(江苏专用)2020版高考数学二轮复习微专题十二直线与椭圆的位置关系练习(无答案)苏教版

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高考数学母题解密专题18 直线与椭圆的位置关系(江苏专版)

专题18 直线与椭圆的位置关系【母题来源一】【2020年高考江苏卷】在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22:143x y E +=的左、右焦点分别为F 1，F 2，点A 在椭圆E 上且在第一象限内，AF 2⊥F 1F 2，直线AF 1与椭圆E 相交于另一点B ．（1）求△AF 1F 2的周长；（2）在x 轴上任取一点P ，直线AP 与椭圆E 的右准线相交于点Q ，求OP QP ⋅的最小值；（3）设点M 在椭圆E 上，记△OAB 与△MAB 的面积分别为S 1，S 2，若S 2=3S 1，求点M 的坐标．【母题来源二】【2019年高考江苏卷】如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C :22221(0)x y a b a b+=>>的焦点为F 1（–1、0），F 2（1，0）．过F 2作x 轴的垂线l ，在x 轴的上方，l 与圆F 2:222(1)4x y a -+=交于点A ，与椭圆C 交于点D .连结AF 1并延长交圆F 2于点B ，连结BF 2交椭圆C 于点E ，连结DF 1．已知DF 1=52．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）求点E 的坐标．【母题来源三】【2018年高考江苏卷】如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 过点1)2，焦点12(F F ，圆O 的直径为12F F ．（1）求椭圆C 及圆O 的方程；（2）设直线l 与圆O 相切于第一象限内的点P ．①若直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，求点P 的坐标；②直线l 与椭圆C 交于,A B 两点．若OAB △，求直线l 的方程．【命题意图】（1）了解椭圆的实际背景，了解椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用. （2）掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单性质. （3）了解圆锥曲线的简单应用. （4）理解数形结合的思想. 【命题规律】解析几何的解答题一般难度较大，多为试卷的压轴题之一，常考查直线与圆锥曲线的位置关系及最值范围、定点、定值、存在性问题及证明问题，多涉及最值求法，综合性强.从近三年高考情况来看，均考查直线与椭圆的位置关系，常与向量、圆等知识相结合，解题时，充分利用数形结合思想，转化与化归思想．同时注重数学思想在解题中的指导作用，以及注重对运算能力的培养. 【方法总结】（一）求椭圆的方程有两种方法:（1）定义法.根据椭圆的定义，确定a 2，b 2的值，结合焦点位置可写出椭圆方程. （2）待定系数法.这种方法是求椭圆的方程的常用方法，其一般步骤是：第一步，做判断.根据条件判断椭圆的焦点在x 轴上，还是在y 轴上，还是两个坐标轴都有可能（这时需要分类讨论）.第二步，设方程.根据上述判断设方程为22221(0)x y a b a b +=>>或22221(0)y x a b a b+=>>. 第三步，找关系.根据已知条件，建立关于,,a b c 的方程组（注意椭圆中固有的等式关系222c a b =－）.第四步，得椭圆方程.解方程组，将解代入所设方程，即为所求.【注意】用待定系数法求椭圆的方程时，要“先定型，再定量”，不能确定焦点的位置时，可进行分类讨论或把椭圆的方程设为22100()mx ny m n m n >>+≠＝，且. （二）椭圆的几何性质及应用：（1）与几何性质有关的问题要结合图形进行分析，即使不画出图形，思考时也要联想到图形.理解顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量之间的关系，深挖出它们之间的联系，求解自然就不难了.（2）椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率（或离心率的取值范围）有两种方法：①求出a ,c ，代入公式ce a=.②只需要根据一个条件得到关于,,a b c 的齐次式，结合222b a c =－转化为a ,c 的齐次式，然后等式（不等式）两边分别除以a 或a 2转化为关于e 或e 2的方程（不等式），解方程（不等式）即可得e （e 的取值范围）. （三）直线与圆锥曲线的弦长问题：（1）过圆锥曲线的焦点的弦长问题，利用圆锥曲线的定义可优化解题．（2）将直线的方程与圆锥曲线的方程联立，求出两交点的坐标，再运用两点间距离公式求弦长．（3）当直线的斜率存在时，斜率为k 的直线l 与圆锥曲线C 相交于1122(,),(,)A x y B x y 两个不同的点，则弦长1212||(0)AB x x y y k =-=-≠. （4）当弦过焦点时，可结合焦半径公式求解弦长.（5）中点弦问题：AB 为椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的弦，1122(,),(,)A x y B x y ，弦中点M (x 0，y 0)，则AB 所在直线的斜率为2020b x k a y =-，弦AB 的斜率与弦中点M 和椭圆中心O 的连线的斜率之积为定值22b a-.（四）圆锥曲线中的定点、定值问题定点、定值问题多以直线与圆锥曲线为背景，常与函数与方程、向量等知识交汇，形成了过定点、定值等问题的证明.解决此类问题的关键是引进参变量表示所求问题，根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量.可以先研究一下特殊情况，找出定点或定值，再视具体情况进行研究.同时，也要掌握巧妙利用特殊值解决相关的定点、定值问题，如将过焦点的弦特殊化，变成垂直于对称轴的弦来研究等.1．已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的右焦点为()23,0F ，离心率为e ．（1）若e =（2）设直线y kx =与椭圆相交于A 、B 两点，M 、N 分别为线段2AF 、2BF 的中点，若坐标原点O 在以MN 为直径的圆上，且22e <≤，求k 的取值范围．2．（江苏省南通市通州区西亭高级中学2020届高三下学期考前热身最后一练）已知点F 是椭圆:E ()222210x y a b a b+=>>的左焦点，椭圆E 的离心率为12，点3(1,)2-在椭圆E 上．（1）求椭圆E 的方程；（2）过点F 的直线交椭圆E 于,P Q 两点，设椭圆E 的左顶点为A ，记直线P A ，QA 的斜率分别为12,k k ． ①求12k k ⋅的值；②过P 作垂直于P A 的直线l 交x 轴于点M ．则A ，P ，M ，Q 四点是否共圆？若共圆，求出该圆的方程；若不共圆，请说明理由．3．（江苏省南京市玄武高级中学2020届高三下学期最后一卷）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>12⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，在椭圆上．若直线l 与椭圆有且只有一个公共点P ，且l 与直线2x =-相交于Q ．（1）求椭圆的方程；（2）当直线l 的斜率为12时，求直线l 的方程；（3）点T 是x 轴上一点，若总有0PT QT ⋅=，求T 点坐标．4．（江苏省2020届高三下学期6月高考押题）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>过点⎛ ⎝⎭，离心率为2．,A B 是椭圆上两点，且直线OA 与OB 的斜率之积为12．（1）求椭圆C 的方程；（2）求直线AB 的斜率；（3）设直线AB 交圆222:O x y a +=于,C D 两点，且AB CD =COD △的面积．5．（江苏省南通市2020届高三下学期第三次调研测试）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的左、右焦点分别为F 1，F 2，过点F 2的直线交椭圆于M ，N 两点．已知椭圆的短轴长为（1）求椭圆的标准方程；（2）当直线MN 11||||F M F N +的值；（3）若以MN 为直径的圆与x 轴相交的右交点为P （t ，0），求实数t 的取值范围．6．（江苏省盐城市滨海县八滩中学2020届高三下学期四模）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的离心率为12，AB 为椭圆的一条弦（不经过原点），直线()0y kx k =>经过弦AB 的中点，与椭圆C 交于P 、Q 两点，设直线AB 的斜率为1k ．（1）若点Q 的坐标为31,2⎛⎫⎪⎝⎭，求椭圆C 的方程；（2）求证：1k k 为定值；（3）过P 作x 轴的垂线，垂足为R ，若直线AB 和直线QR 倾斜角互补，且PQR 的面积为C 的方程．7．（江苏省连云港市赣榆区2020届高三（6月份）高考数学仿真训练）如图，定义：以椭圆中心为圆心，长轴为直径的圆叫做椭圆的“辅助圆”．过椭圆第四象限内一点M 作x 轴的垂线交其“辅助圆”于点N ，当点N 在点M 的下方时，称点N 为点M 的“下辅助点”．已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>上的点(1,2-的下辅助点为(1,1)-．（1）求椭圆E 的方程；（2）若OMN N 的坐标．8．（江苏省南通市2020届高三高考数学2.5模）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆2222:1(0,0)x y C a b a b+=>>短轴的两个顶点与右焦点的连线构成等边三角形，两准线之间．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）直线:(0,0)l y kx m k m =+>≠与椭圆C 交于P ，Q 两点，设直线OP ，OQ 的斜率分别为1k ，2k ．已知212·k k k =． ①求k 的值；②当OPQ △的面积最大时，求直线PQ 的方程．9．（江苏省南京师大附中2020届高三下学期6月高考模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆()2222:10x y a b a b Γ+=>>，其右焦点F 到其右准线的距离为1，，A ，B 分别为椭圆Γ的上、下顶点，过点F 且不与x 轴重合的直线l 与椭圆Γ交于C ，D 两点，与y 轴交于点P ，直线AC 与BD 交于点Q ．（1）求椭圆Γ的标准方程；（2）当CD =l 的方程；（3）求证：OP OQ ⋅为定值．如何学好数学做选择题时注意各种方法的运用，比较简单的自己会的题正常做就可以了，遇到比较复杂的题时，看看能否用做选择题的技巧进行求解（主要有排除法、特殊值代入法、特例求解法、选项一一带入验证法、数形结合法、逻辑推理验证法等等），一般可以综合运用各种方法，达到快速做出选择的效果。

2020版江苏省高考文科数学二轮专题复习直线圆与椭圆的综合运用考点考题考向突破(32页)

第3讲直线圆与椭圆的综合运用[2019考向导航]1．交点、定点、定值问题如果曲线中某些量不依赖于变化元素而存在，则称为定值，探讨定值的问题一般为解答题．求定点、定值的基本方法是：先将变动元素用参数表示，然后计算出所需结果与该参数无关；也可将变动元素置于特殊状态下，探求出定点、定值，然后再予以证明．2．范围、最值问题求解析几何中的有关范围最值问题往往通过类比、联想、转化、合理地构造函数，然后去分析、研究问题，转化问题和解决问题．对于圆锥曲线上一些动点，在变化过程会引入一些相互联系、相互制约的量，从而使一些线段长度构成函数关系，函数思想在处理这类问题时非常有效．圆锥曲线的最值与范围问题的常见求法：(1)几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决；(2)代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立起目标函数，再求这个函数的最值，利用代数法解决最值与范围问题时常从以下五个方面考虑：①利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；②利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是在两个参数之间建立等量关系；③利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；④利用基本不等式求出参数的取值范围；⑤利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围．3．探索性问题存在型探索性问题，是指判断在某些确定条件下的某一数学对象(数值、图形、函数等)不确定的问题．这类问题常常出现“是否存在”“是否有”等形式的疑问句，以示结论有待于确定．解答此类问题的思路是：通常假设题中的数学对象存在(或结论成立)或暂且认可其中一部分的结论，然后在这个前提下进行逻辑推理，若由此导出矛盾，则否定假设；否则，给出肯定结论的证明．即：“假设——推证——定论”是解答此类问题的三个步骤．交点、定点、定值问题[典型例题](2019·高考江苏卷)如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的焦点为F 1(－1，0)，F 2(1，0)．过F 2作x 轴的垂线l ，在x 轴的上方，l 与圆F 2：(x －1)2＋y 2＝4a 2交于点A ，与椭圆C 交于点D ．连接AF 1并延长交圆F 2于点B ，连接BF 2交椭圆C 于点E ，连接DF 1．已知DF 1＝52．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)求点E 的坐标．【解】 (1)设椭圆C 的焦距为2c ．因为F 1(－1，0)，F 2(1，0)，所以F 1F 2＝2，c ＝1．又因为DF 1＝52，AF 2⊥x 轴，所以DF 2＝DF 21－F 1F 22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫522－22＝32．因此2a ＝DF 1＋DF 2＝4，从而a ＝2．由b 2＝a 2－c 2，得b 2＝3．因此，椭圆C 的标准方程为x 24＋y 23＝1．(2)法一：由(1)知，椭圆C ：x 24＋y 23＝1，a ＝2．因为AF 2⊥x 轴，所以点A 的横坐标为1．将x ＝1代入圆F 2的方程(x －1)2＋y 2＝16，解得y ＝±4．因为点A 在x 轴上方，所以A (1，4)．又F 1(－1，0)，所以直线AF 1：y ＝2x ＋2．由⎩⎨⎧y ＝2x ＋2，（x －1）2＋y 2＝16，得5x 2＋6x －11＝0，解得x ＝1或x ＝－115．将x ＝－115代入y ＝2x ＋2，得y ＝－125．因此B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－115，－125．又F 2(1，0)，所以直线BF 2：y ＝34(x －1)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝34（x －1），x 24＋y 23＝1，得7x 2－6x －13＝0，解得x ＝－1或x ＝137．又因为E 是线段BF 2与椭圆的交点，所以x ＝－1．将x ＝－1代入y ＝34(x －1)，得y ＝－32．因此E ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－32．法二：由(1)知，椭圆C ：x 24＋y 23＝1．如图，连接EF 1．因为BF 2＝2a ，EF 1＋EF 2＝2a ，所以EF 1＝EB ，从而∠BF 1E ＝∠B ．因为F 2A ＝F 2B ，所以∠A ＝∠B ．所以∠A ＝∠BF 1E ，从而EF 1∥F 2A ．因为AF 2⊥x 轴，所以EF 1⊥x 轴．因为F 1(－1，0)，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，x 24＋y 23＝1，得y ＝±32．又因为E 是线段BF 2与椭圆的交点，所以y ＝－32．因此E ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－32．(1)求定值问题常见的方法有两种：①从特殊入手，求出表达式，再证明这个值与变量无关；②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．(2)解析几何中证明直线过定点，一般是先选择一个参数建立直线系方程，然后根据直线系方程过定点时方程成立与参数没有关系，得到一个关于x ，y 的方程组，以这个方程组的解为坐标的点就是直线所过的定点．当定点具备一定的限制条件时，可特殊对待．[对点训练]1．(2019·苏州市高三调研测试)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32，且过点P (2，－1)．(1)求椭圆C 的方程；(2)如图，设点Q 在椭圆C 上，且PQ 与x 轴平行，过P 点作两条直线分别交椭圆C 于两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，若直线PQ 平分∠APB ，求证：直线AB 的斜率是定值，并求出这个定值．[解] (1)因为椭圆C 的离心率c a ＝32，所以a 2－b 2a 2＝34，即a 2＝4b 2，所以椭圆C 的方程可化为x 2＋4y 2＝4b 2，又椭圆C 过点P (2，－1)，所以4＋4＝4b 2，得b 2＝2，则a 2＝8．所以所求椭圆C 的标准方程为x 28＋y 22＝1．(2)由题意，设直线P A 的方程为y ＋1＝k (x －2)，联立方程得⎩⎨⎧x 2＋4y 2＝8，y ＝k （x －2）－1，消去y 得：(1＋4k 2)x 2－8(2k 2＋k )x ＋16k 2＋16k －4＝0．所以2x 1＝16k 2＋16k －41＋4k 2，即x 1＝8k 2＋8k －21＋4k 2．因为直线PQ 平分∠APB ，即直线P A 与直线PB 的斜率互为相反数，设直线PB 的方程为y ＋1＝－k (x －2)，同理求得x 2＝8k 2－8k －21＋4k 2．又⎩⎨⎧y 1＋1＝k （x 1－2），y 2＋1＝－k （x 2－2），所以y 1－y 2＝k (x 1＋x 2)－4k ．即y 1－y 2＝k (x 1＋x 2)－4k ＝k16k 2－41＋4k 2－4k ＝－8k 1＋4k 2，x 1－x 2＝16k1＋4k 2．所以直线AB 的斜率为k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－8k1＋4k 216k 1＋4k 2＝－12．所以直线AB 的斜率是定值－12．范围、最值问题[典型例题](2019·泰州模拟)如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左顶点为A ，与x 轴平行的直线与椭圆E 交于B 、C 两点，过B 、C 两点且分别与直线AB 、AC 垂直的直线相交于点D ．已知椭圆E 的离心率为53，右焦点到右准线的距离为455．(1)求椭圆E 的标准方程；(2)证明点D 在一条定直线上运动，并求出该直线的方程；(3)求△BCD 面积的最大值．【解】 (1)由题意得c a ＝53，a 2c －c ＝455，解得a ＝3，c ＝5，所以b ＝a 2－c 2＝2，所以椭圆E 的标准方程为x 29＋y 24＝1．(2)设B (x 0，y 0)，C (－x 0，y 0)，显然直线AB ，AC ，BD ，CD 的斜率都存在，设为k 1，k 2，k 3，k 4，则k 1＝y 0x 0＋3，k 2＝y 0－x 0＋3，k 3＝－x 0＋3y 0，k 4＝x 0－3y 0，所以直线BD ，CD 的方程为y ＝－x 0＋3y 0(x －x 0)＋y 0， y ＝x 0－3y 0(x ＋x 0)＋y 0，消去y 得－x 0＋3y 0(x －x 0)＋y 0＝x 0－3y 0(x ＋x 0)＋y 0，化简得x ＝3，故点D 在定直线x ＝3上运动．(3)由(2)得点D 的纵坐标为y D ＝x 0－3y 0(3＋x 0)＋y 0，又x 209＋y 204＝1，所以x 20－9＝－9y 204，则y D ＝x 0－3y 0(3＋x 0)＋y 0＝－94y 20y 0＋y 0＝－54y 0，所以点D 到直线BC 的距离h 为|y D －y 0|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－54y 0－y 0＝94|y 0|，将y ＝y 0代入x 29＋y 24＝1得x ＝±31－y 204，即BC ＝61－y 204，所以△BCD 面积S △BCD ＝12BC ·h ＝12×61－y 204·94|y 0|＝272 1－y 204·12|y 0|≤272·1－y 204＋y 2042＝274，当且仅当1－y 204＝y 204，即y 0＝±2时等号成立，故y 0＝±2时，△BCD 面积的最大值为274．求范围最常见的解法有两种：代数法和几何法．若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立起目标函数，再求范围．求范围常用方法有配方法，判别式法，基本不等式法及函数的单调性法，这种方法称为代数法．若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决，这就是几何法．[对点训练]2．(2019·南京市四校联考)已知椭圆C ：x 24＋y 2b ＝1(0<b <4)的左、右顶点分别为A 、B ，M 为椭圆C 上异于A 、B 的任意一点，A 关于M 的对称点为P ．(1)若M 的横坐标为12，且点P 在椭圆的右准线上，求b 的值；(2)若以PM 为直径的圆恰好经过坐标原点O ，求b 的取值范围．[解] (1)因为M 是AP 的中点，x M ＝12，x A ＝－2，所以x P ＝3．因为P 在椭圆的右准线上，所以44－b ＝3，解得b ＝209． (2)设点P 的坐标为(x 0，y 0)，点M 的坐标为(x 1，y 1)，因为P 关于M 的对称点为A ，所以x 0－22＝x 1，y 02＝y 1，即x 0＝2x 1＋2，y 0＝2y 1．因为以PM 为直径的圆恰好经过坐标原点O ，所以OM ⊥OP ，所以OM →·OP →＝0，即x 0x 1＋y 0y 1＝0，所以(2x 1＋2)x 1＋2y 21＝0，即y 21＝－x 21－x 1．又点M 在椭圆x 24＋y 2b ＝1(0<b <4)上，所以x 214＋y 21b ＝1，即b ＝y 211－x 214＝4y 214－x 21，所以b ＝4×x 21＋x 1x 21－4＝4(1＋x 1＋4x 21－4)＝4[1＋x 1＋4（x 1＋4）2－8（x 1＋4）＋12] ＝4[1＋1（x 1＋4）＋12x 1＋4－8]，因为－2<x 1<2，所以2<x 1＋4<6，所以43≤x 1＋4＋12x 1＋4<8，所以1（x 1＋4）＋12x 1＋4－8≤143－8，即1（x 1＋4）＋12x 1＋4－8∈(－∞，143－8]，所以b ∈(－∞，4(1＋143－8)]，即b ∈(－∞，2－3]．又0<b <4，所以b ∈(0，2－3]．探索性问题 [典型例题](2019·苏州模拟)如图，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左顶点与上顶点分别为A ，B ，右焦点为F ，点P 在椭圆C 上，且PF ⊥x 轴，若AB ∥OP ，且|AB |＝23．(1)求椭圆C 的方程；(2)Q 是椭圆C 上不同于长轴端点的任意一点，在x 轴上是否存在一点D ，使得直线QA 与QD 的斜率乘积恒为定值？若存在，求出点D 的坐标；若不存在，说明理由．【解】 (1)由题意得A (－a ，0)，B (0，b )，可设P (c ，t )(t >0)，所以c 2a 2＋t 2b 2＝1，解得t ＝b 2a ，即P ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，b 2a ，由AB ∥OP 得b a ＝b 2ac ，即b ＝c ，所以a 2＝b 2＋c 2＝2b 2，① 又AB ＝23，所以a 2＋b 2＝12，②由①②得a 2＝8，b 2＝4，所以椭圆C 的方程为x 28＋y 24＝1．(2)假设存在D (m ，0)使得直线QA 与QD 的斜率乘积恒为定值，设Q (x 0，y 0)(y 0≠0)，则x 208＋y 204＝1，③设k QA ×k QD ＝k (常数)，因为A (－22，0)，所以y 0x 0＋22×y 0x 0－m ＝k ，④由③得y 20＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 208，⑤将⑤代入④，得k ＝8－x 202[x 20＋（22－m ）x 0－22m ]．所以⎩⎨⎧22－m ＝0，22m ＝8，所以m ＝22，k ＝－12，所以存在点D (22，0)，使得k QA ×k QD ＝－12．解答探索性问题，需要正确辨别题型，分析命题的结构特征，选择解题的突破口，寻找出最优的解题思路．解析几何中的探索性问题，从类型上看，主要是存在类型，解决问题一般是根据条件进行演绎推理．解答时，不但需要熟练掌握圆锥曲线的概念和性质、方程和不等式等各项知识，还要具备较强的审题能力、逻辑思维能力和运算能力以及善于运用数形结合的思想方法分析问题、解决问题的能力．[对点训练]3．(2019·常州市期末)在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率e ＝12，直线l ：x －my －1＝0(m ∈R )过椭圆C 的右焦点F ，且交椭圆C 于A ，B 两点．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)已知点D ⎝ ⎛⎭⎪⎫52，0，连结BD ，过点A 作垂直于y 轴的直线l 1，设直线l 1与直线BD 交于点P ，试探索当m 变化时，是否存在一条定直线l 2，使得点P 恒在直线l 2上？若存在，请求出直线l 2的方程；若不存在，请说明理由．[解] (1)由题设，得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝1，c a ＝12，解得⎩⎨⎧c ＝1，a ＝2，从而b 2＝a 2－c 2＝3，所以椭圆C 的标准方程为x 24＋y 23＝1．(2)令m ＝0，则A ⎝⎛⎭⎪⎫1，32，B ⎝⎛⎭⎪⎫1，－32或者A ⎝⎛⎭⎪⎫1，－32，B ⎝⎛⎭⎪⎫1，32．当A ⎝⎛⎭⎪⎫1，32，B ⎝⎛⎭⎪⎫1，－32时，P ⎝⎛⎭⎪⎫4，32；当A ⎝⎛⎭⎪⎫1，－32，B ⎝⎛⎭⎪⎫1，32时，P ⎝⎛⎭⎪⎫4，－32，所以，满足题意的定直线l 2只能是x ＝4．下面证明点P 恒在直线x ＝4上．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由于P A 垂直于y 轴，所以点P 的纵坐标为y 1，从而只要证明P (4，y 1)在直线BD 上．由⎩⎪⎨⎪⎧x －my －1＝0，x 24＋y 23＝1，得(4＋3m 2)y 2＋6my －9＝0，因为Δ＝144(1＋m 2)＞0，所以y 1＋y 2＝－6m4＋3m 2，y 1y 2＝－94＋3m2．①因为k DB －k DP ＝y 2－0x 2－52－y 1－04－52＝y 2my 2＋1－52－y 132＝32y 2－y 1⎝ ⎛⎭⎪⎫my 2－3232⎝ ⎛⎭⎪⎫my 2－32＝y 1＋y 2－23my 1y 2my 2－32， ①式代入上式，得k DB －k DP ＝0，所以k DB ＝k DP ．所以点P (4，y 1)恒在直线BD 上，从而直线l 1、直线BD 与直线l 2：x ＝4三线恒过同一点P ，所以存在一条定直线l 2：x ＝4使得点P 恒在直线l 2上．[基础达标]1．方程x 2k ＋1＋y 2k －5＝1表示双曲线的充要条件是k ∈________．[解析] 易知k ＋1≠k －5．由条件得(k ＋1)(k －5)<0，解得－1<k <5． [答案] (－1，5)2．(2019·江苏名校联考)若双曲线x 24－y 212＝1的左焦点为F ，点P 是双曲线右支上的动点，A (1，4)，则|PF |＋|P A |的最小值是________．[解析] 由题意知，双曲线x 24－y 212＝1的左焦点F 的坐标为(－4，0)，设双曲线的右焦点为B ，则B (4，0)，由双曲线的定义知，|PF|＋|P A|＝4＋|PB|＋|P A|≥4＋|AB|＝4＋（4－1）2＋（0－4）2＝4＋5＝9，当且仅当A，P，B三点共线且P在A，B之间时取等号．[答案] 93．(2019·江苏名校高三入学摸底)若直线l：y＝k(x－1)与圆C：x2＋y2＋2x－4y＋1＝0交于A、B两点，且△ABC为等边三角形，则实数k的值为________．[解析] 将圆C的方程化为标准方程得(x＋1)2＋(y－2)2＝4，所以圆心C(－1，2)，半径r＝2，又由题意可知|AB|＝2，所以圆心C到直线l的距离为22－12＝3，所以|－2k－2|k2＋（－1）2＝3，即k2＋8k＋1＝0，解得k＝－4－15或k＝－4＋15．[答案] －4±154．(2019·南京、盐城高三模拟)过点P(－4，0)的直线l与圆C：(x－1)2＋y2＝5相交于A，B两点，若点A恰好是线段PB的中点，则直线l的方程为________．[解析] 根据题意，由于(－4－1)2>5，所以点P在圆C外，过圆心C作CM⊥AB于M，连结AC．易知直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝k(x＋4)，即kx－y＋4k＝0，则|CM|＝|k＋4k|k2＋1＝|5k|k2＋1，|AM |＝5－（|5k |k 2＋1）2＝5－20k 2k 2＋1．又点A 恰好是线段PB 的中点，所以|PM |＝3|AM |，在Rt △PMC 中，|CM |2＋|PM |2＝|PC |2，即25k 2k 2＋1＋45－180k 2k 2＋1＝25，得180k 2＝20，即k ＝±13，故直线l 的方程为x ±3y ＋4＝0．[答案] x ±3y ＋4＝05．(2019·河北邯郸模拟改编)椭圆x 212＋y 23＝1的焦点为F 1，F 2，点P 在椭圆上，如果线段PF 2的中点在y 轴上，那么PF 2是PF 1的________倍．[解析] 设线段PF 2的中点为D ，则OD ＝12PF 1，OD ∥PF 1，OD ⊥x 轴，所以PF 1⊥x 轴．所以PF 1＝b 2a ＝323＝32．又因为PF 1＋PF 2＝43，所以PF 2＝43－32＝732．所以PF 2是PF 1的7倍． [答案] 76．(2019·广州调研改编)已知椭圆C ：x 24＋y 23＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，椭圆C 上点A 满足AF 2⊥F 1F 2．若点P 是椭圆C 上的动点，则F 1P →·F 2A →的最大值为________．[解析] 设向量F 1P →，F 2A →的夹角为θ．由条件知AF 2为椭圆通径的一半，即AF 2＝b 2a ＝32，则F 1P →·F 2A →＝32|F 1P →|·cos θ，于是F 1P →·F 2A →要取得最大值，只需F 1P →在向量F 2A →上的投影值最大，易知此时点P 在椭圆短轴的上顶点，所以F 1P →·F 2A →＝32|F 1P →|cos θ≤332．[答案] 3327．在平面直角坐标系xOy 中，P 为双曲线x 2－y 2＝1右支上的一个动点，若点P 到直线x －y ＋1＝0的距离大于c 恒成立，则实数c 的最大值为________．[解析] 所求的c 的最大值就是双曲线的一条渐近线x －y ＝0与直线x －y ＋1＝0的距离，此距离d ＝12＝22．[答案] 228．椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点F (c ，0)关于直线y ＝bc x 的对称点Q 在椭圆上，则椭圆的离心率是________．[解析] 设椭圆的另一个焦点为F 1(－c ，0)，如图，连结QF 1，QF ，设QF 与直线y ＝bc x 交于点M ．由题意知M 为线段QF 的中点，且OM ⊥FQ ，又O 为线段F 1F 的中点，所以F 1Q ∥OM ，所以F 1Q ⊥QF ，F 1Q ＝2OM ．在Rt △MOF 中，tan ∠MOF ＝MF OM ＝bc ，|OF |＝c ，可解得OM ＝c 2a ，MF ＝bca ，故QF ＝2MF ＝2bc a ，QF 1＝2OM ＝2c 2a ．由椭圆的定义得QF ＋QF 1＝2bc a ＋2c 2a ＝2a ，整理得b ＝c ，所以a ＝b 2＋c 2＝2c ，故e ＝c a ＝22． [答案] 229．(2019·江苏高考命题研究专家原创卷)已知斜率为22的直线l 与椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)交于不同的两点，且这两个交点在x 轴上的射影恰好是椭圆的两个焦点，则该椭圆的离心率为________．[解析] 由题意知，直线l 过原点，且与椭圆的两个交点的横坐标分别为－c ，c ，所以两个交点的坐标分别为(－c ，－22c )，(c ，22c )，代入椭圆方程得c 2a 2＋c 22b 2＝1，整理得c 2(a 2＋2b 2)＝2a 2b 2，因为b 2＝a 2－c 2，所以c 2(3a 2－2c 2)＝2a 4－2a 2c 2，即2a 4－5a 2c 2＋2c 4＝0，即2e 4－5e 2＋2＝0，解得e 2＝2或e 2＝12，又0<e <1，所以e ＝22．[答案] 2210．若对于给定的正实数k ，函数f (x )＝kx 的图象上总存在点C ，使得以C 为圆心、1为半径的圆上有两个不同的点到原点O 的距离为2，则k 的取值范围是________．[解析] 设C ⎝ ⎛⎭⎪⎫t ，k t (t ≠0)，故圆C ：(x －t )2＋(y －k t )2＝1，原题等价于∃t ∈R ，t ≠0，圆C ：(x －t )2＋(y －k t )2＝1与圆x 2＋y 2＝4相交．又CO 2＝t 2＋k 2t 2，r 1＝2，r 2＝1，所以原题等价于∃t 2>0，1<t 2＋k2t 2<9，即⎩⎨⎧k 2>t 2－t 4，k 2<9t 2－t 4．又t 2－t 4∈⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，14，9t 2－t 4∈⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，814，k 2>0，所以对于任意k ，k 2>t 2－t 4都有解，所以只需k 2<814．又k >0，所以k ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，92． [答案] ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，92 11．(2018·高考江苏卷)如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 过点⎝ ⎛⎭⎪⎫3，12，焦点F 1(－3，0)，F 2(3，0)，圆O 的直径为F 1F 2．(1)求椭圆C 及圆O 的方程；(2)设直线l 与圆O 相切于第一象限内的点P ．①若直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，求点P 的坐标； ②直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点．若△OAB 的面积为267，求直线l 的方程．[解] (1)因为椭圆C 的焦点为F 1(－3，0)，F 2(3，0)，可设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)．又点⎝ ⎛⎭⎪⎫3，12在椭圆C 上，所以⎩⎪⎨⎪⎧3a 2＋14b 2＝1，a 2－b 2＝3，解得⎩⎨⎧a 2＝4，b 2＝1．因此，椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1．因为圆O 的直径为F 1F 2，所以其方程为x 2＋y 2＝3． (2)①设直线l 与圆O 相切于P (x 0，y 0)(x 0>0，y 0>0)，则x 20＋y 2＝3，所以直线l 的方程为y ＝－x 0y 0(x －x 0)＋y 0，即y ＝－x 0y 0x ＋3y 0．由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 2＝1，y ＝－x 0y 0x ＋3y消去y ，得(4x 20＋y 20)x 2－24x 0x ＋36－4y 20＝0． (*)因为直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，所以Δ＝(－24x 0)2－4(4x 20＋y 20)(36－4y 20)＝48y 20(x 20－2)＝0．因为x 0，y 0>0，所以x 0＝2，y 0＝1．因此，点P 的坐标为(2，1)． ②因为三角形OAB 的面积为267，所以12AB ·OP ＝267，从而AB ＝427．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由(*)得x 1，2＝24x0±48y 20（x 20－2）2（4x 20＋y 20），所以AB 2＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x 20y 20·48y 20（x 20－2）（4x 20＋y 20）2．因为x 20＋y 20＝3，所以AB 2＝16（x 20－2）（x 20＋1）2＝3249，即2x 40－45x 20＋100＝0，解得x 20＝52(x 20＝20舍去)，则y 20＝12，因此P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫102，22．综上，直线l 的方程为y ＝－5x ＋32．12．(2019·南京、盐城模拟)在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右准线方程为x ＝4，右顶点为A ，上顶点为B ，右焦点为F ，斜率为2的直线经过点A ，且点F 到直线的距离为255．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)将直线绕点A 旋转，它与椭圆C 相交于另一点P ，当B ，F ，P 三点共线时，试确定直线的斜率．[解] (1)由题意知，直线的方程为y ＝2(x －a )，即2x －y －2a ＝0，所以右焦点F 到直线的距离为|2c －2a |5＝255，所以a －c ＝1，又椭圆C 的右准线为x ＝4，即a 2c ＝4，所以c ＝a 24，将此代入上式解得a ＝2，c ＝1，所以b 2＝3，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1．(2)法一：由(1)知B (0，3)，F (1，0)，所以直线BF 的方程为y ＝－3(x －1),联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－3（x －1），x 24＋y 23＝1，解得⎩⎨⎧x ＝85，y ＝－335或⎩⎨⎧x ＝0，y ＝3(舍去)，即P ⎝ ⎛⎭⎪⎫85，－335，所以直线的斜率k ＝0－⎝ ⎛⎭⎪⎫－3352－85＝332．法二：由(1)知B (0，3)，F (1，0)，所以直线BF 的方程为y ＝－3(x －1)，由题知A (2，0)，显然直线的斜率存在，设直线的方程为y ＝k (x －2)，联立方程组⎩⎨⎧y ＝－3（x －1），y ＝k （x －2），解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2k ＋3k ＋3，y ＝－3k k ＋3，代入椭圆解得k ＝332或k ＝－32，又由题意知，y ＝－3k k ＋3＜0得k ＞0或k ＜－3，所以k ＝332．13．(2019·泰州市模拟)如图，在平面直角坐标系xOy 中，离心率为22的椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左顶点为A ，过原点O 的直线(与坐标轴不重合)与椭圆C 交于P ，Q 两点，直线P A ，QA 分别与y 轴交于M ，N 两点．若直线PQ 斜率为22时，PQ ＝23．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)试问以MN 为直径的圆是否经过定点(与直线PQ 的斜率无关)？请证明你的结论．[解] (1)设P ⎝⎛⎭⎪⎫x 0，22x 0，因为直线PQ 斜率为22时，PQ ＝23，所以x 20＋⎝⎛⎭⎪⎫22x 02＝3，所以x 20＝2，所以2a2＋1b2＝1，因为e ＝ca ＝a 2－b 2a ＝22，所以a 2＝4，b 2＝2．所以椭圆C 的标准方程为x 24＋y 22＝1． (2)以MN 为直径的圆过定点F (±2，0)．设P (x 0，y 0)，则Q (－x 0，－y 0)，且x 204＋y 202＝1，即x 20＋2y 20＝4，因为A (－2，0)，所以直线P A 方程为y ＝y 0x 0＋2(x ＋2)，所以M ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，2y 0x 0＋2，直线QA 方程为y ＝y 0x 0－2(x ＋2)，所以N ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，2y 0x 0－2，以MN 为直径的圆为(x －0)(x －0)＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫y －2y 0x 0＋2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫y －2y 0x 0－2＝0，即x 2＋y 2－4x 0y 0x 20－4y ＋4y 20x 20－4＝0，因为x 20－4＝－2y 20，所以x 2＋y 2＋2x 0y 0y －2＝0，令y ＝0，则x 2－2＝0，解得x ＝±2，所以以MN 为直径的圆过定点F (±2，0)．14．(2019·镇江期末)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点F (1，0)，离心率为22，过F 作两条互相垂直的弦AB ，CD ，设AB ，CD 的中点分别为M ，N ．(1)求椭圆的方程；(2)证明：直线MN 必过定点，并求出此定点坐标；(3)若弦AB ，CD 的斜率均存在，求△FMN 面积的最大值． [解] (1)由题意：c ＝1，c a ＝22，则a ＝2，b ＝1，c ＝1，椭圆的方程为x 22＋y 2＝1．(2)证明：当AB ，CD 斜率均存在时，设直线AB 方程为y ＝k (x －1)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x 1＋x 22，k ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x 1＋x 22－1， ⎩⎨⎧y ＝k （x －1），x 2＋2y 2－2＝0，得(1＋2k 2)x 2－4k 2x ＋2k 2－2＝0， ⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝4k 21＋2k 2，x 1x 2＝2k 2－21＋2k2，故M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k21＋2k 2，－k 1＋2k 2，将上式中的k 换成－1k ，则同理可得：N ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫22＋k 2，k 2＋k 2，如2k 21＋2k 2＝22＋k2，得k ＝±1，则直线MN 斜率不存在，此时直线MN 过点⎝ ⎛⎭⎪⎫23，0，下证动直线MN 过定点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，0．若直线MN 斜率存在，则k MN ＝－k1＋2k2－k2＋k 22k 21＋2k 2－22＋k 2＝－k （3k 2＋3）2k 4－2＝32×－k k 2－1，直线MN 为y －k2＋k 2＝32×－k k 2－1⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x －22＋k 2，令y ＝0，得x ＝22＋k 2＋23×k 2－12＋k 2＝23×3＋k 2－12＋k2＝23，当直线AB ，CD 的斜率有一条不存在时，直线MN 为x ＝0，也满足过定点(23，0)综上，直线MN 过定点⎝⎛⎭⎪⎫23，0．(3)由(2)可知直线MN 过定点P ⎝⎛⎭⎪⎫23，0，故S △FMN ＝S △FPN ＋S △FPM ＝12×13⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪k 2＋k 2＋12×13⎪⎪⎪⎪⎪⎪－k 1＋2k 2 ＝16×|k |（3＋3k 2）（2＋k 2）（1＋2k 2）＝12×|k |（k 2＋1）2k 4＋5k 2＋2＝12×|k |＋1|k |2k 2＋5＋2k 2，令t ＝|k |＋1|k |∈[2，＋∞)，S △FMN ＝f (t )＝12×t 2（t 2－2）＋5＝12×t2t 2＋1．f ′(t )＝12×1－2t 2（2t 2＋1）2＜0，则f (t )在t ∈[2，＋∞)上单调递减，当t ＝2时f (t )取得最大值，此时S △FMN 取得最大值19，此时k ＝±1．[能力提升]1．(2019·南通市高三模拟)如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为22，长轴长为4．过椭圆的左顶点A 作直线l ，分别交椭圆和圆x 2＋y 2＝a 2于相异两点P ，Q ．(1)若直线l 的斜率为12，求APAQ 的值； (2)若PQ→＝λAP →，求实数λ的取值范围． [解] (1)由条件知，⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝4c a ＝22a 2＝b 2＋c2，解得⎩⎨⎧a ＝2b ＝2．所以椭圆的方程为x 24＋y 22＝1，圆的方程为x 2＋y 2＝4．法一：直线l 的方程为y ＝12(x＋2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝12（x ＋2）x 2＋2y 2＝4，消去y 得，3x 2＋4x －4＝0，解得x A ＝－2，x P ＝23，所以P (23，43)．所以AP ＝（23＋2）2＋（43）2＝453，又原点O 到直线l 的距离d ＝255，所以AQ ＝24－45＝855，所以AP AQ ＝453855＝56．法二：由⎩⎨⎧x ＝2y －2x 2＋2y 2＝4，消去x 得，3y 2－4y ＝0，所以y P ＝43．由⎩⎨⎧x ＝2y －2x 2＋y 2＝4，消去x 得，5y 2－8y ＝0，所以y Q ＝85．所以AP AQ ＝43×58＝56．(2)法一：若PQ →＝λAP →，则λ＝AQ AP －1，由题意知直线l 的斜率存在，设为k ，故直线l ：y ＝k (x ＋2)(k ≠0)，由⎩⎨⎧x 2＋2y 2＝4y ＝k （x ＋2），得(2k 2＋1)x 2＋8k 2x ＋8k 2－4＝0，即(x ＋2)[(2k 2＋1)x ＋(4k 2－2)]＝0，所以x A ＝－2，x P ＝2－4k 22k 2＋1，得P (2－4k 22k 2＋1，4k2k 2＋1)．所以AP 2＝(2－4k 22k 2＋1＋2)2＋(4k2k 2＋1)2＝16＋16k 2（2k 2＋1）2，即AP ＝4k 2＋12k 2＋1．同理Q (2－2k 2k 2＋1，4kk 2＋1)，AQ ＝4k 2＋1．所以λ＝4k 2＋14k 2＋12k 2＋1－1＝1－1k 2＋1．由题意知，k 2>0，所以0<λ<1．法二：由法一知，λ＝AQ AP －1＝y Q y P －1＝4kk 2＋14k 2k 2＋1－1＝1－1k 2＋1，由题意知，k 2>0，所以0<λ<1．2．已知斜率为k 的直线l 与椭圆C ：x 24＋y 23＝1交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M (1，m )(m >0)．(1)证明：k <－12；(2)设F 为C 的右焦点，P 为C 上一点，且FP →＋F A →＋FB →＝0．证明：|F A →|，|FP→|，|FB →|成等差数列，并求该数列的公差． [解] (1)证明：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 214＋y 213＝1，x 224＋y 223＝1．两式相减，并由y 1－y 2x 1－x 2＝k 得x 1＋x 24＋y 1＋y 23·k ＝0．由题设知x 1＋x 22＝1，y 1＋y 22＝m ，于是k ＝－34m ．① 由题设得0＜m ＜32，故k ＜－12．(2)由题意得F (1，0)．设P (x 3，y 3)，则(x 3－1，y 3)＋(x 1－1，y 1)＋(x 2－1，y 2)＝(0，0)．由(1)及题设得x 3＝3－(x 1＋x 2)＝1，y 3＝－(y 1＋y 2)＝－2m ＜0．又点P 在C 上，所以m ＝34，从而P ⎝⎛⎭⎪⎫1，－32，|FP →|＝32．于是|F A →|＝（x 1－1）2＋y 21＝（x 1－1）2＋3⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 214＝2－x 12．同理|FB →|＝2－x 22．所以|F A →|＋|FB →|＝4－12(x 1＋x 2)＝3．故2|FP →|＝|F A →|＋|FB →|，即|F A →|，|FP →|，|FB →|成等差数列．设该数列的公差为d ，则2|d |＝||FB →|－|F A →||＝12|x 1－x 2|＝12（x 1＋x 2）2－4x 1x 2．② 将m ＝34代入①得k ＝－1．所以l 的方程为y ＝－x ＋74，代入C 的方程，并整理得7x 2－14x ＋14＝0．故x 1＋x 2＝2，x 1x 2＝128，代入②解得|d |＝32128．所以该数列的公差为32128或－32128．3．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为22，且右焦点F 到左准线l 的距离为3．(1)求椭圆的标准方程；(2)过F 的直线与椭圆交于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线分别交直线l 和AB 于点P ，C ，若PC ＝2AB ，求直线AB 的方程．[解] (1)由题意，得c a ＝22且c ＋a 2c ＝3，解得a ＝2，c ＝1，则b ＝1，所以椭圆的标准方程为x 22＋y 2＝1．(2)当AB ⊥x 轴时，AB ＝2，又CP ＝3，不合题意．当AB 与x 轴不垂直时，设直线AB 的方程为y ＝k (x －1)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，将AB 的方程代入椭圆方程，得 (1＋2k 2)x 2－4k 2x ＋2(k 2－1)＝0，则x 1，2＝2k 2±2（1＋k 2）1＋2k 2， C 的坐标为(2k 21＋2k 2，－k1＋2k2)，且AB ＝（x 2－x 1）2＋（y 2－y 1）2＝（1＋k 2）（x 2－x 1）2＝22（1＋k 2）1＋2k2．若k ＝0，则线段AB 的垂直平分线为y 轴，与左准线平行，不合题意．从而k ≠0，故直线PC 的方程为 y ＋k1＋2k 2＝－1k (x －2k 21＋2k2)，则P 点的坐标为(－2，5k 2＋2k （1＋2k 2）)，从而PC ＝2（3k 2＋1）1＋k 2|k |（1＋2k 2）．因为PC ＝2AB ，所以2（3k 2＋1）1＋k 2|k |（1＋2k 2）＝42（1＋k 2）1＋2k 2，解得k ＝±1．此时直线AB 的方程为y ＝x －1或y ＝－x ＋1．4．(2019·苏锡常镇四市模拟)在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为22，且过点⎝⎛⎭⎪⎫1，62，过椭圆的左顶点A 作直线l ⊥x 轴，点M 为直线l 上的动点，点B 为椭圆右顶点，直线BM 交椭圆C 于P ．(1)求椭圆C 的方程； (2)求证：AP ⊥OM ；(3)试问OP →·OM →是否为定值？若是定值，请求出该定值；若不是定值，请说明理由．[解] (1)因为椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为22，所以a 2＝2c 2，则a 2＝2b 2，又椭圆C 过点⎝⎛⎭⎪⎫1，62，所以1a 2＋32b 2＝1，所以a 2＝4，b 2＝2，则椭圆C 的方程为x 24＋y 22＝1．(2)证明：设直线BM 的斜率为k ，则直线BM 的方程为y ＝k (x －2)，设P (x 1，y 1)，将y ＝k (x －2)代入椭圆C 的方程x 24＋y 22＝1中并化简得：(2k 2＋1)x 2－8k 2x ＋8k 2－4＝0，解得x 1＝4k 2－22k 2＋1，x 2＝2, 所以y 1＝k (x 1－2)＝－4k 2k 2＋1，从而P ⎝ ⎛⎭⎪⎫4k 2－22k 2＋1，－4k 2k 2＋1．令x ＝－2，得y ＝－4k ，所以M (－2，－4k )，OM →＝(－2，－4k )．又AP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4k 2－22k 2＋1＋2，－4k 2k 2＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫8k 22k 2＋1，－4k 2k 2＋1，所以AP →·OM →＝－16k 22k 2＋1＋16k 22k 2＋1＝0，所以AP ⊥OM ．(3)OP →·OM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4k 2－22k 2＋1，－4k 2k 2＋1·(－2，－4k )＝－8k 2＋4＋16k 22k 2＋1＝8k 2＋42k 2＋1＝4．所以OP →·OM→为定值4．。

2020届江苏省高考数学二轮复习专题解析几何之直线系与圆系方程

高三数学直线与圆复习讲义知识梳理解析几何涉及直线与圆中的几个重要结论：1、斜率公式 2121y y k x x -=-（111(,)P x y 、222(,)P x y ）.2、直线的五种方程（这里只列了常用的三种）（1）点斜式 11()y y k x x -=- (直线l 过点111(,)P x y ，且斜率为k )．（2）截距式1x y a b+=(a b 、分别为直线的横、纵截距，0a b ≠、) （3）一般式 0Ax By C ++=(其中A 、B 不同时为0).3、两条直线间的位置与斜率关系：若111:l y k x b =+，222:l y k x b =+121212||,l l k k b b ⇔=≠；12121l l k k ⊥⇔=-；1212120l l l l x y k k ⇒+=、倾斜角互补(常见：、关于轴或轴对称)4、圆的四种方程（1）圆的标准方程 222()()x a y b r -+-=.（2）圆的一般方程 220x y Dx Ey F ++++=(224D E F +-＞0). （3）圆的参数方程 cos sin x a r y b r θθ=+⎧⎨=+⎩. （4）圆的直径式方程 1212()()()()0x x x x y y y y --+--=(圆的直径的端点是11(,)A x y 、22(,)B x y )5、两个距离公式：点00(,)P x y 到直线:0l Ax By C ++=的距离是：0022|0|Ax By C d A B++==+1122:0:0l Ax By C l Ax By C ++=++=与之间的距离是：1222||C C d A B-=+. （注意：当12l l 、斜率相等求距离时注意化,x y 的系数A,B 为一致）题型分类题型一过定点直线系方程在解题中的应用例1．求过点(14)P -，且与圆22(2)(3)1x y -+-=相切的切线的方程．变式训练：过点(4,1)P -作圆22(2)(3)4x y ++-=的切线为l ，求切线l 的方程．总结：对求过定点（0x ，0y ）的直线方程问题，常用过定点直线法，即设直线方程为:00()()0A x x B y y -+-=，注意的此方程表示的是过点00()P x y ，的所有直线（即直线系），应用这种直线方程可以不受直线的斜率、截距等因素的限制，在实际解答问题时可以避免分类讨论，有效地防止解题出现漏解或错解的现象．题型二过两直线交点的直线系方程在解题中的应用过直线l ：1110A x B y C ++=（11,A B 不同时为0）与m ：2220A x B y C ++=（22,A B 不同时为0）交点的直线系方程：111222()0A x B y C A x B y C λ+++++=（R λ∈，λ为参数）.例2．求过直线：210x y ++=与直线：210x y -+=的交点且在两坐标轴上截距相等的直线方程.变式训练：1.直线10mx y m +--=(m 是参数且m ∈R)过定点，求出定点坐标.2．直线(2)310mx m y x +-+-=恒过的定点是 .3．求出方程2(2)210a x ay x a +++++=恒过的定点。

直线与椭圆的位置关系-高中数学复习

点， O 为坐标原点，若 AB ∥ OP ，则椭圆的焦距为（
C. 1
）
D. 2
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目录
高中总复习·数学
解析：由题意知， F 1（－ c ，0）， A （ a ，0）， B （0，1），
1
1
则点 P （－ c ，），所以直线 BA 的斜率 kBA ＝－，直线 PO 的斜

1

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1
率 kPO ＝＝－ .由 BA ∥ PO ，得 kBA ＝ kPO ，所以－＝－，则
−

c ＝1，所以椭圆的焦距为2 c ＝2.故选D.
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目录
高中总复习·数学
4.
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（2023·新高考Ⅱ卷5题）已知椭圆 C ：＋ y 2＝1的左、右焦点分别
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＋
（1 ＋2 )(1 −2 ）
＝0，
1 −2
2 1 ＋2
2
1
∴
＝－ 2 ×
＝2，∴ 2 ＝，
1 −2

2
1 ＋2
2

故椭圆的离心率 e ＝＝

1−
2
2
＝ .
2

2
目录
高中总复习·数学
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（2）已知斜率为－且不经过坐标原点 O 的直线与椭圆＋＝1相

2025年高考数学一轮复习-8.5.2-直线与椭圆的位置关系-专项训练【含解析】

2025年高考数学一轮复习-8.5.2-直线与椭圆的位置关系【原卷版】1．直线y ＝kx ＋1与焦点在x 轴上的椭圆x 29＋y 2m ＝1总有公共点，则实数m 的取值范围是()A ．12≤m ＜9B ．9＜m ＜10C ．1≤m ＜9D ．1＜m ＜92．若直线mx ＋ny ＝9和圆x 2＋y 2＝9没有交点，则过点(m ，n )的直线与椭圆x 29＋y 216＝1的交点有()A ．1个B ．至多一个C ．2个D ．0个3．已知F 1，F 2是椭圆G ：x 252＋y 242＝1的左、右焦点，过F 1作直线l 交G 于A ，B 两点，若|AB |＝325，则△F 2AB 的面积为()A ．245B ．485C ．965D ．164154．已知点P (x ，y )是椭圆x 29＋y 24＝1上任意一点，则点P 到直线l ：y ＝x ＋5的最大距离为()A ．52＋262B ．52－262C ．52＋26D ．52－265．国家体育场“鸟巢”的钢结构鸟瞰图如图①所示，内外两圈的钢骨架是离心率相同的椭圆．某校体育馆的钢结构与“鸟巢”相同，其平面图如图②所示，若由外层椭圆长轴一端点A 和短轴一端点B 分别向内层椭圆引切线AC ，BD ，且两切线斜率之积等于－58，则椭圆的离心率为()A ．34B ．58C ．74D ．646．(多选)设椭圆x 29＋y 23＝1的右焦点为F ，直线y ＝m (0＜m ＜3)与椭圆交于A ，B 两点，则()A ．|AF |＋|BF |为定值B ．△ABF 的周长的取值范围是[6,12]C ．当m ＝32时，△ABF 为直角三角形D ．当m ＝1时，△ABF 的面积为67．已知F 1，F 2分别为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，|F 1F 2|＝2，过椭圆左焦点且斜率为2的直线交椭圆于A ，B 两点，若S △ABF 2＝4，则弦长|AB |＝________．8．直线5x ＋4y －1＝0交椭圆C ：y 2a 2＋x 2b 2＝1(a ＞b ＞0)于M ，N 两点，设MN 中点为P ，直线OP 的斜率等于54，O 为坐标原点，则椭圆C 的离心率为________．9．已知直线y ＝kx －1与椭圆x 24＋y 23＝1交于点A ，B ，与y 轴交于点P ，若AP ―→＝3PB ―→，则实数k 的值为________．10．已知点B 是圆C ：(x －1)2＋y 2＝16上的任意一点，点F (－1,0)，线段BF 的垂直平分线交BC 于点P ．(1)求动点P 的轨迹E 的方程；(2)直线l ：y ＝2x ＋m 与E 交于点M ，N ，且|MN |＝123019，求m 的值．11．(多选)已知P 是椭圆E ：x 24＋y 2m ＝1(m ＞0)上任意一点，M ，N 是椭圆上关于坐标原点对称的两点，且直线PM ，PN 的斜率分别为k 1，k 2(k 1k 2≠0)，若|k 1|＋|k 2|的最小值为1，则下列结论正确的是()A ．椭圆E 的方程为x 24＋y 2＝1B ．椭圆E 的离心率为12C ．曲线y ＝log 3x －12经过E 的一个焦点D ．直线2x －y －2＝0与E 有两个公共点12．已知椭圆x 22＋y 2＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2的直线AB 与椭圆交于A ，B两点，则△F 1AB 的周长是________，△F 1AB 内切圆面积的最大值是________．13．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)左焦点为F 1(－1,0)，经过点F 1的直线l 与圆F 2：(x －1)2＋y 2＝8相交于P ，Q 两点，M 是线段PF 2与C 的公共点，且|MF 1|＝|MP |．(1)求椭圆C 的方程；(2)l 与C 的交点为A ，B ，且A 恰为线段PQ 的中点，求△ABF 2的面积．14．如图，椭圆x 2a 2＋y 24＝1(a ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线交椭圆于M ，N 两点，交y 轴于点H ．若F 1，H 是线段MN 的三等分点，则△F 2MN 的周长为()A ．20B ．10C ．25D ．4515．定义：由椭圆的两个焦点和短轴的一个顶点组成的三角形称为该椭圆的“特征三角形”．如果两个椭圆的“特征三角形”相似，则称这两个椭圆是“相似椭圆”，并将三角形的相似比称为椭圆的相似比．已知椭圆C 1：x 24＋y 2＝1．(1)若椭圆C 2：x 216＋y 241，试判断C 2与C 1是否相似？如果相似，求出C 2与C 1的相似比；如果不相似，请说明理由；(2)写出与椭圆C 1相似且短半轴长为b 的焦点在x 轴上的椭圆C b 的标准方程．若在椭圆C b 上存在两点M ，N 关于直线y ＝x ＋1对称，求实数b 的取值范围．2025年高考数学一轮复习-8.5.2-直线与椭圆的位置关系【解析版】1．直线y ＝kx ＋1与焦点在x 轴上的椭圆x 29＋y 2m ＝1总有公共点，则实数m 的取值范围是()A ．12≤m ＜9B ．9＜m ＜10C ．1≤m ＜9D ．1＜m ＜9解析：C 直线y ＝kx ＋1恒过定点P (0,1)，焦点在x 轴上的椭圆x 29＋y 2m＝1，可得0＜m＜9①，由直线y ＝kx ＋1与焦点在x 轴上的椭圆x 29＋y 2m＝1总有公共点，可得P 在椭圆上或椭圆内，即有09＋1m≤1，解得m ≥1②，由①②可得1≤m ＜9．故选C ．2．若直线mx ＋ny ＝9和圆x 2＋y 2＝9没有交点，则过点(m ，n )的直线与椭圆x 29＋y 216＝1的交点有()A ．1个B ．至多一个C ．2个D ．0个解析：C 因为直线mx ＋ny ＝9和圆x 2＋y 2＝9没有交点，所以9m 2＋n2＞3，即m 2＋n 2＜9，所以m 29＋n 216≤m 29＋n 29＜1，即点(m ，n )在椭圆x 29＋y 216＝1内，所以过点(m ，n )的直线与椭圆x 29＋y 216＝1的交点有2个，故选C ．3．已知F 1，F 2是椭圆G ：x 252＋y 242＝1的左、右焦点，过F 1作直线l 交G 于A ，B 两点，若|AB |＝325，则△F 2AB 的面积为()A ．245B ．485C ．965D ．16415解析：C由G ：x 252＋y 2421知c 2＝52－42＝32，所以F 1(－3，0)，把x ＝－3代入椭圆方程可得y 2＝4425，故y ＝±165，又|AB |＝325，所以AB ⊥x 轴，则S △F 2AB ＝12|AB |×2c ＝12×325×6＝965，故选C ．4．已知点P (x ，y )是椭圆x 29＋y 24＝1上任意一点，则点P 到直线l ：y ＝x ＋5的最大距离为()A ．52＋262B ．52－262C ．52＋26D ．52－26解析：A设直线y ＝x ＋m ＋y 24＝1，x ＋m得13x 2＋18mx ＋9m 2－36＝0，∴Δ＝(18m )2－4×13(9m 2－36)＝0，解得m ＝±13，切线方程为y ＝x ＋13和y ＝x －13，与l 距离较远的是y ＝x －13，∴所求最大距离为d ＝|－13－5|2＝52＋262．故选A ．5．国家体育场“鸟巢”的钢结构鸟瞰图如图①所示，内外两圈的钢骨架是离心率相同的椭圆．某校体育馆的钢结构与“鸟巢”相同，其平面图如图②所示，若由外层椭圆长轴一端点A 和短轴一端点B 分别向内层椭圆引切线AC ，BD ，且两切线斜率之积等于－58，则椭圆的离心率为()A ．34B ．58C ．74D ．64解析：D设内层椭圆方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)，∵内外椭圆离心率相同，∴外层椭圆可设成x 2(ma )2＋y 2(mb )2＝1(m ＞1)，设切线AC 的方程为y ＝k 1(x ＋ma )，与x 2a 2＋y 2b 2＝1联立得：(b 2＋a 2k 21)x 2＋2ma 3k 21x ＋m 2a 4k 21－a 2b 2＝0，由Δ＝0,则k 21＝b 2a 2·1m 2－1，同理可得k 22＝b 2a 2·(m 2－1)，∴k 21·k 22＝b 4a 4＝则b 2a 2＝58，因此，e ＝c a ＝1－b 2a 2＝1－58＝64．故选D ．6．(多选)设椭圆x 29＋y 23＝1的右焦点为F ，直线y ＝m (0＜m ＜3)与椭圆交于A ，B 两点，则()A ．|AF |＋|BF |为定值B ．△ABF 的周长的取值范围是[6,12]C．当m＝32时，△ABF为直角三角形D．当m＝1时，△ABF的面积为6解析：ACD设椭圆的左焦点为F′，则|AF′|＝|BF|，∴|AF|＋|BF|＝|AF|＋|AF′|＝6为定值，A正确；△ABF的周长为|AB|＋|AF|＋|BF|，∵|AF|＋|BF|为定值6，且|AB|的取值范围是(0,6)，∴△ABF的周长的取值范围是(6,12)，B错误；设点A在点B的左侧，将y＝3 2与椭圆方程联立，可解得－332，F(6，0)，∴AF―→·BF―→＝＝0．∴△ABF为直角三角形，C正确；将y＝1与椭圆方程联立，解得A(－6，1)，B(6，1)，∴S△ABF＝12×26×1＝6，D正确．故选A、C、D．7．已知F1，F2分别为椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，|F1F2|＝2，过椭圆左焦点且斜率为2的直线交椭圆于A，B两点，若S△ABF2＝4，则弦长|AB|＝________．解析：∵S△ABF2＝4，∴12×2c×|y A－y B|＝4，又∵|F1F2|＝2，∴|y A－y B|＝4，∵直线过椭圆左焦点且斜率为2，∴|AB|＝1＋1k2|y A－y B|4＝25．答案：258．直线5x＋4y－1＝0交椭圆C：y2a2＋x2b2＝1(a＞b＞0)于M，N两点，设MN中点为P，直线OP的斜率等于54，O为坐标原点，则椭圆C的离心率为________．解析：设M(x1，y1)，N(x2，y2)，MN中点为P(x0，y0)＋x21b2＝1，＋x22b2＝1，两式相减得b2(y21－y22)＋a2(x21－x22)＝0，即y1－y2x1－x2＝－k MN＝－a2b2·1k OP，因为k MN＝－54，k OP＝54，所以b2a2＝1625，所以e＝ca＝1－b2a2＝35．答案：359．已知直线y＝kx－1与椭圆x24＋y23＝1交于点A，B，与y轴交于点P，若AP―→＝3PB―→，则实数k的值为________．解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，因为直线y＝kx－1与y轴交于点P，所以P(0，－1)．联kx －1，＋y 23＝1，消去y 得(3＋4k 2)x 2－8kx －8＝0，Δ＞0．由根与系数的关系得x 1＋x 2＝8k3＋4k 2，x 1x 2＝－83＋4k 2．因为AP ―→＝3PB ―→，所以(－x 1，－1－y 1)＝3(x 2，y 2＋1)，所以x 1＝－3x 2，将其代入x 1＋x 2＝8k3＋4k 2，得x 2＝－4k 3＋4k 2．将x 1＝－3x 2，x 2＝－4k 3＋4k2代入x 1x 2＝－83＋4k 2，可得－＝－83＋4k 2k 2＝32，所以k ＝±62．答案：±6210．已知点B 是圆C ：(x －1)2＋y 2＝16上的任意一点，点F (－1,0)，线段BF 的垂直平分线交BC 于点P ．(1)求动点P 的轨迹E 的方程；(2)直线l ：y ＝2x ＋m 与E 交于点M ，N ，且|MN |＝123019，求m 的值．解：(1)由条件可得|PC |＋|PF |＝|PC |＋|PB |＝|BC |＝4＞|FC |＝2，所以动点P 的轨迹E 是以F ，C 为焦点的椭圆，设其方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，所以2a ＝4,2c ＝2，所以a ＝2，c ＝1，b ＝3，所以动点P 的轨迹方程为x 24＋y 23＝1．(2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，＋y 23＝1，2x ＋m可得19x 2＋16mx ＋4m 2－12＝0，由Δ＝256m 2－76(4m 2－12)＞0，得m ∈(－19，19)，由根与系数的关系得，x 1＋x 2＝－16m19，x 1x 2＝4m 2－1219，因为|MN |＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝123019，解得m ＝±1．11．(多选)已知P 是椭圆E ：x 24＋y 2m ＝1(m ＞0)上任意一点，M ，N 是椭圆上关于坐标原点对称的两点，且直线PM ，PN 的斜率分别为k 1，k 2(k 1k 2≠0)，若|k 1|＋|k 2|的最小值为1，则下列结论正确的是()A ．椭圆E 的方程为x 24＋y 2＝1B ．椭圆E 的离心率为12C ．曲线y ＝log 3x －12经过E 的一个焦点D ．直线2x －y －2＝0与E 有两个公共点解析：ACD设P (x 0，y 0)，M (x 1，y 1)，x 0≠±x 1，y 0≠±y 1，则N (－x 1，－y 1)，x 204＋y 20m＝1，x 214＋y 21m ＝1，所以y 20＝m －mx 204，y 21＝m －mx 214，k 1k 2＝y 0－y 1x 0－x 1·y 0＋y 1x 0＋x 1＝y 20－y 21x 20－x 21＝－m 4．于是|k 1|＋|k 2|≥2|k 1|·|k 2|＝2|k 1k 2|＝2|－m 4|＝m ，依题意，得m ＝1，解得m ＝1，故E 的方程为x 24＋y 2＝1，A 正确；离心率为32，B 错误；焦点坐标为(±3，0)，曲线y ＝log 3x －12经过焦点(3，0)，C 正确；又直线2x －y －2＝0过点(1,0)，且点(1,0)在E 内，故直线2x －y －2＝0与E 有两个公共点，D 正确．故选A 、C 、D ．12．已知椭圆x 22＋y 2＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2的直线AB 与椭圆交于A ，B两点，则△F 1AB 的周长是________，△F 1AB 内切圆面积的最大值是________．解析：根据椭圆定义可知△F 1AB 的周长C ＝4a ＝42；在△F 1AB 内，S ＝12Cr ＝22r ，问题转化为求△F 1AB 面积最大值，设AB ：x ＝my ＋1，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则(m 2＋2)y 2＋2my －1＝01＋y 2＝－2mm 2＋2，1y 2＝－1m 2＋2，于是S ＝12|F 1F 2|·|y 1－y 2|22m 2＋1m 2＋2＝22m 2＋1＋1m 2＋1≤222m 2＋1·1m 2＋1＝2，则22r ≤2⇒r ≤12⇒πr 2≤π4，等号在m ＝0时取到．答案：42π413．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)左焦点为F 1(－1,0)，经过点F 1的直线l 与圆F 2：(x －1)2＋y 2＝8相交于P ，Q 两点，M 是线段PF 2与C 的公共点，且|MF 1|＝|MP |．(1)求椭圆C 的方程；(2)l 与C 的交点为A ，B ，且A 恰为线段PQ 的中点，求△ABF 2的面积．解：(1)由圆F 2：(x －1)2＋y 2＝8可得|PF 2|＝22，因为|MF 1|＝|MP |，所以2a ＝|MF 1|＋|MF 2|＝|MP |＋|MF 2|＝|PF 2|＝22，即a ＝2，又c ＝1，故b ＝1，所以椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1．(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，因为A 为线段PQ 的中点，则AF 1⊥AF 2，所以AF 1―→·AF 2―→＝x 21＋y 21－1＝0，又x 212＋y 21＝1，解得x 1＝0，y 1＝±1，若y 1＝1，则A (0,1)，直线l 的方程为y ＝x ＋1，x ＋1，y 2＝12＝－43，2＝－13，即－43，－所以△ABF 2的面积S ＝12|F 1F 2|·|y 1－y 2|＝12×2×43＝43，若y 1＝－1，同理可求得△ABF 2的面积S ＝43，综上所述，△ABF 2的面积为43．14．如图，椭圆x 2a 2＋y 24＝1(a ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线交椭圆于M ，N 两点，交y 轴于点H ．若F 1，H 是线段MN 的三等分点，则△F 2MN 的周长为()A ．20B ．10C ．25D ．45解析：D由F 1，H 是线段MN 的三等分点，得H 是F 1N 的中点，又F 1(－c,0)，∴点N的横坐标为c c ，＋y 24＝1，得2c 点M 的坐标代入椭圆方程得4c 2a2＋1，化简得c 2＝a 2－14，又c 2＝a 2－4，∴a 2－14＝a 2－4，得a 2＝5，∴a ＝5．由椭圆的定义知|NF 2|＋|NF 1|＝|MF 2|＋|MF 1|＝2a ，∴△F 2MN 的周长为|NF 2|＋|MF 2|＋|MN |＝|NF 2|＋|MF 2|＋|NF 1|＋|MF 1|＝4a ＝45，故选D ．15．定义：由椭圆的两个焦点和短轴的一个顶点组成的三角形称为该椭圆的“特征三角形”．如果两个椭圆的“特征三角形”相似，则称这两个椭圆是“相似椭圆”，并将三角形的相似比称为椭圆的相似比．已知椭圆C 1：x 24＋y 2＝1．(1)若椭圆C 2：x 216＋y 241，试判断C 2与C 1是否相似？如果相似，求出C 2与C 1的相似比；如果不相似，请说明理由；(2)写出与椭圆C 1相似且短半轴长为b 的焦点在x 轴上的椭圆C b 的标准方程．若在椭圆C b 上存在两点M ，N 关于直线y ＝x ＋1对称，求实数b 的取值范围．解：(1)椭圆C 2与C 1相似．如图，在同一坐标系中作出C 1，C 2的图象．∵椭圆C 2的“特征三角形”是腰长为4，底边长为43的等腰三角形，而椭圆C 1的“特征三角形”是腰长为2，底边长为23的等腰三角形，∴两三角形的三边对应成比例，∴这两个等腰三角形相似，且相似比为2∶1，∴椭圆C 2和C 1相似，且相似比为2∶1．(2)椭圆C b 的方程为x 24b 2＋y 2b2＝1(b ＞0)．由题意，可设l MN ：y ＝－x ＋t ，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，MN 的中点为(x 0，y 0)．x ＋t ，＋y 2b 2＝1，消去y ，整理得5x 2－8tx ＋4(t 2－b 2)＝0，则x 0＝x 1＋x 22＝45t ，y 0＝t5．∵MN 的中点在直线y ＝x ＋1上，∴t 5＝45t ＋1，解得t ＝－53．故直线l MN 的方程为y ＝－x －53．若M ，N 存在，则方程5x 2－8＋－b 2＝0有两个不同的实数解，∴Δ－4×5×40，解得b ＞53．。

2020届高考数学二轮教师用书：第八章第5节第2课时直线与椭圆的综合问题

第2课时　直线与椭圆的综合问题考点一　直线与椭圆的位置关系(师生共研)[典例]　已知直线l ：y ＝2x ＋m ，椭圆C ：＋＝1.试问当m 取何值时，直线l 与椭圆x 24y 22C(1)有两个不重合的公共点；(2)有且只有一个公共点；(3)没有公共点．[解]　将直线l 的方程与椭圆C 的方程联立，得方程组Error!将①代入②，整理得9x 2＋8mx ＋2m 2－4＝0.③方程③根的判别式Δ＝(8m )2－4×9×(2m 2－4)＝－8m 2＋144.(1)当Δ>0，即－3<m <3时，方程③有两个不同的实数根，可知原方程组有两组不同22的实数解．这时直线l 与椭圆C 有两个不重合的公共点．(2)当Δ＝0，即m ＝±3时，方程③有两个相同的实数根，可知原方程组有两组相同的2实数解．这时直线l 与椭圆C 有两个互相重合的公共点，即直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点．(3)当Δ<0，即m <－3或m >3时，方程③没有实数根，可知原方程组没有实数22解．这时直线l 与椭圆C 没有公共点．研究直线与椭圆位置关系的方法(1)研究直线和椭圆的位置关系，一般转化为研究其直线方程与椭圆方程组成的方程组解的个数．(2)对于过定点的直线，也可以通过定点在椭圆内部或椭圆上判定直线和椭圆有交点．[跟踪训练]已知对k ∈R ，直线y －kx －1＝0与椭圆＋＝1恒有公共点，求实数m 的取值范围．x 25y 2m 解：∵k ∈R ，y －kx －1＝0，即y ＝kx ＋1恒过定点(0,1)，若与椭圆＋＝1，恒有公共点，则(0,1)在椭圆内或椭圆上，∴m ≥1.且m ≠5.x 25y 2m考点二　弦长与中点弦问题(多维探究)[命题角度1]　弦长问题　1．斜率为1的直线l 与椭圆＋y 2＝1相交于A ，B 两点，则|AB |的最大值为( )x 24A ．2 B.455C.D.41058105解析：C [设A ，B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，直线l 的方程为y ＝x ＋t ，由Error!消去y ，得5x 2＋8tx ＋4(t 2－1)＝0，则x 1＋x 2＝－t ，x 1x 2＝.854(t 2－1)5∴|AB |＝|x 1－x 2|1＋k 2＝·1＋k 2(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝·＝·，2(－85t )2－4×4(t 2－1)54255－t 2当t ＝0时，|AB |max ＝.]4105(1)解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题．(2)设直线与椭圆的交点坐标为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝(k 为直线斜率)．(1＋1k 2)[(y 1＋y 2)2－4y 1y 2]注意　利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进行的，不要忽略判别式．[命题角度2]　中点弦问题　2．已知椭圆E ：＋＝1(a >b >0)的右焦点为F (3,0)，过点F 的直线交椭圆于A ，B 两x 2a 2y 2b 2点．若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的方程为( )A.＋＝1B.＋＝1x 245y 236x 236y 227C.＋＝1D.＋＝1x 227y 218x 218y 29[思路引导]　由题意可知AB 的中点(1，－1)及直线AB 的斜率，可考虑“点差法”求解．解析：D [设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，代入椭圆方程得Error!两式相减得＋＝0，x 21－x 2a 2y 21－y 2b 2∴＋·＝0.x 1＋x 2a 2y 1－y 2x 1－x 2y 1＋y 2b 2∵x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝－2，k AB ＝＝，－1－01－312∴＋×＝0，即a 2＝2b 2.2a 212－2b 2又c ＝3＝，∴a 2＝18，b 2＝9.a 2－b 2∴椭圆E 的方程为＋＝1.故选D.]x 218y 29(1)过定点被定点平分的弦所在直线的方程；(2)平行弦中点轨迹；(3)过定点的弦的中点的轨迹．解决有关弦及弦中点问题常用方法是“韦达定理”和“点差法”．这两种方法的前提都必须保证直线和椭圆有两个不同的公共点．[跟踪训练]1．(2019·合肥质检)已知椭圆E ：＋＝1，直线l 交椭圆于A ，B 两点，若AB 的中点x 24y 22坐标为，则l 的方程为( )(12，－1)A ．2x ＋y ＝0B ．x －2y －＝052C ．2x －y －2＝0D ．x －4y －＝092解析：D [设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则＋＝1，＋＝1，两式作差并化简整理得x 214y 212x 24y 22＝－·，而x 1＋x 2＝1，y 1＋y 2＝－2，所以＝，直线l 的方程为y ＋1＝y 1－y 2x 1－x 212x 1＋x 2y 1＋y 2y 1－y 2x 1－x 21414，即x －4y －＝0.故选D.](x －12)922．已知椭圆C ：＋＝1(a >b >1)的焦距为2，过短轴的一个端点与两个焦点的圆的面x 2a 2y 2b 2积为π，过椭圆C 的右焦点作斜率为k (k ≠0)的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，线段AB 43的中点为P .(1)求椭圆C 的标准方程；(2)过点P 垂直于AB 的直线与x 轴交于点D ，且|DP |＝，求k 的值．327解：(1)过短轴的一个端点与两个焦点的圆的半径为，设右焦点的坐标为(c,0)，43依题意知，Error!又b >1，解得a ＝2，b ＝，c ＝1，∴椭圆C 的方程为＋＝1.3x 24y 23(2)设过椭圆C 的右焦点的直线l 的方程为y ＝k (x －1)，将其代入＋＝1中得，(3＋4k 2)x 2－8k 2x ＋4k 2－12＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，x 24y 23则x 1＋x 2＝，x 1x 2＝，8k 23＋4k 24k 2－123＋4k 2∴y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)－2k ＝k ·－2k ＝，8k 23＋4k 2－6k3＋4k 2∵P 为线段AB 的中点，∴点P 的坐标为，(4k 23＋4k 2，－3k 3＋4k 2)又直线PD 的斜率为－，1k 直线PD 的方程为y －＝－，－3k3＋4k 21k(x －4k 23＋4k 2)令y ＝0得，x ＝，由点D 的坐标为，k 23＋4k 2(k 23＋4k 2，0)∴|DP |＝(k 23＋4k 2－4k 23＋4k 2)2＋(－3k3＋4k 2)2＝＝，3k 4＋k 23＋4k 2327∴17k 4＋k 2－18＝0，∴k 2＝1，∴k ＝±1.1．直线y ＝2x －1与椭圆＋＝1的位置关系是( )x 29y 24A ．相交B ．相切C ．相离D ．不确定解析：A [Error!得4x 2＋9(2x －1)2＝36，即40x 2－36x －27＝0，Δ＝362＋4×40×27>0，故直线与椭圆相交，选A.]2．过椭圆＋＝1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A ，B 两点，O 为坐标x 25y 24原点，则△OAB 的面积为( )A. B.4353C.D.54103解析：B [由题意知椭圆的右焦点F 的坐标为(1,0)，则直线AB 的方程为y ＝2x －2.联立Error!解得交点坐标为(0，－2)，，不妨设A 点的纵坐标y A ＝－2，B 点的纵坐(53，43)标y B ＝，43∴S △OAB ＝·|OF |·|y A －y B |＝×1×＝，故选B.]1212|－2－43|533．中心为(0,0)，一个焦点为F (0,5)的椭圆，截直线y ＝3x －2所得弦中点的横坐标为，212则该椭圆的方程是( )A.＋＝1B.＋＝12x 2752y 225x 275y 225C.＋＝1D.＋＝1x 225y 2752x 2252y 275解析：C [c ＝5，设椭圆方程为＋＝1，联立方程Error!消去y ，整理得2x 2a 2－50y 2a 2(10a 2－450)x 2－12(a 2－50)x ＋4(a 2－50)－a 2(a 2－50)＝0，由根与系数的关系得x 1＋x 2＝＝1，解得a 2＝75，所以椭圆方程为＋＝1.]12(a 2－50)10a 2－450x 225y 2754．已知F 1(－1,0)，F 2(1,0)是椭圆C 的两个焦点，过F 2且垂直于x 轴的直线与椭圆C 交于A ，B 两点，且|AB |＝3，则C 的方程为( )A.＋y 2＝1B.＋＝1x 22x 23y 23C.＋＝1D.＋＝1x 24y 23x 25y 24解析：C [设椭圆C 的方程为＋＝1(a >b >0)，则c ＝1.因为过F 2且垂直于x 轴的直x 2a 2y 2b 2线与椭圆交于A ，B 两点，且|AB |＝3，所以＝，b 2＝a 2－c 2，所以b 2a 32a 2＝4，b 2＝a 2－c 2＝4－1＝3，椭圆的方程为＋＝1.]x 24y 235．(2020·浙江百校联盟联考)已知椭圆＋＝1(a >b >0)的右顶点和上顶点分别为x 2a 2y 2b 2A 、B ，左焦点为F .以原点O 为圆心的圆与直线BF 相切，且该圆与y 轴的正半轴交于点C ，过点C 的直线交椭圆于M 、N 两点．若四边形FAMN 是平行四边形，则该椭圆的离心率为( )A. B.3512C.D.2334解析：A [因为圆O 与直线BF 相切，所以圆O 的半径为，即|OC |＝，因为四边形bca bca FAMN 是平行四边形，所以点M 的坐标为，代入椭圆方程得＋＝1，所(a ＋c 2，bca )(a ＋c )24a 2c 2b 2a 2b 2以5e 2＋2e －3＝0，又0<e <1，所以e ＝.故选A.]356．已知斜率为1的直线过椭圆＋y 2＝1的右焦点交椭圆于A 、B 两点，则弦AB 的长为　x 24________　.解析：＋y 2＝1的右焦点为F (，0)，故直线方程为y ＝x －，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，x 2433Error!得5x 2－8x ＋8＝0，x 1＋x 2＝，x 1x 2＝，由弦长公式得|AB |＝383585＝.(1＋12)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]85答案：857．(2020·珠海质检)过点M (1,1)作斜率为－的直线l 与椭圆C ：＋＝1(a >b >0): 相交13x 2a 2y 2b 2于A ，B 两点，若M 是线段AB 的中点，则椭圆C 的离心率为　__________　.解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由题得Error!，∴b 2(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＋a 2(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0，∴2b 2(x 1－x 2)＋2a 2(y 1－y 2)＝0，∴b 2(x 1－x 2)＝－a 2(y 1－y 2)，∴＝－＝，b 2a 2y 1－y 2x 1－x 213∴a 2＝3b 2，∴a 2＝3(a 2－c 2)，∴2a 2＝3c 2，∴e ＝.63答案：638．设焦点在x 轴上的椭圆M 的方程为＋＝1(b >0)，其离心率为.x 24y 2b 222(1)求椭圆M 的方程；(2)若直线l 过点P (0,4)，则直线l 何时与椭圆M 相交？解：(1)因为椭圆M 的离心率为，22所以＝2，得b 2＝2.4－b 24(22)所以椭圆M 的方程为＋＝1.x 24y 22(2)①过点P (0,4)的直线l 垂直于x 轴时，直线l 与椭圆M 相交．②过点P (0,4)的直线l 与x 轴不垂直时，可设直线l 的方程为y ＝kx ＋4.由Error!消去y ，得(1＋2k 2)x 2＋16kx ＋28＝0.因为直线l 与椭圆M 相交，所以Δ＝(16k )2－4(1＋2k 2)×28＝16(2k 2－7)>0，解得k <－或k >.142142综上，当直线l 垂直于x 轴或直线l 的斜率的取值范围为∪时，(－∞，－142)(142，＋∞)直线l 与椭圆M 相交．。

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（新课标）2019—2020学年苏教版高中数学必修二2．2．2 直线与圆的位置关系【课时目标】1．能根据给定直线和圆的方程，判断直线和圆的位置关系．2．能根据直线与圆的位置关系解决有关问题．直线Ax＋By＋C＝0与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系及判断位置关系相交相切相离公共点个数判定方法几何法：设圆心到直线的距离d＝|Aa＋Bb＋C|A2＋B2d__r d__r d__r 代数法：由⎩⎪⎨⎪⎧Ax＋By＋C＝0(x－a)2＋(y－b)2＝r2消元得到一元二次方程的判别式ΔΔ__0 Δ__0 Δ__0一、填空题1．直线3x＋4y＋12＝0与⊙C：(x－1)2＋(y－1)2＝9的位置关系是__________．2．已知圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0与y轴切于原点，那么E＝________，F＝________．3．圆x2＋y2－4x＋4y＋6＝0截直线x－y－5＝0所得弦长等于________．4．圆x2＋y2＋2x＋4y－3＝0上到直线l：x＋y＋1＝0的距离为2的点有________个．5．已知直线ax＋by＋c＝0(abc≠0)与圆x2＋y2＝1相切，则三条边长分别为|a|，|b|，|c|的三角形形状为____________三角形．6．与圆x2＋y2－4x＋2＝0相切，在x，y轴上的截距相等的直线共有________条．7．已知P＝{(x，y)|x＋y＝2}，Q＝{(x，y)|x2＋y2＝2}，那么P∩Q为________．8．圆x2＋y2－4x＝0在点P(1，3)处的切线方程为________．9．P(3,0)为圆C：x2＋y2－8x－2y＋12＝0内一点，过P点的最短弦所在的直线方程是________．二、解答题10．求过点P(－1,5)的圆(x－1)2＋(y－2)2＝4的切线方程．11．直线l经过点P(5,5)，且和圆C：x2＋y2＝25相交，截得的弦长为45，求l的方程．能力提升12．已知点M(a，b)(ab≠0)是圆x2＋y2＝r2内一点，直线g是以M为中点的弦所在直线，直线l的方程为ax＋by＋r2＝0，则下列说法判断正确的为________．(填序号)①l∥g且与圆相离；②l⊥g且与圆相切；③l∥g且与圆相交；④l⊥g且与圆相离．13．已知直线x＋2y－3＝0与圆x2＋y2＋x－2cy＋c＝0的两个交点为A、B，O为坐标原点，且OA⊥OB，求实数c的值．1．判断直线和圆的位置关系的两种方法中，几何法要结合圆的几何性质进行判断，一般计算较简单．而代数法则是通过解方程组进行消元，计算量大，不如几何法简捷．2．一般地，在解决圆和直线相交时，应首先考虑圆心到直线的距离，弦长的一半，圆的半径构成的直角三角形．还可以联立方程组，消去x或y，组成一个一元二次方程，利用方程根与系数的关系表达出弦长l＝k2＋1·(x1＋x2)2－4x1x2＝k2＋1|x1－x2|．3．研究圆的切线问题时要注意切线的斜率是否存在．过一点求圆的切线方程时，要考虑该点是否在圆上．当点在圆上，切线只有一条；当点在圆外时，切线有两条．2．2．2 直线与圆的位置关系答案知识梳理位置关系相交相切相离公共点个数21判定方法几何法：设圆心到直线的距离d ＝|Aa ＋Bb ＋C |A 2＋B2d <r d ＝r d >r代数法：由⎩⎪⎨⎪⎧Ax ＋By ＋C ＝0(x －a )2＋(y －b )2＝r 2消元得到一元二次方程的判别式ΔΔ>0 Δ＝0 Δ<0作业设计 1．相离解析圆心到直线距离d ＝195>3，∴直线与圆相离．2．0解析与y 轴切于原点，则圆心⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2，0，得E ＝0，圆过原点得F ＝0．3．6解析圆心(2，－2)到直线x －y －5＝0的距离d ＝22，半径r ＝2，弦长l ＝2r 2－d 2＝6．4．3解析圆的标准方程为(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝8， ∴r ＝22，又圆心到直线l 距离为2，故3个点满足题意．5．直角解析由题意|c |a 2＋b 2＝1⇒|c |＝a 2＋b 2⇒c 2＝a 2＋b 2，故为直角三角形． 6．3解析需画图探索，注意直线经过原点的情形．设y ＝kx 或x a ＋ya＝1，由d ＝r 求得k ＝±1，a ＝4．7．{(1,1)}解析解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝2，x ＋y ＝2，得x ＝y ＝1．8．x －3y ＋2＝0解析先由半径与切线的垂直关系求得切线斜率为33，则过(1，3)切线方程为x －3y ＋2＝0．9．x ＋y －3＝0解析过P 点最短的弦，应为与PC 垂直的弦，先求斜率为－1，则可得直线方程为x ＋y －3＝0．10．解 ①当斜率k 存在时，设切线方程为y －5＝k (x ＋1)，即kx －y ＋k ＋5＝0．由圆心到切线的距离等于半径得 |k －2＋k ＋5|k 2＋1＝2，解得k ＝－512，∴切线方程为5x ＋12y －55＝0．②当斜率k 不存在时，切线方程为x ＝－1，此时与圆正好相切．综上，所求圆的切线方程为x ＝－1或5x ＋12y －55＝0．11．解圆心到l 的距离d ＝r 2－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫4522＝5，显然l 存在斜率．设l ：y －5＝k (x －5)，即kx －y ＋5－5k ＝0，d ＝|5－5k |k 2＋1．∴|5－5k |k 2＋1＝5，∴k ＝12或2．∴l 的方程为x －2y ＋5＝0或2x －y －5＝0． 12．①解析 ∵M 在圆内，∴a 2＋b 2<r 2．∴(0,0)到l 的距离d ＝r 2a 2＋b 2>r 即直线l 与圆相离，又直线g 的方程为y －b ＝－ab(x －a )，即ax ＋by －a 2－b 2＝0，∴l ∥g ．13．解设点A 、B 的坐标分别为A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)．由OA ⊥OB ，知k OA ·k OB ＝－1，即y 1x 1·y 2x 2＝－1，∴x 1x 2＋y 1y 2＝0． ①由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －3＝0x 2＋y 2＋x －2cy ＋c ＝0，得5y 2－(2c ＋14)y ＋c ＋12＝0，则y 1＋y 2＝15(2c ＋14)，y 1y 2＝15(c ＋12)． ②又x 1x 2＝(3－2y 1)(3－2y 2)＝9－6(y 1＋y 2)＋4y 1y 2，代入①得9－6(y 1＋y 2)＋5y 1y 2＝0 ③由②、③得，c ＝3．。

2020届江苏高考数学二轮复习微专题：解析几何

解析几何1.直线的倾斜角α与斜率k(1)倾斜角α的范围为[0，π).(2)直线的斜率①定义：k ＝tan α⎝⎛⎭⎪⎫α≠π2；倾斜角为π2的直线没有斜率；②斜率公式：经过两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)(x 1≠x 2)的直线的斜率为k ＝y 1－y 2x 1－x 2(x 1≠x 2)；③直线的方向向量a ＝(1，k ).[回顾问题1] 直线x cos θ＋3y －2＝0的倾斜角的范围是________.答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫5π6，π 2.直线的方程(1)点斜式：y －y 0＝k (x －x 0)，它不包括垂直于x 轴的直线.(2)斜截式：y ＝kx ＋b ，它不包括垂直于x 轴的直线.(3)两点式：y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1，它不包括垂直于坐标轴的直线. (4)截距式：x a ＋y b ＝1，它不包括垂直于坐标轴的直线和过原点的直线.(5)一般式：任何直线均可写成Ax ＋By ＋C ＝0(A ，B 不同时为0)的形式.[回顾问题2] 已知直线过点P (1，5)，且在两坐标轴上的截距相等，则此直线的方程为________.答案 5x －y ＝0或x ＋y －6＝03.点到直线的距离及两平行直线间的距离(1)点P (x 0，y 0)到直线Ax ＋By ＋C ＝0的距离为d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B2； (2)两平行线l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0，l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0(C 1≠C 2)间的距离d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 2. [回顾问题3] 直线3x ＋4y ＋5＝0与6x ＋8y －7＝0的距离为________.答案 17104.两直线的平行与垂直①l 1：y ＝k 1x ＋b 1，l 2：y ＝k 2x ＋b 2(两直线斜率存在，且不重合)，则有l 1∥l 2⇔k 1＝k 2；l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1.②l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，则有l 1∥l 2⇔A 1B 2－A 2B 1＝0且B 1C 2－B 2C 1≠0；l 1⊥l 2⇔A 1A 2＋B 1B 2＝0.[回顾问题4] “a ＝15”是“直线2ax ＋(a －1)y ＋2＝0与直线(a ＋1)x ＋3ay ＋3＝0垂直”的________条件.(从“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”中选取一个填写)答案充分不必要5.圆的方程(1)圆的标准方程：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r ＞0).(2)圆的一般方程：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F ＞0)，只有当D 2＋E 2－4F＞0时，方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0才表示圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2，－E 2，半径为 12D 2＋E 2－4F 的圆. [回顾问题5] 若方程a 2x 2＋(a ＋2)y 2＋2ax ＋a ＝0表示圆，则a ＝________. 答案－16.直线、圆的位置关系(1)直线与圆的位置关系直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0和圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r ＞0)有相交、相离、相切三种位置关系.可从代数和几何两个方面来判断：①代数方法(判断直线与圆方程联立所得方程组的解的情况)：Δ＞0⇔相交；Δ＜0⇔相离；Δ＝0⇔相切；②几何方法(比较圆心到直线的距离与半径的大小)：设圆心到直线的距离为d ，则d ＜r ⇔相交；d ＞r ⇔相离；d ＝r ⇔相切.(2)圆与圆的位置关系已知两圆的圆心分别为O 1，O 2，半径分别为r 1，r 2，则①当O 1O 2＞r 1＋r 2时，两圆外离；②当O 1O 2＝r 1＋r 2时，两圆外切；③当|r 1－r 2|＜O 1O 2＜r 1＋r 2时，两圆相交；④当O 1O 2＝|r 1－r 2|时，两圆内切；⑤当0≤O 1O 2＜|r 1－r 2|时，两圆内含. 若两圆相交把两圆x 2＋y 2＋D 1x ＋E 1y ＋F 1＝0与x 2＋y 2＋D 2x ＋E 2y ＋F 2＝0方程相减即得相交弦所在直线方程：(D 1－D 2)x ＋(E 1－E 2)y ＋(F 1－F 2)＝0.[回顾问题6] 已知圆C 与圆x 2＋y 2＋10x ＋10y ＝0相切于原点，且过点A (0，－6)，则圆C 的标准方程为________.答案 (x ＋3)2＋(y ＋3)2＝187.对圆锥曲线的定义要做到抓住关键词，例如椭圆中定长大于定点之间的距离，双曲线定义中是到两定点距离之差的“绝对值”，否则只是双曲线的其中一支.[回顾问题7] 方程（x ＋3）2＋y 2＋（x －3）2＋y 2＝6表示的曲线是________.答案线段y ＝0(－3≤x ≤3)8.求椭圆、双曲线的标准方程，一般遵循先定位，再定型，后定量的步骤，即先确定焦点的位置，再设出其方程，求出待定系数.(1)椭圆标准方程：焦点在x 轴上，x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)；焦点在y 轴上，y 2a 2＋x 2b 2＝1(a ＞b ＞0).(2)双曲线标准方程：焦点在x 轴上，x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)；焦点在y 轴上，y 2a 2－x 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0).(3)与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)具有共同渐近线的双曲线系为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0).[回顾问题8] (2019·如皋市高三年级第二学期语数英学科模拟(二)，3)已知双曲线x 2m －y 2＝1(m ＞0)的一条渐近线方程为x ＋3y ＝0，则m ＝________.答案 99.(1)在把圆锥曲线与直线联立求解时，消元后得到的方程中要注意二次项的系数是否为零，利用解情况可判断位置关系.有两解时相交；无解时相离；有唯一解时，在椭圆中相切，在双曲线中需注意直线与渐近线的关系.(2)直线与圆锥曲线相交时的弦长问题斜率为k 的直线与圆锥曲线交于两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，则所得弦长P 1P 2＝1＋k 2|x 1－x 2|＝（1＋k 2）[（x 1＋x 2）2－4x 1x 2]或P 1P 2＝1＋1k 2|y 1－y 2|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1k 2[（y 1＋y 2）2－4y 1y 2]. [回顾问题9] 在平面直角坐标系xOy 中，已知直线y ＝kx 被圆x 2＋y 2－2mx －23。

2020年高考理科数学《直线与圆》题型归纳与训练

2020年高考理科数学《直线与圆》题型归纳与训练【题型归纳】题型一直线方程、两直线的位置关系例1已知两直线1:80l mx y n ++=和2:210l x my +-=.试确定m 、n 的值，使： (1)1l 与2l 相交于点(),1P m -； (2)1l ∥2l ；(3)1l ⊥2l ，且1l 在y 轴上的截距为－1. 【答案】（1）1m =，7n =.（2）4m =，2n ≠-时或4m =-，2n ≠时，1l ∥2l . （3）0m =，8n =【解析】(1)由题意得280210m n m n ⎧-+=⎨--=⎩，解得1m =，7n =.(2)当0m =时，显然1l 不平行于2l ；当0m ≠时，由821m nm =-≠-，得⎩⎨⎧-≠=⇒⎩⎨⎧≠--⨯=⨯-⋅240)1(8028n m nm m m 或⎩⎨⎧≠-=24n m . 即4m =，2n ≠-时或4m =-，2n ≠时，1l ∥2l .(3)当且仅当280m m +=，即0m =时，1l ⊥2l .又18n-=-，∴8n =.即0m =，8n =时，1l ⊥2l ，且1l 在y 轴上的截距为－1.【易错点】忽略对0m =的情况的讨论【思维点拨】遇到直线类题型，首先要注意特殊情况如斜率不存在时或0k =时，并且对于直线平行和垂直时与12A A 和12B B 间的关系要熟练记忆。

例2如图，设一直线过点(－1,1)，它被两平行直线l 1：x ＋2y －1＝0，l 2：x ＋2y －3＝0所截的线段的中点在直线l 3：x －y －1＝0上，求其方程．【答案】2750x y +-=.【解析】与1l 、2l 平行且距离相等的直线方程为220x y +-=.设所求直线方程为()()2210x y x y λ+-+--=，即()()1220x y λλλ++---=.又直线过()1,1A -，∴()()()112120λλλ+-+-⋅--=.解13λ=-.∴所求直线方程为2750x y +-=.2【易错点】求错与1l 、2l 平行且距离相等的直线方程【思维点拨】本题的关键在于求到1l 、2l 平行且距离相等的直线方程，再利用这条直线求出和第三条支线的交点，从而求解本题.题型二圆的方程（对称问题、圆的几何性质运用）例1已知实数x 、y 满足方程22410x y x +-+=.(1)求yx的最大值和最小值； (2)求y x -的最大值和最小值．【答案】（1）yx（2）y x -的最大值为2-+，最小值为2-.【解析】(1)原方程化为()2223x y -+=，表示以点()2,0为圆心，为半径的圆．设yk x=，即y k x =，当直线y kx =与圆相切时，斜率k=k =.故yx 的最大值(2)设y x b -=，即y x b =+，当y x b =+与圆相切时，纵截距b取得最大值和最小值，此时=2b =-.故y x -的最大值为2-，最小值为2--. 【易错点】理解错给定要求结果的含义【思维点拨】正确理解给定结果的含义，在利用题中的条件解决问题。

2020版高分宝典高考数学二轮微专题复习(江苏专用)作业：微专题十二直线与椭圆的位置关系(作业)

二、
5.己知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，P是椭圆C上的一个动点，且△PF1F2面积的最大值为 .
(1)求椭圆C的方程；
(2)设斜率不为零的直线PF2与椭圆C的另一个交点为Q，且PQ的垂直平分线交y轴于点T ，求直线PQ的斜率.
6.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆E：＋＝1(a>பைடு நூலகம்>0)的离心率为，左焦点F(－2,0)，直线l：y＝t与椭圆交于A，B两点，M为椭圆E上异于A，B的点．
8.已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右顶点分别为A，B，离心率为，点P 为椭圆上一点．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)如图，过点C(0,1)且斜率大于1的直线l与椭圆交于M，N两点，记直线AM的斜率为k1，直线BN的斜率为k2，若k1＝2k2，求直线l斜率的值．
9.如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，且过点 .过椭圆C的左顶点A作直线交椭圆C于另一点P，交直线l：x＝m(m＞a)于点M.已知点B(1,0)，直线PB交l于点N.
一、
1.以原点为圆心，以椭圆＋＝1的右焦点到抛物线y2＝4x的准线的距离为半径的圆的方程为________________．
2.已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左焦点为F，C与过原点的直线相交于A，B两点，连接AF，BF.若AB＝10，BF＝8，cos∠ABF＝，则C的离心率为________．
3.已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，右顶点为A，上顶点为B，若椭圆C的中心到直线AB的距离为 F1F2，则椭圆C的离心率e＝________.

2025年高考数学一轮复习-8.5.2-直线与椭圆的位置关系-专项训练【含解析】

8.5.2-直线与椭圆的位置关系-专项训练（原卷版）时间：45分钟一、选择题1．已知直线l ：x ＋y －3＝0，椭圆x 24＋y 2＝1，则直线与椭圆的位置关系是()A ．相交B ．相切C ．相离D ．相切或相交2．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右顶点分别为A 1，A 2，且以线段A 1A 2为直径的圆与直线bx －ay ＋2ab＝0相切，则椭圆C 的离心率为()A ．63B ．33C ．23D ．133．直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l 的距离为其短轴长的14，则该椭圆的离心率为()A ．13B ．12C ．23D ．344．已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点为F (3,0)，过点F 的直线交E 于A ，B 两点．若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的方程为()A ．x 245＋y 236＝1B ．x 236＋y 227＝1C ．x 227＋y 218＝1D ．x 218＋y 29＝15．若AB 为过椭圆x 225＋y 216＝1中心的线段，F 1为椭圆的焦点，则△F 1AB 面积的最大值为()A ．6B ．12C ．24D ．486．已知A ，B 是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)长轴的两个端点，M ，N 是椭圆上关于x 轴对称的两点，直线AM ，BN的斜率分别为k 1，k 2(k 1k 2≠0)，若椭圆的离心率为32，则|k 1|＋|k 2|的最小值为()A ．1B ．2C ．32D ．37．已知椭圆C ：x 22＋y 2＝1的右焦点为F ，直线l ：x ＝2，点A ∈l ，线段AF 交椭圆C 于点B ，若F A →＝3FB →，则|AF →|＝()A ．2B ．2C ．3D ．38．(多选题)已知直线y ＝3x ＋2被椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)截得的弦长为8，则下列直线中被椭圆截得的弦长也为8的是()A ．y ＝3x －2B ．y ＝3x ＋1C ．y ＝－3x －2D ．y ＝－3x ＋2二、填空题9．椭圆x 24＋y 23＝1的右焦点到直线y ＝3x 的距离是___________.10．过椭圆x 25＋y 24＝1的右焦点F 作一条斜率为2的直线与椭圆交于A ，B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为___________.11．设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2＋y2b2＝1(0＜b ＜1)的左、右焦点，过点F 1的直线交椭圆E 于A ，B 两点．若|AF 1|＝3|F 1B |，AF 2⊥x 轴，则椭圆E 的方程为___________.三、解答题12．已知椭圆C 1：x 24＋y 2＝1，椭圆C 2以C 1的长轴为短轴，且与C 1有相同的离心率．(1)求椭圆C 2的方程；(2)设O 为坐标原点，点A ，B 分别在椭圆C 1和C 2上，OB→＝2OA →，求直线AB 的方程．13．已知离心率为22的椭圆E ：x 2a 2＋y2b2＝1(a >b >0)经过点(1)求椭圆E 的方程；(2)若不过点A 的直线l ：y ＝22x ＋m 交椭圆E 于B ，C 两点，求△ABC 面积的最大值．14．已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点为F ，短轴的一个端点为M ，直线l ：3x －4y ＝0交椭圆E 于A ，B两点．若|AF |＋|BF |＝4，点M 到直线l 的距离不小于45，则椭圆E 的离心率的取值范围是()A ，32B ，34C ．32，D ．34，15．过点M (－2,0)的直线m 与椭圆x 22＋y 2＝1交于P 1，P 2两点，线段P 1P 2的中点为P ，设直线m 的斜率为k 1(k 1≠0)，直线OP 的斜率为k 2，则k 1k 2的值为()A ．2B ．－2C ．12D ．－1216．已知椭圆C 的一个顶点为A (0，－1)，焦点在x 轴上，若右焦点到直线x －y ＋22＝0的距离为3.(1)求椭圆C 的方程；(2)设直线l 的方程为y ＝x ＋m ，是否存在实数m ，使直线l 与椭圆C 有两个不同的交点M ，N ，且|AM |＝|AN |，若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由．8.5.2-直线与椭圆的位置关系-专项训练（解析版）时间：45分钟一、选择题1．已知直线l ：x ＋y －3＝0，椭圆x 24＋y 2＝1，则直线与椭圆的位置关系是(C )A ．相交B ．相切C ．相离D ．相切或相交2．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右顶点分别为A 1，A 2，且以线段A 1A 2为直径的圆与直线bx －ay ＋2ab＝0相切，则椭圆C 的离心率为(A )A ．63B ．33C ．23D ．13解析：以线段A 1A 2为直径的圆的方程为x 2＋y 2＝a 2，该圆与直线bx －ay ＋2ab ＝0相切，∴|b ×0－a ×0＋2ab |b 2＋(－a )2＝a ，即2b ＝a 2＋b 2，∴a 2＝3b 2，∵a 2＝b 2＋c 2，∴c 2a 2＝23，∴e ＝c a ＝63，故选A ．3．直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l 的距离为其短轴长的14，则该椭圆的离心率为(B )A ．13B ．12C ．23D ．34解析：方法一：不妨设直线l 过椭圆的上顶点(0，b )和左焦点(－c ,0)，b >0，c >0，则直线l 的方程为bx －cy ＋bc ＝0，由已知得bc b 2＋c 2＝14×2b ，解得b 2＝3c 2，又b 2＝a 2－c 2，所以c 2a 2＝14，即e 2＝14，所以e ＝12或e ＝－12(舍去)．方法二：不妨设直线l 过椭圆的上顶点(0，b )和左焦点(－c ，0)，b >0，c >0，则直线l 的方程为bx －cy ＋bc ＝0，由已知得bc b 2＋c 2＝14×2b ，所以bc a ＝14×2b ，所以e ＝c a ＝12，故选B ．4．已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点为F (3,0)，过点F 的直线交E 于A ，B 两点．若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的方程为(D )A ．x 245＋y 236＝1B ．x 236＋y 227＝1C ．x 227＋y 218＝1D ．x 218＋y 29＝1解析：因为直线AB 过点F (3,0)和点(1，－1)，所以直线AB 的方程为y ＝12(x －3)，代入椭圆方程x 2a 2＋y 2b2＝1消去y ，得b 2－32a 2x ＋94a 2－a 2b 2＝0，所以AB 的中点的横坐标为32a 2a b ＝1，即a 2＝2b 2，又a 2＝b 2＋c 2，所以b ＝c ＝3，a 2＝18，故选D ．5．若AB 为过椭圆x 225＋y 216＝1中心的线段，F 1为椭圆的焦点，则△F 1AB 面积的最大值为(B )A ．6B ．12C ．24D ．48解析：如图，S △ABF 1＝S △AOF 1＋S △BOF 1＝2S △AOF 1.又∵OF 1＝c ＝3为定值，∴点A 与(0,4)重合时，OF 1边上的高最大，此时S △AOF 1的面积最大为12×4×3＝6.∴S △ABF 1的最大值为12，故选B ．6．已知A ，B 是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)长轴的两个端点，M ，N 是椭圆上关于x 轴对称的两点，直线AM ，BN的斜率分别为k 1，k 2(k 1k 2≠0)，若椭圆的离心率为32，则|k 1|＋|k 2|的最小值为(A )A ．1B ．2C ．32D ．3解析：设M (x ，y )，N (x ，－y )(－a ＜x ＜a )，则k 1＝y x ＋a ，k 2＝y a －x ，又因为椭圆的离心率为32，所以ba ＝1－e 2＝12，|k 1|＋|k 2|＝|y |x ＋a ＋|y |a －x≥2y 2a 2－x2＝2ba ＝1，故选A ．7．已知椭圆C ：x 22＋y 2＝1的右焦点为F ，直线l ：x ＝2，点A ∈l ，线段AF 交椭圆C 于点B ，若F A →＝3FB→，则|AF →|＝(A )A ．2B ．2C ．3D ．3解析：设点A (2，n )，B (x 0，y 0)．由椭圆C ：x 22＋y 2＝1知a 2＝2，b 2＝1，∴c 2＝1，即c ＝1.∴右焦点F (1,0)．由FA →＝3FB →得(1，n )＝3(x 0－1，y 0)．∴1＝3(x 0－1)且n ＝3y 0.∴x 0＝43，y 0＝13n .将x 0，y 0代入x 22＋y 2＝1，得12×＝1.解得n 2＝1，∴|AF→|＝(2－1)2＋n 2＝1＋1＝2，故选A ．8．(多选题)已知直线y ＝3x ＋2被椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)截得的弦长为8，则下列直线中被椭圆截得的弦长也为8的是(ACD )A ．y ＝3x －2B ．y ＝3x ＋1C ．y ＝－3x －2D ．y ＝－3x ＋2解析：作出椭圆和有关直线(图略)，由于椭圆关于坐标轴、坐标原点对称，而A 、C 、D 中的直线与直线y ＝3x ＋2或关于原点对称或关于坐标轴对称，所以它们被椭圆截得的弦长相等，故应选AC D ．二、填空题9．椭圆x 24＋y 23＝1的右焦点到直线y ＝3x 的距离是32.解析：已知椭圆的右焦点为(1,0)，它到直线3x －y ＝0的距离为|3－0|3＋1＝32.10．过椭圆x 25＋y 24＝1的右焦点F 作一条斜率为2的直线与椭圆交于A ，B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为53.解析：由a 2＝5，b 2＝4，得c 2＝1，则右焦点F 的坐标为(1,0)，直线AB 的方程为y ＝2(x －1)＝2x －2，x 2＋5y 2＝20得3x 2－5x ＝0，解得x ＝0或x ＝53，所以|AB |＝53×1＋22＝553，又点O 到直线AB 的距离为d ＝|－2|1＋22＝25，因此S △OAB ＝12×553×25＝53.11．设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2＋y 2b2＝1(0＜b ＜1)的左、右焦点，过点F 1的直线交椭圆E 于A ，B 两点．若|AF 1|＝3|F 1B |，AF 2⊥x 轴，则椭圆E 的方程为x 2＋32y 2＝1.解析：不妨设点A 在第一象限，如图，∵AF 2⊥x 轴，∴A (c ，b 2)(其中c 2＝1－b 2,0＜b ＜1，c ＞0)．又∵|AF 1|＝3|F 1B |，∴由AF 1→＝3F 1B →，得－5c 3，－代入x 2＋y 2b 2＝1，得25c 29＋b 49b2＝1，又c 2＝1－b 2，∴b 2＝23.故椭圆E 的方程为x 2＋32y 2＝1.三、解答题12．已知椭圆C 1：x 24＋y 2＝1，椭圆C 2以C 1的长轴为短轴，且与C 1有相同的离心率．(1)求椭圆C 2的方程；(2)设O 为坐标原点，点A ，B 分别在椭圆C 1和C 2上，OB →＝2OA →，求直线AB 的方程．解：(1)由已知可设椭圆C 2的方程为y 2a 2＋x 24＝1(a >2)，其离心率为32，故a 2－4a ＝32，解得a ＝4，故椭圆C 2的方程为y 216＋x 24＝1.(2)若将A ，B 两点的坐标分别记为(x A ，y A )，(x B ，y B )，由OB→＝2OA →及(1)知，O ，A ，B 三点共线且点A ，B 不在y 轴上，因此可设直线AB 的方程为y ＝kx .将y ＝kx 代入到x 24＋y 2＝1中，得(1＋4k 2)x 2＝4，所以x 2A＝41＋4k2.将y ＝kx 代入到y 216＋x 24＝1中，得(4＋k 2)x 2＝16，所以x 2B ＝164＋k2.又由OB →＝2OA →，得x 2B ＝4x 2A，即164＋k 2＝161＋4k 2，解得k ＝±1.故直线AB 的方程为x －y ＝0或x ＋y ＝0.13．已知离心率为22的椭圆E ：x 2a 2＋y2b2＝1(a >b >0)经过点(1)求椭圆E 的方程；(2)若不过点A 的直线l ：y ＝22x ＋m 交椭圆E 于B ，C 两点，求△ABC 面积的最大值．解：(1)因为c a ＝12，所以设a ＝2n ，c ＝n ，则b ＝n ，椭圆E 的方程为x 22n 2＋y 2n 2＝1.代入点A 的坐标得12n 2＋12n 2＝1，n 2＝1，所以椭圆E 的方程为x 22＋y 2＝1.(2)设点B ，C 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，＝22x ＋m ，2＋2y 2＝2得x 2＋2＋2mx ＋m 2，即x 2＋2mx ＋m 2－1＝0，x 1＋x 2＝－2m ，x 1·x 2＝m 2－1，Δ＝2m 2－4(m 2－1)>0，m 2<2.|BC |＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝32[2m 2－4(m 2－1)]＝32(4－2m 2)，点A 到直线l 的距离d ＝|m |32，△ABC 的面积S ＝12|BC |·d ＝1232(4－2m 2)·|m |32＝22m 2(2－m 2)≤22·m 2＋2－m 22＝22，当且仅当m 2＝2－m 2，即m 2＝1时等号成立．所以当m ＝±1时，△ABC 面积取最大值为22.14．已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点为F ，短轴的一个端点为M ，直线l ：3x －4y ＝0交椭圆E 于A ，B两点．若|AF |＋|BF |＝4，点M 到直线l 的距离不小于45，则椭圆E 的离心率的取值范围是(A )A ，32B，34C ．32，D ．34，解析：设左焦点为F 0，连接F 0A ，F 0B ，则四边形AFBF 0为平行四边形．∵|AF |＋|BF |＝4，∴|AF |＋|AF 0|＝4，∴a ＝2.设M (0，b )，则4b 5≥45，∴1≤b <2.∴离心率e ＝ca ＝c 2a2＝a 2－b 2a2＝4－b 24∈，32，故选A ．15．过点M (－2,0)的直线m 与椭圆x 22＋y 2＝1交于P 1，P 2两点，线段P 1P 2的中点为P ，设直线m 的斜率为k 1(k 1≠0)，直线OP 的斜率为k 2，则k 1k 2的值为(D )A ．2B ．－2C ．12D ．－12解析：设P (x 0，y 0)，P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，过点M (－2,0)的直线m 的方程为y －0＝k 1(x ＋2)，代入椭圆的方程化简得(2k 21＋1)x 2＋8k 21x ＋8k 21－2＝0，∴x 1＋x 2＝－8k 212k 21＋1，∴点P 的横坐标为－4k 212k 21＋1，纵坐标为k 1(x 0＋2)＝2k 12k 21＋1，即直线OP 的斜率k 2＝－12k 1.∴k 1k 2＝－12，故选D ．16．已知椭圆C 的一个顶点为A (0，－1)，焦点在x 轴上，若右焦点到直线x －y ＋22＝0的距离为3.(1)求椭圆C 的方程；(2)设直线l 的方程为y ＝x ＋m ，是否存在实数m ，使直线l 与椭圆C 有两个不同的交点M ，N ，且|AM |＝|AN |，若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由．解：(1)依题意，设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2＝1(a >1)，右焦点为(c ,0)，则由点到直线的距离公式得|c ＋22|2＝3，∴c ＝2，∴a 2＝b 2＋c 2＝3.∴椭圆C 的方程为x 23＋y 2＝1.(2)不存在，理由如下：设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)x ＋m ，y 2＝1，消去y 并整理得4x 2＋6mx ＋3m 2－3＝0，∴x 1＋x 2＝－32m ，x 1x 2＝3(m 2－1)4，∴y 1＋y 2＝x 1＋m ＋x 2＋m ＝－32m ＋2m ＝m2.由题意知Δ>0，即(6m )2－4×4×(3m 2－3)>0，解得－2<m <2.∵|AM |＝|AN |，∴x 21＋(y 1＋1)2＝x 22＋(y 2＋1)2，整理得(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＋(y 1－y 2)(y 1＋y 2＋2)＝0，∴－32m (x 1－x 2)y1－y 2)＝0，x 1＋m －(x 2＋m )]＝32m(x 1－x 2)，x 1－x 2)＝32m (x 1－x 2)，又x 1≠x 2，∴32m ＝m2＋2，解得m ＝2.∵m ＝2不满足－2<m <2，∴满足条件的m 的值不存在．。

2020届高考数学江苏省二轮课件：第12讲椭圆

第12讲椭圆
第12讲椭圆
1.已知椭圆
x2 m
+
y2 n
=1(m>n>0)的左、右焦点分别为F1,F2,P是以椭圆短轴为直
uuur uuur
径的圆上任意一点,则 PF1·PF2 =
.
答案 2n-m
解析
uuur
在椭圆
uuur
x2 m
+
y2 n
uuur
=1(m>n>0)中,b2=n,c2=m-n,PF1
.
答案

3 8
,
3 4

解析由题意,得A1(0, 3),A2(0,- 3),设P(x,y),则 kPA1 kPA2= (y-
3-
3 x2 4 x2
-3
=-
3 4
.所以 k PA1
=-
3 4kPA2
∈
3 8
,
3 4

.
3)(y x2
3) y2 -3
= x2 =
3.在平面直角坐标系中,椭圆的标准方程为
x2
由

4

y2
y kx,

1,解得
xA2
=
1

4 4k
2
,
yA2 =1
4k 2 4k
2
.
∴|OA|2=
xA2 +
y
A2 =
4(1 k 1 4k
2 2
)
.
将上式中的k替换为-
1 k
,得|OC|2=
4(1 k 2 k2 4
)
.
S△ABC=2S△AOC=|OA|·|OC|

直线与椭圆的位置关系练习题答案

2 .2即要保证定点 (0,1)在椭圆内部 —<1即m > 12 23.已知椭圆4x+y =1及直线y = x + m . (1)当m 为何值时，直线与椭圆有公共点?2J 10(2)若直线被椭圆截得的弦长为，求直线的方程.3.解：(1)把直线方程y =x +m 代入椭圆方程4x 2+y 2=1得4x 2+(x +m 2=1，即 5x 2+2mx+m 2—1 =0 .(2m J —4咒5咒(m 2—1 )= —16m 2+20 > 0，解得直线与椭圆的位置关系练习2x y 1.椭圆 —+— =1上的点M 到焦点F 1的距离为2, N 为MR 的中点，贝y ON ( O 为坐标原点)的值为25 9 解：如图所示，设椭圆的另一个焦点为F 2，由椭圆第一定义得|MF i + MF 2 卜2a =10，所以 I MF2I =10—[MF 」=10 —2 =8，1又因为ON 为A MF-i F 2的中位线，所以||ON | = — MF2I = 4，故答案为A .2八y 2.若直线y =kx + 1(k 壬R)与椭圆 ——+ L 5 m x 2=1恒有公共点，求实数 m 的取值范围 I y =kx +1 解法一：由｛x 2亠y 2 _4可得(5k 2 +m)x 2—I +10kx + 5-5m =0 , 2 2.•M=m -5k -1 >0 即 m>5k +1>1二解法二：直线恒过一定点 (0,1)当m c5时，椭圆焦点在x 轴上, 短半轴长b = 7m ，要使直线与椭圆恒有交点则 J m >1即1< m c 5 当m >5时，椭圆焦点在 y 轴上，长半轴长 a =可保证直线与椭圆恒有交点即m 〉5解法三：直线恒过一定点(0,1)要使直线与椭圆恒有交点,U 521由！ L ；1可得i mx + ny =1(m + n)x 2 +2nx + n -1=0， X1 + X 2 = -2门 =即门=2mm + n 3(2)设直线与椭圆的两个交点的横坐标为x 1 , X 2，由(1 )得X"! + X 2 =-'2'巴,X 1X 2=—1552L=1的左右焦点分别为F 1,F 2,若过点P1(0, -2)及F i 的直线交椭圆于 A,B 两点，求5.已知中心在原点，长轴在 X 轴上的椭圆的两准线间的距离为 143，若椭圆被直线x+y+1=0截得的弦的一 2中点的横坐标是-一，求椭圆的方程3根据弦长公式得* . "22m )-一 I -4x K 5丿:EDm—12用.解得m = 0 •方程为y = X •ZIABF 2的面积解法一：由题可知：直线l AB 方程为2x + y+2=0由!■= -2x-2y i — y2-4 y 1 y 2 = c 9 解法二: F 2到直线AB 的距离又AB =山 +k2 X 1 -X 2 解法三: 〔2〔可得 9y2+4y-4 = 0，5由匸12l y = —2x—2 2 +1 1100. S ^j AB l h a 2 令 A(X i ，y i ),B(X 2，y 2)则 AF i =a+ex i ， F 2到直线AB 的距离h =^由〔:二广25iT 7AB =a t ex ^i +a + ex 2=2a +2e(x 1+x 2)-y 2 4山=1可得9x 2 + 16x +6=0， 4/10 ,— J 2 BF j =a +ex 2其中 a =j 2,e =—— 2 =1可得9宀16”0，10足 s Z AB |h =24^104.已知椭圆2解法一：令椭圆方程为mx 2 + ny 2= 1(mv n)，A(X 1,y 1), B(X 2,y 2)由题得: 为 +X 22已知长方形 ABCD, AB=2 72 ,BC=1.以AB 的中点O 为原点建立如图8所示的平面直角坐标系 xoy .）求以A 、B 为焦点，且过 C 、D 两点的椭圆的标准方程；）过点P （0,2）的直线丨交（I ）中椭圆于M,N 两点,是否存在直线丨，使得以弦MN 为直径的圆恰好过原点？_图8［解析］（I ）由题意可得点 A,B,C 的坐标分别为（—J 2,o XJ 2,0KJ 2,1）•22设椭圆的标准方程是务+与=1（a A b > 0 ）•a b贝 U 2a =AC +BC=J （血-（-血）2+（1-02 （运-血 2 +（1-0丫 =4 >2^22+ 丄=1. 2，可设直线1的方程为y = kx + 2(k H 0 )(X 1，y 1 )(x 2，y 2 )消去 y 整理得，(1+2k2k 2 +8kx + 4 = 0右十8k 4 有 X1 +X2 =- ---- ,X1X2 = ----- 71 +2k 1 +2k _若以MN 为直径的圆恰好过原点，则OM 丄ON ，所以x 1x 2 + F y 2 = 0,又 ^2^ 即 A M J A 二 cm V m n2 4•••m 「，n=3椭圆方程为 +纭=13解法二：令椭圆方程为 mx2+ ny 2 =1（m<： n ）, A(x i , y i ),B(X 2,y 2)由题得:2=————y^y 212=_3由心2[mx 22+ ny 12 + =1 '作差得 =1m . 、——(X +X ) 一 y 2——(y 1 +y 2)二 n =2m X -X = 2J 3即〔〜引m V m nm = 2,n=4椭圆方程为3 3X 2+4yj6. 若存在，求出直线丨的方程；若不存在，说明理由.2 2 2a = 2b = a —c = 4 — 2 = 2椭圆的标准方程是（n ）由题意直线的斜率存在设M,N 两点的坐标分别为「y = kx +2 联立方程：彳二 …r 2, c 2■ X +2y =4所以，为X2 + (kx j +2 i(kx2+2) = 0,即1 + k2 X1x2+ 2^x1+ X2 )+ 4 = 04(1+k 2) 16k 2刨 8-4k2沖，2 … 片所以, 2 — 2+4=0 即2=0,得 k =2,k =±J 2.1 +2k 21 +2k 21 +2k 2所以直线I 的方程为y = J 2x +2，或y = — J 2x +2. 所以存在过P(0,2)的直线I : y = ±J 2x + 2使得以弦MN 为直径的圆恰好过原点 7.已知椭圆的中心在坐标原点 0,焦点在坐标轴上，直线y=x+1与椭圆交于P 和Q ，且 OP 丄OQ ,|PQ|^^求椭圆方程. . 2 2解；设椭圆方程为 mx + ny=1(m >0,n >0), P(x i ,y i ),Q(X 2,y 2)由《 y = x +122 2 得(m+n )x+2 nx+n — 1=0,mx2 + ny 2=1 Y4n 2— 4(m+ n)(n — 1)>0,即 m+n —mn >0,由 OP 丄OQ,所以 x 1x 2+y 1y 2=0,即 2x 1x 2+(x 1+x 2)+1=0, -2(n j) -- +1=0, • m+n=2 ①又 24(m +n -mn) =(yi£) 2,将 m+n=2,代入得口门二卫②由①、②m -n m + n 2 43十 3 ,n= — 或 m=- 2 2 + ：2 m +n 式得m= 122 7.椭圆X 2 a m + n 3,n=1 故椭圆方程为 —+ ■3y 2=1 或 3X 2+ — y 2=1 2 2 2 2 2 2 =1 (a > b > 0)与直线X + y = 1交于P 、Q 两点, 且OP 丄OQ 1 (1 )求一y + a，其中O 为坐标原点. 1 —的值； b (2)若椭圆的离心率e 满足』3we ，求椭圆长轴的取值范围. 3 2 (1 )设 P(x^yj, P(X 2, y 2),由 OP 丄 OQ U 寫 y 1 =1 —X 1,讨2 =1 —X 2，代入上式得：2X 1 X 2 —(X 1 2 2 X y 222 2 2 2 d+m=1 = (a +b )x —2a x + a (1 4 ) b 2 2=a代入①化简得 a 2 +b 2c 2 b 2 —T -Fa a a 2 X i X 2 ■- 3 -18.设直线I 过点P ( 0, 3), X 1 X 2 + y 1 y 2 = 0 +X 2)+1=0 ①又将y =1 -X 代入 2a 2.「iA 0,「. X 1 +X 2 = ； 2 ,a +b=0, 1丄1 — ^72 =2 . a b ■兰丄=丄兰■兰2,又由( a 2 2 2 a 2 321)知 b 2 壬 i 6 ,•••长轴 2a € 2U 5^f6].2 x 和椭圆—— 9 2 y +〒=1顺次交于A 、 4 B 两点, 若AP = A PB 试求A ■的取值范围. 1 解：当直线I 垂直于X 轴时，可求得-15 当l 与x 轴不垂直时，设 A(X 1, y , )B(X 2, y 2)，直线l 的方程为：y = kx +3 , 代入椭圆方程，消去 y 得 fe k 2+4x 2+54kx +4 5=0189.已知椭圆的一个焦点为 F 1(0, - 2 J 2)，对应的准线方程为 y 二-9"2，且离心率e 满足:4討3成等差数列。

2019—2020年最新苏教版高中数学必修二学案直线的位置关系习题课及答案解析.docx

（新课标）2018-2019学年苏教版高中数学必修二课时29 直线的位置关系习题课【要点归纳】1、如果1l 、2l 斜率都存在，则直线平行能得到斜率相等；如果1l 、2l 斜率都不存在，那么两直线都垂直于x 轴，故它们平行2、当两条直线的斜率都存在时，如果它们互相垂直，那么它们的斜率的乘积等于1-；若两条直线12,l l 中的一条斜率不存在，则另一条斜率为 0 时，12l l ⊥.3、两条直线的方程分别是1111:0l A x B y C ++=，1222:0l A x B y C ++=．构成方程组1112220A x B y C A x B y C ++=⎧⎨++=⎩．（＊）4、平面上两点111222(,),(,)P x y P x y 间的距离公式为12PP = ．5、中点坐标公式：对于平面上两点111222(,),(,)P x y P x y ，线段12PP 的中点是00(,)M x y ，则12012022x x x y y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩＊的解一组无数组无解两直线相交两直线重合两直线平行6、点00(,)P x y 到直线l ：0=++C By Ax 的距离：．7、两条平行直线1l ：01=++C By Ax ，2l ：02=++C By Ax （21C C ≠）之间的距离为d ，则【合作探究】例1、两条直线m y x m l 352)3(1-=++：，16)5(42=++y m x l ：，求分别满足下列条件的m 的值．(1) 1l 与2l 相交； (2) 1l 与2l 平行； (3) 1l 与2l 重合； (4) 1l 与2l 垂直； (5) 1l 与2l 夹角为︒45．例2、已知直线022=-+y x l ：，试求：(1)点)1,2(--P 关于直线l 的对称点坐标；(2)直线21-=x y l ：关于直线l 对称的直线2l 的方程； (3)直线l 关于点)1,1(的对称直线方程．例3、已知直线082=+-y x l ：和两点)0,2(A 、)4,2(--B ．(1)在l 上求一点P ，使PB PA +最小； (2)在l 上求一点P ，使PA PB -最大．例4、已知)3,0(A ，)0,1(-B ，)0,3(C ，求D 点的坐标，使四边形ABCD 为等腰梯形．【课时作业29】1．已知(1,2),(0,4)A B -，点C 在x 轴上，且AC=BC ，则点C 的坐标为 . 2．已知点(0,1)P -，点Q 在直线x-y+1=0上，若直线PQ 垂直于直线x+2y-5=0，则点Q 的坐标是 .3.经过两条直线280x y +-=和210x y -+=的交点，且平行于直线4370x y --=的直线方程为 .4. 已知直线l 1: 2x-3y+10=0 , l 2: 3x+4y-2=0.则经过l 1和l 2的交点，且与直线l 3:3x-2y+4=0垂直的直线l 的方程为 .5. 已知直线mx+ny+1=0平行于直线4x+3y+5=0，且在y 轴上的截距为13，则m ，n 的值分别为（）.6. 直线2x －y －4=0上有一点P ，则它与两定点A(4，－1)，B(3，4)的距离之差的最大值为 .7. 在直线20x y -=上求一点P ，使它到点(5,8)M 的距离为５，并求直线PM 的方程.8. 过点)8,6(P 作两条互相垂直的直线PB PA ,，分别交x 轴正方向于A ，交y 轴正方向于B ，若APB AOB S S ∆∆=，求PB PA ,所在直线的方程.9．（探究创新题）已知直线方程为(2+λ)x+(1-2λ)y+4-3λ=0.（1）求证不论λ取何实数值，此直线必过定点；（2）过这定点引一直线，使它夹在两坐标轴间的线段被这点平分，求这条直线方程.10．点P （x ，y ）在直线4x + 3y = 0上，且满足－14≤x －y ≤7，求点P 到坐标原点距离的取值范围.课时29 习题课例1 分析：可先从平行的条件2121b b a a =(化为1221b a b a =)着手．解：由m m +=+5243得0782=++m m ，解得11-=m ，72-=m ．由163543m m -=+得1-=m ． (1)当1-≠m 且7-≠m 时，2121b b a a ≠，1l 与2l 相交； (2)当7-=m 时，212121c c b b a a ≠=．21//l l ； (3)当1-=m 时，212121c c b b a a ==，1l 与2l 重合； (4)当02121=+b b a a ，即0)5(24)3(=+⋅+⋅+m m ，311-=m 时，21l l ⊥； (5) 231+-=m k ，mk +-=542．由条件有145tan 11212=︒=+-k k k k ．将1k ，2k 代入上式并化简得029142=++m m ，527±-=m ；01522=-+m m ，35或-=m ．∴当527±-=m 或-5或3时1l 与2l 夹角为︒45．例2 分析：对称问题可分为四种类型：①点关于点的对称点；②点关于直线的对称点；③直线关于直线的对称直线；④直线关于点的对称直线．对于①利用中点坐标公式即可．对于②需利用“垂直”“平分”两个条件．若③④在对称中心（轴），及一个曲线方程已知的条件下给出，则通常采取坐标转移法，其次对于对称轴（中心）是特殊直线，如：坐标轴、直线b x y +±=，采取特殊代换法，应熟练掌握．解：(1)设点P 关于直线l 的对称点为),(00'y x P ，则线段'PP 的中点M 在对称轴l 上，且l PP ⊥'．∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=--⋅+--=-⋅++0221222,1)21(210000y x x y 解之得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==5195200y x 即'P 坐标为⎪⎭⎫ ⎝⎛519,52．(2)直线21-=x y l ：关于直线l 对称的直线为2l ，则2l 上任一点),(y x P 关于l 的对称点),('''y x P 一定在直线1l 上，反之也成立．由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+⋅++-=-⋅--.02222,1)21(''''y y x x x x y y 得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+--=+-=.5834,5443''y x y y x x把),(''y x 代入方程2-=x y 并整理，得：0147=--y x即直线2l 的方程为0147=--y x ．(3)设直线l 关于点)1,1(A 的对称直线为'l ，则直线l 上任一点),(11y x P 关于点A 的对称点),('y x P 一定在直线'l 上，反之也成立．由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+12,1211y y x x 得⎩⎨⎧-=-=y y x x 2211将),(11y x 代入直线l 的方程得：042=-+y x ．∴直线'l 的方程为042=-+y x ．例3 分析：较直接的思路是：用两点间的距离公式求出PB PA +的表达式，再求它的最小值．这样计算量太大也不可行．我们可以求出A 关于直线l 的对称点'A ，从而将AP转化为P A '，从而当B 、P 、'A 三点共线时，PB PA +才最小，对于PA PB -最大也可以利用这样的方法．解：(1)如图，设A 关于l 的对称点为),('n m A则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+⋅-+-=-082222,22n m m n∴2-=m ，8=n ．∴)8,2('-A ∴B A '的的是2-=x ，B A '与l 的交点是)3,2(-，故所求的点为)3,2(-P ．(2)如下图，AB 是方程)2()2(2)4(0-----=x y ，即2-=x y ．代入l 的方程，得直线AB 与l 的交点)10,12(，故所求的点P 为)10,12(．例4 分析：利用等腰梯形所具备的性质“两底互相平行且两腰长相等”进行解题．解：如图，设),(y x D ，若CD AB //，则CD AB k k =，BC AD =，即⎪⎩⎪⎨⎧=+=-+--=+-②①.1613)3(,301003222y x x y 由①、②解得)53,516(D ．若BC AD //，则⎪⎩⎪⎨⎧==,,BC AD k k BC AD 即⎪⎩⎪⎨⎧+=+-=--④③.31)3(,0032222y x x y由③、④式解得)3,2(D ．故D 点的坐标为)53,516(或)3,2(． 1． 11(,0)22．（2，3）3. 4360x y --=.解析:设所求直线的方程为28(21)0x y x y λ+-+-+=，整理为(2)(12)80x y λλλ++-+-=.∵ 平行于直线4370x y --=， ∴ (2)(3)(12)40λλ+⨯---⨯=，解得2λ=. 则所求直线方程为4360x y --=.4. 2x+3y-2=0.解析：解方程组231003420x y x y -+=⎧⎨+-=⎩，得交点（-2，2）.又由l ⊥l 3，且332l k =，得到23l k =-，所以直线l 的方程为22(2)3y x -=-+，即2x+3y-2=0.5.－4和－36. 32.解析:找A 关于l 的对称点A ′，A ′B 与直线l 的交点即为所求的P 点. 设'(,)A a b , 则12144124022b a a b +⎧⨯=-⎪⎪-⎨+-⎪⨯--=⎪⎩，解得01a b =⎧⎨=⎩，所以线段22|'|(41)(30)32A B =-+-= 7. 解:∵ 点P 在直线20x y -=上，∴ 可设(,2)P a a ，根据两点的距离公式得22222(5)(28)5,542640PM a a a a =-+-=-+=即, 解得3225a a ==或，∴3264(2,4)(,)55P 或． ∴直线PM 的方程为8585643248258555y x y x ----==----或，即4340247640x y x y -+=--=或.8. 解：设)0,0)(,0(),0,(>>b a b B a A ，则AB ：1=+bya x ，即0=-+ab ay bx 。

苏教版必修2高考题同步试卷422 直线与圆的位置关系2.docx

苏教版必修2高考题同步试卷：4.2.2直线与圆的位置关系2选择题(本大题共20小题，共100.0分)如图，在△ ABC•中，丄AB,若館=3BD. \AD\ = 1,则疋•而=()A. 1B. 2C. 3D. 4过圆x2 + y2 = 5±一点M(l,—2)作圆的切线/,贝口的方程为()A. % + 2y — 3 = 0B. % — 2y — 5 = 0C. 2x — y — 5 = 0D. 2% + y — 5 = 0直线x + y = c与圆%2 + y2 = 8相切，则正实数c的值为A. 3B. 2V5C. 3A/2D. 4若直线V3x - y + m = 0与圆%2 + y2 - 2y = 0相切，则实数加等于()A. —1或3B. -3或3C. 1 或一1D. 3 或1过点4(4,1)的圆C与直线x-y-l = 0相切于点(2,1),则圆C的方程是()A. (% — 5)2 + y? = 2B. (% — 3)2+ y2 = 4C. (% — 5尸 + y2 = 4D. (% — 3)2 + y2 = 2若圆C］： (% + 2)2 + (y - m)2 = 9与圆Q： (% - m)2 + (y + l)2 = 4外切，则加的值为()A. 2B. —5C. 2 或—5D.不确定设直线过点(0,a),其斜率为1,且与圆%2+y2 = 2相切，则Q的值为()A. ±V2B. ±2C. +2V2D. ±4已知点M是直线Z： 3% 4- 4y - 2 = 0上的动点，点N为圆C： (% + I)2 + (y + I)2 = 1上的动点, 则|MN|的最小值是( )A. IB. 1C. ID.乎设M圆(% - 5)2 + (y - 3)2 = 9上的圆心，则M点到直线3% + 4y - 2 = 0的距离是()A. 9B. 8C. 5D. 2已知直线/过点(0,3)且与直线x + y-1 = 0垂直，贝畀的方程是()A. x + y — 3 = 0B. x — y + 3 = 0C. x + y — 2 = 0D. x — y — 2 = 0已知直线b与直线＜2： 3% + 4y - 6 = 0平行且与圆：* + y2 + 2y = 0相切,则直线b的方程是(A.3% + 4y — 1 = 0B.3% + 4y + 1 = 0或3x + 4y - 9 = 0C.3% + 4y + 9 = 0D.3% + 4y — 1 = 0或3x + 4y + 9 = 0直线/过点P(-2V3,0)且与圆O：x2+y2 = 4相切，贝弭的斜率为()A. —1或1B.—逼或阳C. -V3^V3D.—逼或逼2 23 313.己知圆(x + 1 )2 + (y — 1)2 = 2 - m截直线x + y + 2 = 0所得弦的长度为4,则实数m =()A. -2B. -4C. -6D. -814.己知点(a,b)是圆x2 + y2 = r2外的一点，则直线ax + by = r2与圆的位置关系()A.相离B.相切C.相交且不过圆心D.相交且过圆心15.若直线x + y = a + 1被圆(％ - 2尸+ (y — 2尸=4所截得的弦长为2返，则a=()A. 1 或5B. -1或5C. 1 或一5D. -1 或一516.下列直线方程，满足“与直线y = x平行，且与圆x2+y2-6x + l = 0相切”的是()A. x — y + 1 = 0B. x + y — 7 = 0C. x + y + l = OD. x — y + 7 = 017.己知直线y = 2x + 1与圆x2 + y2 + mx = 0没有公共点，则加的取值范围是()A. (4 - 2V5,4 + 2V5)B. (4 - 2V5,0) U (0,4 + 2V5)C. (-4 — 2V5,-4 + 2V5)D. (-4 — 2V5,0) U (0, -4 + 2同18.设直线过点(0,a),其斜率为1,且与圆%2+y2 = 2相切，则a的值为()A. ±4B. ±2V2C. ±2D. ±V219.若圆Q: %2 + y2 = 1 与圆C2 \ x2 + y2— 6x — By + m = 0外切，则m =()A. 21B. 19C. 9D. -1120.已知圆(x + l)2+ y2 = 12的圆心为C,点P是直线I: mx - y - 5m + 4 = 0上的点，若圆C上存在点Q使ZCPQ = 60° -则实数也的取值范围是()A. [1_—,1 +—]B. (_x, l 一七_]u[l +七-,+x)C. [0,y]D. ( —8,0]U【¥，+8)二、填空题(本大题共6小题，共30.0分)21.过点(0, 3)作圆0 + I)2 + (y — 1)2 = 5的切线，则切线方程为______________________ .22.在平面直角坐标系XQF中，直线mx —y - 3m - 2 = 0(m e 7?)被圆(x - 2)2 + (y + l)2 = 4截得的所有弦中弦长的最小值为_________ •23.若直线y = 2x + b与圆x2 + (y - l)2 = 4有且仅有一个交点，则b的值是___________________ .24.已知直线x +ay+ 3 = 0与圆O：x2 + y2 = 4相交于A, B两点(。

(江苏专用)2020高考数学二轮复习专项强化练(十一)直线与圆

专项强化练(十一) 直线与圆A 组——题型分类练题型一直线的方程1．已知直线l ：ax ＋y －2－a ＝0在x 轴和y 轴上的截距相等，则a 的值为________．解析：由题意可知a ≠0.当x ＝0时，y ＝a ＋2. 当y ＝0时，x ＝a ＋2a. 所以a ＋2a＝a ＋2，解得a ＝－2或a ＝1. 答案：－2或12．将直线y ＝3x 绕原点逆时针旋转90°，再向右平移1个单位，所得到的直线方程为________________．解析：将直线y ＝3x 绕原点逆时针旋转90°得到直线y ＝－13x ，再向右平移1个单位，所得直线的方程为y ＝－13(x －1)，即x ＋3y －1＝0.答案：x ＋3y －1＝03．若直线y ＝2x ＋10，y ＝x ＋1，y ＝ax －2交于一点，则a ＝________.解析：直线y ＝2x ＋10与y ＝x ＋1的交点坐标为(－9，－8)，代入y ＝ax －2，得－8＝a ·(－9)－2，解得a ＝23.答案：234．点A (1,1)到直线x cos θ＋y sin θ－2＝0的距离的最大值为________．解析：由点到直线的距离公式，得d ＝|cos θ＋sin θ－2|cos 2θ＋sin 2θ＝2－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4，又θ∈R ，所以d max ＝2＋ 2. 答案：2＋ 2 [临门一脚]1．求直线方程的一般方法(1)直接法：根据条件，选择适当的直线方程形式，直接写出方程． (2)待定系数法：先设出方程，再根据条件求出待定系数．2．五种直线方程灵活选择，要牢记用斜率首先考虑斜率不存在；用截距要考虑截距为0或不存在的情况，不能出现漏解的情况．题型二圆的方程1．已知方程x2＋y2＋2kx＋4y＋3k＋8＝0表示一个圆，则实数k的取值范围是________________．解析：由(2k)2＋42－4(3k＋8)＝4(k2－3k－4)>0，解得k<－1或k>4.答案：(－∞，－1)∪(4，＋∞)2．圆心在y轴上且过点(3,1)的圆与x轴相切，则该圆的方程是________________．解析：设圆心为(0，b)，半径为r，则r＝|b|，所以圆的方程为x2＋(y－b)2＝b2.因为点(3,1)在圆上，所以9＋(1－b)2＝b2，解得b＝5.所以圆的方程为x2＋(y－5)2＝25.答案：x2＋(y－5)2＝253．已知圆x2＋y2＋2x－4y＋a＝0关于直线y＝2x＋b成轴对称图形，则a－b的取值范围是________．解析：由题意知，直线y＝2x＋b过圆心，而圆心坐标为(－1,2)，故b＝4，圆的方程化为标准方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝5－a，所以a<5，由此，得a－b<1.答案：(－∞，1)4．在平面直角坐标系xOy中，已知圆C1：(x－4)2＋(y－8)2＝1，圆C2：(x－6)2＋(y ＋6)2＝9.若圆心在x轴上的圆C同时平分圆C1和圆C2的圆周，则圆C的方程是____________．解析：法一：设圆C的半径为r，圆心坐标为C(a,0)．因为圆C平分圆C1的圆周，所以r2＝CC21＋1.同理可得r2＝CC22＋9，所以CC21＝CC22＋8，即(a－4)2＋82＝(a－6)2＋62＋8，解得a＝0，从而得r2＝CC21＋1＝42＋82＋1＝81，故圆C的方程为x2＋y2＝81.法二：设圆C的方程为：(x－a)2＋y2＝r2.则圆C与C1的公共弦方程为(2a－8)x－16y＋79＋r2－a2＝0.(*)因为圆C平分圆C1的圆周，所以直线(*)经过圆C1的圆心，即a2－8a－r2＋81＝0.①同理，由圆C平分圆C2的圆周，得a 2－12a －r 2＋81＝0，②联立①②得a ＝0，r 2＝81. 故圆C 的方程为x 2＋y 2＝81. 答案：x 2＋y 2＝81 [临门一脚]1．三个独立条件确定一个圆，一般用待定系数法，如果已知圆心或半径可用标准式；如果已知圆经过某些点常用一般式．并要注重圆的一般方程与标准方程的互化．2．不能忘记求圆的方程时，圆的一般式方程要满足的条件D 2＋E 2－4F >0.3．如果遇到求解与三角形有关的圆的方程，应该研究三角形特征如等边三角形或直角三角形的外接圆和内切圆，更容易用标准式求解．题型三直线与圆、圆与圆的位置关系1．(2019·盐城中学模拟)在平面直角坐标系xOy 中，已知点P 在直线l ：y ＝kx ＋6(k >0)上，过点P 作圆O ：x 2＋y 2＝4的切线，切点分别是A ，B ，且AB 的中点为Q ，若OQ ＝1，则k 的取值范围为________．解析：连接OP ，OA ，由已知及圆的几何性质知，OP 经过点Q ，且OA ⊥AP ，AQ ⊥OP ，所以Rt △OPA ∽Rt △OAQ ，所以OA OP ＝OQ OA，即OA 2＝OP ·OQ ，又OA ＝2，OQ ＝1，所以OP ＝4，所以点O 到直线l 的距离d ＝6k 2＋1≤4.因为k >0，所以k ≥52，故k 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫52，＋∞. 答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫52，＋∞ 2．(2018·镇江高三期末)已知圆C 与圆x 2＋y 2＋10x ＋10y ＝0相切于原点，且过点A (0，－6)，则圆C 的标准方程为________________．解析：由题意可知，圆C 的圆心在直线y ＝x 上，设圆C 的圆心为(a ，a )，半径为r ，则r 2＝a 2＋a 2＝a 2＋(a ＋6)2，解得a ＝－3，所以圆心为(－3，－3)，r 2＝18，圆C 的标准方程为(x ＋3)2＋(y ＋3)2＝18.答案：(x ＋3)2＋(y ＋3)2＝183．过点P (－4,0)的直线l 与圆C ：(x －1)2＋y 2＝5相交于A ，B 两点，若点A 恰好是线段PB 的中点，则直线l 的方程为________________．解析：根据题意，由于(－4－1)2>5，所以点P 在圆C 外，过圆心C 作CM ⊥AB 于M ，连结AC .易知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝k (x ＋4)，即kx －y ＋4k ＝0，则CM ＝|k ＋4k |k 2＋1＝|5k |k 2＋1，AM ＝5－⎝ ⎛⎭⎪⎫|5k |k 2＋12＝5－20k2k 2＋1.又点A 恰好是线段PB 的中点，所以PM ＝3AM ，在Rt △PMC 中，CM 2＋PM 2＝PC 2，即25k 2k 2＋1＋45－180k 2k 2＋1＝25，得180k 2＝20，即k ＝±13，故直线l 的方程为x ±3y ＋4＝0. 答案：x ±3y ＋4＝04．在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (0，－2)，点B (1，－1)，P 为圆x 2＋y 2＝2上一动点，则PB PA的最大值是________．解析：法一：设点P (x ，y )，则x 2＋y 2＝2，所以PB 2PA 2＝x －12＋y ＋12x 2＋y ＋22＝x 2＋y 2－2x ＋2y ＋2x 2＋y 2＋4y ＋4＝－2x ＋2y ＋44y ＋6＝－x ＋y ＋22y ＋3，令λ＝－x ＋y ＋22y ＋3，则x ＋(2λ－1)y ＋3λ－2＝0，由题意，直线x ＋(2λ－1)y ＋3λ－2＝0与圆x 2＋y 2＝2有公共点，所以|3λ－2|1＋2λ－12≤2，解得0<λ≤4，所以PB PA的最大值为2.法二：当AP 不与圆相切时，设AP 与圆的另一个交点为D ，由条件AB 与圆C 相切，则∠ABP ＝∠ADB ，所以△ABP ∽△ADB ，所以PB PA ＝BD BA ＝BD 2≤222＝2，所以PBPA的最大值为2. 答案：2 [临门一脚]1．直线与圆的位置关系用圆心到直线的距离d 与半径r 的大小关系判定较好． 2．涉及圆的切线时，要考虑过切点与切线垂直的半径，计算弦长时，要注意应用半径、弦心距、半弦长构成的直角三角形．3．根据相交、相切的位置关系求直线方程时，要注意先定性再定量，不能漏解． 4．圆上存在一点的存在性问题可以通过求解动点轨迹转化为位置关系问题．B 组——高考提速练1．“a ＝1”是“直线ax －y ＋2a ＝0与直线(2a －1)x ＋ay ＋a ＝0互相垂直”的____________条件(选填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”)解析：∵两直线互相垂直， ∴a ·(2a －1)＋(－1)·a ＝0，即2a 2－2a ＝0，解得a ＝0或a ＝1. 答案：充分不必要2．经过点P (－5，－4)，且与两坐标轴围成的三角形的面积为5的直线方程是________________________________________________________________________．解析：由题意设所求方程为y ＋4＝k (x ＋5)，即kx －y ＋5k －4＝0.由12·|5k －4|·⎪⎪⎪⎪⎪⎪4k －5＝5，得k ＝85或k ＝25，故所求直线方程为8x －5y ＋20＝0或2x －5y －10＝0. 答案：8x －5y ＋20＝0或2x －5y －10＝03．圆心在直线2x －y －7＝0上的圆C 与y 轴交于两点A (0，－4)，B (0，－2)，则圆C 的方程为________________________________________________________________．解析：因为圆过A (0，－4)，B (0，－2)，所以圆心C 的纵坐标为－3，又圆心C 在直线2x －y －7＝0上，所以圆心C 为(2，－3)，从而圆的半径为r ＝AC ＝4＋1＝5，故所求的圆C 的方程为(x －2)2＋(y ＋3)3＝5.答案：(x －2)2＋(y ＋3)3＝54．(2019·扬州期末)已知直线l ：y ＝－x ＋4与圆C ：(x －2)2＋(y －1)2＝1相交于P ，Q 两点，则CP ―→·CQ ―→＝________.解析：根据题意知，圆C ：(x －2)2＋(y －1)2＝1的圆心坐标为(2,1)，半径r ＝1，圆心C 到直线l 的距离d ＝|2＋1－4|2＝22，则PQ ＝2r 2－d 2＝2，则∠PCQ ＝90°，故CP ―→·CQ ―→＝0.答案：05．过坐标原点且与圆x 2－4x ＋y 2＋2＝0相切的直线方程为________．解析：圆x 2－4x ＋y 2＋2＝0的圆心为(2,0)，半径为2，易知过原点与该圆相切时，直线有斜率．设斜率为k ，则直线方程为y ＝kx ，则|2k |k 2＋1＝2，所以k 2＝1，所以k ＝±1，所以直线方程为y ＝±x . 答案：y ＝±x6．已知圆C 1：(x ＋1)2＋(y －1)2＝1，圆C 2与圆C 1关于直线x －y －1＝0对称，则圆C 2的方程为_______________________________________________________________．解析：由题意得C 1(－1,1)，圆心C 2与C 1关于直线x －y －1＝0对称，且半径相等，则C 2(2，－2)，所以圆C 2的方程为(x －2)2＋(y ＋2)2＝1.答案：(x －2)2＋(y ＋2)2＝17．已知直线x ＋y －a ＝0与圆C ：(x －2)2＋(y ＋2)2＝4相交于A ，B 两点，且△ABC 为等腰直角三角形，则实数a ＝________.解析：由题意得圆的圆心为C (2，－2)，半径为2，由△ABC 为等腰直角三角形可知圆心到直线的距离为2，所以|2－2－a |2＝2，所以a ＝±2.答案：±28．在平面直角坐标系xOy 中，若与点A (2,2)的距离为1且与点B (m,0)的距离为3的直线恰有两条，则实数m 的取值范围是________________．解析：由题意知，以A (2,2)为圆心，1为半径的圆与以B (m,0)为圆心，3为半径的圆相交，所以4<(m －2)2＋4<16，所以－23＋2<m <23＋2，且m ≠2.答案：(2－23，2)∪(2,2＋23)9．已知A (－1,0)，B (2,1)，C (5，－8)，△ABC 的外接圆在点A 处的切线为l ，则点B 到直线l 的距离为________．解析：设△ABC 的外接圆的圆心为O (a ，b )，线段AB 的中点为D ，线段BC 的中点为E ，因为A (－1,0)，B (2,1)，C (5，－8)，所以D ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫72，－72，k AB ＝1－02－－1＝13，k BC＝－8－15－2＝－3，由OD ⊥AB ，OE ⊥BC ，得⎩⎪⎨⎪⎧12－b 12－a ×13＝－1，－72－b 72－a×－3＝－1，即⎩⎪⎨⎪⎧3a ＋b ＝2，a －3b ＝14，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－4.设直线l 的斜率为k ，则k ·k OA ＝－1，解得k ＝34，故直线l 的方程为y －0＝34(x ＋1)，即3x －4y ＋3＝0，故点B 到直线l 的距离为||2×3－4＋332＋－42＝1.答案：110．已知圆C ：x 2＋y 2－4x －2y －20＝0，直线l ：4x －3y ＋15＝0与圆C 相交于A ，B 两点，D 为圆C 上异于A ，B 两点的任一点，则△ABD 面积的最大值为__________．解析：因为圆C 的标准方程为(x －2)2＋(y －1)2＝25，所以圆心C (2,1)，半径r ＝5，所以圆心C 到直线l ：4x －3y ＋15＝0的距离为d ＝|4×2－3×1＋15|42＋－32＝4，所以AB ＝2r 2－d 2＝225－16＝6，因为D 为圆C 上异于A ，B 两点的任一点，所以D 到直线AB 即直线l ：4x －3y ＋15＝0的距离的最大值为d ＋r ＝9，所以△ABD 面积的最大值为12×6×9＝27.答案：2711．(2019·扬州中学模拟)已知点P (x 1，y 1)为圆C 1：(x －1)2＋(y －1)2＝4上的动点，Q (x 2，y 2)为圆C 2：(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝16上的动点，则集合M ＝{(x ，y )|x ＝x 1＋x 2，y ＝y 1＋y 2}表示的平面区域的面积为________．解析：法一：由题意知，C 1(1,1)，C 2(－2，－2)，(x 1－1)2＋(y 1－1)2＝4，(x 2＋2)2＋(y 2＋2)2＝16，C 1P ―→＝(x 1－1，y 1－1)，C 2Q ―→＝(x 2＋2，y 2＋2)．因为x ＝x 1＋x 2，y ＝y 1＋y 2，所以x ＋1＝(x 1－1)＋(x 2＋2)，y ＋1＝(y 1－1)＋(y 2＋2)，所以(x －1)2＋(y ＋1)2＝[(x 1－1)＋(x 2＋2)]2＋[(y 1－1)＋(y 2＋2)]2＝20＋2(x 1－1)(x 2＋2)＋2(y 1－1)(y 2＋2)＝20＋2C 1P ―→·C 2Q ―→＝20＋2×2×4cos θ＝20＋16cos θ∈[4,36](其中θ为C 1P ―→与C 2Q ―→的夹角)，所以集合M ＝{(x ，y )|x ＝x 1＋x 2，y ＝y 1＋y 2}表示的平面区域为以(－1，－1)为圆心，半径分别为2,6的圆所围成的圆环，则其面积S ＝36π－4π＝32π.法二：因为点P (x 1，y 1)为圆C 1：(x －1)2＋(y －1)2＝4上的动点，Q (x 2，y 2)为圆C 2：(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝16上的动点，所以可设x 1＝1＋2cos α，y 1＝1＋2sin α，x 2＝－2＋4cosβ，y 2＝－2＋4sin β，则x ＝x 1＋x 2＝(1＋2cos α)＋(－2＋4cos β)＝－1＋2cos α＋4cos β，y ＝y 1＋y 2＝(1＋2sin α)＋(－2＋4sin β)＝－1＋2sin α＋4sin β，所以(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝(2cos α＋4cos β)2＋(2sin α＋4sin β)2＝20＋16cos (α－β)∈[4,36]，所以集合M ＝{(x ，y )|x ＝x 1＋x 2，y ＝y 1＋y 2}表示的平面区域为以(－1，－1)为圆心，半径分别为2,6的圆所围成的圆环，则其面积S ＝36π－4π＝32π.答案：32π12．已知点P (t,2t )(t ≠0)是圆C ：x 2＋y 2＝1内一点，直线tx ＋2ty ＝m 与圆C 相切，则直线l ：x ＋y ＋m ＝0与圆C 的位置关系是________．解析：由点P (t,2t )(t ≠0)是圆C ：x 2＋y 2＝1内一点，得5|t |<1.因为直线tx ＋2ty ＝m 与圆C 相切，所以|m |5|t |＝1，所以|m |<1.圆C ：x 2＋y 2＝1的圆心(0,0)到直线x ＋y ＋m＝0的距离d ＝|m |2<1＝r .所以直线l 与圆C 的位置关系为相交．答案：相交13．(2019·无锡模拟)已知点A (1,0)，B (0,3)和圆C ：(x －3)2＋(y －2)2＝r 2(r >0)，若对于线段AB 上的任意一点P ，圆C 上都存在不同的两点M ，N ，满足PM ―→＝2MN ―→，则r 的取值范围为________．解析：法一：由题意得，线段AB 的方程为3x ＋y －3＝0(0≤x ≤1)．设P (m ，n )(0≤m ≤1)，N (x ，y )，则由PM ―→＝2MN ―→，得M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋m 3，2y ＋n 3.因为M ，N 均在圆C 上，所以⎩⎪⎨⎪⎧ x －32＋y －22＝r 2，⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋m 3－32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2y ＋n 3－22＝r 2，即⎩⎪⎨⎪⎧x －32＋y －22＝r 2，⎝⎛⎭⎪⎫x －9－m 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －6－n 22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32r 2.由题意知，以(3,2)为圆心，r 为半径的圆与以⎝⎛⎭⎪⎫9－m 2，6－n 2为圆心，3r 2为半径的圆有公共点，所以3r 2－r ≤⎝⎛⎭⎪⎫3－9－m 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2－6－n 22≤3r 2＋r .又3m ＋n －3＝0，所以r 2≤10m 2－12m ＋10≤25r 2.令f (m )＝10m 2－12m ＋10(0≤m ≤1)，易知f (m )＝10m 2－12m ＋10在[0,1]上的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤325，10，故r 2≤325且10≤25r 2，得25≤r 2<325.由题可知线段AB 与圆C 无公共点，所以(m －3)2＋(3－3m－2)2>r 2，所以r 2<325.综上，25≤r 2<325，故圆C 的半径r 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫105，4105.法二：过点C 作CD ⊥MN 于点D ，设CD ＝d ，MN ＝2l ，则PD ＝5l ，MD ＝l ，连接CP ，CM ，则⎩⎪⎨⎪⎧l 2＋d 2＝r 2，25l 2＋d 2＝CP 2，消去l ，得d 2＝25r 2－CP 224，因为0≤d 2<r 2，所以得r 2<CP 2≤25r 2.易得线段AB 的方程为3x ＋y －3＝0(0≤x ≤1)，设P (m ，n )(0≤m ≤1)，则3m ＋n －3＝0，所以CP2＝(m －3)2＋(n －2)2＝10m 2－12m ＋10，所以r 2<10m 2－12m ＋10≤25r 2对任意的m ∈[0,1]成立．令f (m )＝10m 2－12m ＋10(0≤m ≤1)，易知f (m )＝10m 2－12m ＋10在[0,1]上的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤325，10，故r 2<325且10≤25r 2，解得25≤r 2<325.易知线段AB 与圆C 无公共点，所以(m －3)2＋(3－3m －2)2>r 2对任意的m ∈[0,1]成立，所以r 2<325.综上，25≤r 2<325，故圆C 的半径r 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫105，4105.答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫105，410514．在平面直角坐标系xOy 中，圆O ：x 2＋y 2＝1，圆M ：(x ＋a ＋3)2＋(y －2a )2＝1(a 为实数)．若圆O 与圆M 上分别存在点P ，Q ，使得∠OQP ＝30°，则a 的取值范围为________．解析：过Q 作圆O 的切线QR ，切点为R ，根据圆的切线性质，有∠OQR ≥∠OQP ＝30°；反过来，如果∠OQR ≥30°，则存在圆O 上的点P ，使得∠OQP ＝30°.所以，若圆O 上存在点P ，使得∠OQP ＝30°，则∠OQR ≥30°.因为OP ＝1，所以OQ ＞2时不成立，所以OQ ≤2，即点Q 在圆面x 2＋y 2≤4上．又因为点Q 在圆M 上，所以圆M ：(x ＋a ＋3)2＋(y －2a )2＝1与圆面x 2＋y 2≤4有公共点，所以OM ≤3.因为OM 2＝(0＋a ＋3)2＋(0－2a )2，所以(0＋a ＋3)2＋(0－2a )2≤9，解得－65≤a ≤0.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤－65，0。

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