西城17高二期末

北京市西城区2016— 2017学年度第二学期期末试卷

高二数学（理科）2017.7

试卷满分：150分考试时间：120分钟

.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上. 9. 曲线1

y x

=

在2x =处切线的斜率为______. 10. 4

)12(x

x -展开式中的常数项是_______.（用数字作答） 11. 离散型随机变量ξ的分布列为:

且2=ξE ，则1p =_________；2p = _________.

12. 某班举行的联欢会由5个节目组成，节目演出顺序要求如下: 节目甲不能排在第一个，并且节目甲必须和节目

乙相邻，则该班联欢会节目演出顺序的编排方案共有_____种．

13. 若函数32()f x ax ax x =-+在区间(1,0)-上恰有一个极值点，则a 的取值范围是_____．

14. 已知，对于任意x ∈R ，e x

ax b ≥+均成立.

①若e a =，则b 的最大值为__________；

②在所有符合题意的b a ,中，a b -的最小值为_________．

三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15．（本小题满分13分）

在数列{}n a 中，11=a ，12

1++=

+n n a n

n a ，其中1,2,3,n =.

(Ⅰ) 计算2a ，3a ，4a ，5a 的值；

(Ⅱ) 根据计算结果，猜想{}n a 的通项公式，并用数学归纳法加以证明.

16．（本小题满分13分）

甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为21与p ，且乙投球2次均未命中的概率为16

1

. (Ⅰ)求甲投球2次，至少命中1次的概率；

(Ⅱ)若甲、乙两人各投球2次，求两人共命中3次的概率.

17．（本小题满分13分）

已知函数32()3f x x ax =+.

(Ⅰ) 若1-=a ，求)(x f 的极值点和极值； (Ⅱ) 求)(x f 在[0,2]上的最大值.

18．（本小题满分13分）

一个袋中装有黑球，白球和红球共n (*

n ∈N )个,这些球除颜色外完全相同. 已知从袋中任意摸出1个球，得

到黑球的概率是

5

2

. 现从袋中任意摸出2个球. (Ⅰ) 用含n 的代数式表示摸出的2球都是黑球的概率，并写出概率最小时n 的值.（直接写出n 的值）

(Ⅱ) 若15=n ，且摸出的2个球中至少有1个白球的概率是7

4

，设X 表示摸出的2个球中红球的个数，求随机变

量X 的分布列和数学期望. 19．（本小题满分14分）

已知函数2

()f x ax bx =+和x x g ln )(=.

(Ⅰ) 若1==b a ，求证：()f x 的图象在()g x 图象的上方；

(Ⅱ) 若()f x 和()g x 的图象有公共点P ，且在点P 处的切线相同，求a 的取值范围. 20．（本小题满分14分）

已知函数()(1)e x

f x x =-. （Ⅰ）求()f x 的单调区间；

（Ⅱ）证明：当0>a 时，方程()f x a =在区间(1,)+∞上只有一个解；

（Ⅲ）设()()ln(1)h x f x a x ax =---，其中0>a .若()0h x ≥恒成立，求a 的取值范围.

北京市西城区2016 — 2017学年度第二学期期末试卷

高二数学（理科）参考答案及评分标准2017.7

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.

1. A ；

2.D ；

3. C ；

4. B ；

5. C ；

6. D ；

7. C ；

8. B . 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.

9. 41-

； 10. 24； 11. ,42

11

； 12. 42； 13. 1

(,)5

-∞-； 14. 0；1e

-

. 注：一题两空的题目，第一空2分，第二空3分.

三、解答题：本大题共6小题，共80分. 15.（本小题满分13分）

解： (Ⅰ) 根据已知，24a =；99a =；416a =；525a =. …………… 4分 (Ⅱ)猜想2n a n =. …………… 6分

证明：① 当1=n 时，由已知11=a ；

由猜想，2111a ==，猜想成立. …………… 8分

②假设当k n =（k ∈*

N ）时猜想成立，即2k a k =， ……………10分

则1+=k n 时， 221)1(12

12+=+⨯+=++=

+k k k

k a k k a k k . 所以，当1n k =+时，猜想也成立. ……………12分 由①和②可知，2n a n =对任意的*

n ∈N 都成立. ……………13分 16.（本小题满分13分）

解：(Ⅰ)设“甲投球一次命中”为事件A ，

则11

(),()22

P A P A ==. …………… 2分 故甲投球2次至少命中1 次的概率为3

1()1()()4

P A A P A P A -⋅=-=. …………5分

(Ⅱ) 设“乙投球一次命中”为事件B .

由题意得1

()(1)(1)16

P B B p p ⋅=--=， ……………7分

解得43=p 或45(舍去)，

所以31

(),()44

P B P B ==. ……………8分