2017-2018学年北京市海淀区高二(下)期中数学试卷(理科)

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2017北京市海淀区高二下学期期中数学(理)试卷

2017北京市海淀区高二下学期期中数学(理)试卷2017海淀区高二（下）期中数学（理科）一．选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分．1．（4分）复数1﹣i的虚部为（）A．i B．1 C．D．﹣2．（4分）xdx=（）A．0 B．C．1 D．﹣3．（4分）若复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，且z1=1+i，则z1•z2=（）A．﹣2 B．2 C．﹣2i D．2i4．（4分）若a，b，c均为正实数，则三个数a+，b+，c+这三个数中不小于2的数（）A．可以不存在 B．至少有1个 C．至少有2个 D．至多有2个5．（4分）定义在R上的函数f（x）和g（x），其各自导函数f′（x）f和g′（x）的图象如图所示，则函数F（x）=f（x）﹣g（x）极值点的情况是（）A．只有三个极大值点，无极小值点B．有两个极大值点，一个极小值点C．有一个极大值点，两个极小值点D．无极大值点，只有三个极小值点6．（4分）函数f（x）=lnx与函数g（x）=ax2﹣a的图象在点（1，0）的切线相同，则实数a的值为（）A．1 B．﹣C．D．或﹣7．（4分）函数y=e x（2x﹣1）的大致图象是（）A． B．C．D．8．（4分）为弘扬中国传统文化，某校在高中三个年级中抽取甲、乙、丙三名同学进行问卷调查．调查结果显示这三名同学来自不同的年级，加入了不同的三个社团：“楹联社”、“书法社”、“汉服社”，还满足如下条件：（1）甲同学没有加入“楹联社”；（2）乙同学没有加入“汉服社”；（3）加入“楹联社”的那名同学不在高二年级；（4）加入“汉服社”的那名同学在高一年级；（5）乙同学不在高三年级．试问：丙同学所在的社团是（）A．楹联社B．书法社C．汉服社D．条件不足无法判断二．填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．9．（4分）在复平面内，复数对应的点的坐标为．10．（4分）设函数f（x），g（x）在区间（0，5）内导数存在，且有以下数据：x1234f（x）2341f′（x）3421g（x）3142g′（x）2413则曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线方程是；函数f（g（x））在x=2处的导数值是．11．（4分）如图，f（x）=1+sinx，则阴影部分面积是．12．（4分）如图，函数f（x）的图象经过（0，0），（4，8），（8，0），（12，8）四个点，试用“＞，=，＜”填空：（1）；（2）f′（6）f′（10）．13．（4分）已知平面向量=（x1，y1），=（x2，y2），那么•=x1x2+y1y2；空间向量=（x1，y1，z1），=（x2，y2．z2），那么•=x1x2+y1y2+z1z2．由此推广到n维向量：=（a1，a2，…，an），=（b1，b2，…，bn），那么•= ．14．（4分）函数f（x）=e x﹣alnx（其中a∈R，e为自然常数）①∃a∈R，使得直线y=ex为函数f（x）的一条切线；②对∀a＜0，函数f（x）的导函数f′（x）无零点；③对∀a＜0，函数f（x）总存在零点；则上述结论正确的是．（写出所有正确的结论的序号）三．解答题：本大题共4小题，共44分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．（10分）已知函数f（x）=x3﹣3x2﹣9x+2（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）求函数f（x）在区间[﹣2，2]上的最小值．16．（10分）已知数列{an }满足a1=1，an+1+an=﹣，n∈N*．（Ⅰ）求a2，a3，a4；（Ⅱ）猜想数列{a}的通项公式，并用数学归纳法证明．n17．（12分）已知函数f（x）=x﹣（a+1）lnx﹣，其中a∈R．（Ⅰ）求证：当a=1时，函数y=f（x）没有极值点；（Ⅱ）求函数y=f（x）的单调增区间．18．（12分）设f（x）=e t（x﹣1）﹣tlnx，（t＞0）（Ⅰ）若t=1，证明x=1是函数f（x）的极小值点；（Ⅱ）求证：f（x）≥0．参考答案与试题解析一．选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分．1．【解答】复数1﹣i的虚部为﹣．故选：D．2．【解答】xdx=x2|=，故选：B3．【解答】∵复数z1、z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z1=1+i，∴z2=﹣1+i．∴z1•z2=﹣（1+i）（1﹣i）=﹣2．故选：A4．【解答】假设a+，b+，c+这三个数都小于2，∴a++b++c+＜6∵a++b++c+=（a+）+（b+）+（c+）≥2+2+2=6，这与假设矛盾，故至少有一个不小于2故选：B5．【解答】F′（x）=f′（x）﹣g′（x），由图象得f′（x）和g′（x）有3个交点，从左到右分分别令为a，b，c，故x∈（﹣∞，a）时，F′（x）＜0，F（x）递减，x∈（a，b）时，F′（x）＞0，F（x）递增，x∈（b，c）时，F′（x）＜0，F（x）递减，x∈（c，+∞）时，F′（x）＞0，F（x）递增，故函数F（x）有一个极大值点，两个极小值点，故选：C．6．【解答】由题意，f′（x）=，g′（x）=2ax，∵函数f（x）=lnx与函数g（x）=ax2﹣a的图象在点（1，0）的切线相同，∴1=2a，∴a=，故选C．7．【解答】y′=e x（2x﹣1）+2e x=e x（2x+1），令y′=0得x=﹣，∴当x＜﹣时，y′＜0，当x时，y′＞0，∴y=e x（2x﹣1）在（﹣∞，﹣）上单调递减，在（﹣，+∞）上单调递增，当x=0时，y=e0（0﹣1）=﹣1，∴函数图象与y轴交于点（0，﹣1）；令y=e x（2x﹣1）=0得x=，∴f（x）只有1个零点x=，当x时，y=e x（2x﹣1）＜0，当x时，y=e x（2x﹣1）＞0，综上，函数图象为A．故选A．8．【解答】假设乙在高一，则加入“汉服社”，与（2）矛盾，所以乙在高二，根据（3），可得乙加入“书法社”，根据（1）甲同学没有加入“楹联社”，可得丙同学所在的社团是楹联社，故选A．二．填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．9．【解答】复数==﹣1﹣i在复平面内对应的点的坐标（﹣1，﹣1）．故答案为：（﹣1，﹣1）．10．【解答】f′（1）=3，f（1）=2，∴曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线方程是y=3x﹣1，[f（g（x））]′=f′（g（x））g′（x），x=2时，f′（g（2））g′（2）=3×4=12，故答案为y=3x﹣1；1211．【解答】由图象可得S=（1+sinx）dx=（x﹣cosx）|=π﹣cosπ﹣（0﹣cos0）=2+π，故答案为：π+212．【解答】（1）由函数图象可知=，==2，∴．（2）∵f（x）在（4，8）上是减函数，在（8，12）上是增函数，∴f′（6）＜0，f′（10）＞0，∴f′（6）＜f′（10）．故答案为（1）＞，（2）＜．13．【解答】由题意可知•=a1b1+a2b2+a3b3+…+anbn．故答案为：a1b1+a2b2+a3b3+…+anbn．14．【解答】对于①，函数f（x）=e x﹣alnx的导数为f′（x）=e x﹣，设切点为（m，f（m）），则e=e m﹣，em=e m﹣alnm，可取m=1，a=0，则∃a∈R，使得直线y=ex为函数f（x）的一条切线，故①正确；对于②，∀a＜0，函数f（x）的导函数f′（x）=e x﹣，由x＞0，可得f′（x）＞0，则导函数无零点，故②正确；对于③，对∀a＜0，函数f（x）=e x﹣alnx，由f（x）=0，可得e x=alnx，分别画出y=e x和y=alnx，（a＜0）的图象，可得它们存在交点，故f（x）总存在零点，故③正确．故答案为：①②③．三．解答题：本大题共4小题，共44分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．【解答】（Ⅰ）f′（x）=3x2﹣6x﹣9=3（x+1）（x﹣3），令f′（x）=0，得x=﹣1或x=3，当x变化时，f′（x），f（x）在区间R上的变化状态如下：x（﹣∞﹣1）﹣1（﹣1，3）3（3，+∞）f′（x）+0﹣0+f（x）↗极大↘极小↗所以f（x）的单调递增区间是（﹣∞，﹣1），（3，+∞）；单调递减区间是（﹣1，3）；（Ⅱ）因为f（﹣2）=0，f（2）=﹣20，再结合f（x）的单调性可知，函数f（x）在区间[﹣2，2]上的最小值为﹣20．16．【解答】（Ⅰ）由题意a1=1，a2+a1=，a3+a2=﹣1，a4+a3=2﹣解得：a2=﹣1，a3=﹣，a4=2﹣（Ⅱ）猜想：对任意的n∈N*，an=﹣，①当n=1时，由a1=1=﹣，猜想成立．②假设当n=k （k∈N*）时，猜想成立，即ak=﹣则由ak+1+ak=﹣，得ak+1=﹣，即当n=k+1时，猜想成立，由①、②可知，对任意的n∈N*，猜想成立，即数列{an }的通项公式为an=﹣．17．【解答】（Ⅰ）证明：函数f（x）的定义域是（0，+∞）．当a=1时，f（x）=x﹣2lnx﹣，函数f′（x）=≥0，所以函数f（x）在定义域（0，+∞）上单调递增，所以当a=1时，函数y=f（x）没有极值点；（Ⅱ）f′（x）=1﹣+=，x∈（0，+∞）令f′（x）=0，得x1=1，x2=a，①a≤0时，由f′（x）＞0可得x＞1，所以函数f（x）的增区间是（1，+∞）；②当0＜a＜1时，由f′（x）＞0，可得0＜x＜a，或x＞1，所以函数f（x）的增区间是（0，a），（1，+∞）；③当a＞1时，由f′（x）＞0可得0＜x＜1，或x＞a，所以函数f（x）的增区间是（0，1），（a，+∞）；④当a=1时，由（Ⅰ）可知函数f（x）在定义域（0，+∞）上单调递增．综上所述，当a≤0时，函数y=f（x）的增区间是（1，+∞）；当0＜a＜1时，所以函数f（x）的增区间是（0，a），（1，+∞）；当a=1时，函数f（x）在定义域（0，+∞）上单调递增；当a＞1时，所以函数f（x）的增区间是（0，1），（a，+∞）．18．【解答】证明：（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（0，+∞），…（ 1分）若t=1，则f（x）=e x﹣1﹣lnx，．…（2分）因为f′（1）=0，…（3分）且0＜x＜1时，，即f′（x）＜0，所以f（x）在（0，1）上单调递减；…（4分）x＞1时，，即f′（x）＞0，所以f（x）在（1，+∞）上单调递增；…（5分）所以x=1是函数f（x）的极小值点；…（6分）（Ⅱ）函数f（x）的定义域为（0，+∞），t＞0.；…（7分）令，则，故g（x）单调递增．…（8分）又g（1）=0，…（9分）当x＞1时，g（x）＞0，因而f′（x）＞0，f（x）单增，即f（x）的单调递增区间为（1，+∞）；当0＜x＜1时，g（x）＜0，因而f′（x）＜0，f（x）单减，即f（x）的单调递减区间为（0，1）．…（11分）所以x∈（0，+∞）时，f（x）≥f（1）=1≥0成立．…（12分）第11页共11页。

2017-2018年北京市海淀区高二(下)期中数学试卷(理科)和解析PDF

【解答】解：（1﹣i）（1+i）=1+1=2， ﹣i（1+i）=1﹣i， i（1+i）=﹣1+i，（1+i）（1+i）=2i，故与 z=1+i 的乘积为实数的是（1﹣i），故选：A． 2．（4 分）已知函数 f（x）=exsinx，则下面各式中正确的是（ A．f′（x）=exsinx C．f′（x）=﹣exco sx ）
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16．（10 分）在各项均为正数的数列{an}中，a1=a 且（Ⅰ）当 a3=2 时，求 a1 的值；（Ⅱ）求证：当 n≥2 时，an+1≤an．解：（Ⅰ）
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．
（Ⅱ）某同学用分析法证明此问，证明过程如下，请你在横线上填上合适的内容．证明：要证 n≥2 时，an+1≤an 只需证只需证只需证只需证只需证 an≥ 根据均值定理，所以原命题成立． 17．（10 分）已知曲线 f（x）=x3 在点（1，f（1））处的切线为 l，其中 x0≠0．（Ⅰ）求直线 l 的方程；（Ⅱ）求证：直线 l 和曲线 f（x）一定有两个不同的公共点． 18．（12 分）已知函数 f（x）=x2﹣alnx﹣x，其中常数 a≠0．（Ⅰ）若函数 f（x）为单调函数，求实数 a 的最大值；
一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 4 分，共 32 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．（4 分）下列复数中，与 z=1+i 的乘积为实数的是（ A．1﹣i B．﹣i C．i ） D．1+i ）
2．（4 分）已知函数 f（x）=exsinx，则下面各式中正确的是（ A．f′（x）=exsinx C．f′（x）=﹣exco sx

精品解析：【全国区级联考】北京市海淀区2017-2018学年高二第二学期期中练习数学(理)试题(解析版)

x
A.
B.
C.
D.
【答案】C 【解析】
∵函数 f ( x ) = c o s x
x
∴函数 f ( x ) 的定义域为 ( − , 0 ) ( 0 , + )
∴ f ( − x ) = c o s ( − x ) = − c o s x = − f ( x ) ，即函数 f ( x ) 在定义域内奇函数.
B. 当函数 f ( x ) 有两个不同的极值点时， g ( x ) 一定有两个不同的零点
C. a R ，使得函数 g ( x ) 的零点也是函数 f ( x ) 的零点
D. a R ，使得函数 f ( x ) 的极值点也是函数 g ( x ) 的极值点【答案】D 【解析】若 3 天做完，则有 C 2 种；以此类推，若 9 天做完，则有 C 8 种；若 10 天做完，则有 C 9
9
9
9
9
种；故总数为 . 0
1
2
8
9
9
C + C + C + C + C = 2 = 5 1 2
9
9
9
9
9
.故选 D
7.函数 f ( x ) = c o s x 的部分图像可能是
共点，但是它们相交，故错误. 故选 A.
6.数学老师给校名布置了 10 道数学题，要求小明按照序号从小到大的顺序，每天至少完成一道，如果时间允许，也可以多做，甚至在一天全部做完，则小明不同的完成方法种数为
A. 55
B. 90
C. 425
D. 512
【答案】D 【解析】
利用隔板法，10 道题中间有 9 个空格，若 1 天做完，有 C 0 种；若 2 天做完，从 9 个空格中插入一个板，分 9

北京市海淀区2017-2018学年第二学期期中高二数学(理)试题图片版含答案

海淀区高二年级第二学期期中练习数学（理科）参考答案及评分标准2018.4一. 选择题.二.填空题.9.四，210. 211.333222，，12. (1,0)- 13. (1,+)∞14.2说明：9题，每个空2分，11题，第一个，第二空各1分，第三个空2分三.解答题.15.解: ( I )令242x x -+=，解得11x =-21x =-（舍）…………………2分因为点2(2), (4)A x,x B x,x -+所以2()(42)f x x x x =-+-3224x x x =--+，…………………4分其定义域为(0,1x ∈-…………………5分（II ）因为2'()344f x x x =--+…………………7分令0'()0f x =，得123x =，22x =-（舍） …………………8分所以,'(),()x f x f x 的变化情况如下表…………………10分因为23x =是函数()f x 在(0,1-+上的唯一的一个极大值，所以在23x =时，函数()f x 取得最大值4027.…………………12分 16.证明：（Ⅰ）因为32a =，所以232222a a a =+=，所以22244a a +=，解得22a =，…………………2分同理解得12a =.…………………4分（Ⅱ）证明：要证 2n ≥时，1n n a a +≤，只需证 1n na a + 1 ≤，…………………6分只需证 22 n n n na a a a +1≤，…………………7分只需证 21212na +≤. 只需证2n a ≥ 4 ，…………………9分只需证n a ≥ 2，…………………10分根据均值定理，112=22n n n a a a --+≥= 所以原命题成立.说明：上面的空，答案不唯一，请老师具体情况具体分析17.解：（I ）因为2'()3f x x =…………………1分所以直线l 的斜率200'()3k f x x ==…………………2分所以直线l 的方程为320003()y x x x x -=-…………………3分化简得到230032y x x x =-…………………4分(Ⅱ)法一：把曲线和直线l 的方程联立得3230032y x y x x x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩ 所以3230032x x x x =-…………………5分所以32300320x x x x -+=令32300()32g x x x x x =-+…………………6分所以220'()33g x x x =-，令'()0g x =，得到得10x x =，20x x =-…………………7分当00x >时，,'(),()x g x g x 的变化情况如下表…………………8分因为0x x =-时，300()40g x x -=>，而300(3)160g x x -=-<（或者说：x →-∞时，()g x →-∞），所以()g x 在0(,)x -∞-上有一个零点而0x x =时，0()0g x =，所以()g x 在0[,)x +∞上只有一个零点又()g x 在00(,)x x -上没有零点…………………9分所以()g x 只有两个不同的零点，即直线l 和曲线()f x 有两个不同的公共点. 当00x <时,同理可证()g x 只有两个不同的零点，即直线l 和曲线()f x 有两个不同的公共点. …………………10分法二：把曲线和直线l 的方程联立得3230032y x y x x x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩ 所以3230032x x x x =-…………………5分所以32300320x x x x -+=令32300()32g x x x x x =-+…………………6分因为3223200000()22()(2)g x x x x x x x x x x x =--+=-+…………………8分令()0g x =，得到10x x =，202x x =-…………………9分又00x ≠，所以002x x ≠-所以()g x 只有两个不同的零点，即直线l 和曲线()f x 有两个不同的公共点.…………………10分18.解：（Ⅰ）法一：…………………2分因为22'()x x a f x x--=，其中0x > 因为()f x 是单调函数，所以'()0f x ≥或'()0f x ≤对0x >成立当'()0f x ≥对0x >成立时，220x x a x--≥，…………………3分即220x x a --≥对0x >成立所以22x x a -≥，根据二次函数的性质得到18a -≥ …………………4分当'()0f x ≤对0x >成立时，220x x a x--≤，…………………5分即220x x a --≤对0x >成立所以22x x a -≤，根据二次函数的性质这种情形不成立…………………6分综上，18a ≤-，所以实数a 的最大值为18-.法二：因为22'()x x a f x x--=，其中0x >…………………2分因为()f x 是单调函数，所以'()0f x ≥或'()0f x ≤对0x >成立根据二次函数的性质知道当+x →∞时，22+x x a --→∞所以只能是'()0f x ≥对0x >成立 …………………4分即22'()0x x af x x--=≥对0x >成立所以220x x a --≥对0x >成立…………………5分所以22x x a -≥，根据二次函数的性质得到18a ≤-，…………………6分所以实数a 的最大值为18-. （Ⅱ）法一：由（Ⅰ），当18a ≤-时，函数()f x 是单调递增函数，而(1)0f =，（或者说：当0x →时，()f x →-∞，x →+∞时，()f x →+∞）所以函数()f x 只有一个零点…………………8分当18a >-时，令22'()0x x af x x--==，得12x x ==，当108a -<<时，120x x << 所以,'(),()x f x f x 的变化情况如下表因为21111()ln f x x a x x =-- 而21120x x a --=，所以22111111()ln (1ln )f x x a x x a x x =--=-- 注意到121x x <<所以2111ln 0,0,0x a x -><-<，所以2111()(1ln )0f x a x x =--< 所以在2(0,)x x ∈时，1()()0f x f x ≤<，(或者说：注意到121x x <<，因为(0,1)x ∈时，20,ln 0x x a x -<-<，所以()0f x <）所以函数()f x 在区间2(0,)x 上没有零点，而当x →+∞时，()f x →+∞，所以函数()f x 在区间2(+)x ∞，上有一个零点…………………10分当0a >，其中10x =<（舍）所以,'(),()x f x f x 的变化情况如下表当2114x ==时，即1a =时，2()0f x = 函数()f x 的唯一的一个极小值，即最小值为(1)0f =，符合题意，当21x =>时，即1a >时，则2()(1)0f x f <=，而当x →+∞时，()f x →+∞，所以函数()f x 在区间2(+)x ∞，上还有一个零点，矛盾当201x <=<，即1a <时则2()(1)0f x f <=，而此时0x →时，()f x →+∞，所以函数()f x 在区间2(0,)x 上还有一个零点，矛盾…………………12分综上，实数a 的取值范围是{|0a a <或1}a =说明：解答题有其它正确解法的请酌情给分.。

《解析》北京市海淀区2016-2017学年高二下学期期中数学试卷(理科)Word版含解析

北京市海淀区2016-2017学年高二（下）期中数学试卷（理科）（解析版）一、选择题：1、复数1﹣i的虚部为（）A、iB、1C、D、﹣2、xdx=（）A、0B、C、1D、﹣3、若复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，且z1=1+i，则z1•z2=（）A、﹣2B、2C、﹣2iD、2i4、若a，b，c均为正实数，则三个数a+ ，b+ ，c+ 这三个数中不小于2的数（）A、可以不存在B、至少有1个C、至少有2个D、至多有2个5、定义在R上的函数f（x）和g（x），其各自导函数f′（x）f和g′（x）的图象如图所示，则函数F（x）=f（x）﹣g（x）极值点的情况是（）A、只有三个极大值点，无极小值点B、有两个极大值点，一个极小值点C、有一个极大值点，两个极小值点D、无极大值点，只有三个极小值点6、函数f（x）=lnx与函数g（x）=ax2﹣a的图象在点（1，0）的切线相同，则实数a的值为（）A、1B、﹣C、D、或﹣7、函数y=e x（2x﹣1）的大致图象是（）A、B、C、D、8、为弘扬中国传统文化，某校在高中三个年级中抽取甲、乙、丙三名同学进行问卷调查．调查结果显示这三名同学来自不同的年级，加入了不同的三个社团：“楹联社”、“书法社”、“汉服社”，还满足如下条件：①甲同学没有加入“楹联社”；②乙同学没有加入“汉服社”；③加入“楹联社”的那名同学不在高二年级；④加入“汉服社”的那名同学在高一年级；⑤乙同学不在高三年级．试问：丙同学所在的社团是（）A、楹联社B、书法社C、汉服社D、条件不足无法判断二、填空题：9、在复平面内，复数对应的点的坐标为________．g（x）在区间（0，5）内导数存在，且有以下数据：则曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线方程是________；函数f（g（x））在x=2处的导数值是________．11、如图，f（x）=1+sinx，则阴影部分面积是________．12、如图，函数f（x）的图象经过（0，0），（4，8），（8，0），（12，8）四个点，试用“＞，=，＜”填空：(1)________ ；(2)f′（6）________f′（10）．13、已知平面向量=（x1，y1），=（x2，y2），那么• =x1x2+y1y2；空间向量=（x1，y1，z1），=（x2，y2．z2），那么• =x1x2+y1y2+z1z2．由此推广到n维向量：=（a1，a2，…，a n），=（b1，b2，…，b n），那么• =________．14、函数f（x）=e x﹣alnx（其中a∈R，e为自然常数）①∃a∈R，使得直线y=ex为函数f（x）的一条切线；②对∀a＜0，函数f（x）的导函数f′（x）无零点；③对∀a＜0，函数f（x）总存在零点；则上述结论正确的是________．（写出所有正确的结论的序号）三、解答题：15、已知函数f（x）=x3﹣3x2﹣9x+2（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）求函数f（x）在区间[﹣2，2]上的最小值．16、已知数列{a n}满足a1=1，a n+1+a n= ﹣，n∈N*．（Ⅰ）求a2，a3，a4；（Ⅱ）猜想数列{a n}的通项公式，并用数学归纳法证明．17、已知函数f（x）=x﹣（a+1）lnx﹣，其中a∈R．（Ⅰ）求证：当a=1时，函数y=f（x）没有极值点；（Ⅱ）求函数y=f（x）的单调增区间．18、设f（x）=e t（x﹣1）﹣tlnx，（t＞0）（Ⅰ）若t=1，证明x=1是函数f（x）的极小值点；（Ⅱ）求证：f（x）≥0．答案解析部分一、选择题：1、【答案】D【考点】复数的基本概念【解析】【解答】解：复数1﹣i的虚部为﹣．故选：D．【分析】直接由虚部定义得答案．2、【答案】B【考点】定积分【解析】【解答】解：xdx= x2| = ，故选：B【分析】根据定积分的计算法则计算即可．3、【答案】A【考点】复数代数形式的乘除运算【解析】【解答】解：∵复数z1、z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z1=1+i，∴z2=﹣1+i．∴z1•z2=﹣（1+i）（1﹣i）=﹣2．故选：A【分析】利用复数的运算法则与共轭复数的定义、几何意义即可得出．4、【答案】B【考点】反证法与放缩法【解析】【解答】解：假设a+ ，b+ ，c+ 这三个数都小于2，∴a+ +b+ +c+ ＜6∵a+ +b+ +c+ =（a+ ）+（b+ ）+（c+ ）≥2+2+2=6，这与假设矛盾，故至少有一个不小于2故选：B【分析】根据基本不等式，利用反证法思想，可以确定至少有一个不小于2，从而可以得结论．5、【答案】C【考点】利用导数研究函数的极值【解析】【解答】解：F′（x）=f′（x）﹣g′（x），由图象得f′（x）和g′（x）有3个交点，从左到右分分别令为a，b，c，故x∈（﹣∞，a）时，F′（x）＜0，F（x）递减，x∈（a，b）时，F′（x）＞0，F（x）递增，x∈（b，c）时，F′（x）＜0，F（x）递减，x∈（c，+∞）时，F′（x）＞0，F（x）递增，故函数F（x）有一个极大值点，两个极小值点，故选：C．【分析】根据函数的单调性结合函数的图象判断函数的极值点的个数即可．6、【答案】C【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【解析】【解答】解：由题意，f′（x）= ，g′（x）=2ax，∵函数f（x）=lnx与函数g（x）=ax2﹣a的图象在点（1，0）的切线相同，∴1=2a，∴a= ，故选C．【分析】求导数，利用函数f（x）=lnx与函数g（x）=ax2﹣a的图象在点（1，0）的切线相同，即可求出实数a的值．7、【答案】A【考点】函数的图象【解析】【解答】解：y′=e x（2x﹣1）+2e x=e x（2x+1），令y′=0得x=﹣，∴当x＜﹣时，y′＜0，当x 时，y′＞0，∴y=e x（2x﹣1）在（﹣∞，﹣）上单调递减，在（﹣，+∞）上单调递增，当x=0时，y=e0（0﹣1）=﹣1，∴函数图象与y轴交于点（0，﹣1）；令y=e x（2x﹣1）=0得x= ，∴f（x）只有1个零点x= ，当x 时，y=e x（2x﹣1）＜0，当x 时，y=e x（2x﹣1）＞0，综上，函数图象为A．故选A．【分析】判断函数的单调性，计算函数与坐标轴的交点坐标即可得出答案．8、【答案】A【考点】进行简单的合情推理【解析】【解答】解：假设乙在高一，则加入“汉服社”，与②矛盾，所以乙在高二，根据③，可得乙加入“书法社”，根据①甲同学没有加入“楹联社”，可得丙同学所在的社团是楹联社，故选A．【分析】确定乙在高二，加入“书法社”，根据①甲同学没有加入“楹联社”，可得丙同学所在的社团是楹联社．二、填空题：9、【答案】（﹣1，﹣1）【考点】复数代数形式的乘除运算【解析】【解答】解：复数= =﹣1﹣i在复平面内对应的点的坐标（﹣1，﹣1）．故答案为：（﹣1，﹣1）．【分析】利用复数的运算法则、几何意义即可得出．10、【答案】y=3x﹣1；12【考点】导数的运算，利用导数研究曲线上某点切线方程【解析】【解答】解：f′（1）=3，f（1）=2，∴曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线方程是y=3x﹣1，[f（g（x））]′=f′（g（x））g′（x），x=2时，f′（g（2））g′（2）=3×4=12，故答案为y=3x﹣1；12【分析】求出f′（1）=3，f（1）=2，即可求出曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线方程．利用复合函数的导数公式，可得函数f（g（x））在x=2处的导数值，11、【答案】π+2【考点】定积分在求面积中的应用【解析】【解答】解：由图象可得S= （1+sinx）dx=（x﹣cosx）| =π﹣cosπ﹣（0﹣cos0）=2+π，故答案为：π+2【分析】由图象可得S= （1+sinx）dx，再根据定积分的计算法则计算即可．12、【答案】（1）＞（2）＜【考点】函数的图象【解析】【解答】解：（1.）由函数图象可知= ，= =2，∴．（2.）∵f（x）在（4，8）上是减函数，在（8，12）上是增函数，∴f′（6）＜0，f′（10）＞0，∴f′（6）＜f′（10）．故答案为（1）＞，（2）＜．【分析】（1）代入函数值计算或根据平均变化率的几何意义比较割线的斜率；（2）根据导数的几何意义比较切线的斜率即可．13、【答案】a1b1+a2b2+a3b3+…+a n b n【考点】平面向量数量积的运算【解析】【解答】解：由题意可知• =a1b1+a2b2+a3b3+…+a n b n．故答案为：a1b1+a2b2+a3b3+…+a n b n．【分析】根据平面向量和空间向量数量积的计算公式归纳得出结论．14、【答案】①②③【考点】命题的真假判断与应用【解析】【解答】解：对于①，函数f（x）=e x﹣alnx的导数为f′（x）=e x﹣，设切点为（m，f（m）），则e=e m﹣，em=e m﹣alnm，可取m=1，a=0，则∃a∈R，使得直线y=ex为函数f（x）的一条切线，故①正确；对于②，∀a＜0，函数f（x）的导函数f′（x）=e x﹣，由x＞0，可得f′（x）＞0，则导函数无零点，故②正确；对于③，对∀a＜0，函数f（x）=e x﹣alnx，由f（x）=0，可得e x=alnx，分别画出y=e x和y=alnx，（a＜0）的图象，可得它们存在交点，故f（x）总存在零点，故③正确．故答案为：①②③．【分析】求出f（x）的导数，设出切点（m，f（m）），可得切线的斜率，由已知切线的方程可得a，m，的方程，求得m=1，a=0，即可判断①；求出f（x）的导数，运用指数函数的值域和不等式的性质可得导数大于0，即可判断②；由f（x）=0，可得e x=alnx，分别画出y=e x和y=alnx，（a＜0）的图象，可得它们存在交点，即可判断③．三、解答题：15、【答案】解：（Ⅰ）f′（x）=3x2﹣6x﹣9=3（x+1）（x﹣3），令f′（x）=0，得x=﹣1或x=3，当x变化时，f′（x），f（x）在区间R上的变化状态如下：所以f（x）的单调递增区间是（﹣∞，﹣1），（3，+∞）；单调递减区间是（﹣1，3）；（Ⅱ）因为f（﹣2）=0，f（2）=﹣20，再结合f（x）的单调性可知，函数f（x）在区间[﹣2，2]上的最小值为﹣20【考点】利用导数研究函数的单调性，利用导数求闭区间上函数的最值【解析】【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，解关于导数的方程，求出函数的单调区间即可；（Ⅱ）根据函数的单调性求出f（x）在闭区间的最小值即可．16、【答案】解：（Ⅰ）由题意a1=1，a2+a1= ，a3+a2= ﹣1，a4+a3=2﹣解得：a2= ﹣1，a3= ﹣，a4=2﹣（Ⅱ）猜想：对任意的n∈N*，a n= ﹣，当n=1时，由a1=1= ﹣，猜想成立．假设当n=k （k∈N*）时，猜想成立，即a k= ﹣则由a k+1+a k= ﹣，得a k+1= ﹣，即当n=k+1时，猜想成立，由①、②可知，对任意的n∈N*，猜想成立，即数列{a n}的通项公式为a n= ﹣【考点】数列递推式，数学归纳法，数学归纳法【解析】【分析】（Ⅰ）由数列{a n}的递推公式依次求出a2，a3，a4；（Ⅱ）根据a2，a3，a4值的结构特点猜想{a n}的通项公式，再用数学归纳法①验证n=1成立，②假设n=k 时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立【题型解答题17、【答案】（Ⅰ）证明：函数f（x）的定义域是（0，+∞）．当a=1时，f（x）=x﹣2lnx﹣，函数f′（x）= ≥0，所以函数f（x）在定义域（0，+∞）上单调递增，所以当a=1时，函数y=f（x）没有极值点；（Ⅱ）f′（x）=1﹣+ = ，x∈（0，+∞）令f′（x）=0，得x1=1，x2=a，①a≤0时，由f′（x）＞0可得x＞1，所以函数f（x）的增区间是（1，+∞）；②当0＜a＜1时，由f′（x）＞0，可得0＜x＜a，或x＞1，所以函数f（x）的增区间是（0，a），（1，+∞）；③当a＞1时，由f′（x）＞0可得0＜x＜1，或x＞a，所以函数f（x）的增区间是（0，1），（a，+∞）；④当a=1时，由（Ⅰ）可知函数f（x）在定义域（0，+∞）上单调递增．综上所述，当a≤0时，函数y=f（x）的增区间是（1，+∞）；当0＜a＜1时，所以函数f（x）的增区间是（0，a），（1，+∞）；当a=1时，函数f（x）在定义域（0，+∞）上单调递增；当a＞1时，所以函数f（x）的增区间是（0，1），（a，+∞）【考点】利用导数研究函数的单调性，利用导数研究函数的极值【解析】【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，根据导函数的符号，求出函数的单调区间，证明结论即可；（Ⅱ）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可．18、【答案】证明：（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（0，+∞），若t=1，则f（x）=e x﹣1﹣lnx，因为f′（1）=0，且0＜x＜1时，，即f′（x）＜0，所以f（x）在（0，1）上单调递减；x＞1时，，即f′（x）＞0，所以f（x）在（1，+∞）上单调递增；…（5分）所以x=1是函数f（x）的极小值点；（Ⅱ）函数f（x）的定义域为（0，+∞），t＞0. ；令，则，故g（x）单调递增．又g（1）=0，当x＞1时，g（x）＞0，因而f′（x）＞0，f（x）单增，即f（x）的单调递增区间为（1，+∞）；当0＜x＜1时，g（x）＜0，因而f′（x）＜0，f（x）单减，即f（x）的单调递减区间为（0，1）所以x∈（0，+∞）时，f（x）≥f（1）=1≥0成立【考点】利用导数研究函数的单调性，利用导数研究函数的极值【解析】【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，求出函数的极值，判断即可；（Ⅱ）求出函数的导数，令，根据函数的单调性证明即可．。

北京101中学2017-2018学年下学期高二年级期中考试数学试卷(理科)(解析卷)

北京101中学2017-2018学年下学期高二年级期中考试数学试卷（理科）一、选择题共8小题.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1. 下列导数公式正确的是（） A. （x n ）'=nx n B. （1x）'=21xC. （sinx ） '=-cosxD. （e x ） '=e x【答案】D 【解析】分析：熟练记忆求导公式．详解：根据求导公式，A 选项()1'nn x nx-= ，所以A 错误．B 选项（1x ）'=21x- C 选项（sinx ） '= cosx D 选项（e x ） '=e x 所以选D点睛：本题考查了几种常见的求导公式，要熟练掌握，属于简单题． 2. 下表是离散型随机变量X 的分布列，则常数a 的值为（）A.14B.13C.12D.16【答案】A 【解析】分析：离散型随机变量各概率和为1，即可求出a 的值．详解：根据离散型随机变量概率分布的特征，1111634a +++= 所以求得14a = 所以选A点睛：本题考查了离散型随机变量的分布列及其特征，主要是各概率和为1的应用，属于简单题． 3. 抛掷一枚质地均匀的骰子两次，记A={两次的点数均为偶数}，B={两次的点数之和为8}，则P （B|A ）=（） A .118B.112C.13D.29【答案】C 【解析】分析：根据条件概率的计算公式，()P B A =()()P AB P A ，可先分别求出()P AB 与()P A ．详解：111()224P A =⨯= 111()36612P AB =⨯⨯=根据条件概率的运算()P B A = ()()P AB P A 1112134== 所以选C点睛：本题考查了条件概率的应用，关键是掌握好条件概率的计算公式，属于简单题．4. 若11()ax x-⎰dx=1-12ln3，且a>1，则a 的值为（） A. -3 B. 1n3D. 3【答案】C 【解析】分析：由微积分基本定理，可求出21()ln 2F x x x =-，列出方程组即可求得a 的值．详解：根据微积分基本定理21111ln 2aax dx x x x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭⎰ 2111ln 1ln 3222a a ⎛⎫=--=-⎪⎝⎭所以211122a a ⎧-=⎪⎨⎪=⎩，所以a = 所以选C点睛：本题考查了微积分基本定理的应用，主要是求出原函数，根据积分的上限下限求其值．除了微积分基本定理，还可以用面积法求积分值．5. 用数学归纳法证明“l+2+3+…+n 3=632n n +，n ∈N*”，则当n=k+1时，应当在n=k 时对应的等式左边加上（） A. k 3+1 B. （k 3+1）+（k 3+2）+…+（k+1）3C. （k+1）3D. 63(1)(1)2k k +++【答案】B 【解析】分析：当项数从n k =到1n k =+时，等式左边变化的项可利用两个式子相减得到．详解：当n k = 时，等式左边3123....k =+++当1n k =+时，等式左边33333123....(1)(2)(3)...(1)k k k k k =+++++++++ 所以增加的项为3333(1)(2)(3)...(1)k k k k +++++ 所以选B点睛：本题考查了数学归纳法的应用，当项数变化时分析出增加的项，属于简单题． 6. 函数y=e x （x 2-3）的大致图象是（）A. B.C. D.【答案】C 【解析】分析：根据特殊值，可排除错误选项．详解：根据函数y=e x （x 2-3），当x →+∞ 时，函数值y →+∞ 当x →-∞ 时，函数值0y →，且0y >所以可排除A 、B 、D ．所以选C点睛：本题考查了根据函数解析式选择正确的函数图像，利用特殊值法可快速排除错误选项．关键是特殊值的选择，要具有特征性，属于简单题．7. ①已知332p q +=，求证2p q +≤，用反证法证明时，可假设2p q +>；②设a 为实数，2()f x x ax a =++，求证(1)f 与(2)f 中至少有一个不小于12，由反证法证明时可假设1(1)2f ≥，且1(2)2f ≥，以下说法正确的是（） A. ①与②的假设都错误 B. ①与②的假设都正确 C. ①的假设正确，②的假设错误 D. ①的假设错误，②的假设正确【答案】C 【解析】【分析】反证法应用时，要对结论进行否定；或命题的否定为且命题，分别判断即可.【详解】解：①已知：p 3+q 3=2，求证：p+q≤2．用反证法证明时，假设应为p+q >2，所以①正确； ②设a 为实数，f （x ）=x 2+ax+a ，求证：|f （1）|与|f （2）|中至少有一个不大于12．用反证法证明时假设应为|f （1）|>12且|f （2）|>12，所以②错误．故选C.【点睛】本题考查了反证法的应用，掌握反证法就是对结论否定，注意否定的形式即可，属于基础题. 8. 若函数y=f （x ）对任意x ∈（-2π，2π）满足f'（x ）cosx-f （x ）sinx>0，则下列不等式成立的是（） f （-4π）<f （-3π）f （-4π）>f （-3π）C. f （-4π）f （-3π）D. f （-4π）f （-3π）【答案】B 【解析】分析：根据所给式子'()cos ()sin 0f x x f x x ->，构造函数()cos ()g x x f x =⋅，利用函数的单调性即可得到正确答案．详解：因'()cos ()sin 0f x x f x x ->，所以[]cos ()'0x f x ⋅>令()cos ()g x x f x =⋅ ，所以()g x 为单调递增函数因为2342ππππ-<-<-<所以()()34g g ππ-<-，即cos ()cos ()3344f f ππππ⎛⎫⎛⎫-⋅-<-⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭化简得()()34f ππ-<-所以选B点睛：点睛：本题考查了函数与导函数的综合应用，主要是根据所给式子的特征构造函数，利用函数的单调性解不等式，属于中档题．二、填空题共6小题.9. 已知函数f （x ）=sinx,则0()()22limx f x f xππ∆→+∆-∆__________. 【答案】0．【解析】分析：根据导数的定义，求得0()()22lim'()2x f x f f x πππ∆→+∆-=∆，求出'()cos f x x =，代入求解．详解：0()()22lim'()2x f x f f x πππ∆→+∆-=∆ 因为()sin f x x =，所以'()cos f x x = 所以'()cos022f ππ==点睛：本题考查了导数的定义和简单的求导公式，属于简单题． 10. 某人射击一次击中目标的概率为23，经过3次射击，此人恰有两次击中目标的概率为_________．【答案】49．【解析】分析：根据独立重复试验概率进行简单的计算．详解：3次射击恰好有两次击中目标，根据独立重复试验概率的计算223213943C ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 点睛：本题考查了独立重复试验的概念和计算，属于简单题．11. 某地市高三理科学生有15000名，在一次调研测试中，数学成绩ξ服从正态分布N （100，σ2），已知P （80<ξ<120）=0.70，若按成绩分层抽样的方式取100份试卷进行分析．则应从120分以上的试卷中抽取________份．【答案】15．【解析】分析：根据正态分布概率计算，可求出120分以上的概率；根据分层抽样，可求出120分以上抽取样本的数量．详解：根据正态分布()2100,N σ ,100μ= ，()801200.7P ξ<<=所以()10.71200.152P ξ-<== 根据分层抽样中概率值，可得120分以上抽取份数为1200.1515⨯=点睛：本题考查了利用正态分布的概率特征，计算特定范围内的概率，结合分层抽样求出抽取样本的数数量，属于简单题．12. 如图，在边长为e （e 为自然对数的底数）的正方形中，阴影部分的面积为__________．【答案】e 2-2．【解析】分析：根据微积分基本定理，可以求出曲边形ACB 的面积，而函数xy e = 与ln y x =关于y x = 对称，所以两空白部分的面积相等；用正方形的面积减去空白面积即为阴影部分面积．详解：正方形的面积为2e ； A （1，e ），B （0,1）所以曲边形ACB 的面积为110xx e e dx ex e-=-⎰0(1)1=--=因为xy e = 与ln y x =互为反函数，图像关于y x = 对称所以曲边形DEF 的面积等于曲边形ACB 的面积，都为1．所以阴影部分的面积为22e -点睛：本题考查了微积分基本定理的基本应用，互为反函数图像间的关系，属于简单题．13. 古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数，如三角形数1，3，6，10，…，第n 个三角形数为2(1)11222n n n n +=+，记第n 个k 边形数为N （n,k ）（k≥3），以下列出了部分k 边形数中第n 个数的表达式：三角形数N （n ，3）=12n 2+12n ，正方形数N （n ，4）=n 2，五边形数N （n ，5）=32n 2-12n ，六边形数N （n ，6）=2n 2-n ， …可以推测N （n ，k ）的表达式，由此计算N （10，20）=________．【答案】820．【解析】分析：根据三角形、正方形、五边形及六边形的值，可以归纳出n 变形的表达式，代入公式即可求解．详解：根据给出的表达式，可以归纳出N （n ，k ）的表达式为()()2112422k n k n -⋅+-⋅ 所以当10,20n k == 时，代入求值为()()211202104201082022-⋅⨯+-⋅⨯= 点睛：本题考查了归纳推理的综合应用，通过归纳出的表达式，求出具体某一项的值，属于简单题．14. 函数f （x ），g （x ）的定义域都是D ，直线x=x 0（x 0∈D ），与y=f （x ），y=g （x ）的图象分别交于A ，B 两点，若|AB|的值是不等于0的常数，则称曲线y=f （x ），y=g （x ）为“平行曲线”，设f （x ）=e x -alnx+c （a>0，c≠0），且y=f （x ），y=g （x ）为区间（0，+∞）的“平行曲线”，g （1）=e ，g （x ）在区间（2，3）上的零点唯一，则a 的取值范围是_________.【答案】（2ln 2e ，3ln 3e ）．【解析】分析：根据平行曲线的定义，求出()g x 表达式；通过分离参数，分析出()ln xe h x x=在（2,3）上的单调性，即可求出a 的取值范围．详解：因为()f x 与()g x 是在（0，+∞）上的平行曲线，且|AB|≠0，所以可将()f x 的图像上下平移得到()g x 的图像．因为()ln xf x e a x c =-+ ，设()()ln xg x f x m e a x c m =+=-++，因为(1)g e = ，代入可得0c m += 所以()ln xg x e a x =-令()0g x =，分离参数a ，得ln xea x=．令()ln x e h x x =因为()g x 在（2,3）上存在唯一零点，即y a = 与()ln xeh x x=在（2,3）有且仅有一个交点．21(ln )'()(ln )x e x x h x x -=因为在(2,3)x ∈ 时，'()0h x > 所以()h x (2,3)上单调递增．若满足即y a = 与()ln x eh x x=在（2,3）有且仅有一个交点所以(2)(3)h a h << ，代入23ln 2ln 3e e a <<即a 的取值范围为23(,)ln 2ln 3e e点睛：本题考查了新定义，导函数的综合应用，分离参数法在综合型题目中的应用，应用函数的单调性求其值域等知识点，综合性强，属于难题．三、解答题共4小题.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.15. 已知函数()()()2122f x x x =--．（1）求()f x 的单调区间和极值；（2）若直线4y x b =+是函数()y f x =图象的一条切线，求b 的值．【答案】（1）极小值为298327f ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，极大值为()11f =；（2）2b =-或5327b =- 【解析】【分析】(1)直接利用导数求函数f(x)的单调区间和极值.(2) 设切点为()(),x f x ，再根据()20006244f x x x '=-++=求得00103x x ==或，再求b 的值.【详解】(1)因为()f x ' 2624x x =-++ 令()f x '=0，得26240x x -++=，解得x =2-或x =1．所以()f x 的单调递增区间为2,13⎛⎫- ⎪⎝⎭，单调递减区间为2,3⎛⎫-∞-⎪⎝⎭，()1,+∞ 极小值为298327f ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，极大值为()11f =．（2）因为()f x ' 2624x x =-++，直线4y x b =+是()f x 的切线，设切点为()()00,x f x ，则()20006244f x x x '=-++=，解得00103x x ==或，当00x =时，()02f x =-，代入直线方程得2b =-，当013x =时，()01727f x =-，代入直线方程得5327b =-．所以2b =-或5327b =- . 【点睛】(1)本题主要考查利用导数求函数的单调区间和极值，考查利用导数求曲线的切线方程，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)与曲线的切线方程有关的问题，如果不知道切点，一般设切点坐标，再解答.16. 随着网络营销和电子商务的兴起，人们的购物方式更具多样化．某调查机构随机抽取8名购物者进行采访，4名男性购物者中有3名倾向于网购，1名倾向于选择实体店，4名女性购物者中有2名倾向于选择网购，2名倾向于选择实体店．（1）若从8名购物者中随机抽取2名，其中男女各一名，求至少1名倾向于选择实体店的概率：（2）若从这8名购物者中随机抽取3名，设X 表示抽到倾向于选择网购的男性购物者的人数，求X 的分布列和数学期望．【答案】（1）58（2）见解析【解析】分析：（1）根据独立事件，可以求出没有人倾向于选择实体店的概率；利用对立事件的概率，可以求出解．（2）根据离散型随机变量的概率分布，列出分布列，即可求出数学期望．详解：（1）设“随机抽取2名，其中男、女各一名，至少1名倾向于选择实体店”为事件A ，则A 表示“随机抽取2名，其中男、女各一名，都倾向于选择网购”，则P （A ）=1-P （A ）=1-11321144C C C C =58．（2）X 的所有可能取值为0，1，2，3，且P （X=k ）=33538k kC C C -，则P （X=0）=033538528C C C =，P （X=1）= 1235381528C C C =， P （X=2）=2135381556C C C =，P （X=3）=303538156C C C =. 所以X 的分布列为所以E （X ）=0×28+l×28+2×56+3×56=8．点睛：本题考查了排列组合数的运算，对立事件的概率，离散型随机变量的概率分布和数学期望，属于简单题．17. 已知点P n (a n ，b n )满足a n ＋1＝a n ·b n ＋1，b n ＋1＝214n n b a -(n∈N *)，且点P 1的坐标为(1，－1)． (1)求过点P 1，P 2的直线l 的方程；(2)试用数学归纳法证明：对于n ∈N *，点P n 都在(1)中的直线l 上【答案】（1）2x ＋y ＝1（2）证明见解析【解析】【分析】（1）求出P 2的坐标，列出直线的两点式方程，化简即可；（2）由（1）知，n=1时，2a 1＋b 1=1成立，假设n=k 时，2a k ＋b k =1成立，进而证得当n=k+1时，2a k+1＋b k+1＝1也成立，故n ∈N *，P n 都在直线l 上.【详解】(1)由题意得a 1＝1，b 1＝－1，故b 2＝111413-=-⨯，a 2＝1×13＝13，∴P 211,33⎛⎫ ⎪⎝⎭. ∴直线l 的方程为11111133y x +-=+-，即2x ＋y ＝1. (2)证明:①当n ＝1时，由（1）知，2a 1＋b 1＝2×1＋(－1)＝1成立，②假设n ＝k(k≥1且k∈N *)时，2a k ＋b k ＝1成立．当n ＝k ＋1时，则()()111112122221211141212k k k k k k k k k k k k k kb b a a b a b b a b a a a a +++++-+=⋅+=+⋅=+⋅===--- ∴当n ＝k ＋1时，2a k+1＋b k+1＝1也成立．由①②知，对于n∈N *，都有2a n ＋b n ＝1，即点P n 在直线l 上．【点睛】本题考查了直线的两点式方程；考查了数学归纳法的证明，一般步骤为： ①证明n 取第一个值n 0时命题成立；②假设n=k (k≥n 0且k∈N *)时命题成立，证明n ＝k ＋1时命题也成立，即可确认命题从n 0开始的所有正整数都成立；注意，在证明n=k 到n=k+1成立时，一定要用到n=k 时得到的中间过渡式. 18. 已知函数f （x ）=-a 2 lnx+x 2-ax （a ∈R ）．（1）试讨论函数f （x ）的单调性：（2）若函数f （x ）在区间（1，e ）中有两个零点，求a 的取值范围．【答案】（1）见解析（2）a ∈（-12+e ，-234e ）．【解析】分析：（1）根据函数定义域，求f'（x ）=()()2x a x a x+-，根据a 的取值情况分类讨论导数的符号，研究其单调性．（2）根据（1）中单调区间，判断有两个零点的条件，列出不等式组求出a 的范围即可．详解：（1）f （x ）的定义域为（0，+∞）．由f （x ）=-a 2lnx+x 2-ax （a ∈R ）可知f'（x ）=()()222222x a x a a x ax a x a x x x+----+-==，所以若a>0，则当x ∈（0，a ）时，f'（x ）<0，函数f （x ）单调递减，当x ∈（a ，+∞）时，f'（x ）>0，则函数f （x ）单调递增；若a=0，则当f'（x ）=2x>0在（0，+∞）内恒成立，函数f （x ）单调递增；若a<0，则当x ∈（0，-2a ）时，f'（x ）<0，函数f （x ）单调递减，当x ∈（-2a ，+∞）时，f'（x ）>0，则函数f （x ）单调递增．（2）若a>0，f （x ）在（0，a ）单调递减，在（a ，+∞）单调递增．若a<0，f （x ）在（0，-2a ）单调递减，在（-2a ，+∞）单调递增．由题意，若f （x ）在区间（1，e ）中有两个零点，则有()()()1,0,10,0a e f a f f e <<⎧⎪<⎪⎨>⎪⎪>⎩或()()1,20,210,0,a e a f f f e ⎧<-<⎪⎪⎛⎫⎪-< ⎪⎨⎝⎭⎪>⎪⎪>⎩ 得a 无解或a ∈（e ，-234e ）. 综上，a ∈（-12+e ，-234e ）．点睛：本题综合考查了函数与导函数的应用，对含参问题进行讨论分析其单调性；利用零点存在定理，判定零点存在的条件．在高考中，导数的综合应用也是压轴大题，属于难点．。

2017-2018学年北京市海淀区高一(下)期中数学试卷-含详细解析.

2017-2018学年北京市海淀区高一（下）期中数学试卷副标题题号一二三总分得分一、选择题（本大题共8小题，共32.0分）1.sin18°cos12°+cos18°sin12°=（）A. −√32B. −12C. √32D. 122.在△ABC中，已知a=3，b=4，sinB=23，则sin A=（）A. 34B. 16C. 12D. 13.函数f（x）=sin x cosx的最大值为（）A. 1B. 12C. √2 D. 324.某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为正方形，那么该几何体的体积为（）A. 3B. 6C. 6√2D. 125.如图，飞机飞行的航线AB和地面目标C在同一铅直平面内，在A处测得目标C的俯角为30°，飞行10千米到达B处，测得目标C的俯角为75°，这时B处与地面目标C的距离为（）A. 5千米B. 5√2千米C. 4千米D. 4√2千米6.如图1，直线EF将矩形纸ABCD分为两个直角梯形ABFE和CDEF，将梯形CDEF沿边EF翻折，如图2，在翻折的过程中（平面ABFE和平面CDEF不重合）下面说法正确的是（）A. 存在某一位置，使得CD//平面ABFEB. 存在某一位置，使得DE⊥平面ABFEC. 在翻折的过程中，BF//平面ADE恒成立D. 在翻折的过程中，BF⊥平面CDEF恒成立7.在△ABC中，A＜B＜C，则下列结论中不正确的是（）A. sinA<sinCB. cosA>cosCC. tanA<tanBD. cosB<cosC8.在△ABC中，若AC=2，∠B=60°，∠A=45°，点D为AB边上的动点，则下列结论中不正确的是（）A. 存在点D使得△BCD为等边三角形B. 存在点D使得cos∠CDA=13C. 存在点D使得BD：DC=√2：√3D. 存在点D使得CD=1二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）9.计算：cos215°-sin215°=______．10.已知tanα2=3，则tanα的值为______．11.已知正四棱柱底面边长为1，高为2，则其外接球的表面积为______．12.在△ABC中，已知A=60°，a=√7，b=3，则c=______．13.若α，β均为锐角，且满足cosα=45，cos(α+β)=35，则sinβ的值是______．14.如图，棱长为√6的正方体ABCD-A1B1C1D1绕其体对角线BD1逆时针旋转θ（θ＞0），若旋转后三棱锥D1-DC1A1与其自身重合，则θ的最小值是______；三棱锥D1-DC1A1在此旋转过程中所成几何体的体积为______．三、解答题（本大题共4小题，共44.0分）15.已知函数f（x）=2sin x（cos x-sin x）+1．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求f（x）在区间[−π8，3π8]上的最大值．16.如图，在△ABC中，点D在边AB上，BD=2AD，∠ACD=45°，∠BCD=90°．（Ⅰ）求证：BC=√2AC；（Ⅱ）若AB=√5，求BC的长．17.如图，四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是平行四边形，AC⊥CB，侧面B1BCC1⊥底面ABCD，E，F分别是AB，C1D的中点．（Ⅰ）求证：EF∥平面B1BCC1；（Ⅱ）求证：EF⊥AC；（Ⅲ）在线段EF上是否存在点G，使得AC⊥平面C1D1G？并说明理由．18.正四棱锥S-ABCD的展开图如图所示，侧棱SA长为1，记∠ASB=α，其表面积记为f（α），体积记为g（α）．（Ⅰ）求f（α）的解析式，并直接写出α的取值范围；（Ⅱ）求g(α)f(α)，并将其化简为√acos2α+bcosα+c1+sinα的形式，其中a ，b ，c 为常数；（Ⅲ）试判断g(α)f(α)是否存在最大值，最小值？（写出结论即可）答案和解析1.【答案】D【解析】【分析】本题考查了两角和与差的三角函数公式，属于基础题．利用两角和的正弦函数公式计算得结论．【解答】解：sin18°cos12°+cos18°sin12°=sin（18°+12°）=sin30°=.故选D．2.【答案】C【解析】解：△ABC中，a=3，b=4，，由正弦定理得，=，则sinA==．故选：C．利用正弦定理，即可求得sinA的值．本题考查了正弦定理的应用问题，是基础题．3.【答案】B【解析】解：由于函数y=sinxcosx=sin2x，而sin2x的最大值等于1，故函数y的最大值等于，故选：B．由二倍角公式可得函数y=sinxcosx=sin2x≤．本题考查二倍角公式，正弦函数的值域，是一道基础题．4.【答案】B【解析】解：由三视图可知，该几何体是一个底面为正方形的直四棱柱，正四棱柱的底面正方形的对角线长为2，高是3；所以，底面正方形的边长为：，该长方体的体积为：=6．故选：B．由几何体的三视图得出原几何体一个底面为正方形的正四棱柱，结合图中数据求出它的体积．本题考查了由几何体的三视图求表面积的应用问题，也考查了空间想象能力和逻辑思维能力，是基础题．5.【答案】B【解析】解：由题意知，在△ABC中，AB=10，∠BAC=30°，∠ACB=75°-30°=45°，由正弦定理得=，解得BC==5．∴B处与地面目标C的距离为5千米．故选：B．由题意，利用正弦定理即可求得BC的值．本题考查了利用正弦定理解答实际应用问题，是基础题．6.【答案】C【解析】解：在A中，∵四边形DEFC是梯形，DE∥CF，∴CD与EF相交，∴CD与平面ABFE相交，故A错误；在B中，∵四边形DEFC是梯形，DE⊥CD，∴DE与EF不垂直，∴不存在某一位置，使得DE⊥平面ABFE，故B错误；在C中，∵四边形AEFB梯形，BF∥AE，BF⊄平面ADE，AE⊂平面ADE，∴在翻折的过程中，BF∥平面ADE恒成立，故C正确；在D中，∵四边形ABFE是梯形，AB⊥BF，∴BF与FE不垂直，在翻折的过程中，BF⊥平面CDEF不成立，故D错误．故选：C．在A中，CD与EF相交，从而CD与平面ABFE相交；在B中，DE与EF不垂直，从而不存在某一位置，使得DE⊥平面ABFE；在C中，BF∥AE，从而在翻折的过程中，BF∥平面ADE恒成立；在D中，BF与FE不垂直，在翻折的过程中，BF⊥平面CDEF不成立．本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．7.【答案】D【解析】解：∵△ABC中，A＜B＜C，利用大角对大边，可得a＜c．不妨C为钝角，则B是锐角，cosB＞0，cosC＜0，所以cosB＜cosC不成立．故选：D．利用三角形中大角对大边可得a＜c，再利用特殊值判断可得结论．本题主要考查三角形中大角对大边，特殊值判断法的应用，属于基础题．8.【答案】D【解析】解：若△BCD为边长为x的等边三角形，可得=解得x=＜2，满足AC＞CD，则A成立；cos∠CDA=＜=cos60°，且0°＜∠CDA＜180°，可得∠CDA＞B，AB上存在点D，则B成立；，可得==，可得sin∠BCD=，即有∠BCD=45°＜∠BCA=75°，则C成立；若CD=1，在△ACD中可得=，可得sin∠ADC==＞1，∠ADC不存在，则D不成立．故选：D．运用三角形的正弦定理和三角形的内角和定理、边角关系，结合正弦函数的性质，对选项一一判断，即可得到结论．本题考查三角形的正弦定理和内角和定理的运用，考查运算能力和推理能力，属于中档题．9.【答案】√32【解析】解：由二倍角的余弦公式可得，cos215°-sin215°=cos30°=．故答案为：．由二倍角的余弦公式可得cos215°-sin215°=cos30°，从而得到结果．本题主要考查二倍角的余弦公式的应用，考查特殊角的三角函数值，属于基础题．10.【答案】−34【解析】解：∵已知，则tanα===-，故答案为：-．由题意利用二倍角的正切公式，求得tanα的值．本题主要考查二倍角的正切公式的应用，属于基础题．11.【答案】6π【解析】【分析】通过正四棱柱的对角线就是外接球的直径，求出直径即可求出球的表面积．本题是基础题，考查球的内接体的特征与球的关系，考查计算能力、空间想象能力．【解答】解：正四棱柱的底面边长为2，高为3，则该正四棱柱的外接球的直径，就是正四棱柱的对角线的长，所以球的直径为：=，所以球的表面积为：4π（）2=6π．故答案为6π．12.【答案】1或2【解析】【分析】利用余弦定理列方程求得c的值，再验证c的值是否满足题意即可．本题考查了余弦定理的应用问题，是基础题．【解答】解：△ABC中，A=60°，，b=3，则a2=b2+c2-2bccosA，∴7=9+c2-3c，解得c=1或c=2；经验证，c=1或c=2都满足题意，∴c的值为1或2．故答案为：1或2．13.【答案】725【解析】解：∵锐角α、β满足cosα=，cos（α+β）=，∴sinα==，∴α+β∈（0，π），sin（α+β）==，∴sinβ=sin[（α+β）-α]=sin（α+β）cosα-cos（α+β）sinα=×-=．故答案为：．由已知及角的范围，利用同角三角函数基本关系式可求sinα，sin（α+β）的值，利用两角差的正弦函数公式即可化简求值．本题主要考查了同角三角函数基本关系式，两角差的正弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，属于基础题．14.【答案】2π3；4√2π3【解析】解：如图，连接AC，AB1，B1C，A1D，DC1，A1C1，可得正方体体对角线BD1⊥平面AB1C，BD1⊥平面A1DC1，若是旋转后三棱锥D1-DC1A1与其自身重合，则等边三角形A1DC1旋转后与自身重合，即A1旋转到D，此时θ的最小值是；由正方体棱长为，可得，则D1到平面A1DC1的高为，等边三角形A1DC1的边长为2，则外接圆的半径为2，∴三棱锥D1-DC1A1在此旋转过程中所成几何体为圆锥，其体积为．故答案为：；．连接AC，AB1，B1C，A1D，DC1，A1C1，可得正方体体对角线BD1⊥平面AB1C，BD1⊥平面A1DC1，旋转后三棱锥D1-DC1A1与其自身重合，即等边三角形A1DC1旋转后与自身重合，也就是A1旋转到D，此时θ的最小值是；由正方体棱长求出体对角线长，再求出三角形A1DC1的外接圆的半径，由圆锥体积公式求解．本题考查空间几何体的结构特征，考查空间想象能力与思维能力，是中档题．15.【答案】解：（Ⅰ）f（x）=2sin x（cos x-sin x）+1=2sin x cosx-2sin2x+1=sin2x+cos2x=√2sin（2x+π4）的最小正周期为2π2=π；（Ⅱ）在区间[−π8，3π8]上，2x+π4∈[0，π]，故当2x+π4=π2时，f（x）取得最大值为√2．【解析】（Ⅰ）利用三角恒等变换化简f（x）的解析式，可得该函数的最小正周期；（Ⅱ）利用正弦函数的定义域和值域，求得f（x）在区间上的最大值．本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的最小正周期、定义域和值域，属于基础题．16.【答案】解：（Ⅰ）在△ACD中，∠ACD=45°，由正弦定理可得：ACsin∠ADC =ADsin∠ACD，可得：AC=AD⋅sin∠ADCsin∠ACD =AD⋅sin∠ADC√22=√2AD•sin∠ADC，在△BCD中，∠BCD=90°．则BC=BD•sin∠BDC，由于：∠BDC+∠ADC=π，BD=2AD，所以：BC=BD•sin∠BDC=2AD•sin∠ADC=√2AC，即：BC=√2AC．（Ⅱ）在△ABC中，∠ACB=∠ACD+∠BCD=135°，BC=√2AC，由余弦定理AB2=AC2+BC2-2AC•BC cos∠ACB，…9分即：5=AC2+（√2AC）2-2AC⋅√2AC×（-√22）=5AC2，因为AC＞0，所以：AC=1，BC=√2【解析】（Ⅰ）由已知及正弦定理可得AC=AD•sin∠ADC，在△BCD中，由∠BCD=90°．可得BC=BD•sin∠BDC，由∠BDC+∠ADC=π，BD=2AD，即可代入证明．（Ⅱ）在△ABC中，∠ACB=∠ACD+∠BCD=135°，BC=AC，由余弦定理即可解得BC的值．本题主要考查了正弦定理，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了转化思想和数形结合思想，属于中档题．17.【答案】证明：（Ⅰ）解法一：取BC中点M，连结FM、BM，CD，在△CC1D中，∵F，M分别为C1D、C1C中点，∴FM∥CD，FM=12在平行四边形ABCD中，∴CD∥AB，E为AB中点，CD，∴FM∥EB，FM=12在平行四边形ABCD中，∵CD∥AB，E为AB中点，∴FM∥EB，FM=EB，∴四边形FMBE是平行四边形，∴EF∥BM，∵BM⊂平面B1BCC1，EF⊄平面B1BCC1，∴EF∥平面B1BCC1．解法二：取CD中点M，连结FM、EM，在△CC1D中，∵F，M分别是C1D，CD中点，∴EM∥CB，又∵EM∩FM=M，EM，FE⊂平面EFM，CC1，CB⊂平面B1BCC1，∴平面EFM∥平面B1BCC1，又∵EF⊂平面EFM，∴EF∥平面B1BCC1．（Ⅱ）∵平面B1BCC1⊥平面ABCD，面B1BCC1∩平面ABCD=BC，AC⊥BC，AC⊂平面ABCD，∴AC⊥平面B1BCC1，∵BM⊂平面B1BCC1，∴AC⊥BM，又∵EF∥BM，∴EF⊥AC．解：（Ⅲ）在线段EF上不存在点P，使得AC⊥平面C1D1G．假设存在点P，使得AC⊥平面C1D1G，∵C1D1⊂平面C1D1G，∴AC⊥C1D1，与已知AC与C1D1不垂直矛盾，∴在线段EF上不存在点G，使得AC⊥平面C1D1G．【解析】（Ⅰ）法一：取BC中点M，连结FM、BM推导出四边形FMBE是平行四边形，从而EF∥BM，由此能证明EF∥平面B1BCC1．法二：取CD中点M，连结FM、EM，推导出EM∥CB，从而平面EFM∥平面B1BCC1，由此能证明EF∥平面B1BCC1．（Ⅱ）推导出AC⊥平面B1BCC1，从而AC⊥BM，由此能证明EF⊥AC．（Ⅲ）假设存在点P，使得AC⊥平面C1D1G，假设AC⊥C1D1，推导出AC⊥C1D1，与已知矛盾，从而在线段EF上不存在点G，使得AC⊥平面C1D1G．本题考查线面平行、线线垂直的证明，考查点到平面的距离的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．18.【答案】解：（I ）因为正四棱锥S -ABCD 中，SA =SB =1，∠ASB =α，所以f （α）=4S △SAB +S 底ABCD =4×12SA •SB sin ∠ASB +AB 2 =2sinα+SA 2+SB 2-2SA •SB -cos ∠ASB =2sinα+2-2cosα，其中α∈（0，π2），（Ⅱ）设正方形ABCD 的中心为O ，则OA 2=12AB 2=12（2-2cosα）=1-cosα，则在Rt △SOA 中，SO 2=SA 2-OA 2=cosα，则g （α）=13S 正方形ABCD •SO =13（2-2cosα）⋅√cosα，则g(α)f(α)=13•2sin 2α2√cosα2sin α2cos α2+2sin 2α2=13⋅sin α2√cosαcos α2+sin α2，则（g(α)f(α)）2=19⋅sin 2α2cosα1+2sin α2cos α2=19•1−cosα2⋅cosα1+sinα=−118cos 2α+118cosα1+sinα，则g(α)f(α)=√−118cos 2α+118cosα1+sinα，（0＜α＜π2）（Ⅲ）g(α)f(α)有最大值，无最小值．【解析】（Ⅰ）根据四棱锥的表面积公式进行求解即可；（Ⅱ）求出的表达式，利用三角函数的关系式进行化简即可；（Ⅲ）根据的表达式，直接进行判断最值即可．本题主要考查三角函数的解析式的求解，以及三角函数的化简，利用三角函数的关系式进行转化是解决本题的关键．。

2017海淀区高二(下)期中(数学)理含答案

2017海淀区高二（下）期中数学（理科）一．选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分．1．（4分）复数1﹣i的虚部为（）A．i B．1 C．D．﹣2．（4分）xdx=（）A．0 B．C．1 D．﹣3．（4分）若复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，且z1=1+i，则z1•z2=（）A．﹣2 B．2 C．﹣2i D．2i4．（4分）若a，b，c均为正实数，则三个数a+，b+，c+这三个数中不小于2的数（）A．可以不存在 B．至少有1个C．至少有2个D．至多有2个5．（4分）定义在R上的函数f（x）和g（x），其各自导函数f′（x）f和g′（x）的图象如图所示，则函数F（x）=f（x）﹣g（x）极值点的情况是（）A．只有三个极大值点，无极小值点B．有两个极大值点，一个极小值点C．有一个极大值点，两个极小值点D．无极大值点，只有三个极小值点6．（4分）函数f（x）=lnx与函数g（x）=ax2﹣a的图象在点（1，0）的切线相同，则实数a的值为（）A．1 B．﹣ C．D．或﹣7．（4分）函数y=e x（2x﹣1）的大致图象是（）A．B．C．D．8．（4分）为弘扬中国传统文化，某校在高中三个年级中抽取甲、乙、丙三名同学进行问卷调查．调查结果显示这三名同学来自不同的年级，加入了不同的三个社团：“楹联社”、“书法社”、“汉服社”，还满足如下条件：（1）甲同学没有加入“楹联社”；（2）乙同学没有加入“汉服社”；（3）加入“楹联社”的那名同学不在高二年级；（4）加入“汉服社”的那名同学在高一年级；（5）乙同学不在高三年级．试问：丙同学所在的社团是（）A．楹联社 B．书法社C．汉服社D．条件不足无法判断二．填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．9．（4分）在复平面内，复数对应的点的坐标为．10．（4分）设函数f（x），g（x）在区间（0，5）内导数存在，且有以下数据：x 1 2 3 4f（x） 2 3 4 1f′（x） 3 4 2 1g（x） 3 1 4 2g′（x） 2 4 1 3则曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线方程是；函数f（g（x））在x=2处的导数值是．11．（4分）如图，f（x）=1+sinx，则阴影部分面积是．12．（4分）如图，函数f（x）的图象经过（0，0），（4，8），（8，0），（12，8）四个点，试用“＞，=，＜”填空：（1）；（2）f′（6）f′（10）．13．（4分）已知平面向量=（x1，y1），=（x2，y2），那么•=x1x2+y1y2；空间向量=（x1，y1，z1），=（x2，y2．z2），那么•=x1x2+y1y2+z1z2．由此推广到n维向量：=（a1，a2，…，a n），=（b1，b2，…，b n），那么•= ．14．（4分）函数f（x）=e x﹣alnx（其中a∈R，e为自然常数）①∃a∈R，使得直线y=ex为函数f（x）的一条切线；②对∀a＜0，函数f（x）的导函数f′（x）无零点；③对∀a＜0，函数f（x）总存在零点；则上述结论正确的是．（写出所有正确的结论的序号）三．解答题：本大题共4小题，共44分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．（10分）已知函数f（x）=x3﹣3x2﹣9x+2（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）求函数f（x）在区间[﹣2，2]上的最小值．16．（10分）已知数列{a n}满足a1=1，a n+1+a n=﹣，n∈N*．（Ⅰ）求a2，a3，a4；（Ⅱ）猜想数列{a n}的通项公式，并用数学归纳法证明．17．（12分）已知函数f（x）=x﹣（a+1）lnx﹣，其中a∈R．（Ⅰ）求证：当a=1时，函数y=f（x）没有极值点；（Ⅱ）求函数y=f（x）的单调增区间．18．（12分）设f（x）=e t（x﹣1）﹣tlnx，（t＞0）（Ⅰ）若t=1，证明x=1是函数f（x）的极小值点；（Ⅱ）求证：f（x）≥0．2017海淀区高二（下）期中数学（理科）参考答案一．选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分．1．【解答】复数1﹣i的虚部为﹣．故选：D．2．【解答】xdx=x2|=，故选：B3．【解答】∵复数z1、z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z1=1+i，∴z2=﹣1+i．∴z1•z2=﹣（1+i）（1﹣i）=﹣2．故选：A4．【解答】假设a+，b+，c+这三个数都小于2，∴a++b++c+＜6∵a++b++c+=（a+）+（b+）+（c+）≥2+2+2=6，这与假设矛盾，故至少有一个不小于2故选：B5．【解答】F′（x）=f′（x）﹣g′（x），由图象得f′（x）和g′（x）有3个交点，从左到右分分别令为a，b，c，故x∈（﹣∞，a）时，F′（x）＜0，F（x）递减，x∈（a，b）时，F′（x）＞0，F（x）递增，x∈（b，c）时，F′（x）＜0，F（x）递减，x∈（c，+∞）时，F′（x）＞0，F（x）递增，故函数F（x）有一个极大值点，两个极小值点，故选：C．6．【解答】由题意，f′（x）=，g′（x）=2ax，∵函数f（x）=lnx与函数g（x）=ax2﹣a的图象在点（1，0）的切线相同，∴1=2a，∴a=，故选C．7．【解答】y′=e x（2x﹣1）+2e x=e x（2x+1），令y′=0得x=﹣，∴当x＜﹣时，y′＜0，当x时，y′＞0，∴y=e x（2x﹣1）在（﹣∞，﹣）上单调递减，在（﹣，+∞）上单调递增，当x=0时，y=e0（0﹣1）=﹣1，∴函数图象与y轴交于点（0，﹣1）；令y=e x（2x﹣1）=0得x=，∴f（x）只有1个零点x=，当x时，y=e x（2x﹣1）＜0，当x时，y=e x（2x﹣1）＞0，综上，函数图象为A．故选A．8．【解答】假设乙在高一，则加入“汉服社”，与（2）矛盾，所以乙在高二，根据（3），可得乙加入“书法社”，根据（1）甲同学没有加入“楹联社”，可得丙同学所在的社团是楹联社，故选A．二．填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．9．【解答】复数==﹣1﹣i在复平面内对应的点的坐标（﹣1，﹣1）．故答案为：（﹣1，﹣1）．10．【解答】f′（1）=3，f（1）=2，∴曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线方程是y=3x﹣1，[f（g（x））]′=f′（g（x））g′（x），x=2时，f′（g（2））g′（2）=3×4=12，故答案为y=3x﹣1；1211．【解答】由图象可得S=（1+sinx）dx=（x﹣cosx）|=π﹣cosπ﹣（0﹣cos0）=2+π，故答案为：π+212．【解答】（1）由函数图象可知=，==2，∴．（2）∵f（x）在（4，8）上是减函数，在（8，12）上是增函数，∴f′（6）＜0，f′（10）＞0，∴f′（6）＜f′（10）．故答案为（1）＞，（2）＜．13．【解答】由题意可知•=a1b1+a2b2+a3b3+…+a n b n．故答案为：a1b1+a2b2+a3b3+…+a n b n．14．【解答】对于①，函数f（x）=e x﹣alnx的导数为f′（x）=e x﹣，设切点为（m，f（m）），则e=e m﹣，em=e m﹣alnm，可取m=1，a=0，则∃a∈R，使得直线y=ex为函数f（x）的一条切线，故①正确；对于②，∀a＜0，函数f（x）的导函数f′（x）=e x﹣，由x＞0，可得f′（x）＞0，则导函数无零点，故②正确；对于③，对∀a＜0，函数f（x）=e x﹣alnx，由f（x）=0，可得e x=alnx，分别画出y=e x和y=alnx，（a＜0）的图象，可得它们存在交点，故f（x）总存在零点，故③正确．故答案为：①②③．三．解答题：本大题共4小题，共44分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．【解答】（Ⅰ）f′（x）=3x2﹣6x﹣9=3（x+1）（x﹣3），令f′（x）=0，得x=﹣1或x=3，当x变化时，f′（x），f（x）在区间R上的变化状态如下：x （﹣∞﹣﹣1 （﹣1，3） 3 （3，+∞）1）f′（x）+ 0 ﹣0 +f（x）↗极大↘极小↗所以f（x）的单调递增区间是（﹣∞，﹣1），（3，+∞）；单调递减区间是（﹣1，3）；（Ⅱ）因为f（﹣2）=0，f（2）=﹣20，再结合f（x）的单调性可知，函数f（x）在区间[﹣2，2]上的最小值为﹣20．16．【解答】（Ⅰ）由题意a1=1，a2+a1=，a3+a2=﹣1，a4+a3=2﹣解得：a2=﹣1，a3=﹣，a4=2﹣（Ⅱ）猜想：对任意的n∈N*，a n =﹣，①当n=1时，由a1=1=﹣，猜想成立．②假设当n=k （k∈N*）时，猜想成立，即a k =﹣则由a k+1+a k =﹣，得a k+1=﹣，即当n=k+1时，猜想成立，由①、②可知，对任意的n∈N*，猜想成立，即数列{a n}的通项公式为a n =﹣．17．【解答】（Ⅰ）证明：函数f（x）的定义域是（0，+∞）．当a=1时，f（x）=x﹣2lnx ﹣，函数f′（x）=≥0，所以函数f（x）在定义域（0，+∞）上单调递增，所以当a=1时，函数y=f（x）没有极值点；（Ⅱ）f′（x）=1﹣+=，x∈（0，+∞）令f′（x）=0，得x1=1，x2=a，①a≤0时，由f′（x）＞0可得x＞1，所以函数f（x）的增区间是（1，+∞）；②当0＜a＜1时，由f′（x）＞0，可得0＜x＜a，或x＞1，所以函数f（x）的增区间是（0，a），（1，+∞）；③当a＞1时，由f′（x）＞0可得0＜x＜1，或x＞a，所以函数f（x）的增区间是（0，1），（a，+∞）；④当a=1时，由（Ⅰ）可知函数f（x）在定义域（0，+∞）上单调递增．综上所述，当a≤0时，函数y=f（x）的增区间是（1，+∞）；当0＜a＜1时，所以函数f（x）的增区间是（0，a），（1，+∞）；当a=1时，函数f（x）在定义域（0，+∞）上单调递增；当a＞1时，所以函数f（x）的增区间是（0，1），（a，+∞）．18．【解答】证明：（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（0，+∞），…（ 1分）若t=1，则f（x）=e x﹣1﹣lnx，．…（2分）因为f′（1）=0，…（3分）且0＜x＜1时，，即f′（x）＜0，所以f（x）在（0，1）上单调递减；…（4分）x＞1时，，即f′（x）＞0，所以f（x）在（1，+∞）上单调递增；…（5分）所以x=1是函数f（x）的极小值点；…（6分）（Ⅱ）函数f（x）的定义域为（0，+∞），t＞0.；…（7分）令，则，故g（x）单调递增．…（8分）又g（1）=0，…（9分）当x＞1时，g（x）＞0，因而f′（x）＞0，f（x）单增，即f（x）的单调递增区间为（1，+∞）；当0＜x＜1时，g（x）＜0，因而f′（x）＜0，f（x）单减，即f（x）的单调递减区间为（0，1）．…（11分）所以x∈（0，+∞）时，f（x）≥f（1）=1≥0成立．…（12分）。

2017-2018年北京市首师大附中高二(下)期中数学试卷(理科)和答案

2017-2018学年北京市首师大附中高二（下）期中数学试卷（理科）一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，共32分．在每小题所列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1．（4分）若（m2﹣m）+（m2﹣3m+2）i是纯虚数，则实数m的值为（）A．0B．1或2C．1D．0或12．（4分）下列以t为参数的参数方程所表示的曲线中，与xy=1所表示的曲线完全一致的是（）A．B．C．D．3．（4分）极坐标方程的图形是（）A．B．C．D．4．（4分）函数y=x+cosx的大致图象是（）A．B．C．D．5．（4分）已知函数y=xf′（x）的图象如图所示（其中f′（x）是函数f（x）的导函数），下面四个图象中，y=f（x）的图象大致是（）A．B．C．D．6．（4分）已知函数f（x）=alnx﹣bx2，a，b∈R．若不等式f（x）≥x对所有的b∈（﹣∞，0]，x∈（e，e2]都成立，则a的取值范围是（）A．[e，+∞）B．C．D．[e2，+∞）7．（4分）定义在R上的函数f（x）满足：f（x）+f′（x）＞1，f（0）=4，则不等式e x f（x）＞e x+3（其中e为自然对数的底数）的解集为（）A．（0，+∞）B．（﹣∞，0）∪（3，+∞）C．（﹣∞，0）∪（0，+∞）D．（3，+∞）8．（4分）定义在R上的函数f（x）和g（x）的导函数分别为f′（x），g′（x），则下面结论正确的是（）①若f′（x）＞g′（x），则函数f（x）的图象在函数g（x）的图象上方；②若函数f′（x）与g′（x）的图象关于直线x=a对称，则函数f（x）与g（x）的图象关于点（a，0）对称；③函数f（x）=f（a﹣x），则f′（x）=﹣f′（a﹣x）；④若f′（x）是增函数，则f（）≤．A．①②B．①②③C．③④D．②③④二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）9．（4分）=．10．（4分）=．11．（4分）|sinx|dx等于．12．（4分）已知直线l的参数方程为（t为参数），曲线C的参数方程为，（θ为参数）．设点Q是曲线C上的一个动点，则点Q到直线l 的距离是最小值为．13．（4分）若P（x，y）在椭圆上，则2x+y的最大值等于．14．（4分）定义在区间[a，b]上的连续函数y=f（x），如果∃ξ∈[a，b]，使得f （b）﹣f（a）=f′（ξ）（b﹣a），则称ξ为区间[a，b]上的“中值点”．下列函数：①f（x）=3x+2；②f（x）=x2﹣x+1；③f（x）=ln（x+1）；④f（x）=（x﹣）3，在区间[0，1]上“中值点”多于一个的函数序号为．（写出所有满足条件的函数的序号）三、解答题（本大题共3小题，共44分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15．（14分）已知函数f（x）=ax3+bx2﹣3x在x=±1处取得极值．（1）判断f（1）和f（﹣1）是函数f（x）的极大值还是极小值，并说明理由；（2）求函数y=f（x）在点A（﹣2，﹣2）处的切线方程．16．（14分）已知函数f（x）=x2e ax，其中a≤0，e为自然对数的底数．（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；（Ⅱ）求函数f（x）在区间[0，1]上的最大值．17．（16分）已知函数f（x）=alnx﹣x+2，其中a≠0．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）若对任意的x1∈[1，e]，总存在x2∈[1，e]，使得f（x1）+f（x2）=4，求实数a值．2017-2018学年北京市首师大附中高二（下）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，共32分．在每小题所列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1．（4分）若（m2﹣m）+（m2﹣3m+2）i是纯虚数，则实数m的值为（）A．0B．1或2C．1D．0或1【解答】解：∵（m2﹣m）+（m2﹣3m+2）i是纯虚数，∴，解得：m=0．故选：A．2．（4分）下列以t为参数的参数方程所表示的曲线中，与xy=1所表示的曲线完全一致的是（）A．B．C．D．【解答】解：在A中，t＞0，在xy=1时，x，y∈（﹣∞，0）∪（0，+∞），故A 错误；在B中，t≠0，在xy=1时，x，y∈（﹣∞，0）∪（0，+∞），故B正确；在C中，t的终边不能在y轴上，x，y∈（﹣∞，0）∪（0，+∞），故C错误；在D中，t的终边不能在y轴上，x，y∈（﹣∞，0）∪（0，+∞），故D错误．故选：B．3．（4分）极坐标方程的图形是（）A．B．C．D．【解答】解：将原极坐标方程，化为：ρ=sinθ+cosθρ2=ρsinθ+ρcosθ化成直角坐标方程为：x2+y2﹣y﹣x=0，它表示圆心在第一象限，半径为1的圆．故选：C．4．（4分）函数y=x+cosx的大致图象是（）A．B．C．D．【解答】解：由于f（x）=x+cosx，∴f（﹣x）=﹣x+cosx，∴f（﹣x）≠f（x），且f（﹣x）≠﹣f（x），故此函数是非奇非偶函数，排除A、C；又当x=时，x+cosx=x，即f（x）的图象与直线y=x的交点中有一个点的横坐标为，排除D．故选：B．5．（4分）已知函数y=xf′（x）的图象如图所示（其中f′（x）是函数f（x）的导函数），下面四个图象中，y=f（x）的图象大致是（）A．B．C．D．【解答】解：由图象看出，﹣1＜x＜0，和x＞1时xf′（x）＞0；x≤﹣1，和0≤x≤1时xf′（x）≤0；∴﹣1＜x≤1时，f′（x）≤0；x＞1，或x≤﹣1时，f′（x）≥0；∴f（x）在（﹣1，1]上单调递减，在（﹣∞，﹣1]，（1，+∞）上单调递增；∴f（x）的大致图象应是B．故选：B．6．（4分）已知函数f（x）=alnx﹣bx2，a，b∈R．若不等式f（x）≥x对所有的b∈（﹣∞，0]，x∈（e，e2]都成立，则a的取值范围是（）A．[e，+∞）B．C．D．[e2，+∞）【解答】解：若不等式f（x）≥x对所有的b∈（﹣∞，0]，x∈（e，e2]都成立，即alnx﹣bx2≥x对所有的b∈（﹣∞，0]，x∈（e，e2]都成立，即alnx﹣x≥bx2对所有的b∈（﹣∞，0]，x∈（e，e2]都成立，即alnx﹣x≥0对x∈（e，e2]都成立，即对x∈（e，e2]都成立，即a大于等于在区间（e，e2]上的最大值，令，则，当x∈（e，e2]时，h'（x）＞0，h（x）单调递增，所以，x∈（e，e2]的最大值为，即，所以a的取值范围为．故选：B．7．（4分）定义在R上的函数f（x）满足：f（x）+f′（x）＞1，f（0）=4，则不等式e x f（x）＞e x+3（其中e为自然对数的底数）的解集为（）A．（0，+∞）B．（﹣∞，0）∪（3，+∞）C．（﹣∞，0）∪（0，+∞）D．（3，+∞）【解答】解：设g（x）=e x f（x）﹣e x，（x∈R），则g′（x）=e x f（x）+e x f′（x）﹣e x=e x[f（x）+f′（x）﹣1]，∵f（x）+f′（x）＞1，∴f（x）+f′（x）﹣1＞0，∴g′（x）＞0，∴y=g（x）在定义域上单调递增，∵e x f（x）＞e x+3，∴g（x）＞3，又∵g（0）═e0f（0）﹣e0=4﹣1=3，∴g（x）＞g（0），∴x＞0故选：A．8．（4分）定义在R上的函数f（x）和g（x）的导函数分别为f′（x），g′（x），则下面结论正确的是（）①若f′（x）＞g′（x），则函数f（x）的图象在函数g（x）的图象上方；②若函数f′（x）与g′（x）的图象关于直线x=a对称，则函数f（x）与g（x）的图象关于点（a，0）对称；③函数f（x）=f（a﹣x），则f′（x）=﹣f′（a﹣x）；④若f′（x）是增函数，则f（）≤．A．①②B．①②③C．③④D．②③④【解答】解：①由f′（x）＞g′（x），说明函数f（x）比g（x）增加的快，而函数f（x）的图象不一定在函数g（x）的图象上方，因此不正确；②由函数f′（x）与g′（x）的图象关于直线x=a对称，可得f′（x）=﹣g′（2a﹣x）．假设函数f（x）与g（x）的图象关于点（a，0）不对称，则g（2a﹣x）≠f（x），∴g′（2a﹣x）≠﹣f′（x），这与f′（x）=g′（2a﹣x）相矛盾，因此假设不成立．∴函数f（x）与g（x）的图象关于点（a，0）对称，正确．③函数f（x）=f（a﹣x），由复合函数的导数运算法则可得：f′（x）=﹣f′（a﹣x），故正确；④由f′（x）是增函数，可得f（）≤正确．综上可知：②③④正确．故选：D．二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）9．（4分）=i．【解答】解：∵，∴=i2017=（i4）504•i=i．故答案为：i．10．（4分）=2π．【解答】解：，积分式的值相当于以原点为圆心，以2为半径的一个半圆面的面积，故其值是2π故答案为：2π．11．（4分）|sinx|dx等于4．【解答】解：∫02π|sinx|dx=2∫0πsinxdx=2（﹣cosx）|0π=2（1+1）=4．故答案为：412．（4分）已知直线l的参数方程为（t为参数），曲线C的参数方程为，（θ为参数）．设点Q是曲线C上的一个动点，则点Q到直线l的距离是最小值为+．【解答】解：由直线l的参数方程为（t为参数），得y=x+1，由曲线C的参数方程为，（θ为参数），则（x﹣2）2+y2=1．所以曲线C为以（2，0）为圆心，以1为半径的圆，则圆心C到直线l的距离为d==+，所以曲线C上的一个动点Q到直线l的距离的最小值为：+．故答案为：+．13．（4分）若P（x，y）在椭圆上，则2x+y的最大值等于．【解答】解：化椭圆为参数方程，∴2x+y=4cosθ+sinθ=sin（θ+φ），其中tanφ=4，∴2x+y的最大值等于．故答案为：．14．（4分）定义在区间[a，b]上的连续函数y=f（x），如果∃ξ∈[a，b]，使得f （b）﹣f（a）=f′（ξ）（b﹣a），则称ξ为区间[a，b]上的“中值点”．下列函数：①f（x）=3x+2；②f（x）=x2﹣x+1；③f（x）=ln（x+1）；④f（x）=（x﹣）3，在区间[0，1]上“中值点”多于一个的函数序号为①④．（写出所有满足条件的函数的序号）【解答】解：根据题意，“中值点”的几何意义是在区间[0，1]上存在点，使得函数在该点的切线的斜率等于区间[0，1]的两个端点连线的斜率值．如图．对于①，根据题意，在区间[0，1]上的任何一点都是“中值点”，故①正确；对于②，根据“中值点”函数的定义，抛物线在区间[0，1]只存在一个“中值点”，故②不正确；对于③，f（x）=ln（x+1）在区间[0，1]只存在一个“中值点”，故③不正确；对于④，根据对称性，函数在区间[0，1]存在两个“中值点”，故④正确．故答案为：①④．三、解答题（本大题共3小题，共44分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15．（14分）已知函数f（x）=ax3+bx2﹣3x在x=±1处取得极值．（1）判断f（1）和f（﹣1）是函数f（x）的极大值还是极小值，并说明理由；（2）求函数y=f（x）在点A（﹣2，﹣2）处的切线方程．【解答】解：（1）由f（x）=ax3+bx2﹣3x，得f′（x）=3ax2+2bx﹣3，∴，解得．∴f（x）=x3﹣3x．则f′（x）=3x2﹣3=3（x+1）（x﹣1）．∴当x∈（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）时，f′（x）＞0，当x∈（﹣1，1）时，f′（x）＜0，则f（x）的单调增区间为（﹣∞，﹣1），（1，+∞）；单调减区间为（﹣1，1）．∴f（﹣1）为函数的极大值，f（1）为函数的极小值；（2）由（1）得，f′（x）=3x2﹣3，则f′（﹣2）=9，∴函数y=f（x）在点A（﹣2，﹣2）处的切线方程为y﹣（﹣2）=9（x+2），即9x﹣y+16=0．16．（14分）已知函数f（x）=x2e ax，其中a≤0，e为自然对数的底数．（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；（Ⅱ）求函数f（x）在区间[0，1]上的最大值．【解答】解：（Ⅰ）f'（x）=x（ax+2）e ax．（i）当a=0时，令f'（x）=0，得x=0．若x＞0，则f'（x）＞0，从而f（x）在（0，+∞）上单调递增；若x＜0，则f'（x）＜0，从而f（x）在（﹣∞，0）上单调递减．（ii）当a＜0时，令．若x＜0，则f'（x）＜0，从而f（x）在（﹣∞，0）上单调递减；若上单调递增；若，上单调递减．（Ⅱ）（i）当a=0时，f（x）在区间[0，1]上的最大值是f（1）=1．（ii）当﹣2＜a＜0时，f（x）在区间[0，1]上的最大值是f（1）=e a．（iii）当a≤﹣2时，f（x）在区间[0，1]上的最大值是．17．（16分）已知函数f（x）=alnx﹣x+2，其中a≠0．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）若对任意的x1∈[1，e]，总存在x2∈[1，e]，使得f（x1）+f（x2）=4，求实数a值．【解答】解：（Ⅰ），当a＜0时，对∀x∈（0，+∞），f′（x）＜0，所以f（x）的单调递减区间为（0，+∞）；当a＞0时，令f′（x）=0，得x=a，因为x∈（0，a）时，f′（x）＞0；x∈（a，+∞）时，f′（x）＜0，所以f（x）的单调递增区间为（0，a），单调递减区间为（a，+∞）．（Ⅱ）用f（x）max，f（x）min分别表示函数f（x）在[1，e]上的最大值，最小值，当a≤1且a≠0时，由（Ⅰ）知：在[1，e]上，f（x）是减函数，所以f（x）max=f（1）=1；因为对任意的x1∈[1，e]，x2∈[1，e]，f（x1）+f（x2）≤2f（1）=2＜4，所以对任意的x1∈[1，e]，不存在x2∈[1，e]，使得f（x1）+f（x2）=4；当1＜a＜e时，由（Ⅰ）知：在[1，a]上，f（x）是增函数，在[a，e]上，f（x）是减函数，所以f（x）max=f（a）=alna﹣a+2；因为对x1=1，∀x2∈[1，e]，f（1）+f（x2）≤f（1）+f（a）=1+alna﹣a+2=a（lna ﹣1）+3＜3，所以对x1=1∈[1，e]，不存在x2∈[1，e]，使得f（x1）+f（x2）=4；当a≥e时，令g（x）=4﹣f（x）（x∈[1，e]），由（Ⅰ）知：在[1，e]上，f（x）是增函数，进而知g（x）是减函数，所以f（x）min=f（1）=1，f（x）max=f（e）=a﹣e+2，g（x）max=g（1）=4﹣f（1），g（x）min=g（e）=4﹣f（e）；因为对任意的x1∈[1，e]，总存在x2∈[1，e]，使得f（x1）+f（x2）=4，即f （x1）=g（x2），所以即，所以f（1）+f（e）=a﹣e+3=4，解得a=e+1，综上所述，实数a的值为e+1．。

2017-2018学年高二年级数学期末试卷(理数)含答案

2．若 x 2m2 3 是 1 x 4 的必要不充分条件，则实数 m 的取值范围是（）
10．已知函数 f x 1 x3 1 mx2 4x 3 在区间 1,2上是增函数，则实数 m 的取值范围是（
32
A . 3,3
B . ,3 3, C . ,1 1,
，则满足
11．已知函数
f
x
3|x1| , x2 2x
x 1,
0, x
0
若关于
x
的方程 f
x2

a
1f
x
a

0有
7
个不
等实根，则实数 a 的取值范围是(
)
A . 2,1
B .2,4
C . 2,1
D . ,4
12.
已知函数
A . loga c logb c B . logc a logc b C . a c bc
D . ca cb
一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是 9．已知函数 f x 2 xm 1 为偶函数，记 a f log0.5 3 ， b f log2 5 ， c f 2m，则
由题设知
，
则
解得的横坐标分别是则有又
，又于是
，，
，
，即 l 与直线平行，一定相交，分别联立方
设
是平面
的法向量，则
，即
。
对任意
，要使
与
的面积之比是常数，只需 t 满足
可取
，故，所以与平面
20. （1）依题意可得
所成角的正弦值为 ---------12 分，

北京市海淀区2017届高三一模数学(理)试题【含答案】

北京海淀区高三年级2016-2017学年度第一次综合练习数学试卷（理科）2017．3一、选择题：共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1．已知集合(){}10A x x x =+≤，集合{}0B x x =>，则A B =（）A ．{}1x x ≥-B ．{}1x >-C ．{}0x x ≥D ．{}0x x >2．已知复数()()z i a bi a b R =+∈，），则“z 为纯虚数”的充分必要条件为（） A ．220a b +≠B ．0ab =C ．00a b =≠，D ．00a b ≠=，3．执行如图所示的程序框图，输出的x 值为（） A ．0B ．3C ．6D ．84．设a b R ∈，若a b >，则（） A ．11a b> B ．22a b> C ．lg lg a b >D ．sin sin a b >5．已知1a xdx =⎰，12b x dx =⎰，0c =⎰，则a b c 、、的大小关系是（）A ．a b c <<B ．a c b <<C ．b a c <<D ．c a b <<6．已知曲线2:2x C y a ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），()()1010A B -，、，，若曲线C 上存在点P 满足0AP BP ⋅=，则实数a 的取值范围为（）A．22⎡-⎢⎣⎦，B ．[]11-，C．⎡⎣D ．[]22-，7．甲、乙、丙、丁、戊五人排成一排，甲和乙都排在丙的同一侧，排法种数为（） A ．12B ．40C ．60D ．808．某折叠餐桌的使用步骤如图所示，有如图检查项目：项目①：折叠状态下（如图1），检查四条桌腿长相等；项目②：打开过程中（如图2），检查''''OM ON O M O N ===；项目③：打开过程中（如图2），检查''''OK OL O K O L ===；项目④：打开后（如图3），检查123490∠=∠=∠=∠=；项目⑤：打开后（如图3），检查''''AB A B C D CD ===．在检查项目的组合中，可以正确判断“桌子打开之后桌面与地面平行的是”（） A ．①②③ B ．②③④C ．②④⑤D ．③④⑤二、填空题（每题5分，满分30分，将答案填在答题纸上）9．若等比数列{}n a 满足24548a a a a ==，，则公比q =________，前n 项和n S =________． 10．已知()()122020F F -，、，，满足122PF PF -=的动点P 的轨迹方程为________． 11．在ABC ∆中，cos c a B =．①A =________；②若1sin 3C =，则()cos B π+=________． 12．若非零向量a ，b 满足()0a a b ⋅+=，2a b =，则向量a ，b 夹角的大小为________．13．已知函数()210cos 0x x f x x x π⎧-≥=⎨<⎩，，，若关于x 的方程()0f x a +=在()0+∞，内有唯一实根，则实数a 的最小值是________．14．已知实数u v x y ，，，满足221u v +=，102202x y x y x +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪≤⎩，则z ux vy =+的最大值是________．三、解答题（本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15．（本小题满分13分）已知3π是函数()22cos sin 21f x x a x =++的一个零点．（Ⅰ）求实数a 的值；（Ⅱ）求()f x 的单调递增区间．据报道，巴基斯坦由中方投资运营的瓜达尔港目前已通航．这是一个可以停靠8~10万吨油轮的深水港，通过这一港口，中国船只能够更快到达中东和波斯湾地区，这相当于给中国平添了一条大动脉！在打造中巴经济走廊协议（简称协议）中，能源投资约340亿美元，公路投资约59亿美元，铁路投资约38亿美元，高架铁路投资约16亿美元，瓜达尔港投资约6.6亿美元，光纤通讯投资约为0.4亿美元．有消息称，瓜达尔港的月货物吞吐量将是目前天津、上海两港口月货物吞吐量之和．表格记录了2015年天津、上海两港口的月吞吐量（单位：百万吨）：（Ⅰ）根据协议提供信息，用数据说明本次协议投资重点；（Ⅱ）从表中12个月任选一个月，求该月天津、上海两港口月吞吐量之和超过55百万吨的概率；（Ⅲ）将（Ⅱ）中的计算结果视为瓜达尔港每个月货物吞吐量超过55百万吨的概率，设X为瓜达尔未来12个月的月货物吞吐量超过55百万吨的个数，写出X的数学期望（不需要计算过程）．如图，由直三棱柱111ABC A B C -和四棱锥11D BB C C -构成的几何体中，90BAC ∠=，1AB =，12BC BB ==，1C D CD ==1CC D ⊥平面11ACC A ．（Ⅰ）求证：1AC DC ⊥；（Ⅱ）若M 为1DC 的中点，求证：//AM 平面1DBB ；（Ⅲ）在线段BC 上是否存在点P ，使直线DP 与平面1BB D 所成的角为3π？若存在，求BPBC 的值，若不存在，说明理由．已知函数()()()2241ln 1f x x ax a x =-+-+，其中实数3a <．（Ⅰ）判断1x =是否为函数()f x 的极值点，并说明理由；（Ⅱ）若()0f x ≤在区间[]01，上恒成立，求a 的取值范围．已知椭圆22:12x G y +=，与x 轴不重合的直线l 经过左焦点1F ，且与椭圆G 相交于A B 、两点，弦AB 的中点为M ，直线OM 与椭圆G 相交于C D 、两点．（Ⅰ）若直线l 的斜率为1，求直线OM 的斜率；（Ⅱ）是否存在直线l ，使得2AM CM DM =⋅成立？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．已知含有n 个元素的正整数集{}()12123n n A a a a a a a n =<<<≥，，，，具有性质P ：对任意不大于()S A （其中()12n S A a a a =+++）的正整数k ，存在数集A 的一个子集，使得该子集所有元素的和等于k ．（Ⅰ）写出12a a ，的值；（Ⅱ）证明：“12n a a a ，，，成等差数列”的充要条件是“()()12n n S A +=”；（Ⅲ）若()2017S A =，求当n 取最小值时n a 的最大值．2017年北京市海淀区高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A={x|x（x+1）≤0}，集合B={x|x＞0}，则A∪B=（）A．{x|x≥﹣1} B．{x|x＞﹣1} C．{x|x≥0} D．{x|x＞0}【解答】解：∵集合A={x|x（x+1）≤0}={x|﹣1≤x≤0}，集合B={x|x＞0}，∴A∪B={x|x≥﹣1}．故选：A．2．（5分）已知复数z=i（a+bi）（a，b∈R），则“z为纯虚数”的充分必要条件为（）A．a2+b2≠0 B．ab=0 C．a=0，b≠0 D．a≠0，b=0【解答】解：复数z=i（a+bi）=ai﹣b（a，b∈R），则“z为纯虚数”的充分必要条件为﹣b=0，a≠0．故选：D．3．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的x值为（）A．0 B．3 C．6 D．8【解答】解：x=0，y=9，≠，x=1，y=8，≠，x=2，y=6，=4≠，x=3，y=3，3=，输出x=3，故选：B．4．（5分）设a，b∈R，若a＞b，则（）A．＜B．2a＞2b C．lga＞lgb D．sina＞sinb【解答】解：a，b∈R，a＞b，当a＞0，b＜0时，A不成立，根据指数函数的单调性可知，B正确，根据对数函数的定义，可知真数必需大于零，故C不成立，由于正弦函数具有周期性和再某个区间上为单调函数，故不能比较，故D不成立，故选：B．5．（5分）已知a=xdx，b=x2dx，c=dx，则a，b，c的大小关系是（）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．b＜a＜c D．c＜a＜b【解答】解：a=xdx=|=，b=x2dx=|=，c=dx=|=，则b＜a＜c，故选：C6．（5分）已知曲线C：（t为参数），A（﹣1，0），B（1，0），若曲线C上存在点P满足•=0，则实数a的取值范围为（）A．，B．[﹣1，1] C．，D．[﹣2，2]【解答】解：∵A（﹣1，0），B（1，0），若曲线C上存在点P满足•=0，∴P的轨迹方程是x2+y2=1．曲线C：（t为参数），普通方程为x﹣y+a=0，由题意，圆心到直线的距离d=≤1，∴，故选C．7．（5分）甲、乙、丙、丁、戊五人排成一排，甲和乙都排在丙的同一侧，排法种数为（）A．12 B．40 C．60 D．80【解答】解：根据题意，分2种情况讨论：①、甲和乙都排在丙的左侧，将甲乙安排在丙的左侧，考虑甲乙之间的顺序，有2种情况，排好后有4个空位，在4个空位中选一个安排丁，有4种情况，排好后有5个空位，在5个空位中选一个安排戊，有5种情况，则甲和乙都排在丙的左侧的情况有2×4×5=40种，②、甲和乙都排在丙的右侧，同理有40种不同的排法；故甲和乙都排在丙的同一侧的排法种数为40+40=80种；故选：D．8．（5分）某折叠餐桌的使用步骤如图所示，有如图检查项目：项目①：折叠状态下（如图1），检查四条桌腿长相等；项目②：打开过程中（如图2），检查OM=ON=O'M'=O'N'；项目③：打开过程中（如图2），检查OK=OL=O'K'=O'L'；项目④：打开后（如图3），检查∠1=∠2=∠3=∠4=90°；项目⑤：打开后（如图3），检查AB=A'B'=C'D'=CD．在检查项目的组合中，可以正确判断“桌子打开之后桌面与地面平行的是”（）A．①②③B．②③④C．②④⑤D．③④⑤【解答】解：项目①：折叠状态下（如图1），四条桌腿长相等时，桌面与地面不一定平行；项目②：打开过程中（如图2），若OM=ON=O'M'=O'N'，可以得到线线平行，从而得到面面平行；项目③：打开过程中（如图2），检查OK=OL=O'K'=O'L'，可以得到线线平行，从而得到面面平行；项目④：打开后（如图3），检查∠1=∠2=∠3=∠4=90°，可以得到线线平行，从而得到面面平行项目⑤：打开后（如图3），检查AB=A'B'=C'D'=CD．桌面与地面不一定平行；故选：B．二、填空题（每题5分，满分30分，将答案填在答题纸上）9．（5分）若等比数列{a n}满足a2a4=a5，a4=8，则公比q=2，前n项和S n=2n﹣1．【解答】解：∵等比数列{a n}满足a2a4=a5，a4=8，∴，解得a1=1，q=2，∴前n项和S n==2n﹣1．故答案为：2，2n﹣1．10．（5分）已知F1（﹣2，0），F2（2，0），满足||PF1|﹣|PF2||=2的动点P的轨迹方程为．【解答】解：根据题意，F1（﹣2，0），F2（2，0），则|F1F2|=4，动点P满足||PF1|﹣|PF2||=2，即2＜4，则P的轨迹是以F1、F2为焦点的双曲线，其中c=2，2a=2，即a=1，则b2=c2﹣a2=3，双曲线的方程为：；故答案为：．11．（5分）在△ABC中，c=acosB．①A=90°；②若sinC=，则cos（π+B）=﹣．【解答】解：①∵c=acosB．∴cosB==，整理可得：a2=b2+c2，∴A=90°；②∵sinC=，A=90°，∴B=90°﹣C，∴cos（π+B）=﹣cosB=﹣sinC=﹣故答案为：90°，．12．（5分）若非零向量，满足•（+）=0，2||=||，则向量，夹角的大小为120°．【解答】解：设向量，的夹角为θ，则θ∈[0°，180°]；又•（+）=0，2||=||，∴+•=0，即+||×2||cosθ=0，解得cosθ=﹣，∴θ=120°，即向量，夹角为120°．故答案为：120°．13．（5分）已知函数f（x）=，，＜若关于x的方程f（x+a）=0在（0，+∞）内有唯一实根，则实数a的最小值是﹣．【解答】解：作出f（x）的函数图象如图所示：∵f（x+a）在（0，+∞）上有唯一实根，∴f（x）在（a，+∞）上有唯一实根，∴﹣≤a＜1．故答案为．14．（5分）已知实数u，v，x，y满足u2+v2=1，，则z=ux+vy的最大值是2．【解答】解：约束条件的可行域如图三角形区域：A（2，1），B（2，﹣1），C（0，1），u2+v2=1 设u=sinθ，v=cosθ，目标函数经过A时，z=2sinθ+2cosθ=2sin（）．目标函数经过B时，z=2sinθ﹣cosθ=（θ+β）（其中tanβ=）．目标函数经过C时，z=sinθ≤1．所以目标函数的最大值为：2．故答案为：．三、解答题（本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15．（13分）已知是函数f（x）=2cos2x+asin2x+1的一个零点．（Ⅰ）求实数a的值；（Ⅱ）求f（x）的单调递增区间．【解答】解：（Ⅰ）由题意可知，即，即，解得．（Ⅱ）由（Ⅰ）可得==，函数y=sinx的递增区间为，，k∈Z．由＜＜，k∈Z，得＜＜，k∈Z，所以，f（x）的单调递增区间为，，k∈Z．16．（13分）据报道，巴基斯坦由中方投资运营的瓜达尔港目前已通航．这是一个可以停靠8～10万吨油轮的深水港，通过这一港口，中国船只能够更快到达中东和波斯湾地区，这相当于给中国平添了一条大动脉！在打造中巴经济走廊协议（简称协议）中，能源投资约340亿美元，公路投资约59亿美元，铁路投资约38亿美元，高架铁路投资约16亿美元，瓜达尔港投资约6.6亿美元，光纤通讯投资约为0.4亿美元．有消息称，瓜达尔港的月货物吞吐量将是目前天津、上海两港口月货物吞吐量之和．表格记录了2015年天津、上海两港口的月吞吐量（单位：百万吨）：（Ⅰ）根据协议提供信息，用数据说明本次协议投资重点；（Ⅱ）从表中12个月任选一个月，求该月天津、上海两港口月吞吐量之和超过55百万吨的概率；（Ⅲ）将（Ⅱ）中的计算结果视为瓜达尔港每个月货物吞吐量超过55百万吨的概率，设X为瓜达尔未来12个月的月货物吞吐量超过55百万吨的个数，写出X的数学期望（不需要计算过程）．【解答】解：（Ⅰ）本次协议的投资重点为能源，因为能源投资为340亿，占总投资460亿的50%以上，所占比重大．（Ⅱ）设事件A：从12个月中任选一个月，该月超过55百万吨．根据提供的数据信息，可以得到天津、上海两港口的月吞吐量之和分别是：56，49，58，54，54，57，59，58，58，56，54，56，其中超过55百万吨的月份有8个，所以，．（Ⅲ）X的数学期望EX=8．17．（13分）如图，由直三棱柱ABC﹣A1B1C1和四棱锥D﹣BB1C1C构成的几何体中，∠BAC=90°，AB=1，BC=BB1=2，C1D=CD=，平面CC1D⊥平面ACC1A1．（Ⅰ）求证：AC⊥DC1；（Ⅱ）若M为DC1的中点，求证：AM∥平面DBB1；（Ⅲ）在线段BC上是否存在点P，使直线DP与平面BB1D所成的角为？若存在，求的值，若不存在，说明理由．【解答】解：（Ⅰ）证明：在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，故AC⊥CC1，由平面CC1D⊥平面ACC1A1，且平面CC1D∩平面ACC1A1=CC1，所以AC⊥平面CC1D，又C1D⊂平面CC1D，所以AC⊥DC1．（Ⅱ）证明：在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，所以AA1⊥AB，AA1⊥AC，又∠BAC=90°，所以，如图建立空间直角坐标系A﹣xyz，依据已知条件可得A（0，0，0），，，，，，，B（0，0，1），B1（2，0，1），，，，所以，，，，，，设平面DBB1的法向量为，，，由即令y=1，则，x=0，于是，，，因为M为DC1中点，所以，，，所以，，，由，，，，，可得，所以AM与平面DBB1所成角为0，即AM∥平面DBB1．（Ⅲ）解：由（Ⅱ）可知平面BB1D的法向量为，，．设，λ∈[0，1]，则，，，，，．若直线DP与平面DBB1成角为，则＜，＞，解得，，故不存在这样的点．18．（13分）已知函数f（x）=x2﹣2ax+4（a﹣1）ln（x+1），其中实数a＜3．（Ⅰ）判断x=1是否为函数f（x）的极值点，并说明理由；（Ⅱ）若f（x）≤0在区间[0，1]上恒成立，求a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由f（x）=x2﹣2ax+4（a﹣1）ln（x+1）可得函数f（x）定义域为（﹣1，+∞），=，令g（x）=x2+（1﹣a）x+（a﹣2），经验证g（1）=0，因为a＜3，所以g（x）=0的判别式△=（1﹣a）2﹣4（a﹣2）=a2﹣6a+9=（a﹣3）2＞0，由二次函数性质可得，1是函数g（x）的异号零点，所以1是f'（x）的异号零点，所以x=1是函数f（x）的极值点．（Ⅱ）已知f（0）=0，因为，又因为a＜3，所以a﹣2＜1，所以当a≤2时，在区间[0，1]上f'（x）＜0，所以函数f（x）单调递减，所以有f（x）≤0恒成立；当2＜a＜3时，在区间[0，a﹣2]上f'（x）＞0，所以函数f（x）单调递增，所以f（a﹣2）＞f（0）=0，所以不等式不能恒成立；所以a≤2时，有f（x）≤0在区间[0，1]恒成立．19．（14分）已知椭圆G：+y2=1，与x轴不重合的直线l经过左焦点F1，且与椭圆G相交于A，B两点，弦AB的中点为M，直线OM与椭圆G相交于C，D两点．（1）若直线l的斜率为1，求直线OM的斜率；（2）是否存在直线l，使得|AM|2=|CM|•|DM|成立？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）由已知可知F1（﹣1，0），又直线l的斜率为1，所以直线l的方程为y=x+1，设A（x1，y1），B（x2，y2），由解得或，所以AB中点，，于是直线OM的斜率为．（2）假设存在直线l，使得|AM|2=|CM|•|DM|成立．当直线l的斜率不存在时，AB的中点M（﹣1，0），所以，，矛盾；故直线的斜率存在，可设直线l的方程为y=k（x+1）（k≠0），联立椭圆G的方程，得（2k2+1）x2+4k2x+2（k2﹣1）=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则，，于是，点M的坐标为，，．直线CD的方程为，联立椭圆G的方程，得，设C（x0，y0），则，由题知，|AB|2=4|CM|•|DM|=4（|CO|+|OM|）（|CO|﹣|OM|）=4（|CO|2﹣|OM|2），即，化简，得，故，所以直线l的方程为，．20．（14分）已知含有n个元素的正整数集A={a1，a2，…，a n}（a1＜a2＜…＜a n，n≥3）具有性质P：对任意不大于S（A）（其中S（A）=a1+a2+…+a n）的正整数k，存在数集A的一个子集，使得该子集所有元素的和等于k．（Ⅰ）写出a1，a2的值；（Ⅱ）证明：“a1，a2，…，a n成等差数列”的充要条件是“S（A）=”；（Ⅲ）若S（A）=2017，求当n取最小值时a n的最大值．【解答】解：（Ⅰ）由集合A={a1，a2，…，a n}，}（a1＜a2＜…＜a n，n≥3），由a n为正整数，则a1=1，a2=2．（Ⅱ）先证必要性：因为a1=1，a2=2，又a1，a2，…，a n成等差数列，故a n=n，所以；再证充分性：因为a1＜a2＜…＜a n，a1，a2，…，a n为正整数数列，故有a1=1，a2=2，a3≥3，a4≥4，…，a n≥n，所以，又，故a m=m（m=1，2，…，n），故a1，a2，…，a n为等差数列．（Ⅲ）先证明（m=1，2，…，n）．假设存在＞，且p为最小的正整数．依题意p≥3，则a1+a2+…+a p﹣1≤1+2+…+2p﹣2=2p﹣1﹣1，又因为a1＜a2＜…＜a n，故当k∈（2p﹣1﹣1，a p）时，k不能等于集合A的任何一个子集所有元素的和．故假设不成立，即（m=1，2，…，n）成立．因此，即2n≥2018，所以n≥11．因为S=2017，则a1+a2+…+a n﹣1=2017﹣a n，若2017﹣a n＜a n﹣1时，则当k∈（2017﹣a n，a n）时，集合A中不可能存在若干不同元素的和为k，故2017﹣a n≥a n﹣1，即a n≤1009．此时可构造集合A={1，2，4，8，16，32，64，128，256，497，1009}．因为当k∈{2，2+1}时，k可以等于集合{1，2}中若干个元素的和；故当k∈{22，22+1，22+2，22+3}时，k可以等于集合{1，2，22}中若干不同元素的和；…故当k∈{28，28+1，28+2，…，28+255}时，k可以等于集合{1，2，…，28}中若干不同元素的和；故当k∈{497+3，497+4，…，497+511}时，k可以等于集合{1，2，…，28，497}中若干不同元素的和；故当k∈{1009，1009+1，1009+2，…，1009+1008}时，k可以等于集合{1，2，…，28，497，1009}中若干不同元素的和，所以集合A={1，2，4，8，16，32，64，128，256，497，1009}满足题设，所以当n取最小值11时，a n的最大值为1009．。

2017-2018年北京市101中学高二(下)期中数学试卷(理科)和答案

2017-2018学年北京市101中学高二（下）期中数学试卷（理科）一、选择题共8小题．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）下列导数公式正确的是（）A．（x n）'=nx n B．（）'=C．（sinx）'=﹣cosx D．（e x）'=e x2．（5分）如表是离散型随机变量X的分布列，则常数a的值为（）A．B．C．D．3．（5分）抛掷一枚质地均匀的骰子两次，记A={两次的点数均为偶数}，B={两次的点数之和为8}，则P（B|A）=（）A．B．C．D．4．（5分）若dx=1﹣ln3，且a＞1，则a的值为（）A．﹣3B．1n3C．D．35．（5分）用数学归纳法证明“，n∈N•”，则当n=k+1时，应当在n=k时对应的等式的两边加上（）A．（k3+1）+（k3+2）+…+（k+1）3B．k3+1C．（k+1）3D．6．（5分）函数y=e x（x2﹣3）的大致图象是（）A．B．C．D．7．（5分）①已知：p3+q3=2，求证：p+q≤2．用反证法证明时，可假设p+q≥2；②设a为实数，f（x）=x2+ax+a，求证：|f（1）|与|f（2）|中至少有一个不大于．用反证法证明时可假设|f（1）|＞或|f（2）|＞．以下说法正确的是（）A．①与②的假设都错误B．①与②的假设都正确C．①的假设正确，②的假设错误D．①的假设错误，②的假设正确8．（5分）若函数y=f（x）对任意x∈（﹣，）满足f'（x）cosx﹣f（x）sinx ＞0，则下列不等式成立的是（）A．f（﹣）＜f（﹣）B．f（﹣）＞f（﹣）C．f（﹣）＞f（﹣）D．f（﹣）＜f（﹣）二、填空题共6小题．9．（5分）已知函数f（x）=sinx，则=．10．（5分）某人射击一次击中目标的概率为，经过3次射击，此人恰有两次击中目标的概率为．11．（5分）某地市高三理科学生有15000名，在一次调研测试中，数学成绩ξ服从正态分布N（100，σ2），已知P（80＜ξ＜120）=0.70，若按成绩分层抽样的方式取100份试卷进行分析．则应从120分以上的试卷中抽取份．12．（5分）如图，在边长为e（e为自然对数的底数）的正方形中，阴影部分的面积为．13．（5分）古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数，如三角形数1，3，6，10，…，第n个三角形数为，记第n个k边形数为N （n，k）（k≥3），以下列出了部分k边形数中第n个数的表达式：三角形数N（n，3）=n2+n，四边形数N（n，4）=n2，五边形数N（n，5）=n2﹣n，六边形数N（n，6）=2n2﹣n，…可以推测N（n，k）的表达式，由此计算N（10，20）=．14．（5分）函数f（x），g（x）的定义域都是D，直线x=x0（x0∈D），与y=f（x），y=g（x）的图象分别交于A，B两点，若|AB|的值是不等于0的常数，则称曲线y=f（x），y=g（x）为“平行曲线”，设f（x）=e x﹣alnx+c（a＞0，c≠0），且y=f（x），y=g（x）为区间（0，+∞）的“平行曲线”，g（1）=e，g（x）在区间（2，3）上的零点唯一，则a的取值范围是．三、解答题共4小题．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．15．（12分）已知函数f（x）=（1﹣2x）（x2﹣2）．（1）求f（x）的单调区间和极值；（2）若直线y=4x+b是函数y=f（x）图象的一条切线，求b的值．16．（12分）随着网络营销和电子商务的兴起，人们的购物方式更具多样化．某调查机构随机抽取8名购物者进行采访，4名男性购物者中有3名倾向于网购，1名倾向于选择实体店，4名女性购物者中有2名倾向于选择网购，2名倾向于选择实体店．（1）若从8名购物者中随机抽取2名，其中男女各一名，求至少1名倾向于选择实体店的概率：（2）若从这8名购物者中随机抽取3名，设X表示抽到倾向于选择网购的男性购物者的人数，求X的分布列和数学期望．17．（12分）已知点P n（a n，b n）满足a n+1=a n•b n+1，b n+1=（n∈N*）且点P1的坐标为（1，﹣1）．（1）求过点P1，P2的直线l的方程；（2）试用数学归纳法证明：对于n∈N*，点P n都在（1）中的直线l上．18．（14分）已知函数f（x）=﹣a2lnx+x2﹣ax（a∈R）．（1）试讨论函数f（x）的单调性：（2）若函数f（x）在区间（1，e）中有两个零点，求a的取值范围．2017-2018学年北京市101中学高二（下）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题共8小题．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）下列导数公式正确的是（）A．（x n）'=nx n B．（）'=C．（sinx）'=﹣cosx D．（e x）'=e x【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A，（x n）'=nx n﹣1，A错误；对于B，（）′=﹣，B错误；对于C，（sinx）′=cosx，C错误；对于D，（e x）'=e x，D正确；故选：D．2．（5分）如表是离散型随机变量X的分布列，则常数a的值为（）A．B．C．D．【解答】解：由离散型随机变量X的分布列，得：a+=1，解得a=．故选：A．3．（5分）抛掷一枚质地均匀的骰子两次，记A={两次的点数均为偶数}，B={两次的点数之和为8}，则P（B|A）=（）A．B．C．D．【解答】解：由题意事件记A={两次的点数均为偶数}，包含的基本事件数是（2，2），（2，4），（2，6），（4，2），（4，4），（4，6），（6，2），（6，4），（6，6）共9个基本事件，在A发生的条件下，B={两次的点数之和为8}，包含的基本事件数是{2，6}，{4，4}，{6，2}共3个基本事件，∴P（B|A）==．故选：C．4．（5分）若dx=1﹣ln3，且a＞1，则a的值为（）A．﹣3B．1n3C．D．3【解答】解：dx=（x2﹣lnx）|=（a2﹣lna）﹣（﹣0）=a2﹣﹣lna=1﹣ln3，∴a2﹣=1且lna=ln3，解得a=，故选：C．5．（5分）用数学归纳法证明“，n∈N•”，则当n=k+1时，应当在n=k时对应的等式的两边加上（）A．（k3+1）+（k3+2）+…+（k+1）3B．k3+1C．（k+1）3D．【解答】解：当n=k时，等式左端=1+2+…+k3，当n=k+1时，等式左端=1+2+…+k3+（k3+1）+（k3+2）+（k3+3）+…+（k+1）3，增加了2k+1项．故选：A．6．（5分）函数y=e x（x2﹣3）的大致图象是（）A．B．C．D．【解答】解：对函数f（x）求导得f′（x）=（x2+2x﹣3）e x．令f′（x）＞0，即x2+2x﹣3＞0，解得x＜﹣3或x＞1；令f′（x）＜0，解得﹣3＜x＜1．所以，函数f（x）的单调递增区间为（﹣∞，﹣3）和（1，+∞），单调递减区间为（﹣3，1），排除A、B、D选项，故选：C．7．（5分）①已知：p3+q3=2，求证：p+q≤2．用反证法证明时，可假设p+q≥2；②设a为实数，f（x）=x2+ax+a，求证：|f（1）|与|f（2）|中至少有一个不大于．用反证法证明时可假设|f（1）|＞或|f（2）|＞．以下说法正确的是（）A．①与②的假设都错误B．①与②的假设都正确C．①的假设正确，②的假设错误D．①的假设错误，②的假设正确【解答】解：①用反证法证明时，假设命题为假，应为全面否定．所以p+q≤2的假命题应为p+q＞2．故①的假设不正确；②|f（1）|与|f（2）|中至少有一个不大于的否定为②|f（1）|与|f（2）|中都大于，故②的假设错误；故选：A．8．（5分）若函数y=f（x）对任意x∈（﹣，）满足f'（x）cosx﹣f（x）sinx ＞0，则下列不等式成立的是（）A．f（﹣）＜f（﹣）B．f（﹣）＞f（﹣）C．f（﹣）＞f（﹣）D．f（﹣）＜f（﹣）【解答】解：根据题意，设g（x）=f（x）cosx，则其导数g′（x）=f′（x）cosx+f（x）（cosx）′=f'（x）cosx﹣f（x）sinx，又由f'（x）cosx﹣f（x）sinx＞0在（﹣，）上恒成立，则g′（x）＞0，函数g（x）在（﹣，）上为增函数；g（﹣）＞g（﹣），则cos（﹣）f（﹣）＞cos（﹣）f（﹣），即f（﹣）＞f（﹣），则有f（﹣）＞f（﹣），分析选项：B正确；故选：B．二、填空题共6小题．9．（5分）已知函数f（x）=sinx，则=0．【解答】解：=，∵函数f（x）=sinx，∴f′（x）=cosx，∴==cos=0．故答案为：0．10．（5分）某人射击一次击中目标的概率为，经过3次射击，此人恰有两次击中目标的概率为．【解答】解：某人射击一次击中目标的概率为，经过3次射击，此人恰有两次击中目标的概率为：p==．故答案为：．11．（5分）某地市高三理科学生有15000名，在一次调研测试中，数学成绩ξ服从正态分布N（100，σ2），已知P（80＜ξ＜120）=0.70，若按成绩分层抽样的方式取100份试卷进行分析．则应从120分以上的试卷中抽取15份．【解答】解：由题意，在一次调研测试中，数学成绩ξ服从正态分布N（100，σ2），∴数学成绩ξ关于ξ=100对称，∵P（80＜ξ＜120）=0.70，∴P（ξ＞120）=P（ξ＜80）=0.5﹣=0.15，∴该班数学成绩在120分以上的人数为0.15×100=15．故答案为：15．12．（5分）如图，在边长为e（e为自然对数的底数）的正方形中，阴影部分的面积为e2﹣2．【解答】解：由题意，y=lnx与y=e x关于y=x对称，∴其空白部分的面积为2（e﹣e x）dx=2（ex﹣e x）=2，又边长为e（e为自然对数的底数）的正方形的面积为e2，则阴影部分的面积为e2﹣2．故答案为：e2﹣2．13．（5分）古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数，如三角形数1，3，6，10，…，第n个三角形数为，记第n个k边形数为N （n，k）（k≥3），以下列出了部分k边形数中第n个数的表达式：三角形数N（n，3）=n2+n，四边形数N（n，4）=n2，五边形数N（n，5）=n2﹣n，六边形数N（n，6）=2n2﹣n，…可以推测N（n，k）的表达式，由此计算N（10，20）=820．【解答】解：第n个k边形数为N（n，k）的等式右边系数分别为，，，，则N（n，k）的二次项系数为，后面是以n为首项，公差d=﹣n的一个等差数列构成，则由归纳推理得到N（n，k）的表达式为N（n，k）=+（2n﹣），当n=10，k=20时，N（10，20）==900+20﹣100=820，故答案为：82014．（5分）函数f（x），g（x）的定义域都是D，直线x=x0（x0∈D），与y=f（x），y=g（x）的图象分别交于A，B两点，若|AB|的值是不等于0的常数，则称曲线y=f（x），y=g（x）为“平行曲线”，设f（x）=e x﹣alnx+c（a＞0，c≠0），且y=f（x），y=g（x）为区间（0，+∞）的“平行曲线”，g（1）=e，g（x）在区间（2，3）上的零点唯一，则a的取值范围是（，）．【解答】解：由题意可得|e x﹣alnx+c﹣g（x）|对x∈（0，+∞）恒为常数，且不为0．令x=1，可得|e﹣0+c﹣g（1）|=|e+c﹣e|=|c|＞0．可令g（x）=e x﹣alnx在（2，3），由g（x）在区间（2，3）上的零点唯一，可得：a=在（2，3）有唯一解，由h （x ）=的导数 h′（x ）=，而lnx ﹣在（2，3）递增，且ln2﹣＞0，ln3﹣＞0，则h （x ）在（2，3）递增，则＜a ＜，故答案为：（，）．三、解答题共4小题．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．15．（12分）已知函数f （x ）=（1﹣2x ）（x 2﹣2）．（1）求f （x ）的单调区间和极值；（2）若直线y=4x +b 是函数y=f （x ）图象的一条切线，求b 的值．【解答】解：（1）根据题意，函数f （x ）=（1﹣2x ）（x 2﹣2）．则f'（x ）=﹣2（x 2﹣2）+（1﹣2x ）•2x=﹣6x 2+2x +4．令f'（x ）=0，得3x 2﹣x ﹣2=0，解得x=﹣或x=1．）﹣所以f （x ）的单调递增区间为（﹣，1），单调递减区间为（﹣∞，﹣），（1，+∞），极小值为f （﹣）=﹣，极大值为f （1）=1．（2）因为f'（x ）=﹣6x 2+2x +4，直线y=4x +b 是f （x ）的切线，设切点为（x 0，f （x 0）），则f'（x 0）=﹣6x 0+2x 0+4=4，解得x0=0或x0=．当x0=0时，f（x0）=﹣2，代入直线方程得b=﹣2，当x0=时，f（x0）=﹣，代入直线方程得b=﹣．所以b=﹣2或﹣．16．（12分）随着网络营销和电子商务的兴起，人们的购物方式更具多样化．某调查机构随机抽取8名购物者进行采访，4名男性购物者中有3名倾向于网购，1名倾向于选择实体店，4名女性购物者中有2名倾向于选择网购，2名倾向于选择实体店．（1）若从8名购物者中随机抽取2名，其中男女各一名，求至少1名倾向于选择实体店的概率：（2）若从这8名购物者中随机抽取3名，设X表示抽到倾向于选择网购的男性购物者的人数，求X的分布列和数学期望．【解答】解：（1）设“随机抽取2名，其中男、女各一名，至少1名倾向于选择实体店”为事件A，则表示“随机抽取2名，其中男、女各一名，都倾向于选择网购”，则P（A）=1﹣P（）=1﹣=．（2）X的所有可能取值为0，1，2，3，P（X=k）=，则P（X=0）=，P（X=1）=，P（X=2）=，P（X=3）=．所以X的分布列为所以E（X）=0×+l×+2×+3×=．17．（12分）已知点P n（a n，b n）满足a n+1=a n•b n+1，b n+1=（n∈N*）且点P1的坐标为（1，﹣1）．（1）求过点P1，P2的直线l的方程；（2）试用数学归纳法证明：对于n∈N*，点P n都在（1）中的直线l上．【解答】解：（1）由P1的坐标为（1，﹣1）知a1=1，b1=﹣1．∴b2==．a2=a1•b2=．∴点P2的坐标为（，）∴直线l的方程为2x+y=1．（2）①当n=1时，2a1+b1=2×1+（﹣1）=1成立．②假设n=k（k∈N*，k≥1）时，2a k+b k=1成立，则2a k+1+b k+1=2a k•b k+1+b k+1=（2a k+1）===1，∴当n=k+1时，命题也成立．由①②知，对n∈N*，都有2a n+b n=1，即点P n在直线l上．18．（14分）已知函数f（x）=﹣a2lnx+x2﹣ax（a∈R）．（1）试讨论函数f（x）的单调性：（2）若函数f（x）在区间（1，e）中有两个零点，求a的取值范围．【解答】解：（1）f（x）的定义域为（0，+∞）．由f（x）=﹣a2lnx+x2﹣ax（a∈R）可知f'（x）=，若a＞0，则当x∈（0，a）时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减，当x∈（a，+∞）时，f′（x）＞0，则函数f（x）单调递增；若a=0，则当f′（x）=2x＞0在（0，+∞）内恒成立，函数f（x）单调递增；若a＜0，则当x∈（0，﹣）时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减，当x∈（﹣，+∞）时，f′（x）＞0，则函数f（x）单调递增．（2）若a＞0，f（x）在（0，a）单调递减，在（a，+∞）单调递增．若a＜0，f（x）在（0，﹣）单调递减，在（﹣，+∞）单调递增．由题意，若f（x）在区间（1，e）中有两个零点，则有或，即或，得a无解或a∈（﹣e，﹣2）．综上，a∈（﹣e，﹣2）．。

2018年海淀区高三期中数学试卷及答案

2018年海淀区高三年级第一学期期中练习数学(理科)一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1. 已知集合{1,1,2}A =-，{|10}B x x =+≥，则A B =( A )A. {1,1,2}-B. {1,2}C. {1,2}-D. {2}2. 下列函数中，值域为(0,)+∞的函数是( C )A. ()f x =B. ()ln f x x =C. ()2x f x =D. ()tan f x x =3. 在ABC ∆中，若tan 2A =-，则cos A =( B )B. D. 4. 在平面直角坐标系xOy 中，已知点(0,0),(0,1),(1,2),(,0)O A B C m -，若//OB AC ，则实数m 的值为( C )A. 2-B. 12-C. 12D. 25.若a ∈R ，则“2a a >”是“1a >”的（ B ）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件6. 已知数列{}n a 的通项公式2(313)nn a n =-，则数列的前n 项和n S 的最小值是（ B ） A. 3SB. 4SC. 5SD. 6S7. 已知函数sin cos ()sin cos x xf x x x+=，在下列给出结论中：① π是()f x 的一个周期； ② ()f x 的图象关于直线x 4π=对称； ③ ()f x 在(,0)2π-上单调递减. 其中，正确结论的个数为（ C ） A. 0个B.1个C. 2个D. 3个二、填空题:本大题共6小题，每小题5分，共30分。

981(21)d x x +=⎰___________.29. 已知数列{}n a 为等比数列，若13245,10a a a a +=+=，则公比q =____________.2 10. 已知23log 5,23,log 2b a c ===，则,,a b c 的大小关系为____________.a b c >>11. 函数π()2sin()(0,||)2f x x =+><ωϕωϕ的图象如图所示，则ω=______________，ϕ=__________.2π3,π612. 已知ABC ∆是正三角形，若AC AB λ=-a 与向量AC 的夹角大于90，则实数λ的取值范围是__________.2λ>13. 定义在(0,)+∞上的函数()f x 满足：① 当[1,3)x ∈时，()1|2|f x x =--；②(3)3()f x f x =.设关于x 的函数()()F x f x a =-的零点从小到大依次为12,,,,n x x x .若1a =，则123x x x ++= ；若(1,3)a ∈，则122n x x x +++=________________.答案：14；6(31)n -三、解答题: 本大题共6小题，共80分。

2017海淀区高二(下)期中数学(理科)

2017海淀区高二（下）期中数学（理科）一．选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分．1．（4分）复数1﹣i的虚部为（）A．i B．1 C．D．﹣2．（4分）xdx=（）A．0 B．C．1 D．﹣3．（4分）若复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，且z1=1+i，则z1•z2=（）A．﹣2 B．2 C．﹣2i D．2i4．（4分）若a，b，c均为正实数，则三个数a+，b+，c+这三个数中不小于2的数（）A．可以不存在B．至少有1个C．至少有2个D．至多有2个5．（4分）定义在R上的函数f（x）和g（x），其各自导函数f′（x）f和g′（x）的图象如图所示，则函数F（x）=f（x）﹣g（x）极值点的情况是（）A．只有三个极大值点，无极小值点B．有两个极大值点，一个极小值点C．有一个极大值点，两个极小值点D．无极大值点，只有三个极小值点6．（4分）函数f（x）=lnx与函数g（x）=ax2﹣a的图象在点（1，0）的切线相同，则实数a的值为（）A．1 B．﹣C．D．或﹣7．（4分）函数y=e x（2x﹣1）的大致图象是（）A．B．C．D．8．（4分）为弘扬中国传统文化，某校在高中三个年级中抽取甲、乙、丙三名同学进行问卷调查．调查结果显示这三名同学来自不同的年级，加入了不同的三个社团：“楹联社”、“书法社”、“汉服社”，还满足如下条件：（1）甲同学没有加入“楹联社”；（2）乙同学没有加入“汉服社”；（3）加入“楹联社”的那名同学不在高二年级；（4）加入“汉服社”的那名同学在高一年级；（5）乙同学不在高三年级．试问：丙同学所在的社团是（）A．楹联社B．书法社C．汉服社D．条件不足无法判断二．填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．9．（4分）在复平面内，复数对应的点的坐标为．10．（4分）设函数f（x），g（x）在区间（0，5）内导数存在，且有以下数据：则曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线方程是；函数f（g（x））在x=2处的导数值是．11．（4分）如图，f（x）=1+sinx，则阴影部分面积是．12．（4分）如图，函数f（x）的图象经过（0，0），（4，8），（8，0），（12，8）四个点，试用“＞，=，＜”填空：（1）；（2）f′（6）f′（10）．13．（4分）已知平面向量=（x1，y1），=（x2，y2），那么•=x1x2+y1y2；空间向量=（x1，y1，z1），=（x2，y2．z2），那么•=x1x2+y1y2+z1z2．由此推广到n维向量：=（a1，a2，…，a n），=（b1，b2，…，b n），那么•=．14．（4分）函数f（x）=e x﹣alnx（其中a∈R，e为自然常数）①∃a∈R，使得直线y=ex为函数f（x）的一条切线；②对∀a＜0，函数f（x）的导函数f′（x）无零点；③对∀a＜0，函数f（x）总存在零点；则上述结论正确的是．（写出所有正确的结论的序号）三．解答题：本大题共4小题，共44分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．（10分）已知函数f（x）=x3﹣3x2﹣9x+2（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）求函数f（x）在区间[﹣2，2]上的最小值．16．（10分）已知数列{a n}满足a1=1，a n+1+a n=﹣，n∈N*．（Ⅰ）求a2，a3，a4；（Ⅱ）猜想数列{a n}的通项公式，并用数学归纳法证明．17．（12分）已知函数f（x）=x﹣（a+1）lnx﹣，其中a∈R．（Ⅰ）求证：当a=1时，函数y=f（x）没有极值点；（Ⅱ）求函数y=f（x）的单调增区间．18．（12分）设f（x）=e t（x﹣1）﹣tlnx，（t＞0）（Ⅰ）若t=1，证明x=1是函数f（x）的极小值点；（Ⅱ）求证：f（x）≥0．参考答案与试题解析一．选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分．1．【解答】复数1﹣i的虚部为﹣．故选：D．2．【解答】xdx=x2|=，故选：B3．【解答】∵复数z1、z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z1=1+i，∴z2=﹣1+i．∴z1•z2=﹣（1+i）（1﹣i）=﹣2．故选：A4．【解答】假设a+，b+，c+这三个数都小于2，∴a++b++c+＜6∵a++b++c+=（a+）+（b+）+（c+）≥2+2+2=6，这与假设矛盾，故至少有一个不小于2故选：B5．【解答】F′（x）=f′（x）﹣g′（x），由图象得f′（x）和g′（x）有3个交点，从左到右分分别令为a，b，c，故x∈（﹣∞，a）时，F′（x）＜0，F（x）递减，x∈（a，b）时，F′（x）＞0，F（x）递增，x∈（b，c）时，F′（x）＜0，F（x）递减，x∈（c，+∞）时，F′（x）＞0，F（x）递增，故函数F（x）有一个极大值点，两个极小值点，故选：C．6．【解答】由题意，f′（x）=，g′（x）=2ax，∵函数f（x）=lnx与函数g（x）=ax2﹣a的图象在点（1，0）的切线相同，∴1=2a，∴a=，故选C．7．【解答】y′=e x（2x﹣1）+2e x=e x（2x+1），令y′=0得x=﹣，∴当x＜﹣时，y′＜0，当x时，y′＞0，∴y=e x（2x﹣1）在（﹣∞，﹣）上单调递减，在（﹣，+∞）上单调递增，当x=0时，y=e0（0﹣1）=﹣1，∴函数图象与y轴交于点（0，﹣1）；令y=e x（2x﹣1）=0得x=，∴f（x）只有1个零点x=，当x时，y=e x（2x﹣1）＜0，当x时，y=e x（2x﹣1）＞0，综上，函数图象为A．故选A．8．【解答】假设乙在高一，则加入“汉服社”，与（2）矛盾，所以乙在高二，根据（3），可得乙加入“书法社”，根据（1）甲同学没有加入“楹联社”，可得丙同学所在的社团是楹联社，故选A．二．填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．9．【解答】复数==﹣1﹣i在复平面内对应的点的坐标（﹣1，﹣1）．故答案为：（﹣1，﹣1）．10．【解答】f′（1）=3，f（1）=2，∴曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线方程是y=3x﹣1，[f（g（x））]′=f′（g（x））g′（x），x=2时，f′（g（2））g′（2）=3×4=12，故答案为y=3x﹣1；1211．【解答】由图象可得S=（1+sinx）dx=（x﹣cosx）|=π﹣cosπ﹣（0﹣cos0）=2+π，故答案为：π+212．【解答】（1）由函数图象可知=，==2，∴．（2）∵f（x）在（4，8）上是减函数，在（8，12）上是增函数，∴f′（6）＜0，f′（10）＞0，∴f′（6）＜f′（10）．故答案为（1）＞，（2）＜．13．【解答】由题意可知•=a1b1+a2b2+a3b3+…+a n b n．故答案为：a1b1+a2b2+a3b3+…+a n b n．14．【解答】对于①，函数f（x）=e x﹣alnx的导数为f′（x）=e x﹣，设切点为（m，f（m）），则e=e m﹣，em=e m﹣alnm，可取m=1，a=0，则∃a∈R，使得直线y=ex为函数f（x）的一条切线，故①正确；对于②，∀a＜0，函数f（x）的导函数f′（x）=e x﹣，由x＞0，可得f′（x）＞0，则导函数无零点，故②正确；对于③，对∀a＜0，函数f（x）=e x﹣alnx，由f（x）=0，可得e x=alnx，分别画出y=e x和y=alnx，（a＜0）的图象，可得它们存在交点，故f（x）总存在零点，故③正确．故答案为：①②③．三．解答题：本大题共4小题，共44分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．【解答】（Ⅰ）f′（x）=3x2﹣6x﹣9=3（x+1）（x﹣3），令f′（x）=0，得x=﹣1或x=3，当x变化时，f′（x），f（x）在区间R上的变化状态如下：所以f（x）的单调递增区间是（﹣∞，﹣1），（3，+∞）；单调递减区间是（﹣1，3）；（Ⅱ）因为f（﹣2）=0，f（2）=﹣20，再结合f（x）的单调性可知，函数f（x）在区间[﹣2，2]上的最小值为﹣20．16．【解答】（Ⅰ）由题意a1=1，a2+a1=，a3+a2=﹣1，a4+a3=2﹣解得：a2=﹣1，a3=﹣，a4=2﹣（Ⅱ）猜想：对任意的n∈N*，a n=﹣，①当n=1时，由a1=1=﹣，猜想成立．②假设当n=k （k∈N*）时，猜想成立，即a k =﹣则由a k+a k =﹣，得a k+1=﹣，+1即当n=k+1时，猜想成立，由①、②可知，对任意的n∈N*，猜想成立，即数列{a n}的通项公式为a n=﹣．17．【解答】（Ⅰ）证明：函数f（x）的定义域是（0，+∞）．当a=1时，f（x）=x﹣2lnx﹣，函数f′（x）=≥0，所以函数f（x）在定义域（0，+∞）上单调递增，所以当a=1时，函数y=f（x）没有极值点；（Ⅱ）f′（x）=1﹣+=，x∈（0，+∞）令f′（x）=0，得x1=1，x2=a，①a≤0时，由f′（x）＞0可得x＞1，所以函数f（x）的增区间是（1，+∞）；②当0＜a＜1时，由f′（x）＞0，可得0＜x＜a，或x＞1，所以函数f（x）的增区间是（0，a），（1，+∞）；③当a＞1时，由f′（x）＞0可得0＜x＜1，或x＞a，所以函数f（x）的增区间是（0，1），（a，+∞）；④当a=1时，由（Ⅰ）可知函数f（x）在定义域（0，+∞）上单调递增．综上所述，当a≤0时，函数y=f（x）的增区间是（1，+∞）；当0＜a＜1时，所以函数f（x）的增区间是（0，a），（1，+∞）；当a=1时，函数f（x）在定义域（0，+∞）上单调递增；当a＞1时，所以函数f（x）的增区间是（0，1），（a，+∞）．18．【解答】证明：（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（0，+∞），…（1分）若t=1，则f（x）=e x﹣1﹣lnx，．…（2分）因为f′（1）=0，…（3分）且0＜x＜1时，，即f′（x）＜0，所以f（x）在（0，1）上单调递减；…（4分）x＞1时，，即f′（x）＞0，所以f（x）在（1，+∞）上单调递增；…（5分）所以x=1是函数f（x）的极小值点；…（6分）（Ⅱ）函数f（x）的定义域为（0，+∞），t＞0.；…（7分）令，则，故g（x）单调递增．…（8分）又g（1）=0，…（9分）当x＞1时，g（x）＞0，因而f′（x）＞0，f（x）单增，即f（x）的单调递增区间为（1，+∞）；当0＜x＜1时，g（x）＜0，因而f′（x）＜0，f（x）单减，即f（x）的单调递减区间为（0，1）．…（11分）所以x∈（0，+∞）时，f（x）≥f（1）=1≥0成立．…（12分）。

2017-2018学年北京市海淀区高二(下)期中数学试卷(文科)

2017-2018学年北京市海淀区高二（下）期中数学试卷（文科）一、选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（4分）下列复数中，与z=1+i的乘积为实数的是（）A．1﹣i B．﹣i C．i D．1+i2．（4分）已知函数f（x）=sinx+e x，则下面各式中正确的是（）A．f′（x）=cosx+e x B．f′（x）=﹣cosx+e x C．f′（x）=﹣e x co sx D．f′（x）=﹣e x sinx 3．（4分）函数f（x）=x，g（x）=x2在[0，1]的平均变化率分别记为m1，m2，则下面结论正确的是（）A．m1=m2B．m1＞m2C．m2＞m1D．m1，m2的大小无法确定4．（4分）用反证法证命题“若果平面α∥平面β，且直线l与平面α相交，那么直线l与平面β相交”时，提出的假设应该是（）A．假设直线l∥平面βB．假设直线l平面与β有公共点C．假设直线l与平面β不相交D．假设直线l在平面β内5．（4分）有A，B，C，D，E这5名同学围成一圈，从A起按逆时针方向依次循环报数，规定：A第一次报的数为2，B第一次报的数为3．此后，后一个人所报的数总是前两个人所报的数的乘积的个位数字，如此继续下去．则A第10次报的数应该为（）A．2 B．4 C．6 D．86．（4分）已知曲线：①y2=x②x2+y2=1③y=x3④x2﹣y2=1．上述四条曲线中，满足：“若曲线与直线有且仅有一个公共点，则他们必相切”的曲线条数是（）A．1 B．2 C．3 D．47．（4分）函数的部分图象可能是（）A．B．C．D．8．（4分）函数f（x）=x3+ax2﹣ax，g（x）=f′（x），其中a为常数，则下面结论中错误的是（）A．当函数g（x）只有一个零点时，函数f（x）也只有一个零点B．当函数f（x）有两个不同的极值点时，g（x）一定有两个不同的零点C．∃a∈R，使得函数g（x）的零点也是函数f（x）的零点D．∃a∈R，使得函数f（x）的极值点也是g（x）的极值点二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共24分.把答案填在题中横线上.9．（4分）复数在复平面上对应的点位于第象限，且|z|=．10．（4分）曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与2x﹣y+1=0平行，则f′（1）=．11．（4分）函数f（x）=kx﹣e x在[0，1]上单调，则k的取值范围是．12．（4分）不等式x＞lnx+1的解集为．13．（4分）计算sin230°+sin290°+sin2150°=，sin260°+sin2120°+sin2180°=，请你根据上面的计算结果，猜想sin2α+sin2（α+60°）+sin2（α+120°）=．14．函数f（x）=e x（x2+ax+a）在区间（0，1）上存在极值，则a的取值范围是15．（4分）已知函数和点P（1，0），过点P作曲线y=f（x）的两条切线PM，PN，切点分别为M，N，则直线MN的斜率等于．三、解答题：本大题共4小题，共44分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16．（12分）如图，曲边三角形中，线段OP是直线y=2x的一部分，曲线段PQ是抛物线y=﹣x2+4的一部分．矩形ABCD的顶点分别在线段OP，曲线段PQ和y轴上．设点A（x，y），记矩形ABCD的面积为f（x）．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式并指明定义域；（Ⅱ）求函数f（x）的最大值．17．（10分）在各项均为正数的数列{a n}中，a1=a且．（Ⅰ）当a3=2时，求a1的值；≤a n．（Ⅱ）求证：当n≥2时，a n+1解：（Ⅰ）（Ⅱ）某同学用分析法证明此问，证明过程如下，请你在横线上填上合适的内容．证明：要证n≥2时，a n≤a n+1﹣a n，只需证a n+1只需证≤0只需证只需证a n≥，根据均值定理，所以原命题成立．18．（12分）已知曲线f（x）=x3在点（1，f（1））处的切线为l，其中x0≠0．（Ⅰ）求直线l的方程；（Ⅱ）求证：直线l和曲线f（x）一定有两个不同的公共点．19．（10分）已知函数f（x）=x2﹣2alnx，其中常数a≠0．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）如果函数f（x）没有零点，求实数a的取值范围．。