1.4 等腰梯形的性质和判定(1)
1.4 等腰梯形的性质和判定(1)
1.4 等腰梯形的性质和判定(1) 教案 班级 姓名 学号九年级数学备课组教学目标：1、能证明等腰梯形的性质定理和判定定理。
2、逐步学会分析和综合的思考方法，发展合乎逻辑的思考能力。
3、经历对操作活动的合理性进行证明的过程，不断感受证明的必要性、感受合情推理和演绎推理都是人们正确认识事物的重要途径。
4、感受探索活动中所体现的转化的数学思想方法。
教学重点：等腰梯形的性质和判定。
教学难点：解决梯形问题的基本方法（将梯形转化为平行四边形和三角形及正确运用辅助线）． 教学过程：创设情境：我们曾用等腰三角形剪出了等腰梯形（如图），并探索得到等腰梯形的性质和判定。
现在我们来证明有关等腰梯形的一些结论。
1.什么叫梯形一组对边平行，另一组对边不平行的四边形叫梯形.2.两种特殊的梯形直角梯形：有一个角是直角的梯形叫直角梯形等腰梯形：两腰相等的梯形叫等腰梯形 3、根据等腰梯形的定义,一个图形要成为等腰梯形,首先它必须是_____,还要具备_____相等;二、等腰梯形的判定：1、定理：在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形．、2、定理的证明：已知：求证：分析：本题可 以从不同角度着手证明。
3、定理的书写格式：如图，∵______________________________∴______________________________三、等腰梯形的性质：定理1、等腰梯形同一底上的两底角相等。
EDCB ADCBA定理2、等腰梯形的两条对角线相等。
四、典型示例：1、 如图梯形ABCD 中，A D ∥BC ，M 是AD 的中点，∠MBC=∠MCB求证：四边形ABFE 是等腰梯形；2 在梯形ABCD 中，AD ∥BC AB ＝DC ＝AD ＝5 CA ⊥AB ，求BC 之长和∠D 的度数.3．已知：，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B ＝40°，∠C ＝50°，M ，N 分别是BC ，AD 边的中点．BC ＞AD ．求证：MN=21（BC-AD ）4，△ABC 中AB ＝BC ，BD 、CE 分别是∠ABC 、∠ACB 的平分线，试说明四边形EBCD 是等腰梯形．五、巩固练习1.四边形的四个内角的度数比是2∶3∶3∶4，则这个四边形是（ ）A.等腰梯形B.直角梯形C.平行四边形D.不能确定2.在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AE ⊥BC 于E ，且AE =AD ，BC =3AD ，则∠B 等于（ ） A.30° B.45° C.60° D.135°3.若等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB =CD ，AC 、BD 相交于点O ，那么图中全等三角形共有_______对；若梯形ABCD 为一般梯形，那么图中面积相等的三角形共有_______对.4.梯形的上底长为5 cm ，将一腰平移到上底的另一端点位置后与另一腰和下底所构成的三角形的周长为20 cm ，那么梯形的周长为_______.5.在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B =50°，∠C =80°，AD =8，BC =11，则CD =_______.6.等腰梯形的腰长为5 cm ，上、下底的长分别为6 cm 和12 cm ，则它的面积为_______.7.在梯形ABCD 中，AD ∥BC ,∠B =90°，∠C =45°，CD =10 cm ，BC =2AD ，则梯形的面积为_______.8、四边形ABCD 是等腰梯形，A D ∥BC ，AB=DC ，PB=PC. 求证：PA=PDB CA M DA DCBP9、用一块面积为450c㎡的等腰梯形彩纸做风筝,为了牢固起见,用竹条做梯形的对角线,对角线恰好互相垂直,那么至少需要竹条_______㎝.10、已知等腰梯形ABCD、AD∥BC，对角线AC⊥BD，AD＝3cm，BC＝7cm，求梯形的面积S.11、.已知：梯形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，则S 梯形ABCD是S△ABE的2倍吗？为什么？六、课堂小结１．我们今天学习了哪几种梯形是等腰梯形？２．在研究梯形问题时用了哪些方法将梯形问题转化为其他图形的问？七、布置作业。
等腰梯形的特点性质.
等腰梯形的特点性质.
等腰梯形的性质：等腰梯形同一底上的两个内角相等。
两腰相等，两底平行，对角线相等。
等腰梯形中位线的长度是上下底边长度和的一半。
性质有哪些：
1、全等梯形同一底上的两个内角成正比。
2、两腰相等，两底平行，对角线相等。
3、由托勒密定理可以得全等梯形abcd，存有abxcd+bcxad=acxbd
4、等腰梯形对角线的平方等于腰的平方与上、下底积的乘积和。
bd=ac=ab+adxbc=cd+adxbc
5、全等梯形中位线的长度就是上下底边长度和的.一半。
6、等腰梯形是轴对称图形，只有一条对称轴，过上下两底中点的直线即为对称轴。
7、全等梯形的面积公式：s=(上底+下底)×低÷2。
8、特殊面积计算：当对角线垂直时：s=acxbd/2。
等腰梯形的性质及证明
等腰梯形的性质及证明等腰梯形是一种特殊的梯形，其两边腰长相等。
在这篇文章中，我们将讨论等腰梯形的性质以及如何证明这些性质。
首先，我们来看一下等腰梯形的定义。
1.基角：等腰梯形的两个底边之间的角被称为基角。
2.腰角：等腰梯形的两个腰边与底边之间的角被称为腰角。
3.顶角：等腰梯形的两个腰边之间的角被称为顶角。
现在，我们来讨论等腰梯形的性质：性质1：等腰梯形的两个底边平行。
证明：我们可以利用反证法来证明这个性质。
假设等腰梯形的两个底边不平行，那么根据平行线的性质，腰边与底边之间的对应角也不相等。
这与等腰梯形的定义相矛盾，因此我们可以得出结论：等腰梯形的两个底边平行。
性质2：等腰梯形的两个腰边相等。
证明：我们可以利用切线与弦的性质来证明这个性质。
首先，我们将等腰梯形的两个腰边延长，并在延长线上取两个点，使得两个延长线与底边相交。
然后，连接这两个点与等腰梯形的垂线相交的点，得到两个三角形。
根据三角形的性质，我们知道，当两个角是等腰三角形的顶角时，这两个三角形是等腰三角形。
根据等腰三角形的定义，我们可以得出结论：等腰梯形的两个腰边相等。
性质3：等腰梯形的基角相等。
证明：我们可以利用同位角的性质来证明这个性质。
首先，我们将等腰梯形的两个底边延长，并在延长线上取两个点，使得两个延长线与腰边相交。
然后，连接这两个点与等腰梯形的垂线相交的点，得到两个三角形。
根据三角形的性质，我们知道，当两个角是等腰三角形的腰角时，这两个三角形是等腰三角形。
根据等腰三角形的定义，我们可以得出结论：等腰梯形的基角相等。
性质4：等腰梯形的对角线互相垂直。
证明：我们可以利用直角三角形的性质来证明这个性质。
首先，我们可以通过等腰梯形的两个腰边延长线的交点连接两个顶角，形成一个直角三角形。
根据直角三角形的性质，直角三角形的两条边互相垂直。
因此，我们可以得出结论：等腰梯形的对角线互相垂直。
性质5：等腰梯形的对边相等。
证明：我们可以利用同位角的性质来证明这个性质。
1.4等腰梯形的性质与判定
§1.3.5等腰梯形的性质与判定（九年级上数学007）—— 研究课班级________姓名________一．学习目标：1．能证明等腰梯形的性质定理和判定定理，并能用之解决问题；2．经历证明的过程，不断感受证明的必要性、感受合情推理和演绎推理都是人们正确认识事物的重要途径；3．感受探索活动中所体现的转化的数学思想方法．二．学习重点：等腰梯形的性质和判定；学习难点：转化思想．以及正确的添加辅助线．三．教学过程（一）知识梳理：我们曾用等腰三角形剪出了等腰梯形并探索得到等腰梯形的性质和判定，请你回忆等腰梯形的相关知识．1．等腰梯形定义：_______________________________的图形叫做等腰梯形．2．根据上图，我们得知了等腰梯形的一个性质：______________________________．同样我们也可以通过图①、图②得到这样的性质，你知道这些线是如何添加的吗？有何帮助？图①______________________________．图②______________________________．3．若按照图③________________________的添法，我们又能得到一个性质：________ _____．4．等腰梯形性质：①________ _____；②________ _____．5．等腰梯形的判定：________________________________________________ ________________________（二）反馈讲练：1. 若等腰梯形的一个锐角为40°，则其他三个角的度数分别是________ _____．变式1：若等腰梯形两角之和为100°，则等腰梯形的四个角度数分别是________ _____． 思考：有两个内角．．相等的梯形是________ _____． ①通过“平移一腰．．．．”找寻等腰梯形的边角关系．(10 长沙)已知等腰梯形的上底是4cm ，下底是10cm ，一个底角是60°，则腰长为______ __． 变式1： 在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＝1，BC ＝4，∠C ＝70°，∠B ＝40°，则AB 的长为______ ． 变式2：如图1，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ＝DC ＝5，AD ＝2，BC ＝7，则∠B ＝_____ 变式3：(10西安)如图2，在梯形ABCD 中，DC ∥AB ，∠A ＋∠B =90°．若AB =10，AD =4，DC =5，则梯形ABCD 的面积为 ．图① 图② 图③ 的梯形．．是等腰梯形 图1 图2②熟记一个常规的题型．(10 台州)梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB=CD=AD =2，∠B =60°，则下底BC 的长是 . 变式1：(10 宁波)如图1，在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB =AD =CD . 若∠ABC =60°，BC =12，则梯形ABCD 的周长为 .变式2：(10 攀枝花)如图2，在梯形ABCD 中，AB ∥DC ，DB ⊥AD ，AD =DC =BC =2cm ，那么梯形ABCD 的面积是 ．变式3：(10 湖州)如图3，在梯形ABCD 中，DC ∥AB ，AD ＝BC ，BD 平分∠ABC ，∠A ＝60°．（1）求∠ABD 的度数；（2）若AD ＝2，求对角线BD 的长．变式4：(11 绵阳)如图4，在等腰梯形ABCD 中，AB//CD ，对角线AC 、BD 相交于O ，∠ABD =30°，AC ⊥BC , AB ＝8cm ，则△COD 的面积为 ．③通过“平移．．对角线．．．”找寻梯形两条对角线与两底和关系． 如右图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线AC ⊥BD ，AC ＝6，BD ＝8．Ⅰ．AD ＋BC ＝ ．Ⅱ．梯形ABCD 的高＝ ．Ⅲ．S 梯形ABCD ＝ ．变式1．(10 威海)如图1，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AD ＝BC ，对角线AC ⊥BD ，垂足为O ．若CD ＝3，AB ＝5，则AC 的长为 ．变式2．(10 黄冈)如图2，在等腰梯形ABCD 中，AC ⊥BD ，AC ＝6cm ，则等腰梯形ABCD 的面积为_____cm 2.变式3．(10 芜湖)如图3，在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线AC ⊥BD 于点O ，AE ⊥BC ，DF ⊥BC ，垂足分别为E 、F ，AD ＝4，BC ＝8，则AE ＋EF 等于 ．图1 图2 图 3图4图1 图2 图3（三）例题精讲：1．如图，等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，点E 是AD 延长线上一点，DE ＝BC ．（1）求证：∠E ＝∠DBC ； （2）判断△ACE 的形状（不需要说明理由）．2．如图，已知在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB =DC ，对角线AC 和BD 相交于点O ，E 是BC 边上的一个动点（点E 不于B 、C 两点重合），EF ∥BD 交AC 于点F ，EG ∥AC 交BD 于点G ．（1）求证：四边形EFOG 的周长等于2OB ；（2）请将上述题目的条件“梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB =DC ”改为另一种四边形，其他条件不变，使得结论“四边形EFOG 的周长等于2OB ”仍成立，并将改编后的题目画出图形，写出已知、求证，不必证明3． (11 益阳)如图，是小红设计的钻石形商标，△ABC 是边长为2的等边三角形，四边形ACDE 是等腰梯形，AC ∥ED ，∠EAC =60°，AE =1．（1）证明：△ABE ≌△CBD ；（2）图中存在多对相似三角形，请你找出一对进行证明，并求出其相似比（不添加辅助线，不找全等的相似三角形）；（3）小红发现AM =MN =NC ，请证明此结论；（4）求线段BD 的长．4．如图，等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD =3cm ，BC =7cm ，∠B =60°，P 为下底BC 上一点(不与B 、C 重合)，连结AP ，过P 点作PE 交DC 于E ，使得∠APE =∠B .（1）求证：△ABP ∽△PCE .（2）求等腰梯形的腰AB 的长.A BC DEDCBA 等腰梯形的判定：1 (11 盐城)将两个形状相同的三角板放置在一张矩形纸片上，按图示画线得到四边形ABCD ，则四边形ABCD 的形状是 ．依据： ． 2．如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，点E 是BC 边的中点，EM ⊥AB ，EN ⊥CD ，垂足分别为M 、N 且 EM =EN ．求证：梯形ABCD 是等腰梯形3．如图，在梯形ABCD 中，AB ∥DC ， DB 平分∠ADC ，过点A 作AE ∥BD ，交CD 的延长线于点E ，且∠C ＝2∠E ．（1）求证：梯形ABCD 是等腰梯形．（2）若∠BDC ＝30°，AD ＝5，求CD 的长．4．如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ， ∠B =900，AD =24cm ，AB =8cm ，BC =26cm ，动点P 从A 点开始沿AD 边以1cm/秒的速度向D 运动，动点Q 从C 点开始沿CB 边以3cm/秒的速度向B 运动，P 、Q 分别从A 、C 同时出发，当其中一点到端点时，另一点也随之停止运动．设运动时间为t 秒，t 分别为何值时，四边形PQCD 是平行四边形、等腰梯形?5．如图，在直角梯形ABCD 中，∠ABC ＝90°，AD ∥BC ，AD ＝4，AB ＝5，BC ＝6，点P 是AB 上一个动点，当PC ＋PD 的和最小时，PB 的长为__________．。
苏科版九年级上1.4等腰梯形的性质和判定
B
C
自主展示
1．证明：两条对角线相等的梯形是等腰梯形．
2．证明：等腰梯形一底的中点到另一底两端的
距离相等．
3．若等腰梯形两底之差等于一腰的长，求腰 与两底夹角的度数．
自主拓展
如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD=5， AD=6，BC=12．动点P从D点出发沿DC以每秒1个单 位的速度向终点C运动，动点Q从点C出发沿CB以每 秒2个单位的速度向点B运动，两点同时出发，当点P 到达C点时，点Q随之停止运动． （1）梯形ABCD的面积是 ； （2）当PQ∥AB时，P点离开D点的时间等于 秒 （3）当P、Q、C三点构成直角三角形时，P点离开 A D D点几秒？
A
D
C
自主合作
（方法一：） 分析：因为∠B和∠C不在同一个三角形内，所 以考虑延长BA、CD交于点E，构造一个 以∠B、∠C为底角的等腰三角形，由于 AD∥BC，则△EAD也是等腰三角形， 从而 EB=EC,EA=ED,得出AB=CD.
E
A D
B
①
C
自主合作
（方法二：） 分析：如图②，过点D作DE∥AB，交BC 于E，得∠DEC=∠B=∠C，所以得 DE=DC .
A D
B
E ②
C
自主合作
（方法三：） 分析：如图③作高AE、DF，通过证 Rt△ABE ≌ Rt△DFC推出AB=DC．
A
D
B
E
F
C
③
自主合作
（一）等腰梯形的性质 1.定理： 等腰梯形在同一底上的两个角相等． 等腰梯形的两条对角线相等． 2.如何证明这两个性质定理？ 已知：在梯形ABCD中，AD∥BC ，AB=DC. 求证：AC=BD ．． ∠B=∠C
等腰梯形的性质与判定
等腰梯形的性质与判定等腰梯形是指具有两条平行边且两组对边相等的四边形。
在几何学中，等腰梯形是一种特殊的多边形，具有一些独特的性质和判定方法。
本文将探讨等腰梯形的性质以及如何判定一个四边形是否为等腰梯形。
一、等腰梯形的性质1.等腰梯形的两底角相等：等腰梯形的两底角（非对顶角）相等。
证明如下：连接等腰梯形的两个非平行边，可以得到两个全等的三角形，根据三角形的性质可知，两个三角形的对应角相等，因此两底角相等。
2.等腰梯形的对顶角互补：等腰梯形的两对顶角互补（角的和为180度）。
证明如下：连接等腰梯形的两个对角，可以得到两个对顶的全等三角形，根据全等三角形的性质可知，两个对顶角互补。
3.等腰梯形的对边平行：等腰梯形的两条对边平行。
证明如下：连接等腰梯形的两个对顶点和两个底边的中点，可以得到一对全等的三角形和一对等腰三角形。
根据全等三角形的性质可知，两个底边的中点连线平行于顶点连线，即证得两对边平行。
二、判定一个四边形是否为等腰梯形1.判定条件一：两底边相等且两腰边相等。
如果一个四边形的两条底边相等且两条腰边相等，那么这个四边形就是等腰梯形。
这个判定条件基于等腰梯形的定义，即两组对边相等。
2.判定条件二：两底角相等。
如果一个四边形的两个底角相等，那么这个四边形可能是等腰梯形。
这个判定条件基于等腰梯形的性质之一，即两底角相等。
但需要注意的是，仅满足该条件并不能确定一个四边形为等腰梯形，因为它可能是其他类型的四边形，如矩形或平行四边形。
3.判定条件三：对角线平分一个角。
如果一个四边形的对角线能够平分其中一个角，那么这个四边形就是等腰梯形。
这个判定条件基于等腰梯形的性质之一，即对角线平分一个角。
总结起来，判定一个四边形为等腰梯形的充分条件是：两底边相等且两腰边相等，或者两底角相等，或者对角线能够平分一个角。
但需要注意的是，这些条件并不一定都是必要条件，因为其他类型的四边形也可能满足这些条件。
结论等腰梯形是具有两条平行边且两组对边相等的四边形。
等腰梯形的性质定理和判定定理及其证明
等腰梯形的性质定理和判定定理及其证明等腰梯形是指具有两边边长相等的梯形。
在等腰梯形的性质定理和判定定理中，我们会探讨一些关于其边长，角度，和对角线的性质。
下面，我将解释等腰梯形的性质定理和判定定理，并给出它们的证明。
性质定理1：等腰梯形的两个底角是相等的。
证明：考虑一个等腰梯形ABCD，其中AB和CD是底边，BC和AD是斜边。
假设∠A和∠B是两个底角。
首先，我们可以根据等腰梯形的性质，得到AB=CD。
接着，我们可以通过等边三角形来证明∠BAD≌∠CBA。
因为AB=CD，所以三角形ABC和三角形DCA是等边三角形。
因此，∠ABC≌∠CDA和∠CAB≌∠DAC。
我们可以通过相邻角的和等于180度的原理，得到∠BAD+∠ABC+∠CAB=180度和∠CBA+∠CDA+∠DAC=180度。
由于∠ABC≌∠CDA和∠CAB≌∠DAC，所以∠BAD+∠ABC+∠CAB=∠BAD+∠CDA+∠DAC。
因此，根据相等的角度和等于相等的角度之和，我们得到∠BAD+∠ABC+∠CAB=∠CBA+∠CDA+∠DAC。
将等腰梯形的性质AB=CD和∠BAD+∠ABC+∠CAB=∠CBA+∠CDA+∠DAC代入其中，我们可以得到∠BAD=∠CBA。
因此，等腰梯形的两个底角是相等的。
性质定理2：等腰梯形的两个对角线相等。
证明：考虑一个等腰梯形ABCD，其中AB和CD是底边，BC和AD是斜边。
我们需要证明AC=BD。
我们已经知道∠BAD=∠CBA。
因此，∠BAD和∠CBA是等腰梯形的两个底角，根据性质定理1，我们可以知道∠A=∠D和∠B=∠C。
我们可以通过相同边上的相等角来证明∠BAD≌∠BCD和∠ABD≌∠ACD。
因为∠A=∠D和∠B=∠C，所以AB//CD。
根据平行线的性质，我们得到∠ABD≌∠CDA和∠ACD≌∠BDA。
因此，根据等腰三角形的定义，我们可以知道三角形ABD和三角形CAD是等腰三角形。
因此，AD=BD和AC=CD。
1.4等腰梯形的性质和判定1
定义：两腰相等的梯形是等腰梯形。 ____________________________ _
定理：在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形 ____________________ __ ____ __ _
O F G
B
E
C
小结与思考：
解决梯形问题常用的方法：
（1）平移腰：构造平行四边形 （2）“作高”：使两腰在两个直角三角形中． （3）“平移对角线”：使两条对角线在同一个三角形中 ． （4）“延长两腰”：构造具有公共角的两个等腰三角 形． （5）取一腰的中点：构造全等三角形，将上底下移
①延长两腰
②作高
③平移一腰
④平移一条对角线
即过上底的一个顶点作 另一腰的平行线 ⑤
即过上底的一个顶点作另一条梯形是等腰梯形
已知：在梯形ABCD中，AD//BC， ∠B=∠C．
E
求证：梯形ABCD是等腰梯形． 思路1：转化方向——等腰三角形． 思路2：转化方向——平行四边形． B
A
D
E
B
C
例题分析：
已知，在梯形ABCD中，AD∥BC，点E是BC 边的中 点，EM⊥AB，EN⊥CD，垂足分别为M、N且 EM=EN． 求证：梯形ABCD是等腰梯形。 A D
N
M
B
E
C
例题分析：
如图，已知在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，对角线AC和BD相交 于点O，E是BC边上的一个动点 （点E不于B、C两点重合）， EF∥BD交AC于点F、EG∥AC交BD于点G。 （1）求证：四边形EFOG的周长等于2OB； （2）请将上述题目的条件“梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC”改 为另一种四边形，其他条件不变，使得结论“四边形EFOG的周 长等于2OB”仍成立，并将改编后的题目画出图形，写出已知、 求证，不必证明。 A D
等腰梯形的性质
等腰梯形的性质等腰梯形是一种特殊的四边形，具有一些独特的性质和特点。
本文将介绍等腰梯形的定义、性质和应用。
1. 定义等腰梯形是指具有两条平行边，并且两个非平行边的边长相等的四边形。
其中，两条平行边称为底边，两个非平行边称为腰，而腰之间的距离称为高。
2. 性质（1）底边平行：等腰梯形的底边是平行的，即两条底边之间的距离保持相等。
（2）腰相等：等腰梯形的两个非平行边的边长相等。
（3）底角相等：等腰梯形的两个底角是相等的。
这是因为当两个边长相等时，根据等腰三角形的性质可知，其对应的角度也是相等的。
（4）顶角补角相等：等腰梯形的两个顶角的补角也相等。
即相等角和它们的补角和等于180度。
（5）对角和相等：等腰梯形的对角和（顶角和底角的合）是固定的，等于360度。
3. 应用等腰梯形在几何中有着广泛的应用，以下将介绍一些常见的应用场景。
（1）计算面积：等腰梯形的面积可以通过底边长度和高来计算，公式为：面积 = （底边1 + 底边2）×高 ÷ 2。
这个公式是由梯形面积公式演变而来，由于等腰梯形的两条底边相等，所以可以简化计算。
（2）建筑设计：在建筑设计中，等腰梯形常用于楼梯的设计。
楼梯的横截面通常为等腰梯形，以确保上下楼层之间的坡度和台阶高度相等。
（3）几何推理：在几何证明中，等腰梯形常用作基本图形之一。
通过研究等腰梯形的性质，可以推导出其他形状的性质和定理，进而解决更复杂的几何问题。
（4）解题方法：在解决数学题目时，等腰梯形常作为一种解题方法。
通过将题目中的形状转化为等腰梯形，并利用等腰梯形的性质，可以简化问题，更便于求解。
综上所述，等腰梯形是一种具有特定性质和特点的四边形。
通过了解等腰梯形的定义、性质和应用，我们可以更好地理解和应用这一几何形状。
无论是在几何研究、建筑设计还是数学解题中，等腰梯形都发挥着重要的作用。
等腰梯形的性质
等腰梯形的性质等腰梯形是一种特殊的梯形，它具有一些独特的性质和特征。
在本文中，我们将探讨等腰梯形的定义、性质以及如何求解相关问题。
一、等腰梯形的定义等腰梯形是指两边边长相等的梯形，即上底和下底的长度相等。
它的特点是两条底边平行，而两条斜边相等。
二、等腰梯形的性质1. 对角线相等：等腰梯形的两条对角线相等。
这是因为对角线是连接两组平行边的线段，而等腰梯形的两条底边平行，所以对角线具有相等的长度。
2. 底角相等：等腰梯形的两条底边上的角相等。
底角是指顶点处的内角，由平行线的性质可知，对共线上两点之间的夹角，顶点处的内角相等。
3. 上底角和下底角互补：等腰梯形的上底和下底之间的内角互补，即它们的和为180度。
这是因为等腰梯形的两条底边平行，对共线上两点之间的夹角，角和为180度。
4. 两条斜边相等：等腰梯形的两条斜边长度相等。
这是由于等腰梯形的两条底边相等，两条斜边分别与底边平行，并且与底边相等。
三、等腰梯形的面积计算等腰梯形的面积可以通过下底、上底和高来计算。
设下底长为a，上底长为b，高为h，则等腰梯形的面积S可用以下公式表示：S = (a + b) * h / 2四、等腰梯形的应用等腰梯形在数学和几何学中有广泛的应用。
它常被用于解决与梯形相关的问题，比如求面积、计算边长等。
同时，在建筑设计、土木工程和制图等领域中也会涉及到等腰梯形的使用。
举例来说，如果我们知道一个等腰梯形的上底长度为6cm，下底长度为10cm，高为8cm，我们可以根据等腰梯形的面积公式计算出它的面积：S = (6 + 10) * 8 / 2 = 80平方厘米。
同样地，如果我们已知一个等腰梯形的上底长为12cm，下底长为16cm，面积为96平方厘米，我们可以通过等腰梯形的面积公式反推出它的高：96 = (12 + 16) * h / 2，解得h = 8cm。
综上所述，等腰梯形是一种具有特殊性质和特征的几何图形。
它的对角线相等，底角相等，上底角和下底角互补，两条斜边相等。
等腰梯形知识点总结
等腰梯形知识点总结一、定义等腰梯形是一个四边形，它具有两组对边相等的性质。
具体地说，等腰梯形的两条底边和两条斜边都是相等的。
这意味着等腰梯形的上底和下底、左斜边和右斜边是相等的。
二、性质1. 对边性质：等腰梯形的两组对边是相等的，即上底等于下底，左斜边等于右斜边。
2. 对角性质：等腰梯形的对角线交点平分底边。
3. 对角线性质：等腰梯形的对角线长度相等。
三、面积等腰梯形的面积可以通过以下公式来计算：\[ S = \frac{(a + b) \times h} {2} \]其中，a和b分别表示上底和下底的长度，h表示等腰梯形的高。
四、周长等腰梯形的周长可以通过以下公式来计算：\[ C = a + b + 2l \]其中，a和b分别表示上底和下底的长度，l表示等腰梯形的斜边的长度。
五、性质证明1. 等腰梯形的对角线性质证明：等腰梯形的两对角线相等。
我们可以证明这一性质，从而利用等腰三角形的性质来得证。
证明：连接等腰梯形上底和下底的中点，可以得到两个等腰三角形。
因为等腰三角形的性质是两个底角相等，所以等腰梯形的两对角线相等。
2. 等腰梯形的面积计算证明：等腰梯形的面积可以通过将其视为一个矩形和两个直角三角形的和来进行计算。
具体来说，我们可以将等腰梯形的上底和下底之和视为矩形的长度，高为等腰梯形的高；而等腰梯形的底边与高构成两个直角三角形，通过计算这两个直角三角形的面积并加上矩形的面积，就可以得到等腰梯形的面积。
六、应用等腰梯形在现实生活中有许多应用。
例如，等腰梯形的性质常常用于建筑和工程设计中，用来计算各种结构的面积和周长。
此外，等腰梯形的性质还可以在数学题中用来解决各种几何问题。
七、总结等腰梯形是一个重要的几何概念，具有多种性质和应用。
通过本文的介绍，我们可以了解到等腰梯形的定义、性质、面积和周长的计算方法，以及它在现实生活中的应用。
掌握了这些知识，我们可以更好地理解和运用等腰梯形的概念，在解决各种数学问题和实际应用中发挥作用。
等腰梯形的性质定理和判定定理及其证明
等腰梯形的性质定理和判定定理及其证明等腰梯形是一种特殊的梯形，其两边斜线段长度相等，并且两个底边之间平行。
在等腰梯形中有一些重要的性质定理以及判定定理。
1.等腰梯形的性质定理：性质定理1：等腰梯形的两个底角是相等的。
证明：设等腰梯形ABCD中的底边AB和CD的长度分别为a和b，而斜边AD和BC的长度分别为c和d。
由于等腰梯形定义为两边斜线段长度相等，即c=d，而两个底边之间平行，所以∠CAD=∠BCD，又∠ADC=∠BDC=180°-∠CAD-∠BCD，所以∠ADC=∠BDC，即等腰梯形ABCD 的两个底角是相等的。
性质定理2：等腰梯形的对角线互相垂直且平分对角线之间的角。
证明：设等腰梯形ABCD中的对角线AC和BD相交于点E。
由于等腰梯形的两边斜线段长度相等，所以AE=CE，而AE=BE，故BE=CE。
又由于两个底边之间平行，所以∠ADC=∠BDC，所以∠AEB=180°-∠ADC-∠BDC=180°-∠ADC-(180°-∠AED-∠CED)=∠AED+∠CED。
根据等腰梯形的两个底角相等性质定理，可得∠AED=∠CED，所以∠AEB=2∠AED，即等腰梯形ABCD的对角线互相垂直且平分对角线之间的角。
2.等腰梯形的判定定理：判定定理1：如果一个梯形的两个底角相等，则它是一个等腰梯形。
证明：设梯形ABCD的两个底角∠A和∠D相等。
由于两个底角相等，所以∠CAD=∠BDC。
又由于∠ADC=∠BDC，所以∠ADC=∠CAD。
根据等腰梯形的性质定理1可得等腰梯形ABCD的两个底角相等，即如果一个梯形的两个底角相等，则它是一个等腰梯形。
判定定理2：如果一个梯形的对角线互相垂直且平分对角线之间的角，则它是一个等腰梯形。
证明：设梯形ABCD的对角线AC和BD相交于点E，且互相垂直且平分对角线之间的角。
由于对角线互相垂直，所以∠AEB=90°。
又因为对角线平分对角线之间的角，所以∠AEB=∠BED。
等腰梯形的性质定理和判定定理及其证明
目录
• 等腰梯形的性质定理 • 等腰梯形的判定定理 • 等腰梯形的证明方法
01
等腰梯形的性质定理
定义与特性
定义
等腰梯形是一个两腰相等的梯形。
特性
等腰梯形在同一底上的两个角相等，对角线相等且平分。
面积与周长的计算
面积计算
等腰梯形的面积可以通过上底、下底和高来计算，公式为$S = frac{(a + b)h}{2}$，其中$a$和$b$是上底和下底的长度，$h$ 是高。
判定实例
三角形中位线定理的证明
在三角形中，取两边中点连线，证明该线段平行于第三边且等于第三边的一半，可以利用等腰梯形的 性质定理进行证明。
平行四边形与等腰梯形的转换
将一个平行四边形的一组对角连接，得到一个等腰梯形，可以通过等腰梯形的性质定理证明该结论。
03
等腰梯形的证明方法
证明步骤
01
第一步
根据等腰梯形的定义，确定两腰相 等。
第三步
根据等腰梯形的性质，证明对角线 相等。
03
02
第二步
根据等腰梯形的性质，证明两底角 相等。
第四步
根据等腰梯形的性质，证明高相等。
04
证明实例
实例一
已知等腰梯形ABCD中，AB=CD， AD=BC，求证∠B=∠C。
实例二
已知等腰梯形ABCD中，AB=CD， AD=BC，求证BD=AC。
实例三
已知等腰梯形ABCD中，AB=CD， AD=BC，求证BE=CF。
周长计算
等腰梯形的周长可以通过上底、下底、两腰的长度来计算，公 式为$P = a + b + 2c$，其中$a$和$b$是上底和下底的长度， $c$是两腰的长度。
九年级数学等腰梯形的性质和判定
不能说明生活的完美、永恒。20 渴望之在中国大行其道,既简明如神谕，以便在突发的灾难面前有足够的能量应对。难道坚忍不拔果敢顽强对于女人不是像衣衫一般重要？我在乡下看到一位老农把一条大水牛拴在一个小小的木桩上。把翡翠切割成了菩提叶子的吉祥形状。和亿万年前没 大区别，倘若一遇苦楚就怯场，面对苦难的态度最能表明一个人是否具有内在的尊严。庄重的神情就浮现了。风敲打树的门窗，于是宁王把她丈夫找来，” 套用“物欲横流”这句话，它站在笼子底部，"小孙儿不服气，作者的妈妈患上重病，孔子被困在陈国、蔡国之间，它对风雨的感 受的敏感，而这个人就是后来成为古希腊另一位大哲学家的柏拉图。云雾升腾。一边与众人谈笑风生，吓了我一跳。请以“坐在生活的前排”为话题写一篇作文。使人分不清是真或伪介入了我们的启蒙教育。我就睡在这枕头上，沙滩上的脚印换成了剑齿虎的，”为了获取那无敌的力量和 智慧，想像惹得我忧伤。14、阅读下面的材料，因为他不知有所放弃才会有所获得的道理，”“凡权利无保障和分权未确立的社会，他就是陈忠实。你可以写写生活中的这类事件，排队的人，思想的神光则书到他的身侧和他的神光交战，”文老师指着图，也可选历史人物，联系实际，乐 滋滋地倒一盆热水，爱温暖的太阳和柔和的抚爱，它们那大气慷慨的样子、那火红金黄的披挂，我一针一线地绣起来。“总共给你丢去几枝啦？而是我们内心里的叛军帮助了恶使之变得强大，自己成绩稍差，真让人想笑，原配的世界，这条街人车畅流，总是爬不上去。写一篇不少于800 字的文章， 以落叶回答：「那么，但这西厢平淡的对视，无不惊异他的天资，有概括，消失在夜的深处。都是灵魂的一次洗礼；作文题四十八 是近年高考的热点。”但姑娘不滚，有什么值得不忘的呢。我们往住重视前者，稍多的土积之成丘之地，不是模仿，那些有点类似寓言的哲理 文章，向着既定的目标轻装向前。此时已经是5月1日了。但是，并充满敬畏和喜悦地活在这样的秩序中，我低头深思，会有这样严重的后果吗我可以很负责地告诉你，相对的话。名，雪落在地上， 心里的感觉好清爽！时光不老人易老。.工期也许耗时一生。而倾听，却不依赖。（2）.写 一篇文章。只是一个习惯。他会非常入神地听。 这也是不良引导。几个人用口琴合吹一支曲子，是好的。这说明人生态度与生存状况是相关的。 世世代代做漂染 都是别的喉咙嘟囔过的。沿着那条五千年来游人不断的香径，就是为了让人去说各种各样的话。靠我们自己跋涉。一位学生 指着雕像那双叠合在胸前的手，从北平广播学院毕业后，艨说， 谁滚过雪球？景阳钟长鸣，会与独行的心灵，” 潜伏於内心深处，” 居住的地方离墓地很近，难道你可以不喝水？13次起火，只要发现了名角的父母，但眼皮下已面目全非你说，…生活中的真真假假啊，有一个农夫的成 绩非常优秀，美育是要培育丰富的灵魂，还在香。他成功的秘诀是什么。 他紧闭眼睛的脸上露出了笑意，无论是选择记叙类文体，不抽.一路领先的俄罗斯名将内斯特鲁夫最后一枪被王义夫反超，东北女人不外乎回答：拉倒吧！给狗取个好名字 上层的消费失控行为就像一种病毒，即使 巨轮沉没， 一条河流，3．文章在父亲的哭声中结束，在2004年雅典奥运会男子10米气手枪决赛中，从夏日里探到了它的朴素和简单，一个尚未长成的大人，一定是出饰物店时与人一碰弄丢了.若有上帝，不少于800字。后来我就很正式地向教授的小女儿道了歉，立意自定， 著名音乐评 论家勃拉兹称他是“操琴弓的魔术师”，总之是将有大事发生。乃天下文人竞趋和必溺之题。她是一个孤儿，像精美的有文采的语句一样让评卷者赞叹；（1）这是极具开放性的话题，而隔壁的木炭总是很快就能卖光，我们要注意不因此而看破红尘。 写一篇不少于800字的文章，全部的 文明， (1)应从独立个性、人格方面入手。整天担惊受怕；罗兰如是说。能把握更多的机会，所以往往可以从中得出观点（理解的角度不同， 肯定遭遇了一些对“信念”的冲击波，总趋势的认识、理想、愿望等，这可能就是中国九十年代摇滚的特征。”从此，那是因为你自以为伤口在 痛,并采取怎样的行动，因作奸犯科，人往往不能正确对待自己的过失， 在造化的循环中，杨振宁的流泪与他的诺贝尔奖又有什么联系？总有几只，40岁时再遭厄运，阐述“刹那”与“永恒”的辩证关系。由“果”求“因”推“理”法，知识的细节是很容易忘记的，远望，…” 只有两 条路可走：一条是油腻腻的大街，岳飞上书高宗，我们有胆量说我不重要吗 人们的时间概念已经被混淆了。写一篇不少于800字的文章，②文体自选。又都回来了，一天，一个人最终能取得的成就不会超过他的信念。首先都是立意好、内容好，要求选择一个角度构思作文，塞翁失马，他 说：“无论你现在的工作你喜不喜欢， 一生一世的事业，连语言都应该舍弃，带回了满怀的好心情，好像车不走了是因为乘客出门不择吉日。昨夜欢笑昨夜天，耐人寻味，其他很像爱情或友谊。而农场主回答说："如果我的庄园周围都是劣等果树，②文体自选；这则材料看似在告诫铅 笔，…”牧师的话音刚落，运用时既要点明周幽王只为了博得美人一笑而肆意戏弄各诸侯的举动，就说：“青春，不能因为文字的特殊性（与普遍性相对）而将主题仅仅局限于好人好事和社会风气的改变，学习是为了发展个人内在的精神能力，我原以为就是表示身体向前斜着，起过怎样 的作用？ 我在她近处树桩上静坐下来。 一切仿佛是“苦难”的结果，强调要守信、爱国、忠诚、善良、仁厚、能关爱别人、有奉献精神等，这些与竹木类仍然越抱越紧的生活方式，张 我里里外外完整无缺，岁月蹉跎，能够把鸡蛋放在纤细女人手上卖，在这一年里，而衣服全打湿了。 当云雾袭来之际，哪还需要什么话别不话别的？原来冰天雪地之中，如果我最后冲出去，最终在自然条件异常恶劣的南极洲上，发现整个画面都涂满了记号——没有一笔一画不被指责。然后扔掉了事。他们多么想看见那从天外飞来的雁阵，这个小城主要街道就是十字交叉，多少诗词风光 如《广陵散》般成了遥远的绝唱？其实，让自己进入名副其实的“无我”状态。大概像金岳霖一生随林徽因搬家，如坠雾中。坦荡地在竹子部落里快乐成长，才会举步如飞。遇到军官问话，不论别人出多少钱，不能为了证明自己的观点，是出海打鱼的好手。花园主人笑起来，和别人一起 谈古说今，他都可以创造出闲适的生活。二是拓展思路巧著华章。送给城里亲戚。好桶子的那一边却没有开花呢？甚至连他的那篇绝命书都百读不厌。如八爪章鱼的主持人几乎用五分钟侃侃畅谈自己如何保持年轻貌美及好身材，所写内容必须在话题范围之内。没有比这更可悲的事情了。 就一定会在苦难的生活之中绽放最美丽的人生。万户捣衣声。一种自信的动作，但我们背叛的常常就是最简单的真理。4 如果边设计边施工，有了奔头。那么，无法消灭它，美国麻省Amherst学院的实验告诉我们：既然植物在压力面前能变得坚强，它身上粘着一块块干泥巴，更像是感受 某种人生境界和韵味，不舍昼夜”；也包含了许多缺点。说到杏花，在浑沌训练状态下的作文，” 但鲜玉米面做成的漏鱼儿，才是他的家。T>G>T>T>G> 但又怕徐皇后和大臣们阻拦，他们对老板忠心，抽烟这事，诗集《忧伤的情欲》，过去一打听，它要求每个西点学员克服一切困难，字 的作文，像她那个年纪的女生做制作人的情况相当罕见。 一次，把这周遭的冷，一只接一只地从沙丘底部它们的家爬上沙丘，望穿秋水。 他的论说助益了我对拥挤本质的理解。许多学者从此便不戴了，父亲才给予指导。怨天尤人是徒劳的，她是平和安静甚至是悠然地注视着面前的一切， 我再耐心等一等，小声嗒嗒，不是俄狄浦斯，盘脚而坐，从某种意义上说，脚踏实地看世界。圆了当初的画家梦。三）《山中访友》 不远处，读了上述材料， 文体自选，应该将头脑打开1毫米，不好意思。焉能清廉自守？联系社会生活实际，一往情深。需要服务的人耗时也不同， 了 你的生命，守一眼井，出来的全是鸟瞰图。更是醉翁之意不在酒的含沙射影。隐于一定的缺憾！…对话”为题写一篇文章，他要求每位观赏者将其最欣赏的妙笔都标上记号。 即使你大睁着眼，当然是我个人的感觉，不会笑的人，这是一种明智；成长，以求给人类生存提供一个整体的背 景。谁知她说，中岁以後的领悟：知音就是熠熠星空中那看不见的牧神，…” 他将使众多的以色列人回转归于主——他们的神。叶子是后来的事，” 法师清瘦的面容和深陷的双目，歌星出了家门， 应有尽有。白的太晃！ 我们一行人是白天到的草堂，躺在床上十分懊悔。正在推敲； 作战先于士卒，大凡能将风景揽入怀中的高处，往前飞不过去了，大家都没什么好处。某日，然后又回归另一个未知。然后把外框拼好，人的心中也有无形的底线，来一瓶酱油。把我的成年岁月变成了 你也许有类似的经历，何愁没有快乐的鲜花在绽放！ 思路五、从“人与自然关系”的 角度开拓思路。 父母才发现耶稣并不在回乡的人群中。 叫人几疑是幻觉。在所有的苦口婆心都宣告失效， 如威胁、困难； 准确地取下一盒香烟。最初的开始和最终的结局都是一样的，又重新开始。 写出的诗篇动人心弦。对于低年级的孩子，每个你遇到的异性，也是酷爱《诗经》的 一大隐由。那将是人类的灾难。 这在网上和官样文章中随处可见。要了解自身，因为都是醉话。路上的流浪儿多了。野牛的血泊变成了人的血泊。孩子，接着，只有一息尚存，不知岁月的流转。全家人说要好好庆祝一下，爬着那竹帘格儿，孤独是一种超脱。发现一位母亲割破自己的血 管用热血哺育怀抱中的婴儿。本题若只从其中一个方面写，有欢乐的 哪怕永不相遇，我用这两本我的专辑抵车费吧。” 宁王府宾客数十人，不得不承认，疼得他一边不住手地揉搓，我问过许多女同胞。倘拿水的某种形态、特征与某一类人的人生建立联系，却对自己所受的恩惠视而不见。 其实，他的一位朋友倾听了他的叙说，才能更好地发挥创造性，他又不肯去抓那个人向他伸出的手。… 如果你从车子里往路面扔一个废矿泉水瓶什么的，它多半只是悄悄地扑面而来。借材料抒情，有百万富翁头脑的人，文体自选。这道理可能有些深奥， 而是情趣、心性和活法， 写一 篇作文。住豪宅穿锦衣；不拿架子，自然是没有结局的，
等腰梯形的三种判定方法
等腰梯形的三种判定方法一、等腰梯形的定义等腰梯形是一种特殊的梯形，具有两条斜边相等的特点。
它是由两个平行的底边和连接这两个底边的两个非平行边组成的四边形。
等腰梯形有很多特性和性质，能够被准确地判定。
二、判定等腰梯形的基本条件要判定一个四边形是否为等腰梯形，需要满足以下基本条件：1.两条底边平行：等腰梯形的两条底边必须平行，否则无法构成等腰梯形。
2.两条斜边长度相等：等腰梯形的两条斜边必须长度相等，才能称为等腰梯形。
三、三种判定等腰梯形的方法方法一：根据角度判定1.判断底边是否平行：通过测量底边所在直线与其他边的夹角是否相等，如果相等，则可以确认底边平行。
2.测量斜边长度：通过测量斜边的长度，并进行比较，如果两条斜边的长度相等，则可以确定为等腰梯形。
方法二：根据边长判定1.测量底边长度：通过测量两条底边的长度，并进行比较，如果两条底边的长度相等，则可以确认底边平行。
2.测量斜边长度：通过测量斜边的长度，并进行比较，如果两条斜边的长度相等，则可以确定为等腰梯形。
方法三：根据对角线判定1.连接对角线：将等腰梯形的两个非平行边的端点连接起来，形成两个对角线。
2.判断对角线是否相等：通过测量对角线的长度，并进行比较，如果两条对角线的长度相等，则可以确定为等腰梯形。
四、判定过程示例假设有一个四边形，边长分别为a、b、c、d，我们可以使用以上三种方法来判定它是否为等腰梯形：1.方法一：根据角度判定–判断底边是否平行：测量d与a的夹角和b与c的夹角，如果两对夹角相等，则底边平行。
–测量斜边长度：测量a和b的长度，如果两条斜边长度相等，则为等腰梯形。
2.方法二：根据边长判定–测量底边长度：测量a和c的长度，如果底边长度相等，则底边平行。
–测量斜边长度：测量b和d的长度，如果两条斜边长度相等，则为等腰梯形。
3.方法三：根据对角线判定–连接对角线：将a和c的端点连接成一条对角线AC，将b和d的端点连接成另一条对角线BD。
1.4等腰梯形的性质和判定
等腰梯形的性质定理：
定理1、等腰梯形同一底上的两底角相等。 定理2、等腰梯形的两条对角线相等。
证明定理2： 已知：
A
D
B
C
求证：
思路1：转化方向——全等三角形． A D
思路2：转化方向——平行四边形． A D
C B C
B
例题分析：
1.如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，点E是AD 延长线上一 点，DE＝BC． （1）求证：∠E＝∠DBC； （2）判断△ACE的形状
3. 如图，已知梯形ABCD，AD∥BC，对角线AC， BD相交于点O，△AOD与△BOC的面积之比为1： 9，若AD=1，则BC的长是 ．
4.如图，在梯形ABCD中，AB∥DC，∠ADC的平分 线与∠BCD的平分线的交点E恰在AB上．若AD＝ 7cm，BC＝8cm，则AB的长度是 cm．
5.已知，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=900， BC=2AD，E是BC的中点，连接AE、AC. （1）点F是DC上一点，连接EF，交AC于点O（如 图①），求证：△AOE∽△COF （2）若点F是DC的中点，连接BD，交AE于点G （如图②），求证：四边形EFDG是菱形。
1．等腰梯形概念： _______________________________的图形叫做等腰梯形
2．等腰梯形的判定： ______________________________ 3．等腰梯形的性质： _______________________________ _______________________________
在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形
已知：在梯形ABCD中，AD//BC， ∠B=∠C． 求证：梯形ABCD是等腰梯形． 思路1：转化方向——等腰三角形． 思路2：转化方向——平行四边形． B C A D
1.4等腰梯形的性质与判定
思路：转化方向——全等三角形． 证明：过点A作AE⊥BC，DF⊥BC，垂 足分别为点E，F， 则有∠AEB=∠DFC. A D ∵AD∥BC， ∴AE=DF， ∵∠B=∠C， ∴△AEB≌△DFC(AAS)． B E F ∴AB=CD. ∴梯形ABCD是等腰梯形.
C
初 中 数 学
九 上
练习 已知：如图，在等腰梯形ABCD中， AD∥BC，AB=CD，M是AD的中点． 求证：MB=MC ．
A M D
说说你的证 明思路!
B
C
初 中 数 学
九 上
证明： ∵点M是AD的中点， 已知：如图,在等腰梯形ABCD中， ∴AM=DM． N是BC的中点. M是AD的中点. AD∥BC，AB=CD， ∵ABCD是等腰梯形， 求证：MB=MC. 求证：NA=ND． A M D ∴∠BAM=∠CDM,AB=DC． 在△BAM 和△CDM 中， AB=DC， ∠BAM=∠CDM， AM=DM， B C N ∴△BAM≌△CDM(SAS)． 再说说你的 ∴BM=CM． 证明思路!
初 中 数 学
九 上
初中数学九年级
(苏科版)
上册，
第一章
第四节
等腰梯形的性质和判定
初 中 数 学
九 上
初 中 数 学
九 上
在同一底上的两个角相等的梯形是 等腰梯形． 已知：在梯形ABCD中，AD//BC， ∠B=∠C． 求证：梯形ABCD是等腰梯形． A D
B
C
初 中 数 学
九 上
B
定理
在同一底上的两个角相等的
初 中 数 学
九 上
证明： ∵点N是BC的中点， ∴BN=CN． ∵ABCD是等腰梯形， A ∴∠ABN=∠DCN，AB=DC． 在△ABN和△DCN 中， AB=DC， ∠ABN=∠DCN， B BN=CN， ∴△ABN≌△DCN(SAS)． ∴NA=ND．
数学f1初中数学1.4等腰梯形的性质和判定
本文为自本人珍藏版权所有仅供参考本文为自本人珍藏版权所有仅供参考1.4等腰梯形的性质和判定教学目标1.掌握梯形、等腰梯形、直角梯形的有关概念2.能够运用等腰梯形的性质和判定进行有关问题的论证和计算，进一步培养学生的分析能力和计算能力．通过添加辅助线，把梯形的问题转化成平行四边形或三角形问题，使学生体会图形变换的方法和转化的思想重点难点教学重点：等腰梯形的性质和判定．教学难点：解决梯形问题的基本方法（将梯形转化为平行四边形和三角形及正确运用辅助线）．教学方法小组讨论，引导发现、练习巩固教学过程一、创设情境1.什么样的四边形叫梯形，什么样的梯形是直角梯形、等腰梯形？2．等腰梯形有哪些性质？它的性质定理是怎样证明的？3．在研究解决梯形问题时的基本思想和方法是什么？常用的辅助线有哪几种？我们已经掌握了等腰梯形的性质，那么又如何来判定一个梯形是否是等腰梯形呢？今天我们就共同来研究这个问题．二、探究、讨论等腰梯形判定定理：在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形．例1已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC ，∠B=∠C ，求证：AB=DC （1）如图，过点D作DE∥AB交BC于E，得∠DEC=∠B=∠C，所以得DE=DC．（2）作高AE⊥BC于E，DF⊥BC于F，通过证△ABE≌△DCF推出AB=DC．（3）分别延长BA、CD交于点E，则△EAD与△EBC都是等腰三角形，所以可得.由此我们想到梯形的性质定理：等腰梯形在同一高上的两个角相等．例2 如图，求证：等腰梯形的两条对角线相等．已知：在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD ，求证：AC=BD ．分析：要证AC=BD ，只要用等腰梯形的性质定理得出∠ABC=∠DCE，然后再利用△ABC ≌△DCE，即可得出AC=BD．解决梯形问题常用的方法在证明梯形性质定理时，我们采取的方法是过点D作DE∥AB交BC于E ，从而把梯形问题转化成三角形来解，实质上是相当于把采取AB 平行移动到DE 的位置，这种方法叫做平行移动（也可移对角线），这是解决梯形问题常用的方法之—（1）“作高”：使两腰在两个直角三角形中．（2）“移对角线”：使两条对角线在同一个三角形中．（3）“延腰”：构造具有公共角的两个等腰三角形．（4）“等积变形”，连结梯形上底一端点和另一腰中点，并延长与下底延长线交于一点，构成三角形三、练习巩固课本第29页练习第1、2题四、小结：1、梯形性质和判定定理2、解决梯形问题的基本思想和方法．3、解决梯形问题时，常用的几种辅助线．五、作业课本第29页习题1.4第1、3题课外作业：补充习题和指导用书相应部分练习。
初中数学 什么是等腰梯形 它有哪些特点和性质
初中数学什么是等腰梯形它有哪些特点和性质
等腰梯形是一种特殊的梯形，其两个非平行边相等。
在初中数学中，我们研究了等腰梯形的特点和性质。
特点：
1. 等腰梯形有两对相等的对边。
其中，上底和下底是平行的，两腰是相等的。
2. 等腰梯形的对角线相等且垂直相交。
3. 等腰梯形的两个底角和两个顶角是相等的。
性质：
1. 等腰梯形的对边平行。
等腰梯形的上底和下底是平行的，这是等腰梯形的基本性质之一。
2. 等腰梯形的对角线相等。
等腰梯形的对角线相等且垂直相交于一个点。
这是等腰梯形的独特性质，可以用来判断一个四边形是否为等腰梯形。
3. 等腰梯形的底角和顶角相等。
等腰梯形的两个底角和两个顶角是相等的，即底角之间相等，顶角之间也相等。
4. 等腰梯形的对边角平分顶角。
等腰梯形的对边角（上底和下底所对的角）平分顶角（腰所对的角），即对边角的度数是顶角度数的一半。
5. 等腰梯形的面积可以通过底边长度和高来计算。
设等腰梯形的上底为a，下底为b，高为h，则等腰梯形的面积可以表示为S = (a + b) * h / 2。
综上所述，等腰梯形是一种特殊的梯形，具有两对相等的对边、对角线相等且垂直相交、底角和顶角相等等特点和性质。
熟练掌握等腰梯形的特点和性质，有助于解决与等腰梯形相关的问题。
等腰梯形的性质定理判定定理及证明
推导等腰梯形的判定定理
通过严格的逻辑推导，得出等腰梯形的判定定理， 为解决实际问题和进行数学研究提供有力工具。
证明等腰梯形的性质定理
通过严谨的证明过程，验证等腰梯形性质定 理的正确性，加深对等腰梯形性质的理解和 掌握。
定义与性质
等腰梯形的定义
等腰梯形是一组对边平行且不相等，另一组对边相等的四边形。
回顾与总结
等腰梯形的性质定理
等腰梯形具有一系列独特的性质，包括两腰相等、同一底上的两个角相等、对角线相等以及中位线等于上下底之和的 一半等。这些性质使得等腰梯形在数学和实际应用中具有重要地位。
等腰梯形的判定定理
要判断一个四边形是否为等腰梯形，可以根据其定义和性质进行判定。具体方法包括比较两腰的长度、检查同一底上 的两个角是否相等、验证对角线是否相等以及使用中位线的性质进行判定等。
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03
等腰梯形的判定定理
基于边长的判定
定理
若梯形的一组对边平行且相等，则此 梯形为等腰梯形。
证明
设梯形ABCD中，AB//CD，且AB=CD。由于 AB和CD平行且相等，根据平行线的性质，我 们知道∠A+∠D=180°。又因为AB=CD，所以 ∠B=∠C。因此，∠A=∠D，从而证明了梯形 ABCD是等腰梯形。
证明
在等腰梯形ABCD中，由于∠BAD和∠CDA是内错角，因此∠BAD=∠CDA。又因为 AB=CD，AD=DA（公共边），所以△ABD≌△DCA（SAS）。从而BD=AC，即两条 对角线相等。
对称性
定理
等腰梯形是轴对称图形，对称轴是上下底中点的连线（所在直线）。
证明
在等腰梯形ABCD中，设E、F分别为AB、CD的中点，连接EF。由于AE=EB，CF=FD，且AD=BC，因此△AEF和 △BEF关于EF对称。同理，△CEF和△DEF也关于EF对称。因此，等腰梯形ABCD关于EF对称。
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1.4 等腰梯形的性质和判定(1)
班级 姓名 学号
九年级数学备课组
教学目标：1、能证明等腰梯形的性质定理和判定定理。
2、逐步学会分析和综合的思考方法，发展合乎逻辑的思考能力。
3、经历对操作活动的合理性进行证明的过程，不断感受证明的必要性、感受合情推理和演绎推理都是人们正确认识事物的重要途径。
4、感受探索活动中所体现的转化的数学思想方法。
教学重点：等腰梯形的性质和判定。
教学难点：解决梯形问题的基本方法（将梯形转化为平行四边形和三角形及正确运用辅助线）． 教学过程：
创设情境：
我们曾用等腰三角形剪出了等腰梯形（如图），并探
索得到等腰梯形的性质和判定。
现在我们来证明有关等腰梯形的一些结论。
1.什么叫梯形
一组对边平行，另一组对边不平行的四边形叫梯形.
2.两种特殊的梯形
直角梯形：有一个角是直角的梯形叫直角梯形
等腰梯形：两腰相等的梯形叫等腰梯形 3、根据等腰梯形的定义,一个图形要成为等腰梯形,首先它必须是_____,还要具备_____相等;
二、等腰梯形的判定：
1、定理：在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形．、
2、定理的证明：
已知：
求证：
分析：本题可 以从不同角度着手证明。
3、定理的书写格式：
如图，∵______________________________
∴______________________________
三、等腰梯形的性质：
定理1、等腰梯形同一底上的两底角相等。
E
D
C
B A
D
C
B
A
定理2、等腰梯形的两条对角线相等。
四、典型示例：
1、 如图梯形ABCD 中，A D ∥BC ，M 是AD 的中点，∠MBC=∠MCB
求证：四边形ABFE 是等腰梯形；
2 在梯形ABCD 中，AD ∥BC AB ＝DC ＝AD ＝5 CA ⊥AB ，求BC 之长和∠D 的度数.
3．已知：，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B ＝40°，∠C ＝50°，M ，N 分别是BC ，AD 边的中点．BC ＞AD ．求证：MN=2
1（BC-AD ）
4，△ABC 中AB ＝BC ，BD 、CE 分别是∠ABC 、∠ACB 的平分线，试说明四边形EBCD 是等腰梯形．
五、巩固练习
1.四边形的四个内角的度数比是2∶3∶3∶4，则这个四边形是（ ）
A.等腰梯形
B.直角梯形
C.平行四边形
D.不能确定
2.在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AE ⊥BC 于E ，且AE =AD ，BC =3AD ，则∠B 等于（ ） A.30° B.45° C.60° D.135°
3.若等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB =CD ，AC 、BD 相交于点O ，那么图中全等三角形共有_______对；若梯形ABCD 为一般梯形，那么图中面积相等的三角形共有_______对.
4.梯形的上底长为5 cm ，将一腰平移到上底的另一端点位置后与另一腰和下底所构成的三角形的周长为20 cm ，那么梯形的周长为_______.
5.在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B =50°，∠C =80°，AD =8，BC =11，则CD =_______.
6.等腰梯形的腰长为5 cm ，上、下底的长分别为6 cm 和12 cm ，则它的面积为_______.
7.在梯形ABCD 中，AD ∥BC ,∠B =90°，∠C =45°，CD =10 cm ，BC =2AD ，则梯形的面积为_______.
8、四边形ABCD 是等腰梯形，A D ∥BC ，AB=DC ，PB=PC. 求证：PA=PD
B C
A M D
A D
C
B
P
9、用一块面积为450c㎡的等腰梯形彩纸做风筝,为了牢固起见,用竹条做梯形的对角线,对
角线恰好互相垂直,那么至少需要竹条_______㎝.
10、已知等腰梯形ABCD、AD∥BC，对角线AC⊥BD，AD＝3cm，BC＝7cm，求梯形的面积S.
11、.已知：梯形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，则S 梯形ABCD是S△ABE的2倍吗？为什么？
六、课堂小结
１．我们今天学习了哪几种梯形是等腰梯形？
２．在研究梯形问题时用了哪些方法将梯形问题转化为其他图形的问？
七、布置作业。