数学：1.2.1《常见函数的导数》课件(苏教版选修2-2)

常见函数的导数
一、复习引入
1.导数的几何意义： 曲线在某点处的切线的斜率; 导数的物理意义： 物体在某一时刻的瞬时度。
(瞬时速度或瞬时加速度)
2、如何求切线的斜率?
y
y=f(x)
Q
割 线
T
切线
o
P
x
k PQ
f ( x x) f ( x) x
(当 x 0时 ，k PQ无 限 趋 近 于 点P 处 切 线 的 斜 率 )
3
3 3 1 2 解： y ( x ) 3 x 3 x
2 f (2) 3 (2) 12
解： y ( x ) 2 x
3
1 ( 2)已知y 2 , 求f (3). x
2 2 1
2 x
3
1 2 f (3) 2 (3) 2 27 27
2:若直线y=4x+b是函数y=x2图象
的切线,求b以及切点坐标.
解 : 设切点P( x0 , y0 ) f ( x) ( x ) 2 x
2
2 x0 4, x0 2, y0 2 4
2
即切点坐标(2,4), 由题意得此点也在直线 y 4 x b上 4 4 2 b, b 4
四、课堂小结：
C 0(C为常数)
x x ( 为常数 ) (sin x ) cos x
(cos x ) sin x

1
公式五:对数函数的导数
公式六:指数函数的导数
x x
1 (1) (log a x) ( a 0, a 1). x ln a 1 (2) (ln x) . x
1 2 1 1 2
1 2
1 1 y ( x ) x 2 2 x
(5) y sin45
解：
0
(6)u cos v
2 (5) y (sin 45 ) ( ) 0 2
o
(6)u (cosv) sin v
例3: (1)已知 y x , 求 f ( 2).
(kx+b)/=k
(1)(2 x 3) －2 (4) x 1 (2)(2 x) －2 (5)(x 5) 1 (3)3 0 (6)(4) 0
通过以上运算我们能得到什么结论?
公式二: ( x ) x
'
1
( 是常数)
2
(1) x 1
(1) ( a ) a ln a ( a 0, a 1).
(2) (e ) e .
x x
；s
都是我的娃儿啊，怎么会知道你家里的事情呢！后来，李长善也就不再问了。时间就这样一天天地过去，耿老爹在山镇 上李长善的家里已经待了快三年了。在此期间，他在对李家的三个孩子百般呵护的同时，也严格地管教他们，并且督促 他们多多干活儿，以报答李家的收留庇护之恩。而他自己更是手脚不闲，家里地里的大小活计，逮着什么干什么。对于 李家的街坊邻居们来说，他们就这样的事情也都慢慢地见怪不怪了。每当看到耿老爹高高兴兴地呼唤着尚文兄妹三人上 街逛游，或是下地干活儿时，大家都会报以友善的微笑，并不指指点点说些什么。大家相互传说着，都已经知道了事情 的原委，内心里边很为这个不幸的耿老爹由内而外迸发出来的伟大父爱而深深地感动了，并且也非常赞赏李长善一家人 的感恩之心和博大胸怀，背地里都在竖起大拇指言赞他们呢！想到鄱阳湖周围有些名气的郎中都已经请遍了，但这位耿 大哥仍然还是这个样子，李家开始有些失望了。加之近日来李长善的腰腿疼旧疾复发，行动非常不便。更重要的是，愿 意接手医治耿老爹这个病症的郎中越来越少了。李长善夫妇俩终于无奈地决定，放弃继续为这位好心人的，就让他高高 兴兴得和自己心目中的儿女们，一直像现在这样愉快地生活下去吧！艰难地做出了这个决定之后，李家夫妻俩一直想找 机会和自己的三个孩子说一些话，但无奈三个孩子和耿老爹在一起的时间，总是比和自己的父母在一起的时间多得多， 大家凑在一起就更不容易了。且说耿老爹看到李长善腰腿疼旧疾复发行动不便已经多日了，但还不见他请人医治，就对 他说：“我没有病，李大哥你还老是请郎中给我治病。你现在真得有病了，怎么就不请个郎中来看看啊？”李长善说： “我这是老毛病了，以前也看过的，没有用啊！耿大哥你放心，这个老毛病啊，过些日子自己就会全好了的！”耿老爹 只好说：“那你就放心歇着吧，家里地里的活计，有我和正儿他们干就行了！”李长善感激地说：“那就有劳耿大哥了 啊！放心，我会安心养病的！”那日一早起来，耿老爹见行动更加不便的李大哥随手拿了一根核桃粗细的木头棍儿拄着 走路，就对他说：“李大哥，这木头棍儿拄着多不应手，不如让我给你做个好使的拐杖用吧！”李长善一听这耿大哥竟 然还会做拐杖，倒觉得蛮有趣儿，就高兴地说：“好啊！耿大哥你还会做这个，那就给我做一个吧！我这老毛病啊，还 真不知道什么时候会好，什么时候又给犯了呢！我就备他一个拐杖得了！”耿老爹说：“我做得不一定有多好，但总归 会比这根木头棍儿多少好使一点儿的！”说干就干。当日午饭后，耿老爹果真就放弃了打盹儿午休一小会儿的习惯，在 院子里认真地做起拐杖来了，李长善夫妇赶快趁此机会把儿女们聚在一起。这一家
3、导数：函数在某点处的瞬时变化率 设函数y＝f(x)在区间(a，b)上有定义， x0∈(a，b)，若△x无限趋近于零时，比值
y f ( x0 x ) f ( x0 ) x x
无限趋近于一个常数A，则称f(x)在x＝x0 处可导，并称该常数 A为函数 f(x ) 在x ＝x 0处 的导数，记作f/(x0)．
2 3 x

' 1 x x x 2 1 1 1 2 x 2 x 2
'
1 2
1 1 2
公式三:
(sin x ) cos x
公式四:
(cos x ) sin x
例2: 求下列函数的导数：
(1) y x (2) y x
4
3
解：
的切线的直线方程.

解： f ( x) cos x, f ( x) sin x, 3 f ( ) sin . 3 3 2 1
3 故曲线在点P( , )处的切线斜率为 ， 3 2 2 1 3 所求的直线方程为 y ( x ), 2 2 3 3 即 3x 2 y 1 0. 3
公式五:对数函数的导数
公式六:指数函数的导数
x x
1 (1) (log a x) ( a 0, a 1). x ln a 1 (2) (ln x) . x
(1) ( a ) a ln a ( a 0, a 1).
(2) (e ) e .
x x
四、例题讲解
1 , 1:求过曲线y=cosx上点P( ) 3 2
4、由定义求导数（三步法） 步骤:
(1) 求增量 y f ( x x ) f ( x );
y f ( x x ) f ( x ) ( 2) 算比值 ; x x y (3)当 x 0, 常数 x
二、知识新授
几种常见函数的导数: 公式一: C = 0 (C为常数)
(2)(x ) 2 x
2
(3)(3x ) 6 x 1 1 ( 4)( ) 2 x x
通过以上运算我们能得到什么结论?
三、知识应用
例1：求下列函数的导数：
x 3x
3 '
31
3x
' 2
2
1 2 x
'
x
2x
3
21
2 x
(1) y ( x ) 4 x
4
3
41
4x
3
4
(2) y ( x ) 3x
31
3x
解：
1 1 11 (3) ( ) ( x ) 1x x 1 2 x 2 x
1 (3) y x
(4) y x
解：
(4) y x x
切线相关问题的处理方法
设出切点坐标（如果没有交待切点坐标） 求出切点处的导数得切线的斜率 切点在切线上，代入切线方程 切点在曲线上，代入曲线方程

可能顺序有变化，但一定跟以上四点相关
拓展研究
若直线y=3x+1是曲线y=ax3的切线,试求a的值.
解:设直线y=3x+1与曲线y=ax3相切于点P(x0,y0), 则有: y0=3x0+1 ①, y0=ax03 ②, 3ax02=3. ③ 由①,②得3x0+1=ax03, 由③得ax02=1, 代入上式可得: 3x0+1=x0, x0=-1/2. 所以a•(-1/2)2=1,a=4.