3.1.2两角和与差的正弦、余弦正切公式1
高中数学学案 两角和与差的正弦、余弦、正切公式(一)
3．1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式第1课时 两角和与差的正弦、余弦、正切公式(一)1.两角和的余弦公式cos(α＋β)＝cos_αcos _β－sin_αsin _β,简记为C (α＋β),使用的条件为α,β为任意角． 2．两角和与差的正弦公式名称 简记符号 公式 使用条件 两角和 的正弦 S (α＋β)sin(α＋β)＝sin_αcos _β＋cos_αsin _βα,β∈R两角差 的正弦S (α－β) sin(α－β)＝sin_αcos _β－cos_αsin _βα,β∈R状元随笔 公式的记忆方法 (1)理顺公式间的联系．C (α＋β)――→以－β代βC (α－β)――→诱导公式S (α－β)――→以－β代βS (α＋β) (2)注意公式的结构特征和符号规律．对于公式C (α－β),C (α＋β),可记为“同名相乘,符号反”． 对于公式S (α－β),S (α＋β),可记为“异名相乘,符号同”． 公式逆用：sinαcosβ＋cosαsinβ＝sin(α＋β), sinαcosβ－cosαsinβ＝sin(α－β), cosαcosβ＋sinαsinβ＝cos(α－β), cosαcosβ－sinαsinβ＝cos(α＋β)． [小试身手]1．判断下列命题是否正确. (正确的打“√”,错误的打“×”) (1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α,β是任意的．( ) (2)存在α,β∈R ,使得sin(α－β)＝sin α－sin β成立．( ) (3)对于任意的α,β∈R ,sin(α＋β)＝sin α＋sin β都不成立．( ) (4)sin 54°cos 24°－sin 36°sin 24°＝sin 30°.( ) 答案：(1)√ (2)√ (3)× (4)√2．sin 15°cos 75°＋cos 15°sin 105°等于( ) A ．0 B.12C.32D ．1 解析：sin 15°cos 75°＋cos 15°sin 105° ＝sin 15°cos75°＋cos 15°sin 75° ＝sin(15°＋75°)＝sin 90°＝1. 答案：D3．设α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2,若sin α＝35,则2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝( )A.75B.15 C ．－75 D ．－15解析：易得cos α＝45,则2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos αco s π4－sin αsi n π4＝15.答案：B4．计算sin 7π12＝________.解析：sin 7π12＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋π4＝sin π3cos π4＋cos π3sin π4＝32×22＋12×22＝6＋24. 答案：6＋24类型一 给角求值例1 求值：(1)cos 105°；(2)cos 31°＋cos 91°sin 29°.【解析】 (1)cos 105°＝cos(60°＋45°)＝cos 60°cos 45°－sin 60°sin 45° ＝12×22－32×22＝2－64. (2)cos 31°＋cos 91°sin 29°＝cos 31°＋cos (60°＋31°)sin 29°＝cos 31°＋cos 60°cos 31°－sin 60°sin 31°sin 29°又因为π2<β<π,所以β＝2π3.对比例题β的范围更改则α＋β的范围更改,再由sin(α＋β)求cos(α＋β)最后利用sinβ＝sin[(α＋β)－α]公式求值．3.1.2[基础巩固](25分钟,60分)一、选择题(每小题5分,共25分) 1．sin 105°的值为( ) A.3＋22 B.2＋12 C.6－24 D.2＋64解析：sin 105°＝sin(45°＋60°)＝sin 45°cos 60°＋cos 45°sin 60°＝22×12＋22×32＝2＋64. 答案：D2．sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝( ) A ．－32 B.32C ．－12 D.12解析：原式＝sin 20°cos 10°＋cos 20°sin 10°＝sin(20°＋10°)＝12.答案：D3．若cos α＝－45,α是第三象限的角,则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝( ) A ．－7210 B.7210C ．－210 D.210解析：因为cos α＝－45,α是第三象限的角,所以sin α＝－35,由两角和的正弦公式可得sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4。
3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式(一)
sin ( ) sin[ ()] sin cos() cos sin() sin cos cos sin .
两角差的正弦公式
sin ( ) sin cos cos sin
简记： S
( )
异名积，符号同.
sin( ) cos ( ) 2
2.由两角和与差的余弦公式如何推导两角
和与差的正弦公式？
sin( ) cos 2 cos ( ) 2 cos( ) cos sin( ) sin 2 2 sin cos cos sin .
2 4 2 3 7 2 ( ) ; 2 5 2 5 10
cos( ) cos cos sin sin 4 4 4 2 4 2 3 = ( ) 2 5 2 5 7 2 = . 10
例2 利用和（差）角公式计算下列各式的值： (1)sin 72°cos 42° cos 72°sin 42° . (2) cos 20°cos 70° sin 20°sin 70° .
解：(1)原式 sin(72o 18o ) sin 90o 1.
3 (2)原式 sin(14 74 ) sin(60 ) . 2 1 (3)原式 cos(34 26 ) cos 60 . 2
3.化简:(1) 2(sin x cos x). (2) 2 cos x 6 sin x.
两角和的正弦公式
sin( ) sin cos cos sin
S( ) 简记：
公式的结构特征:
左边是复角 的正弦,右边是单角 ， 的
人教版高中数学必修四教案：3.1.2两角和与差的正弦、余弦和正切公式
3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式教材分析本节内容是数学4第三章三角恒等变换第一节两角和与差的正弦、余弦和正切公式的第二课时，是在学习了差角的余弦公式的基础上，进一步对差角的正弦、正切及和角的正弦、余弦和正切公式的探究.本节的六个公式是本章的重要内容，也是三角恒等变换的基础，对三角函数式的化简，求值、三角恒等式的证明等问题起着重要的支撑作用，同时，它又为后面学习倍角公式作铺垫.本节课的重点是公式的推导及公式的简单应用，难点是公式的记忆和灵活应用.通过公式的推导过程，揭示了公式间的联系，加深对公式的理解和记忆.教学中既要有意识地训练学生思维的有序性和对思维过程表述的准确性、简洁性，又要渗透转化、换元、分类讨论的数学思想，这些都是培养学生三角恒等变换能力所不能忽视的.课时分配本节内容用1课时的时间完成，首先在两角差的余弦公式的基础上，引导学生自主探究得到两角和与差的正弦、余弦、正切公式，并掌握公式的结构和变形形式.然后，通过例题运用公式解决简单的数学问题.教学目标重点：两角和与差的正弦、余弦和正切公式的探究过程，公式结构及应用.难点：两角和与差的正弦、余弦和正切公式的记忆和灵活应用.知识点：两角和与差的正弦、余弦和正切公式.能力点：能以两角差的余弦公式为基础，结合诱导公式与同角三角函数关系式，推导出差角、和角的正弦、余弦和正切公式.教育点：经历公式的探究过程，注重知识间的联系，培养学生的探索精神，提高学生的推理能力和运算能力.自主探究点：以两角差的余弦公式为基础，探究差角、和角的正弦、余弦和正切公式的推导方法. 考试点：灵活使用差角、和角的公式进行三角函数式的化简、求值和恒等变形.易错易混点：使用公式时，学生容易在分析角的范围上出错.拓展点：如何利用差角、和角公式把形如sin cos a x b x +式子化简为形如sin()A x ωϕ+的三角式. 教具准备 多媒体课件课堂模式 学案导学一、 引入新课师：同学们，上节课我们学习了差角的余弦公式，请大家首先回顾一下这个公式的形式是怎样的. 生：()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+. ——同名积，符号反师：由于公式()cos αβ-只可以用来解决与差角的余弦相关的三角变换问题，因而在应用中有很大的局限性，遇到差角的正弦、正切及和角的正弦、余弦、正切时，公式()cos αβ-就不能直接应用了，因此，我们有必要将公式()cos αβ-作进一步拓广，希望得到两角和与差的三角系列公式.这节课我们就来探究差角的正弦、正切公式及和角的正弦、余弦、正切公式.【设计意图】从熟悉的差角余弦公式出发，让学生意识到进一步探究差角、和角的正弦、余弦和正切公式的意义，是对旧知的扩展，进而引出本节课题，自然流畅.二、探究新知探究一：探究公式()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-.问题：由公式()C αβ-出发，如何推导公式：()cos ?αβ+=【师生活动】师：引导学生从两个方面展开联想：①函数名称的联系；②角的联系，αβ+与αβ-之间的联系.重点指出，要想利用差角的公式得到和角的公式，如果从形式上能将和角变成差角的形式，那就近了一步.生：自主思考，一般得出：①将αβ+转化为()αβ--；②在公式()cos αβ-中，以β-代β. 师生：利用换元的思想推导出()C αβ+，并进一步理解公式间的联系，共同分析对比()C αβ-与()C αβ+两公式的结构形式.()()cos cos cos cos()sin sin()cos cos sin sin αβαβαβαβαβαβ+=--=-+-=-⎡⎤⎣⎦ 即()C αβ+：()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-. ——同名积，符号反【设计意图】让学生参与公式的探究过程，加深理解公式间的联系，有利于公式的记忆，培养学生换元的数学思想.探究二：探究公式()sin sin cos cos sin αβαβαβ±=±.问题：在公式()C αβ-与()C αβ+的基础上，怎样推导()sin ?αβ+=与()sin ?αβ-=【师生活动】师：我们的目标是求两角和与差的正弦公式，而我们已经知道了相应的余弦公式，那么，一个自然的想法是什么？就是利用余弦公式求正弦公式.如何把()sin αβ+改写成余弦？生：自主探究，从原有知识结构中提取正弦与余弦的关系，将公式推导出来.()()sin cos cos ()cos()cos sin()sin 2222ππππαβαβαβαβαβ⎡⎤⎡⎤+=-+=--=-+-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦sin cos cos sin αβαβ=+即()S αβ+：()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+. ——异名积，符号同以β-代β得()S αβ-：()sin sin cos cos sin αβαβαβ-=-. ——异名积，符号同师生：共同整理推导过程，让学生认识到解决问题的关键是应用诱导公式把正弦化为余弦，体会转化与化归思想方法在解决问题中的重要性，并进一步分析所得公式的结构形式与()C αβ-、()C αβ+的区别.【设计意图】结合旧知，探究新知，既巩固已学知识，又加深理解公式间的联系，同时有利于公式的记忆，培养学生转化与化归的数学思想.探究三：探究公式()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ±±=m . 问题：怎样用,αβ的正切表示()tan αβ+、()tan αβ-呢？【师生活动】师：由两角和与差的正弦、余弦公式如何探究两角和与差的正切公式？以和角为例，请自主探究.生：自主探究.一般能从同角三角函数的关系式出发进行探究，教师可作个别指导.但是，多数学生可能只是将和角的正弦、余弦公式代入展开而不去化简.()()()sin sin sin cos cos sin tan tan cos cos cos cos sin sin αβααβαβααβααβαβαβ++=→+==+- 师：上述公式是用单角的正、余弦表示和角的正切，那么，通过什么途径可以把上面的式子化成只含有tan α、tan β的形式呢？引导学生观察思考，当cos cos 0αβ≠时，分式的分子、分母同时除以cos cos αβ，得出和角的正切公式()T αβ+：()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ++=-. 师：进一步提出引申思考的问题：在上述公式的推导过程中，角,αβ有什么条件要求吗？除此之外，公式本身还有什么限制吗？生：自主思考，可以得出α、β、αβ+都不等于()2k k Z ππ+∈.师生：指明公式成立的条件，使公式完整.进一步让学生类比思考差角的正切公式的推导，自主得出差角公式，并与和角公式比较，分析结构，帮助记忆.差角的正切公式()T αβ-：()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ--=+. 【设计意图】让学生经历探究公式的过程，变老师教为学生学，突出学习的主体地位，有利于理解和掌握新知，训练学生动手动脑相结合的学习习惯.师：依据以上公式的推导过程，请思考差角、和角的6个公式之间有怎样的内在联系？【师生活动】生：自主分析，找出公式间的逻辑关系.师生：在学生自主探究的基础上，师生共同总结公式之间的紧密逻辑关系，并用框图形式表示出来.【设计意图】及时梳理知识，完善知识体系.整体把握公式间的逻辑关系，巩固对公式的理解与掌握，为下一步公式的灵活使用打好基础.三、理解新知公式的结构特点：()cos cos cos sin sin αβαβαβ=±m . ——同名积，符号反()sin sin cos cos sin αβαβαβ±=±. ——异名积，符号同()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ±±=m . 注意：,,()222k k k k Z πππαβπαπβπ±≠+≠+≠+∈ 【设计意图】准确把握三组公式，为公式的灵活使用打好基础.四、运用新知例1．已知3sin ,5αα=-是第四象限角，求sin ,cos ,tan 444πππααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值. 分析：利用同角的平方关系22sin cos 1αα+=，求cos α，进而求tan α，再代入公式求值即可. 解：由3sin 5α=-，α是第四象限角，得4cos 5α===， 所以 3sin 35tan 4cos 45ααα-===- . 于是有43sin sin cos cos sin 444252510πππααα⎛⎫⎛⎫-=-=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；43cos cos cos sin sin 444252510πππααα⎛⎫⎛⎫+=-=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；3tan tan144tan 7341tan tan 144παπαπα---⎛⎫-===- ⎪⎛⎫⎝⎭++- ⎪⎝⎭. 在本题中sin 4πα⎛⎫- ⎪⎝⎭与 cos 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭两结果一样，那么，对于任意角α，此等式成立吗？我们能否用第一章的知识证明？变式：如果本例中的条件“α是第四象限角”去掉，结果怎样表述呢？【设计意图】训练学生的解题能力，发现不同题目解题过程的区别与联系.变式中对求解过程的表述上会有更高的要求，培养学生分类讨论的思想方法.巩固练习：（1）已知35sin ,cos 513αβ==-，且α为第一象限角，,2πβπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.求sin()αβ+和sin()αβ-的值.（2）已知,αβ均为锐角，且4cos 5α=，1tan()3αβ-=，求cos β的值. 答案：（1）3365，6365-； （2. 例2．利用和（差）角公式计算下列各式的值：（1）sin 72cos 42cos72sin 42-o o o o；（2）cos 20cos70sin 20sin 70-o o o o ； （3）1tan151tan15+-oo． 分析：本题的关键在于观察分析待化简求值的三角式的结构特征，再联想具有此特征的有关公式，经过适当变形，再顺用或逆用公式解决.解：（1）由公式()S αβ-，得：()1sin 72cos 42cos72sin 42sin 7242sin 302-=-==o o o o o o o ； （2）由公式()C αβ+，得：()cos 20cos70sin 20sin 70cos 2070cos900-=+==o o o o o o o ；（3）由公式()T αβ+及tan 451=o，得：()1tan15tan 45tan15tan 4515tan 601tan151tan 45tan15++==+==--o o o o o o o o o ． 巩固练习：（1）cos 44sin14sin 44cos14-o o o o；（2）sin(54)cos(36)cos(54)sin(36)x x x x -++-+o o o o ；（3答案：（1）12-. （2）1. （3）1-. 例3．已知3,,4παβπ⎛⎫∈⎪⎝⎭，3sin()5αβ+=-，12sin()413πβ-=，求sin()4πα+的值. 分析：注意到已知角与待求角之间的关系：()()44ππααββ+=+--，从而把待求角转化为已知角的差的形式，再利用差角的正弦公式求解. 解：3,,4παβπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭Q ， 3(,2)2παβπ∴+∈，3(,)424πππβ-∈. 3sin()5αβ+=-Q ， 4cos()5αβ∴+=. 12sin()413πβ-=Q ， 5cos()413πβ∴-=-. sin()sin[()()]sin()cos()cos()sin()4444ππππααββαββαββ∴+=+--=+-++-3541263()()51351365=-⨯-+⨯=.巩固练习：（1）已知sin α=，sin()αβ-=，,αβ均为锐角，求sin β的值.答案：2. 【设计意图】使学生掌握把待求角转化为已知角的和与差的形式的变化技巧.让学生在精析精练中，突破重点、难点，体会公式的灵活应用，从而巩固新知，提高能力.五、课堂小结教师提问：本节课我们学习了哪些知识？主要涉及到哪些数学思想方法？1.知识：①()cos cos cos sin sin αβαβαβ=±m .()sin sin cos cos sin αβαβαβ±=±.()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ±±=m . 其中,,()222k k k k Z πππαβπαπβπ±≠+≠+≠+∈ 2．思想：转化与化归思想，特殊与一般思想，分类讨论思想.【设计意图】师生共同回忆所学内容，发挥学生学习的主体性，帮助学生记忆公式，梳理知识，培养良好的学习方法.六、布置作业1.阅读教材 P128-131；2.书面作业：必做题：P137 习题3.1 A 组7,8，9，10.选做题：（1）已知3cos 45πα⎛⎫-=⎪⎝⎭，512sin 413πβ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，3(,)44ππα∈，(0,)4πβ∈，求()sin αβ+的值.（2）已知sin α=，sin()αβ-=,αβ均为锐角，求αβ+的值.3．课外思考：化简：（1）1cos 2x x ；（2）sin cos x x -；（3x x ； （4）sin cos a x b x +.【设计意图】设计作业1,2，是引导学生先复习，准确掌握6个公式后，再做作业.书面作业的布置，是为了训练学生使用差角、和角公式，解决简单的数学问题，在公式的应用中，加深对公式的理解和掌握.课外思考题的设计是为了引导学生探究如何利用差角、和角公式把形如sin cos a x b x +的式子化简为形如sin()A x ωϕ+的三角式.七、教后反思1.本教案的亮点：从学生熟悉的两角差的余弦公式出发，以旧引新，符合学生的认知规律，加强知识间的联系，结构自然顺畅.例题与习题设计恰当，突出本节课的三个知识点(三组公式)，主要选择基础题目，并安排了适当量的随堂练习，帮助学生总结解题方法和技巧，及时巩固新知.2.本节课公式较多，公式的推导、记忆与应用，都用时较多，各校学生基础不同，建议教师对巩固练习题目灵活掌握，但一定要在公式的推导上留给学生足够的时间.3.本节课的弱项：本节课容量较大，课堂上有限的时间不易照顾到对公式的全面应用，有关公式的灵活、变形使用还有待于在后续课堂上加强.八、板书设计。
3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式
3.12 两角和与差的正弦、余弦、正切公式知识点一 两角和的余弦公式解决给角求值问题的策略(1)对于非特殊角的三角函数式求值问题，一定要本着先整体后局部的基本原则，如果整体符合三角公式的形式，则整体变形，否则进行各局部的变形．(2)一般途径有将非特殊角化为特殊角的和或差的形式，化为正负相消的项并消项求值，化分子．分母形式进行约分，解题时要逆用或变用公式．1．sin7°cos37°－sin83°sin37° 2.sin50°－sin20°cos30°cos20°3、sin14°cos16°＋sin76°cos74°4、sin7°＋cos15°sin8°cos7°－sin15°sin8°5、已知角α的终边经过点(－3,4)，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4的值为6．求函数f (x )＝sin x －cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6的值域．类型二 给值求值1、已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＋α＝513，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β＝35，且0<α<π4<β<3π4，求cos(α＋β)．2、已知cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝35，x ∈(0，π)，求sin x 的值。
3．已知锐角α，β满足sin α＝255，cos β＝1010，求α＋β。
类型三 辅助角公式对于形如y=asinx+bcosx 的三角式，可变形如下： y=asinx=bcosx =++++a b x a a bx b a b222222(sin cos )··。
上式中的a a b22+与b a b22+的平方和为1，故可记a a b22+=cos θ，b a b22+=sin θ，则。
)x sin(b a )sin x cos cos x (sin b a y 2222θ++=θ+θ+=1、求值（1）cos π12＋3sin π12 （2）sin π12－3cos π12（3）2cos π12＋6sin π12 （4）当函数y ＝sin x －3cos x (0≤x ≤2π)取得最大值时，求x.2、求周期求函数y x x x =+-+24432cos()cos()sin ππ的最小正周期。
§3.1.2两角和与差的正弦余弦正切公式(一)
2(sin
6
cos cos
6
sin )
2sin( ) 右边. 6
2013-1-9 重庆市万州高级中学 曾国荣 wzzxzgr@ 9
§3.1.2两角和与差的正弦余弦正切公式(一)
2 3 3 例5.已知 sin , ( , ), cos , ( , ), 3 2 4 2 求 sin( )的值。
12 5 由cos( ) sin( ) 13 13 3 4 由sin( ) cos( ) 5 5 3 12 4 5 56 sin 2 sin[( ) ( )] ( ) ,
6
（2） 75 sin （3） 15 sin
2013-1-9
重庆市万州高级中学 曾国荣 wzzxzgr@
§3.1.2两角和与差的正弦余弦正切公式(一)
3 例2.已知cos = ， 0， ，求 sin( ). 5 6 2
3 解： cos = ， 0， 5 2
2 5 解： sin = ， ， cos 3 3 2 3 7 3 cos =- ， , sin 4 4 2
sin( ) sin cos cos sin
2
2
cos[ ( )] cos[( ) ] 2 2 cos( ) cos sin( ) sin 2 2
sin cos cos sin
sin( ) sin cos cos sin
5
2013-1-9
两角和与差的正弦、余弦、正切公式
(T(-))
S(+)、C(+)、T(+) 为和角公式 S(－)、C(－)、T(－) 为差角公式
例题讲解 3 , cos , tan . 例 已知sin 5 ,是第四象限角, 求 sin 4 4 4 解: 是第四象限角,得
tan tan tan( ) 1 tan tan tan tan tan( ) 1 tan tan
( C(-) ) ( C(+) ) ( S ( + ) ) ( S ( - ) ) ( T(+) )
3 2 sin x cos x ; 4
2 cos x 6 x.
2 2 3原式 2 sin x cos x 2 sin x 2 4 2
1 3 3原式 2 2 cos x sin x 2 2 cos x 2 3 2
3.1.2 两角和与差的 正弦、余弦推导出两角和与 差的正弦、余弦、正切公式。
2、能灵活的运用公式化简三角函数和求值。
预习指导
cos cos － sin sin cos( )= sin( + )= sin cos cos sin sin( - )= sin cos cos sin tan tan tan( + )= 1 tan tan tan tan tan( - )=
探究一、两角和与差的正弦公式 思考:两角和与差的正弦公式是怎样的呢?
sin cos(
两角和的正弦公式
两角和与差的正弦余弦和正切公式
两角和与差的正弦余弦和正切公式1.两角和的正弦公式：sin(a+b) = sinacosb + cosasinb这个公式表示两个角的正弦之和等于前者的正弦与后者的余弦之积加上前者的余弦与后者的正弦之积。
证明：根据三角恒等式和万能角公式，我们可以得到：sin(a+b) = sin[(a)+(b)]= sin[(a)cos(b) + (b)cos(a)]= sin[(a)cos(b)] + sin[(b)cos(a)]= sin(a)cos(b) + cos(a)sin(b)这就是两角和的正弦公式。
2.两角和的余弦公式：cos(a+b) = cosacosb - sinasinb这个公式表示两个角的余弦之和等于前者的余弦与后者的余弦之积减去前者的正弦与后者的正弦之积。
证明：同样，根据三角恒等式和万能角公式，我们可以得到：cos(a+b) = cos[(a)+(b)]= cos[(a)cos(b) - (b)sin(a)]= cos[(a)cos(b)] - sin[(a)sin(b)]= cos(a)cos(b) - sin(a)sin(b)这就是两角和的余弦公式。
3.两角和的正切公式：tan(a+b) = (tana + tanb) / (1 - tana*tanb)这个公式表示两个角的正切之和等于两角的正切之和除以1减去两角的正切之积。
证明：我们可以使用两角和的正弦和余弦公式来推导两角和的正切公式。
首先，根据正切的定义tan(a+b) = sin(a+b) / cos(a+b)然后，代入两角和的正弦公式和余弦公式的表达式，我们有：tan(a+b) = (sinacosb + cosasinb) / (cosacosb - sinasinb)接下来，我们对分子和分母同时除以cosacosb，得到：tan(a+b) = (sin(a) + tana) / (1 - sin(a)tanb)最后，再将分子中的sin(a)替换为sin(a)/cosa，我们可以得到：tan(a+b) = (tana + tanb) / (1 - tana*tanb)这就是两角和的正切公式。
高中数学第三章三角恒等变换3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1)课件新人教A必修4 (1)
类型二 逆用公式化简与求值
2 例2 (1)sin(70°－x)cos(25°－x)－cos(70°－x)sin(155°＋x)＝ 2 .
解析 ∵(20°＋x)＋(70°－x)＝90°， (25°－x)＋(155°＋x)＝180°， ∴原式＝cos(20°＋x)cos(25°－x)－cos[90°－(20°＋x)]·sin[180°
∴T＝2ωπ＝2π，值域[－2,2].
由－π2＋2kπ≤x－π6≤π2＋2kπ 得，递增区间[－π3＋2kπ，23π＋2kπ]，k∈Z.
解析答案
类型三 公式的变形应用 例 3 已知 sin(α＋β)＝12，sin(α－β)＝13，求ttaann αβ的值.
解 ∵sin(α＋β)＝12，∴sin αcos β＋cos αsin β＝12.
＝
cos 20°
＝cosc2o0s°s2i0n°30°＝sin 30°＝12.
重点难点 个个击破
解析答案
(2)若 sin34π＋α＝153，cosπ4－β＝35，且 0＜α＜π4＜β＜34π，求 cos(α＋β)的值. 解 ∵0<α<π4<β<34π， ∴34π<34π＋α<π，－π2<π4－β<0.
问题导学
题型探究
达标检测
问题导学
新知探究 点点落实
知识点一 两角和的余弦公式
思考 如何由两角差的余弦公式得到两角和的余弦公式？
答 用－β代换cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β便可得到.
公式 简记符号
cos(α＋β)＝
cos αcos β－sin αsin β Cα＋β
使用条件
方法一
原式＝2cosπ3sin
两角和与差的正弦、余弦与正切公式
2
(sin
2
A.a>b>c
C.c>a>b
(2)已知
56°-cos 56°),c=
1-ta n 2 39°
,则 a,b,c 的大小关系是(
1+ta n 2 39°
B.b>a>c
D.a>c>b
π
cos(α-6 )+sin
4 3
α= 5 ,则
π
si(nα+6 )=
.
)
答案 (1)D
4
(2)
5
解析 (1)a=cos 50°cos 127°+cos 40°cos 37°
1
D.
2
.
答案 (1)B (2)D (3) 3
解析 (1)根据两角和的正弦公式展开得 sin
3
θ= sin
2
3
θ+ cos
2
θ=1,即
π
3sin(θ+ )=1,解得
6
π
θ+sin(θ+ )=sin
3
1
θ+ sin
2
π
3
sin(θ+ )= .故选
6
3
B.
(2)∵t=2sin 18°,
2cos2 27°-1
.
1+cos
5.积化和差公式
sin αcos
1
β=
2
sin( + ) + sin(-) ,
cos αsin
1
β=2
sin( + )-sin(-) ,
cos αcos
1
β=2
高一数学人教A版必修4课件：3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式(一)
∴cos α＝ 55，sin β＝31010.
明目标、知重点
cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β
＝
55×
1100－2 5 5×3 1010＝－
2 2.
∵0<α＋β<π，∴α＋β＝34π.
答案
3π 4
明目标、知重点
1234
呈重点、现规律
1.公式Cα±β与Sα±β的联系、结构特征和符号规律 四个公式Cα±β、Sα±β虽然形式不同、结构不同，但它们的本质是 相同的，其内在联系为cos(α－β) ―― 以―－――β―换―→ β cos(α＋β)
当堂测·查疑缺
1.sin 7°cos 37°－sin 83°cos 53°的值是( A )
A.－12
1 B.2
3 C. 2
D.－
3 2
解析 原式＝sin 7°cos 37°－cos 7°sin 37° ＝sin(－30°)＝－12.
明目标、知重点
1234
2.在△ABC 中，A＝π4，cos B＝ 1100，则 sin C 等于(
π4＝－
2.
明目标、知重点
例 2 已知 α∈0，π2，β∈－π2，0，且 cos(α－β)＝35，sin β＝ －102，求 α 的值. 解 ∵α∈0，π2，β∈－π2，0，∴α－β∈(0，π). ∵cos(α－β)＝35，∴sin(α－β)＝45. ∵β∈－π2，0，sin β＝－102，∴cos β＝7102.
＝×－153＋－45×－1123＝3635.
sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β
＝35×－153－－45×－1123＝－6653.
明目标、知重点
例3 已知sin(2α＋β)＝3sin β，求证：tan(α＋β)＝2tan α. 证明 sin(2α＋β)＝3sin β ⇒sin[(α ＋β)＋α ]＝3sin[(α ＋β)－α ] ⇒sin(α＋β)cos α＋cos(α＋β)sin α ＝3sin(α＋β)cos α－3cos(α＋β)sin α ⇒2sin(α＋β)cos α＝4cos(α＋β)sin α ⇒tan(α＋β)＝2tan α.
3.1.2第1课时 两角和与差的正弦、余弦公式 课件
栏目 导引
第三章 三角恒等变换
高效学习模型-内外脑模型
2
内脑- 思考内化
思维导图& 超级记忆法& 费曼学习法
1
外脑- 体系优化
知识体系& 笔记体系
内外脑高效学习模型
栏目 导引
第三章 三角恒等变换
超级记忆法
栏目 导引
第三章 三角恒等变换
超级记忆法-记忆规律
记忆前
第三章 三角恒等变换
3．1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切 公式
第1课时 两角和与差的正弦、余弦公式
第三章 三角恒等变换
学习导航
学习目标
结合两角差 的余弦公式
―理―解→
两角和与差的正弦、 余弦推导过程及各 公式之间的联系
―掌―握→
两角和与差的正弦、 余弦公式的应用
重点难点 重点：公式的正用、逆用及变式应用． 难点：灵活运用公式解决相关的求值、化简．
＝12sin x＋ 23cos x＋sin x－ 3cos x＋ 23cos x－32sin x
＝(12＋1－32)sin x＋( 23－
3＋
3 2 )cos
x＝0.
栏目 导引
第三章 三角恒等变换
(2)原式＝sin[α＋β＋α]s－in 2αcosα＋βsin α
＝sinα＋βcos
α－cosα＋βsin sin α
＝csions 8100°°＝1.
第三章 三角恒等变换
栏目 导引
第三章 三角恒等变换
【学习力-学习方法】
优秀同龄人的陪伴 让你的青春少走弯路
栏目 导引
第三章 三角恒等变换
小案例—哪个是你
3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式
3 1 tan75= tan(45+30)= 3 3 3 12 6 3 = 2+ 3 6 3 3 3 1 3
2.化简：
1 t an 1 t an t an ; t an t an 2 . 1 t an t an
答案： 1 tan tan ; 2 tan .
tan71o - tan26o 1- 3tan75o 3、求值： (1) o o (2) 1+ tan71 tan26 3 + tan75o
答案： (1) 1； (2) -1.
小结：
通过对和差公式的探索、推导和初步应 用，体会和认识公式的特征及功能.
sin sin cos cos sin
简记为: S( )
公对 式比
两角和与差的正弦角公式：
sin sin cos cos sin sin sin cos cos sin
注意：
cos , tan 的 . 值 4 4
3 解：由sin =- , 是第四象限的角，得 5
4 cos 1 sin 1 ( ) , 5
2 3 2 5
sin 3 所以 tan cos 4
于是有 2 4 2 3 7 2 sin( ) sin cos cos sin ( ) ; 4 4 4 2 5 2 5 10
探公 究式
两角和的余弦公式推导：
把 转 为 ， 有 化 则
cos cos cos cos sin sin cos cos sin sin .
3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式
利用公式求值
π π 3π π 3 已知 <α< ，0<β< ，cos 4－α ＝ ， 4 4 4 5 3π 5 sin 4 ＋β ＝ ，求 sin(α＋β)的值． 13
3π π π 分析： 4 ＋β － 4－α ＝ ＋(α＋β). 2
π 3π π π 解析：∵ <α< ，∴－ < －α<0， 4 4 2 4 π π 3 4 ∵cos 4－α ＝ ，∴sin 4－α ＝－ ； 5 5 π 3π 3π ∵0<β< ，∴ < ＋β<π， 4 4 4 3π 5 3π 12 ∵sin 4 ＋β ＝ ，∴cos 4 ＋β ＝－ ； 13 13
∴tan 23° ＋tan 37° ＝ 3－ 3tan 23° tan 37° ， 故得 tan 23° ＋tan 37° ＋ 3tan 23° tan 37° ＝ 3.
点评：化简三角函数式是为了更清楚地显示式中所含量 之间的关系，以便于应用．对于三角函数式的化简，要求： (1)能求出值的应求出值；(2)使三角函数的种数最少；(3)使 项数尽量少；(4)尽量使分母不含有三角函数式；(5)尽量使被 开方数不含有三角函数式．
tan α－tan β 1＋tan αtan β 3 练习：5. 3
思考应用 3．两角和与差的正切公式的适用范围及公式的特 征有哪些？
解析：(1) 适用范围：限制条件：α、β、α＋β 均不为 π kπ＋ (k∈Z)；可以是数、字母和代数式．从公式推导过程进 2 π 行说理：cos(α＋β)≠0，则 α＋β≠kπ＋ ；同除 cos α、cos β， 2 π π 得 cos α≠0，cos β≠0，则 α≠kπ＋ ，cos β≠kπ＋ .cos x≠0， 2 2 保证了 tan x 有意义． (2)公式特征：同名；分子同号，分母异号；容易联想 到韦达定理．
【高中数学必修四】3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式
4 4 2 4 2 3 7 2 ( ) ; 2 5 2 5 10
cos cos
sin
例2. 利用和(差)角公式计算下列各式的值.
(1) sin 72 cos 42 cos 72 sin 42 ;
o o o o
(2) cos 20 cos 70 sin 20 sin 70 ;
(2)sin cos
练习
把下列各式化为一个角的三角函数形式
1 2 sin cos
3 1 2 sin cos 2 2 2 6 3 sin x cos x 4 4 4 4
小结
1.和角公式，差角公式.
sin cos cos sin cos cos sin sin sin cos cos sin cos cos cos cos (又有什么要求?) cos cos sin sin k 2 cos cos cos cos k ( k Z ) tan tan 2 1 tan tan
( S( ) )
( S( ) )
公式的特点: (1)公式对、 取任意值都成立 ; ( 2)公式中右边有两项 ,中间符号与左边两角间 的符号相同 ; ( 3)右边三角函数的排列的 顺序是 : sin cos 、cos sin . 公式的用途： 对于α ,β ,只要知道其正弦或余弦，就可以求出 差角(或和角)的正弦值.
两角和(差)的余弦公式: 两角和(差)的正弦公式:
cos( ) cos cos sin sin cos( ) cos cos sin sin
两角和和差的正弦余弦正切公式
2
2
化简
s i n ) (s ic n o c s o s i sn 简记作
16.06.2019
两角和与差的正弦余弦正切公式
S( )
4
思考
sin()
推导１
16.06.2019
两角和与差的正弦余弦正切公式
5
推导
sin()?
s i n ) (s ic n o c s o s i sn
16.06.2019
两角和与差的正弦余弦正切公式
S( )
8
思考
sin() sin co sco ssin
推导１ 推导２
16.06.2019
简记作 S ( )
两角和与差的正弦余弦正切公式
9
推导
tan( )?
角分α子,分β母有都限除制以吗
cosα?•cosβ
tan tan 1tantan
tan()
tan tan 1 tan tan
tan()
公式的 变形
tantanta n )((1 ta tn a )n
16.06.2019
两角和与差的正弦余弦正切公式
21
D
由 sin
30 67
,
得 cos
16.06.2019
两角和与差的正弦余弦正切公式
10
归纳
两角和与差的正弦、余弦、正切公式
sin() sin co scossinS ( )
sin() sin co scossinS ( )
co s ( ) cocso ssin sinC ( )
55
si n si n cos cos si n
两角和与差的正弦余弦和正切公式及二倍角公式
两角和与差的正弦余弦和正切公式及二倍角公式1.两角和的正弦公式：sin(A + B) = sin A cos B + cos A sin B2.两角差的正弦公式：sin(A - B) = sin A cos B - cos A sin B3.两角和的余弦公式：cos(A + B) = cos A cos B - sin A sin B4.两角差的余弦公式：cos(A - B) = cos A cos B + sin A sin B5.两角和的正切公式：tan(A + B) = (tan A + tan B) / (1 - tan A tan B)6.两角差的正切公式：tan(A - B) = (tan A - tan B) / (1 + tan A tan B)二倍角公式：1.正弦的二倍角公式：sin(2A) = 2sin A cos A2.余弦的二倍角公式：cos(2A) = cos^2 A - sin^2 A = 2cos^2 A - 1 = 1 - 2sin^2 A 3.正切的二倍角公式：tan(2A) = (2tan A) / (1 - tan^2 A)这些公式在三角函数的学习中非常重要，可以用于简化计算，推导其他公式，解三角方程等。
以上是两角和与差的正弦、余弦和正切公式及二倍角公式的简要描述。
详细阐述这些公式需要更多的字数，下面将对每个公式进行更详细的解释。
1.两角和的正弦公式：sin(A + B) = sin A cos B + cos A sin B这个公式表示角A和角B的和的正弦等于角A的正弦乘以角B的余弦加上角A的余弦乘以角B的正弦。
2.两角差的正弦公式：sin(A - B) = sin A cos B - cos A sin B这个公式表示角A和角B的差的正弦等于角A的正弦乘以角B的余弦减去角A的余弦乘以角B的正弦。
3.两角和的余弦公式：cos(A + B) = cos A cos B - sin A sin B这个公式表示角A和角B的和的余弦等于角A的余弦乘以角B的余弦减去角A的正弦乘以角B的正弦。
两角和与差的正弦公式
asin 日 + bcosT = J a 1 2+b 2sin ®a= cos —b ■. a 2b 2a 2b 2二，a 2b 2sin v其中 cos 9 =a, Ja 2+b 2sinMa 2+b 2或 asin r bcos 二a 2b 2cos 丁 -:，其中 cos =sin =(2)求证:叱 2cos 「「也；sin ：sin :3.1.2 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 (第1课时)30 **学习目标**1 •能用诱导公式推导两角和与差的正弦公式； 2.进一步熟悉化角技巧，初步掌握合一变换；3 •能对公式正用、逆用、活用，解决化简、求值、证明题的同时初步掌握有关三角函数性 质的题的解法. **要点精讲**1 .两角差的正弦公式： sin 「- - - sin cos '-cos 〉sin ； 2.两角和的余弦公式：sin ： ： = sin ： cos^ cos ：3 .对于a sin v - bcosv 可作如下变换:我们把上述变换称为合一变换，它实质上是两角和与差的正余公式的逆用. **范例分析**例 1.求值：(1) sin 75： ； ( 2) sin x 60〃 2sin x -60〃 -、：3cos 120 -x2b 2例3. (1)化简：、、2cosx -sin x(2)求函数f(x) =sin(x ) - sin x的周期、值域、单调区间。
3例4. (1)在L ABC中，已知2cosBcosC =1 -cosA，2sin BcosC = 1 sin B - C ，试判断此三角形的形状.(2)在ABC 中，如果4sin A 2cosB =1, 4cos A 2sin B =3、3，则.C 等于( )A. 30B. 150C. 30 或150D. 60；或120；**规律总结**1.在例2中，观察角之间的联系：2 - -- - ，2〉「=(二' ■■-■) ^:^.将未知角用已知角表示出来，使之能直接运用公式，这种代换方法称之为角的变换.2.变角”、变函数名”、变结构”是三角变换的三个主要方向，合一变换是一种结构变换.其中「角可以是特殊角，也可以不是特殊角。
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数学 科学案 序号035高一 年级 7 班 教师 王德鸿 学生
§3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式（1）
学习目标
理解以两角差的余弦公式为基础，推导两角和、差正弦和正切公式的方法，体会三角恒等变换特点的过程，理解推导过程，掌握其应用. 学习重、难点
学习重点：两角和、差正弦和正切公式的推导过程及运用； 学习难点：两角和与差正弦、余弦和正切公式的灵活运用. 学习过程：
三、教学设想： （一）复习式导入：
（1）大家首先回顾一下两角差的余弦公式：()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+． （2）cos sin =α？ （二）新课讲授
问题：由两角差的余弦公式，怎样得到两角差的正弦公式呢？ 探究1、让学生动手完成两角和与差正弦公式.
()()sin cos 2παβαβ⎡⎤
+=-+⎢⎥⎣⎦
= 。
．
()()sin sin αβαβ-=+-=
⎡⎤⎣⎦ 。
探究2、让学生观察认识两角和与差正弦公式的特征，并思考两角和与差正切公式.（学生动手）
()()()
sin tan cos αβαβαβ++=
=
+
．
探究3、我们能否推倒出两角差的正切公式呢？
()()tan tan αβαβ-=+-=
⎡⎤⎣⎦ = 。
探究4、通过什么途径可以把上面的式子化成只含有tan α、tan β的形式呢？
（分式分子、分母同时除以cos cos αβ，得到()tan tan tan 1tan tan αβ
αβαβ
++=
-．
注意：,,()2
2
2
k k k k z π
π
π
αβπαπβπ+≠
+≠
+≠
+∈
5、将)(βα+S 、)(βα+C 、)(βα+T 称为和角公式，)(βα-S 、)(βα-C 、)(βα-T 称为差角公式。
（三）例题讲解
例1、已知3sin ,5
αα=-是第四象限角，求sin ,cos ,tan 444πππααα⎛⎫⎛⎫⎛
⎫-+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝
⎭的值.
解：
思考：在本题中，)4
cos()4sin(
απ
απ
+=-，那么对任意角α，此等式成立吗？若成立你能否证明？
.________3sin ,2,23,51cos 1 =⎪⎭⎫ ⎝
⎛
+⎪⎭⎫ ⎝⎛∈=πθππθθ则、若变式
例2、已知()21tan ,tan ,544παββ⎛⎫+=-= ⎪⎝⎭求tan 4πα⎛
⎫+ ⎪⎝
⎭的值．
变式2、已知443cos(),cos(),2552
παβαβαβπ+=-=-<+<，,2παβπ<-<求cos2α的值。
课后作业：
1、在△ABC 中，若3cos 5A =，且5
cos 13
B =，则cos ___________
C =
2、若1243sin ,cos ,(,),(,)13522
p
p
a b a p b
p ==-挝，则sin()__________a b -=，
cos()__________a b +=，tan()__________a b +=
3、利用和（差）角公式计算下列各式的值： （1）、s i n 72c o s 42c o s 72s i n 42-
；（2）、c o s 20c o s 70s i n 20s i n 70
-
；（3）、
1t
a n 151t
a n 15+-
．
4、已知3,(,),4p a b p Î 312sin(),sin()5413p a b b +=--=
，求cos()4
p
a +的值
5、已知35
sin ,cos 513
αβ==-，且α为第一象限角，β为第二象限角。
求sin()αβ+和sin()αβ-
6、已知tan()3,tan()5,a b a b +=-=求tan 2,tan 2a b 的值。