【精品】2015年江苏省连云港市东海中学九年级上学期期中数学试卷带解析答案
江苏省连云港市九年级上学期数学期中考试试卷
江苏省连云港市九年级上学期数学期中考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共10题；共20分)1. （2分）若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（）A . x＜7B . x≤7C . x＞7D . x≥72. （2分） (2017八下·潮阳期中) 下列式子总，属于最简二次根式的是（）A .B .C .D .3. （2分） (2015九上·福田期末) 一元二次方程x2﹣x﹣2=0的解是（）A . x1=﹣1，x2=﹣2B . x1=1，x2=﹣2C . x1=1，x2=2D . x1=﹣1，x2=24. （2分） (2018八下·道里期末) 若关于x的一元二次方程kx2+2x﹣1=0有实数根，则实数k的取值范围是（）A . k≥﹣1B . k＞﹣1C . k≥﹣1且k≠0D . k≠05. （2分） (2017八下·兴隆期末) 如图，顺次连接四边形ABCD各边中点，得到四边形EFGH，在下列条件中可使四边形EFGH为菱形的是（）A . AB=CDC . AC丄BDD . AD∥BC6. （2分） (2018九上·渠县期中) 下列各组线段中是成比例线段的是（）A . 1cm，2cm，3cm，4cmB . 1cm，2cm，2cm，4cmC . 3cm，5cm，9cm，13cmD . 1cm，2cm，2cm，3cm7. （2分）如图，在Rt△ABC内有边长分别为a，b，c的三个正方形，则a，b，c满足的关系式为（）A . b＝a＋cB . b＝acC . b2＝a2＋c2D . b＝2a＝2c8. （2分）如图，∠ABC=∠CDB=90°，BC=3，AC=5，如果△ABC与△CDB相似，那么BD的长（）A .B .C .D . 或9. （2分）若方程ax2+bx+c=0（a≠0）满足a+b+c=0，则方程必有一根为（）A . 0B . 1C . ﹣110. （2分）在△ABC中，∠ABC=30°，AB边长为10，AC边的长度可以在3、5、7、9、11中取值，满足这些条件的互不全等的三角形的个数是（）A . 3个B . 4个C . 5个D . 6个二、填空题 (共6题；共6分)11. （1分） (2019九上·莲池期中) 已知实数x，y，z满足，则的值为________。
江苏省连云港市九年级(上)期中数学试卷
江苏省连云港市九年级（上）期中数学试卷一、选择题（每小题3分，共24分）1．（3分）一元二次方程x2﹣4＝0的解是（）A．x＝2B．x＝﹣2C．x1＝2，x2＝﹣2D．x1＝，x2＝﹣2．（3分）⊙O的半径为5cm，点A到圆心O的距离OA＝3cm，则点A与圆O 的位置关系为（）A．点A在圆上B．点A在圆内C．点A在圆外D．无法确定3．（3分）在以下数据75，80，80，85，90中，众数、中位数分别是（）A．75，80B．80，80C．80，85D．80，904．（3分）如图，△ABC内接于⊙O，且OB⊥OC，则∠A的度数是（）A．90°B．50°C．45°D．30°5．（3分）一元二次方程x2﹣6x﹣6＝0配方后化为（）A．（x﹣3）2＝15B．（x﹣3）2＝3C．（x+3）2＝15D．（x+3）2＝3 6．（3分）如图，圆锥的底面半径r为6cm，高h为8cm，则圆锥的侧面积为（）A．30πcm2B．48πcm2C．60πcm2D．80πcm27．（3分）如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，AB＝AD，∠C＝120°，点E 在弧AD上．若AE恰好为⊙O的内接正十边形的一边，弧DE的度数为（）A．75°B．80°C．84°D．90°8．（3分）以坐标原点O为圆心，作半径为2的圆，若直线y＝﹣x+b与⊙O相交，则b的取值范围是（）A．0≤b＜2B．﹣2C．﹣22D．﹣2＜b＜2二、填空题（每小题3分，共24分）9．（3分）一组数据：5、1、3、2、﹣1的极差是．10．（3分）方程（x+2）（x﹣3）＝0的解是．11．（3分）方程x2﹣3x+1＝0根的判别式b2﹣4ac＝．12．（3分）李刚同学的四次数学测试成绩分别是80分、76分、90分、84分，如果按照1：2：4：1的权重对这四次成绩进行综合评价，李刚同学的综合得分是分．13．（3分）在△ABC中，∠A＝72°，若O为内心，则∠BOC＝°．14．（3分）一个三角形有两边长为3和6，第三边的长是方程x2﹣6x+8＝0的根，则这个三角形的周长等于．15．（3分）如图，△ABC三个顶点都在5×5的网格（每个小正方形的边长均为1个单位长度）的格点上，将△ABC绕点C顺时针旋转到△A′B′C的位置，且A′、B′仍落在格点上，则线段AC扫过的扇形所围成的圆锥体的底面半径是单位长度．16．（3分）如图，已知正方形纸片ABCD的边长为8，⊙O的半径为2，圆心在正方形的中心上，将纸片按图示方式折叠，使EA恰好与⊙O相切于点A′（△EF A′与⊙O除切点外无重叠部分），延长F A′交CD边于点G，则A′G的长是．三、解答题（本题10个小题，满分102分）17．（14分）解下列方程：（1）（x﹣1）2＝4；（2）4x（2x﹣1）＝3（2x﹣1）；（3）x2﹣4x﹣2＝0．18．（8分）已知关于x的一元二次方程x2+3x+m＝0．（1）若方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围；（2）若方程的一个根为﹣1，求m的值及方程的另一个根．19．（8分）如图，在图中求作⊙P，使⊙P满足以线段MN为弦且圆心P到∠AOB 两边的距离相等（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）．20．（8分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，直径AD＝12，∠ABC＝∠DAC，求AC的长．21．（8分）某射击教练为了了解队员训练情况，从队员中选取甲、乙两名队员进行射击测试，相同条件下各射靶5次，成绩统计如下：命中环数678910甲命中相应环数的次数01310乙命中相应环数的次数20021（1）试通过计算说明甲、乙两人的成绩谁比较稳定？（3）如果乙再射击1次，命中8环，那么乙射击成绩的方差会．（填“变大”、“变小”或“不变”）22．（10分）受益于国家支持新能源汽车发展和“一带一路”发展战略等多重利好因素，我市某汽车零部件生产企业的利润逐年提高，据统计，2014年利润为2亿元，2016年利润为2.88亿元．（1）求该企业从2014年到2016年利润的年平均增长率；（2）若2017年保持前两年利润的年平均增长率不变，该企业2017年的利润能否超过3.4亿元？23．（10分）如图，点O为Rt△ABC斜边AB上的一点，以OA为半径的⊙O与边BC交于点D，与边AC交于点E，连接AD，且AD平分∠BAC．（1）试判断BC与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若∠BAC＝60°，OA＝2，求阴影部分的面积（结果保留π）．24．（10分）小丽为校合唱队购买某种服装时，商店经理给出了如下优惠条件：如果一次性购买不超过10件，单价为80元；如果一次性购买多于10件，那么每增加1件，购买的所有服装的单价降低2元，但单价不得低于50元．按此优惠条件，小丽一次性购买这种服装付了1200元．请问她购买了多少件这种服装？25．（12分）已知A、B、C、D是⊙O上的四点，，AC是四边形ABCD 的对角线（1）如图1，连结BD，若∠CDB＝60°，求证：AC是∠DAB的平分线；（2）如图2，过点D作DE⊥AC，垂足为E，若AC＝7，AB＝5，求线段AE的长度．26．（14分）在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝12cm，点P从点A出发，沿AB 边向点B以每秒1cm的速度移动，同时点Q从点B出发沿BC边向点C以每秒2cm的速度移动P、Q两点在分别到达B、C两点后就停止移动，设两点移动的时间为t秒，回答下列问题：（1）如图1，当t为几秒时，△PBQ的面积等于5cm2？（2）如图2，当t＝秒时，试判断△DPQ的形状，并说明理由；（3）如图3，以Q为圆心，PQ为半径作⊙Q．①在运动过程中，是否存在这样的t值，使⊙Q正好与四边形DPQC的一边（或边所在的直线）相切？若存在，求出t值；若不存在，请说明理由；②若⊙Q与四边形DPQC有三个公共点，请直接写出t的取值范围．江苏省连云港市九年级（上）期中数学试卷参考答案一、选择题（每小题3分，共24分）1．C；2．B；3．B；4．C；5．A；6．C；7．C；8．D；二、填空题（每小题3分，共24分）9．6；10．x1＝﹣2，x2＝3；11．5；12．84.5；13．126；14．13；15．；16．；三、解答题（本题10个小题，满分102分）17．；18．；19．；20．；21．变小；22．；23．；24．；25．；26．；。
中考数学-2015年江苏省连云港市中考数学试题及解析
2015年江苏省连云港市中考数学试卷一、选择题（每小题3分，共24分）3．（3分）（2015•连云港）2014年连云港高票当选全国“十大幸福城市”，在江苏十三个省辖4．（3分）（2015•连云港）某校要从四名学生中选拔一名参加市“风华小主播”大赛，选拔赛中每名学生的平均成绩及其方差s2如表所示，如果要选择一名成绩高且发挥稳定的学生参86．（3分）（2015•连云港）已知关于x的方程x2﹣2x+3k=0有两个不相等的实数根，则k的＜＞＜且7．（3分）（2015•连云港）如图，O是坐标原点，菱形OABC的顶点A的坐标为（﹣3，4），顶点C在x轴的负半轴上，函数y=（x＜0）的图象经过顶点B，则k的值为（）8．（3分）（2015•连云港）如图是本地区一种产品30天的销售图象，图①是产品日销售量y（单位：件）与时间t（单位；天）的函数关系，图②是一件产品的销售利润z（单位：元）与时间t（单位：天）的函数关系，已知日销售利润=日销售量×一件产品的销售利润，下列结论错误的是（）二、填空题（每小题3分，共24分）9．（3分）（2015•连云港）在数轴上，表示﹣2的点与原点的距离是．10．（3分）（2015•连云港）代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围是．11．（3分）（2015•连云港）已知m+n=mn，则（m﹣1）（n﹣1）=．12．（3分）（2015•连云港）如图，一个零件的横截面是六边形，这个六边形的内角和为．13．（3分）（2015•连云港）已知一个函数，当x＞0时，函数值y随着x的增大而减小，请写出这个函数关系式（写出一个即可）．14．（3分）（2015•连云港）如图是一个几何体的三视图，其中主视图与左视图都是边长为4的等边三角形，则这个几何体的侧面展开图的面积为．15．（3分）（2015•连云港）在△ABC中，AB=4，AC=3，AD是△ABC的角平分线，则△ABD 与△ACD的面积之比是．16．（3分）（2015•连云港）如图，在△ABC中，∠BAC=60°，∠ABC=90°，直线l1∥l2∥l3，l1与l2之间距离是1，l2与l3之间距离是2，且l1，l2，l3分别经过点A，B，C，则边AC的长为．三、解答题17．（6分）（2015•连云港）计算：+（）﹣1﹣20150．18．（6分）（2015•连云港）化简：（1+）．19．（6分）（2015•连云港）解不等式组：．20．（8分）（2015•连云港）随着我市社会经济的发展和交通状况的改善，我市的旅游业得到了高速发展，某旅游公司对我市一企业旅游年消费情况进行了问卷调查，随机抽取部分员（1）a=，b=，c=．并将条形统计图补充完整；（2）这次调查中，个人年消费金额的中位数出现在组；（3）若这个企业有3000多名员工，请你估计个人旅游年消费金额在6000元以上的人数．21．（10分）（2015•连云港）九（1）班组织班级联欢会，最后进入抽奖环节，每名同学都有一次抽奖机会，抽奖方案如下：将一副扑克牌中点数为“2”，“3”，“3”，“5”，“6”的五张牌背面朝上洗匀，先从中抽出1张牌，再从余下的4张牌中抽出1张牌，记录两张牌点数后放（2）是否每次抽奖都会获奖，为什么？22．（10分）（2015•连云港）如图，将平行四边形ABCD沿对角线BD进行折叠，折叠后点C落在点F处，DF交AB于点E．（1）求证；∠EDB=∠EBD；（2）判断AF与DB是否平行，并说明理由．23．（10分）（2015•连云港）在某市组织的大型商业演出活动中，对团体购买门票实行优惠，决定在原定票价基础上每张降价80元，这样按原定票价需花费6000元购买的门票张数，现在只花费了4800元．（1）求每张门票的原定票价；（2）根据实际情况，活动组织单位决定对于个人购票也采取优惠政策，原定票价经过连续二次降价后降为324元，求平均每次降价的百分率．24．（10分）（2015•连云港）已知如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=x﹣2与x 轴、y轴分别交于A，B两点，P是直线AB上一动点，⊙P的半径为1．（1）判断原点O与⊙P的位置关系，并说明理由；（2）当⊙P过点B时，求⊙P被y轴所截得的劣弧的长；（3）当⊙P与x轴相切时，求出切点的坐标．25．（10分）（2015•连云港）如图，在△ABC中，∠ABC=90°，BC=3，D为AC延长线上一点，AC=3CD，过点D作DH∥AB，交BC的延长线于点H．（1）求BD•cos∠HBD的值；（2）若∠CBD=∠A，求AB的长．26．（12分）（2015•连云港）在数学兴趣小组活动中，小明进行数学探究活动，将边长为2的正方形ABCD与边长为2的正方形AEFG按图1位置放置，AD与AE在同一直线上，AB与AG在同一直线上．（1）小明发现DG⊥BE，请你帮他说明理由．（2）如图2，小明将正方形ABCD绕点A逆时针旋转，当点B恰好落在线段DG上时，请你帮他求出此时BE的长．（3）如图3，小明将正方形ABCD绕点A继续逆时针旋转，线段DG与线段BE将相交，交点为H，写出△GHE与△BHD面积之和的最大值，并简要说明理由．27．（14分）（2015•连云港）如图，已知一条直线过点（0，4），且与抛物线y=x2交于A，B两点，其中点A的横坐标是﹣2．（1）求这条直线的函数关系式及点B的坐标．（2）在x轴上是否存在点C，使得△ABC是直角三角形？若存在，求出点C的坐标，若不存在，请说明理由．（3）过线段AB上一点P，作PM∥x轴，交抛物线于点M，点M在第一象限，点N（0，1），当点M的横坐标为何值时，MN+3MP的长度最大？最大值是多少？2015年江苏省连云港市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题3分，共24分）3．（3分）（2015•连云港）2014年连云港高票当选全国“十大幸福城市”，在江苏十三个省辖4．（3分）（2015•连云港）某校要从四名学生中选拔一名参加市“风华小主播”大赛，选拔赛中每名学生的平均成绩及其方差s2如表所示，如果要选择一名成绩高且发挥稳定的学生参甲86．（3分）（2015•连云港）已知关于x的方程x2﹣2x+3k=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）＜＞＜且＜7．（3分）（2015•连云港）如图，O是坐标原点，菱形OABC的顶点A的坐标为（﹣3，4），顶点C在x轴的负半轴上，函数y=（x＜0）的图象经过顶点B，则k的值为（）=5得，4=8．（3分）（2015•连云港）如图是本地区一种产品30天的销售图象，图①是产品日销售量y（单位：件）与时间t（单位；天）的函数关系，图②是一件产品的销售利润z（单位：元）与时间t（单位：天）的函数关系，已知日销售利润=日销售量×一件产品的销售利润，下列结论错误的是（））代入得：，）代入得：，二、填空题（每小题3分，共24分）9．（3分）（2015•连云港）在数轴上，表示﹣2的点与原点的距离是2．10．（3分）（2015•连云港）代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围是x≠3．在实数范围内有意义，11．（3分）（2015•连云港）已知m+n=mn，则（m﹣1）（n﹣1）=1．12．（3分）（2015•连云港）如图，一个零件的横截面是六边形，这个六边形的内角和为720°．13．（3分）（2015•连云港）已知一个函数，当x＞0时，函数值y随着x的增大而减小，请写出这个函数关系式y=﹣x+2（写出一个即可）．，14．（3分）（2015•连云港）如图是一个几何体的三视图，其中主视图与左视图都是边长为4的等边三角形，则这个几何体的侧面展开图的面积为8π．15．（3分）（2015•连云港）在△ABC中，AB=4，AC=3，AD是△ABC的角平分线，则△ABD 与△ACD的面积之比是4：3．16．（3分）（2015•连云港）如图，在△ABC中，∠BAC=60°，∠ABC=90°，直线l1∥l2∥l3，l1与l2之间距离是1，l2与l3之间距离是2，且l1，l2，l3分别经过点A，B，C，则边AC的长为．=BAC=．==．=BAC===故答案为三、解答题17．（6分）（2015•连云港）计算：+（）﹣1﹣20150．18．（6分）（2015•连云港）化简：（1+）．•．19．（6分）（2015•连云港）解不等式组：．20．（8分）（2015•连云港）随着我市社会经济的发展和交通状况的改善，我市的旅游业得到了高速发展，某旅游公司对我市一企业旅游年消费情况进行了问卷调查，随机抽取部分员（1）a=36，b=0.30，c=120．并将条形统计图补充完整；（2）这次调查中，个人年消费金额的中位数出现在C组；（3）若这个企业有3000多名员工，请你估计个人旅游年消费金额在6000元以上的人数．21．（10分）（2015•连云港）九（1）班组织班级联欢会，最后进入抽奖环节，每名同学都有一次抽奖机会，抽奖方案如下：将一副扑克牌中点数为“2”，“3”，“3”，“5”，“6”的五张牌背面朝上洗匀，先从中抽出1张牌，再从余下的4张牌中抽出1张牌，记录两张牌点数后放（2）是否每次抽奖都会获奖，为什么？=；22．（10分）（2015•连云港）如图，将平行四边形ABCD沿对角线BD进行折叠，折叠后点C落在点F处，DF交AB于点E．（1）求证；∠EDB=∠EBD；（2）判断AF与DB是否平行，并说明理由．23．（10分）（2015•连云港）在某市组织的大型商业演出活动中，对团体购买门票实行优惠，决定在原定票价基础上每张降价80元，这样按原定票价需花费6000元购买的门票张数，现在只花费了4800元．（1）求每张门票的原定票价；（2）根据实际情况，活动组织单位决定对于个人购票也采取优惠政策，原定票价经过连续二次降价后降为324元，求平均每次降价的百分率．=24．（10分）（2015•连云港）已知如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=x﹣2与x 轴、y轴分别交于A，B两点，P是直线AB上一动点，⊙P的半径为1．（1）判断原点O与⊙P的位置关系，并说明理由；（2）当⊙P过点B时，求⊙P被y轴所截得的劣弧的长；（3）当⊙P与x轴相切时，求出切点的坐标．x与y=22OBA==OBA=，∴弧长为：=轴左侧时，弧长同样为：；，﹣，，﹣2+25．（10分）（2015•连云港）如图，在△ABC中，∠ABC=90°，BC=3，D为AC延长线上一点，AC=3CD，过点D作DH∥AB，交BC的延长线于点H．（1）求BD•cos∠HBD的值；（2）若∠CBD=∠A，求AB的长．，即可判断出HBD=，求出；然后根据，所以AB=3DH；最后根据，求出DH的值是多少，进而求出AB HBD=，26．（12分）（2015•连云港）在数学兴趣小组活动中，小明进行数学探究活动，将边长为2的正方形ABCD与边长为2的正方形AEFG按图1位置放置，AD与AE在同一直线上，AB与AG在同一直线上．（1）小明发现DG⊥BE，请你帮他说明理由．（2）如图2，小明将正方形ABCD绕点A逆时针旋转，当点B恰好落在线段DG上时，请你帮他求出此时BE的长．（3）如图3，小明将正方形ABCD绕点A继续逆时针旋转，线段DG与线段BE将相交，交点为H，写出△GHE与△BHD面积之和的最大值，并简要说明理由．，DM=AM=GM==DG=DM+GM=++27．（14分）（2015•连云港）如图，已知一条直线过点（0，4），且与抛物线y=x2交于A，B两点，其中点A的横坐标是﹣2．（1）求这条直线的函数关系式及点B的坐标．（2）在x轴上是否存在点C，使得△ABC是直角三角形？若存在，求出点C的坐标，若不存在，请说明理由．（3）过线段AB上一点P，作PM∥x轴，交抛物线于点M，点M在第一象限，点N（0，1），当点M的横坐标为何值时，MN+3MP的长度最大？最大值是多少？aMN=x= a×）代入得y=x+4=x﹣，aMN== +4=，的纵坐标为﹣+1+3﹣﹣﹣。
江苏省连云港市九年级上学期数学期中联考试卷
江苏省连云港市九年级上学期数学期中联考试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分）一个不透明的袋中装有除颜色外其余均相同的5个红球和3个黄球，从中随机摸出一个，则摸到黄球的概率是（）A .B .C .D .2. （2分）已知k=，且+n2+9=6n，则关于自变量x的一次函数y=kx+m+n的图象一定经过第（）象限．A . 一、二B . 二、三C . 三、四D . 一、四3. （2分）(2017·路南模拟) 函数y=x2+bx+c与y=x的图象如图所示，则下列结论中正确的是（）A . 当1＜x＜3时，x2+（b﹣1）x+c＜0B . b+c=1C . 3b+c=6D . b2﹣4c＞04. （2分）(2016·无锡) sin30°的值为（）A .B .C .D .5. （2分）下列四个命题：①垂直于弦的直径平分弦所对的两条弧；②在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆周角相等；③三角形有且只有一个外接圆；④若两圆没有公共点，则两圆外离．其中真命题的个数有（）A . 1个B . 2个C . 3个D . 4个6. （2分）(2016·孝义模拟) 如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，点P为上一点，则tan∠APC的值为（）A .B .C .D . 17. （2分）(2018·黑龙江模拟) 如图是二次函数y＝＋bx＋c图像的一部分，图像过点A（－3，0），对称轴是直线x＝－1，给出四个结论，其中正确结论的个数为（）①c＞0；②2a－b＝0；③ ＜0. ④若点B（－，）、C（－，）在图像上，则＜A . 1B . 2C . 3D . 48. （2分）若圆的一条弦把圆分成度数比为1：5的两条弧，则优弧所对的圆心角为（）A . 60°B . 300°C . 30°D . 150°9. （2分）中午1点，身高为165cm的小冰的影长为55cm，同学小雪此时在同一地点的影长为60cm，那么小雪的身高为（）A . 180cmB . 175cmC . 170cmD . 160cm10. （2分）如图，点A、B、C在⊙O上，若∠ABC=52°，则∠AOC的度数为（）A . 128°B . 104°C . 50°D . 52°11. （2分）如图，在矩形ABCD中，AB=2a，AD=a，矩形边上一动点P沿A→B→C→D的路径移动．设点P经过的路径长为x，PD2=y，则下列能大致反映y与x的函数关系的图象是（）A .B .C .D .12. （2分）在△ABC和△DEF中，AB=2DE，AC=2DF，∠A=∠D，如果△ABC的周长是16，面积是12，那么△DEF 的周长、面积依次为（）A . 8，3B . 8，6C . 4，3D . ４，6二、填空题 (共6题；共17分)13. （1分）(2018·南山模拟) 一个不透明的盒子中装有6个红球，3个黄球和1个绿球，这些球除了颜色外无其他差别，从中随机摸出一个小球，则摸到的不是红球的概率为________14. （1分）如图，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC边上，DE∥BC，若AD：DB=1：2，AE=2，则AC=________ ．15. （1分） (2016九上·宁海月考) 如图，坡面CD的坡比为，坡顶的平地BC上有一棵小树AB，当太阳光线与水平线夹角成60°时，测得小树的在坡顶平地上的树影BC是3米，斜坡上的树影CD是米，则小树AB的高是________米.16. （1分） (2018八上·扬州月考) 如图所示，已知△ABC和△BDE都是等边三角形。
2023-2024学年江苏省连云港市东海县九年级(上)期中数学试卷(含解析)
2023-2024学年江苏省连云港市东海县九年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分.）1．（3分）下列方程为一元二次方程的是（ ）A．x﹣2＝0B．x2﹣2x﹣3C．x2﹣4x+1＝0D．xy+1＝02．（3分）方程3x2﹣8x﹣10＝0的二次项系数和一次项系数分别为（ ）A．3x和﹣8x B．3x和8x C．3和﹣8D．3和83．（3分）已知⊙O的半径为5cm，点P在⊙O上，则OP的长为（ ）A．4cm B．5cm C．8cm D．10cm4．（3分）一元二次方程x2+2x＝﹣1的根的情况是（ ）A．没有实数根B．有一个实数根C．有两个不相等的实数根D．有两个相等的实数根5．（3分）下列命题中正确的是（ ）A．平分弦的直径垂直于弦B．经过半径一端且与这条半径垂直的直线是圆的切线C．平面内三点确定一个圆D．三角形的外心到三角形的各个顶点的距离相等6．（3分）某超市一月份的营业额为100万元，第一季度的营业额共800万元．如果平均每月增长率为x，则所列方程应为（ ）A．100（1+x）2＝800B．100+100×2x＝800C．100+100×3x＝800D．100+100（1+x）+100（1+x）2＝8007．（3分）如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，PD与⊙O相切于点D，连接OE并延长，交PD于点P，则∠P的度数是（ ）A．36°B．28°C．20°D．18°8．（3分）如图，矩形纸片ABCD中，AD＝18cm，把它分割成正方形纸片ABFE和矩形纸片EFCD后，分别裁出扇形ABF和半径最大的圆，恰好能作为一个圆锥的底面和侧面，则圆锥的表面积为（ ）A．36πcm2B．45πcm2C．54πcm2D．81πcm2二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.）9．（3分）方程x2﹣9＝0的解是 ．10．（3分）已知圆的直径为10cm，且圆心到一条直线距离为4cm，则这条直线与圆的位置关系是 ．11．（3分）已知x＝2是一元二次方程x2+mx﹣8＝0的一个根，则方程的另一个根是 ．12．（3分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，已知∠ADC＝140°，则∠ABC的度数是 ．13．（3分）如图，边长为2的等边△ABC，将边BC不改变长度，变为弧BC，得到以A为圆心，AB为半径的扇形ABC，由三角形变成扇形，图形的面积 （空格处填“变大”，“变小”或“不变”）．14．（3分）如果a是一元二次方程x2﹣3x﹣5＝0的一个根，那么代数式8﹣2a2+6a的值是 ．15．（3分）如图，钟面上分针的长为1，从12点到12点45分，分针针尖在钟面上走过的轨迹长度 ．16．（3分）一个圆的内接正六边形的边长4，则该圆的内接正三角形的边长为 ．17．（3分）如图①，一个扇形纸片的圆心角为120°，半径为8．如图②，将这张扇形纸片折叠，使点A与点O恰好重合，折痕为CD，再折叠扇形纸片，使点B与点O也恰好重合，折痕恰为ED，图中阴影部分为纸片的三层重叠部分，则阴影部分的面积为 ．18．（3分）如图，已知⊙O的半径是8，点A，B在⊙O上，且∠AOB＝120°，动点P在⊙O 上运动（不与A，B重合），点Q为线段BP的中点，连接AQ，则线段AQ长度的最小值是 ．三、解答题（本题共9小题，共96分.解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）19．（16分）解下列方程：（1）（x+1）2＝25；（2）x2+4x﹣6＝0；（用配方法）（3）2x2+3x﹣1＝0；（4）9（x+1）2﹣（x﹣2）2＝0．20．（8分）已知一个数与3的和的平方等于这个数的2倍与5的和，求这个数．21．（8分）小敏同学解方程3（x﹣3）＝（x﹣3）2的过程如下：解：方程两边同除以（x﹣3），得3＝x﹣3，则x＝6．你认为小敏的解法是否正确？若正确，请对她的解答过程进行评价；若错误，请你写出正确的解答过程．22．（8分）如图，点A，B，C都在⊙O上，且AB∥OC，BC∥OA．（1）求证：四边形ABCO是菱形；（2）求∠AOC的度数．23．（10分）已知关于x的方程x2﹣4x+k＝0有两个不相等的实数根．（1）求k的取值范围；（2）若k在它的取值范围内取最大整数值，求出此时方程的解．24．（10分）如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AB为直径作⊙O，点D为⊙O上一点，且CD ＝CB ，连接DO 并延长交CB 的延长线于点E ．（1）判断直线CD 与⊙O 的位置关系，并证明；（2）若BE ＝8，DE ＝16，求⊙O 的半径．25．（10分）某大樱桃采摘园收费信息如表：成人票儿童票大樱桃价格不超过10人超过10人20元/人每增加1人，人均票价下降1元，但不低于儿童票价．15元/人20元/斤采摘说明：购票进入采摘区的所有人员，可以边采边吃，带出采摘园的大樱桃需按价购买．（1）周末，6个成人带领3个儿童组团购票进入该采摘园采摘游玩，最后又按价一共购买了15斤大樱桃，则该团需支付的总费用 元；（2）某公司员工（均为成人）在该大樱桃采摘园组织团建活动，共支付票价221元，求这次参加团建的共多少人？26．（12分）按要求画图．（1）在图1中，利用直尺和圆规，作出△ABC 的内切圆（不写作法，保留作图痕迹）；（2）如图2，由小正方形构成的6×6网格中，每个正方形的顶点叫做格点．△ABC 的项点都在格点上，⊙O经过A、B、C三点，仅用无刻度的直尺在给定的网格中按要求作图（不写作法，保留作图痕迹）．①在图2中，找出⊙O的圆心O．②在图2中的BC边上找到一点D，使得AD平分∠BAC；③在图2备用图中的⊙O上找到一点E（不与点C重合），使得AE＝AC．27．（14分）【探究情境】在“圆周角”一课的探究活动中，李老师设计了一份活动单：已知线段BC＝4，使用作图工具作∠BAC＝30°，尝试操作后思考：（1）这样的点A唯一吗？（2）点A的位置有什么特征？你有什么感悟？学习小组通过操作、观察、讨论后得到：点A的位置不唯一，它在以BC为弦的圆弧上（点B、C除外）……小华同学画出了符合要求的一条圆弧（如图1），即圆中的弧BAC．【展示交流】（1）在展示交流中经过比对发现，小明同学所画的角的顶点不在小华所画的圆弧上，而在如图1所示的弓形外部，我们记为A′，请你利用图1证明∠BA′C＜30°；【提出问题】（2）展示交流后，小华同学提出了下列新问题，请你帮助解决．①该弧所在圆的半径长为 ；②△ABC面积的最大值为 ；【拓展应用】（3）课后，小华所在学习小组应用本组的探究结果，解决了下面这个问题，请你也试一试．如图2，Rt△ABC中，∠BCA＝90°，∠CBA＝30°，AC＝4．将AB沿CB方向平移m 个单位长度至DE，点A、B的对应点分别为点D、E．是否存在这样的m，使得直线DE 上有一点P，满足∠CPA＝45°，且此时四边形ADEB的面积最大？若存在，求出此时的平移距离m；若不存在，说明理由．2023-2024学年江苏省连云港市东海县九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分.）1．（3分）下列方程为一元二次方程的是（ ）A．x﹣2＝0B．x2﹣2x﹣3C．x2﹣4x+1＝0D．xy+1＝0【分析】根据一元二次方程的定义逐个判断即可．【解答】解：A．方程x﹣2＝0是一元一次方程，故本选项不符合题意；B．x2﹣2x﹣3是代数式，不是方程，故本选项不符合题意；C．x2﹣4x+1＝0是关于x的一元二次方程，故本选项符合题意；D．方程xy+1＝0含有2个未知数，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；故选：C．【点评】本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元二次方程的定义是解此题的关键，注意：只含有一次未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2的整式方程，叫一元二次方程．2．（3分）方程3x2﹣8x﹣10＝0的二次项系数和一次项系数分别为（ ）A．3x和﹣8x B．3x和8x C．3和﹣8D．3和8【分析】根据一元二次方程的定义求解即可．【解答】解：方程3x2﹣8x﹣10＝0的二次项系数和一次项系数分别为3和﹣8，故选：C．【点评】本题考查了一元二次方程的一般形式，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键．3．（3分）已知⊙O的半径为5cm，点P在⊙O上，则OP的长为（ ）A．4cm B．5cm C．8cm D．10cm【分析】根据点与圆的位置关系解决问题即可．【解答】解：∵点P在⊙O上，∴OP＝r＝5cm，故选：B．【点评】本题考查了对点与圆的位置关系的判断．关键要记住若半径为r，点到圆心的距离为d，则有：当d＞r时，点在圆外；当d＝r时，点在圆上，当d＜r时，点在圆内．4．（3分）一元二次方程x2+2x＝﹣1的根的情况是（ ）A．没有实数根B．有一个实数根C．有两个不相等的实数根D．有两个相等的实数根【分析】先把方程化为一般式，再计算根的判别式的值，然后根据根的判别式的意义判断方程根的情况．【解答】解：方程化为x2+2x+1＝0，∵Δ＝22﹣4×1＝0，∴方程有两个相等的实数根．故选：D．【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac 有如下关系，当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．上面的结论反过来也成立．5．（3分）下列命题中正确的是（ ）A．平分弦的直径垂直于弦B．经过半径一端且与这条半径垂直的直线是圆的切线C．平面内三点确定一个圆D．三角形的外心到三角形的各个顶点的距离相等【分析】根据垂径定理的推论、切线的判定定理、确定圆的条件、三角形的外心的性质判断即可．【解答】解：A、平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故本选项说法错误，不符合题意；B、经过半径外端且与这条半径垂直的直线是圆的切线，故本选项说法错误，不符合题意；C、平面内不在同一直线上的三点确定一个圆，故本选项说法错误，不符合题意；D、三角形的外心到三角形的各个顶点的距离相等，说法正确，符合题意；故选：D．【点评】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．6．（3分）某超市一月份的营业额为100万元，第一季度的营业额共800万元．如果平均每月增长率为x，则所列方程应为（ ）A．100（1+x）2＝800B．100+100×2x＝800C．100+100×3x＝800D．100+100（1+x）+100（1+x）2＝800【分析】先得到二月份的营业额，三月份的营业额，等量关系为：一月份的营业额+二月份的营业额+三月份的营业额＝800，把相关数值代入即可．【解答】解：∵一月份的营业额为100万元，平均每月增长率为x，∴二月份的营业额为100×（1+x），∴三月份的营业额为100×（1+x）×（1+x）＝100×（1+x）2，∴可列方程为100+100×（1+x）+100×（1+x）2＝800，故选：D．【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．7．（3分）如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，PD与⊙O相切于点D，连接OE并延长，交PD于点P，则∠P的度数是（ ）A．36°B．28°C．20°D．18°【分析】连接OD，利用切线的性质证明∠ODP＝90°，再利用正五边形的性质求出∠POD，可得结论．【解答】解：如图，连接OD．∵PD是⊙O的切线，∴∠ODP＝90°，∵五边形ABCDE是正五边形，∴∠EOD＝＝72°，∴∠P＝90°﹣∠POD＝18°．故选：D．【点评】本题考查正多边形与圆，切线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握正五边形的性质，切线的性质，属于中考常考题型．8．（3分）如图，矩形纸片ABCD中，AD＝18cm，把它分割成正方形纸片ABFE和矩形纸片EFCD后，分别裁出扇形ABF和半径最大的圆，恰好能作为一个圆锥的底面和侧面，则圆锥的表面积为（ ）A．36πcm2B．45πcm2C．54πcm2D．81πcm2【分析】解决此类问题时要紧紧抓住两者之间的两个对应关系：圆锥的母线长等于侧面展开图的扇形半径；圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长．设圆锥的底面的半径为rcm，则DE＝2rcm，利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长得到，解方程求出r，然后求得直径即可．【解答】解：设圆锥的底面的半径为rcm，则AE＝BF＝18﹣2r，根据题意得：，解得：r＝3，侧面积为：，底面积为：πr2＝π×32＝9π（cm2）所以圆锥的表面积为：36π+9π＝45π（cm2），故选：B．【点评】本考查有关扇形和圆锥的相关计算，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.）9．（3分）方程x2﹣9＝0的解是 x＝±3 ．【分析】这个式子左边是一个平方差公式，直接分解因式即可，然后求出x．【解答】解：x2﹣9＝0即（x+3）（x﹣3）＝0，所以x＝3或x＝﹣3．故答案为：x＝±3．【点评】此题主要考查了平方差公式在因式分解中的应用，比较简单．10．（3分）已知圆的直径为10cm，且圆心到一条直线距离为4cm，则这条直线与圆的位置关系是 相交 ．【分析】欲求直线和圆的位置关系，关键是求出圆心到直线的距离d，再与半径r进行比较．若d＜r，则直线与圆相交；若d＝r，则直线于圆相切；若d＞r，则直线与圆相离．【解答】解：∵圆的直径为10cm，∴圆的半径为5cm，∵圆心到直线的距离4cm，∴圆的半径＞圆心到直线的距离，∴直线于圆相交，故答案为相交．【点评】本题考查的是直线与圆的位置关系，解决此类问题可通过比较圆心到直线距离d 与圆半径大小关系完成判定．11．（3分）已知x＝2是一元二次方程x2+mx﹣8＝0的一个根，则方程的另一个根是 ﹣4 ．【分析】设方程的另一个根为t，利用根与系数的关系得2t＝﹣8，然后解t的方程即可．【解答】解：设方程的另一个根为t，根据根与系数的关系得2t＝﹣8，解得t＝﹣4，即方程的另一个根是﹣4．故答案为：﹣4．【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣，x1x2＝．12．（3分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，已知∠ADC＝140°，则∠ABC的度数是 40° ．【分析】根据圆内接四边形的对角互补计算即可．【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∵∠ADC+∠ABC＝180°，∵∠ADC＝140°，∴∠ABC＝180°﹣140°＝40°，故答案为：40°．【点评】本题考查圆内接四边形性质，解题的关键是掌握圆内接四边形的对角互补．13．（3分）如图，边长为2的等边△ABC，将边BC不改变长度，变为弧BC，得到以A为圆心，AB为半径的扇形ABC，由三角形变成扇形，图形的面积 变大 （空格处填“变大”，“变小”或“不变”）．【分析】本题考查扇形面积、等边三角形的性质等知识，根据等边三角形和扇形的面积公式分别求出三角形、扇形的面积，比较大小即可，读懂题意是解题的关键．【解答】解：如图，作AD⊥BC于点D，则，∴，∴，以A为圆心，AB为半径的扇形ABC的面积为，∵，∴由三角形变成扇形，图形的面积变大，故答案为：变大．【点评】本题考查了扇形的面积公式，等边三角形的性质，熟记扇形的面积公式S扇形＝lR（其中l为扇形的弧长）是关键．14．（3分）如果a是一元二次方程x2﹣3x﹣5＝0的一个根，那么代数式8﹣2a2+6a的值是 ﹣2 ．【分析】根据“一元二次方程的根是使这个一元二次方程两边相等的未知数的值，也叫一元二次方程的解”，求出a2﹣3a＝5，再作为整体代入8﹣2a2+6a即可求解．【解答】解：∵a是一元二次方程x2﹣3x﹣5＝0的一个根，∴a2﹣3a﹣5＝0，∴a2﹣3a＝5，∴8﹣2a2+6a＝8﹣2（a2﹣3a）＝8﹣2×5＝﹣2，故答案为：﹣2．【点评】本题考查一元二次方程的根的定义，代数式求值，掌握一元二次方程的根的定义是解题的关键．15．（3分）如图，钟面上分针的长为1，从12点到12点45分，分针针尖在钟面上走过的轨迹长度 ．【分析】分针针尖在钟面上走过的轨迹为圆弧，从12点到12点45分走了圆周长的四分之三，由此计算即可．【解答】解：由题意知，从12点到12点45分，分针针尖在钟面上走了圆周长的四分之三，因此分针针尖在钟面上走过的轨迹长度为：，故答案为：．【点评】本题考查弧长公式，熟练掌握弧长公式是解题的关键．16．（3分）一个圆的内接正六边形的边长4，则该圆的内接正三角形的边长为 ．【分析】根据圆的内接正六边形的边长得出圆的半径，再作圆的内接正三角形，由圆的半径、边心距和正三角形的边构成直角三角形，利用勾股定理进行求解．【解答】解：如图1，六边形ABCDEF是⊙O的内接正六边形，则，又∵OA＝OB，∴△AOB是等边三角形，∴OA＝OB＝AB＝4，即圆的半径为4．如图2，△GNM是⊙O的内接正三角形，连接ON，OM，作OH⊥NM于点H，则ON＝OM＝4，，∴，∴，∴，即该圆的内接正三角形的边长为．故答案为：．【点评】本题考查正多边形与圆，求出圆的半径是解答本题的关键．17．（3分）如图①，一个扇形纸片的圆心角为120°，半径为8．如图②，将这张扇形纸片折叠，使点A与点O恰好重合，折痕为CD，再折叠扇形纸片，使点B与点O也恰好重合，折痕恰为ED，图中阴影部分为纸片的三层重叠部分，则阴影部分的面积为 ．【分析】连接OD，根据勾股定理求出CD，根据直角三角形的性质求出∠AOD，根据扇形面积公式、三角形面积公式计算，得到答案．【解答】解：连接OD，在Rt△OCD中，，∴，∴∠ODC＝30°，，∴∠COD＝60°，∵一个扇形纸片的圆心角为120°，∴∠BOD＝60°，∴阴影部分的面积＝2（S扇形AOD﹣S△AOD）＝，故答案为：．【点评】本题考查的是扇形面积计算、勾股定理，解直角三角形，折叠问题，解题的关键是掌握扇形面积公式．18．（3分）如图，已知⊙O的半径是8，点A，B在⊙O上，且∠AOB＝120°，动点P在⊙O 上运动（不与A，B重合），点Q为线段BP的中点，连接AQ，则线段AQ长度的最小值是 ．【分析】取OB的中点E，连接OE，OP，可得QE为△BOP的中位线，推出，进而可得点Q的轨迹为点E为圆心，4为半径的圆，当点Q位于线段AE 与⊙E的交点时，AQ取最小值，作辅助线构造直角三角形即可求解．【解答】解：如图1，取OB的中点E，连接OE，OP，∵点Q为线段BP的中点，点E为OB的中点，∴QE为△BOP的中位线，∴，∴点Q的轨迹为以点E为圆心，4为半径的圆，如下图所示，作AF⊥OB交BO的延长线于点F，当点Q位于线段AE与⊙E的交点时，AQ取最小值，∵∠AOB＝120°，∠AOB＝∠F+∠OAF，∴∠OAF＝∠AOB﹣∠F＝120°﹣90°＝30°，∴，∴，在Rt△EFA中，EF＝OF+OE＝4+4＝8，，∴，∴，∴线段AQ长度的最小值是，故答案为：．【点评】本题考查三角形中位线的性质，圆内动点的轨迹，勾股定理，圆外一点到圆上点的距离，含30度角的直角三角形的性质等，确定点Q的轨迹是解题的关键．三、解答题（本题共9小题，共96分.解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）19．（16分）解下列方程：（1）（x+1）2＝25；（2）x2+4x﹣6＝0；（用配方法）（3）2x2+3x﹣1＝0；（4）9（x+1）2﹣（x﹣2）2＝0．【分析】（1）利用直接开平方法解方程；（2）利用配方法解方程；（3）利用公式法解方程；（4）利用因式分解法解方程．【解答】解：（1）（x+1）2＝25，两边开平方，得：x+1＝±5，即x+1＝5或x+1＝﹣5，解得x1＝4，x2＝﹣6；（2）x2+4x﹣6＝0，移项，得：x2+4x＝6，配方，得：x2+4x+4＝6+4，即（x+2）2＝10，两边开平方，得：，解得，；（3）2x2+3x﹣1＝0，∵a＝2，b＝3，c＝﹣1，∴Δ＝b2﹣4ac＝32﹣4×2×（﹣1）＝17＞0，∴，∴，；（4）9（x+1）2﹣（x﹣2）2＝0，变形得[3（x+1）]2﹣（x﹣2）2＝0，因式分解，得[3（x+1）+（x﹣2）][3（x+1）﹣（x﹣2）]＝0，即（4x+1）（2x+5）＝0，∴4x+1＝0或2x+5＝0，∴，．【点评】本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，熟练掌握各种方法是解答本题的关键．20．（8分）已知一个数与3的和的平方等于这个数的2倍与5的和，求这个数．【分析】根据已知数量关系列一元二次方程，再解方程即可．【解答】解：设这个数为x，由题意得：（x+3）2＝2x+5，整理得：x2+4x+4＝0，即（x+2）2＝0，解得x＝﹣2，即这个数为﹣2．【点评】本题考查一元二次方程的应用，正确列出方程是解题的关键．21．（8分）小敏同学解方程3（x﹣3）＝（x﹣3）2的过程如下：解：方程两边同除以（x﹣3），得3＝x﹣3，则x＝6．你认为小敏的解法是否正确？若正确，请对她的解答过程进行评价；若错误，请你写出正确的解答过程．【分析】当x﹣3＝0时，方程两边不能同时除以（x﹣3），因此解法错误，正确的解法应该是先移项，再利用因式分解法求解．【解答】解：小敏的解法是错误的，正确解答过程如下：3（x﹣3）＝（x﹣3）2，移项，得：（x﹣3）2﹣3（x﹣3）＝0，因式分解，得：（x﹣3）（x﹣3﹣3）＝0，即（x﹣3）（x﹣6）＝0，x﹣3＝0或x﹣6＝0，解得x1＝3，x2＝6．【点评】本题考查解一元二次方程，掌握一元二次方程的解法是解题的关键．22．（8分）如图，点A，B，C都在⊙O上，且AB∥OC，BC∥OA．（1）求证：四边形ABCO是菱形；（2）求∠AOC的度数．【分析】（1）根据邻边相等的平行四边形是菱形证明；（2）根据等边三角形的性质解答．【解答】（1）证明：∵AB∥OC，BC∥OA，∴四边形ABCO是平行四边形，∵OA＝OC，∴四边形ABCO是菱形；（2）解：如图，连接OB，∵四边形ABCO为菱形，∴OC＝CB＝BA＝AO，又∵OB＝OC，∴△OBC是等边三角形，∴∠COB＝60°，同理∠AOB＝60°，∴∠AOC＝∠COB+∠AOB＝120°．【点评】本题考查圆的基本知识，菱形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，掌握菱形的性质定理是解题的关键．23．（10分）已知关于x的方程x2﹣4x+k＝0有两个不相等的实数根．（1）求k的取值范围；（2）若k在它的取值范围内取最大整数值，求出此时方程的解．【分析】（1）根据一元二次方程的根的判别式，建立关于k的不等式，求出k的取值范围；（2）从上题中找到k的最大整数，代入方程后求解即可．【解答】解：（1）∵一元二次方程x2﹣4x+k＝0有两个不相等的实数根，∴Δ＝（﹣4）2﹣4k＝16﹣4k＞0，∴k＜4；（2）∵k是符合条件的最大整数，∴k＝3，∴原方程为：x2﹣4x+3＝0，∴（x﹣1）（x﹣3）＝0，∴x1＝1，x2＝3．【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式和因式分解法解方程，熟知一元二次方程的根的判别式与方程解根的关系是解题的关键．24．（10分）如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AB为直径作⊙O，点D为⊙O上一点，且CD＝CB，连接DO并延长交CB的延长线于点E．（1）判断直线CD与⊙O的位置关系，并证明；（2）若BE＝8，DE＝16，求⊙O的半径．【分析】（1）欲证明CD是切线，只要证明OD⊥CD，利用全等三角形的性质即可证明；（2）设⊙O的半径为r，在Rt△OBE中，根据OE2＝EB2+OB2，可得（16﹣r）2＝r2+82，推出r＝6，即可解决问题．【解答】解：（1）相切，证明：如图，连接OC，在△OCB与△OCD中，，∴△OCB≌△OCD（SSS），∴∠ODC＝∠OBC＝90°，∴OD⊥DC，又∵OD为⊙O的半径，∴DC是⊙O的切线；（2）设⊙O的半径为r，在Rt△OBE中，∵OE2＝EB2+OB2，∴（16﹣r）2＝r2+82，∴r＝6，∴⊙O的半径为6．【点评】本题考查直线与圆的位置关系、圆周角定理、勾股定理、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，属于中考常考题型．25．（10分）某大樱桃采摘园收费信息如表：成人票儿童票大樱桃价格15元/人20元/斤不超过10人超过10人20元/人每增加1人，人均票价下降1元，但不低于儿童票价．采摘说明：购票进入采摘区的所有人员，可以边采边吃，带出采摘园的大樱桃需按价购买．（1）周末，6个成人带领3个儿童组团购票进入该采摘园采摘游玩，最后又按价一共购买了15斤大樱桃，则该团需支付的总费用 465 元；（2）某公司员工（均为成人）在该大樱桃采摘园组织团建活动，共支付票价221元，求这次参加团建的共多少人？【分析】（1）根据题意列出算式，即可求解；（2）设这次参加团建的共x人，根据题意得出x[20﹣（x﹣10）]＝221，解方程，根据题意取舍x的值，即可求解．【解答】解：（1）依题意，6×20+15×3+15×20＝465元；故答案为：465．（2）设这次参加团建的共x人，若x＜10，则20x＝221，解得：x＝11.05＞10（舍去），∴x＞10，依题意，x[20﹣（x﹣10）]＝221，解得：x1＝13，x2＝17，当x＝13时，票价为：20﹣（13﹣10）＝17，当x＝17时，票价为：20﹣（17﹣10）＝13＜15，不合题意，舍去；答：这次参加团建的共13人．【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出一元二次方程．26．（12分）按要求画图．（1）在图1中，利用直尺和圆规，作出△ABC的内切圆（不写作法，保留作图痕迹）；（2）如图2，由小正方形构成的6×6网格中，每个正方形的顶点叫做格点．△ABC的项点都在格点上，⊙O经过A、B、C三点，仅用无刻度的直尺在给定的网格中按要求作图（不写作法，保留作图痕迹）．①在图2中，找出⊙O的圆心O．②在图2中的BC边上找到一点D，使得AD平分∠BAC；③在图2备用图中的⊙O上找到一点E（不与点C重合），使得AE＝AC．【分析】（1）作△ABC任意两个角的角平分线，两条角平分线的交点即为内切圆的圆心，过圆心作一条边的垂线，得到半径，再作圆即可；（2）①由∠ACB＝90°可得AB为直径，利用格点找出AB的中点即可得到圆心；②利用格点找出的中点G，根据等弧所对的圆周角相等可得∠GAC＝∠GAB，即GA 平分∠BAC，因此GA与BC的交点即为所求的点D；③在格点上找到点H，使得∠ACH＝∠ABC，可得CH⊥AB，延长CH交圆于点E，由垂直定理可得＝，进而可证AE＝AC．【解答】解：（1）如图1，⊙I即为△ABC的内切圆；（2）①圆心O如图2.1所示；②点D如图2.2所示；③点E如图2.3所示．【点评】本题属于圆的综合题，主要考查尺规作图﹣作角平分线和垂线，格点作图，三角形的内心，圆周角定理，垂直径定理等，掌握格点作图的特点，综合运用上述知识点是解题的关键．27．（14分）【探究情境】在“圆周角”一课的探究活动中，李老师设计了一份活动单：已知线段BC＝4，使用作图工具作∠BAC＝30°，尝试操作后思考：（1）这样的点A唯一吗？（2）点A的位置有什么特征？你有什么感悟？学习小组通过操作、观察、讨论后得到：点A的位置不唯一，它在以BC为弦的圆弧上（点B、C除外）……小华同学画出了符合要求的一条圆弧（如图1），即圆中的弧BAC．【展示交流】（1）在展示交流中经过比对发现，小明同学所画的角的顶点不在小华所画的圆弧上，而在如图1所示的弓形外部，我们记为A′，请你利用图1证明∠BA′C＜30°；【提出问题】（2）展示交流后，小华同学提出了下列新问题，请你帮助解决．①该弧所在圆的半径长为 4 ；②△ABC面积的最大值为 ；【拓展应用】（3）课后，小华所在学习小组应用本组的探究结果，解决了下面这个问题，请你也试一试．如图2，Rt△ABC中，∠BCA＝90°，∠CBA＝30°，AC＝4．将AB沿CB方向平移m 个单位长度至DE，点A、B的对应点分别为点D、E．是否存在这样的m，使得直线DE 上有一点P，满足∠CPA＝45°，且此时四边形ADEB的面积最大？若存在，求出此时的平移距离m；若不存在，说明理由．【分析】（1）设A′B交⊙O于E，由圆周角定理知∠BAC＝∠BEC＝30°，由∠BEC是△A′EC的外角，则∠BEC＞∠A'；（2）①设O为圆心，连接BO，CO，根据圆周角定理得到∠BOC＝60°，证明△OBC 是等边三角形，可得半径；②过点O作BC的垂线，垂足为E，延长EO，交圆于D，以BC为底，则当A与D重合时，△ABC的面积最大，求出OE，根据三角形面积公式计算即可；（3）以AC为斜边作等腰直角△AOC，以O为圆心OC的长为半径作⊙O，当点P在优弧上时，则∠CPA＝45°，当P点与点D重合时，面积最大，得出∠CDA＝45°，则AD＝AC＝4，即可求解．【解答】（1）证明：设A′B交⊙O于E，如图1.1，由圆周角定理知∠BAC＝∠BEC＝30°，∵∠BEC是△A′EC的外角，∴∠BEC＞∠A'，∴∠BA′C＜30°；（2）解：①设O为圆心，连接BO，CO，∵∠BCA＝30°，∴∠BOC＝60°，又OB＝OC，∴△OBC是等边三角形，∴OB＝OC＝BC＝4，即半径为4，故答案为：4；②∵△ABC以BC为底边，BC＝4，∴当点A到BC的距离最大时，△ABC的面积最大，如图1.2，过点O作BC的垂线，垂足为E，延长EO，交圆于D，以BC为底，则当A 与D重合时，△ABC的面积最大，∴BE＝CE＝2，DO＝BO＝4，∴OE＝＝2，∴DE＝DO+OE＝4+2，∴△ABC的最大面积为，故答案为：；（3）解：如图所示，以AC为斜边作等腰直角△AOC，以O为圆心OC的长为半径作⊙O，当点P在优弧上时，则∠CPA＝45°，∵四边形ADEB是平行四边形，高为AC，则当AP取得最大值时，面积最大，∴当P点与点D重合时，面积最大，此时AD＝AC＝4，即m＝4．。
2014-2015学年江苏省连云港市九年级(上)数学期中试卷带解析答案
2014-2015学年江苏省连云港市九年级（上）期中数学试卷一、选择题：本大题共8小题，每小题3分，满分24分，每题只有一个正确答案1．（3分）下列方程是一元二次方程的是（）A．x2+2=0 B．x2+y+6=0 C．x2+=3 D．y2﹣2x﹣1=02．（3分）已知线段a=1cm，c=4cm，x是a、c的比例中项，则x等于（）A．4cm B．2cm C．﹣2cm D．±2cm3．（3分）如图所示：△ABC中，DE∥BC，AD=5，BD=10，AE=3．则CE的值为（）A．9 B．6 C．3 D．44．（3分）把方程x2+3=4x配方得（）A．（x﹣2）2=7 B．（x+2）2=21 C．（x﹣2）2=1 D．（x+2）2=25．（3分）如图，在▱ABCD中，点E是边AD的中点，EC交对角线BD于点F，则EF：FC等于（）A．3：2 B．3：1 C．1：1 D．1：26．（3分）关于x的一元二次方程x2﹣3x+m=0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（）A．m＜B．m≤C．m＞D．m≥7．（3分）组织一次排球邀请赛，参赛的每个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛．设比赛组织者应邀请x个队参赛，则x满足的关系式为（）A．x（x+1）=28 B．x（x﹣1）=28 C．x（x﹣1）=28 D．x（x﹣1）=28 8．（3分）阅读材料：设一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根为x1、x2，则两根与方程系数之间有如下关系：x1+x2=﹣，x1•x2=，请根据该阅读材料计算：已知x1、x2是方程x2+6x+3=0的两实属根，则+的值为（）A．10 B．8 C．6 D．4二、填空题（每小题3分，满分24分）9．（3分）已知：，则=．10．（3分）若△ABC∽△A′B′C′，相似比为1：2，则△ABC与△A′B′C′的面积的比为．11．（3分）若一个一元二次方程的两个根分别为3，﹣2，则这个一元二次方程为．12．（3分）如图所示，在平面直角坐标系xOy中，半径为2的⊙P的圆心P的坐标为（﹣3，0），将⊙P沿x轴正方向平移，使⊙P与y轴相切，则平移的距离为．13．（3分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点E，∠ACD=62°，∠ADC=48°，则∠CEB的度数为．14．（3分）如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，AB=AD，∠C=100°，若点E在弧AD上，则∠E的度数为．15．（3分）定义新运算“*”，规则：a*b=，如1*2=2，*．若x2+x﹣1=0的两根为x1，x2，则x1*x2=．16．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=8，AC=6，线段AB为半圆O 的直径，将Rt△ABC沿射线AB方向平移，使斜边与半圆O相切于点G，得△DEF，DF与BC交于点H，则Rt△ABC与△DEF重叠（阴影）部分的面积为．三、解答题（本大题宫102分）17．（15分）解下列方程：（1）（x﹣1）2=2；（2）x+3﹣x（x+3）=0；（3）（2x﹣1）2﹣x2=0．18．（6分）已知关于x的方程x2﹣3x+m=0的一个根为1，求m的值和它的另一个根．19．（8分）（1）如图1，在边长为1的单位长度的小正方形组成的网格中，给出了格点△ABC（顶点是网格线的交点），请画一个格点△A′B′C′，使△A′B′C′∽△ABC，且相似比不为1．（2）如图2，已知△ABC，用直尺和圆规作△ABC的外接圆（要求保留作图痕迹，不写作法）．20．（8分）如图，⊙O与△ABC各边切于点D、E、F，且∠C=60°，∠EOF=100°，求∠B的度数．21．（8分）某商店6月份的利润是160万元，要使8月份的利润达到250万元，平均每月利润增长的百分率是多少？22．（10分）如图，在四边形ABCD中，AD、BD相交于点F，点E在BD上，且==．（1）∠1与∠2相等吗？为什么？（2）判断△ABE与△ACD是否相似？并说明理由．23．（10分）已知点A、B、C是⊙O上三点，弧BC所对的圆周角和圆心角分别是∠BAC、∠BOC，问：∠BAC与∠BOC有何数量关系？请画出符合题意的图形，并写出证明过程．24．（12分）如图的⊙O中，AB为直径，OC⊥AB，弦CD与OB交于点F，过点D、A分别作⊙O的切线交于点G，并与AB延长线交于点E．（1）求证：∠1=∠2．（2）已知：OF：OB=1：3，⊙O的半径为3，求AG的长．25．（12分）探究1：如图1，直线PT和⊙O相切于点P，Q点是⊙O上任意一点，试探究∠TPQ和∠POQ的大小关系（写出推理过程）．探究2：如图2，已知正方形ABCD，点E是边AB的中点，点O是线段AE上的一个动点（不与A、E重合），以O为圆心，OB为半径的圆与边AD相交于点M，过点M作⊙O的切线交DC于点N，连接OM、ON、BM、BN，请探究MN、AM、CN的数量关系（写出推理过程）．26．（13分）如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D，BC=10cm，AD=8cm，点P从点B出发，在线段BC上以每秒3cm的速度向点C匀速运动，与此同时，垂直于AD的直线m从底边BC出发，以每秒2cm的速度沿DA方向匀速平移，分别交AB、AC、AD于E、F、H，当点P到达点C时，点P与直线m同时停止运动，设运动时间为t秒（t＞0）．（1）当t=2时，连接DE、DF，求证：四边形AEDF为菱形；（2）是否存在某一时刻t，使△PEF为直角三角形？若存在，请求出此时刻t的值；若不存在，请说明理由．2014-2015学年江苏省连云港市九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题3分，满分24分，每题只有一个正确答案1．（3分）下列方程是一元二次方程的是（）A．x2+2=0 B．x2+y+6=0 C．x2+=3 D．y2﹣2x﹣1=0【解答】解：A、是一元二次方程，故A正确；B、是二元二次方程，故B错误；C、是分式方程，故C错误；D、是二元二次方程，故D错误；故选：A．2．（3分）已知线段a=1cm，c=4cm，x是a、c的比例中项，则x等于（）A．4cm B．2cm C．﹣2cm D．±2cm【解答】解：根据比例中项的概念结合比例的基本性质，得：比例中项的平方等于两条线段的乘积．所以x2=1×4，x=±2（线段是正数，负值舍去）．故选：B．3．（3分）如图所示：△ABC中，DE∥BC，AD=5，BD=10，AE=3．则CE的值为（）A．9 B．6 C．3 D．4【解答】解：∵DE∥BC，∴，∵AD=5，BD=10，AE=3，∴，∴CE=6．故选：B．4．（3分）把方程x2+3=4x配方得（）A．（x﹣2）2=7 B．（x+2）2=21 C．（x﹣2）2=1 D．（x+2）2=2【解答】解：方程x2+3=4x，变形得：x2﹣4x=﹣3，配方得：x2﹣4x+4=1，即（x﹣2）2=1．故选：C．5．（3分）如图，在▱ABCD中，点E是边AD的中点，EC交对角线BD于点F，则EF：FC等于（）A．3：2 B．3：1 C．1：1 D．1：2【解答】解：∵▱ABCD，故AD∥BC，∴△DEF∽△BCF，∴=，∵点E是边AD的中点，∴AE=DE=AD，∴=．故选：D．6．（3分）关于x的一元二次方程x2﹣3x+m=0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（）A．m＜B．m≤C．m＞D．m≥【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣3x+m=0有两个不相等的实数根，∴△=b2﹣4ac=（﹣3）2﹣4×1×m＞0，∴m＜．故选：A．7．（3分）组织一次排球邀请赛，参赛的每个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛．设比赛组织者应邀请x个队参赛，则x满足的关系式为（）A．x（x+1）=28 B．x（x﹣1）=28 C．x（x﹣1）=28 D．x（x﹣1）=28【解答】解：每支球队都需要与其他球队赛（x﹣1）场，但2队之间只有1场比赛，所以可列方程为：x（x﹣1）=4×7．故选：B．8．（3分）阅读材料：设一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根为x1、x2，则两根与方程系数之间有如下关系：x1+x2=﹣，x1•x2=，请根据该阅读材料计算：已知x1、x2是方程x2+6x+3=0的两实属根，则+的值为（）A．10 B．8 C．6 D．4【解答】解：∵x1+x2=﹣，x1•x2=，∴在方程x2+6x+3=0中，x1+x2=﹣6，x1•x2=3，∴+====10．故选：A．二、填空题（每小题3分，满分24分）9．（3分）已知：，则=﹣．【解答】解：∵=，∴设a=2k，b=3k，∴==﹣，故答案为：﹣．10．（3分）若△ABC∽△A′B′C′，相似比为1：2，则△ABC与△A′B′C′的面积的比为1：4．【解答】解：∵△ABC∽△A′B′C′，相似比为1：2，∴△ABC与△A′B′C′的面积之比为1：4．故答案为：1：4．11．（3分）若一个一元二次方程的两个根分别为3，﹣2，则这个一元二次方程为（x﹣3）（x+2）=0．【解答】解：∵一个一元二次方程的两个根分别为3，﹣2，∴这个一元二次方程为：（x﹣3）（x+2）=0．故答案为：（x﹣3）（x+2）=0．12．（3分）如图所示，在平面直角坐标系xOy中，半径为2的⊙P的圆心P的坐标为（﹣3，0），将⊙P沿x轴正方向平移，使⊙P与y轴相切，则平移的距离为1或5．【解答】解：当⊙P位于y轴的左侧且与y轴相切时，平移的距离为1；当⊙P位于y轴的右侧且与y轴相切时，平移的距离为5．故答案为：1或5．13．（3分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点E，∠ACD=62°，∠ADC=48°，则∠CEB的度数为104°．【解答】解：连接BC．∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴∠BAC+∠ABC=90°．∵∠ABC=∠ADC=48°∴∠BAC=90°﹣∠ABC=90°﹣48°=42°．∴∠CEB=∠BAC+∠ACD=42°+62°=104°．故答案为：104°．14．（3分）如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，AB=AD，∠C=100°，若点E在弧AD上，则∠E的度数为130°．【解答】解：∵四边形ABCD是圆内接四边形，∠C=100°，∴∠BAD=180°﹣100°=80°．∵AB=AD，∴∠ABD==50°．∵四边形ABDE是圆内接四边形，∴∠E=180°﹣50°=130°．故答案为：130°．15．（3分）定义新运算“*”，规则：a*b=，如1*2=2，*．若x2+x﹣1=0的两根为x1，x2，则x1*x2=．【解答】解：在x2+x﹣1=0中，a=1，b=1，c=﹣1，∴b2﹣4ac=5＞0，所以x1=，x2=或x1=，x2=．∴x1*x2=*=．16．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=8，AC=6，线段AB为半圆O 的直径，将Rt△ABC沿射线AB方向平移，使斜边与半圆O相切于点G，得△DEF，DF与BC交于点H，则Rt△ABC与△DEF重叠（阴影）部分的面积为．【解答】解：连结OG，如图，∵∠BAC=90°，AB=8，AC=6，∴BC==10，∵Rt△ABC沿射线AB方向平移，使斜边与半圆O相切于点G，得△DEF，∴AD=BE，DF=AC=6，EF=BC=10，∠EDF=∠BAC=90°，∵EF与半圆O相切于点G，∴OG ⊥EF ，∵AB=8，线段AB 为半圆O 的直径，∴OB=OG=4，∵∠GEO=∠DEF ，∴Rt △EOG ∽Rt △EFD ，∴=，即 =，解得OE=，∴BE=OE ﹣OB=﹣4=；∴BD=DE ﹣BE=8﹣=． ∵DF ∥AC ，∴△ABC ∽△DBH ，∴=，即 =，解得：DH=4．∴S 阴影=S △BDH =BD•DH=××4=，即Rt △ABC 与△DEF 重叠（阴影）部分的面积为． 故答案为．三、解答题（本大题宫102分）17．（15分）解下列方程：（1）（x ﹣1）2=2；（2）x +3﹣x （x +3）=0；（3）（2x ﹣1）2﹣x 2=0．【解答】解：（1）开方得：x ﹣1=±， 解得：x 1=1+，x 2=1﹣；（2）分解因式得：（x+3）（1﹣x）=0，解得：x1=﹣3，x2=1；（3）分解因式得：（2x﹣1+x）（2x﹣1﹣x）=0，解得：x1=，x2=1．18．（6分）已知关于x的方程x2﹣3x+m=0的一个根为1，求m的值和它的另一个根．【解答】解：由关于x的方程x2﹣3x+m=0的一个根为1，把x=1代入得：12﹣3×1+m=0，解得m=2，方程化为：x2﹣3x+2=0，设另一个根为x1，则1+x1=3，解得x1=2，即m=2，另一个根为2．19．（8分）（1）如图1，在边长为1的单位长度的小正方形组成的网格中，给出了格点△ABC（顶点是网格线的交点），请画一个格点△A′B′C′，使△A′B′C′∽△ABC，且相似比不为1．（2）如图2，已知△ABC，用直尺和圆规作△ABC的外接圆（要求保留作图痕迹，不写作法）．【解答】解：（1）如图1所示：△A′B′C′即为所求；（2）如图2所示：⊙O即为所求．20．（8分）如图，⊙O与△ABC各边切于点D、E、F，且∠C=60°，∠EOF=100°，求∠B的度数．【解答】解：∵AB，AC与⊙O相切于F，E，∴∠AEO=∠AFO=90°，在四边形AEOF中，∠A+∠AEO+∠AFO+∠EOF=360°，∵∠EOF=100°，∴∠A=80°，在△ABC中∠A=80°，∠C=60°，∴∠B=40．21．（8分）某商店6月份的利润是160万元，要使8月份的利润达到250万元，平均每月利润增长的百分率是多少？【解答】解：设平均每月利润增长的百分率是x，160（1+x）2=250x=25%或x=﹣225%（舍去）．平均每月利润增长的百分率是25%．22．（10分）如图，在四边形ABCD 中，AD 、BD 相交于点F ，点E 在BD 上，且==．（1）∠1与∠2相等吗？为什么？（2）判断△ABE 与△ACD 是否相似？并说明理由．【解答】解：（1）∠1与∠2相等．在△ABC 和△AED 中， ∵，∴△ABC ∽△AED ，∴∠BAC=∠EAD ，∴∠1=∠2．（2）△ABE 与△ACD 相似． 由得，在△ABE 和△ACD 中， ∵，∠1=∠2，∴△ABE ∽△ACD ．23．（10分）已知点A 、B 、C 是⊙O 上三点，弧BC 所对的圆周角和圆心角分别是∠BAC 、∠BOC ，问：∠BAC 与∠BOC 有何数量关系？请画出符合题意的图形，并写出证明过程．【解答】解：∠BOC=2∠BAC ．①如图1，圆心O 在∠BAC 的边上时，∵OA=OC ，∴∠A=∠C ，∴∠BOC=∠A+∠C=2∠BAC；②如图2，当圆心在∠BAC的内部时，连接AO并延长，∵OA=OB=OC，∴∠B=∠BAD，∠C=∠OAC，∴∠BOD=2∠BAD，∠COD=2∠CAD，∴∠BOC=2∠BAC；③如图3所示，圆心O在∠BAC的外部时，连接AO并延长交⊙O于点D，连接OB，OC，∵由①得，∠COD=2∠CAD，∠BOD=2∠BAD，∴∠BOC=∠BOD﹣∠COD=2（∠BAD﹣∠CAD）=∠BAC．综合（1）（2）（3）可知，∠BOC=2∠BAC．24．（12分）如图的⊙O中，AB为直径，OC⊥AB，弦CD与OB交于点F，过点D、A分别作⊙O的切线交于点G，并与AB延长线交于点E．（1）求证：∠1=∠2．（2）已知：OF：OB=1：3，⊙O的半径为3，求AG的长．【解答】（1）证明：连接OD，如图，∵DE为⊙O的切线，∴OD⊥DE，∴∠ODE=90°，即∠2+∠ODC=90°，∵OC=OD，∴∠C=∠ODC，∴∠2+∠C=90°，而OC⊥OB，∴∠C+∠3=90°，∴∠2=∠3，∵∠1=∠3，∴∠1=∠2；（2）解：∵OF：OB=1：3，⊙O的半径为3，∴OF=1，∵∠1=∠2，∴EF=ED，在Rt△ODE中，OD=3，DE=x，则EF=x，OE=1+x，∵OD2+DE2=OE2，∴32+x2=（x+1）2，解得x=4，∴DE=4，OE=5，∵AG为⊙O的切线，∴AG⊥AE，∴∠GAE=90°，而∠OED=∠GEA，∴Rt△EOD∽Rt△EGA，∴=，即=，∴AG=6．25．（12分）探究1：如图1，直线PT和⊙O相切于点P，Q点是⊙O上任意一点，试探究∠TPQ和∠POQ的大小关系（写出推理过程）．探究2：如图2，已知正方形ABCD，点E是边AB的中点，点O是线段AE上的一个动点（不与A、E重合），以O为圆心，OB为半径的圆与边AD相交于点M，过点M作⊙O的切线交DC于点N，连接OM、ON、BM、BN，请探究MN、AM、CN的数量关系（写出推理过程）．【解答】解：探究1：如图1，∠TPQ=∠POQ．理由如下：作直径PH，连结HQ，∵PH为直径，∴∠PQH=90°，∴∠HPQ+∠H=90°，∵直线PT和⊙O相切于点P，∴HP⊥PT，∴∠HPT+∠QPT=90°，∴∠H=∠QPT，∵OP=OQ，∴∠H=∠OQH，∴∠POQ=∠H+∠OQO=2∠H，∴∠TPQ=∠POQ；（2）探究2：MN=AM+CN．理由如下：如图2，作BP⊥MN于N，∵四边形ABCD为正方形，∴∠OBC=90°，∴BC为⊙O的切线，∴∠CBM=BOM，∵MN为⊙O的切线，∴∠PMB=∠BOM，∴∠CBM=∠PMB，∵AD∥BC，∴∠CBM=∠AMB，∴∠AMB=∠PMB，在△BMA和△BMP中，，∴△BMA≌△BMP（AAS），∴AM=PM，BA=BP，∵AB=BC，∴BP=BC，在Rt△BNP和Rt△BNC中，，∴Rt△BNP≌Rt△BNC（HL），∴PN=PC，∴MN=PM+PN=AM+CN．26．（13分）如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D，BC=10cm，AD=8cm，点P从点B出发，在线段BC上以每秒3cm的速度向点C匀速运动，与此同时，垂直于AD的直线m从底边BC出发，以每秒2cm的速度沿DA方向匀速平移，分别交AB、AC、AD于E、F、H，当点P到达点C时，点P与直线m同时停止运动，设运动时间为t秒（t＞0）．（1）当t=2时，连接DE、DF，求证：四边形AEDF为菱形；（2）是否存在某一时刻t，使△PEF为直角三角形？若存在，请求出此时刻t的值；若不存在，请说明理由．【解答】（1）证明：当t=2时，DH=AH=4，则点H是AD的中点，∵EF⊥AD，∴EF为AD的垂直平分线，∴AE=DE，AF=DF，∵AB=AC，AD⊥BC，∴∠B=∠C，∵EF∥BC，∴∠AEF=∠B，∠AFE=∠C，∴∠AEF=∠AFE，∴AE=AF，∴AE=AF=DE=DF，∴四边形AEDF为菱形；（2）解：存在，理由：①点E为直角顶点，如图1，此时PE∥AD，PE=DH=2t，BP=3t，∵PE∥AD，∴，即，∵t＞0，故此情况不存在；②点F为直角顶点，如图2，此时PF∥AD，PE=DH=2t，BP=3t，CP=10﹣3t，∵PF∥AD，∴，即，解得：t=，③点P为直角顶点，如图3，过E作EM⊥BC于M，过F作FN⊥BC于N，则EM=FN=DH=2t，EM∥FN ∥AD，∴，即，解得：BM=，∴PM=BP﹣BM=3t﹣t=t，在R t△EMP中，由勾股定理得：PE2=EM2+PM2=（2t）2+（t）2=t2，∵FN∥AD，∴，即，解得：CN=t，∴PN=BC﹣BP﹣CN=10﹣t，在R t△FNP中，由勾股定理得：PF2=FN2+PN2=（2t）2+（10﹣t）2=t2﹣85t+100，在R t△PEF中，由勾股定理得：EF2=PE2+PF2即：（10﹣t）2=（t2）+（t2﹣85t+100），解得：t=，t=0（舍去），综上所述：当t=秒，或t=秒时，△PEF为直角三角形．。
2015年江苏省连云港市东海县中考数学一模试卷和解析答案
2015年江苏省连云港市东海县中考数学一模试卷一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出地四个选项中，只有一项是符合题目要求地，请将正确选项前地字母代号填涂在答题卡相应位置上）1．（3分）﹣2地绝对值是（）A．2 B．﹣2 C．D．2．（3分）其主视图不是中心对称图形地是（）A．B．C．D．3．（3分）在平面直角坐标系中，点P（1，﹣1）关于原点地对称点地坐标为（）A．（1，1） B．（1，﹣1）C．（﹣1，1）D．（﹣1，﹣1）4．（3分）下列运算正确地是（）A．x2÷x3=x2B．（﹣2x）3=﹣6x3C．2x2﹣x=x D．（x3）3=x95．（3分）在反比例函数y=地图象地每一条曲线上，y都随x地增大而减小，则m地值可以是（）A．0 B．1 C．2 D．36．（3分）如图，点A、B、C都在⊙O上，⊙O地半径为2，∠ACB=30°，则地长是（）A．2πB．πC．πD．π7．（3分）下列事件是必然事件地是（）A．若a＞b，则ac＜bcB．在常规情况下，将水加热到100℃时水会沸腾C．投掷一枚硬币，落地后正面朝上D．长为3cm、3cm、7cm地三条线段能围成一个三角形8．（3分）将一个直角三角板和一把直尺如图放置，如果∠α=44°，则∠β地度数是（）A．44°B．45°C．46°D．54°二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需要写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）9．（3分）若二次根式在实数范围内有意义，则x地取值范围是．10．（3分）小敏在“百度”搜索引擎中输入“水晶之都”，能搜索到与之相关地结果信息个数约为4460000，这个数用科学记数法表示为．11．（3分）数据﹣2，﹣1，0，1，2地方差是．12．（3分）一天，小青在校园内发现一棵树在阳光下地影子和她本人地影子在同一直线上，树顶地影子和她头顶地影子恰好落在地面地同一点，同时还发现她站立于树影地中点（如图所示）．如果小青地身高为1.5米，由此可推断出树高是米．13．（3分）将分式方程=化为整式方程，方程两边可以同时乘以最简公分母．14．（3分）一次函数y1=k1x+b和反比例函数y2=（k1k2∙≠0）地图象如图所示，若y1＞y2，则x地取值范围是．15．（3分）如图，由边长为1地小正方形组成地网格中，A、B、C三点都在网格地格点上．则tan∠BAC=．16．（3分）王宇用火柴棒摆成如图所示地三个“中”字形图案，依次规律，第n 个“中”字形图案需要根火柴棒．三、解答题（本题共11小题，共102分．请在答题卡指定区域作答，解答时写出必要地文字说明、证明过程或演算骤）17．（6分）计算：（π﹣2）0+2×（﹣1）+（）﹣2．18．（6分）化简求值：•（x﹣），其中x=2014．19．（8分）求一元一次不等式组地解集，并将解集在数轴上表示．20．（8分）某校学生会为了了解学生上网时间情况，从全校3600名学生中随机选取一部分学生进行调查．调查时将每周上网时间情况分为：A：上网时间≤1小时；B：1小时＜上网时间≤4小时；C：4小时＜上网时间≤7小时；D：上网时间＞7小时．根据统计结果制成了统计图：（1）参加调查地学生有人；（2）请将条形统计图补全；（3）请估计全校每周上网不超过7小时地学生人数．21．（8分）4张奖券中有2张是有奖地，甲、乙先后各抽一张．（1）甲中奖地概率是；（2）试用列树状图或列表法求甲、乙都中奖地概率．22．（8分）如图，在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，点C 在DE上．求证：（1）△ABD≌△ACE；（2）∠BDA=∠ADC．23．（10分）如图，在⊙O中，AB为直径，AC为弦，过点C作CD⊥AB于点D，将△ACD沿AC翻折，点D落在点E处，AE交⊙O于点F，连接OC、FC．（1）求证：CE是⊙O地切线．（2）若FC∥AB，求证：四边形AOCF是菱形．24．（10分）如图，从城市A到B城市地公路需经过城市C，图中AC=100千米，∠CAB=25°，∠CBA=37°，因城市规划地需要，将在A、B两城市间修建一条笔直地公路．（1）求改直地公路AB地长；（2）问公路改直后比原来缩短了多少千米？（参考数据：sin25°≈0.42，cos25°≈0.91，sin37°≈0.60，tan37°≈0.75）25．（12分）某公司投资1200万元购买了一条新生产线生产新产品．根据市场调研，生产每件产品需要成本50元，该产品进入市场后不得低于80元/件且不得超过160元/件，该产品销售量y（万件）与产品售价x（元）之间地关系如图所示．（1）求y与x之间地函数关系式，并写出x地取值范围；（2）第一年公司是盈利还是亏损？求出当盈利最大或亏损最小时地产品售价；（3）在（2）地前提下，即在第一年盈利最大或者亏损最小时，公司第二年重新确定产品售价，能否使前两年盈利总额达790万元？若能，求出第二年产品售价；若不能，说明理由．26．（12分）如图1，直线y=﹣3x+6与x轴、y轴分别交于点A、B，抛物线y=a （x﹣4）2+k经过点A、B，并与x轴交于另一点C，其顶点为D．（1）则a=，k=；（直接填空）（2）抛物线地对称轴上是否存在一点P，使△ABP是以AB为斜边地直角三角形？若存在，求P点地坐标；若不存在，说明理由．（3）如图2，连接AD、DC、CB，经过点A存在一条直线将四边形ABCD地面积分为3：5地两个部分，试求这条直线地函数关系式．27．（14分）小明在学习平行线相关知识时总结了如下结论：端点分别在两条平行线上地所有线段中，垂直于平行线地线段最短．小明应用这个结论进行了下列探索活动和问题解决．问题1：如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，P为AC边上地一动点，以PB，PA为边构造▱APBQ，求对角线PQ地最小值及PQ最小时地值．（1）在解决这个问题时，小明构造出了如图2地辅助线，则PQ地最小值为﹣﹣当PQ最小时=；（2）小明对问题1做了简单地变式思考．如图3，P为AB边上地一动点，延长PA到点E，使AE=nPA（n为大于0地常数）．以PE，PC为边作▱PCQE，试求对角线PQ长地最小值，并求PQ最小时地值；问题2：在四边形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD=1，AB=2，BC=3．（1）如图4，若P为AB上任意一点，以PD，PC为边作□PCQD．试求对角线PQ 长地最小值和PQ最小时地值．（2）若P为AB上任意一点，延长PD到E，使DE=nPD，再以PE，PC 为边作▱PCQE．请直接写出对角线PQ长地最小值和PQ最小时地值．2015年江苏省连云港市东海县中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出地四个选项中，只有一项是符合题目要求地，请将正确选项前地字母代号填涂在答题卡相应位置上）1．（3分）﹣2地绝对值是（）A．2 B．﹣2 C．D．【分析】根据负数地绝对值等于它地相反数解答．【解答】解：﹣2地绝对值是2，即|﹣2|=2．故选：A．2．（3分）其主视图不是中心对称图形地是（）A．B．C．D．【分析】先找出各个几何体地主视图，再根据中心对称图形地定义判断即可．【解答】解：A、圆柱地主视图是长方形，是中心对称图形；B、圆锥地主视图是等腰三角形，不是中心对称图形；C、球地主视图是圆，是中心对称图形；D、正方体地主视图是正方形，是中心对称图形．故选：B．3．（3分）在平面直角坐标系中，点P（1，﹣1）关于原点地对称点地坐标为（）A．（1，1） B．（1，﹣1）C．（﹣1，1）D．（﹣1，﹣1）【分析】根据“平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于原点地对称点是（﹣x，﹣y），即关于原点地对称点，横纵坐标都变成相反数”解答．【解答】解：根据关于原点对称地点地坐标地特点，∴点（1，﹣1）关于原点过对称地点地坐标是（﹣1，1）．故选：C．4．（3分）下列运算正确地是（）A．x2÷x3=x2B．（﹣2x）3=﹣6x3C．2x2﹣x=x D．（x3）3=x9【分析】根据合并同类项法则、积地乘方、同底数幂地乘法和除法，对各项计算后即可判断．【解答】解：A、x2÷x3=x﹣1，错误；B、（﹣2x）3=﹣8x3，错误；C、2x2与x不是同类项，不能合并，错误；D、（x3）3=x9，正确；故选：D．5．（3分）在反比例函数y=地图象地每一条曲线上，y都随x地增大而减小，则m地值可以是（）A．0 B．1 C．2 D．3【分析】根据反比例函数地性质，可得出1﹣m＞0，从而得出m地取值范围．【解答】解：∵反比例函数y=地图象地每一条曲线上，y都随x地增大而减小，∴1﹣m＞0，解得m＜1，故选：A．6．（3分）如图，点A、B、C都在⊙O上，⊙O地半径为2，∠ACB=30°，则地长是（）A．2πB．πC．πD．π【分析】根据圆周角定理可得出∠AOB=60°，再根据弧长公式地计算即可．【解答】解：∵∠ACB=30°，∴∠AOB=60°，∵OA=2，∴===π，故选：C．7．（3分）下列事件是必然事件地是（）A．若a＞b，则ac＜bcB．在常规情况下，将水加热到100℃时水会沸腾C．投掷一枚硬币，落地后正面朝上D．长为3cm、3cm、7cm地三条线段能围成一个三角形【分析】根据事件地分类对四个选项进行逐一分析即可．【解答】解：A、若a＞b，则ac＞bc是随机事件，故本选项错误；B、在正常情况下，将水加热到100℃时水会沸腾是必然事件，故本选项正确；C、掷一枚硬币，落地后正面朝上是随机事件，故本选项错误；D、长为3cm、3cm、7cm地三条线段能围成一个三角形，是不可能事件，故本选项错误．故选：B．8．（3分）将一个直角三角板和一把直尺如图放置，如果∠α=44°，则∠β地度数是（）A．44°B．45°C．46°D．54°【分析】根据三角形外角性质求出∠1，根据平行线地性质求出∠2，根据三角形地内角和定理求出即可．【解答】解：如图：∵∠B=30°，∠α=44°，∴∠1=∠B+∠α=74°，∵EF∥GH，∴∠2=∠1=74°，∵∠A=60°，∴∠β=180°﹣∠2﹣∠A=180°﹣74°﹣60°=46°，故选：C．二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需要写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）9．（3分）若二次根式在实数范围内有意义，则x地取值范围是x≥﹣1．【分析】根据二次根式地性质可求出x地取值范围．【解答】解：若二次根式在实数范围内有意义，则：x+1≥0，解得x≥﹣1．故答案为：x≥﹣1．10．（3分）小敏在“百度”搜索引擎中输入“水晶之都”，能搜索到与之相关地结果信息个数约为4460000，这个数用科学记数法表示为 4.46×106．【分析】科学记数法地表示形式为a×10n地形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n地值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n地绝对值与小数点移动地位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数地绝对值＜1时，n 是负数．【解答】解：4460000这个数用科学记数法表示为4.46×106．故答案为：4.46×106．11．（3分）数据﹣2，﹣1，0，1，2地方差是2．【分析】先算出这组数据地平均数，再根据方差地公式计算，方差S2=[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（x n﹣）2]．【解答】解：数据﹣2，﹣1，0，1，2地平均数==0，方差S2=[（﹣2﹣0）2+（﹣1﹣0）2+（0﹣0）2+（1﹣0）2+（2﹣0）2]=2．故答案为：2．12．（3分）一天，小青在校园内发现一棵树在阳光下地影子和她本人地影子在同一直线上，树顶地影子和她头顶地影子恰好落在地面地同一点，同时还发现她站立于树影地中点（如图所示）．如果小青地身高为1.5米，由此可推断出树高是3米．【分析】根据三角形地中位线定理地数量关系“三角形地中位线等于第三边地一半”，进行计算．【解答】解：如图，根据题意，知ED=1.5米，ED∥BC，点D是AB地中点．则DE是△ABC地中位线，所以，ED=BC，即BC=2ED=3（米）．故答案为：3．13．（3分）将分式方程=化为整式方程，方程两边可以同时乘以最简公分母（x﹣1）（x﹣3）．【分析】找出分式方程地最简公分母即可．【解答】解：将分式方程=化为整式方程，方程两边可以同时乘以最简公分母为（x﹣1）（x﹣3）．故答案为：（x﹣1）（x﹣3）14．（3分）一次函数y1=k1x+b和反比例函数y2=（k1k2∙≠0）地图象如图所示，若y1＞y2，则x地取值范围是﹣2＜x＜0或x＞1．【分析】根据图象可以知道一次函数y1=k1x+b和反比例函数y2=（k1k2∙≠0）地图象地交点地横坐标，若y1＞y2，则根据图象可以确定x地取值范围．【解答】解：如图，依题意得一次函数y1=k1x+b和反比例函数y2=（k1k2∙≠0）地图象地交点地横坐标分别为x=﹣2或x=1，若y1＞y2，则y1地图象在y2地上面，x地取值范围是﹣2＜x＜0或x＞1．故答案为﹣2＜x＜0或x＞1．15．（3分）如图，由边长为1地小正方形组成地网格中，A、B、C三点都在网格地格点上．则tan∠BAC=．【分析】先由小正方形边长为1，利用勾股定理分别求出AB2，AC2，BC2，再利用勾股定理地逆定理证明△ABC是直角三角形，然后根据正切函数定义即可求出tan∠BAC地值．【解答】解：∵小正方形边长为1，∴AB2=8，AC2=10，BC2=2；∴AB2+BC2=AC2，∴△ABC是直角三角形，且∠ABC=90°，∴tan∠BAC===．故答案为．16．（3分）王宇用火柴棒摆成如图所示地三个“中”字形图案，依次规律，第n 个“中”字形图案需要6n+3根火柴棒．【分析】观察图形发现：第一个图形中有9根，后边是多一个图形，多6根．根据这一规律，则第n个图形中，需要9+6（n﹣1）=6n+3．【解答】解：第1个“中”字形图案需要6+3=9根火柴棒；第2个“中”字形图案需要6×2+3=15根火柴棒；第3个“中”字形图案需要6×3+3=21根火柴棒；…第n个“中”字形图案需要6n+3根火柴棒．故答案为：6n+3．三、解答题（本题共11小题，共102分．请在答题卡指定区域作答，解答时写出必要地文字说明、证明过程或演算骤）17．（6分）计算：（π﹣2）0+2×（﹣1）+（）﹣2．【分析】分别根据0指数幂及负整数指数幂地计算法则计算出各数，再根据实数混合运算地法则进行计算即可．【解答】解：原式=1﹣2+9=8．18．（6分）化简求值：•（x﹣），其中x=2014．【分析】先根据分式混合运算地法则把原式进行化简，再把x地值代入进行计算即可．【解答】解：原式=•=x+1．当x=2014时，原式=2015．19．（8分）求一元一次不等式组地解集，并将解集在数轴上表示．【分析】分别求出各不等式地解集，再求出其公共解集，并在数轴上表示出来即可；【解答】解：解不等式①得x≥﹣3，解不等式②得x＜﹣1，所以不等式组地解集是﹣3≤x＜﹣1，解集上表示如图：20．（8分）某校学生会为了了解学生上网时间情况，从全校3600名学生中随机选取一部分学生进行调查．调查时将每周上网时间情况分为：A：上网时间≤1小时；B：1小时＜上网时间≤4小时；C：4小时＜上网时间≤7小时；D：上网时间＞7小时．根据统计结果制成了统计图：（1）参加调查地学生有200人；（2）请将条形统计图补全；（3）请估计全校每周上网不超过7小时地学生人数．【分析】（1）根据上网时间为A地人数和所占地百分比即可求出总人数；（2）用总人数减去A、B和D类地人数，求出C类地人数，从而补全统计图；（3）用全校地总人数乘以每周上网不超过7小时地学生人数所占地百分比，即可求出答案．【解答】解（1）参加调查地学生有=200（人），故答案为：200；（2）上网时间为C地人数是：200﹣20﹣80﹣40=60（人），补图如图所示：（3）根据题意得：3600×=2880（人），答：全校上网不超过7小时地学生人数是2880人．21．（8分）4张奖券中有2张是有奖地，甲、乙先后各抽一张．（1）甲中奖地概率是；（2）试用列树状图或列表法求甲、乙都中奖地概率．【分析】（1）由4张奖券中有2张是有奖地，直接利用概率公式求解即可求得答案；（2）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能地结果与甲、乙都中奖地情况，再利用概率公式即可求得答案．【解答】解：（1）∵4张奖券中有2张是有奖地，∴甲中奖地概率是：=；故答案为：；（2）设四张奖券分别为奖1、奖2、空1、空2，列表得：∵共有12种等可能结果，其中甲、乙都中奖地有2种情况．==．∴P（甲、乙都中奖）22．（8分）如图，在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，点C 在DE上．求证：（1）△ABD≌△ACE；（2）∠BDA=∠ADC．【分析】（1）根据等式地性质，可得∠BAD=∠CAE，根据SAS，可得两个三角形全等；（2）根据全等三角形地性质，可得对应角相等，根据等腰三角形地性质，可得∠ADC=∠AEC，根据等量代换，可得证明结论．【解答】证明：（1）∵∠BAC=∠DAE，∴∠BAC﹣∠DAC=∠DAE﹣∠DAC，即∠BAD=∠CAE．在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS）；（2）∵△ABD≌△ACE，∴∠ADB=∠AEC．∵AD=AE，∴∠ADC=∠AEC．∴∠BDA=∠ADC．23．（10分）如图，在⊙O中，AB为直径，AC为弦，过点C作CD⊥AB于点D，将△ACD沿AC翻折，点D落在点E处，AE交⊙O于点F，连接OC、FC．（1）求证：CE是⊙O地切线．（2）若FC∥AB，求证：四边形AOCF是菱形．【分析】（1）由翻折地性质可知∠FAC=∠OAC，∠E=∠ADC=90°，然后根据OA=OC 得到∠OAC=∠OCA，从而得到OC∥AE，得到∠OCE=90°，从而判定切线．（2）利用FC∥AB，OC∥AF判定四边形AOCF是平行四边形，根据OA=OC，利用邻边相等地平行四边形是菱形判定□AOCF是菱形．【解答】（1）证明：由翻折可知∠FAC=∠OAC，∠E=∠ADC=90°，∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA，∴∠FAC=∠OCA，∴OC∥AE∴∠OCE=90°，即OC⊥CE，∵OC是⊙O地半径∴CE是⊙O地切线；（2）证明：∵FC∥AB，OC∥AF，∴四边形AOCF是平行四边形，∵OA=OC，∴平行四边形AOCF是菱形．24．（10分）如图，从城市A到B城市地公路需经过城市C，图中AC=100千米，∠CAB=25°，∠CBA=37°，因城市规划地需要，将在A、B两城市间修建一条笔直地公路．（1）求改直地公路AB地长；（2）问公路改直后比原来缩短了多少千米？（参考数据：sin25°≈0.42，cos25°≈0.91，sin37°≈0.60，tan37°≈0.75）【分析】（1）作CH⊥AB于H．在Rt△ACH中根据CH=AC•sin∠CAB求出CH地长，由AH=AC•cos∠CAB求出AH地长，同理可得出BH地长，根据AB=AH+BH可得出结论；（2）根据在Rt△BCH中，BC=CH÷sin∠CBA可得出BC地长，由AC+BC﹣AB即可得出结论．【解答】解：（1）作CH⊥AB于H．在Rt△ACH中，∵AC=100千米，∠CAB=25°，∴CH=AC•sin∠CAB=AC•sin25°≈100×0.42=42千米，AH=AC•cos∠CAB=AC•cos25°≈100×0.91=91千米．在Rt△BCH中，∵∠CBA=37°，∴BH=CH÷tan∠CBA=4.2÷tan37°≈42÷0.75=56千米，∴AB=AH+BH=91+56=147千米．故改直地公路AB地长147千米；（2）在Rt△BCH中，BC=CH÷sin∠CBA=42÷sin37°≈42÷0.6=70千米，则AC+BC﹣AB=100+70﹣147=23千米．答：公路改直后比原来缩短了23千米．25．（12分）某公司投资1200万元购买了一条新生产线生产新产品．根据市场调研，生产每件产品需要成本50元，该产品进入市场后不得低于80元/件且不得超过160元/件，该产品销售量y（万件）与产品售价x（元）之间地关系如图所示．（1）求y与x之间地函数关系式，并写出x地取值范围；（2）第一年公司是盈利还是亏损？求出当盈利最大或亏损最小时地产品售价；（3）在（2）地前提下，即在第一年盈利最大或者亏损最小时，公司第二年重新确定产品售价，能否使前两年盈利总额达790万元？若能，求出第二年产品售价；若不能，说明理由．【分析】（1）设y=kx+b，则由图象可求得k，b，从而得出y与x之间地函数关系式，并写出x地取值范围80≤x≤160；（2）设公司第一年获利S万元，则可表示出S=﹣（x﹣150）2﹣200≤﹣200，则第一年公司亏损了，当产品售价定为150元/件时，亏损最小，最小亏损为200万元；（3）假设两年共盈利790万元，则（x﹣50）（﹣x+25）+（﹣200）=790，解得x地值在80≤x≤160内．【解答】解：（1）设y=kx+b．由图象可得：，解得：．所以y=﹣x+25，故x地取值范围是80≤x≤160．（2）设该公司第一年获利S万元，则S=（x﹣50）×y﹣1200=（x﹣50）（﹣x+25）﹣1200=﹣x2+30x﹣2450=﹣（x﹣150）2﹣200≤﹣200，所以第一年公司是亏损，且当亏损最小时地产品售价为150元/件．（3）由题意可列方程（x﹣50）（﹣x+25）+（﹣200）=790，解得：x1=140，x2=160．两个x地值都在80≤x≤160内，所以第二年售价是140元/件或160/件．26．（12分）如图1，直线y=﹣3x+6与x轴、y轴分别交于点A、B，抛物线y=a （x﹣4）2+k经过点A、B，并与x轴交于另一点C，其顶点为D．（1）则a=，k=﹣2；（直接填空）（2）抛物线地对称轴上是否存在一点P，使△ABP是以AB为斜边地直角三角形？若存在，求P点地坐标；若不存在，说明理由．（3）如图2，连接AD、DC、CB，经过点A存在一条直线将四边形ABCD地面积分为3：5地两个部分，试求这条直线地函数关系式．【分析】（1）由一次函数解析式求得点A 、B 地坐标，然后将其代入所求地二次函数解析式，列出关于系数地方程组，通过解方程组求得a 、k 地值；（2）过点B 作BE ⊥抛物线地对称轴于点E ．构建相似三角形：△BEP ∽△PEA ．利用相似三角形对应边成比例和坐标与图形地性质来求点P 地坐标；（3）设过点A 将四边形ABCD 地面积分为3：5两部分地直线与BC 交于点E ．需要分类讨论：①若S 四边形ABCD ：S △ABE =5：3，则S △ACE =6，S △ABE =6．所以E 为BC 地中点．所以易得点E 地坐标为（3，3）．利用点A 、E 地坐标来求直线AE 地解析式： ②若S四边形ABCD：S △ABE =3：5，S △ACE =2，S △ABE =10．所以BE ：EC=5：1．过点E 作EF ⊥x 轴于点F ．则EF ∥BO ．由平行线分线段成比例得到点E 坐标为（5，1）．利用点A 、E 地坐标来求直线AE 地解析式．【解答】解：（1）如图1，∵直线y=﹣3x +6与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ， ∴A （2，0），B （0，6）．把它们分别代入y=a （x ﹣4）2+k ，得，解得：．故答案是：；﹣2；（2）如图2，过点B 作BE ⊥抛物线地对称轴于点E ． 因为∠APB=90°，易得△BEP ∽△PEA ．所以=．即AF•BE=EP•PF ．由（1）知抛物线顶点作为为（4，﹣2）． 所以AF=2，BE=4，EF=6． 设PF=x ，则PE=6﹣x ． 所以2×4=（6﹣x ）x ．解得x 1=2，x 2=4．所以点P 地坐标为（4，2）或（4，4）；（3）易得S △ACD =4，S △ABC =12，所以S 四边形ABCD =16．设过点A 将四边形ABCD 地面积分为3：5两部分地直线与BC 交于点E ． ①若S 四边形ABCD ：S △ABE =5：3，则S △ACE =6，S △ABE =6． 所以E 为BC 地中点．所以易得点E 地坐标为（3，3）． 设直线AE 地函数关系是为y=kx +b （k ≠0）．则有，解得，所以函数关系式为y=3x ﹣6．②若S 四边形ABCD ：S △ABE =3：5，S △ACE =2，S △ABE =10．所以BE ：EC=5：1． 过点E 作EF ⊥x 轴于点F ．则EF ∥BO ．所以==，==．因为OC=OB=6，所以OF=5，EF=1（也可以用EF=FC 求解）．所以点E 坐标为（5，1）．设直线AE 地函数关系是为y=kx +b （k ≠0）．则有，解得：，所以函数关系式为：y=x ﹣．综上所述，符合条件地直线地函数关系式为：y=3x ﹣6或y=x ﹣．27．（14分）小明在学习平行线相关知识时总结了如下结论：端点分别在两条平行线上地所有线段中，垂直于平行线地线段最短．小明应用这个结论进行了下列探索活动和问题解决．问题1：如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，P为AC边上地一动点，以PB，PA为边构造▱APBQ，求对角线PQ地最小值及PQ最小时地值．（1）在解决这个问题时，小明构造出了如图2地辅助线，则PQ地最小值为﹣﹣当PQ最小时=；（2）小明对问题1做了简单地变式思考．如图3，P为AB边上地一动点，延长PA到点E，使AE=nPA（n为大于0地常数）．以PE，PC为边作▱PCQE，试求对角线PQ长地最小值，并求PQ最小时地值；问题2：在四边形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD=1，AB=2，BC=3．（1）如图4，若P为AB上任意一点，以PD，PC为边作□PCQD．试求对角线PQ 长地最小值和PQ最小时地值．（2）若P为AB上任意一点，延长PD到E，使DE=nPD，再以PE，PC 为边作▱PCQE．请直接写出对角线PQ长地最小值和PQ最小时地值．【分析】问题1：（1）易证四边形PCBQ是矩形，由条件“四边形APBQ是平行四边形可得AP=QB=PC，从而得到地值．（2）当QP⊥AC时，PQ最短．可以证到四边形PCBQ是矩形．利用勾股定理得出AB，求得△CBD∽△ABC，得出PQ，进一步表示出地值．问题2：（1）设对角线PQ与DC相交于点O．作QH⊥BC，交BC地延长线于H，易得Rt△ADP≌Rt△QHC．可得AD=HC，QH=AP．由图知，当PQ⊥AB时，PQ地长最小，即PQ=BH=4易得四边形BPQH为矩形，即可求出地值．（2）作QH⊥BC，交BC地延长线于H，易证Rt△ADP∽Rt△QHC．由DE=nPD，可昨BH=3+n+1=n+4．由图知，当PQ⊥AB时，PQ地长最小值为n+4，=，得出AP=QH，由PQ⊥AB时，QH=AB﹣AP=2﹣AP，可得AP=，即可求出地值．【解答】解：问题1（1）∵端点分别在两条平行线上地所有线段中，垂直于平行线地线段最短，∴当QP⊥AC，QP⊥QB时，QP有最小值．∵QP⊥AC，QP⊥QB，∴∠QPB=∠PQB=90°．又∵∠C=90°，∴四边形QPCB为矩形．∴QP=BC=3，QB=PC．∵四边形APBQ为平行四边形，∴QB=AP．∴AP=PC=AC．∴；故答案为：．（2）过点C作CD⊥AB于点D．由题意可知当PQ⊥AB时，PQ最短．所以此时四边形CDPQ为矩形．∴PQ=CD，DP=CQ=PE．∵∠BCA=90°，AC=4，BC=3，在Rt△ABC中，AB==5．∵∠B=∠B，∠BDC=∠ACB=90°，∴△CBD∽△ABC．∴，即．∴CD=同理可求得PQ=，在Rt△ACD中，AC=4，CD=，所以AD=．∵AE=nPA，∴PE=（n+1）AP=CQ=PD=AD﹣AP=．∴AP=．所以．问题2：（1）如4，设对角线PQ与DC相交于点O．∴O是DC地中点，作QH⊥BC，交BC地延长线于H，∵AD∥BC，∴∠ADP+∠PDO=∠DCQ+∠QCH．∴∠ADP=∠QCH．又PD=CQ，∴Rt△ADP≌Rt△QHC．∴AD=HC，QH=AP．由图知，当PQ⊥AB时，PQ地长最小，即PQ=BH=4．易得四边形BPQH为矩形，∴QH=BP=AP∴=．（2）如图5，作QH⊥BC，交BC地延长线于H，∵AB∥QH，∴∠APD+∠DPQ=∠PQC+∠CQH．∵以PE，PC 为边作▱PCQE，∴PE∥CQ，∴∠DPQ=∠PQC，∴∠APD=∠CQH，∴Rt△ADP∽Rt△QHC．∴=，即=，∵DE=nPD，∴=，∵AD=1，∴HC=n+1，∵BC=3，∴BH=3+n+1=n+4．∴由图知，当PQ⊥AB时，PQ地长最小值为n+4，∵Rt△ADP∽Rt△QHC．∴=，即=，∵DE=nPD，∴=，∴AP=QH，∵当PQ⊥AB时，QH=AB﹣AP=2﹣AP，∴AP=×（2﹣AP），∴AP=，∴=．赠送：初中数学几何模型举例【模型四】 几何最值模型： 图形特征：P ABl运用举例：1. △ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为AP的中点，则MF的最小值为B2.如图，在边长为6的菱形ABCD中，∠BAD＝60°，E为AB的中点，F为AC上一动点，则EF+BF的最小值为_________。
2015连云港数学中考试卷+答案
2015年连云港市高中段学校招生统一文化考试数学试题（含答案全解全析）参考公式:二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象的顶点坐标为--.第Ⅰ卷(选择题,共24分)一、选择题(本大题共有8小题,每小题3分,共24分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.-3的相反数是( )A.3B.-3C.D.-2.下列运算正确的是( )A.2a+3b=5abB.5a-2a=3aC.a2·a3=a6D.(a+b)2=a2+b23.2014年连云港高票当选全国“十大幸福城市” 在江苏十三个省辖市中居第一位,居民人均可支配收入约18 000元.其中“ 8 000”用科学记数法表示为( )A.0. 8× 05B. .8× 03C. .8× 04D. 8× 034.某校要从四名学生中选拔一名参加市“风华小主播”大赛,选拔赛中每名学生的平均成绩及其方差s2如表所示.如果要选择一名成绩高且发挥稳定的学生参赛,则应选择的学生是( )A.甲B.乙C.丙D.丁5.已知四边形ABCD,下列说法正确的是( )A.当AD=BC AB∥DC时,四边形ABCD是平行四边形B.当AD=BC,AB=DC时,四边形ABCD是平行四边形C.当AC=BD,AC平分BD时,四边形ABCD是矩形D.当AC=BD AC⊥BD时,四边形ABCD是正方形6.已知关于x的方程x2-2x+3k=0有两个不相等的实数根,则k的取值范围是( )A.k<B.k>-C.k<且k≠0D.k>-且k≠07.如图,O为坐标原点,菱形OABC的顶点A的坐标为(-3,4),顶点C在x轴的负半轴上,函数y=(x<0)的图象经过顶点B,则k的值为( )A.-12B.-27C.-32D.-368.如图是本地区一种产品30天的销售图象,图①是产品日销售量y(单位:件)与时间 t(单位:天)的函数关系,图②是一件产品的销售利润z(单位:元)与时间t(单位:天)的函数关系.已知日销售利润=日销售量×一件产品的销售利润.下列结论错误的是( )A.第24天的销售量为200件B.第10天销售一件产品的利润是15元C.第12天与第30天这两天的日销售利润相等D.第30天的日销售利润是750元第Ⅱ卷(非选择题,共126分)二、填空题(本大题共有8小题,每小题3分,共24分.不需写出解答过程)9.数轴上表示-2的点与原点的距离是.10.代数式-在实数范围内有意义,则x的取值范围是.11.已知m+n=mn,则(m-1)(n-1)= .12.如图,一个零件的横截面是六边形,这个六边形的内角和为°.13.已知一个函数,当x>0时,函数值y随着x的增大而减小,请写出这个函数关系式(写出一个即可).14.如图是一个几何体的三视图,其中主视图与左视图都是边长为4的等边三角形,则这个几何体的侧面展开图的面积为.15.在△ABC中,AB=4,AC=3,AD是△ABC的角平分线,则△ABD与△ACD的面积之比是.16.如图,在△ABC中 ∠BAC=60° ∠ABC=90° 直线l1∥l2∥l3,l1与l2之间距离是1,l2与l3之间距离是2.且l1,l2,l3分别经过点A,B,C,则边AC的长为.三、解答题(本大题共11小题,共102分.解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本题满分6分)计算:(- )+--2 0150.18.(本题满分6分)化简:÷-.19.(本题满分6分)解不等式组(- ).20.(本题满分8分)随着我市社会经济的发展和交通状况的改善,我市的旅游业得到了高速发展.某旅游公司对我市一企业个人旅游年消费情况进行问卷调查,随机抽取部分员工,记录每个人年消费金额,:根据以上信息回答下列问题:(1)a= ,b= ,c= ,并将条形统计图补充完整;(2)这次调查中,个人年消费金额的中位数出现在组;(3)若这个企业有3 000名员工,请你估计个人旅游年消费金额在6 000元以上的人数.21.(本题满分10分)九(1)班组织班级联欢会,最后进入抽奖环节,每名同学都有一次抽奖机会.抽奖方案如下:将一副扑克牌中点数为“ ”“ ”“ ”“ ”“6”的五张牌背面朝上洗匀,先从中抽出1张牌,再从余下的4张牌中抽出1张牌,记录两张牌点数后放回,完成一次抽奖.(1)用列表或画树状图的方法求出甲同学获一等奖的概率;(2)是否每次抽奖都会获奖?为什么?22.(本题满分10分)如图,将平行四边形ABCD沿对角线BD进行折叠,折叠后点C落在点F 处,DF交AB于点E.(1)求证:∠EDB=∠EBD;(2)判断AF与DB是否平行,并说明理由.23.(本题满分10分)在某市组织的大型商业演出活动中,对团体购买门票实行优惠,决定在原定票价基础上每张降价80元,这样按原定票价需花费6 000元购买的门票张数,现在只花费了4 800元.(1)求每张门票的原定票价;(2)根据实际情况,活动组织单位决定对于个人购票也采取优惠措施,原定票价经过连续二次降价后降为324元,求平均每次降价的百分率.24.(本题满分10分)已知如图,在平面直角坐标系xOy中,直线y=x-2与x轴、y轴分别交于A,B两点,P是直线AB上一动点 ☉P的半径为1.(1)判断原点O与☉P的位置关系,并说明理由;(2)当☉P过点B时,求☉P被y轴所截得的劣弧的长;(3)当☉P与x轴相切时,求出切点的坐标.25.(本题满分10分)如图,在△ABC中 ∠ABC=90° BC= D为AC延长线上一点,AC=3CD.过点D作DH∥AB 交BC的延长线于点H.(1)求BD·cos∠HBD的值;(2)若∠CBD=∠A 求AB的长.26.(本题满分12分)在数学兴趣小组活动中,小明进行数学探究活动.将边长为2的正方形ABCD与边长为2的正方形AEFG按图1位置放置,AD与AE在同一条直线上,AB与AG在同一条直线上.(1)小明发现DG⊥BE 请你帮他说明理由;(2)如图2,小明将正方形ABCD绕点A逆时针旋转,当点B恰好落在线段DG上时,请你帮他求出此时BE的长;(3)如图3,小明将正方形ABCD绕点A继续逆时针旋转,线段DG与线段BE将相交,交点为H,写出△GHE与△BHD面积之和的最大值,并简要说明理由.图1 图2图327.(本题满分14分)如图,已知一条直线过点(0,4),且与抛物线y=x2交于A,B两点,其中点A的横坐标是-2.(1)求这条直线的函数关系式及点B的坐标;(2)在x轴上是否存在点C,使得△ABC是直角三角形?若存在,求出点C的坐标;若不存在,请说明理由;(3)过线段AB上一点P,作PM∥x轴,交抛物线于点M,点M在第一象限,点N(0,1),当点M的横坐标为何值时,MN+3MP的长度最大?最大值是多少?答案全解全析：一、选择题1.A -3的相反数是-(-3)=3,故选A.2.B选项A,2a与3b不是同类项,不能合并,错误;选项B,5a-2a=3a,正确;选项C,a2·a3=a2+3=a5,错误;选项D,(a+b)2=a2+2ab+b2,错误.故选B.3.C 用科学记数法将数表示成a× 0n的形式,其中 ≤|a|< 0 n为整数.本题a=1.8,n=4,故选C.4.B 成绩高就是平均分高,发挥稳定就是方差小,乙=丙>甲=丁,乙<丙,所以乙符合条件,故选B.5.B 判断四个说法的对错时,可画出图形,根据图形作出判断.两组对边分别相等的四边形是平行四边形,选项B正确,故选B.6.A 根据方程有两个不相等的实数根,知Δ=(-2)2-12k>0,解得k<,故选A.7.C 过点A作菱形ABCO的高AE,在Rt△AEO中,AE=4,EO=3,由勾股定理得AO=5,所以AB=5,所以B点坐标为(-8,4),又点B在y=(x<0)的图象上,所以4=-8,得k=-32,故选C.8.C 由函数图象获得相关数据,两幅图的横轴表示的都是时间t,由题图①中横坐标为24的点的纵坐标是200,即可判断A正确.由题图①中横坐标为30的点的纵坐标是150与题图②中横坐标为30的点的纵坐标是5,得第30天的日销售利润为 0× =7 0(元),选项D正确.求出y与t之间的函数关系式为y=6t 00(0t )00-t( t 0)求出z与t之间的函数关系式为z=-(0 0)( 0 0)当t=10时,z=15,选项B正确.当t=12时,y=150,z=13,yz=1 950;当t=30时 y= 0 z= yz=7 0 9 0≠7 0 选项C不正确,故选C.评析本题对计算要求较高,在判断选项B与C时需要求出相关函数关系式,在选择题中属于较难题.二、填空题9.答案 2解析数轴上的点到原点的距离是该点所表示的数的绝对值,|-2|=2.10.答案x≠解析当分式的分母不为零时,分式有意义,则x- ≠0 即x≠ .11.答案 1解析因为m+n=mn,所以(m-1)(n-1)=mn-(m+n)+1=1.12.答案720解析n边形的内角和为 80°(n-2),故六边形的内角和为7 0°.13.答案如:y=-x+2,y=,y=-x2+1等解析抓住“当x>0时,函数值y随着x的增大而减小” 写出具有该性质的一次函数,反比例函数,二次函数均可.14.答案8π解析根据三视图可判断该几何体是母线长与底面直径均为4的圆锥,其侧面展开图是扇形 ∴S侧=π× × =8π.15.答案 ∶解析如图,过点D分别作AB、AC边上的高DE、DF,由角平分线的性质可得DE=DF,∵S△ABD=AB·DE S△ACD=AC·DF∴△△=AB·DEAC·DF==,即S△ABD∶S△ACD= ∶ .评析由AD是角平分线想到利用“角平分线的性质”解题,即利用“角平分线上的点到角两边的距离相等” 从而得到两个三角形的相应高相等.16.答案解析过B作l1的垂线与l1和l3分别相交于D、E两点,得到Rt△ABD与Rt△BCE BD= BE= DE= .易求得∠ABD=∠BCE∵∠ADB=∠BEC=90°∴△ABD∽△BCE∴=.在Rt△ABC中 ∠BAC=60°∴tan 60°== .∴=,∴AD=.在Rt△ABD中,由勾股定理得AB=A==.∴AC=cos60°==.评析 本题需要构造直角三角形,综合考查了学生对平行线的性质、平行线间的距离、勾股定理的应用的掌握程度,难度高,计算量大,逻辑思维要求高,属于较难题.三、解答题17.解析 原式=3+2-1(5分) =4.(6分)18.解析 原式=÷( )( - )( )(4分) =· ( )( )( - )(5分) =- .(6分) 19.解析( ) ( - ).( )解不等式(1)得x>2,(2分) 解不等式(2)得x<3,(4分)所以不等式组的解集是2<x<3.(6分)20.解析 (1)36;0.30;120;图略(C 组的人数为30).(4分) (2)C.(6分)( ) 000×(0. 0+0. 0)=900(人).(8分)21.解析 (1)树状图如图所示:(6分)可以看出一共有20种等可能情况,其中获一等奖的情况有2种. ∴P(甲同学获一等奖)=0=0.(8分)(2)不一定.当两张牌都抽取3时,|x|=0,不会获奖.(可能,只要两张不同时抽到3即可)(10分)22.解析 (1)证明:由折叠可知:∠CDB=∠EDB.( 分) ∵四边形ABCD 是平行四边形, ∴DC∥AB ∴∠CDB=∠EBD ( 分)∴∠EDB=∠EBD.( 分)( )AF∥DB.∵∠EDB=∠EBD ∴DE=BE.( 分)由折叠可知:DC=DF.∵四边形ABCD是平行四边形,∴DC=AB ∴DF=AB.∴AE=EF.(6分)∴∠EAF=∠EFA.在△BED中 ∠EDB+∠EBD+∠DEB= 80° 即 ∠EDB+∠DEB= 80°.同理在△AEF中 ∠EFA+∠AEF= 80°.∵∠DEB=∠AEF∴∠EDB=∠EFA (8分)∴AF∥DB.( 0分)23.解析(1)设每张门票的原定票价为x元.(1分),由题意得6 000= 800-80解得x=400.经检验,x=400是原方程的解.答:每张门票的原定票价为400元.(5分)(2)设平均每次降价的百分率为y.由题意得400(1-y)2=324.解得y1=0.1,y2=1.9(不合题意,舍去).答:平均每次降价10%.(10分)评析本题考查了分式方程与一元二次方程,第(2)问正确理解“平均每次降价的百分率”是解题关键.24.解析图1(1)由直线AB的函数关系式y=x-2,得其与两坐标轴的交点A(2,0),B(0,-2).在直角△OAB中 tan∠OBA== ∠OBA= 0°.如图1,过点O作OH⊥AB交AB于点H.在△OBA中 OH=OB·sin∠OBA=.因为>1,所以原点O在☉P外.(3分)图2(2)如图2,当☉P过点B,点P在y轴右侧时 ☉P被y轴所截得的劣弧所对圆心角为 0°= π.所以该劣弧长为 0π80同理,当☉P过点B,点P在y轴左侧时,劣弧长同样为 π.所以当☉P过点B时 ☉P被y轴所截得的劣弧长为 π.(6分)(3)如图3,当☉P与x轴相切,且位于x轴下方时,设切点为D,图3在直角△DAP中 AD=DP·tan∠DPA= ×tan 0°=.此时D点坐标为- 0.(8分)当☉P与x轴相切,且位于x轴上方时,根据对称性可以求出切点坐标为 0.(10分) 25.解析( )∵DH∥AB ∴∠BHD=∠ABC=90° ∴△ABC∽△DHC ∴=.∵AC= CD BC= ∴CH= .∴BH=BC+CH= .在Rt△BHD中 cos∠HBD=,∴BDcos∠HBD=BH= .( 分)(2)解法一:∵∠A=∠CBD ∠ABC=∠BHD∴△ABC∽△BHD.(6分)∴=.∵△ABC∽△DHC∴== ∴AB= DH.∴= DH= ∴AB=6.( 0分)解法二:∵∠CBD=∠A ∠BDC=∠ADB∴△CDB∽△BDA.∴=,BD2=CD·AD ∴BD2=CD· CD= CD2.∴BD= CD.(6分)∵△CDB∽△BDA ∴= ∴=,∴AB=6.( 0分)26.解析( )∵四边形ABCD与四边形AEFG是正方形,∴AD=AB ∠DAG=∠BAE=90° AG=AE∴△ADG≌△ABE(SAS) ∴∠AGD=∠AEB.如图1,延长EB交DG于点H,在△ADG中 ∠AGD+∠ADG=90°∴∠AEB+∠ADG=90°.在△DEH中 ∠AEB+∠ADG+∠DHE= 80°∴∠DHE=90° ∴DG⊥BE.(4分)图1( )∵四边形ABCD与四边形AEFG是正方形,∴AD=AB ∠DAB=∠GAE=90° AG=AE∴∠DAB+∠BAG=∠GAE+∠BAG∴∠DAG=∠BAE.∵AD=AB ∠DAG=∠BAE AG=AE∴△ADG≌△ABE(SAS)∴DG=BE.如图2,过点A作AM⊥DG交DG于点M ∠AMD=∠AMG=90°.∵BD是正方形ABCD的对角线 ∴∠MDA= °.图2在Rt△AMD中 ∵∠MDA= ° ∴cos °= ∴DM= ∴AM=.在Rt△AMG中 ∵AM2+GM2=AG2,∴GM=-A=( )-( ),∴GM=∵DG=DM+GM=+ 6 ∴BE=DG=+6.(8分)( )△GHE与△BHD面积之和的最大值为6.(10分)对于△EGH 点H在以EG为直径的圆上,所以当点H与点A重合时 △EGH的边EG上的高最大,对于△BDH 点H在以BD为直径的圆上,所以当点H与点A重合时 △BDH的边BD上的高最大,所以△GHE与△BHD面积之和的最大值是2+4=6.(12分)27.解析(1)因为点A是直线与抛物线的交点,且其横坐标是-2,所以点A的纵坐标为y=×(-2)2=1,A点坐标为(-2,1).设直线的函数关系式为y=kx+b,将(0,4),(-2,1)代入得-解得所以直线的函数关系式为y=x+4.因为直线与抛物线相交,所以令x+4=x2,即x2-6x-16=0,解之得x1=-2,x2=8,当x=8时,y=×8+ = 6所以点B(8,16).(4分)(2)图1如图1,过点B作BG∥x轴,过点A作AG∥y轴,交点为G,所以AG2+BG2=AB2.由A(-2,1),B(8,16)可求得AB2=325.设点C(m,0),同理可得,AC2=(m+2)2+12=m2+4m+5,BC2=(m-8)2+162=m2-16m+320.①若∠BAC=90° 则AB2+AC2=BC2,即325+m2+4m+5=m2-16m+320.所以m=-.②若∠ACB=90° 则AB2=AC2+BC2,即325=m2+4m+5+m2-16m+320,化简得m2-6m=0,解之得m=0或m=6.③若∠ABC=90° 则AB 2+BC 2=AC 2,即m 2-16m+320+325=m 2+4m+5,所以m=32. 所以存在满足题意的点C,点C 的坐标为 -0 ,(0,0),(6,0),(32,0).(10分)(3)设M,如图2,设MP 与y 轴交于点Q,在Rt△MQN 中,由勾股定理得MN= - = 6 =a 2+1.图2又因为点P 与点M 纵坐标相同,令 x+4= a 2,得x=- 66,所以点P 的横坐标为- 66.所以MP=a- - 66.所以MN+3PM=a 2+1+3 -- 66=-a 2+3a+9=-(a-6)2+18.又因为 ≤6≤8 所以当a=6时,-a 2+3a+9取到最大值18.所以当点M 的横坐标为6时,MN+3PM 的长度最大,最大值是18.(14分)(备注:各题如有其他解法,只要正确,均可参照给分)。
2015连云港卷(答案)
18．解：原式= •
=．
19．解：
解不等式①得：x＞2， 解不等式②得：x＜3， 所以不等式组的解集是2＜x＜3． 20．解：（1）观察频数分布表知：A组有18人，频率为0.15， ∴c=18÷0.15=120， ∵a=36， ∴b=36÷120=0.30； ∴C组的频数为120﹣18﹣36﹣24﹣12=30， 补全统计图为：
解得：m=﹣ ；
②若∠ACB=90°，则AB2=AC2+BC2，即325=m2+4m++=m2﹣16m+320， 解得：m=0或m=6； ③若∠ABC=90°，则AB2+BC2=AC2，即m2+4m+5=m2﹣16m+320+325， 解得：m=32；
∴点C的坐标为（﹣ ，0），（0，0），（6，0），（32，0）
23．解：（1）设每张门票的原定票价为x元，则现在每张门票的票价为（x﹣80）元，根据题意 得
=
，
解得x=400． 经检验，x=400是原方程的根． 答：每张门票的原定票价为400元； (2）设平均每次降价的百分率为y，根据题意得 400(1﹣y)2=324， 解得：y1=0.1，y2=1.9（不合题意，舍去）． 答：平均每次降价10%． 24．解：（1）原点O在⊙P外． 理由：∵直线y= x﹣2 与x轴、y轴分别交于A，B两点，
∴弧长为：
=；
同理：当⊙P过点B时，点P在y轴左侧时，弧长同样为： ；
∴当⊙P过点B时，⊙P被y轴所截得的劣弧的长为： ；
(3）如图3，当⊙P与x轴相切时，且位于x轴下方时，设切点为D， 在PD⊥x轴， ∴PD∥y轴， ∴∠APD=∠ABO=30°， ∴在Rt△DAP中，AD=DP•tan∠DPA=1×tan30°= ，
连云港市数学中考试题及答案审批稿
连云港市数学中考试题及答案YKK standardization office【 YKK5AB- YKK08- YKK2C- YKK18】2015年江苏省连云港市中考数学试卷一、选择题（每小题3分，共24分）1．（3分）（2015?衢州）﹣3的相反数是（）A．3B．﹣3 C．D．﹣2．（3分）（2015?连云港）下列运算正确的是（）A．2a+3b=5ab B．5a﹣2a=3a C．a2a3=a6D．（a+b）2=a2+b2 3．（3分）（2015?连云港）2014年连云港高票当选全国“十大幸福城市”，在江苏十三个省辖市中居第一位，居民人均可支配收入约18000元，其中“18000”用科学记数法表示为（）A．×105B．×103C．×104D．18×1034．（3分）（2015?连云港）某校要从四名学生中选拔一名参加市“风华小主播”大赛，选拔赛中每名学生的平均成绩及其方差s2如表所示，如果要选择一名成绩高且发挥稳定的学生参赛，则应选择的学生是（）甲乙丙丁8 9 9 8s2 1 1A．甲B．乙C．丙D．丁5．（3分）（2015?连云港）已知四边形ABCD，下列说法正确的是（）A．当AD=BC，AB∥DC时，四边形ABCD是平行四边形B．当AD=BC，AB=DC时，四边形ABCD是平行四边形C．当AC=BD，AC平分BD时，四边形ABCD是矩形D．当AC=BD，AC⊥BD时，四边形ABCD是正方形6．（3分）（2015?连云港）已知关于x的方程x2﹣2x+3k=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）A．k＜B．k＞C．k＜且k≠0 D．k＞且k≠0 7．（3分）（2015?连云港）如图，O是坐标原点，菱形OABC的顶点A的坐标为（﹣3，4），顶点C 在x轴的负半轴上，函数y=（x＜0）的图象经过顶点B，则k的值为（）（第7题图）（第8题图）A．﹣12 B．﹣27 C．﹣32 D．﹣368．（3分）（2015?连云港）如图是本地区一种产品30天的销售图象，图①是产品日销售量y（单位：件）与时间t（单位；天）的函数关系，图②是一件产品的销售利润z（单位：元）与时间t（单位：天）的函数关系，已知日销售利润=日销售量×一件产品的销售利润，下列结论错误的是（）A．第24天的销售量为200件B．第10天销售一件产品的利润是15元C．第12天与第30天这两天的日销售利润相等D．第30天的日销售利润是750元二、填空题（每小题3分，共24分）9．（3分）（2015?连云港）在数轴上，表示﹣2的点与原点的距离是．10．（3分）（2015?连云港）代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围是．11．（3分）（2015?连云港）已知m+n=mn，则（m﹣1）（n﹣1）=．12．（3分）（2015?连云港）如图，一个零件的横截面是六边形，这个六边形的内角和为．（第12题图）（第14题图）（第17题图）13．（3分）（2015?连云港）已知一个函数，当x＞0时，函数值y随着x的增大而减小，请写出这个函数关系式（写出一个即可）．14．（3分）（2015?连云港）如图是一个几何体的三视图，其中主视图与左视图都是边长为4的等边三角形，则这个几何体的侧面展开图的面积为．15．（3分）（2015?连云港）在△ABC中，AB=4，AC=3，AD是△ABC的角平分线，则△ABD与△ACD的面积之比是．16．（3分）（2015?连云港）如图，在△ABC中，∠BAC=60°，∠ABC=90°，直线l1∥l2∥l3，l1与l2之间距离是1，l2与l3之间距离是2，且l1，l2，l3分别经过点A，B，C，则边AC的长为．三、解答题17．（6分）（2015?连云港）计算：+（）﹣1﹣20150．18．（6分）（2015?连云港）化简：（1+）．19．（6分）（2015?连云港）解不等式组：．20．（8分）（2015?连云港）随着我市社会经济的发展和交通状况的改善，我市的旅游业得到了高速发展，某旅游公司对我市一企业旅游年消费情况进行了问卷调查，随机抽取部分员工，记录每个人消费金额，并将调查数据适当调整，绘制成如图两幅尚不完整的表和图．频数（人数）频率组别个人年消费金额x（元）A x≤2000 18B 2000＜x≤4000 a bC 4000＜x≤6000D 6000＜x≤8000 24E x＞8000 12合计 c根据以上信息回答下列问题：（1）a=，b=，c=．并将条形统计图补充完整；（2）这次调查中，个人年消费金额的中位数出现在组；（3）若这个企业有3000多名员工，请你估计个人旅游年消费金额在6000元以上的人数．21．（10分）（2015?连云港）九（1）班组织班级联欢会，最后进入抽奖环节，每名同学都有一次抽奖机会，抽奖方案如下：将一副扑克牌中点数为“2”，“3”，“3”，“5”，“6”的五张牌背面朝上洗匀，先从中抽出1张牌，再从余下的4张牌中抽出1张牌，记录两张牌点数后放回，完成一次抽奖，记每次抽出两张牌点数之差为x，按表格要求确定奖项．奖项一等奖二等奖三等奖|x| |x|=4 |x|=3 1≤|x|＜3（1）用列表或画树状图的方法求出甲同学获得一等奖的概率；（2）是否每次抽奖都会获奖，为什么？22．（10分）（2015?连云港）如图，将平行四边形ABCD沿对角线BD进行折叠，折叠后点C落在点F 处，DF交AB于点E．（1）求证；∠EDB=∠EBD；（2）判断AF与DB是否平行，并说明理由．23．（10分）（2015?连云港）在某市组织的大型商业演出活动中，对团体购买门票实行优惠，决定在原定票价基础上每张降价80元，这样按原定票价需花费6000元购买的门票张数，现在只花费了4800元．（1）求每张门票的原定票价；（2）根据实际情况，活动组织单位决定对于个人购票也采取优惠政策，原定票价经过连续二次降价后降为324元，求平均每次降价的百分率．24．（10分）（2015?连云港）已知如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=x﹣2与x轴、y轴分别交于A，B两点，P是直线AB上一动点，⊙P的半径为1．（1）判断原点O与⊙P的位置关系，并说明理由；（2）当⊙P过点B时，求⊙P被y轴所截得的劣弧的长；（3）当⊙P与x轴相切时，求出切点的坐标．25．（10分）（2015?连云港）如图，在△ABC中，∠ABC=90°，BC=3，D为AC延长线上一点，AC=3CD，过点D作DH∥AB，交BC的延长线于点H．（1）求BD?cos∠HBD的值；（2）若∠CBD=∠A，求AB的长．26．（12分）（2015?连云港）在数学兴趣小组活动中，小明进行数学探究活动，将边长为2的正方形ABCD与边长为2的正方形AEFG按图1位置放置，AD与AE在同一直线上，AB与AG在同一直线上．（1）小明发现DG⊥BE，请你帮他说明理由．（2）如图2，小明将正方形ABCD绕点A逆时针旋转，当点B恰好落在线段DG上时，请你帮他求出此时BE的长．（3）如图3，小明将正方形ABCD绕点A继续逆时针旋转，线段DG与线段BE将相交，交点为H，写出△GHE与△BHD面积之和的最大值，并简要说明理由．27．（14分）（2015?连云港）如图，已知一条直线过点（0，4），且与抛物线y=x2交于A，B两点，其中点A的横坐标是﹣2．（1）求这条直线的函数关系式及点B的坐标．（2）在x轴上是否存在点C，使得△ABC是直角三角形？若存在，求出点C的坐标，若不存在，请说明理由．（3）过线段AB上一点P，作PM∥x轴，交抛物线于点M，点M在第一象限，点N（0，1），当点M 的横坐标为何值时，MN+3MP的长度最大最大值是多少2015年江苏省连云港市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题3分，共24分）1．（3分）（2015?衢州）﹣3的相反数是（）A．3B．﹣3 C．D．﹣考点：相反数．专题：常规题型．分析：根据相反数的概念解答即可．解答：解：﹣3的相反数是3，故选：A．点评：本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号；一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是0．2．（3分）（2015?连云港）下列运算正确的是（）A．2a+3b=5ab B．5a﹣2a=3a C．a2a3=a6D．（a+b）2=a2+b2考点：同底数幂的乘法；合并同类项；完全平方公式．分析：根据同类项、同底数幂的乘法和完全平方公式计算即可．解答：解：A、2a与3b不能合并，错误；B、5a﹣2a=3a，正确；C、a2a3=a5，错误；D、（a+b）2=a2+2ab+b2，错误；故选B．点评：此题考查同类项、同底数幂的乘法和完全平方公式，关键是根据法则进行计算．3．（3分）（2015?连云港）2014年连云港高票当选全国“十大幸福城市”，在江苏十三个省辖市中居第一位，居民人均可支配收入约18000元，其中“18000”用科学记数法表示为（）A．×105B．×103C．×104D．18×103考点：科学记数法—表示较大的数．分析：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．解答：解：将18000用科学记数法表示为×104．故选C．点评：此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．4．（3分）（2015?连云港）某校要从四名学生中选拔一名参加市“风华小主播”大赛，选拔赛中每名学生的平均成绩及其方差s2如表所示，如果要选择一名成绩高且发挥稳定的学生参赛，则应选择的学生是（）甲乙丙丁8 9 9 8s2 1 1A．甲B．乙C．丙D．丁考点：方差；算术平均数．分析：从平均成绩分析乙和丙要比甲和丁好，从方差分析甲和乙的成绩比丙和丁稳定，综合两个方面可选出乙．解答：解：根据平均成绩可得乙和丙要比甲和丁好，根据方差可得甲和乙的成绩比丙和丁稳定，因此要选择一名成绩高且发挥稳定的学生参赛，因选择乙，故选：B．点评：此题主要考查了方差和平均数，关键是掌握方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．5．（3分）（2015?连云港）已知四边形ABCD，下列说法正确的是（）A．当AD=BC，AB∥DC时，四边形ABCD是平行四边形B．当AD=BC，AB=DC时，四边形ABCD是平行四边形C．当AC=BD，AC平分BD时，四边形ABCD是矩形D．当AC=BD，AC⊥BD时，四边形ABCD是正方形考点：平行四边形的判定；矩形的判定；正方形的判定．分析：由平行四边形的判定方法得出A不正确、B正确；由矩形和正方形的判定方法得出C、D不正确．解答：解：∵一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，∴A不正确；∵两组对边分别相等的四边形是平行四边形，∴B正确；∵对角线互相平分且相等的四边形是矩形，∴C不正确；∵对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，∴D不正确；故选：B．点评：本题考查了平行四边形的判定、矩形的判定、正方形的判定；熟练掌握平行四边形、矩形、正方形的判定方法是解决问题的关键．6．（3分）（2015?连云港）已知关于x的方程x2﹣2x+3k=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）A．k＜B．k＞C．k＜且k≠0 D．k＞且k≠0考点：根的判别式．专题：计算题．分析：根据方程有两个不相等的实数根，得到根的判别式大于0，即可求出k的范围．解答：解：∵方程x2﹣2x+3k=0有两个不相等的实数根，∴△=4﹣12k＞0，解得：k＜．故选A．点评：此题考查了根的判别式，熟练掌握根的判别式的意义是解本题的关键．7．（3分）（2015?连云港）如图，O是坐标原点，菱形OABC的顶点A的坐标为（﹣3，4），顶点C 在x轴的负半轴上，函数y=（x＜0）的图象经过顶点B，则k的值为（）A．﹣12 B．﹣27 C．﹣32 D．﹣36考点：菱形的性质；反比例函数图象上点的坐标特征．分析：根据点C的坐标以及菱形的性质求出点B的坐标，然后利用待定系数法求出k的值即可．解答：解：∵C（﹣3，4），∴OC==5，∴CB=OC=5，则点B的横坐标为﹣3﹣5=﹣8，故B的坐标为：（﹣8，4），将点B的坐标代入y=得，4=，解得：k=﹣32．故选C．点评：本题考查了菱形的性质以及利用待定系数法求反比例函数解析式，解答本题的关键是根据菱形的性质求出点B的坐标．8．（3分）（2015?连云港）如图是本地区一种产品30天的销售图象，图①是产品日销售量y（单位：件）与时间t（单位；天）的函数关系，图②是一件产品的销售利润z（单位：元）与时间t（单位：天）的函数关系，已知日销售利润=日销售量×一件产品的销售利润，下列结论错误的是（）A．第24天的销售量为200件B．第10天销售一件产品的利润是15元C．第12天与第30天这两天的日销售利润相等D．第30天的日销售利润是750元考点：一次函数的应用．分析：根据函数图象分别求出设当0≤t≤20，一件产品的销售利润z（单位：元）与时间t（单位：天）的函数关系为z=﹣x+25，当0≤t≤24时，设产品日销售量y（单位：件）与时间t（单位；天）的函数关系为y=，根据日销售利润=日销售量×一件产品的销售利润，即可进行判断．解答：解：A、根据图①可得第24天的销售量为200件，故正确；B、设当0≤t≤20，一件产品的销售利润z（单位：元）与时间t（单位：天）的函数关系为z=kx+b，把（0，25），（20，5）代入得：，解得：，∴z=﹣x+25，当x=10时，y=﹣10+25=15，故正确；C、当0≤t≤24时，设产品日销售量y（单位：件）与时间t（单位；天）的函数关系为y=k1t+b1，把（0，100），（24，200）代入得：，解得：，∴y=，当t=12时，y=150，z=﹣12+25=13，∴第12天的日销售利润为；150×13=1950（元），第30天的日销售利润为；150×5=750（元），750≠1950，故C错误；D、第30天的日销售利润为；150×5=750（元），故正确．点评：本题考查了一次函数的应用，解决本题的关键是利用待定系数法求函数解析式．二、填空题（每小题3分，共24分）9．（3分）（2015?连云港）在数轴上，表示﹣2的点与原点的距离是2．考点：数轴．分析：在数轴上，表示﹣2的点与原点的距离即是﹣2的绝对值，是2．解答：解：﹣2与原点的距离为：|﹣2|=2．点评：注意：距离是一个非负数，求一个数对应的点到原点的距离就是求这个数的绝对值．10．（3分）（2015?连云港）代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围是x≠3．考点：分式有意义的条件．分析：根据分母不等于0进行解答即可．解答：解：要使代数式在实数范围内有意义，可得：x﹣3≠0，解得：x≠3，故答案为：x≠3点评：此题考查分式有意义，关键是分母不等于0．11．（3分）（2015?连云港）已知m+n=mn，则（m﹣1）（n﹣1）=1．考点：整式的混合运算—化简求值．分析：先根据多项式乘以多项式的运算法则去掉括号，然后整体代值计算．解答：解：（m﹣1）（n﹣1）=mn﹣（m+n）+1，∵m+n=mn，∴（m﹣1）（n﹣1）=mn﹣（m+n）+1=1，故答案为1．点评：本题主要考查了整式的化简求值的知识，解答本题的关键是掌握多项式乘以多项式的运算法则，此题难度不大．12．（3分）（2015?连云港）如图，一个零件的横截面是六边形，这个六边形的内角和为720°．考点：多边形内角与外角．分析：根据多边形内角和公式进行计算即可．解答：解：由内角和公式可得：（6﹣2）×180°=720°．故答案为：720°．点评：此题主要考查了多边形内角和公式，关键是熟练掌握计算公式：（n﹣2）．180°（n≥3）且n为整数）．13．（3分）（2015?连云港）已知一个函数，当x＞0时，函数值y随着x的增大而减小，请写出这个函数关系式y=﹣x+2（写出一个即可）．考点：一次函数的性质；反比例函数的性质；二次函数的性质．专题：开放型．分析：写出符合条件的函数关系式即可．解答：解：函数关系式为：y=﹣x+2，y=，y=﹣x2+1等；故答案为：y=﹣x+2点评：本题考查的是函数的性质，此题属开放性题目，答案不唯一．14．（3分）（2015?连云港）如图是一个几何体的三视图，其中主视图与左视图都是边长为4的等边三角形，则这个几何体的侧面展开图的面积为8π．考点：由三视图判断几何体；几何体的展开图．分析：根据三视图得到这个几何体为圆锥，且圆锥的母线长为4，底面圆的直径为4，然后根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式求解．解答：解：这个几何体为圆锥，圆锥的母线长为4，底面圆的直径为4，所以这个几何体的侧面展开图的面积=×4π×4=8π．故答案为：8π．点评：本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．也考查了三视图．15．（3分）（2015?连云港）在△ABC中，AB=4，AC=3，AD是△ABC的角平分线，则△ABD与△ACD的面积之比是4：3．考点：角平分线的性质．分析：估计角平分线的性质，可得出△ABD的边AB上的高与△ACD的AC上的高相等，估计三角形的面积公式，即可得出△ABD与△ACD的面积之比等于对应边之比．解答：解：∵AD是△ABC的角平分线，∴设△ABD的边AB上的高与△ACD的AC上的高分别为h1，h2，∴h1=h2，∴△ABD与△ACD的面积之比=AB：AC=4：3，故答案为4：3．点评：本题考查了角平分线的性质，以及三角形的面积公式，熟练掌握三角形角平分线的性质是解题的关键．16．（3分）（2015?连云港）如图，在△ABC中，∠BAC=60°，∠ABC=90°，直线l1∥l2∥l3，l1与l2之间距离是1，l2与l3之间距离是2，且l1，l2，l3分别经过点A，B，C，则边AC的长为．考点：相似三角形的判定与性质；平行线之间的距离；勾股定理．分析：过点B作EF⊥l2，交l1于E，交l3于F，在Rt△ABC中运用三角函数可得=，易证△AEB∽△BFC，运用相似三角形的性质可求出FC，然后在Rt△BFC中运用勾股定理可求出BC，再在Rt△ABC中运用三角函数就可求出AC的值．解答：解：如图，过点B作EF⊥l2，交l1于E，交l3于F，如图．∵∠BAC=60°，∠ABC=90°，∴tan∠BAC==．∵直线l1∥l2∥l3，∴EF⊥l1，EF⊥l3，∴∠AEB=∠BFC=90°．∵∠ABC=90°，∴∠EAB=90°﹣∠ABE=∠FBC，∴△BFC∽△AEB，∴==．∵EB=1，∴FC=．在Rt△BFC中，BC===．在Rt△ABC中，sin∠BAC==，AC===．故答案为．点评：本题主要考查了相似三角形的判定与性质、三角函数、特殊角的三角函数值、勾股定理、平行线的判定与性质、同角的余角相等等知识，构造K型相似是解决本题的关键．三、解答题17．（6分）（2015?连云港）计算：+（）﹣1﹣20150．考点：实数的运算；零指数幂；负整数指数幂．专题：计算题．分析：原式第一项利用二次根式的性质计算，第二项利用负整数指数幂法则计算，最后一项利用零指数幂法则计算即可得到结果．解答：解：原式=3+2﹣1=4．点评：此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．18．（6分）（2015?连云港）化简：（1+）．考点：分式的混合运算．专题：计算题．分析：原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分即可得到结果．解答：解：原式==．点评：此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．19．（6分）（2015?连云港）解不等式组：．考点：解一元一次不等式组．分析：分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可．解答：解：解不等式①得：x＞2，解不等式②得：x＜3，所以不等式组的解集是2＜x＜3．点评：本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了”的原则是解答此题的关键．20．（8分）（2015?连云港）随着我市社会经济的发展和交通状况的改善，我市的旅游业得到了高速发展，某旅游公司对我市一企业旅游年消费情况进行了问卷调查，随机抽取部分员工，记录每个人消费金额，并将调查数据适当调整，绘制成如图两幅尚不完整的表和图．频数（人数）频率组别个人年消费金额x（元）A x≤2000 18B 2000＜x≤4000 a bC 4000＜x≤6000D 6000＜x≤8000 24E x＞8000 12合计 c根据以上信息回答下列问题：（1）a=36，b=，c=120．并将条形统计图补充完整；（2）这次调查中，个人年消费金额的中位数出现在C组；（3）若这个企业有3000多名员工，请你估计个人旅游年消费金额在6000元以上的人数．考点：频数（率）分布表；用样本估计总体；条形统计图；中位数．分析：（1）首先根据A组的人数和所占的百分比确定c的值，然后确定a和b的值；（2）根据样本容量和中位数的定义确定中位数的位置即可；（3）利用样本估计总体即可得到正确的答案．解答：解：（1）观察频数分布表知：A组有18人，频率为，∴c=18÷=120，∵a=36，∴b=36÷120=；∴C组的频数为120﹣18﹣36﹣24﹣12=30，补全统计图为：故答案为：36，，120；（2）∵共120人，∴中位数为第60和第61人的平均数，∴中位数应该落在C小组内；（3）个人旅游年消费金额在6000元以上的人数3000×（+）=900人．点评：本题考查了统计图的知识，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．理解平均数、中位数和众数的概念，并能根据它们的意义解决问题．21．（10分）（2015?连云港）九（1）班组织班级联欢会，最后进入抽奖环节，每名同学都有一次抽奖机会，抽奖方案如下：将一副扑克牌中点数为“2”，“3”，“3”，“5”，“6”的五张牌背面朝上洗匀，先从中抽出1张牌，再从余下的4张牌中抽出1张牌，记录两张牌点数后放回，完成一次抽奖，记每次抽出两张牌点数之差为x，按表格要求确定奖项．奖项一等奖二等奖三等奖|x| |x|=4 |x|=3 1≤|x|＜3（1）用列表或画树状图的方法求出甲同学获得一等奖的概率；（2）是否每次抽奖都会获奖，为什么？考点：列表法与树状图法．分析：（1）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与甲同学获得一等奖的情况，再利用概率公式即可求得答案；（2）由树状图可得：当两张牌都是2时，|x|=0，不会有奖．解答：解：（1）画树状图得：∵共有20种等可能的结果，甲同学获得一等奖的有2种情况，∴甲同学获得一等奖的概率为：=；（2）不一定，当两张牌都是2时，|x|=0，不会有奖．点评：此题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．22．（10分）（2015?连云港）如图，将平行四边形ABCD沿对角线BD进行折叠，折叠后点C落在点F 处，DF交AB于点E．（1）求证；∠EDB=∠EBD；（2）判断AF与DB是否平行，并说明理由．考点：翻折变换（折叠问题）；平行四边形的性质．分析：（1）由折叠和平行线的性质易证∠EDB=∠EBD；（2）AF∥DB；首先证明AE=EF，得出∠AFE=∠EAF，然后根据三角形内角和与等式性质可证明∠BDE=∠AFE，所以AF∥BD．解答：解：（1）由折叠可知：∠CDB=∠EDB，∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC∥AB，∴∠CDB=∠EBD，∴∠EDB=∠EBD；（2）AF∥DB；∵∠EDB=∠EBD，∴DE=BE，由折叠可知：DC=DF，∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC=AB，∴DF=AB，∴AE=EF，∴∠EAF=∠EFA，在△BED中，∠EDB+∠EBD+∠DEB=180°，∴2∠EDB+∠DEB=180°，同理，在△AEF中，2∠EFA+∠AEF=180°，∵∠DEB=∠AEF，∴∠EDB=∠EFA，∴AF∥DB．点评：本题主要考查了折叠变换、平行四边形的性质、等腰三角形的性质的综合应用，运用三角形内角和定理和等式性质得出内错角相等是解决问题的关键．23．（10分）（2015?连云港）在某市组织的大型商业演出活动中，对团体购买门票实行优惠，决定在原定票价基础上每张降价80元，这样按原定票价需花费6000元购买的门票张数，现在只花费了4800元．（1）求每张门票的原定票价；（2）根据实际情况，活动组织单位决定对于个人购票也采取优惠政策，原定票价经过连续二次降价后降为324元，求平均每次降价的百分率．考点：一元二次方程的应用；分式方程的应用．分析：（1）设每张门票的原定票价为x元，则现在每张门票的票价为（x﹣80）元，根据“按原定票价需花费6000元购买的门票张数，现在只花费了4800元”建立方程，解方程即可；（2）设平均每次降价的百分率为y，根据“原定票价经过连续二次降价后降为324元”建立方程，解方程即可．解答：解：（1）设每张门票的原定票价为x元，则现在每张门票的票价为（x﹣80）元，根据题意得=，解得x=400．经检验，x=400是原方程的根．答：每张门票的原定票价为400元；（2）设平均每次降价的百分率为y，根据题意得400（1﹣y）2=324，解得：y1=，y2=（不合题意，舍去）．答：平均每次降价10%．点评：本题考查了一元二次方程与分式方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．24．（10分）（2015?连云港）已知如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=x﹣2与x轴、y轴分别交于A，B两点，P是直线AB上一动点，⊙P的半径为1．（1）判断原点O与⊙P的位置关系，并说明理由；（2）当⊙P过点B时，求⊙P被y轴所截得的劣弧的长；（3）当⊙P与x轴相切时，求出切点的坐标．考点：圆的综合题．分析：（1）由直线y=x﹣2与x轴、y轴分别交于A，B两点，可求得点A与点B的坐标，继而求得∠OBA=30°，然后过点O作OH⊥AB于点H，利用三角函数可求得OH的长，继而求得答案；（2）当⊙P过点B时，点P在y轴右侧时，易得⊙P被y轴所截的劣弧所对的圆心角为：180°﹣30°﹣30°=120°，则可求得弧长；同理可求得当⊙P过点B时，点P在y轴左侧时，⊙P被y轴所截得的劣弧的长；（3）首先求得当⊙P与x轴相切时，且位于x轴下方时，点D的坐标，然后利用对称性可以求得当⊙P与x轴相切时，且位于x轴上方时，点D的坐标．解答：解：（1）原点O在⊙P外．理由：∵直线y=x﹣2与x轴、y轴分别交于A，B两点，∴点A（2，0），点B（0，﹣2），在Rt△OAB中，tan∠OBA===，∴∠OBA=30°，如图1，过点O作OH⊥AB于点H，在Rt△OBH中，OH=OB?sin∠OBA=，∵＞1，∴原点O在⊙P外；（2）如图2，当⊙P过点B时，点P在y轴右侧时，∵PB=PC，∴∠PCB=∠OBA=30°，∴⊙P被y轴所截的劣弧所对的圆心角为：180°﹣30°﹣30°=120°，∴弧长为：=；同理：当⊙P过点B时，点P在y轴左侧时，弧长同样为：；∴当⊙P过点B时，⊙P被y轴所截得的劣弧的长为：；（3）如图3，当⊙P与x轴相切时，且位于x轴下方时，设切点为D，在PD⊥x轴，∴PD∥y轴，∴∠APD=∠ABO=30°，∴在Rt△DAP中，AD=DP?tan∠DPA=1×tan30°=，∴OD=OA﹣AD=2﹣，∴此时点D的坐标为：（2﹣，0）；当⊙P与x轴相切时，且位于x轴上方时，根据对称性可以求得此时切点的坐标为：（2+，0）；综上可得：当⊙P与x轴相切时，切点的坐标为：（2﹣，0）或（2+，0）．点评：此题属于一次函数的综合题，考查了直线上点的坐标的性质、切线的性质、弧长公式以及三角函数等知识．注意准确作出辅助线，注意分类讨论思想的应用．25．（10分）（2015?连云港）如图，在△ABC中，∠ABC=90°，BC=3，D为AC延长线上一点，AC=3CD，过点D作DH∥AB，交BC的延长线于点H．（1）求BD?cos∠HBD的值；（2）若∠CBD=∠A，求AB的长．考点：相似三角形的判定与性质；解直角三角形．分析：（1）首先根据DH∥AB，判断出△ABC∽△DHC，即可判断出=3；然后求出BH的值是多少，再根据在Rt△BHD中，cos∠HBD=，求出BD?cos∠HBD的值是多少即可．（2）首先判断出△ABC∽△BHD，推得；然后根据△ABC∽△DHC，推得，所以AB=3DH；最后根据，求出DH的值是多少，进而求出AB的值是多少即可．解答：解：（1）∵DH∥AB，∴∠BHD=∠ABC=90°，∴△ABC∽△DHC，∴=3，∴CH=1，BH=BC+CH，在Rt△BHD中，。
江苏省连云港市2015-2016学年度九年级上数学第1章一元二次方程单元测试卷含答案
3 株时，平均
每株盈利 4 元；若每盆增加 1 株，平均每株盈利减少 0.5 元，要使每盆的盈
利达到 15 元，每盆应多植多少株？设每盆多植 x 株，可列出的方程是 （ ）
A（. 3 x） （4 0.5x） 15
B（. x 3）（4 0.5x） 15
C（. x 4）（3 0.5x） 15
D.（ x 1）（4 0.5 x） 15
）
A. x2 3x 2 0 B. x2 3x 2 0 C. x2 2x 3 0 D. x2 3x 2 0
6．根据下列表格对应值：
x
3.24
3.25
3.26
ax2 bx c
0.02
0.01
0.03
-1-
城西分校九 3 部数学第一周数学周测试题
判断关于 x的方程 ax 2 bx c 0( a 0) 的一个解 x 的范围是（
均一台电脑会感染几台电脑？若病毒得不到有效控制，
3 轮感染后，被感染
的电脑会不会超过 700 台？
21．（本题 10 分）某超市经销一种成本为 40 元 /kg 的水产品， 市场调查发现，
按 50 元/kg 销售，一个月能售出 500kg ，销售单位每涨 1 元，月销售量就
减少 10kg，针对这种水产品的销售情况，超市在月成本不超过
二．填空题 （每小题 4 分，共 32 分）
9. 方程 3x( x 1) 0 的二次项系数是
，一次项系数是
，常数项
是.
10 ． x 的 一元 二次 方程 ( n 1)xn 1 (n 2) x 3n 0 中 ， 一次 项系 数
是
.
11．一元二次方程 x2 2 x 3 0 的根是
.
12．若关于 x 的一元二次方程 2x2 m 1 x 1 x x 1 化成一般形式后
江苏省连云港市九年级数学上学期期中试题
2013-2014连云港市九年级上学期期中考试数 学 试 题注意事项：1．考试时间为120分钟．本试卷共4页，27题．全卷满分150分． 2．请在答题纸上规定区域内作答，在其他位置作答一律无效．一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母填在答题纸的相应位置上） 1．对甲、乙两同学100米短跑进行5次测试，他们的成绩通过计算得；甲x =乙x ，S 2甲=0.25,S 2乙=0.026,下列说法正确的是（ ▲ ）A ．甲短跑成绩比乙好B ．乙短跑成绩比甲好C ．甲比乙短跑成绩稳定D ．乙比甲短跑成绩稳定 2．已知菱形的边长和一条对角线的长均为2cm ，则该菱形较小的内角为（ ▲ ）A ．30°B ．60°C ．120°D ．150° 3．若两圆的直径．．分别是2cm 和10cm ，圆心距为8cm ，则这两个圆的位置关系是（ ▲ ） A ．内切 B ．相交 C ．外切 D ．外离4．下列四个命题：①直径是弦；②经过三个点一定可以作圆；③三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等；④半径相等的两个半圆是等弧。
其中正确的有 （ ▲ ） A ．4个 B ．3个 C ．2个 D ．1个 5．如图，如果从半径为9cm 的圆形纸片剪去13圆周的一个扇形，将留下的扇形围成一个圆锥（接缝处不重叠），那么这个圆锥的底面半径为（ ▲ ）A ．6cmB ．3cmC ．8cmD ．5 cm6．小明等五位同学以各自的年龄为一组数据，计算出这组数据的方差是0.5，则20年后小明等五位同学年龄的方差（ ▲ ）A ．不变B ．增大C ．减小D ．无法确定7．如图，在梯形ABCD 中，AB//DC ，∠ADC +∠BCD=90°，且DC=2AB ，分别以DA 、BC 、DC 为边向梯形外作正方形，其面积分别为S 1、S 2、S 3，则S 1、S 2、S 3之间数量的关系是 （ ▲ ）A ．123S S S +=B ．12312S S S +=C ．12313S S S +=D ．12314S S S += 8．在直角梯形ABCD 中，AD BC ∥，90ABC AB BC E ∠==°，，为AB 边上一点，15BCE ∠=°，且AE AD =．连接DE 交对角线AC 于H ，连接BH ．下列结论中正确的是（▲ ）①ACD ACE △≌△； ②CDE △为等边三角形； ③2EHBE=； ④ ． A ．只有①② B ．只有③④ C ．只有①②④ D ．①②③④二、填空题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．不需要写出解答过程，请把答案直接填写在答题纸的相应位置上）第5题 第9题321sss第7题 第8题10．顺次连接等腰梯形各边中点所得四边形是 ▲ ．11．一组数据1-，0，2，3，x ，其中这组数据的极差是5，那么x 的值是 ▲ ．12．如图：△ABC 的内切圆O 与边BC 切于点D ，若∠BOC ＝135°，BD ＝3，CD ＝2，则△ABC 的面积为＝▲ ．13．如图，AB 是O e 的直径，CB 切O e 于B ，连结AC 交O e 于D ，若8cm BC =，DO AB ⊥，则O e 的半径OA = ▲ cm ． 14．如图，矩形ABCD 的周长为20cm ，两条对角线相交于O 点，过点O 作AC 的垂线EF ，分别交AD 、BC 于E 、F 点，连结CE ， 则△CDE 的周长为 ▲ cm.15．如图，△ABC 内接于⊙O ，∠ACB ＝32º，则∠OAB ＝ ▲ º． 16．如图，在126⨯的网格图中（每个小正方形的边长均为1个 单位），A e 的半径为1，B e 的半径为2，要使A e 与静止的 B e 相切，那么A e 由图示位置需向右平移 ▲ 个单位．三、解答题（本大题共有11小题，共102分．请在答题纸指定区域内作答，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本题满分6分）如图，四边形ABCD 中，AB ∥CD ，∠B=∠D ，3 ,6==AB BC ，求四边形ABCD 的周长．18．（本题满分6分）如图 ，ABCD 是正方形．G 是 BC 上的一点，DE ⊥AG 于 E ，BF ⊥AG 于 F ．（1）求证：ABF DAE △≌△； （2）求证：DE EF FB =+．19．（本题满分6分）如图：已知在ABC △中，AB AC =，D 为BC 边的中点，过点D 作DE AB DF AC ⊥，⊥，垂足分别为E F ，． （1） 求证：BED CFD △≌△； （2）若90A ∠=°，求证：四边形DFAE 是正方形． 第12题 第14题 第15题 A D EF C GB 第18题（第16题） 第13题第17题20．（本题满分8分）为了从甲、乙两名学生中选拔一人参加今年十二月份的省中学生数学竞赛，在一到五月份每个月对他们的学习水平进行一次测验，如图是两人赛前5次测验成绩的折线统计图.（1）求出甲、乙两名学生 5次测验成绩的平均数及方差； （2）如果你是他们的辅导教师，应选派哪一名学生参加这次 数学竞赛.请结合所学统计知识说明理由.21．（本题满分8分）如图，AD 、CE 分别为△ABC 的边BC 、AB 上的高，G 是AC 的中点，F 是DE 的中点．求证：GF ⊥DE22．（本题满分10分）在矩形ABCD 中，将点A 翻折到对角线BD 上的点M 处，折痕BE 交AD 于点E ．将点C 翻折到对角线BD 上的点N 处，折痕DF 交BC 于点F ．（1）求证：四边形BFDE 为平行四边形；（2）若四边形BFDE 为菱形，且AB ＝2，求BD 的长．23．（本题满分10分）如图，圆心角都是90º的扇形OAB 与扇形OCD叠放在一起，连结AC ，BD ．（1）求证：AC=BD ；（2）若图中阴影部分的面积是2 43cm ，OA=2cm ，求OC 的长．．24．（本题满分10分）如图，在△ABC 中，∠ABC ＝∠ACB ，以AC 为直径的⊙O 分别交AB 、BC 于点M 、 N ，点P 在AB 的延长线上，且∠CAB ＝2∠BCP ．(1)求证：直线CP 是⊙O 的切线；(2)若AC=13，BC=10，求点B 到PC 的距离． 第20题第21题 第22题 第23题25．（本题满分12分）如图，已知：在O e 中，直径8AB =，点E 是OA 上任意一点，过E 作弦CD AB ⊥，点F 是»BC 上一点，连接AF 交CE 于H ，连接AC 、CF 、BD 、OD ．（1）求证：ACH AFC △∽△；（2）猜想：AH AF g 与AE AB g 的数量关系，并说明你的猜想； （3）探究：当AE 为何值时，14?AEC BOD S S =△△::并加以说明．26．（本题满分12分）如图1，直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠A=90°，CD =3，AD=4，过点C 作CH ⊥AB ，垂足为H ，且BH=2．点P 为线段AD 上一动点，直线PE ∥AB ，分别交BC 、CH 于点E 、Q ．以PE 为斜边向右作等腰Rt △PEF ，直线EF 交直线AB 于点M ，直线PF 交直线AB 于点N ．设PD 的长为x ，MN 的长为y ． （1）求PE 的长（用x 表示）；（2）求y 与x 的函数关系式及自变量x 的取值范围（图2为备用图）； （3）当点M 在线段AH 上时，求x 的取值范围（图3为备用图）．27．（本题满分14分）在Rt △ABC 中，∠BAC =90°，∠B =30°，线段AD 是BC 边上的中线，如图①，将△ADC 沿直线BC 平移，使点D 与点C 重合，得到△FCE ，如图②，再将△FCE 绕点C 顺时针旋转，设旋转角为α（0°＜α≤90°），连接AF 、DE .（1）在旋转过程中，当∠ACE =150°时，求旋转角α的度数；（2）探究旋转过程中四边形ADEF 能形成那些特殊四边形？请说明理由.九年级数学试题参考答案与提示题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案CBDBAADA二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 第25题第26题 第27题9． 5 ；10． 菱形 ；11． 4或—2 ；12． 6 ；17．（本题满分6分）第17题18．（本题满分6分）ADE F CG B第18题19．（本题满分6分）第19题三、解答题（本大题共11小题，共102分）提示：先证明四边形ABCD 为平行四边形（3分）然后再求出其周长为20（3分）（略）（略）第24题提示：连接DG 、EG ，则DG=12AC=EG ，故△GDE 为等腰三角形，又F 是DE 中点，故GF ⊥DE 提示：（1）易证DE ∥FB ， 然后证∠EBD=12∠ABD=12∠BDC=∠BDF ，所以BE ∥DF所以四边形BFDE 为平行四边形(4分) （2）由菱形得，∠DBC=∠EBD=∠ABE ，故∠DBC=30° 易得BD=2AB=4(4分) 提示：（1）证△OCA ≌△ODB （SAS ）得AC=BD(4分) （2）利用扇形面积公式得 21134444oc πππ⨯-⨯=，得OC=1(4分)，∴∠ACE ＝∠BAC ＋∠B ＝120°． 提示：（1）由垂径定理得»»AC AD =，所以∠ACH=∠AFC 所以△ACH ∽△AFC(4分)(2)AH 2AH AF AC AE AB ==g g (4分)（3）因为1212AE CES AEC AES BOD BODE BO ∆==∆g g ，所以AE=114OB =。
连云港市九年级上学期期中数学试卷
连云港市九年级上学期期中数学试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）A . 等边三角形B . 直角三角形C . 平行四边形D . 圆2. （2分）(2017·乌鲁木齐模拟) 若关于x的一元二次方程kx2﹣4x+3=0有实数根，则k的非负整数值是（）A . 1B . 0，1C . 1，2D . 1，2，33. （2分）(2018·滨州模拟) 抛物线y=ax2+bx+c交x轴于A（﹣1，0），B（3，0），交y轴的负半轴于C，顶点为D．下列结论：①2a+b=0；②2c＜3b；③当m≠1时，a+b＜am2+bm；④当△ABD是等腰直角三角形时，则a= ；⑤当△ABC是等腰三角形时，a的值有3个．其中正确的有（）个.A . 2B . 3C . 4D . 54. （2分）一元二次方程x2-2x-m=0，用配方法解该方程，配方后的方程为（）A . （x-1）2=m2+1B . （x-1）2=m-1C . （x-1）2=1-mD . （x-1）2=m+15. （2分）三角形两边长分别为2和4，第三边是方程x2－6x+8=0的解，则这个三角形的周长是（）．A . 8B . 8或10C . 10D . 8和106. （2分）(2019·台州模拟) 我们知道，如果一个矩形的宽与长之比为，那么这个矩形就称为黄金矩形.如图，已知A，B两点都在反比例函数y＝（k＞0）位于第一象限内的图像上，过A、B两点分别作坐标轴的垂线，垂足分别为C、D和E、F，设AC与BF交于点G，已知四边形OCAD和CEBG都是正方形.设FG、OC的中点分别为P、Q，连接PQ.给出以下结论：①四边形ADFG为黄金矩形；②四边形OCGF为黄金矩形；③四边形OQPF为黄金矩形.以上结论中，正确的是（）A . ①B . ②C . ②③D . ①②③7. （2分）已知：如图，在直角△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，P为形内一点，∠BPC=120°，若BP=3，则△PAB的面积为（）A . 9B . 4C . 3D .8. （2分）(2018·苏州模拟) 下列一元二次方程中，有两个相等实数根的是（）A . x2﹣8=0B . 2x2﹣4x+3=0C . 5x+2=3x2D . 9x2+6x+1=09. （2分） (2018九上·台州期中) 已知函数y=ax2+2ax﹣1（a是常数，a≠0），下列结论正确的是（）A . 当a=1时，函数图象过点（﹣1，1）B . 当a=﹣2时，函数图象与x轴没有交点C . 若a＞0，则当x≥-1时，y随x的增大而减小D . 若a＜0，则当x≤-1时，y随x的增大而增大10. （2分）某商品原售价289元，经过连续两次降价后售价为256元，设平均每次降价的百分率为x，则下面所列方程中正确的是（）A . 289(1-2x)=256B . 256(1+x)2=289C . 289(1-x)2=256D . 289-289(1-x)-289(1-x)2=25611. （2分） (2017九上·杭州月考) 下列函数中，当 x>0 时 y 值随 x 值增大而减小的是（）A . y=x2B . y=xC . y=D . y=x-112. （2分） (2011七下·广东竞赛) 已知二次函数的图象如图所示，有下列4个结论，其中正确的结论是（）A .B .C .D .二、填空题 (共6题；共8分)13. （3分） (2017九上·海淀月考) 抛物线的开口方向________，对称轴是________，顶点坐标为________．14. （1分）关于x的一元二次方程x2+bx+c=0的两根为x1=﹣1，x2=2，则x2+bx+c可分解为________．15. （1分） (2016八上·扬州期末) 点M（4，－3）关于原点对称的点N的坐标是________．16. （1分）(2019·会宁模拟) 二次函数y＝（x-2）2+3的顶点坐标是________.17. （1分）若a是方程x2﹣2x﹣2015=0的根，则a3﹣3a2﹣2013a+1=________18. （1分）如图，将边长为2cm的两个互相重合的正方形纸片按住其中一个不动，另一个纸点B顺时针旋转一个角度，若使重叠部分的面积为cm2 ，则这个旋转角度为________ 度。
江苏省连云港市九年级数学上学期期中试卷(含解析)浙教版
2016—2017学年江苏省连云港市九年级（上）期中数学试卷一、选择题(每小题3分,满分24分）1．下列方程是一元二次方程的是（）A．1﹣x2=0 B．x2+y+6=0 C．y2﹣2x﹣1=0 D．=12．已知x=2是一元二次方程x2+mx+2=0的一个解，则m的值是( ）A．﹣3 B．3 C．0 D．0或33．如图，在⊙O中=，∠AOB=40°，则∠COD的度数（）A．20°B．40°C．50°D．60°4．对于一组数据﹣1，﹣1,4，2，下列结论不正确的是( ）A．平均数是1 B．众数是﹣1 C．中位数是0。
5 D．方差是3.55．方程x（x+1)=0的解是( )A．x=0 B．x=﹣1 C．x1=0，x2=﹣1 D．x1=0，x2=16．若关于x的一元二次方程x2﹣2x+kb+1=0有两个不相等的实数根，则一次函数y=kx+b的大致图象可能是( ）A．B． C． D．7．如图，PA、PB是⊙O的切线，切点分别为A、B，若OA=2，∠P=60°,则的长为（）A．πB．π C．D．8．把一张圆形纸片按如图所示方式折叠两次后展开，图中的虚线表示折痕，则的度数是（）A．120°B．135°C．150°D．165°二、填空题（每小题3分，共24分）9．用配方法解一元二次方程x2﹣6x=3时，方程的两边同时加上，使得方程左边配成一个完全平方式．10．写出两根为﹣2和3的一元二次方程：．11．张老师随机抽取6名学生，测试他们的打字能力，测得他们每分钟打字个数分别为：100,80,70，80,90，95,那么这组数据的中位数是．12．如图,⊙O是△ABC的外接圆，∠BOC=136°，则∠A的大小是°．13．一组数据﹣1，0，2，4，x的极差为7，则x= ．14．如图，⊙O是△ABC的外接圆,直径AD=4，∠ABC=∠DAC，则AC长为．15．如图，在网格中（每个小正方形的边长均为1个单位)选取9个格点（格线的交点称为格点）．如果以A为圆心，r为半径画圆,选取的格点中除点A外恰好有3个在圆内,则r的取值范围为．16．把边长为1的正方形纸片PABC放在直线m上,OA边在直线m上,然后将正方形纸片绕着顶点A按顺时针方向旋转90°,此时,点O运动到了点O1处（即点B处），点C运动到了点C1处，点B运动到了点B1处，又将正方形纸片AO1C1B1绕B1点,按顺时针方向旋转90°…,按上述方法经过2016次旋转后，顶点O经过的总路径的长为．三、解答题(本大题共102分）17．解下列方程：（1)(x+1）2﹣9=0(2）x+3﹣x（x+3)=0（3）x2+x﹣1=0．18．k取什么值时，关于x的一元二次方程x2﹣kx+4=0有两个相等的实数根?求此时方程的根．19．某养殖户每年的养殖成本包括固定成本和可变成本，其中固定成本每年均为4万元，可变成本逐年增长，已知该养殖户第1年的可变成本为2。
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2014-2015学年江苏省连云港市东海中学九年级（上）期中数学试卷一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的序号填涂在答题纸上．1．（3分）下列图形中是中心对称图形的是（）A．B．C．D．2．（3分）如图，点O是⊙O的圆心，点A、B、C在⊙O上，AO∥BC，∠AOB=38°，则∠OAC的度数是（）A．38°B．19°C．76°D．24°3．（3分）下列事件中，属于必然事件的是（）A．明天启东市下雪B．小亮在路上随意看到一辆汽车的牌照的末位数字是偶数C．抛一枚硬币正面朝上D．一个口袋中有2个红球1个白球，从中摸出2个球，其中至少有1个红球4．（3分）抛物线y=（x﹣1）2+7的顶点坐标为（）A．（7，1） B．（1，7） C．（﹣1，7）D．（1，﹣7）5．（3分）把标有号码1，2，3，…，10的10个乒乓球放在一个箱子中，摇匀后，从中任意取一个，号码为小于7的奇数的概率是（）A．B．C．D．6．（3分）下列函数中，图象经过原点的是（）A．y=3x B．y=1﹣2x C．y= D．y=x2﹣17．（3分）二次函数y=kx2﹣6x+3的图象与x轴有交点，则k的取值范围是（）A．k＜3 B．k＜3且k≠0 C．k≤3 D．k≤3且k≠08．（3分）如图，以AD为直径的半圆O经过Rt△ABC斜边AB的两个端点，交直角边AC于点E，B、E是半圆弧的三等分点，弧BE的长为π，则图中阴影部分的面积为（）A．B．C．D．9．（3分）如图，直线l1∥l2，⊙O与l1和l2分别相切于点A和点B．点M和点N 分别是l1和l2上的动点，MN沿l1和l2平移．⊙O的半径为1，∠1=60°．下列结论错误的是（）A．B．若MN与⊙O相切，则C．若∠MON=90°，则MN与⊙O相切D．l1和l2的距离为210．（3分）抛物线y=ax2+bx+c的顶点为D（﹣1，2），与x轴的一个交点A在点（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，其部分图象如图，则以下结论：①b2﹣4ac＜0；②a+b+c＜0；③c﹣a=2；④方程ax2+bx+c﹣2=0有两个相等的实数根．其中正确结论的个数为（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分）不需写出解答过程，把最后结果填在答题纸对应的位置上．11．（3分）点P（3，﹣2）关于原点中心对称的点的坐标是．12．（3分）抛物线y=x2﹣2x+3的顶点坐标是．13．（3分）如图，对称轴平行于y轴的抛物线与x轴交于（1，0），（3，0）两点，则它的对称轴为．14．（3分）如图，∠AOB=100°，点C在⊙O上，且点C不与A、B重合，则∠ACB 的度数为．15．（3分）一个不透明的口袋中装有若干个颜色不同其余相同的球，如果口袋中有4个红球且摸到红球的概率是，那么口袋中球总数是．16．（3分）将抛物线向左平移5个单位，再向上平移3个单位后得到的抛物线的解析式为．17．（3分）如图，△ABC和△A′B′C是两个完全重合的直角三角板，∠B=30°，斜边长为10cm．三角板A′B′C绕直角顶点C顺时针旋转，当点A′落在AB边上时，CA′旋转所构成的扇形的弧长为cm．18．（3分）已知⊙P的半径为1，圆心P在抛物线上运动，当⊙P与x 轴相切时，圆心P的坐标为．三、解答题（本题共10小题，共96分）解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．请在答题纸对应的位置和区域内解答．19．（8分）如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（1，1），B（4，2），C（3，4）．（1）请画出△ABC向左平移5个单位长度后得到的△A1B1C1；（2）请画出△ABC关于原点对称的△A2B2C2．20．（9分）△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分别相切于点D、E、F，且AB=9cm，BC=14cm，CA=13cm，求AF、BD、CE的长．21．（9分）已知：二次函数的表达式为y=﹣4x2+8x（1）写出这个函数图象的对称轴和顶点坐标；（2）求图象与x轴的交点坐标；（3）若点A（﹣1，y1）、B（，y2）都在该函数图象上，试比较y1与y2的大小．22．（9分）如图所示，某窗户由矩形和弓形组成，已知弓形的跨度AB=3m，弓形的高EF=1m，现计划安装玻璃，请帮工程师求出所在圆O的半径r．23．（10分）如图，PA、PB分别与⊙O相切于点A、B，点M在PB上，且OM ∥AP，MN⊥AP，垂足为N．（1）求证：OM=AN；（2）若⊙O的半径R=3，PA=9，求OM的长．24．（9分）如图，已知二次函数y=ax2+bx+c的图象过A（2，0），B（0，﹣1）和C（4，5）三点．（1）求二次函数的解析式；（2）设二次函数的图象与x轴的另一个交点为D，求点D的坐标；（3）在同一坐标系中画出直线y=x+1，并写出当x在什么范围内时，一次函数的值大于二次函数的值．25．（10分）一个不透明的布袋里装有4个大小、质地均相同的乒乓球，每个球上面分别标有1，2，3，4，小林先从布袋中随机抽取一个乒乓球（不放回去），再从剩下的3个球中随机抽取第二个乒乓球．（1）请你列出所有可能的结果；（2）求两次取得乒乓球的数字之积为奇数的概率．26．（10分）如图，在△ABC中，∠ABC=90°，D是边AC上的一点，连接BD，使∠A=2∠1，E是BC上的一点，以BE为直径的⊙O经过点D．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）若∠A=60°，⊙O的半径为2，求阴影部分的面积．（结果保留根号和π）27．（10分）某研究所将某种材料加热到1000℃时停止加热，并立即将材料分为A、B两组，采用不同工艺做降温对比实验，设降温开始后经过x min时，A、B 两组材料的温度分别为y A℃、y B℃，y A、y B与x的函数关系式分别为y A=kx+b，y B=（x﹣60）2+m（部分图象如图所示），当x=40时，两组材料的温度相同．（1）分别求y A、y B关于x的函数关系式；（2）当A组材料的温度降至120℃时，B组材料的温度是多少？（3）在0＜x＜40的什么时刻，两组材料温差最大？28．（12分）二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点（﹣1，4），且与直线y=﹣x+1相交于A、B两点（如图），A点在y轴上，过点B作BC⊥x轴，垂足为点C（﹣3，0）．（1）求二次函数的表达式；（2）点N是二次函数图象上一点（点N在AB上方），过N作NP⊥x轴，垂足为点P，交AB于点M，求MN的最大值；（3）在（2）的条件下，点N在何位置时，BM与NC相互垂直平分？并求出所有满足条件的N点的坐标．2014-2015学年江苏省连云港市东海中学九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的序号填涂在答题纸上．1．（3分）下列图形中是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【解答】解：A、不是中心对称图形，故本选项错误，B、为轴对称图形，而不是中心对称图形，故本选项错误，C、为轴对称图形，而不是中心对称图形，故本选项错误，D、为中心对称图形，故本选项正确．故选：D．2．（3分）如图，点O是⊙O的圆心，点A、B、C在⊙O上，AO∥BC，∠AOB=38°，则∠OAC的度数是（）A．38°B．19°C．76°D．24°【解答】解：∵AO∥BC，∠AOB=38°，∴∠ACB=∠AOB=×38°=19°，∴∠OAC=∠ACB=19°．故选：B．3．（3分）下列事件中，属于必然事件的是（）A．明天启东市下雪B．小亮在路上随意看到一辆汽车的牌照的末位数字是偶数C．抛一枚硬币正面朝上D．一个口袋中有2个红球1个白球，从中摸出2个球，其中至少有1个红球【解答】解：A、明天启东市下雪是随机事件，故A错误；B、小亮在路上随意看到一辆汽车的牌照的末位数字是偶数，是随机事件，故B 错误；C、抛一枚硬币正面朝上，是随机事件，故C错误；D、一个口袋中有2个红球1个白球，从中摸出2个球，其中至少有1个红球，故D正确；故选：D．4．（3分）抛物线y=（x﹣1）2+7的顶点坐标为（）A．（7，1） B．（1，7） C．（﹣1，7）D．（1，﹣7）【解答】解：∵抛物线的解析式为：y=（x﹣1）2+7，∴其顶点坐标为：（1，7）．故选：B．5．（3分）把标有号码1，2，3，…，10的10个乒乓球放在一个箱子中，摇匀后，从中任意取一个，号码为小于7的奇数的概率是（）A．B．C．D．【解答】解：因为所有机会均等的可能共有10种，而号码小于7的奇数有1，3，5共3种，所以抽到号码为小于7的奇数的概率是．故选：A．6．（3分）下列函数中，图象经过原点的是（）A．y=3x B．y=1﹣2x C．y= D．y=x2﹣1【解答】解：∵函数的图象经过原点，∴点（0，0）满足函数的关系式；A、当x=0时，y=3×0=0，即y=0，∴点（0，0）满足函数的关系式y=3x；故A 选项正确；B、当x=0时，y=1﹣2×0=1，即y=1，∴点（0，0）不满足函数的关系式y=1﹣2x；故B选项错误；C、y=的图象是双曲线，不经过原点；故C选项错误；D、当x=0时，y=02﹣1=﹣1，即y=﹣1，∴点（0，0）不满足函数的关系式y=x2﹣1；故D选项错误；故选：A．7．（3分）二次函数y=kx2﹣6x+3的图象与x轴有交点，则k的取值范围是（）A．k＜3 B．k＜3且k≠0 C．k≤3 D．k≤3且k≠0【解答】解：∵二次函数y=kx2﹣6x+3的图象与x轴有交点，∴方程kx2﹣6x+3=0（k≠0）有实数根，即△=36﹣12k≥0，k≤3，由于是二次函数，故k≠0，则k的取值范围是k≤3且k≠0．故选：D．8．（3分）如图，以AD为直径的半圆O经过Rt△ABC斜边AB的两个端点，交直角边AC于点E，B、E是半圆弧的三等分点，弧BE的长为π，则图中阴影部分的面积为（）A．B．C．D．【解答】解：连接BD，BE，BO，EO，∵B，E是半圆弧的三等分点，∴∠EOA=∠EOB=∠BOD=60°，∴∠BAC=∠EBA=30°，∴BE∥AD，∵弧BE的长为π，∴=π，解得：R=2，∴AB=ADcos30°=2，∴BC=AB=，∴AC==3，∴S△ABC=×BC×AC=××3=，∵△BOE和△ABE同底等高，∴△BOE和△ABE面积相等，∴图中阴影部分的面积为：S△ABC ﹣S扇形BOE=﹣=﹣．故选：D．9．（3分）如图，直线l1∥l2，⊙O与l1和l2分别相切于点A和点B．点M和点N 分别是l1和l2上的动点，MN沿l1和l2平移．⊙O的半径为1，∠1=60°．下列结论错误的是（）A．B．若MN与⊙O相切，则C．若∠MON=90°，则MN与⊙O相切D．l1和l2的距离为2【解答】解：A、平移MN使点B与N重合，∠1=60°，AB=2，解直角三角形得，正确；B、当MN与圆相切时，M，N在AB左侧以及M，N在A，B右侧时，AM=或，错误；C、若∠MON=90°，连接NO并延长交MA于点C，则△AOC≌△BON，故CO=NO，△MON≌△MOC，故MN上的高为1，即O到MN的距离等于半径．正确；D、l1∥l2，两平行线之间的距离为线段AB的长，即直径AB=2，正确．故选：B．10．（3分）抛物线y=ax2+bx+c的顶点为D（﹣1，2），与x轴的一个交点A在点（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，其部分图象如图，则以下结论：①b2﹣4ac＜0；②a+b+c＜0；③c﹣a=2；④方程ax2+bx+c﹣2=0有两个相等的实数根．其中正确结论的个数为（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【解答】解：∵抛物线与x轴有两个交点，∴b2﹣4ac＞0，所以①错误；∵顶点为D（﹣1，2），∴抛物线的对称轴为直线x=﹣1，∵抛物线与x轴的一个交点A在点（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，∴抛物线与x轴的另一个交点在点（0，0）和（1，0）之间，∴当x=1时，y＜0，∴a+b+c＜0，所以②正确；∵抛物线的顶点为D（﹣1，2），∴a﹣b+c=2，∵抛物线的对称轴为直线x=﹣=﹣1，∴b=2a，∴a﹣2a+c=2，即c﹣a=2，所以③正确；∵当x=﹣1时，二次函数有最大值为2，即只有x=﹣1时，ax2+bx+c=2，∴方程ax2+bx+c﹣2=0有两个相等的实数根，所以④正确．故选：C．二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分）不需写出解答过程，把最后结果填在答题纸对应的位置上．11．（3分）点P（3，﹣2）关于原点中心对称的点的坐标是（﹣3，2）．【解答】解：平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于原点的对称点是（﹣x，﹣y），∴点P（3，﹣2）关于原点中心对称的点的坐标是（﹣3，2）．故答案为：（﹣3，2）．12．（3分）抛物线y=x2﹣2x+3的顶点坐标是（1，2）．【解答】解：∵y=x2﹣2x+3=x2﹣2x+1﹣1+3=（x﹣1）2+2，∴抛物线y=x2﹣2x+3的顶点坐标是（1，2）．故答案为：（1，2）．13．（3分）如图，对称轴平行于y轴的抛物线与x轴交于（1，0），（3，0）两点，则它的对称轴为直线x=2．【解答】解：∵点（1，0），（3，0）的纵坐标相同，∴这两点一定关于对称轴对称，∴对称轴是：x==2．故答案为：直线x=2．14．（3分）如图，∠AOB=100°，点C在⊙O上，且点C不与A、B重合，则∠ACB 的度数为50°或130°．【解答】解：当点C1所示时，∵∠AC1B与∠AOB是同弧所对的圆周角与圆心角，∴∠AC1B=∠AOB=×100°=50°；当点C2所示时，∵∠AC1B=50°，∴∠AC2B=180°﹣50°=130°．故答案为：50°或130°．15．（3分）一个不透明的口袋中装有若干个颜色不同其余相同的球，如果口袋中有4个红球且摸到红球的概率是，那么口袋中球总数是12．【解答】解：∵一个不透明的口袋中装有若干个颜色不同其余相同的球，如果口袋中有4个红球且摸到红球的概率是，∴口袋中球总数是：4÷=12．故答案为：12．16．（3分）将抛物线向左平移5个单位，再向上平移3个单位后得到的抛物线的解析式为．【解答】解：抛物线向左平移5个单位，得：y=﹣（x﹣5+5）2+3=﹣x2+3；再向上平移3个单位，得：y=﹣x2+3+3=﹣x2+6．17．（3分）如图，△ABC和△A′B′C是两个完全重合的直角三角板，∠B=30°，斜边长为10cm．三角板A′B′C绕直角顶点C顺时针旋转，当点A′落在AB边上时，CA′旋转所构成的扇形的弧长为cm．【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠B=30°，AB=10cm，∴AC=AB=5cm．根据旋转的性质知，A′C=AC，∴A′C=AB=5cm，∴点A′是斜边AB的中点，∴AA′=AB=5cm，∴AA′=A′C=AC，∴∠A′CA=60°，∴CA′旋转所构成的扇形的弧长为：=（cm）．故答案是：．18．（3分）已知⊙P的半径为1，圆心P在抛物线上运动，当⊙P与x 轴相切时，圆心P的坐标为（2，1）或（﹣2，1）或（0，﹣1）．【解答】解：当y=1时，有1=x2﹣1，x2=4，∴x=±2．即点P（2，1）或（﹣2，1）．当y=﹣1时，有﹣1=x2﹣1，x=0．即点P（0，﹣1）．故答案是：（2，1）或（﹣2，1）或（0，﹣1）．三、解答题（本题共10小题，共96分）解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．请在答题纸对应的位置和区域内解答．19．（8分）如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（1，1），B（4，2），C（3，4）．（1）请画出△ABC向左平移5个单位长度后得到的△A1B1C1；（2）请画出△ABC关于原点对称的△A2B2C2．【解答】解：（1）如图所示：△A1B1C1，即为所求；（2）如图所示：△A2B2C2，即为所求．20．（9分）△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分别相切于点D、E、F，且AB=9cm，BC=14cm，CA=13cm，求AF、BD、CE的长．【解答】解：根据切线长定理，设AE=AF=xcm，BF=BD=ycm，CE=CD=zcm．根据题意，得，解得：．即AF=4cm、BD=5cm、CE=9cm．21．（9分）已知：二次函数的表达式为y=﹣4x2+8x（1）写出这个函数图象的对称轴和顶点坐标；（2）求图象与x轴的交点坐标；（3）若点A（﹣1，y1）、B（，y2）都在该函数图象上，试比较y1与y2的大小．【解答】解：（1）∵y=﹣4（x﹣1）2+4，∴对称轴为x=1，顶点坐标为（1，4）；（2）令y=0，﹣4x2+8x=0，∴x1=0，x2=2、∴抛物线与x轴交点坐标为（0，0），（2，0）；（3）∵a=﹣4＜0，∴抛物线开口向下，在对称轴x=1左侧，y随x增大而增大，∵，∴y2＞y1．22．（9分）如图所示，某窗户由矩形和弓形组成，已知弓形的跨度AB=3m，弓形的高EF=1m，现计划安装玻璃，请帮工程师求出所在圆O的半径r．【解答】解：∵弓形的跨度AB=3m，EF为弓形的高，∴OE⊥AB于F，∴AF=AB=m，∵所在圆O的半径为r，弓形的高EF=1m，∴AO=r，OF=r﹣1，在Rt△AOF中，由勾股定理可知：AO2=AF2+OF2，即r2=（）2+（r﹣1）2，解得r=（m）．答：所在圆O的半径为m．23．（10分）如图，PA、PB分别与⊙O相切于点A、B，点M在PB上，且OM ∥AP，MN⊥AP，垂足为N．（1）求证：OM=AN；（2）若⊙O的半径R=3，PA=9，求OM的长．【解答】（1）证明：如图，连接OA，则OA⊥AP，∵MN⊥AP，∴MN∥OA，∵OM∥AP，∴四边形ANMO是矩形，∴OM=AN；（2）解：连接OB，则OB⊥BP∵OA=MN，OA=OB，OM∥AP．∴OB=MN，∠OMB=∠NPM．∴Rt△OBM≌Rt△MNP，∴OM=MP．设OM=x，则NP=9﹣x，在Rt△MNP中，有x2=32+（9﹣x）2∴x=5，即OM=5．24．（9分）如图，已知二次函数y=ax2+bx+c的图象过A（2，0），B（0，﹣1）和C（4，5）三点．（1）求二次函数的解析式；（2）设二次函数的图象与x轴的另一个交点为D，求点D的坐标；（3）在同一坐标系中画出直线y=x+1，并写出当x在什么范围内时，一次函数的值大于二次函数的值．【解答】解：（1）∵二次函数y=ax2+bx+c的图象过A（2，0），B（0，﹣1）和C （4，5）三点，∴，∴a=，b=﹣，c=﹣1，∴二次函数的解析式为y=x2﹣x﹣1；（2）当y=0时，得x2﹣x﹣1=0；解得x1=2，x2=﹣1，∴点D坐标为（﹣1，0）；（3）图象如图，当一次函数的值大于二次函数的值时，x的取值范围是﹣1＜x＜4．25．（10分）一个不透明的布袋里装有4个大小、质地均相同的乒乓球，每个球上面分别标有1，2，3，4，小林先从布袋中随机抽取一个乒乓球（不放回去），再从剩下的3个球中随机抽取第二个乒乓球．（1）请你列出所有可能的结果；（2）求两次取得乒乓球的数字之积为奇数的概率．【解答】解：（1）根据题意画树形图如下：由以上可知共有12种可能结果分别为：（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，3），（2，4），（3，1），（3，2），（3，4），（4，1），（4，2），（4，3）；（2）在（1）中的12种可能结果中，两个数字之积为奇数的只有2种，所以P（两个数字之积是奇数）=．26．（10分）如图，在△ABC中，∠ABC=90°，D是边AC上的一点，连接BD，使∠A=2∠1，E是BC上的一点，以BE为直径的⊙O经过点D．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）若∠A=60°，⊙O的半径为2，求阴影部分的面积．（结果保留根号和π）【解答】（1）证明：连接OD，∵OD=OB，∴∠1=∠ODB，∴∠DOC=∠1+∠ODB=2∠1， 而∠A=2∠1， ∴∠DOC=∠A ， ∵∠A +∠C=90°， ∴∠DOC +∠C=90°， ∴OD ⊥DC ，∴AC 是⊙O 的切线；（2）解：∵∠A=60°， ∴∠C=30°，∠DOC=60°， 在Rt △DOC 中，OD=2，∴CD=OD=2，∴阴影部分的面积=S △COD ﹣S 扇形DOE=×2×2﹣=2﹣．27．（10分）某研究所将某种材料加热到1000℃时停止加热，并立即将材料分为A 、B 两组，采用不同工艺做降温对比实验，设降温开始后经过x min 时，A 、B 两组材料的温度分别为y A ℃、y B ℃，y A 、y B 与x 的函数关系式分别为y A =kx +b ，y B =（x ﹣60）2+m （部分图象如图所示），当x=40时，两组材料的温度相同． （1）分别求y A 、y B 关于x 的函数关系式；（2）当A 组材料的温度降至120℃时，B 组材料的温度是多少？ （3）在0＜x ＜40的什么时刻，两组材料温差最大？【解答】解：（1）由题意可得出：y B=（x﹣60）2+m经过（0，1000），则1000=（0﹣60）2+m，解得：m=100，∴y B=（x﹣60）2+100，当x=40时，y B=×（40﹣60）2+100，解得：y B=200，y A=kx+b，经过（0，1000），（40，200），则，解得：，∴y A=﹣20x+1000；（2）当A组材料的温度降至120℃时，120=﹣20x+1000，解得：x=44，当x=44，y B=（44﹣60）2+100=164（℃），∴B组材料的温度是164℃；（3）当0＜x＜40时，y A﹣y B=﹣20x+1000﹣（x﹣60）2﹣100=﹣x2+10x=﹣（x ﹣20）2+100，∴当x=20时，两组材料温差最大为100℃．28．（12分）二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点（﹣1，4），且与直线y=﹣x+1相交于A、B两点（如图），A点在y轴上，过点B作BC⊥x轴，垂足为点C（﹣3，0）．（1）求二次函数的表达式；（2）点N是二次函数图象上一点（点N在AB上方），过N作NP⊥x轴，垂足为点P，交AB于点M，求MN的最大值；（3）在（2）的条件下，点N在何位置时，BM与NC相互垂直平分？并求出所有满足条件的N点的坐标．【解答】方法一：解：（1）由直线y=﹣x+1可知A（0，1），B（﹣3，），又点（﹣1，4）经过二次函数，根据题意得：，解得：，则二次函数的解析式是：y=﹣﹣x+1；（2）设N（x，﹣x2﹣x+1），则M（x，﹣x+1），P（x，0）．∴MN=PN﹣PM=﹣x2﹣x+1﹣（﹣x+1）=﹣x2﹣x=﹣（x+）2+，则当x=﹣时，MN的最大值为；（3）连接MC、BN、BM与NC互相垂直平分，即四边形BCMN是菱形，则MN=BC，且BC=MC，即﹣x2﹣x=，且（﹣x+1）2+（x+3）2=，解x2+3x+2=0，得：x=﹣1或x=﹣2（舍去）．故当N（﹣1，4）时，BM和NC互相垂直平分．方法二：（1）略．（2）设N（t，﹣），∴M（t，﹣t+1），∴MN=NY﹣MY=﹣+t﹣1，∴MN=﹣，当t=﹣时，MN有最大值，MN=．（3）若BM与NC相互垂直平分，则四边形BCMN为菱形．∴NC⊥BM且MN=BC=，即﹣=，∴t1=﹣1，t2=﹣2，①t1=﹣1，N（﹣1，4），C（﹣3，0），∴K NC==2，∵K AB=﹣，∴K NC×K AB=﹣1，∴NC⊥BM．②t2=﹣2，N（﹣2，），C（﹣3，0），∴K NC==，K AB=﹣，∴K NC×K AB≠﹣1，此时NC与BM不垂直．∴满足题意的N 点坐标只有一个，N （﹣1，4）．赠送：初中数学几何模型举例【模型四】 几何最值模型： 图形特征：P ABl运用举例：1. △ABC 中，AB =6，AC =8，BC =10，P 为边BC 上一动点，PE ⊥AB 于E ，PF ⊥AC 于F ，M 为AP 的中点，则MF 的最小值为B2.如图，在边长为6的菱形ABCD 中，∠BAD ＝60°，E 为AB 的中点，F 为AC 上一动点，则EF +BF 的最小值为_________。