一种高精度几何非线性递推凝聚梁单元

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大型风电机组组合式塔架结构优化设计

大型风电机组组合式塔架结构优化设计∗陈俊岭;阳荣昌;马人乐【摘要】Traditional tubular wind turbine towers may result in a great increase in the fabricating, mounting and transporting cost for large wind turbine systems.A new composite tower was proposed and then the structural optimization was carried out.The new structure is composed of a lattice tower at the bottom with four-angle combined cross-section legs and the steel tube at the top.The stability coefficients curve of the four-angle combined cross-section column subjected to axial compression was first obtained by a series of ultimate bearing capacity analyses.Considering the strength,frequency and slenderness ratio as constraint conditions,the shape and section optimization of the lower lattice tower was carried out.The optimal results show that the proposed structural system can resolve the scarcity of traditional tubular steel towers in transportation and has a 34% less steel consumption.%为解决传统单管风力发电塔架在大型风电机组应用中加工、制作、安装和运输成本大幅上升的问题，提出一种新型组合式塔架结构，并对其进行结构优化设计。

非线性几何精确梁理论研究综述

ｓｏｌｖｅｔｈｅｄｙｎａｍｉｃｅｑｕａｔｉｏｎｓｉｓａｌｓｏｄｉｓｃｕｓｓｅｄ，ａｎｄｓｔｒｅｎｇｔｈａｎｄｗｅａｋｎｅｓｓｏｆｔｈｏｓｅｔｗｏｍｅｔｈｏｄｓａｒｅａｌｓｏｅｌａｂｏｒａｔｅｄ．Ｉｔｉｓｉｎｄｉｃａｔｅｄｔｈａｔｔｈｅｇｅｏｍｅｔｒｉｃａｌｌｙｅｘａｃｔ３Ｄｂｅａｍｔｈｅｏｒｙｈａｓｔｈｅｍｅｒｉｔｓｏｆｌｅｓｓｇｅｎｅｒａｌｃｏｏｒｄｉｎａｔｅｓａｎｄｈｉｇｈｅｒｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎｅｆｆｉｃｉｅｎｃｙｗｈｅｎｄｅａｌ — ｉｎｇｗｉｔｈｇｅｏｍｅｔｒｉｃｎｏｎｌｉｎｅａｒｂｅａｍｐｒｏｂｌｅｍｓ；ｉｎｔｈｅｍｅａｎｔｉｍｅ，ｔｈｅｐｒｏｂｌｅｍｓｏｆｒｏｔａｔｉｏｎｐａｒａｍｅｔｅｒｓｉｎｇｕｌａｒｉｔｙａｎｄｕｎｉｔｓｔｒａｉｎｏｂ —
Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｇｅｏｍｅｔｒｉｃａｌｌｙｅｘａｃｔ３Ｄｂｅａｍｔｈｅｏｒｙｃａｎｄｅｓｃｒｉｂｅｔｈｅｌａｒｇｅｄｅｆｏｒｍａｔｉｏｎａｎｄｒｏｔａｔｉｏｎｏｆｔｈｅｂｅａｍａｎｄｅｆｆｅｃｔｉｖｅｌｙｄｅａｌｓｗｉｔｈｇｅｏｍｅｔｒｉｃｎｏｎｌｉｎｅａｒｂｅａｍｐｒｏｂｌｅｍｓ．Ｔｈｅｄｅｖｅｌｏｐｍｅｎｔｏｆｇｅｏｍｅｔｒｉｃａｌｌｙｅｘａｃｔ３Ｄｂｅａｍｔｈｅｏｒｙｉｓｒｅｖｉｅｗｅｄ．Ｔｗｏｍｅｔｈｏｄｓｏｆｐａｒａｍｅｔｅｒｉｚｉｎｇｆｉｎｉｔｅｒｏｔａｔｉｏｎａｒｅｄｅｍｏｎｓｔｒａｔｅｄ，ｏｎｅｏｆｗｈｉｃｈｉｓｎｅｗｌｙｍｅｎｔｉｏｎｅｄ．Ｔｗｏｉｎｔｅｒｐｏｌａｔｉｏｎｍｅｔｈｏｄｓｏｆｔｈｅｆｉｎｉｔｅｒｏｔａｔｉｏｎ

微分求积有限梁单元

作为一种数值分析工具，限单元有
法对促进当代科学技术的发展和工程
首先简要介绍微分求积有限单元法的
式中，＝ … ．，ｊ ≤ １而ｉｌ．ｉ，，２，＃２ｊＮ
基本原理，然后推导微分求积Ｅ — ｕｌ — ｅｏｌ梁单元，ｅＢｒｕｉｒｎｌ并与ＳＥＦＭ进行了比较。最后，用数值结果验证ＤＦＭ的ＱＥ
优越性能。１微分求积方法的基本原理．
实际应用发挥了重要的作用。为了改善有限单元法（Ｅ的精度，以采用ＰＦＭ）可
收敛方法、敛方法以及两种方法的ｈ收
Ａ ∑４一
式中：１，，ｉ，．Ⅳ和１＝２．．
—５３６３８５１４６６
ｉｉｉ ’ ｉ．
１
ｉｆ
０
刚度矩阵、质量矩阵以及计算得到的频
兀（￣Ｙｋｊ）－
（）２
阶Ｌｇｎｒ多项式 ∽ 为：ｅｅｄｅ
）： ∑
一（）６
丕南
高阶系数则由下面递推公式计算：
Ａ４
Ｘ－Ｘｊ
一
ｋ！一）２１０２ｆ！／ｎ一４
，
）的零根与其伴随矩阵的本征根是
ｍｅＪｔ插值函数。并且微分求积有限单元不需要结点形函数，刚度和质量矩阵可以简单地写成微分求积系数矩阵和ｉ
ＧｕｓＬｂｔｏａｓ－ｏａｔ积分权系数矩阵的乘积，从而简化结构矩阵的计算，这对构造高阶单元是有益的。用高阶单元和２结点微

梁杆结构几何非线性有限元的数值实现方法

NUMERICAL IMPLEMENTATION OF GEOMETRICALLY NONLINEAR FINITE ELEMENT METHOD FOR BEAM STRUCTURES
CHEN Zheng-qing
(College of Civil Engineering, Hunan University, Changsha 410082, China)
= tσ ij + ∆∗T ij = ∆∗ Eij
(1) (2)
而它在 t+Δt 时刻柯西应变就等于其增量：
t + ∆t t Eij
式中， ∆ Eij 为：
∗
∆∗ Eij = ∆∗ε ij + ∆∗ηij 1 ∆∗ε ij = (∆ui ,j + ∆u j ,i ) 2 1 ∆∗ηij = ∆uk ,i ∆uk ,j 2
———————————————
收稿日期：2013-05-01；修改日期：2014-03-06 基金项目：国家自然科学基金项目(91215302) 作者简介：陈政清(1947―)，男，湖南湘潭人，教授，博士，湖南大学风工程研究中心主任，主要从事结构振动与控制研究(E-mail: zqchen@).
(3) (4) (5)
44
工
程
力
学
E G [ t kαβ ]{∆qα } = {t+ ∆t Pβ − tψ β } + t kαβ
仍然假定变形体的应变增量是小应变，应力应变增量关系可以记为：
(14) (15) (16)
′ ∆∗ε kl ∆∗T ij = Cijki
功增量方程如下： ′ = A3 ′ − A4 ′ A1′ + A2 式中：

数值仿真工具在“机械振动学”课程教学中的应用

数值仿真工具在“机械振动学”课程教学中的应用作者：俎群马驰骋李欣业刘硕来源：《科技风》2024年第16期摘要：随着科学技术发展，数值仿真模拟为抽象理论知识的学习及应用提供了可视化、低成本、高效率之新途径。

基于ABAQUS有限元软件，以复杂服役环境下DF17导弹振动抑制为工程背景，以梁的横向振动模态为研究对象，分别模拟计算五种常见梁的前三阶横向振动固有频率及振型。

与理论推导结果对比，进行误差分析，验证梁模型的适用条件。

数值仿真模拟与理论学习的有机结合将有效强化学生对振动基本理论的理解，提高先进工具应用能力和问题分析能力。

关键词：数值仿真；机械振动；课程教学；模态分析中图分类号：G642文獻标识码：A一、概述从中国制造世界最大推力70吨级振动台，到实现世界最大单体隔震建筑——北京大兴国际机场的运营，可以知道，振动是影响高端装备、土木建筑等安全性与可靠性的关键因素，也是工程设计及应用中最具挑战性的核心对象。

“机械振动学”理论学习及运用对航空航天、机械工程、土木工程等领域发展举足轻重［1］。

“机械振动学”作为部分工程类专业基础课程，系统地阐述了振动的基本理论与分析方法［23］。

由于该课程具有内容广泛、理论抽象、公式繁多等特点，且学生已习惯在静力学框架下分析问题，在动力学理论学习过程中普遍反映知识抽象、理解困难。

振动实验是辅助学生理解知识和实践应用最行之有效的方法，但通常学时有限且成本较高。

随着科学技术发展，数值仿真模拟为抽象理论知识的学习及应用提供了可视化、低成本、高效率之新途径［45］。

本文以弹性体梁的横向振动为例，应用数值仿真工具辅助理论教学。

DF17导弹作为高超声速、极高精度制导武器，复杂服役环境下振动抑制尤为重要。

在实际飞行过程中，其振动形式是非常复杂的，涉及横向、轴向、扭转等多种振动耦合。

在本科阶段振动基本理论教学中，可将该研究对象简化成欧拉伯努利梁模型进行解耦分析。

下面基于梁横向固有振动模态开展理论分析与数值模拟。

直接法推导考虑滑移及剪切变形的组合梁单元

( 1 基于微小变形理论; )
力表为凡t 【戈 K 从戈戈 K可示 : ，戈 = 从F 同在梁混土接界处时，钢与凝板合面引
人弹簧用于模拟剪力连接件的刚度，则可得到组合梁单元如图1 所示不考虑梁自身刚度贡献时，对于1 节点产生位移、节点固定时节点力分量由图1可 j 知 :
程凡，舀占，可出节位向。，，。解各点移量占 = ，即火，并组梁中梁混土各自，得出合钢及凝板的内
‘ + 罕
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力为零 ( 以下不再赘述 ) ;
虑滑移效应的七自由度的弹性平面梁单元，力及界面滑移量。文献[ 钩建了 3 分别具有3 次和5 次Her i 多 mt e 项式形函数的单元，但对钢梁及混凝土板截 3 进一步讨论面设计无法分别进行考虑，试设计工作量较综上所述，本文构造的8 自由度组合梁大。单元可直接得出考虑接合界面滑移效应及剪文献川提出的双层梁有限元分析方法简单切变形下钢梁及混凝土板各自的内力。可方明确，本文基于其基本思想采用直接法由平便的用于组合梁的设计计算。同时，由单元面梁单元构建出考虑剪切及滑移效应的2 节模型可以看出混凝土板与钢梁分别采用各种点 8 自由度的组合梁单元。材料及截面特性输人，因此，可以直接用于计算混凝土板的收缩、板内预应力及组合截 2 组合梁单元构造面温差效应，而无须如一般方法需将其换算为节点轴力及弯矩分量，当考虑材料非线性引入基本假定

3D3S非线性手册

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非线性分析系统手册
6.4 例题四拉线塔..................................................................................................... 114 6.5 例题五双层网壳施工过程分析......................................................................... 123 第七章常见问题解答...................................................................................................... 132
第六章工程实例例题......................................................................................................... 86 6.1 例题一网壳结构的稳定性分析........................................................................... 86 6.2 例题二复杂框架的稳定性分析........................................................................... 96 6.3 例题三张弦桁架................................................................................................. 104
第四章地震时程分析....................................................................................................... 62 4.1 地震波选择............................................................................................................. 62 4.2 计算内容................................................................................................................. 64 4.3 计算结果显示查询................................................................................................. 64

一种适用于任意高阶间断有限元的高精度非分裂完全匹配层吸收边界方法

一种适用于任意高阶间断有限元的高精度非分裂完全匹配层吸收边界方法何洋洋;翁斌;张金淼【摘要】The common absorbing boundary condition used commonly for arbitrary high-order discontinuous Galerkin finite element method could not efficiently absorb wave energy of grazing incidence.A new algorithm of high precision unsplit perfectly matched layer absorbing boundary is proposed for the arbitrary high-order discontinuous Galerkin finite element method.The unsplit perfectly matched layer is applied to seismic wave modeling with arbitrary high-order discontinuous Galerkin method,the new equation of the wave propagation in perfectly matched layer and its solution in triangle element are derived,and the discrete scheme is given. This scheme can obtain arbitrary high-order solutions in both time and space in the unsplit perfect match layer with the same solutions in the computational region,thus reducing the energy of reflectivity from absorbing boundary.Simulation results indicate that the method shows better absorbing effect on incident waves with different angles,and it is suitable for the material with high Poisson's ratio.%任意高阶间断有限元法常用的吸收边界条件存在对切向入射波吸收效果不佳等问题.本文提出了一种适用于任意高阶间断有限元的高精度非分裂完全匹配层吸收边界方法,将非分裂完全匹配层吸收边界应用于任意高阶间断有限元地震波数值模拟方法中,建立了完全匹配层内新的波动方程,推导了其求解过程及在三角形单元内的表达形式,最后给出了离散化格式.该方法在完全匹配层也可以求得任意高阶时间精度和空间精度的数值解,与计算区域的精度一致,减少了边界反射波的能量.数值算例模拟结果表明,本文方法对不同角度的入射波具有较好的吸收效果,适用于高泊松比介质.【期刊名称】《中国海上油气》【年(卷),期】2016(028)001【总页数】7页(P41-47)【关键词】非分裂完全匹配层;任意高阶间断有限元;高精度;不同角度入射波;高泊松比【作者】何洋洋;翁斌;张金淼【作者单位】中海油研究总院北京 100028;中国石油大学(北京)北京 102249;中海油研究总院北京 100028;中海油研究总院北京 100028【正文语种】中文【中图分类】TE132.1+4;P631地震波场数值模拟是勘探地球物理的重要研究手段，实际应用中，可以通过求解弹性波动方程来实现[1-2]。

两种ANSYS有限元建模方法在某框架结构中的对比

文章编号:100926825(2011)0420018202两种ANSYS 有限元建模方法在某框架结构中的对比收稿日期:2010210216作者简介:贺林林(19832),女,重庆交通大学河海学院硕士研究生,重庆　400074刘　洋(19822),男,重庆交通大学河海学院博士研究生,工程师,长江科学院重庆岩基研究中心,重庆　400000贺林林　刘　洋摘　要:简要介绍了ANSYS 实体建模及梁单元建模的单元类型及选择,通过对简单框架结构建模分析了实体建模与梁单元建模两种方法的优缺点,提出实际的结构计算中应根据需要选择合适的建模类型,以使ANSYS 这一软件更好地应用于空间结构有限元计算。

关键词:ANSYS 有限元,框架结构,实体模型,梁单元模型中图分类号:T U323.5文献标识码:A0　引言随着结构工程的发展,有限单元法(FE M )已成为分析各种结构问题的强有力的使用工具。

ANSYS 软件是美国ANSYS 公司开发的新一代大型通用有限元分析程序,它拥有丰富和完善的单元库、材料模型库和求解器,能高效地求解各类结构计算问题。

AN 2SYS 软件是第一个通过I S O9001质量认证的大型分析设计类软件,是美国机械工程师协会(AS ME )、美国核安全局(NQA )及近二十种专业技术协会认证的标准分析软件。

在国内是第一个通过了中国压力容器标准化技术委员会认证并在国务院十七个部委推广使用的。

在ANSYS 数据库中,提供了超过100种单元类型,每种都有其自身的特点,要选择适合结构本身特点的单元形式,还是比较困难的[1,2]。

本文结合某简单框架的结构特点,采用实体建模和梁单元建模两种方式,根据建模结果对两种建模方式进行了分析比较。

1　ANS Y S 实体建模的介绍ANSYS 程序提供了两种实体建模方法:自顶向下和自底向上。

自顶向下进行实体建模时,用户定义一个模型的最高级图元,如球、棱柱,称为基元,程序自动定义相关的面、线和关键点,用户可以利用这些高级图元直接构造几何模型。

悬索桥主缆线形解析方程解及应用

悬索桥主缆线形解析方程解及应用第22卷第3期2005年 6 月文章编号工程力学ENGINEERING MECHANICS Vol.22 No.3 June 2005邹振祝1,2(1. 哈尔滨工业大学航天工程与力学系陈伟2２．石家庄铁道学院土木分院, 河北石家庄050043) 摘要弹性伸长对主缆线比重影响的计算模型óé±ì??t?μ?a?¼?a3?¸??μ线形坐标都可以用于悬索桥设计与施工计算悬索桥中图分类号解析方程A有应力索长加劲梁按考虑和不考虑主缆通过引入一个参数u(shu=dy/dx)ò??×àí??¶?o¼º¨1y??±?2?¸yu来确定主缆算例结果表明两种计算模型收敛速度较快SOLUTION OF MAIN CABLE SHAPE EQUATIONS OF A SUSPENSIONBRIDGE AND ITS APPLICATION*ZHANG Zhi-guo1,2 , ZOU Zhen-zhu1,2 , ZHAO Yu-cheng2 , CHEN Wei2(1. Department of Astronautics and Mechanics, Harbin Institute of Technology, Harbin 150001, China;2. School of Civil Engineering, Shijiazhuang Railway Institute, Shijiazhuang 050043, China)Abstract: Analytic parameter equations for the main cable curve of a suspension bridge are derived. Calculation models taking into account the influence of its elastic elongation due to its weight and neglecting the elongation are established. A set of non-linear equations result after incorporating boundary conditions. The equations are solved with quasi-Newton method. A formula is derived for the main cable length of a suspension bridge in free stress or stressed state with integration method. The calculation result shows that the two calculation models enjoy rapid convergence and high precision, and are applicable to the design and construction control of suspension bridges.Key words: suspension bridge; main cable; analytic equation;stress-free cable length; stressed cable length1 引言悬索桥是由主缆等构成的组合结构体系[1]锚碇吊索à??Tó|á|3¤?è°°?¤??µ?oº±¸??μ??¾′???à?°2×°?÷目前抛物线法[1~4]?×·¨?ù?¨?÷à?×?è·è·?¨??3é??11D?ê?·òa?÷àD??±?¼¼°?¹3·??³′¹??µ11¹??μμ¹?¸Àµ|²1??μDü?÷??3éD?ê?è·?¨?÷2003-07-11作者简介男男男陈伟(1971)2003-12-11副教授教授副教授o¼′??¶?′¼¸µo1¤3¹μ??D??.从事断裂力学和桥梁计算理论的研究(E-mail:******************.cn)从事固体力学的研究梁得到的索形是抛物线但精度不高悬链线索元递推法[6~9]是将加劲梁吊点间索段由于只受沿弧长方向均布的主缆自重荷载而呈悬链线可以建立相邻索段间的递推关系该法精度较高本文将主缆自重看作是沿弧长均布吊索并分别按考虑和不考虑主缆弹性伸长对主缆线比重影响然后给出了确定主缆水平张力和线形坐标的计算方法该法由微元力学平衡关系推得收敛快为悬索桥主缆线形和索长计算提供了一种实用的求解方法(1) 主缆索绝对柔性不能承受弯矩即主缆材料的应力应变关系是线弹性的其它恒载(用W表示)μ??½°?à°???÷éèê?μè??·??ò?ù?è·?2?óéóú??3?1??μ³?±¸?μxoy的原点定在主缆对称中心由竖直方向的平衡可得主缆曲线微分方程为H为主缆拉力的水平分量其在主缆内各处均相等令b=W/H (2)式(1)改写成y′(x)=shu (4) 将式(4)代入式(3)dx=chu1chuachu+bdu=b?1+mchudu (5)式中代表主缆自重与除主缆自重外的其它恒载之比积分式(5)Φ(u,m)=u1mexp(u)+1??m2m?lnm?m2mexp(u)+1+?m2由式(4)得dy=shudx=shu?chub(1+mchu)du (7)积分式(7)D?éóé±ì??tè·?¨è?í?1f)»??aμ?¸?L(跨长之半)待求的是HD1ò??aO点边界条件x=0分别代入方程(6)和(8)D1x=1b*Φ(u,m)?Φ(0,m)] (9a) y=111+ma(chu?1+mln1+mchu ) (9b) 支点B处有边界条件x=L代入式(9)得174 工程力学Φ(uL,m)?Φ(0,m)=bL (10a) chuL?1+1mln1+m1+mchu=af (10b) L联立以上两式其中仅含H和uL两个未知数(H隐含于a因而解是唯一的迭代初值取抛物线理论的近似计算值求出了Hb已知比如要确定成桥状态吊点的纵坐标得到一个非线性方程再将ut代入式(9b)重复这一过程这里的非线性方程可以采用对分法[10]求解uL]?òê?á2?ù?èoü?ì?éò?·D??2??è??DDμ?±???¸??¿»??aH的条件下Ｄ1和端点未知参数u0然后再按上述方法求出主缆吊点坐标已知H?aà?2??ù?êê?Dü?÷??3éD??íò?íêè?è·?¨??á?oíê?1¤?Dμ?ò÷òa2?êy?ùòê?·òa?ú?÷àá|H和端点参数u确定后下面仅按中跨推导计算公式可知弧微分公式为得ds=1b?ch2u1+mchudu (12) 对于中跨对应x=0和x=L的参数u分别为u0=0和uL(注意边跨u0≠0)得中跨主缆有应力长的一半为E为索材弹性模量T为主缆张力万方数据得dss0=d1+T/(EA)(14)由于悬索只承受拉力可得T=H+(y′)2=Hchu (15)将式(12)和式(15)代入式(14)得dsch2udu0=b(1+mchu)(1+εchu)(16)积分式(16)s10=b(m?ε),*Φ(uL,ε)?Φ(u0,ε)+(17) ?*Φ(uL,m)?Φ(u0,m)+-由于u0和uL已在前面求出注意这里的无应力索长是精确值即将式(14)按级数展开ds0=[1?T/(EA)]ds则索段伸长量为得εch3d(?s)=b?u1+mchudu积分上式?s=εauL?u02+sh2uL?sh2u04(19) ?1m(shu1L?shu0)+m[Φ(uL,m)?Φ(u0,m)]}则中跨主缆无应力半长的一阶近似为一阶近似的无应力索长较精确值小有u0=0μ?2?ê§ò?°?D?3 考虑主缆弹性伸长对主缆线比重的影响3.1 主缆线形解析方程解上述推导中但实际中一般已知的是主缆无应力状态下的自重荷载集度q0?½´·¹3¤?¾»?o·ˉ?¶??¼·q0减小到q´′º?μ?DÀ?½½´D?2?¸y²?3¹沿弧长的自重荷载集度为q0?½´y±??aA假设图1中有应力索微段长为ds设E为主缆索弹性模量则由虎克定律有受力前后主缆微段质量保持不变q0ds0=qds (22)由式(21)得q=q0/[1+T/(EA0)] (23) 取主缆微段分析所以由水平平衡仍得主缆水平张力H处处相等但此时主缆自重荷载集度q应由式(23)表示得Hd2yq0dsd2x=1+T/(EA?+W (24) 0)dx采用与前面相似的变换整理得dx=(1+εchu)chub(1+nchu)du (25)式中bε=H/(EA0)积分式(25)得dy=(1+εchu)shuchub(1+nchu)du (27)积分式(27)得y=1εmmbn[2ch2u+nchu?n2ln(1+nchu)+D1] (28)式(26)和式(28)就是考虑主缆弹性伸长时的线形方程Ｄ1为积分常数3.2 主缆线形求解方法求解过程同前节边界条件与前节相同可确定积分常数D代回后u=uLy=f¶?¼·?a?￡?¾²¨[10]求解可由方程(29)依前节过程确定主缆吊点坐标3.3 主缆长度计算将式(4)和(25)代入式(11)得s=1u?u0sh2uLbn,ε(L2+?sh2u04 (31) +mn*shuL?shu0+Φ(u0,n)?Φ(uL,n)]}将式(30)和式(15)代入式(14)得s10=bn[shuL?shu0+Φ(u0,n)?Φ(uL,n)] (33) 同理?s=εsh3uLbn,ε(shu?sh3uL?shu0+03)+mu?u0sh2uL?sh2u0nL2+4) (34) +mn2[shu0?shuL+Φ(uL,n)?Φ(u0,n)]} 将式(31)和式(34)代入式(20)¸?(31)和式(33)计算结果的2倍从以上推导可以看出这里列出这些公式只是为了比较说明4 算例某两支点等高悬索桥[6]吊索间距12m加劲梁等其余恒载集度W=200kN/m索材弹性模量E=2.0跨中矢高f=6080100m2·¼¶主缆有应力长结果分别列于表1和表2176 工程力学表1 水平张力H和y值比较Table 1 Comparison of horizontal component of cable tension and y-coordinate矢高f/m不考虑q变化60 70 80 90 100417807.1 358284.5 313663.7 278977.1 251244.1水平张力H/kN 考虑q变化417495.8 358054.5 313486.6 278836.3 251129.2文献[6] 417801.2 358282.3 313663.4 278978.8 251245.7抛物线法417271.2 357661.0 312953.4 278180.8 250362.7不考虑q变化15.8068 18.4351 21.0606 23.6829 26.3017x=228m处y值/m 考虑q变化15.8069 18.4352 21.0608 23.6831 26.3020文献[6] 15.8063 18.4349 21.0606 23.6834 26.3023抛物线法15.8218 18.4587 21.0957 23.7327 26.3696表2 索长值比较Table 2 Comparison of cable length矢高f/m有应力索长s/m不考虑q变化60 70 80 90 100898.7006 902.5123 906.8772 911.7824 917.2136考虑q变化898.7006 902.5123 906.8772 911.7822 917.2135精确无应力索长s0/m 不考虑q变化895.5447 899.7814 904.4620 909.6099 915.2328考虑q变化895.5470 899.7831 904.4633 909.6109 915.2335不考虑q变化895.5335 899.7731 904.4556 909.6047 915.2285 一阶近似无应力索长s0/m 考虑q变化895.5359 899.7748 904.4569 909.6057 915.2293文献[6] 895.5321 899.7708 904.4525 909.6005 915.2234抛物线法895.5324 899.7683 904.4451 909.5859 915.1984比较表1和表2的计算结果可见说明计算精度较高抛物线法与其它方法相比误差较大考虑和不考虑主缆弹性伸长对主缆线比重的影响水平张力相差稍大误差随垂度增加而减小主缆张力精度对于强度设计已足够但对采用新型索材的超大跨悬索桥建议按考虑主缆线比重变化的公式计算主缆参考文献中(3) 在一般跨度悬索桥的设计与施工控制分析对于超大跨悬索桥主缆有应力和无应力长在其设计施工中十分重要(2) 本文计算公式由主缆微元力学平衡关系推得求解容易算例结果与文献[6]非常吻合剪力墙多垂直杆单元模型的改进及应用189为接近限制单元模型的高宽比(3) 剪力墙的拉压滞变模型和剪切滞变模型并不多见给出了多垂直杆单元的受压极限变形算例分析表明计算值与试验结果吻合较好本文方法适用于高层建筑结构的弹塑性静力和动力分析[1] 李国强, 周向明, 丁翔. 钢筋混凝土剪力墙非线性动力分析模型[J]. 世界地震工程, 2000, 2: 13-18.Li Guoqiang, Zhou Xiangming, Ding Xiang. 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(in Chinese)万方数据作者：作者单位：张志国，邹振祝，赵玉成，陈伟，ZHANG Zhi-guo，ZOU Zhen-zhu，ZHAO Yu-cheng，CHEN Wei张志国,ZHANG Zhi-guo(哈尔滨工业大学航天工程与力学系,黑龙江,哈尔滨,150001)，邹振祝,ZOU Zhen-zhu(哈尔滨工业大学航天工程与力学系,黑龙江,哈尔滨,150001;石家庄铁道学院土木分院,河北,石家庄,050043)，赵玉成,陈伟,ZHAO Yu-cheng,CHEN Wei(石家庄铁道学院土木分院,河北,石家庄,050043)工程力学ENGINEERING MECHANICS2005,22(3)1次刊名：英文刊名：年，卷(期)：被引用次数：参考文献(10条)1.钱冬生.陈仁福大跨悬索桥的设计与施工19972.N J Gimsing Cable supported bridges-concept and design 19973.H M Irvine Cable structures 19814.史建三悬索桥大缆架设计算的索长分析法[期刊论文]-桥梁建设1993(04)5.肖汝诚.贾丽君.王小同确定大跨悬索桥主缆成桥线形的虚拟梁法[期刊论文]-计算力学学报1999(01)6.沈锐利悬索桥主缆系统设计及架设计算方法研究1996(02)7.唐茂林.强士中.沈锐利悬索桥成桥主缆线形计算的分段悬链线法[期刊论文]-铁道学报2003(01)8.肖汝诚确定大跨径桥梁结构合理设计状态的理论与方法研究[学位论文] 19969.罗喜恒复杂悬索桥施工过程精细化分析研究[学位论文] 200410.徐士良FORTRAN常用算法程序集1992引证文献(1条)1.赵文婷空间缆索悬索桥主缆线形的分析方法[期刊论文]-黑龙江交通科技2008(4)本文链接：/Periodical_gclx200503030.aspx。

激光增材制造无人机框梁结构拓扑优化设计及刚度分析

精密成形工程第16卷第5期 30JOURNAL OF NETSHAPE FORMING ENGINEERING 2024年5月收稿日期：2024-01-29 Received ：2024-01-29基金项目：国家重点研发计划（2022YFB4602301）Fund ：National Key R&D Program of China (2022YFB4602301) 引文格式：郝璐静, 原帅超, 王建峰, 等. 激光增材制造无人机框梁结构拓扑优化设计及刚度分析[J]. 精密成形工程, 2024, 16(5): 30-38.HAO Lujing, YUAN Shuaichao, WANG Jianfeng, et al. Topology Optimization Design and Stiffness Analysis of Laser Additive Manufacturing UAV Frame Beams[J]. Journal of Netshape Forming Engineering, 2024, 16(5): 30-38. *通信作者（Corresponding author ）激光增材制造无人机框梁结构拓扑优化设计及刚度分析郝璐静，原帅超，王建峰*，段宇航，占小红（南京航空航天大学材料科学与技术学院，南京 211106）摘要：目的以选区激光熔化成形（SLM ）无人机接头框梁结构为研究对象，研究不同工况条件下零件的变形分布情况，对原零件进行拓扑结构优化，并对优化后的零件进行二次静力学验证。

方法以AlSi10Mg 铝合金粉末为原材料，利用Ansys Workbench 软件的Mechanical 模块对SLM 成形接头零件4种工况下的静力学刚度行为进行有限元仿真。

采用变密度法进行拓扑优化，以刚度最大化为目标、保留质量40%为响应约束进行结构优化，根据拓扑优化密度云图设计孔洞位置及尺寸，对模型进行重构，并在Ansys Workbench 软件中进行二次静力学刚度仿真。

《一维Sine-Gordon方程高阶紧致有限体积方法》范文

《一维Sine-Gordon方程高阶紧致有限体积方法》篇一一、引言Sine-Gordon方程是一种重要的非线性偏微分方程，在物理学的多个领域中有着广泛的应用，如基本粒子理论、统计力学、固体物理等。

为了精确地模拟Sine-Gordon方程的动态行为，本文提出了一种高阶紧致有限体积方法。

该方法不仅具有较高的计算精度，而且可以有效地处理复杂的边界条件和初始条件。

二、Sine-Gordon方程及其性质Sine-Gordon方程是一个二阶非线性偏微分方程，具有周期性解和孤立波解等特性。

在物理学中，它被用来描述一些基本粒子的相互作用、非线性晶格的振动以及一维波传播等问题。

在求解过程中，需要对该方程进行数值模拟，而数值方法的选择对结果的准确性和可靠性具有重要影响。

三、高阶紧致有限体积方法为了解决Sine-Gordon方程的数值模拟问题，本文提出了一种高阶紧致有限体积方法。

该方法基于有限体积法的基本思想，通过引入高阶紧致格式，提高了数值解的精度和稳定性。

具体而言，该方法在空间域和时间域上进行了离散化处理，并对每个离散点进行高阶近似。

这样可以在保证计算精度的同时，有效降低计算复杂度。

四、方法实现高阶紧致有限体积方法的实现过程主要包括以下步骤：1. 空间域和时间域的离散化：将求解区域划分为若干个离散点，每个离散点代表一个网格单元。

在时间域上，采用等距离划分的方式，以便于计算时间步长和迭代过程。

2. 高阶紧致格式的引入：在每个网格单元内，采用高阶紧致格式对Sine-Gordon方程进行离散化处理。

这样可以有效地减小数值误差，提高计算精度。

3. 迭代过程：根据离散化后的Sine-Gordon方程，进行迭代计算。

在每个时间步长内，根据当前时刻的解和已知的初始条件、边界条件等信息，更新下一时刻的解。

4. 边界条件和初始条件的处理：针对不同的物理问题，需要设置不同的边界条件和初始条件。

在本文的方法中，通过引入适当的边界条件和初始条件处理方法，保证了计算结果的准确性和可靠性。

北科大有限元资料2(判断题-课后思考题-知识点总结)

1、弹性力学和材料力学在研究对象上的区别？6答：材料力学的研究对象是杆状构件，即长度远大于宽度和厚度的构件。

弹性力学除了研究杆状构件外，还研究板、壳、块，甚至是三维物体等，弹性力学的研究对象要广泛得多。

2、理想弹性体的五点假设？答：连续性假定、完全弹性假定、均匀性假定、各向同性假定、小位移和小变形的假定。

3、什么叫轴对称问题，采用什么坐标系分析？为什么？答：如果弹性体的几何形状、约束状态以及外载荷都对称于某一根轴，那么弹性体所有的位移、应变和应力也都对称于这根轴，这类问题称为轴对称问题。

对于轴对称问题，采用圆柱坐标。

当以弹性体的对称轴为Z轴时，则所有的应力分量，应变分量和位移分量都只与坐标r、z有关，而与θ无关。

4、梁单元和杆单元的区别？答：主要区别是受力不同，梁单元主要承受弯矩，杆单元主要承受轴向力。

杆单元通常用于网架、桁架的分析；而梁单元则基本上可以适用于各种情况。

5、薄板弯曲问题与平面应力问题的区别？答：平面应力问题与薄板弯曲问题的弹性体几何形状都是薄板，但前者受力特点是平行于板面且沿厚度均布载荷，变形发生在板面内；后者受力特点是当承受垂直于板面的载荷时，板在弯曲应力和扭转应力作用下将变成曲面板。

6、有限单元法结构刚度矩阵的特点？答：主对称元素总是正的；对称性；稀疏性；奇异性；非零元素呈带状分布。

7、有限单元法的收敛性准则？答：完备性要求，协调性要求。

完备性要求。

如果出现在泛函中场函数的最高阶导数是m阶，则有限元解收敛的条件之一是单元内场函数的试探函数至少是m次完全多项式。

或者说试探函数中必须包括本身和直至m 阶导数为常数的项。

单元的插值函数满足上述要求时，我们称单元是完备的。

协调性要求。

如果出现在泛函中的最高阶导数是m阶，则试探函数在单元交界面上必须具有Cm-1连续性，即在相邻单元的交界面上应有函数直至m-1阶的连续导数。

当单元的插值函数满足上述要求时，我们称单元是协调的。

8、简述圣维南原理在工程实际中的应用？答：物体小部分边界上的面力是平衡力系，则近处产生显著应力，远处应力小到忽略不计。

薄壁timoshenko梁弯扭耦合振动的动态有限元法

薄壁timoshenko梁弯扭耦合振动的动态有限元法梁结构是工程中常见的一种结构形式，其应用广泛，具有轻巧、刚度高等特点。

然而，由于复杂的载荷作用和结构形变，梁在振动过程中往往会出现弯曲和扭转的耦合现象。

为了准确描述和分析这种弯扭耦合振动，动态有限元法成为了一种重要的研究工具。

动态有限元法是一种数值计算方法，通过将复杂连续体分割成有限个单元，结合动力学原理建立方程，求解结构在动态载荷下的响应。

Timoshenko梁理论是在克服Euler-Bernoulli梁理论无法描述横向剪切变形的不足基础上发展起来的，它能够更准确地描述薄壁梁结构的动态响应。

薄壁梁的弯曲和扭转耦合特性使得其在设计和分析中具有独特的挑战。

在传统的有限元法中，通常采用的是Euler-Bernoulli梁理论，它可以良好地描述梁的弯曲振动，但无法准确描述横向剪切变形。

而Timoshenko梁理论则考虑了横向剪切变形，能够更真实地反映梁的振动行为。

因此，在研究薄壁梁的振动特性时，必须采用Timoshenko梁理论为基础，建立动态有限元模型。

在建立动态有限元模型时，首先需要将薄壁梁结构离散为有限个单元，采取适当的数学形式描述各个单元的位移场，并通过加权残差法建立有限元方程。

在求解过程中，需要考虑单元之间的相互关系和边界条件，以及梁结构的动力学特性。

通过求解有限元方程，可以得到梁结构在动态载荷下的位移、应力等关键参数，进而分析其振动响应。

在进行动态有限元分析时，还需要考虑各种激励方式和边界条件对梁结构振动特性的影响。

在实际工程中，梁结构常受到各种动力载荷的作用，例如机械振动、风载荷和地震力等。

这些载荷的性质和作用位置对梁的振动特性具有重要影响，需要合理考虑。

此外，边界条件也是影响梁结构振动的关键因素，不同的边界条件将导致不同的模态形式和特征频率。

通过动态有限元分析，可以得到薄壁Timoshenko梁在弯曲和扭转耦合作用下的振动特性，包括主模态形态、特征频率和频率响应等。

解析型Timoshenko梁有限单元

解析型Timoshenko梁有限单元许晶;李世尧;王斌泰;李静;蒋秀根【摘要】为提高深梁结构内力及变形的计算精度和效率,以Timoshenko梁理论为基础,建立了深梁位移控制方程,进而构造了深梁挠度、截面弯曲转角和剪切角的解析位移形函数.采用势能原理建立了深梁的势能泛函,利用势能变分原理得到了解析型单元列式,进而给出了解析型单元总刚度矩阵,将其与理论解、插值多项式深梁单元进行对比分析.结果表明:构造的解析型单元只需划分为一个单元即可保证计算的深梁挠度和转角与理论解一致,采用插值多项式单元确定的挠度和转角与理论解的相对误差最大可达到19.785％.同时,为验证剪切变形对深梁位移影响,将构造的单元与Euler梁单元的计算结果进行对比.对比表明:对于承受均布荷载作用的悬臂梁,基于Euler梁计算的位移与基于Timoshenko梁理论构造的解析型单元计算的位移偏差可达到50％;对于承受端部集中弯矩作用的简支梁,基于Euler梁计算的位移与基于Timoshenko梁理论构造的解析型单元计算的位移偏差可达到10.769％.本文构造的单元满足了高精度、高效率的要求;该解析型梁单元可适用于浅梁分析,且不存在剪切闭锁的问题.【期刊名称】《西南交通大学学报》【年(卷),期】2019(054)003【总页数】7页(P492-498)【关键词】Timoshenko梁;解析形函数;势能原理;刚度矩阵;有限元法【作者】许晶;李世尧;王斌泰;李静;蒋秀根【作者单位】中国农业大学水利与土木工程学院,北京100083;中国农业大学水利与土木工程学院,北京100083;杭州电子科技大学通信工程学院,浙江杭州310018;中国农业大学水利与土木工程学院,北京100083;中国农业大学水利与土木工程学院,北京100083;河南职业技术学院环境艺术工程系,河南郑州450046;中国农业大学水利与土木工程学院,北京100083【正文语种】中文【中图分类】TU348深梁指跨高比较小的梁.深梁是常存在于筏板基础、深基坑支护结构、高层建筑中的转换梁、框筒结构中的梁，基于结构安全和经济角度考虑，提出一种对此类构件的受力性能进行精确且高效分析的计算方法很有必要.分析梁的两个常用基本理论为Euler-Bernoulli梁理论和Timoshenko 梁理论.基于Euler-Bernoulli梁理论，很多学者[1-4]对梁构件进行了受力分析并提出了各类模型，但是这些研究中均未考虑梁的剪切变形.文献[5-6]研究发现，计算深梁内力时不考虑剪切变形影响会导致结构或构件内力计算结果偏低，故基于Euler-Bernoulli 梁理论提出的计算模型不能对深梁受力性能进行精确分析.针对深梁，各国学者提出了多种理论，其中Timoshenko[7]于1921年提出的两广义位移梁理论得到广泛应用.该理论认为变形前垂直于直梁中心线的截面在变形后仍保持为平面，但不再假定它一定垂直变形后的中心线，即变形后截面转角与梁轴线转角不再相等，两者之差为剪切角.基于Timoshenko梁理论，一些学者采用静力法和能量法对梁进行了研究，但这些理论方法可精确解决受力简单梁内力和位移的计算问题，对于存在移动荷载和多种荷载共同作用的复杂结构或构件分析，静力法和能量法无法得到满意解.利用深梁理论构造单元时，最为关键的问题是确定剪切修正系数.剪切修正系数有多种计算理论和方法[8-10]，但这些系数是对不同截面的剪应力分布或梁的本构关系采用不同假定得出的，这些假定对简单截面计算结果相同，对复杂截面计算的剪切修正系数不同.数值计算法中的有限元法[11]以效率更高、适用性更广、精度可以满足工程要求被很多学者用于梁构件受力性能分析中.实际分析中，常采用插值形函数法构造的梁单元对梁受力及变形进行分析.基于Timoshenko 梁理论，不同学者利用线性插值、二次插值、多次插值等方法构造了深梁单元[11-12]，由于这些插值函数为位移的近似方程，计算结构存在截断误差，计算精度较低.为取得较好计算精度，须采取多单元，加密节点的技术，则必然造成计算效率的降低.文献[13-16]考虑剪切变形对沿杆长方向的内力和位移影响，提出了构建杆件单元解析形函数的一般理论，并构造出一系列解析型单元，通过与插值形函数构造的单元对比发现，该解析型单元的计算精度更好，效率更高.本文以深梁为研究对象，以Timoshenko 梁理论和有限元法为基础，利用Timshenko 梁基本方程建立了深梁位移控制方程，进而构建了梁挠度、截面弯曲转角和剪切角的解析位移形函数.基于势能原理和解析位移形函数，构造了解析型深梁单元.通过计算悬臂梁、简支梁的端部挠度和转角，将本单元与理论解、插值形函数计算的结果进行对比，验证了本解析型单元的高精度、高效性.1 参数及控制方程1.1 位移内力参数如图1所示，深梁总长度为l，梁上荷载有：节点A、B 两端分别受弯矩 MA、MB；剪力 VA、 VB；梁上集中力矩 Mi 、分布弯矩 mi、横向集中荷载 Pi、均布荷载 qy，其中，i 为横向坐标点.梁上位移有：挠度v；梁两端轴线转角φA、φB.所有荷载和位移（挠度、转角）与坐标轴方向一致为正；当截面法线与坐标方向一致时，深梁内力与坐标方向一致时为正，反之为负.图1 梁及局部坐标系Fig.1 Beam and the local coordinate system如图2所示，深梁的位移变量有：v；弯曲挠度vM；剪切挠度 vV；截面弯曲转角θ；截面剪切角γ；梁轴线转角φ.图2 梁微段变形图Fig.2 Deformation of beam micro segment梁单元的自由度：节点A、B 共有4 个自由度，节点位移向量其中，v A、 vB为梁节点A、B 的挠度，θA 、θB为梁节点A、B 的截面转角；单元的节点力向量1.2 基本方程1.2.1 几何方程梁轴线转角方程为转角关系方程为截面曲率方程为1.2.2 平衡方程力矩平衡方程为式中：M（x）、V（x）表示沿深梁杆长任意截面的弯矩、剪力.剪力平衡方程为1.2.3 物理方程弯曲刚度方程为式中：E 为材料弹性模量；I 为深梁截面惯性矩.剪切刚度方程为式中：G 为材料剪切模量；A 为截面面积；k为截面不均匀剪切系数[17]，，S 为面积矩，b 为截面宽度.1.3 位移控制方程1.3.1 挠度控制方程由式（4）～（6），可得由式（1）～（3）和式（7）可得联立式（8）、（9）可得挠度控制方程为1.3.2 剪切角控制方程由式（4）、（5）和式（7）可得剪切角控制方程为1.4 位移协调方程由式（1）～（7）可得挠度与剪切角的协调方程为2 单元位移方程2.1 控制方程求解2.1.1 挠度控制方程求解为了建立深梁单元的挠度形函数，不考虑梁上的分布荷载，挠度微分控制方程（10）简化为齐次方程，对其求解，可得挠度为式中：f 为挠度基函数向量，为位移系数.2.1.2 剪切角控制方程求解为了建立深梁单元的剪切角形函数，不考虑梁上的分布荷载，剪切角微分控制方程（11）简化为齐次方程，对其求解，可得剪切角为式中：c5为位移系数.2.2 位移协调条件的应用将挠度方程（13）、剪切角方程（14）代入协调方程式（12），可得，剪切角可变为式中：g为剪切角基函数向量[18]，由轴线转角方程（1）、转角关系方程（2）和挠度方程（13），截面弯曲转角可表示为式中：h为截面转角基函数向量[18]，3 单元位移形函数3.1 位移系数定解由挠度方程（13）和截面转角方程（16）及节点位移向量表达式，有则式（17）用矩阵形式可表示为位移系数可表达为则有显然，当不考虑剪切变形时，深梁直接退化为浅梁，剪切刚度GA 取为无穷大，则η 取为0.3.2 单元位移形函数3.2.1 挠度v 位移形函数由式（13）、（19），可得由位移形函数的定义v (x)=Nvδe，可得式中：Nv4分别为挠度位移形函数系数[18].3.2.2 截面转角θ 位移形函数由式（16）、（19）可得由位移形函数的定义θ (x)=Nθδe ，可得式中：Nθ4分别为截面转角位移形函数系数[18].3.2.3 剪切角γ位移形函数由式（15）、（19）可得由位移形函数的定义γ=Nγδe，可得式中：Nγ4 分别为剪切角位移形函数系数[18].4 Timoshenko 梁单元列式4.1 单元势能4.1.1 变形能单元的变形能为杆件弯曲变形能 UM和剪切变形能 UV之和，其表达式用位移形函数形式表示为4.1.2 荷载势能梁的荷载势能由节点力势能、梁上竖向均布荷载势能、竖向集中力及力矩势能组成，其表达式用位移形函数形式表示为式中：xPi为横向集中荷载 Pi的作用点位置；xMi为为集中力矩 Mi的作用点位置.4.1.3 总势能单元总势能为4.2 单元列式根据势能变分原理，真实的结构位移必然使得单元的势能最小，即对深梁单元，真实的节点位移必然满足由式（28）可得式（29）可简写为式中：Ke为单元总刚度矩阵，Ke=KM+KV ，KM为弯曲刚度矩阵，其表达式见文献[18]，KV为剪切刚度矩阵，其表达式见文献[18]；为等效荷载向量.4.3 等效节点力梁上均布荷载等效节点力向量为梁上分布力矩等效节点力向量为梁上集中力等效节点力向量为梁上集中力矩等效节点力向量为4.4 关于适用性的讨论由 KM 和 KV 表达式可得考虑剪切变形影响的单元总刚度矩阵，具体表达式为不考虑梁的剪切应变，剪切刚度GA 取为无穷大，则η 取为0，式（35）可变为式（36）同Euler 梁单元刚度矩阵一致[16]，由此可见，本文构造的单元总刚度矩阵可退化为Euler梁单元刚度矩阵，且不存在剪切闭锁问题.5 算例与对比为验证基于Timoshenko 梁理论，采用解析形函数法构造的梁单元的精确性，分别采用理论解、插值形函数法、解析形函数法求解悬臂深梁和简支深梁的端部位移，并进行对比；为验证剪切变形对深梁位移影响，将Euler 梁单元与Timoshenko梁单元计算结果进行对比.5.1 杆件参数图3为悬臂梁和简支梁受力简图.假定两种梁的截面尺寸均为2 m × 3 m，梁长均为9 m，材料弹性模量E=210 GPa，剪切模量G = 80 GPa，不均匀剪切系数k= 2/3.悬臂梁和简支梁所受的荷载工况：（1）右端集中力100 kN；（2）左端和右端集中弯矩500 kN·m；（3）满跨均布荷载40 kN/m2.图3 梁构件Fig.3 Beam5.2 结果与分析不划分单元，采用解析形函数法计算悬臂梁和简支梁端部位移，并与理论解、插值形函数法的计算结果进行对比，采用Euler梁单元和Timoshenko 梁单元计算的悬臂梁和简支梁结果对比见表1、2.对于悬臂梁，左端为固定端，故左端挠度νA 和转角θA为0；对于简支梁，两端为简支，故两端挠度νA和νB均为0.由表1、2 可知，在单元数量相同时，采用解析形函数法构造的梁单元在计算挠度和转角精度上高于插值形函数法构造的单元，这是由于本文构造的解析型单元基于解析位移形函数模式，很大程度消除了模型误差带来的影响.同时，该解析型单元不需要划分单元，即可得到与理论解一致的计算结果.对于悬臂梁，承受均布荷载作用时，基于Euler梁计算的位移与基于Timoshenko 梁理论构造的解析型单元计算的梁端位移偏差可达到50.000%；承受右端集中弯矩作用时，计算的位移偏差较小.对于简支梁，承受均布荷载作用时，基于Euler 梁计算的位移与基于Timoshenko 梁理论构造的解析型单元计算的梁端位移偏差为0.001%；承受端部集中弯矩作用时，计算的位移偏差可达到10.769%.表1 悬臂梁端部位移计算结果对比Tab.1 Comparisons of end displacement for cantilever beam类型项目均布荷载右端集中力右端集中弯矩νB/(× 10-4 mm) θB/(× 10-4 °) νB/(× 10-4 mm) θB/(× 10-4 °) νB/(× 10-4 mm) θB/(× 10-4 °)深梁理论解 0.601 071 0.102 857 0.269 643 0.042 943 0.214 286 0.047 619 Timoshenko梁单元插值形函数法 0.559 734 0.102 856 0.246 678 0.042 857 0.204 275 0.047 600相对误差/% 6.877 0.001 8.517 0.200 4.672 0.040解析形函数法 0.601 071 0.102 857 0.269 643 0.042 943 0.214 286 0.047 619相对误差/% 0 0 0 0 0 0 Euler梁单元理论解 0.347 140 0.051 429 0.214 2900.047 619 0.214 290 0.046 190偏差值/% 42.246 50.000 20.528 10.889 0.002 3.001表2 简支梁端部转角计算结果对比Tab.2 Comparisons of end bending angle for simply supported beam类型项目均布荷载右端集中力右端集中弯矩θA/(× 10-4 °) θB/(× 10-4 °) θA/(× 10-4 °) θB/(× 10-4 °) θA/(× 10-4 °) θB/(× 10-4 °)深梁理论解 0.128 571 -0.128 571 -0.071 649 0.166 446 0.166 446 -0.071 649 Timoshenko梁单元插值形函数法 0.128 571 -0.128 571 -0.085 825 0.152 270 0.152 270 -0.085 825相对误差/% 0 0 19.785 8.516 8.516 19.785解析形函数法 0.128 571 -0.128 571 -0.071 649 0.166 446 0.166 446 -0.071 649相对误差/% 0 0 0 0 0 Euler梁单元理论解 0.128 570 -0.128 570 -0.079 365 0.158 730 0.158 730 -0.079 365偏差值/% 0.001 0.001 10.769 4.636 4.636 10.7696 结论基于Timoshenko 梁基本方程，建立了深梁位移控制方程，构造了深梁单元弯曲挠度、截面转角和剪切角的解析位移形函数；利用势能变分原理，结合解析位移形函数，构造了解析型深梁单元，并给出了解析型深梁单元总刚度矩阵；由势能泛函变分，得到均布荷载、集中力、分布力矩、集中力矩等荷载下的等效节点力.结合单元位移形函数，可得各种复杂荷载下深梁的节点位移.本文构造的解析型单元计算深梁挠度和转角的精度远高于插值形函数单元，且采用一个单元即可保证计算结果与理论解一致，满足了高精度、高效率的要求；构造的深梁单元可用于Euler 梁结构分析，且不存在剪切闭锁问题.【相关文献】[1]古雅琦，王海龙，杨怀宇.一种大变形几何非线性Euler-Bernoulli 梁单元[J].工程力学，2016，30(6)：11-15.GU Yaqi，WANG Hailong，YANG Huaiyu.A lagre deformation geometric nonlinear Euler-Bernoulli beam element[J].Engineering Mechanics，2016，30(6)：11-15. [2]夏拥军，陆念力.梁杆结构稳定性分析的高精度Euler-Bernoulli 梁单元[J].沈阳建筑大学学报（自然科学版），2006，22(3)：362-366.XIA Yongjun，LU Nianli.A new Euler-Bernoulli beam element with high accuracy for the stability analysis of beam structures[J].Journal of Shenyang Jianzhu University (Natural Science)，2006，22(3)：362-366.[3]夏拥军，缪谦.Euler-Bernoulli 梁单元的完整二阶位移场[J].中国工程机械学报，2011，9(4)：416-420.XIA Yongjun，MIAO plete second-order displacement field of Euler-Bernoulli beam element[J].Chinese Journal of Construction Machinery，2011，9(4)：416-420.[4]SCHNABL S，SAJE M，TURK G，et al.Lockingfree two-layer Timoshenko beam element with interlayer slip[J].Finite Elements in Analysis and Design，2007，43(9)：705-714. [5]SCHNABL S，SAJE M，TURK G，et al.Analytical solution of two-layer beam taking into account interlayer slip and shear deformation[J].Journal of Structural Engineering，2007，133(6)：886-894.[6]OWEN D R J，HINTON E.Finite elements in plasticity-theory and practice[M].New York：Swansea Pineridge Press，1980：1-50.[7]TIMOSHENKO S P.On the correction for shear of the differential equation for transverse vibrations of prismatic bars[J].The London，Edinburgh，and Dublin Philosophical Magazine and Journal of Science，1921，41(6)：744-746.[8]HUTCHINSON J R.Shear coefficients for Timoshenko beam theory[J].Transactions-American Society of Mechanical Engineers Journal of Applied Mechanics，2001，68(1)：87-92.[9]王乐，王亮.一种新的计算Timoshenko 梁截面剪切系数的方法[J].应用数学和力学，2013，34(7)：756-763.WANG Le，WANG Liang.A new method of obtaining Timoshenko’s shear coefficients[J].Applied Mathematics and Mechanics，2013，34(7)：756-763.[10]CLOUGH R W.The finite element method in plane stress analysis[C]//Proceeding of2nd ASCE Conference on Electronic Computation.Pittsburg：[s.n.]，1960：112-125. [11]SHEIKH A H.New concept to include shear deformation in a curved beamelement[J].Journal of Structural Engineering，ASCE，2002，128(3)：406-410.[12]ORAL S.Anisoparametric interpolation in hybridstress Timoshenko beamelement[J].Journal of Structural Engineering，ASCE，1991，117(4)：1070-1078.[13]李潇，王宏志，李世萍，等.解析型Winkler 弹性地基梁单元构造[J].工程力学，2015，32(3)：66-72.LI Xiao，WANG Hongzhi，LI Shiping，et al.Element for beam on Winkler elastic foundation based on analytical trial functions[J].Engineering Mechanics，2015，32(3)：66-72.[14]李世萍.解析型弹性地基梁单元构造[D].北京：中国农业大学，2013.[15]罗双.解析型Pasternak 弹性地基梁单元构造[D].北京：中国农业大学，2016.[16]李静.解析型双参数弹性地基Timoshenko 梁单元构造[D].北京：中国农业大学，2017.[17]龙驭球，包世华.结构力学教程（Ⅱ）[M].北京：高等教育出版社，2006：2-8，56-60.[18]李世尧.解析型Timoshenko 梁单元构造[D].北京：中国农业大学，2017.。

大挠度Euler-Bernoulli梁单元的算法研究

大挠度Euler-Bernoulli梁单元的算法研究周建博;冯志强;周洋靖【摘要】通过有限元方法研究Euler-Bernoulli梁变形的求解.形状函数矩阵通过Lagrange插值函数和两节点Hermite单元构造.然后根据形状函数矩阵推导大挠度几何非线性单元刚度矩阵.再利用C++编程,开发出一套可用于求解梁杆结构大挠度问题的算法.最后通过典型算例来验证本算法的计算精度.【期刊名称】《黑龙江科学》【年(卷),期】2018(009)013【总页数】4页(P10-13)【关键词】Euler-Bernoulli梁;有限元方法;大挠度;算法【作者】周建博;冯志强;周洋靖【作者单位】西南交通大学力学与工程学院,成都610031;西南交通大学力学与工程学院,成都610031;西南交通大学力学与工程学院,成都610031【正文语种】中文【中图分类】TH113工程中有大量的结构使用梁杆构件，其安全性和可靠性是设计所应追求的主要目标。

随着科学技术的发展，高强、轻质材料在显著提高了梁杆结构承载能力的同时，又降低自重，越来越受到人们的重视。

在静力学条件下，由于轴向和横向荷载的共同作用，梁杆构件将表现出明显的二阶效应(轴力效应)，即产生附加的横向位移和弯矩(拉力使横向位移和弯矩减小、压力使横向位移和弯矩增大)。

其实质是轴向荷载导致了构件刚度的改变[1]。

这个效应在静力学中表现为几何非线性。

如果此时仍然使用线性分析方法，将导致较大的计算误差。

严格意义上来讲，自然界的问题都是非线性问题。

对于很多非线性问题，可以近似用线性分析，也能达到相应的精度要求。

为了更准确地求解梁杆结构，很多学者开展了深入研究。

18世纪，基于Euler-Bernoulli的两个假设：第一，刚性横截面假定：变形前垂直梁中心线的平剖面，变形后仍然为平面。

第二，变形后的横截面仍与变形后的中性轴垂直。

于是建立了欧拉梁理论，在实际中应用广泛[2]。

Bank[3]给出了弹性体的非线性增量形式的完全拉格朗日描述和更新拉格朗日描述。

Marc

Marc全球非线性有限元软件行业的领导者MSC.Marc 是MSC.Software 公司于1999年收购的Marc 公司的产品。

Marc 公司始创于1967年，是全球首家非线性有限元软件公司。

经过四十余年的不懈努力，Marc 软件得到学术界和工业界的大力推崇和广泛应用，建立了它在全球非线性有限元软件行业的领导者地位。

随着Marc 软件功能的不断扩展，软件的应用领域也从开发初期的核电行业迅速扩展到航空、航天、汽车、造船、铁道、石油化工、能源、电子元件、机械制造、材料工程、土木建筑、医疗器材、冶金工艺和家用电器等，成为许多知名公司和研究机构研发新产品和新技术的必备工具。

Marc 软件通过了ISO9001质量认证。

在中国，Marc 通过了全国压力容器标准化技术委员会的严格考核和认证，成为与压力容器分析设计标准GB4732－95相适应的有限元分析软件。

一．产品特色♦ 多种物理场的分析能力。

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♦ 开放的用户环境。

♦ 强大的网格自适应功能。

♦ 全自动三维网格重划分。

二．方便高效的用户界面MSC.Mentat 作为MSC.Marc 程序的专用前后处理器，完全支持MSC.Marc 所有功能。

另外MSC.Patran 已经实现了对MSC.Marc结构分析、热分析和热－结构耦合分析的完全支持，也支持磁场、电场、压电场分析，下面主要介绍MSC.Mentat 的功能。

1．几何建模MSC.Mentat 可通过自顶向下和自底向上的方式生成几何模型，支持对几何元素点、线、面、体的各种，例如增加、删除、编辑和显示等。

2．网格划分MSC.Mentat 提供功能齐全、性能卓越的的自动网格生成技术，可以将几何点、线、面元素直接转化成有限单元的节点、线单元和面单元。

可以自动对几何形状划分面网格或体网格。

具有专门的六面体网格生成器以及Rebar 单元生成器。

基于满足多边界条件基函数的微分求积法及其应用

基于满足多边界条件基函数的微分求积法及其应用
汤轶群;李振岳
【期刊名称】《东南大学学报（自然科学版）》
【年(卷),期】2024(54)1
【摘要】提出了一种由基函数来处理梁边界条件的改进微分求积法(MDQM).在构造挠度函数时,通过多次积分来满足梁的所有边界条件,进而利用此函数计算微分求积法中的加权系数矩阵,解决了通过多项式测试函数计算该系数矩阵时难以在同一个点运用多个边界条件的问题.为了研究该方法在梁的各类分析中的应用,首先构造了2类梁在各种边界条件下对应的挠度基函数,再根据Euler-Bernoulli梁振动理论和稳定性理论,基于微分求积法将计算梁的固有频率问题和临界荷载问题转化为求解矩阵特征值的问题,并将结果与精确解进行比较.此外,还根据理想弹塑性梁的平面弯曲理论,利用该方法计算了梁在各种边界条件下的弹塑性位移,并将结果与其他方法对比.结果表明,所提方法对于梁的稳定性分析、固有频率分析及弹塑性分析都具有较高的计算效率和精度.
【总页数】7页(P149-155)
【作者】汤轶群;李振岳
【作者单位】东南大学土木工程学院
【正文语种】中文
【中图分类】TU323.3
【相关文献】
1.微分求积法处理轴向变速黏弹性梁混杂边界条件
2.微分求积法在常微分方程教学中的应用
3.基于径向基函数的微分求积区域分裂法及其应用
4.基于多级高阶微分求积法的非线性电磁暂态快速仿真研究
5.基于微分求积有限元法的双层微板系统振动特性研究
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高灵敏度QVBA限位结构设计研究_林丙涛

ｃｏｍ。
第４期
林丙涛等：高灵敏度ＱＶＢＡ限位结构设计研究
５７３
高；此外，当石英摆片周围存在气体时，在摆片和限位片之间的极微小间隙内将产生较大的压膜阻尼，使加速度计的抗振动性能得到大幅提升。施加有限位片的加速度计的一阶模态谐振频率可小于２０００Ｈｚ，其灵敏度也可通过增加质量块的质量或降低挠性支撑的刚度得到有效的提高。
构的加速度计。
图２ＱＶＢＡ结构示意图
单个敏感器件由一个敏感元件和两个限位片构成。敏感元件包含质量块、振梁、挠性支撑、隔离框、固定框，敏感元件通过固定框与上、下两个限位片粘接在一起，其中隔离框的作用是隔离振梁与固定框之间的振动能量和热应力传递及固定框与限位片粘接过程中的应力。限位片中部与质量块保持约几个微米的间隙，既能限制质量块沿敏感轴方向的位移量以提高其抗冲击性能，又能增加质量块振动时的压膜阻尼提高其抗振动性能，降低了器件设计时的环境适应性限制，使器件灵敏度可进一步得到提升。
虽然隔离框能对敏感元件粘接过程中的应力进行一定的隔离，但并不能从根本上消除应力的影响，因而为了降低敏感元件与限位片粘接及敏感器件与外壳粘接后的内应力对敏感元件谐振性能的影响，以提高整个敏感器件的长期稳定性，限位片的制作基材的选择是与敏感元件一致的石英材料，限位片与敏感元件之间、限位片与外壳之间的粘接材料优选与石英材料热膨胀系数相近的有机或无机粘接剂，粘接工艺则优选低温工艺。