二阶系统的时间响应及动态性能
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当ξ 固定，ωn 增加时，系统极点在 s 平面按图 3-15 中所示的射线轨迹（II）移动，对 应系统超调量σ ％不变；由于极点远离虚轴，ξω n 增加，调节时间 ts 减小。图 3-16(b)给出 了ξ =0.5( β = 60° )，ω n 变化时的系统单位阶跃响应过程。
一般实际系统中（如图 3-6 所示），T0 是系统的固定参数，不能随意改变，而开环增益 K 是各环节总的传递系数，可以调节。 K 增大时，系统极点在 s 平面按图 3-15 中所示的垂 直线（III）移动，阻尼比ξ 变小，超调量σ ％会增加。图 3-16(c)给出 T0 = 1， K 变化时系
性。
66
例 3-3 某系统闭环传递函数 Φ(s) =
16
，计算系统的动态性能指标。
s 2 + 10s + 16
解 Φ(s) =
16
=
16
=
ω
2 n
s 2 + 10s + 16 (s + 2)(s + 8) (s + 1 T1 )(s + 1 T2 )
T1
=
1 2
=
0.5
T2
=
1 8
=
0.125
T1 T2 = 0.5 0.125 = 4
实际上随阻尼比ξ 还有所变化。图 3-14 给出当T = 1 ωn 时，调节时间 ts 与阻尼比ξ 之间的
关 系 曲 线 。 可 看 出 ， 当 ξ = 0.707 （ β = 45° ） 时 ， ts ≈ 2T ， 实 际 调 节 时 间 最 短 ，
σ
0 0
=
4.32 00
≈
5％，超调量又不大，所以一般称 ξ
λ1 = λ2 = − ωn = − 1 T1
系统单位阶跃响应的拉氏变换
C(s)
=
Φ(s)R(s)
=
(s
ωn2 + ωn )2
1 s
67
其单位阶跃响应为
h(t) = 1 − (1 + ωnt)e−ωnt 临界阻尼二阶系统的调节时间 ts 可参照过阻尼二阶系统调节时间的方法计算，只是此时 T1 T2 = 1，调节时间
1− ξ 2ωnt
（3-11）
典型欠阻尼二阶系统的单位阶跃响应如图 3-11 所示。响应曲线位于两条包络 线
1 ± e−ξωnt 1 − ξ 2 之间，如图 3-12 所示。包络线收敛速率取决于ξω n（特征根实部之模），
响应的阻尼振荡频率取决于 1 − ξ 2ω n （特征根虚部）。响应的初始值 h(0) = 0 ，初始斜率 h′(0) = 0 ，终值 h(∞) = 1。
解 （1）当 K = 10 时，系统闭环传递函数
Φ(s)
=
G(s) 1+ G(s)
=
s2
100 + 10s + 100
与二阶系统传递函数标准形式比较，得
ωn = 100 = 10
ξ = 10 = 0.5 2 ×10
tp =
π= 1−ξ 2ωn
π
= 0.363
1 − 0.52 ×10
= e σ ％
−ξπ 1−ξ 2 = e −0.5π / 1−0.52 = 16.3 ％
=
0.707 为“最佳阻尼比”。
71
4．典型欠阻尼二阶系统动态性能、系统参数及极点分布之间的关系 根据式（3-13）、式（3-14）及式（3-8）、式（3-9），可以进一步讨论系统动态性能、系 统参数及闭环极点分布间的规律性。
当ωn 固定，ξ 增加（ β 减小）时，系统极点在 s 平面按图 3-15 中所示的圆弧轨迹（I） 移动，对应系统超调量σ ％减小；同时由于极点远离虚轴，ξω n 增加，调节时间 ts 减小。 图 3-16(a)给出ωn =1，ξ 改变时的系统单位阶跃响应过程。
ξ = 1 + (T1 T2 ) = 1.25 > 1 2 T1 T2
查图 3-7 可得 ts T1 = 3.3 ，计算得 ts = 3.3T1 = 3.3 × 0.5 = 1.65s 。图 3-8 给出了系统单
位阶跃响应曲线。
当阻尼比 ξ = 1时，系统处于临界阻尼状态，此时闭环极点是一对相等的实根，即
tp =
π 1−ξ 2ωn
（3-12）
z
超调量 σ
0 0
：将式（3-12）代入式（3-10）整理后可得
h(t p ) = 1 + e−ξπ 1−ξ 2
σ ％ = h(t p ) − h(∞) ×100 ％ = e−ξπ 1−ξ 2 ×100 ％
h(∞)
（3-13）
可见，典型欠阻尼二阶系统的超调量 σ
1．欠阻尼二阶系统极点的两种表示方法
欠阻尼二阶系统的极点可以用如图 3-10 所示的两种形式表示。 z 直角坐标表示
λ1,2 = σ ± jω d = −ξω n ± j 1 − ξ 2ω n
z “极”坐标表示
（3-8）
⎧ ⎨ ⎩
λ ∠λ
= ωn =β
⎧ cos β = ξ ⎩⎨sin β = 1 − ξ 2
（3-7）
当 T1 T2 （或ξ ）很大时，特征根
图 3-7 过阻尼二阶系统的调节时间特性
λ2 = −1 T2 比 λ1 = −1 T1 远离虚轴，模态 e−t T2
很快衰减为零，系统调节时间主要由 λ1 = −1 T1 对应的模态 e−t T1 决定。此时可将过阻尼二
阶系统近似看作由 λ1 确定的一阶系统，估算其动态性能指标。图 3-7 曲线体现了这一规律
（t ≥ 0）
过阻尼二阶系统单位阶跃响应是无振荡的
单调上升曲线。根据式（3-7），令T1 T2 取不同
值，可分别求解出相应的无量纲调节时间
ts T1 ，如图 3-7 所示。图中ξ 为参变量，由
s2
+
2ξω
n
s
+
ω
2 n
=
(s
+1
T1 )(s
+1
T2 )
可解出
ξ = 1 + (T1 T2 ) 2 T1 T2
3.3 二阶系统的时间响应及动态性能
3.3.1 二阶系统传递函数标准形式及分类
常见二阶系统结构图如图 3-６(a)所示，其中 K ，T0
为环节参数。系统闭环传递函数为
Φ(s) =
K
T0s2 + s + K
为分析方便起见，常将二阶系统结构图表示成如图 3-６ (b)所示的标准形式。系统闭环传递函数标准形式为
e−ξωnt sin 1 − ξ 2 ω nt e−ξωnt cos 1 − ξ 2 ω nt
65
ξ =0
零阻尼
λ1,2 = ± jω n
sin ω nt cosω nt
3.3.2 过阻尼二阶系统动态性能指标计算
设过阻尼二阶系统的极点为
( ) ( ) λ1
=
−1 T1
=
−ξ
−
ξ 2 −1 ωn
λ2
0 0
只与阻尼比 ξ
有关，两者的关系如图
3-13
所示。
70
z 调节时间 ts ：用定义求解欠阻尼二阶系统的调节时间比较麻烦，为简便计，通常按
阶跃响应的包络线进入 5％误差带的时间计算调节时间。令
1 + e−ξωnt −1 = e−ξωnt = 0.05
1−ξ 2
1−ξ 2
可解得
ts
=
ln 0.05 + 1 ln(1 − ξ 2 )
ts = 4.75T1
例 3-4 角度随动系统结构图如图 3-9 所示。图中， K 为开环增益， T = 0.1 s 为伺服 电动机时间常数。若要求系统的单位阶跃响应无超调，且调节时间 ts ≤ 1 s，问 K 应取多大？
解 根据题意，考虑使系统的调节时间尽量短，
应取阻尼比ξ = 1 。由图 3-9，令闭环特征方程
=− 1 T2
=−ξ
+
ξ 2 −1 ωn
(T1 > T2 )
系统单位阶跃响应的拉氏变换
C(s) = Φ (s)R(s) =
ω
2 n
1
(s + 1 T1 )(s + 1 T2 ) s
进行拉氏反变换，得出系统单位阶跃响应
−t
−t
h(t) = 1 + e T1 + e T2
T2 − 1 T1 − 1
T1
T2
系统的首 1 标准型传递函数常用于时域分析中，频域分析时则常用尾 1 标准型。
二阶系统闭环特征方程为
其特征根为
D(s)
=
s2
+
2ξω
n
s
+
ω
2 n
=
0
λ1,2 = −ξω n ± ω n ξ 2 − 1 若系统阻尼比ξ 取值范围不同，其特征根形式不同，响应特性也不同，由此可将二阶系统分
类，见表 3-3。
=
1−
e−ξωnt 1−ξ2
⎛ sin ⎜⎜⎝
系统单位脉冲响应为
1 − ξ 2ωnt + arctan
1−ξ ξ
2
⎞ ⎟⎟⎠
k
(t)
=
h′(t
)
=
[ L−1
Φ(s)
]
=
L−1
⎡ຫໍສະໝຸດ Baidu⎢ ⎢⎣
(s
+
1−ξ ξωn )2 +
2ωn (1 −
ξ
2
)ωn2
ωn
⎤ ⎥
1 − ξ 2 ⎥⎦
（3-10）
( ) = ωn e−ξωnt sin 1−ξ 2
例 3-6 系统结构图如图 3-19 所示。求开环增益 K 分别为 10，0.5，0.09 时系统的动态
性能指标。
解 当 K =10， K ＝0.5 时，系统为欠阻尼状态，当 K =0.09 时，系统为过阻尼状态，应按相应的公式计算系
Φ(s) =
ω
2 n
（首 1 型） （3-5）
s2
+
2ξω n s
+
ω
2 n
（a）
Φ(s)
=
T
2s2
1 + 2Tξs
+1
（尾 1 型）
（3-6）
（b） 图 3-6 常见二阶系统结构图
式中，T =
T0 K
， ωn
=
1 T
=
K ，ξ = 1
T0
2
1 KT0
ξ 、ω n 分别称为系统的阻尼比和无阻尼自然频率，是二阶系统重要的特征参数。二阶
图 3-11 典型欠阻尼二阶系统的单位阶跃响应
69
3．欠阻尼二阶系统动态性能指标计算
z 峰值时间 t p ：令 h′(t) = k(t) = 0 ，利用式（3-11）可得
( ) sin 1−ξ 2ωnt = 0
即有
1 − ξ 2ω nt = 0, π , 2π , 3π , L
由图 3-1，并根据峰值时间定义，可得
统单位阶跃响应的过程。 综合上述讨论：要获得满意的系统动态性能，应该适当选择参数，使二阶系统的闭环
极点位于 β = 45° 线附近，使系统具有合适的超调量，并根据情况尽量使其远离虚轴，以提
高系统的快速性。 掌握系统动态性能随参数及极点位置变化的规律性，对于分析和设计系统是十分重要
的。
72
图 3-16 (a)ω n = 1 ,ξ 改变时二阶系统阶跃响应
s2 + 1 s + K = (s + 1 )2 = s2 + 2 s + 1 = 0
TT
T1
T1
T12
比较系数得
⎩⎨⎧KT1
= =
2T = T T12
2 × 0.1 = 0.2 = 0.1 0.22 =
2.5
查图 3-7，可得系统调节时间 ts = 4.75T1 = 0.95 s，满足系统要求。
3.3.3 欠阻尼二阶系统动态性能指标计算
图 3-16 (b) ξ = 0.5 ,ω n 改变时二阶系统阶跃响应 图 3-16 (c) T = 1 ， K 改变时二阶系统阶跃响应
例 3-5 控制系统结构图如图 3-17 所示。
（1）当开环增益 K = 10 时，求系统的动态性能指标； （2）确定使系统阻尼比ξ = 0.707 的 K 值。
73
（3-9）
2．欠阻尼二阶系统的单位阶跃响应
由式（3-5），可得系统单位阶跃响应的拉氏变换为
C(s)
= Φ (s)R(s)
=
s2
+
ω
2 n
2ξωn s
+
ω
2 n
1 s
=
1 s
−
(s
s+ + ξω n )2
2ξω n + (1 − ξ
2
)ω
2 n
= 1−
s + ξωn
−ξ
1−ξ 2ωn
s (s + ξωn )2 + (1− ξ 2 )ωn2
表 3-3 二阶系统（按阻尼比ξ ）分类表
分类
特征根
ξ >1
过阻尼
ξ =1
临界阻尼
λ1,2 = −ξω n ± ω n ξ 2 − 1 λ1,2 = −ω n
特征根分布
模态
e λ1t e λ2t
e −ωnt te −ωnt
0 < ξ < 1 λ1,2 = −ξω n ± jω n 1 − ξ 2
欠阻尼
ts
=
3.5 ξω n
=
3.5 0.5 × 10
= 0.7
相应的单位阶跃响应如图 3-18 所示。
(2) Φ(s) =
10K
，与二阶系统传递
s 2 + 10s + 10K
函数标准形式比较，得
⎪⎧ω n = 10K
⎪⎩⎨ξ
=
2
10 10K
令ξ = 0.707 ，得 K = 100 × 2 = 5 4 ×10
1−ξ 2
(s
+
ξωn
)2
+
(1 −
ξ
2
)ω
2 n
系统单位阶跃响应为
( ) ( ) h(t) = 1− e−ξωnt cos
1−ξ 2ωnt −
ξ
e−ξωnt sin
1−ξ 2
1−ξ 2ωnt =
68
[ ( ) ( ) ] 1− e−ξωnt 1−ξ 2
1 − ξ 2 cos 1 − ξ 2 ωnt + ξ sin 1 − ξ 2 ωnt
−
2
ξω n
≈
3.5 ξω n
（ 0.3 < ξ < 0.8 ）
（3-14）
式（3-12）~式（3-14）给出了典型欠阻
尼二阶系统动态性能指标的计算公式。
可见，典型欠阻尼二阶系统超调量 σ
0 0
只取决于阻尼比 ξ
，而调节时间 ts
则与阻尼比 ξ
和自
然频率ω n 均有关。按式（3-14）计算得出的调节时间 ts 偏于保守。ξω n 一定时，调节时间 ts
一般实际系统中（如图 3-6 所示），T0 是系统的固定参数，不能随意改变，而开环增益 K 是各环节总的传递系数，可以调节。 K 增大时，系统极点在 s 平面按图 3-15 中所示的垂 直线（III）移动，阻尼比ξ 变小，超调量σ ％会增加。图 3-16(c)给出 T0 = 1， K 变化时系
性。
66
例 3-3 某系统闭环传递函数 Φ(s) =
16
，计算系统的动态性能指标。
s 2 + 10s + 16
解 Φ(s) =
16
=
16
=
ω
2 n
s 2 + 10s + 16 (s + 2)(s + 8) (s + 1 T1 )(s + 1 T2 )
T1
=
1 2
=
0.5
T2
=
1 8
=
0.125
T1 T2 = 0.5 0.125 = 4
实际上随阻尼比ξ 还有所变化。图 3-14 给出当T = 1 ωn 时，调节时间 ts 与阻尼比ξ 之间的
关 系 曲 线 。 可 看 出 ， 当 ξ = 0.707 （ β = 45° ） 时 ， ts ≈ 2T ， 实 际 调 节 时 间 最 短 ，
σ
0 0
=
4.32 00
≈
5％，超调量又不大，所以一般称 ξ
λ1 = λ2 = − ωn = − 1 T1
系统单位阶跃响应的拉氏变换
C(s)
=
Φ(s)R(s)
=
(s
ωn2 + ωn )2
1 s
67
其单位阶跃响应为
h(t) = 1 − (1 + ωnt)e−ωnt 临界阻尼二阶系统的调节时间 ts 可参照过阻尼二阶系统调节时间的方法计算，只是此时 T1 T2 = 1，调节时间
1− ξ 2ωnt
（3-11）
典型欠阻尼二阶系统的单位阶跃响应如图 3-11 所示。响应曲线位于两条包络 线
1 ± e−ξωnt 1 − ξ 2 之间，如图 3-12 所示。包络线收敛速率取决于ξω n（特征根实部之模），
响应的阻尼振荡频率取决于 1 − ξ 2ω n （特征根虚部）。响应的初始值 h(0) = 0 ，初始斜率 h′(0) = 0 ，终值 h(∞) = 1。
解 （1）当 K = 10 时，系统闭环传递函数
Φ(s)
=
G(s) 1+ G(s)
=
s2
100 + 10s + 100
与二阶系统传递函数标准形式比较，得
ωn = 100 = 10
ξ = 10 = 0.5 2 ×10
tp =
π= 1−ξ 2ωn
π
= 0.363
1 − 0.52 ×10
= e σ ％
−ξπ 1−ξ 2 = e −0.5π / 1−0.52 = 16.3 ％
=
0.707 为“最佳阻尼比”。
71
4．典型欠阻尼二阶系统动态性能、系统参数及极点分布之间的关系 根据式（3-13）、式（3-14）及式（3-8）、式（3-9），可以进一步讨论系统动态性能、系 统参数及闭环极点分布间的规律性。
当ωn 固定，ξ 增加（ β 减小）时，系统极点在 s 平面按图 3-15 中所示的圆弧轨迹（I） 移动，对应系统超调量σ ％减小；同时由于极点远离虚轴，ξω n 增加，调节时间 ts 减小。 图 3-16(a)给出ωn =1，ξ 改变时的系统单位阶跃响应过程。
ξ = 1 + (T1 T2 ) = 1.25 > 1 2 T1 T2
查图 3-7 可得 ts T1 = 3.3 ，计算得 ts = 3.3T1 = 3.3 × 0.5 = 1.65s 。图 3-8 给出了系统单
位阶跃响应曲线。
当阻尼比 ξ = 1时，系统处于临界阻尼状态，此时闭环极点是一对相等的实根，即
tp =
π 1−ξ 2ωn
（3-12）
z
超调量 σ
0 0
：将式（3-12）代入式（3-10）整理后可得
h(t p ) = 1 + e−ξπ 1−ξ 2
σ ％ = h(t p ) − h(∞) ×100 ％ = e−ξπ 1−ξ 2 ×100 ％
h(∞)
（3-13）
可见，典型欠阻尼二阶系统的超调量 σ
1．欠阻尼二阶系统极点的两种表示方法
欠阻尼二阶系统的极点可以用如图 3-10 所示的两种形式表示。 z 直角坐标表示
λ1,2 = σ ± jω d = −ξω n ± j 1 − ξ 2ω n
z “极”坐标表示
（3-8）
⎧ ⎨ ⎩
λ ∠λ
= ωn =β
⎧ cos β = ξ ⎩⎨sin β = 1 − ξ 2
（3-7）
当 T1 T2 （或ξ ）很大时，特征根
图 3-7 过阻尼二阶系统的调节时间特性
λ2 = −1 T2 比 λ1 = −1 T1 远离虚轴，模态 e−t T2
很快衰减为零，系统调节时间主要由 λ1 = −1 T1 对应的模态 e−t T1 决定。此时可将过阻尼二
阶系统近似看作由 λ1 确定的一阶系统，估算其动态性能指标。图 3-7 曲线体现了这一规律
（t ≥ 0）
过阻尼二阶系统单位阶跃响应是无振荡的
单调上升曲线。根据式（3-7），令T1 T2 取不同
值，可分别求解出相应的无量纲调节时间
ts T1 ，如图 3-7 所示。图中ξ 为参变量，由
s2
+
2ξω
n
s
+
ω
2 n
=
(s
+1
T1 )(s
+1
T2 )
可解出
ξ = 1 + (T1 T2 ) 2 T1 T2
3.3 二阶系统的时间响应及动态性能
3.3.1 二阶系统传递函数标准形式及分类
常见二阶系统结构图如图 3-６(a)所示，其中 K ，T0
为环节参数。系统闭环传递函数为
Φ(s) =
K
T0s2 + s + K
为分析方便起见，常将二阶系统结构图表示成如图 3-６ (b)所示的标准形式。系统闭环传递函数标准形式为
e−ξωnt sin 1 − ξ 2 ω nt e−ξωnt cos 1 − ξ 2 ω nt
65
ξ =0
零阻尼
λ1,2 = ± jω n
sin ω nt cosω nt
3.3.2 过阻尼二阶系统动态性能指标计算
设过阻尼二阶系统的极点为
( ) ( ) λ1
=
−1 T1
=
−ξ
−
ξ 2 −1 ωn
λ2
0 0
只与阻尼比 ξ
有关，两者的关系如图
3-13
所示。
70
z 调节时间 ts ：用定义求解欠阻尼二阶系统的调节时间比较麻烦，为简便计，通常按
阶跃响应的包络线进入 5％误差带的时间计算调节时间。令
1 + e−ξωnt −1 = e−ξωnt = 0.05
1−ξ 2
1−ξ 2
可解得
ts
=
ln 0.05 + 1 ln(1 − ξ 2 )
ts = 4.75T1
例 3-4 角度随动系统结构图如图 3-9 所示。图中， K 为开环增益， T = 0.1 s 为伺服 电动机时间常数。若要求系统的单位阶跃响应无超调，且调节时间 ts ≤ 1 s，问 K 应取多大？
解 根据题意，考虑使系统的调节时间尽量短，
应取阻尼比ξ = 1 。由图 3-9，令闭环特征方程
=− 1 T2
=−ξ
+
ξ 2 −1 ωn
(T1 > T2 )
系统单位阶跃响应的拉氏变换
C(s) = Φ (s)R(s) =
ω
2 n
1
(s + 1 T1 )(s + 1 T2 ) s
进行拉氏反变换，得出系统单位阶跃响应
−t
−t
h(t) = 1 + e T1 + e T2
T2 − 1 T1 − 1
T1
T2
系统的首 1 标准型传递函数常用于时域分析中，频域分析时则常用尾 1 标准型。
二阶系统闭环特征方程为
其特征根为
D(s)
=
s2
+
2ξω
n
s
+
ω
2 n
=
0
λ1,2 = −ξω n ± ω n ξ 2 − 1 若系统阻尼比ξ 取值范围不同，其特征根形式不同，响应特性也不同，由此可将二阶系统分
类，见表 3-3。
=
1−
e−ξωnt 1−ξ2
⎛ sin ⎜⎜⎝
系统单位脉冲响应为
1 − ξ 2ωnt + arctan
1−ξ ξ
2
⎞ ⎟⎟⎠
k
(t)
=
h′(t
)
=
[ L−1
Φ(s)
]
=
L−1
⎡ຫໍສະໝຸດ Baidu⎢ ⎢⎣
(s
+
1−ξ ξωn )2 +
2ωn (1 −
ξ
2
)ωn2
ωn
⎤ ⎥
1 − ξ 2 ⎥⎦
（3-10）
( ) = ωn e−ξωnt sin 1−ξ 2
例 3-6 系统结构图如图 3-19 所示。求开环增益 K 分别为 10，0.5，0.09 时系统的动态
性能指标。
解 当 K =10， K ＝0.5 时，系统为欠阻尼状态，当 K =0.09 时，系统为过阻尼状态，应按相应的公式计算系
Φ(s) =
ω
2 n
（首 1 型） （3-5）
s2
+
2ξω n s
+
ω
2 n
（a）
Φ(s)
=
T
2s2
1 + 2Tξs
+1
（尾 1 型）
（3-6）
（b） 图 3-6 常见二阶系统结构图
式中，T =
T0 K
， ωn
=
1 T
=
K ，ξ = 1
T0
2
1 KT0
ξ 、ω n 分别称为系统的阻尼比和无阻尼自然频率，是二阶系统重要的特征参数。二阶
图 3-11 典型欠阻尼二阶系统的单位阶跃响应
69
3．欠阻尼二阶系统动态性能指标计算
z 峰值时间 t p ：令 h′(t) = k(t) = 0 ，利用式（3-11）可得
( ) sin 1−ξ 2ωnt = 0
即有
1 − ξ 2ω nt = 0, π , 2π , 3π , L
由图 3-1，并根据峰值时间定义，可得
统单位阶跃响应的过程。 综合上述讨论：要获得满意的系统动态性能，应该适当选择参数，使二阶系统的闭环
极点位于 β = 45° 线附近，使系统具有合适的超调量，并根据情况尽量使其远离虚轴，以提
高系统的快速性。 掌握系统动态性能随参数及极点位置变化的规律性，对于分析和设计系统是十分重要
的。
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图 3-16 (a)ω n = 1 ,ξ 改变时二阶系统阶跃响应
s2 + 1 s + K = (s + 1 )2 = s2 + 2 s + 1 = 0
TT
T1
T1
T12
比较系数得
⎩⎨⎧KT1
= =
2T = T T12
2 × 0.1 = 0.2 = 0.1 0.22 =
2.5
查图 3-7，可得系统调节时间 ts = 4.75T1 = 0.95 s，满足系统要求。
3.3.3 欠阻尼二阶系统动态性能指标计算
图 3-16 (b) ξ = 0.5 ,ω n 改变时二阶系统阶跃响应 图 3-16 (c) T = 1 ， K 改变时二阶系统阶跃响应
例 3-5 控制系统结构图如图 3-17 所示。
（1）当开环增益 K = 10 时，求系统的动态性能指标； （2）确定使系统阻尼比ξ = 0.707 的 K 值。
73
（3-9）
2．欠阻尼二阶系统的单位阶跃响应
由式（3-5），可得系统单位阶跃响应的拉氏变换为
C(s)
= Φ (s)R(s)
=
s2
+
ω
2 n
2ξωn s
+
ω
2 n
1 s
=
1 s
−
(s
s+ + ξω n )2
2ξω n + (1 − ξ
2
)ω
2 n
= 1−
s + ξωn
−ξ
1−ξ 2ωn
s (s + ξωn )2 + (1− ξ 2 )ωn2
表 3-3 二阶系统（按阻尼比ξ ）分类表
分类
特征根
ξ >1
过阻尼
ξ =1
临界阻尼
λ1,2 = −ξω n ± ω n ξ 2 − 1 λ1,2 = −ω n
特征根分布
模态
e λ1t e λ2t
e −ωnt te −ωnt
0 < ξ < 1 λ1,2 = −ξω n ± jω n 1 − ξ 2
欠阻尼
ts
=
3.5 ξω n
=
3.5 0.5 × 10
= 0.7
相应的单位阶跃响应如图 3-18 所示。
(2) Φ(s) =
10K
，与二阶系统传递
s 2 + 10s + 10K
函数标准形式比较，得
⎪⎧ω n = 10K
⎪⎩⎨ξ
=
2
10 10K
令ξ = 0.707 ，得 K = 100 × 2 = 5 4 ×10
1−ξ 2
(s
+
ξωn
)2
+
(1 −
ξ
2
)ω
2 n
系统单位阶跃响应为
( ) ( ) h(t) = 1− e−ξωnt cos
1−ξ 2ωnt −
ξ
e−ξωnt sin
1−ξ 2
1−ξ 2ωnt =
68
[ ( ) ( ) ] 1− e−ξωnt 1−ξ 2
1 − ξ 2 cos 1 − ξ 2 ωnt + ξ sin 1 − ξ 2 ωnt
−
2
ξω n
≈
3.5 ξω n
（ 0.3 < ξ < 0.8 ）
（3-14）
式（3-12）~式（3-14）给出了典型欠阻
尼二阶系统动态性能指标的计算公式。
可见，典型欠阻尼二阶系统超调量 σ
0 0
只取决于阻尼比 ξ
，而调节时间 ts
则与阻尼比 ξ
和自
然频率ω n 均有关。按式（3-14）计算得出的调节时间 ts 偏于保守。ξω n 一定时，调节时间 ts