高一下册期中考试数学试题及答案(人教版)(最新)
(最新)高一下册期中考试数学试题及答案(人教版)
高一下学期期中质量调查数学试题 第Ⅰ卷(选择题 共24分)一、选择题:本大题共8小题,每小题3分,共24分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.下列命题正确的是A.若0a b <<,则 ac bc <B. 若,a b c d >>,则 ac bd >C.若a b >,则1a b <D.若22,0a bc c c>≠,则a b > 2.在数列{}n a 中,111,3n n a a a +=-=-,则4a = A. 10- B. 7- C. 5- D. 113.若13,24a b <<<<,则ab的范围是A. 1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭B. 3,42⎛⎫ ⎪⎝⎭C. 13,42⎛⎫⎪⎝⎭D.()1,44.在ABC V中,已知,24c A a π===,则角C =A.3π B. 23π C. 3π或23π D.12π或512π5.已知数列{}n a 为等比数列,有51374a a a -=,{}n b 是等差数列,且77a b =,则59b b +=A. 4B. 8C. 16D. 0或86.在ABC V 中,已知sin 2cos sin A B C =,则ABC V 的形状时 A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C.等腰直角三角形 D.不确定7.设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和,若3613S S =,则612SS = A. 13 B. 18 C. 19 D.3108.已知数列{}n a 前n 项和21nn S =-,则此数列奇数项和前n 项和是A. ()21213n -B. ()11213n +-C. ()21223n -D. ()11223n +-第Ⅱ卷(非选择题 共76分)二、填空题:本大题共6小题,每小题4分,共24分.9.在数列{}n a 中,223n a n =-,则125是这个数列的第 项.10.在ABC V 中,三边,,a b c 成等比数列,222,,a b c 成等差数列,则三边,,a b c 的关系为 .11.对于任意实数x ,不等式23204mx mx +-<恒成立,则实数m 的取值范围是 . 12.在等差数列{}n a 中,已知11a =,前5项和535,S =则8a 的值是 .13.在ABC V 中,若120,5,7,A AB BC ===o,则ABC V 的面积S = .14.已知数列{}n a 满足,11232,2nn n a a a +=+⋅=,则数列{}n a 的通项公式是 .三、解答题:本大题共6小题,共52分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(本小题满分8分)已知不等式2320ax x -+>的解集为{}|x 1x b x <>或.(1)求,a b 的值;(2)解关于x 的不等式()2220ax b a x b ---<.16.(本小题满分8分)已知等比数列{}n a 中,11a =,公比为q ,且()1.n n n b a a n N *+=-∈ (1)判断数列{}n b 是否为等比数列?请说明理由. (2)求数列{}n b 的通项公式.17.(本小题满分8分)已知数列{}n a 的前项和22 4.n n S +=-(1)求数列{}n a 的通项公式;(2)设等差数列{}n b 满足,73154,b a b a ==,求数列{}n b 的前项和.n T18.(本小题满分12分)若等比数列{}n a 的前n 项和1.2n n n S a =- (1)求实数a 的值;(2)求数列{}n na 的前n 项和.n T19.(本小题满分10分)在ABC V 中,角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,已知45,cos .5b c A == (1)求sin C 的值;(2)若ABC V 的面积为3sin sin ,2ABC S B C =V 求a 的值.20.(本小题满分10分)已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,满足11110,2,.n n n n n n n n a a S a S a a n N -*+++≠-=∈ (1)求证:12;n n n S a -=(2)设1nn n a b a +=,求数列{}n b 的前n 项和.n T。
期中考试高一数学试卷(人教版)
新高一数学月考试题卷姓名: 得分:一、选择题(每小题5分,共50分)1.下列各组函数中,表示同一函数的是( )A .55x y =与 2x y =B .2lg x y =与x y lg 2=C .0x y =与01x y = D .()()112---=x x x y 与2-=x y 2.满足},,,{4321a a a a M ⊆ ,且{}{}211,a a a M =U 的集合M 的个数是( )A .1B .2C .3D .43.下列函数是偶函数的是( )A .()21+=x y B .xx y 1+= C .x x y 32+= D . 24x x y += 4.函数()()2log 231--=x x x f 的单调递减区间为 ( ) A .⎪⎭⎫ ⎝⎛∞-21, B .⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞,21 C .()+∞,2 D .()1,-∞- 5.设()x f 是定义在R 上的奇函数,当0≤x 时,()x x x f -=22,则()=1f ( )A .3-B .1- C.1 D .36设函数()+∞≠>=,0)10(,log )(在且a a x x f a 上单调递减,则)2()1(f a f 与+的大小关系为( )A .)2()1(f a f =+B .)2()1(f a f >+C .)2()1(f a f <+D .不确定7.已知函数()⎩⎨⎧≤+>=0,10,2x x x x x f ,若()()01=+f a f ,则实数a 的值等于( ) A .-3 B .-1 C .1 D .38.已知函数()x x f x 21log 3-=,若实数0x 是函数()x f 的零点,且010x x <<,则()1x f 的值为( )A .恒为正值B .等于0C .恒为负D .不大于09.某自来水厂的蓄水池存有400吨水,水厂每小时可向蓄水池中注水60吨,同时蓄水池又向居民小区不间断供水,t 小时内供水总量为t 6120吨()240≤≤t ,从供水开始到第t 小时时,蓄水池中的存水量最少,则=t ( )A .4B .5C .6D .710.设函数⎩⎨⎧=为无理数为有理数x x x D ,0,1)(,则下列结论错误的是( ) A .)(x D 的值域为}1,0{ B .)(x D 是偶函数 C .)(x D 不是周期函数 D .)(x D 不是单调函数二.填空题:(每小题4分,共28分)11.设集合},12,4{2a a A --=,}1,5,9{a a B --=,若}9{=⋂B A ,则实数a 的值是 .12.幂函数)(x f 的图象过点()22,2,则=)(x f . 13.函数()2log 2-=x x f 的定义域是 .14.已知函数()()1031≠>+=-a a a x f x 且的图像恒过定点P ,则P 点的坐标是 .15.函数()x x f a log =在区间[]a a 2,上的最大值和最小值之差为21,则=a . 16.定义在R 上的奇函数()x f 满足:①()x f 在()+∞,0内单调递增;②()01=f ;则不等式()()01>-x f x 的解集为 .17.设函数()()R x x x g ∈-=22,()()()()()⎩⎨⎧≥-<++=,,,,4x g x x x g x g x x x g x f ,则()x f 的值域是 .三、解答题:本大题共6小题,每题12分,共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18.设集合{}015722≤-+=x x x A ,{}a x a x B 212<<-=.若A B ⊆,求实数a 的取值范围.19.已知函数()9log 3log 33x x x f ⋅=,]27,91[∈x ,求)(x f 最大值.20.已知函数()121-+=x a x f (a 为实数)是奇函数. ()1求()x f 的定义域;()2求实数a 的值;()3求()x f 的值域.21.经过调查发现,某新产品在投放市场的30天中,前20天,其价格直线上升,(价格是一次函数),而后10天,其价格则呈直线下降趋势,现抽取其中4天的价格如下表所示:()1写出价格()x f 关于时间x 的函数表达式(x 表示投入市场的第x 天);()2若销售量()x g 与时间x 的函数关系是()()N x x x x g ∈≤≤+-=,30150,求日销售额的最大值,并求第几天销售额最高?22.已知函数2()(),()1x x a f x a a x R a -=-∈- (1)判断函数f(x)的奇偶性和单调性; (2)对于函数()f x ,当x ∈(-2,2)时,有2(1)(1)0f t f t -+-<,求t 的集合A .23.已知函数 ()()lg 1f x x =+.(1)若()()0121f x f x <--<,求x 的取值范围;(2)若()g x 是以2为周期的偶函数,且当01x ≤≤时,有()()g x f x =,求函数()y g x =([]1,2x ∈)的反函数.。
高一数学必修1期中考试测试题及答案(最新整理)
高一数学必修一期中考试试卷一、选择题(共10道小题,每道题5分,共50分.请将正确答案填涂在答题卡上)1.已知全集U={1,2,3,4,5,6,7},A={3,4,5},B={1,3,6},则A∩(C U B)等于( )A .{4,5} B.{2,4,5,7} C.{1,6} D.{3}2. 函数的定义域为 ( )()lg(31)f x x =-A .RB .C .D .1(,)3-∞1[,)3+∞1(,)3+∞3.如果二次函数的图象的对称轴是,并且通过点,则( )21y ax bx =++1x =(1,7)A -A .a =2,b = 4B .a =2,b = -4C .a =-2,b = 4D .a =-2,b = -44.函数的大致图象是()||2x y =5,则()(01)b a a =>≠且A .B .C .D .2log 1a b =1log 2ab =12log a b =12log b a=6、三个数,之间的大小关系是( )23.0=a 3.022,3.0log ==c b A. ﹤﹤B. ﹤﹤C. ﹤﹤D.﹤﹤a c b a b c b a c b c a7.下列说法中,正确的是()A .对任意x ∈R ,都有3x >2x ;B .y =()-x 是R 上的增函数;3C .若x ∈R 且,则;0x ≠222log 2log x x =D .在同一坐标系中,y =2x 与的图象关于直线对称.2log y x =y x =8.如果函数在区间(-∞,4]上是减函数,那么实数a 的取值范围是2(1)2y x a x =+-+( )A .a ≥9B .a ≤-3C .a ≥5D .a ≤-79.若函数()f x 为定义在R 上的奇函数,且在(0,)+∞内是增函数,又(2)f 0=,则不等式的解集为0)(<x xf A .(2,0)(2,)-+∞ B .(,2)(0,2)-∞- C .(,2)(2,)-∞-+∞D .)2,0()0,2( -10.已知函数定义域是,则的定义域是( )y f x =+()1[]-23,y f x =-()21 A .B. C. D. [052,[]-14,[]-55,[]-37,二、填空题(共5道小题,每道题5分,共25分。
北京市人大附中2022-2023学年高一下学期期中模拟数学试题(含答案解析)
北京市人大附中2022-2023学年高一下学期期中模拟数学试题学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________一、单选题A .12B .16.若arctan(3)-=()A .2π3B .-7.已知tan 2θ=,则2sin θ+A .45B .-8.要得到函数πsin 23y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象,只需将函数A .向左平移π6个单位长度A .()f α的定义域是{|αB .()f α的图象的对称中心是C .()f α的单调递增区间是D .()f α对定义域内的α10.已知单位向量a 、b 、c ,满足123a b c λλλ++的最大值为(A .3B .二、双空题11.已知(1,2),(3,4)a b == ,则三、填空题12.已知向量(1,2)a = ,与向量四、双空题13.已知扇形的半径为6cm 扇形的面积为cm 五、填空题六、双空题七、解答题17.已知函数()sin(ω=f x x π2π,63⎛⎫⎪⎝⎭上单调.(1)从条件①、条件②、条件③中选一个作为已知,使得析式;条件①:函数()f x 的图象经过点(Ⅰ)用,OA OB 表示CB;(Ⅱ)点P 在线段AB 上,且八、单选题19.函数4()cos 3f x x =--A ..C ...已知集合()2{|,,M a a x y ==N 且}1y ≥,O 为坐标原点,当)()11222,,,y M OB x y M ∈∈=()1212,A B x x y y =-+-)332,y M ∈,则“存在0λ>是“()()(,,+=d A B d B C d A .充分不必要条件.必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件九、双空题①1秒钟后,点P 的横坐标为②t 秒钟后,点P 到直线l 的距离用十、填空题24.若关于x 的方程cos x ⎛+ ⎝则321x x x ++=.25.定义一种向量运算“⊗”:十一、解答题26.给定正整数2n ≥,设集合12{|(,,,),{0,1},1,2,,}n k M t t t t k n ==∈=L L αα.对于集合M 中的任意元素12(,,,)n x x x =L β和12(,,,)n y y y =L γ,记1122n n x y x y x y ⋅=+++L βγ.设A M ⊆,且集合12{|(,,,),1,2,,}i i i i in A t t t i n ===L L αα,对于A 中任意元素,i j αα,若,,1,,i j p i j i j αα=⎧⋅=⎨≠⎩则称A 具有性质(,)T n p .(1)判断集合{(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1)}A =是否具有性质(3,2)T ?说明理由;(2)判断是否存在具有性质(4,)T p 的集合A ,并加以证明;(3)若集合A 具有性质(,)T n p ,证明:12(1,2,,)j j nj t t t p j n +++==L L .参考答案:17.(1)π()sin 26f x x ⎛=+ ⎝(2)ππ,66⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【分析】(1)根据题意得到三个方程,分析方程组即可求解;(2)先求出π26x +所在的范围,正弦函数的性质得到【详解】(1)因为()f x 在区间因为2T ωπ=,且0ω>,解得又因为π6x =是函数()f x 的对称轴,所以若选条件①:因为函数f 因为||2ϕπ<,所以π6ϕ=当0k =时,2ω=,满足题意,故若选条件②:因为π,03⎛⎫⎪⎝⎭因为1BO AD == ,2CD BO = 所以()()()2,0,0,1,3,2A B C .所以()1,2AC = ,()2,1AB =-.因为点P 在线段AB 上,且AB 所以121,333AP AB ⎛⎫==- ⎪⎝⎭ 所以55,33CP AP AC ⎛⎫=-=--⎪⎝⎭因为()3,1CB =--,所以cos 53CP CB PCB CP CB ⋅∠==⋅ 【点睛】本题考查了向量的线性运算,向量夹角的计算,属于中档题.19.A【分析】利用函数的奇偶性和代入特殊值即可求解【详解】由已知条件得函数(f x【详解】建立如图所示的平面直角坐标系,则3π=可知,ABC 三点在一个定圆上,g x的图象如图所示,所以函数()由函数()g x 的图象得到()g x 不是周期函数,故选项①不正确;所以函数()g x 的值域是{}0,1,2,故选项②正确;由ππ244g f ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎡⎤-=-== ⎪ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎣⎦所以函数()g x 的图象不关于x =对于方程()π2g x x ⋅=,当()0g x =时,0x =,方程有一个实数根;当()1g x =时,π2x =,此时π2g ⎛ ⎝当()2g x =时,πx =,此时(π)g 故方程()π2g x x ⋅=只有一个实数根,故选项④正确故选:B.23.3-32sin π⎛- ⎝【分析】设1秒钟后点P 运动到此确定1P 的坐标,设t 秒钟后点不妨设t 秒钟后,点P 的横坐标为由已知函数()f t 为周期函数,周期为最小值为2-,最大值为2,故可设()(sin x A t A ωϕ=+>所以2A =,2π2ω=,所以ω由已知点0P 逆时针旋转5π6后,点所以56t =秒时,点P 的横坐标为所以5π2sin 26ϕ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭,所以所以2π2π3k ϕ=+,所以2π2sin π2π+3x t k ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭所以t 秒钟后,点P 到直线l 故答案为:3-;32sin π⎛- ⎝24.4π【分析】设()πcos 6g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭结合条件证明1322x x x +=,(2)假设集合A 具有性质(4,)T p ,分别考虑1,2,3,4p =时,集合A 中的元素,即可根据(,)T n p 的定义求解.(3)根据假设存在j 使得1j c p +≥,考虑当1c n =时以及11p c n +<≤时,分量为1的个数即可讨论求解.【详解】(1)因为(1,1,0)(1,1,0)1111002⋅=⨯+⨯+⨯=,同理(1,0,1)(1,0,1)(0,1,1)(0,1,1)2⋅=⋅=.又(1,1,0)(1,0,1)1110011⋅=⨯+⨯+⨯=,同理(1,1,0)(0,1,1)(1,0,1)(0,1,1)1⋅=⋅=.所以集合{(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1)}A =具有性质(3,2)T .(2)当4n =时,集合A 中的元素个数为4.由题设{0,1,2,3,4}p ∈.假设集合A 具有性质(4,)T p ,则①当0p =时,{(0,0,0,0)}A =,矛盾.②当1p =时,{(1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,1,0),(0,0,0,1)}A =,不具有性质(4,1)T ,矛盾.③当2p =时,{(1,1,0,0),(1,0,1,0),(1,0,0,1),(0,1,1,0),(0,1,0,1),(0,0,1,1)}A ⊆.因为(1,1,0,0)和(0,0,1,1)至多一个在A 中;(1,0,1,0)和(0,1,0,1)至多一个在A 中;(1,0,0,1)和(0,1,1,0)至多一个在A 中,故集合A 中的元素个数小于4,矛盾.④当3p =时,{(1,1,1,0),(1,1,0,1),(1,0,1,1),(0,1,1,1)}A =,不具有性质()4,3T ,矛盾.⑤当4p =时,{(1,1,1,1)}A =,矛盾.综上,不存在具有性质(4,)T p 的集合A .(3)记12(1,2,,)j j j nj c t t t j n =+++=L L ,则12n c c c np +++=L .若0p =,则{(0,0,,0)}A =L ,矛盾.若1p =,则{(1,0,0,,0)}A =L ,矛盾.故2p ≥.假设存在j 使得1j c p +≥,不妨设1j =,即11c p +≥.当1c n =时,有j c =0或1j c =(2,3,,)j n =L 成立.所以12,,,n αααL 中分量为1的个数至多有(1)212≤n n n n np +-=-<.当11p c n +<≤时,不妨设11211,111,0p n t t t t +=====L .因为n n p αα⋅=,所以n α的各分量有p 个1,不妨设23,11n n n p t t t +====L .由i j ≠时,1i j αα⋅=可知,{2,3,,1}q p ∀∈+L ,121,,,,q q p q t t t +L 中至多有1个1,即121,,,p +αααL 的前1p +个分量中,至多含有121p p p ++=+个1.又1i n αα⋅=(1,2,,1)i p =+L ,则121,,,p +αααL 的前1p +个分量中,含有(1)(1)22p p p +++=+个1,矛盾.所以(1,2,,)j c p j n =L ≤.因为12n c c c np +++=L ,所以j c p =(1,2,,)j n =L .所以12(1,2,,)j j nj t t t p j n +++==L L .【点睛】求解新定义运算有关的题目,关键是理解和运用新定义的概念以及元算,利用化归和转化的数学思想方法,将不熟悉的数学问题,转化成熟悉的问题进行求解.对于新型集合,首先要了解集合的特性,抽象特性和计算特性,抽象特性是将集合可近似的当作数列或者函数分析.计算特性,将复杂的关系通过找规律即可利用已学相关知识求解.。
云南省曲靖市高一数学下学期期中试卷(含解析)-人教版高一全册数学试题
2016-2017学年某某省某某市高一(下)期中数学试卷一.选择题(本大题共12小题,每题5分共60分)1.sin15°cos15°的值是()A.B.C.D.2.已知角α的终边过点P(1,2),则tan()=()A.B.﹣ C.3 D.﹣33.已知向量,的夹角为120°,且||=1,||=2,则•(﹣2)=()A.﹣1 B.1 C.﹣3 D.34.已知正方形ABCD的边长为1,则|﹣|=()A.1 B.2 C.D.25.设向量的模为,则cos2α=()A.B.C.D.6.下列函数中,最小正周期为π的偶函数是()A.y=sinx+cosx B.y=cos4x﹣sin4xC.y=cos|x| D.y=7.如图,已知△ABC, =3, =, =,则=()A.+B.+C.+D.+8.函数y=﹣xcosx的部分图象是()A.B.C.D.9.若函数f(x)=cos(2x+θ)(0<θ<π)的图象关于(π,0)对称,则函数f(x)在[﹣,]上的最小值是()A.﹣B.﹣1 C.﹣ D.﹣10.已知向量,的夹角为,||=1,||=,若=+, =﹣,则在上的投影是()A.﹣B.C.﹣2 D.211.若直线xcosα+ysinα﹣1=0与圆(x﹣1)2+(y﹣sinα)2=相切,α为锐角,则斜率k=()A.﹣B.C.﹣D.12.已知f(x)是定义在R上的偶函数,在[0,+∞)上是增函数,若a=f(sin),b=f(cos),c=f(tan),则()A.a>b>c B.c>a>b C.b>a>c D.c>b>a二.填空题(本大题共4小题,每题5分共20分)13.已知,是两个不共线的非零向量,若2+k与k+共线,则k的值是.14.计算﹣=.15.若函数y=sinx+cosx的图象向左平移φ>0个单位后,所得图象关于y轴对称,则φ的最小值是.16.已知函数y=cos2x+2cos(x+),则y的取值X围是.三.解答题(本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)17.在平面直角坐标系中,O为坐标原点,已知A(﹣2,0),B(0,﹣2),C(cosφ,sinφ),其中0<φ<π.(Ⅰ)若•=,求sin2φ的值;(Ⅱ)若|+|=,求与的夹角θ.18.如图,在平面直角坐标系xOy中,以Ox轴为始边作两个锐角α,β,它们的终边分别与单位圆相交于A,B两点,已知A,B的横坐标分别为,.(Ⅰ)求sin(α﹣β)的值;(Ⅱ)求α+2β的值.19.已知函数f(x)=sin2x+2sinxcosx+3cos2x+α的最大值与最小值之和为﹣2.(Ⅰ)求函数f(x)的解析式;(Ⅱ)求使得函数f(x)≥0成立的x的集合.20.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)﹣cos(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π),对于任意x ∈R满足f(﹣x)=f(x),且相邻两条对称轴间的距离为.(Ⅰ)求y=f(x)的解析式;(Ⅱ)求函数的单调减区间.21.已知f(x)=(1+)sin2x﹣2sin(x+)sin(x﹣).(Ⅰ)若sinθ+cosθ=,其中,求f(θ)的值;(Ⅱ)当≤x时,求函数f(x)的值域.22.已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,﹣<φ<0)的图象上任意两点(x1,f (x1),(x2,f(x2)),且φ的终边过点(1,﹣),若|f(x1)﹣f(x2)|=4时,|x1﹣x2|的最小值为.(Ⅰ)求f(x)的解析式;(Ⅱ)若对于任意的x∈[0,],不等式mf(x)=2m≥f(x)恒成立,某某数m的取值X 围.2016-2017学年某某省某某市宣威九中高一(下)期中数学试卷参考答案与试题解析一.选择题(本大题共12小题,每题5分共60分)1.sin15°cos15°的值是()A.B.C.D.【考点】GS:二倍角的正弦.【分析】根据二倍角的正弦公式将sin15°cos15°化为sin30°,再进行求值.【解答】解:sin15°cos15°=sin30°=,故选B.2.已知角α的终边过点P(1,2),则tan()=()A.B.﹣ C.3 D.﹣3【考点】G9:任意角的三角函数的定义.【分析】直接利用任意角的三角函数,求出tanα,根据二倍角求解即可.【解答】解:角α的终边为点P(1,2),即x=1,y=2,∴tanα=.tan()==故选:A.3.已知向量,的夹角为120°,且||=1,||=2,则•(﹣2)=()A.﹣1 B.1 C.﹣3 D.3【考点】9R:平面向量数量积的运算.【分析】将式子展开计算即可.【解答】解: =1, =4, =1×2×cos120°=﹣1,∴则•(﹣2)=﹣2=1﹣2×(﹣1)=3.故选D.4.已知正方形ABCD的边长为1,则|﹣|=()A.1 B.2 C.D.2【考点】9R:平面向量数量积的运算.【分析】作出图形,利用平面向量加法的三角形法及向量的模的几何意义即可求得|﹣|=||=,从而可得答案.【解答】解:正方形ABCD的边长为1,如图:则|﹣|=|+|=||=,故选:C.5.设向量的模为,则cos2α=()A.B.C.D.【考点】GT:二倍角的余弦;93:向量的模.【分析】由向量的模为,可求出sinα的平方,代入cos2α=1﹣2sin2α 可求出cos2α 的值.【解答】解:∵向量的模为,∴+cos2α=,cos2α=,∴cos2α=2cos2α﹣1=﹣,故选B.6.下列函数中,最小正周期为π的偶函数是()A.y=sinx+cosx B.y=cos4x﹣sin4xC.y=cos|x| D.y=【考点】H1:三角函数的周期性及其求法.【分析】利用三角函数的奇偶性和周期性,判断各个选项中的函数的奇偶性和周期性,从而得出结论.【解答】解:由于y=sinx+cosx=sin(x+),故它的最小正周期为2π,故排除A;由于y=cos4x﹣sin4x=(cos2x﹣sin2x)•(cos2x+sin2x)=cos2x,故它的最小正周期为π,且它是偶函数,故B满足条件;由于y=cos|x|=cosx,它的最小正周期为2π,故排除C;由于y==•tan2x,故该函数为奇函数,不满足条件,故排除D,故选:B.7.如图,已知△ABC, =3, =, =,则=()A.+B.+C.+D.+【考点】9F:向量的线性运算性质及几何意义.【分析】利用三角形法则得出结论.【解答】解: ====.故选C.8.函数y=﹣xcosx的部分图象是()A.B.C.D.【考点】3O:函数的图象.【分析】由函数奇偶性的性质排除A,C,然后根据当x取无穷小的正数时,函数小于0得答案.【解答】解:函数y=﹣xcosx为奇函数,故排除A,C,又当x取无穷小的正数时,﹣x<0,cosx→1,则﹣xcosx<0,故选:D.9.若函数f(x)=cos(2x+θ)(0<θ<π)的图象关于(π,0)对称,则函数f(x)在[﹣,]上的最小值是()A.﹣B.﹣1 C.﹣ D.﹣【考点】H7:余弦函数的图象.【分析】利用余弦函数的图象对称性,诱导公式,求得f(x)的解析式,再利用正弦函数的定义域和值域,求得函数f(x)在[﹣,]上的最小值.【解答】解:∵函数f(x)=cos(2x+θ)(0<θ<π)的图象关于(π,0)对称,故有f (π)=cos(2π+θ)=0,故有θ=kπ+,k∈Z,∴θ=,f(x)=﹣sin2x.在[﹣,]上,2x∈[﹣,],故当2x=﹣时,f(x)取得最小值是﹣1,故选:B.10.已知向量,的夹角为,||=1,||=,若=+, =﹣,则在上的投影是()A.﹣B.C.﹣2 D.2【考点】9R:平面向量数量积的运算.【分析】依题意,可求得•=,•=(+)•(﹣)=﹣2,及||=1,于是可求在上的投影==﹣2.【解答】解:∵向量,的夹角为,||=1,||=,∴•=||||cos=1××=,又=+, =﹣,∴•=(+)•(﹣)=﹣=1﹣3=﹣2,又=﹣2•+=1﹣2×1××+3=1,∴||=1,∴在上的投影为==﹣2,故选:C.11.若直线x cosα+ysinα﹣1=0与圆(x﹣1)2+(y﹣sinα)2=相切,α为锐角,则斜率k=()A.﹣B.C.﹣D.【考点】J9:直线与圆的位置关系.【分析】根据圆心到直线的距离等于半径即可求解.【解答】解:直线xcosα+ysinα﹣1=0,圆(x﹣1)2+(y﹣sinα)2=,可知圆心为(1,sinα).半径r=.圆心到直线的距离d=.可得:cos2a﹣cosα±=0,∵α为锐角,∴cosα=.∴sinα=.那么斜率k==﹣.故选:A.12.已知f(x)是定义在R上的偶函数,在[0,+∞)上是增函数,若a=f(sin),b=f(cos),c=f(tan),则()A.a>b>c B.c>a>b C.b>a>c D.c>b>a【考点】3N:奇偶性与单调性的综合.【分析】根据题意,由三角函数的诱导公式可得a=f(sin)=f(﹣sin),b=f(﹣cos),结合函数的奇偶性可得a=f(sin),b=f(cos),结合三角函数的定义分析可得0<cos<sin<1<tan,结合函数的奇偶性即可得答案.【解答】解:根据题意,sin=sin(2π﹣)=﹣sin,则a=f(sin)=f(﹣sin),cos=cos(π﹣)=﹣cos,b=f(﹣cos),又由函数f(x)是定义在R上的偶函数,则a=f(sin)=f(﹣sin)=f(sin),b=f(﹣cos)=f(cos),又由<<,则有0<cos<sin<1<tan,又由函数在[0,+∞)上是增函数,则有c>a>b;故选:B.二.填空题(本大题共4小题,每题5分共20分)13.已知,是两个不共线的非零向量,若2+k与k+共线,则k的值是.【考点】9K:平面向量共线(平行)的坐标表示.【分析】2+k与k+共线,可得存在实数λ使得2+k=λ(k+),又,是两个不共线的非零向量,根据平面向量基本定理即可得出.【解答】解:∵2+k与k+共线,∴存在实数λ使得2+k=λ(k+),又,是两个不共线的非零向量,∴2=λk,k=λ,解得k=.故答案为:.14.计算﹣=.【考点】GI:三角函数的化简求值.【分析】将切化弦,通分,利用和与差公式换化角度相同,可得答案.【解答】解:由﹣====.故答案为:.15.若函数y=sinx+cosx的图象向左平移φ>0个单位后,所得图象关于y轴对称,则φ的最小值是.【考点】HJ:函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换;GL:三角函数中的恒等变换应用.【分析】由条件根据函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律,正弦函数的图象的对称性,求得φ的最小值.【解答】解:把函数y=sinx+cosx=2sin(x+)的图象向左平移φ>0个单位,所得的图象对应的函数的解析式为y=2sin(x++φ),再根据所得图象关于y轴对称,可得+φ=kπ+,k∈z,可得:φ=kπ+,k∈z,则m的最小值为,故答案为:.16.已知函数y=cos2x+2cos(x+),则y的取值X围是[﹣3,].【考点】GL:三角函数中的恒等变换应用.【分析】利用二倍角,诱导公式化简,转化为二次函数即可求y的取值X围.【解答】解:函数y=cos2x+2cos(x+)=1﹣2sin2x﹣2sinx=1﹣2(sin2x+sinx+)+=﹣2(sinx+)2.当sinx=时,y可取得最大值为.当sinx=1时,y可取得最小值为sinx==﹣3.则y的取值X围是[﹣3,].故答案为:[﹣3,].三.解答题(本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)17.在平面直角坐标系中,O为坐标原点,已知A(﹣2,0),B(0,﹣2),C(cosφ,sinφ),其中0<φ<π.(Ⅰ)若•=,求sin2φ的值;(Ⅱ)若|+|=,求与的夹角θ.【考点】9J:平面向量的坐标运算.【分析】(I)=(cosφ+2,sinφ),=(cosφ,si nφ+2),利用•=,可得cosφ+sinφ=,两边平方即可得出.(II)由|+|=,可得=,化为:cosφ=,0<φ<π.解答φ.利用cosθ=,即可得出.【解答】解:(I)=(cosφ+2,sinφ),=(cosφ,sinφ+2),•=,∴cosφ(cosφ+2)+sinφ(sinφ+2)=,∴cosφ+sinφ=,两边平方可得:sin2φ=﹣.(II)∵|+|=,∴=,化为:cosφ=,∵0<φ<π.∴φ=.∴C.∴cosθ===﹣,∴θ=.即与的夹角为.18.如图,在平面直角坐标系xOy中,以Ox轴为始边作两个锐角α,β,它们的终边分别与单位圆相交于A,B两点,已知A,B的横坐标分别为,.(Ⅰ)求sin(α﹣β)的值;(Ⅱ)求α+2β的值.【考点】GI:三角函数的化简求值;G9:任意角的三角函数的定义.【分析】(Ⅰ)由已知求出cosα,cosβ的值,再由平方关系求出sinα,sinβ的值,结合两角差的正弦求得sin(α﹣β)的值;(Ⅱ)由(Ⅰ)求出sin(α+β)、cos(α+β)的值,利用拆角配角思想求得sin(α+2β),结合角的X围求得α+2β的值.【解答】解:(Ⅰ)由已知可得,,∵α,β为锐角,∴sinα=,sinβ=.∴sin(α﹣β)=sinαcosβ﹣cosαsinβ=﹣=;(Ⅱ)sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ=+=,cos(α+β)==.∴sin(α+2β)=sin[(α+β)+β]=sin(α+β)cosβ+cos(α+β)sinβ==.又0<α+2β<,∴α+2β=.19.已知函数f(x)=sin2x+2sinxcosx+3cos2x+α的最大值与最小值之和为﹣2.(Ⅰ)求函数f(x)的解析式;(Ⅱ)求使得函数f(x)≥0成立的x的集合.【考点】GL:三角函数中的恒等变换应用;H2:正弦函数的图象.【分析】(Ⅰ)利用二倍角和两角和与差以及辅助角公式基本公式将函数化为y=Asin (ωx+φ)的形式,结合三角函数的图象和性质,求出f(x)的最大值和最小值,可得a的值,即得到f(x)的解析式.(Ⅱ)函数f(x)≥0,结合三角函数的图象和性质,求解即可.【解答】解:函数f(x)=sin2x+2sinxcosx+3cos2x+α.化简可得:f(x)=cos2x+sin2x+cos2x++a=cos2x+sin2x+2+a=2sin(2x+)+2+a.(Ⅰ)∵sin(2x+)的最大值为1,最小值为﹣1.∴4+2a=﹣2,则 a=﹣3.∴函数f(x)的解析式为f(x)=2sin(2x+)﹣1.(Ⅱ)函数f(x)≥0,即2sin(2x+)﹣1≥0.得:sin(2x+).∴≤2x+≤.k∈Z.解得:kπ≤x≤,故得使得函数f(x)≥0成立的x的集合为{x|kπ≤x≤,k∈Z}.20.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)﹣cos(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π),对于任意x ∈R满足f(﹣x)=f(x),且相邻两条对称轴间的距离为.(Ⅰ)求y=f(x)的解析式;(Ⅱ)求函数的单调减区间.【考点】GL:三角函数中的恒等变换应用;H2:正弦函数的图象.【分析】(Ⅰ)利用辅助角公式基本公式将函数化为y=Asin(ωx+φ)的形式,相邻两条对称轴间的距离为.根据周期公式,可得ω,f(﹣x)=f(x),函数f(x)是偶函数,可得φ.即得f(x)的解析式;(Ⅱ)函数,将f(x)代入化简,求解函数y,结合三角函数的图象和性质,可得单调减区间.【解答】解:函数f(x)=sin(ωx+φ)﹣cos(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π),化简可得:f(x)=2sin(ωx+φ)(Ⅰ)∵f(﹣x)=f(x),即函数f(x)是偶函数.∴φ=,k∈Z.∵0<φ<π∴φ=.相邻两条对称轴间的距离为.即T=.∵T=.∴ω=2.故得f(x)=2f(x)=2sin(2x+)=2cos2x.(Ⅱ)函数,f(x)=2cos2x.∴y=2cos2x+2cos2(x+)=2cos2x﹣2sin2x=﹣2sin(2x﹣)令2x﹣,k∈Z.得:≤x≤∴函数y的单调减区间:[,],k∈Z.21.已知f(x)=(1+)sin2x﹣2sin(x+)sin(x﹣).(Ⅰ)若sinθ+cosθ=,其中,求f(θ)的值;(Ⅱ)当≤x时,求函数f(x)的值域.【考点】GL:三角函数中的恒等变换应用;H2:正弦函数的图象.【分析】(Ⅰ)切化弦,利用二倍角和两角和与差以及辅助角公式基本公式将函数化为y=Asin(ωx+φ)的形式,利用sinθ+cosθ=,其中,转化思想构造出f(θ),即可求解.(Ⅱ)当≤x时,求出内层函数的取值X围,结合三角函数的图象和性质,即得到f(x)的值域.【解答】解:函数f(x)=(1+)sin2x﹣2sin(x+)sin(x﹣).化简可得:f(x)=sin2x+2sin(x+)cos(x+)=sin2x+sinxcosx+sin2(x+)=cos2x+sin2x+cos2x═cos2x+sin2x+=sin(2x+).(Ⅰ)∴f(θ)=sin(2θ+).∵sinθ+cosθ=,其中,∴1+sin2θ=,即sin2θ=.∴cos2θ=.∴f(θ)=sin(2θ+)=(sin2θ+cos2θ)+=(Ⅱ)当≤x时,可得: 2x+≤.当2x+=时,f(x)取得最大值为=.当2x+=时,f(x)取得最大值为=0.故得当≤x时,函数f(x)的值域为[0,].22.已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,﹣<φ<0)的图象上任意两点(x1,f(x1),(x2,f(x2)),且φ的终边过点(1,﹣),若|f(x1)﹣f(x2)|=4时,|x1﹣x2|的最小值为.(Ⅰ)求f(x)的解析式;(Ⅱ)若对于任意的x∈[0,],不等式mf(x)=2m≥f(x)恒成立,某某数m的取值X 围.【考点】H2:正弦函数的图象;GL:三角函数中的恒等变换应用.【分析】(1)由函数的图象经过定点求得φ,由函数的最大值和最小值求出ω,可得函数的解析式.(2)条件即等价于,利用正弦函数的定义域和值域求得函数1﹣的最大值,可得m的X围.【解答】解:(1)角φ的终边经过点,,∵,∴.由|f(x1)﹣f(x2)|=4时,|x1﹣x2|的最小值为,得,即,∴ω=3,∴.(2)当时,3x﹣∈[﹣,],sin(3x﹣)∈[﹣,],∴,于是,2+f(x)>0,即mf(x)+2m≥f(x),等价于,由,得的最大值为,所以,实数m的取值X围是.。
高一数学期中考试试题及答案
1.已知全集 U={0, 1 , 2, 3, 4},2.设集合M x 0 x 2 , N高一数学期中考试试题第I 卷选择题(共60 分)、选择题:(本大题共12小题,每小题5分,共60分•在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的) M={0 , 1, 2} , N={2 , 3},则(C u M )n N =A • 2,3,4B • 2C • 3D •0,1,2,3,4y 0 y 2 ,给出如下四个图形,其中能表示从集合 M 到集合N 的A.[ 4, )B. [0,5]C. [ 4,5] 25. 3log342733lg0.01 lneA. 14B. 0C. 1 6.在映射f : AB 中,A B{(x,y)|x, y 在集合B 中的像为A. ( 1, 3)B. (1,3)C. (3,1)D. [ 4,0]D. 6R},且 f : (x, y) (x y, x y),则 A 中的元素(1,2)D. ( 3,1)7.三个数a 0.312, b log 20.31 , c 2。
31之间的大小关系为函数关系的是3.设 f x 3x 3x 8,用二分法求方程 3x 3x 8 1,2内近似解的过程中得 f 1 0, f 1.5 0, f 1.25 0 ,则方程的根落在区间 A. (1,1.25) B. (1.25,1.5) C.(1.5,2) D. 不能确定 4.二次函数f (x ) x 24x (x [0,5])的值域为12.若函数f (x)为定义在R 上的奇函数,且在(0,)内是增函数,又f(2) 0,则不等式xf(x) 0的解集为-A . ( 2,0) U(2,)B. ( , 2)U(0,2) 一已知函数y f (x)在R 上为奇 函数,且当 x 0时, f(x) x 22x ,贝析式为A . f(x) x(x 2)B .f(x) x(x 2) C. f(x) x(x 2)D.f(x)x(x 2)函数y a x 与ylog a x(a 0,且a 1)在同一坐标系中的图像只可能是8. x 0时,函数f(x)的解10.设 log a 2 2 0,则9. A. 0 B. D.11.函数 f(x) 4x 5在区间[0, m ]上的最大值为5, 最小值为1,则实数m 的取值范围是A.[2,B.[2,4] C. [0,4] D.(2,4] C. ( , 2)U(2,) D. ( 2,0) (0,2)13.函数 f(X )2x 3 (x Xz2(x 2),则f [f( 3)]的值为2)x 0在区间 a, b 上高一数学期中考试答题卷、选择题:(本大题小共12题,每小题5分,共60分•在每小题给出的四 第II 卷非选择题(共90分)、填空题:(本大题共4小题,每小题4分,共16 分)14.计算: log 4 3 log 9 815. 二次函数y kx 24x 8在区间[5,20]上是减少的,则实数 k 的取值范围为 _____________________ 16. 给出下列四个命题:① 函数y |x|与函数y c x)2表示同一个函数;② 奇函数的图像一定通过直角坐标系的原点;2 2③ 函数y 3(x 1)的图像可由y 3x 的图像向右平移1个单位得到; ④若函数f (x)的定义域为[0,2],则函数f(2x)的定义域为[0,4]; ⑤设函数f x 是在区间a,b 上图像连续的函数,且 f a f b 0 ,则方程 至少有一实根;个选项中,只有一项是符合题目要求的)其中正确命题的序号是________________ •(填上所有正确命题的序号)已知函数f(x) 2x1 2x 1 .三、解答题:(本大题共6小题,共74分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17. (本题满分12分)已知全集U R,集合A XX 4,或x 1,B x 3 x 1 2,(1)求AB、(C U A) (QB);(2)若集合M x2k 1 x 2k 1是集合A的子集,求实数k的取值范围.18. (本题满分12分)⑴判断函数f(x)的奇偶性,并证明;⑵利用函数单调性的定义证明: f (x)是其定义域上的增函数19. (本题满分12分)已知二次函数f(x) x2 2ax 1 a在区间0,1上有最大值2,求实数a的值20. (本题满分12分)函数f (x) log a(3 ax)(a 0,a 1)(1)当a 2时,求函数f (x)的定义域;(2)是否存在实数a,使函数f (x)在[1,2]递减,并且最大值为1,若存在,求出a的值;若不存在,请说明理由21. (本题满分13分)广州亚运会纪念章委托某专营店销售,每枚进价5元,同时每销售一枚这种纪念章需向广州亚组委交特许经营管理费2元,预计这种纪念章以每枚20元的价格销售时该店一年可销售2000枚,经过市场调研发现每枚纪念章的销售价格在每枚20元的基础上每减少一元则增加销售 400枚,而每增加一元则减少销售 100 枚,现设每枚纪念章的销售价格为X元.(1) 写出该专营店一年内销售这种纪念章所获利润y(元)与每枚纪念章的销售价格x(元)的函数关系式(并写出这个函数的定义域);(2) 当每枚纪念章销售价格x为多少元时,该特许专营店一年内利润y(元)最大,并求出最大值.22. (本题满分13分)设f(X)是定义在R上的奇函数,且对任意 a、b R,当a b 0时,都有丄® 理0. a b(1)若a b,试比较f (a)与f (b)的大小关系;(2)若f(9X2 3X) f (2 9X k) 0对任意x [0,)恒成立,求实数k的取值范围题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案CDBCBDCAABBD• 2分 • 4分6分 10分12分 • 1分x 1 x 22x1参考答案131 13.15・(,0)(0, ] 16.8 410三、解答题: 17.(1)B x 3 x 1 2 x 2 x 3ABx1x 3 ,(C U A) (C U B) xx1,或x 3(2)由题意:2k 11 或 2k 14 ,5解得:k 1或k 5.218.(1) f (x)为奇函数.2x2, 2x1 2x20,又 2x11 0,2x210,又 f( x)2 %1 1 2x2X1 f (x)2 x 1 1 2x2X 1f (x)为奇 :函数(2) f(x) 1 22x 1任取 x 1、 x 2 R , 设x 1 X 2 ,2x 1 0, f (x)的定义域为R , 2f(xj f(X 2)(1 J J(1 X 21)2(11)2(2x1 2x2) 0 1)(2x21)f(xj f(X 2)0, f(xjf(X 2).f (x)在其定义域R 上是增函数12分、选择题: 、填空题:③⑤19.函数f (x)的对称轴为:x a ,当a 0时,f(x)在[0,1]上递减, f (0) 2,即1 a 2, a 1 ;当0 a 1时,f(x)在[0,a ]递增,在[a,1]上递减, 与0 a 1矛盾;综上:a 1或a 2 20. ( 1 )由题意:f(x) log 2(3 2x), 3 2x f (a)2,即 a 2a 12,解得:a12分0,即 卩 x所以函数f(x)的定义域为( (2)令 u 3 ax ,则 u 3 ax 在[1,2]上恒正, a 0, a 3 a 2 0,即卩 a (0,1) (%)又函数f(x)在[1,2]递减, u 3 ax 在[1,2]上单调递减, 1,即 又 函数f (x)在[1,2]的最大值为 1, f(1) 即 f (1) log a (3 a 1) 1,3 ax 在[1,2]上单调递减,a d,|)11分 3 3 a 2与a (1,2)矛盾,12分依题意y[2000 400(20 x)](x 7), 7 x 20, x N [2000 100(x 20)](x 7), 20 x 40, x N400[(x 2佝281],7 x20, x Ny47 21089100[(x 2)4 ], 20 x 40, x N定义域为x N 7 x 40400[(x 16)2 81], 7 x 20, x Na 不存在. ⑵•- y 2 100[(x 21. (1) •••当 0 当20 综上:当x 16时, x 20时,则x ^089], 20 x 40,x N ' 4 16 , Y max 32400 (元)47 2 , Y max该特许专营店获得的利润最大为 x 40时,则x 27225 (元) 32400 元. 10分13分22. (1)因为a b ,所以a b 0 ,由题意得: ―0,所以 f(a) f( b) 0 , a b又f (x)是定义在R 上的奇函数,f (9x 2 3x ) f (2 9x k) 0对任意x[0, )恒成立,f (9x 2 3x )f (2 9x k) ,即 f(9x 2 3x)f(k 2 9x ),.....9分9x 2 3xk 2 9x,k x3 92 3 x对任意 x [0,)恒成立,即k 小于函数u 3 9X2 3X,x [0,)的最小值...... 11分xxx21 2 1令 t 3x,则 t [1,) u 3 9x 2 3x 3t 22t 3(t- 1, 3 3k 1..... 13 分。
2013学年高一数学下学期期中试题及答案(新人教A版 第47套)
2012-2013学年度下学期期中模块检测 高一数学试题第Ⅰ卷(选择题 共60分)一选择题:本大题共12小题.每小题5分,共60分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合要求的1.若角0600的终边上有一点()a ,4-,则a 的值是( )A .34B .34-C .34±D .32.已知)1,(),2,1(x b a ==且)2(b a +∥)2(b a -,则x 为: ( ) A .2- B .2C .21 D .21-3.sin 585°的值为( )A. 2-B.2C.43,42-=∙==b a为: ( ) A .23 B .47C .14D .65. 下列函数中,最小正周期为π,且图象关于直线3π=x 对称的是( )A .)32sin(π-=x y B .)62sin(π-=x y C .)62sin(π+=x yD .)62sin(π+=x y6. 已知a 、b 是非零向量且满足(2)-⊥a b a ,(2)-⊥b a b ,则a 与b 的夹角是 ( ) A .6πB .3πC .32π D .65π7. 将x y 4sin =的图象向左平移12π个单位,得到)4sin(ϕ+=x y 的图象,则ϕ等于 ( )A.12π-B.3π-C.3π D.12π8. 已知函数3cos(2)y x ϕ=+的图象关于点43π⎛⎫⎪⎝⎭,0中心对称,则||ϕ的最小值为 ( ) A. 3π-B.2π9. 为了得到sin 2y x =的图象,只需将sin(2)3y x π=+的图象 ( )A .向右平移12π个长度单位 B .向右平移6π个长度单位C .向左平移6π个长度单位 D .向左平移12π个长度单位10. 设P 1(2,-1),P 2(0,5),且P 在P 1,P 2延长线上,使||2||21PP P P =,则点P为( ) A 、(-2,11)B 、(43,3) C 、(32,3)D 、(2,-7)11、函数y=3sin 23x π⎛⎫-⎪⎝⎭的单调递增区间是( )。
2024年最新人教版初一数学(下册)期中考卷及答案(各版本)
2024年最新人教版初一数学(下册)期中考卷一、选择题(每题3分,共30分)1. 下列哪个数是正数?A. 3B. 0C. 1/2D. 1/22. 一个数的绝对值是它本身的数是?A. 正数B. 负数C. 零D. 正数和零3. 下列哪个数是分数?A. 0.5B. 3/4C. 0.333D. 14. 下列哪个数是无理数?A. 3B. 2/3C. √2D. 0.255. 下列哪个数是整数?A. 1/2B. 0.5C. 3D. 0.3336. 下列哪个数是正整数?A. 0B. 1C. 1D. 1/27. 下列哪个数是负整数?A. 0B. 1C. 1D. 1/28. 下列哪个数是奇数?A. 0B. 2C. 3D. 49. 下列哪个数是偶数?A. 1B. 2C. 3D. 410. 下列哪个数是质数?A. 0B. 1C. 2D. 4二、填空题(每题4分,共20分)1. 5的绝对值是______。
2. 2的相反数是______。
3. 3/4的倒数是______。
4. 5的平方是______。
5. 2的立方根是______。
三、解答题(每题10分,共50分)1. 解方程:2x 3 = 7。
2. 解不等式:3x + 4 > 11。
3. 解方程组:x + y = 5, x y = 1。
4. 解不等式组:x > 2, x < 5。
5. 计算下列表达式的值:(3 + 4) × (5 2) ÷ 2。
四、应用题(每题15分,共30分)1. 小明买了5本书,每本书的价格是8元。
他付了50元,应该找回多少元?2. 一个长方形的长是6厘米,宽是4厘米。
求这个长方形的面积。
五、附加题(每题10分,共20分)1. 证明:对于任意实数a,a的平方总是非负的。
2. 解析几何:在平面直角坐标系中,点A(2, 3),点B(5, 1)。
求线段AB的长度。
选择题答案:1. C2. D3. B4. C5. C6. C7. C8. C9. B10. C填空题答案:1. 52. 23. 4/34. 255. 1.2599210498948732(约等于1.26)解答题答案:1. x = 52. x > 33. x = 3, y = 24. 2 < x < 55. 13应用题答案:1. 找回的金额为10元。
高一数学a版必修一期中考试试题及答案
高一数学a版必修一期中考试试题及答案一、选择题(本题共10小题,每小题3分,共30分。
每小题只有一个选项是正确的,请将正确答案的序号填在题后的括号内)1. 下列函数中,不是一次函数的是()A. y = 2x + 3B. y = 3x - 1C. y = x^2 - 4D. y = 5x2. 已知集合A={1, 2, 3},B={2, 3, 4},则A∩B等于()A. {1}B. {2, 3}C. {3}D. {2, 3, 4}3. 若方程x^2 - 5x + 6 = 0的两个根为x1和x2,则x1 + x2等于()A. 5B. 6C. -5D. -64. 函数y = 2x - 1的图象经过点(3, 5),则函数y = -2x + 1的图象经过点()A. (3, -5)B. (-3, 5)C. (-3, -5)D. (3, -1)5. 已知等差数列{an}的公差d=2,且a1=1,则a5等于()A. 9B. 11C. 15D. 176. 函数y = 3x^2 - 6x + 2的顶点坐标是()A. (1, -1)B. (2, -2)C. (1, 1)D. (2, 2)7. 已知a,b,c是三角形的三边长,且a^2 + b^2 = c^2,那么这个三角形是()A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 不能确定8. 函数y = 1/x的图象是()A. 一条直线B. 两条直线C. 一个抛物线D. 两个分支9. 已知f(x) = x^2 - 6x + 8,那么f(-x)等于()A. x^2 + 6x + 8B. x^2 + 6x - 8C. x^2 - 6x - 8D. -x^2 + 6x + 810. 函数y = x^3 - 3x^2 + 4x - 2的导数是()A. 3x^2 - 6x + 4B. x^2 - 6x + 4C. 3x^2 - 6x + 2D. x^2 - 6x + 2二、填空题(本题共5小题,每小题4分,共20分。
新课标人教版B版高一数学必修2期中期末试卷(含答案)(2套)
普通高中课程标准实验教科书——数学第二册[人教版]高中学生学科素质训练新课标高一数学同步期中测试本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分.共150分.第Ⅰ卷(选择题,共50分)一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请把正确答案的代号填在题后的括号内(每小题5分,共50分). 1.一个棱锥所有的棱长都相等,则该棱锥一定不是 ( ) A .三棱锥 B .四棱锥 C .五棱锥 D .六棱锥 2.面积为Q 的正方形,绕其一边旋转一周,则所得几何体的侧面积为 ( ) A .πQ B .2πQ C . 3πQ D . 4πQ3.已知高与底面的直径之比为2:1的圆柱内接于球,且圆柱的体积为500π,则球的体积 为 ( )A .π53500B .π5310000C .π5320000 D .π5325004.到空间四点距离相等的平面的个数为 ( )A .4B .7C .4或7D .7或无穷多 5.在阳光下一个大球放在水平面上, 球的影子伸到距球与地面接触点10米处, 同一时刻, 一根长1米一端接触地面且与地面垂直的竹竿的影子长为2米, 则该球的半径等于 ( ) A .10(5-2)米 B .(6-15)米C .(9-45)米D .52米6.已知ABCD 是空间四边形,M 、N 分别是AB 、CD 的中点,且AC =4,BD =6,则 ( )A .1<MN <5B .2<MN <10C .1≤MN ≤5D .2<MN <57.空间一个角的两边分别垂直于另一角的两边,则这两个角 ( )A .相等B .互补C .相等或互补D . 不确定8.已知平面α ⊥平面β ,m 是α 内一条直线,n 是β 内一条直线,且m ⊥n .那么,甲:m ⊥β ;乙:n ⊥α ;丙:m ⊥β 或n ⊥α ;丁:m ⊥β 且n ⊥α .这四个结论中,不正确的三个是( )A .甲、乙、丙B .甲、乙、丁9.如图,A —BCDE 是一个四棱锥,AB ⊥平面BCDE ,且四边 形BCDE 为矩形,则图中互相垂直的平面共有( )A .4组B .5组C .6组D .7组10.棱台的两底面积分别为S 上、S 下、平行于底面的戴面把棱台的高自上而下分为两段之比 为m ∶n 则截面面S 0为 ( )A .nm mS nS ++下上B .n m S m S n ++下上C .(nm mS nS ++下上)2D .(nm S m S n ++下上)2第Ⅱ卷(非选择题,共100分)二、填空题:请把答案填在题中横线上(每小题6分,共24分).11.半径为a 的球放在墙角,同时与两墙面和地面相切,那么球心到墙角顶点的距离为 .12.α 、β 是两个不同的平面,m 、n 是平面α 及β 之外的两条不同直线,给出四个论断:(1)m ⊥n (2)α ⊥β (3)n ⊥β (4)m ⊥α 以其中三个论断作为条件,余下一个论断作为结论,写出你认为正确的一个命题___________.13.如图,三棱柱ABC —A 1B 1C 1中,若E 、F 分 别为AB 、AC 的中点,平面EB 1C 1将三棱柱分成体积为V 1、V 2的两部分,那么V 1∶V 2= _____.14.还原成正方体后,其中两个完全一样的是.(1) 三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(共76分). 15.(12分)如图,长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中被截去一部分,其中EF ∥A 1D 1.剩下的几何体是什么?截取的几何体是什么?若FH ∥EG ,但FH<EG ,截取的几何体是什么?① ②③ ⑤ ⑥ ④④ ⑥ ①⑤ ③②① ⑤ ⑥ ④③ ②④ ② ⑥ ③ ①⑤16.(12分)有一正三棱锥和一个正四棱锥,它们的所有棱长都相等,把正三棱锥和正四棱锥的一个全等的面重合.①说明组合体是什么样的几何体?②证明你的结论.17.(12分)正四棱台的高,侧棱,对角线长分别为7cm,9cm,11cm,求它的侧面积.18.(12分)三棱锥S-ABC的三条侧棱两两垂直,SA=5,SB=4,SC=3,D为AB中点,E为AC中点,求四棱锥S-BCED的体积.19.(14分)如图,在正方体ABCD A B C D E F BB CD -11111中,、分别是、的中点 (1)证明:AD D F ⊥1; (2)求AE D F 与1所成的角; (3)证明:面面AED A FD ⊥11.20.(14分)如图,△ABC为正三角形,EC⊥平面ABC,BD∥CE,CE=CA=2 BD,M是EA的中点,求证:(1)DE=DA;(2)平面BDM⊥平面ECA;(3)平面DEA⊥平面ECA.高一新数学期中测试题参考答案一、DBDDA ADBCD.二、11a3;12.①③④⇒②;13.7∶5;14.②③;三、15.五棱柱,三棱柱,三棱台。
湖南省娄底市高一数学下学期期中试卷(含解析)-人教版高一全册数学试题
某某省某某市2014-2015学年高一下学期期中数学试卷一、选择题(每小题4分,每小题只有一个正确选项)1.一个容量为20的样本,已知某组的频率为0.25,则该组的频数为()A.2 B.5 C.15 D.802.某校高中生共有900人,其中2014-2015学年高一年级有300人,2014-2015学年高二年级有200人,2015届高三年级有400人,现采用分层抽样方法抽取一个容量为45的样本,则2014-2015学年高一、2014-2015学年高二、2015届高三年级抽取的人数分别为()A.10,15,20 B.15,15,15 C.20,5,20 D.15,10,203.下列给出的赋值语句中正确的是()A.3=A B.M=﹣M C.B=A=2 D.x+y=04.把77化成四进制数的末位数字为()A.4 B.3 C.2 D.15.从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球,那么互斥而不对立的两个事件是()A.至少有1个白球;都是白球B.至少有1个白球;至少有1个红球C.恰有1个白球;恰有2个白球D.至少有一个白球;都是红球6.在如图所示的“茎叶图”表示的数据中,众数和中位数分别是()A.23与26 B.31与26 C.24与30 D.26与307.用秦九韶算法求多项式f(x)=7x7+6x6+5x5+4x4+3x3+2x2+x,当x=3时,v3的值为()A.27 B.86 C.262 D.7898.假设关于某设备使用年限x(年)和所支出的维修费用y(万元)有如下统计资料:x 1 2 4 5y 1 1.5 5.5 8若由资料可知y对x呈线性相关关系,则y与x的线性回归方程=bx+a必过的点是()A.(2,2)B.(1,2)C.(3,4)D.(4,5)9.阅读如图所示的程序框图,若输入的a,b,c分别为21,32,75,则输出的a,b,c分别是()A.75,21,32 B.21,32,75 C.32,21,75 D.75,32,2110.在两个袋内,分别写着装有1,2,3,4,5,6六个数字的6X卡片,今从每个袋中各取一X卡片,则两数之和等于9的概率为()A.B.C.D.二、填空题(每小题4分)11.假设要考察某公司生产的500克袋装牛奶的质量是否达标,现从800袋牛奶中抽取60袋进行检验,利用随机数表抽取样本时,先将800袋牛奶按000,001,…,799进行编号,如果从随机数表第8行第7列的数开始向右读,请你衣次写出最先检测的5袋牛奶的编号(下面摘取了随机数表第7行至第9行).84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 76 63 01 63 78 59 16 95 56 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 79 33 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38 15 51 00 13 42 99 66 02 79 54.12.已知{x1,x2,x3,…x n}的平均数为a,方差为b,则3x1+2,3x2+2,…,3x n+2的平均数是.13.如图,在正方形内有一扇形(见阴影部分),扇形对应的圆心是正方形的一顶点,半径为正方形的边长.在这个图形上随机撒一粒黄豆,它落在扇形外正方形内的概率为.14.管理人员从一池塘内捞出30条鱼,做上标记后放回池塘.10天后,又从池塘内捞出50条鱼,其中有标记的有2条.根据以上数据可以估计该池塘内共有条鱼.15.已知样本9,10,11,x,y的平均数是10,标准差是,则xy=.三、解答题16.用辗转相除法求884与1071的最大公约数(写出过程)17.为了参加奥运会,对自行车运动员甲、乙两人在相同的条件下进行了6次测试,测得他们的最大速度的数据如表所示:甲27 38 30 37 35 31乙33 29 38 34 28 36请判断:谁参加这项重大比赛更合适,并阐述理由.18.某校从参加2014-2015学年高一年级期末考试的学生中抽出60名学生,将其成绩(均为整数)分成六段[40,50),[50,60)…[90,100]后画出如图部分频率分布直方图.观察图形的信息,回答下列问题:(1)求第四小组的频率,并补全这个频率分布直方图;(2)估计这次考试的及格率(60分及以上为及格)和平均分.19.假设你家订了一份报纸,送报人可能在早上6点﹣8点之间把报纸送到你家,你每天离家去工作的时间在早上7点﹣9点之间,求你离家前不能看到报纸(称事件A)的概率是多少?20.假设关于某设备的使用年限x和所支出的维修费用y(万元)有如下的统计资料:使用年限x 2 3 4 5 6维修费用y 2.2 3.8 5.5 6.5 7.0若由资料知y对x呈线性相关关系.(1)请画出上表数据的散点图;(2)请根据最小二乘法求出线性回归方程=bx+a的回归系数a,b;(3)估计使用年限为10年时,维修费用是多少?21.甲盒中有一个红色球,两个白色球,这3个球除颜色外完全相同,有放回地连续抽取2个,每次从中任意地取出1个球,用列表的方法列出所有可能结果,计算下列事件的概率.(1)取出的2个球都是白球;(2)取出的2个球中至少有1个白球.某某省某某市2014-2015学年高一下学期期中数学试卷一、选择题(每小题4分,每小题只有一个正确选项)1.一个容量为20的样本,已知某组的频率为0.25,则该组的频数为()A.2 B.5 C.15 D.80考点:频率分布直方图.专题:计算题.分析:由样本容量是20,某组的频率为0.25,由此直接计算能求出该组的频数.解答:解:由题设知该组的频数:20×0.25=5.故选B.点评:本题考查频数的性质和应用,解题时要注意样本容量、频数和频率之间相互关系的灵活运用.2.某校高中生共有900人,其中2014-2015学年高一年级有300人,2014-2015学年高二年级有200人,2015届高三年级有400人,现采用分层抽样方法抽取一个容量为45的样本,则2014-2015学年高一、2014-2015学年高二、2015届高三年级抽取的人数分别为()A.10,15,20 B.15,15,15 C.20,5,20 D.15,10,20考点:分层抽样方法.专题:概率与统计.分析:根据分层抽样的定义求出在各层中的抽样比,即样本容量比上总体容量,按此比例求出在各年级中抽取的人数.解答:解:根据题意得,用分层抽样在各层中的抽样比为=,则在2014-2015学年高一年级抽取的人数是300×=15人,2014-2015学年高二年级抽取的人数是200×=10人,2015届高三年级抽取的人数是400×==20人,故选:D.点评:本题的考点是分层抽样方法,根据样本结构和总体结构保持一致,求出抽样比,再求出在各层中抽取的个体数目.3.下列给出的赋值语句中正确的是()A.3=A B.M=﹣M C.B=A=2 D.x+y=0考点:赋值语句.专题:阅读型.分析:本题根据赋值语句的定义直接进行判断.解答:解:根据题意,A:左侧为数字,故不是赋值语句B:赋值语句,把﹣M的值赋给MC:连等,不是赋值语句D:不是赋值语句,是等式,左侧为两个字母的和.点评:本题考查赋值语句,通过对赋值语句定义的把握直接进行判断即可.属于基础题.4.把77化成四进制数的末位数字为()A.4 B.3 C.2 D.1考点:排序问题与算法的多样性.专题:计算题.分析:利用“除k取余法”是将十进制数除以5,然后将商继续除以4,直到商为0,然后将依次所得的余数倒序排列即可得到答案.解答:解:∵77÷4=19 (1)19÷4=4 (3)4÷4=1 01÷4=0 (1)故77(10)=1031(4)末位数字为1.故选D.点评:本题考查的知识点是十进制与其它进制之间的转化,其中熟练掌握“除k取余法”的方法步骤是解答本题的关键.5.从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球,那么互斥而不对立的两个事件是()A.至少有1个白球;都是白球B.至少有1个白球;至少有1个红球C.恰有1个白球;恰有2个白球D.至少有一个白球;都是红球考点:互斥事件与对立事件.分析:由题意知所有的实验结果为:“都是白球”,“1个白球,1个红球”,“都是红球”,再根据互斥事件的定义判断.解答:解:A、“至少有1个白球”包含“1个白球,1个红球”和“都是白球”,故A不对;B、“至少有1个红球”包含“1个白球,1个红球”和“都是红球”,故B不对;C、“恰有1个白球”发生时,“恰有2个白球”不会发生,且在一次实验中不可能必有一个发生,故C对;D、“至少有1个白球”包含“1个白球,1个红球”和“都是白球”,与都是红球,是对立事件,故D不对;故选C.点评:本题考查了互斥事件和对立事件的定义的应用,一般的做法是找出每个时间包含的试验结果再进行判断,是基础题.6.在如图所示的“茎叶图”表示的数据中,众数和中位数分别是()A.23与26 B.31与26 C.24与30 D.26与30考点:众数、中位数、平均数;茎叶图.专题:图表型.分析:由茎叶图写出所有的数据从小到大排起,找出出现次数最多的数即为众数;找出中间的数即为中位数.解答:解:由茎叶图得到所有的数据从小到大排为:12,14,20,23,25,26,30,31,31,41,42∴众数和中位数分别为31,26故选B点评:解决茎叶图问题,关键是将图中的数列出;求数据的中位数时,中间若是两个数时,要求其平均数.7.用秦九韶算法求多项式f(x)=7x7+6x6+5x5+4x4+3x3+2x2+x,当x=3时,v3的值为()A.27 B.86 C.262 D.789考点:算法思想的历程.专题:计算题.分析:根据秦九韶算法求多项式的规则变化其形式,得出结果即可解答:解:f(x)=7x7+6x6+5x5+4x4+3x3+2x2+x=(((((7x+6)x+5)x+4)x+3)x+2)x+1)x故v3=((7x+6)x+5)x+4当x=3时,v3=((7×3+6)×3+5)×3+4=262故选C.点评:本题考查排序问题与算法的多样性,正确理解秦九韶算法求多项式的原理是解题的关键8.假设关于某设备使用年限x(年)和所支出的维修费用y(万元)有如下统计资料:x 1 2 4 5y 1 1.5 5.5 8若由资料可知y对x呈线性相关关系,则y与x的线性回归方程=bx+a必过的点是()A.(2,2)B.(1,2)C.(3,4)D.(4,5)考点:线性回归方程.专题:计算题.分析:根据所给的两组数据,做出横标和纵标的平均数,写出这组数据的样本中心点,根据线性回归方程一定过样本中心点,得到线性回归直线一定过的点的坐标.解答:解:∵,==4,∴这组数据的样本中心点是(3,4)∵线性回归方程过样本中心点,∴线性回归方程一定过点(3,4)故选C点评:本题考查线性回归方程的意义,线性回归方程一定过样本中心点,本题解题的关键是正确求出样本中心点,题目的运算量比较小,是一个基础题.9.阅读如图所示的程序框图,若输入的a,b,c分别为21,32,75,则输出的a,b,c分别是()A.75,21,32 B.21,32,75 C.32,21,75 D.75,32,21考点:设计程序框图解决实际问题.专题:操作型.分析:分析程序中各变量、各语句的作用,再根据流程图所示的顺序,可知:该程序的作用是按顺序交换变量a,b,c的值.模拟程序的执行过程,易得答案.解答:解:由流程图知,a赋给x,x赋给b,所以a的值赋给b,即输出b为21,c的值赋给a,即输出a为75.b的值赋给a,即输出c为32.故输出的a,b,c的值为75,21,32故选A点评:根据流程图(或伪代码)写程序的运行结果,是算法这一模块最重要的题型,其处理方法是::①分析流程图(或伪代码),从流程图(或伪代码)中即要分析出计算的类型,又要分析出参与计算的数据(如果参与运算的数据比较多,也可使用表格对数据进行分析管理)⇒②建立数学模型,根据第一步分析的结果,选择恰当的数学模型③解模.10.在两个袋内,分别写着装有1,2,3,4,5,6六个数字的6X卡片,今从每个袋中各取一X卡片,则两数之和等于9的概率为()A.B.C.D.考点:等可能事件的概率.专题:计算题.分析:首先计算从两个袋中各取一X卡片的取法数目,再列举其中和为9的情况,可得其数目,由等可能事件的概率公式,计算可得答案.解答:解:从两个袋中各取一X卡片,每个袋中有6X卡片,即有6种取法,则2X卡片的取法有6×6=36种,其中和为9的情况有(3,6),(6,3),(4,5),(5,4),共4种情况,则两数之和等于9的概率为=,故选C.点评:本题考查等可能事件的概率的计算,解题时注意取出的卡片有顺序,即(3,6)与(6,3)是不同的取法.二、填空题(每小题4分)11.假设要考察某公司生产的500克袋装牛奶的质量是否达标,现从800袋牛奶中抽取60袋进行检验,利用随机数表抽取样本时,先将800袋牛奶按000,001,…,799进行编号,如果从随机数表第8行第7列的数开始向右读,请你衣次写出最先检测的5袋牛奶的编号785,667,199,507,175(下面摘取了随机数表第7行至第9行).84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 76 63 01 63 78 59 16 95 56 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 79 33 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38 15 51 00 13 42 99 66 02 79 54.考点:简单随机抽样.分析:找到第8行第7列的数开始向右读,第一个符合条件的是785,第二个数916要舍去,第三个数955也要舍去,第四个数667合题意,这样依次读出结果.解答:解:找到第8行第7列的数开始向右读,第一个符合条件的是785,第二个数916它大于800要舍去,第三个数955也要舍去,第四个数667合题意,这样依次读出结果.故答案为:785、667、199、507、175点评:抽样方法,随机数表的使用,考生不要忽略.在随机数表中每个数出现在每个位置的概率是一样的,所以每个数被抽到的概率是一样的.12.已知{x1,x2,x3,…x n}的平均数为a,方差为b,则3x1+2,3x2+2,…,3x n+2的平均数是3a+2.考点:众数、中位数、平均数.专题:计算题.分析:根据所给的这组数据的平均数,写出求平均数的公式形式,把要求平均数的数据,代入求平均数的公式,根据上面写出的式子,得到结果.解答:解:∵x1,x2,x3,…x n的平均数为a,∴∴==3a+2∴3x1+2,3x2+2,…,3x n+2的平均数是3a+2,故答案为:3a+2点评:本题考查平均数的变换特点,若在原来数据前乘以同一个数,平均数也乘以同一个数,而方差要乘以这个数的平方,在数据上同加或减同一个数,方差不变.13.如图,在正方形内有一扇形(见阴影部分),扇形对应的圆心是正方形的一顶点,半径为正方形的边长.在这个图形上随机撒一粒黄豆,它落在扇形外正方形内的概率为.考点:几何概型;扇形面积公式.分析:先令正方形的边长为a,则S正方形=a2,则扇形所在圆的半径也为a,则S扇形=,从而结合几何概型的计算公式即可求得黄豆落在阴影区域内的概率.解答:解:令正方形的边长为a,则S正方形=a2,则扇形所在圆的半径也为a,则S扇形=则黄豆落在阴影区域外的概率P=1﹣=.故答案为:.点评:本小题主要考查扇形面积公式、几何概型等基础知识,考查运算求解能力,考查数形结合思想.关键是要求出阴影部分的面积及正方形的面积.属于基础题.14.管理人员从一池塘内捞出30条鱼,做上标记后放回池塘.10天后,又从池塘内捞出50条鱼,其中有标记的有2条.根据以上数据可以估计该池塘内共有750条鱼.考点:收集数据的方法.专题:计算题.分析:由题意可得:池塘中有标记的鱼的概率为.因为池塘内具有标记的鱼一共有30条鱼,所有可以估计该池塘内共有750条鱼.解答:解:由题意可得:从池塘内捞出50条鱼,其中有标记的有2条,所有池塘中有标记的鱼的概率为:.又因为池塘内具有标记的鱼一共有30条鱼,所有可以估计该池塘内共有条鱼.故答案为750.点评:解决此类问题的关键是正确的把实际问题转化为数学问题,利用概率的知识解决问题.15.已知样本9,10,11,x,y的平均数是10,标准差是,则xy=96.考点:众数、中位数、平均数.分析:标准差是,则方差是2,根据方差和平均数,列出方程解出x、y的值.注意运算正确.解答:解:∵标准差是,则方差是2,平均数是10,∴(9+10+11+x+y)÷5=10 ①[1+0+1+(x﹣10)2+(y﹣10)2]=2 ②由两式可得:x=8,y=12∴xy=96,故答案为:96.点评:这个知识点是初中学过的,它和高中所学的有密切关系,区别随机变量的期望与相应数值的算术平均数.期望表示随机变量在随机试验中取值的平均值,它是概率意义下的平均值,不同于相应数值的算术平均数.三、解答题16.用辗转相除法求884与1071的最大公约数(写出过程)考点:用辗转相除计算最大公约数.专题:简易逻辑.分析:用辗转相除法求884与1071的最大公约数,写出1071=884×1+187,…34=17×2,得到两个数字的最大公约数.解答:(本题满分8分)解:1071=884×1+187,884=187×4+136,187=136×1+51,136=51×2+3451=34×1+17,34=17×2,∴884与1071的最大公约数为17.点评:本题考查辗转相除法,这是算法案例中的一种题目,本题解题的关键是解题时需要有耐心,认真计算,不要在数字运算上出错,本题是一个基础题.17.为了参加奥运会,对自行车运动员甲、乙两人在相同的条件下进行了6次测试,测得他们的最大速度的数据如表所示:甲27 38 30 37 35 31乙33 29 38 34 28 36请判断:谁参加这项重大比赛更合适,并阐述理由.考点:众数、中位数、平均数;极差、方差与标准差.专题:计算题.分析:先做出甲和乙的速度的平均数,甲和乙的速度的平均数相同,需要再比较两组数据的方差,选方差较小运动员参加比赛比较好.解答:解:S甲=,( 4分)S乙=,S甲>S乙乙参加更合适点评:本题考查两组数据的平均数和方差,对于两组数据,通常要求的是这组数据的方差和平均数,用这两个特征数来表示分别表示两组数据的特征.18.某校从参加2014-2015学年高一年级期末考试的学生中抽出60名学生,将其成绩(均为整数)分成六段[40,50),[50,60)…[90,100]后画出如图部分频率分布直方图.观察图形的信息,回答下列问题:(1)求第四小组的频率,并补全这个频率分布直方图;(2)估计这次考试的及格率(60分及以上为及格)和平均分.考点:频率分布直方图.专题:计算题;图表型.分析:(1)在频率分直方图中,小矩形的面积等于这一组的频率,根据频率的和等于1建立等式解之即可;(2)60及以上的分数所在的第三、四、五、六组,从而求出抽样学生成绩的合格率,再利用组中值估算抽样学生的平均分即可.解答:解:(Ⅰ)因为各组的频率和等于1,故第四组的频率:f4=1﹣(0.025+0.015*2+0.01+0.005)*10=0.3(Ⅱ)依题意,60及以上的分数所在的第三、四、五、六组,频率和为(0.015+0.03+0.025+0.005)*10=0.75所以,抽样学生成绩的合格率是75%利用组中值估算抽样学生的平均分45•f1+55•f2+65•f3+75•f4+85•f5+95•f6=45×0.1+55×0.15+65×0.15+75×0.3+85×0.25+95×0.05=71估计这次考试的平均分是71.点评:本题主要考查了频率及频率分布直方图,考查运用统计知识解决简单实际问题的能力,数据处理能力和运用意识.19.假设你家订了一份报纸,送报人可能在早上6点﹣8点之间把报纸送到你家,你每天离家去工作的时间在早上7点﹣9点之间,求你离家前不能看到报纸(称事件A)的概率是多少?考点:几何概型.分析:根据题意,设送报人到达的时间为X,小王离家去工作的时间为Y;则(X,Y)可以看成平面中的点,分析可得由试验的全部结果所构成的区域并求出其面积,同理可得事件A所构成的区域及其面积,由几何概型公式,计算可得答案.解答:解:如图,设送报人到达的时间为X,小王离家去工作的时间为Y,记小王离家前不能看到报纸为事件A;则(X,Y)可以看成平面中的点,试验的全部结果所构成的区域为Ω={(X,Y)|6≤X≤8,7≤Y≤9}一个正方形区域,面积为SΩ=4,事件A所构成的区域为A={(X,Y)|6≤X≤8,7≤Y≤9,X>Y}即图中的阴影部分,面积为S A=0.5.这是一个几何概型,所以P(A)===0.125.答:小王离家前不能看到报纸的概率是0.125.点评:本题考查几何概型的计算,解题的关键在于设出X、Y,将(X,Y)以及事件A在平面直角坐标系中表示出来.20.假设关于某设备的使用年限x和所支出的维修费用y(万元)有如下的统计资料:使用年限x 2 3 4 5 6维修费用y 2.2 3.8 5.5 6.5 7.0若由资料知y对x呈线性相关关系.(1)请画出上表数据的散点图;(2)请根据最小二乘法求出线性回归方程=bx+a的回归系数a,b;(3)估计使用年限为10年时,维修费用是多少?考点:线性回归方程.专题:数系的扩充和复数.分析:(1)根据表格中的数据画出散点图即可;(2)求出x与y的平均数,表示出,,求出ξ,根据=﹣ξ,计算即可得到结果;(3)把x=10代入(2)中结果计算即可得到结果.解答:解:(1)做出图象,如图所示:;(2)由上表得:==4,==5,=2×2.2+3×3.8+4×5.5+5×6.5+6×7=112.3,=22+32+42+52+62=90,∴ξ===1.23,则=﹣ξ=1.23x+0.08;(3)由(2)得:=1.23x+0.08,把x=10代入得:ξ=1.23×10+0.08=12.38,则使用年限为10年时,维修费用是大概为12.38万元.点评:此题考查了线性回归方程,弄清线性回归方程的意义是解本题的关键.21.甲盒中有一个红色球,两个白色球,这3个球除颜色外完全相同,有放回地连续抽取2个,每次从中任意地取出1个球,用列表的方法列出所有可能结果,计算下列事件的概率.(1)取出的2个球都是白球;(2)取出的2个球中至少有1个白球.考点:等可能事件的概率.专题:计算题.分析:用列举法列举出符合题意的各种情况的个数,再根据概率公式解答,比较即可.解答:解:(1)设红色球为1,两个白色球分别为2,3,列举所有等可能的结果:(1,1),(1,2),(1,3),(2,2),(2,1),(2,3),(3,3),(3,1),(3,2)共9种;取出的2个球都是白球有:4种,故取出的2个球都是白球的概率为;(2)取出的2个球中至少有1个白球有:8种,故取出的2个球中至少有1个白球的概率为:.点评:列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果,适合于两步完成的事件.用到的知识点为:概率=所求情况数与总情况数之比.。
人教版高一下学期期中考试数学试卷及答案解析(共五套)
人教版高一下学期期中考试数学试卷(一)注意事项:本试卷满分150分,考试时间120分钟,试题共22题.答卷前,考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置.一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分)在每小题所给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.点C是线段AB靠近点B的三等分点,下列正确的是()A.B.C.D.2.已知复数z满足z(3+i)=3+i2020,其中i为虚数单位,则z的共轭复数的虚部为()A.B.C.D.3.如图,▱ABCD中,∠DAB=60°,AD=2AB=2,延长AB至点E,且AB=BE,则•的值为()A.﹣1 B.﹣3 C.1 D.4.设i是虚数单位,则2i+3i2+4i3+……+2020i2019的值为()A.﹣1010﹣1010i B.﹣1011﹣1010iC.﹣1011﹣1012i D.1011﹣1010i5.如图,在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,异面直线A1B与CD所成的角为()A.30°B.45°C.60°D.135°6.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若(a﹣2b)cos C=c(2cos B﹣cos A),△ABC的面积为a2sin,则C=()A.B.C.D.7.在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,下列四个结论中错误的是()A.直线B1C与直线AC所成的角为60°B.直线B1C与平面AD1C所成的角为60°C.直线B1C与直线AD1所成的角为90°D.直线B1C与直线AB所成的角为90°8.如图,四边形ABCD为正方形,四边形EFBD为矩形,且平面ABCD与平面EFBD互相垂直.若多面体ABCDEF的体积为,则该多面体外接球表面积的最小值为()A.6πB.8πC.12πD.16π二、多选题(本大题共4小题,每小题5分,选对得分,选错、少选不得分)9.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a2=b2+bc,则角A可为()A.B.C.D.10.如图,四边形ABCD为直角梯形,∠D=90°,AB∥CD,AB=2CD,M,N分别为AB,CD的中点,则下列结论正确的是()A.B.C.D.11.下列说法正确的有()A.任意两个复数都不能比大小B.若z=a+bi(a∈R,b∈R),则当且仅当a=b=0时,z=0C.若z1,z2∈C,且z12+z22=0,则z1=z2=0D.若复数z满足|z|=1,则|z+2i|的最大值为312.如图,已知ABCD﹣A1B1C1D1为正方体,E,F分别是BC,A1C的中点,则()A.B.C.向量与向量的夹角是60°D.异面直线EF与DD1所成的角为45°三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.不需写出解答过程,请把答案直接填写在横线上)13.已知正方形ABCD的边长为2,点P满足=(+),则||=;•=.14.若虛数z1、z2是实系数一元二次方程x2+px+q=0的两个根,且,则pq=.15.已知平面四边形ABCD中,AB=AD=2,BC=CD=BD=2,将△ABD沿对角线BD折起,使点A到达点A'的位置,当A'C=时,三棱锥A﹣BCD的外接球的体积为.16.已知一圆锥底面圆的直径为3,圆锥的高为,在该圆锥内放置一个棱长为a 的正四面体,并且正四面体在该几何体内可以任意转动,则a的最大值为.四、解答题(本大题共6小题,共70分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.在四边形ABCD中,AB∥CD,AD=BD=CD=1.(1)若AB=,求BC;(2)若AB=2BC,求cos∠BDC.18.(1)已知z1=1﹣2i,z2=3+4i,求满足=+的复数z.(2)已知z,ω为复数,(1+3i)﹣z为纯虚数,ω=,且|ω|=5.求复数ω.19.如图,墙上有一壁画,最高点A离地面4米,最低点B离地面2米.观察者从距离墙x(x>1)米,离地面高a(1≤a≤2)米的C处观赏该壁画,设观赏视角∠ACB=θ.(1)若a=1.5,问:观察者离墙多远时,视角θ最大?(2)若tanθ=,当a变化时,求x的取值范围.20.如图,已知复平面内平行四边形ABCD中,点A对应的复数为﹣1,对应的复数为2+2i,对应的复数为4﹣4i.(Ⅰ)求D点对应的复数;(Ⅱ)求平行四边形ABCD的面积.21.如图所示,等腰梯形ABFE是由正方形ABCD和两个全等的Rt△FCB和Rt△EDA组成,AB=1,CF=2.现将Rt△FCB沿BC所在的直线折起,点F移至点G,使二面角E﹣BC﹣G的大小为60°.(1)求四棱锥G﹣ABCE的体积;(2)求异面直线AE与BG所成角的大小.22.如图,四边形MABC中,△ABC是等腰直角三角形,AC⊥BC,△MAC是边长为2的正三角形,以AC为折痕,将△MAC向上折叠到△DAC的位置,使点D在平面ABC内的射影在AB上,再将△MAC向下折叠到△EAC的位置,使平面EAC⊥平面ABC,形成几何体DABCE.(1)点F在BC上,若DF∥平面EAC,求点F的位置;(2)求直线AB与平面EBC所成角的余弦值.参考答案一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分)在每小题所给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.点C是线段AB靠近点B的三等分点,下列正确的是()A.B.C.D.【答案】D【分析】根据共线向量的定义即可得结论.【解答】解:由题,点C是线段AB靠近点B的三等分点,=3=﹣3,所以选项A错误;=2=﹣2,所以选项B和选项C错误,选项D正确.故选:D.【知识点】平行向量(共线)、向量数乘和线性运算2.已知复数z满足z(3+i)=3+i2020,其中i为虚数单位,则z的共轭复数的虚部为()A.B.C.D.【答案】D【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简,然后利用共轭复数的概念得答案.【解答】解:∵z(3+i)=3+i2020,i2020=(i2)1010=(﹣1)1010=1,∴z(3+i)=4,∴z=,∴=,∴共轭复数的虚部为,故选:D.【知识点】复数的运算3.如图,▱ABCD中,∠DAB=60°,AD=2AB=2,延长AB至点E,且AB=BE,则•的值为()A.﹣1 B.﹣3 C.1 D.【答案】C【分析】利用图形,求出数量积的向量,然后转化求解即可.【解答】解:由题意,▱ABCD中,∠DAB=60°,AD=2AB=2,延长AB至点E,且AB=BE,可知=+=,=﹣=﹣2,所以•=()•(﹣2)=﹣2﹣2=1.故选:C.【知识点】平面向量数量积的性质及其运算4.设i是虚数单位,则2i+3i2+4i3+……+2020i2019的值为()A.﹣1010﹣1010i B.﹣1011﹣1010iC.﹣1011﹣1012i D.1011﹣1010i【答案】B【分析】利用错位相减法、等比数列的求和公式及其复数的周期性即可得出.【解答】解:设S=2i+3i2+4i3+ (2020i2019)∴iS=2i2+3i3+ (2020i2020)则(1﹣i)S=i+i+i2+i3+……+i2019﹣2020i2020.==i+==﹣2021+i,∴S==.故选:B.【知识点】复数的运算5.如图,在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,异面直线A1B与CD所成的角为()A.30°B.45°C.60°D.135°【答案】B【分析】易知∠ABA1即为所求,再由△ABA1为等腰直角三角形,得解.【解答】解:因为AB∥CD,所以∠ABA1即为异面直线A1B与CD所成的角,因为△ABA1为等腰直角三角形,所以∠ABA1=45°.故选:B.【知识点】异面直线及其所成的角6.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若(a﹣2b)cos C=c(2cos B﹣cos A),△ABC的面积为a2sin,则C=()A.B.C.D.【答案】C【分析】先利用正弦定理将已知等式中的边化角,再结合两角和公式与三角形的内角和定理,可推出sin B=2sin A;然后利用三角形的面积公式、正弦定理,即可得解.【解答】解:由正弦定理知,==,∵(a﹣2b)cos C=c(2cos B﹣cos A),∴(sin A﹣2sin B)cos C=sin C(2cos B﹣cos A),即sin A cos C+sin C cos A=2(sin B cos C+cos B sin C),∴sin(A+C)=2sin(B+C),即sin B=2sin A.∵△ABC的面积为a2sin,∴S=bc sin A=a2sin,根据正弦定理得,sin B•sin C•sin A=sin2A•sin,化简得,sin B•sin cos=sin A•cos,∵∈(0,),∴cos>0,∴sin==,∴=,即C=.故选:C.【知识点】正弦定理、余弦定理7.在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,下列四个结论中错误的是()A.直线B1C与直线AC所成的角为60°B.直线B1C与平面AD1C所成的角为60°C.直线B1C与直线AD1所成的角为90°D.直线B1C与直线AB所成的角为90°【答案】B【分析】连接AB1,求出∠ACB1可判断选项A;连接B1D1,找出点B1在平面AD1C上的投影O,设直线B1C与平面AD1C所成的角为θ,由cosθ=可判断选项B;利用平移法找出选项C和D涉及的异面直线夹角,再进行相关运算,即可得解.【解答】解:连接AB1,∵△AB1C为等边三角形,∴∠ACB1=60°,即直线B1C与AC所成的角为60°,故选项A正确;连接B1D1,∵AB1=B1C=CD1=AD1,∴四面体AB1CD1是正四面体,∴点B1在平面AD1C上的投影为△AD1C的中心,设为点O,连接B1O,OC,则OC=BC,设直线B1C与平面AD1C所成的角为θ,则cosθ===≠,故选项B错误;连接BC1,∵AD1∥BC1,且B1C⊥BC1,∴直线B1C与AD1所成的角为90°,故选项C正确;∵AB⊥平面BCC1B1,∴AB⊥B1C,即直线B1C与AB所成的角为90°,故选项D正确.故选:B.【知识点】直线与平面所成的角、异面直线及其所成的角8.如图,四边形ABCD为正方形,四边形EFBD为矩形,且平面ABCD与平面EFBD互相垂直.若多面体ABCDEF的体积为,则该多面体外接球表面积的最小值为()A.6πB.8πC.12πD.16π【答案】A【分析】由题意可得AC⊥面EFBD,可得V ABCDEF=V C﹣EFBD+V A﹣EFBD=2V A﹣EFBD,再由多面体ABCDEF 的体积为,可得矩形EFBD的高与正方形ABCD的边长之间的关系,再由题意可得矩形EFBD的对角线的交点为外接球的球心,进而求出外接球的半径,再由均值不等式可得外接球的半径的最小值,进而求出外接球的表面积的最小值.【解答】解:设正方形ABCD的边长为a,矩形BDEF的高为b,因为正方形ABCD,所以AC⊥BD,设AC∩BD=O',由因为平面ABCD与平面EFBD互相垂直,AC⊂面ABCD,平面ABCD∩平面EFBD=BD,所以AC⊥面EFBD,所以V ABCDEF=V C﹣EFBD+V A﹣EFBD=2V A﹣EFBD=2•S EFBD•CO'=•a•b•a =a2b,由题意可得V ABCDEF=,所以a2b=2;所以a2=,矩形EFBD的对角线的交点O,连接OO',可得OO'⊥BD,而OO'⊂面EFBD,而平面ABCD⊥平面EFBD,平面ABCD∩平面EFBD=BD,所以OO'⊥面EFBD,可得OA=OB=OE=OF都为外接球的半径R,所以R2=()2+(a)2=+=+=++≥3=3×,当且仅当=即b=时等号成立.所以外接球的表面积为S=4πR2≥4π•3×=6π.所以外接球的表面积最小值为6π.故选:A.【知识点】球的体积和表面积二、多选题(本大题共4小题,每小题5分,选对得分,选错、少选不得分)9.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a2=b2+bc,则角A可为()A.B.C.D.【答案】BC【分析】由已知利用余弦定理整理可得cos A=,对于A,若A=,可得b=<0,错误;对于B,若A=,可得b=>0,对于C,若A=,可得b=>0,对于D,若A=,可得c=0,错误,即可得解.【解答】解:因为在△ABC中,a2=b2+bc,又由余弦定理可得:a2=b2+c2﹣2bc cos A,所以b2+bc=b2+c2﹣2bc cos A,整理可得:c=b(1+2cos A),可得:cos A=,对于A,若A=,可得:﹣=,整理可得:b=<0,错误;对于B,若A=,可得:=,整理可得:b=>0,对于C,若A=,可得:cos==,整理可得:b=>0,对于D,若A=,可得:cos=﹣=,整理可得:c=0,错误.故选:BC.【知识点】余弦定理10.如图,四边形ABCD为直角梯形,∠D=90°,AB∥CD,AB=2CD,M,N分别为AB,CD的中点,则下列结论正确的是()A.B.C.D.【答案】ABC【分析】由向量的加减法法则、平面向量基本定理解决【解答】解:由,知A正确;由知B正确;由知C正确;由N为线段DC的中点知知D错误;故选:ABC.【知识点】向量数乘和线性运算、平面向量的基本定理11.下列说法正确的有()A.任意两个复数都不能比大小B.若z=a+bi(a∈R,b∈R),则当且仅当a=b=0时,z=0C.若z1,z2∈C,且z12+z22=0,则z1=z2=0D.若复数z满足|z|=1,则|z+2i|的最大值为3【答案】BD【分析】通过复数的基本性质,结合反例,以及复数的模,判断命题的真假即可.【解答】解:当两个复数都是实数时,可以比较大小,所以A不正确;复数的实部与虚部都是0时,复数是0,所以B正确;反例z1=1,z2=i,满足z12+z22=0,所以C不正确;复数z满足|z|=1,则|z+2i|的几何意义,是复数的对应点到(0,﹣2)的距离,它的最大值为3,所以D正确;故选:BD.【知识点】复数的模、复数的运算、虚数单位i、复数、命题的真假判断与应用12.如图,已知ABCD﹣A1B1C1D1为正方体,E,F分别是BC,A1C的中点,则()A.B.C.向量与向量的夹角是60°D.异面直线EF与DD1所成的角为45°【答案】ABD【分析】在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,建立合适的空间直角坐标系,设正方体的棱长为2,根据空间向量的坐标运算,以及异面直线所成角的向量求法,逐项判断即可.【解答】解:在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,以点A为坐标原点,分别以AB,AD,AA1为x 轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,设正方体的棱长为2,则A(0,0,0),A1(0,0,2),B(2,0,0),B1(2,0,2),C (2,2,0),D(0,2,0),D1(0,2,2),所以,故,故选项A正确;又,又,所以,,则,故选项B正确;,所以,因此与的夹角为120°,故选项C错误;因为E,F分别是BC,A1C的中点,所以E(2,1,0),F(1,1,1),则,所以,又异面直线的夹角大于0°小于等于90°,所以异面直线EF与DD1所成的角为45°,故选项D正确;故选:ABD.【知识点】异面直线及其所成的角三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.不需写出解答过程,请把答案直接填写在横线上)13.已知正方形ABCD的边长为2,点P满足=(+),则||=;•=.【分析】根据向量的几何意义可得P为BC的中点,再根据向量的数量积的运算和正方形的性质即可求出.【解答】解:由=(+),可得P为BC的中点,则|CP|=1,∴|PD|==,∴•=•(+)=﹣•(+)=﹣2﹣•=﹣1,故答案为:,﹣1.【知识点】平面向量数量积的性质及其运算14.若虛数z1、z2是实系数一元二次方程x2+px+q=0的两个根,且,则pq=.【答案】1【分析】设z1=a+bi,则z2=a﹣bi,(a,b∈R),根据两个复数相等的充要条件求出z1,z2,再由根与系数的关系求得p,q的值.【解答】解:由题意可知z1与z2为共轭复数,设z1=a+bi,则z2=a﹣bi,(a,b∈R 且b≠0),又,则a2﹣b2+2abi=a﹣bi,∴(2a+b)+(a+2b)i=1﹣i,∴,解得.∴z1=+i,z2=i,(或z2=+i,z1=i).由根与系数的关系,得p=﹣(z1+z2)=1,q=z1•z2=1,∴pq=1.故答案为:1.【知识点】复数的运算15.已知平面四边形ABCD中,AB=AD=2,BC=CD=BD=2,将△ABD沿对角线BD折起,使点A到达点A'的位置,当A'C=时,三棱锥A﹣BCD的外接球的体积为.【分析】由题意画出图形,找出三棱锥外接球的位置,求解三角形可得外接球的半径,再由棱锥体积公式求解.【解答】解:记BD的中点为M,连接A′M,CM,可得A′M2+CM2=A′C2,则∠A′MC=90°,则外接球的球心O在△A′MC的边A′C的中垂线上,且过正三角形BCD的中点F,且在与平面BCD垂直的直线m上,过点A′作A′E⊥m于点E,如图所示,设外接球的半径为R,则A′O=OC=R,,A′E=1,在Rt△A′EO中,A′O2=A′E2+OE2,解得R=.故三棱锥A﹣BCD的外接球的体积为.故答案为:.【知识点】球的体积和表面积16.已知一圆锥底面圆的直径为3,圆锥的高为,在该圆锥内放置一个棱长为a的正四面体,并且正四面体在该几何体内可以任意转动,则a的最大值为.【分析】根据题意,该四面体内接于圆锥的内切球,通过内切球即可得到a的最大值.【解答】解:依题意,四面体可以在圆锥内任意转动,故该四面体内接于圆锥的内切球,设球心为P,球的半径为r,下底面半径为R,轴截面上球与圆锥母线的切点为Q,圆锥的轴截面如图:则OA=OB=,因为SO=,故可得:SA=SB==3,所以:三角形SAB为等边三角形,故P是△SAB的中心,连接BP,则BP平分∠SBA,所以∠PBO=30°;所以tan30°=,即r=R=×=,即四面体的外接球的半径为r=.另正四面体可以从正方体中截得,如图:从图中可以得到,当正四面体的棱长为a时,截得它的正方体的棱长为a,而正四面体的四个顶点都在正方体上,故正四面体的外接球即为截得它的正方体的外接球,所以2r=AA1=a=a,所以a=.即a的最大值为.故答案为:.【知识点】旋转体(圆柱、圆锥、圆台)四、解答题(本大题共6小题,共70分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.在四边形ABCD中,AB∥CD,AD=BD=CD=1.(1)若AB=,求BC;(2)若AB=2BC,求cos∠BDC.【分析】(1)直接利用余弦定理的应用求出结果;(2)利用余弦定理的应用建立等量关系式,进一步求出结果.【解答】解:(1)在四边形ABCD中,AD=BD=CD=1.若AB=,所以:cos∠ADB==,由于AB∥CD,所以∠BDC=∠ABD,即cos∠BDC=cos∠ABD=,所以BC2=BD2+CD2﹣2•BD•CD•cos∠BDC==,所以BC=.(2)设BC=x,则AB=2BC=2x,由余弦定理得:cos∠ADB==,cos∠BDC===,故,解得或﹣(负值舍去).所以.【知识点】余弦定理18.(1)已知z1=1﹣2i,z2=3+4i,求满足=+的复数z.(2)已知z,ω为复数,(1+3i)﹣z为纯虚数,ω=,且|ω|=5.求复数ω.【分析】(1)把z1,z2代入=+,利用复数代数形式的乘除运算化简求出,进一步求出z;(2)设z=a+bi(a,b∈R),利用复数的运算及(1+3i)•z=(1+3i)(a+bi)=a﹣3b+(3a+b)i为纯虚数,可得,又ω==i,|ω|=5,可得,即可得出a,b,再代入可得ω.【解答】解:(1)由z1=1﹣2i,z2=3+4i,得=+==,则z=;(2)设z=a+bi(a,b∈R),∵(1+3i)•z=(1+3i)(a+bi)=a﹣3b+(3a+b)i为纯虚数,∴.又ω===i,|ω|=5,∴.把a=3b代入化为b2=25,解得b=±5,∴a=±15.∴ω=±(i)=±(7﹣i).【知识点】复数的运算19.如图,墙上有一壁画,最高点A离地面4米,最低点B离地面2米.观察者从距离墙x(x>1)米,离地面高a(1≤a≤2)米的C处观赏该壁画,设观赏视角∠ACB=θ.(1)若a=1.5,问:观察者离墙多远时,视角θ最大?(2)若tanθ=,当a变化时,求x的取值范围.【分析】(1)首项利用两角和的正切公式建立函数关系,进一步利用判别式确定函数的最大值;(2)利用两角和的正切公式建立函数关系,利用a的取值范围即可确定x的范围.【解答】解:(1)如图,作CD⊥AF于D,则CD=EF,设∠ACD=α,∠BCD=β,CD=x,则θ=α﹣β,在Rt△ACD和Rt△BCD中,tanα=,tanβ=,则tanθ=tan(α﹣β)==(x>0),令u=,则ux2﹣2x+1.25u=0,∵上述方程有大于0的实数根,∴△≥0,即4﹣4×1.25u2≥0,∴u≤,即(tanθ)max=,∵正切函数y=tan x在(0,)上是增函数,∴视角θ同时取得最大值,此时,x==,∴观察者离墙米远时,视角θ最大;(2)由(1)可知,tanθ===,即x2﹣4x+4=﹣a2+6a﹣4,∴(x﹣2)2=﹣(a﹣3)2+5,∵1≤a≤2,∴1≤(x﹣2)2≤4,化简得:0≤x≤1或3≤x≤4,又∵x>1,∴3≤x≤4.【知识点】解三角形20.如图,已知复平面内平行四边形ABCD中,点A对应的复数为﹣1,对应的复数为2+2i,对应的复数为4﹣4i.(Ⅰ)求D点对应的复数;(Ⅱ)求平行四边形ABCD的面积.【分析】(I)利用复数的几何意义、向量的坐标运算性质、平行四边形的性质即可得出.(II)利用向量垂直与数量积的关系、模的计算公式、矩形的面积计算公式即可得出.【解答】解:(Ⅰ)依题点A对应的复数为﹣1,对应的复数为2+2i,得A(﹣1,0),=(2,2),可得B(1,2).又对应的复数为4﹣4i,得=(4,﹣4),可得C(5,﹣2).设D点对应的复数为x+yi,x,y∈R.得=(x﹣5,y+2),=(﹣2,﹣2).∵ABCD为平行四边形,∴=,解得x=3,y=﹣4,故D点对应的复数为3﹣4i.(Ⅱ)=(2,2),=(4,﹣4),可得:=0,∴.又||=2,=4.故平行四边形ABCD的面积==16.【知识点】复数的代数表示法及其几何意义21.如图所示,等腰梯形ABFE是由正方形ABCD和两个全等的Rt△FCB和Rt△EDA组成,AB=1,CF=2.现将Rt△FCB沿BC所在的直线折起,点F移至点G,使二面角E﹣BC﹣G的大小为60°.(1)求四棱锥G﹣ABCE的体积;(2)求异面直线AE与BG所成角的大小.【分析】(1)推导出GC⊥BC,EC⊥BC,从而∠ECG=60°.连接DG,推导出DG⊥EF,由BC⊥EF,BC⊥CG,得BC⊥平面DEG,从而DG⊥BC,进而DG⊥平面ABCE,DG是四棱锥G ﹣ABCE的高,由此能求出四棱锥G﹣ABCE的体积.(2)取DE的中点H,连接BH、GH,则BH∥AE,∠GBH既是AE与BG所成角或其补角.由此能求出异面直线AE与BG所成角的大小.【解答】解:(1)由已知,有GC⊥BC,EC⊥BC,所以∠ECG=60°.连接DG,由CD=AB=1,CG=CF=2,∠ECG=60°,有DG⊥EF①,由BC⊥EF,BC⊥CG,有BC⊥平面DEG,所以,DG⊥BC②,由①②知,DG⊥平面ABCE,所以DG就是四棱锥G﹣ABCE的高,在Rt△CDG中,.故四棱锥G﹣ABCE的体积为:.(2)取DE的中点H,连接BH、GH,则BH∥AE,故∠GBH既是AE与BG所成角或其补角.在△BGH中,,,则.故异面直线AE与BG所成角的大小为.【知识点】异面直线及其所成的角、棱柱、棱锥、棱台的体积22.如图,四边形MABC中,△ABC是等腰直角三角形,AC⊥BC,△MAC是边长为2的正三角形,以AC为折痕,将△MAC向上折叠到△DAC的位置,使点D在平面ABC内的射影在AB上,再将△MAC向下折叠到△EAC的位置,使平面EAC⊥平面ABC,形成几何体DABCE.(1)点F在BC上,若DF∥平面EAC,求点F的位置;(2)求直线AB与平面EBC所成角的余弦值.【分析】(1)点F为BC的中点,设点D在平面ABC内的射影为O,连接OD,OC,取AC 的中点H,连接EH,由题意知EH⊥AC,EH⊥平面ABC,由题意知DO⊥平面ABC,得DO∥平面EAC,取BC的中点F,连接OF,则OF∥AC,从而OF∥平面EAC,平面DOF∥平面EAC,由此能证明DF∥平面EAC.(2)连接OH,由OF,OH,OD两两垂直,以O为坐标原点,OF,OH,OD所在直线分别为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,利用向量法能求出直线AB与平面EBC所成角的余弦值.【解答】解:(1)点F为BC的中点,理由如下:设点D在平面ABC内的射影为O,连接OD,OC,∵AD=CD,∴OA=OC,∴在Rt△ABC中,O为AB的中点,取AC的中点H,连接EH,由题意知EH⊥AC,又平面EAC⊥平面ABC,平面EAC∩平面ABC=AC,∴EH⊥平面ABC,由题意知DO⊥平面ABC,∴DO∥EH,∴DO∥平面EAC,取BC的中点F,连接OF,则OF∥AC,又OF⊄平面EAC,AC⊂平面EAC,∴OF∥平面EAC,∵DO∩OF=O,∴平面DOF∥平面EAC,∵DF⊂平面DOF,∴DF∥平面EAC.(2)连接OH,由(1)可知OF,OH,OD两两垂直,以O为坐标原点,OF,OH,OD所在直线分别为x,y,z轴,建立如图所示空间直角坐标系,则B(1,﹣1,0),A(﹣1,1,0),E(0,1,﹣),C(1,1,0),∴=(2,﹣2,0),=(0,2,0),=(﹣1,2,﹣),设平面EBC的法向量=(a,b,c),则,取a=,则=(,0,﹣1),设直线与平面EBC所成的角为θ,则sinθ===.∴直线AB与平面EBC所成角的余弦值为cosθ==.【知识点】直线与平面平行、直线与平面所成的角人教版高一下学期期中考试数学试卷(二)注意事项:本试卷满分150分,考试时间120分钟,试题共22题.答卷前,考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置.一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分)在每小题所给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.(2﹣i)z对应的点位于虚轴的正半轴上,则复数z对应的点位于()1.已知复平面内,A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.平行四边形ABCD中,点E是DC的中点,点F是BC的一个三等分点(靠近B),则=()A.B.C.D.3.已知向量=(6t+3,9),=(4t+2,8),若(+)∥(﹣),则t=()A.﹣1 B.﹣C.D.14.已知矩形ABCD的一边AB的长为4,点M,N分别在边BC,DC上,当M,N分别是边BC,DC的中点时,有(+)•=0.若+=x+y,x+y=3,则线段MN的最短长度为()A.B.2 C.2D.25.若z∈C且|z+3+4i|≤2,则|z﹣1﹣i|的最大和最小值分别为M,m,则M﹣m的值等于()A.3 B.4 C.5 D.96.已知球的半径为R,一等边圆锥(圆锥母线长与圆锥底面直径相等)位于球内,圆锥顶点在球上,底面与球相接,则该圆锥的表面积为()A.R2B.R2C.R2D.R27.农历五月初五是端午节,民间有吃粽子的习惯,粽子又称粽籺,俗称“粽子”,古称“角黍”,是端午节大家都会品尝的食品,传说这是为了纪念战国时期楚国大臣、爱国主义诗人屈原.小明在和家人一起包粽子时,想将一丸子(近似为球)包入其中,如图,将粽叶展开后得到由六个边长为4的等边三角形所构成的平行四边形,将粽叶沿虚线折起来,可以得到如图所示的粽子形状的六面体,则放入丸子的体积最大值为()A.πB.πC.πD.π8.已知半球O与圆台OO'有公共的底面,圆台上底面圆周在半球面上,半球的半径为1,则圆台侧面积取最大值时,圆台母线与底面所成角的余弦值为()A.B.C.D.二、多选题(本大题共4小题,每小题5分,选对得分,选错、少选不得分)9.下列有关向量命题,不正确的是()A.若||=||,则=B.已知≠,且•=•,则=C.若=,=,则=D.若=,则||=||且∥10.若复数z满足,则()A.z=﹣1+i B.z的实部为1 C.=1+i D.z2=2i11.如图,在平行四边形ABCD中,E,F分别为线段AD,CD的中点,AF∩CE=G,则()A.B.C.D.12.已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1,棱长为2,E为线段B1C上的动点,O为AC的中点,P 为棱CC1上的动点,Q为棱AA1的中点,则以下选项中正确的有()A.AE⊥B1CB.直线B1D⊥平面A1BC1C.异面直线AD1与OC1所成角为D.若直线m为平面BDP与平面B1D1P的交线,则m∥平面B1D1Q三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.不需写出解答过程,请把答案直接填写在横线上)13.已知向量=(m,1),=(m﹣6,m﹣4),若∥,则m的值为.14.将表面积为36π的圆锥沿母线将其侧面展开,得到一个圆心角为的扇形,则该圆锥的轴截面的面积S=.15.如图,已知有两个以O为圆心的同心圆,小圆的半径为1,大圆的半径为2,点A 为小圆上的动点,点P,Q是大圆上的两个动点,且•=1,则||的最大值是.16.如图,在三棱锥A﹣BCD的平面展开图中,已知四边形BCED为菱形,BC=1,BF=,若二面角A﹣CD﹣B的余弦值为﹣,M为BD的中点,则CD=,直线AD与直线CM所成角的余弦值为.四、解答题(本大题共6小题,共70分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.已知,.(1)若与同向,求;(2)若与的夹角为120°,求.18.已知a、b、c是△ABC中∠A、∠B、∠C的对边,a=4,b=6,cos A=﹣.(1)求c;(2)求cos2B的值.19.已知:复数z1与z2在复平面上所对应的点关于y轴对称,且z1(1﹣i)=z2(1+i)(i为虚数单位),|z1|=.(Ⅰ)求z1的值;(Ⅱ)若z1的虚部大于零,且(m,n∈R),求m,n的值.20.(Ⅰ)在复数范围内解方程|z|2+(z+)i=(i为虚数单位)(Ⅱ)设z是虚数,ω=z+是实数,且﹣1<ω<2.(1)求|z|的值及z的实部的取值范围;(2)设,求证:μ为纯虚数;(3)在(2)的条件下求ω﹣μ2的最小值.21.如图,直三棱柱A1B1C1﹣ABC中,AB=AC=1,,A1A=4,点M为线段A1A 的中点.(1)求直三棱柱A1B1C1﹣ABC的体积;(2)求异面直线BM与B1C1所成的角的大小.(结果用反三角表示)22.如图所示,在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,点G在棱D1C1上,且D1G=D1C1,点E、F、M分别是棱AA1、AB、BC的中点,P为线段B1D上一点,AB=4.(Ⅰ)若平面EFP交平面DCC1D1于直线l,求证:l∥A1B;(Ⅱ)若直线B1D⊥平面EFP.(i)求三棱锥B1﹣EFP的表面积;(ii)试作出平面EGM与正方体ABCD﹣A1B1C1D1各个面的交线,并写出作图步骤,保留作图痕迹.设平面EGM与棱A1D1交于点Q,求三棱锥Q﹣EFP的体积.答案解析一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分)在每小题所给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.(2﹣i)z对应的点位于虚轴的正半轴上,则复数z对应的点位于()1.已知复平面内,A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】B【分析】直接利用复数的运算和几何意义的应用求出该点所表示的位置.【解答】解:设z=a+bi(a,b∈R),所以(2﹣i)(a+bi)=2a+b+(2b﹣a)i,由于对应的点在虚轴的正半轴上,所以,即,所以a<0,b>0.故该点在第二象限.故选:B.【知识点】复数的代数表示法及其几何意义2.平行四边形ABCD中,点E是DC的中点,点F是BC的一个三等分点(靠近B),则=()A.B.C.D.【答案】D【分析】利用平行四边形的性质以及向量相等的概念,再利用平面向量基本定理进行转化即可.【解答】解:因为ABCD为平行四边形,所以,故.故选:D.【知识点】平面向量的基本定理3.已知向量=(6t+3,9),=(4t+2,8),若(+)∥(﹣),则t=()A.﹣1 B.﹣C.D.1【答案】B【分析】根据平面向量的坐标表示和共线定理,列方程求出t的值.【解答】解:向量=(6t+3,9),=(4t+2,8),所以+=(6t+3,11),﹣=(4t+2,5).又(+)∥(﹣),所以5(6t+3)﹣11(4t+2)=0,解得t=﹣.故选:B.【知识点】平面向量共线(平行)的坐标表示4.已知矩形ABCD的一边AB的长为4,点M,N分别在边BC,DC上,当M,N分别是边BC,DC的中点时,有(+)•=0.若+=x+y,x+y=3,则线段MN的最短长度为()A.B.2 C.2D.2【答案】D【分析】先根据M,N满足的条件,将(+)•=0化成的表达式,从而判断出矩形ABCD为正方形;再将+=x+y,左边用表示出来,结合x+y =3,即可得NC+MC=4,最后借助于基本不等式求出MN的最小值.【解答】解:当M,N分别是边BC,DC的中点时,有(+)•===,所以AD=AB,则矩形ABCD为正方形,设,,则=.则x=2﹣λ,y=2﹣μ.又x+y=3,所以λ+μ=1.故NC+MC=4,则MN==(当且仅当MC=NC=2时取等号).故线段MN的最短长度为2.故选:D.【知识点】平面向量数量积的性质及其运算5.若z∈C且|z+3+4i|≤2,则|z﹣1﹣i|的最大和最小值分别为M,m,则M﹣m的值等于()A.3 B.4 C.5 D.9【答案】B【分析】由题意画出图形,再由复数模的几何意义,数形结合得答案.【解答】解:由|z+3+4i|≤2,得z在复平面内对应的点在以Q(﹣3,﹣4)为圆心,以2为半径的圆及其内部.如图:|z﹣1﹣i|的几何意义为区域内的动点与定点P得距离,则M=|PQ|+2,m=|PQ|﹣2,则M﹣m=4.故选:B.【知识点】复数的运算6.已知球的半径为R,一等边圆锥(圆锥母线长与圆锥底面直径相等)位于球内,圆锥顶点在球上,底面与球相接,则该圆锥的表面积为()A.R2B.R2C.R2D.R2【答案】B【分析】设圆锥的底面半径为r,求得圆锥的高,由球的截面性质,运用勾股定理可得r,由圆锥的表面积公式可得所求.【解答】解:如图,设圆锥的底面半径为r,则圆锥的高为r,则R2=r2+(r﹣R)2,解得r=R,则圆锥的表面积为S=πr2+πr•2r=3πr2=3π(R)2=πR2,故选:B.【知识点】球内接多面体、旋转体(圆柱、圆锥、圆台)7.农历五月初五是端午节,民间有吃粽子的习惯,粽子又称粽籺,俗称“粽子”,古称“角黍”,是端午节大家都会品尝的食品,传说这是为了纪念战国时期楚国大臣、爱国主义诗人屈原.小明在和家人一起包粽子时,想将一丸子(近似为球)包入其中,如图,将粽叶展开后得到由六个边长为4的等边三角形所构成的平行四边形,将粽叶沿虚线折起来,可以得到如图所示的粽子形状的六面体,则放入丸子的体积最大值为()A.πB.πC.πD.π【答案】A【分析】先根据题意求得正四面体的体积,进而得到六面体的体积,再由图形的对称性得,内部的丸子要是体积最大,就是丸子要和六个面相切,设丸子的半径为R,则,由此求得R,进而得到答案.【解答】解:由题意可得每个三角形面积为,由对称性可知该六面体是由两个正四面体合成的,可得该四面体的高为,故四面体的体积为,∵该六面体的体积是正四面体的2倍,。
新课标人教版高一下学期期中考试数学试题及答案
新课标人教版高一下学期期中考试数学试题及答案2011-2012年度高一年级下学期期中考试试题(数学)温馨提示:认真思考,细心答题,相信你会取得好成绩!成绩:一、选择题:(每小题4分,共40分)在下列每小题给出的四个选项中,只有一个符合要求,请选出并填入下列表中相应的位置。
1.不等式$x-2y+6>0$表示的平面区域在直线$x-2y+6=0$的()。
A。
右上方 B。
右下方 C。
左上方 D。
左下方2.若$A$为$\triangle ABC$内角,则下列函数中一定取正值的是:()。
A。
$\sin A$ B。
$\cos A$ C。
$\tan A$ D。
$\sin 2A$3.在$\triangle ABC$中,$a=135^\circ$,$b=3$,$B=60^\circ$,那么角$A$等于:()。
A。
$90^\circ$ B。
$45^\circ$ C。
$30^\circ$ D。
$60^\circ$4.设$b<a<1$,则下列不等式成立的是:()。
A。
$ab<b^2<1$ B。
$\log_b 1<a<\log_a 2$C。
$a^2<ab<1$ D。
$1<\frac{1}{1+a}<\frac{1}{1+b}$5.设数列$\{a_n\}$是等差数列,若$a_2=3$,$a_7=13$。
数列$\{a_n\}$的前8项和为:()。
A。
128 B。
80 C。
64 D。
566.在$\triangle ABC$中,若$\frac{ab}{\cos A\cos B}=1$,则$\triangle ABC$的形状是:()。
A。
等腰三角形B。
直角三角形C。
等腰或直角三角形D。
等腰直角三角形7.数列$\{a_n\}$的通项公式为$a_n=\frac{1}{n(n+1)}$,前$n$项和$S_n=9$,则$n$等于:()。
A。
98 B。
99 C。
96 D。
978.不等式$\begin{cases}y\geq x-1\\y\leq 1\end{cases}$表示区域的面积为:()。
人教版数学高三期中测试精选(含答案)8
【答案】A
9.设 a, b, c 是互不相等的整数,则下列不等式中不恒成立的是( )
A.| a b || a c | | b c |
C.
|
a
b
|
a
1
b
2
B. a2
1 a2
a
1 a
D. a 3 a 1 a 2 a
【来源】上海市上海中学 2018-2019 学年高三上学期期中数学试题
x [2, 4] ,不等式 f (x) t 2 恒成立,则 t 的取值范围为__________.
【来源】山东省菏泽一中、单县一中 2016-2017 学年高二下学期期末考试数学(文)试
题 【答案】 (,10]
2x y 1 0,
12.设关于
x
,
y
的不等式组
x m 0,
表示的平面区域为 D ,若存在点
【答案】(1)见解析;(2) 2- n 2 n n2
2n
2
7x 5y 23 0
30.已知
x,y
满足条件:
x
7
y
11
0
,求:
4x y 10 0
(1) 4x 3y 的最小值; x y 1
(2) x 5 的取值范围.
【来源】上海市上海中学 2015-2016 学年高二上学期期中数学试卷
an
2n
的前
n
项和
Sn
.
【来源】江西省抚州市临川一中 2019-2020 届高三上学期第一次联合考试数学(文科)
试题
【答案】(1) an
1 2
n
;(2)
Sn
2n1
n2
n
2
.
34.已知等差数列an 的前 n 项和为 Sn , a2 a8 82 , S41 S9 .
泰安第一中学2022-2023学年高一下学期期中考试数学试题(含答案)
泰安一中新校区2022-2023学年高一下学期期中考试数学试题2023.5一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.若复数()1i 1i z -=+,则z = A.22B.1C.D.22.若,m n 表示两条不重合的直线,,,αβγ表示三个不重合的平面,下列命题正确的是A .若m αγ⋂=,n βγ= ,且//m n ,则//αβB .若,m n 相交且都在,αβ外,//m α,//n α,//m β,//n β,则//αβC .若//m n ,n α⊂,则//m αD .若//m α,//n α,则//m n4.已知2a =,3b =.若a b a b +=-,则23a b +=425.某景区为提升游客观赏体验,搭建一批圆锥形屋顶的小屋(如图1).现测量其中一个屋顶,得到圆锥SO 的底面直径AB 长为12m ,母线SA 长为18m (如图2).若C 是母线SA 的一个三等分点(靠近点S ),从点A 到点C 绕屋顶侧面一周安装灯光带,则灯光带的最小长度为A. B.16mC. D.12m6.如图所示,在ABC ∆中,点O 是BC 的中点,过点O 的直线分别交直线AB 、AC 于不同的两点M 、N ,若AB mAM = ,(,0)AC nAN m n =>,则m n +的值为A .2B .3C .92D .57.已知4sin 45πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭,,42ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,则cos α=A.210 B.3210C.22D.72108.函数()()sin 0,02f x x πωϕωϕ⎛⎫=+><<⎪⎝⎭在区间5,66ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的图象如图所示,将该函数图象上各点的横坐标缩短到原来的一半(纵坐标不变),再向右平移()0θθ>个单位长度后,所得到的图象关于原点对称,则θ的最小值为A.3πB.6πC.12π D.724π二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9.下列有关复数的说法中(其中i 为虚数单位),正确的是A .22i 1=B .复数32i z =-的共轭复数的虚部为2C .若13i -是关于x 的方程()20,x px q p q ++=∈R 的一个根,则8q =-D .若复数z 满足i 1z -=,则z 的最大值为210.下列说法正确的是A .已知向量()1,3a = ,()cos ,sin b θθ= ,若a b ⊥ ,则3tan 3θ=-B .已知向量()2,3a = ,(),2b x = ,则“a ,b的夹角为锐角”是“3x >-”的充要条件C .若向量()()4,31,3a b =- = ,,则a 在b 方向上的投影向量坐标为13,22⎛⎫ ⎪⎝⎭三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.已知复数2(4)(2)i m m +-+ (R)m ∈是纯虚数,则m =___________.14.需要测量某塔的高度,选取与塔底D 在同一个水平面内的两个测量基点A 与B ,现测得75DAB ∠= ,45ABD ∠= ,96AB =米,在点A 处测得塔顶C 的仰角为30 ,则塔高CD 为__________米.15.公元前6世纪,毕达哥拉斯学派通过研究正五边形和正十边形的作图,发现了黄金分割值,这一数值近似可以表示为2sin18m =︒,若24m n +=,则cos 27m =︒______.四、解答题:本题6小题,共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10分)已知,,a b c是同一平面内的三个向量,()1,2a = .(1)若c = ,且//c a ,求c的坐标;(2)若52b = ,且2a b + 与2a b - 垂直,求a 与b 的夹角θ..19.(12分)已知ABC 中,D 是AC 边的中点.3BA =,7BC =,7BD =(1)求AC 的长;(2)BAC ∠的平分线交BC 于点E ,求AE 的长.20.(12分)已知函数()5sin 22cos sin 644f x x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.(1)求函数()f x 的单调递增区间;(2)若函数()y f x k =-在11,612ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上有且仅有两个零点,求实数k 的取值范围.泰安一中新校区2022-2023学年高一下学期期中考试数学试题解析2023.5一、单项选择题:1.B2.B3.D4.A5.C6.A7.A8.C二、多项选择题:9.BD 10.ACD 11.ACD 12.ACD11.【详解】对于A ,由正弦定理可得sin cos sin cos sin sin C B B C A a A +==,因为0πA <<,所以sin 0A ≠,所以1a =,若2B C A +=,且πB C A ++=,所以π3A =,由余弦定理得22222π1cos cos 322b c a b c A bc bc+-+-===,由0,0b c >>,可得2212b c bc bc +=+³,即1bc ≤,则ABC面积11sin 22bc A ≤=ABC,故A 正确;对于B ,若π4A =,且1a =,由正弦定理得1πsin sin 4b B=,所以πsin sin4B b b =,当sin 1B =1=,所以b =时有一解,故B 错误;对于C ,若C =2A ,所以π2π3B A A A =--=-,且ABC 为锐角三角形,所以π02π022π0π32A A A ⎧<<⎪⎪⎪<<⎨⎪⎪<-<⎪⎩,解得ππ64A <<,所以2cos 2A ⎛∈ ⎝⎭,由正弦定理sin sin a cA C =得1sin sin 22cos sin sin C A c A A A⨯===∈,故C 正确;对于D ,做OD BC ⊥交BC 于点D 点,则D 点为BC 的中点,且1BC =,设OBD αÐ=,所以cos BDBOα=,所以211cos 22BD BC BO BC BO BC BO BC BD BC BOα⋅=⋅=⋅⨯=⋅==,故D 正确.12.【详解】由题意,PC 的中点O 即为-P ABC 的外接球的球心,设外接球的半径为R ,则34108π33R π=,得3R =,在Rt PAB 中,222PA AB PB +=,故222PB BC PC +=,即222224PA AB BC PC R ++==,而2AB =,所以2232PA BC +=,鳖臑-P ABC 的体积()()22111116232663P ABC V AB BC PA BC PA BC PA -=⨯⋅⋅=⋅⋅≤⋅+=,当且仅当4BC PA ==时,取得等号,故max 16()3P ABC V -=,故A 项正确,B 项错误;而1823C ABO O ABC V V V --===,故C 项正确;设-P ABC 的内切球半径为r ,由题意知三棱锥-P ABC 的四个侧面皆为直角三角形,由等体积法1111116322223P ABC V AB BC PA AC PA PB BC r -⎛⎫=⨯⋅+⋅+⋅+⋅⋅= ⎪⎝⎭,而2AC ==6PC =,得(1632r +⋅=,所以r =,故D 项正确,三、填空题:13.214.15.16.216【详解】以ABC 外接圆圆心为原点建立平面直角坐标系,如图,因为等边ABC21sin BCr r A=⇒=,设11(1,0),(,(,),(cos ,sin )2222A B C P αα---,则1(1cos ,sin ),(cos sin )2PA PB αααα=--=---,1(cos ,sin )2PC αα=--,所以(12cos ,2sin )PC PB αα+=---,所以()1cos PA PB PC α⋅+=-,因为1cos 1α-≤≤,所以01cosα2£-£,所以()PA PB PC ⋅+的最大值为2.四、解答题:17.【详解】(1)设向量(),c x y = ,因为()1,2a = ,c =r ,c a ∥,所以2x y==⎪⎩,解得24x y =⎧⎨=⎩,或24x y =-⎧⎨=-⎩,所以()2,4c =r 或()2,4c =-- ;(2)因为2a b + 与2a b -垂直,所以()()220a b a b +⋅-=r r r r ,所以222420a a b a b b -⋅+⋅-= 而52b =,a == ,所以5253204a b ⨯+⋅-⨯= ,得52a b ⋅=- ,a 与b的夹角为θ,所以52cos 12a b a bθ-⋅===-⋅,因为[]0,θπ∈,所以θπ=.18.【详解】(1)设圆锥的底面半径为r ,高为h.由题意,得:2r π=,∴r =,∴3h =∴圆锥的侧面积16S rl ππ===,底面积223S r ππ==,∴表面积129S S S π=+=.(2)由(1)可得:圆锥的体积为211133333V r h πππ==⨯⨯=.又圆柱的底面半径为2r =322h =,∴圆柱的体积为2233922428r hV πππ⎛⎫==⨯⨯= ⎪⎝⎭.∴剩下几何体的体积为12915388V VV πππ=-=-=.19.【详解】(1)设AD DC x ==,由余弦定理可得22cosADB CDB∠=∠==又cos cos ADB CDB ∠∠=- 2=1x ∴=,即2AC =.(2)由(1)知223271cos 2322A +-==⨯⨯,因为0A π<<,所以3A π=,由ABE ACE ABC S S S += 可得,1113sin 302sin 3032sin 60222AE AE ︒︒︒⨯⨯+⨯⨯=⨯⨯⨯,即5AE =,解得5AE =.20.【详解】(1)()5sin 22cos sin 644f x x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭sin 2coscos 2sin 2cos sin 6644x x x x ππππ⎛⎫⎛⎫=-+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11sin 2cos 2sin 2sin 2cos 2cos 222222x x x x x x π⎛⎫=-++=-+ ⎪⎝⎭1sin 2cos 2sin 2+226x x x π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭,令222,Z 262k x k k πππππ-+≤+≤+∈,所以,Z 36k x k k ππππ-+≤≤+∈,所以函数()f x 的单调递增区间为:,,Z 36k k k ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦(2)函数()y f x k =-在区间11,612ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上有且仅有两个零点,即曲线sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭与直线y k =在区间11,612ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上有且仅有两个交点.设26t x π=+,则sin ,y t =且,26t ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦,又因为1sin 62π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭,由图象可知,若要使sin y t =与y k =区间,26t ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦上有且仅有两个交点,则()11,0,12k ⎛⎫∈--⋃ ⎪⎝⎭.21.【详解】(1)选择①,在ABC 中,由余弦定理得222222222a c b a c b a b c b ac a+-+-=+⋅=+,整理得222a b c ab +-=,则2221cos 22a b c C ab +-==,又()0,πC ∈,所以π3C =.选择②,可得sin cos sin cos cos a A B b A A C +=,在ABC中,由正弦定理得,2sin cos sin sin cos cos A B A B A A C +=,因为sin 0A ≠,则sin cos sin cos A B B A C +=,即()sin A B C +=,因为πA B C ++=,因此sin cos C C =,即tan C =又()0,πC ∈,所以3C π=.选择③,在ABC22(2cos1)2cos 2CC C =--=-,cos 2C C +=,即πsin 16C ⎛⎫+= ⎪⎝⎭,又()0,πC ∈,所以ππ7π,666C ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭,所以ππ62C +=,从而π3C =.(2)由(1)知,π3C =,有2π3ABC BAC ∠+∠=,而BAC ∠与ABC ∠的平分线交于点I ,即有π3ABI BAI ∠+∠=,于是2π3AIB ∠=,设ABI θ∠=,则π3BAI θ∠=-,且π03θ<<,在ABI △中,由正弦定理得,4π2πsin sin sin()sin33BI AI AB AIB θθ====∠-,所以)4sin π3(BI θ=-,4sin AI θ=,所以ABI △的周长为3234sin(4si π)n θθ-+3123cos sin )4sin 22θθθ=-+π23232sin 4sin()233θθθ=++=++由π03θ<<,得ππ2π333θ<+<,所以当ππ32θ+=,即π6θ=时,ABI △的周长取得最大值423+22.【详解】(1)记F 为AB 的中点,连接,DF MF ,如图1,因为,F M 分别为,AB AE 的中点,故//MF EB ,因为MF ⊄平面,EBC EB ⊂平面,EBC 所以//MF 平面EBC ,又因为ADB 为正三角形,所以60DBA ∠=︒,DF AB ⊥,又BCD △为等腰三角形,120BCD ∠=︒,所以30DBC ∠=︒,所以90ABC ∠=︒,即BC AB ⊥,所以//DF BC ,又DF ⊄平面,EBC BC ⊂平面,EBC 所以//DF 平面EBC ,又DF MF F ⋂=,,DF MF ⊂平面DMF ,故平面//DMF 平面EBC ,又因为DM ⊂平面DMF ,故//DM 平面BEC .(2)延长,CD AB 相交于点P ,连接PM 交BE 于点N ,连接CN ,过点N 作//NQ AE 交AB 于点Q ,如图2,因为//DM 平面ECB ,DM ⊂平面PDM ,平面PDM 平面ECB CN =,所以//DM CN ,此时,,,D M N C 四点共面,由(1)可知,2,60,BC CD PCB CB BP ==∠=︒⊥,得30,4CPB PC ∠=︒=,故4263PN CP PM DP ===,又因为//NQ AE ,所以23NQ PN AM PM ==,则有3112223NQ NQ AE AM ==⨯=,故13BN NQ BE AE ==.N。
江苏省南京市金陵中学2020-2021学年高一下学期期中考试数学试题(含答案)
江苏省金陵中学2020至2021学年高一第二学期期中考试高一数学试卷一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.若复数z =1+i ,则|z 2-2z |=( ▲ ).A .0B .1C.2D .22.在平面直角坐标系xOy 中,已知AB →=(2,3),AC →=(3,t ),|BC →|=1,则AB →·AC →=( ▲ ). A .-3B .-10C .9D .15 3.△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知b =3,c =2,cos(B +C )=14,则a 等于( ▲ ).A .10B .15C .4D .174.在△ABC 中,AB =2,AC =3,∠BAC =π3,点D 为边BC 上靠近B 的三等分点,则AD →·BC →的值为( ▲ ). A .-113B .-13C .23D .435.在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,若其面积S =a 2+b 2-c 243,则C =( ▲ ).A .π6B .π3C .π4D .π26.若α,β∈(π2,π),且sin α=255,sin(α-β)=-1010,则sin β=( ▲ ).A .7210B .22C .12D .1107.已知|AB →|=3,|AC →|=2,若对于任意的实数m ,不等式|AB →+AC →|≤|AB →+mAC →|恒成立,则 cos ∠BAC =( ▲ ). A .53 B .-53 C .-23 D .238.已知ΔABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ,若A =2B ,则c b +(2ba)2的最小值为( ▲ ).A .-1B .73C .3D .103二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对得5分,有选错的得0分,部分选对的得3分.9.下列命题为真命题的是( ▲ ).A .若z 1,z 2互为共轭复数,则z 1z 2为实数B .若i 为虚数单位,则i 3=iC .若复数z =1+i ,则z 2=2iD .若复数z =-12+32i ,则1+z +z 2=010.如图,在正方形ABCD 中,E ,F 分别是BC ,CD 的中点,G 是EF 的中点,现在沿AE ,AF及EF 把这个正方形折成一个空间图形,使B ,C ,D 三点重合,重合后的点记为H ,那么,在这个空间图形中必有( ▲ ). A .AG ⊥△EFH 所在平面B .AH ⊥△EFH 所在平面C .EF ⊥△AGH 所在平面D .HG ⊥△AEF 所在平面11.给出下列命题,其中正确的选项有( ▲ ).A .若非零向量a ,b 满足|a +b |=|a |+|b |,则a 与b 共线且同向B .若非零向量a 、b 满足|a |=|b |=|a -b |,则a 与a +b 的夹角为30°C .若单位向量的e 1、e 2的夹角为60°,则当|2e 1+t e 2| (t ∈R )取最小值时,t =1D .在△ABC 中,若(AB →|AB →|+AC →|AC →|)·BC →=0,则△ABC 为等腰三角形12.在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,下列四个命题中,正确的命题有( ▲ ).A .c =a cosB +b cos A B .若A >B ,则sin2A >sin2BC .若A =30º,a =4,b =6,则满足条件的三角形有两解D .若△ABC 是钝角三角形,则tan A ·tan C <1三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.已知a =(sinα,4),b =(1,cosα),且a ⊥b ,则sin2α+2sin 2α=▲________.14.已知函数f (x )=2cos 2(π2x -π4)-1,g (x )=x 3,设函数F (x )=f (x )-g (x ),则F (x )所有的零点之和为▲________.15.如图,在矩形ABCD 中,M ,N 分别为线段BC ,CD 的中点,若MN →=λ1AM →+λ2BN →,λ1,λ2∈R ,则λ1λ2的值为▲________.16.向量是数学中一个很神奇的存在,它将“数”和“形”完美地融合在一起,在三角形中就有很多与向量有关的结论.例如,在△ABC 中,若O 为△ABC 的外心,则AO →·AB →=12AB →2.证明如下:取AB 中点E ,连接OE ,可知OE ⊥AB ,则AB →·AO →=2AE →·AO →=2|AE →||AO →|cos ∠OAE=2|AE →|(|AO →|cos ∠OAE )=2AE →2=12AB →2.利用上述材料中的结论与方法解决下面的问题:在△ABC 中,a ,b ,c 分别为内角A ,B ,C 的对边,满足a >c 且2b cos A =3c ,3(c +a )=2b . 设O 为△ABC 的外心,若AO →=x AB →+yAC →,x ,y ∈R ,则x -2y =▲________.DC A B MNEAB·O四、解答题:本题共6小题,第17题10分,其余每小题12分,共70分.17.(本小题10分)已知复数z =b i(b ∈R ),z -21+i 是实数,i 是虚数单位(1) 求复数z ;(2) 若复数(m +z )2所表示的点在第一象限,求实数m 的取值范围.18.(本小题12分)某同学在一次研究性学习中发现,以下五个式子的值都等于同一个常数. ①sin 213°+cos 217°-sin13°cos17° ②sin 215°+cos 215°-sin15°cos15° ③sin 218°+cos 212°-sin18°cos12° ④sin 2(-18°)+cos 248°-sin(-18°)cos48° ⑤sin 2(-25°)+cos 255°-sin(-25°)cos55°(1)试从上述五个式子中选择一个,求出这个常数.(2)根据(1)的计算结果,将该同学的发现推广为一般的三角恒等式,并证明你的结论.19.(本小题12分)设向量a =(3cos α,sin α),b =(sin β,3cos β),c =(cos β,-3sin β). (1)若a 与b -c 垂直,求tan(α+β)的值;(2)求|b -c |的最小值;20.(本小题12分)如图,在四棱锥O -ABCD 中,底面ABCD 四边长为1的菱形,∠ABC =π4, OA ⊥平面ABCD ,OA =2,M 为OA 的中点,N 为BC 的中点(1)画出平面AMN 与平面OCD 的交线(保留作图痕迹,不需写出作法); (2)证明:直线MN ||平面OCD ; (3)求异面直线AB 与MD 所成角的大小.ABCDOM N21.(本小题12分)某公园为了吸引更多的游客,准备进一步美化环境.如图,准备在道路AB 的一侧进行绿化,线段AB 长为4百米,C ,D 都设计在以AB 为直径的半圆上.设∠COB =θ. (1)现要在四边形ABCD 内种满郁金香,若∠COD =π3, 则当θ为何值时,郁金香种植面积最大;(2)为了方便游人散步,现要搭建一条道路,道路由线段BC , CD 和DA 组成,若BC =CD ,则当θ为何值时,栈道的总 长l 最长,并求l 的最大值.22.(本小题12分)已知ΔABC 为锐角..三角形,设角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c .R 为ΔABC 外接圆半径. (1)若R =1,且满足sin B sin C =(sin 2B +sin 2C -sin 2A )tan A ,求b 2+c 2的取值范围; (2)若b 2+c 2=2aR cos A +a 2,求tan A +tan B +tan C 的最小值.江苏省金陵中学2020至2021学年高一第二学期期中考试高一数学试卷一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.若复数z =1+i ,则|z 2-2z |=( ▲ ).A .0B .1 C.2 D .2答案:D2.在平面直角坐标系xOy 中,已知AB →=(2,3),AC →=(3,t ),|BC →|=1,则AB →·AC →=( ▲ ).A .-3B .-10C .9D .15答案:D3.△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知b =3,c =2,cos(B +C )=14,则a 等于( ▲ ).注 意 事 项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1.本试卷共4页,包含单项选择题(第1题~第8题)、多项选择题(第9题~第12题)填空题(第13题~第16题)、解答题(第17题~第22题)四部分。
安徽省池州市青阳县重点中学2022-2023学年高一下学期4月期中联考数学试题及答案
青阳一中2022-2023学年度第二学期期中考试高一数学试卷满分:150分 时间:120分钟一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1. 若复数21iz =+,则|i |z -=( )A. 2C. 4D. 52. 设向量,a b 不共线,向量a b λ+与2a b λ+同方向,则实数λ的值为( )A.2B. 12C. 2-D. 12-3. 已知点(1,2)(3,2)(3,4)A B C 、、,则向量A B 在A C 方向上投影向量为( )A. 22⎛ ⎝⎭B. (1,1)C. (2,2)D.4. 函数sin cos(2)6y x x ππ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭具有性质( )A. 图象关于点,03π⎛⎫⎪⎝⎭B. 图象关于点,03π⎛⎫⎪⎝⎭对称,最大值为1C. 图象关于直线3x π=D. 图象关于直线3x π=对称,最大值为15. 已知π,0,2αβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,()3sin 5αβ-=,5cos 13β=,则sin α=( )A.6365B.3365C. 3365- D. 6365-6.若一个圆锥的轴截面为等腰直角三角形,其侧面积为,圆锥的底面圆周和顶点都在同一球面上,则该球的体积为( ) A. B.C.D.7.在中,的内角的对边分别为,若,则的值为( )A.B. C. D.8.已知菱形的边长为,,点是边上的动点,则的最大值为( )A. B. C. D.二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分. 9. 已知向量()1,2a =-,4b a =,//a b ,则b 可能是( ) A. ()4,8-B. ()8,4C. ()4,8--D. ()4,8-10、下列选项中,正确的有( ) A.设,都是非零向量,则“”是“”成立的充分不必要条件B.若角的终边过点且,则C.在中,D.若,则11、有一个内角为的三角形的三边长分别是,,,则实数的值不可能为( )A. B. C. D.12、已知圆锥的底面半径为,高为,为顶点,,为底面圆周上两个动点,则下列说法正确的是( ) A.圆锥的体积为B.圆锥侧面展开图的圆心角大小为C.圆锥截面面积的最大值为D.若圆锥的顶点和底面上所有点都在同一个球面上,则此球的体积为三.填空题(共4小题,每小题5分,共20分) 13、若不等式对一切实数均成立,则实数的取值范围是__________.14、已知的面积为,是所在平面上的一点,满足,则的面积为__________;15. 定义*a b 是向量a 和b 的“向量积”,其长度为|*|||||sin a b a b θ=,其中θ为向量a 和b 的夹角.若()2,0a =,(1,3a b -=-,则|*()|a a b +=______.16. 已知的内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,且()226a b c +-=,60C =︒,则A B C 的面积为______.四、解答题(本题共6小题,共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17. (本小题满分10分) 已知tan 2θ=-,且,2πθπ⎛⎫∈⎪⎝⎭.(Ⅰ)求sin θ,cos θ的值;(Ⅱ)求()()2sin sin 2cos 2cos 2ππθθππθθ⎛⎫-+- ⎪⎝⎭⎛⎫-++ ⎪⎝⎭的值.18、(本小题满分12分) 在平面内给定三个向量,,.(1)求满足的实数,;(2)若,求实数的值.19. (本小题满分12分)在A B C 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知2sin cos 2sin cos A B B C -=,且角B 为钝角.(1)求角C 的大小;(2)若sin 2sin b A B =,22285b c a bc+-=,求A B C 的面积.20. (本小题满分12分)已知函数()22cos 2cos 13f x x x x π=++-⎫⎪⎝⎭+⎛.(1)求()f x ≤ (2)求()fx 在,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域.21.(本小题满分12分) 如图,在四边形中,,,,.(1)求;(2)若,求的长22. (本小题满分12分)已知A B C 的面积为S ,三边分别为,,a b c ,且233AB AC ⋅=.(1)求cos A ;(2)求a =A B C 周长的最大值.高一数学期中答案1. 【答案】B 【详解】因为复数21iz =+,所以2i i 12i 1iz -=-=-+,所以i z -==2. 【答案】A【详解】由向量共线定理得存在一个实数m 使()2a b m a b λλ+=+成立,即2a a b m m b λλ=++ 则21m m λλ=⎧⎨=⎩,解得22m λ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或22m λ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩,又因为向量a b λ+与2a b λ+同方向,所以0m >,即2m λ==,3.【答案】B【详解】()()2,0,2,2AB AC ==, 则向量A B 在A C 方向上投影向量为(()2,02,22,21,1AB AC AC ACAC⋅⋅⋅==4.【答案】D【分析】利用三角恒等变换将函数化简,再根据正弦函数的性质即得.【详解】∵1sin cos(2)cos cos sin 6226y x x x x x x πππ⎛⎫⎛⎫=-+-=-+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,∴函数的最大值为1,所以max 1y =,故AC 错误;又当3x π=时63sin 1y ππ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭,所以函数关于3x π=对称,故B 错误,D 正确.5. 【答案】A【分析】求出cos()αβ-,sin β,由凑角法()sin sin ααββ=-+⎡⎤⎣⎦,利用正弦的差角公式进行求解. 【详解】因为α、β为锐角,所以ππ,22αβ⎛⎫-∈-⎪⎝⎭,因为()3sin 5αβ-=,所以4cos()5αβ-==,因为5cos 13β=,所以12sin 13β==,故()()()sin sin sin cos cos sin ααββαββαββ=-+=-+-⎡⎤⎣⎦531246313513565=⨯+⨯=6.D设球半径为,圆锥的底面半径为,母线为,圆锥的轴截面为等腰直角三角形,得:,若圆锥的侧面积为,则,所以,,圆锥的高,由,解得:,所以球的体积等于.7.【答案】A 依题意,由正弦定理得.8.【答案】D设,,,∴的最大值为.故选D.9. 【答案】AD【分析】由共线向量定义可知4b a =或4b a =-,由向量坐标运算可得结果. 【详解】4b a =,//a b ,4b a ∴=或4b a =-,又()1,2a =-,()4,8b ∴=-或()4,8-.故选:AD. 10、【答案】A,C 选项A,由,可知,所以,故充分性成立;若,则,因为为大于的实数,不一定为,所以必要性不成立,故“”是“”成立的充分不必要条件,选项正确;选项B,若角的终边过点且,则,解得,B 选项错误;选项C,因为在中,, 由正弦定理可知,所以, 因为在上单调递减, 而,为的内角,,,故;故可得,选项C 正确;选项D,若,则,D 错误.故选:AC. 11、【答案】A,C,D在三角形中,由余弦定理得:,化简可得:,解得或(舍).12、【答案】B,D因为圆锥的底面半径为,高为,所以圆锥的母线长,则: 对于A,圆锥的体积,故A 错误;对于B,设圆锥的侧面展开图的圆心角大小为,则,,故B 正确;对于C,当圆锥截面为圆锥的轴截面时,此时,,所以,所以当时,截面的面积最大,,故C 错误;对于D,圆锥的顶点和底面上所有点都在同一个球面上,即圆锥的外接球,设圆锥外接球半径为,由球的性质可知:,即,解得,所以外接球的体积.故D 正确.故选:BD.第13题解析由有, 因为,故,所以.第14题解析设,,,则,即点为的重心,则, 又,,, 所以,又,所以.15.【答案】【分析】根据数量积,求出夹角,然后再根据向量积的定义,即可求解. 【详解】()2,0a =,()1,3a b -=-,()1,3b ∴=,进而()3,3a b +=,()6cos ,222a a b a a b a a b⋅++===⨯+,所以1sin ,2a ab +=由“向量积”的定义可知: 1|*()|sin ,2222a ab a b a a b +=+=⨯=故答案为:16. 2【分析】先根据()226a b c +-=,60C =︒,利用余弦定理求得2ab =,再利用三角形面积公式求解. 【详解】解:因为()226a b c +-=,60C =︒,所以22222262162,cos 222+--+-=-===a b cab a b c ab C abab,解得2ab =,所以11sin 22222ABCSab C ==⨯⨯=,故答案为:217. 【答案】(Ⅰ)cos 5θ=-,sin 5θ=;(Ⅱ)-1.【详解】(Ⅰ)由tan 2θ=-,得sin 2cos θθ=-.∵22sin cos 1θθ+=,∴21cos 5θ=.∵,2πθπ⎛⎫∈⎪⎝⎭,∴sin 0θ>,cos 0θ<.∴cos 5θ=-,sin 5θ=.(Ⅱ)原式2sin cos 2tan 1cos sin 1tan θθθθθθ++==--∵tan 2θ=-,∴原式41112-+==-+. 18、 (1)因为,,,且,所以.所以,解得,.(2)由题可知,.因为,所以,解得.19. 【答案】(1)π6;(26【详解】(1)∵()sin sin sin cos cos sin A B C B C B C =+=+,又2sin cos 2sin cos A B B C -=,∴2sin cos 2cos sin cos 2sin cos B C B C B B C +-=,∴2cos sin cos 0B C B -=,∵角B 为钝角,∴1sin 2C =,∴π6C =(5π6C =舍去).(2)由余弦定理得222425b c abc+-=,∴4cos 5A =,又sin 2sin b A B =,∴2ba b =,即2a =. ∴3sin 5A =,∴由sin sin a cAC=得sin 5sin 3a C c A==.∵()4sin sin sin cos cos sin 10B AC A C A C +=+=+=,∴A B C 的面积为11544sin 2223106ac B ++=⨯⨯⨯=20. 【答案】(1)()13,Z 412k k k ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦(2)[]2,4- 【小问1详解】解:由题意得:()23cos 22cos 2f x x x x x =++-22cos 24sin 26x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭.由()4sin 26f x x π⎛⎫=+≤ ⎪⎝⎭sin 262x π⎛⎫+≤⎪⎝⎭. 根据正弦型函数的性质可知:()27222Z 363k x k k πππππ+≤+≤+∈ 解得()13Z 412k x k k ππππ+≤≤+∈.故()f x ≤()13,Z 412k k k ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦. 【小问2详解】 ,63x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦∴52,666x πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦又2263f f ππ⎛⎫⎛⎫-=-≤= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, ∴()min26fx f π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭,()max 46f x f π⎛⎫== ⎪⎝⎭故()f x 在,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域为[]2,4-. 21、22. 【答案】(1)1cos 2A =;(2)【分析】(1)由数量积的定义及面积公式的表示化简即可得解; (2)由余弦定理得222()3()3()34b c b c bc b c +=+-≥+-⨯,从而可得最值.【详解】(1)由233AB AC ⋅=得1cos sin 32c b A c b A ⋅⋅=⋅⋅⋅sin A A =tan A ⇒=,所以0,2A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,由3A π=,解得1cos 2A =;(2)由余弦定理可得:22222cos ()3a b c bc A b c bc =+-=+-,得222()3()3()34b c b c bc b c +=+-≥+-⨯,解得b c +≤b c =时等号成立,所以当b c ==A B C 周长的最大值为。
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高一下学期期中质量调查数学试题 第Ⅰ卷(选择题 共24分)
一、选择题:本大题共8小题,每小题3分,共24分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目
要求的.
1.下列命题正确的是
A.若0a b <<,则 ac bc <
B. 若,a b c d >>,则 ac bd >
C.若a b >,则1a b <
D.若22,0a b
c c c
>≠,则a b > 2.在数列{}n a 中,111,3n n a a a +=-=-,则4a = A. 10- B. 7- C. 5- D. 11
3.若13,24a b <<<<,则a
b
的范围是
A. 1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭
B. 3,42⎛⎫ ⎪⎝⎭
C. 13,42⎛⎫
⎪⎝⎭
D.()1,4
4.在ABC V
中,已知,24
c A a π
==
=,则角C =
A.
3π B. 23π C. 3π或23π D.12π或512
π
5.已知数列{}n a 为等比数列,有51374a a a -=,{}n b 是等差数列,且77a b =,则59b b +=
A. 4
B. 8
C. 16
D. 0或8
6.在ABC V 中,已知sin 2cos sin A B C =,则ABC V 的形状时 A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C.等腰直角三角形 D.不确定
7.设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和,若3613S S =,则612
S
S = A. 13 B. 18 C. 19 D.310
8.已知数列{}n a 前n 项和21n
n S =-,则此数列奇数项和前n 项和是
A. ()21213n -
B. ()11213n +-
C. ()21223n -
D. ()11
223
n +-
第Ⅱ卷(非选择题 共76分)
二、填空题:本大题共6小题,每小题4分,共24分.
9.在数列{}n a 中,2
23n a n =-,则125是这个数列的第 项.
10.在ABC V 中,三边,,a b c 成等比数列,222
,,a b c 成等差数列,则三边,,a b c 的关系为 .
11.对于任意实数x ,不等式2
3
204
mx mx +-
<恒成立,则实数m 的取值范围是 . 12.在等差数列{}n a 中,已知11a =,前5项和535,S =则8a 的值是 .
13.在ABC V 中,若120,5,7,A AB BC ===o
,则ABC V 的面积S = .
14.已知数列{}n a 满足,11232,2n
n n a a a +=+⋅=,则数列{}n a 的通项公式是 .
三、解答题:本大题共6小题,共52分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(本小题满分8分)
已知不等式2
320ax x -+>的解集为{}
|x 1x b x <>或.
(1)求,a b 的值;
(2)解关于x 的不等式()2220ax b a x b ---<.
16.(本小题满分8分)
已知等比数列{}n a 中,11a =,公比为q ,且()
1.n n n b a a n N *+=-∈ (1)判断数列{}n b 是否为等比数列?请说明理由. (2)求数列{}n b 的通项公式.
17.(本小题满分8分)
已知数列{}n a 的前项和2
2 4.n n S +=-
(1)求数列{}n a 的通项公式;
(2)设等差数列{}n b 满足,73154,b a b a ==,求数列{}n b 的前项和.n T
18.(本小题满分12分)
若等比数列{}n a 的前n 项和1.2
n n n S a =- (1)求实数a 的值;
(2)求数列{}n na 的前n 项和.n T
19.(本小题满分10分)
在ABC V 中,角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,已知45,cos .5
b c A == (1)求sin C 的值;
(2)若ABC V 的面积为3
sin sin ,2
ABC S B C =V 求a 的值.
20.(本小题满分10分)
已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,满足11110,2,.n n n n n n n n a a S a S a a n N -*
+++≠-=∈ (1)求证:1
2;n n n S a -=
(2)设1
n
n n a b a +=,求数列{}n b 的前n 项和.n T。