北京师大附中2010届下学期高三年级第四次月考数学试卷

合集下载

湖南师大附中2025届高三月考数学(三)试卷及答案

大联考湖南师大附中2025届高三月考试卷(三)数学时量:120分钟满分:150分一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.集合{}0,1,2,3的真子集个数是()A .7B .8C .15D .162.“11x -<”是“240x x -<”的()A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件3.已知角α的终边上有一点P 的坐标是)4,3(a a ,其中0a ≠,则sin2α=()A .43B .725C .2425D .2425-4.设向量a,b 满足+=-=a b a b ,则⋅a b 等于()A .B .2C .5D .85.若无论θ为何值,直线sin cos 10y x θθ⋅+⋅+=与双曲线2215x y m -=总有公共点,则m的取值范围是()A.1m ≥B .01m <≤C .05m <<,且1m ≠D .1m ≥,且5m ≠6.已知函数()2f x 的图象关于原点对称,且满足()()130f x f x ++-=,且当()2,4x ∈时,()()12log 2f x x m =--+,若()()2025112f f -=-,则m 等于()A .13B .23C .23-D .13-7.已知正三棱台111ABC A B C -所有顶点均在半径为5的半球球面上,且AB =11A B =()A .1B .4C .7D .1或78.北宋数学家沈括博学多才、善于观察.据说有一天,他走进一家酒馆,看见一层层垒起的酒坛,不禁想到:“怎么求这些酒坛的总数呢?”经过反复尝试,沈括提出对于上底有ab 个,下底有cd 个,共n 层的堆积物(如图所示),可以用公式()()()2266n nS b d a b d c c a ⎡⎤=++++-⎣⎦求出物体的总数,这就是所谓的“隙积术”,相当于求数列()()(),11,2ab a b a +++.()()()2,,11b a n b n cd ++-+-= 的和.若由小球堆成的上述垛积共7层,小球总个数为238,则该垛积最上层的小球个数为()A .2B .6C .12D .20二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.9.若()202422024012202412x a a x a x a x +=++++ ,则下列正确的是()A .02024a =B .20240120243a a a +++= C .012320241a a a a a -+-++= D .12320242320242024a a a a -+--=- 10.对于函数()sin cos f x x x =+和()sin cos 22g x x x ππ⎛⎫⎛⎫=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,下列说法中正确的有()A .()f x 与()g x 有相同的零点B .()f x 与()g x 有相同的最大值点C .()f x 与()g x 有相同的最小正周期D .()f x 与()g x 的图象有相同的对称轴11.过点()0,2P 的直线与抛物线2:4C x y =交于()()1122,,,A x y B x y 两点,抛物线C 在点A 处的切线与直线2y =-交于点N ,作NM AP ⊥交AB 于点M ,则()A .5OA OB ⋅=-B .直线MN 恒过定点C .点M 的轨迹方程是()()22110y x y -+=≠D .AB MN选择题答题卡题号1234567891011得分答案三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.12.已知复数12,z z 的模长为1,且21111z z +=,则12z z +=_____.13.在ABC 中,角,,A B C 所对的边分别为,,a b c 已知5,4a b ==,()31cos 32A B -=,则sin B =_____.14.若正实数1x 是函数()2e e x f x x x =--的一个零点,2x 是函数()g x =()()3e ln 1e x x ---的一个大于e 的零点,则()122e ex x -的值为_____.四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(本小题满分13分)现有某企业计划用10年的时间进行技术革新,有两种方案:贷款利润A 方案一次性向银行贷款10万元第1年利润1万元,以后每年比前一年增加25%的利润B 方案每年初向银行贷款1万元第1年利润1万元,以后每年比前一年增加利润3000元两方案使用期都是10年,贷款10年后一次性还本付息(年末结息),若银行贷款利息均按10%的复利计算.(1)计算10年后,A 方案到期一次性需要付银行多少本息?(2)试比较A B 、两方案的优劣.(结果精确到万元,参考数据:10101.1 2.594,1.259.313≈≈)如图,四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 为等腰梯形,22AD AB BC ==2=.点P 在底面的射影点Q 在线段AC 上.(1)在图中过A 作平面PCD 的垂线段,H 为垂足,并给出严谨的作图过程;(2)若2PA PD ==.求平面PAB 与平面PCD 所成锐二面角的余弦值.已知函数()()e sin cos ,x f x x x f x =+-'为()f x 的导数.(1)证明:当0x ≥时,()2f x '≥;(2)设()()21g x f x x =--,证明:()g x 有且仅有2个零点.在平面直角坐标系xOy 中,已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的两个焦点为12,F F P、为椭圆C 上一动点,设12F PF ∠θ=,当23πθ=时,12F PF ∆.(1)求椭圆C 的标准方程.(2)过点()0,2B 的直线l 与椭圆交于不同的两点(M N M 、在,B N 之间),若Q 为椭圆C上一点,且OQ OM ON =+,①求OBM OBNSS ∆∆的取值范围;②求四边形OMQN 的面积.飞行棋是大家熟悉的棋类游戏,玩家通过投掷骰子来决定飞机起飞与飞行的步数.当且仅当玩家投掷出6点时,飞机才能起飞.并且掷得6点的游戏者可以连续投掷骰子,直至显示点数不是6点.飞机起飞后,飞行步数即骰子向上的点数.(1)求甲玩家第一轮投掷中,投掷次数X 的均值()()1(k E X kP k ∞===∑()1lim n n k kP k ∞→=⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎭∑;(2)对于两个离散型随机变量,ξη,我们将其可能出现的结果作为一个有序数对,类似于离散型随机变量的分布列,我们可以用如下表格来表示这个有序数对的概率分布:(记()()()()()(1211,,mni i i j j j i j i p x p x p x y p y p y p x ξη========∑∑,)j y .)ξη1x 2x ...n X 1y ()11,p x y ()21,p x y ...()1,n p x y ()21p y 2y ()12,p x y ()22,p x y ...()2,n p x y ()22p y ...⋯⋯...⋯...my ()1,m p x y ()2,m p x y ...(),n m p x y ()2m p y ()11p x ()12p x ...()1n p x 1若已知i x ξ=,则事件{}j y η=的条件概率为{}j i P y x ηξ===∣{}{}()()1,,j i i j i i P y x p x y P x p x ηξξ====.可以发现i x ηξ=∣依然是一个随机变量,可以对其求期望{}{}()111mi j j i j i E x y P y x p x ηξηξ===⋅===∑∣∣.()1,mj i j j y p x y =∑(i )上述期望依旧是一个随机变量(ξ取值不同时,期望也不同),不妨记为{}E ηξ∣,求{}E E ηξ⎡⎤⎣⎦∣;(ii )若修改游戏规则,需连续掷出两次6点飞机才能起飞,记0ξ=表示“甲第一次未能掷出6点”,1ξ=表示“甲第一次掷出6点且第二次未能掷出6点”,2ξ=表示“甲第一次第二次均掷出6点”,η为甲首次使得飞机起飞时抛掷骰子的次数,求E η.炎德・英才大联考湖南师大附中2025届高三月考试卷(三)数学参考答案题号1234567891011答案C A C B B D A B BC ACD BC一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.C 【解析】集合{}0,1,2,3共有42115-=(个)真子集.故选C .2.A 【解析】解不等式240x x -<,得04x <<,解不等式11x -<,得02x <<,所以“11x -<”是“240x x -<”的充分不必要条件.3.C 【解析】根据三角函数的概念,2442sin cos 2tan 24tan ,sin23311tan 25y a x a αααααα======+,故选C .4.B 【解析】()()()22111911244⎡⎤⋅=+--=-=⎣⎦a b a b a b .5.B 【解析】易得原点到直线的距离1d ==,故直线为单位圆的切线,由于直线与双曲线2215x y m -=总有公共点,所以点()1,0±必在双曲线内或双曲线上,则01m <≤.6.D 【解析】依题意函数()f x 的图象关于原点对称,所以()f x 为奇函数,因为()()()133f x f x f x +=--=-,故函数()f x 的周期为4,则()()20251f f =,而()()11f f -=-,所以由()()2025112f f -=-可得()113f =,而()()13f f =-,所以()121log 323m --=,解得13m =-.7.A 【解析】上下底面所在外接圆的半径分别为123,4r r ==,过点112,,,A A O O 的截面如图:22222121534,543,1OO OO h OO OO =-==-∴=-=,故选A .8.B 【解析】由题意,得6,6c a d b =+=+,则由()()()772223866b d a b d c c a ⎡⎤++++-=⎣⎦得()()7[26212(6b b a b b a ++++++6)]()762386a a ++-=,整理得()321ab a b ++=,所以773aba b +=-<.因为,a b 为正整数,所以3ab =或6.因此有6,3a b ab +=⎧⎨=⎩或5,6.a b ab +=⎧⎨=⎩而63a b ab +=⎧⎨=⎩无整数解,因此6ab =.故选B .二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.9.BC 【解析】对于A :令0x =,则01a =,故A 错误;对于B :令1x =,则20240120243a a a +++= ,故B 正确;对于C :令1x =-,则012320241a a a a a -+-++= ,故C 正确;对于D ,由()202422024012202412x a a x a x a x +=++++ ,两边同时求导得()20232202312320242024212232024x a a x a x a x ⨯⨯+=++++ ,令1x =-,则12320242320244048a a a a -++-=- ,故D 错误.故选BC .10.ACD 【解析】()()32sin ,2sin 2sin 4244f x x g x x x ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=--=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.令()0f x =,则,4x k k ππ=-+∈Z ;令()0g x =,则3,4x k k ππ=+∈Z ,两个函数的零点是相同的,故选项A 正确.()f x 的最大值点是()2,,4k k g x ππ+∈Z 的最大值点是32,4k k ππ-+∈Z ,两个函数的最大值虽然是相同的,但最大值点是不同的,故选项B 不正确.由正弦型函数的最小正周期为2πω可知()f x 与()g x 有相同的最小正周期2π,故选项C 正确.曲线()y f x =的对称轴为,4x k k ππ=+∈Z ,曲线()y g x =的对称轴为5,4x k k ππ=+∈Z ,两个函数的图象有相同的对称轴,故选项D 正确.故选ACD.设直线AB 的方程为2y tx =+(斜率显然存在),221212,,,44x x A x B x ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,联立22,4,y tx x y =+⎧⎨=⎩消去x 整理可得2480x tx --=,由韦达定理得12124,8x x t x x +==-,A .22121212124,84444x x y y OA OB x x y y =⋅=⋅=+=-+=- ,故A 错误;B .抛物线C 在点A 处的切线为21124x x x y ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,当2y =-时,11121244282222x x x x x t x x =-=-=+=-,即()2,2N t -,直线MN 的方程为()122y x t t +=--,整理得xy t=-,直线MN 恒过定点(0,0),故B 正确;C .由选项B 可得点M 在以线段OP 为直径的圆上,点O 除外,故点M 的轨迹方程是()()22110y x y -+=≠,故C 正确;D.222t MN +==,AB =则()2221412222t AB MNt +⎫==+,,m m =≥则12ABm MN m ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,设()1,f m m m m =-≥,则()2110f m m=+>',当m ≥,()f m 单调递增,所以()min f m f==,故D 错误.故选BC .三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.12.1【解析】设()()12i ,,i ,z a b a b z c d c d =+∈=+∈R R ,因为21111z z +=,所以2122111z zz z z z +=.因为11221,1z z z z ==,所以121z z +=,所以()()i i i 1a b c d a c b d -+-=+-+=,所以1,0a c b d +=+=,所以()()12i 1z z a c b d +=+++=.13.74【解析】在ABC 中,因为a b >,所以A B >.又()31cos 32A B -=,可知A B-为锐角且()sin 32A B -=.由正弦定理,sin 5sin 4A aB b ==,于是()()()5sin sin sin sin cos cos sin 4B A A B B A B B A B B ⎡⎤==-+=-+-⎣⎦.将()cos A B -及()sin AB -的值代入可得3sin B B =,平方得2229sin 7cos 77sin B B B ==-,故7sin 4B =.14.e 【解析】依题意得,1211e e 0x x x --=,即()()12311122e e ,0,e ln 1e 0x x x x x x -=>---=,即()()3222e ln 1e ,e x x x --=>,()()()131122e e e e ln 1x x x x x ∴-==--,()()()()()()211ln 111112212e e ln 1e ,e e ln 1e e x x x x x x x x -+++⎡⎤∴-=--∴-=--⎣⎦,又22ln 1,ln 10,x x >->∴ 同构函数:()()1e e ,0x F x x x +=->,则()()312ln 1e F x F x =-=,又()()111e e e e e 1e x x x x F x x x +++=-+=-+',00,e e 1,e 10x x x >∴>=∴-> ,又()()1e 0,0,x x F x F x +>'>∴单调递增,()()()3122212222e ln 1e e ln 1,e e e ex x x x x x ---∴=-∴===.四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.【解析】(1)A 方案到期时银行贷款本息为()1010110%26⨯+≈(万元).……(3分)(2)A 方案10年共获利:()()1091.2511125%125%33.31.251-+++++=≈- (万元),……(5分)到期时银行贷款本息为()1010110%25.9⨯+≈(万元),所以A 方案净收益为:33.325.97-≈(万元),……(7分)B 方案10年共获利:()()101010.31 1.3190.310123.52⨯-⨯++++⨯=⨯+= (万元),……(9分)到期时银行贷款本息为()()()()101091.11.11110%110%110%17.51.11-++++++=≈- (万元),……(11分)所以B 方案净收益为:23.517.56-≈(万元),……(12分)由比较知A 方案比B 方案更优.……(13分)16.【解析】(1)连接PQ ,有PQ ⊥平面ABCD ,所以PQ CD ⊥.在ACD 中,2222cos 54cos AC AD CD AD CD ADC ADC ∠∠=+-⋅⋅=-.同理,在ABC 中,有222cos AC ABC ∠=-.又因为180ABC ADC ∠∠+= ,所以()1cos ,0,1802ADC ADC ∠∠=∈ ,所以60ADC ∠= ,3AC =故222AC CD AD +=,即AC CD ⊥.又因为,,PQ AC Q PQ AC ⋂=⊂平面PAC ,所以CD ⊥平面PAC .CD ⊂平面PCD ,所以平面PCD ⊥平面PAC .……(5分)过A 作AH 垂直PC 于点H ,因为平面PCD ⊥平面PAC ,平面PCD ⋂平面PAC PC =,且AH ⊂平面PAC ,有AH ⊥平面PCD .……(7分)(2)依题意,22AQ PA PQ DQ =-=.故Q 为,AC BD 的交点,且2AQ ADCQ BC==.所以2222326,333AQ AC PQ PA AQ ===-.过C 作直线PQ 的平行线l ,则,,l AC CD 两两垂直,以C 为原点建立如图所示空间直角坐标系,则:()()36131,0,0,0,,0,3,0,,,03322D P A B ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,所以()326232613261,0,0,0,,0,,,,,3333263CD CP AP BP ⎛⎛⎛===-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ .设平面PCD 的法向量为(),,x y z =m ,则()0,0,3CD x CP y ⎧⋅==⎪⎨⋅=+=⎪⎩m m取()0,=-m .同理,平面PAB的法向量)1=-n ,1cos<,3⋅>==m n m n m n ……(14分)故所求锐二面角余弦值为13.……(15分)17.【解析】(1)由()e cos sin x f x x x =++',设()e cos sin x h x x x =++,则()e sin cos x h x x x '=-+,当0x ≥时,设()()e 1,sin x p x x q x x x =--=-,()()e 10,1cos 0x p x q x x ''=-≥=-≥ ,()p x ∴和()q x 在[)0,∞+上单调递增,()()()()00,00p x p q x q ∴≥=≥=,∴当0x ≥时,e 1,sin x x x x ≥+≥,则()()()e sin cos 1sin cos sin 1cos 0x h x x x x x x x x x '=-+≥+-+=-++≥,∴函数()e cos sin x h x x x =++在[)0,∞+上单调递增,()()02h x h ∴≥=,即当0x ≥时,()2f x '≥.……(7分)(2)由已知得()e sin cos 21x g x x x x =+---.①当0x ≥时,()()()e cos sin 220,x g x x x f x g x ≥''=++-=-∴ 在[)0,∞+上单调递增,又()()010,e 20g g πππ=-<=->∴ 由零点存在定理可知,()g x 在[)0,∞+上仅有一个零点.……(10分)②当0x <时,设()()2sin cos 0e x x xm x x --=<,则()()2sin 10exx m x '-=≤,()m x ∴在(),0∞-上单调递减,()()01m x m ∴>=,()e cos sin 20,e cos sin 20x x x x g x x x '∴++-<∴=++-<,()g x ∴在(),0∞-上单调递减,又()()010,e 20g g πππ-=-<-=+> ,∴由零点存在定理可知()g x 在(),0∞-上仅有一个零点,综上所述,()g x 有且仅有2个零点.……(15分)18.【解析】(1)设()00,,P x y c 为椭圆C 的焦半距,12122F PF p S c y ∆=⋅⋅,00y b <≤ ,当0y b =时,12F PF S 最大,此时()0,P b 或()0,P b -,不妨设()0,P b ,当23πθ=时,得213OPF OPF π∠∠==,所以c =,又因为12F PF S bc ∆==,所以1,b c ==从而2,a =∴椭圆C 的标准方程为2214x y +=.……(3分)(2)由题意,直线l 的斜率显然存在.设()()1122: 2.,,,l y kx M x y N x y =+.……(4分)1112OBM S OB x x ∆∴=⋅=,同理,2OBN S x ∆=.12OBM OBN S xS x ∆∆∴= (6))联立()22222,141612044y kx k x kx x y =+⎧⇒+++=⎨+=⎩,……(8分)()()()22223164121416430,4k k k k ∴∆=-⨯⨯+=->∴>.……(9分)又121212221612,0,,1414k x x x x x x k k-+==>∴++ 同号.()()2222122121212216641421231414k x x x x k k x x x x kk-⎛⎫ ⎪++⎝⎭∴===+++.()22212122364641616,4,,42143331434x x k k x x k k ⎛⎫>∴=∈∴<++< ⎪⎛⎫+⎝⎭+ ⎪⎝⎭ .令()120x x λλ=≠,则116423λλ<++<,解得()()11,11,3,,11,333OBM OBN S S λ∆∆⎛⎫⎛⎫∈∴∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ .……(12分)(3)()1212,,OQ OM ON Q x x y y =+∴++.且四边形OMQN 为平行四边形.由(2)知()12121222164,41414k x x y y k x x k k-+=∴+=++=++,22164,1414kQ k k -⎛⎫∴ ⎪++⎝⎭.而Q 在椭圆C 上,2222164441414k k k -⎛⎫⎛⎫∴+⨯= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭.化简得2154k =.……(14分)∴线段161219357115224MN ==⋅+,……(15分)O到直线MN的距离d == (16))OMQN 574S MN d ∴=⋅=四边形.……(17分)19.【解析】(1)()115,1,2,3,66k P X k k -⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭ ,所以()()215111,1,2,3,,5126666nk n k k k P X k k kP k n =⎛⎫⋅====⨯+⨯+⨯ ⎪⎝⎭∑ ,记211112666n n S n =⨯+⨯++⨯ ,则2311111126666n n S n +=⨯+⨯++⨯ .作差得:1211111511111111661666666556616nn n n n n n S n n ++⎛⎫- ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭=+++-⨯=-⨯=-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭- ,所以()16111661,555566556n nn n n k n S kP k S n =⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅-+==-+⎢⎥ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦∑.故()()()116616lim lim 5565nn n n k k E X kP k kP k n ∞∞∞→→==⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫===-+=⎢⎥ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦∑∑.……(6分)(2)(i ){}E ηξ∣所有可能的取值为:{},1,2,,i E x i n ηξ== ∣.且对应的概率{}{}()()()1,1,2,,i i i p E E x p x p x i n ηξηξξ====== ∣∣.所以{}{}()()()()()111111111,,,nnmn m i i j i j i j i j i i j i j i E E E x p x y p x y p x y p x y p x ηξηξ=====⎛⎫⎡⎤==⋅=⋅= ⎪⎣⎦ ⎪⎝⎭∑∑∑∑∑∣∣又()()()()21111111,,,nmmnmn mj i j j i j j i j j j i j j i j i j y p x y y p x y y p x y y p y E η=======⎛⎫⋅=⋅==⋅= ⎪⎝⎭∑∑∑∑∑∑∑,所以{}E E E ηξη⎡⎤=⎣⎦∣.……(12分)(ii ){}{}{}12355101,;12,;22,63636E E p E E p E p ηξηηξηη==+===+====∣∣,{}()()5513542122636363636E E E E E ηηξηηη⎡⎤==++++⨯=+⎣⎦∣,故42E η=.……(17分)。

2010-2023历年黑龙江省哈师大附中高三第一次月考化学试卷(带解析)

2010-2023历年黑龙江省哈师大附中高三第一次月考化学试卷（带解析）第1卷一.参考题库(共10题)1.（6分）20 g烧碱配制成500mL溶液，其物质的量浓度为________mol·L－1；从中取出1mL，其中含溶质为______g。

若将这1 mL溶液用水稀释到100mL，所得溶液中含Na＋______g。

2.把一定量的Na2O2和NaHCO3的混合粉末分为两等份，将其中一份加入到100m L稀盐酸中恰好完全反应，生成的气体干燥后体积为2.24L（标况）；再将此气体通入另一份混合物中，恰好完全反应后，得到O22.016L（标况），则加入稀盐酸的物质的量浓度是A．3.4mol/LB．0.2mol/LC．1.8mol/LD．3.6mol/L3.（8分）将总物质的量为4mol的Na2O2和Al2（SO4）3的混合物投入足量水中，充分反应后生成ymol沉淀（y＞0）。

若以x表示原混合物中Na2O2的物质的量，试建立y=f（x）的函数关系式，将x的取值和y=f（x）关系式填写在表内（可不填满，也可补充）。

序号x值y=f（x）①②③④4.6分)向27.2Cu和Cu2O的混合物中加入某浓度的稀HNO3500mL，固体完全溶解后在所得溶液中加入1mol/L的NaOH溶液1L使金属离子恰好完全沉淀，此时溶液呈中性，所得沉淀质量为3 9.2g。

则：（1）Cu与Cu2O 的物质的量之比为。

（2）HNO3的物质的量浓度为。

5.向100mL的FeBr2溶液中，通入标准状况下Cl2 5.04L，Cl2全部被还原，测得溶液中c(Br-)=c(Cl-)，则原FeBr2溶液的物质的量浓度是A．0.75mol/LB．1.5mol/LC．2mol/LD．3mol/L6.已知：HNCO（异氰酸，其结构是H－N＝C＝O）能和NO2反应生成N2、CO2和H2O。

下列有关上述反应的叙述不正确的是A．HNCO中的氮元素被氧化B．NO2中的氮元素被还原C．每生成1mol H2O转移6mol电子D．CO2是氧化产物7.下列叙述正确的是A．常温常压下，4.6 g NO2气体约含有1.81×1023个原子B．在标准状况下，80 gSO3所占的体积约为22.4LC．常温下，0.1 mol/L醋酸溶液的pH约为1D．标准状况下，22.4L氯气与足量氢氧化钠溶液反应，转移的电子数为2N A 8.汽车剧烈碰撞时，安全气囊中发生反应10NaN3+2KNO3 =K2O+5Na2O+16N2↑，对于该反应，下列判断正确的是A．NaN3中氮元素的化合价为－3B．氧化剂和还原剂是同一物质C．反应过程中若转移1mol电子，则产生2.24L气体（标准状况）D．被氧化的氮原子与生成的氮气分子个数之比为15:89.有FeO、Fe2O3的混合物若干克，在足量H2气流中，加热充分反应，冷却后称得剩余固体比原混合物减轻0.8g；将等质量的原混合物与盐酸反应，欲使之完全溶解，需1 mol·L-1的盐酸的体积至少为A．0.05 LB．0.1 LC．0.2 LD．1 L10.（14分）已知A为淡黄色固体，T、R为两种常见的用途很广的金属单质，D 是具有磁性的黑色晶体，C是无色无味的气体，H是白色沉淀，且在潮湿空气中迅速变为灰绿色，最终变为红褐色固体。

2025届广东华南师大附中高三上学期综合测试(月考)(一)数学试题+答案

2025届高三综合测试（一）数学满分：150分时间：120分钟一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．半径为2的圆上长度为4的圆弧所对的圆心角是（） A ．1B ．2C ．4D ．82．直线l 过抛物线2:4C x y =−的焦点，且在x 轴与y 轴上的截距相同，则l 的方程是（） A ．1y x =−−B ．1y x =−+C ．1y x =−D ．1y x =+3．已知0x >，0y >，则（）A ．ln ln ln ln 777x y x y +=+B ．()ln ln ln 777x y x y +=⋅C ．ln ln ln ln 777x y x y −=+D ．()ln ln ln 777xy xy =⋅4．函数()1ln f x a x x=+的图象不可能是（）A ．B ．C ．D ．5．已知a ，b ，c 满足23a =，ln 21b =，32c =，则（） A ．a b c >>B ．a c b >>C ．b c a >>D ．b a c >>6．若正数x ，y 满足2220x xy −+=，则x y +的最小值是（）AB C ．D ．27．已知1a >，1b >.设甲：b a ae be =，乙：b a a b =，则（） A ．甲是乙的充要条件B ．甲是乙的必要条件但不是充分条件C ．甲是乙的充分条件但不是必要条件D ．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件8．已知正实数1x ，2x ，3x 满足12111212x x x x ++=，22222313x x x x ++=，32333414xx x x ++=，则1x ，2x ，3x 的大小关系是（）A ．213x x x <<B ．123x x x <<C ．321x x x <<D ．132x x x <<二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9．已知函数()31f x x x =−+，则（）A ．()f x 有两个极值点B ．()f x 有一个零点C ．点()0,1是曲线()y f x =的对称中心D ．直线2y x =是曲线()y f x =的切线10．已知函数()f x 的定义域为R ，且()()()()22f x y f x y f x f y +⋅−=−，()12f =，()1f x +为偶函数，则（） A ．()32f =B ．()f x 为奇函数C ．()20f =D ．()202410k f k ==∑11．已知函数()2ln f x x =，曲线():C y f x =，过不在C 上的点()(),0P a b a >恰能作两条C 的切线，切点分别为()()11,x f x ，()()22,x f x ，()12x x <，则（） A ．a e >B ．()21a e b =+ C ．1x a <D ．()2f x b >三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

江西师大附中2024-2025学年高三年级第二次四校联考物理试题含解析

江西师大附中2024-2025学年高三年级第二次四校联考物理试题注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、单项选择题：本题共6小题，每小题4分，共24分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、—物块的初速为v 0，初动能为E k 0，沿固定斜面（粗糙程度处处相同）向上滑动，然后滑回到原处。

此过程中，物块的动能E k 与位移x ，速度v 与时间t 的关系图像正确的是（）A ．B ．C ．D ．2、2019年8月31日7时41分，我国在酒泉卫星发射中心用“快舟一号”甲运载火箭，以“一箭双星”方式，成功将微重力技术实验卫星和潇湘一号07卫星发射升空，卫星均进入预定轨道。

假设微重力技术试验卫星轨道半径为1R ，潇湘一号07卫星轨道半径为2R ，两颗卫星的轨道半径12R R ，两颗卫星都作匀速圆周运动。

已知地球表面的重力加速度为g ，则下面说法中正确的是（）A 1gRB ．卫星在2R 轨道上运行的线速度大于卫星在1R 轨道上运行的线速度C ．卫星在2R 轨道上运行的向心加速度小于卫星在1R 轨道上运行的向心加速度D ．卫星在2R 轨道上运行的周期小于卫星在1R 轨道上运行的周期3、有关原子物理学史，下列说法符合事实的是（）A ．卢瑟福通过α粒子散射实验提出了原子的枣糕模型B ．能量量子假说是普朗克首先提出的，光子假说则是爱因斯坦首先提出的C ．汤姆孙首先发现了中子，从而说明原子核内有复杂的结构D ．玻尔在光的粒子性的基础上，建立了光电效应方程4、如图所示，是一个研究向心力与哪些因素有关的DIS实验装置示意图，其中质量为m的圆柱体放置在未画出的光滑圆盘边缘，绳子一端连接小圆柱体，另一端连接力传感器，使圆柱体做匀速圆周运动。

2010届高三湖南师大附中第四次月考化学试卷及答案

湖南师大附中2010届高三第四次月考化学［考试范围：电化学、化学反应速率和化学平衡、水溶液中的离子平衡］命题人：湖南师大附中苏建祥审题人：湖南师大附中曹艳荣考生注意：1．本试卷共100分，考试时间90分钟。

2．答题前，考生务必将密封线内的项目填写清楚。

3．请将答案填在试卷后面的答题卷上。

可能用到的相对原子质量：H：1 Li：7 C：12 N：14 O：16第一卷(选择题，共45分)1．对于反应 I2(g)＋H2(g) 2HI(g)，能增大正反应速率的措施是A．移去部分HI B．减小容器容积C．通入大量He D．降低体系温度2．物质的量浓度相同的下列溶液，pH由大到小排列正确的是A．Ba(OH)2、 Na2SO3、FeCl3、KCl B．Na2SiO3、Na2SO3、KNO3、NH4ClC．NH3·H2O、H3PO4、Na2SO4、H2SO4 D．NaHCO3、C6H5COOH、C2H5OH、HCl3．下列说法正确的是A．向0.1 mol/L Na2CO3溶液中滴加酚酞，溶液变红B．Al3＋、NO3－、Cl－、CO32－、Na＋可大量共存于pH=2的溶液中C．乙醇和乙酸都能溶于水，都是电解质D．分别与等物质的量的HCl和H2SO4反应时，消耗NaOH的物质的量相同4．通常情况下，将pH分别为8和10的两种NaOH溶液等体积混合，混合溶液的C()最接近于A． B．C． D．5．下列有关电池的说法不正确．．．的是A．手机上用的锂离子电池属于二次电池B．铜锌原电池工作时，电子沿外电路从铜电极流向锌电极C．甲醇燃料电池可把化学能转化为电能D．锌锰干电池中，锌电极是负极6．右图装置中，U型管内为红墨水，a、b试管内分别盛有食盐水和氯化铵溶液，各加入生铁块，放置一段时间。

下列有关描述正确的是A．生铁块中的碳是原电池的负极B．红墨水柱两边的液面变为左低右高C．两试管中相同的电极反应式是：Fe－2e－＝Fe2+D．a试管中发生了析氢腐蚀，b试管中发生了吸氧腐蚀7．下列说法正确的是A．在原电池工作时，溶液中的阳离子向负极移动B．在一定温度下，用惰性电极电解某溶液，若两极分别只有H-2和O2生成，电解一段时间后，该溶液的浓度一定增大C．要使电解后的CuSO4溶液复原，可向其中加入Cu(OH)2固体D．在铁表面镀锌时，铁作阴极8．Cu2O是一种半导体材料，基于绿色化学理念设计的制取Cu2O的电解池示意图如下，电解总反应：2Cu+H2O＝Cu2O+H2。

云南师大附中第四次月考数学答案

数学参考答案·第1页（共8页）数学参考答案一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B C C B B D A B 【解析】1．4(12i)(12i)41441z z -=+--=+-= ，故12i 4zz z z ==-- ，故选B ．2．杜牧认为没有东风，则赤壁之战东吴将输给曹操，则说明东风是打败曹操的必要条件．但有了东风，若没有其他的地利人和，也未必能打败曹操，故东风不是充要条件，故选C ．3．223(1)(3)0x x x x --=+-≤∵，{10123}A =-，，，，∴，由x A -∈知道，x 可以取3-，2101--，，，，又101A A A -∈∈∈，，，故知{32}B =--，，故选C ．4．由题意知205μσ==，，故1()10.6827(15)()22P X P X P X μσμσμσ--<<+-=-==≤≤0.1587≈，故选B ．5．πππππcos cos 66336f x x x ωωω⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，由题意知π6f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭关于π12x =轴对称，则ππππ()1236k k ωω+-=∈Z ，即412()k k ω=-∈Z ，又因为0ω>，故当0k =时，ω有最小值4，故选B ．6．一开始两人手中牌的点数之和是相等的，要想交换之后甲手中的牌点数之和更大，则甲被抽取的两张牌的点数之和应更小．若甲被抽取的两种牌中有点数为10的牌，则这两张牌的点数之和肯定更大，不合题意．故甲只能被抽取两张3，故其抽取的两张牌的点数之和为6，而乙抽取的两张牌点数之和要大于6，则必然要至少有一张5．综上2112446422610C C C C 66244C C 154515P ++==⨯= ，故选D ． 7．设两个正四棱锥分别为P ABCD -和Q ABCD -，P ABCD -和Q ABCD -的高分别为1h 和2h ，外接球半径为r ，则由题意知道211232h h h h r =⎧⎨+=⎩，，故12322r rh h ==，．设PQ 与平面ABCD数学参考答案·第2页（共8页）交点为1O ，球心为O ，故12r OO =，故1AO ===，故12AB r ==．设AB 的中点为E ，则4PE ===，同理可得4QE r =，故1442142142PAB QABAB PES PE S QE AB QE ⨯⨯⨯===⨯⨯⨯△△，故选A ． 8．构造函数π()sin 02f x x x x ⎡⎤=-∈⎢⎥⎣⎦，，，则()1cos 0f x x '=-≥，故函数()y f x =在π02⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上单调递增，故1(0)011f f ⎛⎫>= ⎪⎝⎭，即11sin 1111>，又313111>，故a b <．构造函数()ln 1g x x x =+-，则1()1g x x'=-，易知函数()y g x =在1x =处取得最大值(1)0g =，故10011g ⎛⎫< ⎪⎝⎭，即1010ln 101111+-<，即11011ln ln ln1.1111110<-==，由前面知11sin 1111<，故a c <．构造函数3()ln(1)3x h x x x =+-+，则22219(3)9(1)()1(3)(1)(3)x x h x x x x x +-+'=-==++++2(3)(1)(3)x x x x -++，故知函数()y h x =在(03)，上单调递减，故(0.1)(0)0h h <=，即0.33ln1.1 3.131<=，故c b <，综上，故选B ．二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分）题号 9 10 11 12 答案 BD AC ACD BCD【解析】9．2(123)a b k +=+ ，，由(2)a b a +⊥ 知道(2)0a b a +=，即1(23)0k k ++=，解得12k =-或1k =-，故选BD ．10．如图1，11C D AB ∥∵，而AB ⊂平面ABP ，故11C D ∥平面ABP ，故A 正确；显然1B C 与BP 不垂直，故1B C ⊥平面ABP 不可能成立，故B 错误；易知AB ⊥平面11BCC B ，故有平面11BCC B ⊥平面ABP ，故C 正确；直线1AA 与平面ABP 所成角即为直线1BB 与平面ABP 的数学参考答案·第3页（共8页）所成角，取BC 的中点Q ，易知1B Q BP ⊥，故由C 选项知1B Q ⊥平面ABP ，故1B BP ∠即为直线1BB 与平面ABP 的所成角，设正方体棱长为a，则1cos sin 52aB BP CBP ∠=∠==，故D 错误．综上，故选AC ．11．由题意知道cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，，故A 选项显然正确；对于B选项，4π2cos 134π2sin 3x y ⎧==-⎪⎪⎨⎪==⎪⎩，故B 错误；对于C选项，20y --=化为极坐标方程为cos sin 20θρθ--=，化简得πcos 16ρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，故C 正确；对于D 选项，2sin ρθ=，则22sin ρρθ=，故直角坐标方程为222x y y +=，即22(1)1x y +-=．综上，故选ACD ． 12．如图2所示，由题意知12122221212222AF AF a F F c AF AF F F -==⎧⎪==⎨⎪+=⎩，，解得1211AF AF ⎧=+⎪⎨=-⎪⎩，，故知A 不正确，在12Rt AF F △中，由等面积法知121211||||||||22A AF AF F F y =，解得||A y =，代入双曲线方程得225123A Ay x =+=，又因为点A 在双曲右支上，故A x =，故B 正确；由图知121213tan 2AF AF k AF F AF =∠===，1132AB AF k k +=-=-，由对称性可知，若点A在第四象限，则32AB k +=，故C正确；1ABF △的内切圆半径11122111()()22r AF AB BF AF AF BF BF =+-=++-1112)12=+-=-，故D 正确．综上，故选BCD ．三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）图1图2数学参考答案·第4页（共8页）【解析】13．63662661C ()C 2r rr r r r x x x --⎛⎛⎛⎫==-⎪ ⎝⎭⎝⎝，故当4r =时取得常数项，故常数项为1516． 14．若12π3AO B ∠=，设圆心1O 到直线AB 的距离为d，则d ==．两圆方程相减得直线AB 的方程：22260x y r ++-=，故圆心1(11)O ，到直线AB 的距离为22d ===，解得r =或r =15．()sin 33sin sin(2)3sin sin 2cos cos 2sin 3sin f x x x x x x x x x x x =+=++=++=2232sin (1sin )(12sin )sin 3sin 4sin 6sin x x x x x x x -+-+=-+，令sin t x =，则[11]t ∈-，，则只需求函数3()46g t t t =-+在[11]t ∈-，上的值域即可．22()1266(21)g t t t '=-+=--，故知函数()g t在12⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭，上单调递减，在22⎛ ⎝⎭，上单调递增，12⎫⎪⎪⎝⎭上单调递减．故极小值为2g ⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭，极大值为2g ⎫=⎪⎪⎝⎭，又(1)2g -=-，(1)2g =．故()g t 在[11]t ∈-，上的值域为[-，即函数()f x的值域为[-． 16．考虑(1)f ，显然可以有四种结果，记其可以满足的结果数为1a ，则14a =，记{1}f n B → ：，，中满足{11}i n ∀∈- ，，，都有|(1)()|2f i f i +-≥的函数个数为(2)n a n ≥．考虑2a ，当(1)1f =和(1)4f =时，(2)f 的选取都各有两个；当(1)2f =和(1)3f =时，(2)f 只有唯一的选择(2)4f =和(2)1f =，故222216a =⨯+⨯=．以此类推，当()1f i =和()4f i =时，(1)f i +的选取都各有两个；当()2f i =和()3f i =时，(1)f i +只有唯一的选择(1)4f i +=和(1)1f i +=，设i a 个函数中满足()1f i =和()4f i =的函数个数有m 个，满足()2f i =和()3f i =的函数个数有n 个，则12i a m n +=+．对于这2m 个函数，其中有一半会使得(1)1f i +=和(1)4f i +=，另一半使得(1)2f i +=和(1)3f i +=；而那n 个函数，必然使得(1)1f i +=和(1)4f i +=，故知212()32i i i a m n m m n a a ++=++=+=+．由递推公式可得345671016264268a a a a a =====，，，，．故满足条件的函数f 的个数为68．四、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（本小题满分10分）解：（1）1142n n n a a ++=-∵，112122n n n n a a ++=- ∴，1112122n n n na a ++⎛⎫-=- ⎪⎝⎭∴，数学参考答案·第5页（共8页）又1122a -=∵，故12n na ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是以2为首项，2为公比的等比数列． 112222n n nn a --== ，则42n n n a =+．…………………………………………………（5分）（2）由题意可得：122n nn n a b =-=，{}n c 是以4为首项，3为公差的等差数列，则43(1)31n c n n =+-=+．故214272(32)2(31)2n n n T n n -=+++-++ ①， 23124272(32)2(31)2n n n T n n +=+++-++ ②，①−②得231183(2222)(31)2n n n n T n -+-=+++++-+ 231123(22222)(31)2n n n n -+=++++++-+112(12)23(31)2(23)2412n n n n n ++-=+-+=--- ，1(32)24n n T n +=-+ ∴．………………………………………………………………（10分）18．（本小题满分12分）（1）证明：连接AM ，DM ， 32BM MC =∵，5BC =，3BM AB ==∴，又AD BC ∥∵，ABMD ∴为菱形，AM BD ⊥∴，又PA ⊥∵平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，PA BD ⊥∴，又PA AM A = ∵，BD ⊥∴平面PAM ，BD PM ⊥∴．……………………………（5分）（2）解：在ABC △中，3AB =，4AC =，5BC =，故AB AC ⊥，又PA ⊥∵底面ABCD ，建系如图3．则(040)C ，，，(004)P ，，，(022)N ，，，(044)PC =-，，，在底面ABCD 中，令AC MD E = ，由ADE CME △∽△得9612555DE EM AE ===，则612912005555M D ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，，，，(300)MD =- ，，∴，92255ND ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ ，，设平面MND 的一个法向量为()n x y z =，，，图3数学参考答案·第6页（共8页）则有30922055x x y z -=⎧⎪⎨-+-=⎪⎩，，得(051)n = ，，，设PC 与平面MND 所成角为θ，则sin |cos |PC n θ=〈〉==，，即为所求．……………………………（12分） 19．（本小题满分12分）解：（1）在ABD △中，由余弦定理可得：2222cos 31211BD AB AD AB AD BAD =+-∠=+-= ， 1BD AD ==，π6ABD BAD ∠=∠=∴，故π3ADC ∠=，在Rt ACD △中，12π1cos32AD CD ===，故3BC BD CD =+=．……………………………………………………………………（5分）（2）设AB x =，则2AC x =， 1πsin42241πsin 26ACDABDAC AD S CD x BD S x AB AD ==== △△ ，设BD y =，则45CD y BC y ==，，在Rt ACD △中，由勾股定理222AC AD CD +=，即224116x y +=，在ABC △中，由余弦定理得2222π2cos 3BC AB AC AB AC =+- ，即222225(2)27y x x x x x =++= ，联立解得22512x =，故212πsin 23224ABC S AB AC x === △ ．………………………………………（12分）20．（本小题满分12分）解：（1）X 可能的取值为0，1，2，4（显然，若小狗取对了三件物品，则第四件物品也一定是取对的，故X 不可能为3．） 4411(4)A 24P X ===，2444C 1(2)A 4P X ===，1444C 21(1)A 3P X === ，1113(0)124438P X ==---=．数学参考答案·第7页（共8页）故分布列为3111()0124183424E X =⨯+⨯+⨯+⨯=．………………………………………………（8分）（2）小狗连续两次得分都大于2分，即小狗每一次都得四分．若小狗取物品都是随机的，那么连续两次得4分的概率仅为2110.001724576⎛⎫=≈ ⎪⎝⎭，这个概率非常小，所以小明认为小狗取物品应该不是随机的，是他对小狗的训练起了作用，这个认为是合理的．……………………………………………………………………………………（12分）21．（本小题满分12分）解：（1）由(4)P m -，是C 上一点知：162pm =，故8m p=．由抛物线定义可知：8||522p pPF m p =+=+=，化解得210160p p -+=，解得2p =或8p =，又因为P 位于F 的上方，故82pp >，故2p =，故抛物线方程为24x y =．………………………………………………………………（4分）（2）由（1）知(44)P -，，(01)F ，，显然，直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为1y kx =+，设点22121244x x A x B x ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，，联立214y kx x y =+⎧⎨=⎩，，得2440x kx --=，故121244x x k x x +==-，，若PF 平分角APB ∠，则12||||||||||||x PA AF PB BF x ==，故221222||||x PA PB x =，即22211212222222(4)44(4)44x x x x x x ⎛⎫++- ⎪⎝⎭=⎛⎫++- ⎪⎝⎭，即421211142222228321683216x x x x x x x x -++=-++，即2222222222221212112122221211218328321616x x x x x x x x x x x x x x x x x x -++=-++ ，数学参考答案·第8页（共8页）将124x x =-代入化简得22221131323132x x x x -=-，即21212131()()32()0x x x x x x +---=，因为12x x ≠，故2131()32x x +=，即31432k ⨯=，得831k =，故直线l 的方程为8131y x =+．…………………………………………………………（12分） 22．（本小题满分12分）（1）证明：当2a ≥时，22()ln 3ln 23f x x x ax x x x x x =-+-+≤，欲证()1f x ≤，只需证2ln 231x x x x -+≤，0x >∵，只需证1ln 23x x x-+≤，即证：1ln 230x x x -+-≤，令1()ln 23g x x x x =-+-，则22221121(21)(1)()2x x x x g x x x x x -+++-'=-+==-，故知函数()g x 在(01)，上单调递增，在(1)+∞，上单调递减，故max ()(1)0g x g ==，故()0g x ≤，即1ln 23x x x -+≤，得证．………………………（5分）（2）解：ln 4()1ln 2322x f x x ax x a x +⎛⎫'=+-+=-⎪⎝⎭．令ln 4()2x h x x +=，则22122(ln 4)62ln ()44x x x x h x x x -+--'==，故知()h x 在3(0e )-，上单调递增，在3(e )-+∞，上单调递减，故33maxe ()(e )2h x h -==，①若3e 2a ≥，则()0f x '<恒成立，则()f x 在(0)+∞，上单调递减，无最大值；②若3e 02a <≤．0lim ()lim ()0x x h x h x →→+∞=-∞=，，则()f x '在(0)+∞，上有两个零点，设为12x x ，，且12x x <．显然312e x x -<<，故当1(0)x x ∈，时，1()()h x h x a <=，故()0f x '<，函数()f x 此时单调递减．同理可知函数()f x 在12()x x ，上单调递增，在2()x +∞，上单调递减．又0lim ()0x f x →=，故()f x 有最大值等价于2()0f x ≥，故有2222222ln 402ln 30x a x x x ax x +⎧-=⎪⎨⎪-+⎩，≥，化简得222ln 02x x x +≥，解得22e x -≥，又2()a h x =，且()h x 在2(e )-+∞，上单调递减，故22(e )e a h -=≤，故20e a <≤；③若0a ≤，当e x ≥时，2()34f x x ax x x -+≥≥，()f x 显然无最大值，综上，20e a <≤．………………………………………………………………………（12分）。

2024-2025学年湖南师范大学附属中学高三上学期月考(一)数学试题及答案

大联考湖南师大附中2025届高三月考试卷（一）数学命题人：高三数学备课组审题人：高三数学备课组时量：120分钟满分：150分一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，1. 已知{}()260,{lg 10}A x x xB x x =+-≤=-<∣∣，则A B = （）A. {}32x x -≤≤∣ B. {32}xx -≤<∣C. {12}xx <≤∣ D. {12}xx <<∣2. 若复数z 满足()1i 3i z +=-+（i 是虚数单位），则z 等于（）A.B.54C.D.3. 已知平面向量()()5,0,2,1a b ==- ，则向量a b + 在向量b 上投影向量为（）A. ()6,3- B. ()4,2- C. ()2,1- D. ()5,04. 记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若396714,63a a a a +==，则7S =（）A. 21B. 19C. 12D. 425. 某校高二年级下学期期末考试数学试卷满分为150分，90分以上（含90分）为及格．阅卷结果显示，全年级1200名学生的数学成绩近似服从正态分布，试卷的难度系数（难度系数=平均分/满分）为0.49，标准差为22，则该次数学考试及格的人数约为（）附：若()2,X Nμσ~，记()()p k P k X k μσμσ=-≤≤+，则()()0.750.547,10.683p p ≈≈．A 136人B. 272人C. 328人D. 820人6. 已知()π5,0,,cos ,tan tan 426αβαβαβ⎛⎫∈-=⋅= ⎪⎝⎭，则αβ+=（）A.π6 B.π4C.π3D.2π37. 已知12,F F 是双曲线22221(0)x y a b a b-=>>的左､右焦点，以2F 为圆心，a 为半径的圆与双曲线的一条的.渐近线交于,A B 两点，若123AB F F >，则双曲线的离心率的取值范围是（）A. ⎛ ⎝B. ⎛ ⎝C. (D. (8. 已知函数()220log 0x a x f x x x ⎧⋅≤=⎨>⎩，，，，若关于x 的方程()()0f f x =有且仅有两个实数根，则实数a 的取值范围是（）A. ()0,1 B. ()(),00,1-∞⋃ C. [)1,+∞ D. ()()0,11,+∞ 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分9. 如图，在正方体111ABCD A B C D -中，E F M N ，，，分别为棱111AA A D AB DC ，，，的中点，点P 是面1B C 的中心，则下列结论正确的是（）A. E F M P ，，，四点共面B. 平面PEF 被正方体截得的截面是等腰梯形C. //EF 平面PMND. 平面MEF ⊥平面PMN10. 已知函数()5π24f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则（）A. ()f x 的一个对称中心为3π,08⎛⎫ ⎪⎝⎭B. ()f x 的图象向右平移3π8个单位长度后得到的是奇函数的图象C. ()f x 在区间5π7π,88⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增D. 若()y f x =在区间()0,m 上与1y =有且只有6个交点，则5π13π,24m ⎛⎤∈⎥⎝⎦11. 已知定义在R 上的偶函数()f x 和奇函数()g x 满足()()21f x g x ++-=，则（）A. ()f x 的图象关于点()2,1对称B. ()f x 是以8为周期的周期函数C. ()20240g =D.20241(42)2025k f k =-=∑三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 6(31)x y +-的展开式中2x y 的系数为______．13. 已知函数()f x 是定义域为R 的奇函数，当0x >时，()()2f x f x '->，且()10f =，则不等式()0f x >的解集为__________.14. 已知点C 为扇形AOB 弧AB 上任意一点，且60AOB ∠=，若(),R OC OA OB λμλμ=+∈，则λμ+的取值范围是__________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15. ABC V 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知22cos a b c B +=．（1）求角C ；（2）若角C 的平分线CD 交AB于点,D AD DB ==CD 的长．16. 已知1ex =为函数()ln af x x x =的极值点．（1）求a 的值；（2）设函数()ex kxg x =，若对()120,,x x ∀∈+∞∃∈R ，使得()()120f x g x -≥，求k 的取值范围．17. 已知四棱锥P ABCD -中，平面PAB ⊥底面,ABCD AD∥,,,2,BC AB BC PA PB AB AB BC AD E ⊥====为AB 的中点，F 为棱PC 上异于,P C 的点．的（1）证明：BD EF ⊥；（2）试确定点F 的位置，使EF 与平面PCD18. 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线21:2(0)C y px p =>的焦点到准线的距离等于椭圆222:161C x y +=的短轴长，点P 在抛物线1C 上，圆222:(2)E x y r -+=（其中01r <<）.（1）若1,2r Q =为圆E 上的动点，求线段PQ 长度的最小值；（2）设()1,D t 是抛物线1C 上位于第一象限的一点，过D 作圆E 的两条切线，分别交抛物线1C 于点,M N .证明：直线MN 经过定点.19. 龙泉游泳馆为给顾客更好的体验，推出了A 和B 两个套餐服务，顾客可选择A 和B 两个套餐之一，并在App 平台上推出了优惠券活动，下表是该游泳馆在App 平台10天销售优惠券情况．销售量千张经计算可得：10101021111 2.2,118.73,38510i i i i i i i y y t y t =======∑∑∑（1）因为优惠券购买火爆，App 平台在第10天时系统出现异常，导致当天顾客购买优惠券数量大幅减少，已知销售量y 和日期t 呈线性关系，现剔除第10天数据，求y 关于t 的经验回归方程结果中的数值用分数表示；（2）若购买优惠券的顾客选择A 套餐的概率为14，选择B 套餐的概率为34，并且A 套餐可以用一张优惠券，B 套餐可以用两张优惠券，记App 平台累计销售优惠券为n 张的概率为n P ，求n P ；（3）记（2）中所得概率n P 的值构成数列{}()N n P n *∈.①求n P 的最值；②数列收敛的定义：已知数列{}n a ，若对于任意给定的正数ε，总存在正整数0N ，使得当0n N >时，n a a ε-<，（a 是一个确定的实数），则称数列{}n a 收敛于a .根据数列收敛的定义证明数列{}n P 收敛．.参考公式：()()()1122211ˆˆ,n ni i i ii in ni ii ix x y y x y nx ya y bxx x x nx====---==---∑∑∑∑.大联考湖南师大附中2025届高三月考试卷（一）数学命题人：高三数学备课组审题人：高三数学备课组时量：120分钟满分：150分一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，1. 已知{}()260,{lg 10}A x x xB x x =+-≤=-<∣∣，则A B = （）A. {}32x x -≤≤∣ B. {32}xx -≤<∣C. {12}xx <≤∣ D. {12}xx <<∣【答案】D 【解析】【分析】通过解一元二次不等式和对数函数的定义域，求出集合,A B ，再求交集．【详解】集合{}()32,{lg 10}{12}A x x B x x x x =-≤≤=-<=<<∣∣∣，则{12}A B xx ⋂=<<∣，故选：D ．2. 若复数z 满足()1i 3i z +=-+（i 是虚数单位），则z 等于（）A.B.54C.D.【答案】C 【解析】【分析】由复数的除法运算计算可得12i z =-+，再由模长公式即可得出结果.【详解】依题意()1i 3i z +=-+可得()()()()3i 1i 3i 24i12i 1i 1i 1i 2z -+--+-+====-+++-，所以z ==.故选：C3. 已知平面向量()()5,0,2,1a b ==- ，则向量a b +在向量b 上的投影向量为（）A. ()6,3- B. ()4,2- C. ()2,1- D. ()5,0【答案】A 【解析】【分析】根据投影向量的计算公式即可求解.【详解】()()7,1,15,a b a b b b +=-+⋅=== 所以向量a b +在向量b 上的投影向量为()()236,3||a b b b b b +⋅==- .故选：A4. 记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若396714,63a a a a +==，则7S =（）A. 21 B. 19C. 12D. 42【答案】A 【解析】【分析】根据等差数列的性质，即可求解公差和首项，进而由求和公式求解.【详解】{}n a 是等差数列，396214a a a ∴+==，即67a =，所以67769,a a a a ==故公差76162,53d a a a a d =-=∴=-=-，()767732212S ⨯∴=⨯-+⨯=，故选：A5. 某校高二年级下学期期末考试数学试卷满分为150分，90分以上（含90分）为及格．阅卷结果显示，全年级1200名学生的数学成绩近似服从正态分布，试卷的难度系数（难度系数=平均分/满分）为0.49，标准差为22，则该次数学考试及格的人数约为（）附：若()2,X Nμσ~，记()()p k P k X k μσμσ=-≤≤+，则()()0.750.547,10.683p p ≈≈．A. 136人B. 272人C. 328人D. 820人【答案】B 【解析】【分析】首先求出平均数，即可得到学生的数学成绩2~(73.5,22)X N ，再根据所给条件求出(5790)P X ≤≤，即可求出(90)P X ≥，即可估计人数．【详解】由题得0.4915073.5,22μσ=⨯==，()()(),0.750.547p k P k X k p μσμσ=-≤≤+≈ ，()5790P X ∴≤≤()0.750.547p =≈，()()900.510.5470.2265P X ≥=⨯-=，∴该校及格人数为0.22651200272⨯≈（人），故选：B ．6. 已知()π5,0,,cos ,tan tan 426αβαβαβ⎛⎫∈-=⋅= ⎪⎝⎭，则αβ+=（）A.π6 B.π4C.π3D.2π3【答案】D 【解析】【分析】利用两角差的余弦定理和同角三角函数的基本关系建立等式求解，再由两角和的余弦公式求解即可．【详解】由已知可得5cos cos sin sin 6sin sin 4cos cos αβαβαβαβ⎧⋅+⋅=⎪⎪⎨⋅⎪=⋅⎪⎩，解得1cos cos 62sin sin 3αβαβ⎧⋅=⎪⎪⎨⎪⋅=⎪⎩，，()1cos cos cos sin sin 2αβαβαβ∴+=⋅-⋅=-，π,0,2αβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()0,παβ∴+∈，2π,3αβ∴+=，故选：D ．7. 已知12,F F 是双曲线22221(0)x y a b a b-=>>的左､右焦点，以2F 为圆心，a 为半径的圆与双曲线的一条渐近线交于,A B 两点，若123AB F F >，则双曲线的离心率的取值范围是（）A. ⎛ ⎝B. ⎛ ⎝C. (D. (【答案】B 【解析】【分析】根据双曲线以及圆的方程可求得弦长AB =，再根据不等式123AB F F >整理可得2259c a <，即可求得双曲线的离心率的取值范围.【详解】设以()2,0F c 为圆心，a 为半径的圆与双曲线的一条渐近线0bx ay -=交于,A B 两点，则2F 到渐近线0bx ay -=的距离d b ==，所以AB =，因为123AB F F >，所以32c ⨯>，可得2222299a b c a b ->=+，即22224555a b c a >=-，可得2259c a <，所以2295c a <，所以e <，又1e >，所以双曲线的离心率的取值范围是⎛ ⎝.故选：B8. 已知函数()220log 0x a x f x x x ⎧⋅≤=⎨>⎩，，，，若关于x 的方程()()0f f x =有且仅有两个实数根，则实数a 的取值范围是（）A. ()0,1 B. ()(),00,1-∞⋃ C. [)1,+∞ D. ()()0,11,+∞ 【答案】C 【解析】【分析】利用换元法设()u f x =，则方程等价为()0f u =，根据指数函数和对数函数图象和性质求出1u =，利用数形结合进行求解即可．【详解】令()u f x =，则()0f u =．①当0a =时，若()0,0u f u ≤=；若0u >，由()2log 0f u u ==，得1u =．所以由()()0ff x =可得()0f x ≤或()1f x =．如图所示，满足()0f x ≤的x 有无数个，方程()1f x =只有一个解，不满足题意；②当0a ≠时，若0≤u ，则()20uf u a =⋅≠；若0u >，由()2log 0f u u ==，得1u =．所以由()()0ff x =可得()1f x =，当0x >时，由()2log 1f x x ==，可得2x =，因为关于x 的方程()()0f f x =有且仅有两个实数根，则方程()1f x =在(,0∞-]上有且仅有一个实数根，若0a >且()(]0,20,xx f x a a ≤=⋅∈，故1a ≥；若0a <且()0,20xx f x a ≤=⋅<，不满足题意．综上所述，实数a 的取值范围是[)1,+∞，故选：C ．二､多选题：本题共36分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分9. 如图，在正方体111ABCD A B C D -中，E F M N ，，，分别为棱111AA A D AB DC ，，，的中点，点P 是面1B C 的中心，则下列结论正确的是（）A. E F M P ，，，四点共面B. 平面PEF 被正方体截得的截面是等腰梯形C. //EF 平面PMND. 平面MEF ⊥平面PMN【答案】BD 【解析】【分析】可得过,,E F M 三点的平面为一个正六边形，判断A ；分别连接,E F 和1,B C ，截面1C BEF 是等腰梯形，判断B ；分别取11,BB CC 的中点,G Q ，易证EF 显然不平行平面QGMN ，可判断C ；EM ⊥平面PMN ，可判断D.【详解】对于A ：如图经过,,E F M 三点的平面为一个正六边形EFMHQK ，点P 在平面外，,,,E F M P ∴四点不共面，∴选项A 错误；对于B ：分别连接,E F 和1,B C ，则平面PEF 即平面1C BEF ，截面1C BEF 是等腰梯形，∴选项B 正确；对于C ：分别取11,BB CC 的中点,G Q ，则平面PMN 即为平面QGMN ，由正六边形EFMHQK ，可知HQ EF ，所以MQ 不平行于EF ，又,EF MQ ⊂平面EFMHQK ，所以EF MQ W = ，所以EF I 平面QGMN W =，所以EF 不平行于平面PMN ，故选项C 错误；对于D ：因为,AEM BMG 是等腰三角形，45AME BMG ∴∠=∠=︒，90EMG ∴∠=︒，EMMG ∴⊥，,M N 是,AB CD 的中点，易证MN AD ∥，由正方体可得AD ⊥平面11ABB A ，MN ∴⊥平面11ABB A ，又ME ⊂平面11ABB A ，EM MN ∴⊥，,MG MN ⊂ 平面PMN ，EM ∴⊥平面GMN ，EM ⊂ 平面MEF ，∴平面MEF ⊥平面,PMN 故选项D 正确．故选：BD ．10. 已知函数()5π24f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则（）A. ()f x 的一个对称中心为3π,08⎛⎫ ⎪⎝⎭B. ()f x 的图象向右平移3π8个单位长度后得到的是奇函数的图象C. ()f x 在区间5π7π,88⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增D. 若()y f x =在区间()0,m 上与1y =有且只有6个交点，则5π13π,24m ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦【答案】BD 【解析】【分析】代入即可验证A ，根据平移可得函数图象，即可由正弦型函数的奇偶性求解B ，利用整体法即可判断C ，由5πcos 24x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭求解所以根，即可求解D.【详解】对于A ，由35π3π2π0848f ⎛⎫⎛⎫=+⨯=≠⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故A 错误；对于B ，()f x 的图象向右平移3π8个单位长度后得：3π3π5ππ228842y f x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-+=+= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，为奇函数，故B 正确；对于C ，当5π7π,88x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，则5π5π2,3π42x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，由余弦函数单调性知，()f x 在区间5π7π,88⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，故C 错误；对于D ，由()1f x =，得5πcos 24x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭ππ4x k =+或ππ,2k k +∈Z ，()y f x =在区间()0,m 上与1y =有且只有6个交点，其横坐标从小到大依次为：ππ5π3π9π5π,,,,,424242，而第7个交点的横坐标为13π4，5π13π24m ∴<≤，故D 正确.故选：BD11. 已知定义在R 上的偶函数()f x 和奇函数()g x 满足()()21f x g x ++-=，则（）A. ()f x 的图象关于点()2,1对称B. ()f x 是以8为周期的周期函数C. ()20240g =D.20241(42)2025k f k =-=∑【答案】ABC 【解析】【分析】根据函数奇偶性以及所满足的表达式构造方程组可得()()222f x f x ++-=，即可判断A 正确；利用对称中心表达式进行化简计算可得B 正确，可判断()g x 也是以8为周期的周期函数，即C 正确；根据周期性以及()()42f x f x ++=计算可得20241(42)2024k f k =-=∑，可得D 错误.【详解】由题意()()()(),f x f x g x g x -=-=-，且()()()00,21g f x g x =++-=，即()()21f x g x +-=①，用x -替换()()21f x g x ++-=中的x ，得()()21f x g x -+=②，由①+②得()()222f x f x ++-=所以()f x 的图象关于点(2,1)对称，且()21f =，故A 正确；由()()222f x f x ++-=，可得()()()()()42,422f x f x f x f x f x ++-=+=--=-，所以()()()()82422f x f x f x f x ⎡⎤+=-+=--=⎣⎦，所以()f x 是以8为周期的周期函数，故B 正确；由①知()()21g x f x =+-，则()()()()882121g x f x f x g x +=++-=+-=，故()()8g x g x +=，因此()g x 也是以8为周期的周期函数，所以()()202400g g ==，C 正确；又因为()()42f x f x ++-=，所以()()42f x f x ++=，令2x =，则有()()262f f +=，令10x =，则有()()10142,f f +=…，令8090x =，则有()()809080942f f +=，所以1012(2)(6)(10)(14)(8090)(8094)2222024f f f f f f ++++++=+++=个所以20241(42)(2)(6)(10)(14)(8090)(8094)2024k f k f f f f f f =-=++++++=∑ ，故D 错误.故选：ABC【点睛】方法点睛：求解函数奇偶性、对称性、周期性等函数性质综合问题时，经常利用其中两个性质推得第三个性质特征，再进行相关计算.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 6(31)x y +-的展开式中2x y 的系数为______．【答案】180-【解析】【分析】根据题意，由条件可得展开式中2x y 的系数为213643C C (1)⋅-，化简即可得到结果．【详解】在6(31)x y +-的展开式中，由()2213264C C 3(1)180x y x y ⋅⋅-=-，得2x y 的系数为180-.故答案为：180-．13. 已知函数()f x 是定义域为R 的奇函数，当0x >时，()()2f x f x '->，且()10f =，则不等式()0f x >的解集为__________.【答案】()()1,01,-⋃+∞【解析】【分析】根据函数奇偶性并求导可得()()f x f x ''-=，因此可得()()2f x f x '>，可构造函数()()2xf x h x =e并求得其单调性即可得()f x 在()1,+∞上大于零，在()0,1上小于零，即可得出结论.【详解】因为()f x 为奇函数，定义域为R ，所以()()f x f x -=-，两边同时求导可得()()f x f x ''--=-，即()()f x f x ''-=且()00f =，又因为当0x >时，()()2f x f x '->，所以()()2f x f x '>.构造函数()()2x f x h x =e ，则()()()22xf x f x h x '-'=e，所以当0x >时，()()0,h x h x '>在()0,∞+上单调递增，又因为()10f =，所以()()10,h h x =在()1,+∞上大于零，在()0,1上小于零，又因为2e 0x >，所以()f x 在()1,+∞上大于零，在()0,1上小于零，因为()f x 为奇函数，所以()f x 在(),1∞--上小于零，在()1,0-上大于零，综上所述，()0f x >的解集为()()1,01,-⋃+∞.故答案为：()()1,01,-⋃+∞14. 已知点C 为扇形AOB 的弧AB 上任意一点，且60AOB ∠=，若(),R OC OA OB λμλμ=+∈，则λμ+的取值范围是__________.【答案】⎡⎢⎣【解析】【分析】建系设点的坐标，再结合向量关系表示λμ+，最后应用三角恒等变换及三角函数值域求范围即可.【详解】方法一：设圆O 的半径为1，由已知可设OB 为x 轴的正半轴，O 为坐标原点，过O 点作x 轴垂线为y 轴建立直角坐标系，其中()()1,1,0,cos ,sin 2A B C θθ⎛ ⎝，其中π,0,3BOC θθ⎡⎤∠=∈⎢⎥⎣⎦，由(),R OC OA OB λμλμ=+∈，即()()1cos ,sin 1,02θθλμ⎛=+⎝，整理得1cos sin 2λμθθ+==，解得cos λμθ==，则ππcos cos ,0,33λμθθθθθ⎛⎫⎡⎤+==+=+∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，ππ2ππ,,sin 3333θθ⎤⎡⎤⎛⎫+∈+∈⎥⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎦所以λμ⎡+∈⎢⎣.方法二：设k λμ+=，如图，当C 位于点A 或点B 时，,,A B C 三点共线，所以1k λμ=+=；当点C 运动到AB的中点时，k λμ=+==，所以λμ⎡+∈⎢⎣故答案为：⎡⎢⎣四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15. ABC V 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知22cos a b c B +=．（1）求角C ；（2）若角C 的平分线CD 交AB于点,D AD DB ==CD 的长．【答案】（1）2π3C = （2）3CD =【解析】【分析】（1）利用正弦定理及两角和的正弦定理整理得到()2cos 1sin 0C B +=，再利用三角形的内角及正弦函数的性质即可求解；（2）利用正弦定理得出3b a =，再由余弦定理求出4a =，12b =，再根据三角形的面积建立等式求解．【小问1详解】由22cos a b c B +=，根据正弦定理可得2sin sin 2sin cos A B C B +=，则()2sin sin 2sin cos B C B C B ++=，所以2sin cos 2cos sin sin 2sin cos B C B C B C B ++=，整理得()2cos 1sin 0C B +=，因为,B C 均为三角形内角，所以(),0,π,sin 0B C B ∈≠，因此1cos 2C =-，所以2π3C =．【小问2详解】因为CD 是角C的平分线，AD DB ==所以在ACD 和BCD △中，由正弦定理可得，,ππsin sin sin sin 33AD CD BD CDA B ==，因此sin 3sin B ADA BD==，即sin 3sin B A =，所以3b a =，又由余弦定理可得2222cos c a b ab C =+-，即222293a a a =++，解得4a =，所以12b =．又ABC ACD BCD S S S =+△△△，即111sin sin sin 222ab ACB b CD ACD a CD BCD ∠∠∠=⋅⋅+⋅⋅，即4816CD =，所以3CD =．16. 已知1ex =为函数()ln af x x x =的极值点．（1）求a 的值；（2）设函数()ex kxg x =，若对()120,,x x ∀∈+∞∃∈R ，使得()()120f x g x -≥，求k 的取值范围．【答案】（1）1a = （2）(]()10,-∞-+∞ ,【解析】【分析】（1）直接根据极值点求出a 的值；（2）先由（1）求出()f x 的最小值，由题意可得是求()g x 的最小值，小于等于()f x 的最小值，对()g x 求导，判断由最小值时的k 的范围，再求出最小值与()f x 最小值的关系式，进而求出k 的范围．【小问1详解】()()111ln ln 1a a f x ax x x x a x xα--=='+⋅+，由1111ln 10e e e a f a -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭'⎭⎝，得1a =，当1a =时，()ln 1f x x ='+，函数()f x 在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,e∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭上单调递增，所以1ex =为函数()ln af x x x =的极小值点，所以1a =．【小问2详解】由（1）知min 11()e e f x f ⎛⎫==- ⎪⎝⎭．函数()g x 的导函数()()1exg x k x -=-'①若0k >，对()1210,,x x k ∞∀∈+∃=-，使得()()12111e 1e k g x g f x k ⎛⎫=-=-<-<-≤ ⎪⎝⎭，即()()120f x g x -≥，符合题意．②若()0,0k g x ==，取11ex =，对2x ∀∈R ，有()()120f x g x -<，不符合题意．③若0k <，当1x <时，()()0,g x g x '<在(),1∞-上单调递减；当1x >时，()()0,g x g x '>在(1,+∞)上单调递增，所以()min ()1ek g x g ==，若对()120,,x x ∞∀∈+∃∈R ，使得()()120f x g x -≥，只需min min ()()g x f x ≤，即1e ek ≤-，解得1k ≤-．综上所述，k 的取值范围为(](),10,∞∞--⋃+．17. 已知四棱锥P ABCD -中，平面PAB ⊥底面,ABCD AD ∥,,,2,BC AB BC PA PB AB AB BC AD E ⊥====为AB 的中点，F 为棱PC 上异于,P C 的点．（1）证明：BD EF ⊥；（2）试确定点F 的位置，使EF 与平面PCD【答案】（1）证明见解析（2）F 位于棱PC 靠近P 的三等分点【解析】【分析】（1）连接,,PE EC EC 交BD 于点G ，利用面面垂直的性质定理和三角形全等，即可得证；（2）取DC 的中点H ，以E 为坐标原点，分别以,,EB EH EP 所在直线为,,x y z 轴建立，利用线面角公式代入即可求解．小问1详解】如图，连接,,PE EC EC 交BD 于点G ．因为E 为AB 的中点，PA PB =，所以PE AB ⊥．因为平面PAB ⊥平面ABCD ，平面PAB ⋂平面,ABCD AB PE =⊂平面PAB ，所以PE ⊥平面ABCD ，因为BD ⊂平面ABCD ，所以BD ⊥．因为ABD BCE ≅ ，所以CEB BDA ∠∠=，所以90CEB ABD ∠∠+= ，所以BD EC ⊥，因为,,PE EC E PE EC ⋂=⊂平面PEC ，所以BD ⊥平面PEC ．因为EF ⊂平面PEC ，所以BD EF ⊥．【小问2详解】如图，取DC 的中点H ，以E 为坐标原点，分别以,,EB EH EP 所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，【设2AB =，则2,1,BC AD PA PB ====则()()()()0,0,1,1,2,0,1,1,0,0,0,0P C D E -，设(),,,(01)F x y z PF PC λλ=<<，所以()(),,11,2,1x y z λ-=-，所以,2,1x y z λλλ===-，即(),2,1F λλλ-．则()()()2,1,0,1,2,1,,2,1DC PC EF λλλ==-=-，设平面PCD 的法向量为(),,m a b c =，则00DC m PC m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，，即2020a b a b c +=⎧⎨+-=⎩，，取()1,2,3m =--，设EF 与平面PCD 所成的角为θ，由cos θ=sin θ=．所以sin cos ,m EF m EF m EF θ⋅====整理得2620λλ-=，因为01λ<<，所以13λ=，即13PF PC = ，故当F 位于棱PC 靠近P 的三等分点时，EF 与平面PCD18. 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线21:2(0)C y px p =>的焦点到准线的距离等于椭圆222:161C x y +=的短轴长，点P 在抛物线1C 上，圆222:(2)E x y r -+=（其中01r <<）.（1）若1,2r Q =为圆E 上的动点，求线段PQ长度的最小值；（2）设()1,D t 是抛物线1C 上位于第一象限的一点，过D 作圆E 的两条切线，分别交抛物线1C 于点,M N .证明：直线MN 经过定点.【答案】（1（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据椭圆的短轴可得抛物线方程2y x =，进而根据两点斜率公式，结合三角形的三边关系，即可由二次函数的性质求解，（2）根据两点坐标可得直线,MN DM 的直线方程，由直线与圆相切可得,a b 是方程()()()2222124240r x r x r -+-+-=的两个解，即可利用韦达定理代入化简求解定点.【小问1详解】由题意得椭圆的方程：221116y x +=，所以短半轴14b =所以112242p b ==⨯=，所以抛物线1C 的方程是2y x =.设点()2,P t t ，则111222PQ PE ≥-=-=≥，所以当232ι=时，线段PQ.【小问2详解】()1,D t 是抛物线1C 上位于第一象限的点，21t ∴=，且()0,1,1t D >∴设()()22,,,M a a N b b ，则：直线()222:b a MN y a x a b a --=--，即()21y a x a a b-=-+，即()0x a b y ab -++=.直线()21:111a DM y x a --=--，即()10x a y a -++=.由直线DMr =，即()()()2222124240r a r a r -+-+-=..同理，由直线DN 与圆相切得()()()2222124240r b r b r -+-+-=.所以,a b 是方程()()()2222124240r x r x r -+-+-=的两个解，22224224,11r r a b ab r r --∴+==--代入方程()0x a b y ab -++=得()()222440x y r x y +++---=，220,440,x y x y ++=⎧∴⎨++=⎩解得0,1.x y =⎧⎨=-⎩∴直线MN 恒过定点()0,1-.【点睛】圆锥曲线中定点问题的两种解法（1）引进参数法：先引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点.（2）特殊到一般法：先根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关.技巧：若直线方程为()00y y k x x -=-,则直线过定点()00,x y ;若直线方程为y kx b =+ (b 为定值),则直线过定点()0,.b 19. 龙泉游泳馆为给顾客更好的体验，推出了A 和B 两个套餐服务，顾客可选择A 和B 两个套餐之一，并在App 平台上推出了优惠券活动，下表是该游泳馆在App 平台10天销售优惠券情况．日期t 12345678910销售量千张 1.9 1.98 2.2 2.36 2.43259 2.682.76 2.70.4经计算可得：10101021111 2.2,118.73,38510i i i i i i i y y t y t =======∑∑∑.（1）因为优惠券购买火爆，App 平台在第10天时系统出现异常，导致当天顾客购买优惠券数量大幅减少，已知销售量y 和日期t 呈线性关系，现剔除第10天数据，求y 关于t 的经验回归方程结果中的数值用分数表示；..（2）若购买优惠券的顾客选择A 套餐的概率为14，选择B 套餐的概率为34，并且A 套餐可以用一张优惠券，B 套餐可以用两张优惠券，记App 平台累计销售优惠券为n 张的概率为n P ，求n P ；（3）记（2）中所得概率n P 的值构成数列{}()Nn P n *∈.①求n P 的最值；②数列收敛的定义：已知数列{}n a ，若对于任意给定的正数ε，总存在正整数0N ，使得当0n N >时，n a a ε-<，（a 是一个确定的实数），则称数列{}n a 收敛于a .根据数列收敛的定义证明数列{}n P 收敛．参考公式： ()()()1122211ˆˆ,n ni i i i i i n n ii i i x x y y x y nx y ay bx x x x nx ====---==---∑∑∑∑.【答案】（1）673220710001200y t =+ （2）433774n n P ⎛⎫=+⋅- ⎪⎝⎭（3）①最大值为1316，最小值为14；②证明见解析【解析】【分析】（1）计算出新数据的相关数值，代入公式求出 ,ab 的值，进而得到y 关于t 的回归方程；（2）由题意可知1213,(3)44n n n P P P n --=+≥，其中12113,416P P ==，构造等比数列，再利用等比数列的通项公式求解；（3）①分n 为偶数和n 为奇数两种情况讨论，结合指数函数的单调性求解；②利用数列收敛的定义，准确推理、运算，即可得证．【小问1详解】解：剔除第10天的数据，可得 2.2100.4 2.49y ⨯-==新，12345678959t ++++++++==新，则9922111119.73100.4114,73,38510285i i i i t y t ==⎛⎫⎛⎫=-⨯==-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑新新，所以912922119114,7395 2.4673ˆ2859560009i i i i t y t y b t t ==⎛⎫- ⎪-⨯⨯⎝⎭===-⨯⎛⎫- ⎪⎝⎭∑∑新新新新新，可得6732207ˆ 2.4560001200a =-⨯=，所以6732207ˆ60001200y t =+.【小问2详解】解：由题意知1213,(3)44n n n P P P n --=+≥，其中12111313,444416P P ==⨯+=，所以11233,(3)44n n n n P P P P n ---+=+≥，又由2131331141644P P +=+⨯=，所以134n n P P -⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是首项为1的常数列，所以131,(2)4n n P P n -+=≥所以1434(2)747n n P P n --=--≥，又因为1414974728P -=-=-，所以数列47n P ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是首项为928-，公比为34-的等比数列，故143)74n n P --=-，所以1934433(()2847774n n n P -=--+=+-.【小问3详解】解：①当n 为偶数时，19344334()(28477747n n n P -=--+=+⋅>单调递减，最大值为21316P =；当n 为奇数时，19344334()(28477747n n n P -=--+=-⋅<单调递增，最小值为114P =，综上可得，数列{}n P 的最大值为1316，最小值为14.②证明：对任意0ε>总存在正整数0347[log ()]13N ε=+，其中 []x 表示取整函数，当 347[log ()]13n ε>+时，347log ()34333333()()()7747474n n n P εε-=⋅-=⋅<⋅=，所以数列{}n P 收敛.【点睛】知识方法点拨：与新定义有关的问题的求解策略：1、通过给出一个新的定义，或约定一种新的运算，或给出几个新模型来创设新问题的情景，要求在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实心信息的迁移，达到灵活解题的目的；2、遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、运算、验证，使得问题得以解决.方法点拨：与数列有关的问题的求解策略：3、若新定义与数列有关，可得利用数列的递推关系式，结合数列的相关知识进行求解，多通过构造的分法转化为等差、等比数列问题求解，求解过程灵活运用数列的性质，准确应用相关的数列知识.。

2024届湖南师范大学附属中学高三上学期月考卷(四)数学及答案

湖南师大附中2024届高三月考试卷（四）数学审题人：高三备课组时量：120分钟满分：150分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数12i z =+，其中i 为虚数单位，则复数2z 在复平面内对应的点的坐标为（）A.(4,5)- B.(4,3)C.(3,4)- D.(5,4)）2.若随机事件A ，B 满足1()3P A =，1()2P B =，3()4P A B = ，则(|)P A B =（）A.29B.23C.14D.168.设{}n a 是公比不为1的无穷等比数列，则“{}n a 为递减数列”是“存在正整数0N ，当0n N >时，1n a <”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件4.设0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，0,2πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且1tan tan cos αβα+=，则（）A.22παβ+=B.22παβ-=C.22πβα-=D.22πβα+=5.若52345012345(12)(1)(1)(1)(1)(1)x a a x a x a x a x a x -=+-+-+-+-+-，则下列结论中正确的是（）A.01a = B.480a =C.50123453a a a a a a +++++= D.()()10024135134a a a a a a -++++=6.函数1()2cos[(2023)]|1|f x x x π=++-在区间[3,5]-上所有零点的和等于（）A.2B.4C.6D.87.点M 是椭圆22221x y a b+=（0a b >>）上的点，以M 为圆心的圆与x 轴相切于椭圆的焦点F ，圆M 与y 轴相交于P ，Q ，若PQM △是钝角三角形，则椭圆离心率的取值范围是（）A.(0,2B.⎛ ⎝C.⎫⎪⎪⎭D.(2-8.已知函数22,0,()4|1|4,0,x x f x x x ⎧=⎨-++<⎩…若存在唯一的整数x ，使得()10f x x a -<-成立，则所有满足条件的整数a 的取值集合为（）A.{2,1,0,1}-- B.{2,1,0}-- C.{1,0,1}- D.{2,1}-二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分、9.已.知双曲线C过点且渐近线为y x =，则下列结论正确的是（）A.C 的方程为2213x y -= B.CC.曲线2e1x y -=-经过C 的一个焦点D.直线10x --=与C 有两个公共点10.已知向量a ，b满足|2|||a b a += ，20a b a ⋅+= 且||2a = ，则（）A.||8b = B.0a b += C.|2|6a b -=D.4a b ⋅= 11.如图、正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，点M 是其侧面11ADD A 上的一个动点（含边界），点P 是线段1CC 上的动点，则下列结论正确的是（）A.存在点P ，M ，使得二面角M DC P --大小为23πB.存在点P ，M ，使得平面11B D M 与平面PBD 平行C.当P 为棱1CC的中点且PM =时，则点M 的轨迹长度为23πD.当M 为1A D 中点时，四棱锥M ABCD -12.若存在实常数k 和b ，使得函数()F x 和()G x 对其公共定义域上的任意实数x 都满足：()F x kx b +…和()G x kx b +…恒成立，则称此直线y kx b =+为()F x 和()G x 的“隔离直线”.已知函数2()f x x =（x ∈R ），1()g x x=（0x <），()2eln h x x =（e 2.718≈），则下列选项正确的是（）A.()()()m x f x g x =-在x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时单调递增B.()f x 和()g x 之间存在“隔离直线”，且b 的最小值为–4C.()f x 和()g x 之间存在“隔离直线”，且k 的取值范围是[4,1]-D.()f x 和()h x之间存在唯一的“隔离直线”ey =-三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知函数()y f x =的图象在点(1,(1))M f 处的切线方程是122y x =+，则(1)(1)f f +'=___________.14.如图，由3个全等的钝角三角形与中间一个小等边三角形DEF 拼成的一个较大的等边三角形ABC ，若3AF =，sin ACF ∠=，则DEF △的面积为___________.15.已知数列{}n a 的首项132a =，且满足1323n n n a a a +=+.若123111181n a a a a ++++< ，则n 的最大值为___________.16.在棱长为3的正方体1111ABCD A B C D -中，点E 满足112A E EB =，点F 在平面1BC D 内，则|1||A F EF +的最小值为___________.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（10分）已知函数2()2cos 2xf x x m ωω=++（0ω>）的最小值为–2.（1）求函数()f x 的最大值；（2）把函数()y f x =的图象向右平移6πω个单位长度，可得函数()y g x =的图象，且函数()y g x =在0,8π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，求ω的最大值.18.（12分）为了丰富在校学生的课余生活，某校举办了一次趣味运动会活动，学校设置项目A “毛毛虫旱地龙舟”和项目B “袋鼠接力跳”.甲、乙两班每班分成两组，每组参加一个项目，进行班级对抗赛.第一个比赛项目A 采取五局三胜制（即有一方先胜3局即获胜，比赛结束）；第二个比赛项目B 采取领先3局者获胜。

湖南师大附中2025届高三上学期月考(二)数学试卷(原卷)

第1页/共5页湖南师大附中2025届高三月考试卷（二）数学时量：120分钟满分：150分一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 复数11i z =+的虚部是（） A. 1 B. 12 C. 12− D. 1−2. 已知a 是单位向量，向量b 满足3a b −=，则b 的最大值为（） A. 2 B. 4 C. 3 D. 13. 已知角θ的终边在直线2y x =上，则cos sin cos θθθ+的值为（） A. 23− B. 13− C. 23 D. 134. 已知函数()2e 33,0,x a x f x x a x +−<= +≥ 对任意的12,x x ∈R ，且12x x ≠，总满足以下不等关系：()()12120f x f x x x −>−，则实数a 的取值范围为（） A 34a ≤ B. 34a ≥ C. 1a ≤ D. 1a ≥ 5. 如图，圆柱的母线长为4,,AB CD 分别为该圆柱的上底面和下底面直径，且AB CD ⊥，三棱锥A BCD −的体积为83，则圆柱的表面积为（）.A. 10πB. 9π2C. 4πD. 8π 6. 已知抛物线()2:20C y px p =>的焦点F 到准线的距离为2，过焦点F 的直线l 与抛物线交于,A B 两点，则23AF BF +的最小值为（）A. 52+B. 5+C. 10+D. 117. 设函数()()cos f x x ϕ=+，其中π2ϕ<.若R x ∀∈，都有ππ44f x f x +=−.则()y f x =的图象与直线114y x =−的交点个数为（） A. 1 B. 2 C. 3 D. 48. 已知定义域为R 的函数()(),f x g x 满足：()()()()()()00,g f x g y f y g x f x y ≠−⋅=−，且()()()()()g x g y f x f y g x y −=−，则下列说法正确的是（）A. ()01f =B. ()f x 是偶函数C. 若()()1112f g +=，则()()2024202420242f g −=− D. 若()()111g f −=，则()()202420242f g += 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9. 下列说法中正确的是（）A. 一个样本的方差()()()22221220133320s x x x =−+−++−，则这组样本数据的总和等于60 B. 若样本数据1210,,,x x x 标准差为8，则数据1221,21,x x −− ，1021x −的标准差为16C. 数据13,27,24,12,14,30,15,17,19,23的第70百分位数是23D. 若一个样本容量为8的样本的平均数为5，方差为2，现样本中又加入一个新数据5，此时样本容量为9，平均数不变，方差变小10. 已知函数()32f x ax bx =−+，则（） A. ()f x 的值域为RB. ()f x 图象的对称中心为()0,2的C. 当30b a −>时，()f x 在区间()1,1−内单调递减D. 当0ab >时，()f x 有两个极值点11. 我国古代太极图是一种优美的对称图.定义：能够将圆O 的周长和面积同时等分成两个部分的函数称为圆O 的一个“太极函数”，则下列命题中正确的是（）A. 函数()sin 1f x x =+是圆22:(1)1O x y +−=的一个太极函数B. 对于圆22:1O x y +=的所有非常数函数的太极函数中，都不能为偶函数C. 对于圆22:1O x y +=的所有非常数函数的太极函数中，均为中心对称图形D. 若函数()()3f x kx kx k =−∈R 是圆22:1O x y +=的太极函数，则()2,2k ∈− 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 曲线2ln y x x =−在点()1,2处的切线与抛物线22y ax ax =−+相切，则a =__________. 13. 已知椭圆CC :xx 2aa 2+yy 2bb 2=1(aa >bb >0)的左､右焦点分别为12,F F ，若P 为椭圆C 上一点，11212,PF F F PF F ⊥ 的内切圆的半径为3c ，则椭圆C 的离心率为______. 14. 设函数()()44x f x ax x x =+>−，若a 是从1,2,3,4四个数中任取一个，b 是从4,8,12,16,20,24六个数中任取一个，则()f x b >恒成立的概率为__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知()()()sin sin sin b c B C a c A +−=−. （1）求B ；（2）若ABC ，且2AD DC = ，求BD 的最小值.16. 已知双曲线E 的焦点在x (在双曲线E 上，点12,F F 分别为双曲线的左､右焦点.（1）求E 的方程；（2）过2F 作两条相互垂直直线1l 和2l ，与双曲线的右支分别交于A ，C 两点和,B D 两点，求四边形ABCD 面积的最小值.17. 如图，侧面11BCC B 水平放置的正三棱台11111,24ABC A B C AB A B −==P 为棱11A B 上的动点.（1）求证：1AA ⊥平面11BCC B ；（2）是否存在点P ，使得平面APC 与平面111A B C？若存在，求出点P ；若不存在，请说明理由.18. 若无穷正项数列{}n a 同时满足下列两个性质：①存在0M >，使得*,n a M n <∈N ；②{}n a 为单调数列，则称数列{}n a 具有性质P .（1）若121,3n n n a n b =−=，（i ）判断数列{}{},n n a b 是否具有性质P ，并说明理由；（ii ）记1122n n n S a b a b a b =+++ ，判断数列{}n S 是否具有性质P ，并说明理由；（2）已知离散型随机变量X 服从二项分布()1,,02B n p p <<，记X 为奇数的概率为n c .证明：数列{}n c 具有性质P .19 已知函数()24e 2x f x x x−=−，()2233g x x ax a a =−+−−（a ∈R 且2a <）. （1）令()()()(),x f x g x h x ϕ=−是()x ϕ的导函数，判断()h x 的单调性；的.（2）若()()f x g x ≥对任意()1,x ∈+∞恒成立，求a 的取值范围.的。

湖南省长沙市湖南师大附中2024届高三上学期月考数学试题(五)含答案解析

大联考湖南师大附中2024届高三月考试卷（五）数学一､选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知集合{}{}2,,1,9A a a B =-=-，若{}1,1,9A B ⋃=-，则=a （）A .3B.1C.-1D.-32.已知复数231ii 2i iz -=--，则z 的虚部为（）A.-1B.12-C.12D.13.二项式741x ⎫⎪⎭的展开式中常数项为（）A .7- B.21- C.7D.214.已知函数()()()321222xxa x a x f x --+-=+为偶函数，则=a （）A.2B.1C.1- D.2-5.已知F 为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左焦点，直线33y x a =+与C 交于,A B 两点，且BF x ⊥轴，则C 的离心率为（）A.B.C.2D.36.已知函数()cos ln f x x a x =+在区间π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，则a 的最小值为（）A.π8 B.π4 C.π2D.π7.已知31sin cos ,cos sin 33αβαβ+=-=-，则()cos 22αβ-=（）A.4781B.4781-C.1781D.1781-8.在数列{}n a 中的相邻两项n a 与()*1n a n +∈N 之间插入一个首项为1n a n -，公差为1n-的等差数列的前n项，记构成的新数列为{}n b ，若21n a n =+，则{}n b 前65项的和为（）A.252-B.-13C.272- D.-14二､多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）9.已知S 为圆锥的顶点，AB 为该圆锥的底面圆O 的直径，45,SAB C ∠= 为底面圆周上一点，60,BAC SC ∠==，则（）A.该圆锥的体积为π3B.AC =C.该圆锥的侧面展开图的圆心角大于180D.二面角A BC S --10.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左､右焦点分别为12,F F ，直线y x =+经过C 的一个焦点和一个顶点，且与C 交于,A B 两点（点A 在第三象限），则（）A.2a b =B.2ABF △的周长为8C.83AB =D.以2AF 为直径的圆过点B11.若函数()()ln 0cf x ax b x a x=+-≠在x c =处取得极值，则（）A.240b ac ->B.ac b +为定值C.当0<a 时，()f x 有且仅有一个极大值D.若()f x 有两个极值点，则1x a=是()f x 的极小值点12.今年是共建“一带一路”倡议提出十周年.某校进行“一带一路”知识了解情况的问卷调查，为调动学生参与的积极性，凡参与者均有机会获得奖品.设置3个不同颜色的抽奖箱，每个箱子中的小球大小相同质地均匀，其中红色箱子中放有红球3个，黄球2个，绿球2个；黄色箱子中放有红球4个，绿球2个；绿色箱子中放有红球3个，黄球2个，要求参与者先从红色箱子中随机抽取一个小球，将其放入与小球颜色相同的箱子中，再从放入小球的箱子中随机抽取一个小球，抽奖结束.若第二次抽取的是红色小球，则获得奖品，否则不能获得奖品，已知甲同学参与了问卷调查，则（）A.在甲先抽取的是黄球的条件下，甲获得奖品的概率为47B.在甲先抽取的不是红球的条件下，甲没有获得奖品的概率为1314C.甲获得奖品的概率为2449D.若甲获得奖品，则甲先抽取绿球的机会最小三､填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）13.已知向量()1,1a =- ，向量b 满足22b a b -= ，则⋅= a b __________.14.已知正三棱台的上､和为__________.15.已知直线10x y -+=与圆()22:8C x m y -+=交于,A B 两点，则满足“ABC的面积为”的m 的一个值为__________.16.已知函数()()sin (0,0,0π)f x A x B A ωϕωϕ=++>><<的部分图象如图所示，且32MN =，则不等式()1f x ≥+[]0,4上的解集为__________.四､解答题（本大题共6个小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.）17.记ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知1tan tan 3B C =.（1）求222c b a-的值；（2）若a =，且ABC的周长为3，求边b 上的高.18.记n S 为正项数列{}n a 的前n 项和，且113a =，()231nn n S a =-.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设()111n n n n a b a S ++=-，记数列{}n b 的前n 项和为n T ，证明：38n T ≥.19.为检验预防某种疾病的A B ､两种疫苗的免疫效果，随机抽取接种A B ､疫苗的志愿者各100名，化验其血液中某项医学指标（该医学指标范围为[]0,100)，统计如下：该项医学指标[)0,25[)25,50[)50,75[]75,100接种A 疫苗人数10m+105030m-接种B 疫苗人数10m-304020m+个别数据模糊不清，用含字母()m m ∈N 的代数式表示.（1）为检验该项医学指标在[)0,50内的是否需要接种加强针，先从医学指标在[)25,50的志愿者中，按接种A B ､疫苗分层抽取8人，再次抽血化验进行判断.从这8人中随机抽取4人调研医学指标低的原因，记这4人中接种B 疫苗的人数为X ，求X 的分布列与数学期望；（2）根据（1）化验研判结果，医学认为该项医学指标低于50，产生抗体较弱，需接种加强针，该项医学指标不低于50，产生抗体较强，不需接种加强针.请先完成下面的22⨯列联表，若根据小概率0.025α=的独立性检验，认为接种A B ､疫苗与志愿者产生抗体的强弱有关联，求m 的最大值.疫苗抗体合计抗体弱抗体强A 疫苗B 疫苗合计附：()()()()22()n ad bc a b c d a c b d χ-=++++，其中n a b c d =+++.α0.250.0250.005x α1.3235.0247.87920.如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1BC =，点D 为11B C 上一点，且1CD BC ⊥.（1）证明：1AC 平面1A BD ；（2）若AC AB =，求直线CD 与平面1A BD 所成角的正弦值.21.已知抛物线E 的顶点在坐标原点，对称轴为坐标轴，且经过()()12312,1,2,2,1,4A A A ⎛⎫-- ⎪⎝⎭三点中的两点.（1）求抛物线E 的方程；（2）设O 为坐标原点，E 的焦点为F ，过F 的直线BC 与E 交于,B C 两点，过F 的直线PQ 与E 交于,P Q 两点，点,P B 都在第二象限，记直线,BC PQ 的倾斜角分别为,αβ，且90αβ-=.若直线PB 与直线CQ 交于点M ，不同于点M 的点N 满足MN y ⊥轴，当ON PQ 时，设,NBC OBC 的面积分别为,m n ，求m nmn-的取值范围.22.已知函数()()2ln 2f x a x x a x =---.（1）求函数()f x 的极值；（2）设()f x 的导函数为()f x '，若()1212,x x x x <为()f x 的两个零点，证明：()()211f x f x ''>-.大联考湖南师大附中2024届高三月考试卷（五）数学一､选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知集合{}{}2,,1,9A a a B =-=-，若{}1,1,9A B ⋃=-，则=a （）A.3 B.1C.-1D.-3【答案】B 【解析】【分析】由{}{}1,1,9,1,9A B B ⋃=-=-，得到1A ∈求解.【详解】解：因为{}{}1,1,9,1,9A B B ⋃=-=-，所以1A ∈，当21a =时，1a =±，根据元素的互异性可知，1a =；当1a -=时，1a =-，不满足元素的互异性，舍去，故选：B.2.已知复数231ii 2i iz -=--，则z 的虚部为（）A.-1 B.12-C.12D.1【答案】C 【解析】【分析】根据复数除法的运算法则、复数乘方的法则，结合共轭复数和复数虚部的定义进行求解即可.【详解】因为()()()2231i 1i 1i 12i 11ii 2i i i 2i 21i 1i 42z -----=====---+++-所以1i 2z =，所以z 的虚部为12，故选：C.3.二项式741x ⎫⎪⎭的展开式中常数项为（）A.7- B.21- C.7D.21【答案】A 【解析】【分析】根据二项式通项公式进行求解即可.【详解】二项式741x ⎫-⎪⎭的通项公式为()14147317741C C 1rrrr rrr T x x --+⎛⎫=⋅⋅-=⋅-⋅ ⎪⎝⎭，令1414013rr -=⇒=，所以常数项为()17C 17⋅-=-，故选：A4.已知函数()()()321222xxa x a x f x --+-=+为偶函数，则=a （）A.2B.1C.1- D.2-【答案】B 【解析】【分析】结合偶函数定义与指数幂的运算计算即可得.【详解】因为()f x 为偶函数，所以()()f x f x -=，即()()()()323212122222xx xxa x a x a x a x ----+--+-=++，整理得()3210a x -=恒成立，所以()210a -=，则1a =.故选：B.5.已知F 为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左焦点，直线33y x a =+与C 交于,A B 两点，且BF x ⊥轴，则C 的离心率为（）A.B.C.2D.3【答案】C 【解析】【分析】根据题意直线过双曲线的左顶点得(),0A a -，再由BF x ⊥求出2,b B c a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，然后利用点B 也在直线上得到2c a =，从而求解.【详解】易知直线33y x a =+经过C 的左顶点(),0A a -，设(),0F c -，因为BF x ⊥轴，所以22221c y a b -=，解得2b y a =-，或2b y a =（舍去），所以点B 坐标为2,b c a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，则233b c a a -=-+，整理得2233ac a b -=，所以22233ac a c a -=-，即22320c ac a -+=，解得c a =（舍去），或2c a =，所以C 的离心率为2ce a==，故C 正确.故选：C.6.已知函数()cos ln f x x a x =+在区间π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，则a 的最小值为（）A.π8 B.π4 C.π2D.π【答案】C 【解析】【分析】由题意可得()0f x '≥在区间π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上恒成立，即sin ≥a x x 在区间π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上恒成立，设()πsin ,0,2g x x x x ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，利用导数求出max ()g x 可得答案.【详解】()sin sin 0-'=-+=≥a a x x f x x x x在区间π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上恒成立，即sin ≥a x x 在区间π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上恒成立，设()πsin ,0,2g x x x x ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，则()sin cos 0'=+>g x x x x ，所以()g x 在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，则()max π()2g x g x <=，所以π2a ≥，则a 的最小值为π2.故选：C.7.已知31sin cos ,cos sin 33αβαβ+=-=-，则()cos 22αβ-=（）A.4781 B.4781-C.1781D.1781-【答案】D 【解析】【分析】分别将3sin cos 3αβ+=和1cos sin 3αβ-=-分别平方相加求出sin cos cos sin αβαβ-，然后逆用正弦两角差公式并结合倍角公式从而求解.【详解】由sin cos 3αβ+=得，221sin cos 2sin cos 3αβαβ++=，由1cos sin 3αβ-=-得，221cos sin 2cos sin 9αβαβ+-=，两式相加得，()422sin cos cos sin 9αβαβ+-=，则()7sin 9αβ-=-，所以()()22717cos 2212sin 12981αβαβ⎛⎫-=--=-⨯-=- ⎪⎝⎭，故D 正确.故选：D.8.在数列{}n a 中的相邻两项n a 与()*1n a n +∈N 之间插入一个首项为1nan -，公差为1n-的等差数列的前n 项，记构成的新数列为{}n b ，若21n a n =+，则{}n b 前65项的和为（）A.252-B.-13C.272-D.-14【答案】A 【解析】【分析】根据题意，得到数列{}n b 中n a 及其后面n 项的和为n S ，()()1112n n n n S n a n+=+-求解.【详解】解：数列{}n b 为：1122233331121,1,,,1,,,,1,,,233n n a a a a a a a a a a a n------- ，1231,,,,1,,n n n n n n a a a a a n n n+----- ，设n a 及其后面n 项的和为n S ，则()()()1111123222n n n n n S n a n n ++=+-⨯=-=-，所以数列{}n S 是以1为首项，公差为12-的等差数列.所以{}n b 前65项的和为1210710125222S S S ⎛⎫- ⎪⎝⎭+++==-，故选：A.二､多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）9.已知S 为圆锥的顶点，AB 为该圆锥的底面圆O 的直径，45,SAB C ∠=为底面圆周上一点，60,BAC SC ∠== ，则（）A.该圆锥的体积为π3B.AC =C.该圆锥的侧面展开图的圆心角大于180D.二面角A BC S --【答案】AC 【解析】【分析】求得该圆锥的体积判断选项A ，求得AC 的长度判断选项B ，求得该圆锥的侧面展开图的圆心角判断选项C ，求得二面角A BC S --的正切值判断选项D.【详解】如图，因为45SAB ∠= ，所以SAB △为等腰直角三角形，又SC =，则SA SB ==，所以2AB ==，则1r AO SO ===，所以该圆锥的体积为21ππ,A 33V r SO =⋅=正确；易知ABC 为直角三角形，且90ACB ∠= ，又60BAC ∠= ，则30ABC ∠= ，所以11,B 2AC AB ==错误；该圆锥的侧面展开图为一扇形，其弧长为2πl =，扇形半径为R SA ==，设扇形圆心角为α，所以πlRα==>，所以该圆锥的侧面展开图的圆心角大于180,C 正确；取BC 的中点D ，连接,SD OD ，则,SD BC OD ⊥为ABC 的中位线，所以11,22OD BC OD AC ⊥==，所以ODS ∠为二面角A BC S --的平面角，易知SOD 为直角三角形，所以tan 2,D SOODS OD∠==错误.故选：AC .10.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左､右焦点分别为12,F F ，直线y x =+经过C 的一个焦点和一个顶点，且与C 交于,A B 两点（点A 在第三象限），则（）A.2a b =B.2ABF △的周长为8C.83AB =D.以2AF 为直径的圆过点B【答案】BCD 【解析】【分析】根据条件求出,,a b c 的值，判定A 错误；由椭圆定义可得2ABF △的周长为8，判定B 正确；联立方程组求出(2,3A B ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，可得83AB =，判定C 正确；2221212BF BF F F +=，所以1290F BF ∠= ，判定D 正确.【详解】易知直线y x =+经过C的焦点()1F和顶点(B ，所以b c ==，则a ==2，所以,A a =错误；由椭圆的定义可知，2ABF △的周长为48,B a =正确；由上可知C 的方程为22142x y +=，由221,42x y y x ⎧+=⎪⎨⎪=⎩解得120,x x ==，则(,3A B ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，所以8,C 3AB ==正确；由12122,BF BF F F ===得，2221212BF BF F F +=，所以1290F BF ∠= ，则以2AF 为直径的圆过点,D B 正确.故选：BCD .11.若函数()()ln 0cf x ax b x a x=+-≠在x c =处取得极值，则（）A.240b ac ->B.ac b +为定值C.当0<a 时，()f x 有且仅有一个极大值D.若()f x 有两个极值点，则1x a=是()f x 的极小值点【答案】ABC 【解析】【分析】求导()22ax bx cf x x++='，由题意可知，x c =是方程20ax bx c ++=的一个变号实数根，则Δ0>，即可判断A ；由20ac bc c ++=判断B ；当a<0时，可得，当()0,x c ∈时()0f x ¢>，当(),x c ∈+∞时()0f x '<，即可判断C ；将1b ac =--代入20ax bx c ++=整理得()10x x c a ⎛⎫--= ⎪⎝⎭，则方程有不相等的实数根1a 与c ，分类讨论，结合极值点的定义可判断D.【详解】()f x 的定义域为()0,∞+，则0x c =>，()222b c ax bx cf x a x x x++=++='，由题意可知，x c =是方程20ax bx c ++=的一个变号实数根，则2Δ40b ac =->，故A 正确；由20ac bc c ++=得，1ac b +=-，故B 正确；当a<0时，因为0c >，所以函数2y ax bx c =++开口向下，且与x 轴正半轴只有一个交点，当()0,x c ∈时，()0f x ¢>，当(),x c ∈+∞时，()0f x '<，所以()f x 在()0,c 上单调递增，在(),c +∞上单调递减，则()f x 有且仅有一个极大值，故C 正确；将1b ac =--代入20ax bx c ++=整理得()10x x c a ⎛⎫--= ⎪⎝⎭，则方程有不相等的实数根1a 与c ，即1c a≠，当10c a <<时，()10,,x c a ∞⎛⎫∈+ ⎪⎝⎭ 时，()10,,f x x c a ⎛⎫>∈ ⎪⎝⎭'时，()0f x '<，所以()f x 在()10,,,c a ∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,c a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，则1x a=是()f x 的极大值点，x c =是()f x 的极小值点，当10c a <<时，()10,,x c a ∞⎛⎫∈+ ⎪⎝⎭ 时，()0f x ¢>；当1,x c a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，所以()f x 在()10,,,c a ⎛⎫+∞⎪⎝⎭上单调递增，在1,c a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，则x c =是()f x 的极大值点，1x a=是()f x 的极小值点，故D 错误，故选：ABC.12.今年是共建“一带一路”倡议提出十周年.某校进行“一带一路”知识了解情况的问卷调查，为调动学生参与的积极性，凡参与者均有机会获得奖品.设置3个不同颜色的抽奖箱，每个箱子中的小球大小相同质地均匀，其中红色箱子中放有红球3个，黄球2个，绿球2个；黄色箱子中放有红球4个，绿球2个；绿色箱子中放有红球3个，黄球2个，要求参与者先从红色箱子中随机抽取一个小球，将其放入与小球颜色相同的箱子中，再从放入小球的箱子中随机抽取一个小球，抽奖结束.若第二次抽取的是红色小球，则获得奖品，否则不能获得奖品，已知甲同学参与了问卷调查，则（）A.在甲先抽取的是黄球的条件下，甲获得奖品的概率为47B.在甲先抽取的不是红球的条件下，甲没有获得奖品的概率为1314C.甲获得奖品的概率为2449D.若甲获得奖品，则甲先抽取绿球的机会最小【答案】ACD【解析】【分析】设出事件后，结合条件概率与全概率公式逐个计算即可得.【详解】设A 红，A 黄，A 绿，分别表示先抽到的小球的颜色分别是红、黄、绿的事件，设B 红表示再抽到的小球的颜色是红的事件，在甲先抽取的是黄球的条件下，甲获得奖品的概率为：()()()24477277P B A P B A P A ⨯===红黄红黄黄∣，故A 正确；在甲先抽取的不是红球的条件下，甲没有获得奖品的概率为：()()()()()()23211377724287P A B P A B P A B P B A P A P A ⨯+⨯+====红红红红绿黄红红红红∣，故B 错误；由题意可知，()()()()()32234,,,,77777P A P A P A P B A P B A =====红红红红绿黄黄∣∣，()12P B A =红绿∣，由全概率公式可知，甲获得奖品的概率为：P =()()()()()()P A P B A P A P B A P A P B A +⋅+⋅红红红红红绿绿黄黄∣∣∣3324212477777249=⨯+⨯+⨯=，故C 正确；因为甲获奖时红球取自哪个箱子的颜色与先抽取小球的颜色相同，则()()()()3349377248P A P B A P A B P B ⋅==⨯⨯=红红红红红红∣∣，()()()()2449177243P A P B A P A B P B ⋅===红黄黄红黄红∣∣，()()()()21497722424P A P B A P A B P B ⋅===红绿绿红绿红∣∣，所以甲获得奖品时，甲先抽取绿球的机会最小，故D 正确.故选：ACD.三､填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）13.已知向量()1,1a =- ，向量b 满足22b a b -= ，则⋅= a b __________.【答案】12##0.5【解析】【分析】由22b a b -=平方求解.【详解】解：由()1,1a =- ，得a = 由22b a b -= ，得222444b a b a b -⋅+= ，则242a b a ⋅== ，所以12a b ⋅= .故答案为：1214.已知正三棱台的上､和为__________.【答案】4【解析】【分析】根据正三棱台的性质及题中条件分别求出侧面的高h 和正三棱台的高H ，然后利用棱台体积公式即可求解.【详解】设该正三棱台侧面的高为h ，由题意可知，12h +⋅=h =该正三棱台的上底面的面积为21322⨯⨯=下底面的面积为213273224⨯⨯=，设正三棱台的高为H ，则1H ==，故该正三棱台的体积为11344V =+⨯=⎝.故答案为：4.15.已知直线10x y -+=与圆()22:8C x m y -+=交于,A B 两点，则满足“ABC 的面积为”的m 的一个值为__________.【答案】1（或3-，或1-±）【解析】【分析】由ABC 的面积为，得到60ACB ∠= 或120ACB ∠= ，进而得到圆心C 到直线AB 的距离为d =d =.【详解】解：由ABC 的面积为(21sin 2ACB ⨯∠=，解得3sin 2ACB ∠=，则60ACB ∠= 或120ACB ∠= ，易知圆心C 到直线AB 的距离为d =或d ==，或=，解得1m =-±1m =或3m =-.故答案为：1(或3-，或1-±)16.已知函数()()sin (0,0,0π)f x A x B A ωϕωϕ=++>><<的部分图象如图所示，且32MN =，则不等式()1f x ≥+[]0,4上的解集为__________.【答案】51,416⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】根据函数的最高点和最低点，结合函数的零点、正弦型函数的单调性进行求解即可.【详解】由图可知，3,1,A B A B +=⎧⎨-+=-⎩解得2,1A B ==，由图可知，12sin +12sin 2ϕϕ=⇒=，又0πϕ<<，所以π6ϕ=或5π6ϕ=，当π6ϕ=时，()π2sin 16f x x ω⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，因为0ω>，所以当0x >时，显然有ππ66x ω+>，因此函数先是增函数，显然不符合图象，当5π6ϕ=时，()5π2sin 16f x x ω⎛⎫=++ ⎪⎝⎭因为0ω>，所以当0x >时，显然有5π5π66x ω+>，因此函数先是减函数，符合图象特征，令()15π5π15π7π2sin 10sin 2π66266f x x x x k ωωω⎛⎫⎛⎫=++=⇒+=-⇒+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，或()25π11π2πZ 66x k k ω+=-∈，因为32MN =，所以212π32π4π3239x x ωωω-=⇒⋅=⇒=，即()4π5π2sin 196f x x ⎛⎫=++⎪⎝⎭，由()4π5π4π5π12sin 11sin ,96962f x x x ≥⎛⎫⎛⎫≥+⇒++≥++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以有()()π4π5π3π921932π2πZ Z 4964216216m m m x m m x m +≤+≤+∈⇒-≤≤-∈，因为[]0,4x ∈，所以令1m =，则有9219351692162161616x x -≤≤-⇒≤≤，而[]0,4x ∈，所以51416x ≤≤，故答案为：51,416⎡⎤⎢⎥⎣⎦【点睛】关键点睛：本题的关键是根据函数的单调性确定ϕ的值.四､解答题（本大题共6个小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.）17.记ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知1tan tan 3B C =.（1）求222c b a -的值；（2）若a =，且ABC 的周长为3，求边b 上的高.【答案】（1）12（2）2【解析】【分析】（1）根据题意，得到3sin cos sin cos B C C B =，结合正弦、余弦定理，求得2224()2c b a -=，即可求解；（2）根据题意得到3b c +=，结合（1）得到1c b -=，联立方程组求得2,1c b ==，再由余弦定cos A 的值，利用sin h c A =，即可求解.【小问1详解】解：由1tan tan 3B C =，可得sin sin cos 3cos B CB C =，所以3sin cos sin cos B C C B =，又由正弦定理和余弦定理，可得222222322a b c a c b b c ab ac +-+-⋅=⋅，整理得2224()2c b a -=，所以22212c b a -=.【小问2详解】解：由a =，且ABC 的周长为3，可得3b c +=，又由（1）可知，222123c b a -==，即()()3c b c b +-=，所以1c b -=，联立方程组31b c c b +=⎧⎨-=⎩，解得2,1c b ==，所以22222212(6)1cos 22124b c a A bc +-+-===-⨯⨯，则15sin 4A ===，所以边b 上的高为1515sin 242h c A ==⨯=.18.记n S 为正项数列{}n a 的前n 项和，且113a =，()231nn n S a =-.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设()111n n n n a b a S ++=-，记数列{}n b 的前n 项和为n T ，证明：38n T ≥.【答案】（1）13nn a ⎛⎫= ⎪⎝⎭（2）证明见解析【解析】【分析】（1）由()231nn n S a =-退位相减可得13n n a a -=，又10,a ≠可得113n n a a -=，继而可知数列{}n a 为等比数列，则通项可求；（2）由（1）可得1n a +、1n S +继而可求n b ，并将其裂项再求和，即可证明不等式.【小问1详解】因为()231nn n S a =-，所以，当2n ≥时，()111231n n n S a ---=-，两式相减得，()()111223131nn n n n n S S a a ----=---，化简可得()()1133310nn n n a a -----=，所以130n n a a --=，即13n n a a -=，又110,3a =≠可得113n n a a -=，所以数列{}n a 是以13为首项，13为公比的等比数列，可得1111333n nn a -⎛⎫⎛⎫=⋅= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭【小问2详解】由（1）可知，1113n n a ++⎛⎫= ⎪⎝⎭，1113311112313nn n S ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎡⎤⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦==-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦-所以1111123n n S ++⎡⎤⎛⎫=-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，则()1111131********n n n n n n n a b a S ++++⎛⎫⎪⎝⎭==-⎛⎫⎡⎤⎛⎫⎛⎫-⨯- ⎪⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎣⎦，111=111133nn +-⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，123n n T b b b b =++++ 12231111111111111111111333333n n +=-+-++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫------ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ，1312113n +=-⎛⎫- ⎪⎝⎭，因为118139n +⎛⎫-≥⎪⎝⎭，所以1198113n +≤⎛⎫- ⎪⎝⎭，则38n T ≥.19.为检验预防某种疾病的A B ､两种疫苗的免疫效果，随机抽取接种A B ､疫苗的志愿者各100名，化验其血液中某项医学指标（该医学指标范围为[]0,100)，统计如下：该项医学指标[)0,25[)25,50[)50,75[]75,100接种A 疫苗人数10m+105030m-接种B 疫苗人数10m-304020m+个别数据模糊不清，用含字母()m m ∈N 的代数式表示.（1）为检验该项医学指标在[)0,50内的是否需要接种加强针，先从医学指标在[)25,50的志愿者中，按接种A B ､疫苗分层抽取8人，再次抽血化验进行判断.从这8人中随机抽取4人调研医学指标低的原因，记这4人中接种B 疫苗的人数为X ，求X 的分布列与数学期望；（2）根据（1）化验研判结果，医学认为该项医学指标低于50，产生抗体较弱，需接种加强针，该项医学指标不低于50，产生抗体较强，不需接种加强针.请先完成下面的22⨯列联表，若根据小概率0.025α=的独立性检验，认为接种A B ､疫苗与志愿者产生抗体的强弱有关联，求m 的最大值.疫苗抗体合计抗体弱抗体强A 疫苗B 疫苗合计附：()()()()22()n ad bc a b c d a c b d χ-=++++，其中n a b c d =+++.α0.250.0250.005x α1.3235.0247.879【答案】（1）分布列见解析，()3E X =（2）列联表见解析，2【解析】【分析】（1）由抽样调查性质可得抽取接种A B 、疫苗人数，计算出X 的所有可能取值的对应概率可得分布列，由分布列可计算期望；（2）结合2χ的计算公式计算出对应m 的范围即可得.【小问1详解】从医学指标在[)25,50的志愿者中，按接种A B 、疫苗分层抽取8人中，接种A 疫苗有2人，接种B 疫苗有6人，由题意可知，X 可能取值为2,3,4，()()()221304262626444888C C C C C C 3432,34C 14C 7C 14P X P X P X =========，X 的分布列为：X234P31447314则()343234314714E X =⨯+⨯+⨯=；【小问2详解】22⨯列联表如下：疫苗抗体合计抗体弱抗体强A 疫苗20m +80m -100B 疫苗40m-60m+100合计60140200则()()()()()222200804060202101001001406021m m m m m χ⎡⎤---++-⎣⎦==⨯⨯⨯，由题意可知，()20.025210 5.02421m x -≥=，整理得，()21052.752m -≥，解得2m ≤或18,m m ≥∈N ，又100,m m -≥∈N ，则10,m m ≤∈N ，所以2,m m ≤∈N ，故m 的最大值为2.20.如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1BC =，点D 为11B C 上一点，且1CD BC ⊥.（1）证明：1AC 平面1A BD ；（2）若AC AB =，求直线CD 与平面1A BD 所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2）223【解析】【分析】（1）利用空间向量的线性运算与数量积运算法则求得D 为1B C 的中点，再利用线面平行的判定定理即可得证；（2）建立空间直角坐标系，然后利用空间向量法求出直线CD 与平面1A BD 所成角的正弦值，从而求解.【小问1详解】设()11101C D tC B t =≤≤ ，则11111CD CC C D CC tC B =+=+ ，1111111111C B C B B B C B C C C B CC =+=+=- ，所以()()()221111111111111··1·CD C B CC tC B C B CC t CC C B CC tC B =+-=--+ ，因为11111,,2CD BC CC C B BC ⊥⊥=，所以()()21210t AA -=，解得12t =，则点D 为1B C 的中点.连接1AB ，设11A B AB E = ，连接DE ，因为四边形11ABB A 为矩形，所以E 为1AB 的中点，在11AB C △中，DE 为中位线，所以DE 1AC ，又1AC ⊄平面1,A BD DE ⊂平面1A BD ，所以1AC 平面1A BD ..【小问2详解】取BC 的中点O ，连接,OD OA ，则DO 1BB ，所以OD BC ⊥，由AC AB =可知，AO BC ⊥，易知四边形1AA DO 为平行四边形，又1AA ⊥平面ABC ，所以DO ⊥平面ABC ，所以DO OA ⊥.以O 为坐标原点，分别以,,OC OA OD 所在直线为x 轴､y 轴､z 轴建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，如图，设1(0),(0)OA m m BC a =>==>，所以1,CC a BC ==，则()()1220,,,,0,0,0,0,,,0,022A m a B a D a C a ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()1220,,0,,0,,0,22DA m DB a a DC a a ⎛⎫⎛⎫==--=⋅- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，设平面1A BD 的一个法向量为(),,n x y z =r，由10,0,DA n DB n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得0,0,2my ax az =⎧⎪⎨--=⎪⎩取x =，则)1n =-r ，设直线CD 与平面1A BD 所成角为θ，则22sin cos ,3DC n θ===.故直线CD 与平面1A BD 所成角的正弦值为223.21.已知抛物线E 的顶点在坐标原点，对称轴为坐标轴，且经过()()12312,1,2,2,1,4A A A ⎛⎫-- ⎪⎝⎭三点中的两点.（1）求抛物线E 的方程；（2）设O 为坐标原点，E 的焦点为F ，过F 的直线BC 与E 交于,B C 两点，过F 的直线PQ 与E 交于,P Q 两点，点,P B 都在第二象限，记直线,BC PQ 的倾斜角分别为,αβ，且90αβ-=.若直线PB 与直线CQ 交于点M ，不同于点M 的点N 满足MN y ⊥轴，当ON PQ 时，设,NBC OBC 的面积分别为,m n ，求m nmn-的取值范围.【答案】（1）24x y =（2）10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）根据抛物线的对称性，分类讨论进行求解即可；（2）根据直线的斜率公式、一元二次方程根与系数关系，结合三角形面积公式、点到直线距离公式、基本不等式进行求解即可.【小问1详解】因为()12,1A 关于y 轴对称的点为()12,1A -，所以拋物线E 经过12,A A 两点中的一点，由题意可知，抛物线E 经过311,4A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，当抛物线E 的方程为22(0)y px p =->时，将点311,4A ⎛⎫- ⎪⎝⎭代入E 的方程得，()21214p ⎛⎫=-⨯- ⎪⎝⎭，解得132p =，验证可知，抛物线21:16E y x =-不经过点12,A A ，不满足题意；当抛物线E 的方程为22(0)x py p =>时，将点311,4A ⎛⎫- ⎪⎝⎭代入E 的方程得，()21124p -=⨯，解得2p =，验证可知，抛物线2:4E x y =经过点1A ，不经过点2A ，满足题意，故抛物线E 的方程为24x y =.【小问2详解】由（1）可知，()0,1F ，设BC 的方程为()10y kx k =+≠，设()()1122,,,B x y C x y ，由21,4,y kx x y =+⎧⎨=⎩得2440x kx --=，12124,4x x k x x +==-，因为90αβ-=，所以BC PQ ⊥，设()()3344,,,P x y Q x y ，同理可知，34344,4x x x x k+=-=-.直线BP 的斜率为223131313131444BPx x y y x x k x x x x --+===--，其方程()2311144x x x y x x +-=-，即311344x x x x y x +=-①同理可知直线CQ 的方程422444x x x xy x +=-，即31311313134444444x x x x x x y x x x x x x ⎛⎫⎛⎫-⋅--- ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭=-=--②由①②解得，1y =-，所以点M 在直线1y =-上，由MN y ⊥轴可知，点N 在直线1y =-上，设()0,1N x -，由ON PQ 可知，ON BC ⊥，则1ON BCk k ⋅=-，所以011x k-=-，解得0x k =，由上可知，()212122444BC y y k x x k =++=++=+，原点O 到直线BC的距离为1d =，N 到直线BC的距离为2d =所以221112222m BC d k n BC d =⋅=+=⋅=则11m n mn n m -=-=2=()211111122422k ==⋅≤⋅+，=，即0k =取得等号，因为0k ≠，所以14m n mn -<，由0m n ->得，104m n mn -<<，故m n mn -的取值范围为10,4⎛⎫⎪⎝⎭.【点睛】关键点睛：本题的关键是对m nmn-的表达式进行变形，用基本不等式进行求解.22.已知函数()()2ln 2f x a x x a x =---.（1）求函数()f x 的极值；（2）设()f x 的导函数为()f x '，若()1212,x x x x <为()f x 的两个零点，证明：()()211f x f x ''>-.【答案】（1）极大值为2ln 42a aa a +-.（2）证明见解析【解析】【分析】（1）先利用导数求得()f x 的单调区间，再利用极值定义即可求得函数()f x 的极值；（2）先将不等式()()211f x f x ''>-转化为2121212ln 0x x x x x x -->，再构造函数()12ln (1)g t t t t t=-->，并利用导数证得()()10g t g >=，进而证得原不等式成立.【小问1详解】()f x 的定义域为()0,∞+，()()()()2122x a x af x x a x x-+=---=-'，当0a ≤时，()0f x '<在()0,∞+上恒成立，所以()f x 在()0,∞+上单调递减，此时()f x 无极值；当0a >时，当0,2a x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x ¢>，当,2a x ⎛⎫∈+∞⎪⎝⎭时，()0f x '<，所以()f x 在0,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减，故()f x 只存在极大值且为2ln 242a aa f a a ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭.【小问2详解】由()1212,x x x x ≠为()f x 的两个零点得，()()22111222ln 2ln 2a x x a x a x x a x ---=---，所以()()()2221212121ln ln 2a x x x x x x x x ⎡⎤-+-=-+-⎣⎦，则()()()()()()22212121212212121122ln ln lnx x x x x x x x a x x x x x x x x -+--++==-+-+-，又()()()()1212122222a af x f x x a x a x x +=---+--'-'()121211222a x x x x ⎛⎫=++-++ ⎪⎝⎭()()()()212112212211211222ln x x x x x x xx x x x x -++⎛⎫=++-++ ⎪⎝⎭+-.由（1）可知，()f x 在0,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减，若()1212,x x x x <为()f x 的两个零点，则120,,,22a a x x ∞⎛⎫⎛⎫∈∈+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()()120,0f x f x >'<'.要证()()211f x f x ''>-，需证()()120f x f x ''+>，需证()()()()2121122122112112220ln x x x x x x xx x x x x -++⎛⎫++-++> ⎪⎝⎭+-，又12220x x ++>>，即证()2121221111220ln x x x x x x x x ⎛⎫-++-> ⎪⎝⎭+-，因为120x x <<，则211x x >，则()2211ln 0xx x x +->，所以需证()()221211211122ln 0x x x x x x x x ⎛⎫⎡⎤-++-+->⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，即证2121212ln 0x x x x x x -->，令21(1)x t t x =>，需证12ln 0t t t-->，设()12ln (1)g t t t t t =-->，则()22212(1)10t g t t t t-=+-=>'，所以()g t 在()1,+∞上单调递增，所以()()10g t g >=，则12ln 0t t t-->，故()()211f x f x ''>-.。

北京师范大学附属中学2023—2024学年上学期10月月考九年级数学试卷及答案

2023-2024学年北京师大附中九年级（上）月考数学试卷（10月份）一、选择题。

（共20分，每题2分）第1-10题均有四个选项，符合题意的选项均只有一个。

1．（2分）抛物线y＝（x﹣3）2+1的顶点坐标是（）A．（﹣3，1）B．（3，1）C．（﹣3，﹣1）D．（3，﹣1）2．（2分）用配方法解一元二次方程x2﹣6x+4＝0，配方正确的是（）A．（x+3）2＝13B．（x+3）2＝5C．（x﹣3）2＝13D．（x﹣3）2＝53．（2分）将抛物线y＝3x2先向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线的解析式为（）A．y＝3（x﹣1）2+2B．y＝3（x+1）2﹣2C．y＝3（x+1）2+2D．y＝3（x﹣1）2﹣24．（2分）如图，平面直角坐标系xOy中，A（﹣4，0），B（0，3），点P为线段AB的中点（）A．B．2C．D．55．（2分）已知x1，x2是一元二次方程x2﹣2x﹣1＝0的两根，则x1+x2﹣x1•x2的值是（）A．1B．3C．﹣1D．﹣36．（2分）关于x的一元二次方程（a﹣5）x2﹣4x﹣1＝0有实数根，则a满足（）A．a≥1B．a＞1且a≠5C．a≥1且a≠5D．a≠57．（2分）已知点A（﹣3，y1），B（1，y2），C（4，y3）在抛物线y＝﹣（x﹣2）2+5上，则y1，y2，y3的大小关系是（）A．y1＜y2＜y3B．y1＜y3＜y2C．y3＜y2＜y1D．y3＜y1＜y28．（2分）函数y＝ax2+bx+c（a≠0）中y与自变量x的部分对应值如下表：x…﹣10123…y…830﹣10…则当y＞8时，x的取值范围是（）A．﹣1＜x＜5B．0＜x＜3C．x＜﹣1或x＞5D．x＜0或x＞39．（2分）二次函数y＝x2﹣bx+b的图象可能是（）A．B．C．D．10．（2分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝m（x﹣3）2+k与x轴交于（a，0），（b，0）两点，其中a＜b．将此抛物线向上平移（c，0），（d，0）两点，其中c＜d（）A．当m＞0时，a+b＝c+d，b﹣a＞d﹣cB．当m＞0时，a+b＞c+d，b﹣a＝d﹣cC．当m＜0时，a+b＝c+d，b﹣a＞d﹣cD．当m＜0时，a+b＞c+d，b﹣a＜d﹣c二、填空题。

北京师大附中2014届下学期高三年级期中考试数学试卷(AP班)

北京师大附中2014届下学期高三年级期中考试数学试卷（AP 班）试卷说明：本试卷满分100分，考试时间为60分钟。

一、选择题（每小题5分，共40分）1．已知平面向量a = （－1，2），b =（1，0），则向量3a +b 等于（） A.（－2,6） B.（－2,－6） C.（2,6） D ．（2,－6） 2．抛物线24y x =的焦点到其准线的距离是（） A ．4 B ．3 C ．2 D ．13．设m ∈R ，向量a =（1，－2），b =（m ，m －2），若a ⊥b ，则m 等于（） A ．23-B ．23C ．－4D ．4 4．双曲线22142x y -=的焦点坐标是（）A ．（－6,0），（6,0）B ．(，C ．（－2,0），（2,0）D ．(，5．设x ∈R ，向量a =（1，x －l ），b =（x +l ，3），若a ∥b ，则实数x 等于（） A ．2 B ．－2 C ．2或－2 D ．126．若椭圆221(0)4x y m m+=>的离心率为12，则实数m 等于（） A ．3 B ．1或3 C ．3或163 D ．1或1637．若抛物线22y px =的焦点与椭圆22162x y +=的右焦点重合，则p 的值为（） A ．－2 B ．2 C ．－4 D ．48．已知a 、b 均为单位向量，它们的夹角为60°，那么|a －b |等于（）A ．1BCD ．2二、填空题：（每空5分，共20分）9．已知向量a =（－1，2），b =（3，4），则2a ab -=__________。

10．抛物线2y ax =的准线方程是2y =，则a 的值等于________。

11．已知向量a 与b 的夹角为120°，且4a b ==，那么a b =____________。

12．渐近线为y =，且过点（1，3）的双曲线方程是____________。

三、解答题：（每小题10分，本题共40分）13．已知向量a 、b 满足1a b ==，且a 与b 的夹角为60°。

2025届上师大附中高三数学上学期10月考试卷一附答案解析

2025届上师大附中高三10月月考数学试卷一一、填空题（1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1.函数()f x =的定义域为__．【答案】(0,1]．【解析】【分析】由函数有意义需要的条件，求解函数定义域【详解】函数的意义，有0110x x≠⎧⎪⎨-≥⎪⎩，解得01x <≤，即函数()f x =定义域为(0,1]．故答案为：(0,1]2. 已知0a >=________.【答案】34a 【解析】【分析】根式形式化为分数指数幂形式再由指数运算化简即可.1113322224a a a a ⎛⎫⎛⎫=⋅== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故答案为：34a .3. 已知幂函数()f x 的图象经过点13,9⎛⎫ ⎪⎝⎭，求(3)f -=_________．【答案】19【解析】【分析】设幂函数为(),R f x x αα=∈，根据题意求得2α=-，得到2()f x x -=，代入即可求解.【详解】设幂函数为(),R f x x αα=∈，因为幂函数()f x 的图象经过点13,9⎛⎫ ⎪⎝⎭，可得139α=，解得2α=-，即2()f x x -=，所以21(3)(3)9f --=-=.故答案为：19.4. 若1sin 3α=，则cos(2)πα-=____.【答案】79-【解析】【分析】原式利用诱导公式化简后，再利用二倍角的余弦函数公式变形，将sin α的值代入计算即可求出值．【详解】因为1sin 3α=，所以()2227cos(2)cos 212sin12sin 199παααα-=-=--=-+=-+=-．故答案为： 79-5. 已知集合{|3sin ,}M y y x x =∈=R ，{|||}N x x a =<，若M N ⊆，则实数a 的取值范围是___________.【答案】(3,)+∞【解析】【分析】先求出集合M ，N ，再由M N ⊆可求出实数a 的取值范围【详解】解：由题意得{}{|3sin ,}33M y y x x y y ===-≤∈≤R ，{}{|||}N x x a x a x a =<=-<<，因为M N ⊆，所以3a >，故答案为：(3,)+∞6. 设a ，b ∈R ．已知关于x 的不等式250ax x b -+>的解集为21,34⎛⎫-⎪⎝⎭，则不等式250ax x b ++<的解集为__________．【答案】12,,43⎛⎫⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【解析】【分析】先由不等式250ax x b -+>的解集为21,34⎛⎫- ⎪⎝⎭求出实数a ，b 的值，再求不等式250ax x b ++<的解集.【详解】∵不等式250ax x b -+>的解集为21,34⎛⎫- ⎪⎝⎭，∴方程250ax x b -+=的两根分别为123x =-，214x =，且0a <∴由韦达定理可知，1212215342134x x a b x x a ⎧+=-+=⎪⎪⎨⎛⎫⎪=-⨯= ⎪⎪⎝⎭⎩解得122a b =-⎧⎨=⎩，∴将a ，b 代入不等式250ax x b ++<得212520x x -++<，即212520x x -->()()32410x x ⇔-+>∴不等式250ax x b ++<的解集为12,,43⎛⎫⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故答案为：12,,43⎛⎫⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.7. 已知锐角α的顶点为原点，始边为x 轴的正半轴，将α的终边绕原点逆时针旋转π6后交单位圆于点1,3P y ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则sin α的值为________．【解析】【分析】先求得ππcos ,sin 66αα⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，然后利用三角恒等变换的知识求得sin α【详解】由于1,3P y ⎛⎫- ⎪⎝⎭在单位圆上，所以222181,39y y ⎛⎫-+== ⎪⎝⎭，由于α是锐角，所以289y y =⇒=13P ⎛- ⎝，所以π1πcos ,sin 636αα⎛⎫⎛⎫+=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以ππππππsin sin sin cos cos sin 666666αααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭1132=⨯=.8. 已知()()()()1f x x x a x b =+++.若()y f x =为奇函数，则()0f '=__________.【答案】1-【解析】【分析】根据题意，求得()3f x x x =-，得到()231f x x ='-，即可求解.【详解】由函数()()()()321(1)()f x x x a x b x a b x a b ab x ab =+++=+++++++，可得()32(1)()f x x a b x a b ab x ab -=-+++-+++因为函数()f x 为R 上的奇函数，可得()()f x f x -=-，即3232(1)()(1)()x a b x a b ab x ab x a b x a b ab x ab -+++-+++=--++-++-，所以100a b ab ++=⎧⎨=⎩，解得01a b =⎧⎨=-⎩或10=-⎧⎨=⎩a b ，所以()3f x x x =-，可得()231f x x ='-，所以()01f '=-.故答案为：1-.9. 如图，某同学为测量鹳雀楼的高度MN ，在鹳雀楼的正东方向找到一座建筑物AB ，高约为37m ，在地面上点C 处（,,B C N 三点共线）测得建筑物顶部A ，鹳雀楼顶部M 的仰角分别为30o 和45 ，在A 处测得楼顶部M 的仰角为15 ，则鹳雀楼的高度约为___________m .【答案】74【解析】【分析】根据题意在Rt △ABC 中求出AC ，在△MCA 中利用正弦定理求出MC ，然后在Rt △MNC 中可求得结果.【详解】在Rt △ABC 中，274AC AB ==，在△MCA 中，105MCA ︒∠=，45MAC ︒∠=，则18030AMC MCA MAC ︒︒∠=-∠-∠=，由正弦定理得sin sin MC AC MAC AMC=∠∠，即74sin 45sin 30MC ︒︒=，解得MC =，在Rt △MNC中，74m MN ==.故答案：7410. 对于函数()f x 和()g x ，设(){}|0x f x α∈=，(){}|0x g x β∈=，若存在α，β，使得1αβ-<，则称()f x 与()g x 互为“零点相邻函数”.若函数()1e 2x f x x -=+-与()21g x x ax =-+互为“零点相邻函数”，则实数a 的取值范围是______.【答案】[2,)+∞【解析】【分析】由题知函数()f x 有唯一零点1，进而得210x ax -+=在(0,2)上有解，再根据二次函数零点分布求解即可.【详解】因为1()e 2-=+-x f x x ，所以()f x 在R 上为增函数，又0(1)e 120f =+-=，所以()f x 有唯一零点为1，令()g x 的零点为0x ，依题意知0||11x -<，即002x <<，即函数()g x 在(0,2)上有零点，令()0g x =，则210x ax -+=(0,2)上有解，即1x a x +=在(0,2)上有解，因为12x x +≥=，当且仅当1x x =，即1x =时，取等号，所以2a ≥，故答案为：[2,)+∞.为为在11. 若函数()y f x =的图像上存在不同的两点M (x 1,y 1)和N (x 2,y 2)，满足1212x x y y +≥()y f x =具有性质P ，给出下列函数：①()sin f x x =；②()x f x e =；③1(),(0,)f x x x x=+∈+∞；④()||1f x x =+．其中其有性质p 的函数为________（填上所有正确序号）．【答案】①②【解析】【分析】利用数量积性质得出过点O 的直线与函数图像存在至少两个不同的交点，结合函数图象可得．【详解】1212||||cos ,,|||OM ON x x y y OM ON OM ON OM ON ⋅=+=〈〉==所以1212cos ,1x x y y OM ON +≥⇔〈〉≥ ，即cos ,1OM ON 〈〉=± ．即O ，M ，N 三点共线，即过点O 的直线与函数图像存在至少两个不同的交点，由图可知，①②符合．故答案为：①②12. 已知函数()ln 1f x b x =--，若关于x 的方程()0f x =在2e,e ⎡⎤⎣⎦上有解，则22a b +的最小值为______．【答案】29e 【解析】【分析】设函数()f x 在2e,e ⎡⎤⎣⎦上的零点为m ，则由ln 10b m +--=，则(),P a b 在直线:ln 10l x y m +--=上，则22a b +可看作是O 到直线l 的距离的平方，利用导数求出其最小值即可得到答案【详解】解：设函数()f x 在2e,e ⎡⎤⎣⎦上的零点为m ，则ln 10b m --=，所以点(),P a b 在直线ln 10l x y m +--=上，设O 为坐标原点，则222||a b OP +=，其最小值就是O 到直线l 的距离的平方，，2e,eméùÎêúëû，设t⎤=⎦，设()2ln1tg tt+=，则()()212lntg t tt-⎤'=≤∈⎦，所以()g t在⎤⎦上单调递减，所以()()min3eeg t g==，3e≥即2229ea b+≥，所以22a b+的最小值为29e，故答案为：29e二、选择题（13-14每题4分，15-16每题5分，共18分）13. 已知a b∈R，且0ab≠，则“22a b>”是“11a b<”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】D【解析】【分析】结合指数函数单调性，根据充分必要条件的定义分别进行判断即可．【详解】22a b a b>⇔>Q，当0a b>>时，11a b<不成立，当11a b<<时，a b>不成立.所以a b>是11a b<的既不充分也不必要条件，即22a b>是11a b<的既不充分也不必要条件.故选：D.14. 设函数()sinf x x=，若对于任意5π2π,63α⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦，在区间[0,]m上总存在唯一确定的β，使得()()0f fαβ+=，则m的值可能是（）A.π6B.π3C.2π3D.5π6【答案】B【解析】的【分析】由等量关系找α与β的关系，由α的范围求出sin β的范围，从而得出m 的值.【详解】∵()()0f f αβ+=，∴sin sin 0αβ+=，即()sin sin sin βαα=-=-，∵5π2π,63α⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦，即2π5π,36α⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，∴()1sin sin 2βα⎡=-∈⎢⎣，又∵[]0,m β∈，∴π3m =故选：B15. 已知在ABC V 中，0P 是边AB 上一定点，满足023P B AB = ，且对于边AB 上任意一点P ，都有00PB PC P B P C ⋅≥⋅ ，则ABC V 是（）A. 钝角三角形B. 直角三角形C. 锐角三角形D. 无法确定【答案】A【解析】【分析】取BC 的中点D ，DC 的中点E ，连接0P D ，AE ，根据向量的线性运算计算向量00,P B P C 并计算00P B P C ⋅ ，同理计算PB PC ⋅ ，根据不等关系可得出对于边AB 上任意一点P 都有0PD P D ≥ ，从而确定0P D AB ⊥，从而得到结果.【详解】取BC 的中点D ，DC 的中点E ，连接0P D ，AE （如图所示），则()()0000P B P C P D DB P D DC ⋅=+⋅+ ()()22000P D DB P D DB P D DB =+⋅-=- ，同理22PB PC PD DB ⋅=- ，因为00PB PC P B P C ⋅≥⋅ ，所以22220PD DB P D DB -≥- ，即220PD P D ≥ ，所以对于边AB 上任意一点P 都有0PD P D ≥ ，因此0P D AB ⊥，又023P B AB = ，D 为BC 中点，E 为DC 中点，所以023P B BD AB BE ==，所以0//P D AE ，即90BAE ∠=︒，所以90BAC ∠>︒，即ABC V 为钝角三角形.故选：A ．16. 设函数,()2,2x x P f x x x M x∈⎧⎪=⎨+∈⎪⎩其中,P M 是实数集R 的两个非空子集，又规定(){(),},(){(),}A P y y f x x P A M y y f x x M ==∈==∈∣∣，有下列命题：①对任意满足P M ⋃=R 的集合P 和M ，都有()()A P A M ⋃=R ；②对任意满足P M ⋃≠R 的集合P 和M ，都有()()A P A M ⋃≠R ，则对于两个命题真假判断正确的是（）A. ①和②都是真命题B. ①和②都是假命题C. ①是真命题，②是假命题D. ①是假命题，②是真命题【答案】B【解析】【分析】根据集合的新定义对两个命题进行分析，从而确定正确答案.【详解】对于①可举反例，(,0],(0,)P M =-∞=+∞此时()()()()(),0,2,,A P A M A P A M ∞∞⎤⎡=-=+⋃≠⎦⎣R ，故①是假命题；对于②，可举反例(,4],(4)P M =-∞=++∞，此时()(,4],()(4,),()()R A P A M A P A M =-∞=+∞= ，故②是假命题；故选：B【点睛】解新定义题型的步骤：(1)理解“新定义”——明确“新定义”的条件、原理、方法、步骤和结论.(2)重视“举例”,利用“举例”检验是否理解和正确运用“新定义”;归纳“举例”提供的解题方法.归纳“举例”提供的分类情况.(3)类比新定义中的概念、原理、方法，解决题中需要解决的问题.三、解答题（共5题，满分78分）17. 已知向量3sin ,,(cos ,1)4a x b x ⎛⎫==- ⎪⎝⎭ ．（1）当a b∥时，求tan 2x 的值；（2）设函数()2()f x a b b =+⋅ ，且π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求()f x 的值域．【答案】（1）247- （2）1322⎛⎤+ ⎥⎝⎦【解析】【分析】（1）根据向量平行列出等式，计算tan x 的值，二倍角公式即可计算tan 2x ；（2）计算()f x ，并用辅助角公式化简，根据角的范围可求出值域.【小问1详解】因为a b∥，所以3sin cos 4x x -=，因为cos 0x ≠，所以3tan 4x =-，所以22tan 24tan 21tan 7x x x ==--．【小问2详解】213π3()2()2sin cos 2cos sin 2cos 222242f x a b b x x x x x x ⎛⎫=+⋅=++=++=++ ⎪⎝⎭ ，因为π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以ππ5π2,444x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，所以πsin 24x ⎛⎤⎛⎫+∈ ⎥ ⎪ ⎝⎭⎝⎦，所以()f x的值域为1322⎛⎤ ⎥⎝⎦．18. 已知函数()22x x a f x =+其中a 为实常数.（1）若()07f =,解关于x 的方程()5f x =;（2）判断函数()f x 的奇偶性,并说明理由.【答案】（1）1x =或2log 3（2）答案见解析【解析】【分析】（1）因为()22x x a f x =+,()07f =,可得6a =,故6()22x x f x =+,因为()5f x =,即6252x x+=,通过换元法,即可求得答案;（2）因为函数定义域为R ,分别讨论()f x 为奇函数和()f x 为偶函数,即可求得答案.【详解】（1） ()22x xa f x =+,∴()07f =,即17a +=解得:6a =可得:6()22x xf x =+ ()5f x =∴6252x x+=令2x t =(0t >)∴65t t+=,即:2560t t -+=解得:12t =或23t =即:122x =,223x =∴11x =或22log 3x =.（2）函数定义域为R ,①当()f x 为奇函数时,根据奇函数性质()()f x f x -=-可得2222x x x x a a --⎛⎫+=-+ ⎪⎝⎭恒成立即1(1)202x x a ⎛⎫+⋅+= ⎪⎝⎭恒成立,∴1a =-.②当()f x 为偶函数时,根据偶函数性质()()f x f x -=可得2222x x x x a a --+=+恒成立即1(1)202x x a ⎛⎫-⋅-= ⎪⎝⎭恒成立,∴1a =.③当1a ≠±时,函数为非奇非偶函数.【点睛】本题主要考查了解指数方程和根据奇偶性求参数,解题关键是掌握指数方程的解法和奇偶函数的定义,考查了分析能力和计算能力,属于中档题.19. 某创业投资公司拟投资开发某种新能源产品，估计能获得10万元～1000万元的投资收益.现准备制定一个对科研课题组的奖励方案：奖金y （万元）随投资收益x （万元）的增加而增加，且奖金不超过9万元，同时奖金不超过投资收益的20%.（1）若建立函数()f x 模型制定奖励方案，试用数学语言表述公司对奖励函数()f x 模型的基本要求；（2）现有两个奖励函数模型：①()2150x f x =+；②()ln 2f x x =-；问这两个函数模型是否符合公司要求，并说明理由？【答案】（1）答案见解析（2）()2150x f x =+不符合公司要求，()ln 2f x x =-符合公司要求，理由见解析【解析】【分析】（1）根据题意，用数学语言依次写出函数()f x 的要求即可；（2）判断两个函数模型的单调性，并判断()9f x ≤，()5x f x ≤是否成立得解.【小问1详解】设奖励函数模型为()y f x =，则公司对奖励函数模型基本要求是：当[]10,1000x ∈时，()f x 是严格增函数，()9f x ≤恒成立，()5x f x ≤恒成立.【小问2详解】①对于函数模型()2150x f x =+，易知当[]10,1000x ∈时，()f x 为增函数，且()()max 26100093f x f ==<，所以()9f x ≤恒成立，但是()101005f ->，不满足()5x f x ≤恒成立，所以()2150x f x =+不符合公司要求；②对于函数模型()ln 2f x x =-，的当[]10,1000x ∈时，()10f x x'=>，所以()f x 为增函数，且()max f x f =()100023ln109=-+<，所以()9f x ≤恒成立，令()()ln 255x x g x f x x =-=--，则()1105g x x '=-<，所以()()10ln1040g x g =-<≤，所以()5x f x ≤恒成立，所以()ln 2f x x =-符合公司要求.20. 已知函数()y f x =的定义域为区间D ，若对于给定的非零实数m ，存在0x ，使得()()00f f x x m =+，则称函数()y f x =在区间D 上具有性质()P m .（1）判断函数()2f x x =在区间[]1,1-上是否具有性质12P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，并说明理由；（2）若函数()sin f x x =在区间()()0,0>n n 上具有性质4P π⎛⎫⎪⎝⎭，求n 的取值范围；（3）已知函数()y f x =的图像是连续不断的曲线，且()()02f f =，求证：函数()y f x =在区间[]0,2上具有性质13P ⎛⎫ ⎪⎝⎭.【答案】（1）具有性质12P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，理由见解析（2）5,8π⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭（3）证明见解析【解析】【分析】（1）由题可得220012x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则014x =-，结合条件即得；（2）由00sin sin 4x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，解得038x k ππ=+，()()050,N 48x k n k πππ+=+∈∈，可得58n π>，即得；（3）设()()13g x f x f x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，50,3x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，可得()()()1150200333k g g g g f f -⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，当()0g 、13g ⎛⎫ ⎪⎝⎭、⋅⋅⋅、13k g -⎛⎫ ⎪⎝⎭、⋅⋅⋅、53g ⎛⎫ ⎪⎝⎭中有一个为0时，可得111333i i f f --⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，{}1,2,3,,6i ∈⋅⋅⋅，即证；当()0g 、13g ⎛⎫ ⎪⎝⎭、⋅⋅⋅、13n g -⎛⎫ ⎪⎝⎭、⋅⋅⋅、53g ⎛⎫ ⎪⎝⎭中均不为0时，由于其和为0，则其中必存在正数和负数，不妨设103i g -⎛⎫> ⎪⎝⎭，103j g -⎛⎫< ⎪⎝⎭，结合条件可知，存在0x ，()()000103g x f x f x ⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭，即证.【小问1详解】函数()2f x x =在[]1,1-上具有性质12P ⎛⎫⎪⎝⎭.若220012x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则014x =-，因为[]11,14-∈-，且[]1111,1424-+=∈-，所以函数()2f x x =在[]1,1-上具有性质12P ⎛⎫⎪⎝⎭.【小问2详解】解法1：由题意，存在()00,x n ∈，使得00sin sin 4x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，得0024x x k ππ+=+（舍）或0024x k x πππ+=+-()k ∈Z ，则得038x k ππ=+.因为0308x k ππ=+>，所以k ∈N .又因为()030,8x k n ππ=+∈且()()050,48x k n k πππ+=+∈∈N ，所以58n π>，即所求n 的取值范围是5,8π⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.解法2：当02n π<≤时，函数()sin f x x =，()0,x n ∈是增函数，所以不符合题意；当2n π>时，因为直线2x π=是函数()sin f x x =的一条对称轴，而函数()sin f x x =在区间()()0,0>n n 上具有性质4P π⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以224n ππ⎛⎫-> ⎪⎝⎭，解得58n π>，即所求n 的取值范围是5,8π⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.【小问3详解】设()()13g x f x f x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，50,3x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.则有()()1003g f f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，112333g f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()22133g f f ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，⋅⋅⋅，11333k k k g f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，⋅⋅⋅，()55233g f f ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭{}()1,2,3,,6k ∈⋅⋅⋅.以上各式相加得()()()115020333k g g g g f f -⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+=- ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭即()11500333k g g g g -⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，（ⅰ）当()0g 、13g ⎛⎫ ⎪⎝⎭、⋅⋅⋅、13k g -⎛⎫ ⎪⎝⎭、⋅⋅⋅、53g ⎛⎫ ⎪⎝⎭中有一个为0时，不妨设103i g -⎛⎫= ⎪⎝⎭，{}1,2,3,,6i ∈⋅⋅⋅，即110333i i i g f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即111333i i f f --⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，{}1,2,3,,6i ∈⋅⋅⋅，所以函数()y f x =在区间[]0,2上具有性质13P ⎛⎫⎪⎝⎭.（ⅱ）当()0g 、13g ⎛⎫ ⎪⎝⎭、⋅⋅⋅、13n g -⎛⎫ ⎪⎝⎭、⋅⋅⋅、53g ⎛⎫ ⎪⎝⎭中均不为0时，由于其和为0，则其中必存在正数和负数，不妨设103i g -⎛⎫>⎪⎝⎭，103j g -⎛⎫< ⎪⎝⎭，其中i j ≠，{}1,2,3,,6i j ∈⋅⋅⋅、.由于函数()y g x =的图像是连续不断的曲线，所以当i j <时，至少存在一个实数011,33i j x --⎛⎫∈ ⎪⎝⎭（当i j >时，至少存在一个实数011,33j i x --⎛⎫∈ ⎪⎝⎭），其中{}1,2,3,,6i j ∈⋅⋅⋅、，使得()00g x =，即()()000103g x f x f x ⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭，即存在0x ，使得()0013f x f x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以函数()y f x =在区间[]0,2上也具有性质13P ⎛⎫⎪⎝⎭.综上，函数()y f x =在区间[]0,2上具有性质13P ⎛⎫⎪⎝⎭.21. 已知函数()e (,1),()(,)k x f x x k k g x cx m c m =∈≥=+∈N R ，其中e 是自然对数的底数．（1）当1k =时，若曲线()y f x =在1x =处的切线恰好是直线()y g x =，求c 和m 的值；（2）当1k =，e m =-时，关于x 的方程()()f x g x =有正实数根，求c 的取值范围：（3）当2,1k m ==-时，关于x 的不等式2()e ()f x ax bx g x -≥+≥对于任意[1,)x ∈+∞恒成立（其中,a b ∈R ），当c 取得最大值时，求a 的最小值．【答案】（1）2e,e c m ==-（2）[2e,)+∞（3）1【解析】【分析】（1）利用导数求得()f x 在1x =处的切线方程，通过对比系数求得,c m .（2）由()()f x g x =分离c ，利用构造函数法，结合导数来求得c 的取值范围.（3）由恒成立的不等式得到e 1e xc x x-≤-恒成立，利用构造函数法，结合导数来求得c 的最大值，进而求得a 的最小值，并利用构造函数法，结合导数来判断a 的最小值符合题意.【小问1详解】当1k =时，()e x f x x =，所以()(1)e x f x x '=+，由(1)e,(1)2e f f '==，得曲线()y f x =在1x =处的切线方程为e 2e(1)y x -=-，即2e e y x =-，由题意，2e,e c m ==-．【小问2详解】当1k =，e m =-时，()e ,()e x f x x g x cx ==-，由题意，方程e e x x cx =-在(0,)+∞上有解，即e e x c x =+在(0,)+∞上有解，令e ()e (0)x h x x x =+>，则2e e ()x h x x'=-，由()0h x '=得1x =，()h x '在()0,∞+上严格递增，所以：当(0,1)x ∈时，()0h x '<，所以()h x 严格递减，当(1,)x ∈+∞时，()0h x '>，所以()h x 严格递增，所以min ()(1)2e h x h ==，又x →+∞时，()h x →+∞，所以()h x 的值域为[2e,)+∞，所以c 的取值范围为[2e,)+∞．【小问3详解】当2,1k m ==-时，2()e ,()1x f x x g x cx ==-，由题意，对于任意2[1,),()e ()x f x ax bx g x ∈+∞-≥+≥恒成立，即：22e e 1x x ax bx cx -≥+≥-（*）恒成立，那么，2e 1x x cx ≥-恒成立，所以e 1e xc x x-≤-恒成立，令e 1()e (1)x x x x x ϕ-=-≥，则2e 1()(1)e 0x x x x ϕ-'=++>在[1,)+∞上恒成立，所以()ϕx 在[1,)+∞上严格递增，所以min ()(1)1x ϕϕ==，从而1c ≤，即c 的最大值为1，1c =时，取1x =代入（*）式，得00a b ≥+≥，所以=-b a ，所以21ax ax x -≥-在[1,)+∞上恒成立，得1a ≥，即a 的最小值为1，当1a =时，记()222()()e e e (1)x F x f x x x x x x x =---=--+≥，则()2()2e 21x F x x x x '=+-+，设()()()()222e 21,42e 2x x x x x u u x x x x '+-+=++-=，因为()u x '在[1,)+∞上严格递增，所以()()17e 20u x u ''≥=->，所以()F x '在[1,)+∞上严格递增，所以()(1)3e 10F x F ''≥=->，所以()F x 在[1,)+∞上严格递增，所以()(1)0F x F ≥=，从而对于任意2[1,),()e ()x f x ax bx g x ∈+∞-≥+≥恒成立，综上，a 的最小值为1．【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题，注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极（最）值问题处理，。

北京市北京师范大学附属中学2024—2025学年高三上学期10月考数学试卷

北京市北京师范大学附属中学2024—2025学年高三上学期10月考数学试卷一、单选题1．已知集合{20},{10}M xx N x x =+≥=-<∣∣，则M N =I （） A ．{21}x x -≤<∣ B ．{21}x x -<≤∣ C ．{2}xx ≥-∣ D ．{1}xx <∣2．在复平面内，复数z 对应的点的坐标是(-，则i z ⋅=（）A iB ．iC iD ．i3．下列函数中，在区间()0,∞+上单调递减的是（）A ．()2xf x =B ．()ln f x x =-C ．()1f x x=-D ．()13x f x -=4．已知实数,a b 满足a b >，则下列不等式中正确的是（） A ．a b > B ．a b > C ．2a ab >D ．2ab b >5．欧拉公式cos sin ix e x i x =+（i 为虚数单位）是有由瑞士数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，特别是当x π=时，10i e π+=被认为是数学中最优美的公式，数学家们评价它是“上帝创造的公式”.根据欧拉公式可知，i e 在复平面中位于（） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限6．已知函数()21,026,2x x f x x x ⎧-<<=⎨-≥⎩，那么不等式()12f x x >的解集为（） A ．()0,1 B ．()0,2 C ．()1,4 D ．()1,67．设0.40.5a =，0.5log 0.4b =，4log 0.5c =，则a ，b ，c 的大小关系是（） A ．a b c <<B ．b c a <<C ．c b a <<D ．c a b <<8．若0xy ≠，则“0x y +=”是“2y xx y+=-”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件9．已知函数211,(,0)(),()44ln(1),[0,)x x f x g x x x x x ∞∞⎧+-∈-==--⎨+∈+⎩，设R b ∈，若存在R a ∈，使得()()0f a g b +=，则实数b 的取值范围是（）A ．[1,5]-B ．(,1][5,)-∞-⋃+∞C ．[1,)-+∞D ．(,5]-∞10．恩格斯曾经把对数的发明、解析几何的创始和微积分的建立称为十七世纪数学的三大成就.其中对数的发明曾被十八世纪法国数学家拉普拉斯评价为“用缩短计算时间延长了天文学家的寿命”.已知正整数N 的70次方是一个83位数，则由下面表格中部分对数的近似值（精确到0.001），可得N 的值为（）A ．13B ．14C ．15D ．16二、填空题11．函数()1ln f x x=. 12．已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且当(],0x ∈-∞时，()123x f x =+，则23log 2f ⎛⎫= ⎪⎝⎭. 13．设函数()2e 2sin 1x xf x x +=+，则曲线()y f x =在()0,1处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为.14．对于三次函数()()320ax bx d a f x cx =+++≠，给出定义：()f x '是函数()f x 的导函数，()f x ''是()f x '的导函数，若方程()0f x ''=有实数解0x ，则称点()()00,x f x 为函数()y f x =的“拐点”.某同学经研究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.若()3211533212f x x x x =-+-，根据这一发现，函数()y f x =的对称中心是.15．已知函数()22,2,x a x af x x ax x a ⎧+<=⎨+≥⎩给出下列四个结论：①当0a =时，()f x 的最小值为0；②当13a ≤时，()f x 存在最小值；③当1a ≥时，()f x 在(),-∞+∞上单调递增；④()f x 的零点个数为()g a ，则函数()g a 的值域为{}0,1,2,3. 其中所有正确结论的序号是.三、解答题16．设函数()πsin cos cos sin 0,2f x x x ωϕωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭.(1)若()102f =，求ϕ的值；(2)已知()f x 在区间π2π,33-⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，2π13f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，π13f ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，求ω，ϕ的值. 17．在ABC V 中，222b c a bc +-=． (1)求A ∠；(2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知，使ABC V 存在且唯一确定，求ABC V 的面积．条件①：11cos 14B =；条件②：12a b +=；条件③：12c =．注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多组符合要求的条件分别解答，按第一组解答计分．18．某地区组织所有高一学生参加了“科技的力量”主题知识竟答活动，根据答题得分情况评选出一二三等奖若干，为了解不同性别学生的获奖情况，从该地区随机抽取了500名参加活动的高一学生，获奖情况统计结果如下：假设所有学生的获奖情况相互独立．(1)分别从上述200名男生和300名女生中各随机抽取1名，求抽到的2名学生都获一等奖的概率；(2)用频率估计概率，从该地区高一男生中随机抽取1名，从该地区高一女生中随机抽取1名，以X 表示这2名学生中获奖的人数，求X 的分布列和数学期望EX ；(3)用频率估计概率，从该地区高一学生中随机抽取1名，设抽到的学生获奖的概率为0p ；从该地区高一男生中随机抽取1名，设抽到的学生获奖的概率为1p ；从该地区高一女生中随机抽取1名，设抽到的学生获奖的概率为2p ，试比较0p 与122p p +的大小．（结论不要求证明）19．已知函数()()11ln f x a x x =+--.(1)若2a =，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程； (2)求函数()f x 的单调区间；(3)若2a <，证明：当1x >时，()1e xf x -<.20．已知函数()e sin xf x a x =-．(1)当2a =时，求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程；(2)当1a =时，证明：函数()2y f x =-在区间()0,π上有且仅有一个零点； (3)若对任意[]0,πx ∈，不等式()2cos f x x ≥-恒成立，求a 的取值范围．21．已知数列A ：1a ，2a ，…，n a 满足：{}0,1i a ∈（1i =，2，…，n ，2n ≥），从A 中选取第1i 项、第2i 项、…、第m i 项（12m i i i <<<L ，2m ≥）称数列1i a ，2i a ，…，m i a 为A 的长度为m 的子列.记()T A 为A 所有子列的个数.例如A ：0，0，1，其()3T A =. (1)设数列A ：1，1，0，0，写出A 的长度为3的全部子列，并求()T A ；(2)设数列A ：1a ，2a ，…，n a ，A '：n a ，1n a -，…，1a ，A ''：11a -，21a -，…，1n a -，判断()T A ，()T A '，()T A ''的大小，并说明理由；(3)对于给定的正整数n ，k （11k n ≤≤-），若数列A ：1a ，2a ，…，n a 满足：12n a a a k ++⋅⋅⋅+=，求()T A 的最小值.。

2024-2025学年吉林省长春市东北师大附中高三(上)月考数学试卷(一)(含答案)

2024-2025学年吉林省长春市东北师大附中高三（上）月考数学试卷（一）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.设集合P ={x ∈Z|x 2−2x−8<0}，Q ={x|y =ln (2x−x 2)}，则P ∩Q =( )A. {2}B. {1}C. (0,3)D. (1,2)2.已知f(x)是定义在R 上的奇函数，当x >0时f(x)=log 3x ，则f(−3)=( )A. −1B. 0C. 1D. 23.设a >0，b >1，若a +b =2，则4a +1b−1的最小值为( )A. 6B. 9C. 3 2D. 184.函数f(x)=(4−x 2)⋅2|x|的大致图象是( )A. B.C. D.5.已知函数y =log 12(x 2−2ax +5a)在[2,+∞)上为减函数，则实数a 的取值范围是( )A. (−∞,2] B. [2,+∞) C. (−4,2] D. [−1,2]6.已知函数f(x)=log 3(32x +1)−x ，则满足f(2x−1)>f(x)的x 的取值范围为( )A. (1,+∞)B. (−∞,13)∪(1,+∞)C. (13,1] D. (−∞,−13)∪(1,+∞)7.已知m >n >0，e =2.71828…为自然对数的底数，则下列不等式恒成立的是( )A. 1m >1nB. e m +n >e n +mC. ne m >me nD. m−2cosn <n−2cosm8.已知x 1是函数f(x)=e x +x−2的零点，x 2是函数g(x)=e 4−x −x +2的零点，则x 1+x 2的值为( )A. 3B. 4C. 5D. 6二、多选题：本题共3小题，共18分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

9.若“∃x 0∈(0,2)，使得2x 20−λx 0+1<0成立”是假命题，则实数λ可能的值是( )A. 1B. 2 2C. 3D. 3 210.已知定义域为R 的函数f(x)满足f(x)不恒为零，且f(x +6)=f(x)，f(3+x)+f(3−x)=0，f(2)=0，则下列结论正确的是( )A. f(0)=0B. f(x)是奇函数C. f(x)的图象关于直线x =13对称D. f(x)在[0,10]上有6个零点11.已知实数x 1，x 2是函数f(x)=(12)x −|log 2(x−1)|的两个零点，则下列结论正确的是( )A. (x 1−1)(x 2−1)∈(0,12)B. (x 1−1)(x 2−1)∈(12,1)C. (x 1−1)(x 2−1)∈(1,2) D. (x 1−2)(x 2−2)∈(−∞,0)三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

安徽省芜湖市安徽师范大学附属中学2024届高三第二次模拟考试数学试题(解析版)

安徽师大附中2024届第二次模拟考试高三年级数学学科试题考生须知：1．本卷共5页满分150分，考试时间120分钟．2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字．3．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效．4．考试结束后，只需上交答题纸．选择题部分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知A ，B 是全集U 的非空子集，且U A B⊆ð，则（）A.B A ⊆B.U B A ⊆ðC.U UA B ⊆痧 D.A B⊆【答案】B 【解析】【分析】根据Venn 图，结合子集和集合间的运算理解判断.【详解】由题意知U A B ⊆ð，从而可得Venn 图如下图，对A 、D ：由Venn 图，可得B A ⋂=∅，故A 、D 错误；对B ：因为B A ⋂=∅，U B A ⊆ð正确，故B 正确；对C ：因为B A ⋂=∅，则U UA B ⊆痧错误，故C 错误；故选：B.2.我国著名数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来分析函数的图象特征．则函数22()1xf x x =-+的图象大致为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】利用排除法，根据函数奇偶性和函数值的符号性分析判断.【详解】由题意可知：()f x的定义域为R，关于原点对称，且()2222()()11x xf x f xxx--=-==-+-+，可知()f x为奇函数，排除AB，且()110f=-<，排除D.故选：C.3.已知复数()i,z a b a b=+∈R且()242i4i0x x a-+++=有实数根b，则2z=（）A. B.12 C. D.20【答案】D【解析】【分析】根据题意可求得()2442i0b b b a-+++=，从而得()24402i0b bb a⎧-+=⎪⎨+=⎪⎩，求解得42iz=-+，从而可求解.【详解】由题意知b为()242i4i0x x a-+++=的实数根，则()242i4i0b b a-+++=，即()2442i0b b a b-++-=，则()24402i0b ba b⎧-+=⎪⎨-=⎪⎩，解得24ba=⎧⎨=⎩，所以42iz=+，所以2224220z=+=，故D正确.故选：D.4.已知等边ABC的边长为2，点D、E分别为,AB BC的中点，若2DE EF=，则EF AF⋅=（）A.1B.45C.65D.54【答案】A 【解析】【分析】取AC AB 、为基底，利用平面向量基本定理表示出,EF AF ，进行数量积运算即可.【详解】在ABC 中，取,AC AB为基底，则2,,60AC AB AC AB ===︒ .因为点D 、E 分别为,AB BC 的中点，1124DE AC EF == ，()11132424AF AE EF AB AC AC AB AC =+=++=+ ，211313424816EF AF AC AB AC AC AB AC⎛⎫⋅=⋅+=⋅+ ⎪⎝⎭ 1322cos 6041816=⨯⨯⨯+⨯= 故选：A5.已知1F ，2F 是双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点，若双曲线上存在点P 满足2212PF PF a ⋅=- ，则双曲线离心率的最小值为（）A.B.C.2D.【答案】D 【解析】【分析】设P 的坐标，代入双曲线的方程，利用数量积的坐标表示，结合双曲线离心率的计算公式求解即得.【详解】设00(,)P x y ，双曲线的半焦距为c ，则有0||x a ≥，2200221x y a b-=，12(,0),(,0)F c F c -，于是200100(,),(,)PF c x y PF c x y =--=---，因此22222222222222220210000222(1)x c c PF PF x c y x b c x b c a b c b a a a ⋅=-+=+--=⋅--≥⋅--=- ，当且仅当0||x a =时取等号，则222a b -≥-，即222b a ≥，离心率c e a ==≥，故选：D6.在数列{}n a 中，n S 为其前n 项和，首项11a =，且函数()()31sin 211n n f x x a x a x +=-+++的导函数有唯一零点，则5S =（）A.26 B.63C.57D.25【答案】C 【解析】【分析】计算()f x '，分析()f x '的奇偶性，可判断零点取值，代入计算可得{}n a 的递推关系，求出前5项，计算求和即可.【详解】因为()()31sin 211n n f x x a x a x +=-+++，所以()()213cos 21n n f x x a x a +'=-++，由题意可知：()0f x '=有唯一零点.令()()()213cos 21n n g x f x x a x a +'==-++，可知()g x 为偶函数且有唯一零点，则此零点只能为0，即()00g =，代入化简可得：121n n a a +=+，又11a =，所以23a =，37a =，415a =，531a =，所以557S =.故选：C7.已知函数()f x 的定义域为R ，且()22f x +-为奇函数，()31f x +为偶函数，()10f =，则()20241k f k =∑=（）A.4036B.4040C.4044D.4048【答案】D 【解析】【分析】根据题中()22f x +-为奇函数，()31f x +为偶函数，从而可得出()f x 为周期为4的函数，从而可求解.【详解】由题意得()22f x +-为奇函数，所以()()22220f x f x +-+-+-=，即()()224f x f x ++-+=，所以函数()f x 关于点()2,2中心对称，由()31f x +为偶函数，所以可得()1f x +为偶函数，则()()11f x f x +=-+，所以函数()f x 关于直线1x =对称，所以()()()22f x f x f x +=-=--+，从而得()()4f x f x =+，所以函数()f x 为周期为4的函数，因为()10f =，所以()()134f f +=，则()34f =，因为()f x 关于直线1x =对称，所以()()314f f =-=，又因为()f x 关于点()2,2对称，所以()22f =，又因为()()()420f f f =-=，又因为()()()22422f f f -=-+==，所以()()()()12348f f f f +++=，所以()()()()()202412024123440484k f k f f f f =⎡⎤=⨯+++=⎣⎦∑，故D 正确.故选：D.8.已知直线l ：()2200Ax By C A B ++=+≠与曲线W ：3y x x =-有三个交点D 、E 、F ，且2DE EF ==，则以下能作为直线l 的方向向量的坐标是（）．A.()0,1 B.()1,1- C.()1,1 D.()1,0【答案】C 【解析】【分析】由函数3y x x =-的性质可得曲线W 的对称中心(0,0)，即得(0,0)E ，再根据给定长度求出点D 的坐标即得.【详解】显然函数3()f x x x =-的定义域为R ，3()()()()f x x x f x -=---=-，即函数()f x 是奇函数，因此曲线W 的对称中心为(0,0)，由直线l 与曲线W 的三个交点,,D E F 满足2DE EF ==，得(0,0)E ，设3(,)D x x x -，则232()4x x x +-=，令2x t =，则有322240t t t -+-=，即2(2)(2)0t t +-=，解得2t =，即x =，因此点D或(D，ED =或(ED =，选项中只有坐标为(1,1)的向量与ED共线，能作为直线l 的方向向量的坐标是(1,1).故选：C【点睛】关键点点睛：本题的关键首先是得到曲线对称中心为(0,0)，从而得到(0,0)E ，然后再去设点D 坐标，根据2DE =，得到高次方程，利用换元法结合因式分解解出D 的坐标即可.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知由样本数据(),i i x y （i =1，2，3，…，10）组成的一个样本，得到回归直线方程为ˆ3y x =-+，且4x =．剔除一个偏离直线较大的异常点()5,1--后，得到新的回归直线经过点()6,4-．则下列说法正确的是A.相关变量x ，y 具有正相关关系B.剔除该异常点后，样本相关系数的绝对值变大C.剔除该异常点后的回归直线方程经过点()5,1-D.剔除该异常点后，随x 值增加相关变量y 值减小速度变小【答案】BC 【解析】【分析】根据给定条件，求出新样本的中心点，进而求出新回归直线的斜率，再逐项判断即得.【详解】依题意，原样本中，431y =-+=-，剔除一个偏离直线较大的异常点(5,1)--后，新样本中，410(5)110(1)5,199x y ⨯---⨯--''====-，因此剔除该异常点后的回归直线方程经过点(5,1)-，C 正确；由新的回归直线经过点(6,4)-，得新的回归直线斜率为4(1)365---=--，因此相关变量x ，y 具有负相关关系，A 错误；又|3|1->，则剔除该异常点后，随x 值增加相关变量y 值减小速度变大，D 错误；由剔除的是偏离直线较大的异常点，得剔除该点后，新样本数据的线性相关程度变强，即样本相关系数的绝对值变大，B 正确.故选：BC10.在平面直角坐标系xOy 中，角θ以坐标原点O 为顶点，以x 轴的非负半轴为始边，其终边经过点(),M a b ，()0OM m m =≠，定义()b a f m θ+=，()b ag mθ-=，则（）A.ππ166f g ⎛⎫⎛⎫+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ B.()()20ff θθ+≥C.若()()2f g θθ=，则3sin 25θ=D.()()fg θθ是周期函数【答案】ACD 【解析】【分析】根据题意分别求出cos a m θ=，sin b m θ=，则()π4f θθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，()π4g θθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，从而可对A 判断求解，利用换元法令πsin cos 4t θθθ⎛⎫⎡=+=+∈ ⎪⎣⎝⎭可对B 判断求解，由()()tan 12tan 1f g θθθθ+==-求出tan 3θ=，并结合22tan sin 2tan 1θθθ==+从而可对C 判断求解，由()()cos 2f g θθθ=-可对D 判断求解.【详解】由题意得(),M a b 在角θ的终边上，且OM m =，所以cos a m θ=，sin bmθ=，则()πsin cos 4b a f m θθθθ+⎛⎫==+=+ ⎪⎝⎭，()πsin cos 4b a g m θθθθ-⎛⎫==-=- ⎪⎝⎭，对A ：ππππππsin cos sin cos 1666666f g ⎛⎫⎛⎫+=++-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故A 正确；对B ：()()()22sin cos sin cos f f θθθθθθ+=+++，令πsin cos 4t θθθ⎛⎫⎡=+=+∈ ⎪⎣⎝⎭，所以()()222111244f f t t t θθ⎛⎫+=+=+-≥- ⎪⎝⎭，故B 错误；对C ：()()sin cos tan 12sin cos tan 1f g θθθθθθθθ++===--，解得tan 3θ=，又由22222sin cos 2tan 233sin 22sin cos sin cos tan 1315θθθθθθθθθ⨯=====+++，故C 正确；对D ：()()()()22sin cos sin cos sin cos cos 2fg θθθθθθθθθ=+-=-=-，因为cos 2y θ=为周期函数，故D 正确.故选：ACD.11.如图，多面体PS ABCD -由正四棱锥P ABCD -和正四面体S PBC -组合而成，其中1PS =，则下列关于该几何体叙述正确的是（）A.该几何体的体积为24B.该几何体为七面体C.二面角A PB C --的余弦值为13- D.该几何体为三棱柱【答案】ACD 【解析】【分析】选项A 可以分别求正四棱锥P ABCD -和正四面体S PBC -的体积即可；选项C 先确定二面角A PB C --的平面角为AFC ∠，在三角形中利用余弦定理可得；选项D 先根据二面角A PB C --与二面角--S PB C 的关系确定,,,P A B S 四点共面，再证得平面//SCB 平面PAD ，三个侧面都是平行四边形即可；选项B 根据选项D 三棱柱有5个面，可判断错误.【详解】如图：在正四面体中S PBC -中，G 为PB 的中点，连接CG ，连接SG 作SO CG ⊥于O ，则O 为PBC 的中心，SO 为正四面体中S PBC -的高，因1PS =，32CG =，23=33CO CG =，63SO ==，1111362=132322312S PBC V PB CG SO -⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=，在正四面体中S PBC -中，G 为PB 的中点，所以SG PB ⊥，CG PB ⊥，故CGS ∠为二面角--S PB C 的一个平面角，1131332cos 33322GC GO CGS SG SB ⨯∠====如图：在正四棱锥P ABCD -中，由题意1PC CB ==，连接AC ，BD 交于点E ，连接PE ，则PE 为正四棱锥P ABCD -的高，22==22CE CB ，222222=122PE PC CE ⎛⎫-=-= ⎪ ⎪⎝⎭，1122=113326P ABCD V CD BC PE -⨯⨯⨯=⨯⨯⨯=，该几何体的体积为222===1264B PS A S BCD P ABCD PC V V V ---++，故A 正确，取PB 的中点F ，连接AF ，CF ，由题意正四棱锥P ABCD -的棱长都为1，所以⊥AF PB ，CF PB ⊥，故AFC ∠即为二面角A PB C --的一个平面角，其中33=22AF CF BC ==，22AC BC ==，在AFC △中，222222332221cos =2333222AF CF AC AFC AF CF ⎛⎫⎛+- ⎪ +-⎝⎭⎝⎭∠=-⋅⨯⨯，故C 正确，因1cos cos 3CGS AFC ∠==-∠，可知二面角--S PB C 与二面角A PB C --所成角互补，故平面PBS 与PBA 为同一平面，同理，平面PDC 和平面PDS 也为同一平面，故该几何体有5个面，B 错误，因,,,P A B S 四点共面，且PDC △和PCS 都为等边三角形，易知//SC PD ，且SC PD =，故侧面PDCS 为平行四边形，又PD ⊂平面PAD ,SC ⊄平面PAD ，所以//SC 平面PAD ，同理//SB 平面PAD ，且侧面PABS 为平行四边形，又SC SB S = ，SC ⊂平面SCB ，SB ⊂平面SCB ，所以平面//SCB 平面PAD ，又侧面ABCD 为正方形，故多面体PS ABCD -即为三棱柱ADP BCS -，故D 正确，故选：ACD非选择题部分三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.从某工厂生产的零件中随机抽取11个，其尺寸值为43，45，45，45，49，50，50，51，51，53，57（单位：mm ），现从这11个零件中任取3个，则3个零件的尺寸刚好为这11个零件尺寸的平均数、第六十百分位数、众数的概率为______．【答案】255【解析】【分析】分别求出11个零件的平均数49、第六十百分位数50，众数45，然后分别求出取出3个零件有165种，3个零件符合平均数、第六十百分位数、众数有6种情况，再利用古典概率从而可求解.【详解】由题意知11个零件的平均数为43454545495050515153574911++++++++++=，第六十百分位数的位置为1160% 6.6⨯=，即取第7位数50，故第六十百分位数为50，由题可知众数为45，所以当从11中取出3个零件共有311C 165=种情况，则3个数分别为平均数49、第六十百分位数50，众数45共有111123C C C 6=种情况，所以其概率为6216555=，故答案为：255.13.已知偶函数()()()sin 0f x x ωϕω=+>的图像关于点π,03⎛⎫⎪⎝⎭中心对称，且在区间π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调，则ω=______．【答案】32##1.5【解析】【分析】根据题意ππ2k ϕ=+，再由对称中心求出33,Z 2k k ω=+∈，最后根据函数单调性确定ω.【详解】因为偶函数()()()sin 0f x x ωϕω=+>，所以ππ2k ϕ=+，Z k ∈，即()cos f x x ω=或()cos f x x ω=-，又()()()sin 0f x x ωϕω=+>的图像关于点π,03⎛⎫⎪⎝⎭中心对称，所以πcos03ω=，即πππ,Z 32k k ω=+∈，所以33,Z 2k k ω=+∈，因为π0,4x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦函数单调，所以ππ042x ωω≤≤≤，即02ω<≤，所以当0k =时，32ω=符合条件.故答案为：3214.若实数x ，y 满足2225x y +=+______【答案】【解析】【分析】利用向量不等式并结合x 的范围求最值.【详解】设()(),,1,1,a x yb ==则a b x y a b ⋅=+≤= 0x y =≥等号成立，又2225x y +=，所以5x ≤，≤=当且仅当5,0x y ==等号成立.故答案为：【点睛】关键点点睛：本题考查利用向量不等式求最值，关键是两次运用不等式且保证等号成立.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知函数()ln ax ax f x x=+-，R a ∈（1）若()f x 在定义域内是减函数，求a 的取值范围；（2）当12a <时，求()f x 的极值点．【答案】（1）1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭（2）答案见解析.【解析】【分析】（1）先由()f x 在定义域内是减函数得出对于()0,x ∀∈+∞，()0f x '≤恒成立，进而分离参数将问题转化为函数的最值；再利用基本不等式得出12x x+≥，11012x x<≤+即可解答.（2）分0a ≤和102a <<两种情况讨论，在每一种情况中借助导数判断函数()f x 的单调性即可求解.【小问1详解】由()ln a x ax f x x =+-可得：函数定义域为()0,∞+，()2221a ax x aa x f x x x --'+=-=-.因为()f x 在定义域内是减函数，所以对于()0,x ∀∈+∞，()0f x '≤恒成立，即对于()0,x ∀∈+∞，20ax x a -+≥恒成立.则对()0,x ∀∈+∞，11a x x≥+恒成立.因为0x >，所以12x x +≥，当且仅当1x =时等号成立，则11012x x <≤+，所以12a ≥故a 的取值范围为1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.【小问2详解】因为()2221a ax x aa x f x x x--'+=-=-，()0,x ∈+∞，所以当0a ≤时，()0f x ¢>，则函数()ln ax ax f x x=+-在()0,∞+上单调递增，此时()f x 无极值点；当102a <<时，方程20ax x a -+=的判别式()()21412120a a a ∆=-=-+>，方程两根为111402a x a =>，211402a x a=>.令()0f x ¢>，解得11411422x aa-+<<；令()0f x '<，解得12x a <或12x a>，则函数()f x 在1140,2a ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭上单调递减，在114114,22a a ⎛⎫-+⎪ ⎪⎝⎭上单调递增，在114,2a ⎛⎫+∞⎪ ⎪⎝⎭上单调递减，所以函数()f x 的极小值点为1142a ，极大值点为1142a+.综上可得：当0a ≤时，()f x 无极值点；当102a <<时，函数()f x 的极小值点为1142a ，极大值点为1142a+.16.据新华社北京2月26日报道，中国航天全年预计实施100次左右发射任务，有望创造新的纪录，我国首个商业航天发射场将迎来首次发射任务，多个卫星星座将加速组网建设；中国航天科技集团有限公司计划安排近70次宇航发射任务，发射290余个航天器，实施一系列重大工程任务.由于航天行业拥有广阔的发展前景，有越来越多的公司开始从事航天研究，某航天公司研发了一种火箭推进器，为测试其性能，对推进器飞行距离与损坏零件数进行了统计，数据如下：飞行距离x （kkm ）5663717990102110117损坏零件数y （个）617390105119136149163参考数据：86x =，112y =，8182743iii x y==∑，82162680i i x ==∑（1）建立y 关于x 的回归模型ˆˆˆy bx a =+，根据所给数据及回归模型，求y 关于x 的回归方程（ˆb精确到0.1，ˆa精确到1）；（2）该公司进行了第二项测试，从所有同型号推进器中随机抽取100台进行等距离飞行测试，对其中60台进行飞行前保养，测试结束后，有20台报废，其中保养过的推进器占比30%，请根据统计数据完成2×2列联表，并根据小概率值0.01α=的独立性检验，能否认为推进器是否报废与保养有关？保养未保养合计报废20未报废合计60100附：回归方程ˆˆˆy bx a =+中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为()()()121ˆniii ni i x x y y bx x ==--=-∑∑，ˆˆa y bx=-，()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，n a b c d =+++；()20P K k ≥0.250.10.050.0250.010.0010k 1.3232.7063.8415.0246.63510.828【答案】（1） 1.626ˆyx =-（2）22⨯列联表见解析；是否报废与保养有关，理由见解析.【解析】【分析】（1）根据题意可求出ˆ 1.6b=，ˆ26a =-，从而可求解.（2）根据题意可将22⨯列联表补充完整，并求得29.375 6.635K =>，从而求解判断是否报废与是否保养有关.【小问1详解】由题意得()()()81182222118827438861121.662680886ˆ8niii ii i ni i ii x x y y x y xy bx x x x ====----⨯⨯===≈-⨯--∑∑∑∑，则112 1.686ˆ26a=-⨯≈-，所以 1.626ˆyx =-.【小问2详解】设零假设为0H ：是否报废与是否保养无关，由题意，报废推进器中保养过的共2030%6⨯=台，未保养的推进器共20614-=台，补充22⨯列联表如下：保养未保养合计报废61420未报废542680合计6040100则()()()()()()22210062614549.375 6.63520406080n ad bc K a b c d a c b d -⨯⨯-⨯===>++++⨯⨯⨯，根据小概率值0.01α=的独立性检验，我们推断0H 不成立，即认为是否报废与保养有关，此推断的错误概率不大于0.01.17.在三棱锥-P ABC 中，PB⊥平面ABC ，2AB BC BP ===，点E 在平面ABC 内，且满足平面PAE ⊥平面,PBE BA 垂直于BC ．（1）当ππ,83ABE ⎡⎤∠∈⎢⎥⎣⎦时，求点E 的轨迹长度；（2）当二面角E PA B --的余弦值为3时，求三棱锥E PCB -的体积．【答案】（1）5π12（2）23【解析】【分析】（1）先通过垂直关系得到AE BE ⊥，然后建立空间直角坐标系得到点E 的轨迹，根据角度求轨迹的长；（2）利用向量法求面面角，解方程求出点E 的坐标，进而利用体积公式求解即可.【小问1详解】作BH PE ⊥交PE 于H ，因为平面PAE ⊥平面PBE ，且平面PAE 平面PBE PE =，BH ⊂面PBE ，所以BH ⊥平面PAE ，又因为AE ⊂平面PAE ，所以BHAE ⊥，因为PB ⊥平面ABC ，且AE ⊂平面ABC ，所以PB AE ⊥，因为BHAE ⊥，PB AE ⊥，PB 、BH ⊂平面PBE ，PB BH B = ，所以⊥AE 平面PBE ，又因为BE ⊂平面PBE ，所以AE BE ⊥．分别以直线,,BA BC BP 为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，如图，则(0,0,0)B ，(0,0,2)P ，(0,2,0)C ，(2,0,0)A ，设(,,0)E x y ，因为AE BE ⊥，所以0AE BE ⋅=，又(2,,0)AE x y =- ，(,,0)BE x y =，所以(2)0x x y y -⋅+⋅=，即22(1)1x y -+=，设AB 中点为N ，则(1,0)N ，如图：又ππ,83ABE ⎡⎤∠∈⎢⎥⎣⎦，所以π2π,43ANE ⎡⎤∠∈⎢⎥⎣⎦，因此，E 的轨迹为圆弧QE ，其长度为2ππ5π13412⎛⎫-⨯= ⎪⎝⎭；【小问2详解】由（1）知，可设(,,0)E x y ，(2,0,2)PA =-，(2,,0)AE x y =- ，设平面PAE 的一个法向量为(,,)n a b c =，则00n PA n AE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，即()22020a c a x by -=⎧⎨-+=⎩，令a y =得(,2,)n y x y =- ．(0,2,0)BC =为平面PAB 的一个法向量，令二面角E PA B --为角θ，22||2|2|3cos 3||||2(2)2n BC n BC x y θ⋅==-+ ，又22(1)1x y -+=，解得2x =，0y =（舍去）或1x =，1y =±，则(1,1,0)E 或(1,1,0)E -，从而可得三棱锥E PCB -的体积11122213323E PCB PCB V S h -==⨯⨯⨯⨯=⋅△．18.在平面直角坐标系xOy 中，椭圆W ：()222210x y a b a b+=>>的离心率为e ，已知椭圆长轴长是短轴长的2倍，且椭圆W 过点()1,e ．（1）求椭圆W 的方程；（2）已知平行四边形ABCD 的四个顶点均在W 上，求平行四边形ABCD 的面积S 的最大值．【答案】（1）2214x y +=（2）4【解析】【分析】（1）根据题意可得2222111e a b b+==，从而求出2a =，即可求解.（2）分情况讨论直线AB 斜率存在与不存在的情况，然后与椭圆方程式联立，再结合韦达定理求出相应关系式，并利用基本不等式求出最值，从而可求解.【小问1详解】由题意知2222222222221111e c b c a b a a b a b b++=+===，解得1b =，由长轴长是短轴长的2倍，则2a =，所以椭圆W 的方程为2214x y +=.【小问2详解】当直线AB 斜率存在，这AB 的方程为1y kx m =+，()11,A x y ，()22,B x y 因为AB CD ，故可设CD 方程为2y kx m =+，由12214y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()22211148440k x km x m +++-=，则()2218210k m ∆=-+>，1122814km x x k +=-+，211224414m x x k-=+，所以AB =，同理CD =，因为AB CD =，所以2212m m =，因为12m m ≠，所以120m m +=，所以222112412·8414k m m S AB d k -++===≤=+，当且仅当221412k m +=时，平行四边形ABCD 取得最大值为4.当直线AB 的斜率不存在时，此时平行四边形ABCD 为矩形，设()11,A x y ，易得114S x y =，又因为22111114x y x y =+≥，所以4S ≤，当且仅当11x y =时取等.综上所述：平行四边形ABCD 的面积S 的最大值为4.【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为()()1122,,,x y x y ；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程，注意Δ的判断；（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为12x x +、12x x （或12y y +、12y y ）的形式；（5）代入韦达定理求解.19.对称变换在对称数学中具有重要的研究意义．若一个平面图形K 在m （旋转变换或反射变换）的作用下仍然与原图形重合，就称K 具有对称性，并记m 为K 的一个对称变换．例如，正三角形R 在1m （绕中心O 作120°的旋转）的作用下仍然与R 重合（如图1图2所示），所以1m 是R 的一个对称变换，考虑到变换前后R 的三个顶点间的对应关系，记1123312m ⎛⎫=⎪⎝⎭；又如，R 在1l （关于对称轴1r 所在直线的反射）的作用下仍然与R 重合（如图1图3所示），所以1l 也是R 的一个对称变换，类似地，记1123132l ⎛⎫= ⎪⎝⎭．记正三角形R 的所有对称变换构成集合S ．一个非空集合G 对于给定的代数运算.来说作成一个群，假如同时满足：I ．,a b G ∀∈，a b G ∈ ；II ．,,a b c G ∀∈，()()a b c a b c = ；Ⅲ．e G ∃∈，a G ∀∈，a e e a a == ；Ⅳ．a G ∀∈，1a G -∃∈，11a a a a e --== ．对于一个群G ，称Ⅲ中的e 为群G 的单位元，称Ⅳ中的1a -为a 在群G 中的逆元．一个群G 的一个非空子集H 叫做G 的一个子群，假如H 对于G 的代数运算来说作成一个群．（1）直接写出集合S （用符号语言表示S 中的元素）；（2）同一个对称变换的符号语言表达形式不唯一，如1123132213231312321312321132123231213m ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫====== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭．对于集合S 中的元素，定义一种新运算*，规则如下：123123123123123123*a a a b b b a a a b b b c c c c c c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，{}{}{}{}123123123,,,,,,1,2,3a a a b b b c c c ===．①证明集合S 对于给定的代数运算*来说作成一个群；②已知H 是群G 的一个子群，e ，e '分别是G ，H 的单位元，a H ∈，1a -，a '分别是a 在群G ，群H 中的逆元．猜想e ，e '之间的关系以及1a -，a '之间的关系，并给出证明；③写出群S 的所有子群．【答案】（1）答案见解析；（2）①证明见解析；②答案见解析，证明见解析；③证明见解析.【解析】【分析】（1）根据给定信息，按旋转变换、对称变换分别求出对应变换，再写出集合S .（2）①根据群的定义条件，逐一验证即得；②按照群定义Ⅲ、Ⅳ分别推理计算即得；③写出S 的所有子群即可.【小问1详解】依题意，正三角形R 的对称变换如下：绕中心O 作120︒的旋转变换1123312m ⎛⎫=⎪⎝⎭；绕中心O 作240︒的旋转变换2123231m ⎛⎫= ⎪⎝⎭；绕中心O 作360︒的旋转变换3123123m ⎛⎫=⎪⎝⎭；关于对称轴1r 所在直线的反射变换1123132l ⎛⎫= ⎪⎝⎭；关于对称轴2r 所在直线的反射变换2123321l ⎛⎫=⎪⎝⎭；关于对称轴3r 所在直线的反射变换3123213l ⎛⎫= ⎪⎝⎭，综上，123123123123123123,,,,,312231123132321213S ⎧⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⎨⎬⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎩⎭.（形式不唯一）【小问2详解】①Ⅰ.123123a a a b b b ⎛⎫∀⎪⎝⎭，123123b b b S c c c ⎛⎫∈⎪⎝⎭，123123123123123123*a a a b b b a a a S b b b c c c c c c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=∈ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；Ⅱ.123123a a a b b b ⎛⎫∀⎪⎝⎭，123123b b b c c c ⎛⎫⎪⎝⎭，123123c c c S d d d ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，123123123123123123a a a b b b c c c b b b c c c d d d ⎛⎫⎛⎫**⎪ ⎪⎡⎤⎛⎫⎢⎥⎪⎝⎭⎦⎝⎭⎝⎭⎣123123123123a a a c c c c c c d d d ⎪=*⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎝⎭⎝⎭123123123123123123123123,**a a a a a a b b b c c c d d d b b b c c c d d d ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⎢⎥ ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦123123123123123123*a a a b b b a a a b b b d d d d d d ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以123123123123123123**a a a b b b c c c b b b c c c d d d ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⎢⎥⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦123123123123123123**a a a b b b c c c b b b c c c d d d ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦；Ⅲ.123123123,123a a a S S b b b ⎛⎫⎛⎫∃∈∀∈ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭123123123123123123*a a a a a a a a a a a a b b b b b b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭123123123123*a a a b b b b b b b b b ⎛⎫⎛⎫=⎪⎪⎝⎭⎝⎭，而123123123123123123a a a b b b a a a b b b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以123123e ⎛⎫= ⎪⎝⎭；Ⅳ.123123123123,a a a b b b S S b b b a a a ⎛⎫⎛⎫∀∈∃∈⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，123123123123123123123123**a a a b b b b b b a a a e b b b a a a a a a b b b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭；综上可知，集合S 对于给定的新运算*来说能作成一个群.②e e '=，1a a -'=，证明如下：先证明e e '=：由于H 是G 的子群，取a H ∈，则a G ∈，1a G -∈，根据群的定义，有a e a = ，a e a '= ，所以a e a e '= ，所以()()11aa e a a e --=' ，即()()11a a e a a e --'= ，即e e e e '= ，所以e e '=.再证明1a a -'=：由于e e '=，1e a a -= ，e a a ''= ，所以1a a a a -'= ，所以()()111a a a a a a ---'= ，所以1a e a e -'= ，所以1a a -'=.③S 的所有子群如下：12123123123,,123123132H H ⎧⎫⎧⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⎨⎬⎨⎬ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎩⎭⎩⎭，3123123,123321H ⎧⎫⎛⎫⎛⎫=⎨⎬ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎩⎭，4123123,123213H ⎧⎫⎛⎫⎛⎫=⎨⎬ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎩⎭，5123123123,,312231123H ⎧⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⎨⎬ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎩⎭，6123123123123123123,,,,,312231123132321213H ⎧⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⎨⎬⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎩⎭【点睛】思路点睛：“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

北京师大附中2010届下学期高三年级第四次月考数学试卷（理科）本试卷分选择题、填空题和解答题三部分,共21个小题，考试时间120分钟，试卷满分150分.一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设全集U ＝R ，集合{|1}A x x =>-，{|2}B x x =>，则U A B = ð （ B ） A ．{|12}x x -≤< B ．{|12}x x -<≤ C ．{|1}x x <- D ．{|2}x x > 【解析】由已知，{}2U C B x x =≤，所以U A B = ð{|12}x x -<≤，故选B.2.已知命题p ：(,0),23x xx ∃∈-∞<；命题q ：(0,),tan sin 2x x x π∀∈>，则下列命题为真命题的是（ C ）A. p ∧qB. p ∨(﹁q)C. (﹁p)∧qD. p ∧(﹁q)【解析】因为当x ＜0时，2()13x >，即23x x>，所以命题p 为假，从而﹁p 为真.因为当(0,)2x π∈时，sin (1cos )tan sin 0cos x x x x x --=>，即tan sin x x >，所以命题q 为真.所以(﹁p)∧q 为真，故选C.3.已知向量a ，b ，则“a ＝λb ，λ∈R ”成立的必要不充分条件是（ D ） A. a ＋b ＝0 B. a 与b 方向相同 C. a ⊥b D. a ∥b 【解析】由a ＝λb ，λ∈R ⇒a ∥b ；反之，当b ＝0，a ≠0时，a ≠λb ，故选D.4.将函数sin 2y x =的图象向左平移4π个单位，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，则所得图象对应的函数解析式是（ B ）A.cos 4y x =B.cos y x =C.sin()4y x π=+ D.sin y x = 【解析】将函数sin 2y x =的图象向左平移4π个单位，得到函数sin 2()cos 24y x xπ=+=的图象，再将其周期扩大为原来的2倍，得到函数cos y x =的图象，故选B.5.南海舰队在某海岛修建一个军事设施，需要大量加入了抗腐蚀剂的特种混凝土预制件.该种混凝土预制件质量很受混凝土搅拌时间的影响，搅拌时间不同，混凝土预制件的强度也不同.根据生产经验，混凝土预制件的强度是搅拌时间的单峰函数.为了确定一个搅拌的标准时间，拟用分数法从12个试验点中找出最佳点，则需要做的试验次数至多是（ A ）A.5次B.6次C.7次D.8次【解析】因为6511213111F F +=-=-=-，由分数法的最优性原理知，至多做5次试验就能找到其中的最佳点，故选A.6.设数列{}n a 为等差数列，其前n 项和为n S ，已知14799a a a ++=，25893a a a ++=，若对任意n ∈N*，都有n k S S ≤成立，则k 的值为（ C ） A.22 B.21 C. 20 D.19【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ，由14799a a a ++=，得4399a =，即433a =. 由25893a a a ++=，得5393a =，即531a =.所以2d =-，4(4)241n a a n d n =+-=-+. 由0n a >，得20.5n <，所以n S 的最大值为20S ，所以k ＝20，故选C.7.已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且对任意x ∈R 有()(2)f x f x =-成立，则(2010)f 的值为（ A ）A.0B. 1C.－1D. 2 【解析】由已知，(0)0f =，从而(2)0f =.又(2)[2(2)]()()f x f x f x f x +=-+=-=-，则(4)(2)()f x f x f x +=-+=，所以()f x 是周期为4的周期函数，于是(2010)(2)0f f ==，故选A. 8.设()f x 与()g x 是定义在同一区间[a ，b ]上的两个函数，若对任意x ∈[a ，b ]，都有|()()|1f x g x -≤成立，则称()f x 和()g x 在[a ，b ]上是“密切函数”，区间[a ，b ]称为“密切区间”.若2()34f x x x =-+与()23g x x =-在[a ，b ]上是“密切函数”，则其“密切区间”可以是（ D ） A. [1，4] B. [2，4] C. [3，4] D. [2，3]【解析】因为22|()()||57|57f x g x x x x x -=-+=-+.由2571x x -+≤，得2560x x -+≤，解得23x ≤≤，故选D.二、填空题：本大题共7个小题，每小题5分，共35分，把答案填写在题中的横线上. 9.不等式lg(1)0x +≤的解集是 (－1，0] ．【解析】由lg(1)0x +≤，得01110x x <+≤⇒-<≤.10.计算：= －4 .【解析】原式sin122sin(1260)412sin12cos12cos 24sin 482-===- .11.已知点A(1，2)，直线113:24x tl y t =+⎧⎨=-⎩(t 为参数)与直线2:245l x y -=相交于点B ，则A 、B 两点之间的距离|AB|＝52.【解析】将13,24x t y t =+=-代入245x y -=，得12t =，所以|AB|＝5t ＝52.12.如图，A ，B 是两圆的交点，AC 是小圆的直径，D 和E 分别是CA 和CB 的延长线与大圆的交点，已知AC ＝4，BE ＝10，且BC ＝AD ，则AB ＝32.【解析】设BC x =，由割线定理，得CA ×CD ＝CB ×CE ，即4(4)(10)x x x +=+.解得2x =，因为AC 是小圆的直径，则AB ==DACBE13.随机抽查某中学高三年级100名学生的视力情况，得其频率分布直方图如下图所示.已知前4组的频数成等比数列，后6组的频数成等差数列，则视力在4.6到5.0之间的学生人数为 78 人.【解析】由直方图知，视力在4.3～4.4的频数为0.1×0.1×100＝1，视力在4.4～4.5的频数为 0.3×0.1×100＝3.因为前四组的频数成等比数列，则视力在4.6～4.7的频数为1×33＝27.因为后6组的频数成等差数列，设公差为d ，则65627872d ⨯⨯+=，解得5d =-.故视力在4.6～5.0之间的学生人数为65427(5)782⨯⨯+⨯-=(人).14.若函数2()2ln f x x x =-在其定义域内的一个子区间(1,1)k k -+内不是单调函数，则实数k 的取值范围是3[1,)2 .【解析】因为()f x 定义域为(0,)+∞，又1()4f x x x '=-，由()0f x '=，得12x =. 据题意，111210k k k ⎧-<<+⎪⎨⎪-≥⎩，解得31.2k ≤< 15.设a ，b ，λ都为正数，且a ≠b ，对于函数2(0)y x x =>图象上两点2(,)A a a2(,)B b b （1）若AC CB λ=uuu r uu r ，则点C 的坐标是22(,)11a b a b l l l l ++++；（2）过点C 作x 轴的垂线，交函数2(0)y x x =>的图象于D 点，由点C 在点D 的上方可得不等式：222()11a b a b l l l l ++>++.【解析】（1）设点(,)C x y ，因为点2(,)A a a ，2(,)B b b ，AC CB λ=uuu r uu r ，则22(,)(,)x a y a b x b y λ--=--，所以22,11a b a b x y l l l l ++==++.（2）因为点C 在点D 的上方，则C D y y >，所以222()11a b a b l l l l ++>++.三、解答题：本大题共6个小题,共75分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16.(本小题满分12分)设角A ，B ，C 为△ABC 的三个内角.2sin 22A B C ++=，求角A 的大小；（Ⅱ）设()sin 2sin2Af A A =+，求当A 为何值时，f (A)取极大值，并求其极大值.2sin 22A Aπ-+=2cos 22A A +=（2分）2cos )cos 22A A -+=cos 1)022A A-=. （4分）在△ABC 中，因为0A π<<，则022A π<<，所以cos 02A ≠，从而cos 2A =. （5分）而24C π=，即2C π=. （6分）（Ⅱ）因为2()cos cos 2cos cos 1(2cos 1)(cos 1)22222A A A A Af A A '=+=+-=-+（8分）因为0A π<<，则cos 102A +>.由()0f A '>，得1cos 22A >，所以023A π<<，即203A π<<. 所以当2(0,)3A π∈时，()f A 为增函数；当2(,)3A ππ∈时，()f A 为减函数. （10分）故当23A π=时，()f A 取极大值，且极大值为2()3f π= （12分）17.(本小题满分12分)甲、乙两名射击运动员进行射击选拔比赛，已知甲、乙两运动员射击的环数稳定在6，7，8，9，10环，其射击比赛成绩的分布列如下：9环）的概率；（Ⅱ）若从甲、乙两运动员中只能挑选一名参加某项国际比赛，你认为让谁参加比赛较合适？并说明理由.【解】（Ⅰ）记“甲运动员击中i 环”为事件i A ；“乙运动员击中i 环”为事件i B ；“甲、乙两运动员同时击中9环（含9环）”为事件C. （2分）因为910()()0.10.180.28P A P A +=+=，910()()0.280.170.45P B P B +=+=. （4分）所以126.045.028.0)(=⨯=C P .故甲、乙两运动员同时击中9环以上（含9环）的概率为0.126. （6分）（Ⅱ）由分布列可知，818.0101.0942.0814.0716.06=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=ξE .（7分）22222(68)0.16(78)0.14(88)0.42(98)0.1(108)0.18 1.6D ξ=-⨯+-⨯+-⨯+-⨯+-⨯= （8分）又817.01028.0912.0824.0719.06=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=ηE . （9分）22222(68)0.19(78)0.24(88)0.12(98)0.28(108)0.17 1.96D η=-⨯+-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=（10分）因为ηξE E =，ηξD D <，所以甲、乙两运动员射击成绩的均值相等，但甲射击成绩的稳定性比乙要好，故选派甲参加比赛较合适. （12分）18.(本小题满分12分)如图，四边形ABCD 是边长为2的正方形，△ABE 为等腰三角形，AE ＝BE ，平面ABCD ⊥平面ABE ，点F 在CE 上，且BF ⊥平面ACE. （Ⅰ）判断平面ADE 与平面BCE 是否垂直，并说明理由；（Ⅱ）求点D 到平面ACE 的距离.【解】（Ⅰ）因为BF ⊥平面ACE ，所以BF ⊥AE. （2分）因为平面ABCD ⊥平面ABE ，BC ⊥AB ，平面ABCD ∩平面ABE ＝AB ，所以BC ⊥平面ABE ，从而BC ⊥AE. （5分）于是AE ⊥平面BCE ，故平面ADE ⊥平面BCE. （6分）（Ⅱ）方法一：连结BD 交AC 与点M ，则点M 是BD 的中点，所以点D 与点B 到平面ACE 的距离相等.因为BF ⊥平面ACE ，所以BF 为点B 到平面ACE 的距离. （8分）因为AE ⊥平面BCE ，所以AE ⊥BE.又AE ＝BE ，所以△AEB 是等腰直角三角形.因为AB ＝2，所以BE＝2sin 45=o（9分）在Rt △CBE中，CE ==. （10分）所以BC BE BF CE ⨯===. 故点D 到平面ACE. （12分）方法二：过点E 作EG ⊥AB ，垂足为G ，因为平面ABCD ⊥平面ABE ，所以EG ⊥平面ABCD.因为AE ⊥平面BCE ，所以AE ⊥BE.又AE ＝BE ，所以△AEB 是等腰直角三角形，从而G 为AB 的中点.又AB ＝2，所以EG ＝１. （8分）因为AE ⊥平面BCE ，所以AE ⊥EC.又AE ＝BE＝2sin 45=oCE ==. （10分）设点D 到平面ACE 的距离为ｈ，因为ＶＤ－ACE ＝V E －ACD ，则1133ACE ACD S h S EG∆∆⋅=⋅.所以12132AD DC EGh AE EC ⋅⋅===⋅，故点D 到平面ACE.（12分）19.(本小题满分13分)如图，某化工集团在一条河流的上、下游分别建有甲、乙两家化工厂，其中甲厂每天向河道内排放污水2万m 3，每天流过甲厂的河水流量是500万m 3（含甲厂排放的污水）；乙厂每天向河道内排放污水1.4万m 3，每天流过乙厂的河水流量是700万m 3（含乙厂排放的污水）.由于两厂之间有一条支流的作用，使得甲厂排放的污水在流到乙厂时，有20%可自然净化.假设工厂排放的污水能迅ABCDEFABCD EFMG速与河水混合，且甲厂上游及支流均无污水排放. 根据环保部门的要求，整个河流中污水含量不能超过0.2%，为此，甲、乙两个工厂都必须各自处理一部分污水.（Ⅰ）设甲、乙两个化工厂每天各自处理的污水分别为x 、y 万m 3，试根据环保部门的要求写出x 、y所满足的所有条件；（Ⅱ）已知甲厂处理污水的成本是1200元/万m 3，乙厂处理污水的成本是1000元/万m 3，在满足环保部门要求的条件下，甲、乙两个化工厂每天应分别各自处理污水多少万m 3，才能使这两个工厂处理污水的总费用最小？最小总费用是多少元？【解】（Ⅰ）据题意，x 、y 所满足的所有条件是20.25001000.8(2)(1.4)0.2700100020 1.4x x y x y ?ïï£ïïïï-+-ïï£íïïï＃ïïïï＃ïïî，（4分）即458120 1.4x y x y ìï+?ïïï＃íïïï＃ïïî. （6分）（Ⅱ）设甲、乙两厂处理污水的总费用为z 元，则目标函数z ＝1200x ＋1000y ＝200(6x ＋5y).（7分）作可行域，如图. （10分）平移直线l ：6x ＋5y=0，当直线经过点A(1，0.8)时，z 取最大值，此时z ＝1200×1＋1000×0.8＝2000（元）. （12分）故甲、乙两厂每天应分别处理1万m 3、0.8万m 3污水，才能使两厂处理污水的总费用最小，且最小总费用是2000元. （13分）20.(本小题满分13分)设向量a ＝(x ＋1，y)，b ＝(x －1，y)，点P(x ，y)为动点，已知|a |＋|b |＝4. （Ⅰ）求点P 的轨迹方程；（Ⅱ）设点P 的轨迹与x 轴负半轴交于点A ，过点F(1，0)的直线交点P 的轨迹于B 、C 两点，试推断△ABC 的面积是否存在最大值？若存在，求其最大值；若不存在，请说明理由.4=（1分）所以动点P的轨迹M是以点(1,0),(1,0)E F-为焦点，长轴长为4的椭圆. （3分）因为1,2c a==，则2223b a c=-=. （4分）故动点P的轨迹M的方程是22143+=x y. （5分）（Ⅱ）设直线BC的方程为1=+x my，由221143=+⎧⎪⎨+=⎪⎩x myx y22(34)690⇒++-=m y my. （6分）设点1122(,),(,)B x yC x y，则122634+=-+my ym，122934=-+y ym. （7分）所以||BC===2212(1)34mm+==+. （8分）由题设，点A的坐标是(－2，0)，则点A到直线BC的距离=d（9分）所以1||2ABCS BC d∆=⋅=.t=，则21818(1)1313ABCtS tt tt∆==≥++. （10分）设1()3=+g t tt，则21()3g tt'=-.因为当1≥t时，()0g t'>，则函数1()3g t tt=+在[1,)+∞上是增函数. （11分）所以当1≥t时，()4g t≥，从而11()4g t<≤，所以92ABCS∆<≤. （12分）故△ABC的面积存在最大值，其最大值为92. （13分）21.(本小题满分13分)设数列{}na的前n项和为nS，已知122nn nS a+=-(n∈N*).（Ⅰ）求数列{}na的通项公式；（Ⅱ）设1log2nn anb+=，数列{}nb的前n项和为nB，若存在整数m，使对任意n∈N*且n≥2，都有320n nmB B->成立，求m的最大值；（Ⅲ）令11(1)log2nnn anc++=-，数列{}nc的前n项和为nT，求证：当n∈N*且n≥2时，247nT<<【解】（Ⅰ）由122nn nS a+=-，得1122nn nS a--=-(n≥2).两式相减，得1222nn n na a a-=--，即122nn na a--=(n≥2). （1分）于是11122n n n n a a ---=，所以数列{}2nna 是公差为1的等差数列. （2分）又21122S a =-，所以14a =. （3分）所以2(1)12nn a n n =+-=+，故(1)2n n a n =+⋅. （4分）（Ⅱ）因为21log 2log 2n n n a n b +==1n =，则3111123n n B B n n n -=+++++ . （5分）令111()123f n n n n =+++++ ，则 111111(1)233313233f n n n n n n n +=+++++++++++ .所以1111(1)()3132331f n f n n n n n +-=++-++++ 1121120313233333333n n n n n n =+->+-=++++++.即(1)()f n f n +>，所以数列{}()f n 为递增数列. （7分）所以当n ≥2时，()f n 的最小值为111119(2)345620f =+++=. 据题意，192020m <，即19m <.又m 为整数，故m 的最大值为18. （8分）（Ⅲ）因为11(1)n n c n +=-⋅，则当n ≥2时， 2111111234212n T n n=-+-++-- 111111(1)2()232242n n =++++-+++ 111122n n n =+++++ . （9分）据柯西不等式，有[]2111()(1)(2)2122n n n n n n n ++++++++>++ .于是2111122(1)(2)2n n n n n n n +++>+++++++ 231n n =+24173n =≥+. （11分）又据柯西不等式，有111122n n n +++<++<==.故247n T <<（13分）。