山东省胶州市2018届高考数学一轮复习第八章第4讲直线与圆、圆与圆的位置关系课中学案(无答案)文
【高考讲坛】高考数学一轮复习 第8章 第4节 直线与圆、圆与圆的位置关系课件 理 苏教版
[ 解析]
(1)由题意知点在圆外，则 a2＋b2>1，圆心到直线的距
1 离 d＝ 2 2<1，故直线与圆相交． a ＋b (2)易知△ABC 是边长为 2 的等边三角形，故圆心 C(1，a)到直 |a＋a－2| 线 AB 的距离为 3，即 ＝ 3，解得 a＝4± 15.经检验均符 2 a ＋1 合题意，则 a＝4± 15.
固 基 础 · 自 主 落 实
第四节 直线与圆、圆与圆的位置关系
启 智 慧 · 高 考 研 析
提 知 能 · 典 例 探 究
课 后 限 时 自 测
考 纲 传 真 内容 直线与圆、圆与 圆的位置关系 A 要求 B C √
1．直线与圆的位置关系 设直线 l：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)；圆：(x－a)2＋(y－b)2＝ r2(r＞0)， 设 d 为圆心(a， b)到直线 l 的距离， 联立直线和圆的方程， 消元后得到的一元二次方程的判别式为 Δ.
[ 解析]
x2＋y2－6x－2y－15＝0 可化为(x－3)2＋(y－1)2＝25，
|3＋2×1| 圆心(3,1)到直线 x＋2y＝0 的距离 d＝ r＝5，故弦长 2 2 ＝ 5， 1 ＋2 为 2 52－ 52＝4 5.
[ 答案] 4 5
4．(2014· 江苏苏州调研)在直角坐标系 xOy 中，已知 A(－1， 0)，B(0,1)，则满足|PA|2－|PB |2＝4，且在圆 x2＋y2＝4 上的点 P 的 个数为____2＝4 的圆心为 C(2，－1)，半径为 r＝2， |2＋2×－1－3| 3 点 C 到直线 x＋2y－3＝0 的距离为 d＝ ＝ ， 所求 2 2 5 1 ＋2 弦长为 l＝2 r －d ＝2
2 2
9 2 55 4－5＝ 5 .
最新-2018届高考数学一轮复习 第8章第四节 直线与圆、圆与圆的位置关系课件 文 精品
∴x1＝－4 或x2＝0 ，
y1＝ 0
y2＝ 2
所以交点坐标为(－4,0)和(0,2)．
∴两圆的公共弦长为 －4－02＋0－22＝2 5.
法二：两方程联立，得方程组
x2＋ y2－2x＋10y－24＝0 x2＋ y2＋2x＋2y－ 8＝0
，
两式相减得 x－2y＋4＝0，即两圆相交弦所在直线的
方程；
由 x2＋y2－2x＋10y－24＝0，得(x－1)2＋(y＋5)2＝50，
A2＋B2 _d_<_r__⇔直线与圆相交； _d_＝__r _⇔直线与圆相切；
_d_>_r__⇔直线与圆相离．
(2)代数方法： 由Axx－＋aB2y＋＋Cy－＝b0，2＝r2，
消元，得到一元二次方程判别式为 Δ，则 _Δ_>_0__⇔直线与圆相交； _Δ_＝__0_⇔直线与圆相切； _Δ_<_0__⇔直线与圆相离．
【解】 法一：将直线 mx－y－m－1＝0 代入圆的 方程化简整理得， (1＋m2)x2－2(m2＋2m＋2)x＋m2＋4m＋4＝0. ∵Δ＝4m(3m＋4)， ∴当 Δ＞0 时，即 m＞0 或 m＜－43时，直线与圆相 交，即直线与圆有两个公共点； 当 Δ＝0 时，即 m＝0 或 m＝－43时，直线与圆相切， 即直线与圆只有一个公共点；
(2)若 a＝ 2，过点 M 的圆的两条弦 AC， BD 互相垂直，求 AC＋BD 的最大值．
解：(1)由条件知点 M 在圆 O 上， 所以 1＋a2＝4.则 a＝ ± 3. 当 a＝ 3时，点 M 为(1， 3)，kOM＝ 3， k 切线＝－ 33，
此时切线方程为 y－ 3＝－ 33(x－1)， 即 x＋ 3y－4＝0.
圆与圆的位置关系
1．判断两圆的位置关系常用几何法，即用两圆 圆心距与两圆半径和与差之间的关系，一般不 采用代数法． 2．若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程 可由两圆的方程作差消去x2，y2项即可得到．
高中数学高考高三理科一轮复习资料第8章 8.4 直线与圆、圆与圆的位置关系
题型探究 题型一 直线和圆相交 例 1 已知圆 C：(x－1)2＋(y－2)2＝25，直线 l：(2m＋1)x ＋(m＋1)y－7m－4＝0(m∈R)． (1)证明：无论 m 取何实数，直线 l 与圆恒交于两点； (2)求直线 l 被圆 C 截得的线段的最短长度以及此时直线 l 的方程．
高中数学
8．4 直线与圆、圆与圆的位置关系
考纲点击 1.能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系； 能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系. 2.能用直线和圆的方程解决一些简单的问题． 3．初步了解用代数方法处理几何问题的思想.
说基础
课前预习读教材
考点梳理 一、直线与圆的位置关系 1．直线与圆的位置关系有三种：相离、相切、相交． 判断直线与圆的位置关系常见的有两种方法： (1)代数法：利用判别式 Δ＞0⇔① 判别式 Δ＝0⇔② ――→ 2 Δ＝b －4ac Δ＜0⇔③ (2)几何法： 利用圆心到直线的距离 d 和圆半径 r 的大小关 系 d＜r⇔④______；d＝r⇔⑤______；d＞r⇔⑥______.
说考点
拓展延伸串知识
疑点清源 一、圆的切线方程的求法 1．求过圆上的一点(x0，y0)的切线方程 先求切点与圆心连线的斜率 k，由垂直关系知切线斜率为 1 － k ，由点斜式方程可求切线方程．若切线斜率不存在，则由 图形写出切线方程 x＝x0.
2．求过圆外一点(x0，y0)的圆的切线方程 (1)几何方法 当斜率存在时，设为 k，切线方程为 y－y0＝k(x－x0)，即 kx－y＋y0－kx0＝0.由圆心到直线的距离等于半径， 即可得出切 线方程． (2)代数方法 设切线方程为 y－y0＝k(x－x0)，即 y＝kx－kx0＋y0，代入 圆方程，得一个关于 x 的一元二次方程，由 Δ＝0，求得 k，切 线方程即可求出． 【说明】 过圆外一点作圆的切线有两条， 若在解题过程中， 只解出一个答案，说明另一条直线的斜率不存在．
2018届高考数学一轮复习第八章平面解析几何第四节直线与圆、圆与圆的位置关系学案文
第四节 直线与圆、圆与圆的位置关系1.能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系．2．能用直线和圆的方程解决一些简单的问题． 3．初步了解用代数方法处理几何问题的思想．知识点一 直线与圆的位置关系 设直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0(A 2＋B 2≠0)，圆：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r >0)，设d 为圆心(a ，b )到直线l 的距离，联立直线和圆的方程，消元后得到的一元二次方程的判别式为Δ.d <r Δ>0 d ＝r Δ＝0 d >r Δ<01．圆(x －1)2＋(y ＋2)2＝6与直线2x ＋y －5＝0的位置关系是( ) A ．相切 B ．相交但直线不过圆心 C ．相交过圆心D ．相离解析：由题意知圆心(1，－2)到直线2x ＋y －5＝0的距离d ＝|2×1－2－5|22＋1＝5< 6.且2×1＋(－2)－5≠0，因此该直线与圆相交但不过圆心．答案：B2．(必修②P132A 组第5题改编)直线l ：3x －y －6＝0与圆x 2＋y 2－2x －4y ＝0相交于A ，B 两点，则|AB |＝________.解析：由x 2＋y 2－2x －4y ＝0，得(x －1)2＋(y －2)2＝5，所以该圆的圆心坐标为(1,2)，半径r ＝5，又圆心(1,2)到直线3x －y －6＝0的距离为d ＝|3－2－6|9＋1＝102，由⎝ ⎛⎭⎪⎫|AB |22＝r 2－d 2，得|AB |2＝4⎝⎛⎭⎪⎫5－52＝10，即|AB |＝10.答案：103．(2016·新课标全国卷Ⅰ)设直线y ＝x ＋2a 与圆C ：x 2＋y 2－2ay －2＝0相交于A ，B 两点，若|AB |＝23，则圆C 的面积为________．解析：圆C 的方程可化为x 2＋(y －a )2＝a 2＋2，可得圆心的坐标为C (0，a )，半径r ＝a 2＋2，所以圆心到直线x －y ＋2a ＝0的距离为|－a ＋2a |2＝|a |2，所以(|a |2)2＋(3)2＝(a 2＋2)2，解得a 2＝2.所以圆C 的半径为2，所以圆C 的面积为4π.答案：4π知识点二 圆与圆的位置关系设圆O 1：(x －a 1)2＋(y －b 1)2＝r 21(r 1>0)， 圆O 2：(x －a 2)2＋(y －b 2)2＝r 22(r 2>0).d >r 1＋r 2 无解 d ＝r 1＋r 2 一组实数解 |r 1－r 2|<d <r 1＋r 2 两组不同的实数解 d ＝|r 1－r 2|(r 1≠r 2) 一组实数解 0≤d <|r 1－r 2|(r 1≠r 2) 无解4．(2016·山东卷)已知圆M ：x 2＋y 2－2ay ＝0(a >0)截直线x ＋y ＝0所得线段的长度是2 2.则圆M 与圆N ：(x －1)2＋(y －1)2＝1的位置关系是( )A ．内切B ．相交C ．外切D ．相离解析：由题知圆M ：x 2＋(y －a )2＝a 2，圆心(0，a )到直线x ＋y ＝0的距离d ＝a2，所以2a 2－a 22＝22，解得a ＝2.圆M ，圆N 的圆心距|MN |＝2，两圆半径之差为1，故两圆相交．答案：B5．(必修②P133A 组第9题改编)圆x 2＋y 2－4＝0与圆x 2＋y 2－4x ＋4y －12＝0的公共弦所在的直线方程为________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－4＝0，x 2＋y 2－4x ＋4y －12＝0得4x －4y ＋8＝0，即x －y ＋2＝0.答案：x －y ＋2＝0热点一 直线与圆的位置关系【例1】 (1)直线l ：mx －y ＋1－m ＝0与圆C ：x 2＋(y －1)2＝5的位置关系是( ) A ．相交 B ．相切 C ．相离D ．不确定(2)若直线y ＝x ＋b 与曲线x ＝1－y 2恰有一个公共点，则b 的取值范围是( ) A ．b ∈(－1,1] B ．b ＝－ 2C ．b ＝± 2D ．b ∈(－1,1]或b ＝－ 2【解析】 (1)方法1：由题意知，圆心(0,1)到直线l 的距离d ＝|m |m 2＋1<1<5，故直线l 与圆相交．方法2：直线l ：mx －y ＋1－m ＝0过定点(1,1)，因为点(1,1)在圆x 2＋(y －1)2＝5的内部，所以直线l 与圆相交．(2)由x ＝1－y 2知，曲线表示半圆(如图)，让直线y ＝x ＋b 在图形中运动，可知当－1<b ≤1时，与半圆有一个公共点；当直线与半圆相切时，也与半圆只有一个公共点，此时|b |2＝1，求得b ＝2(舍去)或b ＝－ 2.【答案】 (1)A (2)D(2017·重庆沙区模拟)直线x －y ＋m ＝0与圆x 2＋y 2－2x －1＝0有两个不同交点的一个充分不必要条件是( )A ．0<m <1B ．－4<m <2C ．m <1D ．－3<m <1解析：由直线与圆相交的充要条件，得|1＋m |2<2⇔－3<m <1，所以直线x －y ＋m ＝0与圆x 2＋y 2－2x －1＝0有两个不同交点的一个充分不必要条件是0<m <1，故选A.答案：A热点二 圆的切线、弦长问题 考向1 有关切线问题【例2】 过点P (1，－3)作圆C ：(x －4)2＋(y －2)2＝9的两条切线，切点分别为A ，B ，求：(1)切线方程； (2)直线AB 的方程； (3)线段AB 的长度．【解】 (1)当切线的斜率存在时，设直线方程为y ＋3＝k (x －1)，即kx －y －k －3＝0， 由|4k －2－k －3|k 2＋1＝3，解得k ＝815. ∴切线方程为8x －15y －53＝0.当切线斜率不存在时，易知直线x ＝1也是圆的切线，∴所求切线方程为8x －15y －53＝0或x ＝1.(2)以PC 为直径的圆D 的方程为 (x －52)2＋(y ＋12)2＝172.∵圆C 与圆D 显然相交，∴直线AB 就是圆D 与圆C 公共弦所在直线．∴直线AB 方程为3x ＋5y －13＝0.(3)由S △PAC ＝12·3·5＝12·34·12|AB |，得|AB |＝153417.考向2 有关弦长问题【例3】 (2017·承德模拟)若a 2＋b 2＝2c 2(c ≠0)，则直线ax ＋by ＋c ＝0被圆x 2＋y 2＝1所截得的弦长为( )A.12 B ．1 C.22D. 2【解析】 因为圆心(0,0)到直线ax ＋by ＋c ＝0的距离d ＝|c |a 2＋b2＝|c |2|c |＝22，因此根据直角三角形的关系，弦长的一半就等于1－⎝⎛⎭⎪⎫222＝22，所以弦长为 2. 【答案】 D(1)(2017·陕西宝鸡模拟)已知条件p ：k ＝3，条件q ：直线y ＝kx ＋2与圆x 2＋y 2＝1相切，则綈p 是綈q 的( )A ．充分必要条件B ．必要不充分条件C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件(2)(2017·阜新模拟)过点(1，2)的直线l 将圆(x －2)2＋y 2＝4分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线l 的斜率k ＝________.解析：(1)若直线y ＝kx ＋2与圆x 2＋y 2＝1相切，则有2k 2＋1＝1，解得k ＝±3，所以綈p 是綈q 的必要不充分条件，故选B.(2)因为(1－2)2＋(2)2＝3<4，所以点(1，2)在圆(x －2)2＋y 2＝4的内部，当劣弧所对的圆心角最小时，即直线l 交圆的弦长最短，此时圆心(2,0)与点(1，2)的连线垂直于直线l .因为2－01－2＝－2，所以所求直线l 的斜率k ＝22. 答案：(1)B (2)22热点三 圆与圆的位置关系【例4】 已知圆C 1：(x －a )2＋(y ＋2)2＝4与圆C 2：(x ＋b )2＋(y ＋2)2＝1相外切，则ab 的最大值为( )A.62B ．32 C.94D ．2 3【解析】 由圆C 1与圆C 2相外切，可得a ＋b2＋－2＋2＝2＋1＝3，即(a ＋b )2＝9，根据基本(均值)不等式可知ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝94，当且仅当a ＝b 时等号成立．故选C.【答案】 C1．把例4条件“外切”变为“相交”，求公共弦所在的直线方程． 解：由题意得，把圆C 1，圆C 2的方程都化为一般方程． 圆C 1：x 2＋y 2－2ax ＋4y ＋a 2＝0，① 圆C 2：x 2＋y 2＋2bx ＋4y ＋b 2＋3＝0，②由②－①得(2a ＋2b )x ＋3＋b 2－a 2＝0，即(2a ＋2b )x ＋3＋b 2－a 2＝0为所求公共弦所在直线方程．2．将例4条件“外切”变为“若两圆有四条公切线”，试判断直线x ＋y －1＝0与圆(x －a )2＋(y －b )2＝1的位置关系．解：由两圆存在四条切线，故两圆外离， 故a ＋b2＋－2＋2>3.∴(a ＋b )2>9，即a ＋b >3或a ＋b <－3. 又圆心(a ，b )到直线x ＋y －1＝0的距离d ＝|a ＋b －1|2>1，∴直线x ＋y －1＝0与圆(x －a )2＋(y －b )2＝1相离.若圆x 2＋y 2＝4与圆x 2＋y 2＋2ay －6＝0(a >0)的公共弦长为23，则a ＝________. 解析：方程x 2＋y 2＋2ay －6＝0与x 2＋y 2＝4. 两式相减得：2ay ＝2，则y ＝1a.由已知条件22－32＝1a，即a ＝1.答案：11．直线与圆的位置关系体现了圆的几何性质和代数方法的结合，“代数法”与“几何法”是从不同的方面和思路来判断的．2．求过一点的圆的切线方程时，首先要判断此点是否在圆上，然后设出切线方程．注意：斜率不存在的情形．3．圆的弦长的常用求法(1)几何法：求圆的半径为r ，弦心距为d ，弦长为l ，则⎝ ⎛⎭⎪⎫l 22＝r 2－d 2；(2)代数方法：运用根与系数的关系及弦长公式：|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝＋k2x 1＋x 22－4x 1x 2].直线与圆的最值与范围问题【例】 (1)设点P 是函数y ＝－4－x －2图象上的任意一点，点Q 坐标为(2a ，a－3)(a ∈R )，则|PQ |的最小值为________．(2)已知m >0，n >0，若直线(m ＋1)x ＋(n ＋1)y －2＝0与圆(x －1)2＋(y －1)2＝1相切，则m ＋n 的取值范围是______________．【解析】 (1)函数y ＝－4－x －2的图象表示圆(x －1)2＋y 2＝4的下半圆．令点Q的坐标为(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2a ，y ＝a －3，得y ＝x2－3，即x －2y －6＝0，如图所示．由于圆心(1,0)到直线x －2y －6＝0的距离d ＝|1－2×0－6|12＋－2＝5>2，所以直线x －2y －6＝0与圆(x －1)2＋y 2＝4相离，因此|PQ |的最小值是5－2.(2)因为m >0，n >0，直线(m ＋1)x ＋(n ＋1)y －2＝0与圆(x －1)2＋(y －1)2＝1相切，所以圆心C (1,1)到直线的距离为半径 1.所以|m ＋1＋n ＋1－2|m ＋2＋n ＋2＝1，即|m ＋n |＝m ＋2＋n ＋2.两边平方并整理得mn ＝m ＋n ＋1.由基本不等式mn ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋n 22可得m ＋n ＋1≤⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋n 22，(m ＋n )2－4(m ＋n )－4≥0，解得m ＋n ≥2＋2 2.【答案】 (1)5－2 (2)[2＋22，＋∞) 解题策略：已知AC ，BD 为圆O ：x 2＋y 2＝4的两条互相垂直的弦，且垂足为M (1，2)，则四边形ABCD 面积的最大值为( )A ．5B ．10C ．15D ．20解析：如图，作OP ⊥AC 于点P ，OQ ⊥BD 于点Q ，则OP 2＋OQ 2＝OM 2＝3，于是AC 2＋BD 2＝4(4－OP 2)＋4(4－OQ 2)＝20.又AC 2＋BD 2≥2AC ·BD ，则AC ·BD ≤10，所以S 四边形ABCD ＝12AC ·BD ≤12×10＝5，当且仅当AC ＝BD ＝10时等号成立．故四边形ABCD 面积的最大值为5.答案：A。
高考数学一轮复习配套讲义：第8篇 第4讲 直线与圆、圆与圆的位置关系
第4讲直线与圆、圆与圆的位置关系[最新考纲]1．能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系．2．能用直线和圆的方程解决一些简单的问题．3．初步了解用代数方法处理几何问题的思想.知识梳理1．直线与圆的位置关系设直线l：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)，圆：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)，d为圆心(a，b)到直线l的距离，联立直线和圆的方程，消元后得到的一元二次方程的判别式为Δ.2.设圆O1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝r21(r1＞0)，圆O2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝r22(r2＞0).1．对直线与圆位置关系的理解(1)直线y＝kx＋1与圆x2＋y2＝1恒有公共点．(√)(2)“k＝1”是“直线x－y＋k＝0与圆x2＋y2＝1相交”的必要不充分条件．(×)(3)(教材习题改编)直线y＝2x＋3被圆x2＋y2－6x－8y＝0所截得的弦长等于2 5.(×)2．对圆与圆位置关系的理解(4)如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解，则两圆外切．(×)(5)如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交．(×)3．关于圆的切线与公共弦(6)过圆O：x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程是x0x＋y0y＝r2.(√)(7)两个相交圆的方程相减消掉二次项后得到的二元一次方程是两圆的公共弦所在的直线方程．(√)(8)圆C1：x2＋y2＋2x＋2y－2＝0与圆C2：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的公切线有且仅有2条．(√)[感悟·提升]1．两个防范 一是应用圆的性质求圆的弦长，注意弦长的一半、弦心距和圆的半径构成一个直角三角形，有的同学往往漏掉了2倍，如(3)；二是在判断两圆位置关系时，考虑要全面，防止漏解，如(4)、(5)，(4)应为两圆外切与内切，(5)应为两圆相交、内切、内含． 2．两个重要结论一是两圆的位置关系与公切线的条数：①内含时：0条；②内切：1条；③相交：2条；④外切：3条；⑤外离：4条． 二是当两圆相交时，把两圆方程(x 2，y 2项系数相同)相减便可得两圆公共弦所在直线的方程.考点一 直线与圆的位置关系【例1】 (1)已知点M (a ，b )在圆O ：x 2＋y 2＝1外，则直线ax ＋by ＝1与圆O 的位置关系是( )．A ．相切B ．相交C ．相离D ．不确定(2)(·山东卷)过点(3,1)作圆(x －1)2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 的方程为( )．A ．2x ＋y －3＝0B ．2x －y －3＝0C ．4x －y －3＝0D ．4x ＋y －3＝0解析 (1)因为M (a ，b )在圆O ：x 2＋y 2＝1外，所以a 2＋b 2＞1，而圆心O 到直线ax ＋by ＝1的距离d ＝|a ·0＋b ·0－1|a 2＋b 2＝1a 2＋b 2＜1.故直线与圆O 相交．(2)如图，圆心坐标为C (1,0)，易知A (1,1)，又k AB ·k PC ＝－1，且k PC ＝1－03－1＝12，∴k AB ＝－2.故直线AB 的方程为y －1＝－2(x －1)，即2x ＋y －3＝0. 答案 (1)B (2)A规律方法 判断直线与圆的位置关系时，若两方程已知或圆心到直线的距离易表达，则用几何法；若方程中含有参数，或圆心到直线的距离的表达较繁琐，则用代数法．【训练1】 (1)“a ＝3”是“直线y ＝x ＋4与圆(x －a )2＋(y －3)2＝8相切”的( )．A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件(2)(·郑州模拟)直线y ＝－33x ＋m 与圆x 2＋y 2＝1在第一象限内有两个不同的交点，则m 取值范围是 ( )． A ．(3，2) B ．(3，3) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫33，233D.⎝⎛⎭⎪⎫1，233 解析 (1)若直线y ＝x ＋4与圆(x －a )2＋(y －3)2＝8相切，则有|a －3＋4|2＝22，即|a ＋1|＝4，所以a ＝3或－5.但当a ＝3时，直线y ＝x ＋4与圆(x －a )2＋(y －3)2＝8一定相切，故“a ＝3”是“直线y ＝x ＋4与圆(x －a )2＋(y －3)2＝8相切”的充分不必要条件．(2)当直线经过点(0,1)时，直线与圆有两个不同的交点，此时m ＝1；当直线与圆相切时有圆心到直线的距离d ＝|m |1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫332＝1，解得m ＝233，所以要使直线与圆在第一象限内有两个不同的交点，则1＜m ＜233. 答案 (1)A (2)D考点二 圆与圆的位置关系【例2】 已知两圆x 2＋y 2－2x －6y －1＝0和x 2＋y 2－10x －12y ＋m ＝0. (1)m 取何值时两圆外切？ (2)m 取何值时两圆内切？(3)求m ＝45时两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长．解 两圆的标准方程为：(x －1)2＋(y －3)2＝11，(x －5)2＋(y －6)2＝61－m ， 圆心分别为M (1,3)，N (5,6)，半径分别为11和61－m . (1)当两圆外切时，(5－1)2＋(6－3)2＝11＋61－m ， 解得m ＝25＋1011.(2)当两圆内切时，因定圆的半径11小于两圆圆心间距离5，故只有61－m －11＝5，解得m ＝25－1011. (3)两圆的公共弦所在直线方程为(x 2＋y 2－2x －6y －1)－(x 2＋y 2－10x －12y ＋45)＝0， 即4x ＋3y －23＝0， ∴公共弦长为2(11)2－⎣⎢⎡⎦⎥⎤|4×1＋3×3－23|42＋322＝27. 规律方法 (1)判断两圆的位置关系常用几何法，即用两圆圆心距与两圆半径和与差之间的关系，一般不采用代数法．(2)当两圆相交时求其公共弦所在的直线方程或是公共弦长，只要把两圆方程相减消掉二次项所得方程就是公共弦所在的直线方程，再根据其中一个圆和这条直线就可以求出公共弦长．【训练2】 (1)圆O 1：x 2＋y 2－2x ＝0和圆O 2：x 2＋y 2－4y ＝0的位置关系是( )． A ．相离 B ．相交 C ．外切 D ．内切(2)设两圆C 1、C 2都和两坐标轴相切，且都过点(4,1)，则两圆心的距离|C 1C 2|＝( )． A ．4B ．4 2C ．8D ．8 2解析 (1)圆O 1的圆心坐标为(1,0)，半径为r 1＝1，圆O 2的圆心坐标为(0,2)，半径r 2＝2，故两圆的圆心距|O 1O 2|＝5，而r 2－r 1＝1，r 1＋r 2＝3，则有r 2－r 1＜|O 1O 2|＜r 1＋r 2，故两圆相交．(2)依题意，可设圆心坐标为(a ，a )、半径为r ，其中r ＝a ＞0，因此圆的方程是(x －a )2＋(y －a )2＝a 2，由圆过点(4,1)得(4－a )2＋(1－a )2＝a 2，即a 2－10a ＋17＝0，则该方程的两根分别是圆心C 1，C 2的横坐标，|C 1C 2|＝2×(－10)2－4×17＝8.故选C. 答案 (1)B (2)C考点三 有关圆的综合问题【例3】 (·江苏卷)如图，在平面直角坐标系xOy 中， 点A (0,3)，直线l ：y ＝2x －4.设圆C 的半径为1，圆心在l 上．(1)若圆心C 也在直线y ＝x －1上，过点A 作圆C 的切线，求切线的方程； (2)若圆C 上存在点M ，使|MA |＝2|MO |，求圆心C 的横坐标a 的取值范围． 审题路线 (1)由两条直线解得圆心C 的坐标⇒设过点A 与圆C 相切的切线方程⇒由点到直线的距离求斜率⇒写出切线方程；(2)设圆C 的方程⇒设点M (x ，y )⇒由|MA |＝2|MO |得M 的轨迹方程⇒由两圆有公共点，列出关于a 的不等式⇒解不等式可得．解 (1)由题设，圆心C 是直线y ＝2x －4和y ＝x －1的交点，解得点C (3,2)，于是切线的斜率必存在．设过A (0,3)的圆C 的切线方程为y ＝kx ＋3， 由题意，得|3k ＋1|k 2＋1＝1，解得k ＝0或－34，故所求切线方程为y ＝3或3x ＋4y －12＝0. (2)因为圆心在直线y ＝2x －4上，所以圆C 的方程为(x －a )2＋[y －2(a －2)]2＝1. 设点M (x ，y )，因为|MA |＝2|MO |， 所以x 2＋(y －3)2＝2x 2＋y 2，化简得x 2＋y 2＋2y －3＝0，即x 2＋(y ＋1)2＝4， 所以点M 在以D (0，－1)为圆心，2为半径的圆上．由题意，点M (x ，y )在圆C 上，所以圆C 与圆D 有公共点，则|2－1|≤|CD |≤2＋1，即1≤a 2＋(2a －3)2≤3.整理得－8≤5a 2－12a ≤0.由5a 2－12a ＋8≥0，得a ∈R ；由5a 2－12a ≤0，得0≤a ≤125. 所以点C 的横坐标a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，125.规律方法 (1)圆与直线l 相切的情形——圆心到l 的距离等于半径，圆心与切点的连线垂直于l .(2)圆与直线l 相交的情形——圆心到l 的距离小于半径，过圆心而垂直于l 的直线平分l 被圆截得的弦；连接圆心与弦的中点的直线垂直于弦；过圆内一点的所有弦中，最短的是垂直于过这点的直径的那条弦，最长的是过这点的直径．在解有关圆的解析几何题时，主动地、充分地利用这些性质可以得到新奇的思路，避免冗长的计算．【训练3】 (·江西卷)过点(2，0)引直线l 与曲线y ＝1－x 2相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，当△AOB 的面积取最大值时，直线l 的斜率等于( )．A.33 B ．－33 C ．±33 D ．－ 3解析 由y ＝1－x 2得x 2＋y 2＝1(y ≥0)，即该曲线表示圆心在原点，半径为1的半圆，如图所示．故S △AOB ＝12|OA |·|OB |·sin ∠AOB ＝12sin ∠AOB .所以当sin ∠AOB ＝1，即OA ⊥OB 时，S △AOB 取得最大值，此时点O 到直线l 的距离d ＝|OA |·sin 45°＝22.设此时直线l 的斜率为k ，则方程为y ＝k (x －2)，即kx －y －2k ＝0，则有22＝|0－0－2k |k 2＋1，解得k ＝±33，由图象可知直线l 的倾斜角为钝角，故取k ＝－33. 答案 B1．直线与圆的位置关系体现了圆的几何性质和代数方法的结合，“代数法”与“几何法”是从不同的方面和思路来判断的．2．求过一点的圆的切线方程时，首先要判断此点是否在圆上，然后设出切线方程．注意：斜率不存在的情形． 3．圆的弦长的常用求法(1)几何法：求圆的半径为r ，弦心距为d ，弦长为l ，则⎝ ⎛⎭⎪⎫l 22＝r 2－d 2；(2)代数方法：运用根与系数的关系及弦长公式：|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2].答题模板10——与圆有关的探索问题【典例】 (12分)已知圆C ：x 2＋y 2－2x ＋4y －4＝0.问在圆C 上是否存在两点A 、B 关于直线y ＝kx －1对称，且以AB 为直径的圆经过原点？若存在，写出直线AB 的方程；若不存在，说明理由．[规范解答] 圆C 的方程可化为(x －1)2＋(y ＋2)2＝9，圆心为C (1，－2)．假设在圆C 上存在两点A ，B 满足条件， 则圆心C (1，－2)在直线y ＝kx －1上，即k ＝－1.(2分)于是可知，k AB ＝1.设l AB ：y ＝x ＋b ，代入圆C 的方程， 整理得2x 2＋2(b ＋1)x ＋b 2＋4b －4＝0，则Δ＝4(b ＋1)2－8(b 2＋4b －4)＞0，即b 2＋6b －9＜0. 解得－3－32＜b ＜－3＋3 2.(6分)设点A ，B 的坐标分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝－b －1，x 1x 2＝12b 2＋2b －2. 也就是x 1x 2＋(x 1＋b )(x 2＋b )＝0.由题意知OA ⊥OB ，则有x 1x 2＋y 1y 2＝0， (8分) ∴2x 1x 2＋b (x 1＋x 2)＋b 2＝0.∴b 2＋4b －4－b 2－b ＋b 2＝0，化简得b 2＋3b －4＝0. (10分) 解得b ＝－4或b ＝1，均满足Δ＞0， (11分) 即直线AB 的方程为x －y －4＝0，或x －y ＋1＝0 . (12分) [反思感悟] 本题是与圆有关的探索类问题，要注意充分利用圆的几何性质解题，解题的关键有两点：(1)假设存在两点A 、B 关于直线对称，则直线过圆心．(2)若以AB 为直径的圆过原点，则OA ⊥OB .转化为OA →·OB →＝0. 答题模板 第一步：假设符合要求的结论存在． 第二步：从条件出发(即假设)利用直线与圆的关系求解． 第三步：确定符合要求的结论存在或不存在．第四步：给出明确结果．第五步：反思回顾，查看关键点，易错点及答题规范．【自主体验】在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2＋y2－8x＋15＝0，若直线y＝kx－2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值是________．解析圆C的标准方程为(x－4)2＋y2＝1，如图，直线y＝kx－2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，只需保证圆心C到y＝kx－2的距离不大于2即可．圆心C(4,0)到直线y＝kx－2的距离d＝|4k－2|(－1)2＋k2＝|4k－2|1＋k2，由题意知|4k－2|1＋k2≤2，整理得3k2－4k≤0，解得0≤k≤4 3.故k max＝4 3.答案4 3基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1．(·广州二测)直线y＝kx＋1与圆x2＋y2－2y＝0的位置关系是()．A．相交B．相切C．相离D．取决于k的值解析由y＝kx＋1知直线过定点(0,1)，由x2＋y2－2y＝0得x2＋(y－1)2＝1.∴直线经过圆的圆心，∴直线与圆相交．答案 A2．圆(x＋2)2＋y2＝4与圆(x－2)2＋(y－1)2＝9的位置关系为()．A ．内切B ．相交C ．外切D ．相离解析 两圆圆心分别为(－2,0)和(2,1)，半径分别为2和3，圆心距d ＝42＋1＝17.∵3－2<d <3＋2，∴两圆相交． 答案 B3．若直线x －y ＋1＝0与圆(x －a )2＋y 2＝2有公共点，则实数a 的取值范围是( )．A ．[－3，－1]B ．[－1,3]C ．[－3,1]D ．(－∞，－3]∪[1，＋∞)解析 由题意可得，圆的圆心为(a,0)，半径为2， ∴|a －0＋1|12＋(－1)2≤2，即|a ＋1|≤2，解得－3≤a ≤1.答案 C4．(·宝鸡二检)若圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋m ＝0(m ＜3)的一条弦AB 的中点为P (0,1)，则垂直于AB 的直径所在直线的方程为( )． A ．x －y ＋1＝0 B ．x ＋y －1＝0 C ．x －y －1＝0 D ．x ＋y ＋1＝0解析 由圆的方程得该圆圆心为C (－1,2)，则CP ⊥AB ，直线CP 的斜率为－1，故垂直于AB 的直径所在直线的方程为y －1＝－x ，即x ＋y －1＝0. 答案 B5．(·威海期末考试)若直线y ＝kx 与圆(x －2)2＋y 2＝1的两个交点关于直线2x ＋y ＋b ＝0对称，则k ，b 的值分别为( )． A ．k ＝12，b ＝－4 B ．k ＝－12，b ＝4 C ．k ＝12，b ＝4 D ．k ＝－12，b ＝－4解析 因为直线y ＝kx 与圆(x －2)2＋y 2＝1的两个交点关于直线2x ＋y ＋b ＝0对称，则y ＝kx 与直线2x ＋y ＋b ＝0垂直，且2x ＋y ＋b ＝0过圆心，所以解得k ＝12，b ＝－4. 答案 A 二、填空题6．过点A (2,4)向圆x 2＋y 2＝4所引切线的方程为________．解析 显然x ＝2为所求切线之一；另设直线方程为y －4＝k (x －2)，即kx －y ＋4－2k ＝0，那么|4－2k |k 2＋1＝2，解得k ＝34， 即3x －4y ＋10＝0.答案 x ＝2或3x －4y ＋10＝07．过点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1的直线l 与圆C ：(x －1)2＋y 2＝4交于A ，B 两点，C 为圆心，当∠ACB 最小时，直线l 的方程为________．解析 由题意得，当CM ⊥AB 时，∠ACB 最小，从而直线方程y －1＝－1－120－1⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，即2x －4y ＋3＝0. 答案 2x －4y ＋3＝08．(·三门峡二模)两圆相交于两点(1,3)和(m ，－1)，两圆圆心都在直线x －y ＋c ＝0上，且m ，c 均为实数，则m ＋c ＝________.解析 根据两圆相交的性质可知，两点(1,3)和(m ，－1)的中点⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋m 2，1在直线x －y ＋c ＝0上，并且过两点的直线与x －y ＋c ＝0垂直，故有⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋m 2－1＋c ＝0，3－(－1)1－m ×1＝－1，∴m ＝5，c ＝－2，∴m ＋c ＝3. 答案 3三、解答题9．求过两圆x 2＋y 2＋4x ＋y ＝－1，x 2＋y 2＋2x ＋2y ＋1＝0的交点的圆中面积最小的圆的方程．解 由⎩⎨⎧x 2＋y 2＋4x ＋y ＝－1， ①x 2＋y 2＋2x ＋2y ＋1＝0， ② ①－②得2x －y ＝0代入①得x ＝－15或－1，∴两圆两个交点为⎝ ⎛⎭⎪⎫－15，－25，(－1，－2)． 过两交点圆中，以⎝ ⎛⎭⎪⎫－15，－25，(－1，－2)为端点的线段为直径的圆时，面积最小．∴该圆圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，－65，半径为 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－15＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－25＋222＝255， 圆方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋352＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋652＝45. 10．已知：圆C ：x 2＋y 2－8y ＋12＝0，直线l ：ax ＋y ＋2a ＝0.(1)当a 为何值时，直线l 与圆C 相切；(2)当直线l 与圆C 相交于A ，B 两点，且|AB |＝22时，求直线l 的方程．解 将圆C 的方程x 2＋y 2－8y ＋12＝0化成标准方程为x 2＋(y －4)2＝4，则此圆的圆心为(0,4)，半径为2.(1)若直线l 与圆C 相切，则有|4＋2a |a 2＋1＝2， 解得a ＝－34.(2)过圆心C 作CD ⊥AB ，则根据题意和圆的性质， 得⎩⎪⎨⎪⎧ |CD |＝|4＋2a |a 2＋1，|CD |2＋|DA |2＝|AC |2＝22，|DA |＝12|AB |＝ 2.解得a ＝－7或－1.故所求直线方程为7x －y ＋14＝0或x －y ＋2＝0.能力提升题组(建议用时：25分钟)一、选择题1．(·安徽宣城六校联考)已知点P (x 0，y 0)，圆O ：x 2＋y 2＝r 2(r ＞0)，直线l ：x 0x＋y 0y ＝r 2，有以下几个结论：①若点P 在圆O 上，则直线l 与圆O 相切；②若点P 在圆O 外，则直线l 与圆O 相离；③若点P 在圆O 内，则直线l 与圆O 相交；④无论点P 在何处，直线l 与圆O 恒相切，其中正确的个数是( )．A ．1B ．2C ．3D ．4解析 根据点到直线的距离公式有d ＝r 2x 20＋y 20，若点P 在圆O 上，则x 20＋y 20＝r 2，d ＝r ，相切；若点P 在圆O 外，则x 20＋y 20＞r 2，d ＜r ，相交；若点P 在圆O内，则x 20＋y 20＜r 2，d ＞r ，相离，故只有①正确．答案 A2．(·重庆卷)已知圆C 1：(x －2)2＋(y －3)2＝1，圆C 2：(x －3)2＋(y －4)2＝9，M ，N 分别是圆C 1，C 2上的动点，P 为x 轴上的动点，则|PM |＋|PN |的最小值为( )．A ．52－4 B.17－1 C ．6－2 2 D.17解析 圆C 1，C 2的图象如图所示．设P 是x 轴上任意一点，则|PM |的最小值为|PC 1|－1，同理|PN |的最小值为|PC 2|－3，则|PM |＋|PN |的最小值为|PC 1|＋|PC 2|－4.作C 1关于x 轴的对称点C ′1(2，－3)，连接C ′1C 2，与x 轴交于点P ，连接PC 1，根据三角形两边之和大于第三边可知|PC 1|＋|PC 2|的最小值为|C ′1C 2|，则|PM |＋|PN |的最小值为52－4.选A.答案 A二、填空题3．(·福建质检)已知直线l ：y ＝－3(x －1)与圆O ：x 2＋y 2＝1在第一象限内交于点M ，且l 与y 轴交于点A ，则△MOA 的面积等于________．解析 依题意，直线l ：y ＝－3(x －1)与y 轴的交点A 的坐标为(0，3)．由⎩⎨⎧x 2＋y 2＝1，y ＝－3(x －1)，得点M 的横坐标x M ＝12，所以△MOA 的面积为S ＝12|OA |×x M ＝12×3×12＝34.答案 34三、解答题4．已知圆M ：x 2＋(y －2)2＝1，Q 是x 轴上的动点，QA ，QB 分别切圆M 于A ，B 两点．(1)若Q (1,0)，求切线QA ，QB 的方程；(2)求四边形QAMB 面积的最小值；(3)若|AB |＝423，求直线MQ 的方程．解 (1)设过点Q 的圆M 的切线方程为x ＝my ＋1，则圆心M 到切线的距离为1， ∴|2m ＋1|m 2＋1＝1，∴m ＝－43或0， ∴QA ，QB 的方程分别为3x ＋4y －3＝0和x ＝1.(2)∵MA ⊥AQ ，∴S四边形MAQB ＝|MA |·|QA |＝|QA |＝|MQ |2－|MA |2＝|MQ |2－1≥|MO |2－1＝ 3.∴四边形QAMB 面积的最小值为 3.(3)设AB 与MQ 交于P ，则MP ⊥AB ，MB ⊥BQ ，∴|MP |＝ 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫2232＝13. 在Rt △MBQ 中，|MB |2＝|MP ||MQ |，即1＝13|MQ |，∴|MQ |＝3，∴x 2＋(y －2)2＝9.设Q (x,0)，则x 2＋22＝9，∴x ＝±5，∴Q (±5，0)， ∴MQ 的方程为2x ＋5y －25＝0或2x －5y ＋25＝0.。
高考数学一轮总复习教学课件第八章 平面解析几何第4节 直线与圆、圆与圆的位置关系
2.直线3x+4y-5=0与圆x2+y2=1的位置关系是(
A.相交
√
C.相离
D.无法判断
)
B.相切
解析:圆心(0,0)到直线3x+4y-5=0的距离 d=
与圆相切.故选B.
|-|
,所以直线
=1=r
+
3.直线x-y+3=0被圆(x+2)2+(y-2)2=2截得的弦长等于(
A.
B.
C.2
)
D.
√
解析:圆心(-2,2)到直线 x-y+3=0 的距离 d= ,圆的半径 r= ,
解直角三角形得,半弦长为 ,所以弦长等于 .故选 D.
4.圆O1:(x-1)2+y2=1与圆O2:x2+(y+2)2=4的位置关系是(
A.外离
B.外切
C.相交
D.内切
故选C.
判断直线与圆的位置关系常见的方法:
(1)几何法:利用d与r的关系.
(2)代数法:联立方程组,消元得一元二次方程之后利用Δ判断.
(3)点与圆的位置关系法:若直线恒过定点且定点在圆内,可判断直
线与圆相交;若点在圆上,直线与圆可能相切,也可能相交.
上述方法中最常用的是几何法,点与圆的位置关系法更适用于动直
A.x-2y+3=0
B.2x+y-4=0
√
D.2x-y-4=0
C.x+2y-5=0
)
解析:圆心为O(0,0),kOP=2,故切线的斜率为
y-2=- (x-1) ,即x+2y-5=0.故选C.
2018高考一轮数学(课件)第8章 第4节 直线与圆、圆与圆的位置关系
__________．
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高三一轮总复习
(1)A
(2)x＋2y－5＝0
[(1)法一：∵圆心(0,1)到直线 l 的距离 d＝
|m| m2＋1
<1< 5. 故直线 l 与圆相交． 法二：直线 l：mx－y＋1－m＝0 过定点(1,1)，∵点(1,1)在圆 C：x2＋(y－1)2
A．2x＋y－5＝0
B．2x＋y－7＝0
C．x－2y－5＝0
D．x－2y－7＝0
(2)已知直线 l：x－ 3y＋6＝0 与圆 x2＋y2＝12 交于 A，B 两点，过 A，B 分
别作 l 的垂线与 x 轴交于 C，D 两点，则|CD|＝__________.
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高三一轮总复习
2．圆与圆的位置关系
设圆 O1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝r21(r1>0)， 圆 O2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝r22(r2>0).
方法 几何法：圆心距 d 与 r1，代数法：联立两个圆的方程
位置关系 相离
高三一轮总复习
2．(教材改编)圆(x＋2)2＋y2＝4 与圆(x－2)2＋(y－1)2＝9 的位置关系为( )
A．内切
B．相交
C．外切
D．相离
B [两圆圆心分别为(－2,0)，(2,1)，半径分别为 2 和 3，圆心距 d＝ 42＋1＝
17. ∵3－2<d<3＋2，∴两圆相交．]
【高考领航】高三数学一轮复习 第8章 第4课时 直线与圆、圆与圆的位置关系课件 文 新人教版
[自测 3] 直线 x－y＋2＝0 被圆 x2＋y2＋4x－4y－8＝0 截得的弦长等于 ________．
2 14
教材梳理 基础自测
二、圆与圆的位置关系
圆与圆的位置关系(两圆半径 r1、r2，d＝|O1O2|) 相离 图形 量的 关系 外切 相交 内切 内含
d＞r1＋r2 d＝r1＋r2
|r1－r2|＜d ＜r1＋r2
考点突破 题型透析
考点一 直线与圆位置关系判定及应用
4．(2014· 高考湖北卷)直线 l1：y＝x＋a 和 l2：y＝x＋b 将单位圆 C：x2＋ y2＝1 分成长度相等的四段弧，则 a2＋b2＝________．
作出图象，数形结合解答． 依题意，不妨设直线 y＝x＋a 与单位圆相交于 A，B 两点，则∠AOB＝90 °.如图，此时 a＝1，b＝－1，满足题意，所以 a2＋b2＝2.
2
考点突破 题型透析
考点一 直线与圆位置关系判定及应用
直线与圆的位置关系要注意直线的特殊性．如直线是否经过定点，斜率 k ＝0 或不存在；点是在圆上，还是圆外或圆内，注意利用方程思想时，方 程根的正负与范围等．
考点突破 题型透析
考点二 圆的切线、弦长问题
{注意点1} 过点作切线，注意点的位置及斜率不存在的情况 过圆外一点作圆的切线有两条，圆心与切点的连线垂直于切线，注意斜 率不存在的情况．
高三总复习.数学（文）
第八章 第4课时
平面解析几何
直线与圆、圆与圆的位置关系
考 点
考点一 直线与圆位置关系判定及应用 考点二 圆的切线、弦长问题
考点三 圆与圆的位置关系 方法探究•系列 应考迷津•展示
考纲·展示
1.判定直线与圆、圆与圆的位置关系． 2.利用直线与圆、圆与圆的位置关系求字母参数． 3.根据位置关系求弦长、求直线、求圆的方程．
2018版高考数学一轮总复习第8章平面解析几何8.4直线与圆圆与圆的位置关系模拟演练理
2018版高考数学一轮总复习 第8章 平面解析几何 8.4 直线与圆、圆与圆的位置关系模拟演练 理[A 级 基础达标](时间：40分钟)1．[2017·黄冈中学模拟]若直线x －y ＋1＝0与圆(x －a )2＋y 2＝2有公共点，则实数a 的取值范围是( )A ．[－3，－1]B ．[－1,3]C ．[－3,1]D ．(－∞，－3]∪[1，＋∞)答案 C解析 由题意可得，圆的圆心为(a,0)，半径为2，∴|a －0＋1|12＋－≤ 2，即|a ＋1|≤2，解得－3≤a ≤1.2．圆C 1：x 2＋y 2＋2x ＋2y －2＝0与圆C 2：x 2＋y 2－4x －2y ＋4＝0的公切线有( )A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条答案 D解析 圆C 1：(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝4，∴圆心C 1(－1，－1)，半径r 1＝2；圆C 2：(x －2)2＋(y －1)2＝1，∴圆心C 2(2,1)，半径r 2＝1.∴两圆心的距离d ＝－1－＋－1－＝13，r 1＋r 2＝3，∴d >r 1＋r 2，∴两圆外离，∴两圆有4条公切线．3．[2017·湖北七市联考]将直线x ＋y －1＝0绕点(1,0)沿逆时针方向旋转15°得到直线l ，则直线l 与圆(x ＋3)2＋y 2＝4的位置关系是( )A ．相交B ．相切C ．相离D ．相交或相切答案 B解析 依题意得，直线l 的方程是y ＝tan150°(x －1)＝－33(x －1)，即x ＋3y －1＝0，圆心(－3,0)到直线l 的距离d ＝|－3－1|3＋1＝2，因此该直线与圆相切．4．[2017·丽水模拟]若圆心在x 轴上，半径为5的圆C 位于y 轴左侧，且被直线x ＋2y＝0截得的弦长为4，则圆C 的方程是( )A ．(x －5)2＋y 2＝5 B ．(x ＋5)2＋y 2＝5 C ．(x －5)2＋y 2＝5D ．(x ＋5)2＋y 2＝5答案 B解析 设圆心为(a,0)(a <0 )，因为截得的弦长为4，所以弦心距为1，则d ＝|a ＋2×0|12＋22＝1，解得a ＝－5，所以，所求圆的方程为：(x ＋5)2＋y 2＝5.5．由直线y ＝x ＋1上的一点向圆x 2＋y 2－6x ＋8＝0引切线，则切线长的最小值为( )A.7B ．22C ．3 D.2答案 A解析 如图，在Rt △PAB 中，要使切线PB 最小，只需圆心与直线y ＝x ＋1上的点的距离取得相应最小值即可，易知其最小值为圆心到直线的距离，即|AP |min ＝42＝22，故|BP |min ＝2－12＝7.6．过点(3,1)作圆(x －2)2＋(y －2)2＝4的弦，其中最短弦的长为________．答案 22解析 最短弦为过点(3,1)，且垂直于点(3,1)与圆心的连线的弦，易知弦心距d ＝－＋－＝2，所以最短弦长为2r2－d2＝222－2＝2 2.7．[2017·太原模拟]圆心在曲线y ＝2x(x >0)上，且与直线2x ＋y ＋1＝0相切的面积最小的圆的方程为________．答案 (x －1)2＋(y －2)2＝5解析 由于圆心在曲线y ＝2x (x >0)上，设圆心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，2a (a >0)，又圆与直线2x ＋y ＋1＝0相切，所以圆心到直线的距离d 等于圆的半径r .由a >0，得到d ＝2a ＋2a ＋15≥4＋15＝5，当且仅当2a ＝2a，即a ＝1时取等号，所以圆心为(1,2)，半径r ＝5，则所求的圆的方程为(x－1)2＋(y －2)2＝5.8．已知直线l 过点(－4,0)且与圆(x ＋1)2＋(y －2)2＝25交于A 、B 两点，如果|AB |＝8，那么直线l 的方程为________________． 答案 x ＋4＝0或5x ＋12y ＋20＝0解析 ①当斜率不存在时，l 的方程为x ＝－4.圆心到l 的距离d ＝|－4－(－1)|＝3.。
山东省胶州市2018届高考数学一轮复习 第八章 第4讲 直线与圆、圆与圆的位置关系课前学案(无答案)文
第4讲直线与圆、圆与圆的位置关系目标分解一：掌握直线与圆的位置关系及其应用
(2)①过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0x+y0y=r2.
③过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线,则两切点所在的直线方程为x0x+y0y=r2
，则
设直线与圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
＝
(5)联立两相交圆的方程,并消掉二次项后得到的二元一次方程是两圆的公共弦所在的直线方2. 直线x－y＋1＝0与圆(x＋1)2＋y2＝1的位置关系是()
C．直线不过圆心，但与圆相交D．相离
4．圆Q：x2＋y2－4x＝0在点P(1，3)处的切线方程为( )
22，则实数
或 3
6.★教材习题改编已知圆C1：x2＋y2－2mx＋4y＋m2－5＝0与圆C2：x2＋y2＋2x－2my＋m2－3＝0，
7．★(2015·高考湖南卷)若直线3x－4y＋5＝0与圆x2＋y2＝r2(r>0)相交于A，B两点，且∠AOB ＝120°(O为坐标原点)，则r＝________．
8.★已知两圆相交于点A(1,3)和B(m,1),两圆的圆心都在直线x-y+c
=0上,则m+c的值等。
2018高考一轮数学(课件)第8章 重点强化课4 直线与圆
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第六页，编辑于星期六：二十二点 三十五分。
高三一轮总复习
B [直线 2x＋(n－1)y－2＝0 与直线 mx＋ny＋3＝0 互相平行， ∴2n＝m(n－1)， ∴m＋2n＝mn， 又 m>0，n>0，得m2 ＋1n＝1.
∴2m＋n＝(2m＋n)m2 ＋1n＝5＋2mn＋2nm≥5＋2 当且仅当2mn＝2nm时取等号． ∴2m＋n 的最小值为 9.]
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高三一轮总复习
重点 3 直线与圆的综合问题
☞角度 1 圆的切线
如图 1，已知圆 C 与 x 轴相切于点 T(1,0)，与 y 轴正半轴 交于两点 A，B(B 在 A 的上方)，且|AB|＝2.
(1)圆 C 的标准方程为________________； (2)圆 C 在点 B 处的切线在 x 轴上的截距为__________.【导学号：51062280】
2mn·2nm＝9.
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高三一轮总复习
重点 2 圆的方程
(1)若圆 x2＋y2－ax＋2y＋1＝0 与圆 x2＋y2＝1 关于直线 y＝x－1 对称，
过点 C(－a，a)的圆 P 与 y 轴相切，则圆心 P 的轨迹方程为( )
A．y2－4x＋4y＋8＝0
B．y2＋2x－2y＋2＝0
C．y2＋4x－4y＋8＝0
D．y2－2x－y－1＝0
(2)过三点 A(1,3)，B(4,2)，C(1，－7)的圆交 y 轴于 M，N 两点，则|MN|＝( )
A．2 6
山东高考数学一轮总复习学案设计-第八章第四讲直线与圆、圆与圆的位置关系含答案解析
第四讲直线与圆、圆与圆的位置关系知识梳理·双基自测知识梳理知识点一直线与圆的位置关系设直线l：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)，圆：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，d为圆心(a，b)到直线l的距离，联立直线和圆的方程，消元后得到的一元二次方程的判别式为Δ.方法位置关系几何法代数法相交d__<__r Δ__>__0相切d__＝__r Δ__＝__0相离d__>__r Δ__<__0 知识点二圆与圆的位置关系设圆O1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝r21(r1>0)，圆O2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝r22(r2>0).方法位置关系几何法：圆心距d与r1，r2的关系代数法：两圆方程联立组成方程组的解的情况公切线条数外离__d>r1＋r2____无解__ 4外切__d＝r1＋r2__一组实数解 3相交__|r1－r2|<d<r1＋r2__两组不同的实数解 2内切d＝|r1－r2|(r1≠r2)__一组实数解__ 1内含0≤d<|r1－r2|(r1≠r2)__无解__0重要结论1．当两圆相交(切)时，两圆方程(x2，y2项的系数相同)相减便可得公共弦(内公切线)所在的直线方程．两圆相交时，两圆连心线垂直平分公共弦；两圆相切时，两圆连心线必过切点．2．过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2．过圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2上一点P (x 0，y 0)的圆的切线方程为(x 0－a )(x －a )＋(y 0－b )(y －b )＝r 2．3．过圆x 2＋y 2＝r 2外一点M (x 0，y 0)作圆的两条切线，则两切点所在的直线方程为x 0x ＋y 0y ＝r 2．4．直线与圆相交时，弦心距d ，半径r ，弦长的一半12l 满足关系式r 2＝d 2＋(12l )2．双基自测题组一 走出误区1．(多选题)下列结论正确的是( CD )A ．如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交B ．“k ＝1”是“直线x －y ＋k ＝0与圆x 2＋y 2＝1相交”的必要不充分条件C ．过圆O ：x 2＋y 2＝r 2外一点P (x 0，y 0)作圆的两条切线，切点分别为A ，B ，则O ，P ，A ，B 四点共圆且直线AB 的方程是x 0x ＋y 0y ＝r 2D ．圆C 1：x 2＋y 2＋2x ＋2y －2＝0与圆C 2：x 2＋y 2－4x －2y ＋1＝0的公切线有且仅有2条 题组二 走进教材2．(必修2P 132A5改编)直线l ：3x －y －6＝0与圆x 2＋y 2－2x －4y ＝0相交于A ，B 两点，则|AB |[解析] 圆心的方程可化为(x －1)2＋(y －2)2＝(5)2， 又圆心(1,2)到直线l 的距离为102， ∴|AB |＝25－(102)2＝10． 题组三 考题再现3．(2019·浙江，12)已知圆C 的圆心坐标是(0，m )，半径长是r .若直线2x －y ＋3＝0与圆C 相切于点A (－2，－1)，则m ＝__－2__，r[解析] 解法一：设直线2x －y ＋3＝0为l ， 则AC ⊥l ，又k l ＝2，∴k AC ＝m ＋10＋2＝－12，解得m ＝－2，∴C (0，－2)，∴r ＝|AC |＝(0＋2)2＋(－2＋1)2＝5． 解法二：由题知点C 到直线的距离为|－m ＋3|5，r ＝|AC |＝22＋(m ＋1)2，由直线与圆C 相切得22＋(m ＋1)2＝|－m ＋3|5，解得m ＝－2，∴r ＝22＋(－2＋1)2＝5．4．(2019·怀柔二模)若圆C 1：x 2＋y 2＝1与圆C 2：x 2＋y 2－6x －8y ＋m ＝0外切，则m ＝( C ) A ．21 B ．19 C ．9D ．－11[解析] 圆C 1的圆心为C 1(0,0)，半径r 1＝1，因为圆C 2的方程可化为(x －3)2＋(y －4)2＝25－m ，所以圆C 2的圆心为C 2(3,4)，半径r 2＝25－m (m <25)．从而|C 1C 2|＝32＋42＝5，由两圆外切得|C 1C 2|＝r 1＋r 2，即1＋25－m ＝5，解得m ＝9，故选C ．5．(2020·四川资阳、遂宁等七市联考)圆x 2＋y 2＋2x －2y －2＝0上到直线l ：x ＋y ＋2＝0的距离为1的点共有( C )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个[解析] 与直线l 距离为1的直线分别为l 1：x ＋y ＝0，l 2：x ＋y ＋22＝0，又圆C ：x 2＋y 2＋2x －2y －2＝0，即(x ＋1)2＋(y －1)2＝4的圆心C (－1,1)到l 1、l 2的距离分别为d 1＝0<r 、d 2＝2＝r (r 为圆C 的半径2)，∴l 1、l 2分别与圆C 相交、相切，故选C ．KAO DIAN TU PO HU DONG TAN JIU考点突破·互动探究考点一 直线与圆的位置关系的判定——自主练透例1 (1)(2019·西安八校联考)若过点A (3,0)的直线l 与曲线(x －1)2＋y 2＝1有公共点，则直线l 的斜率的取值范围为( D )A ．(－3，3)B ．[－3，3]C ．(－33，33) D ．[－33，33] (2)(多选题)(2020·山东日照一中期中)已知ab ≠0，O 为坐标原点，点P (a ，b )是圆x 2＋y 2＝r 2外一点，过点P 作直线l ⊥OP ，直线m 的方程是ax ＋by ＝r 2，则下列结论正确的是( AD )A ．m ∥lB ．m ⊥lC ．m 与圆相离D ．m 与圆相交[解析] (1)数形结合可知，直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝k (x －3)，则圆心(1,0)到直线y ＝k (x －3)的距离应小于或等于半径1，即|2k |1＋k 2≤1，解得－33≤k ≤33，故选D ．(2)∵点P (a ，b )在圆x 2＋y 2＝r 2外，∴a 2＋b 2>r 2，又直线l 的方程为y －b ＝－ab (x －a )，即ax ＋by ＝a 2＋b 2，又m ：ax ＋by ＝r 2，∴m ∥l ，又圆心O 到直线m 的距离d ＝r 2a 2＋b 2<r ，∴m与圆相交，故选AD ．名师点拨 ☞判断直线与圆的位置关系的常见方法(1)几何法：利用d 与r 的关系． (2)代数法：联立方程之后利用Δ判断．(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交． 〔变式训练1〕(多选题)(2020·湖南五市十校联考改编)已知两点M (－1,0)，N (1,0)，若直线3x －4y ＋m ＝0上存在点P 满足PM →·PN →＝0，则实数m 的值可以是( BCD )A ．－12B ．0C ．2D ．5[解析] 设P (x ，y )，则PM →＝(－1－x ，－y )，PN →＝(1－x ，－y )，由PM →⊥PN →得x 2＋y 2＝1，因P 在直线3x －4y ＋m ＝0上，故圆心到直线的距离d ＝|m |32＋42≤1，故m ∈[－5,5]，故选B 、C 、D ．考点二 直线与圆的综合问题——多维探究角度1 圆的切线问题例2 (1)过点P (2,4)作圆(x －1)2＋(y －1)2＝1的切线，则切线方程为( C ) A ．3x ＋4y －4＝0 B ．4x －3y ＋4＝0 C ．x ＝2或4x －3y ＋4＝0D ．y ＝4或3x ＋4y －4＝0(2)由直线y ＝x ＋1上的动点P 向圆C ：(x －3)2＋y 2＝1引切线，则切线长的最小值为( C ) A ．1 B ．2 2 C ．7D ．3[解析] (1)当斜率不存在时，x ＝2与圆相切；当斜率存在时，设切线方程为y －4＝k (x －2)，即kx －y ＋4－2k ＝0，则|k －1＋4－2k |k 2＋1＝1，解得k ＝43，则切线方程为4x －3y ＋4＝0，故切线方程为x ＝2或4x －3y ＋4＝0．(2)如图：切线长|PM |＝|PC |2－1，显然当|PC |为C 到直线y ＝x ＋1的距离即3＋12＝22时|PM |最小为7，故选C ．[引申](1)若将本例(1)中“P (2,4)”改为“P (1＋22，1－22)”，则切线方程为 x －y －2＝0 ．(2)本例(1)中过切点的直线方程为__x ＋3y －5＝0__．(3)本例(2)中切线长最小时切线的方程为 (4－7)x ＋3y －10＋7＝0或(4＋7)＋3y －10－7＝0 ．角度2 圆的弦长问题例3 (1)(2018·课标全国Ⅰ)直线y ＝x ＋1与圆x 2＋y 2＋2y －3＝0交于A ，B 两点，则|AB |＝ 22 ．(2)(2019·河南中原名校联盟第三次联考)设圆x 2＋y 2－2x －2y －2＝0的圆心为C ，直线，过(0,3)，且与圆C 交于A ，B 两点，若|AB |＝23，则直线l 的方程为( D )A ．3x ＋4y －12＝0或4x －3y ＋9＝0B ．3x －4y ＋12＝0或4x ＋3y ＋9＝0C ．4x －3y ＋9＝0或x ＝0D ．3x ＋4y －12＝0或x ＝0[解析] (1)将圆x 2＋y 2＋2y －3＝0化为标准方程为x 2＋(y ＋1)2＝4， 则圆心坐标为(0，－1)，半径r ＝2， ∴圆心到直线x －y ＋1＝0的距离d ＝22＝2， ∴|AB |＝2r 2－d 2＝222－(2)2＝22．(2)圆的标准方程为(x －1)2＋(y －1)2＝4，由|AB |＝23知，圆心(1,1)到直线l 的距离为1， 当直线l 的斜率不存在，即直线l 的方程为x ＝0时，符合题意；当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y －3＝k (x －0)，即kx －y ＋3＝0，由|k ＋2|k 2＋1＝1得k ＝－34，此时直线l 的方程为3x ＋4y －12＝0，故选D ．名师点拨 ☞直线与圆综合问题的常见类型及解题策略(1)处理直线与圆的弦长问题时多用几何法，即弦长的一半、弦心距、半径构成直角三角形．(2)圆的切线问题的处理要抓住圆心到直线的距离等于半径，从而建立关系解决问题． 注：①过圆C 内一点P 的最短弦所在直线与PC 垂直，最长弦所在直线是PC ．②过圆C 外P 作圆的切线，切点为A 、B ，则AB 是圆C 与以PC 为直径的圆的公共弦．〔变式训练2〕(1)(角度1)(2020·吉林长春模拟)已知直线x ＋y ＝0与圆(x －1)2＋(y －b )2＝2相切，则b ＝( C )A ．－3B ．1C ．－3或1D ．52(2)(角度2)(2020·河北衡水中学调研)过三点A (1,3)，B (4,2)，C (1，－7)的圆截直线x ＋ay ＋2＝0所得弦长的最小值等于( B )A ．2 3B ．4 3C ．13D ．213[解析] (1)由圆心到切线的距离等于半径， 得|1＋b |12＋12＝2，∴|1＋b |＝2，∴b ＝1或b ＝－3，故选C ．(2)设圆心坐标P 为(a ，－2)，则r 2＝(1－a )2＋(3＋2)2＝(4－a )2＋(2＋2)2，解得a ＝1，r ＝5，所以P (1，－2)．又直线过定点Q (－2,0)，当直线PQ 与弦垂直时，弦长最短，根据圆的性质可知弦长为2r 2－PQ 2＝225－13＝43，∴直线x ＋ay ＋2＝0被圆截得的弦长为4 3.故选B ．考点三 圆与圆的位置关系——师生共研例4 已知圆C 1：(x －a )2＋(y ＋2)2＝4与圆C 2：(x ＋b )2＋(y ＋2)2＝1相外切，则ab的最大值为( C )A ．62B ．32C ．94D ．2 3[解析] 由圆C 1与圆C 2相外切， 可得(a ＋b )2＋(－2＋2)2＝2＋1＝3，即(a ＋b )2＝9，根据基本(均值)不等式可知ab ≤(a ＋b 2)2＝94，当且仅当a ＝b 时等号成立．故选C ．[引申1]把本例中的“外切”变为“内切”，求ab 的最大值． [解析] 由C 1与C 2内切，得(a ＋b )2＋(－2＋2)2＝1．即(a ＋b )2＝1，又ab ≤(a ＋b 2)2＝14，当且仅当a ＝b 时等号成立，故ab 的最大值为14．[引申2]把本例条件“外切”变为“相交”，求公共弦所在的直线方程． [解析] 把圆C 1，圆C 2的方程都化为一般方程． 圆C 1：x 2＋y 2－2ax ＋4y ＋a 2＝0， ① 圆C 2：x 2＋y 2＋2bx ＋4y ＋b 2＋3＝0，②由②－①得(2a ＋2b )x ＋3＋b 2－a 2＝0，即(2a ＋2b )x ＋3＋b 2－a 2＝0为所求公共弦所在的直线方程．[引申3]将本例条件“外切”变为“若两圆有四条公切线”，试判断直线x ＋y －1＝0与圆(x －a )2＋(y －b )2＝1的位置关系．[解析] 由两圆存在四条公切线，故两圆外离， 故(a ＋b )2＋(－2＋2)2>3，∴(a ＋b )2>9，即a ＋b >3或a ＋b <－3．∴圆心(a ，b )到直线x ＋y －1＝0的距离d ＝|a ＋b －1|2>1，∴直线x ＋y －1＝0与圆(x －a )2＋(y －b )2＝1相离． 名师点拨 ☞如何处理两圆的位置关系判断两圆的位置关系时常用几何法，即利用两圆圆心之间的距离与两圆半径和、差之间的关系，一般不采用代数法．若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去x 2、y 2项得到．〔变式训练3〕(1)(2019·山东模拟)已知圆M ：x 2＋y 2－2ay ＝0(a >0)截直线x ＋y ＝0所得线段的长度是22，则圆M 与圆N ：(x －1)2＋(y －1)2＝1的位置关系是( B )A ．内切B ．相交C ．外切D ．相离 (2)若⊙O ：x 2＋y 2＝5与⊙O 1：(x －m )2＋y 2＝20(m ∈R )相交于A 、B 两点，且两圆在点A 处的切线互相垂直，则线段AB 的长度是__4__．[解析] (1)由垂径定理得(a 2)2＋(2)2＝a 2，解得a 2＝4，又a >0，所以a ＝2，所以圆M ：x 2＋(y －2)2＝4，所以圆M 与圆N 的圆心距d ＝(0－1)2＋(2－1)2＝ 2.因为2－1<2<2＋1，所以两圆相交．故选B ．(2)由题意⊙O 1与⊙O 在A 处的切线互相垂直，则两切线分别过另一圆的圆心，∴O 1A ⊥OA ．又∵|OA |＝5，|O 1A |＝25， ∴|OO 1|＝5.又A ，B 关于OO 1对称， ∴AB 为Rt △OAO 1斜边上的高的2倍． ∴|AB |＝2×5×255＝4．MING SHI JIANG TAN SU YANG TI SHENG名师讲坛·素养提升 解决直线与圆问题中的数学思想1．数形结合思想例5 (2019·长春模拟)过点(2，0)引直线l 与曲线y ＝1－x 2相交于A 、B 两点，O 为坐标原点，当△AOB 的面积取最大值时，直线l 的斜率等于( B )A ．33B ．－33C ．±33D ．－ 3[解析] ∵S △AOB ＝12|OA ||OB |sin ∠AOB＝12sin ∠AOB ≤12． 当∠AOB ＝π2时，△AOB 面积最大．此时O 到AB 的距离d ＝22． 设AB 方程为y ＝k (x －2)(k <0)， 即kx －y －2k ＝0.由d ＝|2k |k 2＋1＝22得k ＝－33．2．转化与化归例6 (2019·江西临川一中、南昌二中联考)已知两点A (－2,0)，B (2,0)以及圆C ：(x＋4)2＋(y －3)2＝r 2(r >0)，若圆C 上存在点P ，满足P A →·PB →＝0，则r 的取值范围是( B )A ．[3,6]B ．[3,7]C ．[4,6]D ．[4,7][解析] 由P A →·PB →＝0知P A ⊥PB ，即P 在以AB 为直径的圆D ：x 2＋y 2＝4上，由题意可知圆C 与圆D 相交或相切，∴|r －2|≤42＋32≤r ＋2，解得3≤r ≤7.故选B ．[引申]若将“P A →·PB →＝0”改为“P A →·PB →<0”，则r 的取值范围为__(3,7)__． 名师点拨 ☞根据数的结构特征，构造出与之相应的几何图形，并利用图形的特性和规律，解决数的问题，以形助数，使问题变得简单．——数形结合将生疏、复杂、难解的问题通过变换化为熟悉、简单、易解的问题．——转化与化归 〔变式训练4〕(2019·山西模拟)直线y ＝x ＋b 与曲线x ＝1－y 2有且仅有1个公共点，则b 的取值范围是( B )A ．{2，－2}B ．(－1,1]∪{－2}C ．[－1,1]D ．[－1,1]∪{2，－2}[解析] x ＝1－y 2可化简为x 2＋y 2＝1(x ≥0)，所以它表示单位圆在y 轴及其右侧的半圆，其与y 轴的交点分别为(0,1)，(0，－1)．直线y ＝x ＋b 与直线y ＝x 平行，b 表示直线y ＝x ＋b 的纵截距，将直线y ＝x 上下平移，可知当b ∈(－1,1]时，直线y ＝x ＋b 与曲线x ＝1－y 2有一个交点；当直线与曲线在第四象限相切时，只有一个公共点，此时b ＝－ 2.综上，b 的取值范围是(－1,1]∪{－2}．。
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6.★.(2017·太原模拟)已知P是直线3x＋4y＋8＝0上的动点，PA，PB是圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0的切线，A，B是切点，C是圆心，那么四边形PACB面积的最小值是________．
7★.(2017·天津南开中学模拟)在平面直角坐标系xOy中，圆C：x2＋y2＋4x－2y＋m＝0与直线x－ y＋ －2＝0相切．
(1)求圆C的方程；
(2)若圆C上有两点M，N关于直线x＋2y＝0对称，且|MN|＝2 ，求直线MN的方程．
8★★.(本 题满分12分)(2015·高考全国卷Ⅰ)已知过点A(0，1)且斜率为k的直线l与圆C：(x－2)2＋(y－3)2 ＝1交于M，N两点．
【课后分层巩固区】
1．.(2016·高考全国卷乙)设直线y＝x＋2a与圆C：x2＋y2 －2ay－2＝0相交于A，B两点，若|AB|＝2 ，则圆C的面积为________．
2.(201 6·高考全国卷丙)已知直线l：mx＋y＋3m－ ＝0与圆x2＋y2＝12交于A，B两点，过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点．若|AB|＝2 ，则|CD|＝________．
A．4 B．2 C．6 D．5
2.(2017·重庆一模)已知P(x，y)是直线kx＋y＋4＝0(k＞0)上一点，PA是圆C：x2＋y2－2y＝ 0的一条切线，A是切点，若PA的最小长度为2，则k的值为()
A．3B． C．2 D．2
3．直线y＝kx＋3与圆(x－2)2＋(y－3)2＝4相交于M，N两点，若|MN|≥2 ，则k的取值范围是()
1．平行于直线2x＋y＋1＝0且与圆x2＋y2＝5相切的直线的方程是()
A．2x＋y＋5＝0或2x＋y－5＝0 B．2x＋y＋ ＝0或2x＋y－ ＝0
C．2x－y＋5＝0或2x－y－5＝0 D．2x－y＋ ＝0或2x－y－ ＝0
2.已知点P( ＋1，2－ )，点M(3，1)，圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝4.
A．相切B．相交C．相离D．不确定
2．(2017·聊城模拟)圆(x－3)2＋(y－3)2＝9上到直线3x＋4y－11＝0的距离等于1 的点的个数为()
A．1 B．2 C．3 D．4
★【我能做对】若过点A(4，0)的直线l与曲线(x－2)2＋y2＝1有公共点，则直线l的斜率的取值范围为()
A．[－ ， ]B．(－ ， )
①求过点P的圆C的切线方程；②求过点M的圆C的切线方程，并求出切线长．
★【我能做对】1．已知圆O：x2＋y2＝1，直线x－2y＋5＝0上动点P，过点P作圆O的一条切线，切点为 A，则|PA|的最小值为________．
★★【我要挑战】
1．若a，b，c是△ABC三个内角的对边，且csinC＝3asinA＋3bsinB，则直线l：ax－by＋c＝0被圆O：x2＋y2＝12所截得的弦长为()
3.(2015·重庆卷)若点P(1，2)在以坐标原点为圆心的圆上，则该圆在点P处的切线方程为________．
4..(2017·石家庄市第一次模考)已知直线ax＋y－1＝0与圆C：(x－1)2＋(y＋a)2＝1相交于A、B两点，且△ABC为等腰直角三角形，则实数a的值为()
A． 或－1B．－1
C．1或－1D．1
第4讲直线与圆、圆与圆的位置关系
学习目标
目标分解一：掌握直线与圆的位置关系及其应用
目标分解二：理解圆的切线与弦长问题
目标分解三：圆与圆的位置关系及其应用
重点
圆的切线与弦长问题
【课堂互动探究区】
【目标分解一】直线与圆的位置关系及其应用
【例1】(1)直线l：mx－y＋1－m＝0与圆C：x2＋(y－1)2＝5的位置关系是()
A. B．
C．[－ ， ]D．
【目标分解三】圆与圆的位置关系及其应用
【例3】已知圆C1：(x－a)2＋(y＋2)2＝4与圆C2：(x＋b)2＋(y＋2)2＝1相外切，则ab的最大值为()
A． B． C． D．2
【我会做】
(1)若把例3条件中的“外切”改为“内切”,则ab的最大值为.
(2)若把本例条件的“外切”改为“相交”,则公共弦所在的直线方程为
(1)圆与直线l相切的情形：圆心到l的距离等于半径，圆心与切点的连线垂直于l.
(2)圆与直线l相交的情形：
①圆心到l的距离小于半径，过圆心且垂直于l的直线平分l被圆截得的弦；
②连接圆心与弦的中点的直线垂直于弦；
③过圆内一点的所有弦中，最短的是垂直于过这点的直径的那条弦，最长的是过这点的直径．
【我会做】
(3)若把本例条件的“外切”改为“有四条公切线”,则直线x+y-1=0与圆(x-a)2+(y-b)2=1的位置关系是
★【我能做对】1.(2016·高考山东卷)已知圆M：x2＋y2－2ay＝0(a>0)截直线x＋y＝0所得线段的长度是2 ，则圆M与圆N：(x－1)2＋(y－1)2＝1的位置关系是()
A．内切B．相交C ．外切D ．相离
2.．圆C1：x2＋y2＋2x＋2y－2＝0与圆C2：x2＋y2－4x－2y＋4＝0的公切线有()
A．1条B．2条 C．3条D．4条
.★★【我要挑战】(2017·郑州质检)若⊙O1：x2＋y2＝5与⊙O2：(x＋m)2＋ y2＝20(m∈R)相交于A，B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长度是________．
A．相交B．相切C．相离D．不确定
(2)若直线x＋my＝2＋m与圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0相交，则实数m的取值范围为()
A．(－∞，＋∞)B．(－∞，0)
C．(0，＋∞)D．(－∞，0)∪(0，＋ ∞)
【我会做】
1．已知点M(a，b)在圆O：x2＋y2＝1外，则直线ax＋by＝1与圆O的位置关系是()
C. D．
【目标分解二】圆的切线与弦长问题
【例2】已知点M(3,1),直线ax-y+4=0及圆(x－1)2＋(y－2)2＝4
(1)求过M点的圆的切线方程; (2)若直线ax-y+4=0与圆相切,求a的值;
(3)若直线ax-y+4=直线与圆综合问题的常用结论