大学高等数学经典课件9-1
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高等数学-第七版-课件-1-9 初等函数的连续性及闭区间上连续函数的性质
y
y f ( x)
推论
B C A
在闭区间[a,b]上连续的函数f(x)的值域 o a 为闭区间[m,M],其中m与M依次为f(x)
b x
在[a,b]上的最小值与最大值.
二、闭区间上连续函数的性质 （一）有界性与最大值最小值定理 （二）零点定理
（三）介值定理
（四）应用
二、闭区间上连续函数的性质 （一）有界性与最大值最小值定理 （二）零点定理
最值概念 设f(x)在区间I上有定义，如果存在x0∈I，使得 对任一x∈I，恒有
f ( x ) f ( x0 ) f ( x ) f ( x0 )
则称f(x0)是函数f(x)在区间I上的最大值（最小值）.
注 (1) 最大值可以等于最小值 (2) 函数在区间I上可能取不到最值 定理
y sin x 在
上单调增加且连续 上单调增加且连续
其反函数 y arcsin x 在
一、初等函数的连续性
（三）复合函数的连续性 定理一 定理二 定理三 设函数y=f[g(x)]是由函数u=g(x)与函数y=f(u)复合而成，
y=f[g(x)]在点x0的某去心邻域内有定义，
当x U ( x0 , 0 ) 时g ( x ) u0 lim f (u) A 且存在δ＞0， 若 lim g ( x) u0 u u0 x x0 若 lim g ( x) u0 而函数y=f(u)在u=u0连续，
二、闭区间上连续函数的性质 （一）有界性与最大值最小值定理 （二）零点定理
（三）介值定理
（四）应用
定理 设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，且在这区间的端点取 不同的函数值f(a)=A及f(b)=B，则对于A与B之间的任意 一个数C，在开区间(a,b)内至少有一点ξ使得 f(ξ)=C (a<ξ<b) 几何意义 连续曲线弧y=f(x)与水平直线y=C至少 相交于一点.
《高等数学》课件 第9章
n 1
unu1u2u3 un S.
n1
如果
lim
n
S
n
不存在,那么称级数 u n
n 1
发散.
当级数收敛时,其局部和Sn是级数和S 的近似值, 称 S S n 为级数的余项，记作 rn ，即
r n S S n u n 1 u n 2
用近似值Sn代替和S 所产生的误差是这个余项 的绝对值,即误差是| rn | .
n 1
称为定义在区间I 上的函数项无穷级数,简称函数项级数.
如果这个级数收敛,那么称点x0为这个级数的一个收敛 点.假设发散,那么称点x0为这个级数的发散点.一个函数项 级数的收敛点的全体称为它的收敛域.
二、幂级数及其收敛性
定义9.3.2 形如
a 0 a 1 x a 2 x 2 a n x n
u 1 u 2 u 3 u n
称为无穷级数,简称级数,记为 u n ,即 n 1 unu1u2u3 un n1
其中第n 项un称为级数的一般项(或通项) .
如果级数 u n 的局部和数列{Sn }的极限存在，即
n 1
lim
n
Sn
S
那么称级数 u n 收敛, S 为级数 u n 的和,记为
n 1
发散,那么级 数v n n 1
收敛; 发散.
定理9.2.3 (比较审敛法的极限形式)
设级数 u n
n 1
和级数 v n
n 1
都是正项级数,如果 l i m u n v n
n
l
,那么
(1)如果0<l<+ ∞,那么级数 u n 和级数 v n 同时收敛或发散;
n 1
n 1
(2) 如果l=0 且级数 v n 收敛,那么级数 u n
高等数学9-1第一类曲线积分
z cot x y
2 2
z
h
Dz
(0 z h)
o x
y
而不是：
பைடு நூலகம்z x y
2 2
(0 z h)
解法1: 截面法
利用对称性知引力分量 Fx Fy 0
z
h
Fz
G [ x
V
z
2
Dz
y z ]
2
2 32
dV
o x
2 3 2
y
G z d z
z
h
Dz
Fz
G [ x
V
z
2
y z ]
2
2 32
dV
o x
y
G
2 0
d d
0
h sec
0
r 3 cos sin d r 3 r
2 G h 1 cos
重申：
轮换对称性： 积分区域
利用轮换对称性 , 有
x
2
ds y ds z ds
(3).如果方程为极坐标形式 L : ( ) ( ), 则
L
f ( x, y) dl
f ( ( ) cos , ( )sin ) 2 ( ) 2 ( ) d
推广: : x ( t ), y ( t ), z ( t ). ( t )
f ( x, y, z )dv [
D
z2 ( x , y )
z1 ( x , y )
f ( x, y, z )dz ]dxdy
2）截面法（先二后一）
2 2
z
h
Dz
(0 z h)
o x
y
而不是：
பைடு நூலகம்z x y
2 2
(0 z h)
解法1: 截面法
利用对称性知引力分量 Fx Fy 0
z
h
Fz
G [ x
V
z
2
Dz
y z ]
2
2 32
dV
o x
2 3 2
y
G z d z
z
h
Dz
Fz
G [ x
V
z
2
y z ]
2
2 32
dV
o x
y
G
2 0
d d
0
h sec
0
r 3 cos sin d r 3 r
2 G h 1 cos
重申：
轮换对称性： 积分区域
利用轮换对称性 , 有
x
2
ds y ds z ds
(3).如果方程为极坐标形式 L : ( ) ( ), 则
L
f ( x, y) dl
f ( ( ) cos , ( )sin ) 2 ( ) 2 ( ) d
推广: : x ( t ), y ( t ), z ( t ). ( t )
f ( x, y, z )dv [
D
z2 ( x , y )
z1 ( x , y )
f ( x, y, z )dz ]dxdy
2）截面法（先二后一）
高数9-1
说明： 说明：二元函数的图形通常是一张空间曲面
z = a2 − x2 − y2 的 如二元函数
图形是以原点为球心， 图形是以原点为球心，半径为 a 的上半 个球面。 个球面。 而z =
x 2 + y 2 表示以坐标原点为
顶点的上半个锥面。 顶点的上半个锥面。
三、多元函数的极限
是平面上的一个点集, 是平面上的一个点集 是平面上的一 聚点 设E是平面上的一个点集,P是平面上的一 个点 , 如果点 P 的任何一个邻域内总有无 限多个点属于点集 E, 则称 P为E 的聚点。 为 的聚点。 内点一定是聚点； 说明 1）内点一定是聚点； 2）边界点可能是聚点。 ）边界点可能是聚点。 例
x → x0 y → y0
lim f ( x , y ) = A
（或 f ( x , y ) → A ( ρ → 0 ) 这里 ρ = | PP 0 | ）
说明 的方式是任意的； （1）定义中 P → P0 的方式是任意的；
lim （2）二元函数的极限也叫二重极限 x→ x f ( x , y ); x→
< | PP0 | = ( x − x 0 ) 2 + ( y − y 0 ) 2 < δ 0
成立, 的一切点, 都有 | f ( x , y ) − A |< ε 成立,则称 的一切点 A为函数 z = f ( x , y ) 当 x → x 0 ， y → y 0 为函数 时的极限， 时的极限，记为
2 2
∀ ε > 0,
∃δ = ε
当 0 < ( x − 0 ) 2 + ( y − 0 ) 2 < δ 时，
1 ( x + y ) sin 2 0 <ε 2 − x +y
高等数学9-1
∫∫ f ( x , y )dσ = ∫∫ f ( x , y )dσ + ∫∫ f ( x , y )dσ .
D
D1
- 11 -
D2
第一节
二重积分的概念与性质
的面积， 性质４ 性质４ 若 σ 为 D 的面积，
第 九 章 重 积 分 及 其 应 用
σ = ∫∫ 1 dσ = ∫∫ dσ .
D D
V = lim∑ f (ξk , ηk )σk
λ→0
k=1
n
平面薄片的质量: 平面薄片的质量
M = lim∑(ξk , ηk )σk
λ→0
k=1
-7-
n
第一节
二重积分的概念与性质
2 二重积分的定义及可积性 定义: 定义 设 f ( x, y)是定义在有界区域 D上的有界函数 , 上的有界函数
第 九 章 重 积 分 及 其 应 用
用
二重积分的几何意义 当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积． 当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积．
当被积函数小于零时， 当被积函数小于零时，二重积分是柱体的体积的 负值． 负值． - 10 -
第一节
二重积分的概念与性质
二 二重积分的性质
第 九 章 重 积 分 及 其 应 用
（二重积分与定积分有类似的性质） 二重积分与定积分有类似的性质） 性质１ 性质１ 当k为常数时， 为常数时，
1≤k≤n
(ξk ,ηk ) σk
x
M = lim∑(ξk , ηk )σk
λ→0
k=1
-6-
n
第一节
二重积分的概念与性质
两个问题的共性： 两个问题的共性： 共性
第 九 章 重 积 分 及 其 应 用
高等数学D9-1基本概念
12
二、多元函数的概念
1.定义 设D是平面上的一个点集， 如果对于每个点
P( x, y) D，变量 z按照一定的对应法则总有确定的值
和它对应， 则称z是变量 x、y的二元函数，
记为：z f ( x, y) （或记为 z f (P）) .
D称为定义域. 函数值记为：
如 z sin(xy) 1 y2 .
第九章 多元函数微分法
1
一、区域的概念
1.平面点集: 坐标平面上具有某种性质 P 的点的集合, 称为平面点集.
如： 记作：E (x, y) (x, y)具有性质P
E1 ( x, y) 1 x2 y2 4
y
E2 (x, y) x 0, y 0
y
o
x
o
x
2
2.邻域 设 P0( x0 , y0 ) 是xoy平面上的一个点， 是某
(x, y) x y 0
闭区域
(x, y) 1 x2 y2 4
y
y
o
x
o 1 2x
y
o
x
y
o 1 2x
9
整个平面 是最大的开区域 , 也是最大的闭区域；
点集 (x, y) x 1 是开集，
y
1o 1 x
但非区域 . • 对区域 D , 若存在正数 K , 使一切点 PD 与某定点
的距离记作 (x, y) 或 x y , 规定为 11
(2) n维空间中两点间距离公式
( x,设y)两=点x为 yP( x1(,xx12,y1,)x2 n),( x2Q( yy21,)2y2 ,, y(nx)n, yn )2
| PQ | ( x1 y1 )2 ( x2 y2 )2 ( xn yn )2
二、多元函数的概念
1.定义 设D是平面上的一个点集， 如果对于每个点
P( x, y) D，变量 z按照一定的对应法则总有确定的值
和它对应， 则称z是变量 x、y的二元函数，
记为：z f ( x, y) （或记为 z f (P）) .
D称为定义域. 函数值记为：
如 z sin(xy) 1 y2 .
第九章 多元函数微分法
1
一、区域的概念
1.平面点集: 坐标平面上具有某种性质 P 的点的集合, 称为平面点集.
如： 记作：E (x, y) (x, y)具有性质P
E1 ( x, y) 1 x2 y2 4
y
E2 (x, y) x 0, y 0
y
o
x
o
x
2
2.邻域 设 P0( x0 , y0 ) 是xoy平面上的一个点， 是某
(x, y) x y 0
闭区域
(x, y) 1 x2 y2 4
y
y
o
x
o 1 2x
y
o
x
y
o 1 2x
9
整个平面 是最大的开区域 , 也是最大的闭区域；
点集 (x, y) x 1 是开集，
y
1o 1 x
但非区域 . • 对区域 D , 若存在正数 K , 使一切点 PD 与某定点
的距离记作 (x, y) 或 x y , 规定为 11
(2) n维空间中两点间距离公式
( x,设y)两=点x为 yP( x1(,xx12,y1,)x2 n),( x2Q( yy21,)2y2 ,, y(nx)n, yn )2
| PQ | ( x1 y1 )2 ( x2 y2 )2 ( xn yn )2
9-1二重积分的概念与性质
d ab e
.
高等数学（下）
例 2
估计 I
D
d x y 2 xy 16
2 2
的值，
其 中 D ： 0 x 1,
0 y 2.
解 f ( x, y)
1 ( x y ) 16
2
, 区 域 面 积 2,
1 4 ( x y 0)
D
f ( x , y ) d .
高等数学（下）
性质 5 设 M
m
、m 分 别 是 f ( x, y) 在 有 界 闭 区 域 D
上 的 最 大 值 和 最 小 值 ， 为 D 的 面 积 ， 则
D
f ( x , y ) d M （二重积分估值定理）
性质 6 设 函 数 f ( x , y ) 在 有 界 闭 区 域 D 上 连 续 ，
2
1
D
o
1
2
x
因此
ln(
D
x y ) d [ln( x y )] d .
2 D
高等数学（下）
例5 设D是第二象限中的有界闭区域，且 0＜y＜1
记 I 1
D
yx dxdy , I 2
3 1
D
y x dxdy ,
2
3
I3
D
y x dxdy
2
3
则I1，I2，I3 的大小顺序是
i1
高等数学（下）
如果当各小闭区域的直径中的最大值 趋近于零 时 ， 和式的极限存在 ， 称此极限为 函数 f ( x, y) 这 则 在闭区域 D 上的二重积分， 记为 即
大学数学课件：高等数学完整PPT讲义
多元函数和偏微分方程
探索多元函数和偏微分方程的特性和解法。研究多元函数的极限、连续性， 并学习偏导数和偏微分方程的求解方法。
向量分析和线性代数基础
深入研究向量分析和线性代数的基本概念和技巧。掌握向量的运算法则、曲线和曲面的参数方程，以及 线性方程组的解法。
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高等数学数学PPT课件精选全文完整版
归转化思想。
做
学生进行练习训练，个人独立思考与分组讨论相结合。
训
学生上黑板演示解题过程，其他学生点评，教师分析总结。
01
课程尚处于建设阶段，教学资源有待于进 一步完善，现有教学资源还没有得到充分 利用。
进一步开拓更多的学习资源，团队教师增 进针对教学方法和教学资源建设与利用方 面的交流。
பைடு நூலகம்
02
教学内容和教学设计在不断变化的社会需 求、学生思想，以及不断产生的新技术面 前有些滞后。
教学问题
转变传统的教学理念和改变旧的教学模式 探索、建立了新的教学模式和教学方法。
教学对象
教学对象为一年级学生，对大学学习环境、学习 方式需要有一定的适应期 。 教师向学生介绍大学学习的特点与方法，帮助学 生尽快度过适应期。
教学特色
通过不同形式的自主学习 、探究活动，让 学生体验
数学发现和创造的历程，发展他们的创 新意识 。
课程内容及授课学时数（1学期，共64课时）
序号 1 2 3 4 5 6
课程内容 第一章 函数的极限与连续 第二章 导数与微分 第三章 导数应用 第四章 不定积分 第五章 定积分 第六章 空间解析几何
授课学时 12 12 6 16 16 2
导向
依据
度
专业
满足 专业培养目
标
必需 够用
理论知识以“必需、够用”为原则,教学内 容体现“专业性”
教学内容的针对性
专业理论知识需求
后续课程学习要求
教学内容的适用性
高等数学基本要求 教学内容的针对性
淡化严格论证 强化数学应用 注重数学软件
符合课程目标
教学内容选择 辅助多媒体教学 自主学习能力
高等数学-第9章 - (多元复合函数的求导法则)PPT课件
v y
f2 2
xv xy
注意: 这里 z 与 f 不同, x x
z 表示固定 y 对 x 求导, f 表示固定 v 对 x 求导
x
x
口诀 分线相加,连线相乘 : •精选PPT课件
•13
例
设 z xsinx , 求 d z .
dx
解 令 z xy , ysinx, 则
x
dz z z dy dx x y dx
且作微分运算的结果对自变量的微分 d,xd,yd,z
来说是线性的，从而为解题带来很多方便，而 且也不易出错。
•精选PPT课件
•25
例 设 zeusinv, uxy, vxy,
应用全微分形式不变性求 z ， z 。 x y
解
dzzduzdv u v
与
dz
z d x z d y 比较, 得 x y
eusivn (ydxxdy)eucov(sdxdy)
e x[y ysix n y ) (co x y s)d (]x
e x[y xsix n y ) (co x y s)d (]y
z exy[ y sin( x y) cos(x y)] x
•精选PPT课件
•26
例
设 zeusinv, uxy, vxy,
•精选PPT课件
•3
• 第九章 多元函数微分学
▫ 9.1 多元函数的基本概念 ▫ 9.2 偏导数 ▫ 9.3 全微分 ▫ 9.4 多元复合函数的求导法则 ▫ 9.5 隐函数的求导公式 ▫ 9.6 多元函数微分学的几何应用 ▫ 9.7 方向导数与梯度 ▫ 9.8 多元函数的极值 ▫ 9.9 综合例题
w , f1 , f2
解: 令u x y z , v xyz , 则
D9_1基本概念 高等数学高数
的距离记作
规定为
R n 中的点 x (x1, x2 , , xn )与零元 O 的距离为 x x12 x22 xn2
当n 1, 2,3时, x 通常记作 x . R n 中的变元 x 与定元 a 满足 x a 0 记作 x a.
R n中点 a 的 邻域为
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在空间中,
U ( P0 , ) (x, y, z )
PP0 δ 称为点 P0 的邻域.
(圆邻域)
(球邻域)
说明：若不需要强调邻域半径 ,也可写成 U ( P0 ).
点 P0 的去心邻域记为
0 PP0 δ
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2. 区域
(1) 内点、外点、边界点
E
设有点集 E 及一点 P :
y
y
闭区域
o
x
o 1 2x
y
o
x
y
o 1 2x
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整个平面 是最大的开域 , 也是最大的闭域；
点集 (x, y) x 1是开集，
但非区域 .
y
1o 1 x
• 对区域 D , 若存在正数 K , 使一切点 PD 与某定点 A 的距离 AP K , 则称 D 为有界域 , 否则称为无 界域 .
PP0
则称 n 元函数 f (P) 在点P0 连续, 否则称为不连续, 此时
称为间断点 . 如果函数在 D 上各点处都连续, 则称此函数在 D 上 连续.
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例如, 函数
f
(
x,
y)
x
xy 2y
2
,
0 ,
x2 y2 0 x2 y2 0
《大学高等数学经典》PPT课件
记作U
0
(a).
教 案
U 0 (a) {x | 0 x a }
注意：邻域总是开集。
武 汉 科 技 学 院 数 理 系
高
等 二、映射
数 学
1、概念
电 子
设X,Y是两个非空集合,如果存在一个法则 f，使得对
教 案
X中每个元素x，按法则 f，在Y中有唯一确定的元素y与
之对应，则称f 为从X到Y的映射. 记作 f ：X→Y .
高
等
数
学
电
子 教
(函 数与 极 限)
案
武 汉 科 技 学 院 数 理 系
高
等
数
第一章 函数与极限
学
电 子
第一节 映射与函数
教 案
一、集合
1、概念 具有某种特定性质的事物的总体;
组成这个集合的事物称为该集合的元素.
武
汉 科
元素a属于集合M, 记作 aM
技
学 院
元素a不属于集合M, 记作 aM
数
理
科
技
学 院
g[ f (x)] 1 (x2 1) 2 x2 1 x 2
数
理
系
高 等 三、函数 数 学 1、函数概念 电 子 定义1 设数集D R,则称映射 f : D→R为定义在D上的 教 案 函数，记作 y f (x), x D
其中 f 是对应规则，D称为函数的定义域，x 叫做自
数
理
系
高
等
数
2、区间
学
电
是指介于某两个实数之间的全体实数. 这两个
子
教 案
实数叫做区间的端点.
a,b R, 且a b.
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y
曲面 z=f(x,y),f(x,y)0,且在 D上连续。
x
i
(i,i)
高 等 数 学 电 子 教 案
如何求曲顶柱体的体积？ 显然，若高不变，即曲顶柱体为
平顶柱体，则
V=底面积高 若高为变高，则可采用类似于求 曲边梯形面积的方法来求此曲顶
武 汉 科 技 学 院 数 理 系
柱体的体积。
高 等 数 学 电 子 教 案
2 f ( x, y ) y y
2
1 4
在边界 y 2 ,
武 汉 科 技 学 院 数 理 系
0 x 1 上，有
4 f ( x, y ) 3 x x 4 2
2
在边界 y 0 ,
0 x 1 上，有
0 f ( x, y ) x x
2
1 4
高 等 数 学 电 子 教 案
max { f ( x , y )}
( x , y ) D
1 3
,
( x , y ) D
min { f ( x , y )} 4
而
d
D
2
所以： 8
武 汉 科 技 学 院 数 理 系
( x xy
D
x y )d
高 等 数 学 电 子 教 案
二、二重积分的性质
性质1 被积函数的常数因子可以提到二重积分号的 外面 ，即
kf ( x , y ) d
D
k f ( x , y ) d (K为常数)
D
性质2 函数的和（或差）的二重积分等于各个函数的
武 汉 科 技 学 院 数 理 系
二重积分的和（或差）。即
i
( i , i )
i
( i 1, 2 , , n )
n
y
武 汉 科 技 学 院 数 理 系
y o
所以，
M
( i , i ) i
D
x
i 1
于是， M lim
0
(
i 1
n
i
, i ) i
高 等 数 学 电 子 教 案
D
f ( x , y ) d f ( , )
高 等 数 学 电 子 教 案
例1:估计 I
D
( x xy x y ) d
2 2
,
其中 D是矩形 0x1， 0y1。
解：设 f(x,y)=x+xy-x2-y2，令
f
武 汉 科 技 学 院 数 理 系
性质6 设 M，m分别是 f(x,y)在闭区域 D上的最大 及最小值，是 D的面积，则有
m
D
f ( x, y )d M
性质7 （二重积分的中值定理）
设函数 f(x,y)在闭区域 D上连续，是 D的面
武 汉 科 技 学 院 数 理 系
积，则在 D上至少存在一点 (,)，使得下式成立：
x
1 y 2 x 0,
f y
x 2y 0
得驻点：(2/3，1/3)，f(2/3,1/3)=1/3
高 等 数 学 电 子 教 案
在边界 x 0 ,
0 y 2 上，有
4 f ( x, y ) y 0
2
在边界 x 1 ,
0 y 2 上，有
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将 D分割成 n个小闭区域1,2,,n，
i也表示第 i个小闭区域i的面积。
高 等 数 学 电 子 教 案
当 i的直径很小时，由于(x,y)连续，相应的
小薄片可近似地看作是均匀的。在 i上任取一 点 (i,i)，则小薄片的质量：
M
积表达式， d为面积元素，x,y为积分变量，
D为积分区域, 称为积分和。
n
f ( i , i )
i
i 1
因为区域 D的划分是任意的，故可用平 行于坐标轴的直线网来划分区域 D，这时
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的小闭区域 i为矩形小区域 (i=xi yi) 所以在直角坐标系中，面积元素 d 也记作
极限为函数 f(x,y)在闭区域 D上的二重积分。
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记作
D
f ( x, y )d
D
f ( x , y ) d lim
0
n
f ( i , i )
i
(*)
i 1
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这里，称 f(x,y)为被积函数，f(x,y)d为被
[ f ( x , y ) g ( x , y )] d
D
D
f ( x, y )d
D
g ( x, y )d
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性质3 如果闭区域 D被有限条曲线分为有限个部分 闭区域，则在 D上的二重积分等于在各部分闭区域上 的二重积分之和。 即若 D=D1D2 ，则
2 2
2 3
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例2.比较积分 ln( x
D
y )d
与 [ln( x
D
y )] d
2
的大小, 其中D是三角形闭区域, 三顶点各为(1,0), (1,1), (2,0).
y
解：三角形斜边方程为: x+y=2 在D内有:
1
o
1
x
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(重积分)
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第九章 重积分
第一节 二重积分的概念与性质
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高 等 数 学 １.曲顶柱体的体积 z 电 z = f(x,y) 子 教 案
0
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曲顶柱体：底是x顶是
首先，用一组曲线网将区域 D分成 n个小闭
区域，
1，2，，n
小闭区域的面积也记作 i。以小闭区域的边
界曲线为准线作母线平行于z轴的柱面，这些
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柱面将原来的曲顶柱体分成 n个细曲顶柱体。
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由于 f(x,y) 连续，因此当小区域 i的直径 （即区域中任意两点间距离的最大值）很小时， f(x,y) 在 i 上的变化也非常小，这时的细曲顶 柱体可近似看成平顶柱体。在 i 中任取一点 (i,i)，以 f(i,i) 为高而底为 i的平顶柱体的
D
f ( x, y )d
( x , y ) d
D
特别地，由于
f ( x, y ) f ( x, y ) f ( x, y )
又有不等式
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D
f ( x, y )d
D
f ( x, y ) d
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dxdy，于是有
D
f ( x, y )d
D
f ( x , y ) dxdy
注意：当函数 f(x,y)在区域 D上连续时,则(*)式 右端的和的极限必存在，即连续函数在有界闭 区域上的二重积分必定存在。以后在计算二重
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积分时，总假定 f(x,y)在 D上连续。 几何意义：略。
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于曲顶柱体的体积。因此，将区域D无限
细分，即令n个小区域的直径中的最大值
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（记为）趋于 0 时，上述和式的极限就 是曲顶柱体的体积，即:
V lim
0
n
f ( i , i )
i
i 1
2.平面薄片的质量
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D
f ( x, y )d
D1
f ( x, y )d
D2
f ( x, y )d
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性质4 如果在 D上，f(x,y)=1，为 D的面积，则
1 d
D
d
D
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性质5 如果在 D上，f(x,y) x,y，则有不等式
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1 x y 2 e
于是
故ln(x+y)<1
2
ln( x y ) ln( x y )
因此
ln( x y ) d ln( x y ) d
2 D D
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设有一质量非均匀分布的薄片占有 xoy 面上的有界闭区域D,其面密度为 (x,y), (x,y) >0,且在D上连续,现计算它的质量M。
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若薄片是均匀的，即它的面密度是常数， 则它的质量可以用下式计算： 质量＝面密度面积 现面密度是变量，用类似于求曲顶柱体 体积的方法来处理。
以上两个问题虽然实际意义不同，但所求
量都归结为同一形式的和的极限，于是从上述
数量关系我们抽象出二重积分的定义。
定义 设 f(x,y)是有界闭区域 D上的有界函数，
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将闭区域 D任意分成 n个小闭区域
1，2，，n
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其中i表示第 i个小闭区域，也表示它的 面积。在每个i上任取一点 (i,i) ，作乘积 f(i,i) i，如果当各小闭区域的直径中的最 大值 趋于零时，这和的极限总存在,则称此