南京清江花苑严老师2016高考数学填空题补偿练5

补偿练5 平面向量与解三角形
(建议用时：40分钟)
1．若向量m ＝(1，2)，n ＝(x ，1)满足m ⊥n ，则|n|＝________． 解析 ∵m ⊥n ，∴m ·n ＝0， 即x ＋2＝0， ∴x ＝－2，
∴|n|＝（－2）2＋12＝ 5.
答案
5
2．在△ABC 中，∠A ＝60°，AB ＝2，且△ABC 的面积为32，则BC 的长为________．
解析 S ＝12×AB ·AC sin 60°＝12×2×32AC ＝3
2，所以AC ＝1，所以BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC cos 60°＝3，所以BC ＝ 3.
答案
3
3．已知向量a ＝(1，2)，b ＝(2，0)，c ＝(1，－2)，若向量λa ＋b 与c 共线，则实
数λ的值为________． 解析 由题知λa ＋b ＝(λ＋2，2λ)，又λa ＋b 与c 共线， ∴－2(λ＋2)－2λ＝0，∴λ＝－1.
答案 －1
4．在平面直角坐标系xOy 中，点A (1，3)，B (－2，k )，若向量OA
→⊥AB →，则实数k ＝________．
解析 因为A (1，3)，B (－2，k )，所以AB →＝(－3，k －3)，因为OA →⊥AB →，所
以－3＋3k －9＝0，解得k ＝4.
答案 4
5.如图所示的方格纸中有定点O ，P ，Q ，E ，F ，G ，H ，则OP →＋OQ →＝________．
解析 以F 为坐标原点，FP ，FG 所在直线为x ，y 轴建系，假设一个方格长为单位长，则F (0，0)，O (3，2)，P (5，0)，Q (4，6)，则OP
→＝(2，－2)，OQ →
＝(1，4)，所以OP →＋OQ →＝(3，2)，而恰好FO →＝(3，2)，故OP →＋OQ →＝FO →.
答案 FO
→
6．在不等边△ABC (三边均不相等)中，三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，
c ，且有cos A cos B ＝b
a ，则角C 的大小为________．
解析 依题意得a cos A ＝b cos B ，sin A cos A ＝sin B cos B ，sin 2A ＝sin 2B ，则2A ＝2B 或2A ＝π－2B ，即A ＝B 或A ＋B ＝π
2，又△ABC 是不等边三角形，因此A ＋B ＝π2，C ＝π
2.
答案 π
2
7．已知直角坐标系内的两个向量a ＝(1，3)，b ＝(m ，2m －3)，使平面内的任意
一个向量c 都可以唯一地表示成c ＝λa ＋μb ，则m 的取值范围是________．
解析 由题意可知向量a 与b 为基底，所以不共线，m 1≠2m －3
3，得m ≠－3.
答案 (－∞，－3)∪(－3，＋∞)
8.在边长为1的正方形ABCD 中，E ，F 分别为BC ，DC 的中点，则AE →·AF
→＝
________．
解析 因为AE →＝AB →＋12AD →，AF →＝AD →＋12
AB →，AD →·AB →＝0，所以AE →·AF
→＝(AB →＋
12AD →)·(AD →＋12AB →)＝12AB →2＋12AD →2
＝1.
答案 1
9．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，S 表示△ABC 的面积，
若a cos B ＋b cos A ＝c sin C ，S ＝1
4(b 2＋c 2－a 2)，则角B 等于________．
解析 由正弦定理得sin A cos B ＋sin B cos A ＝sin C sin C ，即sin(B ＋A )＝sin C sin C ，因为sin(B ＋A )＝sin C ，所以sin C ＝1，C ＝90°，根据三角形面积公式和余弦定理得，S ＝12bc sin A ，b 2＋c 2－a 2＝2bc cos A ，代入已知得12bc sin A ＝14·2bc cos A ，所以tan A ＝1，A ＝45°，因此B ＝45°.
答案 45°
10．在边长为1的正三角形ABC 中，BD →＝13
BA →，E 是CA 的中点，则CD →·BE
→等于________．
解析 建立如图所示的直角坐标系，则A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0， B ⎝ ⎛⎭⎪⎫
12，0，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32，
依题意设D (x 1，0)，E (x 2，y 2)，
∵BD →
＝13BA →，
∴⎝ ⎛
⎭⎪⎫x 1－12，0＝13(－1，0)，∴x 1＝16. ∵E 是CA 的中点，∴x 2＝－14，y 2＝34. ∴CD →·BE
→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫16，－32·⎝ ⎛⎭⎪⎫－34，34
＝16×⎝ ⎛⎭⎪⎫－34＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫
－32×34＝－12.
答案 －1
2
11．已知△ABC 的外接圆的圆心为O ，半径为1，若3OA
→＋4OB →＋5OC →＝0，则
△AOC 的面积为________． 解析 依题意得，(3OA →＋5OC →)2＝(－4OB →)2，9OA →2＋25OC →2＋30OA →·OC →＝
16OB
→2，即34＋30cos ∠AOC ＝16，cos ∠AOC ＝－35，sin ∠AOC ＝1－cos 2∠AOC ＝45，△AOC 的面积为12|OA →||OC →|sin ∠AOC ＝2
5.
答案 25
12．在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若△ABC 的面积
为S ，且2S ＝(a ＋b )2－c 2，则tan C 等于________．
解析 由2S ＝(a ＋b )2－c 2，得2S ＝a 2＋b 2＋2ab －c 2，即2×1
2ab sin C ＝a 2
＋b 2＋2ab －c 2，所以ab sin C －2ab ＝a 2＋b 2－c 2，又cos C ＝a 2＋b 2－c
22ab ＝
ab sin C －2ab 2ab ＝sin C 2－1，所以cos C ＋1＝sin C 2，即2cos 2C 2＝sin C
2cos
C 2，所以tan C 2＝2，所以tan C ＝2tan C
2
1－tan 2C 2＝2×21－22＝－4
3.
答案 －43
13．已知向量a 是与单位向量b 夹角为60°的任意向量，则对任意的正实数t ，|t a
－b |的最小值是________．
解析 ∵a 与b 的夹角为60°，且b 为单位向量，
∴a·b ＝|a |
2，|t a －b |＝（t a －b ）2＝ |a |2t 2
－|a |t ＋1＝|a |2⎝ ⎛
⎭
⎪⎫t －12|a |2＋34≥3
2.
答案 3
2
14．给出以下结论：
①在三角形ABC 中，若a ＝5，b ＝8，C ＝60°，则BC →·CA →
＝20； ②已知正方形ABCD 的边长为1，则|AB
→＋BC →＋AC →|＝22； ③已知AB
→＝a ＋5b ，BC →＝－2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )，则A ，B ，D 三点共线．
其中正确结论的序号为__________．
解析 对于①，BC →·CA →＝ab cos(π－C )＝－ab cos C ＝－20；对于②，|AB →＋BC →
＋AC
→|＝|2AC →|＝2|AC →|＝22；对于③，因为AB →＝a ＋5b ，BD →＝BC →＋CD →＝a ＋5b ，所以AB
→＝BD →，则A ，B ，D 三点共线．综上可得，②③正确．
答案 ②③。