已用从位移、速度、力到向量同步练习(一)北师大版必修四

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高中数学必修四北师大版从位移、速度、力到向量1 课时作业含答案

从位移、速度、力到向量一、选择题(每小题3分,共18分)1.(2014·汉中高一检测)下列命题中,正确的是( )A.两个相等的向量的起点、方向、长度必须都相同B.若a,b是两个单位向量,则a=bC.若向量a和b共线,则向量a,b的方向相同D.零向量的长度为0,方向是任意的【解析】选D.两个向量相等,只要长度相等,且方向相同即可,起点可以不同,故A不正确;两个单位向量的方向不一定相同,所以它们不一定相等,故B不正确;方向相同或相反的向量为共线向量,故C不正确;零向量的长度为0,其方向是任意的,故D正确.2.(2014·潍坊高一检测)设O是正△ABC的中心,则向量,,是( )A.有相同起点的向量B.平行向量C.模相等的向量D.相等向量【解析】选C.向量,,分别是以三角形的顶点和中心为起点和终点的向量,因为O是正三角形的中心,所以O到三个顶点的距离相等,即||=||=||,故选C.3.下列三个说法正确的个数是①零向量是长度为0的向量,所以零向量与非零向量不平行.②若非零向量与是共线向量,则A,B,C,D四点共线.③因为向量∥,所以AB∥CD. ( )A.0B.1C.2D.3【解析】选A.零向量与任意向量都平行,故①错误;方向相同或相反的向量为共线向量,若与无公共点,则A,B,C,D四点不一定共线,故②错误;当向量∥,AB与CD平行或共线,故③错误.本题应选A.4.四边形ABCD中,如果=,且||=||,则四边形ABCD为( )A.梯形B.菱形C.矩形D.正方形【解题指南】由=,可得四边形ABCD为平行四边形,再由||=||,可得此平行四边形是矩形,从而得出结论.【解析】选C.四边形ABCD中,如果=,则四边形ABCD为平行四边形.再由||=||,可得平行四边形的对角线相等,四边形ABCD是矩形,故选C.5.如图,设ABCD是菱形,下列可以用同一条有向线段表示的两个向量是( )A.和B.和C.和D.和【解析】选B.由菱形的性质知:和大小相等,方向相同,故选B.【误区警示】本题容易出现因概念不清而错选的情况.“用同一条有向线段表示”即“两个向量相等”.6.如图所示,四边形ABCD,CEFG,CGHD是全等的菱形,则下列结论中不成立的是( )A.||=||B.与共线C.与共线D.=【解析】选C.由题目条件可知AB=EF,AB∥CD∥FG,CD=FG,但是∠DEH≠∠BDC,故BD与EH不平行,所以A,B,D 成立,C不成立.二、填空题(每小题4分,共12分)7.把所有单位向量的起点集中于一点O,则它们终点的轨迹是.【解析】如图所示,轨迹是以O为圆心,半径为1的圆.答案:以O为圆心,以1为半径的圆8.把平行于某一直线的一切向量平移到同一起点,则这些向量的终点构成的图形是.【解析】由于这些向量平行于同一条直线,故这些向量为共线向量,当把这些向量的起点移到同一起点时,终点在过定点与已知直线平行的直线上.答案:直线9.如图,O是正方形ABCD对角线的交点,四边形OAED,OCFB都是正方形,在图中所示的向量中:(1)与相等的向量有.(2)与共线的向量有.(3)与的模相等的向量有.(4)向量与(填“相等”“不相等”)【解析】因为O是正方形ABCD对角线的交点且四边形OAED,OCFB都是正方形.(1)结合相等向量的定义可知与相等的向量有.(2)结合共线向量的定义可知与共线的向量有,,.(3)与的模相等的向量有,,,,,,.(4)向量与方向不同,故不相等.答案:(1)(2),,(3),,,,,,(4)不相等【误区警示】解此类题目时一定要分清相等向量、共线向量等概念的区别.三、解答题(每小题10分,共20分)10.(2014·锦州高一检测)如图是4×5的矩形(每个小方格都是正方形),试作出与相等的向量,要求向。

高中数学第2章平面向量1从位移、速度、力到向量学业分层测评北师大版必修4

【课堂新坐标】2016-2017学年高中数学第2章平面向量 1 从位移、速度、力到向量学业分层测评北师大版必修4(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．若向量a 与向量b 不相等，则a 与b 一定( )A ．不共线B ．长度不相等C ．不都是单位向量D ．不都是零向量【解析】若向量a 与向量b 不相等，则说明向量a 与向量b 的方向和长度至少有一个不同．所以a 与b 有可能共线，有可能长度相等，也有可能都是单位向量，所以A ，B ，C 都是错误的．但是a 与b 一定不都是零向量．【答案】 D2．如图2－1－4所示，梯形ABCD 为等腰梯形，则两腰上的向量AB →与DC →的关系是( )图2－1－4A ．AB →＝DC →B ．|AB →|＝|DC →| C.AB →＞DC →D ．AB →＜DC →【解析】 |AB →|与|DC →|表示等腰梯形两腰的长度，故相等．【答案】 B3．如图2－1－5，▱ABCD 中，相等的向量是( )图2－1－5A ．AD →与CB →B ．OA →与OC → C.AC →与BD → D ．DO →与OB →【解析】 DO →与OB →方向相同且长度相等．【答案】 D4．下列说法中正确的个数是( )(1)单位向量都平行；(2)若两个单位向量共线，则这两个向量相等；(3)向量a 与b 不共线，则a 与b 都是非零向量；(4)有相同起点的两个非零向量不平行；(5)方向为南偏西60°的向量与北偏东60°的向量是共线向量．A ．2B ．3C ．4D ．5【解析】 (1)错误．因为单位向量的方向可以既不相同又不相反．(2)错误．因为两个单位向量共线，则这两个向量的方向有可能相反．(3)正确．因为零向量与任意向量共线，所以若向量a 与b 不共线，则a 与b 都是非零向量．(4)错误．有相同起点的两个非零向量方向有可能相同或相反，所以有可能是平行向量．(5)正确．方向为南偏西60°的向量与北偏东60°的向量的方向是相反的，所以这两个向量是共线向量．【答案】 A5．设四边形ABCD 中，有AB →＝DC →，且|AD →|＝|AB →|，则这个四边形是( )A ．正方形B ．矩形C ．等腰梯形D ．菱形【解析】由AB →＝DC →可知四边形ABCD 为平行四边形，又|AD →＝|AB →|，该四边形为菱形．【答案】 D二、填空题6．设数轴上有四个点A ，B ，C ，D ，其中A ，C 对应的实数分别是1和－3，且AC →＝CB →，CD →为单位向量，则点B 对应的实数为________；点D 对应的实数为________；|BC →|＝________.【导学号：】【解析】由题意知点C 是线段AB 的中点，所以点B 对应的实数为－7.CD →为单位向量，所以点D 对应的实数为－4或－2，|BC →|＝－3－(－7)＝4.【答案】－7 －4或－2 47.如图2－1－6所示，每个小正方形的边长都是1，在其中标出了6个向量，在这6个向量中：图2－1－6(1)有两个向量的模相等，这两个向量是________，它们的模都等于________．(2)存在着共线向量，这些共线的向量是________，它们的模的和等于________．【解析】 (1)模相等的两个向量是CH →，AE →，|CH →|＝|AE →|＝12＋32＝10.(2)共线的向量是DG →，HF →，且|DG →|＋|HF →|＝22＋32＝5 2.【答案】 (1)CH →，AE → 10 (2)DG →，HF → 5 28．给出下列几种叙述：(1)两个向量相等，则它们的始点相同，终点相同；(2)若|a|＝|b|，则a ＝b ；(3)若AB →＝DC →，则ABCD 是平行四边形；(4)平行四边形ABCD 中，一定有AB →＝DC →；(5)若a∥b ，b∥c ，则a∥c .其中正确的有________(填所有正确说法的序号)．【解析】 (1)错误．两个向量相等，它们的始点和终点都不一定相同．(2)错误．若|a|＝|b|，则a 与b 方向未必相同，故a 与b 不一定相等．(3)错误．若AB →＝DC →，则A ，B ，C ，D 四个点有可能在同一条直线上，所以ABCD 不一定是平行四边形．(4)正确．平行四边形ABCD 中，AB ∥DC ，AB ＝DC 且有向线段AB →与DC →方向相同，所以AB →＝DC →.(5)错误．若a∥b ，b∥c ，b ＝0，则a 与c 不一定平行．【答案】 (4)三、解答题9．已知O 是正方形ABCD 对角线的交点，在以O ，A ，B ，C ，D 这5点中任意一点为起点，另一点为终点的所有向量中，写出：(1)与BC →相等的向量；(2)与OB →长度相等的向量；(3)与DA →共线的向量．【解】 (1)由图可知，BC ＝AD ，所以与BC →相等的向量为AD →.(2)由O 是正方形ABCD 对角线的交点，可知OB ＝OD ＝OA ＝OC ，所以与OB →长度相等的向量有BO →，OC →，CO →，OA →，AO →，OD →，DO →.(3)与DA →共线的向量有AD →，BC →，CB →.10．如图2－1－7所示，四边形ABCD 中，AB →＝DC →，N ，M 分别是AD ，BC 上的点，且CN →＝MA →.求证：DN →＝MB →.图2－1－7【证明】 ∵AB →＝DC →，∴|AB →|＝|DC →|且AB ∥CD ，∴四边形ABCD 是平行四边形，∴|DA →|＝|CB →|，且DA ∥CB .又∵DA →与CB →的方向相同，∴CB →＝DA →.同理可证，四边形CNAM 是平行四边形，∴CM →＝NA →.∵|CB →|＝|DA →|，|CM →|＝|NA →|，∴|MB →|＝|DN →|，又∵DN →与MB →的方向相同，∴DN →＝MB →.[能力提升]1.如图2－1－8所示，△ABC 的三边均不相等，E ，F ，D 分别是AC ，AB ，BC 的中点，则与EF →的模相等的向量共有( )图2－1－8A ．6个B ．5个C ．4个D ．3个【解析】 ∵E ，F ，D 分别是边AC ，AB 和BC 的中点，∴EF ＝12BC ，BD ＝DC ＝12BC . 又∵AB ，BC ，AC 均不相等，从而与EF →的模相等的向量是FE →，BD →，DB →，DC →，CD →.【答案】 B2．在四边形ABCD 中，AB →∥CD →且|AB →|≠|CD →|，则四边形ABCD 的形状是________.【导学号：】【解析】 ∵AB →∥CD →且|AB →|≠|CD →|，∴AB ∥DC ，但AB ≠DC ，∴四边形ABCD 是梯形．【答案】梯形3．已知在边长为2的菱形ABCD 中，∠ABC ＝60°，则|BD →|＝________.【解析】易知AC ⊥BD ，且∠ABD ＝30°，设AC 与BD 交于点O ，则AO ＝12AB ＝1.在Rt △ABO 中，易得|BO →|＝3，∴|BD →|＝2|BO →|＝2 3.【答案】 2 34.如图2－1－9所示，平行四边形ABCD 中，O 是两对角线AC ，BD 的交点，设点集S ＝{A ，B ，C ，D ，O }，向量集合T ＝{MN →|M ，N ∈S ，且M ，N 不重合}，试求集合T 中元素的个数．图2－1－9【解】由题可知，集合T 中的元素实质上是S 中任意两点连成的有向线段，共有20个，即AB →，AC →，AD →，AO →，BA →，BC →，BD →，BO →，CA →，CB →，CD →，CO →，DA →，DB →，DC →，DO →，OA →，OB →，OC →，OD →.由平行四边形的性质可知，共有8对向量相等，即AB →＝DC →，AD →＝BC →，DA →＝CB →，BA →＝CD →，AO →＝OC →，OA →＝CO →，DO →＝OB →，OD →＝BO →.又集合元素具有互异性，故集合T 中的元素共有12个．。

高中数学第二章平面向量 2.1 从位移、速度、力到向量课后导练北师大版必修4

2.1 从位移、速度、力到向量课后导练基础达标1.下列物理量：①质量、②速度、③位移、④力、⑤加速度、⑥路程、⑦密度、⑧功，其中不是向量的有( )A.1个B.2个C.3个D.4个解析:本题考查向量的概念，关键是看所给的量是否既有大小又有方向.由于速度、位移、力、加速度都是由大小和方向确定的，所以是向量；而质量、路程、密度、功这四个物理量只有大小没有方向，不是向量，是数量.故选D.答案：D2.下列说法中不正确的是( )A.向量的长度与向量长度相等B.任何一个非零向量都可以平行移动C.长度不相等而方向相反的两个向量一定是共线向量D.两个有共同起点且共线的向量其终点必相同解析：两个有共同起点且共线的向量，它们的方向可能相反，而且它们的长度也有可能不同，所以D不正确.答案：D3.如右图，在圆O中，向量、、是（）A.有相同起点的向量B.单位向量C.模相等的向量D.相等的向量解析：因O是圆心，A、B、C是圆上的点，所以|OB|=|OC|=|AO|.答案：C4.下列说法中正确的有几个（）①物理学中，作用力与反作用力是一对共线向量②温度有零上和零下，因此温度是向量③方向为南偏西60°的向量与北偏东60°的向量是共线向量④坐标平面上x轴与y轴都是向量A.1B.2C.3D.4解析：正确的是①③，有2个正确.答案：B5.如右图，设RSPQ为菱形，下列可以用同一条有向线段表示的两个向量是（）A.SP 和B.SR 和C.SR 和QRD.SR 和SP解析：因四边形SPQR 是菱形，有=PQ ，所以可以用同一条有向线段表示. 答案：B6.如下图△ABC 是等腰三角形，则两腰上的向量与的关系是__________.答案：模相等7.若a 0是a 的单位向量，则a 与a 0的方向_______，||a a与a 0的长度_______. 解析:一个向量的单位向量和这个向量本身方向相同，模为1.向量a 的单位向量定义为：||a a . 答案：相同或相反相等8.有两个长度相等的向量，在什么情况下，这两个向量一定是相等向量？解析：有下列两种情况，这两个向量一定相等. （1）两个长度相等的向量的方向相同；（2）两个长度相等的向量都为零向量.9.如下图所示，设O 是正六边形ABCDEF 的中心.在图里的向量中（1）写出与OF 相等的向量；（2）写出与相等的向量；（3）写出与共线的向量；（4）写出与长度相等但方向相反的向量.解析：（1）与OF相等的向量有DE（2）（3）EF、CB、OA（4）DC、OB10.某人从A点出发向西走了200 m到达B点，然后改变方向向西偏北60°走了450 m到达C点，最后又改变方向向东走了200 m到达D点.（1）作出向量、、(用1 cm表示100 m)；(2）求||.解析：（1）作出向量、BC、CD(如右图)；（2）∵|AB|=|DC|，且AB与DC方向相同，∴四边形ABCD是平行四边形.∴||=|BC|=450 m.综合运用11.若||=||，且=，则四边形ABCD为（）A.平行四边形B.菱形C.矩形D.等腰梯形解析：由BA=CD知，四边形ABCD的一组对边BA、CD平行，且大小相等.所以四边形为平行四边形.又||=||.故平行四边形为菱形.答案：B12.已知A={与a共线的向量}，B={与a长度相等的向量}，C={与a长度相等，方向相反的向量}，其中a为非零向量，则下列说法错误的是（）A.C⊂AB.A∩B={a}C.C⊂BD.A∩B⊃{a}答案：B13.下列4种说法，其中正确命题的个数是（）①若两个非零向量共线，则它们的起点和终点共4个点在同一直线上②若两个向量不相等，则它们的终点不可能是同一点③与已知非零向量共线的单位向量是唯一的④四边形ABCD是平行四边形能得出AB与CD、BC与AD分别共线的结论A.1个B.2个C.3个D.4个解析：（4）是正确的.答案：A14.如右图，四边形ABCD和ABDE都是平行四边形，在图中的向量中，①与向量AB相等的向量有___________；②用有向线段表示与共线的向量_______；③若||=3，则||=_______.解析：由条件可得ED=AB且DC=AB，所以ED=DC，∴E，D，C共线.∴AB∥EC，||=||+||=2||=6.故①的答案为、.②的答案是、、.③的答案是6.答案：、、 615.（1）把平面上所有单位向量的起点平行移动到同一点P，则这些向量的终点构成的几何图形为_________.（2）把平行于直线l的所有单位向量的起点平行移动到直线l的点P，这些向量的终点构成的几何图形为_________.（3）把平行于直线l的所有向量的起点平行移动到直线l的点P，这些向量的终点构成的几何图形为_________.解析：向量是自由向量，根据向量相等，可以把向量的起点平移到同一点.(1)因为单位向量的模都是单位长度，所以同起点时，终点构成单位圆.应填：一个圆.(2)因为平行于直线l的所有单位向量只有两个方向，故只有两个，起点为P，则终点应为：直线l上与P的距离相等的两个点.(3)因为平行于直线l的向量只有两个方向，但长度不同，任何长度都有，所以终点应为：直线l上的任意一点，即：直线l.答案：(1)一个圆(2)直线l上与点P的距离为1的两个点(3)直线l拓展探究16.已知飞机从甲地按北偏东30°的方向飞行2 000 km到达乙地，再从乙地按南偏东30°1000 km到达丁地，问丁地的方向飞行2 000 km到达丙地，再从丙地按西南方向飞行2在甲地的什么方向?丁地距甲地多远?解析：如右图，A,B,C,D分别表示甲地、乙地、丙地、丁地，由题意知，△ABC是正三角形，∴AC=2 000 km.1000 km,又∵∠ACD=45°，CD=2∴△ACD是直角三角形.1000 km，∠CAD=45°.∴AD=21000 km.∴丁地在甲地的东南方向，丁地距甲地2。

高中数学课时跟踪检测(十四)从位移、速度、力到向量北师大版必修4

高中数学课时跟踪检测（十四）从位移、速度、力到向量北师大版必修4课时跟踪检测（十四）从位移、速度、力到向量一、基本能力达标1．下列说法正确的是 ( ) A．向量AB与CD是共线向量，则A，B，C，D必在同一直线上B．向量a与b平行，则a与b的方向相同或相反C．向量AB与向量BA是两平行向量D．单位向量都相等解析：选C A项考查的是有向线段共线与向量共线的区别．事实上，有向线段共线要求线段必须在同一直线上．而向量共线时，表示向量的有向线段可以在两条平行直线上，不一定在同一直线上．故A项错误．由于零向量与任一向量平行，因此，若a，b中有一个为零向量时，其方向是不确定的．故B项错误．由于向量AB与BA方向相反，所以二者是平行向量．故C项正确．单位向量的长度都相等，方向任意，而向量相等不仅需要长度相等，还要求方向相同．故D项错误．2．正n边形有n条边，它们对应的向量依次为a1，a2，a3，…，a n，则这n个向量 ( ) A．都相等B．都共线C．都不共线D．模都相等解析：选D 正n边形n条边相等，故这n个向量的模都相等．3. 如图所示，梯形ABCD中，对角线AC与BD交于点P，点E，F分别在两腰AD，BC上，EF过点P，且EF∥AB，则下列等式成立的是 ( )A．AD＝BC B．AC＝BDC．PE＝PF D．EP＝PE解析：选D 根据相等向量的定义，分析可得：A中，AD与BC方向不同，故AD＝BC错误；B中，AC与BD方向不同，故AC＝BD错误；C中，PE与PF方向相反，故PE＝PF错误；D中，EP与PF方向相同，且长度都等于线段EF长度的一半，故EP＝PF正确．4. 如图，在圆O 中，向量OB ，OC ，AO 是 ( )A ．有公共起点的向量B ．单位向量C ．模相等的向量D ．相等向量解析：选C 向量OB ，OC 有公共起点O ，不与AO 有公共起点，因而A 错；圆O 未必是单位圆，故OB ，OC ，AO 未必是单位向量，B 错；OB ，OC ，AO 方向不相同，不是相等向量，D 错．5．某人先向正东方向走了4 km ，然后他向右转90°，向新的方向走了3 km ，此时他距离出发点 ( ) A. 3 km B ．2 3 km C ．3 km D ．5 km解析：选D 设他距离出发点的距离为x km ，由题意，知x 2＝42＋32，解得x ＝5(负值舍去)．6．给出下列四个条件：①a ＝b ；②|a |＝|b |；③a 与b 方向相反；④|a |＝0或|b |＝0.其中能使a ∥b 成立的条件是________(填序号)．解析：若a ＝b ，则a 与b 大小相等且方向相同，所以a ∥b ；若|a |＝|b |，则a 与b 的大小相等，而方向不确定，因此不一定有a ∥b ；方向相同或相反的向量都是平行向量，因此若a 与b 方向相反，则有a ∥b ；零向量与任意向量平行，所以若|a |＝0或|b |＝0，则a ∥b . 答案：①③④7．如图，B ，C 是线段AD 的三等分点，分别以图中各点为起点和终点，最多可以写出________个互不相等的非零向量．解析：模为1个单位的向量有2个，如AB ，DC ；模为2个单位的向量有2个，如AC ，DB ；模为3个单位的向量有2个，如AD ，DA ，故共有6个．答案：68．如图，已知小正方形的边长为1，向量BA ―→，BC ―→的长度分别是________．解析：根据题图易得|BA ―→|＝32＋52＝34，|BC ―→|＝32＋22＝13. 答案：34，139.在平行四边形ABCD 中，E ，F 分别为边AD ，BC 的中点，如图．(1)写出与向量FC ―→共线的向量；(2)求证：BE ―→＝FD ―→.解：(1)由共线向量满足的条件得与向量FC ―→共线的向量有： CF ―→，BC ―→，CB ―→，BF ―→，FB ―→，ED ―→，DE ―→，AE ―→，EA ―→，AD ―→，DA ―→.(2)证明：在▱ABCD 中，AD 綊BC .又E ，F 分别为AD ，BC 的中点，∴ED 綊BF ，∴四边形BFDE 是平行四边形，∴BE 綊FD ，∴BE ―→＝FD ―→.10．已知四边形ABCD 中，AB ―→＝DC ―→且|AB ―→|＝|AC ―→|，tan D ＝3，判断四边形ABCD 的形状．解：∵在四边形ABCD 中，AB ―→＝DC ―→，∴四边形ABCD 是平行四边形．∵tan D ＝3，∴B ＝D ＝60°.又|AB ―→|＝|AC ―→|，∴△ABC 是等边三角形．∴AB ＝BC ，∴四边形ABCD 是菱形．二、综合能力提升1．下列说法正确的是 ( )A ．向量AB ∥CD 就是AB 所在的直线平行于CD 所在的直线B ．长度相等的向量叫做相等向量C ．若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝cD ．共线向量是在一条直线上的向量解析：选C 向量AB ∥CD 包含AB 所在的直线与CD 所在的直线平行和重合两种情况，故A 错；相等向量不仅要求长度相等，还要求方向相同，故B 错；C 显然正确；共线向量可以是在一条直线上的向量，也可以是所在直线互相平行的向量，故D 错．2．已知D 为平行四边形ABPC 两条对角线的交点，则|PD ||AD |的值为 ( ) A ．12B. 13 C ．1D ．2解析：选C 因为四边形ABPC是平行四边形，D为对角线BC与AP的交点，所以D为PA的中点，所以|PD||AD|的值为1.3．向量AB与向量BC共线，下列关于向量AC的说法中，正确的为 ( ) A．向量AC与向量AB一定同向B．向量AC，向量AB，向量BC一定共线C．向量AC与向量BC一定相等D．以上说法都不正确解析：选B 根据共线向量定义，可知AB，BC，AC这三个向量一定为共线向量，故选B.4．若|AB|＝|AD|且BA＝CD，则四边形ABCD的形状为 ( ) A．平行四边形B．矩形C．菱形D．等腰梯形解析：选C 由BA＝CD知AB＝CD且AB∥CD，即四边形ABCD为平行四边形．又由|AB|＝|AD|知四边形为菱形．5．已知A，B，C是不共线的三点，向量m与向量AB是平行向量，与BC是共线向量，则m ＝________.解析：平行向量又叫做共线向量，而与不共线向量AB，BC都共线的向量只能是零向量．答案：06．设a0，b0是单位向量，则下列结论中正确的是________(填序号)．①a0＝b0；②a0＝－b0；③|a0|＋|b0|＝2；④a0∥b0.解析：因为a0，b0是单位向量，|a0|＝1，|b0|＝1，所以|a0|＋|b0|＝2.答案：③7. 一辆消防车从A地去B地执行任务，先从A地向北偏东30°方向行驶2千米到D地，然后从D地沿北偏东60°方向行驶6千米到达C地，从C地又向南偏西30°方向行驶2千米才到达B地．(1)在如图所示的坐标系中画出AD，DC，CB，AB.(2)求B地相对于A地的位移．解：(1)向量AD，DC，CB，AB如图所示．(2)由题意知AD＝BC.所以AD綊BC，则四边形ABCD为平行四边形．所以AB＝DC，则B地相对于A地的位移为“在北偏东60°的方向距A地6千米”．8．在如图所示的方格纸上(每个小方格边长均为1)，已知向量a.(1)试以B为起点画一个向量b，使b＝a；(2)画一个以C为起点的向量c，使|c|＝2，并说出c的终点的轨迹是什么．解：(1)根据相等向量的定义，所作向量应与a平行，且长度相等，如图所示．(2)由平面几何知识可作满足条件的向量c.所有这样的向量c的终点的轨迹是以C为圆心，2为半径的圆，如上图．。

数学北师大版必修4自主训练：2.1从位移、速度、力到向

自主广场我夯基我达标1.把平面上所有的单位向量平移到相同的起点上，那么它们的终点所构成的图形是（）A.一条线段B.一段圆弧C.两个孤立点D.一个圆思路解析：由单位向量的定义可知，如果把平面上所有的单位向量平移到相同的起点上，则所有的终点到这个起点的距离相等，且等于1，这样的图形显然是一个圆.答案：D2.下列命题正确的是（）A.若|a|=0，则a=0B.若|a|=|b|，则a=bC.若|a|=|b|，则a∥bD.若a∥b，则a=b 思路解析：考虑向量的相等关系，必须同时考虑它的大小和方向.当|a|=|b|时，只说明a与b 的长度相等，无法确定方向，故B、C均错;当a与b平行时，只说明方向相同或相反，没有长度的关系，不能确定相等，故D错.答案：A3.下列说法中不正确的是（）A.向量的长度与向量的长度相等B.任何一个非零向量都可以平行移动C.长度不相等而方向相反的两个向量一定是共线向量D.两个有共同起点且共线的向量的终点必相同思路解析：两个有共同起点且共线的向量，它们的方向可能相反，而且它们的长度也有可能不同，所以D不正确.答案：D4.下列说法：①两个有公共起点且长度相等的向量，其终点可能不同；②若非零向量与是共线向量，则A、B、C、D四点共线；③若a∥b且b∥c，则a∥c；④当且仅当=时，四边形ABCD是平行四边形.正确的个数为（）A.0B.1C.2D.3思路解析：①正确；②不正确，这是由于向量的共线与表示向量的有向线段共线是两个不同的概念；③不正确，假设向量b为零向量，因为零向量与任何一个向量都平行，符合a∥b且b∥c 的条件，但结论a∥c却不能成立；④正确，这是因为四边形ABCD是平行四边形 AB∥DC且AB=DC，即和相等. 答案：C5.下列说法中正确的是（）A.若|a|＞|b|，则a＞bB.若|a|=|b|，则a=bC.若a=b，则a∥bD.若a≠b，则a与b不是共线向量思路解析：向量不能比较大小，所以A不正确；当|a|=|b|时，它们的方向不一定相同，所以B不正确；a∥b是共线向量只需方向相同或相反，所以D不正确.答案：C6.若a 0是a 的单位向量，则a 与a 0的方向____________，||a a 与a 0的长度. 思路解析：一个向量的单位向量和这个向量本身共线；向量a 的单位向量定义为||a a . 答案：相同相等我综合我发展7.给出以下5个条件：①a =b ；②|a |=|b |；③a 与b 的方向相反；④|a |=0或|b |=0；⑤a 与b 都是单位向量.其中能使a ∥b 成立的是__________.思路解析：模相等的向量的方向不确定，②不正确；单位向量不一定是共线向量;⑤不能使a 与b 共线成立.答案：①③④8.如图2-1-4，D 、E 、F 分别是等腰Rt △ABC 的各边中点，∠BAC=90°.图2-1-4（1）分别写出图中与向量、长度相等的向量；（2）分别写出图中与向量、相等的向量；(3)分别写出图中与向量ED 、DF 共线的向量.思路分析：相等向量要考虑两个向量的大小、方向，共线向量只考虑方向是否相同或相反，向量的长度只考虑大小不考虑方向.解：（1）与长度相等的向量有：，，，；与长度相等的向量有：，，，，，，，，，.（2）与向量相等的向量有：，；与向量相等的向量有：，.(3)与向量ED 共线的向量有：DE ，FB ，BF ，FC ，CF ，BC ，CB ；与向量DF 共线的向量有：FD ，CE ，EC ，EA ，AE ，CA ，AC .9/已知飞机从甲地按北偏东30°的方向飞行2 000 km 到达乙地，再从乙地按南偏东30°的方向飞行2 000 km 到达丙地，再从丙地按西南方向飞行21000km 到达丁地，问丁地在甲地的什么方向?丁地距甲地多远?思路分析：本题用向量解决物理问题，首先用向量表示位移，作出图形，然后解平面几何问题即可.解：如图2-1-5，A 、B 、C 、D 分别表示甲地、乙地、丙地、丁地，图2-1-5由题意知，△ABC 是正三角形，∴AC=2 000 km.又∵∠ACD=45°，CD=21000km ，∴△ACD 是直角三角形.∴AD=21000 km ，∠CAD=45°. ∴丁地在甲地的东南方向，丁地距甲地21000km.。

数学 2.1从位移、速度、力到向量检测试题必修4 试题

【金榜教程】2021年高中数学 2.1从位移、速度、力到向量检测试题北师大版必修4(30分钟50分)一、选择题(每一小题4分，一共16分)a,b不相等，那么( )(A)a,b不一共线≠(B)|a||b|(C)a,b不可能均为单位向量(D)a,b不可能均为零向量a,b是两个非零向量，AO,BO分别是与a,b同方向的单位向量，那么以下各式正确的选项是( )(A)AO=BO (B) AO=BO或者AO=-BO(C)AO=1 (D)|AO|=|BO|3.如图，在圆O中，向量OB，OC，AO是( )(A)有一样起点的向量(B)单位向量(C)模相等的向量(D)相等的向量=，且|AD|=|AB|,那么这个四边形是4.(2021·高一检测)设四边形ABCD中，有AB DC( )(A)正方形 (B)矩形(C)等腰梯形 (D)菱形二、填空题(每一小题4分，一共8分)5.(2021·滨海高一检测)①平行向量一定相等；②不相等的向量一定不平行；③相等向量一定一共线；④一共线向量一定相等；⑤长度相等的向量是相等向量；⑥平行于同一个向量的两个向量是一共线向量.其中正确的命题是_________.6.如图，O是正方形ABCD对角线的交点，四边形OAED，OCFB都是正方形，在图中所示的向量中：(1)与AO相等的向量有_______________；(2)与AO一共线的向量有_______________；(3)与AO的模相等的向量有_______________；(4)向量AO与CO_______ (填“相等〞“不相等〞)三、解答题(每一小题8分，一共16分)7.如下图，分别以图中各点为起点和终点，最多可以写出多少个非零向量？8.如下图，某人从A点出发向东走了400 m到达B点，然后改变方向向东偏北45°走了4002 m到达C点，最后又改变方向向西走了400 m到达D点(1)作出向量AB、BC、CD(图中每个小方格边长1 cm,1 cm表示200 m)；(2)求DA的模．【挑战才能】(10分)中国象棋中规定：马走“日〞字.图是中国象棋的半个棋盘，假设马在A处，可跳到AA或者AA２表示马走了“一步〞.试在图中画出马在B,C A1处，也可跳到A2处，用向量1处走了“一步〞的所有情况.答案解析1.【解析】选D.结合向量的定义可知，尽管a,b不相等但a,b可能一共线,也可能均为单=故A、B、C均错误，假设a,b均为零向量，那么必有a=b.位向量，还可能|a||b|2.【解析】a与b的方向不知，故AO与BO AO与BO均为单位向量.∴|AO|=|BO|.3.【解析】选C.由题意可知|OB|=|OC|=|AO|=r,其中r为圆的半径，故C正确.4.独具【解题提示】熟记四个选项里面各图形的构造特征是关键.=可知四边形ABCD为平行四边形，又|AD|=|AB|，该四边形为菱形. 【解析】AB DC独具【方法技巧】用向量判断几何图形的方法=〞隐含着四边形ABCD对边平行且相等，故首先断定该四边向量具有“数〞与““AB DC形为平行四边形；又有“|AD|=|AB|〞进一步判断平行四边形相邻边的关系，得出该四边形为菱形.5.【解析】此题考察相等向量与一共线向量的概念及其关系,易知③正确.答案:③6.【解析】∵O是正方形ABCD对角线的交点且四边形OAED，OCFB都是正方形结合相等向量的定义可知与AO相等的向量有BF；结合一共线向量的定义可知与AO一共线的向量有DE,BF,CO；与AO的模相等的向量有AE,DO,CF,DE,BF,CO,BO；向量AO与CO方向不同，故不相等.答案:(1)BF (2)DE,BF,CO (3)AE,DO,CF,DE,BF,CO,BO (4)不相等独具【误区警示】解此类题目时一定要分清相等向量、一共线向量等概念的区别.7. 独具【解题提示】【解析】由向量的几何表示可知，一共有30个，分别是AB,AC,AD,AE,AF,BC,BD,BE,BF,CD,CE,CF,DE,DF,EF,FA,FB,FC,FD,FE,EA,EB,EC,ED,DA,DB,DC, CA,CB,BA.8.【解析】(1)作出向量AB、BC、CD如下图：(2)因为四边形ABCD是平行四边形，所以DA=BC=4002 m.即|DA|=4002 m.【挑战才能】【解析】根据规那么，作出符合要求的所有向量，如图励志赠言经典语录精选句；挥动**，放飞梦想。

高中数学第二章平面向量 2.1 从位移、速度、力到向量练习北师大版必修4

第二章平面向量§1 从位移、速度、力到向量1.已知向量a与b是两个不平行的向量,若a∥c且b∥c,则c等于()A.0B.aC.bD.不存在这样的向量解析:零向量与任一向量是共线向量,故c=0.答案:A3.正n边形有n条边,它们对应的向量依次为a1,a2,a3,…,a n,则这n个向量()A.都相等B.都共线C.都不共线D.模都相等解析:正n边形的n条边长都相等,但它们所在的直线不都平行,相邻两条边一定相交,所以这n个向量的模都相等.答案:D4.若a为任一非零向量,b是模为1的向量,下列各式:①|a|>|b|;②a∥b;③|a|>0;④|b|=±1.其中正确的是()A.①④B.③C.①②③D.②③解析:题中只明确了b的模的大小,而没有指明a的模,因此,①错误;④错误;题中没有说明a,b的方向,故不能判断两向量是否平行,因此,②错误;向量的模是一个长度,其值大于等于0,故③正确.答案:B5.导学号03070076已知A={与a共线的向量},B={与a长度相等的向量},C={与a长度相等,方向相反的向量},其中a为非零向量,则下列说法中错误的是()A.C⫋AB.A∩B={a}C.C⫋BD.A∩B⫌{a}解析:A∩B含有a的相反向量,所以B错误.答案:B6.如图所示,E,F,G,H为正方形ABCD各边的中点,O为其中心,则下列结论中不正确的是()A.B.C.D.||=||=||=||解析:由题图可知,故A错.答案:A7.如图所示,在四边形ABCD中,,且||=||,则四边形ABCD的形状为.解析:∵,∴四边形ABCD为平行四边形.又||=||,∴平行四边形ABCD为菱形.答案:菱形8.如图,四边形ABCD是平行四边形,E,F分别是AD与BC的中点,则在以A,B,C,D四点中的任意两点组成的所有向量中,与向量方向相反的向量为.解析:由于AB∥EF∥CD,所以与共线的向量有,其中方向相反的是.答案:9.如图,四边形ABCD是边长为3的正方形,把各边三等分后,共有16个交点,从中选取2个交点组成向量,则与平行且长度为2的向量个数是.解析:题图中共有四个边长为2的正方形,每个正方形中有符合条件的向量两个(它们分别是连接左下和右上顶点的向量,方向相同或相反),故满足条件的向量共有8个.答案:810.导学号03070077如图,在△ABC中,D,E,F分别是AB,BC,CA边上的点,已知,试推断向量是否为相等向量,说明你的理由.解:,理由:∵,∴||=||,点D是AB边的中点.∵,∴是平行向量,∴DF∥BE,即DF∥BC.∴=1,∴点F是AC边的中点.∵点D是AB边的中点,∴由三角形中位线定理知,DF=BC.又||=||,即DF=BE,∴BE=BC,∴点E为BC边的中点.∵点D是AB边的中点,于是DE∥AC,且DE=AC.∵点F是AC边的中点,∴AF=AC,∴DE AF,故.11.(2015江西吉安一中上学期期中)如图所示,平行四边形ABCD中,O是对角线AC,BD的交点,设点集S={A,B,C,D,O},向量集合T={|M,N∈S且M,N不重合},试求集合T的子集的个数.解:由题意可知,集合T中的元素实质上是S中任意两点连成的有向线段,共有20个,即.由平行四边形的性质可知,共有8对向量相等,即.又集合元素具有互异性,故集合T中的元素共有12个,从而集合T共有212个子集.。

高中数学第二章平面向量 1.1-2 位移、速度和力向量的概念练习(含解析)北师大版必修4-北师

1.1 位移、速度和力 1.2 向量的概念填一填1.向量的定义及表示(1)定义：既有________，又有________的量．(2)表示：①有向线段：带有________的线段，它包含三个要素：________、方向、长度；②向量的表示：2．特殊向量(1)零向量：长度为________的向量叫做零向量，记作________．(2)单位向量：长度等于________个单位的向量叫做单位向量．(3)相等向量：长度________且方向________的向量叫做相等向量．(4)平行向量：方向________的非零向量叫做平行向量，如果向量a和b平行，记作________判一判1.2．体积、面积和时间都不是向量．( )3．零向量与任意向量都平行．( )4．若a∥b，b∥c，则a∥c.( )5．如果两个向量共线，那么其方向相同．( )6．实数分为正实数、零、负实数，所以实数是向量．( )7．把平面上所有单位向量的起点都平移到同一点时，它们的终点构成的图形是线段．( )8想一想1.提示：(1)向量是自由向量，即只有大小和方向，而无特定的位置，这样的向量可以作任意平移．(2)判断一个量是否为向量，就要看它是否具备了大小和方向两个因素．(3)向量与向量之间不能比较大小．2．如何理解相等向量？提示：任意两个相等的非零向量，都可以用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关．在平面上，两个长度相等且指向一致的有向线段表示同一个向量，因为向量完全由它的方向和模确定．3．共线向量与平行向量有无区别？提示：(1)平行向量也称为共线向量，两个概念没有区别． (2)共线向量所在直线可以平行，与平面几何中的共线不同． (3)平行向量可以共线，与平面几何中的直线平行不同．思考感悟：练一练1.下列物理量：⑦密度；⑧功．其中不是向量的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2．已知向量a 如图所示，下列说法不正确的是( )A ．也可以用MN →表示 B ．方向是由M 指向N C ．起点是M D ．终点是M3．如图，在矩形ABCD 中，可以用同一条有向线段表示的向量是( ) A.DA →和BC → B.DC →和AB → C.DC →和BC → D.DC →和DA → 4.如图，以1 cm×3 cm 方格纸中的格点为始点和终点的所有向量中，以A 为始点，可以写出________个不同的向量．知识点一向量的概念1.A ．温度含有零上温度和零下温度，所以温度是向量 B ．单位向量的长度都相等 C ．向量的模是一个非负实数 D ．零向量是长度为0的向量2．给出下列物理量：①密度；②温度；③速度；④质量；⑤功；⑥位移．下列说法正确的是( )A ．①②③是数量，④⑤⑥是向量B ．②④⑥是数量，①③⑤是向量C ．①④是数量，②③⑤⑥是向量D ．①②④⑤是数量，③⑥是向量知识点二向量的表示3.如图，在圆O 中，向量OB →，OC →，AO →是( ) A ．有相同起点的向量 B ．单位向量 C ．模相等的向量 D ．相等的向量4．已知飞机从A 地按北偏东30°的方向飞行2 000 km 到达B 地，再从B 地按南偏东30°的方向飞行2 000 km 到达C 地，再从C 地按西南方向飞行1 000 2 km 到达D 地．(1)作出向量AB →，BC →，CD →，DA →.(2)问D 地在A 地的什么方向？D 地距A 地多远？知识点三共线向量、相等向量5．如图在等腰梯形ABCD 中．①AB →与CD →是共线向量． ②AB →＝CD →. ③AB →>CD →.以上结论中正确的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．36．四边形ABCD 为边长为3的正方形，把各边三等分后，共有16个交点，从中选取两个交点作为向量，则与AC →平行且长度为22的向量个数有________个.综合知识向量的模7.A ，B .点C 为小正方形的顶点，且|AC →|＝ 5.(1)画出所有的向量AC →；(2)求|BC →|的最大值与最小值．基础达标一、选择题1．下列各量中是向量的是( ) A ．时间 B ．加速度 C ．面积 D ．长度2．若a 为任一非零向量，b 的模为1，给出下列各式： ①|a |>|b | ②a ∥b ③|a |>0 ④|b |＝±1. 其中正确的是( ) A ．①④ B．③ C ．①②③ D．②③3．下列说法中正确的个数是( ) ①身高是一个向量②∠AOB 的两条边都是向量③温度含零上和零下温度，所以温度是向量 ④物理学中的加速度是向量 A ．0 B ．1 C ．2 D ．34．设e 1，e 2是两个单位向量，则下列结论中正确的是( ) A ．e 1＝e 2B ．e 1∥e 2C ．|e 1|＝|e 2|D ．以上都不对 5.如图，在正六边形ABCDEF 中，点O 为其中心，则下列判断错误的是( ) A.AB →＝OC → B.AB →∥DE →C ．|AD →|＝|BE →| D.AD →＝FC →6．下列说法中正确的是( ) A ．若|a |>|b |，则a ≤b B ．若|a |＝|b |，则a ＝b C ．若a ＝b ，则a ∥bD ．若a ≠b ，则a 与b 不是共线向量7．已知点O 固定，且|OA →|＝2，则A 点构成的图形是( ) A ．一个点 B ．一条直线 C ．一个圆 D ．不能确定 8.如图所示，四边形ABCD ，CEFG ，CGHD 是全等的菱形，则下列结论中不一定成立的是( )A ．|AB →|＝|EF →| B.AB →与FH →共线 C.BD →与EH →共线 D.CD →＝FG → 二、填空题9．如图，四边形ABCD 是菱形，则在向量AB →，BC →，CD →，DA →，DC →和AD →中，相等的有________对．10．如图，在△ABC 中，∠ACB 的平分线CD 交AB 于点D .若AC →的模为2，BC →的模为3，AD→的模为1，则DB →的模为________．11．给出下列说法： ①零向量是没有方向的； ②零向量的长度为0；③零向量的方向是任意的； ④单位向量的模都相等．其中正确的是________(填上序号)．12．下列说法中，正确的序号是________．①若AB →与C D →是共线向量，则A ，B ，C ，D 四点必在一条直线上； ②零向量都相等；③任一向量与它的平行向量不相等；④若四边形ABCD 是平行四边形，则A B →＝D C →；⑤共线的向量，若始点不同，则终点一定不同．三、解答题13．如图所示，四边形ABCD 是平行四边形，四边形ABDE 是矩形，找出与向量AB →相等的向量．14．一辆汽车从A 点出发向西行驶了100千米到达B 点，然后又改变方向向北偏西40°行驶了200千米到达C 点，最后又改变方向，向东行驶了100千米到达D 点．(1)作出向量AB →，BC →，CD →；(2)求|AD →|.能力提升 15.如图所示，四边形ABCD 中，AB ＝DC ，N ，M 分别是AD ，BC 上的点，且→＝MA →.求证：DN →＝MB →.16.如图，▱ABCD 中，O 是对角线AC ，BD 的交点，设点集S ＝{A ，B ，C ，D ，O )，向量集合T ＝{MN →|M ，N ∈S ，且M ，N 不重合}．若集合T 中的向量互不相等，试求集合T 中元素的个数．1．1 位移、速度和力 1．2 向量的概念一测基础过关填一填1．(1)大小方向(2)方向起点长度 |AB →| a →，b →，c →2．(1)0 0 (2)1 (3)相等相同 (4)相同或相反 a ∥b 平行判一判1．× 2.√ 3.√ 4.× 5.× 6.× 7.× 8.√ 练一练1．D 2.D 3.B 4.7 二测考点落实1．解析：选项A 中，温度是数量，因此A 说法错误；选项B 中，单位向量的长度都为1，因此B 说法正确；选项C 中，由于|a |≥0，因此C 说法正确；选项D 说法正确．答案：A2．解析：由物理知识可得：密度、温度、质量、功只有大小，没有方向，因此是数量；而速度、位移既有大小又有方向，因此是向量．答案：D3．解析：∵|OB →|＝|OC →|＝|AO →|＝r (r 为圆O 的半径)，∴C 正确．答案：C4．解析：(1)由题意，作出向量AB →，BC →，CD →，DA →，如图所示．(2)依题意知，三角形ABC 为正三角形，所以AC ＝2 000 km.又因为∠ACD ＝45°，CD ＝1 0002，所以△ACD 为等腰直角三角形，即AD ＝1 000 2 km ，∠CAD ＝45°，所以D 地在A 地的东南方向，距A 地1 000 2 km.5．解析：①因为AB →与CD →的方向不相同，也不相反，所以AB →与CD →不共线，即①不正确；②由①可知不正确；③因为两个向量不能比较大小，所以③不正确．答案：A 6.解析：如图所示，满足与AC →平行且长度为22的向量有AF →，F A →，EC →，CE →，GH →，HG →，IJ →，JI →共8个．答案：87．解析：(1)画出所有的向量AC →，如图所示．(2)由(1)所画的图知，①当点C 在C 1或C 2时，|BC →|取得最小值12＋22＝5；②当点C在点C 5或C 6时，|BC →|取得最大值42＋52＝41.∴|BC →|的最大值为41，最小值为 5. 三测学业达标1．解析：加速度是既有大小又有方向的量，是向量．而时间、面积、长度是只有大小的量，是数量．答案：B2．解析：①中，|a |的大小不能确定，故①错误；②中，两个非零向量的方向不确定，故②错误；④中，向量的模是一个非负实数，故④错误；③正确．选B.答案：B3．解析：只有④物理学中的加速度既有大小又有方向是向量，①②③错误．④正确．答案：B4．解析：单位向量的模都等于1个单位，故C 正确．答案：C5．解析：由题图可知，|AD →|＝|FC →|，但AD →、FC →不共线，故AD →≠FC →，故选D. 答案：D6．解析：因为向量不能比较大小，所以A 项不正确；即便|a |＝|b |，但是向量的方向不确定，所以B 项不正确；向量相等的条件是方向相同且模相等，所以C 项正确；当向量不相等时，可以共线，故D 项不正确．答案：C7．解析：因为|OA →|＝2，所以点A 在以点O 为圆心、2为半径的圆上，故A 点构成的图形是一个圆．答案：C8．解析：由题意可知AB ＝EF ，AB ∥CD ∥FG ，CD ＝FG ，但是∠DEH 不一定等于∠BDC ，故BD 与EH 不一定平行，所以A ，B ，D 成立，C 不一定成立．答案：C9．解析：AB →＝DC →，BC →＝AD →.其余不相等．答案：2 10.解析：如图，延长CD ，过点A 作BC 的平行线交CD 的延长线于点E . 因为∠ACD ＝∠BCD ＝∠AED ，所以|AC →|＝|AE →|. 因为△ADE ∽△BDC ，所以|AD →||DB →|＝|AE →||BC →|＝|AC →||BC →|，故|DB →|＝32.答案：3211．解析：由零向量的方向是任意的，知①错误，③正确；由零向量的定义知②正确；由单位向量的模是1，知④正确．答案：②③④12．解析：共线向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可，并不要求两个向量AB →，CD →在同一条直线上，所以①错误；因为零向量的长度都为零，且其方向任意，所以零向量相等，所以②正确；因为平行向量的方向可以相同且大小也可以相等，所以任一向量与它的平行向量可能相等，所以③错误；画出图形，可得AB →＝DC →，所以④正确；由共线向量的定义可知：共线的向量，始点不同，终点可能相同，所以⑤不正确．答案：②④13．解析：由四边形ABCD 是平行四边形，四边形ABDE 是矩形，知DC →，E D →与A B →的长度相等且方向相同，所以与向量A B →相等的向量为D C →和E D →.14．解析：(1)向量AB →，BC →，CD →如图所示．(2)连接AD .由题意，易知AB →与CD →方向相反，故AB →与CD →共线，即AB ∥CD .又|AB →|＝|CD →|，所以四边形ABCD 为平行四边形．所以|AD →|＝|BC →|＝200千米．15．证明：因为AB →＝DC →，所以|AB →|＝|DC →|且AB ∥CD ，所以四边形ABCD 是平行四边形．所以|DA →|＝|CB →|且DA ∥CB .同理可证，四边形AM 是平行四边形，所以|CM →|＝|NA →|，所以|MB →|＝|DN →|，DN ∥MB ，即DN →与MB →的模相等且方向相同，所以DN →＝MB →.16．解析：由题可知，S 中任意两点连成的有向线段共有20个，即AB →、AC →、AD →、AO →；BA →、BC →、BD →、BO →；CA →、CB →、CD →、CO →；DA →、DB →、DC →、DO →；OA →、OB →、OC →、OD →.由平行四边形的性质可知，共有8对向量相等，即AB →＝DC →，AD →＝BC →，DA →＝CB →，BA →＝CD →，AO →＝OC →，OA →＝C O →，D O →＝OB →，OD →＝BO →，又集合T 中向量互不相等，故集合T 中的元素共有12个．。

高中数学 2.1 从位移、速度、力到向量课时训练北师大版必修4

【课堂新坐标】（教师用书）2013-2014学年高中数学 2.1 从位移、速度、力到向量课时训练北师大版必修4一、选择题1．如图2－1－5，在正方形ABCD 中，可以用同一条有向线段表示的向量是( )图2－1－5A.DA →与BC →B.AB →与DC →C.DC →与DA →D.BC →与AB →【解析】 ∵AB →＝DC →，∴AB →与DC →可用同一条有向线段表示．【答案】 B图2－1－62．如图2－1－6所示，梯形ABCD 为等腰梯形，则两腰上的向量AB →与DC →的关系是( ) A.AB →＝DC → B ．|AB →|＝|DC →| C.AB →＞DC → D.AB →＜DC →【解析】 |AB →|与|DC →|表示等腰梯形两腰的长度，故相等．【答案】 B图2－1－73．如图所示，△ABC 的三边均不相等，E 、F 、D 分别是AC 、AB 、BC 的中点，则与EF →的模相等的向量共有( )A ．6个B ．5个C ．4个D ．3个【解析】 ∵E 、F 、D 分别是边AC 、AB 和BC 的中点， ∴EF ＝12BC ，BD ＝DC ＝12BC .又∵AB ，BC ，AC 均不相等，从而与EF →的模相等的向量是：FE →，BD →，DB →，DC →，CD →. 【答案】 B图2－1－84．如图，点O 是正六边形ABCDEF 的中心，则以图中A ，B ，C ，D ，E ，F ，O 中任意一点为始点，与始点不同的另一点为终点的所有向量中，除向量OA →外，与向量OA →共线的向量共有( )A ．6个B ．7个C ．8个D ．9个【解析】由共线向量的定义及正六边形的性质，与向量OA →共线的向量有AO →，OD →，DO →，AD →，DA →，EF →，FE →，BC →，CB →，共有9个．故选D.【答案】 D5．下列说法中，不正确的是( ) A ．0与任意一个向量都平行B ．任何一个非零向量都可以平行移动C ．长度不相等而方向相反的两个向量一定是共线向量D ．两个有共同起点且共线的向量其终点必相同【解析】易知A 、B 、C 均正确，D 不正确，它们的终点可能相同，故选D. 【答案】 D 二、填空题6．已知边长为3的等边△ABC ，则BC 边上的中线向量AD →的模等于________．【解析】由于AD ＝32AB ＝332.∴|AD →|＝3 32. 【答案】3 32图2－1－97．如图，设O 是正方形ABCD 的中心，则：①AO →＝OC →；②AO →∥AC →；③AB →与CD →共线；④AO →＝BO →.其中，所有正确的序号为________．【解析】根据正方形的几何性质以及向量的相等和共线的条件知①②③正确，AO →与BO →的方向不相同，故④不正确．【答案】 ①②③图2－1－108．如图2－1－10所示，四边形ABCD 是边长为3的正方形，把各边三等分后，连接相应分点，共有16个交点，从中选取2个交点组成向量，则与AC →平行且长度为2 2的向量个数是________．【解析】图中共有4个边长为2的正方形，每个正方形中有符合条件的向量2个(它们分别是连接左下和右上顶点的向量，方向相反)，故满足条件的向量共有8个．【答案】 8 三、解答题9．已知O 是正方形ABCD 对角线的交点，在以O ，A ，B ，C ，D 这5点中任意一点为起点，另一点为终点的所有向量中，写出：(1)与BC →相等的向量； (2)与OB →长度相等的向量； (3)与DA →共线的向量．【解】如图可知，(1)易知BC ＝AD ，所以与BC →相等的向量为AD →.(2)由O 是正方形ABCD 对角线的交点可知OB ＝OD ＝OA ＝OC ，所以与OB →长度相等的向量有BO →，OC →，CO →，OA →，AO →，OD →，DO →.(3)与DA →共线的向量有AD →，BC →，CB →.图2－1－1110．如图2－1－11所示，四边形ABCD 中AB →＝DC →，N 、M 分别是AD 、BC 上的点，且CN →＝MA →.求证：DN →＝MB →.【证明】 ∵AB →＝DC →，∴|AB →|＝|DC →|且AB ∥CD ，∴四边形ABCD 是平行四边形， ∴|DA →|＝|CB →|，且DA ∥CB . 又∵DA →与CB →的方向相同，∴CB →＝DA →.同理可证，四边形CNAM 是平行四边形，∴CM →＝NA →. ∵|CB →|＝|DA →|，|CM →|＝|NA →|，∴|MB →|＝|DN →|，又∵DN →与MB →的方向相同，∴DN →＝MB →.图2－1－1211．如图2－1－12，A 、B 、C 三点的坐标依次是(－1,0)、(0,1)、(x ，y )，其中x 、y ∈R .当x 、y 满足什么条件时，向量OC →与AB →共线(其中O 为坐标原点)?【解】由已知，A 、B 的坐标是(－1,0)、(0,1)，所以∠BAO ＝45°. 当点C (x ，y )的坐标满足x ＝y ＝0时，OC →＝0，这时OC →与AB →共线(零向量与任意向量都共线)；当xy ≠0，且x ＝y ，即点C 在一、三象限角平分线上时，有AB ∥OC ，这时OC →与AB →共线．综上，当x ＝y 时，OC →与AB →共线．。

北师大版数学高一必修4练习 2.1 从位移、速度、力到向量

[A 基础达标]1．下列说法正确的个数是( ) ①零向量没有方向； ②单位向量的方向任意；③长度为1 cm 的向量是一个单位向量； ④与一个非零向量共线的单位向量有两个． A ．0 B ．1 C ．2D ．4解析：选B.零向量的方向任意，不是没有方向，故①不正确；单位向量一旦确定，其方向也是确定的，故②不正确；单位向量长度为1个单位长度，而1 cm 不一定等于1个单位长度，故③不正确；与一个非零向量共线的单位向量有两个，它们方向相反，故④正确．2．如图，D ，E ，F 分别是△ABC 边AB ，BC ，CA 的中点，有下列4个结论：①AD →＝FE →，AF →＝DE →；②DF →∥CB →； ③|CF →|＝|DE →|；④FD →＝BE →. 其中正确的为( ) A ．①②④ B ．①②③ C ．②③④D ．①④解析：选B.因为D ，E ，F 分别为△ABC 边AB ，BC ，CA 的中点，所以EF 綊12AB ＝AD ，AF 綊DE ，DF ∥CB ，DE 綊CF ，故①②③正确．3．已知A ＝{与a 共线的向量}，B ＝{与a 长度相等的向量}，C ＝{与a 长度相等，方向相反的向量}，其中a 为非零向量，则下列命题中错误的是( )A ．C AB ．A ∩B ＝{a}C ．CBD ．A ∩B{a}解析：选B .因为A ∩B 中还含有与a 方向相反的向量，故B 错． 4．给出下列说法：①若a 是单位向量，b 也是单位向量，则a 与b 的方向相同或相反；②若向量AB →是单位向量，则向量BA →也是单位向量； ③两个相等的向量，若起点相同，则终点必相同．其中正确说法的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3解析：选C .由单位向量的定义知，凡长度为1个单位长度的向量均称为单位向量，对方向没有任何要求，故①不正确；因为|AB →|＝|BA →|，所以当AB →是单位向量时，BA →也是单位向量，故②正确；据相等向量的概念知，③是正确的．5．把平面内所有长度不小于1且不大于2的向量的起点平移到同一点O ，则这些向量的终点所构成的图形的面积为( )A ．4πB ．πC ．2πD ．3π解析：选D .图形是半径为1和2的同心圆对应的圆环，故S 圆环＝π(22－12)＝3π. 6．已知A ，B ，C 是不共线的三点，向量m 与向量AB →是平行向量，与BC →是共线向量，则m ＝________．解析：因为A ，B ，C 不共线，所以AB →与BC →不共线．又因为m 与AB →，BC →都共线，所以m ＝0.答案：07．若|AB →|＝|AD →|且BA →＝CD →，则四边形ABCD 的形状是________．解析：在四边形ABCD 中，BA →＝CD →，则ABCD 为平行四边形，又|AB →|＝|AD →|，所以四边形是菱形．答案：菱形 8.如图所示，在梯形ABCD 中，若E ，F 分别为腰AB ，DC 的三等分点，且|AD →|＝2，|BC →|＝5，则|EF →|＝________．解析：过D 作DH ∥AB ，分别交EF ，BC 于点G ，H ，因为|AD →|＝2，所以|EG →|＝|BH →|＝2，又|BC →|＝5，所以|HC →|＝3，又E ，F 分别为腰AB ，DC 的三等分点，所以G 为DH 的三等分点，所以GF →∥HC →，且|GF →|＝13|HC →|，所以|GF →|＝1，所以|EF →|＝|EG →|＋|GF →|＝2＋1＝3. 答案：39．飞机从A 地按北偏西15°的方向飞行1 400 km 到达B 地，再从B 地按东偏南15°的方向飞行1 400 km 到达C 地，那么C 地在A 地什么方向？C 地距A 地多远？解：如图所示，AB →表示飞机从A 地按北偏西15°方向飞行到B 地的位移，则|AB →|＝1 400(km)． BC →表示飞机从B 地按东偏南15°方向飞行到C 地的位移，则|BC →|＝1 400(km) . 所以AC →为从A 地到C 地的位移．在△ABC 中，AB ＝BC ＝1 400(km)，且∠ABC ＝(90°－15°)－15°＝60°，故△ABC 为等边三角形，所以AC ＝1 400(km)．所以C 地在A 地北偏东60°－15°＝45°，距离A 地1 400 km 处． 10.已知ABCD 是任意四边形，边AD ，BC 的中点分别为E ，F ，延长AF 到G ，使F 恰为AG 的中点，连接BG ，CG ，DG ，AC .(1)试找出与AB →相等的向量； (2)试找出与AC →相等的向量； (3)试找出与EF →共线的向量．解：(1)F 是AG 和BC 的中点，所以四边形ABGC 是平行四边形．故AB →＝CG →.(2)由(1)知四边形ABGC 是平行四边形，所以AC →＝BG →.(3)因为E 为AD 的中点，F 是AG 的中点，所以EF 为△ADG 的中位线，EF ∥DG ，所以与EF →共线的向量有DG →，GD →和FE →.[B 能力提升]1.如图，在菱形ABCD 中，∠DAB ＝120°，则以下说法错误的是( ) A ．与AB →相等的向量只有一个(不含AB →) B ．与AB →的模相等的向量有9个(不含AB →) C.BD →的模恰为DA →模的3倍 D.CB →与DA →不共线解析：选D.两向量相等要求长度(模)相等，方向相同．两向量共线只要求方向相同或相反．D 中CB →，DA →所在直线平行，向量方向相同，故共线．2．若A 地位于B 地正西方向5 km 处，C 地位于A 地正北方向5 km 处，则C 地相对于B 地的位移是________．解析：据题意画出图形如图所示，由图可知|BC →|＝5 2 km ，且∠ABC ＝45°，故C 地相对于B 地的位移是西北方向5 2 km. 答案：西北方向5 2 km 3.如图，在四边形ABCD 中，M ，N 分别是BC ，AD 的中点，且AB →＝DC →，求证：CN →＝MA →. 证明：因为AB →＝DC →，所以|AB →|＝|DC →|，且AB →∥DC →，所以四边形ABCD 为平行四边形，所以AD →＝BC →.因为M ，N 分别是BC ，AD 的中点，所以|AN →|＝12|AD →|，|MC →|＝12|BC →|，所以|AN →|＝|MC →|. 又因为AN →∥MC →，所以四边形AMCN 是平行四边形，所以CN →∥MA →，|CN →|＝|MA →|，且CN →，MA →方向相同，所以CN →＝MA →. 4．(选做题)一辆消防车从A 地去B 地执行任务，先从A 地向北偏东30°方向行驶2千米到D 地，然后从D 地沿北偏东60°方向行驶6千米到达C 地，从C 地又向南偏西30°方向行驶2千米才到达B 地．(1)在如图所示的坐标系中画出AD →，DC →，CB →，AB →； (2)求B 地相对于A 地的位移．解：(1)向量AD →，DC →，CB →，AB →如图所示． (2)由题意知AD →＝BC →. 所以AD 綊BC ，则四边形ABCD 为平行四边形．所以AB →＝DC →，则B 地相对于A 地的位移为“北偏东60°，6千米”．。

高中数学 2.5从力做的功到向量的数量积同步练习(一) 北师大版必修4

从力做的功到向量的数量积同步练习(一)下列说法正确的是（）b 在a 方向上的投影就是b 在a 所在直线上投影的长度向量数量积的结果可以是任意实数｜a ·b ｜表示向量a ·b 的长度向量的数量积满足交换律、分配律、结合律已知｜a ｜＝2，｜b ｜＝4，a ·b ＝－4，则向量a 与b 的夹角为（）A ．30°B ．60°C ．150°D ．120°3．以下四个命题中真命题是（）A ．a ∥b ，周则a 在b 方向上的投影是｜a ｜B ．若｜a －b ｜=0，则（a －b ）·c ＝0C ．（a －b ）·c ＝0，则（a －b ）＝0或c ＝0D ．两个非零向量a 和b 的夹角的余弦值是非负实数4．下列命题：○1a b b a •=•；○2b a •＝0，00=⇒≠b a ；○3b a •＝c b •，且c a b a =≠≠则,0,0；○4)()(,0,0,0c b a c b a c b a ••=••≠≠≠则．A ．0B ．1C ．2D ．35、下列命题正确的是（）A 、若0=⋅b a ，则00==b a 或B 、若0=⋅b a ，则b a //C 、若b a ⊥，则0=⋅b aD 、a a a φ⋅对任意向量恒成立6、已知212-=⋅b a ，4=a ，它们的夹角为︒135，则b =（）A 、12B 、3C 、6D 、337、以下等式中恒成立的有（）①b a b a ⋅=⋅； ②2a a a =⋅； ③2a a =； ④)2()2(222b a b a b a +⋅-=- A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个8、ABC ∆，C B A ∠∠∠、、的对边分别为c b a 、、，3=a ，1=b ，︒=∠30C ，则CA BC ⋅=（）A 、343B 、323C 、343-D 、323-9、向量40-=⋅b a ，且10=a ，8=b ，则a ，b 的夹角θ为（）A 、︒30B 、︒60C 、︒120D 、︒15010、已知12=a ，22=b ，0)(=⋅-a b a ，则a ，b 的夹角θ为（）A 、︒90B 、︒120C 、︒45D 、︒6011、非零向量b a 、满足b a b a -==，则a 与b a -的夹角为。

高中数学 2.1从位移、速度、力到向量课后训练北师大版必修4 (1)

"【志鸿全优设计】2013-2014学年高中数学 2.1从位移、速度、力到向量课后训练北师大版必修4 "1．给出以下命题：①物理学中的作用力与反作用力是一对共线向量；②方向为南偏西60°的向量与北偏东60°的向量是共线向量；③坐标平面上的x 轴与y 轴都是向量．其中真命题有( )．A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个2．下列说法中正确的是( )．A ．平行向量就是向量所在的直线平行的向量B ．方向相同的向量叫相等向量C ．零向量的长度为零D ．若a ≠b ，则a 一定不与b 共线3．下列说法正确的是( )．A ．若|a |＝|b |，则a ＝bB ．若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，则AB u u u r ＝DC u u u r 是四边形ABCD 是平行四边形的等价条件 C ．若非零向量AB u u u r ∥CD uuu r ，那么AB ∥CD D ．AB u u u r ＝CD uuu r 的等价条件是A 与C 重合，B 与D 重合 4．如下图，在等腰梯形ABCD 中，①AB u u u r 与CD uuu r 是共线向量；②AB CD =u u u r u u u r ；③AB CD >u u u r u u u r ．以上结论中正确的个数是( )．A ．0B ．1C ．2D ．35．如图，在菱形A BCD 中，∠DAB ＝120°，则以下说法错误的是( )．A ．与AB u u u r 相等的向量只有一个 B ．与AB u u u r 的模相等的向量有9个C ．BD u u u r 的模恰为DA u u u r 模的3倍 D ．CB u u u r 与DA u u u r 不共线 6．如图所示，C ，D 是线段AB 的三等分点，分别以图中各点作为起点和终点的非零且不相等的向量个数为( )．A ．3B ．6C ．8D ．127．如图，四边形ABCD 为正方形，△BCE 为等腰直角三角形．(1)图中与AB u u u r 共线的向量有__________； (2)图中与AB u u u r 相等的向量有__________； (3)图中与AB u u u r 模相等的向量有__________； (4)图中EC uuu r 与BD u u u r 是__________向量；(填“相等”或“不相等”) (5) AB u u u r 与BA u u u r 相等吗？__________． 8．如下图所示，在四边形ABCD 中，AB DC =u u u r u u u r ，且AB AD =u u u r u u u r ，则四边形ABCD 为________．9．下面是为判断向量AB u u u r 、CD uuu r 是否为平行向量设计的算法框图，你能发现其中的错误并加以改正吗？10．一艘海上巡逻艇从港口A向北航行了30 n mile，这时接到求救信号，在巡逻艇的正东方向40 n mile处有一艘渔船抛锚需救助．试求：(1)巡逻艇从港口出发到渔船出事地点所航行的路程；(2)巡逻艇从港口出发到渔船出事地点的位移的大小及方向(sin 53°≈0.8)．参考答案1答案：C2答案：C3答案：B4答案：A5答案：D6答案：B 7答案：(1) BE u u u r ，CD uuu r (2) BE u u u r (3) BC uuu r ，CD uuu r ，DA u u u r ，BE u u u r (4)相等 (5)不相等 8答案：菱形9答案：略10答案：(1)70 (n mile)(2)位移的大小为50 n mile ，方向约为北偏东53°。

高一数学北师大版必修4同步单元卷：(10)从位移、速度、力到向量

同步单元卷（10）从位移、速度、力到向量1、下列物理量:①质量;②速度;③位移;④力;⑤加速度;⑥路程;⑦密度;⑧功.其中不是向量的有( )A.1个B.2个C.3个D.4个2、下列对向量表述正确的是( )A.向量就是有向线段B.向量就是物理学中的矢量C.向量就是有方向的量D.向量是既有大小又有方向的量3、下列关于零向量,正确的说法是( ).A.零向量没有方向B.零向量没有长度C.零向量等同于实数中的零D.零向量和任意向量共线4、下列说法中错误的是( )A.相等向量一定是共线向量B.两个相等向量若起点相同,则终点必相同C.只有零向量的模等于0D.共线的单位向量都相等5、下列说法中正确的是( )①零向量的长度为零,方向是任意的.②若,?a b 是单位向量,则a b =.③若非零向量AB 与CD 是共线向量,则ABCD 四点共线.A.①B.②C.③D.①③6、正n 边形有n 条边,它们对应的向量依次为123,,,,n a a a a ⋯,则这n 个向量()A.都相等B.都共线C.都不共线D.模都相等7、下列说法正确的个数为( )①面积、压强、速度、位移这些物理量都是向量;②零向量没有方向;③向量的模一定是正数;④非零向量的单位向量是唯一的.A.0B.1C.2D.38、下列各量中是向量的是( )A.密度B.电流C.面积D.浮力9、若向量a 与向量b 不相等,则a 与b 一定( )A.不共线B.长度不相等C.不都是单位向量D.不都是零向量10、设O 为坐标原点,且||1OM =,则动点M 的集合是( )A.一条线段B.一个圆面C.一个圆D.一个圆弧11、设a 、b 都是非零向量,下列四个条件中,使a b a b =成立的充分条件是( ) A. a b =-B. a bC. 2a b =D. a b 且a b =12、如图所示,四边形ABCD 是平行四边形,,E F 分别是AD 与BC 的中点,则在以,,,A B C D 四点中的任意两点为始点和终点的所有向量中,与向量EF 方向相反的向量为_____________.13给出下列命题:①; ②若与方向相反,则; ③若是共线向量,则四点共线;④有向线段是向量,向量就是有向线段;其中所有真命题的序号是 .14、给出下列命题:①向量AB和向量BA长度相等;②方向不同的两个向量一定不平行;③向量BC是有向线段;=;④向量00⑤向量AB大于向量CD;A B C D必在同一直线上;⑥若向量AB与CD是共线向量,则,,,⑦一个向量方向不定当且仅当模为0;⑧共线的向量,若起点不同,则终点一定不同.其中正确的是__________(只填序号).15、如图,设O是正六边形ABCDEF的中心,则:1.与AO相等的向量有__________;2.与AO共线的向量有__________;3.与AO模相等的向量有__________个.16、如图, ,B C是线段AD的三等分点,分别以图中各点为起点和终点最多可以写出__________个互不相等的非零向量.∆为等腰直角三角形,则17、如图,四边形ABCD为正方形, BCE1.图中与AB共线的向量有_______.2.图中与AB相等的向量有______.3.图中与AB模相等的向量有________.4.图中与EC相等的向量有________.答案以及解析1答案及解析：答案：D解析：由于速度、位移、力、加速度都是由大小和方向确定的,所以是向量.而质量、路程、密度、功只有大小而没有方向,所以不是向量.故选D.2答案及解析：答案：D解析：有向线段只是向量表示的一种形式,但向量不是有向线段,矢量是向量中的一部分,向量是既有大小又有方向的量.故选D项.3答案及解析：答案：D解析：零向量既有大小,又有方向,实数零只是数量,没有方向,并规定零向量与任一向量共线,所以选D项.4答案及解析：答案：D解析：在共线的单位向量中,只有方向相同的向量才相等.故选D.5答案及解析：答案：A解析：对于②,a与b方向可能不同.对于③,向量共线时,表示向量的有向线段可以是平行的,但不一定在同一条直线上.6答案及解析：答案：D解析：正n边形的n条边长都相等，但它们所在的直线都不平行，相邻两条边一定相交，所以这n个向量的模都相等.7答案及解析：答案：A解析：①错误,只有速度,位移是向量.②错误,零向量有方向,它的方向是任意的..③错误, 00④错误,非零向量a的单位向量有两个,一个与a同向,一个与a反向.8答案及解析：答案：D解析：只有浮力既有大小又有方向.9答案及解析：答案：D解析：若向量a与向量b不相等,则说明向量a与向量b的方向或长度至少有一个不同,所以a与b有可能共线,有可能长度相等,也可能都是单位向量,故A,B,C都错误,但a与b一定不都是零向量.10答案及解析：答案：C解析：动点M到原点O的距离等于定长1,故动点M的轨迹是以O为圆心,1为半径的圆.11答案及解析：答案：C解析：对于A,应注意到当a b =-时, a b a b ≠; 对于B,注意到当a b 时, a a 与b b可能不相等; 对于C,当2a b =时, aba b =; 对于D,当a b 且a b =时,可能有a b =-,此时aba b ≠.综上所述,使aba b =成立的充分条件是2a b =,故选C.12答案及解析：答案：,BA CD解析：由题意得//AB EF ,//CD EF ,所以与EF 平行的向量为DC ,CD ,AB ,BA 其中方向相反的向量为,BA CD .13答案及解析：答案： ①②解析：共线向量指方向相同或相反的向量,向量、是共线向量,也可能有,故③是假命题,向量可以用有向线段表示,不能说“有向线段是向量,向量就是有向线段”,比如0不能用有向线段表示,另外,向量有大小、方向两个要素,而有向线段有起点、方向、长度三个要素,故④是假命题.14答案及解析：答案：①⑦解析：利用零向量、单位向量与平行向量的概念逐一判断即可.①正确.②不正确.因为平行向量包括方向相同和相反两种情况.③不正确.向量可以用有向线段来表示,但不能把二者等同起来.④不正确. 0是一个向量,而0是一个数量.⑤不正确.向量不能比较大小,这是向量与数量的本质区别.⑥不正确.共线向量只要求方向相同或相反即可,并不要求两向量在同一直线上.⑦正确.零向量的模为零且方向不定.⑧不正确.共线的向量,若起点不同,终点也可以相同.故填①⑦.15答案及解析：BC OD FE答案：1. ,,BC OD FE CB DO EF OA AD DA2. ,,,,,,,,3.23BC OD FE;解析：1.与AO相等的向量有,,BC OD FE CB DO EF OA AD DA;2.与AO共线的向量有,,,,,,,,3.正六边形的每一条边和每一条中心与顶点连成的线段,长度与AO的模都相等,这样的线段共有12条,再注意到方向,共24个向量,除去AO本身,满足条件的向量有23个.16答案及解析：答案：6解析：可设线段AD的长度为3,那么长度为1的向量有6个,其中AC BD CA DB==;长度为====;长度为2的向量有4个,其中,AB BC CD BA CB DC,3的向量有2个,分别是AD和DA,所以最多可以写出6个互不相等的向量.17答案及解析：DC BE BA CD EB AE EA答案：1. ,,,,,,DC BE2. ,BA BE EB DC CD AD DA BC CB3. ,,,,,,,,4. BD解析：由Ruize收集整理。

2013-2014学年高中数学基础知识篇2.1从位移、速度、力到向量同步练测北师大版必修4

ABCDE
-2-
一、选择题
二、填空题
5．
6
三、解答题
7.
§ 1 从位移、速度、力到向量（数学北师版必修
4）
答题纸
题号答案
1
2
3
4
．
得分：
8.
9.
10.
-3-
§ 1 从位移、速度、力到向量（数学北师版必修
4）
答案
一、选择题
1. D
解析：日常生活中，常用到两类量，一类量是只有大小而没有方向，如质量、路程、密度、
§1 从位移、速度、力到向量（数学北师版必修 4）
建议用时 45 分钟
实际用时
满分 100 分
实际得分
一、选择题（每小题 5 分，共 20 分）
1. 下列物理量： ① 质量； ② 速度； ③ 位移；④ 力；⑤ 加速度；⑥ 路程； ⑦密度；
⑧功. 其中不是向量的有（
）
A.1 个
10. 解： (1) CA 、 BD 、 DB 、 CE 、 EC ;(2) BD 、 CE .
-4-
AB＝ 1∶ 4，AG∶ GC＝ 1∶ 3，求证：向量 DE 和 FG
-1-
A
共线 .
10.(20 分 ) 如图，线段 AE的四等分点分别是 B、 C、 D，写出以 A、 B、C、 D、 E 中的两点为起点和终点，且分别满足下列条件的向量：
(1) 与 AC 共线且长度为 | AC | 的所有向量； (2) 与 AC 相等的所有向量 .
确定，它与任一向量都平行，故⑥中若 b=0, 则 a 与 c 就不一定平行了，因此⑥也不正确 .
4. C 解析： ①真命题 .

高中数学 2.2从位移的合成到向量的加法同步练习(一) 北师大版必修4

高中数学 2.2从位移的合成到向量的加法同步练习(一) 北师大版必修41．给出下列四个命题：○1如果非零向量a与b的方向相同或相反，那么a+b的方向必与a，b之一的方向相同；○2在△ABC中，必有AB＋BC＋CA＝0；○3若AB＋BC＋CA＝0，则A，B，C为一个三角形的三个顶点；○4若a，b均为非零向量，则｜a+b｜与｜a｜＋｜b｜一定相等．其中真命题的个数为A．1 B．2 C．3 D．42. 在平行四边形ABCD中，则下列等式不正确的是（）A．AB＋AD＝AC B．AB－AD＝BDC．AD－AB＝BD D．AC－AB＝BC3．a，b为非零向量，且｜a+b｜=| a |＋| b |，则（）A．a∥b，且a，b方向相同B．a = bC．a∥b，且a，b方向相反D．a =－ b4．已知ABCD是平行四边形，O为平面上任意一点，设OA＝a，OB＝b，OC＝c，OD＝d，则（）A．a＋b＋c＋d = 0 B．a－b + c－d = 0C．a＋b－c－d = 0 D．a－b－c＋d = 05．化简下列向量：（1）AB＋BC＋CA；（2）AB－AC＋BD－CD；（3）FQ+QP+EF－EM（3）OA－OB＋AB．结果为零向量的个数是( )A．1 B．2 C．3 D．46．设Ｏ是△ABC内一点，且＋＋＝0，则Ｏ是△ABC的（）A．内心B．外心C．重心D．垂心7．设AB ＝a ，AD ＝b ，BC ＝c ，则DC 为（） A ．a －b + c B ．b －( a + c ) C ．a + b + c D ．b －a + c8．平面内有四边形ABCD 和点Ｏ,若OA ＋OC ＝OB ＋OD ，则四边形ABCD 的形状是（）A ．菱形B ．矩形C ．平行四边形D ．正方形9、如图2-2-1，O 是ABC ∆内一点，且0=++OC OB OA ，则O 是ABC ∆的（）A 、内心B 、外心C 、重心D 、垂心10、如图2-2-2，FA EF DE CD BC AB +++++=（）A 、0B 、OC 、AD 2 D 、AD 2-11、对任意向量b a 、，在下式中：①a b b a +=+；②)()(c a b c b a ++=++；③b a b a +=+；④b a b a +≤+，恒成立的有（）A 、1个B 、2个C 、3个D 、4个12、向量b a 、是飞零向量，下列说法错误的是（）A 、向量a 与b 反向，且b a ，则b a +与a 同向 B 、向量a 与b 同向，且b a ，则b a +与a 同向C 、向量a 与b 同向，则b a +与a 同向D 、向量a 与b 反向，则b a +与a 反向13、正方形ABCD 的边长为1，a AB =，c AC =，b BC =，则c b a ++为（）A 、0B 、2C 、3D 、2214、向量a 表示“向东走1Km ”，b 表示“向南走1Km ”，则b a +表示（）A 、向东南方向走2KmB 、向东南方向走2KmC 、向东北方向走2KmD 、向东北方向走2Km15、已知O 为正三角形ABC 的中心，求证：0=++OC OB OA 。

北师大版高中数学必修四学从位移、速度、力到向量课后训练

"【志鸿全优设计】2013-2014学年高中数学 2.1从位移、速度、力到向量课后训练北师大版必修4 "1．给出以下命题：①物理学中的作用力与反作用力是一对共线向量；②方向为南偏西60°的向量与北偏东60°的向量是共线向量；③坐标平面上的x 轴与y 轴都是向量．其中真命题有( )．A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个2．下列说法中正确的是( )．A ．平行向量就是向量所在的直线平行的向量B ．方向相同的向量叫相等向量C ．零向量的长度为零D ．若a ≠b ，则a 一定不与b 共线3．下列说法正确的是( )．A ．若|a |＝|b |，则a ＝bB ．若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，则AB ＝DC 是四边形ABCD 是平行四边形的等价条件C ．若非零向量AB ∥CD ，那么AB ∥CDD ．AB ＝CD 的等价条件是A 与C 重合，B 与D 重合4．如下图，在等腰梯形ABCD 中，①AB 与CD 是共线向量；②AB CD =；③AB CD >．以上结论中正确的个数是( )．A ．0B ．1C ．2D ．35．如图，在菱形ABCD ( )．A ．与AB 相等的向量只有一个 B ．与AB 的模相等的向量有9个C ．BD 的模恰为DAD ．CB 与DA 不共线6．如图所示，C ，D 是线段AB 的三等分点，分别以图中各点作为起点和终点的非零且不相等的向量个数为( )．A ．3B ．6C ．8D ．127．如图，四边形ABCD 为正方形，△BCE 为等腰直角三角形．(1)图中与AB 共线的向量有__________；(2)图中与AB 相等的向量有__________；(3)图中与AB 模相等的向量有__________；(4)图中EC 与BD 是__________向量；(填“相等”或“不相等”)(5) AB 与BA 相等吗？__________．8．如下图所示，在四边形ABCD 中，AB DC =，且AB AD =，则四边形ABCD 为________．9．下面是为判断向量AB 、CD 是否为平行向量设计的算法框图，你能发现其中的错误并加以改正吗？10．一艘海上巡逻艇从港口A 向北航行了30 n mile ，这时接到求救信号，在巡逻艇的正东方向40 n mile 处有一艘渔船抛锚需救助．试求：(1)巡逻艇从港口出发到渔船出事地点所航行的路程；(2)巡逻艇从港口出发到渔船出事地点的位移的大小及方向(sin 53°≈0.8)．参考答案1答案：C2答案：C3答案：B4答案：A5答案：D6答案：B7答案：(1)BE，CD(2)BE(3)BC，CD，DA，BE(4)相等(5)不相等8答案：菱形9答案：略10答案：(1)70 (n mile)(2)位移的大小为50 n mile，方向约为北偏东53°。

【成才之路】高二数学北师大版必修4同步训练：2.1 从位移、速度、力到向量 Word版含解析[ 高考]

第二章§1一、选择题1．下列说法中正确的是()A．只有方向相同或相反的向量是平行向量B．零向量的长度是零C．长度相等的两个向量是相等的向量D．共线向量是在一条直线上的向量[答案] B[解析]表示向量的有向线段所在的直线平行或重合，这样的向量都是平行向量．长度和方向都相同的向量才是相等的向量，选项B正确．2．下列说法正确的是()A．若|a|>|b|，则a>bB．若|a|＝|b|，则a＝bC．若a＝b，则a与b共线D．若a≠b，则a一定不与b共线[答案] C[解析]A中，向量的模可以比较大小，因为向量的模是非负实数，虽然|a|>|b|，但a 与b的方向不确定，不能说a>B．A不正确；同理B错误；D中，a≠b，a可与b共线，故选C．3．两列火车从同一站台沿相反方向开走，走了相同的路程．设两列火车的位移向量分别为a和b，那么下列命题错误的是()A．a与b为平行向量B．a与b为模相等的向量C．a与b为不相等的向量D．a与b为相等的向量[答案] D[解析]由于a和b的大小相等，方向相反，所以|a|＝|b|，且a∥B．4．若向量a与b不相等，则a与b()A．不共线B．长度不相等C ．不可能都是单位向量D ．不可能都是零向量 [答案] D[解析] 若a ＝b ＝0，则a ＝B ．5．把平面上一切单位向量归结到共同的始点，那么这些向量的终点所组成的图形是( )A ．一条线段B ．一段圆弧C ．圆上一群孤立点D ．一个圆[答案] D[解析] 单位向量长度是一个单位，但方向任意，当把单位向量归结到同一个始点，其终点构成一个圆，即半径为1的圆．故选D ．6．如图，在菱形ABCD 中，∠DAB ＝120°，则以下说法错误的是( )A ．与向量AB →相等的向量只有一个(不含AB →) B ．与向量AB →的模相等的向量有9个(不含AB →) C ．BD →的模恰为DA →的模的3倍 D ．CB →与DA →不共线 [答案] D[解析] 由有关概念逐一验证知，选项A ，B ，C 正确．二、填空题7．如图，在平行四边形ABCD 中，与AB →共线的向量是________，与AB →相等的向量是________．[答案] BA →，DC →，CD → DC →8．在四边形ABCD 中，AB →＝DC →，且|AB →|＝|AD →|，则四边形ABCD 为________． [答案] 菱形[解析] ∵AB →＝DC →，∴四边形ABCD 为平行四边形．又∵|AB →|＝|AD →|，∴平行四边形ABCD 为菱形．三、解答题9．“小鹰”号航空母舰导弹发射处接到命令：向1200km 处发射两枚战斧式巡航导弹(精度10m 左右，射程超过2000km)．试问：导弹是否能击中军事目标？[解析] 由于只给出了发射的路程(即量的大小)，没有给出发射的方向(即量的方向)，故导弹无法击中军事目标．10．如图所示，在四边形ABCD 中，AB →＝DC →，N ，M 分别是AD ，BC 上的点，且CN →＝MA →.求证：DN →＝MB →.[证明] ∵AB →＝DC →， ∴|AB →|＝|DC →|且AB ∥CD ． ∴四边形ABCD 是平行四边形． ∴|DA →|＝|CB →|，且DA ∥CB ．又∵DA →与CB →方向相同，∴CB →＝DA →. ∵CN →＝MA →，∴|CN →|＝|MA →|且CN ∥MA ． ∴四边形CNAM 是平行四边形． ∴|CM →|＝|NA →|，且CM ∥NA ．又CM →与NA →方向相同， ∴CM →＝NA →，∴MB →＝DN →.一、选择题1．已知A ＝{与a 共线的向量}，B ＝{与a 长度相等的向量}，C ＝{与a 长度相等，方向相反的向量}，其中a 为非零向量，则下列命题错误的是( )A ．C AB ．A ∩B ＝{a }C ．C BD ．A ∩B{a }[答案] B[解析] 因为A ∩B 是由与a 共线且与a 的模相等的向量构成的集合，即由与a 的模相等且方向相同或相反的向量构成的集合，所以A ∩B ＝{a }是错误的．2．下列说法正确的是( )A ．向量AB →与CD →是共线向量，则AB →所在直线平行于CD →所在的直线 B ．向量a 与b 平行，则a 与b 的方向相同或相反 C ．向量AB →的长度与向量BA →的长度相等 D ．单位向量都相等 [答案] C[解析] 对于A ，考查的是有向线段共线与向量共线的区别．事实上，有向线段共线要求线段必须在同一直线上．而向量共线时，表示向量的有向线段可以是平行的，不一定在同一直线上；对于B ，由于零向量与任一向量平行，因此若a ，b 中有一个为零向量，其方向是不确定的；对于C ；向量AB →与BA →方向相反，但长度相等；对于D ，需要强调的是，单位向量不仅仅指的是长度，还有方向，而向量相等不仅仅需要长度相等而且还要求方向相同．故选C ．二、填空题3．若A 地位于B 地正西方向5km 处，C 地位于A 地正北方向5km 处，则C 地相对于B 地的位移是________．[答案] 西北方向52km[解析] 如图，|BA →|＝5km ，|AC →|＝5km ，则C 地相对于B 地的位移的大小为|BC →|＝52km ，方向为北偏西45°，即西北方向．4．下列命题正确的是________． (1)零向量没有方向； (2)单位向量都相等； (3)向量就是有向线段；(4)两相等向量若其起点相同，则终点也相同； (5)若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c ；(6)若四边形ABCD 是平行四边形，则AB →＝DC →，BC →＝DA →. [答案] (4)(5)[解析] (1)该命题不正确，零向量不是没有方向，只是方向不定； (2)该命题不正确，单位向量只是模均为单位长度1，而对方向没要求；(3)该命题不正确，有向线段只是向量的一种表示形式，但不能把两者等同起来； (4)该命题正确，因两相等向量的模相等，方向相同，故当它们的起点相同时，其终点必重合；(5)该命题正确．由向量相等的定义知，a 与b 的模相等，b 与c 的模相等，从而a 与c 的模相等；又a 与b 的方向相同，b 与c 的方向相同，从而a 与c 的方向也必相同，故a ＝c ；(6)该命题不正确．显然有AB →＝DC →，但BC →≠DA →. 三、解答题5．在四边形ABCD 中，AB →＝DC →，N ，M 分别是AD ，BC 上的点，且CN →＝MA →，证明：四边形DNBM 是平行四边形．[证明] ∵AB →＝DC →，∴四边形ABCD 为平行四边形， ∴AD ，BC 平行且相等．又∵CN →＝MA →，∴四边形CNAM 为平行四边形， ∴AN ，MC 平行且相等，∴AD －AN ＝BC －MC ，即DN ＝MB ，∴DN ，MB 平行且相等， ∴四边形DNBM 是平行四边形．6．一个人从A 点出发沿东北方向走了100m 到达B 点，然后改变方向，沿南偏东15°方向又走了100m 到达C 点，求此人从C 点走回A 点的位移．[解析] 如图所示，|AB →|＝100m ，|BC →|＝100m ，∠ABC ＝45°＋15°＝60°， ∴△ABC 为正三角形，∴|CA →|＝100m ，即此人从C 点返回A 点所走的路程为100m. ∵∠BAC ＝60°，∴∠CAD ＝∠BAC －∠BAD ＝15°，即此人行走的方向为西偏北15°.故此人从C 点走回A 点的位移为沿西偏北15°方向100m.7．如图，O 为正方形ABCD 对角线的交点，四边形OAED ，OCFB 都是正方形，在图中所示的向量中：求：(1)写出相等的向量； (2)与AO →共线的向量； (3)模相等的向量；(4)AO →与CO →是否为相等向量．[解析] (1)AO →＝BF →，BO →＝AE →，DO →＝CF →，DE →＝CO →. (2)与AO →共线的向量为：BF →，CO →，DE →.(3)|AO →|＝|CO →|＝|DO →|＝|BO →|＝|BF →|＝|CF →|＝|AE →|＝|DE →|. (4)AO →与CO →不相等．。

2019-2020学年高中数学北师大版必修4同步单元小题巧练：(10)从位移、速度、力到向量

同步单元小题巧练（10）从位移、速度、力到向量1、下列物理量:①质量;②速度;③位移;④力;⑤加速度;⑥路程;⑦密度;⑧功.其中不是向量的有( )A.1个B.2个C.3个D.4个2、若向量与是两个不平行的向量, 且,则等于( )a b //a c //b c c A. B. C. D.不存在这样的向量0 a b c3、下列对向量表述正确的是( )A.向量就是有向线段B.向量就是物理学中的矢量C.向量就是有方向的量D.向量是既有大小又有方向的量4、下列关于零向量,正确的说法是( ).A.零向量没有方向B.零向量没有长度C.零向量等同于实数中的零D.零向量和任意向量共线5、如图所示, 是正方形的中心,则向量是( )O ABCD ,,,AO BO OC ODA.相等向量B.模相等的向量C.同起点的向量D.平行向量6、下列说法:①单位向量都平行;②零向量与任意向量都平行;③0是唯一没有方向的向量.其中正确的是( )A.②B.①③C.②③D.①7、下列命题中,正确的是( )A. 11a a =⇒=± B. 且ab = a b a b⇒= A C. a b a b=⇒ A D. 00a a ⇒= A 8、设、都是非零向量,下列四个条件中,使成立的充分条件是( )ab a b a b= A. a b=- B. a bA C. 2a b= D. 且a b A a b= 9、若向量与向量不相等,则与一定( )a b a b A.不共线 B.长度不相等C.不都是单位向量D.不都是零向量10、下列四个命题:(1)时间、速度都是向量;(2)向量的模是正实数;(3)单位向量都相等;(4)共线向量一定在同一直线上.其中真命题的个数是( )A.0B.1C.2D.311、下列命题中假命题的序号是__________.①单位向量都相等;②任一向量与它的相反向量相等;③若四边形是平行四边形,则;ABCD AB DC = ④与共线, 与共线,则与也共线.a b b c a c 12、下列是向量的有__________.(填写序号)①速度;②体重;③力;④距离;⑤长度13、下列命题中正确的是__________.①向量与是共线向量,则、、、四点必在一条直线上;AB CD A B C D ②单位向量都相等;③任一向量与它的相反向量不相等;④一个向量方向不确定,当且仅当模为.014、把平面上所有单位向量归结到共同的起点,那么这些向量的终点所构成的图形为__________.15、实数与向量实数只有大小之分,因此任意两个实数之间可以比较大小;向量不仅要考虑大小,还要考虑方向,而方向是__________比较大小的,所以向量是不能比较大小的.两个向量的模(长度)是__________比较大小的.答案以及解析1答案及解析：答案：D解析：由于速度、位移、力、加速度都是由大小和方向确定的,所以是向量.而质量、路程、密度、功只有大小而没有方向,所以不是向量.故选D.2答案及解析：答案：A解析：∵零向量与任一向量共线，又∵不平行，∴,a b 0c3答案及解析：答案：D解析：有向线段只是向量表示的一种形式,但向量不是有向线段,矢量是向量中的一部分,向量是既有大小又有方向的量.故选D 项.4答案及解析：答案：D解析：零向量既有大小,又有方向,实数零只是数量,没有方向,并规定零向量与任一向量共线,所以选 D 项.5答案及解析：答案：B解析：向量的模都相等,但起点和终点都不尽相同.,,,AO BO OC OD6答案及解析：答案：A解析：①错误,长度等于1个单位长度的向量叫作单位向量,单位向量有无数多个且每个都有确定的方向,故单位向量不一定都平行;②正确,零向量的方向是任意的,故零向量与任意向量都平行;③错误,0有方向,只不过它的方向是任意的. 故只有②正确,选A.7答案及解析：答案：C解析：选C.两共线向量的模相等,但两向量不一定相等,0与任一向量平行8答案及解析：答案：C解析：对于A,应注意到当时, ;a b =- a b a b≠ 对于B,注意到当时, 与可能不相等;a b A a a b b 对于C,当时, ;2a b = a b a b= 对于D,当且时,可能有,此时.a b A a b = a b =- a b a b≠ 综上所述,使成立的充分条件是,故选C.a b a b= 2a b =9答案及解析：答案：D解析：若向量与向量不相等,则说明向量与向量的方向或长度至少有一个不同,所以a b a b 与有可能共线,有可能长度相等,也可能都是单位向量,故A,B,C 都错误,但与一定不a b a b 都是零向量.10答案及解析：答案：A解析：11答案及解析：答案：①②④解析：①不正确.单位向量的模均相等且为,但方向并不确定.②不正确.方向相同,长度相等1的向量相等.③正确.④由于零向量与任一向量都共线,所以④不正确.12答案及解析：答案：①③解析：速度、力不仅有大小,还有方向,是向量;体重、距离、长度都只有大小,不是向量.13答案及解析：答案：④解析：向量与是共线向量指的是这两个向量方向相同或相反, 、、、四AB CD A B C D 点未必在一条直线上;单位向量指的是长度都是的向量,方向未必相同,不一定是相等向量;1向量与它的相反向量相等.0014答案及解析：答案：圆解析：把平面上所有单位向量归结到共同的起点,那么这些向量的终点都在以该起点为圆心, 1为半径的圆上.15答案及解析：答案：不能; 可以解析：。

高中数学12从位移、速度、力到向量;从位移的合成到向量的加法练习(含解析)北师大版必修4

12 从位移、速度、力到向量；从位移的合成到向量的加法时间：45分钟满分：80分班级________ 姓名________ 分数________一、选择题：(每小题5分，共5×6＝30分)1．给出下列四个命题:①时间、速度、距离都是向量;②向量的模是一个正实数;③所有的单位向量都相等；④共线向量一定在同一直线上．其中正确的命题有( ) A．3个 B．2个C．1个 D．0个答案：D解析：时间、距离不是向量；向量的模可以是0;单位向量的模相等，方向不一定相同；平行向量也叫做共线向量，可以不在同一直线上．所以四个命题都不正确．2．设O是△ABC的外心，则错误!,错误!,错误!是（）A．相等向量 B．模相等的向量C．平行向量 D．起点相同的向量答案：B解析:∵三角形的外心是三角形外接圆的圆心,∴点O到三个顶点A,B，C的距离相等，∴错误!，错误!，错误!是模相等的向量．3．如图,正六边形ABCDEF中,错误!＋错误!＋错误!＝( )A．0 B.错误!C.错误! D。

错误!答案:D解析：错误!＋错误!＋错误!＝错误!＋错误!＋错误!＝错误!＋错误!＝错误!,所以选D。

4．已知平行四边形ABCD，设错误!＋错误!＋错误!＋错误!＝a，且b是一非零向量,则下列结论：①a∥b；②a＋b＝a；③a＋b＝b；④｜a＋b｜<｜a|＋|b｜。

其中正确的是（) A．①③ B．②③C．②④ D．①②答案:A解析：∵在平行四边形ABCD中,错误!＋错误!＝0，错误!＋错误!＝0,∴a为零向量,∵零向量和任意向量都平行，零向量和任意向量的和等于这个向量本身，∴①③正确,②④错误．5．如图所示的方格纸中有定点O,P,Q，E,F，G，H，则错误!＋错误!＝( )A。

错误! B。

错误!C.错误!D.错误!答案:C解析：设a＝错误!＋错误!，利用平行四边形法则作出向量错误!＋错误!，再平移即发现a ＝错误!.6．设非零向量a，b，c，若p＝错误!＋错误!＋错误!，则|p|的取值范围为（)A．[0，1] B．[0，2]C．［0,3] D．［1,2］答案：C解析：因为错误!，错误!，错误!是三个单位向量，因此当三个向量同向时,|p|取最大值3。

已用从位移、速度、力到向量 同步练习(一)北师大版必修四

高中数学必修四北师大版 从位移、速度、力到向量1 课时作业 含答案