【期中试卷】江西省赣州市十四县2017-2018学年高二期中联考数学(理)试卷Word版含答案
2017-2018高二下学期理科数学期中联考试题附答案江西赣州市
2017-2018高二下学期理科数学期中联考试题（附答案江西赣州市）2017—2018学年第二学期赣州市十四县（市）期中联考高二数学（理科）试卷第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：（本大题12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.集合，则“”是“”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件2.复数（）A．B．C．D．3.若曲线在处的切线分别为且，则的值为（）A．B．C．D．4.已知三棱柱的侧棱与底面垂直,体积为,底面是边长为的正三角形。
若P为底面的中心,则PA与平面ABC所成角的大小为（）A.B.C.D.5.设函数在定义域内可导，的图象如图，则导函数的图象可能为（）6.已知函数在处可导，若，则（）A．B．C．D．7.已知、是双曲线的左、右焦点，点在上，与轴垂直，，则双曲线的离心率为（）A．B．C.2D．38.下列图象中，有一个是函数的导数的图象，则的值为（）A.B.C.D.或9.用数学归纳法证明“1＋12＋13＋…＋12n－1＜n(n∈N*，n＞1)”时由n＝k(k＞1)不等式成立，推证n＝k＋1时左边应增加的项数是（）A．k＋1B．kC．2kD．2k＋110.已知函数满足，且的导函数，则的解集为（）A.B.C.D.11.已知，且，则的取值范围是（）A.B.C.D.12.若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则=（）A.B.C.D.第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分．）13.已知函数的导函数为，且满足，则在点处的切线方程为14.有6位同学站成一排，其中A,B两位必须相邻，C,D两位不能相邻的排法有种（数字作答）15．下列有关命题正确的序号是（1）若且为假命题，则，均为假命题（2）若是的必要条件，则是的充分条件（3）命题“≥0”的否定是“”（4）“”是“”的充分不必要条件16.一名法官在审理一起珍宝盗窃案时，四名嫌疑人甲、乙、丙、丁的供词如下，甲说：“罪犯在乙、丙、丁三人之中”：乙说：“我没有作案，是丙偷的”：丙说：“甲、乙两人中有一人是小偷”：丁说：“乙说的是事实”.经过调查核实，四人中有两人说的是真话，另外两人说的是假话，且这四人中只有一人是罪犯，由此可判断罪犯是三、解答题17.（共10分）（1）求函数的图象与轴所围成的封闭图形的面积（2）求由曲线与所围成的封闭图形的面积18.（共12分）从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人服务队（1）若要求服务队中至少有1名女生，共有多少种不同的选法．（2）若要求服务队中队长或副队长至少有1名女生，共有多少种不同的选法．19.（共12分）如图，在四棱柱中，底面是等腰梯形，∥，,顶点在底面内的射影恰为点．（1）求证：；（2）若直线与直线所成的角为,求平面与平面所成角（锐角）的余弦值．20.（共12分）某工厂生产一种仪器，由于受生产能力和技术水平的限制，会产生一些次品，根据以往的经验知道，其次品率P与日产量（件）之间近似满足关系：（其中为小于96的正整常数）（注：次品率P=，如P=0.1表示每生产10件产品,有1件次品,其余为合格品.）已知每生产一件合格的仪器可以盈利A元，但每生产一件次品将亏损A/2元，故厂方希望定出合适的日产量。
数学---江西省赣州市十四县(市)2017届高三下学期期中联考试题(理)(解析版)
江西省赣州市十四县（市）2017届高三下学期期中联考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设全集为R ，集合{}2160A x x =-<，{}26B x x =-<≤，则()R A C B 等于（ ） A.()4,0-B.(]42--，C.()44-，D.()4,2--2.设复数2z i =-+（i 是虚数单位），z 的共轭复数为z ，则()1z z +⋅等于（ ）B.C.3.如图所示的程序框图，若输入x ，k ，b ，p 的值分别为1，2-，9，3，则输出x 的值为（ ）A.29-B.5-C.7D.194.设1F ，2F 是椭圆()2221024x y b b +=<<的左、右焦点，过1F 的直线l 交椭圆于A ，B 两点，若22AF BF +最大值为5，则椭圆的离心率为（ ）A.125.在ABC △中，2AB =，BC =1cos 4A =，则AB 边上的高等于（ ）B.34D.36.若不等式组110x y x y y +≤⎧⎪-≥-⎨⎪≥⎩所表示的平面区域被直线z x y =-分成面积相等的两部分，则z 的值为（ ）A.12-B.C.1-D.17.如图，在三棱柱111ABC A B C -中，底面为正三角形，侧棱垂直底面，4AB =，16AA =，若E ，F 分别是棱1BB ，1CC 上的点，且1BE B E =，1113C F CC =，则异面直线1A E 与AF 所成角的余弦值为（ ）8.如图，平行四边形ABCD 的两条对角线相交于点O ，点E ，F 分别在边AB ，AD 上，57AE AB =，14AF AD =，直线EF 交AC 于点K ，AK AO λ= ，则λ等于（ ）A.827B.13C.1027D.11279.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则此几何体的表面积为（ ）A.42+B.62+C.10D.1210.已知函数()()2.5cos f x x ωϕ=+（0ω>，2πϕ<）的部分图象如图所示，M ，N 两点之间的距离为13，且()30f =，若将函数()f x 的图象向右平移()0t t >个单位长度后所得函数的图象关于坐标原点对称，则t 的最小值为（ ）A.7B.8C.9D.1011.已知定义在区间[]3,3-上的单调函数()f x 满足：对任意的[]3,3x ∈-，都有()()26x f f x -=，则在[]3,3-上随机取一个实数x ，使得()f x 的值不小于4的概率为（ ） A.16B.56C.13D.1212.若存在01x >，使不等式()()0001ln 1x x a x +<-成立，则实数a 的取值范围是（ ） A.(),2-∞B.()2,+∞C.()1,+∞D.()4,+∞二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13.设θ为锐角，若33cos 165πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin 16πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭ ． 14.若13nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中前三项的系数分别为A ，B ，C ，且满足()49A C B =-，则展开式中2x 的系数为 ．15.我国古代数学家著作《九章算术》有如下问题：“今有人持金出五关，前关二而税一，次关三而税一，次关四而税一，次关五而税一，次关六而税一.并五关所税，适重一斤，问本持金几何”其意思为“今有人持金出五关，第1关收税金12，第2关收税金为剩余金的13，第3关收税金为剩余税金的14，第4关收税金为剩余金的15，第5关收税金为剩余金的16.5关所收税金之和，恰好重1斤，问原本持金多少？”若将题中“5关所收税金之和，恰好重1斤，问原本持金多少？”改成“假设这个人原本持金为x ，按此规律通过第8关”，则第8关需收税金为 x ．16.点P 在双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的右支上，其左、右焦点分别为1F 、2F ，直线1PF 与以坐标原点O 为圆心、a 为半径的圆相切于点A ，线段1PF 的垂直平分线恰好过点2F ，则该双曲线的渐近线的斜率为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知27a =，3a 为整数，且n S 的最大值为5S . （1）求{}n a 的通项公式； （2）设2nn n a b =，求数列{}n b 的前n 项和n T .18.在高中学习过程中，同学们经常这样说：“如果物理成绩好，那么学习数学就没什么问题.”某班针对“高中生物理学习对数学学习的影响”进行研究，得到了学生的物理成绩与数学成绩具有线性相关关系的结论.现从该班随机抽取5名学生在一次考试中的物理和数学成绩，如下表：（1）求数学成绩y 关于物理成绩x 的线性回归方程 y bxa =+ （b 精确到0.1），若某位学生的物理成绩为80分，预测他的数学成绩；（2）要从抽取的五位学生中随机选出三位参加一项知识竞赛，以X 表示选中的学生的数学成绩高于100分的人数，求随机变量X 的分布列及数学期望.（参数公式：1221ni ii nii x ynxybxnx ==-=-∑∑ ， ay bx =- .） 参考数据：22222908574686329394++++=，9013085125741106895639042595⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.19.如图所示，在等腰梯形ABCD 中，AD BC ∥，AD CD AB ==，60ABC ∠=︒，将三角形ABD 沿BD 折起，使点A 在平面BCD 上的投影G 落在BD 上.（1）求证：平面ACD ⊥平面ABD ； （2）求二面G AC D --的平面角的余弦值.20.已知点()0,8H -，点P 在x 轴上，动点F 满足PF PH ⊥，且PF 与y 轴交于Q 点，Q 是线段PF 的中点.（1）求动点F 的轨迹E 的方程；（2）点D 是直线:20l x y --=上任意一点，过点D 作E 的两条切线，切点分别为A ，B ，取线段AB 的中点M ，连接DM 交曲线E 于点N .求证：直线AB 过定点，并求出定点的坐标.21.已知函数()2sin x x f x e be a x -=+-（a ，b R ∈）. （1）当0a =时，讨论函数()f x 的单调区间；（2）当1b =-时，若()0f x >对任意()0,x π∈恒成立，求a 的取值范围.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.已知曲线1C 的极坐标方程为2cos218ρθ=，曲线2C 的极坐标方程为6πθ=，曲线1C ，2C 相交于A ，B 两点.（1）求A ，B 两点的极坐标；（2）曲线1C与直线212x y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）分别相交于M ，N 两点，求线段MN 的长度.23.设对于任意实数x ，不等式61x x m ++-≥恒成立. （1）求m 的取值范围；（2）当m 取最大值时，解关于x 的不等式：4329x x m --≤-.参考答案一、选择题 1.B【解析】∵{}44A x x =-<<，{}26R C B x x x =≤->或，∴()(]4,2R A C B =-- . 2.D【解析】 ∵11z i +=-+，∴()()()1123z z i i i +⋅=-+--=-，∴()1z z +⋅3.D【解析】程序执行过程为：1n =，2197x =-⨯+=；2n =，2795x =-⨯+=-；3n =，()25919x =-⨯-+=；43n =>，∴终止程序，∴输出的19x =.4.A【解析】因为124AF AF +=，124BF BF +=， 所以2ABF △的周长为228AF BF AB ++=， 显然，当AB 最小时，22AF BF +有最大值， 而22min 2b AB b a==，所以，285b -=，解得23b =，21c =，从而12e =-.5.A【解析】设角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，AB 边上的高为h ， 因为2c =，a =21104224b b =+-⨯⨯， 化简得260b b --=，解得3b =.又sin A =，由1123222h ⨯⨯=⨯，得h =6.D【解析】不等式组表示的可行域为三角形ABC ，如图所示：目标函数所在直线DE 将其可行域平行，因为2212DEC ABC S DC S BC ==△△，所以DC BC =(),0D x，则12x -=1x =-1z =7.D【解析】以BC的中点O为坐标原点建立空间直线坐标系数如图所示，则()A，()1A，()0,2,3E，()0,2,4F-，()12,3A E=--，()2,4AF=--，设1A E，AF 所成的角为θ，则11cosA E AFA E AFθ⋅==⋅.8.C【解析】因为()2AK AO AB ADλλ==+，所以7425AK AE AFλ⎛⎫=+⎪⎝⎭，又E，F，K三点共线，所以74125λ⎛⎫+=⎪⎝⎭，解得1027λ=.9.B【解析】如图所示，可将此几何体放入一个边长为2的正方体内，则四棱锥P ABCD-即为所求，且3PA PB==，PC PD==62+.10.C【解析】可设()1,2,5M x，()2,2,5N x-，所以13MN==，解得1212x x-=，所以224Tπω==，即12πω=，所以() 2.5cos12f x xπϕ⎛⎫=+⎪⎝⎭，又()30f=，可得4πϕ=，即() 2.5cos124f x xππ⎛⎫=+⎪⎝⎭.将函数()f x的图象向右平移()0t t>个单位长度得新图象对应的函数()()32.5cos 2.5cos 1241212t g x x t x πππππ-⎡⎤⎛⎫=-+=+ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，令()3122t k k Z ππππ-=+∈，得1230t k =-->，所以14k <-.当1k =-时，t 的最小值为9. 11.C【解析】 依题知，对任意的[]3,3x ∈-，都有()2x f x a -=（其中a 为常数），即()6f a =，∴()2a f a a -=，即62a a -=，得2a =，故()22x f x =+，由()4f x ≥得1x ≥，因此所求概率为311333-=+. 12.B【解析】令()()()1ln 11a x g x x x x -=->+，则()10g =，()()()()22221112'11x a x ag x x x x x +-+=-=++， 当2a ≤时，得()22110x a x +-+≥，从而()'0g x ≥，得()g x 在()1,+∞上是增函数， 故()()10g x g >=，不合题意；当2a >时，令()'0g x =得11x a =--21x a =-+由21x >和121x x =得11x <，故当()21,x x ∈时，()'g x 在()21,x 上单调递减，此时()()10g x g <=，即()1ln 01a x x x --<+，满足()()1ln 1x x a x +<-，综上，a 的取值范围是()2,+∞.二、填空题【解析】因为θ为锐角，若33cos 165πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以34sin 165πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，因此343sin sin 1616455πππθθ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦. 14.5627【解析】因为1A =，3nB =，()21918n n n C C -==，所以有249183n n n ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，即2780n n --=，解得8n =.在813x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭中，因为通项882818133rr r r r r r C T C x x x --+⎛⎫==⋅ ⎪⎝⎭，令3r =，得245627T x =，所以展开式中2x 的系数为5627. 15.172【解析】第1关收税金：12x ；第2关收税金：11132623x xx ⎛⎫-== ⎪⨯⎝⎭；第3关收税金：11114261234x xx ⎛⎫--== ⎪⨯⎝⎭；……第8关收税金：8972x x=⨯. 16.43±【解析】如图，A 是切点，B 是1PF 的中点，因为OA a=，所以22BF a =，又122F F c =，所以12BF b =，24PF b =，又2122PF F F c ==，根据双曲线的定义，有122PF PF a -=，即422b c aa -=，两边平方并化简得223250c ac a --=，所以53c a =，因此43b a =.三、解答题17.解：（1）由27a =，3a 为整数知，等差数列{}n a 的公差d 为整数. 又5n S S ≤，故50a ≥，60a ≤，解得132134d -≤≤-，因此2d =数列{}n a 的通项公式为112n a n =-.（2）因为11222n n n na nb -==， 所以239751122222n nnT -=++++…，①2341197511222222n n nT +-=++++…，② ②式减①式得，21119111112222222n n n n T -+-⎛⎫-=-+++++ ⎪⎝⎭…，整理得11772222n n nT +--=-+，因此2772n nn T -=+. 18.解：（1）9085746863765x ++++==，13012511095901105y ++++==，51522215425955761107951.5293945765145i ii ii x yxybxx ==--⨯⨯===-⨯-∑∑ ≈，110 1.5764ay bx =-=-⨯=- ， 所以 1.54y x =-， 当80x =时， 116y =.（2）因为数学成绩高于100分的人有3个，所以随机变量X 的可能取值为1，2，3，而()2123353110C C P X C ===，()122335325C C P X C ===，()33351310C P X C ===， 所以随机变量X 的分布列为所以()331123 1.810510E X =⨯+⨯+⨯=. 19.（1）证明：在等腰梯形ABCD 中，可设2AD CD AB ===，可求出BD =，4BC =， 在BCD △中，222BC BD DC =+，∴BD DC ⊥， ∵点A 在平面BCD 上的投影G 落在BD 上，∴AG ⊥平面BCD ，平面ABD ⊥平面BCD ，∴AG CD ⊥， 又BD DC ⊥，AG BD G = ，∴CD ⊥平面ABD ， 而CD ⊂平面ACD ，∴平面ACD ⊥平面ABD .（2）解：由（1）知BD DC ⊥，AG BD ⊥，G 为BD 中点，建立如图所示的空间坐标系，设2AD CD AB ===，结合（1）中的计算可得：()0,0,0D ，()0,2,0C，)G，)1A，，()0,0,1GA =，()GC =，设()1111,,n x y z = 是平面AGC的法向量，则111020z y =⎧⎪⎨+=⎪⎩，取()1n = .()0,2,0DC =，)DA = ，设()2222,,n x y z = 是平面ACD 的法向量，则2220y z =⎧⎪+=，取(21,0,n =.设二面角G AC D --的平面角为θ，则12cos cos ,n n θ=<>==. 20.解：（1）设(),F x y ，()',0P x ，()0,'Q y ，()',8PH x =--，()','PQ x y =-，∵PF PH ⊥，∴2'8'0x y -=，即2'8'x y =，又'020'2x xy y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，∴''2x x y y =-⎧⎪⎨=⎪⎩，代入2'8'x y =，得()240x y y =≠.（2）设()00,2D x x -，()11,A x y ，()22,B x y ， 因为直线与抛物线相切，所以'2xy =，11'2DA x x x k y ===， 直线DA 的方程可表示为112x y x y =-，因为点D 在DA 上，所以100122x x x y -=-，化简得01102240x x y x --+=， 同理可得：B 点的坐标满足02202240x x y x --+=，所以直线AB 的方程为002240x x y x --+=，直线AB 过定点()2,2.21.解：（1）当0a =时，()xxf x e be -=+，()()2'x x xxe bf x e bee --=-=，①当0b ≤时，()'0f x >，所以函数()f x 的单调递增区间为(),-∞+∞；②当0b >时，可知：1'ln 02f b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以当1ln 2x b <时，()'0f x <；当1ln 2x b >时，()'0f x >；所以函数()f x 的单调递增区间为1ln ,2b ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，递减区间为1,ln 2b ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭.（2）当1b =-时，()2sin x x f x e e a x -=--，()'2cos x x f x e e a x -=+-， 若0a ≤，此时对任意()0,x π∈都有0x x e e -->，sin 0x >， 所以()0f x >恒成立； 下面考虑0a >时的情况：若01a <≤，对任意()0,x π∈都有2x x e e -+>，2cos 2a x <，所以()'0f x >，所以()f x 为()0,π上的增函数，所以()()00f x f >=，即01a <≤时满足题意；若1a >，则由()'0220f a =-<，'02f π⎛⎫> ⎪⎝⎭，可知：一定存在00,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()0'0f x =，且当()00,x x ∈时，()'0f x <，所以在()00,x 上，()f x 单调递减，从而有：()00,x x ∈时()()00f x f <=，不满足题意.综上可知，a 的取值范围为(],1-∞.22.解：（1）由2cos 2186ρθπθ⎧=⎪⎨=⎪⎩得2cos 183πρ=，所以236ρ=，即6ρ=±.所以A 、B 两点的极坐标为：6,6A π⎛⎫ ⎪⎝⎭，6,6B π⎛⎫- ⎪⎝⎭或76,6B π⎛⎫⎪⎝⎭同样得分. （2）由曲线1C 的极坐标方程得其直角坐标方程为2218x y -=，将直线212x y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩代入2218x y -=，整理得2280t +-=，即12t t +=-1228t t ⋅=-， 所以MN ==23.解：（1）∵61617x x x x ++-≥+-+=， 又61x x m ++-≥恒成立， ∴7m ≤.（2）当m 取最大值时7m =， 原不等式等价于：435x x --≤， 等价于：4435x x x ≥⎧⎨--≤⎩或4435x x x <⎧⎨--≤⎩，等价于：4x ≥或144x -≤<.所以原不等式的解集为14x x ⎧⎫≥-⎨⎬⎩⎭.。
2017-2018学年江西省赣州市四校协作体高二(下)期中数学试卷(理科)
2017-2018学年江西省赣州市四校协作体高二（下）期中数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符要求的）1．（5分）若复数z满足，则复数对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．（5分）（x3+sin3x）dx=（）A．0 B．2 C． D．3．（5分）用反证法证明命题“若整系数一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有有理根，那么a，b，c中至少有一个是偶数”时，下列假设中正确的是（）A．假设a，b，c不都是偶数B．假设a，b，c都不是偶数C．假设a，b，c至多有一个是偶数D．假设a，b，c至多有两个是偶数4．（5分）使得（x+）11（n∈N+）的展开式中的二项式系数最大的项是（）A．5 B．6 C．7 D．6或75．（5分）C+2C+22C+…+29C的值为（）A．3•210B．310C C．D．6．（5分）做直线运动的质点在任意位置x处，所受的力F（x）=1﹣e﹣x，则质点从x1=0，沿x轴运动到x2=1处，力F（x）所做的功是（）A．e B．C．2e D．7．（5分）设n为正整数，f（n）=1+++…+，计算f（2）=，f（4）＞2，f （6），f（8）＞3，观察上述结果，可推测出一般的结论为（）A．f（2n）=B．f（2n）＞C．f（2n）≥D．f（2n）＞8．（5分）由曲线y=e﹣x，直线x=0，x=1与x轴所围成的平面图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积．（A．（1﹣e﹣2）B．C．（1﹣e） D．e﹣29．（5分）7人排成一排，限定甲要排在乙的左边，乙要排在丙的左边，甲、乙相邻，乙、丙不相邻，则不同排法的种数是（）A．60 B．120 C．240 D．36010．（5分）设函数f（x）=ax2+bx+c（a，b，c∈R），若x=﹣1为函数y=f（x）e x 的一个极值点，则下列图象不可能为y=f（x）的图象是（）A．B． C．D．11．（5分）给出下列四个命题：①f（x）=x3﹣3x2是增函数，无极值．②f（x）=x3﹣3x2在（﹣∞，2）上没有最大值③由曲线y=x，y=x2所围成图形的面积是④函数f（x）=lnx+ax存在与直线2x﹣y=0平行的切线，则实数a的取值范围是（﹣∞，2）其中正确命题的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．412．（5分）若直线y=kx+b是曲线y=lnx+2的切线，也是曲线y=ln（x+1）的切线，则b=（）A．1 B．C．1﹣ln2 D．1﹣2ln2二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）设复数z=，||=14．（5分）已知函数y=f（x）的图象在M（1，f（1））处的切线方程是+2，f（1）+f′（1）=．15．（5分）已知函数f（x）=在（﹣2，+∞）内单调递减，则实数a的取值范围．16．（5分）设f（x），g（x）分别是定义在R上的奇函数和偶函数．当x＜0时，f′（x）g（x）+f（x）g′（x）＞0，且g（﹣3）=0，则不等式f（x）g（x）＜0的解集是．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）计算下列各题（1）复数（）2018（2）﹣18．（12分）已知函数f（x）=2x3+ax2+bx的导函数f′（x），若函数y=f′（x）的对称轴为x=﹣，且f′（1）=0．（1）求a，b的值；（2）求函数的极值．19．（12分）设（3x+）n的展开式的各项系数之和为M，二项式系数之和为N，若M﹣N=240．（1）求n的值；（2）求展开式中所有x的有理项．20．（12分）已知f（x）为一次函数，且f（x）=x f（t）dt+1，（1）求函数f（x）的解析式；（2）若g（x）=x•f（x），求曲线y=g（x）与y=﹣3所围成区域面积？21．（12分）当n∈N*时，，T n=+++…+．（Ⅰ）求S1，S2，T1，T2；（Ⅱ）猜想S n与T n的关系，并用数学归纳法证明．22．（12分）已知函数f（x）=e x+3x2﹣ax．（1）若f（x）在x=0处取得极值，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）若关于x的不等式f（x）≥+ax+1在x≥时恒成立，试求实数a的取值范围．2017-2018学年江西省赣州市四校协作体高二（下）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符要求的）1．（5分）若复数z满足，则复数对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，求出z的坐标得答案．【解答】解：由，得z=2i（1﹣i）=2+2i，∴=2﹣2i∴复数对应的点的坐标为（2，﹣2），位于第四象限．故选：D．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．2．（5分）（x3+sin3x）dx=（）A．0 B．2 C． D．【分析】根据定积分的计算法则计算即可．【解答】解：因为f（x）=x3+sin3x为奇函数，且积分上下限关于原点对称，故（x3+sin3x）dx=0，故选：A．【点评】本题考查了定积分的计算，关键掌握积分的性质，属于基础题．3．（5分）用反证法证明命题“若整系数一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有有理根，那么a，b，c中至少有一个是偶数”时，下列假设中正确的是（）A．假设a，b，c不都是偶数B．假设a，b，c都不是偶数C．假设a，b，c至多有一个是偶数D．假设a，b，c至多有两个是偶数【分析】本题考查反证法的概念，逻辑用语，否命题与命题的否定的概念，逻辑词语的否定．根据反证法的步骤，假设是对原命题结论的否定，故只须对“b、c 中至少有一个偶数”写出否定即可．【解答】解：根据反证法的步骤，假设是对原命题结论的否定“至少有一个”的否定“都不是”．即假设正确的是：假设a、b、c都不是偶数故选：B．【点评】一些正面词语的否定：“是”的否定：“不是”；“能”的否定：“不能”；“都是”的否定：“不都是”；“至多有一个”的否定：“至少有两个”；“至少有一个”的否定：“一个也没有”；“是至多有n个”的否定：“至少有n+1个”；“任意的”的否定：“某个”；“任意两个”的否定：“某两个”；“所有的”的否定：“某些”．4．（5分）使得（x+）11（n∈N+）的展开式中的二项式系数最大的项是（）A．5 B．6 C．7 D．6或7【分析】根据二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，求得（x+）11（n ∈N+）的展开式中的二项式系数最大的项．=•，【解答】解：（x+）11（n∈N+）的展开式的通项公式为T r+1故第r+1项的二项式系数为，故当r=5，或6 时，第r+1项的二项式系数最大，即第6项或第7项的二项式系数最大，故选：D．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．5．（5分）C+2C+22C+…+29C的值为（）A．3•210B．310C C．D．【分析】设表达式为t，求出2t，利用二项式定理，求出2t的值，即可求出C101+2C102+4C103+…+29C1010的值即可．【解答】解：设：t=C101+2C102+4C103+…+29C1010，所以2t=2C101+22C102+23C103+…+210C1010+﹣1=（1+2）10﹣1=310﹣1，所以C101+2C102+4C103+…+29C1010=．故选：D．【点评】本题是基础题，考查二项式定理的应用，考查计算能力．6．（5分）做直线运动的质点在任意位置x处，所受的力F（x）=1﹣e﹣x，则质点从x1=0，沿x轴运动到x2=1处，力F（x）所做的功是（）A．e B．C．2e D．【分析】根据积分的物理意义，即可得到结论．【解答】解：根据积分的物理意义可知力F（x）所做的功为（1﹣e﹣x）dx=（x+e﹣x）|=1+﹣1=，故选：B．【点评】本题主要考查积分的计算，利用积分物理意义是解决本题的关键．7．（5分）设n为正整数，f（n）=1+++…+，计算f（2）=，f（4）＞2，f （6），f（8）＞3，观察上述结果，可推测出一般的结论为（）A．f（2n）=B．f（2n）＞C．f（2n）≥D．f（2n）＞【分析】根据条件，寻找共同的特点，结合归纳推理的定义进行判断即可．【解答】解：由条件知，f（2×1）=，f（2×2）＞2=，f（2×3），f（2×4）＞3=，由归纳推理得f（2n）≥，故选：C．【点评】本题主要考查归纳推理的应用，根据条件选择规律是解决本题的关键．8．（5分）由曲线y=e﹣x，直线x=0，x=1与x轴所围成的平面图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积．（A．（1﹣e﹣2）B．C．（1﹣e） D．e﹣2【分析】根据题意，旋转体的体积应该用定积分求得，此几何体的体积可以看作是﹣πe﹣2x dx，求定积分的值即可．【解答】解：如图所示，曲线y=e﹣x，直线x=0，x=1与x轴所围成的平面图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积为V=﹣πe﹣2x dx=﹣e﹣2x=﹣（e﹣2﹣1）=（1﹣e﹣2）．故选：A．【点评】本题考查了用定积分求简单几何体的体积应用问题，解题的关键是找出被积函数和相应的积分区间．9．（5分）7人排成一排，限定甲要排在乙的左边，乙要排在丙的左边，甲、乙相邻，乙、丙不相邻，则不同排法的种数是（）A．60 B．120 C．240 D．360【分析】甲乙相邻，乙丙不相邻，可以将甲乙看成一个人，7个人去掉甲乙丙一共有4个人，四个人算两边有5个空，从五个空中选出两个，那么他们的位置就固定了，即可得出结论．【解答】解：甲乙相邻，乙丙不相邻，可以将甲乙看成一个人，7个人去掉甲乙丙一共有4个人，四个人算两边有5个空，从五个空中选出两个，那么他们的位置就固定了．四个人全排列的方法有=24种，从五个空中选出两个的方法有=10种，所以一共不同摆法有24×10=240种．故选：C．【点评】本题考查计数原理的应用，考查学生的计算能力，比较基础．10．（5分）设函数f（x）=ax2+bx+c（a，b，c∈R），若x=﹣1为函数y=f（x）e x 的一个极值点，则下列图象不可能为y=f（x）的图象是（）A．B． C．D．【分析】先求出函数f（x）e x的导函数，利用x=﹣1为函数f（x）e x的一个极值点可得a，b，c之间的关系，再代入函数f（x）=ax2+bx+c，对答案分别代入验证，看哪个答案不成立即可．【解答】解：由y=f（x）e x=e x（ax2+bx+c）⇒y′=f′（x）e x+e x f（x）=e x[ax2+（b+2a）x+b+c]，由x=﹣1为函数f（x）e x的一个极值点可得，﹣1是方程ax2+（b+2a）x+b+c=0的一个根，所以有a﹣（b+2a）+b+c=0⇒c=a．法一：所以函数f（x）=ax2+bx+a，对称轴为x=﹣，且f（﹣1）=2a﹣b，f（0）=a．对于A，由图得a＞0，f（0）＞0，f（﹣1）=0，不矛盾，对于B，由图得a＜0，f（0）＜0，f（﹣1）=0，不矛盾，对于C，由图得a＜0，f（0）＜0，x=﹣＞0⇒b＞0⇒f（﹣1）＜0，不矛盾，对于D，由图得a＞0，f（0）＞0，x=﹣＜﹣1⇒b＞2a⇒f（﹣1）＜0与原图中f（﹣1）＞0矛盾，D不对．法二：所以函数f（x）=ax2+bx+a，由此得函数相应方程的两根之积为1，对照四个选项发现，D不成立．故选：D．【点评】本题考查极值点与导函数之间的关系．一般在知道一个函数的极值点时，直接把极值点代入导数令其等0即可．可导函数的极值点一定是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点．11．（5分）给出下列四个命题：①f（x）=x3﹣3x2是增函数，无极值．②f（x）=x3﹣3x2在（﹣∞，2）上没有最大值③由曲线y=x，y=x2所围成图形的面积是④函数f（x）=lnx+ax存在与直线2x﹣y=0平行的切线，则实数a的取值范围是（﹣∞，2）其中正确命题的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】①求导数f′（x），利用导数判定f（x）的增减性和极值；②结合①，利用导数判定f（x）的增减性、求极（最）值；③利用定积分求出曲线y=x，y=x2所围成图形的面积S；④利用导数求出f（x）的切线的斜率为2时a的取值范围，去掉重和的切线．【解答】解：对于①，∵f′（x）=3x2﹣6x=3x（x﹣2），当x＜0时，f′（x）＞0，f（x）是增函数，当0＜x＜2时，f′（x）＜0，f（x）是减函数，当x＞2时，f′（x）＞0，f（x）是增函数；∴x=0时f（x）有极大值，x=2时f（x）有极小值，∴①错误．对于②，由①知，当x＜0时，f′（x）＞0，f（x）是增函数，当0＜x＜2时，f′（x）＜0，f（x）是减函数；∴x=0时f（x）有极大值f（0），也是最大值，∴②错误．对于③，∵，解得，或；∴由曲线y=x，y=x2所围成图形的面积S=（x﹣x2）dx=（x2﹣x3）=﹣=，∴③正确．对于④，∵f′（x）=+a=2（x＞0），∴a=2﹣＜0；∴a的取值范围是（﹣∞，2），又当a=2﹣时，f（x）的一条切线方程为2x﹣y=0，∴④错误．综上，以上正确的命题为③．故选：A．【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性与极值和最值的问题，也考查了利用导数求函数的切线斜率问题，利用定积分求曲线所围成的面积等问题，是综合题．12．（5分）若直线y=kx+b是曲线y=lnx+2的切线，也是曲线y=ln（x+1）的切线，则b=（）A．1 B．C．1﹣ln2 D．1﹣2ln2【分析】先设切点，然后利用切点来寻找切线斜率的联系，以及对应的函数值，综合联立求解即可．【解答】解：设y=kx+b与y=lnx+2和y=ln（x+1）的切点分别为（x1，kx1+b）、（x2，kx2+b）；由导数的几何意义可得k=，得x1=x2+1，再由切点也在各自的曲线上，可得，联立上述式子解得k=2，，．代入kx1+b=lnx1+2，解得b=1﹣ln2．故选：C．【点评】本题考查了导数的几何意义，体现了方程思想，考查计算能力，是中档题．二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）设复数z=，||=【分析】利用复数代数形式的乘除运算，再由||=|z|求解．【解答】解：∵z==，∴||=|z|=．故答案为：．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．14．（5分）已知函数y=f（x）的图象在M（1，f（1））处的切线方程是+2，f（1）+f′（1）=3．【分析】先将x=1代入切线方程可求出f（1），再由切点处的导数为切线斜率可求出f'（1）的值，最后相加即可．【解答】解：由已知切点在切线上，所以f（1）=，切点处的导数为切线斜率，所以，所以f（1）+f′（1）=3故答案为：3【点评】本题主要考查导数的几何意义，即函数在某点的导数值等于以该点为切点的切线的斜率．15．（5分）已知函数f（x）=在（﹣2，+∞）内单调递减，则实数a的取值范围（﹣∞，）．【分析】当x＞﹣2时，根据函数的导数f′（x）≤0，解不等式求得a的范围．【解答】解：由题意可得，当x＞﹣2时，函数的导数f′（x）==≤0，解得a≤，但当a=时，f（x）=，为常数，不满足条件，故a的范围是（﹣∞，），故答案为：（﹣∞，）．【点评】本题主要考查函数的单调性与导数的关系，求函数的导数，属于中档题．16．（5分）设f（x），g（x）分别是定义在R上的奇函数和偶函数．当x＜0时，f′（x）g（x）+f（x）g′（x）＞0，且g（﹣3）=0，则不等式f（x）g（x）＜0的解集是（﹣∞，﹣3）∪（0，3）．【分析】构造函数h（x）=f（x）g（x），利用已知可判断出其奇偶性和单调性，进而即可得出不等式的解集．【解答】解：令h（x）=f（x）g（x），则h（﹣x）=f（﹣x）g（﹣x）=﹣f（x）g （x）=﹣h（x），因此函数h（x）在R上是奇函数．①∵当x＜0时，h′（x）=f′（x）g（x）+f（x）g′（x）＞0，∴h（x）在x＜0时单调递增，故函数h（x）在R上单调递增．∵h（﹣3）=f（﹣3）g（﹣3）=0，∴h（x）=f（x）g（x）＜0=h（﹣3），∴x＜﹣3．②当x＞0时，函数h（x）在R上是奇函数，可知：h（x）在（0，+∞）上单调递增，且h（3）=﹣h（﹣3）=0，∴h（x）＜0，的解集为（0，3）．∴不等式f（x）g（x）＜0的解集是（﹣∞，﹣3）∪（0，3）．故答案为（﹣∞，﹣3）∪（0，3）．【点评】恰当构造函数，熟练掌握函数的奇偶性单调性是解题的关键．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）计算下列各题（1）复数（）2018（2）﹣【分析】（1）利用复数代数形式的乘除运算化简，再由虚数单位i得性质求解；（2）由题意列关于n的不等式组，求得n值，则答案可求．【解答】解：（1）∵，∴（）2018=（i2）1009=﹣1；（2）依题意可知，则有，解得，又由n∈N，则n=2，从而有﹣=．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查组合及排列数公式的应用，是基础题．18．（12分）已知函数f（x）=2x3+ax2+bx的导函数f′（x），若函数y=f′（x）的对称轴为x=﹣，且f′（1）=0．（1）求a，b的值；（2）求函数的极值．【分析】（1）通过导函数方程和二次函数对称轴方程建立方程组，即可解得a、b，（2）数字系数的三次多项式函数求极值，用常规的思路和步骤求解即可．【解答】（1）由于f'（x）=6x2+2ax+b，且对称轴为，则有，则a=3，又由于f'（1）=0，则6+2a+b=0，解得b=﹣12，所以a=3，b=﹣12．（2）因为f（x）=2x3+3x2﹣12x+1，f'（x）=6x2+6x﹣12=6（x2+x﹣2）令f'（x）≥0，即x2+x﹣2≥0，解得x≥1或x≤﹣2，令f'（x）≤0，即x2+x﹣2≤0，解得﹣2≤x≤1，所以函数f（x）在（﹣2，1）上单调递减，在（﹣∞，﹣2）和（1，+∞）上单调递增，当x=﹣2时，f（x）取得极大值，为f（﹣2）=21，当x=1时，f（x）取得极小值，为f（1）=﹣6．【点评】（1）熟练掌握常见函数的求导公式和求导法则，能顺利求解方程组．（2）三次多项式函数的导函数是二次函数，故熟练解决二次不等式就能知道原函数的单调性，从而求得极值．19．（12分）设（3x+）n的展开式的各项系数之和为M，二项式系数之和为N，若M﹣N=240．（1）求n的值；（2）求展开式中所有x的有理项．（1）由题意利用二项式系数的性质求得M和N，再根据M﹣N=4n﹣2n=240，【分析】求得n的值．（2）利用二项展开式的通项公式中x的幂指数为整数，求得r的值，可得所有x 的有理项．【解答】解：（1）对于二项式（3x+）n，令x=1，可得各项系数之和为M=4n．又二项系数之和为N=2n，∴M﹣N=4n﹣2n=240，∴n=4．（2）（3x+）n =（3x+）4的展开式的通项公式为T r+1=•34﹣r•（0≤r ≤4），依题意知4﹣为整数，∴r=0，2，4．当r=0时，T1=81x4，当r=2时，T3=54x3，当r=4时，T5=x2，所以展开式有理项为：T1=81x4，T3=54x3，T5=x2．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．20．（12分）已知f（x）为一次函数，且f（x）=x f（t）dt+1，（1）求函数f（x）的解析式；（2）若g（x）=x•f（x），求曲线y=g（x）与y=﹣3所围成区域面积？【分析】（1）利用待定系数法，结合定积分的定义求函数f（x）的解析式；（2）求出g（x），应用定积分来求曲线y=g（x）与y=﹣3所围成区域面积．【解答】解：（1）设f（x）=kx+b，∵f（x）=x f（t）dt+1，∴kx+b=x•（）|+1，∴kx+b=（2k+2b）x+1，∴k=﹣2，b=1，∴f（x）=﹣2x+1；（2）g（x）=xf（x）=﹣2x2+x，由得x=或x=﹣1，则S=（﹣2x2+x+3）dx=（﹣x3+x2+3x）|=．【点评】本题主要考查了定积分，定积分运算是求导的逆运算，以及待定系数法的应用，属于基础题．21．（12分）当n∈N*时，，T n=+++…+．（Ⅰ）求S1，S2，T1，T2；（Ⅱ）猜想S n与T n的关系，并用数学归纳法证明．【分析】（Ⅰ）由已知直接利用n=1，2，求出S1，S2，T1，T2的值；（Ⅱ）利用（1）的结果，直接猜想S n=T n，然后利用数学归纳法证明，①验证n=1时猜想成立；②假设n=k时，S k=T k，通过假设证明n=k+1时猜想也成立即可．【解答】解：（Ⅰ）∵当n∈N*时，，T n=+++…+．∴S1=1﹣=，S2=1﹣+﹣=，T1==，T2=+=（2分）（Ⅱ）猜想：S n=T n（n∈N*），即：1﹣+﹣+…+﹣=+++…+（n∈N*）（5分）下面用数学归纳法证明：①当n=1时，已证S1=T1（6分）②假设n=k时，S k=T k（k≥1，k∈N*），即：1﹣+﹣+…+﹣=+++…+（8分）=S k+﹣=T k+﹣（10分）则：S k+1=+++…++﹣（11分）=++…+++（﹣）=++…++=T k+1，由①，②可知，对任意n∈N*，S n=T n都成立．（14分）【点评】本题是中档题，考查数列递推关系式的应用，数学归纳法证明数列问题的方法，考查逻辑推理能力，计算能力．22．（12分）已知函数f（x）=e x+3x2﹣ax．（1）若f（x）在x=0处取得极值，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）若关于x的不等式f（x）≥+ax+1在x≥时恒成立，试求实数a的取值范围．【分析】（1）对f（x）求导函数f'（x），由f'（0）=0，求出a的值，从而求得f （1）与f'（1），写出y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）由f（x）≥+ax+1在x≥时恒成立，得不等式，构造函数，利用导函数求g（x）在上的最小值即可．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=e x+3x2﹣ax，∴f'（x）=e x+6x﹣a，∵f（x）在x=0处取得极值，∴f'（0）=e0﹣a=0，∴a=1，∴f（x）=e x+3x2﹣x，f'（x）=e x+6x﹣1，∴f（1）=e+2，f'（1）=e+5，∴曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为：y﹣（e+2）=（e+5）（x﹣1），即y=（e+5）x﹣3．（2）∵f（x）=e x+3x2﹣ax，且，∴，即，∵，∴，令，则．令，则φ'（x）=x（e x﹣1）．∵，∴φ'（x）＞0，∴φ（x）在上单调递增，∴，∴g'（x）＞0，∴g（x）在上单调递增，∴，∴，即a的取值范围是．【点评】本题考查了利用导数判定函数的单调性与求函数最值的问题，也考查了应用导数求曲线的切线方程与不等式恒成立问题，是难题．。
【全国市级联考】江西省赣州市十四县(市)2018届高三下学期期中考试数学(理)试题(原卷版)
2017-2018学年第二学期赣州市十四县（市）期中联考高三理科数学试卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1. 设全集，集合，，则为（）A. B. C. D.2. 已知复数满足，是的共轭复数则（）A. B. 1 C. D.3. 以下有关命题的说法错误．．的是（）A. 命题“若，则”的逆否命题为“若，则”B. “”是“”成立的必要不充分条件C. 对于命题，使得，则，均有D. 若为真命题，则与至少有一个为真命题4. 设f(x)为定义在R上的奇函数，当时，（b为常数），则f(-2)=（）A. 6B. -6C. 4D. -45. 设等差数列的前n项和为，若，且，则的值是（）A. 8B. 10C. 4D. 4或106. 已知为单位向量，，则的最大值为（）A. 1B.C. 2D. 37. 已知，执行下面的程序框图，如果输入的，那么输出的的值为（）......A. 3B. 4C. 5D. 68. 设，满足约束条件，则目标函数z=x+y的最优解(x,y)是（）A. B. C. D.9. 某几何体的三视图如图所示，则此几何体的各面中最大面的面积为（）A. B. C. D.10. 已知函数的图象的一个对称中心为，且，则的最小值为（）A. B. 1 C. D. 211. 已知双曲线：的左右焦点分别为，，为双曲线上一点，为双曲线C渐近线上一点，，均位于第一象限，且，，则双曲线的离心率为（）A. B. C. D.12. 设，令，，若，则数列的前项和为，当时，的最小整数值为（）A. 2017B. 2018C. 2019D. 2020第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．）13. 若的展开式的常数项是__________．14. 记直线的倾斜角为，则的值为________.15. 《九章算术》中研究盈不足问题时，有一道题是“今有垣厚五尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问何日相逢？”题意即为“有厚墙五尺，两只老鼠从墙的两边分别打洞穿墙，大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半，问几天后两鼠相遇？” 赣州古城墙某处厚33尺，两硕鼠按上述方式打洞，相遇时是第____天．（用整数作答）16. 为自然对数的底数，已知函数，若使得函数有三个零点，则m 的取值范围是______________三、解答题（共70分）17. 已知函数.（Ⅰ）求函数f(x)的最小正周期和单调递减区间；（Ⅱ）在中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若，，的面积为，求a边的长.18.在某单位的食堂中，食堂每天以10元/斤的价格购进米粉，然后以4.4元/碗的价格出售，每碗内含米粉0.2斤，如果当天卖不完，剩下的米粉以2元/斤的价格卖给养猪场.根据以往统计资料，得到食堂每天米粉需求量的频率分布直方图如图所示，若食堂该天购进了80斤米粉，以（斤）（其中）表示米粉的需求量，（元）表示利润.（1）估计该天食堂利润不少于760元的概率；（2）在直方图的需求量分组中，以区间中间值作为该区间的需求量，以需求量落入该区间的频率作为需求量在该区间的概率，求的分布列和数学期望.19. 已知四棱锥，底面为菱形，为上的点，过的平面分别交于点，且平面．（1）证明：；（2）当为的中点，，与平面所成的角为，求平面AMHN与平面ABCD所成锐二面角的余弦值．20. 已知椭圆系方程：(，)，是椭圆的焦点，是椭圆上一点，且.（1）求的方程；（2）为椭圆上任意一点，过且与椭圆相切的直线与椭圆交于，两点，点关于原点的对称点为，求证：的面积为定值，并求出这个定值．21. 已知函数.（1）若，求的单调区间；（2）若关于的不等式对一切恒成立，求实数的取值范围；（3）求证：对，都有.[选修4—4：坐标系与参数方程]22. 在平面直角坐标系中，已知曲线与曲线（为参数，）．以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（1）写出曲线的极坐标方程；（2）在极坐标系中，已知点是射线与的公共点，点是与的公共点，当在区间上变化时，求的最大值．选修4-5:不等式23. 已知且．（1）求的最大值；（2）若不等式对任意成立，求实数的取值范围．。
江西省赣州市十四县(市)2017-2018学年高二期中联考 数学(理)
2017-2018学年第一学期赣州市十四县（市）期中联考高二年级数学（理科）试卷本试卷分第I 和第II 卷，共150分.考试时间：120分钟第I 卷(选择题共60分)一、选择题：（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的）1．设直线,01:,01:21=+-=+-ky x l y kx l 若21l l ⊥,则（ ）A. B. 1 C. 1± D. 02.总体由编号为01,02,…,29,30的30个个体组成。
利用下面的随机数表选取7个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第6个个7816 6572 0802 6314 0702 4369 9728 0198 32049234493582003623486969387481A.08B.07C.02D.01 3．已知是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ） A. 1312π+ B. 112π+ C. 134π+ D. 14π+4.在ABC ∆中，角C B A ，，所对边长分别为，，，c b a 若，2223b c a -=则C cos 的最小值为（ ）A.32 B. 21 C. 41D.32 5．某中学采用系统抽样方法，从该校高一年级全体800名学生中抽50名学生做牙齿健康检查．现将800名学生从1到800进行编号．已知从33～48这16个数中取的数是39，则在第1小组1～16中随机抽到的数是（ ）A. 5B. 7C. 11D. 136.若样本n x x x x ++++1111321，，，，的平均数是10，方差是2，则对样本n x x x x ++++2222321，，，，，下列结论正确的是 ( ) A. 平均数为10，方差为2 B. 平均数为11，方差为3C. 平均数为11，方差为2D. 平均数为12，方差为47.执行如图所示的程序框图，若输出的S 的值为20，则判断框中可以填（ ） (图形为第七题) A.7k > B. 8k > C. 7k < D. 8k <8．已知a ， b 为单位向量，且2a b a b +=-，则a 在a b+上的投影为（ ）A.13C. 9．若圆0342:22=+-++y x y x C 关于直线062=++by ax 对称，则由点()b a ,向圆C 所作切线长的最小值是（ ）A ．2B ．3C ．4D ．610.下列命题中正确的个数有 ( ) ①αα////b a b a ，则，若⊂.②相交，有且仅有一条直线与上的定点，在为两异面直线，则过不，若b a A b a b a . ③两个不重合的平面,αβ，两条异面直线,a b ，若βαββαα//////////，则，，，b a b a . ④若平面EFGH 与平行四边形ABCD 相交于AB ,则EFGH CD 平面//.A.0个B.1个C.2个D.3个 11. 设等差数列{}n a 的前n项和为n S ，已知1)1(20171434=-+-a a ）（，1)1(20171201432014-=-+-a a ）（，则下列结论正确的是（ ）A.4201420172017a a S <-=，B.420142017a 2017a S >=，C.4201420172017a a S >-=，D.4201420172017a a S <=，12.已知,x y 满足10,0,3,x y x y x --≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩则)4(168123222++++++=y x y x xy y x z的最小值是 （ ）A.3B.203 C.283D.6第II 卷（非选择题共90分）二、填空题（每题5分，共4题，满分20分，请将答案填在答题纸上）13．已知数列{}n a 是递增的等比数列，，941=+a a ，832=a a {}项和是的前则数列n n a ________．14.中，在正方形1111D C B A ABCD -的中点，为1AA P 的中点，为1CC Q ，2=AB 则三棱锥PQD B -的体积为__________．15.三棱锥326===-BD AD AB BCD A ，，,底面BCD 为等边三角形，且ABD BCD ⊥平面平面,求三棱锥A BCD -外接球的表面积______________.16.中在直角梯形ABCD ，，，，，21//===⊥AB CD AD AB DC AD AB ,E F分别为AC AB ，的中点，设以A 为圆心，AD 为半径的圆弧DE 上的动点为P (如图所示)，则AP PF •的取值范围是 ______________.三、解答题（17题10分，其它题12分，共70分，写出必要的文字说明）17. (本题满分10分）中，如图，在四棱锥ABCD P -，平面ABCD PA ⊥是菱形，底面ABCD 的交点，与是对角线点BD AC O 的中点，是PD M ，且2=AB 3π=∠BAD 。
2017-2018学年江西省赣州市十四县(市)高三下学期期中数学试卷(理科)【解析版】
2017-2018学年江西省赣州市十四县（市）高三（下）期中数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．（5分）设全集U＝R，集合，，则（∁U A）∩B为（）A．（﹣1，3）B．[﹣2，﹣1]C．[﹣2，3）D．[﹣2，﹣1）∪{3}2．（5分）已知复数z满足，是z的共轭复数则＝（）A．B．1C．D．3．（5分）以下有关命题的说法错误的是（）A．命题“若x2﹣x﹣2＝0，则x＝﹣1”的逆否命题为“若x≠﹣1，则x2﹣x ﹣2≠0”B．“x2+x﹣2＝0”是“x＝1”成立的必要不充分条件C．对于命题p：∃x0∈R，使得，则¬p：∀x∈R，均有x2﹣x+1≥0D．若p∨q为真命题，则¬p与q至少有一个为真命题4．（5分）设f（x）为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）＝3x﹣7x+2b（b 为常数），则f（﹣2）＝（）A．6B．﹣6C．4D．﹣45．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S5＝20，且S6﹣a1＝30，则a5的值是（）A．8B．10C．4D．4或106．（5分）已知，为单位向量，＝，则||的最大值为（）A．1B．C．2D．37．（5分）已知t＝2，执行下面的程序框图，如果输入的a＝t，b＝2t，那么输出的n的值为（）A．3B．4C．5D．68．（5分）设x，y满足约束条件，则目标函数z＝x+y取最小值时的最优解是（）A．（6，0）B．（3，0）C．（0，6）D．（2，2）9．（5分）某几何体的三视图如图所示，则此几何体的各面中最大面的面积为（）A．2B．2C．3D．210．（5分）已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0 ）图象的一个对称中心为（，0），且f（）＝，则ω的最小值为（）A．B．1C．D．211．（5分）已知双曲线C：（a＞0，b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，P为双曲线C上一点，Q为双曲线C渐近线上一点，P，Q均位于第一象限，且3＝，＝0，则双曲线C的离心率为（）A．8B．2C．+2D．﹣2 12．（5分）设f（x）＝e x（x2+2x），令f1（x）＝f'（x），f n+1（x）＝f n'（x），若f n （x）＝e x（A n x2+B n x+∁n），则数列{}的前n项和为S n，当|S n﹣1}|时，n的最小整数值为（）A．2017B．2018C．2019D．2020二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．）13．（5分）写出（x）5的展开式中常数项：．14．（5分）记直线l：2x﹣y+1＝0的倾斜角为α，则+tan2α的值为．15．（5分）《九章算术》中研究盈不足问题时，有一道题是“今有垣厚五尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问何日相逢？”题意即为“有厚墙五尺，两只老鼠从墙的两边分别打洞穿墙，大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半，问几天后两鼠相遇？”荆州古城墙某处厚33尺，两硕鼠按上述方式打洞，相遇时是第天．（用整数作答）16．（5分）e为自然对数的底数，已知函数f（x）＝，若∃a∈R，使得函数y＝f（x）﹣ax有三个零点，则m的取值范围是三、解答题（共70分）17．（12分）已知函数．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期和单调递减区间；（Ⅱ）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若，b+c＝7，△ABC的面积为，求边a的长．18．（12分）在某单位的食堂中，食堂每天以10元/斤的价格购进米粉，然后以4.4元/碗的价格出售，每碗内含米粉0.2斤，如果当天卖不完，剩下的米粉以2元/斤的价格卖给养猪场．根据以往统计资料，得到食堂某天米粉需求量的频率分布直方图如图所示，若食堂购进了80斤米粉，以x（斤）（其中50≤x ≤100）表示米粉的需求量，T（元）表示利润．（1）估计该天食堂利润不少于760元的概率；（2）在直方图的需求量分组中，以区间中间值作为该区间的需求量，以需求量落入该区间的频率作为需求量在该区间的概率，求T的分布列和数学期望．19．（12分）已知四棱锥P﹣ABCD，底面ABCD为菱形，PD＝PB，H为PC上的点，过AH的平面分别交PB，PD于点M，N，且MN∥平面ABCD．（1）证明：MN⊥PC；（2）当H为PC的中点，P A＝PC＝AB，P A与平面ABCD所成的角为30°，求平面AMHN与平面ABCD所成锐二面角的余弦值．20．（12分）已知椭圆系方程∁n：＝n（a＞b＞0，n∈N*），F1，F2是椭圆C6的焦点，A（）是椭圆C6上一点，且＝0．（1）求C6的方程；（2）P为椭圆C3上任意一点，过P且与椭圆C3相切的直线l与椭圆C6交于M，N两点，点P关于原点的对称点为Q，求证：△QMN的面积为定值，并求出这个定值．21．（12分）已知函数f（x）＝（ax﹣a+1）lnx﹣x+1．（1）若a＝0，求f（x）的单调区间；（2）若关于x的不等式f（x）≥0对一切x∈[1，+∞）恒成立，求实数a的取值范围；（3）求证：对n∈N*，都有++…+＜ln（n+1）．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C1：x+y＝1与曲线C2：（φ为参数，φ∈[0，2π））．以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（I）写出曲线C1，C2的极坐标方程；（II）在极坐标系中，已知点A是射线l：θ＝α（ρ≥0）与C1的公共点，点B是l与C2的公共点，当α在区间[0，]上变化时，求的最大值．[选修4-5：不等式]23．已知a，b∈R+且a2+b2＝1．（1）求a+b的最大值M；（2）若不等式|x﹣t|≥|x﹣3|+|x﹣2|对任意的x∈[M2，M2+1]成立，求实数t的取值范围2017-2018学年江西省赣州市十四县（市）高三（下）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．（5分）设全集U＝R，集合，，则（∁U A）∩B为（）A．（﹣1，3）B．[﹣2，﹣1]C．[﹣2，3）D．[﹣2，﹣1）∪{3}【考点】1H：交、并、补集的混合运算．【解答】解：∵全集U＝R，集合＝{x|﹣1≤x＜3}，＝{x|﹣2≤x≤3}，∴∁U A＝{x＜﹣1或x≥3}，∴（∁U A）∩B＝{x|﹣2≤x＜﹣1或x＝3}＝[﹣2，﹣1）∪{3}．故选：D．2．（5分）已知复数z满足，是z的共轭复数则＝（）A．B．1C．D．【考点】A8：复数的模．【解答】解：∵复数z满足，∴（1﹣i）（1+i）z＝i（1﹣i），∴4z＝﹣3﹣i，∴z＝．∴＝|z|＝＝．故选：C．3．（5分）以下有关命题的说法错误的是（）A．命题“若x2﹣x﹣2＝0，则x＝﹣1”的逆否命题为“若x≠﹣1，则x2﹣x﹣2≠0”B．“x2+x﹣2＝0”是“x＝1”成立的必要不充分条件C．对于命题p：∃x0∈R，使得，则¬p：∀x∈R，均有x2﹣x+1≥0D．若p∨q为真命题，则¬p与q至少有一个为真命题【考点】2K：命题的真假判断与应用．【解答】解：对于A，根据命题与它的逆否命题之间的关系知，命题“若x2﹣x﹣2＝0，则x＝﹣1”的逆否命题为“若x≠﹣1，则x2﹣x﹣2≠0”，A正确；对于B，x2+x﹣2＝0时，x＝1或x＝﹣2，充分性不成立；x＝1时，x2+x﹣2＝0，必要性成立，是必要不充分条件，B正确；对于C，根据特称命题p：∃x0∈R，使得，它的否定命题是¬p：∀x∈R，均有x2﹣x+1≥0，∴C正确；对于D，p∨q为真命题时，p与q至少有一个为真命题，但是￢p与q也可能都是假命题，∴D错误．故选：D．4．（5分）设f（x）为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）＝3x﹣7x+2b（b 为常数），则f（﹣2）＝（）A．6B．﹣6C．4D．﹣4【考点】3K：函数奇偶性的性质与判断．【解答】解：∵f（x）为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）＝3x﹣7x+2b （b为常数），∴f（0）＝30+2b＝1+2b＝0，得b＝﹣，即当x≥0时，f（x）＝3x﹣7x﹣1，则f（﹣2）＝﹣f（2）＝﹣（32﹣7×2﹣1）＝﹣（9﹣14﹣1）＝6，故选：A．5．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S5＝20，且S6﹣a1＝30，则a5的值是（）A．8B．10C．4D．4或10【考点】85：等差数列的前n项和．【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，∵S5＝20，且S6﹣a1＝30，∴5a1+d＝20，6a1+d﹣a1＝30，联立解得a1＝0，d＝2，则a5＝0+4×2＝8．故选：A．6．（5分）已知，为单位向量，＝，则||的最大值为（）A．1B．C．2D．3【考点】9D：两向量的和或差的模的最值．【解答】解：由＝，可得，||＝|≤|||+||＝2．则||的最大值为2，故选：C．7．（5分）已知t＝2，执行下面的程序框图，如果输入的a＝t，b ＝2t，那么输出的n的值为（）A．3B．4C．5D．6【考点】EF：程序框图．【解答】解：t＝2＝1，可得：a＝1，b＝2，模拟程序的运行，可得：n＝1，s＝0不满足条件s≥50，执行循环体，a＝3，b＝5，s＝5，n＝2不满足条件s≥50，执行循环体，a＝8，b＝13，s＝18，n＝3不满足条件s≥50，执行循环体，a＝21，b＝34，s＝52，n＝4满足条件s≥50，退出循环，输出n的值为4．故选：B．8．（5分）设x，y满足约束条件，则目标函数z＝x+y取最小值时的最优解是（）A．（6，0）B．（3，0）C．（0，6）D．（2，2）【考点】7C：简单线性规划．【解答】解：依题意可画图如下：当z＝0时，有直线l1：x+y＝0和直线l2：x﹣y＝0，并分别在上图表示出来，当直线向x﹣y＝0向下平移并过A点的时候，目标函数z＝x+y有最小值，此时最优解就是A点，点A的坐标是：A（3，0），故选：B．9．（5分）某几何体的三视图如图所示，则此几何体的各面中最大面的面积为（）A．2B．2C．3D．2【考点】L!：由三视图求面积、体积．【解答】解：由三视图开心几何体的直观图如图：是棱长为2的正方体的一部分，＝2，三棱锥A﹣BCD，S△BCD＝．S△ABD＝＝2．故选：B．10．（5分）已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0 ）图象的一个对称中心为（，0），且f（）＝，则ω的最小值为（）A．B．1C．D．2【考点】HJ：函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换．【解答】解：根据题意可得ω×+φ＝kπ，k∈Z①，且sin（ω•+φ）＝，即：ω•+φ＝2k′π+，或ω•+φ＝2k′π+k′∈Z，即ω•+φ＝2k′π+，或ω•+φ＝2k′π+k′∈Z②，两式相减（①﹣②）可得＝（k﹣2k′）﹣，或＝（k﹣2k′）﹣，即ω＝4k﹣8k′﹣，或ω＝4k﹣8k′﹣．对于ω＝4k﹣8k′﹣，令k＝1，k′＝0，可得ω的最小值为，故选：A．11．（5分）已知双曲线C：（a＞0，b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，P为双曲线C上一点，Q为双曲线C渐近线上一点，P，Q均位于第一象限，且3＝，＝0，则双曲线C的离心率为（）A．8B．2C．+2D．﹣2【考点】KC：双曲线的性质．【解答】解：设Q（m，m），（m＞0），P（s，t），F1（c，0），F2（c，0），3＝，可得＝s，＝t，由P在双曲线上，可得﹣＝1，化为c2+6mc＝16a2，m＝，由＝0，可得•＝﹣1，即c2﹣m2＝，即c2＝m2•＝m2•，可得m＝a，则6ca＝16a2﹣c2，可得（c﹣2a）（c+8a）＝0，即c＝2a，e＝＝2，故选：B．12．（5分）设f（x）＝e x（x2+2x），令f1（x）＝f'（x），f n+1（x）＝f n'（x），若f n （x）＝e x（A n x2+B n x+∁n），则数列{}的前n项和为S n，当|S n﹣1}|时，n的最小整数值为（）A．2017B．2018C．2019D．2020【考点】8E：数列的求和．【解答】解：f（x）＝e x（x2+2x），f1（x）＝f′（x）＝e x（x2+4x+2），f n+1（x）＝f n'（x），可得f2（x）＝f1'（x）＝e x（x2+6x+6），f3（x）＝f2'（x）＝e x（x2+8x+12），f4（x）＝f3'（x）＝e x（x2+10x+20），…，f n+1（x）＝f n'（x）＝e x[x2+2（n+2）x+（n+1）（n+2）]，n≥1，n∈N，f n（x）＝e x（A n x2+B n x+∁n），可得∁n＝n（n+1），＝＝﹣，S n＝1﹣+﹣+…+﹣＝1﹣，当|S n﹣1}|时，即为≤，即n+1≥2018，可得n≥2017，则n的最小值为2017．故选：A．二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．）13．（5分）写出（x）5的展开式中常数项：5．【考点】DA：二项式定理．【解答】解：（x）5的展开式的通项公式为T r+1＝•，令30﹣＝0，r＝4，故展开式中常数项＝5，故答案为：5．14．（5分）记直线l：2x﹣y+1＝0的倾斜角为α，则+tan2α的值为．【考点】GF：三角函数的恒等变换及化简求值．【解答】解：由题意2x﹣y+1＝0的倾斜角为α，∴tanα＝2，∴tan 2α＝＝．∵＝＝．∴+tan 2α＝＝故答案为：15．（5分）《九章算术》中研究盈不足问题时，有一道题是“今有垣厚五尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问何日相逢？”题意即为“有厚墙五尺，两只老鼠从墙的两边分别打洞穿墙，大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半，问几天后两鼠相遇？”荆州古城墙某处厚33尺，两硕鼠按上述方式打洞，相遇时是第6天．（用整数作答）【考点】89：等比数列的前n项和．【解答】解：大老鼠打洞构成首项为1，公比为2的等比数列，小老鼠打洞构成首项为1，公比为的等比数列，设相遇时是第n天，则满足+≥33，即2n﹣1+2﹣≥33，即2n﹣≥32，则f（n）＝2n﹣在n≥1上是增函数，∵f（5）＝25﹣＝32﹣＜33，f（6）＝26﹣＝64﹣＞33，∴相遇时是第6天，故答案为：616．（5分）e为自然对数的底数，已知函数f（x）＝，若∃a∈R，使得函数y＝f（x）﹣ax有三个零点，则m的取值范围是ln【考点】52：函数零点的判定定理．【解答】解：令y＝f（x）﹣ax＝0，则直线y＝ax与曲线y＝f（x）在区间有一个交点，令f（x）﹣ax＝0，得，此时，；所以，直线y＝ax与曲线y＝f（x）在区间[1，+∞）上有两个交点，令ax＝lnx+m，则m＝ax﹣lnx，构造函数g（x）＝ax﹣lnx，其中x≥1，则直线y＝m与曲线y＝g（x）在区间[1，+∞）上有两个交点，则函数y＝g（x）在区间[1，+∞）必不单调，，令g′（x）＝0，得，则．当时，g′（x）＜0；当时，则g′（x）＞0，所以，函数g（x）在区间上单调递减，在区间上单调递增，则函数g（x）在处取得极小值，且极小值为，且g（1）＝a，所以，当1+lna＜m≤a时，直线y＝ax与曲线y＝f（x）在区间[1，+∞）上有两个交点，当时，则，由于存在a∈R，使得lna+1＜m≤a成立，所以，实数m的取值范围是，故答案为：．三、解答题（共70分）17．（12分）已知函数．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期和单调递减区间；（Ⅱ）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若，b+c＝7，△ABC的面积为，求边a的长．【考点】HT：三角形中的几何计算．【解答】解：（Ⅰ）函数，可得，所以f（x）的最小正周期；令2kπ+≤2x﹣≤2kπ+，解得kπ+≤x≤kπ+，所以f（x）的单调递减区间是（k∈Z）；（Ⅱ）∵，，∴，又可得A﹣＝即，∵b+c＝7，△ABC的面积为，即bc sin A＝bc＝2，∴bc＝8，＝（b+c）2﹣3bc＝25，∴a＝5．18．（12分）在某单位的食堂中，食堂每天以10元/斤的价格购进米粉，然后以4.4元/碗的价格出售，每碗内含米粉0.2斤，如果当天卖不完，剩下的米粉以2元/斤的价格卖给养猪场．根据以往统计资料，得到食堂某天米粉需求量的频率分布直方图如图所示，若食堂购进了80斤米粉，以x（斤）（其中50≤x ≤100）表示米粉的需求量，T（元）表示利润．（1）估计该天食堂利润不少于760元的概率；（2）在直方图的需求量分组中，以区间中间值作为该区间的需求量，以需求量落入该区间的频率作为需求量在该区间的概率，求T的分布列和数学期望．【考点】CG：离散型随机变量及其分布列；CH：离散型随机变量的期望与方差．【解答】解：（1）一斤米粉的售价是4.4×5＝22元．当50≤x≤80时，T＝22x﹣10×80+2（80﹣x）＝20x﹣640．当80＜x≤100时，T＝22×80﹣10×80＝960．故T＝，设利润T不少于760元为事件A，利润T不少于760元时，即20x﹣640≥760．解得x≥70，即70≤x≤100．由直方图可知，当70≤x≤100时，P（A）＝10×（0.03+0.015+0.02）＝0.65．（2）当x＝55时，T＝20×55﹣640＝460；当x＝65时，T＝20×65﹣640＝660；当x＝75时，T＝20×75﹣640＝860；当x＞80时，T＝20×55﹣640＝460．所以T可能的取值为460，660，860，960．P（T＝460）＝0.015×10＝0.15，P（T＝660）＝0.02×10＝0.2，P（T＝860）＝0.03×10＝0.3，P（T＝960）＝（0.015+0.002）×10＝0.35．故T的分布列为：E（T）＝460×0.15+660×0.2+860×0.3+960×0.35＝795．19．（12分）已知四棱锥P﹣ABCD，底面ABCD为菱形，PD＝PB，H为PC上的点，过AH的平面分别交PB，PD于点M，N，且MN∥平面ABCD．（1）证明：MN⊥PC；（2）当H为PC的中点，P A＝PC＝AB，P A与平面ABCD所成的角为30°，求平面AMHN与平面ABCD所成锐二面角的余弦值．【考点】MJ：二面角的平面角及求法．【解答】证明：（1）连结AC交BD于点O，连结PO．因为ABCD为菱形，所以BD⊥AC，且O为AC、BD的中点，因为PD＝PB，所以PO⊥BD，因为AC∩PO＝O，且AC、PO⊂平面P AC，所以BD⊥平面P AC，因为PC⊂平面P AC，所以BD⊥PC．因为BD∥平面AMHN，BD⊂平面PBD，且平面AMHN∩平面PBD＝MN，所以BD∥MN，所以MN⊥PC．……………………………（6分）解：（2）由（1）知BD⊥AC，且PO⊥BD，因为P A＝PC，且O为AC的中点，所以PO⊥AC，所以PO⊥平面ABCD，所以P A与平面ABCD所成的角为∠P AO，所以AO＝P A，PO＝，因为P A＝AB，所以BO＝P A．分别以，，为x，y，z轴，建立如图所示空间直角坐标系，设P A＝2，则O（0，0，0），A（，0，0），B（0，1，0），C（﹣，0，0），H（﹣，0，），所以＝（0，2，0），＝（﹣，0，），＝（﹣，1，0），＝（0，1，﹣1）．记平面AMHN的法向量为＝（x，y，z），则，令x＝1，得＝（1，0，3），…………………………………………（9分）平面ABCD的法向量为＝（0，0，1），记二面角的大小为θ，则cosθ＝＝．所以二面角P﹣AM﹣N的余弦值为．…………………………………………（12分）20．（12分）已知椭圆系方程∁n：＝n（a＞b＞0，n∈N*），F1，F2是椭圆C6的焦点，A（）是椭圆C6上一点，且＝0．（1）求C6的方程；（2）P为椭圆C3上任意一点，过P且与椭圆C3相切的直线l与椭圆C6交于M，N两点，点P关于原点的对称点为Q，求证：△QMN的面积为定值，并求出这个定值．【考点】K4：椭圆的性质．【解答】解：（1）椭圆C6的方程为：C6：+＝6 即+＝1，∵且＝0，∴AF2⊥F1F2，又A（，），可得c＝，可得6a2﹣6b2＝c2＝6，即a2﹣b2＝1，由+＝1，可得a2＝2，b2＝1，∴椭圆C6的方程为+y2＝6；（2）证明：设P（x0，y0），则Q（﹣x0，﹣y0），当直线l斜率存在时，设l为y＝kx+m，则y0＝kx0+m，由y＝kx+m，x2+2y2＝6联立得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣6＝0，由△＝0得m2＝3（2k2+1），Q到直线l的距离d＝＝，同理，由y＝kx+m，x2+2y2＝12联立得：（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣12＝0，x1+x2＝﹣，x1x2＝，可得|MN|＝•＝•＝•2＝，可得S△QMN＝|MN|d＝••＝＝＝6，当直线l斜率不存在时，易知S＝6，△QMN△QMN的面积为定值6．21．（12分）已知函数f（x）＝（ax﹣a+1）lnx﹣x+1．（1）若a＝0，求f（x）的单调区间；（2）若关于x的不等式f（x）≥0对一切x∈[1，+∞）恒成立，求实数a的取值范围；（3）求证：对n∈N*，都有++…+＜ln（n+1）．【考点】3R：函数恒成立问题；6E：利用导数研究函数的最值．【解答】解：（1）当a＝0时，函数f（x）＝lnx﹣x+1，定义域为（0，+∞），f′（x）＝﹣1＝，令f′（x）＞0，可得0＜x＜1，令f′（x）＜0，可得x＞1．所以f（x）的单调增区间为（0，1），单调减区间为（1，+∞）；（2）f′（x）＝alnx+﹣1，f″（x）＝+＝，①当a≥时，﹣1＜﹣1≤1，f″（x）＝≥0，故f′（x）在区间（1，+∞）上递增，所以f′（x）≥f′（1）＝0，从而f（x）在区间（1，+∞）上递增，所以f（x）≥f（1）＝0对一切x∈[1，+∞）恒成立；②当0＜a＜时，﹣1＞1，f″（x）＝）＝，当x∈[1，﹣1）时，f″（x）＜0，当x∈（﹣1，+∞）时，f″（x）＞0，所以x≥1时，f′（x）min＝f′（﹣1），而f′（1）＝0，故f′（﹣1）＜0，所以当x∈[1，﹣1）时，f′（x）＜0，f（x）递减，由f（1）＝0，知f（﹣1）＜0，此时f（x）≥0对一切x∈[1，+∞）不恒成立．③当a≤0时，f″（x）＝+＜0，f′（x）在区间（1，+∞）上递减，有f′（x）＜f′（1）＝0，从而f（x）在区间（1，+∞）上递减，有f（x）＜f（1）＝0，此时f（x）≥0对一切x∈[1，+∞）不恒成立，综上，实数a的取值范围是[，+∞）．（3）证明：由（2）可知，取a＝，当x＞1时，有lnx＞，取x＝，有ln＞，即ln（k+1）﹣lnk＞，所以ln（n+1）＝ln（n+1）﹣lnn+lnn﹣ln（n﹣1）+…+ln2﹣ln1＞++…+，所以++…+＜ln（n+1）．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C1：x+y＝1与曲线C2：（φ为参数，φ∈[0，2π））．以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（I）写出曲线C1，C2的极坐标方程；（II）在极坐标系中，已知点A是射线l：θ＝α（ρ≥0）与C1的公共点，点B是l与C2的公共点，当α在区间[0，]上变化时，求的最大值．【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程．【解答】解：（Ⅰ）∵曲线C1：x+y＝1，∴曲线C1的极坐标方程为ρ（cosθ+sinθ）＝1，即，∵曲线C2：（φ为参数，φ∈[0，2π）），∴曲线C2的普通方程为（x﹣2）2+y2＝4，即x2+y2﹣4x＝0，∴曲线C2的极坐标方程为ρ＝4cosθ．（Ⅱ）由（Ⅰ）知|OA|＝ρA＝，|OB|＝ρB＝4cosθ，＝4cosα（cosα+sinα）＝2（1+cos2α+sin2α）＝2+2sin（2），由0≤α≤，知，当2＝，∴时，有最大值2+2．[选修4-5：不等式]23．已知a，b∈R+且a2+b2＝1．（1）求a+b的最大值M；（2）若不等式|x﹣t|≥|x﹣3|+|x﹣2|对任意的x∈[M2，M2+1]成立，求实数t的取值范围【考点】7F：基本不等式及其应用．【解答】解：（1）由a2+b2≥2ab，a，b∈R+且a2+b2＝1，可得得，当且仅当a＝b取最大值．∴；（2）∵x∈[2，3]，∴|x﹣t|≥|x﹣3|+|x﹣2|可化为|x﹣t|≥1，∴t≤x﹣1或t≥x+1恒成立，∴t≤（x﹣1）min或t≥（x+1）max，即t≤1或t≥4，∴t∈（﹣∞，1]∪[4，+∞）．。
江西省赣州市十四县(市)2018届高三期中联考理数试卷+Word版含答案
2017—2018学年第一学期赣州市十四县（市）期中联考高三年级数学（理科）试卷一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. {}2|lg(34)A x y x x ==+-， {}21|2x B y y -==，则B A =（ ）A ．（0，2]B ．（1，2]C ．∅D ．（﹣4，0）2.对于实数a ，b ，c ，下列命题正确的是（ ）A ．若a ＞b ，则ac 2＞bc 2B ．若a ＜b ＜0，则a 2＞ab ＞b 2C ．若a ＜b ＜0，则11a b< D ．若a ＜b ＜0，则b a a b> 3.下列四种说法正确的是（ ）①函数()f x 的定义域是R ，则“,(1)()x R f x f x ∀∈+>”是“函数()f x 为增函数”的充要条件；②命题“1,03x x R ⎛⎫∀∈> ⎪⎝⎭”的否定是“1,03xx R ⎛⎫∃∈< ⎪⎝⎭”；③命题“若x=2，则0232=+-x x ”的逆否命题是真命题；④p ：在△ABC 中，若cos2A=cos2B ，则A=B ；q ：y=sinx 在第一象限是增函数，则q p ∧为真命题．A.①②③④B. ②③C.③④D.③ 4.设3.02.03.03.0,3.0,2.0===z y x ，则z y x ,,的大小关系为( )A.x z y <<B.y x z << C.y z x << D. z y x <<5.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女子善织，日益功，疾，初日织五尺，今一月织九匹三丈（1匹=40尺，一丈=10尺），问日益几何？”其意思为：“有一女子擅长织布，每天比前一天更加用功，织布的速度也越来越快，从第二天起，每天比前一天多织相同量的布，第一天织5尺，一月织了九匹三丈，问每天增加多少尺布？”若一个月按31天 算，记该女子一个月中的第n 天所织布的尺数为n a ，则302842312931a a a a a a a a ++++++++ 错误！未找到引用源。
2017-2018学年江西省赣州市四校协作体高二(下)期中数学试卷(理科)-教师用卷
2017-2018学年江西省赣州市四校协作体高二（下）期中数学试卷（理科）副标题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.若复数z满足，则复数对应的点位于A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D【解析】解：由，得，复数对应的点的坐标为，位于第四象限．故选：D．把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，求出z的坐标得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．2.A. 0B. 2C.D.【答案】A【解析】解：因为为奇函数，且积分上下限关于原点对称，故，故选：A．根据定积分的计算法则计算即可．本题考查了定积分的计算，关键掌握积分的性质，属于基础题．3.用反证法证明命题“若整系数一元二次方程有有理根，那么a，b，c中至少有一个是偶数”时，下列假设中正确的是A. 假设a，b，c不都是偶数B. 假设a，b，c都不是偶数C. 假设a，b，c至多有一个是偶数D. 假设a，b，c至多有两个是偶数【答案】B【解析】解：根据反证法的步骤，假设是对原命题结论的否定“至少有一个”的否定“都不是”．即假设正确的是：假设a、b、c都不是偶数故选：B．本题考查反证法的概念，逻辑用语，否命题与命题的否定的概念，逻辑词语的否定根据反证法的步骤，假设是对原命题结论的否定，故只须对“b、c中至少有一个偶数”写出否定即可．一些正面词语的否定：“是”的否定：“不是”；“能”的否定：“不能”；“都是”的否定：“不都是”；“至多有一个”的否定：“至少有两个”；“至少有一个”的否定：“一个也没有”；“是至多有n个”的否定：“至少有个”；“任意的”的否定：“某个”；“任意两个”的否定：“某两个”；“所有的”的否定：“某些”．4.使得的展开式中的二项式系数最大的项是A. 5B. 6C. 7D. 6或7【答案】D【解析】解：的展开式的通项公式为，故第项的二项式系数为，故当，或6时，第项的二项式系数最大，即第6项或第7项的二项式系数最大，故选：D．根据二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，求得的展开式中的二项式系数最大的项．本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．5.的值为A. B. C. D.【答案】D【解析】解：设：，所以，所以．故选：D．设表达式为t，求出2t，利用二项式定理，求出2t的值，即可求出的值即可．本题是基础题，考查二项式定理的应用，考查计算能力．6.做直线运动的质点在任意位置x处，所受的力，则质点从，沿x轴运动到处，力所做的功是A. eB.C. 2eD.【答案】B【解析】解：根据积分的物理意义可知力所做的功为，故选：B．根据积分的物理意义，即可得到结论．本题主要考查积分的计算，利用积分物理意义是解决本题的关键．7.设n为正整数，，计算，，，，观察上述结果，可推测出一般的结论为A. B. C. D.【答案】C【解析】解：由条件知，，，，，由归纳推理得，故选：C．根据条件，寻找共同的特点，结合归纳推理的定义进行判断即可．本题主要考查归纳推理的应用，根据条件选择规律是解决本题的关键．8.由曲线，直线，与x轴所围成的平面图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积A. B. C. D.【答案】A【解析】解：如图所示，曲线，直线，与x轴所围成的平面图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积为故选：A．根据题意，旋转体的体积应该用定积分求得，此几何体的体积可以看作是，求定积分的值即可．本题考查了用定积分求简单几何体的体积应用问题，解题的关键是找出被积函数和相应的积分区间．9.7人排成一排，限定甲要排在乙的左边，乙要排在丙的左边，甲、乙相邻，乙、丙不相邻，则不同排法的种数是A. 60B. 120C. 240D. 360【答案】C【解析】解：甲乙相邻，乙丙不相邻，可以将甲乙看成一个人，7个人去掉甲乙丙一共有4个人，四个人算两边有5个空，从五个空中选出两个，那么他们的位置就固定了．四个人全排列的方法有种，从五个空中选出两个的方法有种，所以一共不同摆法有种．故选：C．甲乙相邻，乙丙不相邻，可以将甲乙看成一个人，7个人去掉甲乙丙一共有4个人，四个人算两边有5个空，从五个空中选出两个，那么他们的位置就固定了，即可得出结论．本题考查计数原理的应用，考查学生的计算能力，比较基础．10.设函数b，，若为函数的一个极值点，则下列图象不可能为的图象是A. B.C. D.【答案】D【解析】解：由，由为函数的一个极值点可得，是方程的一个根，所以有．法一：所以函数，对称轴为，且，．对于A，由图得，，，不矛盾，对于B，由图得，，，不矛盾，对于C，由图得，，，不矛盾，对于D，由图得，，与原图中矛盾，D不对．法二：所以函数，由此得函数相应方程的两根之积为1，对照四个选项发现，D不成立．故选：D．先求出函数的导函数，利用为函数的一个极值点可得a，b，c之间的关系，再代入函数，对答案分别代入验证，看哪个答案不成立即可．本题考查极值点与导函数之间的关系一般在知道一个函数的极值点时，直接把极值点代入导数令其等0即可可导函数的极值点一定是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点．11.给出下列四个命题：是增函数，无极值．在上没有最大值由曲线，所围成图形的面积是函数存在与直线平行的切线，则实数a的取值范围是其中正确命题的个数为A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】A【解析】解：对于，，当时，，是增函数，当时，，是减函数，当时，，是增函数；时有极大值，时有极小值，错误．对于，由知，当时，，是增函数，当时，，是减函数；时有极大值，也是最大值，错误．对于，，解得，或；由曲线，所围成图形的面积，正确对于，，；的取值范围是，又当时，的一条切线方程为，错误．综上，以上正确的命题为．故选：A．求导数，利用导数判定的增减性和极值；结合，利用导数判定的增减性、求极最值；利用定积分求出曲线，所围成图形的面积S；利用导数求出的切线的斜率为2时a的取值范围，去掉重和的切线．本题考查了利用导数研究函数的单调性与极值和最值的问题，也考查了利用导数求函数的切线斜率问题，利用定积分求曲线所围成的面积等问题，是综合题．12.若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则A. 1B.C.D.【答案】C【解析】解：设与和的切点分别为、；由导数的几何意义可得，得，再由切点也在各自的曲线上，可得，联立上述式子解得，，．代入，解得．故选：C．先设切点，然后利用切点来寻找切线斜率的联系，以及对应的函数值，综合联立求解即可．本题考查了导数的几何意义，体现了方程思想，考查计算能力，是中档题．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.设复数，______【答案】【解析】解：，．故答案为：．利用复数代数形式的乘除运算，再由求解．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．14.已知函数的图象在处的切线方程是，______．【答案】3【解析】解：由已知切点在切线上，所以，切点处的导数为切线斜率，所以，所以故答案为：3先将代入切线方程可求出，再由切点处的导数为切线斜率可求出的值，最后相加即可．本题主要考查导数的几何意义，即函数在某点的导数值等于以该点为切点的切线的斜率．15.已知函数在内单调递减，则实数a的取值范围______．【答案】【解析】解：由题意可得，当时，函数的导数，解得，但当时，，为常数，不满足条件，故a的范围是，故答案为：当时，根据函数的导数，解不等式求得a的范围．本题主要考查函数的单调性与导数的关系，求函数的导数，属于中档题．16.设，分别是定义在R上的奇函数和偶函数当时，，且，则不等式的解集是______．【答案】【解析】解：令，则，因此函数在R上是奇函数．当时，，在时单调递增，故函数在R上单调递增．，，．当时，函数在R上是奇函数，可知：在上单调递增，且，，的解集为．不等式的解集是．故答案为．构造函数，利用已知可判断出其奇偶性和单调性，进而即可得出不等式的解集．恰当构造函数，熟练掌握函数的奇偶性单调性是解题的关键．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.计算下列各题复数【答案】解：，；依题意可知，则有，解得，又由，则，从而有．【解析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由虚数单位i得性质求解；由题意列关于n的不等式组，求得n值，则答案可求．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查组合及排列数公式的应用，是基础题．18.已知函数的导函数，若函数的对称轴为，且．求a，b的值；求函数的极值．【答案】由于，且对称轴为，则有，则，又由于，则，解得，所以，．因为，令，即，解得或，令，即，解得，所以函数在上单调递减，在和上单调递增，当时，取得极大值，为，当时，取得极小值，为．【解析】通过导函数方程和二次函数对称轴方程建立方程组，即可解得a、b，数字系数的三次多项式函数求极值，用常规的思路和步骤求解即可．熟练掌握常见函数的求导公式和求导法则，能顺利求解方程组三次多项式函数的导函数是二次函数，故熟练解决二次不等式就能知道原函数的单调性，从而求得极值．19.设的展开式的各项系数之和为M，二项式系数之和为N，若．求n的值；求展开式中所有x的有理项．【答案】解：对于二项式，令，可得各项系数之和为．又二项系数之和为，，．的展开式的通项公式为，依题意知为整数，，2，4．当时，，当时，，当时，，所以展开式有理项为：，，．【解析】由题意利用二项式系数的性质求得M和N，再根据，求得n的值．利用二项展开式的通项公式中x的幂指数为整数，求得r的值，可得所有x的有理项．本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．20.已知为一次函数，且，求函数的解析式；若，求曲线与所围成区域面积？【答案】解：设，，，，，，；，由得或，则．【解析】利用待定系数法，结合定积分的定义求函数的解析式；求出，应用定积分来求曲线与所围成区域面积．本题主要考查了定积分，定积分运算是求导的逆运算，以及待定系数法的应用，属于基础题．21.当时，，．Ⅰ求，，，；Ⅱ猜想与的关系，并用数学归纳法证明．【答案】解：Ⅰ当时，，．，，，分Ⅱ猜想：，即：分下面用数学归纳法证明：当时，已证分假设时，，即：分则：分分，由，可知，对任意，都成立分【解析】Ⅰ由已知直接利用，2，求出，，，的值；Ⅱ利用的结果，直接猜想，然后利用数学归纳法证明，验证时猜想成立；假设时，，通过假设证明时猜想也成立即可．本题是中档题，考查数列递推关系式的应用，数学归纳法证明数列问题的方法，考查逻辑推理能力，计算能力．22.已知函数．若在处取得极值，求曲线在点处的切线方程；若关于x的不等式在时恒成立，试求实数a的取值范围．【答案】解：Ⅰ，，在处取得极值，，，，，，，曲线在点处的切线方程为：，即．，且，，即，，，令，则令，则．，0'/>，在上单调递增，，0'/>，在上单调递增，，，即a的取值范围是．【解析】对求导函数，由，求出a的值，从而求得与，写出在点处的切线方程；由在时恒成立，得不等式，构造函数，利用导函数求在上的最小值即可．本题考查了利用导数判定函数的单调性与求函数最值的问题，也考查了应用导数求曲线的切线方程与不等式恒成立问题，是难题．。
江西省赣州市十四县(市)2018年高二下学期期中联考文数试卷word版有答案(数学)
2017—2018学年第二学期赣州市十四县（市）期中联考高二年级数学试卷（文科）第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设复数21z i=-，则z 的共轭复数是（ ） A.21i +B.12i +C.21i- D.12i - 2. 在独立性检验中，统计量2χ有三个临界值：2.706、3.841和6.635，在一项打鼾与患心脏病的调查中，共调查了1000人，经计算的2χ=18.87，根据这一数据分析，认为打鼾与患心脏病之间 ( ) A ．有95%的把握认为两者无关 B ．约有95%的打鼾者患心脏病 C ．有99%的把握认为两者有关D ．约有99%的打鼾者患心脏病3.变量X 与Y 相对应的一组数据为(10,1)，(11.3,2)，(11.8,3)，(12.5,4)，(13,5)；变量U 与V 相对应的一组数据为(10,5)，(11.3,4)，(11.8,3)，(12.5,2)，(13,1)，r 1表示变量Y 与X 之间的线性相关系数，r 2表示变量V 与U 之间的线性相关系数，则( ) A ．r 2<0<r 1 B. 0<r 2<r 1 C.r 2<r 1<0 D ．r 2＝r 14.用反证法证明命题“,,a b N ab ∈可被5整除，那么,a b 中至少有一个能被5整除”时，假设的内容为( ) A.,a b 都能被5整除 B.,a b 都不能被5整除 C.,a b 不都能被5整除 D.a 不能被5整除5.已知命题p ：“∀x ∈R ，x 2＋1≥1”的否定是“∃x ∈R ，x 2＋1≤1”；命题q ：在△ABC 中，“A >B ”是“sin A >sin B ”的充分条件，则下列命题是真命题的是( )A ．p 且qB ．p 或¬qC ．¬p 且¬qD ．p 或q6.一名法官在审理一起珍宝盗窃案时，四名嫌疑人甲、乙、丙、丁的供词如下，甲说：“罪犯在乙、丙、丁三人之中”；乙说：“我没有作案，是丙偷的”；丙说：“甲、乙两人中有一人是小偷”；丁说：“乙说的是事实”．经过调查核实，四人中有两人说的是真话，另外两人说的是假话，且这四人中只有一人是罪犯，由此可判断罪犯是( )A.甲B.乙C.丙D.丁7.“1<m<3”是“方程22113x y m m+=--表示椭圆”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件8．投掷两粒骰子,得到其向上的点数分别为m 、n,则复数(m+ni)(n-mi)为实数的概率为( ) A.13B.14 C.16D.1129.若执行下面的程序框图，输出S 的值为3，则判断框中应填入的条件是（ ）A.?6<kB.?7<k C.?8<k D.?9<k10.已知抛物线()2:20C y px p=>，直线):1l y x=-交抛物线于A,B，两点，若163AB=，则p=( )A.2B. 4C. 6D.811.如图，12,F F是双曲线22221x ya b-=(0,0)a b>>的左、右焦点，过1F的直线l与双曲线的左右两支分别交于点A、B．若2ABF∆为等边三角形，则双曲线的离心率为（）A．4 B D12．已知定义在R上的函数()f x满足()11f=，且()f x的导数()f x'在R 上恒有()12f x'<，则不等式()22122xf x<+的解集为( )A．(1，＋∞) B．(－∞，－1) C．(－1,1) D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．若ABC△内切圆半径为r，三边长为a b c，，，则ABC△的面积1()2S r a b c=++，根据类比思想，若四面体内切球半径为R，四个面的面积为1S，2S，3S，4S，则四面体的体积为14．在极坐标系中，圆2ρ=上的点到直线()cos6ρθθ+=的距离的最小值是15．若函数()2xxf xe-=在x x=处取得极值，则x=16、双曲线12222=-byax的离心率为1e，双曲线12222=-aybx的离心率为2e，则21ee+的最小值为三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程和演算步骤17．已知下列两个命题：P函数()()224f x x mx m R=-+∈在[2，＋∞)单调递增；Q关于x的不等式()()244210x m x m R+-+>∈的解集为R.若P Q∨为真命题，P Q∧为假命题，求m的取值范围．18．已知曲线C的极坐标方程是48cos4sin0ρθθρ-++=，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，在平面直角坐标系xOy中，直线l经过点(5,2)P-，倾斜角3πα=.（1）写出曲线C 的直角坐标方程和直线l 的参数方程； （2）设l 与曲线C 相交于A ，B 两点，求||AB 的值. 19. 设函数()|21||2|f x x x =--+。
易错汇总年江西省赣州市十四县(市)高二上学期数学期中试卷带答案(理科)
则 α∥β．
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④若平面 EFGH与平行四边形 ABCD相交于 AB，则 CD∥平面 EFGH．
A．0 个 B．1 个 C．2 个 D．3 个
11．（5 分）设等差数列 { an} 的前 n 项和为 Sn，已知（ a4﹣ 1）3+2017（a4﹣1）=1，
（ a2014﹣1）3+2017（a2014﹣1）=﹣1，则下列结论正确的是（
﹣ 9） 2+…+（ xn﹣9） 2] =2，
则 （2+x1+2+x2+…+2+xn）=
=11，
样本 2+x1，2+x2， …， 2+xn 的方差 S2= [ （2+x1﹣11） 2+（2+x2﹣ 11）2+…+（2+xn ﹣ 11）2] = [ （x1﹣9）2+（ x2﹣9）2+…+（xn﹣9）2] =2，
13．（ 5 分）已知数列 { an} 是递增的等比数列， a1+a4=9，a2a3=8，则数列 { an} 的前
n 项和等于
．
14．（5 分）在正方体 ABCD﹣ A1B1C1D1 中，P 为 AA1 中点，Q 为 CC1 的中点，AB=2，
则三棱锥 B﹣PQD的体积为
．
15．（ 5 分）三棱锥 A﹣BCD，AB=AD=
）
A．S2017=﹣2017， a2014＜a4 B．S2017=2017，a2014＞a4
C．S2017=﹣ 2017， a2014＞a4 D．S2017=2017，a2014＜a4
12．（ 5 分）已知 x，y 满足
江西省赣州市第一中学2017-2018学年高二下学期期中考试仿真卷(A卷)理科数学试题
20172018学年下学期高二年级期中考试仿真测试卷数学（A ）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．[2018·汇文中学]若复数21iz =-，其中i 为虚数单位，则共轭复数z =（ ）．A ．1i +B ．1i -C ．1i -+D ．1i --【答案】B 【解析】()()()21i 21i 1i1i 1i z +===+--+，则复数的共轭复数为1i -，故选B ．2．[2018·人大附中]设()ln f x x x =，若()02f x '=，则0x 等于（ ） A ．2e B ．e C ．ln 22D ．ln2【答案】B【解析】由函数的解析式可得：()ln 1f x x '=+，则()00ln 12f x x '=+=，0ln 1x ∴=，0e x =，本题选择B 选项．3．[2018·北京工大附中]函数332e x y x x -=+-，则导数y '=（ ）A ．2236e xx x-+-B ．22312e 3xx x-++此卷只装订不密封班级 姓名 准考证号 考场号 座位号C ．22316e 3xx x-++D ．22316e 3+x x x--+【答案】D【解析】根据幂函数的求导公式、指数函数的求导公式以及复合函数的求导法则可知，()2222331161633+ee xx y x xx x----=+-⨯-=+'，故选D ．4．[2018·山西一模]完成下列表格，据此可猜想多面体各面内角和的总和的表达式是（ ）（说明：上述表格内，顶点数V 指多面体的顶点数．） A ．()22πV - B ．()22πF -C ．()2πE -D ．()4πV F +-【答案】A【解析】用正方体（8V =，6F =，12E =）代入选项逐一检验，可排除B ，C ，D 选项． 故选：A5．[2018·湖北联考]如图，在矩形ABCD 中，2AB =，1AD =，以A 为顶点且过点C 的抛物线的一部分在矩形内．若在矩形ABCD 内随机地投一点，则此点落在阴影部分内的概率为（ ）A ．12B ．23C ．35D ．34【答案】B【解析】由题可知建立以AB 为X 轴，AD 为Y 轴的直角坐标系，则抛物线方程为214y x =，:2232011414123y x dx x x =-=-=⎛⎫⎪⎝⎭⎰，则此点落在阴影部分内的概率为42323=． 6．[2018·北京工大附中]函数()21ln 2f x x x =-的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】由函数()21ln 2f x x x =-得()211x f x x xx'-=-=，定义域为()0,+∞，由()0f x '>，得01x <<；由()0f x '<，得1x >，∴函数()f x 在区间()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减，且()f x 在()0,+∞上的最大值为()1102f =-<，故选B ．7．[2018·豫西名校]已知函数()222e xf x x ax ax =--在[)1,+∞上单调递增，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(],e -∞ B ．(],1-∞ C ．[),e +∞ D ．[)1,+∞【答案】A【解析】()()()()()212121e e x x f x x a x x a =+-+=+-'，因为函数()f x 在区间[)1,+∞上单调递增，所以导函数在区间[)1,+∞上上()0f x '≥，即0e x a -≥，e xa ≤，e a ≤，选A ．8．[2018·淮北一中]将正整数排成下表： 1 234 56789 ……………则在表中数字2017出现在（ ） A ．第44行第80列 B ．第45行第80列 C ．第44行第81列D ．第45行第81列【答案】D【解析】因为每行的最后一个数分别为1，4，9，16，…，所以由此归纳出第n 行的最后一个数为2n ．因为442=1936，452=2025，所以2017出现在第45行上； 又由2017﹣1936=81，故2017出现在第81列，故选D ．9．[2018·人大附中]若函数()32f x x ax a =-+在()01，内无极值，则实数a 的取值范围是（ ） A ．30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．(),0-∞C ．3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．(]3,0,2⎡⎫-∞+∞⎪⎢⎣⎭【答案】D【解析】由函数的解析式可得：()232f x x a '=-，函数()32f x x ax a =-+在()01，内无极值，则()0f x '=在区间()01，内没有实数根， 当0a ≤时，()0f x '≥恒成立，函数()f x 无极值，满足题意，当0a >时，由()0f x '=可得x =1≥，解得：32a ≥， 综上可得：实数a 的取值范围是(]3,0,2⎡⎫-∞+∞⎪⎢⎣⎭，本题选择D 选项．10．[2018·中山期末][]0,3的最大值与最小值之积为（ ）A B C D 【答案】B【解析】结合函数的解析式有：()()()2422f x x x x '=-=+-，当()0,2x ∈时，()'0f x <，()f x 单调递减， 当()2,4x ∈时，()'0f x >，()f x 单调递增， 且：()04f =，()423f =-，()31f =，据此可得函数的最大值为()04f =，函数的最小值为()423f =-，则最大值与最小值之积为416433-⨯=-．本题选择B 选项．11．[2018·南阳一中]从图中所示的矩形OABC 区域内任取一点(),M x y ，则点M 取自阴影部分的概率为（ ）A ．13B ．12C ．14D ．23【答案】B【解析】阴影部分的面积为()()121222221xx dx xx x-----+--=-⎰⎰，矩形的面积为2，故点M 取自阴影部分的概率为12．故选B ．12．[2018·豫西名校]偶函数()f x 定义域为ππ,22-⎛⎫⎪⎝⎭，其导函数是()f x '．当0π2x <<时，有()()cos sin 0f x x f x x '+<，则关于x 的不等式()2cos 4πf x f x >⎛⎫⎪⎝⎭的解集为（ ） A ．ππ,42⎛⎫⎪⎝⎭B ．ππππ,,2442-⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ C ．ππ,44-⎛⎫⎪⎝⎭D ．πππ,0,442-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】C【解析】由题意构造函数()()cos f x F x x=，()()()2cos sin cos f x x f x xF x x+''=，所以函数()F x 在区间π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭()0F x '<，()F x π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭()π2cos 4f x f x >⎛⎫⎪⎝⎭ππ,22x ∈-⎛⎫⎪⎝⎭时，可变形为()π4cos 22f f x x >⎛⎫⎪⎝⎭，即()π4F x F >⎛⎫⎪⎝⎭，即ππ44x -<<．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．[2018·首师附中]若复数z 满足，则复数z 的模为__________．【解析】14．[2018·百校联盟]函数()ln g x x =图象上一点P 到直线y x =的最短距离为__________． 2【解析】设与直线y x =平行的且与()ln g x x =相切的直线切点为()00,ln x x ，因为()1ln 'x x=，则011x =，01x ∴=，则切点为()1,0，∴最短距离为切点到直线yx =的距离：2d ==，故答案为2．15．[2018·上饶模拟]二维空间中，圆的一维测度（周长）2πl r =，二维测度（面积）2πS r =；三维空间中，球的二维测度（表面积）24πS r =，三维测度（体积）推理，若四维空间中，“特级球”的三维测度312πV r =，则其四维测度W =__________． 【答案】43πr 【解析】二维空间中圆的一维测度（周长）2πl r =，二维测度（面积）2πS r =；观察发现S l '=，三维空间中球的二维测度（表面积）24πS r =，三维测度（体积）发现V S '=，∴四维空间中“超球”的三维测度38πV r =，猜想其四维测度W ，则312πW V r '==，43πW r ∴=，故答案为43πr ．16．[2018·烟台诊断]直线y b =分别与直线21y x =+和曲线ln y x =相交于点A 、B ，则AB 的最小值为____________________． 【答案】ln 212+【解析】两个交点分别为1A ,2b b -⎛⎫ ⎪⎝⎭，()e ,b B b ，1e 2bb AB -=-， 设函数()1e 2xx g x -=-，()1e 2xg x '=-，()0g x '=的根为ln 2x =-，所以()g x 在区间(),ln 2-∞-单调递减，在区间()ln 2,-+∞上单调递增， 所以()()ln 2min g x g =-=ln 212+．填ln 212+．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．[2018·石嘴山中学]已知复数1Z 2ai =+（其中a ∈R 且a 0>，i 为虚数单位），且21z 为纯虚数．（1）求实数a 的值； （2）若1z z 1i=-，求复数z 的模z ． 【答案】（1）2；（2）2．【解析】（1）2221(2i)44i z a a a =+=-+，因为21z 为纯虚数，所以2400 0a a a ⎧-=≠>⎪⎨⎪⎩，解得：2a =．·······6分 （2）122i z =+，22i (22i)(1i)4i2i 1i (1i)(1i)2z +++====--+，2z =．·······12分 18．[2018·西城156中]已知函数()32133f x x x x =--．（）求()f x 的单调区间．（）求()f x 在区间[]3,3-上的最大值和最小值．【答案】（1）单调递增区间为()1-∞-，和()3,+∞，单调递减区间为()1,3-；（2）的最大值为53，最小值为9-．【解析】（）由题得()()()22313f x x x x x '=--=+-．令()0f x '>，解得1x <-或3x >，令()0f x '<，解得13x -<<，∴()f x 的单调递增区间为()1-∞-，和()3,+∞，单调递减区间为()1,3-．·······6分（）由（）可知，()f x 在区间()3,1--上单调递增， 在()1,3-上单调递减，且()39f -=-，()39f =-， ∴()f x 在区间[]3,3-上的最大值为5(1)3f -=， 最小值为()()339f f -==-．·······12分19．[2018·豫西名校]（1）当0n ≥时，证明：211n n n n +-+<+-； （2）已知x ∈R ，21a x =-，22b x =+，求证：a ，b 中至少有一个不小于0． 【答案】（1）见解析；（2）见解析．【解析】（1）要证211n n n n +-+<+-， 即证221n n n ++<+，只要证()()22221n nn ++<+，即证()222244n n n n +++<+，即证()21n n n +<+， 只要证22221n n n n +<++，而上式显然成立， 所以211n n n n +-+<+-成立．·······6分 （2）假设0a <且0b <，由210a x =-<得11x -<<，由220b x =+<得1x <-，这与11x -<<矛盾，所以假设错误，所以a 、b 中至少有一个不小于0．·······12分 20．[2018·天津联考]已知曲线21:2C y x =与221:2C y x =在第一象限内交点为P ．（1）求过点P 且与曲线2C 相切的直线方程；（2）求两条曲线所围图形（如图所示阴影部分）的面积S ． 【答案】解：（1）22212y xy x==⎧⎪⎨⎪⎩，22x y =⎧∴⎨=⎩，(2,2)P ∴，221()22x k x ='==，∴所求切线方程为：220x y --=．·······6分（2）2322320200011142(2)2363xdx x dx x x -=-=⎰⎰，·······12分 解法2：算y x =与212y x =围出的面积，再利用对称性可求．【解析】略．21．[2018·北京八中]若函数()34f x ax bx -=＋，当2x =时，函数()f x 有极值43-．（1）求函数的解析式；（2）若关于x 的方程()f x k =有三个零点，求实数k 的取值范围．【答案】（1）()31443f x x x =-＋；（2）42833k -＜＜．【解析】（1）由题意可知()23f x ax b '=－，于是()423f =-，()20f '=解得13a =，4b =故所求的解析式为()31443f x x x =-＋． (5)分（2）由（1）可知()2()()422f x x x x =--'+=，令()0f x '=，得2x =或2x =-． 当x 变化时()f x '、()f x 的变化情况如下表所示：x(),2-∞-2-()2,2-2()2,+∞()f x ' + 0 0 +()f x单调递增283单调递减43- 单调递增因此，当2x =-时，()f x 有极大值283；当2x =时，()f x 有极小值43-． 所以函数的大致图象如图，故实数k 的取值范围是42833k -<<．·······12分22．[2018·贺州调研]已知函数()()()ln f x x a x a =+-∈R ，直线22:ln 333l y x =-+-是曲线()y f x =的的一条切线． （1）求a 的值；（2）设函数()()2e 22g x x x f x a a =----+，证明：函数()g x 无零点． 【答案】（1）1a =；（2）见解析． 【解析】（1）()11f x x a'=-+，设切点为()00,P x y ，则()0000121322ln ln 333x a x a x x -=-++-=-+-⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩， 解得02x =，1a =，∴1a =为所求．·······4分（2）由（1）知()()e 2112e ln xxg x x x f x x x x =----+=--，()()()()111e 1e1xxx g x x x xx+=+--=-'，令()e 1x G x x =-，∵当0x >时，()()1e 0xG x x =+>'，∴函数()G x 在()0+∞，上单调递增， 又()010G =-<，()1e 10G =->，∴()G x 存在唯一零点()0,1c ∈，且当()0,x c ∈时，()0G x <，当(),x c ∈+∞时，()0G x >． 即当()0,x c ∈时，()0g x '<；当(),x c ∈+∞时，()0g x '>， ∴()g x 在()0,c 上单调递减，在(),c +∞上单调递增，∴()()g x g c ≥． ∵()10e x G c c =+-=，01c <<，∴()ln 1ln 0x g c c c c c c c =+--=-->， ∴()()0g x g c ≥>，∴函数()g x 无零点．·······12分。
江西省赣州市十四县(市)17学年高二数学下学期期中联考试题理
2016~2017学年第二学期赣州市十四县（市）期中联考高二数学试卷（理科）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设i 是虚数单位，则复数313i 12iz -=-的共轭复数z 在复平面内对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．用反证法证明命题“若自然数a ，b ，c 的积为偶数，则a ，b ，c 中至少有一个偶数”时，对结论正确的反设为（ ）A ．a ，b ，c 中至多有一个偶数B ．a ，b ，c 都是奇数C ．a ，b ，c 至多有一个奇数D ．a ，b ，c 都是偶数3．若22nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中二项式系数之和为64，则n 等于（ ）A ．5B ．7C ．8D ．64．若曲线()32f x x ax b =-+在点()()1,1f 处切线的倾斜角为34π，则a 等于（ ） A ．2 B ．2- C ．3 D ．1-5．把2名新生分别到甲、乙、丙、丁四个班，甲班必须且只能分配1名新生，则不同的分配方法有（ ）A ．3种B ．4种C ．6种D ．8种6．已知复数()()32i i z a b =+-的实部为4，其中a 、b 为正实数，则2a b +的最小值为（ ）A ．2B ．4C ．3D ．37．观察下列各式：11123=+，111121232+=+++，1112123+++++1312345=+++，…， 则1112123+++++11212++++L L 等于（ ） A ．56 B ．1112 C ．1113 D ．12138．设函数()f x 在R 上可导，其导函数为()f x '，且函数()f x 在4x =-处取得极小值，则函数()y xf x '=的图象可能是（ ）A B C D9．已知圆M ：()2224x y -+=，则过点()1,1的直线中被圆M 截得的最短弦长为类比上述方法：设球O 是棱长为3的正方体1111ABCD A BC D -的外接球,过1AC 的一个三等分点作球的O 的截面，则最小截面的面积为（ ）A ．πB ．4πC ．5πD ．6π10．设()602x a -=+()()21211a x a x ++++()661a x ++L ，则012a a a ++356a a a +++等于（ ）A ．4B ．71-C ．64D ．19911．“603c o s a d πθθ≥⎰”是“直线l ：2220ax y a -+=（0a >）与双曲线C ：22214x y a -=的右支无交点”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件12．已知函数()()2e xf x x bx =-（R b ∈）在区间1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上存在单调递增区间，则实数b 的取值范围是（ ）A ．8,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B ．5,6⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C ．35,26⎛⎫-⎪⎝⎭ D ．8,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13．复数z 满足()2i i 3i z +=-，则z = ． 14．函数()4cos 5f x x x =--在0,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为 ．15．3男3女共6名同学排成一排合影，要求女同学不站两头且不全相邻，则不同的排法种数为 ．16．将全体正整数排成一个三角形数阵：按照以上排列的规律，第n 行（2n ≥）从左向右的第3个数为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（1）从0，1，2，3，4，5这六个数字任取3个，问能组成多少个没有重复数字的三位数？（2）若()5523a x x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开式中含10x 项的系数为43，求实数a 的值.18．已知函数()3213f x x x x =-+. （1）求函数()f x 在[]1,2-上的最大值和最小值；（2）若函数()()4g x f x x =-，[]3,2x ∈-，求()g x 的单调区间.19．已知三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面ABC ，5AB =，4AC =，3BC =，14AA =，点D 在AB 上.（1）若D 是AB 的中点.求证：1AC ∥平面1B CD ； （2）当15BD AB =时，求二面角1B CD B --的余弦值.20．在数列{}n a 中，113a =，且1221n a a a n +++-L n na =（n +∈N ）. （1）写出此数列的前4项；（2）归纳猜想{}n a 的通项公式，并用数学归纳法加以证明.21．已知椭圆G ：222213x y b b+=（0b >）的上、下顶点和右焦点分别为M 、N 和F ，且MFNV的面积为（1）求椭圆G 的方程；（2）若斜率为1的直线l 与椭圆G 交于A 、B 两点，以AB 为底作等腰三角形，顶点为()3,2P -，求PAB ∆的面积.22．已知函数()ln f x x a x =-，()R a ∈. （1）讨论函数()f x 在定义域内的极值点的个数； （2）设()1a g x x+=-，若不等式()()f x g x >对任意[]1,e x ∈恒成立，求a 的取值范围.2016~2017学年第二学期赣州市十四县（市）期中联考高二数学试卷参考答案（理科）一、选择题1-5:CBDAC 6-10:DCCDB 11、12：AA 二、填空题13．1- 15．72 16．224n n -+ 三、解答题17．解：（1）若选数字0，则可组成122540C A =个没有重复数字的三位数； 若不选数字0，则可组成3560A =个没有重复数字的三位数；故共可组成6040100+=个没有重复数字的三位数.（2）52a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭Q 的展开式含10x 项的系数为05C ，52a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式含4x 项的系数为225a C ， 02255343C a C ∴+=，解得2a =±.18．解：（1）()221f x x x '=-+Q ()210x =-≥，∴函数()f x 在[]1,2-上单调递增.()()min 1f x f ∴=-73=-，()()max 223f x f ==.（2）()313g x x =Q 23x x --，()223g x x x '∴=--，由()223g x x x '=--0>，得1x <-或3x >， 由()223g x x x '=--0<，得13x -<<，[]3,2x ∈-Q ，()g x ∴的增区间为[)3,1--，减区间为(]1,2-.19．解：（1）证明：连结1BC ，交1B C 于E ，连结DE .Q 侧面11BB C C 为平行四边形，E 为1BC 中点，D 是AB 的中点，DE ∴为1ABC V 的中位线，1DE AC ∴∥，DE ⊂Q 平面1B CD ，1AC ⊄平面1B CD ，1AC ∥平面1B CD ，（2）AC BC ⊥Q ，∴如图，以C 为原点建立空间直角坐标系C xyz -.则()3,0,0B ，()0,4,0A ，()10,0,4C ，()13,0,4B . 设(),,0D a b （0a >，0b >），Q 点D 在线段AB 上，且15BD AB =，即15BD BA =uu u r uu r ， 125a ∴=，45b =.()13,0,4B C ∴=--uuu r ，()3,4,0BA =-uu r ，124,,055CD ⎛⎫= ⎪⎝⎭uu u r .平面BCD 的一个法向量为()10,0,1n =u r， 设平面1B CD 的法向量为()2,,1n x y =u u r，由120B C n ⋅=uuu r u u r ，20CD n ⋅=uu u r u u r ，得340,1240.55x x y --=⎧⎪⎨+=⎪⎩43x ∴=-，4y =，24,4,13n ⎛⎫=- ⎪⎝⎭u u r .设二面角1B CD B --的大小为θ，1212cos n n n n θ⋅==u r u u ru r u u r313. ∴二面角1B CD B --的余弦值为313.20．解：（1）由已知113a =，123n a a a a n ++++L ()21n n a =-，分别取2,3,4n =，得2115a a == 113515=⨯， ()312114a a a =+=115735=⨯，()4123127a a a a =++=117963=⨯. 所以数列的前4项是：113a =,2115a =,3135a =,4163a =.（2）证明：由（1）中的计算可以猜想()()12121n a n n =-+.下面用数学归纳法证明： ①当1n =时，猜想显然成立. ②假设当n k =时猜想成立，即()()12121k a k k =-+.那么由已知，得12311k k a a a a a k +++++++L ()123k k a +=+，即123k a a a a ++++L ()2123k k k a +=+，又12k a a a k+++L ()21k k a =-，所以()21k k a -()2123k k k a +=+，即()21k k a -=()123k k a ++， 又由归纳假设，得()()()1212121k k k --+()123k k a +=+，所以()()112123k a k k +=++，即当1n k =+时，公式也成立.由①和②可知，对一切N n +∈都有()()12121n a n n =-+成立.21．解：（1）设椭圆的焦距为2c ，长轴长为2a ，则223a b =，222232c b b b ∴=-=，则c =，MFN QV的面积为122b ∴⋅= 则24b =，212a =，∴椭圆G 的方程为221124x y +=. （2）设直线l 的方程为y x m =+.由221124y x m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得22463x mx m ++120-=.①设A 、B 的坐标别为()11,x y ，()22,x y （12x x <），AB 的中点为()00,E x y ，则120324x x mx +==-，004my x m =+=， AB Q 是等腰PAB V 的底边，PE AB ∴⊥.所以PE 的斜率24134mk -==--+，解得2m =. 此时方程①为24120x x +=，解得13x =-，20x =，11y ∴=-，22y =，则AB =.Q 点()3,2P -到直线AB ：20x y -+=的距离2d ==， PAB ∴V 的面积1922S AB d =⋅=. 22．解：（1）()1a x af x x x-'=-=（0x >），当0a ≤时，()0f x '>在()0,+∞上恒成立，函数()f x 在()0,+∞单调递增，()f x ∴在()0,+∞上没有极值点. 当0a >时，()0f x '<得0x a <<，()0f x '>得x a >，()f x ∴在()0,a 上递减，在(),a +∞上递增，即()f x 在x a =处有极小值，无极大值. ∴当0a ≤时，()f x 在()0,+∞上没有极值点，当0a >时，()f x 在()0,+∞上有一个极值点. （2）设()()()h x f x g x =-1ln ax a x x+=+-（0x >），()211a a h x x x +'=--()221x ax a x --+=()()211x x a x+-+⎡⎤⎣⎦=， 不等式()()f x g x >对任意[]1,e x ∈恒成立，即函数()1ah x x x+=+ln a x -在[]1,e 上的最小值大于零.①当1e a +≥，即e 1a ≥-时，()h x 在[]1,e 上单调递减. 所以()h x 的最小值为()e h ，由()1e e e a h +=+0a ->可得2e 1e 1a +<-， 因为2e 1e 1e 1+>--，所以2e 1e 1e 1a +-≤<-. ②当11a +≤，即0a ≤时，()h x 在[]1,e 上单调递增，所以()h x 最小值为()1h ，由()1110h a =++>可得2a >-，即20a -<≤. ③当11e a <+≤，即0e 1a <≤-时，可得()h x 最小值为()1h a +， 因为()0ln 11a <+<，所以()0ln 1a a a <+<， 故()12h a a +=+()ln 12a a -+>， 即0e 1a <<-.综上所述，a 的取值范围是：2e 12,e 1⎛⎫+- ⎪-⎝⎭.。
江西省赣州市十四县(市)高二数学下学期期中联考试题
2016~2017学年第二学期赣州市十四县（市）期中联考高二数学试卷（理科）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设i 是虚数单位，则复数313i 12iz -=-的共轭复数z 在复平面内对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．用反证法证明命题“若自然数a ，b ，c 的积为偶数，则a ，b ，c 中至少有一个偶数”时，对结论正确的反设为（ ）A ．a ，b ，c 中至多有一个偶数B ．a ，b ，c 都是奇数C ．a ，b ，c 至多有一个奇数D ．a ，b ，c 都是偶数3．若22nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中二项式系数之和为64，则n 等于（ ）A ．5B ．7C ．8D ．64．若曲线()32f x x ax b =-+在点()()1,1f 处切线的倾斜角为34π，则a 等于（ ） A ．2 B ．2- C ．3 D ．1-5．把2名新生分别到甲、乙、丙、丁四个班，甲班必须且只能分配1名新生，则不同的分配方法有（ ）A ．3种B ．4种C ．6种D ．8种6．已知复数()()32i i z a b =+-的实部为4，其中a 、b 为正实数，则2a b +的最小值为（ ）A ．2B ．4CD 7．观察下列各式：11123=+，111121232+=+++，1112123+++++1312345=+++，…， 则1112123+++++11212++++L L 等于（ ） A ．56 B ．1112 C ．1113 D ．12138．设函数()f x 在R 上可导，其导函数为()f x '，且函数()f x 在4x =-处取得极小值，则函数()y xf x '=的图象可能是（ ）A B C D9．已知圆M ：()2224x y -+=，则过点()1,1的直线中被圆M 截得的最短弦长为类比上述方法：设球O 是棱长为3的正方体1111ABCD A B C D -的外接球,过1AC 的一个三等分点作球的O 的截面，则最小截面的面积为（ ）A ．πB ．4πC ．5πD ．6π10．设()602x a -=+()()21211a x a x ++++()661a x ++L ，则012a a a ++356a a a +++等于（ ）A ．4B ．71-C ．64D ．19911．“603c o sa d πθθ≥⎰”是“直线l ：2220ax y a -+=（0a >）与双曲线C ：22214x y a -=的右支无交点”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 12．已知函数()()2e xf x xbx =-（R b ∈）在区间1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上存在单调递增区间，则实数b 的取值范围是（ ）A ．8,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B ．5,6⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ C ．35,26⎛⎫- ⎪⎝⎭ D ．8,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13．复数z 满足()2i i 3i z +=-，则z = ． 14．函数()4cos 5f x x x =--在0,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为 ．15．3男3女共6名同学排成一排合影，要求女同学不站两头且不全相邻，则不同的排法种数为 ．16．将全体正整数排成一个三角形数阵：按照以上排列的规律，第n 行（2n ≥）从左向右的第3个数为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（1）从0，1，2，3，4，5这六个数字任取3个，问能组成多少个没有重复数字的三位数？（2）若()5523a x x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开式中含10x 项的系数为43，求实数a 的值.18．已知函数()3213f x x x x =-+. （1）求函数()f x 在[]1,2-上的最大值和最小值；（2）若函数()()4g x f x x =-，[]3,2x ∈-，求()g x 的单调区间.19．已知三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面ABC ，5AB =，4AC =，3BC =，14AA =，点D 在AB 上.（1）若D 是AB 的中点.求证：1AC ∥平面1B CD ； （2）当15BD AB =时，求二面角1B CD B --的余弦值.20．在数列{}n a 中，113a =，且1221n a a a n +++-L n na =（n +∈N ）. （1）写出此数列的前4项；（2）归纳猜想{}n a 的通项公式，并用数学归纳法加以证明.21．已知椭圆G ：222213x y b b+=（0b >）的上、下顶点和右焦点分别为M 、N 和F ，且MFNV的面积为. （1）求椭圆G 的方程；（2）若斜率为1的直线l 与椭圆G 交于A 、B 两点，以AB 为底作等腰三角形，顶点为()3,2P -，求PAB ∆的面积.22．已知函数()ln f x x a x =-，()R a ∈. （1）讨论函数()f x 在定义域内的极值点的个数； （2）设()1a g x x+=-，若不等式()()f x g x >对任意[]1,e x ∈恒成立，求a 的取值范围.2016~2017学年第二学期赣州市十四县（市）期中联考高二数学试卷参考答案（理科）一、选择题1-5:CBDAC 6-10:DCCDB 11、12：AA 二、填空题13 14．1- 15．72 16．224n n -+三、解答题17．解：（1）若选数字0，则可组成122540C A =个没有重复数字的三位数； 若不选数字0，则可组成3560A =个没有重复数字的三位数；故共可组成6040100+=个没有重复数字的三位数.（2）52a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭Q 的展开式含10x 项的系数为05C ，52a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式含4x 项的系数为225a C ， 02255343C a C ∴+=，解得2a =±.18．解：（1）()221f x x x '=-+Q ()210x =-≥，∴函数()f x 在[]1,2-上单调递增.()()min 1f x f ∴=-73=-，()()max 223f x f ==.（2）()313g x x =Q 23x x --，()223g x x x '∴=--，由()223g x x x '=--0>，得1x <-或3x >，由()223g x x x '=--0<，得13x -<<，[]3,2x ∈-Q ，()g x ∴的增区间为[)3,1--，减区间为(]1,2-.19．解：（1）证明：连结1BC ，交1B C 于E ，连结DE .Q 侧面11BB C C 为平行四边形，E 为1BC 中点，D 是AB 的中点，DE ∴为1ABC V 的中位线，1DE AC ∴∥，DE ⊂Q 平面1B CD ，1AC ⊄平面1B CD ，1AC ∥平面1B CD ，（2）AC BC ⊥Q ，∴如图，以C 为原点建立空间直角坐标系C xyz -.则()3,0,0B ，()0,4,0A ，()10,0,4C ，()13,0,4B . 设(),,0D a b （0a >，0b >），Q 点D 在线段AB 上，且15BD AB =，即15BD BA =uu u r uu r ，125a ∴=，45b =.()13,0,4B C ∴=--uuu r ，()3,4,0BA =-uu r，124,,055CD ⎛⎫= ⎪⎝⎭uu u r .平面BCD 的一个法向量为()10,0,1n =u r， 设平面1B CD 的法向量为()2,,1n x y =u u r，由120B C n ⋅=uuu r u u r ，20CD n ⋅=uu u r u u r ，得340,1240.55x x y --=⎧⎪⎨+=⎪⎩43x ∴=-，4y =，24,4,13n ⎛⎫=- ⎪⎝⎭u u r .设二面角1B CD B --的大小为θ，1212cos n n n n θ⋅==u r u u ru r u u r313. ∴二面角1B CD B --的余弦值为313.20．解：（1）由已知113a =，123n a a a a n ++++L ()21n n a =-，分别取2,3,4n =，得2115a a == 113515=⨯， ()312114a a a =+=115735=⨯，()4123127a a a a =++=117963=⨯. 所以数列的前4项是：113a =,2115a =,3135a =,4163a =.（2）证明：由（1）中的计算可以猜想()()12121n a n n =-+.下面用数学归纳法证明： ①当1n =时，猜想显然成立. ②假设当n k =时猜想成立，即()()12121k a k k =-+.那么由已知，得12311k k a a a a a k +++++++L ()123k k a +=+，即123k a a a a ++++L ()2123k k k a +=+，又12k a a a k+++L ()21k k a =-，所以()21k k a -()2123k k k a +=+，即()21k k a -=()123k k a ++， 又由归纳假设，得()()()1212121k k k --+()123k k a +=+，所以()()112123k a k k +=++，即当1n k =+时，公式也成立.由①和②可知，对一切N n +∈都有()()12121n a n n =-+成立.21．解：（1）设椭圆的焦距为2c ，长轴长为2a ，则223a b =，222232c b b b ∴=-=，则c =，MFN QV的面积为，122b ∴⋅= 则24b =，212a =，∴椭圆G 的方程为221124x y +=. （2）设直线l 的方程为y x m =+.由221124y x m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得22463x mx m ++120-=.①设A 、B 的坐标别为()11,x y ，()22,x y （12x x <），AB 的中点为()00,E x y ，则120324x x mx +==-，004my x m =+=， AB Q 是等腰PAB V 的底边，PE AB ∴⊥.所以PE 的斜率241334mk m -==--+，解得2m =. 此时方程①为24120x x +=，解得13x =-，20x =，11y ∴=-，22y =，则AB =Q 点()3,2P -到直线AB ：20x y -+=的距离2d ==， PAB ∴V 的面积1922S AB d =⋅=. 22．解：（1）()1a x af x x x-'=-=（0x >），当0a ≤时，()0f x '>在()0,+∞上恒成立，函数()f x 在()0,+∞单调递增，()f x ∴在()0,+∞上没有极值点. 当0a >时，()0f x '<得0x a <<，()0f x '>得x a >，()f x ∴在()0,a 上递减，在(),a +∞上递增，即()f x 在x a =处有极小值，无极大值.∴当0a ≤时，()f x 在()0,+∞上没有极值点，当0a >时，()f x 在()0,+∞上有一个极值点. （2）设()()()h x f x g x =-1ln ax a x x+=+-（0x >），()211a a h x x x+'=--()221x ax a x --+=()()211x x a x +-+⎡⎤⎣⎦=，不等式()()f x g x >对任意[]1,e x ∈恒成立，即函数()1ah x x x+=+ln a x -在[]1,e 上的最小值大于零.①当1e a +≥，即e 1a ≥-时，()h x 在[]1,e 上单调递减. 所以()h x 的最小值为()e h ，由()1e e e ah +=+0a ->可得2e 1e 1a +<-， 因为2e 1e 1e 1+>--，所以2e 1e 1e 1a +-≤<-. ②当11a +≤，即0a ≤时，()h x 在[]1,e 上单调递增，所以()h x 最小值为()1h ，由()1110h a =++>可得2a >-，即20a -<≤. ③当11e a <+≤，即0e 1a <≤-时，可得()h x 最小值为()1h a +， 因为()0ln 11a <+<，所以()0ln 1a a a <+<， 故()12h a a +=+()ln 12a a -+>， 即0e 1a <<-.综上所述，a 的取值范围是：2e 12,e 1⎛⎫+- ⎪-⎝⎭.。
江西省赣州市十四县(市)2018-2019学年高二上学期期中联考数学(理)试题(解析版)
2018--2019学年第一学期赣州市十四县（市）期中联考高二理科数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.与直线平行且过点的直线方程为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】求出直线的斜率，利用点斜式方程求解即可．【详解】与直线l：3x﹣4y+5=0平行的直线的斜率为．与直线l：3x﹣4y+5=0平行且过点（﹣1，2）的直线方程为：y﹣2=（x+1）．即：3x﹣4y+11=0．故选：C．【点睛】本题考查直线方程的求法，直线与直线的平行关系的应用，考查计算能力．2.若一组数据的方差为1，则的方差为（）A. 1B. 2C. 4D. 8【答案】C【解析】【分析】由D（aX+b）=a2（DX），能求出结果．【详解】∵一组数据x1，x2，…，x n的方差为1，∴2x1+4，2x2+4，…，2x n+4的方差为：22×1=4．故选：C．【点睛】本题考查方差的求法，考查方差的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．3.已知，且，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由诱导公式可得，再由同角基本关系式可得结果.【详解】∵，且，∴，cos∴故选：A【点睛】本题考查利用诱导公式与同角基本关系式化简求值，属于基础题.4.若数列为等差数列，为其前项和，且，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由可得，又，从而得到结果.【详解】∵数列为等差数列，为其前项和，且，∴∴，即∴故选：D【点睛】在解决等差、等比数列的运算问题时，有两个处理思路,一是利用基本量,将多元问题简化为一元问题,虽有一定量的运算,但思路简洁,目标明确；二是利用等差、等比数列的性质是两种数列基本规律的深刻体现，应有意识地去应用.但在应用性质时要注意性质的前提条件，有时需要进行适当变形. 在解决等差、等比数列的运算问题时，经常采用“巧用性质、整体考虑、减少运算量”的方法.5.直三棱柱中，若，，则异面直线与所成的角等于（）A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°【答案】C【分析】延长CA到D，根据异面直线所成角的定义可知∠DA1B就是异面直线BA1与AC1所成的角，而三角形A1DB为等边三角形，可求得此角．【详解】延长CA到D，使得AD=AC，则ADA1C1为平行四边形，∠DA1B就是异面直线BA1与AC1所成的角，又A1D=A1B=DB=AB，则三角形A1DB为等边三角形，∴∠DA1B=60°故选：C．【点睛】求异面直线所成角的步骤:1平移,将两条异面直线平移成相交直线．2定角,根据异面直线所成角的定义找出所成角．3求角,在三角形中用余弦定理或正弦定理或三角函数求角．4结论．6.在等比数列中，，，则的前9项和（）A. B. C. 或 D. 或【答案】D【解析】【分析】根据等比数列的性质，求出公比，结合等比数列的求和公式进行计算即可．【详解】等比数列{a n}中，=q2==4，则当q=2时，则a2+a5+a8=q（a1+a4+a7）=2×2=4，则{a n}的前9项和S9=a1+a4+a7+a2+a5+a8+a3+a6+a9=2+8+4=14，当q=-2时，则a2+a5+a8=q（a1+a4+a7）=-2×2=-4，则{a n}的前9项和S9=a1+a4+a7+a2+a5+a8+a3+a6+a9=2+8-4=6，故选：D．【点睛】本题主要考查等比数列的前n项和的计算，根据等比数列的性质求出公比是解决本题的关键．7.半径为的半圆卷成一个圆锥，圆锥的体积为（）A. B. C. D.【解析】【分析】半径为R的半圆卷成一个圆锥，则圆锥的母线长为R，底面半径r=，求出圆锥的高后，代入圆锥体积公式可得答案．【详解】半径为R的半圆卷成一个圆锥，则圆锥的母线长为R，设圆锥的底面半径为r，则2πr=πR，即r=，∴圆锥的高h==，∴圆锥的体积V==，故选：C．【点睛】本题考查旋转体，即圆锥的体积，考查了旋转体的侧面展开和锥体体积公式等知识．8.某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】试题分析：画出直观图如下图所示，.考点：三视图.9.平面内与点距离为，且与点距离为的直线的条数为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由题意，A、B到直线距离是3和2，则以A、B为圆心，以3、2为半径作圆，两圆的公切线的条数即可．【详解】由题意，A、B到直线距离是3和2，∵，，∴|AB|==，分别以A、B为圆心，以3、2为半径作圆，∵3+2，∴两圆外切，∴两圆的公切线有3条，即为所求．故选：B．【点睛】本题考查圆与圆的位置关系和两圆公切线的判定；在处理两圆的公切线条数时，要把问题转化为两圆位置关系的判定：当两圆相离时，两圆有四条公切线；当两圆外切时，两圆有三条公切线；当两圆相交时，两圆有两条公切线；当两圆内切时，两圆有一条公切线；当两圆内含时，两圆没有公切线.10.已知两点,若直线上至少存在三个点，使得是直角三角形，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】当k=0时，M、N、P三点共线，构不成三角形，故k≠0．△MNP是直角三角形，由直径对的圆周角是直角，知直线和以MN为直径的圆有公共点即可，由此能求出实数k的取值范围．【详解】当k=0时，M、N、P三点共线，构不成三角，∴k≠0，如图所示，△MNP是直角三角形，有三种情况：当M是直角顶点时，直线上有唯一点P1点满足条件；当N是直角顶点时，直线上有唯一点P3满足条件；当P是直角顶点时，此时至少有一个点P满足条件．由直径对的圆周角是直角，知直线和以MN为直径的圆有公共点即可，则≤2，解得﹣≤k≤，且k≠0．∴实数k的取值范围是[﹣，0）∪（0，]．故选：D．【点睛】本题考查直线与圆的位置关系等基础知识，考查数形结合思想的灵活运用，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．11.已知三棱锥的四个顶点均在半径为2的球面上，且满足，，，则三棱锥的侧面积的最大值为（）A. 2B. 4C. 8D. 16【答案】C【解析】【分析】由已知，三棱锥P﹣ABC的四个顶点均在半径为的球面上，且满足：=0，=0，=0，则在P点处PA，PB，PC两两垂直，球直径等于以PA，PB，PC为棱的长方体的对角线，由基本不等式易得到三棱锥P﹣ABC的侧面积的最大值．【详解】∵=0，=0，=0，∴PA，PB，PC两两垂直，又∵三棱锥P﹣ABC的四个顶点均在半径为1的球面上，∴以PA，PB，PC为棱的长方体的对角线即为球的一条直径．∴16=PA2+PB2+PC2，则由基本不等式可得PA2+PB2≥2PA•PB，PA2+PC2≥2PA•PC，PB2+PC2≥2PB•PC，即16=PA2+PB2+PC2≥PA•PB+PB•PC+PA•PC则三棱锥P﹣ABC的侧面积S=（PA•PB+PB•PC+PA•PC）≤8，则三棱锥P﹣ABC的侧面积的最大值为8，故选：C．【点睛】本题考查的知识点是棱锥的侧面积，基本不等式，棱柱的外接球，其中根据已知条件，得到棱锥的外接球直径等于以PA，PB，PC为棱的长方体的对角线，是解答本题的关键．12.如图所示，正方体的棱长为，动点在对角线上，过点作垂直于的平面，记这样得到的截面多边形（含三角形）的面积为，设，则当时，函数的值域为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】求出正方体的对角线长，根据x∈[1，5]，可得x=1或5时，三角形的面积最小；当截面为正六边形时面积最大，从而可得结论．【详解】∵正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，∴正方体的对角线长为6，∵x∈[1，5]，∴x=1或5时，三角形的周长最小，设截面正三角形的边长为t，则由等体积可得，∴t=，∴y min=；当截面为正六边形的边长为，∴y max=6．∴当x∈[1，5]时，函数y=f（x）的值域为．故选：C．【点睛】本题考查正方体的截面问题，考查学生分析解决问题的能力，确定三角形面积取最大、最小时的位置是关键．二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知,,,则向量与的夹角为______．【答案】【解析】【分析】条件中给出了两个向量的模长，要求夹角只要求出向量的数量积，需要运用，得到关于与数量积的方程，解出结果代入求夹角的公式，注意夹角的范围．【详解】∵||=1，||=2，，∴=0，∴==1，∴cos＜＞==，∵＜＞∈[0，π]，∴两个向量的夹角是，故答案为：．【点睛】平面向量的数量积计算问题，往往有两种形式，一是利用数量积的定义式，二是利用数量积的坐标运算公式，涉及几何图形的问题，先建立适当的平面直角坐标系，可起到化繁为简的妙用. 利用向量夹角公式、模公式及向量垂直的充要条件，可将有关角度问题、线段长问题及垂直问题转化为向量的数量积来解决．列出方程组求解未知数.14.若实数满足则的取值范围是________．【答案】【解析】【分析】作出平面区域，将目标函数Z=看成直线斜率的即可．【详解】其平面区域如下图：目标函数z=，可看成过阴影内的点（x，y）与点（﹣1，﹣1）的直线的斜率k，∵≤k≤=4，∴z∈．故答案为：【点睛】线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围.15.已知正方体棱长为，点是的中点，是上的一动点，则的最小值为________．【答案】【解析】【分析】根据题意可得：可以把平面BCC1B1沿旋转到平面BA内，根据图象可得AP+MP取最小值，则A，P，M三点共线，所以AP+MP的最小值为AM，再结合题意求出答案即可．【详解】根据题意可得：可以把平面BCC1B1沿旋转到平面BA内若AP+MP取最小值，则A，P，M三点共线，所以AP+MP的最小值为AM，因为正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，点M是BC1的中点，所以|AM|==，所以的最小值为．故答案为：．【点睛】解答折叠问题的关键在于画好折叠前后的平面图形与立体图形，并弄清折叠前后哪些发生了变化，哪些没有发生变化.这些未变化的已知条件都是我们分析问题和解决问题的依据.而表面展开问题是折叠问题的逆向思维、逆过程，一般地，涉及到多面体表面的问题，解题时不妨将它展开成平面图形试一试.16.在锐角中，角,,所对的边长分别为,,，已知，且,则的周长的取值范围为________．【答案】【解析】【分析】利用正弦定理求出C，求出三角形的外接圆的半径，然后利用两角和的正弦函数公式以及正弦定理求出a+b+c的取值范围．【详解】由acosB+bcosA=，得sinAcosB+sinBcosA=，即sin（A+B）=sinC=，因为角C是锐角，所以C=，所以A+B=，2R===，所以三角形周长l=a+b+c=2R（sinA+sinB+sinC）=（sinA+sin（﹣A）+sin）=4sin（A+）+2，因为△ABC为锐角三角形，则A∈（0，），且B=﹣A∈（0，），得A∈（，）．所以：sin（A+）∈（，1]，所以：周长l=a+b+c=4sin（A+）+2∈．故答案为：．【点睛】解三角形的基本策略一是利用正弦定理实现“边化角”，二是利用余弦定理实现“角化变；求三角形面积的最大值也是一种常见类型，主要方法有两类，一是找到边之间的关系，利用基本不等式求最值，二是利用正弦定理，转化为关于某个角的函数，利用函数思想求最值.三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.已知函数，（1）求函数的单调减区间；（2）若求函数的值域．【答案】（1）（2）【解析】【分析】利用三角恒等变换，化简可求得f（x）=2sin（2x﹣）；（1）利用正弦函数的单调性质，解不等式组2kπ+≤2x﹣≤2kπ+（k∈Z）即可求得函数f（x）的单调减区间；（2）由x∈[，π]可得：2x﹣∈[，]，利用正弦函数的单调性质，可求得其值域．【详解】，，（1）当时为减函数即时为减函数则为减区间为（2）当时，∴∴的值域为 .【点睛】函数的性质(1) .(2)周期(3)由求对称轴(4)由求增区间;由求减区间.18.如图，是矩形中边上的点，为边的中点，，现将沿边折至位置，且平面平面.（1）（2）（1）求证：平面平面；（2）求四棱锥的体积.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】试题分析：（1）通过折叠前的平面图形分析线线垂直关系，利用面面垂直的性质得出线面垂直，进而得到面面垂直；（2）先证明线面垂直，得到四棱锥的高，结合平面图形求其底面面积，再求其四棱锥的体积．试题解析：（Ⅰ）证明：在中,在中，,,．3分平面平面，且平面平面平面,平面，平面平面．6分（Ⅱ）解：过做,平面平面平面且平面平面平面,四棱锥的高．8分10分则．12分考点：1．空间中垂直关系的转化；2．四棱锥的体积．19.第31届夏季奥林匹克运动会于2016年8月5日至8月21日在巴西里约热内卢举行．如表是近五届奥运会中国代表团和俄罗斯代表团获得的金牌数的统计数据（单位：枚）．（1）根据表格中两组数据在答题卡上完成近五届奥运会两国代表团获得的金牌数的茎叶图，并通过茎叶图比较两国代表团获得的金牌数的平均值及分散程度（不要求计算出具体数值，给出结论即可）；（2）如表是近五届奥运会中国代表团获得的金牌数之和（从第26届算起，不包括之前已获得的金牌数）随时间变化的数据：（届）金牌数之和作出散点图如图：由图可以看出，金牌数之和与时间之间存在线性相关关系，请求出关于的线性回归方程，并预测从第26届到第32届奥运会时中国代表团获得的金牌数之和为多少？附：对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，【答案】（1）见解析（2）,238【解析】【分析】（1）根据题意，画出茎叶图，通过茎叶图得出统计结论；（2）计算线性回归方程的系数，写出线性回归方程，从而得到所求结果.【详解】（1）近五届奥运会两国代表团获得的金牌数的茎叶图如图：由图可得中国代表团获得的金牌数的平均数大于俄罗斯代表团的金牌平均数；俄罗斯代表团获得的金牌数较集中，中国代表团获得的金牌数较分散（2）因为，，，，所以，，所以金牌数之和关于时间的线性回归方程为，当时，中国代表团获得的金牌数之和的预报值，故预测到第32届奥运会时中国代表团获得的金牌数之和为238枚．【点睛】平均数与方差都是重要的数字特征，是对总体的一种简明的描述，它们所反映的情况有着重要的实际意义，平均数、中位数、众数描述其集中趋势，方差和标准差描述其波动大小，方差或标准差越小，则数据分布波动较小，相对比较稳定．20.已知数列{}满足：．（1）求数列{}的通项公式；（2）若，为数列{}的前项和，对于任意的正整数都有恒成立，求实数的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】【分析】(1)由得到，两式相减可得所求；（2）由（1）得，利用裂项相消法得到，转求最值即可.【详解】（1）解：由题意得，当n=1时，，则，当时，，则，两式相减得，即，当n=1时，也符合上式，则（2）解：由（1）得=所以所以=∴是关于的增函数，∴当n=1时，最小为因为对于任意的正整数n，恒成立，所以，解得，故实数的取值范围是【点睛】裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：(1)；（2）；（3）；（4）；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误. 21.如图，在三棱柱中，底面，点是的中点．（1）求证：∥平面；（2）设，，在线段上是否存在点，使得?若存在，确定点的位置；若不存在，说明理由．【答案】（1）见解析（2）在线段上存在点且，使得.【解析】【分析】(1)要证∥平面，即证∥；（2）在线段上取点且，连结，易证.【详解】证明：（1）连结，设与的交点为，连结，∵是的中点，是的中点，∴∥．∵平面，平面，∴∥平面．（2）在线段上存在点且．使得.证明如下：在线段上取点且，连结.∵底面，底面，∴．由已知，为线段的中点，∴．又，∴平面．∵平面，∴．由已知得,在中，同理,∴即.又，∴平面．又平面，∴．【点睛】垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型.(1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行.(2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直.(3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直.22.已知圆C:，直线，过的一条动直线与直线相交于N，与圆C相交于P,Q两点，M是PQ中点．(1)当时，求直线的方程；(2)设，试问是否为定值,若为定值,请求出的值；若不为定值，请说明理由．【答案】（1）或（2）【解析】【分析】（1）过A（﹣1，0）的一条动直线l．应当分为斜率存在和不存在两种情况；当直线l与x轴垂直时，进行验证．当直线与x轴不垂直时，设直线l的方程为y=k（x+1），由于弦长，利用垂径定理，则圆心C到弦的距离|CM|=1．从而解得斜率K来得出直线l的方程为；（2）同样，当l与x轴垂直时，要对设t=，进行验证．当l的斜率存在时，设直线l的方程为y=k（x+1），代入圆的方程得到一个二次方程．充分利用“两根之和”和“两根之积”去找．再用两根直线方程联立，去找．从而确定t=的代数表达式，再讨论t是否为定值．【详解】(1) 当直线与轴垂直时,易知符合题意;当直线与轴不垂直时,设直线的方程为,由于,所以由,解得.故直线的方程为或(2)当与轴垂直时,易得,,又则,故. 即当的斜率存在时,设直线的方程为,代入圆的方程得.则,即, .又由得,则.故.综上,的值为定值,且解法二（几何法）:连结,延长交于点，计算CA斜率知.又于,故△∽△.于是有.由得故【点睛】（1）用直线方程时，一定要注意分为斜率存在和不存在两种情况．一般是验证特殊，求解一般．（2）解决直线与圆相交弦相关计算时一般采用垂径定理求解．（3）涉及到直线和圆、圆锥曲线问题时，常常将直线代入曲线方程得到一个一元二次方程，再充分利用“两根之和”和“两根之积”整体求解．这种方法通常叫做“设而不求”．。
江西省赣州市十四县(市)2017届高三下学期期中联考数学(理)试题含答案
2016～2017学年第二学期赣州市十四县(市)期中联考高三数学试卷（理科)第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.设全集为R ，集合{}2160A x x =-<,{}26B x x =-<≤，则()R AC B 等于( ）A.()4,0-B.(]42--，C.()44-， D 。
()4,2--2.设复数2z i =-+(i 是虚数单位），z 的共轭复数为z ，则()1z z +⋅等于( ） A.5 B 。
25 C.52 D.103。
如图所示的程序框图，若输入x ，k ，b ,p 的值分别为1，2-，9,3，则输出x 的值为（ )A 。
29- B.5- C 。
7 D 。
19 4.设1F ，2F 是椭圆()2221024x y b b +=<<的左、右焦点,过1F 的直线l 交椭圆于A ,B两点，若22AFBF +最大值为5，则椭圆的离心率为（ )A.12B 2 51- D 35.在ABC △中,2AB =，10BC 1cos 4A =，则AB 边上的高等于( ）A 。
3154B 。
34 C.3152D 。
36.若不等式组110x y x y y +≤⎧⎪-≥-⎨⎪≥⎩所表示的平面区域被直线z x y =-分成面积相等的两部分,则z 的值为（ ） A.12- B.22- C.122- D.12-7。
如图，在三棱柱111ABC A B C -中，底面为正三角形，侧棱垂直底面，4AB =，16AA =，若E ，F 分别是棱1BB ，1CC 上的点，且1BE B E =，1113C F CC =，则异面直线1A E 与AF 所成角的余弦值为（ ）A 。
36B.26C.310D.2108.如图，平行四边形ABCD 的两条对角线相交于点O ,点E ，F 分别在边AB ，AD上，57AE AB =,14AF AD =，直线EF 交AC 于点K ，AK AO λ=，则λ等于（ )A.827 B.13 C 。
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2017-2018学年第一学期赣州市十四县（市）期中联考高二年级数学（理科）试卷本试卷分第I 和第II 卷，共150分.考试时间：120分钟第I 卷(选择题共60分)一、选择题：（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的）1．设直线,01:,01:21=+-=+-ky x l y kx l 若21l l ⊥,则（ ）A. B. 1 C. 1± D. 0 2.总体由编号为01,02,…,29,30的30个个体组成。
利用下面的随机数表选取7个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出A.08B.07C.02D.01 3．已知是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ） A. 1312π+ B. 112π+ C. 134π+ D. 14π+4.在ABC ∆中，角C B A ，，所对边长分别为，，，c b a 若，2223b c a -=则C cos 的最小值为（ ）A.32 B. 21 C. 41 D. 325．某中学采用系统抽样方法，从该校高一年级全体800名学生中抽50名学生做牙齿健康检查．现将800名学生从1到800进行编号．已知从33～48这16个数中取的数是39，则在第1小组1～16中随机抽到的数是（ ）A. 5B. 7C. 11D. 13 6.若样本n x x x x ++++1111321，，，， 的平均数是10，方差是2，则对样本n x x x x ++++2222321，，，， ，下列结论正确的是 ( )A. 平均数为10，方差为2B. 平均数为11，方差为3C. 平均数为11，方差为2D. 平均数为12，方差为47.执行如图所示的程序框图，若输出的S 的值为20，则判断框中可以填（ ） (图形为第七题)A.7k >B. 8k >C. 7k <D. 8k <8．已知a ， b为单位向量，且a b b +=-，则a 在a b + 上的投影为（ ）A.13C.9．若圆0342:22=+-++y x y x C 关于直线062=++by ax 对称，则由点()b a ,向圆C 所作切线长的最小值是（ ）A ．2B ．3C ．4D ．610.下列命题中正确的个数有 ( ) ①αα////b a b a ，则，若⊂. ②相交，有且仅有一条直线与上的定点，在为两异面直线，则过不，若b a A b a b a .③两个不重合的平面,αβ，两条异面直线,a b ，若βαββαα//////////，则，，，b a b a . ④若平面EFGH 与平行四边形ABCD 相交于AB ,则EFGH CD 平面//.A.0个B.1个C.2个D.3个11. 设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知1)1(20171434=-+-a a ）（，1)1(20171201432014-=-+-a a ）（，则下列结论正确的是（ ）A.4201420172017a a S <-=，B.420142017a 2017a S >=，C.4201420172017a a S >-=，D.4201420172017a a S <=，12.已知,x y 满足10,0,3,x y x y x --≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩则)4(168123222++++++=y x y x xy y x z 的最小值是 （ ）A.3B.203 C.283D.6第II 卷（非选择题共90分）二、填空题（每题5分，共4题，满分20分，请将答案填在答题纸上）13．已知数列{}n a 是递增的等比数列，，941=+a a ，832=a a {}项和是的前则数列n n a ________．14.中，在正方形1111D C B A ABCD -的中点，为1AA P 的中点，为1CC Q ，2=AB 则三棱锥PQD B -的体积为__________．15.三棱锥326===-BD AD AB BCD A ，，,底面B C D 为等边三角形，且ABD BCD ⊥平面平面,求三棱锥A BCD -外接球的表面积______________.16.中在直角梯形ABCD ，，，，，21//===⊥AB CD AD AB DC AD AB ,E F分别为AC AB ，的中点，设以A 为圆心，AD 为半径的圆弧DE 上的动点为P (如图所示)，则AP PF ∙的取值范围是 ______________.三、解答题（17题10分，其它题12分，共70分，写出必要的文字说明）17. (本题满分10分）中，如图，在四棱锥ABCD P -，平面ABCD PA ⊥是菱形，底面ABCD的交点，与是对角线点BD AC O 的中点，是PD M ，且2=AB 3π=∠BAD 。
PAB OM 平面）求证：（//1. PAC PBD 平面）求证：平面（⊥2.18.(本题满分12分）410sin ,,,,,=∆C c b a C B A ABC 已知所对的边分别为中，在. 面积的最大值；求）若（ABC b a ∆=+,51,sin sin sin sin 2,2222C C A A a =+=）若（的长及求c b .19.（本题满分12分）东莞市某高级中学在今年4月份安装了一批空调，关于这批空调的使用年限x （单位：年， *x N ∈）和所支出的维护费用y （单位：万元）厂家提供的统计资料如下：)1(请根据以上数据，用最小二乘法原理求出维护费用y 关于x 的线性回归方程ˆˆˆybx a =+； )2(若规定当维护费用y 超过13.1万元时，该批空调必须报废，试根据（1）的结论求该批空调使用年限的最大值.参考公式：最小二乘估计线性回归方程ˆˆˆybx a =+中系数计算公式： ()()()∑∑==---=ni ini iix x y yx x b121ˆ， x b y a ˆˆ-=，n ni i x x x x x ++++=∑= 3211{})(12 12.20*n N n S a S n a n n n ∈+=，且满足项和为的前已知数列分）（本题满分.{}的通项公式；）求数列（n 1a{}n n b )12(b 2T n a n n n 项和的前，求数列）若（∙+=. 为正方形，，底面四边形如图所示的空间几何体分）（本题满分ABCD 12.21，，平面，平面，5//=⊥⊥DF ABCD ABEF BE AF AB AF 222==BC CE ，. 的余弦值；）求二面角（D AC E --1所成角的正弦值与平面求直线DEF BE )2(.分）（本题满分12.22已知圆221:60C x y x ++=关于直线1:21l y x =+对称的圆为C . （1）求圆C 的方程；（2）过点()1,0-作直线l 与圆C 交于,A B 两点， O 是坐标原点，是否存在这样的直线l ，使得在平行四边形OASB 中OS OA OB =-？若存在，求出所有满足条件的直线l 的方程；若不存在，请说明理由.2017-2018学年第一学期赣州市十四县（市）期中联考高二数学（理科）试题参考答案一．选择题 （每小题5分，共60分）1-6 D D B A B C 7-12 D B C C D A二．填空题（每小题5分，共20分）13:12n- 14:3415:π16 16：⎥⎦⎤⎢⎣⎡--1210,21三．解答题17.(满分10分)（1）∵在PBD ∆中， O 、M 分别是BD 、PD 的中点， ∴OM 是PBD ∆的中位线，∴//OM PB ，----------2分 ∵OM ⊄平面PBD ， PB ⊂面PBD ,-----------4分 ∴//OM 面PBD .---------------------5分（2）∵PA ⊥平面ABCD ， BD ⊂平面ABCD ，∴PA BD ⊥，-----6分 ∵底面ABCD 是菱形，∴BD AC ⊥，-------7分 ∵AC ⊂面PAC ， PA ⊂面PAC ， AC ⋂ PA A = ∴BD ⊥平面PAC ，-------9分 ∵BD ⊂平面PBD ，∴平面PBD ⊥平面PAC .----------10分18.（满分12分）解析：(1)∵a+b=5， ∴ab≤（）2=．----------------2分∴S △ABC=sinC=≤=．---------5分(2)∵2sin 2A+sinAsinC=sin 2C ， ∴2a 2+ac=c 2．即8+2c=c 2，解得c=4．----------------------------------8分由正弦定理得，即，解得sinA=．∴cosA=．------10分 由余弦定理得cosA==．即．662或解得：=b ．--------12分19．解析：（1）0.7.4ˆ5yx =+；--------6分（2）该批空调使用年限的最大值为11年。
--------12分20.解析：(1)当1111n a S ===时，;------------1分当1121221n n n n a S n a S --=+⎧≥⎨=+⎩时，由可得122n n n a a a --=即12n n aa -=-------3分{}n a ∴是首项为1，公比为2的等比数列， 因此12n n a -=.----------------5分 (2)()1212n n b n -=+ --------6分()()01221325272212212n n n T n n --∴=+++-++ ①，----7分 ()()123212325272+212212n n n T n n --=+++-++ ②,---8分 由①—②得：()()()()()()()23411322222124122112=+2121=-1+212n n n n nn n n T n n n n ---=+++++-+-+--+- =3+-2 34-2()2121n n T n ∴=-+ -------------------12分21.解析：(1)连接AC 与BD 交于点O ，易得,DO AC OE AC ⊥⊥， 即二面角E AC D --的平面角为DOE ∠,--------2分 在DOE ∆中，DO OE DE ==,cos DOE ∴∠==-------------5分 (2)在Rt DBE BP DE ∆⊥中，作交DE P 于点,取,,,DE G G FG AODF 的中点连接O 那么四边形为平行四边形，,EB ABCD AC ABCD ⊥⊂ 平面平面,EB AC AC BD BD EB B ∴⊥⊥⋂=又由且-------7分,AC DBE BP ∴⊥⊂平面又由平面DBE AC BP ∴⊥FG AC ,,BP FG FG DE G FG DE DEF ∴⊥⋂=⊂且平面 BP DEF ∴⊥平面-----------9分因此 1122DE BP DB EB⨯⨯=⨯⨯---------------10分3BP ∴=362362sin ==∠BEP 那么.------12分22.解析：(1)圆1C 化为标准为()2239x y ++=，设圆1C 的圆心()13,0C -关于直线1:21l y x =+的对称点为(),C a b ，则11C C l k k =-，且1CC 的中点3,22a b M -⎛⎫⎪⎝⎭在直线1:21l y x =+上，----2分所以有()213{3102ba ba ⨯=-+--+=，解得： 1{2a b ==-，--------------------4分所以圆C 的方程为()()22129x y -++=.------5分（2）由OS OA OB BA =-=，所以四边形OASB 为矩形，所以OA OB ⊥.要使OA OB ⊥，必须使·0OAOB=，即： 12120x x y y +=. ①当直线l 的斜率不存在时，可得直线l 的方程为1x =-，与圆()()22:129C x y -++=交于两点()2A -，()1,2B -.因为()())()·11220OAOB=--+=，所以OA OB ⊥，所以当直线l 的斜率不存在时，直线:1l x =-满足条件.--------------------7分 ②当直线l 的斜率存在时，可设直线l 的方程为()1y k x =+. 设()()1122,,,A x y B x y由()1)22)2((9{1x y y k x -++==+得： ()()22221242440k x k k x k k +++-++-=.由于点()1,0-在圆C 内部，所以0∆>恒成立，1,221x k =+，21222421k k x x k +-+=-+， 2122441k k x x k +-=+，-------------9分要使OA OB ⊥，必须使·0OAOB =，即12120x x y y +=，也就是： ()()22122441101k k k x x k +-+++=+------------10分整理得：()222222244421?011k k k k k k k k k +-+-+-+=++-------------11分解得： 1k =，所以直线l 的方程为1y x =+存在直线1x =-和1y x =+，它们与圆C 交,A B 两点，且四边形OASB 对角线相等.-----------------------------12分。