北京版八年级数学上册《基本作图》教案

《尺规作图》教案

教学目标

1、了解尺规作图.

2、掌握尺规的基本作图：画一条线段等于已知线段，画一个角等于已知角.

3、尺规作图的步骤.

4、掌握尺规的基本作图：画角平分线；

5、尺规作图的简单应用，解尺规作图题，会写已知、求作和作法，掌握准确的作图语言；

6、经过一已知点作已知直线的垂线；

7、作已知线段的垂直平分线.

教学重、难点

难点: 画图，写出作图的主要画法，并完成作图.

重点：写出作图的主要画法，应用尺规作图

教学方法

引导法，演示法.

教学过程

(一)引入

直尺、量角器、圆规都是都是大家很熟悉的工具，大家都知道用直尺可以画线，用量角器可以画角，用圆规可以画圆.

请大家画一条长4cm的线段，画一个48°的角，画一个半径为3cm的圆.

如果只用无刻度的直尺和圆规，你还能画出符合条件的线段、角吗？

实际上，只用无刻度的直尺和圆规作图，在数学上叫做尺规作图.

(二)新课

1.画一条线段等于已知线段.

请同学们探索用直尺和圆规准确地画一条线段等于已知的线段.

例1已知线段a，用直尺和圆规准确地画一条线段等于已知线段a.

请同学们讨论、探索、交流、归纳出具体的作图方法.

2.画一个角等于已知角.

请同学们探索用直尺和圆规准确地画一个角等于已知角.

例2已知角∠MPN，用直尺和圆规准确地画一个角等于已知角∠MPN.

请同学们参照课本，交流、归纳出具体的作图方法.

作法：(1)画射线OA .

(2)以角∠MPN 的顶点 P 为圆心，以适当长为半径画弧，交∠MPN 的两边于E 、F .

(3)以点O 为圆心，以PE 长为半径画弧，交OA 于点C .

(4)以点C 为圆心 ，以EF 长为半径画弧，交前一条弧于点D .

(5)经过点D 作射线OB .

∠AOB 就是所画的角.(如图)

注意：几何作图要保留作图痕迹.

探索如何过直线外一点做已知直线的平行线；

请同学们讨论、探索、交流、归纳出具体的作图方法.

根据下列条件作三角形：

(1)已知两边及夹角作三角形；

(2)已知两角及夹边作三角形；

请同学们讨论、探索、交流、归纳出具体的作图方法(顺序).

3.利用尺规作图画角平分线.

请同学们探索用直尺和圆规准确地画出一个角的平分线.

例3 已知：∠AOB ．求作：∠AOB 的平分线．

作法：

(1)以O 为圆心，适当长为半径作弧，分别交OA 、OB 于M 、N ．

(2)分别以M 、N 为圆心，大于2

1MN 的长为半径作弧．两弧在∠AOB 内部交于点C ． (3)作射线OC ，射线OC 即为所求．

思考、探索

我们发现PD＝PE，于是我们猜想：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．

我们做出了猜想，下一步我们来验证这个猜想是否正确．

证明：∵PD⊥OA，PE⊥OB．

∴∠PDO＝∠PEO=90°．

在△PDO和△PEO中，∠PDO＝∠PEO，∠AOC＝∠BOC，OP＝OP，

∴△PDO≌△PEO(AAS)．∴PD＝PE．

这样我们验证了我们的猜想，通过(1)明确已知和所求；(2)根据题意，画出图形，并用数学符号表示已知和求证；(3)经过分析，找出由已知推出结论的途径，写出证明过程．这样的步骤，我们证明了一个几何命题，得到了角的平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．

例4已知：如图(书本第106页)Rt△ABC中，∠C=90°，CA=CB，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E.求证：DC=BE.

下面请同学们思考一个问题．

如图，点P是∠AOB内一点，PC⊥OA于C，PD⊥OB于D，且PC=PD.

猜想：点P在什么位置上？能证明你的猜想吗？

通过上述活动，我们可以总结出：

到一个角的两边距离相等的点在这个角平分线上.

4.作线段的垂直平分线

例5已知：线段AB.

求作线段AB的垂直平分线.

作法：(略)

思考探究：

(1)线段的垂直平分线的性质定理．

操作：以直线MN为折痕将这个图形翻折，观察点P的位置动不动？点A与点B是否重合？你得到哪些线段相等？

归纳：如果一个点在一条直线的垂直平分线上，那么分别联结这点与线段两个端点所得的两条线段相等．

验证：证明这个命题，写出已知和求证．

已知：如图，直线MN是线段AB的垂直平分线，垂足为点C，点P在直线MN上．

求证：P A ＝PB ．

分析：如图，当点P 不在线段AB 上时，要证明P A ＝PB ，只需要证△PCA ≌△PCB ．由直线MN 是线段AB 的垂直平分线，可知CA =CB ，∠PCA =∠PCB ，再加上PC 为公共边，三角形全等即可得到．

特别地，当点P 在线段AB 上时，P 点与C 点重合，此时P A =PB 当然也成立．

P

M

N C

B

A

证明：略．

归纳线段垂直平分线的性质定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等.

(2)逆定理．

提问：线段垂直平分线的逆命题是什么？逆命题正确吗？

原命题：如果有一个点为线段垂直平分线上的任意一点，那么这个点到线段的两个端点距离相等．

逆命题：如果一个点到线段的两个端点距离相等，那么这个点是这条线段垂直平分线上的一点．

简写为：和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的直平分线上．

验证：

已知：如图，P A =PB ，

证明：点P 在线段AB 的垂直平分线上．

P

M

N C

B

A