二阶系统的时间响应及动态性能

当ξ 固定，ωn 增加时，系统极点在 s 平面按图 3-15 中所示的射线轨迹（II）移动，对 应系统超调量σ ％不变；由于极点远离虚轴，ξω n 增加，调节时间 ts 减小。图 3-16(b)给出 了ξ =0.5( β = 60° )，ω n 变化时的系统单位阶跃响应过程。
一般实际系统中（如图 3-6 所示），T0 是系统的固定参数，不能随意改变，而开环增益 K 是各环节总的传递系数，可以调节。 K 增大时，系统极点在 s 平面按图 3-15 中所示的垂 直线（III）移动，阻尼比ξ 变小，超调量σ ％会增加。图 3-16(c)给出 T0 = 1， K 变化时系

性。

66

例 3-3 某系统闭环传递函数 Φ(s) =

16

，计算系统的动态性能指标。

s 2 + 10s + 16

解 Φ(s) =

16

=

16

=

ω

2 n

s 2 + 10s + 16 (s + 2)(s + 8) (s + 1 T1 )(s + 1 T2 )

T1

=

1 2

=

0.5

T2

=

1 8

=

0.125

T1 T2 = 0.5 0.125 = 4

实际上随阻尼比ξ 还有所变化。图 3-14 给出当T = 1 ωn 时，调节时间 ts 与阻尼比ξ 之间的

关 系 曲 线 。 可 看 出 ， 当 ξ = 0.707 （ β = 45° ） 时 ， ts ≈ 2T ， 实 际 调 节 时 间 最 短 ，

σ

0 0

=

4.32 00

≈

5％，超调量又不大，所以一般称 ξ
λ1 = λ2 = − ωn = − 1 T1
系统单位阶跃响应的拉氏变换

C(s)

=

Φ(s)R(s)

=

(s

ωn2 + ωn )2

1 s

67

其单位阶跃响应为
h(t) = 1 − (1 + ωnt)e−ωnt 临界阻尼二阶系统的调节时间 ts 可参照过阻尼二阶系统调节时间的方法计算，只是此时 T1 T2 = 1，调节时间

1− ξ 2ωnt

（3-11）

典型欠阻尼二阶系统的单位阶跃响应如图 3-11 所示。响应曲线位于两条包络 线
1 ± e−ξωnt 1 − ξ 2 之间，如图 3-12 所示。包络线收敛速率取决于ξω n（特征根实部之模），
响应的阻尼振荡频率取决于 1 − ξ 2ω n （特征根虚部）。响应的初始值 h(0) = 0 ，初始斜率 h′(0) = 0 ，终值 h(∞) = 1。

解 （1）当 K = 10 时，系统闭环传递函数

Φ(s)

=

G(s) 1+ G(s)

=

s2

100 + 10s + 100

与二阶系统传递函数标准形式比较，得

ωn = 100 = 10

ξ = 10 = 0.5 2 ×10

tp =

π= 1−ξ 2ωn

π

= 0.363

1 − 0.52 ×10

= e σ ％

−ξπ 1−ξ 2 = e −0.5π / 1−0.52 = 16.3 ％

=

0.707 为“最佳阻尼比”。

71

4．典型欠阻尼二阶系统动态性能、系统参数及极点分布之间的关系 根据式（3-13）、式（3-14）及式（3-8）、式（3-9），可以进一步讨论系统动态性能、系 统参数及闭环极点分布间的规律性。
当ωn 固定，ξ 增加（ β 减小）时，系统极点在 s 平面按图 3-15 中所示的圆弧轨迹（I） 移动，对应系统超调量σ ％减小；同时由于极点远离虚轴，ξω n 增加，调节时间 ts 减小。 图 3-16(a)给出ωn =1，ξ 改变时的系统单位阶跃响应过程。

ξ = 1 + (T1 T2 ) = 1.25 > 1 2 T1 T2

查图 3-7 可得 ts T1 = 3.3 ，计算得 ts = 3.3T1 = 3.3 × 0.5 = 1.65s 。图 3-8 给出了系统单
位阶跃响应曲线。

当阻尼比 ξ = 1时，系统处于临界阻尼状态，此时闭环极点是一对相等的实根，即

tp =

π 1−ξ 2ωn

（3-12）

z

超调量 σ

0 0

：将式（3-12）代入式（3-10）整理后可得

h(t p ) = 1 + e−ξπ 1−ξ 2

σ ％ = h(t p ) − h(∞) ×100 ％ = e−ξπ 1−ξ 2 ×100 ％
h(∞)

（3-13）

可见，典型欠阻尼二阶系统的超调量 σ

1．欠阻尼二阶系统极点的两种表示方法

欠阻尼二阶系统的极点可以用如图 3-10 所示的两种形式表示。 z 直角坐标表示

λ1,2 = σ ± jω d = −ξω n ± j 1 − ξ 2ω n
z “极”坐标表示

（3-8）

⎧ ⎨ ⎩

λ ∠λ

= ωn =β

⎧ cos β = ξ ⎩⎨sin β = 1 − ξ 2

（3-7）

当 T1 T2 （或ξ ）很大时，特征根

图 3-7 过阻尼二阶系统的调节时间特性

λ2 = −1 T2 比 λ1 = −1 T1 远离虚轴，模态 e−t T2

很快衰减为零，系统调节时间主要由 λ1 = −1 T1 对应的模态 e−t T1 决定。此时可将过阻尼二

阶系统近似看作由 λ1 确定的一阶系统，估算其动态性能指标。图 3-7 曲线体现了这一规律

（t ≥ 0）

过阻尼二阶系统单位阶跃响应是无振荡的

单调上升曲线。根据式（3-7），令T1 T2 取不同
值，可分别求解出相应的无量纲调节时间

ts T1 ，如图 3-7 所示。图中ξ 为参变量，由

s2

+

2ξω

n

s

+

ω

2 n

=

(s

+1

T1 )(s

+1

T2 )

可解出

ξ = 1 + (T1 T2 ) 2 T1 T2
3.3 二阶系统的时间响应及动态性能

3.3.1 二阶系统传递函数标准形式及分类

常见二阶系统结构图如图 3-６(a)所示，其中 K ，T0
为环节参数。系统闭环传递函数为

Φ(s) =

K

T0s2 + s + K

为分析方便起见，常将二阶系统结构图表示成如图 3-６ (b)所示的标准形式。系统闭环传递函数标准形式为

e−ξωnt sin 1 − ξ 2 ω nt e−ξωnt cos 1 − ξ 2 ω nt

65

ξ =0
零阻尼

λ1,2 = ± jω n

sin ω nt cosω nt

3.3.2 过阻尼二阶系统动态性能指标计算

设过阻尼二阶系统的极点为

( ) ( ) λ1

=

−1 T1

=

−ξ

−

ξ 2 −1 ωn

λ2

0 0

只与阻尼比 ξ

有关，两者的关系如图

3-13

所示。

70

z 调节时间 ts ：用定义求解欠阻尼二阶系统的调节时间比较麻烦，为简便计，通常按
阶跃响应的包络线进入 5％误差带的时间计算调节时间。令

1 + e−ξωnt −1 = e−ξωnt = 0.05

1−ξ 2

1−ξ 2

可解得

ts

=

ln 0.05 + 1 ln(1 − ξ 2 )
ts = 4.75T1

例 3-4 角度随动系统结构图如图 3-9 所示。图中， K 为开环增益， T = 0.1 s 为伺服 电动机时间常数。若要求系统的单位阶跃响应无超调，且调节时间 ts ≤ 1 s，问 K 应取多大？
解 根据题意，考虑使系统的调节时间尽量短，

应取阻尼比ξ = 1 。由图 3-9，令闭环特征方程

=− 1 T2

=−ξ

+

ξ 2 −1 ωn

(T1 > T2 )

系统单位阶跃响应的拉氏变换

C(s) = Φ (s)R(s) =

ω

2 n

1

(s + 1 T1 )(s + 1 T2 ) s

进行拉氏反变换，得出系统单位阶跃响应

−t

−t

h(t) = 1 + e T1 + e T2

T2 − 1 T1 − 1

T1

T2
系统的首 1 标准型传递函数常用于时域分析中，频域分析时则常用尾 1 标准型。

二阶系统闭环特征方程为

其特征根为

D(s)

=

s2

+

2ξω

n

s

+

ω

2 n

=

0

λ1,2 = −ξω n ± ω n ξ 2 − 1 若系统阻尼比ξ 取值范围不同，其特征根形式不同，响应特性也不同，由此可将二阶系统分

类，见表 3-3。

=

1−

e−ξωnt 1−ξ2

⎛ sin ⎜⎜⎝

系统单位脉冲响应为

1 − ξ 2ωnt + arctan

1−ξ ξ

2

⎞ ⎟⎟⎠

k

(t)

=

h′(t

)

=

[ L−1

Φ(s)

]

=

L−1

⎡ຫໍສະໝຸດ Baidu⎢ ⎢⎣

(s

+

1−ξ ξωn )2 +

2ωn (1 −

ξ

2

)ωn2

ωn

⎤ ⎥

1 − ξ 2 ⎥⎦

（3-10）

( ) = ωn e−ξωnt sin 1−ξ 2

例 3-6 系统结构图如图 3-19 所示。求开环增益 K 分别为 10，0.5，0.09 时系统的动态
性能指标。
解 当 K =10， K ＝0.5 时，系统为欠阻尼状态，当 K =0.09 时，系统为过阻尼状态，应按相应的公式计算系

Φ(s) =

ω

2 n

（首 1 型） （3-5）

s2

+

2ξω n s

+

ω

2 n

（a）

Φ(s)

=

T

2s2

1 + 2Tξs

+1

（尾 1 型）

（3-6）

（b） 图 3-6 常见二阶系统结构图

式中，T =

T0 K

， ωn

=

1 T

=

K ，ξ = 1

T0

2

1 KT0

ξ 、ω n 分别称为系统的阻尼比和无阻尼自然频率，是二阶系统重要的特征参数。二阶

图 3-11 典型欠阻尼二阶系统的单位阶跃响应

69

3．欠阻尼二阶系统动态性能指标计算
z 峰值时间 t p ：令 h′(t) = k(t) = 0 ，利用式（3-11）可得
( ) sin 1−ξ 2ωnt = 0

即有

1 − ξ 2ω nt = 0, π , 2π , 3π , L

由图 3-1，并根据峰值时间定义，可得
统单位阶跃响应的过程。 综合上述讨论：要获得满意的系统动态性能，应该适当选择参数，使二阶系统的闭环
极点位于 β = 45° 线附近，使系统具有合适的超调量，并根据情况尽量使其远离虚轴，以提
高系统的快速性。 掌握系统动态性能随参数及极点位置变化的规律性，对于分析和设计系统是十分重要
的。
72

图 3-16 (a)ω n = 1 ,ξ 改变时二阶系统阶跃响应

s2 + 1 s + K = (s + 1 )2 = s2 + 2 s + 1 = 0

TT

T1

T1

T12

比较系数得

⎩⎨⎧KT1

= =

2T = T T12

2 × 0.1 = 0.2 = 0.1 0.22 =

2.5

查图 3-7，可得系统调节时间 ts = 4.75T1 = 0.95 s，满足系统要求。

3.3.3 欠阻尼二阶系统动态性能指标计算
图 3-16 (b) ξ = 0.5 ,ω n 改变时二阶系统阶跃响应 图 3-16 (c) T = 1 ， K 改变时二阶系统阶跃响应
例 3-5 控制系统结构图如图 3-17 所示。
（1）当开环增益 K = 10 时，求系统的动态性能指标； （2）确定使系统阻尼比ξ = 0.707 的 K 值。
73

（3-9）

2．欠阻尼二阶系统的单位阶跃响应

由式（3-5），可得系统单位阶跃响应的拉氏变换为

C(s)

= Φ (s)R(s)

=

s2

+

ω

2 n

2ξωn s

+

ω

2 n

1 s

=

1 s

−

(s

s+ + ξω n )2

2ξω n + (1 − ξ

2

)ω

2 n

= 1−

s + ξωn

−ξ

1−ξ 2ωn

s (s + ξωn )2 + (1− ξ 2 )ωn2

表 3-3 二阶系统（按阻尼比ξ ）分类表

分类

特征根

ξ >1
过阻尼
ξ =1
临界阻尼

λ1,2 = −ξω n ± ω n ξ 2 − 1 λ1,2 = −ω n

特征根分布

模态
e λ1t e λ2t
e −ωnt te −ωnt

0 < ξ < 1 λ1,2 = −ξω n ± jω n 1 − ξ 2
欠阻尼

ts

=

3.5 ξω n

=

3.5 0.5 × 10

= 0.7

相应的单位阶跃响应如图 3-18 所示。

(2) Φ(s) =

10K

，与二阶系统传递

s 2 + 10s + 10K

函数标准形式比较，得

⎪⎧ω n = 10K

⎪⎩⎨ξ

=

2

10 10K

令ξ = 0.707 ，得 K = 100 × 2 = 5 4 ×10

1−ξ 2

(s

+

ξωn

)2

+

(1 −

ξ

2

)ω

2 n

系统单位阶跃响应为

( ) ( ) h(t) = 1− e−ξωnt cos

1−ξ 2ωnt −

ξ

e−ξωnt sin

1−ξ 2

1−ξ 2ωnt =

68

[ ( ) ( ) ] 1− e−ξωnt 1−ξ 2

1 − ξ 2 cos 1 − ξ 2 ωnt + ξ sin 1 − ξ 2 ωnt

−

2

ξω n

≈

3.5 ξω n

（ 0.3 < ξ < 0.8 ）

（3-14）

式（3-12）~式（3-14）给出了典型欠阻

尼二阶系统动态性能指标的计算公式。

可见，典型欠阻尼二阶系统超调量 σ

0 0

只取决于阻尼比 ξ

，而调节时间 ts

则与阻尼比 ξ

和自

然频率ω n 均有关。按式（3-14）计算得出的调节时间 ts 偏于保守。ξω n 一定时，调节时间 ts