创新方案浙江新高考数学理二轮专题突破保分题专练卷(一)(含答案详析)

“4道”保分题专练卷(一)
1．已知△ABC 为锐角三角形，向量m ＝(3cos 2A ，sin A )，n ＝(1，－sin A )，且m ⊥n . (1)求A 的大小；
(2)当AB ＝pm ，AC ＝qn (p >0，q >0)，且满足p ＋q ＝6时，求△ABC 面积的最大值． 解：(1)∵m ⊥n ，∴3cos 2A －sin 2A ＝0. ∴3cos 2A －1＋cos 2A ＝0， ∴cos 2A ＝1
4
.
又∵△ABC 为锐角三角形， ∴cos A ＝1
2，
∴A ＝π3
.
(2)由(1)可得m ＝⎝⎛⎭⎫34，32，n ＝⎝⎛⎭⎫1，－3
2.
∴|AB |＝
214p ，|AC |＝7
2
q . ∴S △ABC ＝12|AB |·|AC |·sin A ＝21
32pq .
又∵p ＋q ＝6，且p >0，q >0， ∴p ·q ≤p ＋q
2，
即p ·q ≤3. ∴p ·q ≤9.
故△ABC 的面积的最大值为2132×9＝18932
.
2．某工厂有120名工人，且年龄都在20岁到60岁之间，各年龄段人数按[20,30)，[30,40)，[40,50)，[50,60]分组，其频率分布直方图如图所示．工厂为了开发新产品，引进了新的生产设备，要求每名工人都要参加A 、B 两项培训，培训结束后进行结业考试．已知各年龄段两项培训结业考试成绩优秀的人数如下表所示．假设两项培训是相互独立的，结业考试也互不影响．
(1)人数；
(2)随机从年龄段[20,30)和[30,40)内各抽取1人，设这两人中A 、B 两项培训结业考试成绩都优秀的人数为X ，求X 的分布列和数学期望．
解：(1)由频率分布直方图知，在年龄段[20,30)，[30,40)，[40,50)，[50,60]内的人数的频率分别为0.35,0.4,0.15,0.1.
∵0.35×40＝14,0.4×40＝16,0.15×40＝6,0.1×40＝4，
∴在年龄段[20,30)，[30,40)，[40,50)，[50,60]内应抽取的人数分别为14,16,6,4. (2)∵在年龄段[20,30)内的人数为120×0.35＝42(人)，从该年龄段任取1人，由表知，此人A 项培训结业考试成绩优秀的概率为3042＝57；B 项培训结业考试成绩优秀的概率为1842＝3
7，
∴此人A 、B 两项培训结业考试成绩都优秀的概率为57×37＝15
49
.
∵在年龄段[30,40)内的人数为120×0.4＝48(人)，从该年龄段任取1人，由表知，此人A 项培训结业考试成绩优秀的概率为3648＝34；B 项培训结业考试成绩优秀的概率为2448＝1
2，∴此
人A 、B 两项培训结业考试成绩都优秀的概率为34×12＝3
8
.
由题设知，X 的可能取值为0,1,2， ∴P (X ＝0)＝⎝⎛⎭⎫1－1549⎝⎛⎭⎫1－38＝85196
，
P (X ＝1)＝15
49×⎝⎛⎭⎫1－38＋⎝⎛⎭⎫1－1549×38＝177392， P (X ＝2)＝1549×38＝45
392，
∴X 的分布列为
X 的数学期望为
E (X )＝0×85196＋1×177392＋2×45392＝267
392
.
3．设正项数列{a n }的前n 项和是S n ，若{a n }和{S n }都是等差数列，且公差相等． (1)求{a n }的通项公式；
(2)若a 1，a 2，a 5恰为等比数列{b n }的前三项，记c n ＝1
log 34b n ＋1·log 34b n ＋2
，数列{c n }的前
n 项和为T n ，求T n .
解：(1)设{a n }的公差为d ，则S n ＝na 1＋n (n －1)d
2，
即S n ＝
d
2
n 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d 2n ， 由
S n
是等差数列，得到⎩
⎨
⎧
a 1－d
2＝0，
S n ＝
d 2
·n ，
则d ＝
d
2
且d ＝2a 1＞0， 所以d ＝1
2，
a 1＝d 2＝14
，
a n ＝14＋(n －1)·12＝2n －14
.
(2)由b 1＝a 1＝14，b 2＝a 2＝34，b 3＝a 5＝9
4，得等比数列{b n }的公比q ＝3，
所以b n ＝1
4
×3n －1，
所以c n ＝1log 33n ·log 33n ＋1＝1n (n ＋1)＝1n －1
n ＋1，
T n ＝1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝n
n ＋1
.
4.如图，正三棱柱ABC -A
1B 1C 1的所有棱长都为2，CD ＝λ1CC (λ∈R)．
(1)当λ＝1
2
时，求证：AB 1⊥平面A 1BD;
(2)当二面角A -A 1D -B 的大小为π
3时，求实数λ的值．
解：(1)证明：取BC 的中点O ，连接AO .
因为在正三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，平面ABC ⊥平面CBB 1C 1，且△ABC 为正三角形，所以AO ⊥BC ，AO ⊥平面CBB 1C 1.
以O 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系O -xyz ，
则A (0,0，3)，B 1(1,2,0)，D (－1,1,0)，A 1(0,2，3)，B (1,0,0)．所以1AB ＝(1,2，－3)， 1DA ＝(1,1，3)，DB ＝(2，－1,0)．
因为1AB ·1DA ＝1＋2－3＝0，1AB ·
DB ＝2－2＝0， 所以AB 1⊥DA 1，AB 1⊥DB ，又DA 1∩DB ＝D ， 所以AB 1⊥平面A 1BD .
(2)由(1)得D (－1,2λ，0)，所以1DA ＝(1,2－2λ，3)，DB ＝(2，－2λ，0)，DA ＝(1，－2λ，3)．
设平面A 1BD 的一个法向量为n 1＝(x ，y ，z )，平面AA 1D 的一个法向量为n 2＝(s ，t ，u )，
由⎩
⎪⎨⎪⎧
n 1·1DA ＝0，n 1·DB ＝0，得平面A 1BD 的一个法向量为n 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫λ，1，λ－23.
同理可求得平面AA 1D 的一个法向量为n 2＝(3，0，－1)， 由|cos 〈n 1，n 2〉|＝|n 1·n 2||n 1|·|n 2|＝12，解得λ＝1
4
， 故λ的值为1
4.。