成立．【解析】（1）由（x）在区间[-1，1]上是增函数．可得f′（x）=4+2ax-2x2≥0，在区间[-1，1]上恒成立．可得f′（-1）≥0，f′（1）≥0，即可得出．（2）函数f（x）的两个极值点为x1、x2，可得x1+x2=a，x1x2=-2．|3x1-x2|=|2（x1-x2）+（x1+x2）|≤2|（x1-x2|+（x1+x2）=2+|a|，a∈A，设h（a）=2+|a|，a∈[-1，1]，则h（a）是偶函数，且在[0，1]上单调递增．进而得出其最大值．g（t）≥|3x1-x2|对任意a∈A及t∈[-1，1]恒成立，可得，解得m范围即可得出．本题考查了利用导数研究函数的单调性、方程与不等式的解法、转化方法、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．22.【答案】解：（1）由直线l的参数方程消去t得x=+m，由ρsin2θ-4cosθ=0得ρ2sin2θ-4ρcosθ=0，可得y2=4x．（2）把直线l的参数方程代入y2=4x得t2-8-16m=0，由△＞0，解得m＞-3，∴t1+t2=8，t1t2=-16m，∴|AB|=|t1-t2|===16，解得m=1，又满足△＞0，m＞-3，所以m=1．【解析】（1）在直线l的参数方程中消去t可得直线l的普通方程，在曲线C的极坐标方程两边同时乘以ρ，再根据ρsinθ=y，ρcosθ=x可得曲线C的直角坐标方程；（2）联立直线l的参数方程与曲线C的直角坐标方程后，根据韦达定理以及直线参数方程中参数的几何意义可求得弦长，与已知弦长相等列式可得．本题考查了简单曲线的极坐标方程，属中档题．23.【答案】解：（1）当a=2时，，当x≤-2时，由x-4≥2x+1，解得x≤-5；当-2＜x＜1时，由3x≥2x+1，解得x∈∅；当x≥1时，由-x+4≥2x+1，解得x=1．综上可得，原不等式的解集为{x|x≤-5或x=1}．（2）因为x∈（0，2），所以f（x）＞x-2等价于|ax-2|＜4，即等价于，所以由题设得在x∈（0，2）上恒成立，又由x∈（0，2），可知，，所以-1≤a≤3，即a的取值范围为[-1，3]．【解析】（1）求出函数的分段函数的形式，通过讨论x的范围求出各个区间上的不等式的解集，取并集即可；（2）问题等价于在x∈（0，2）上恒成立，求出a的范围即可．本题考查了解绝对值不等式问题，考查函数恒成立问题以及分类讨论思想，转化思想，是一道中档题．。

湖南省衡阳市高三数学第一次联考(一模)试卷文(含解析)

2016届高中毕业班联考试卷（一）文科数学第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项.1.已知集合}2,1,0{=A ，}ln |{x y x B ==，则=⋂B AA.}2,0{B.}1,0{C.}2,1{D.}2,1,0{ 2.已知a 、R b ∈，i 是虚数单位，若bi i a -=+2，则=+2)(bi aA.i 43-B.i 43+C.i 34-D.i 34+3.已知命题p ：ααπαcos )cos(,=-∈∃R ；命题q ：01,2>+∈∀x R x .则下面结论正确的是A.q p ∧是假命题B.q p ∨是真命题C.p ⌝是真命题D.p 是假命题 4.如图1是某篮球联赛中，甲、乙两名运动员9个场次得分的茎叶图，设甲、乙两人得分平均数分别为甲x 、乙x ，中位数分别为甲m 、乙m ，则A.乙甲x x <，乙甲m m <B.乙甲x x <，乙甲m m >C.乙甲x x >，乙甲m m >D.乙甲x x >，乙甲m m <5.“1=a ”是“直线01=++y ax 与直线023)2(=--+y x a 垂直”的A.充要条件B.必要不充分条件C.充分不必要条件D.既不充分也不必要条件6.已知实数a 、b 满足122=+b a ，设函数54)(2+-=x x x f ，则使)()(b f a f ≥的概率为A.π2143+ B.21 C.43 D.π121+ 7.已知O 为坐标原点，点M 的坐标为)1,2(-，在平面区域⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+≥020y y x x 上取一点N ，则使||MN 取得最小值时，点N 的坐标是A.)0,0(B.)1,0(C.)2,0(D.)0,2( 8.某几何体的三视图如图2所示，则该几何体的表面积为 A.65 B.6 C.33+ D. 239+ 9.在ABC ∆中，090=C ，3==CB CA ，点M 满足→→=MA BM 2，则→→⋅CB CM 等于A.32B.2C.3D.4 10.已知角ϕ的终边经过点)3,4(-P ，函数)sin()(ϕω+=x x f )0(>ω的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于2π，则)4(πf 的值为A.53B.54C.53-D.54- 图 1图211.已知双曲线C ：1322=-y x 的左、右焦点分别为1F 、2F ，过点2F 的直线与双曲线C 的右支相交于P 、Q 两点，且点P 的横坐标为2，则Q PF 1∆的周长为A.34B.3314C.35D.3316 12.函数)(x f 的定义域为]1,1[-，图象如图3所示；函数)(x g 的定义域为]2,2[-，图象如图4所示，方程0)]([=x g f 有m 个实数根，方程0)]([=x f g 有n 个实数根，则=+n mA.14B.12C.10D.8第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两个部分.第（13）题-第（21）题为必考题，每个考生都必须作答.第（22）题-第（24）题为选考题，考生根据要求作答. 二．填空题：本大题共四小题，每小题5分. 13.已知下面四个命题①从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每15分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是分层抽样；②两个随机变量相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于1；③在回归直线方程124.0ˆ+=x y中，当解释变量x 每增加一个单位时，预报变量平均增加 0.4个单位；④对分类变量X 与Y 的随机变量2K 的观测值k 来说，k 越小，“X 与Y 有关系”的把握程度越大.其中所有真命题的序号是 .14.执行图5的程序框图，则输出S 的值为 .图4图5 图615.如图6，为了测量A 、C 两点间的距离，选取同一平面上B 、D 两点，测出四边形ABCD各边的长度（单位：km ）：5=AB ，8=BC ，3=CD ，5=DA ，且B ∠与D ∠互补，则AC 的长为_______km .16.设二次函数c bx ax x f ++=2)(（c b a ,,为常数）的导函数为)(x f '，对任意R x ∈，不等式)()(x f x f '≥恒成立，则222ca b +的最大值为_________. 三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分12分）据统计某校学生在上学路上所需时间最多不超过120分钟．该校随机抽取部分新入校的新生其在上学路上所需时间（单位：分钟）进行调查，并将所得数据绘制成频率分布直方图. ⑴求频率分布直方图中a 的值. ⑵为减轻学生负担，学校规定在上学路上所需时间不少于1小时的学生可申请在校内住宿. 请根据抽样数据估计该校1600名新生中有多少学生可申请在校内住宿.18.（本小题满分12分）已知数列}{n a 的前n 项和为n S ，且22-=n n a S . ⑴求数列}{n a 的通项公式；⑵设n n a a a b 22212log log log +++= ，求使nk b n n ≥-)8(对任意*∈N n 恒成立的实数k 的取值范围.19．（本小题满分12分）如图8，在多面体ABCDEF 中，DE ⊥平面ABCD ，AD ∥BC ，平面BCEF平面ADEF EF =，60BAD ︒∠=，2AB =，1DE EF ==. ⑴求证：BC ∥EF ；⑵求三棱锥B DEF -的体积.图720.（本小题满分12分）已知椭圆C ：12222=+by a x )0(>>b a 的离心率为23=e ，其左右焦点分别为1F 、2F ，32||21=F F ，设点),(11y x M 、),(22y x N 是椭圆上不同两点，且这两点分别与坐标原点的连线的斜率之积为41-.⑴求椭圆C 的方程；⑵求证：2221x x +为定值，并求该定值.21.（本小题满分12分）已知函数x x a ax x f ln )1(21)(2-++-=)(R a ∈. ⑴当0>a 时，求函数)(x f 的单调递减区间；⑵当0=a 时，设函数2)2()()(++-=x k x xf x g .若函数)(x g 在区间),21[+∞上有两个零点，求实数k 的取值范围.请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑. 22.(本小题满分10分)选修4-1：几何证明选讲如图9所示，EP 交圆于,E C 两点，PD 切圆于D ，G 为CE 上一点且PG PD =，连接DG 并延长交圆于点A ，作弦AB 垂直EP ，垂足为F .⑴求证：AB 为圆的直径；⑵若,5AC BD AB ==，求弦DE 的长.23.（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程图9已知曲线1C 的参数方程为⎩⎨⎧+=+=ty tx sin 55cos 54（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为θρsin 2=. ⑴把1C 的参数方程化为极坐标方程；⑵求1C 与2C 交点的极坐标（)20,0πθρ<≤≥.24. (本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲已知函数||)(a x x f -=，其中1>a .⑴当3=a 时，求不等式|4|4)(--≥x x f 的解集；⑵若函数)(2)2()(x f a x f x h -+=的图象与x 、y 轴围成的三角形面积大于4+a ，求a 的取值范围.2016届高中毕业班联考试卷（一）文科数学参考答案1.C 解：}0|{>=x x B ，}2,1{=⋂∴B A ，故选C.2.A 解：1,2-==b a ，i i bi a 43)2()(22-=-=+∴，故选A.3.B 解：命题p 与q 都正确，由复合命题的真值性可知，命题q p ∨是真命题，故选B.4.A 解：28=甲m ，36=乙m ，9256=甲x ，9323=乙x 乙甲m m <∴，乙甲x x <，故选A.5.C 解：03)2(=-+a a ，1=∴a 或3-，故选C.6.B 解：b a b f a f ≤⇔≥)()( ，212==∴ππP ，故选B. 7.B 解：MN 垂直y 轴，||MN 取得最小值2，此时点)1,0(N ，故选B.8.D 解：原几何体是正方体缺少了一个角，所以表面积为239+，故选D. 9.C 解：→CM 在→CB 上的投影为1，3=⋅∴→→CB CM ，故选C.10.D 解：54cos )42sin()4(-==+⨯=ϕϕππf ，故选D.11.D 解：⎩⎨⎧==-==-322||||164||||2122221a PF PF c PF PF 338||||21=+⇒PF PF Q PF 1∆∴的周长为3316|)||(|221=+PF PF ，故选D. 12.A 解：由方程0)]([=x g f 可知1,0,1)(-=x g ，此时x 有7个实根，即7=m ；由方程0)]([=x f g 可知7=n ，所以14=+n m ，故选A.13.②③ 解：根据抽样是间隔相同，且样本间无明显差异，故①应是系统抽样，即①为假命题；两个随机变量相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于1；两个随机变量相关性越弱，则相关系数的绝对值越接近于0；故②为真命题；在回归直线方程124.0ˆ+=x y中，当解释变量x 每增加一个单位时，预报变量平均增加0.4个单位，故③为真命题；对分类变量X 与Y 的随机变量2K 的观测值k 来说，k 越小，“X 与Y 有关系”的把握程度越小，故④为假命题；故真命题为②③.14.36 解：s=0，i=1，n=1；s=1，i=2，n=3；s=4，i=3，n=5；s=9，i=4，n=7；s=16，i=5，n=9；s=25，i=6，n=11，s=36，终止循环，故填36.15.7 解：D D cos 53253)cos(582582222⨯⨯⨯-+=-⨯⨯⨯-+π 21-cos =⇒D 749==∴AC ，故答案为7.16.2 解：0)2(2≥-+-+b c x a b ax 在R 上恒成立0>⇔a 且0≤∆2244a ac b -≤⇔1)()1(4442222222+-=+-≤+∴ac a c ca a ac c ab ，令1-=ac t ，)0(>t 2222242222-≤++=+∴t t t c a b ，故222c a b +最大值为222-. 17.解：⑴120)0250.00060.00030.00021.00014.0(=⨯+++++a0125.0=∴a …………5分⑵新生上学所需时间不少于1小时的频率为： 13.020)0014.00021.00030.0(=⨯++ …………9分该校1600名新生中可申请在校内住宿的人数估计为20813.01600=⨯ …12分18.解：⑴22-=n n a S1=∴n 时，2211-=a S 21=⇒a ……… 1分2≥n 时，1122---=-=n n n n n a a S S a 21=⇒-n n a a.所以数列}{n a 是以21=a 为首项，公比为2的等比数列 .……… 4分n n a 2=∴（N n *∈） .……… 6分⑵2)1(321log log log 22212+=++++=++=n n n a a a b n n…… 8分nk b n n ≥-∴)8(对*N n ∈∀恒成立，即k n n ≥+-2)1)(8(对*N n ∈∀恒成立设)1)(8(21+-=n n c n ，则当3=n 或4时，n c 取得最小值为10-10-≤∴k . …… 12分19.解：⑴∵AD ∥BC ，AD ⊂平面ADEF ，BC ⊄平面ADEF∴ BC ∥平面ADEF . …………………2分又BC ⊂平面BCEF ，平面BCEF 平面ADEF EF =∴BC ∥EF ． …………4分⑵在平面ABCD 内作BH AD ⊥于点H ∵DE ⊥平面ABCD ，BH ⊂平面ABCD∴D E BH ⊥. …………5分 ∵AD ⊂平面ADEF ，DE ⊂平面ADEF ，AD DE D =∴BH ⊥平面ADEF . ………6分 ∴BH 是三棱锥B DEF -的高 ………7分在Rt△ABH 中，o 60BAD ∠=，2AB =，故BH …………8分 ∵ DE ⊥平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD∴ DE AD ⊥. ……………9分由⑴知，BC ∥EF ，且AD ∥BC∴ AD ∥EF ，∴ DE EF ⊥. ……………10分∴三棱锥B DEF -的体积63311213131=⨯⨯⨯⨯=⨯⨯=∆BH S V DEF …12分 20.解：⑴3=c，e =2a =，2221b a c =-= 则椭圆C 的方程为2214x y += ……………4分 ⑵由于121214y y x x ⨯=-，则12124x x y y =-，1222212216x x y y = …………6分而221114x y +=，222214x y +=，则221114x y -=，222214x y -= ∴22221212(1)(1)44x x y y --=，则22221212(4)(4)16x x y y --= …………9分 22221212(4)(4)x x x x --=，展开得22124x x +=为一定值. …………12分21.解：⑴()f x 的定义域为(0,)+∞，(1)(1)()(0).ax x f x a x --'=->………1分 ①当(0,1)a ∈时，11a>.由()0f x '<，得1x a >或1x <.∴当(0,1)x ∈，1(,)x a∈+∞时，()f x 单调递减.∴()f x 的单调递减区间为(0,1),1(,)a+∞. …………2分②当1a =时，恒有()0f x '≤，∴()f x 的单调递减区间为(0,)+∞ …………3分③当(1,)a ∈+∞时，11a<.由()0f x '<，得1x >或1x a <.∴当1(0,)x a∈，(1,)x ∈+∞时，()f x 单调递减.∴()f x 的单调递减区间为1(0,)a,(1,)+∞ .…………4分综上，当(0,1)a ∈时，()f x 的单调递减区间为(0,1),1(,)a+∞；当1a =时，()f x 的单调递减区间为(0,)+∞；当(1,)a ∈+∞时，()f x 的单调递减区间为1(0,)a,(1,)+∞. ………5分⑵2()ln (2)2g x x x x k x =--++在1[,)2x ∈+∞上有零点即关于x 的方程2ln 22x x x k x -+=+在1[,)2x ∈+∞上有两个不相等的实数根.令函数2ln 21(),[,)22x x x h x x x -+=∈+∞+. ……6分则2232ln 4()(2)x x x h x x +--'=+. 令函数21()32ln 4,[,)2p x x x x x =+--∈+∞.则(21)(2)()x x p x x -+'=在1[,)2+∞上有()0p x '≥.故()p x 在1[,)2+∞上单调递增.(1)0p = ……8分∴当1[,1)2x ∈时，有()0p x <即()0h x '<.∴()h x 单调递减；当(1,)x ∈+∞时，有()0p x >即()0h x '>，∴()h x 单调递增. ……10分19ln 2()2105h =+，(1)1,h =10210ln 21021023(10)12123h --=>=>1()2h ∴k 的取值范围为9ln 2(1,].105+…………12分 22.证明：⑴因为PD PG =，所以PGD PDG ∠=∠由于PD 为切线，故DBA PDA ∠=∠ ………2分又因为PGD EGA ∠=∠，所以DBA EGA ∠=∠ 所以DBA BAD EGA BAD ∠+∠=∠+∠从而BDA PFA ∠=∠ ………4分又,EP AF ⊥所以 90=∠PFA ，所以90=∠BDA故AB 为圆的直径 ………5分 ⑵连接.BC DC ，由于AB 是直径，故90BDA ACB ∠∠︒＝＝在Rt BDA Rt ACB 与中，AB BA AC BD ＝，＝从而得Rt BDA Rt ACB ≌，于是DAB CBA ∠∠＝. …………7分又因为DCB DAB ∠∠＝，所以DCB CBA ∠∠＝，故DC AB . ……8分因为AB EP ⊥，所以DC EP DCE ⊥∠，为直角 …………………9分所以ED 为直径，又由(1)知AB 为圆的直径所以5==AB DE ………10分 23.解：⑴将⎩⎨⎧+=+=ty t x sin 55cos 54消去参数t ，化为普通方程25)5()4(22=-+-y x即1C ：01610822=+--+y x y x ………2分将⎩⎨⎧==θρθρsin cos y x 代入01610822=+--+y x y x 得 016sin 10cos 82=+--θρθρρ ………5分⑵2C 的普通方程为0222=-+y y x由⎪⎩⎪⎨⎧=-+=+--+020161082222y y x y x y x ，解得⎩⎨⎧==11y x 或⎩⎨⎧==20y x ………8分所以1C 与2C 交点的极坐标分别为)4,2(π，)2,2(π………10分 24.解：⑴当3a =时，27,3,()41,34,27, 4.x x f x x x x x -+≤⎧⎪+-=⎨⎪-≥⎩＜＜当3x ≤时，由()44f x x ≥--得，274x -+≥，解得32x ≤；当34x <<时，()44f x x ≥--，无解；当4x ≥时，()44f x x ≥--得，274x -≥，解得112x ≥． ∴()44f x x ≥--的解集为{31122x x x ⎫≤≥⎬⎭或． …………5分 ⑵记()(2)2()h x f x a f x =+-，则2,0,()42,0,2,.a x h x x a x a a x a -≤⎧⎪=-<<⎨⎪≥⎩所以12422aS a a =⨯⨯>+，解得4a >. …………10分。

湖南省衡阳市2020届高三第一次联考(一模)(文科)数学试题(含答案)

A.(1, 2)
B.( 3, +)
C. (1,2)
D. (2, +∞)
11.
已知
A
是函数
f
(
x)
=
sin(2020
x
+
6
)
+
cos(2020
x
−
3
)
的最大值，若存在实数
x1
,
x2
使得对任意
实数 x 总有 f (x1) f (x) f (x2) 成立,则 A | x1 − x2 | 的最小值为
题为选考题,考生根据要求作答.
二、填空题:本大题共 4 小题每小题 5 分，满分 20 分.把答案填在答题卡中对应题号后的横线上.
3
13.在区间[0,π]上随机地取一个数 x,则事件“ sin x 2 ”发生的概率为____ 2
14.设抛物线 y2 = 4x 的焦点为 F ,过点 F 作直线 l 与抛物线分别交于两点 A、B ,若点 M(2,t)满足 OM = 1 (OA + oB) ，则|AB|=___
的取值范围是
A.[−2, 1] e
B.[1 , 2] e
C.[2, +∞)
D.(-∞,2]
10.
已知
F1,
F2
分别是双曲线
x a
2 2
−
y2 b2
= 1(a 0, b 0) 的左右焦点,过点 F1 与双曲线的一条渐近线平行
的直线交双曲线的另一条渐近线于点 M,若 MF1 MF2 0 ，则该双曲线离心率的取值范围是
2 15.在△ABC 中，内角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c,若 2sin Asin B cos C = sin2 C ,则

湖南省衡阳市数学高三文数第一次模拟试卷

湖南省衡阳市数学高三文数第一次模拟试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共10题；共20分)1. （2分）集合，若，则a的值为（）A . 0B . 1C . 2D . 42. （2分）(2020·丽江模拟) 设是虚数单位,如果复数的实部与虚部是互为相反数,那么实数的值为（）A .B .C .D .3. （2分）设把的图像向右平移个单位（）后恰好得到函数的图像,则的值可以是（）A .B .C .D .4. （2分） (2017高二下·景德镇期末) 下列说法正确的是（）A . 极坐标系中方程ρ2﹣4ρcosθ=0和ρ﹣4cosθ=0表示的是同一曲线B .C . 不等式|a+b|≥|a|﹣|b|等号成立的条件为ab≤0D . 在极坐标系中方程表示的圆和一条直线．5. （2分）(2017·太原模拟) 执行如图的程序框图，则输出的S=（）A .B .C . ﹣D . 06. （2分）数列{an}中，an+1=an+2﹣an ， a1=2，a2=5，则a5为（）A . -3B . -11C . -5D . 197. （2分）设满足约束条件：，则的最小值为（）A . 6B . -6C .D . -78. （2分） (2018高二上·黑龙江期末) 在区间上任取一个数，则此数不大于3的概率是（）A .B .C .D .9. （2分）规定记号“”表示一种运算，即：，设函数。

且关于x的方程为f(x)=lg|x+2|恰有四个互不相等的实数根x1,x2,x3,x4 ，则x1+x2+x3+x4的值是（）A . -4B . 4C . 8D . -810. （2分） (2017高三上·济宁期末) 已知函数f（x）=2sin（ωx+ ）的图象与x轴交点的横坐标，依次构成一个公差为的等差数列，把函数f（x）的图象沿x轴向左平移个单位，得到函数g（x）的图象，则（）A . g（x）是奇函数B . g（x）的图象关于直线x=﹣对称C . g（x）在[ ， ]上的增函数D . 当x∈[ ， ]时，g（x）的值域是[﹣2，1]二、填空题 (共4题；共4分)11. （1分）如图，已知△ 是直角三角形且，则下列结论中正确的是________．① ；② ；③ ；④ .12. （1分） (2017高二下·潍坊期中) 将三项式（x2+x+1）n展开，当n=0，1，2，3，…时，得到以下等式：（x2+x+1）0=1（x2+x+1）1=x2+x+1（x2+x+1）2=x4+2x3+3x2+2x+1（x2+x+1）3=x6+3x5+6x4+7x3+6x2+3x+1…观察多项式系数之间的关系，可以仿照杨辉三角构造如图所示的广义杨辉三角形，其构造方法为：第0行为1，以下各行每个数是它头上与左右两肩上3数（不足3数的，缺少的数计为0）之和，第k行共有2k+1个数．若在（1+ax）（x2+x+1）5的展开式中，x8项的系数为67，则实数a值为________．13. （1分）(2020·河南模拟) 函数的图象的对称轴方程为________.14. （1分）已知数列{an}满足：a1=1，an+1=an2+an ，用[x]表示不超过x的最大整数，则的值等于________．三、解答题 (共7题；共70分)15. （10分） (2017高二上·南阳月考) 已知数列中， .（1）求证：数列与都是等比数列；（2）若数列的前项和为 .令，求数列的最大项.16. （10分） (2018高一下·江津期末) 如图，在中，已知，D是BC边上的一点，（1）求的面积；（2）求边的长.17. （5分）为了探究学生选报文、理科是否与对外语的兴趣有关，某同学调查了361名高二在校学生，调查结果如下：理科对外语有兴趣的有138人，无兴趣的有98人，文科对外语有兴趣的有73人，无兴趣的有52人．试分析学生选报文、理科与对外语的兴趣是否有关.18. （10分）(2020·湖南模拟) 已知函数，，且与的图象有一个斜率为1的公切线（为自然对数的底数）.（1）求；（2）设函数，讨论函数的零点个数.19. （15分） (2016高二下·黑龙江开学考) 已知函数f（x）=alnx+x2（a为实常数）．（1）当a=﹣4时，求函数f（x）在[1，e]上的最大值及相应的x值；（2）当x∈[1，e]时，讨论方程f（x）=0根的个数．（3）若a＞0，且对任意的x1，x2∈[1，e]，都有，求实数a的取值范围．20. （10分）(2018·延边模拟) 已知直线的参数方程为为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为 .直线过点 .（1）若直线与曲线交于两点，求的值；（2）求曲线的内接矩形的周长的最大值.21. （10分）(2018·内江模拟) 已知函数的最小值为 .（1）求的值；（2）设实数满足，证明： .参考答案一、单选题 (共10题；共20分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、二、填空题 (共4题；共4分)11-1、12-1、13-1、14-1、三、解答题 (共7题；共70分)15-1、15-2、16-1、16-2、17-1、18-1、19-1、19-2、19-3、20-1、20-2、21-1、21-2、。

2020年湖南省衡阳市高考(文科)数学一模试卷含解析

2020年高考（文科）数学一模试卷一、选择题（共12小题）.1．已知集合A＝{x|（x﹣1）（x+1）＜0}，B＝{y|y＝2x，x∈R}，则A∩B＝（）A．（﹣1，0] B．（﹣1，1）C．（0，1）D．∅2．在复平面内，复数z所对应的点A的坐标为（1，﹣1），则z的实部与虚部的和是（）A．2 B．0 C．1+i D．1﹣i3．已知a＝，则a、b、c的大小关系为（）A．a＞c＞b B．c＞a＞b C．c＞b＞a D．a＞b＞c4．研究机构对20岁至50岁人体脂肪百分比y（%）和年龄x（岁）的关系进行了研究通过样本数据，求得回归方程，现有下列说法：①某人年龄为70岁，有较大的可能性估计他的体内脂肪含量约40.15%；②年龄每增加一岁，人体脂肪百分比就增加0.45%；③20岁至50岁人体脂肪百分比y（%）和年龄x（岁）成正相关．上述三种说法中正确的有（）A．3个B．2个C．1个D．0个5．若，||＝2，且（﹣）⊥，则|﹣|＝（）A．2B．2 C．0 D．6．程序框图所示的算法来自于《九章算术》．若输入a的值为8，b的值为6，则执行该程序框图输出的结果为（）A．1 B．2 C．3 D．47．已知一个几何体的正视图和侧视图，其俯视图用斜二测画法所画出的水平放置的直观图是一个直角边长为1的等腰直角三角形（如图所示）．则此几何体的表面积为（）A．4+B．4+C．2+4D．48．在如图所示的阴阳鱼图案中，阴影部分可表示为A＝{（x，y）|x2+（y﹣1）2≤1或}，若点（x，y）∈A，则z＝x+y的最大值是（）A．B．2 C．1+D．29．已知命题p：函数的定义域为R，命题q：存在实数x满足ax≤lnx，若p ∨q为真，则实数a的取值范围是（）A．[﹣2，] B．C．[2，+∞）D．（﹣∞，2] 10．已知F1，F2分别为双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过点F1与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线的另一条渐近线于点M，若•＞0，则该双曲线离心率的取值范围是（）A．（1，）B．（，+∞）C．（1，2）D．（2，+∞）11．已知A是函数f的最大值，若存在实数x1，x2使得对任意实数x总有f（x1）≤f（x）≤f（x2）成立，则A•|x1﹣x2|的最小值为（）A．B．C．D．12．如图，矩形ABCD中，BC＝2AB＝2，N为边BC的中点，将△ABN绕直线AN翻转成△B1AN （B1∈平面ABCD），M为线段B1D的中点，则在△ABN翻折过程中，①与平面B1AN垂直的直线必与直线CM垂直；②线段CM的长恒为；③异面直线CM与NB1所成角的正切值为；④当三棱锥的体积最大时，三棱锥B1﹣AND外接球的体积是．上面说法正确的所有序号是（）A．①②④B．①③④C．②③D．①④．二、填空题13．在区间[0，π]上随机地取一个数x，则事件“”发生的概率为．14．设抛物线y2＝4x的焦点为F，过点F作直线l与抛物线分别交于两点A、B，若点M（2，t）满足＝（+），则|AB|＝．15．在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若2sin A sin B cos C＝sin2C，则：（1）＝，（2）∠C的最大弧度数为．16．己知直线y＝x+1上有两点A（a1，b1）、B（a2，b2），且满足，若a1＞a2，|AB|＝2，则这样的点A共有个．三、解答题17．已知△ABC的三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a sin（A+C）＝．（1）求角A的大小；（2）若三边b，a，c的长成等比数列，△ABC的面积为，求a，b，c的长．18．病毒对人们的健康生命带来了严重威胁因此，某生物疫苗研究对病毒疫苗进行实验，并将某一型号疫苗用在动物小白鼠身上进行科研和临床实验，得到统计数据如表：未感染病毒感染病毒总计未注射疫苗20 x A注射疫苗30 y B总计50 50 100 现从所有试验小白鼠中任取一只，取到“注射疫苗”小白鼠的概率为．（1）求2×2列联表中的数据x，y，A，B的值；（2）能否有99.9%把握认为注射此种疫苗对预防病毒有效？附：K2＝，n＝a+b+c+d．P（K2≥K0）0.05 0.01 0.005 0.001 K0 3.841 6.635 7.879 10.828 19．已知在四棱锥C﹣ABED中，DE∥AB，AC⊥BC，BC＝2AC＝4，AB＝2DE，DA＝DC且平面DAC ⊥平面ABC．（1）设点F为线段BC的中点，试证明EF⊥平面ABC；（2）若直线BE与平面ABC所成的角为60°，求四棱锥C﹣ABED的体积．20．已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的离心率为，左右焦点分别为F1、F2，A为椭圆上一点，AF1与y轴交于点B，|AB|＝|F2B|，|OB|＝．（1）求椭圆C的方程；（2）设直线l1：x＝my+1与椭圆C相交于M、N两点，过M作与y轴垂直的直线l2，点K 坐标为，试问直线NK与直线l2交点的横坐标是否为定值，请说明理由．21．若方程f（x）＝x有实数根x0，则称x0为函数f（x）的一个不动点．已知函数f（x）＝e x﹣lnx+（a+1）x﹣alnx（e为自然对数的底数）a∈R．（1）当a≥0时f（x）是否存在不动点？并证明你的结论；（2）若a＝﹣e，求证f（x）有唯一不动点．请考生在（22）.（23）两题中任选一题作答，注意：只能做所选定的题目如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑[选修4-4：坐标系与参数方程]22．心形线是由一个圆上的一个定点当该圆绕着与其相切且半径相同的另外一个圆周上滚动时，这个定点的轨迹，因其形状像心形而得名在极坐标系Ox中，方程ρ＝a（1﹣sinθ）（a＞0）表示的曲线C1就是一条心形线．如图，以极轴Ox所在直线为x轴，极点O为坐标原点的直角坐标系xOy中，已知曲线C2的参数方程为（t为参数）．（1）求曲线C2的极坐标方程；（2）若曲线C1与C2相交于A，O，B三点，求线段AB的长．[选修4-5；不等式选讲]23．已知函数f（x）＝的定义域为R．（1）求实数m的取值范围；（2）设t为m的最大值，实数a，b，c满足a2+b2+c2＝t．试证明：++≥1．参考答案一、选择题1．已知集合A＝{x|（x﹣1）（x+1）＜0}，B＝{y|y＝2x，x∈R}，则A∩B＝（）A．（﹣1，0] B．（﹣1，1）C．（0，1）D．∅【分析】先求出集合A，B，由此能求出A∩B．解：∵集合A＝{x|（x﹣1）（x+1）＜0}＝（﹣1，1}，B＝{y|y＝2x，x∈R}＝{y|y＞0}＝（0，+∞），∴A∩B＝（0，1）．故选：C．2．在复平面内，复数z所对应的点A的坐标为（1，﹣1），则z的实部与虚部的和是（）A．2 B．0 C．1+i D．1﹣i【分析】由已知求得z，进一步得到z的实部与虚部，则答案可求．解：由题意，z＝1﹣i，∴z的实部为1，虚部为﹣1，其和是0．故选：B．3．已知a＝，则a、b、c的大小关系为（）A．a＞c＞b B．c＞a＞b C．c＞b＞a D．a＞b＞c【分析】利用对数函数和指数函数的性质求解．解：∵，∴a＞c＞b，故选：A．4．研究机构对20岁至50岁人体脂肪百分比y（%）和年龄x（岁）的关系进行了研究通过样本数据，求得回归方程，现有下列说法：①某人年龄为70岁，有较大的可能性估计他的体内脂肪含量约40.15%；②年龄每增加一岁，人体脂肪百分比就增加0.45%；③20岁至50岁人体脂肪百分比y（%）和年龄x（岁）成正相关．上述三种说法中正确的有（）A．3个B．2个C．1个D．0个【分析】根据题意，结合线性回归方程，对选项中的命题判断正误即可．解：对于①，对20岁至50岁人体脂肪百分比y（%）和年龄x（岁）的关系满足回归方程，年龄为70岁时，不能用该回归方程预测他体内脂肪含量，所以①错误；对于②，对20岁至50岁人体脂肪百分比y（%），年龄每增加一岁，人体脂肪百分比就增加0.58%，所以②错误；对于③，由回归直线方程知，0.58＞0，所以20岁至50岁人体脂肪百分比y（%）和年龄x（岁）成正相关，③正确；综上知，正确的说法是③，有1种．故选：C．5．若，||＝2，且（﹣）⊥，则|﹣|＝（）A．2B．2 C．0 D．【分析】由向量垂直得（）＝＝＝0，再由|﹣|＝＝，能求出结果．解：∵，||＝2，且（﹣）⊥，∴（）＝＝＝2﹣2cos＜＞＝0，解得cos＜＞＝，∴|﹣|＝＝＝＝．故选：D．6．程序框图所示的算法来自于《九章算术》．若输入a的值为8，b的值为6，则执行该程序框图输出的结果为（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】根据框图一步一步进行运算，注意退出时的条件．解：a＝8，b＝6，继续循环；a＝2，b＝6，继续循环；a＝2，b＝4，继续循环；a＝2，b＝2，a＝b，退出循环；故选：B．7．已知一个几何体的正视图和侧视图，其俯视图用斜二测画法所画出的水平放置的直观图是一个直角边长为1的等腰直角三角形（如图所示）．则此几何体的表面积为（）A．4+B．4+C．2+4D．4【分析】根据斜二测画法知该几何体的底面积是直角三角形，结合题意画出图形，再计算该几何体的表面积．解：根据斜二测画法知，该几何体的底面积是一个直角三角形，两直角边分别为2、，如图所示，由此可计算出该几何体的表面积为S＝S△ABC+S△PAB+S△PBC+S△PAC＝×2×+×2×2+××2+×2×＝4++．故选：A．8．在如图所示的阴阳鱼图案中，阴影部分可表示为A＝{（x，y）|x2+（y﹣1）2≤1或}，若点（x，y）∈A，则z＝x+y的最大值是（）A．B．2 C．1+D．2【分析】平移直线x+y＝0与圆相切，判断不重视的最大值，结合点到直线的距离求解即可．解：作直线x+y＝0，的平行线，与x2+（y﹣1）2＝1的右上方相切时，z＝x+y取得最大值，此时，圆的圆心（0，﹣1）到直线x+y﹣z＝0的距离等于1，解得z的最大值为：1+，故选：C．9．已知命题p：函数的定义域为R，命题q：存在实数x满足ax≤lnx，若p ∨q为真，则实数a的取值范围是（）A．[﹣2，] B．C．[2，+∞）D．（﹣∞，2] 【分析】分别求出p，q为真命题时对应的a的取值范围，进而求得结论．解：当P为真时：x2﹣ax+1≥0恒成立，即△＝a2﹣4≤0，解得：﹣2≤a≤2，当Q为真时：存在实数x满足ax≤lnx，即a≤（）max；令y＝，y'＝，当x∈（0，e），y'＞0，函数单调递增；当x∈（e，+∞），y'＜0，函数单调递减；故当x＝e时，函数有最大值＝；解得a≤；∵p∨q是真命题，故命题是p，q至少一个是真命题，则﹣2≤a≤2或a≤∴实数a的取值范围为（﹣∞，2]．故选：D．10．已知F1，F2分别为双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过点F1与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线的另一条渐近线于点M，若•＞0，则该双曲线离心率的取值范围是（）A．（1，）B．（，+∞）C．（1，2）D．（2，+∞）【分析】求出交点坐标，利用向量的数量积转化求解即可．解：设过F1（﹣c，0）与双曲线的一条渐近线平行的直线bx＝ay﹣ac，与令一条渐近线方程bx+ay＝0的交点为：M（﹣，），•＝（，）•（，﹣）＞0，可得，所以e＝＞2．故选：D．11．已知A是函数f的最大值，若存在实数x1，x2使得对任意实数x总有f（x1）≤f（x）≤f（x2）成立，则A•|x1﹣x2|的最小值为（）A．B．C．D．【分析】先化简函数，结合题意可得f（x2）＝f（x）max＝2，f（x1）＝f（x）min＝﹣2，，由此即可得解．解：∵＝＝，∴，又存在实数x1，x2使得对任意实数x总有f（x1）≤f（x）≤f（x2）成立，∴f（x2）＝f（x）max＝2，f（x1）＝f（x）min＝﹣2，∴．故选：B．12．如图，矩形ABCD中，BC＝2AB＝2，N为边BC的中点，将△ABN绕直线AN翻转成△B1AN （B1∈平面ABCD），M为线段B1D的中点，则在△ABN翻折过程中，①与平面B1AN垂直的直线必与直线CM垂直；②线段CM的长恒为；③异面直线CM与NB1所成角的正切值为；④当三棱锥的体积最大时，三棱锥B1﹣AND外接球的体积是．上面说法正确的所有序号是（）A．①②④B．①③④C．②③D．①④．【分析】取AB1的中点K，AD的中点O，连接KM、KN、OB1、ON，结合图形，判断题目中的命题是否正确即可．解：取AB1的中点K，AD的中点O，连接KM、KN、OB1、ON，如图所示；所以CM∥NK，得出CM∥平面B1AN，所以①正确；由CM＝NK＝＝＝，所以②正确；由∠KNB1为异面直线CM与NB1所成的角，且tan∠KNB1＝＝，所以③错误；当三棱锥B1﹣AND的体积最大时，点O为四棱锥B1﹣AND外接球的球心，且R＝OA＝1，所以④正确；综上知，正确的命题序号是①②④．故选：A．二、填空题：共4小题每小题5分，满分20分.把答案填在答题卡中对应题号后的横线上. 13．在区间[0，π]上随机地取一个数x，则事件“”发生的概率为．【分析】根据几何概型的概率公式进行求解即可．解：∵0≤x≤π，∴由sin x≤得0≤x≤或≤x≤π，则事件“sin x≤”发生的概率P＝＝，故答案为：．14．设抛物线y2＝4x的焦点为F，过点F作直线l与抛物线分别交于两点A、B，若点M（2，t）满足＝（+），则|AB|＝ 6 ．【分析】抛物线y2＝4x的焦点F（1，0），设A（x1，y1），B（x2，y2），由抛物线的定义可知|AB|＝x1+x2+2，由＝（+）可得M（2，t）是AB的中点，所以x1+x2＝4，所以|AB|＝x1+x2+2＝6．解：抛物线y2＝4x的焦点F（1，0），设A（x1，y1），B（x2，y2），∵直线AB过焦点F（1，0），∴|AB|＝x1+x2+2，又∵＝（+），则M（2，t）是AB的中点，∴x1+x2＝4，∴|AB|＝x1+x2+2＝6，故答案为：6．15．在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若2sin A sin B cos C＝sin2C，则：（1）＝ 2 ，（2）∠C的最大弧度数为．【分析】由已知结合正弦定理进行化简可求；然后结合余弦定理及基本不等式即可求解cos C，进而可求C的范围．解：因为2sin A sin B cos C＝sin2C，所以2ab cos C＝c2，所以a2+b2﹣c2＝c2，所以，cos C＝＝，所以0＜C＜π，∴C，当且仅当a＝b时取等号．故答案为：2，．16．己知直线y＝x+1上有两点A（a1，b1）、B（a2，b2），且满足，若a1＞a2，|AB|＝2，则这样的点A共有2 个．【分析】依题意，向量，的夹角为或，作图容易得出结论．解：设向量，的夹角为θ，∵，∴夹角为或，又|AB|＝2，所以△ABO的外接圆半径R＝＝＝2．设其圆心为C，则C点到直线y＝x+1的距离为，所以C点应在直线y＝x+1平行且距离为的两条平行直线y＝x﹣1，y＝x+3上，且C点到原点O的距离为2，而原点O到y＝x+3的距离为＞2，所以y＝x+3上不存在这样的点，而原点O到直线y＝x﹣1的距离为＜2，所以y＝x﹣1上存在两个符合条件的点C，每个C点都确定唯一一个点A，所以这样的点A共有2个．故答案为：2．三、解答题：必做题5个，每题12分，选做题两个只选做一个，10分，满分60分.解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.17．已知△ABC的三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a sin（A+C）＝．（1）求角A的大小；（2）若三边b，a，c的长成等比数列，△ABC的面积为，求a，b，c的长．【分析】（1）由已知结合正弦定理及和差角公式进行化简可求tan A，进而可求A；（2）由已知结合三角形的面积公式可求bc，然后结合等比的性质可求a，再由余弦定理代入即可求．解：（1）因为a sin（A+C）＝．所以a sin B＝b sin（A+），故sin A sin B＝sin B sin（A+），所以sin A＝sin（A+）＝，所以tan A＝，∴，（2）由题意可得，＝＝，∴bc＝4，∵a2＝bc＝4，∴a＝2，由余弦定理可得，＝b2+c2﹣bc，∴b2+c2＝8，所以（b﹣c）2＝b2+c2﹣2bc＝0，所以b＝c，故b＝c＝2．18．病毒对人们的健康生命带来了严重威胁因此，某生物疫苗研究所加紧对病毒疫苗进行实验，并将某一型号疫苗用在动物小白鼠身上进行科研和临床实验，得到统计数据如表：未感染病毒感染病毒总计未注射疫苗20 x A注射疫苗30 y B总计50 50 100 现从所有试验小白鼠中任取一只，取到“注射疫苗”小白鼠的概率为．（1）求2×2列联表中的数据x，y，A，B的值；（2）能否有99.9%把握认为注射此种疫苗对预防病毒有效？附：K2＝，n＝a+b+c+d．P（K2≥K0）0.05 0.01 0.005 0.001K0 3.841 6.635 7.879 10.828 【分析】（1）根据2×2列联表的特征进行计算即可；（2）结合已知数据和K2的公式进行即可得解．解：（1）由已知条件可知：B＝0.4×100＝40，A＝100﹣B＝60，x＝60﹣20＝40，y＝40﹣30＝10．（2）∵＞10.828，∴有99.9%的把握认为注射此种疫苗对预防病毒有效．19．已知在四棱锥C﹣ABED中，DE∥AB，AC⊥BC，BC＝2AC＝4，AB＝2DE，DA＝DC且平面DAC ⊥平面ABC．（1）设点F为线段BC的中点，试证明EF⊥平面ABC；（2）若直线BE与平面ABC所成的角为60°，求四棱锥C﹣ABED的体积．【分析】（1）取AC中点O连结DO，OF，推导出DO⊥AC，DO⊥平面ABC，四边形DEFO 为平行四边形，从而EF∥DO，由此能证明EF⊥平面ABC．（2）推导出直线BE与平面ABC所成角为∠EBF＝60°，E，F到平面DAC的距离相等，四棱锥C﹣ABED的体积为V C﹣ABED＝V E﹣DAC+V E﹣ABC，由此能求出结果．解：（1）证明：取AC中点O连结DO，OF，∵在△DAC中，DA＝DC，∴DO⊥AC，∵平面DAC⊥平面ABC，且交线为AC，∴DO⊥平面ABC，∵O，F分别为AC，BC的中点，∴AB∥OF，且AB＝2OF，又DE∥AB，AB＝2DE，∴OF∥DE，且OF＝DE，∴四边形DEFO为平行四边形，∴EF∥DO，∴EF⊥平面ABC．（2）解：∵EF⊥平面ABC，∴直线BE与平面ABC所成角为∠EBF＝60°，∵BF＝BC＝2，∴EF＝DO＝2，∵EF∥DO，∴E，F到平面DAC的距离相等，∵平面DAC⊥平面ABC，CF⊥AC，∴CF⊥平面DAC，∴E点到平面DAC的距离为2，∴四棱锥C﹣ABED的体积为：V C﹣ABED＝V E﹣DAC+V E﹣ABC＝＝4．20．已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的离心率为，左右焦点分别为F1、F2，A为椭圆上一点，AF1与y轴交于点B，|AB|＝|F2B|，|OB|＝．（1）求椭圆C的方程；（2）设直线l1：x＝my+1与椭圆C相交于M、N两点，过M作与y轴垂直的直线l2，点K 坐标为，试问直线NK与直线l2交点的横坐标是否为定值，请说明理由．【分析】（1）连接AF2，由题意得AF2⊥F1F2，且|AF2|＝2|OB|＝＝，又e＝，a2＝b2+c2，可得a，b，c的值，从而求出椭圆C的方程；（2）设M（x1，y1），N（x2，y2），所以直线NK的方程为：y＝，令y＝y1，则有x＝+＝，联立直线l1与椭圆方程，利用韦达定理代入上式化简即可得到x＝2，故直线NK与直线l2的交点的横坐标为定值2．解：（1）连接AF2，如图所示：，由题意得|AB|＝|F2B|＝|F1B|，所以BO为△F1AF2的中位线，又因为BO⊥F1F2，所以AF2⊥F1F2，且|AF2|＝2|OB|＝＝，又e＝，a2＝b2+c2，得a2＝2，b2＝1，∴椭圆C的方程为：；（2）设M（x1，y1），N（x2，y2），联立方程，消去x得：（m2+2）y2+2my﹣1＝0，∴，，∴直线NK的方程为：y＝，令y＝y1，则有x＝+＝＝＝，∴直线NK与直线l2的交点的横坐标为定值2．21．若方程f（x）＝x有实数根x0，则称x0为函数f（x）的一个不动点．已知函数f（x）＝e x﹣lnx+（a+1）x﹣alnx（e为自然对数的底数）a∈R．（1）当a≥0时f（x）是否存在不动点？并证明你的结论；（2）若a＝﹣e，求证f（x）有唯一不动点．【分析】（1）由f（x）＝x可得，，构造函数F（x）＝，x＞0，对其求导，然后结合导数可求函数单调性，进而可求最值，结合最值的范围可判断；（2）把a＝﹣e代入F（x），然后求导，结合导数与单调性的关系，结合最值情况进行判断．解：（1）当a≥0时f（x）不存在不动点，证明：由f（x）＝x可得，，令F（x）＝，x＞0，则F′（x）＝＝，当x∈（0，1）时，F′（x）＜0，函数单调递减，当x∈（1，+∞）时，F′（x）＞0，函数单调递增，故当x＝1时，函数取得最小值F（1）＝a+e＞0故方程，没有实数根，即f（x）不存在不动点；（2）当a＝﹣e时，F（x）＝，则，令g（x）＝e x﹣ex则g′（x）＝e x﹣e，当x∈（0，1）时，g′（x）＜0，函数单调递减，当x∈（1，+∞）时，g′（x）＞0，函数单调递增，故g（x）≥g（1）＝0，当x∈（0，1）时，F′（x）＜0，函数单调递减，当x∈（1，+∞）时，F′（x）＞0，函数单调递增，故当x＝1时，函数取得最小值F（1）＝a+e＝0，所以有唯一的实数根1，故f（x）有唯一的不动点．请考生在（22）.（23）两题中任选一题作答，注意：只能做所选定的题目如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑[选修4-4：坐标系与参数方程]22．心形线是由一个圆上的一个定点当该圆绕着与其相切且半径相同的另外一个圆周上滚动时，这个定点的轨迹，因其形状像心形而得名在极坐标系Ox中，方程ρ＝a（1﹣sinθ）（a＞0）表示的曲线C1就是一条心形线．如图，以极轴Ox所在直线为x轴，极点O为坐标原点的直角坐标系xOy中，已知曲线C2的参数方程为（t为参数）．（1）求曲线C2的极坐标方程；（2）若曲线C1与C2相交于A，O，B三点，求线段AB的长．【分析】（1）直接利用转换关系的应用，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间转换求出结果．（2）利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果．解：（1）已知曲线C2的参数方程为（t为参数），转换为直角坐标方程为．转换为极坐标方程为（ρ∈R）．（2）曲线C1与C2相交于A，O，B三点，所以设A（），B（），所以，解得．，解得，则：|AB|＝|ρA﹣ρB|＝2a．[选修4-5；不等式选讲]23．已知函数f（x）＝的定义域为R．（1）求实数m的取值范围；（2）设t为m的最大值，实数a，b，c满足a2+b2+c2＝t．试证明：++≥1．【分析】（1）依题意，|x﹣6|+|x|≥m恒成立，而由绝对值不等式的性质可知|x﹣6|+|x|≥6，由此求得m的取值范围；（2）由（1）可知（a2+1）+（b2+1）+（c2+1）＝9，再利用柯西不等式直接证明即可．解：（1）由题意知，|x﹣6|+|x|≥m恒成立，又|x﹣6|+|x|≥|x﹣6﹣x|＝6，∴实数m的取值范围为（﹣∞，6]；（2）证明：由（1）可知，t＝6，故a2+b2+c2＝6，则（a2+1）+（b2+1）+（c2+1）＝9，∴，当且仅当“a2＝b2＝c2＝2”时取等号．。

湖南省衡阳市数学高三理数模拟统一考试试卷(一)

湖南省衡阳市数学高三理数模拟统一考试试卷（一)姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分） (2016高一上·金华期中) 已知集合A={x|﹣1≤x＜3}，B={x|2＜x≤5}，则A∪B=（）A . （ 2，3 ）B . [﹣1，5]C . （﹣1，5）D . （﹣1，5]2. （2分）(2019·新乡模拟) （）A . 5B .C . 6D .3. （2分） (2018高一下·石家庄期末) 已知等差数列的前项和为，若，，则（）A . 5B . 6C . 7D . 84. （2分）边长为5、7、8的三角形的最大角与最小角之和为（）A . 60°B . 30°C . 120°D . 150°5. （2分）(2017·新课标Ⅲ卷理) 已知双曲线C：﹣ =1 （a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为y=x，且与椭圆 + =1有公共焦点，则C的方程为（）A . ﹣ =1B . ﹣ =1C . ﹣ =1D . ﹣ =16. （2分）下图展示了一个由区间(0,4)到实数集R的映射过程：区间(0,4)中的实数m对应数轴上的点M（如图1），将线段AB围成一个正方形，使两端点A,B恰好重合（如图2），再将这个正方形放在平面直角坐标系中，使其中两个顶点在y轴上，点A的坐标为(0,4)（如图3），若图3中直线AM与x轴交于点N(n,0)，则m的象就是n，记作f(m)=n现给出以下命题：f(2)=0；②f(x)的图象关于点(2,0)对称；③f(x)在区间(3,4)上为常数函数；④f(x)为偶函数。

其中正确命题的个数有（）A . 1B . 2C . 3D . 47. （2分）已知，若向区域上随机投一点P，则点P落入区域A的概率为（）A .B .C .D .8. （2分）将函数f(x)=sin(2x-)的图象向右平移个单位得到函数g（x）的图象，则g（x）的一条对称轴方程可以为（）A . x=B . x=C . x=D . x=9. （2分）已知抛物线y2=2px（p＞0）的焦点弦AB的两端点为A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），则关系式y1y2的值一定等于（）A . 4B . ﹣4C . p2D . ﹣p210. （2分） (2016高一上·太原期中) 已知f（x）=（x﹣m）（x﹣n）（其中n＜m）的图象如图所示，则函数g（x）=mx+n的图象大致是（）A .B .C .D .11. （2分） (2017高一下·扶余期末) 若所在平面与矩形所在平面互相垂直，，，若点都在同一个球面上，则此球的表面积为（）A .B .C .D .12. （2分）若m+n=1(mn>0) ，则的最小值为（）A . 1B . 2C . 3D . 4二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2016高二下·仙游期末) （x+ ）9展开式中x3的系数是________（用数字作答）14. （1分） (2017高二上·泰州开学考) 已知变量x，y满足约束条件，则目标函数z=3x﹣y 的取值范围是________．15. （1分）(2018·河北模拟) 3位逻辑学家分配10枚金币，因为都对自己的逻辑能力很自信，决定按以下方案分配：(1)抽签确定各人序号：1，2，3；(2)1号提出分配方案，然后其余各人进行表决，如果方案得到不少于半数的人同意（提出方案的人默认同意自己方案），就按照他的方案进行分配，否则1好只得到2枚金币，然后退出分配与表决；(3)再由2号提出方案，剩余各人进行表决，当且仅当不少于半数的人同意时(提出方案的人默认同意自己方案），才会按照他的提案进行分配，否则也将得到2枚金币，然后退出分配与表决；（4）最后剩的金币都给3号.每一位逻辑学家都能够进行严密的逻辑推理，并能很理智的判断自身的得失，1号为得到最多的金币，提出的分配方案中1号、2号、3号所得金币的数量分别为________ ．16. （1分） (2016高一下·桐乡期中) 若等差数列{an}的公差d≠0且a9 ， a3 ， a1成等比数列，则=________．三、解答题 (共7题；共75分)17. （10分）(2020·江西模拟) 的内角的对边分别为，已知 .（1）求；（2）若，求的面积.18. （10分）(2013·陕西理) 如图，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，O为底面中心，A1O⊥平面ABCD，．（1）证明：A1C⊥平面BB1D1D；（2）求平面OCB1与平面BB1D1D的夹角θ的大小．19. （15分）(2017·河南模拟) 某省组织了一次高考模拟考试，该省教育部门抽取了1000名考生的数学考试成绩，并绘制成频率分布直方图如图所示．（Ⅰ）求样本中数学成绩在95分以上（含95分）的学生人数；（Ⅱ）已知本次模拟考试全省考生的数学成绩X～N（μ，σ2），其中μ近似为样本的平均数，σ2近似为样本方差，试估计该省的所有考生中数学成绩介于100～138.2分的概率；（Ⅲ）以频率估计概率，若从该省所有考生中随机抽取4人，记这4人中成绩在[105，125）内的人数为X，求X的分布列及数学期望．参考数据：≈18.9，≈19.1，≈19.4．若Z∽N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜Z＜μ+σ）=0.9826，P（μ﹣2σ＜Z＜μ+2σ）=0.9544，P（μ﹣3σ＜Z ＜μ+3σ）=0.9976．20. （10分）(2017·郎溪模拟) 如图．设椭圆C：（a＞b＞0）的离心率e= ，椭圆C上一点M到左、右两个焦点F1、F2的距离之和是4．（1）求椭圆C的方程；（2）直线l：x=1与椭圆C交于P、Q两点，P点位于第一象限，A、B是椭圆上位于直线l两侧的动点，若直线AB的斜率为，求四边形APBQ面积的最大值．21. （10分）(2020·内江模拟) 已知函数满足： .（1）求的解析式；（2）若，且当时，，求整数k的最大值.22. （10分）在直角坐标系xOy中，曲线M的参数方程为（α为参数），若以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线N的极坐标方程为ρsin（）=t（t为参数）．（1）求曲线M的普通方程和曲线N的直角坐标方程；（2）若曲线N与曲线M有公共点，求t的取值范围．23. （10分）(2018·中原模拟) 如图所示，中，．（1）求证：是等腰三角形；（2）求的值以及的面积．参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共7题；共75分) 17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、22-2、23-1、23-2、。

湖南省衡阳县第四中学高三数学上学期第四次模拟考试试题文

湖南省衡阳县四中2014-2015届高三上学期综合检测试题（三）文科数学第I 卷（选择题）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设x ∈Z ，集合A 为偶数集，若命题:,2,p x x A ∀∈∈Z 则p ⌝为（）A. ,2x Z x A ∀∈∉B. ,2x Z x A ∀∉∈C. ,2x Z x A ∃∈∈D. ,2x Z x A ∃∈∉2．设集合{}{}{}1,2,3,4,5,|,,A B C x x b a a A b B ====-∈∈，则C 中元素的个数是（）A. 3B. 4C. 5D.63．关于x 的不等式22280x ax a --<(0a >)的解集为12(,)x x ,且:2115x x -=,则a =（） ABCD4. 已知数列{}n a 满足 A ．()-10-61-35．已知0,a >且1a ≠，函数log ,,x a y x y a y x a ===+在同一坐标系中的图象可能是6.则实数m的取值范围是（） A ．(2,)-+∞ B ．[2,)-+∞C ．(,2)-∞-D ．(,2]-∞-7） AC D 8.a ，b ，c 大小关系为（） A.a b c >>B.b c a >>C.c a a >>D.a c b >>9．二次函数a bx x x f +-=2)(的部分图象如右图，则函数)()(x f e x g x '+=的零点所在的区间是（）A.)0,1(-B. ()1,2C. )1,0(D. )3,2(10.已知函数()f x 对任意x R ∈，都有()()()60,1f x f x y f x ++==-的图像关于()1,0对称，且()24,f =则()2014f =（） A.0B.4-C.8-D.16-第II 卷（非选择题）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分. 11．已知幂函数()y f x =的图象过点．则2log (2)f 的值为____________. 12. 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a ·2x，x ≥0，2－x ，x <0(a ∈R )．若f [f (－1)]＝1，则a ＝____________.13. 若变量,x y 满足约束条件8,24,0,0,x y y x x y +≤⎧⎪-≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩且5z y x =-的最大值为a ,最小值为b ,则a b-的值是___________.14.已知函数()()34f x x ax a =-+-∈R ，若函数()y f x =的图象在点()()1,1P f 处的切线15.已知定义域是()0+∞，的函数()f x 满足：（1）对任意()()()0,33x f x f x ∈+∞=，恒有成立；（2）当(]()1,33.x f x x ∈=-时，给出下列结论：①对任意(),30m m f ∈=N 有；②函数()f x 的值域为[)0,+∞； ③存在()310n n f ∈+=N ，使得； ④“函数()f x 在区间(),a b 上单调递减”的充要条件是“()()1,3,3k k k a b +∃∈⊆N ，使得.” 其中正确结论的序号是__________.三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16．（本小题满分12分）命题其中常数0a <”， 2000:,220q x R x ax a ∃∈++-=若命题“”若“p 且q”为假命题，“p 或q”为真命题，求实数a 的取值范围.17. 在△ABC 中, 内角A , B , C 所对的边分别是a , b , c . 已知sin 3sin b A c B =, a = 3,(Ⅰ) 求b 的值;(Ⅱ) .18、已知等差数列{}n a 的公差不为零,a 1=25,且a 1,a 11,a 13成等比数列.(Ⅰ)求{}n a 的通项公式;(Ⅱ)求14732n a a a a -++++.19．（本小题满分12分）已知一家公司生产某种品牌服装的年固定成本为10万元，每生产1千件需另投入2.7万元。

湖南省衡阳市衡阳县2024届高三第一次模拟考试数学试卷

湖南省衡阳市衡阳县2024届高三第一次模拟考试数学试卷一、单选题 1．设集合21{|0}{|3710}x A x B x x x x-=≤=-≤，，则A B =I （） A ．()11-， B ．1003⎛⎫⎪⎝⎭，C ．[]01，D ．(]01，2．已知复数z 满足z z ⋅=4且0z z z ++=，则2019z 的值为 A ．﹣1B ．﹣2 2019C ．1D ．2 20193．在ABC V 中，2AC =，D 为AB 的中点，12CD BC =P 为CD 上一点，且13AP mAC AB =+u u u r u u u r u u u r，则AP =u u u r （）A B C D 4．已知甲植物生长了一天，长度为(0)a a >，乙植物生长了一天，长度为16a .从第二天起，甲每天的生长速度是前一天的32倍，乙每天的生长速度是前一天的23，则甲的长度第一次超过乙的长度的时期是（）（参考数据：取lg20.3,lg30.48==） A ．第6天B ．第7天C ．第8天D ．第9天5．已知四棱锥P ABCD -的底面为矩形，AB =4BC =，侧面PAB 为正三角形且垂直于底面ABCD ，M 为四棱锥P ABCD -内切球表面上一点，则点M 到直线CD 距离的最小值为（）A 2B 1C ．2D ．16．已知()f x 是定义在[)0,+∞上单调递增且图像连续不断的函数，且有()()()()()1f x f y f x y f x f y ++=+，设121x x >>，则下列说法正确的是（）A ．()()1212122f x f x x x f ++⎛⎫>> ⎪⎝⎭B ．()()1212122f x f x x x f ++⎛⎫>> ⎪⎝⎭C ．()()1212122f x f x x x f ++⎛⎫>> ⎪⎝⎭D ．()()1212122f x f x x x f ++⎛⎫>> ⎪⎝⎭7．已知抛物线C ：22(0)y px p =>的焦点为F ，过F 作不与x 轴垂直的直线l 交C 于,A B 两点，设OAB △的外心和重心的纵坐标分别为,m n （O 是坐标原点），则mn的值为（） A ．1B ．34C ．12D ．388．已知函数()3e xf x -=，()1ln 22xg x =+，若()()f m g n =成立，则n m -的最小值为（） A ．ln 21- B ．ln 2 C ．1ln 2-- D ．1ln 2+二、多选题9．记函数()()()2cos 0,0πf x x ωϕωϕ=+><<的最小正周期为T ，若()f T =()f x 在ππ,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值与最小值的差为3，则（） A ．()01f =B ．ππ39f f ⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．()f x 在区间π2π,93⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减D ．直线32y x =是曲线()y f x =的切线10．已知数列{}n a 各项均为负数，其前n 项和n S 满足()*16N n n a S n ⋅=∈，则（）A ．数列{}n a 的第2项小于3-B ．数列{}n a 不可能是等比数列C ．数列{}n a 为递增数列D ．数列{}n a 中存在大于1100-的项 11．球面三角学是研究球面三角形的边、角关系的一门学科.如图，球O 的半径为R ，A ，B ，C 为球面上三点，劣弧BC 的弧长记为a ，设a O 表示以O 为圆心，且过B ，C 的圆，同理，圆b O ，c O 的劣弧AC ，AB 的弧长分别记为b ，c ，曲面ABC （阴影部分）叫做曲面三角形，若a b c ==，则称其为曲面等边三角形，线段OA ，OB ，OC 与曲面ABC V 围成的封闭几何体叫做球面三棱锥，记为球面O ABC -.设BOC α∠=，AOC β∠=，AOB γ∠=，则下列结论正确的是（）A ．若平面ABC V 2的等边三角形，则a b c R === B ．若222a b c +=，则222αβγ+=C ．若π3a b c R ===，则球面O ABC -的体积3V > D ．若平面ABC V 为直角三角形，且π2ACB ∠=，则222a b c +>三、填空题12．甲乙两个盒子中装有大小、形状相同的红球和白球，甲盒中有5个红球，2个白球；乙盒中有4个红球，3个白球.先从甲盒中随机取出一个球放入乙盒，再从乙盒中随机取出一个球，则从乙盒中取出的是红球的概率为.13．512a x x x x ⎛⎫⎛⎫+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭展开式中的常数项是120，则实数a =．14．正四面体ABCD 的棱长为6，点P 是该正四面体内切球球面上的动点，当PA PD ⋅u u u r u u u r取得最小值时，PAD △的面积为.四、解答题15．若锐角ABC V 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ()cos cos sin cos a B C a A B A -+=．(1)求角A 的大小； (2)求22b a b+的取值范围16．已知数列 a n 是等差数列，13a =，0d ≠，且1a ，7a ，25a 构成等比数列， (1)求n a ；(2)设()n f n a =，若存在数列 b n 满足11b =，27b =，325b =，且数列(){}n f b 为等比数列，求{}n n a b 的前n 项和n S ．17．如图，在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 是菱形，平面ABCD ⊥平面PAD ，点M 在DP 上，且2,,120DM MP AD AP PAD ==∠=︒．(1)求证：BD ⊥平面ACM ；(2)若60ADC ∠=︒，求平面ACM 与平面ABP 夹角的余弦值．18．2023年12月25日，由科技日报社主办，部分两院院士和媒体人共同评选出的2023年国内十大科技新闻揭晓.某高校一学生社团随机调查了本校100名学生对这十大科技的了解情况，按照性别和了解情况分组，得到如下列联表：(1)判断是否有95%的把握认为对这十大科技的了解存在性别差异；(2)若把这100名学生按照性别进行分层随机抽样，从中抽取5人，再从这5人中随机抽取2人，记抽取的2人中女生数为X ，求X 的分布列及()E X .附：①()()()()()22n ad bc a b c d a c b d χ-=++++，其中n a b c d =+++；②当2 3.841χ>时有95%的把握认为两变量有关联. 19．已知函数()()ln ,1f x x g x x ==-. (1)证明：()()f x g x ≤；(2)设()()()h x f x g x =-，求证：对任意的0b a <<，都有()()11h a h b a b a b->--+成立.。

湖南省衡阳县高三数学上学期第一次月考试题文

2018届高三第一次月考文科数学试题一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合},1|{2R x xy y M ∈-==，{|N x y ==，则=N M （）A. [1,2]-B. ),1[+∞-C. [2,)+∞D. φ 2、下列函数中，既是偶函数又在区间(0,)+∞上为减函数的是（） A.1y x=B. 21y x =-+C. ln ||y x =D. 2xy -= 3设a ，b 是实数，则“a ＞b ”是“a 2＞b 2”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 4. 下列有关命题的说法正确的是( )A.命题“若x y =,则sin sin x y =”的逆否命题为真命题.B. “1x =-”是“2560x x --=”的必要不充分条件．C. 命题“R x ∃∈,使得210x x ++<”的否定是:“R x ∀∈,均有210x x ++<”.D. 命题“若21x =,则1x =”的否命题为: “若21x =,则1x ≠”.5.设()f x 是定义在R 上的奇函数，当x ≤0时，()f x x x 2=2-，则()f 1=（） A.-3 B. -1 C.１ D.36 已知函数f(x)＝6x－log 2x ，在下列区间中，包含f(x)的零点的区间是( )A ．(0，1)B ．(1，2)C ．(2，4)D ．(4，＋∞) 7、设函数2211log (2),1(),((log 12))2,1x x x f x f f x -+-<⎧==⎨-≥⎩则（）A.1B. 2C.3D.4 8．函数2ln y x x =+的图象大致为（）A ．B ．C ．D ．9.已知函数()f x 是偶函数，当0x >时，f (x )＝x 2-x ，则曲线()y f x =在点(1,(1))f --处切线的斜率为（）A ．-2B ．-1C ．1D ．2 10已知()f x 是定义在R 上的奇函数，且当(),0x ∈-∞时，不等式()()'0f x xf x +<成立，若(),a fππ=()()()22,1b f c f =--=，则,,a b c 的大小关系是（）A.a b c >>B. c b a >>C. c a b >>D. a c b >>11．已知函数()()2ln f x x x x x a =+-（R x ∈），若存在1,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使得()()f x xf x '>成立，则实数a 的取值范围是（）A ．9,4⎛⎫+∞⎪⎝⎭ B ．3,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．)+∞ D ．()3,+∞12．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x >时， ()()30f x f x -++=；当()0,3x ∈时， ()3ln xf x x=，则方程()30ef x x -=（其中e 是自然对数的底数，且2.72e ≈）在[-9,9]上的解的个数为( )A. 9B. 8C. 7D. 6二、填空题（本大题共4小题，每小题5分,共20分）. 13.函数的单调递减区间是 .14．已知函数()322f x ax x bx =+++中,a b 为参数，已知曲线()y f x =在()()1,1f 处的切线方程为61y x =-，则()1f -=_________．15.函数()f x 是定义在R 上的奇函数，对任意的x ∈R ，满足()()10f x f x ++=，且当01x <<时，()13x f x +=，则()()3log 184f f += ．16．若对任意的x ∈D，均有f 1（x ）≤f （x ）≤f 2（x ）成立，则称函数f （x ）为函数f 1（x ）到函数f 2（x ）在区间D 上的“折中函数”．已知函数f （x ）=（k ﹣1）x ﹣1，g （x ）=0，h （x ）=（x +1）lnx ，且f （x ）是g （x ）到 h （x ）在区间[1，2e]上的“折中函数”，则实数k 的值构成的集合是．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）22210230},290},m R.(1)m 3,A B;(2)p :x A,q :x ,q p m 17{{A x x x B x x mx m B =--≤=-+-≤∈=⋂∈∈（本小题满分分）已知集合若求已知条件条件若是的必要条件，求实数的、取值范围。

湖南省衡阳市数学高三理数第一次模拟考试试卷

湖南省衡阳市数学高三理数第一次模拟考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分） (2019高一上·阜新月考) 已知，，则（）A .B .C .D .2. （2分）如果复数在复平面内的对应点在第二象限，则（）A .B .C .D .3. （2分） (2019高三上·榕城月考) 设，则“ ”是“ ”的（）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件4. （2分）△ABC的三个顶点所对的复数分别为Z1 ， Z2 ， Z3 ，复数Z满足|Z﹣Z1|=|Z﹣Z2|=|Z﹣Z3|，则Z的对应点是△ABC的（）A . 外心B . 内心C . 重心D . 垂心5. （2分） (2017高二下·兰州期中) 现有8名青年，其中5名能任英语翻译工作，4名能胜任电脑软件设计工作，且每人至少能胜这两项工作中的一项，现从中选5人，承担一项任务，其中3人从事英语翻译工作，2人从事软件设计工作，则不同的选派方法有（）A . 60种B . 54种C . 30种D . 42种6. （2分） (2019高三上·黑龙江月考) 已知函数，若，则实数的取值范围是（）A .B .C .D .7. （2分） (2017高一下·宜昌期中) 在△ABC中，边AC长为，| + |=2 ，D是BC边上的点，且 =2 ，• =0，则cos∠BAC=（）A .B .C .D .8. （2分） (2017高二下·资阳期末) 设（1+x）n=a0+a1x+a2x2+…+anxn ，若a1+a2+…+a n=63，则展开式中系数最大项是（）A . 20B . 20x3C . 105D . 105x49. （2分）在△ABC中，sinA：sinB：sinC= ：4：5，则角A=（）A . 30°B . 150°C . 60°D . 120°10. （2分） (2019高三上·承德月考) 已知函数若函数有4个零点，则实数的取值范围是（）A .B .C .D .11. （2分）(2018·河北模拟) 执行如图所示的程序框图，则输出的的值为（）A .B .C .D .12. （2分）已知，则函数的零点个数为（）．A . 1B . 2C . 3D . 4二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2018高一下·北京期中) △ABC中，cosAcosB－sinA sinB=－，则角C的大小为________.14. （1分）当x，y满足条件时，目标函数z=x+y的最小值是________15. （1分） (2019高二上·遵义期中) 已知实数满足，则的最大值为________。

湖南省衡阳县三中高考最后一模文科数学模拟试题Word版含答案

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

）1.已知复数z 满足(1)i z i =-，其中i 为虚数单位，则复数z 所对应的点在（）A ．第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2. 已知集合A={1，2}，B={x|ax ﹣1=0}，若A B B =，则实数a 的取值个数为（）A ．0 B.1 C.2 D.3 3. 已知等差数列{}n a 满足2810a a +=, 且1a ,2a ,4a 成等比数列，则2016a =( )A.2014B.2015C.2016D.20174.下列命题中正确的是（）A.命题“x R ∃∈使得210x x ++<”的否定是“x R ∀∈均有210x x ++<”.B.若p 为真命题，q 为假命题，则（¬p）∨q 为真命题.C.为了了解高考前高三学生每天的学习时间，现要用系统抽样的方法从某班50个学生中抽取一个容量为10的样本，已知50个学生的编号为1,2,3…50，若8号被选出，则18号也会被选出.D.已知m 、n 是两条不同直线，α、β是两个不同平面，α∩β=m ，则“n α⊂，n⊥m”是“α⊥β”的充分条件.5. 设P 是△ABC 所在平面内的一点，且4AB AC AP +=,则△PBC 与△ABC 的面积之比是( )A.13B.12C.23D.346.一个几何体的三视图如图所示，其中主（正）视图是边长为2的正三角形，俯视图是正方形，那么该几何体的侧面积是( )A ．4+ B. C ．8 D ．12 7. 已知不等式组表示的平面区域为D ，若直线2y x a =-+与区域D 有公共点，则a 的取值情况是（）A ．有最大值2，无最小值B ．有最小值2，无最大值C ．有最小值，最大值2D ．既无最小值，也无最大值8．已知2log (1),2()(1),2x x f x f x x +>⎧=⎨+≤⎩，执行如图所示的程序框图，若输入A 的值为(1)f ，则输出的P 值为（）A ．2B ．3C ．4D ．5 9. 已知函数()2sin cos()3f x x x ωωπ=+（0ω>）的图像的相邻两条对称轴之间的距离等于2π，要得到函数cos(2)3y x π=+-的图象，只需将函数()y f x =的图象（）A ．向右平移2π个单位B ．向左平移2π个单位C ．向右平移4π个单位 D ．向左平移个单位10. 已知圆22:(3)(5)5C x y -+-=，过圆心C 的直线l 交圆C 于,A B 两点，交y 轴于点P . 若14PA AB =，则直线l 的方程为( )A. 270x y -+=B. 2130x y +-=或270x y -+= C ．2130x y +-= D. 270x y ++=11．已知()f x 为偶函数，且满足()(2)f x f x =-+，方程()0f x =在[0，1]内有且只有一个根12016，则方程()0f x =在区间[-2016，2016]内的根的个数为( ) A ．4032 B.4036 C ．2016D.201812.已知双曲线C ：22221(0)1x y a a a-=>-的左右焦点分别为12,F F ，若存在k ，使直线(1)y k x =-与双曲线的右支交于P,Q 两点，且1PFQ ∆的周长为8，则双曲线的斜率为正的渐近线的倾斜角的取值范围是（）A. (,)32ππB. (,)62ππC. (0,)6πD.(0,)3π第Ⅱ卷（13-21为必做题，22-24为选做题）二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分。

2020年湖南省衡阳市高考数学一模试卷(文科) (含答案解析)

2020年湖南省衡阳市高考数学一模试卷(文科)一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={−1,0，1，2，3，4}，B={y|y=x2,x∈A}，则A∩B=()A. {0,1，2}B. {0,1，4}C. {−1,0，1，2}D. {−1,0，1，4}2.复平面内，点(0,−1)表示的复数为()A. −1B. 0C. iD. −i3.已知a=2,b=log132,c=log1215，则()A. a>b>cB. a>c>bC. c>a>bD. c>b>a4.根据一位母亲记录儿子3岁～9岁的身高数据，建立儿子身高(单位：cm)对年龄(单位：岁)的线性回归方程ŷ=7.19x+73.93，用此方程预测儿子10岁的身高，有关叙述正确的是()A. 身高一定为145.83cmB. 身高大于145.83cmC. 身高小于145.83cmD. 身高在145.83cm左右5.已知a⃗=(1,−2)，b⃗ =(2,m)，若a⃗⊥b⃗ ，则|b⃗ |=()A. √5B. √3C. 1D. 126.执行如图所示的程序框图，若输出的结果为3，则可输入的实数x值的个数为()A. 1B. 2C. 3D. 47. 如图，一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图均为全等的等腰直角三角形，且直角三角形的直角边长为1，那么这个几何体的体积为( )A. 16 B. 13 C. 12 D. 18. 已知点A (4,3)，点B 为不等式组{y ≥0x −y ≤0x +2y −6≤0所表示平面区域上的任意一点，则|AB |的最小值为( )A. 5B. 4√55C. √5D. 2√559. 已知命题p ：∀x >0，x <tanx ，命题q ：∃x >0使得ax <lnx ，若p ∨(￢q)为真命题，则实数a 的取值范围是( )A. a ≥1B. a ≥1eC. a <1D. a <1e10. 已知双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)，过其右焦点F 且与渐近线y =−ba x 平行的直线分别与双曲线的右支和另一条渐近线交于A 、B 两点，且FA⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则双曲线的离心率为( ) A. 32B. √2C. √3D. 211. 已知函数f(x)=cos2xcos(x +π3)−sin2xsin(x +π3)，若，则x 可以是( )A. 4π3B. 5π6C. 2π9D. π1812. 如图，矩形ABCD 中，AB =2AD ，E 为边AB 的中点，将△ADE 沿直线DE 翻转成△A 1DE(A 1∉平面ABCD).若M 、O 分别为线段A 1C 、DE 的中点，则在△ADE 翻转过程中，下列说法错误的是( )A. 与平面A 1DE 垂直的直线必与直线BM 垂直B. 过E 作EG//BM ，G ∈平面A 1DC ，则∠A 1EG 为定值C. 一定存在某个位置，使DE ⊥MOD. 三棱锥A 1−ADE 外接球半径与棱AD 的长之比为定值二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 在区间[0,π]上随机取一个实数x ，则sin2x ≥12的概率为______．14. 已知抛物线C ：x 2=2py(p >0)的焦点F 到准线的距离为4，过点F 和R(m,0)的直线l 与抛物线C 交于P ，Q 两点．若RP ⃗⃗⃗⃗⃗ =PF⃗⃗⃗⃗⃗ ，则|PQ|=________． 15. 若△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知2bsin2A =asinB ，且c =2b ，则cos A等于______，ab 等于_____．16. 已知点A(a,a′)，B(b,b′)是圆O ：x 2+y 2=2上的两点，若ab +a′b′=−1，则线段AB 的长为________．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且sin 2B =sin 2A +sin 2C −sinAsinC ．(Ⅰ)求角B 的大小；(Ⅱ)若b =√3,S △ABC =√32，求a +c 的值．18. 某零售商店近五个月的销售额和利润额资料如下表：(1)用最小二乘法计算利润额y 关于销售额x 的回归直线方程；(2)当销售额为4(千万元)时，利用(2)的结论估计该零售店的利润额(百万元).(参考公式b̂=n i=1i i )−nxy∑x 2n −nx2=n i=1i −x)−(y i −y)∑(n xi−x)2，a ^=y −b ^x19.在图所示的几何体中，底面ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，EC//PD，且PD=AD=2EC=2，N为线段PB的中点．(1)证明：NE⊥平面PBD；(2)求四棱锥B−CEPD的体积．20.椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率是√53，过点P(0,1)作斜率为k的直线l，椭圆E与直线l交于A，B两点，当直线l垂直于y轴时|AB|=3√3．(1)求椭圆E的方程；(2)若点M的坐标为(512,0)，△AMB是以AB为底边的等腰三角形，求k值．21.已知函数f(x)=(x−2)e x．(1)求函数f(x)的最小值；(2)若∀x∈(12,1)，都有x−lnx+a>f(x)，求证a>−4．22.在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为{x=−1+2cosφy=2sinφ(其中φ为参数)，以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l1的极坐标方程为ρ=√2sin (θ+π4)，设l1与C相交于A，B两点，AB的中点为M，过点M作l1的垂线l2交C于P，Q两点．(1)写出曲线C的普通方程与直线l1的直角坐标方程；(2)求|PQ||MP|⋅|MQ|的值．23.已知函数f(x)=√|x+2|+|x−4|−m的定义域为R．(Ⅰ)求实数m的范围；(Ⅱ)若m的最大值为n，当正数a，b满足4a+5b +13a+2b=n时，求4a+7b的最小值．【答案与解析】1.答案：B解析：本题考查集合的交集运算，属于基础题．先求出集合B，由此能求出交集A∩B.解：由题意得到B={y|y=x2,x∈A}={1,0,4,9,16}，所以A∩B={0,1，4}；故选B．2.答案：D解析：解：在复平面内，点(0,−1)表示的复数的实部为0，虚部为−1，则点(0,−1)表示的复数为纯虚数−i．故选：D．直接由复数在复平面内对于点的坐标得答案．本题考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．3.答案：C解析：本题主要考查对数函数图像与性质的应用，属于基础题．解：由题意得：b=log132<log131=0，c=log1215>log1214=2=a，则c>a>b．故选C．4.答案：D解析：本题主要考查了回归分析的初步应用，这种根据回归直线方程预报出结果，是一个估计值，不是确定的值．根据所给身高与年龄的回归模型，可以估计孩子在10岁时可能的身高，这是一个估计值，不是确定的值，在叙述时注意不要出错，属基础题．解：将x=10代入模型中计算可得：y=145.83，由于该模型是3−9岁时的模型，此时虽然变量是正相关的，但是不能确定在10岁时变量还是正相关的，所以身高应该在145.83左右．故选D．5.答案：A解析：解：∵a⃗=(1,−2)，b⃗ =(2,m)，且a⃗⊥b⃗ ，∴a⃗⋅b⃗ =1×2−2m=0，解得m=1，∴b⃗ =(2,1)，∴|b⃗ |=√22+12=√5故选：A由向量的垂直关系可得m值，代入模长公式计算可得．本题考查平面向量的垂直关系和模长公式，属基础题．6.答案：C解析：解：由于输出结果y=3，根据跳出循环时条件可知：若3=log2(x+1)，解之得x=7，符合题意；若3=x2−1，解之得x=±2，符合题意；所以x可以取7，±2，故选：C．根据程序框图一步一步倒着进行运算．本题考查程序框图，注意每次循环写出当时所有参数的值，不容易出错，属于基础题．7.答案：A解析：解：根据三视图，可知该几何体是三棱锥，右图为该三棱锥的直观图，并且侧棱PA ⊥AB ，PA ⊥AC ，AB ⊥AC ．则该三棱锥的高是PA ，底面三角形是直角三角形，所以这个几何体的体积V =13S △ABC ⋅PA =13×12×1=16，故选：A ．此题为一三棱锥，且同一点出发的三条棱长度为1，可以以其中两条棱组成的直角三角形为底，另一棱为高，利用体积公式求得其体积．本题考点是由三视图求几何体的面积、体积，考查对三视图的理解与应用，主要考查三视图与实物图之间的关系，用三视图中的数据还原出实物图的数据，再根据相关的公式求表面积与体积，本题求的是三棱锥的体积，由于本题中几何体出现了同一点出发的三条棱两两垂直，故体积易求．三视图的投影规则是：“主视、俯视长对正；主视、左视高平齐，左视、俯视宽相等”，.三视图是新课标的新增内容，在以后的高考中有加强的可能．8.答案：C解析：解：不等式组{y ≥0x −y ≤0x +2y −6≤0的可行域如图：则|AB|的最小值为A 到B 的距离．由{x −y =0x +2y −6=0解得B(2,2)， |AB|的最小值：√(4−2)2+(3−2)2=√5，故选：C ．画出约束条件的可行域，利用已知条件求解距离的最小值即可．本题考查线性规划的简单应用，是基本知识的考查，考查数形结合以及点到直线的距离公式的应用．9.答案：B解析：解：命题p ：∀x >0，x <tanx 为假命题，如x =3π4；∵p ∨(￢q)为真命题，则￢q 为真命题，即∀x >0使得ax ≥lnx 为真命题，则a ≥lnx x对任意x >0恒成立，令f(x)=lnx x，则f′(x)=1−lnx x 2，当x ∈(0,e)时，f(x)为增函数，当x ∈(e,+∞)时，f(x)为减函数，则f(x)的最大值为f(e)=1e ． ∴a ≥1e ．故选：B ．举例说明p 为假命题，由p ∨(￢q)为真命题，可得￢q 为真命题，即∀x >0使得ax ≥lnx 为真命题，则a ≥lnx x 对任意x >0恒成立，令f(x)=lnx x，利用导数求其最大值得答案．本题考查复合命题的真假判断，考查利用导数研究函数的单调性，是中档题．10.答案：B解析：本题考查双曲线的离心率，考查向量知识的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．确定出A 的坐标，代入双曲线方程，即可求出双曲线的离心率．解：∵直线AB 与渐近线y =−ba x 平行，设坐标原点为O ， ∴∠BOF =∠BFO ．设F(c,0)，则B(c 2,bc2a )， ∵FA ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴A 是BF 的中点，即A(3c 4,bc4a )，代入双曲线方程可得9c 216a 2−b 2c 216b 2a 2=1，即916e 2−116e 2=1，e >1， ∴e =√2．故选：B ．11.答案：D解析：即：cos(3x+π3)=0∴3x+π3=π2+kπ，解得：x=π18+kπ3,k∈Z...12.答案：C解析：解：对于A，延长CB，DE交于H，连接A1H，由E为AB的中点，可得B为CH的中点，又M为A1C的中点，可得BM//A1H，BM⊄平面A1DE，A1H⊂平面A1DE，则BM//平面A1DE，故与平面A1DE垂直的直线必与直线BM垂直，则A正确；对于B，设AB=2AD=2a，过E作EG//BM，G∈平面A1DC，则∠A1EG=∠EA1H，在△EA1H中，EA1=a，EH=DE=√2a，A1H=√a2+2a2−2⋅a⋅√2a⋅(−√22)=√5a，则∠EA1H为定值，即∠A1EG为定值，则B正确；对于C，连接A1O，可得DE⊥A1O，若DE⊥MO，即有DE⊥平面A1MO，即有DE⊥A1C，由A1C在平面ABCD中的射影为AC，可得AC与DE垂直，但AC与DE不垂直．则不存在某个位置，使DE⊥MO，则C不正确；对于D，连接OA，由直角三角形斜边的中线长为斜边的一半，可得三棱锥A1−ADE外接球球心为O，半径为√22a，即有三棱锥A1−ADE外接球半径与棱AD的长之比为定值．则D正确．故选：C．对于A，延长CB，DE交于H，连接A1H，运用中位线定理和线面平行的判定定理，可得BM//平面A1DE，即可判断A；对于B，运用平行线的性质和解三角形的余弦定理，以及异面直线所成角的定义，即可判断B；对于C，连接A1O，运用线面垂直的判定定理和性质定理，可得AC与DE垂直，即可判断C；对于D，由直角三角形的性质，可得三棱锥A1−ADE外接球球心为O，即可判断D．本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了线面、面面平行与垂直的判定和性质定理，考查空间想象能力和推理能力，难度中档．13.答案：13解析：本题考查几何概型概率的求法，考查三角不等式的解法，是基础题．求解三角不等式求得x 的范围，再由测度比为长度比得答案．解：由sin2x ≥12，因为x ∈[0,π]，所以得π6≤2x ≤5π6，则π12≤x ≤5π12， ∴满足sin2x ≥12的概率为5π12−π12π=13．故答案为13．14.答案：9解析：本题考查了抛物线的性质及几何意义和直线与抛物线的位置关系，属于中档题．依题意，抛物线C:x 2=8y ，由RP ⃗⃗⃗⃗⃗ =PF ⃗⃗⃗⃗⃗ ，可得P 的坐标，直线l 的方程，与抛物线联立得Q 的坐标，可得|PQ|．解：依题意，抛物线C:x 2=8y ．因为RP ⃗⃗⃗⃗⃗ =PF⃗⃗⃗⃗⃗ ，F(0,2)，故点P 的纵坐标为1，代入抛物线方程，可得点P 的横坐标为±2√2．不妨设P(−2√2,1)，则k PF =0−(−2√2)=√24，故直线l 的方程为y =√24x +2，将其代入x 2=8y 得x 2−2√2x −16=0，可得Q(4√2,4)，故|PQ|=9．同理，当P(2√2,1)时，PQ|=9．故答案为9．15.答案：14；2解析：本题考查了正弦定理、余弦定理、三角函数求值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 2bsin2A =asinB 由正弦定理可得4ab ·cos A =ab ，再由余弦定理解得cos A ，可得a 2=4b 2，即可得出．解：由题知，2b ·2sinAcosA =asinB ，由正弦定理得4ab ·cos A =ab ，即cosA =14，又∵cos A =b 2+c 2−a 22bc=5b 2−a 24b 2=14，∴a 2=4b 2，即a =2b ．所以ab =2．故答案为14，2．16.答案：√6解析：此题考查平面向量的数量积，考查直线与圆的位置关系，由平面向量的数量积运算可得∠AOB =120°，解直角三角形即可．解：因为ab +a′b′=−1，所以OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ||OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |cos∠AOB =−1，则√2×√2cos∠AOB=−1，cos∠AOB=−12，所以∠AOB=120°，则AB=2√2sin60°=√6．故答案为√6．17.答案：解：(Ⅰ)∵sin2B=sin2A+sin2C−sinAsinC，∴由正弦定理得b2=a2+c2−ac，即a2+c2−b2=ac，由余弦定理得cosB=a2+c2−b22ac =ac2ac=12，则B=π3；(Ⅱ)由三角形的面积公式得12acsinπ3=12×√32ac=√32，得ac=2，∵b2=a2+c2−ac=(a+c)2−3ac，∴3═(a+c)2−6，则(a+c)2=9，即a+c=3．解析：(Ⅰ)先由正弦定理进行化简，然后利用余弦定理即可求角B的大小；(Ⅱ)结合三角形的面积公式求出ac的值，结合余弦定理利用配方法进行求解即可．本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用，结合三角形的面积公式建立方程关系是解决本题的关键．18.答案：解：(1)由表计算x=6；y=175，∴b̂=5i=1i−x)(y i−y)∑(5x−x)2=1020=12；â=y−b̂x=175−12×6=25．∴回归直线方程是：y=12x+25．(2)当销售额为4(千万元)时，代入回归直线方程得y=12×4+25=2.4(百万元)．解析：本题考查独立性检验及最小二乘法，主要考查了计算能力，属于基础题；(1)利用公式计算求得；(2)根据(1)得方程代入计算，得出估计值．19.答案：证明：(1)连接AC，BD，令AC与BD交于点F，连接NF，∵点N是中点，∴NF//PD且NF=12PD．又∵EC//PD且EC=12PD，∴NF//EC且NF=EC，∴四边形NFCE为平行四边形，∴NE//AC，又∵PD⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴PD⊥AC．∵四边形ABCD为正方形，∴AC⊥BD．∵PD∩BD=D，∴AC⊥平面PBD，∴NE⊥平面PBD．解：(2)∵PD⊥平面ABCD，PD⊂平面PDCE，∴平面PDCE⊥平面ABCD，又∵BC⊥CD，∴BC⊥平面PDCE，∴BC是四棱锥B−PDCE的高，∵PD=AD=2EC=2，∴S梯形PDCE =12(PD+EC)⋅DC=12×(2+1)×2=3，∴四棱锥B−CEPD的体积V B−CEPD=13S梯形PDCE⋅BC=13×3×2=2．解析：(1)连接AC，BD，令AC与BD交于点F，连接NF，推导出NE//AC，求出PD⊥AC，AC⊥BD，由此能证明NE⊥平面PBD．(2)四棱锥B−CEPD的体积V B−CEPD=13S梯形PDCE⋅BC.由此能求出四棱锥B−CEPD的体积．本题考查线面垂直的证明，考查柱、锥、台体的体积，考查空间想象能力与计算能力，考查推理论证能力，是中档题．20.答案：解：(1)根据题意，椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率是√53，则e=ca=√53，当直线l垂直于y轴时|AB|=3√3，则椭圆过点(3√32,1)，可得{274a2+1b2=1a2=b2+c2c a =√53解得a2=9,b2=4，所以椭圆的E方程为x29+y24=1;(2)设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)，AB 的中点C (x 0,y 0)，由{y =kx +1x 29+y 24=1消去y 得(4+9k 2)x 2+18kx −27=0，显然△>0．所以x 0=x 1+x 22=−9k 4+9k 2,y 0=kx 0+1=44+9k 2，当k ≠0时，设过点C 且与l 垂直的直线方程y =−1k (x +9k4+9k 2)+44+9k 2，将(512,0)代入得0=−1k (512+9k4+9k 2)+44+9k 2，化简得9k 2+12k +4=0，解得k =−23，当k =0时，与题意不符．综上所述，所求k 的值为−23．解析：本题考查了直线与椭圆的位置关系，椭圆方程及性质．(1)由已知可得椭圆过点(3√32,1)，列出方程组{274a 2+1b 2=1a 2=b 2+c 2c a =√53求出a 和b; (2)设AB 的中点C (x 0,y 0)，设出过点C 且与l 垂直的直线方程，把(512,0)代入这个方程，即可求出k 值．21.答案：(1)解：∵f(x)=(x −2)e x ，∴f′(x)=(x −1)e x ，∴当x ∈(−∞,1)时，f′(x)<0，函数f(x)单调递减， ∴当x ∈(1,+∞)时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增， ∴f(x)min =f(1)=−e ，(2)证明：∵∀x ∈(12,1)，都有x −lnx +a >f(x)， ∴a >(x −2)e x −x +lnx ，设g(x)=(x −2)e x −x +lnx ，x ∈(12,1)， ∴g′(x)=(x −1)e x −1+1x =(x −1)e x −x−1x=(x −1)(e x −1x )=(x −1)⋅xe x −1x，令ℎ(x)=xe x −1，x ∈(12,1)，∴ℎ′(x)=(x +1)e x >0， ∴ℎ(x)在(12,1)上单调递增，∵ℎ(1)=e −1>0，ℎ(12)=√e2−1<0，∴存在唯一x 0∈(12,1)使得ℎ(x 0)=x 0e x 0−1=0， ∴当x ∈(12,x 0)时，g′(x)>0，函数g(x)单调递增，当x ∈(x 0,1)时，g′(x)<0，函数g(x)单调递减， ∴g(x)max =g(x 0)=(x 0−2)e x 0−x 0+lnx 0=(x 0−2)1x 0−x 0+lnx 0=1−2x 0--x 0+lnx 0，令φ(x)=1−2x --x +lnx ，x ∈(12,1)， ∴φ′(x)=2x 2−1+1x =−x 2+x+2x 2=−(x−2)(x+1)x 2>0，∴φ(x)在(12,1)上单调递增，∴φ(x)<φ(1)=1−2−1+ln1=−2， ∴g(x)<−2， ∴a >−2， ∴a >−4．解析：(1)先求导，根据导数和函数的单调性和最值的关系即可求出，(2)分离参数，可得a >(x −2)e x −x +lnx ，构造函数g(x)=(x −2)e x −x +lnx ，x ∈(12,1)，利用导数可以得到存在唯一x 0∈(12,1)使得ℎ(x 0)=x 0e x 0−1=0，且g(x)max =g(x 0)=1−2x 0--x 0+lnx 0，再构造函数，利用导数求出函数最大值即可．本题考查了导数和函数的最值的关系以及不等式的证明，关键是构造函数，考查了运算能力和转化能力，属于难题．22.答案：解：(1)由曲线C 的参数方程{x =−1+2cosφy =2sinφ，消去参数φ，得曲线C 的普通方程为(x +1)2+y 2=4．由曲线l 1的极坐标方程ρ=2sin (θ+π4)，得ρsin θ+ρcos θ=1，将x =ρcos θ，y =ρsin θ代入，得l 1的直角坐标方程为x +y −1=0；(2)由l1⊥l2，得直线l2的斜率k l2=−1k l1=1，所以l2的倾斜角为π4，又l2过圆心(−1,0)，所以l2的方程为y=x+1，与x+y−1=0联立，得AB的中点M(0,1)，故l2的参数方程为{x=tcosπ4y=1+tsinπ4,(t为参数)，即{x=√22ty=1+√22t,(t为参数)，代入(x+1)2+y2=4中，化简、整理得t2+2√2t−2=0，设P，Q对应的参数分别为t1，t2，则由韦达定理得t1·t2=−2，又线段PQ为圆的直径，所以|PQ|=4，所以|PQ||MP|⋅|MQ|=4|−2|=2．解析：本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题型．(1)直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．(2)利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果．23.答案：解：(Ⅰ)∵函数的定义域为R，|x+2|+|x−4|≥|(x+2)−(x−4)|=6，∴m≤6．(Ⅱ)由(Ⅰ)知n=6，由柯西不等式知，4a+7b=16(4a+7b)(4a+5b+13a+2b)=16[(a+5b)+(3a+2b)](4a+5b +13a+2b)≥32，当且仅当a=126,b=526时取等号，∴4a+7b的最小值为32．解析：(I)利用绝对值不等式的性质即可得出．(II)利用柯西不等式的性质即可得出．本题考查了绝对值不等式的性质、柯西不等式的性质、函数的定义域，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．。

衡阳县2023高考数学模拟卷

一、单选题1. 已知单位向量，满足，若向量，向量与的夹角为，则（）A．B．C．D．2. 函数在区间上的图象可能是（）A．B．C．D．3. 方程表示的曲线关于直线成轴对称图形，则（）A．B．C．D．4. 若双曲线的中心为坐标原点，焦点在轴上，其离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为（）A．B．C．D．5. 设，是离心率为5的双曲线的两个焦点，是双曲线上的一点，且，则的面积等于A．B．C．24 D．486. 已知且，，，则( ) A．B．C．D．7. 下列函数中，与函数相等的是（）A．B．C．D．8. 已知是两条不同的直线，是三个不同的平面，则下列命题正确的是A．若，则B．若，则C．若，且，则D．若，且，则二、多选题9. 给出下列命题，其中为真命题的是（）A．命题“，”的否定是：“，”B．若，当时，，C．若实数，满足，则D．成立的充要条件是10. 下列说法中正确的是（）A．若，，则B．若两个非零向量，满足，则与共线且反向C．若对平面内的任意一点，有，且，则A，B，C三点共线D．若，，且与夹角为锐角，则11. 设圆，点，若圆O上存在两点到A的距离为2，则r可能取值为（）A．9 B．10 C．11 D．1212. 下列各式中正确的序号是（）①；②；③；④A．①B．②C．③D．④三、填空题13. 偶函数的值域为______．14. 已知是首项为2的等比数列，是其前n项和，且，则数列的前5项和为___________.15. 在中，，则的最大值为__________.四、解答题16. 已知正方体中，棱长为2a，M是棱的中点.求证：平面.17. 已知函数，.（1）若为偶函数，求a的值；（2）若，，使得成立，求实数m的取值范围.18. 已知函数.(1)求函数的极值；(2)证明：.19. 某学生对其30位亲属的饮食习惯进行了一次调查，并用如图所示的茎叶图表示他们的饮食指数(说明：图中饮食指数低于70的人，饮食以蔬菜为主；饮食指数高于70的人，饮食以肉类为主).（1）根据茎叶图，帮助这位同学说明这30位亲属的饮食习惯.（2）根据以上数据完成如下列联表主食为蔬菜主食为肉类总计50岁以下50岁及以上总计（3）能否有99%的把握认为其亲属的饮食习惯与年龄有关？附表：0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.0012.072 2.7063.841 5.024 6.635 7.879 10.828(参考公式：，其中)20. 潮汐现象是发生在沿海地区的一种自然现象，是指海水在天体（主要是月球和太阳）引潮力作用下所产生的周期性运动，我们把海面垂直方向涨落称为潮汐，地球上不同的地点潮汐规律不同．下表给出了某沿海港口在一天（24小时）中海水深度的部分统计数据：时间（时）0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24水深（米）13.4 14 13.4 12 10 8 6.6 6 6.6 8 10 12 13（1）请结合表中数据，在给出的平面直角坐标系中，选择合适的点，画出该港口在一天24小时中海水深度与时间的函数图像，并根据你所学知识，请从，，（，，），（，，）这四个函数解析式中，选取一个合适的函数模型描述该港口一天24小时内水深与时间的函数关系，求出其解析式；（2）现有一货轮需进港卸货，并在白天进行物资补给后且于当天晚上离港．已知该货轮进港时的吃水深度（水面到船底的距离）为10米，卸货后吃水深度减小0.8米，根据安全航行的要求，船底至少要留出2.8米的安全间隙（船底到海底的距离），如果你是船长，请你规划货轮的进港、离港时间，并计算出货轮在该港口停留的最短时长．（参考数据：，）21. 已知函数，曲线在点处的切线方程为.(1)求(2)若时，，求实数的取值范围.五、双空题22. 已知正四棱锥的底面边长是4cm，侧面积为，则该四棱锥的高是______cm，体积是______.。