二阶系统的时间响应及动态性能

（3-7）
当 T1 T2 （或ξ ）很大时，特征根
图 3-7 过阻尼二阶系统的调节时间特性
λ2 = −1 T2 比 λ1 = −1 T1 远离虚轴，模态 e−t T2
很快衰减为零，系统调节时间主要由 λ1 = −1 T1 对应的模态 e−t T1 决定。此时可将过阻尼二
阶系统近似看作由 λ1 确定的一阶系统，估算其动态性能指标。图 3-7 曲线体现了这一规律
例 3-6 系统结构图如图 3-19 所示。求开环增益 K 分别为 10，0.5，0.09 时系统的动态
性能指标。
解 当 K =10， K ＝0.5 时，系统为欠阻尼状态，当 K =0.09 时，系统为过阻尼状态，应按相应的公式计算系
3.3 二阶系统的时间响应及动态性能
3.3.1 二阶系统传递函数标准形式及分类
常见二阶系统结构图如图 3-６(a)所示，其中 K ，T0
为环节参数。系统闭环传递函数为
Φ(s) =
K
T0s2 + s + K
为分析方便起见，常将二阶系统结构图表示成如图 3-６ (b)所示的标准形式。系统闭环传递函数标准形式为
λ1 = λ2 = − ωn = − 1 T1
系统单位阶跃响应的拉氏变换
C(s)
=
Φ(s)R(s)
=
(s
ωn2 + ωn )2
1 s
67
其单位阶跃响应为
h(t) = 1 − (1 + ωnt)e−ωnt 临界阻尼二阶系统的调节时间 ts 可参照过阻尼二阶系统调节时间的方法计算，只是此时 T1 T2 = 1，调节时间
−
2
ξω n
≈
3.5 ξω n
（ 0.3 < ξ < 0.8 ）
（3-14）
式（3-12）~式（3-14）给出了典型欠阻
尼二阶系统动态性能指标的计算公式。
可见，典型欠阻尼二阶系统超调量 σ
0 0
只取决于阻尼比 ξ
，而调节时间 ts
则与阻尼比 ξ
和自
然频率ω n 均有关。按式（3-14）计算得出的调节时间 ts 偏于保守。ξω n 一定时，调节时间 ts
统单位阶跃响应的过程。 综合上述讨论：要获得满意的系统动态性能，应该适当选择参数，使二阶系统的闭环
极点位于 β = 45° 线附近，使系统具有合适的超调量，并根据情况尽量使其远离虚轴，以提
高系统的快速性。 掌握系统动态性能随参数及极点位置变化的规律性，对于分析和设计系统是十分重要
的。
72
图 3-16 (a)ω n = 1 ,ξ 改变时二阶系统阶跃响应
解 （1）当 K = 10 时，系统闭环传递函数
Φ(s)
=
G(s) 1+ G(s)
=
s2
100 + 10s + 100
与二阶系统传递函数标准形式比较，得
ωn = 100 = 10
ξ = 10 = 0.5 2 ×10
tp =
π= 1−ξ 2ωn
π
= 0.363
1 − 0.52 ×10
= e σ ％
−ξπ 1−ξ 2 = e −0.5π / 1−0.52 = 16.3 ％
图 3-16 (b) ξ = 0.5 ,ω n 改变时二阶系统阶跃响应 图 3-16 (c) T = 1 ， K 改变时二阶系统阶跃响应
例 3-5 控制系统结构图如图 3-17 所示。
（1）当开环增益 K = 10 时，求系统的动态性能指标； （2）确定使系统阻尼比ξ = 0.707 的 K 值。
73
实际上随阻尼比ξ 还有所变化。图 3-14 给出当T = 1 ωn 时，调节时间 ts 与阻尼比ξ 之间的
关 系 曲 线 。 可 看 出 ， 当 ξ = 0.707 （ β = 45° ） 时 ， ts ≈ 2T ， 实 际 调 节 时 间 最 短 ，
σ
0 0
=
4.32 00
≈
5％，超调量又不大，所以一般称 ξ
图 3-11 典型欠阻尼二阶系统的单位阶跃响应
69
3．欠阻尼二阶系统动态性能指标计算
z 峰值时间 t p ：令 h′(t) = k(t) = 0 ，利用式（3-11）可得
( ) sin 1−ξ 2ωnt = 0
即有
1 − ξ 2ω nt = 0, π , 2π , 3π , L
由图 3-1，并根据峰值时间定义，可得
0 0
只与阻尼比 ξ
有关，两者的关系如图
3-13
所示。
70
z 调节时间 ts ：用定义求解欠阻尼二阶系统的调节时间比较麻烦，为简便计，通常按
阶跃响应的包络线进入 5％误差带的时间计算调节时间。令
1 + e−ξωnt −1 = e−ξωnt = 0.05
1−ξ 2
1−ξ 2
可解得
ts
=
ln 0.05 + 1 ln(1 − ξ 2 )
tp =
π 1−ξ 2ωn
（3-12）
z
超调量 σ
0 0
：将式（3-12）代入式（3-10）整理后可得
h(t p ) = 1 + e−ξπ 1−ξ 2
σ ％ = h(t p ) − h(∞) ×100 ％ = e−ξπ 1−ξ 2 ×100 ％
h(∞)
（3-13）
可见，典型欠阻尼二阶系统的超调量 σ
当ξ 固定，ωn 增加时，系统极点在 s 平面按图 3-15 中所示的射线轨迹（II）移动，对 应系统超调量σ ％不变；由于极点远离虚轴，ξω n 增加，调节时间 ts 减小。图 3-16(b)给出 了ξ =0.5( β = 60° )，ω n 变化时的系统单位阶跃响应过程。
一般实际系统中（如图 3-6 所示），T0 是系统的固定参数，不能随意改变，而开环增益 K 是各环节总的传递系数，可以调节。 K 增大时，系统极点在 s 平面按图 3-15 中所示的垂 直线（III）移动，阻尼比ξ 变小，超调量σ ％会增加。图 3-16(c)给出 T0 = 1， K 变化时系
（3-9）
2．欠阻尼二阶系统的单位阶跃响应
由式（3-5），可得系统单位阶跃响应的拉氏变换为
C(s)
= Φ (s)R(s)
=
s2
+
ω
2 n
2ξωn s
+
ω
2 n
1 s
=
1 s
−
(s
s+ + ξω n )2
2ξω n + (1 − ξ
2
)ω
2 n
= 1−
s + ξωn
−ξ
1−ξ 2ωn
s (s + ξωn )2 + (1− ξ 2 )ωn2
ts = 4.75T1
例 3-4 角度随动系统结构图如图 3-9 所示。图中， K 为开环增益， T = 0.1 s 为伺服 电动机时间常数。若要求系统的单位阶跃响应无超调，且调节时间 ts ≤ 1 s，问 K 应取多大？
解 根据题意，考虑使系统的调节时间尽量短，
应取阻尼比ξ = 1 。由图 3-9，令闭环特征方程
=− 1 T2
=−ξ
+
ξ 2 −1 ωn
(T1 > T2 )
系统单位阶跃响应的拉氏变换
C(s) = Φ (s)R(s) =
ω
2 n
1
(s + 1 T1 )(s + 1 T2 ) s
进行拉氏反变换，得出系统单位阶跃响应
−t
−t
h(t) = 1 + e T1 + e T2
T2 − 1 T1 − 1
T1
T2
系统的首 1 标准型传递函数常用于时域分析中，频域分析时则常用尾 1 标准型。
二阶系统闭环特征方程为
其特征根为
D(s)
=
s2
+
2ξω
n
s
+
ω
2 n
=
0
λ1,2 = −ξω n ± ω n ξ 2 − 1 若系统阻尼比ξ 取值范围不同，其特征根形式不同，响应特性也不同，由此可将二阶系统分
类，见表 3-3。
ts
=
3.5 ξω n
=
3.5 0.5 × 10
= 0.7
相应的单位阶跃响应如图 3-18 所示。
(2) Φ(s) =
10K
，与二阶系统传递
s 2 + 10s + 10K
函数标准形式比较，得
⎪⎧ω n = 10K
⎪⎩⎨ξ
=
2
10 10K
令ξ = 0.707 ，得 K = 100 × 2 = 5 4 ×10
1−ξ 2
(s
+
ξωn
)2
+
(1 −
ξ
2
)ω
2 n
系统单位阶跃响应为
( ) ( ) h(t) = 1− e−ξωnt cos
1−ξ 2ωnt −
ξ
e−ξωnt sin
1−ξ 2
1−ξ 2ωnt =
68
[ ( ) ( ) ] 1− e−ξωnt 1−ξ 2
1 − ξ 2 cos 1 − ξ 2 ωnt + ξ sin 1 − ξ 2 ωnt
=
1−
e−ξωnt 1−ξ2
⎛ sin ⎜⎜⎝
系统单位脉冲响应为
1 − ξ 2ωnt + arctan
1−ξ ξ
2
⎞ ⎟⎟⎠
k
(t)
=
h′(t
)
=
[ L−1
Φ(s)
]
=
L−1
⎡ ⎢ ⎢⎣