指数函数及其性质 (1)
指数函数及其性质(一)
课时导学案——指数函数及其性质（一）麒麟区第一中学 段翠一、学习目标：1.理解指数函数的定义。
2.掌握指数函数的图象、性质及简单应用。
3.通过指数函数图象及性质的学习，提高观察、分析、归纳等思维能力。
二、学习重点：指数函数的图象、性质及简单应用。
三、学习难点：指数函数图象和性质的发现过程。
四、学习方法：通过独立思考，自主探究，总结出指数函数图象的特征，进而 发现指数函数的性质。
培养学生观察、比较、归纳等逻辑思维能力。
五、学习过程：1.定义：一般地，函数y ＝ )10(≠>a a 且叫做指数函数，其中x 是自变量， 函数的定义域是 .2.用描点法画出下列指数函数的图象.).(2)1(填写下表并作图x y =).(3)2(填写下表并作图x y =).()1()3(填写下表并作图x y =).()1()4(填写下表并作图x y =3．按照从特殊到一般的认识方法，请同学们总结: 的图象和性质如下且指数函数)10(≠>=a a a y x4.探究：（1）关于且与)10()1(≠>==a a ay a y x x 对称。
（2）指数函数的变化对函数中，底数且a a a a y x )10(≠>= 图象有什么影响？5.典例分析：例1 .已知），的图象经过点（且指数函数π,3)10()(≠>=a a a x f x 求 )3(),1(),0(-f f f 的值.例2.比较下列各题中两个值的大小:35.27.1,7.1)1( 2.0-1.0-8.0,8.0)2(1.33.09.0,7.1)3(总结：比较几个指数值大小的常用方法：6.课堂练习:（1）指数函数=-=)3(4,2)(f x f y ），则的图象经过点（ .（2）比较下列各组数的大小:7.08.03,3)1( 1.01.075.0,75.0)2(-1.0-3.0-9.4,8.0)3(7.03.05.1,2.0)4(7.课堂小结：8.课后作业:课本：P58 .2P59 .7,8。
指数函数及其性质
(0<a<1)
y
y=ax
(a>1)
图 象
y=1
(0,1) 0 x
(0,1)
y=1
0 x
a>1
0<a<1
a>1
0<a<1
1.图象全在x轴上方，与x轴无限接近。
1.定义域为R，值域为(0,+). 性 2.当x=0时，y=1 3.在R上是增 函数 3.在R上是减 函数
图 象 特 征
2.图象过定点（0，1） 3.自左向右图 3.自左向右图 象逐渐上升 象逐渐下降 4.图象分布在左 下和右上两个 区域内 4.图象分布在左 上和右下两个区 域内
(1), (6), (7)是指数函数。
已知f(x)是指数函数，且其图象
过点(2, 9)，求f(0)，f(1)，f(－3)的值.
2、指数函数的图象和性质： (1) 作出函数y 2 的图象.
x
(2)
1 作出函数y 的图象. 2
x
x
y2
x
…
-3
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
x
y
(2)
(1)
( 3)
( 4)
(0,1)
O
x
x
(4)y d 的图象,
x
x
比较a, b, c, d与1的大小关系 .
c d 1 a b.
y
对于多个指 数函数来说， 底数越大的图 象在 y 轴右侧 的部分越高.
(0,1)
O
x
简称：右侧 底大图高.
指数函数的图象和性质
a>1
y
§2.1.2指数函数及其性质(1)
本节课学习了那些知识?
• 指数函数的定义
一 地 函 y = a (a > 0, a ≠1 叫 指 般 ， 数 ) 做 数
x
函 ， 中是 变 ， 数 定 域 数 其 x 自 量 函 的 义 是 R。
指数函数的图象及性质！
归纳
指数函数在底数 0 < a < 1 及 情况下的图象和性质： 情况下的图象和性质：
1 f (− 3) = π = π
−1
应用
2、比较下列各题中两个值的大小： 、比较下列各题中两个值的大小：
(1 )1 . 7
, 2 . 3 1 .6
2 .5
,1 .7 3 ; (2
0 . 8 − 0 .1 , 0 . 8 − 0 .2 ; )
, 0 .9 ;
( 4 )1 . 8 0 . 3 ,, 2 ..3 3 . 1 ;( 4 )1 . 7 3 7 0 9
f(x) = 0.9x
1.4
1.4
1.2
1.2
1
1
0.8
0.8
0.6
0.6
0.4
0.4
0.2
0.2
-2
-1.5
-1
-0.5 -0.2
0.5
1
1.5
2
2.5
-0.5 -0.2
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
-0.4
-0.4
方法总结： 方法总结： 对同底数幂大小的比较用的是指数函数的 单调性， 单调性，必须要明确所给的两个值是哪个指数 函数的两个函数值； 函数的两个函数值；对不同底数幂的大小的比 较可以与中间值进行比较. 较可以与中间值进行比较.
指数函数及其性质1
引例：若从今年底开始我国的人口年平均增
长率为1%,那么经过20年后我国的人口数是现
在的几倍?
经第 过一
年
表第二 达式
第 三
年Y=1.01年X
经过 X年
人
口
增
增
增
长
长
长
倍 数
1%
1%
1%
人口
倍数 Y 1
1.011 (1.01)2 (1.01)3 …...1.01X
导入新课
y=ax (0<a<1)
指
图
数
象
函
数 定义域
R
性 值域
(0, ) 没有最值
质定 一性 览质
点
（0，1 ） 非奇非偶函数 在R上是增函数 在R上是减函数
表 单调性 若x>0, 则y>1 若x>0, 则0<y<1
若x<0, 则0<y<1 若x<0, 则y>1
2.指数函数y=ax(a>0且a≠1) 的图象和性质:
x
9
3
1
1 3
1 9
描点、连线
y
1
x
2
y
y 1 x 3
y 3x
y 2x
关于y轴对称
都过定点（0,1）
第一象限内，
a越大，图像越高
1
0
1
x
y
y
y 1 x 2
y 1 x 3
y
y 3x y 2x
y=ax (a>1)
1
0
x
1
0
1
y=ax (0<a<1)
指数函数及其性质课件(1)
y=2-x
…
…
-2
4
-1
2
0
1
1
1/2
2
1/4
…
…
y=3-x
…
9
3
1
1/3
1/9
…
y
1 y 2
x
1 y 3
x
1
Y=1
1
0
x
观察右边图象，完成下表
1 y ( )x 1x 3 y( ) 2
y=3X
Y
y = 2x
Y=
函数 定义域 值域 定点 单调性 y=2x/y=3x
a
1 2
1 2
当0 a 1时，y a x是R上的减函数， a a
1.70.3 0.93.1
比较指数幂大小的方法： ①、异指同底：构造函数法(一个), 利用函数的单调性,若 底数是参变量要注意分类讨论。 ②、异底同指:构造函数法(多个),利用函数图象在y轴左右
两侧的特点。
练习巩固
P t 0 2. 根据此规律, 一半,这个时间称为‘‘半衰期”
t 5730
人们获得了生物体内碳14含量P与死亡年数t之 间的关系,这个关系式应该怎样表示呢?
y 2 x N
x
*
1 P 2
t 5730
t 0
思考： 这两个关系式是否构成函数？它们有什么特 征？ 共同点：①变量y与x构成函数解析式，是指数 幂的形式，底数是常数,变量在指数位置. x ②两个解析式都具有 y a 的形式. 不同点：底数a的取值不同.
人教A版高中数学必修1
复习引入
材料1:某种细胞分裂时,由1个分裂成2个,2个分
指数函数及其性质
x 2 1.5 1 0.5 0 0.5 1 1.5 2
4 y
1
x
2
2.83 2 1.41 1 0.71 0.5 0.35 0.25
y
y 1 x 2
y 2x
1
01
x
102x21.5
探究活动
2.
请填写下表并在同一坐标系上作出函数 y 3x 及 y (1)x 的
• 函数在定义域R上是单调的，与直线x=1的交点纵 坐标即为底数a的大小；
• 在第一象限，底数越大，图象越高。
y
a
•
1•
o
1
x
y
1•
a
•
o
1
x
知识清单
1.本节课的重点知识：
指数函数的概念
y (1)x
y 2x
2y
指数函数的性质
2.记住两个基本图形:
数图象画法（尤其要了解底数如何影响 图象变化）；
指数函数及其性质 （第1课时）
概念：指数函数
一般地，函数y a x (a 0,且a 1)叫做 指数函数，其中x是自变量.
问题1：为什么要规定a 0,且a 1呢？
问题2：下列函数中，哪些是指数函数？
(1) y 2x √
(2) y x2 ×
(3) y 2x × (4) y 2x ×
3
图像.
x 2 1.5 1 0.5 0 0.5 1 1.5 2
y 3x 0.11 0.19 0.33 0.58 1 1.73 3 5.20 9
x 2 1.5 1 0.5
y
1
x
3
9
5.20
4.2 第1课时 指数函数及其图象、性质(一)
答案: C
3.已知函数f(x)=4+ax+1(a>0,且a≠1)的图象经过定点P,则点P的
坐标是(
)
A.(-1,5) B.(-1,4)
C.(0,4)
D.(4,0)
解析:当x+1=0,即x=-1时,ax+1=a0=1,此时f(x)=4+1=5,故点P的
坐标为(-1,5).
设f(x)=0.8x, 因为0<0.8<1,所以f(x)在R上单调递减.
又因为0.9>0.8,所以0.80.9<0.80.8.
再比较0.80.8与0.90.8的大小,设g(x)=x0.8,
因为0.8>0,所以g(x)在区间(0,+∞)内单调递增.
又因为0.8<0.9,所以0.80.8<0.90.8.
第1课时
4.2 指数函数
指数函数及其图象、性质(一)
学习目标
1.通过具体实例,了解指数函数的实际意义.
2.理解指数函数的概念.
3.能用描点法或借助计算工具画出具体指数函
数的图象.
4.探索并理解指数函数的单调性.
5.感悟数学抽象的过程,提升直观想象和逻辑推
理素养.
自主预习·新知导学
合作探究·释疑解惑
(-5,-1),即点P的坐标为(-5,-1).
答案:(1)D (2)(-5,-1)
反思感悟
1.指数函数图象问题的处理技巧
(1)抓住图象上的特殊点,如指数函数的图象必过的定点;
(2)利用图象变换,如函数图象的左右平移、上下平移;
(3)利用函数的奇偶性与单调性,奇偶性确定函数的对称情况,
指数函数及其性质1
教学步骤：知识梳理●知识点1 根式与分数指数幂1、n 次方根的定义：若x n =a ，则称x 为a 的n 次方根，“n”是方根的记号.在实数范围内，正数的奇次方根是一个正数，负数的奇次方根是一个负数，0的奇次方根是0；正数的偶次方根是两个绝对值相等符号相反的数，0的偶次方根是0，负数没有偶次方根. 2、方根的性质①当n 为奇数时，n n a =a .②当n 为偶数时，n n a =|a |=⎩⎨⎧<-≥).0(),0(a aa a3、分数指数幂的意义①a nm =n m a （a ＞0，m 、n 都是正整数，n ＞1）. ②anm -=nm a 1=nma1（a ＞0，m 、n 都是正整数，n ＞1）.③0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义指出：规定了分数指数幂的意义后，指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数，那么整数指数幂的运算性质也同样可以推广到有理数指数幂． 4、有理指数幂的运算性质 （1）ra ·sr r aa += ),,0(Q s r a ∈>； （2）rs s r a a =)(),,0(Q s r a ∈>； （3）sr r a a ab =)(),0,0(Q r b a ∈>>．题型一 指数式与根式的化简求值问题进行指数幂运算时，一般化负指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数，同时兼顾对于含有字母的化简求值的结果，一般用分数指数幂的形式来表示。
应用平方差，立方和（差）、完全平方公式及)0(1≠=-a a a p p 简化运算。
例1（1）计算：25.02121325.0320625.0])32.0()02.0()008.0()945()833[(÷⨯÷+---（2）化简：5332332323323134)2(248aa a a ab aaab b b a a ⋅⋅⨯-÷++--变式1．化简1327()125-的结果是（ ）.A. 35B. 53 C. 3 D.52．已知11223x x-+=，求下列各式的值。
指数函数图像及性质(一)
应用一
(1) 求使不等式 4 32 成立的 x 的集合；
x
(2) 已知 a a
4 5
2
，求数 a 的取值范围.
解： （１） 4 32, 即 2
x
x
2x
25 ．
5 因为 y=2 是 R 上的增函数，所以 2x＞5,即 x 2 5 x 满足 4 32 的 x 的集合是 ( , ) ； 化为同底 2 的指数幂 4 x （２）由于 2 ，则 y a 是减函数， 5
0.3
0.9
3.1
解：根据指数函数的性质，得：
1.70.3 1.70 1 且 0.93.1 0.90 1
从而有
3.2
3.2
1.7
0.3
0.9
3.1
3
3
2.8
2.8
2.6
2.6
2.4
2.4
2.2
2.2
2
2
1.8
fx = 1.7x
1.8
fx = 0.9x
1.6
1.6
1.4
1.4
0.8
0.1
0.8
0.2
1.8
fx = 0.8x
1.6
1.4
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
-1.5
-1
-0.5
0.5
1
应用一
比较下列各题中两个值的大小： (1) 30.8与30.7 方法总结： 对同底数幂大小的比较用的是指数函数的 单调性，必须要明确所给的两个值是哪个指数 函数的两个函数值；对不同底数幂的大小的比 较可以与中间值进行比较. (2) 0.75-0.1与0.750.1
2.1.2指数函数及性质(1)
细胞分裂问题 … … … …
用x表示y的关系式是：
y 2 , x N
x
…
… … …
分裂次数x 细胞总数y
1
2
3
2
4
… …
2
1
2
2
3
2
4
引例2
一尺之棰,日取其半,万世不竭
出自《庄子 天下篇》
设木杖 原长为１个单位
… ３ ４ …
截取次数x 剩余长度y
１
２
引例2
一尺之棰,日取其半,万世不竭
出自《庄子 天下篇》
A先生从今天开始每天给你10万元,而你 承担如下任务:第一天给A先生1元,第二天给A 先生2元,,第三天给A先生4元,第四天给A先生 8元,依次下去…那么,A先生要和你签定15天 的合同,你同意吗?又A先生要和你签定30天的 合同,你能签这个合同吗?
2.1.2指数函数及性质
引例1
细胞分裂问题
分裂次数x 细胞总数y
引例1
细胞分裂问题
分裂次数x 细胞总数y
1
2
1
引例1
细胞分裂问题
分裂次数x 细胞总数y
1
2
2
1
2
2
引例1
细胞分裂问题
分裂次数x 细胞总数y
1
2
3
2
2
1
2
2
3
引例1
细胞分裂问题
分裂次数x 细胞总数y
1
2
3
2
4
2
1
2
2
3
2
4
引例1
4－3a>0， 4－3a≠1，
4 故 a 的取值范围为{a|a< 且 a≠1}． 3 答案 4 {a|a< 且 a≠1} 3
指数函数及其性质(教案)
指数函数及其性质（一）【教学目标】1．使学生掌握指数函数的概念,图象和性质；(1)能根据定义判断形如什么样的函数是指数函数，了解对底数的限制条件的合理性，明确指数函数的定义域。
(2)能在基本性质的指导下，用列表描点法画出指数函数的图象，能从数形两方面认识指数函数的性质。
2．通过对指数函数的概念图象性质的学习，培养学生观察，分析归纳的能力，进一步体会数形结合的思想方法。
【教学重点】指数函数的概念和性质。
【教学难点】指数函数的图象、性质与底数a的关系。
【教学方法】启发式教学，探讨式教学等。
【教学工具】多媒体（几何画板）【教学设计】一、通过问题引入：问题（1）：某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个……1个这样的细胞分裂x次后，得到的细胞个数y与x的函数关系式是什么？问题（2）：某台机器的价值每年折旧率为6%，写出经过x年后，这台机器的价值y与x的函数关系式。
用多媒体演示它们的变化过程并求出函数关系式：（1）表达式 y=2x（x为正整数）（2）表达式y=0.94x（x为正整数）设问：y=0.94x和y=2x这样的函数是什么函数？其一般形式是什么？提示学生从幂的形式、幂底数和幂指数三个方面概括出其形式为y=a x后，说明这就是我们今天要学习的指数函数，从而引出指数函数的概念。
二、新授1、指数函数的概念一般地，函数y=a x (a>0且a ≠1)叫做指数函数，其中x 是自变量，函数定义域是R ，常数a(a>0且a ≠1)叫做指数函数的底数。
设问：函数y=a x 中当x 为全体实数时，底数为什么要规定a>0且a ≠1？学生讨论，老师总结如下： 当a>0时，a x 有意义；当a=1时,1xa ≡,无研究价值；当a=0时，若x>0时，0xa ≡，也没有研究价值；若x ≦0时，xa 无意义； 当a<0时，xa不一定有意义，如()122-，所以为了研究方便，规定a>0且a ≠1。
指数函数及性质(1)
① 指数:自变量x ； ② 底数:a>0且a≠1；
③系数为1 (a x与x的系数都为1)
问下列函数指数函数吗？
答：（1）（5）
思考：已知函数的解析式，怎么得到函数的图象，
一般用什么方法？ 列表、描点、连线作图 在同一直角坐标系画出 y
2
x
的图象。
1 ，y 2
x
并观察：两个函数的图象有什么关系？
2.1.2 指数函数及性质（一）
实例1 《庄子· 逍遥游》记载：一尺之椎，日
取其半，万世不竭.意思是一尺长的木棒，一天 截取一半，很长时间也截取不完.这样的一个木 棒截取x次，试写出剩余长度y与x的关系式.
实例2 某种细胞分裂时,由1个分裂为2个,2个为
4个,……, 一个这样的细胞分裂x次后，得到的 细胞的个数y与x的函数关系式是什么？
思考：实例1,2的共同点？这样的对应关系是
否可以称为一个函数？
一、定义:函数
叫指数
函数， 其中x是自变量，函数的定义域是R. 想一想：为什么要规定底数 a >0 且 a≠1 呢？
(1)a 0时，负数没有偶次方根；
(2)a=0时， 0的负指数幂没有意义；
(3)a 1时，y 1 1, 常数函数没有研究意义.
解：
解：
解：由指数函数的性质知
说 明：
利用指数函数性质比较幂的大小方法：
思考：（2）同指数不同底数的幂比较大小？
作业1：在同一坐标系中列表用不同颜色的笔作出函数 x x
1 1 x y 2 ,y ,y 3 ,y 2 3
x
的图像.
课堂小结
１.指数函数定义 ２.指数函数的图象和性质 研究一个具体函数，主要从三方面入手：定义、图 像、性质 3.指数幂的大小比较.
2.1.2指数函数及其性质(1)
一、指数函数的实际背景：
我国GDP（国内生产总值）未来20年平均增长率可望达到73 . %， 问题1： 那么x年后GDP可望为今年的y倍，则
x y （ 1+7.3%） =1.073x ( x N ，x 20)
问题2：生物体内碳14含量P与死亡年数t的函数关系为：
4、函数y＝a x－1＋4恒过定点( A．(1，5) B．(1，4) C．(0，4) D．(4，0)
A
)
5、若函数y=a2x+b+1(a>0且a≠1,b为 实数)的图象恒过定点(1，2)， -2 则b=_____.
一、通过本节课的教学，你有什么收获？
（1）指数函数的概念； （2）指数函数的图象和性质； （3）利用单调性比较两个指数值的大小。 二、你体会到的数学思想方法有哪些？ 数形结合的思想、分类与整合的思想以及 特殊与一般的思想等。
x
1 3
1 2
④、
1.7 , 0.9
0.3
3.1
Hale Waihona Puke x 解： ③、 a 当a 1时，y a 是R上的增函数，
1 3
1 3
a
3.1
1 2
1 2
当0 a 1时，y a 是R上的减函数， a a
④、
1.7
0.3
1而0.9 1,
3.1
1.7
0.3
0.9
小结：比较指数值大小的方法 ①、构造函数法：要点是利用函数的单调性，数 的特征是同底不同指（包括可以化为同底的）， 若底数是参变量要注意分类讨论。 ②、中间介值比较法：用别的数如0或1做桥。数 的特征是不同底不同指。
课堂练习：
必修1教案2.1.2指数函数及其性质(一)
2.1.2 指数函数及其性质（一）（一）教学目标1．知识与技能了解指数函数模型的实际背景，理解指数函数的概念，掌握指数函数的图象．2．过程与方法能借助计算器或计算机画出具体指数函数的图象，探索指数函数图象特征．3．情感、态度与价值观在解决简单实际问题的过程中，体会指数函数是一类重要的函数模型，激发学生学习数学的兴趣，努力培养学生的创新意识．（二）教学重点、难点1．教学重点：指数函数的概念和图象．2．教学难点：指数函数的概念和图象．（三）教学方法采用观察、分析、归纳、抽象、概括，自主探究，合作交流的教学方法，通过各种教学媒体（如计算机或计算器），调动学生参与课堂教学的主动性和积极性．（四）教学过程教学环节教学内容师生互动设计意图复习引入1. 在本章的开头，问题（1）中时间x与GDP值中的 1.073(20)xy x x=∈≤与问题(2)中时间t和C-14含量P的对应关系]t51301P=[()2，请问这两个函数有什么共同特征.2. 这两个函数有什么共同特征157301][()]2tP=t57301把P=[()变成2，从而得出这学生思考回答函数的特征．由实际问题引入，不仅能激发学生的学习兴趣，而且可以培养学生解决实际问题的能力．两个关系式中的底数是一个正数，自变量为指数，即都可以用xy a =（a ＞0且a ≠1来表示）.形成概念理解概念指数函数的定义一般地，函数xy a =（a ＞0且a ≠1）叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域为R .回答：在下列的关系式中，哪些不是指数函数，为什么？（1）22x y +=（2）(2)xy =- （3）2xy =-（4）xy π=（5）2y x = （6）24y x=（7）xy x =（8）(1)xy a =- （a ＞1，且2a ≠）小结：根据指数函数的定义来判断说明：因为a ＞0，x 是任意一个实数时，xa 是一个确定的实数，所以函数的定义域为实数集R .000,0xx a a x a ⎧>⎪=⎨≤⎪⎩x当时,等于若当时,无意义若a ＜0，如1(2),,8x y x x =-=1先时,对于=等等,6在实数范围内的函数值不存在.若a =1, 11,xy == 是一个常量，没有研究的意义，只有满足学生独立思考，交流讨论，教师巡视，并注意个别指导，学生探讨分析，教师点拨指导．由特殊到一般，培养学生的观察、归纳、概括的能力．使学生进一步理解指数函数的概念.(0,1)x y a a a =>≠且的形式才能称为指数函数，a 为常数,如：,,xy x =1xxy=2-3,y=253,31x x y y +==+等等,不符合(01)x y a a a =>≠且的形式,所以不是指数函数 .深化概念我们在学习函数的单调性的时候，主要是根据函数的图象，即用数形结合的方法来研究. 下面我们通过先来研究xy a =（a ＞1）的图象， 用计算机完成以下表格，并且用计算机画出函数2xy =的图象x3.00- 2.50- 2.00- 1.50-2x y =18-141.00- 0.00 0.50 1.00 1.502.00 121 2 4再研究先来研究xy a =（0＜a ＜1）的图象，用计算机完成以下表格并绘出函数1()2xy =的图象.x2.50- 2.00- 1.50- 1.00- 0.001()2x y =141211.00 1.502.00 2.50学生列表计算，描点、作图．教师动画演示．学生观察、归纳、总结，教师诱导、点评． 通过列表、计算使学生体会、感受指数函数图象的化趋势，通过描点，作图培养学生的动手实践能力．不同情况进行对照，使学生再次经历从特殊到一般，由具体到抽象的思维过程．培养学生的归纳概括能力．从图中我们看出12()2x x y y ==与的图象有什么关系?通过图象看出12()2x x y y y ==与的图象关于轴对称,实质是2xy =上的x,y 点(-)x y x,y y 1与=()上点(-)关于轴对称.2讨论：12()2xx y y ==与的图象关于y 轴对称，所以这两个函数是偶函数，对吗？②利用电脑软件画出115,3,(),()35x x x x y y y y ====的函数图象.2 4所以0(0)1f π==，133(0)f ππ==，11(3)f ππ--==.归纳 总结1、理解指数函数(0),xy a a =>101a a ><<注意与两种情况2、解题利用指数函数的图象，可有利于清晰地分析题目，培养数型结合与分类讨论的数学思想 .学生先自回顾反思，教师点评完善． 通过师生的合作总结，使学生对本节课所学知识的结构有一个明晰的认识，形成知识体系.课后 作业作业：2.1 第四课时 习案 学生独立完成 巩固新知 提升能力备选例题例1 指出下列函数哪些是指数函数： （1）x y 4=； （2）4x y =； （3）x y 4-=； （4）xy )4(-=； （5）xy π=； （6）24x y =；（7）x x y =； （8）,21()12(>-=a a y x且)1≠a . 【分析】 根据指数函数定义进行判断. 【解析】 （1）、（5）、（8）为指数函数； （2）是幂函数（后面2.3节中将会学习）； （3）是1-与指数函数x 4的乘积；（4）底数04<-，∴不是指数函数； （6）指数不是自变量x ，而底数是x 的函数； （7）底数x 不是常数. 它们都不符合指数函数的定义.【小结】准确理解指数函数的定义是解好本问题的关键.例 2 用计算机作出的图像，并在同一坐标系下作出下列函数的图象，并指出它们与指数函数y =x 2的图象的关系，⑴y =12+x 与y =22+x . ⑵y =12-x 与y =22-x .解：⑴作出图像，显示出函数数据表比较函数y =12+x 、y =22+x 与y =x2的关系：将指数函数y =x2的图象向左平行移动1个单位长度，就得到函数y =12+x 的图象，将指数函数y =x2的图象向左平行移动2个单位长度，就得到函数y =22+x 的图象⑵作出图像，显示出函数数据表比较函数y =12-x 、y =22-x 与y =x 2的关系：将指数函数y =x 2的图象向右平行移动1个单位长度，就得到函数y =12-x 的图象，将指数函数y =x 2的图象向右平行移动2个单位长度，就得到函数y =22-x 的图象小结：⑴当m >0时，将指数函数y =x 2的图象向右平行移动m 个单位长度，就得到函数y =m x -2的图象；当m >0时，将指数函数y =x 2的图象向左平行移动m 个单位长度，就得到函数y =2x m +的图象。
指数函数及其性质(1)
1、求下列函数的定义域与值域： （1） y 2
1 x2
；
1 x2 4 x （2） y ( ) ； 2
（3） y 1 2 x ；
（3） y 4 2
x
x 1
1
【练习】求下列函数的定义域、值域 （1） y 3
x
；
（2） y 1 ( ) x ；
1 2
（3） y 9x 3x 1
0 .7 5 .1
2.已知下列不等式，比较 m，n 的大小 （1） 0.9 0.9 ；
m n
（2） 1.1 1.1 ；
m n
（3） (a 2) (a 2) ；
2 m 2 n
（4） a a (a 0且a 1)
m n
方法总结：
课堂检测 1.下列函数中指数函数的个数是（
）
1 a 为奇函数， 〖变式〗已知函数 f ( x) x 2 1 则实数 a 的值为
【课后作业】 一、选择题： 1.设 f ( x) ( ) , x R ，那么 f ( x ) 是（
x
1 2
）函数且在 (0, ) 上是（ D、偶，减 ）
）函数
A、奇，增
B、偶，增
C、奇，减
2.如图是指数函数① y a x ；② y b x ；③ y c x ； ④ y d x 的图象，则 a、b、c、d 与 1 的大小关系是（ A、 a b 1 c d B、 b a 1 d c C、 1 a b c d D、 a b 1 d c 3.已知集合 M= 1,1 ，N= x A、 x 1 0
1 x 练习：画出 f ( x ) ( ) 的图象， 2
并根据图象指出 f ( x ) 的单调区间
指数函数及其性质(1)(2)
例4 (1)已知下列不等式，比较m、 n的关系：
① 2m<0.5n ②0.2m>5n ③ am>an (a≠1且a>0)
练习4：(1)已知下列不等式，试比较m、n的大小：
2 m 2 n ( ) ( ) 3 3
1.1 1.1
m
n
mn mn
2 0.2
(2)比较下列各数的大小：
1,
x
x
D. y a x 2 (a 0且a 1)
2. 函数
y (a 3a 1) a
2
x
3 是指数函数,则a=_____
处理课本:p72-73 例1，2，3 处理课本练习:p73 1，2
课后作业：
P76 习题 3-3
B组1，2，3,4
(0＜a ＜1)
(0,1) y=1 0 x
y a (a 0且a 1) 的图象和性质：
x
a>1
0<a<1
6 5
图 象
1
6
5
4
4
3
3
2
2
1
1
1
-4
-4 -2
-2
0
-1
0
-1
2
4
6
2
4
6
性
质
1.定义域： (,) 2.值域： (0,) 3.过点 (0,1) ，即x= 0 时，y= 1
x
√
例1 已知指数函数 f(x) a x a 0, 且a 1
的图象经过点(2, 4)，求f(0), f(1), f(-3)。
f ( x) a x 的图象经过点(2, 4),所以 解: 因为
f(2)=4,
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• 杰米在一个月（31天）内得到310万元的同时， 共付给韦伯2147483647分，也就是2000多万元！ 杰米破产了。
• 这个故事会让我们吃惊，开始微不足道的数字， 两倍两倍的增长，会变得这么巨大！一种事物 如果成倍成倍地增大，则它是以指数形式增大， 这种增大的速度就像“大爆炸”一样，非常惊 人。在科学领域，常常需要研究这一类问题。
底数相同指数不同的幂比较大小，构造指 数函数，利用函数单调性来判断。
变式训练： 已知下列不等式 , 比较 m,n 的大小 :
（1） 2m 2n
（2） 0.2m 0.2n
(1)m n
(2)m n
问课本第59页， 第6题，第7题，第9题
§ 2.1.2 指数函数及其性质
授课教师：
“指数爆炸”的故事
• 从前，有一个叫杰米的百万富翁，一天，碰 上一件奇怪的事，一个叫韦伯的人对他说， 我想和你定个合同，我将在整整一个月中每 天给你10万元，而你第一天只需给我一分钱， 而后每一天给我的钱是前一天的两倍。杰米 说：“真的？！你说话算数？”
• 合同开始生效了，第一天杰米支出一分钱， 收入10万元；第二天，杰米支出2分钱，收 入10万元；第三天，杰米支出4分钱，收入 10万元……
2x
问题 引入
问题2：《庄子·天下篇》中写道：“一尺 之棰，日取其半，万世不竭。”请你写出 截取x次后，木棰剩余量y关于x的函数关 系式？
研究 截取 次数 1次 2次 3次 4次 x次
y (1)x 2
木棰 1 尺 1 尺 1 尺 1 尺 (1 )x 尺
剩余 2
4 8 16
2
想 像y 2x , y (1)x 这类函数有什么
• 例如：生物学中研究某种细胞的分裂问题
问题 引入
问题1：某种细胞分裂时，由1个分裂成 2个，2个分裂成4个，1个这样的细胞分 裂x次后，得到的细胞个数y与x的函数 关系式是什么？
研究
分裂 次数 1次 2次 3次 4次 x次
……
y 2x
细胞 2个 4个 8个 16个 个数 21 22 23 24
一
2
想 共同特征？底数是什么？指数是什么？
(1)均为幂的形式，且幂值前的系数都为1；
(2)底数是一个正的常数; (3)指数是自变量x。
导出概念
指数函数定义：一般地，函数 y=ax （a>0,且a≠1）叫做指数函数,其中x是
自变量，函数的定义域为R
指数函数的图象和性质：
在同一坐标系中分别作出如下函数的图像：
y 2x
列表如下：
y 1 x 2
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
y＝2x … 1/8 1/4 1/2 1 2 4 8 …
y＝ (1/2)x
…
8
4
2 1 1/2 1/4 1/8 …
8
7
6
y 1 x
5 4
2
3
2
1
-6
-4
-2
y 2x
2
4
6
归纳
指数函数
质 在 R 上是单调 增函数 在 R 上是单调 减函数
非奇非偶函数
题型一 指数函数概念的应用
例1、判断下列函数是不是指数函数，
为什么？
① y x2
是⑤y x
是② y 8x
⑥ y 5x1
是③ y (2a 1)x (a 1 且a 1, a为常数)
④ y (4)x
a>1
的图像及性质
0<a<1
图
y
y=ax
(a>1)
y=ax
y
(0<a<1)
(0,1)
y=1
象
y=1
(0,1)
当 当
x x
> <
0 0
0 时，y > 1 时，0< y <
定
1
x
义
当x<
域当
x>
:
0 0
时时，，y00><
R
1 y
<
1
x
性
值 域: ( 0,+ ∞ )
恒 过 点： ( 0 , 1 ) ,即 x = 0 时, y = 1 .
2 ⑦y xx
⑧ y 10x
(1)均为幂的形式，且幂值前的系数都为1；
(2)底数是一个正的常数;
(3)指数是自变量x。
题型二 幂值大小的比较
例2、比较下列各题中两个值的大小：
（1）1.72.5和1.73 （2）0.80.1和0.80.2
底数相同 指数不同
(1)解：∵函数 y 1.7x在R上是增函数，
而指数2.5<3．
∴ 1.72.5< 1.73
题型二 幂值大小的比较
底数相同
指数不同
例2、比较下列各题中两个值的大小：
（1）1.72.5和1.73 （2）0.80.1和0.80.2
(2)解： ∵函数 y 0.8x在R上是减函数， 而指数-0.1>-0.2
∴ 0.80.1 0.80.2 总结：