九年级数学下册小专题(六)圆周角与圆心角、弧、弦的综合应用作业课件 (新版)华东师大版

弧、弦、圆心角初中九年级数学教学课件PPT 人教版

探究二：圆心角、弧、弦之间的关系重点、难点知
动活11.按大知下胆识面操的作步探骤究做新一做：
识 ★▲
（′，沿圆周分别将两圆剪下；
（2）在⊙O和⊙O′上分别作相等的圆心角
∠AOB和∠A′O′B′，如图1所示，圆心
注意：固定。
在画∠AOB与∠A′O′B′时，要
探究三：圆心角、弧、弦之间关系定理动活的3 应大弧用胆度探相索等，。证明线段相等与
例3.如图，AB，CD是⊙O的弦，M、N 分别为AB、CD的中点且∠AMN=∠CNM，求证：AB=CD。
【思路点拨】由中点想到垂径定理，
由等角对等边定理可以得到线段与角度的相等关系，可以为证明全等三角形创造条件。
在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的
弧相等，所对的弦也相等。
探究二：圆心角、弧、弦之间的关系重点、难点知
活动2
集思广益证明新知
识 ★▲
根据对上述定理的理解，你能证明下列命题是
正确的吗？
（1）在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那
么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等；
（2）在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那
动以前是一个样的。这个现象跟圆的哪个性
质有关？说明钟钮左右两端转动180°后完全重合，
两端均在以轴心为圆心的圆上运动，说明圆
是中心对称图形，对称中心是圆心。
探究一：圆的中心对称性
活动1
归纳概括
想一想：由以上现象，概括圆的
对称性。
结论： 1.圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线。 2.圆是中心对称图形，对称中心为圆心。
练习：如图，AB是⊙O的直径， P、Q是AB
上两点，且AP=BQ ， C、ACD=是BD⊙O上两点，

圆周角和圆心角的关系课件第1课时北师大版九年级下册数学

A.40°
B.50°
C.60°
D.70°
合作探究
如图，已知圆心角∠AOB＝100°，求圆周角∠ACB、
∠ADB的度数.
合作探究
解:设优弧ADB所对的圆心角为∠1，∵∠AOB＝100°，

∴∠D＝ ∠AOB＝50°，∠1＝360°－∠AOB＝260°，

∴∠ACB＝ ∠1＝130°，

因此∠ACB、∠ADB的度数分别为130°、50°.
预习导学
1.如图，四个边长为1的小正方形拼成一个大正方形，A、B、
O是小正方形顶点，☉O的半径为1，P是☉O上的点，且位于右
上方的小正方形内，则∠APB等于( B )
A.30°
B.45°
C.60°
D.90°
预习导学
2.如图，AB、CD是☉O的两条弦，连接AD、BC.若∠BAD
＝70°，则∠BCD的度数为( D )
合作探究
如图，点A、B、C都在圆O上，OC⊥OB，点A在劣弧
BC上，且OA＝AB，求∠ABC的度数.
合作探究
解:∵OA＝OB，OA＝AB，
∴OA＝OB＝AB，
即△OAB是等边三角形，
∴∠AOB＝60°.
∵OC⊥OB，
∴∠COB＝90°，
∴∠COA＝90°－60°＝30°，
∴∠ABC＝15°.
合作探究
圆内的部分是圆的两条弦
.
；(2)
两边在
预习导学
圆周角定理及其推论
1.同弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
2.在
等.
同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相
预习导学
·导学建议·
在知识点二圆周角定理的得出和证明中，先把学生所画出

湘教版数学九年级下册(新)2.2.2《圆周角》课件(共31张PPT)

例2 证明：圆的两条平行弦所夹的弧相等. 已知：如图3-8，圆O中，弦AB与弦CD 平行. ︵︵求证： AC = BD
图3-8
证明
作直径EF垂直于弦AB，由于AB∥CD，因此EF⊥CD. 由于EF⊥AB，︵︵因此 AE = BE，由于EF⊥CD，︵︵因此 CE = DE . ︵︵︵︵从而 AE -CE = BE - DE ︵︵即 AC = BD.
E
F 图3-8
练习
1. 如图3-9，圆O中，AB∥CD. 求证：∠AOC=∠BOD. 答 ∵ AB∥CD. ︵︵ ∴ AC = BD
（由例题结论得)
∴ ∠AOC=∠BOD.
图3-9
2. 如图3-9，圆O中，AB∥CD. 求证：AC=BD. 答：∵ AB∥CD. ︵︵ ∴ AC = BD （由例题结论得） ∴ AC=BD.
A E
●
A E B D
C
O
B D
C
顶点在圆上,并且两边都与圆相交的角,叫做圆周角.

类比圆心角探知圆周角

在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆心角相等.
在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角有什么关系？
为了解决这个问题,我们先探究同弧所对的圆周角和圆心角之间有的关系.

你会画同弧所对的圆周角和圆心角吗?
图3-9
中考试题
例1
过⊙O内一点P的最长弦长为10cm，最短弦长为8cm，那么OP的长为（ A） A.3cm B.6cm C. 41 cm D. 9cm
解析如图，过点P 的最长弦为直径AB，最短弦为CD，且CD⊥AB，则
1 CP= 2CD=4cm，连接OC，则

圆周角和圆心角的关系ppt课件

50°，则∠EBC+∠ADC 的度数为 _______.
-18-
3.4 圆周角和圆心角的关系
解析：如解析图，连接 AB，DE，则∠ABE=∠ADE. ∵ 所对的圆心角的度数为 50°，∴∠ABE= ∠ADE =25°. ∵ 点 A，B，C，D 在 ⊙O 上，∴四边形 ABCD 是圆内接四边形， ∴∠ABC+∠ADC=180°， ∴∠ABE+∠EBC+∠ADC=180°， ∴∠EBC+∠ADC=180°-∠ABE=180°-25°=155°．答案：155° 题型解法：本题考查了圆周角定理和圆内接四边形的性质，作出辅助线构建圆内接四边形是解题的关键．
-10-
3.4 圆周角和圆心角的关系
■考点四圆内接四边形
定义
四边形的四个顶点都在同一个圆上，这个四边形叫做圆内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆
推论圆内接四边形的对角互补
拓展圆内接四边形的任何外角等于内对角
注意并不是所有的四边形都存在外接圆，只有对角互补的四边形才存在外接圆
-11-
3.4 圆周角和圆心角的关系
A． 20° B． 40°
C． 50° D． 70°
-7-
3.4 圆周角和圆心角的关系
3. 如图，已知△ABC 的三个顶点都在同一圆上，且 AC=6，BC=8，AB=10，则该圆的半径长是 ________.
（第 3 题图）
（第 4 题图）
4. 如图，AB=BC，∠ABC =120°，AD 为 ⊙O 的直径，AD=6，那么 AB 的
值为 ______.
-8-
3.4 圆周角和圆心角的关系
5. 如图，AB=AC，AB 是直径，求证：BC=2DE．（第 5 题图）

圆周角与圆心角的关系说课课件2023-2024学年北师大版九年级数学下册

回顾旧知，导入新课
定理证明，得到推论
教材分析总结归纳，认识定义
课堂总结，例题巩固
（2）这些圆周角与圆心角∠AOB 的大小有什么关系？
答：这些圆周角都等于圆心角
A
B
∠AOB 的一半．
O
猜想：圆周角的度数等于对应弧
的圆心角度数的一半。
D
E
C
教法与学法分析
学情分析
回顾旧知，导入新课
定理证明，得到推论
教材分析总结归纳，认识定义
和探索能力，并能在探索过程中形成自己的
观点，虽然观点不一定完全正确，但能在与
同学的交流及老师的引导下最终形成正确的
认识。
知识上：学生已经了解圆中的基本概念，会
判断圆心角，基本掌握圆心角的相关性质。
教材分析
学情分析
教法与学法分析
教学过程分析
教法分析
本节课的教学内容，推理论证的难度较大，本节又是本
章的一个重点，根据学生的年龄阶段正处在感性认识逐步成
课堂总结，例题巩固
议一议在下图中，改变∠AOB 的度数，你得到的结论还成立吗？
怎样证明你的猜想？
A
B
O
已知：∠C是AB 所对的圆周角，∠AOB是AB 所对的圆心角．
AB
1
2
求证：∠C=
∠ AOB．
定理证明，得到推论
教材分析总结归纳，认识定义
课堂总结，例题巩固
A
做一做如图，∠AOB=80°．
B
O
（1）请你画出几个 AB 所对的圆周角，这几个
圆周角有什么关系？与周围同学进行交流．
答：通过度量可以发现：∠ADB，
A
∠ACB，∠AEB 这几个圆周角相等且等于

北师大版九年级下册数学《圆周角和圆心角的关系》圆PPT教学课件

∠AOB=2∠BOC
A
∠ACB=2∠BAC .
O C
B
新知探究
【跟踪训练】
1.求圆中角x的度数 . 答案：35° , 120° .
O
C
70° x
A
B
2. 如图，在直径为AB的半圆中，O为圆
心，C，D为半圆上的两点，∠COD=50°，
则∠CAD=___2_5_º__.
D C 120°
O
A
xB
新知探究
新课导入
圆心角顶点发生变化时,我们得到几种情况?
在圆内
在圆外 . A
.A
.
O
.
O
B
C
B
C
A. 在圆上
.
O
B
C
思考：三个图中的∠BAC的顶点A各在圆的什么位置？角的两边和圆是什么关系？相交
新课导入
探究：
你能仿照圆心角的定义给圆周角下定义吗?
圆周角定义: 顶点在圆上,并且两边分别与圆还有另一个交点的角叫圆周角.
3.判断
（1）顶点在圆上的角叫圆周角.（ ×）（2）圆周角的度数等于所对弧的度数的一半.（ √）
4. 计算
·
（1）半径为R的圆中，有一弦分圆周成1：4两部分， O
则弦所对的圆周角的度数是___3_6_º_或__1_4_4__°___. D
（2）如图，已知圆心角∠AOB=100°，则圆周角
∠ACB=_1_3_0_º_，∠ADB=__5_0__º_.
B
O
AE
C
D
第三章圆
圆周角和圆心角的关系
第2课时
教学目标
1．掌握圆周角定理几个推论的内容，会熟练运用推论解决问题. 2．培养学生观察、分析及理解问题的能力. 3．在学生自主探索推论的过程中，经历猜想、推理、验证等环节，获得正确的学习方式.

北师大版九年级下册数学《圆周角和圆心角的关系》圆PPT课件教学课件(第2课时)

北京师范大学出版社九年级 | 下册
北京师范大学出版社九年级 | 下册
课时小结：
1．本节课我们探索了圆的对称性． 2．利用圆的轴对称性研究了垂径定理及其逆定理． 3．垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形，可解决弦长、半径、弦心距等计算问题．
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课后作业：
(一)课本习题3．2，1、2．试一试１. (二) 预习课本：P94～97内容
新课讲解
知识点2 直角所对的弦是直径
在如图中，圆周角∠A＝90°，弦BC是直径吗？为什么？
新课讲解
90°的圆周角所对的弦是直径.
新课讲解
典例分析
例如图，已知经过原点的⊙P与x轴、y轴分别交于A，B 两点，点C是劣弧OB上一点，则∠ACB等于( B ) A．80° B．90° C．100° D．无法确定
拓展与延伸
已知在半径为4的⊙O中，弦AB＝4 3 ，点P在圆上，则 ∠APB＝_6_0_°__或__1_2_0_°_．
第3单元 · 圆
圆的对称性
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问题：前面我们已探讨过轴对称图形，哪位同学能叙述一下轴对称图形的定义?
我们是用什么方法研究轴对称图形的?
北京师范大学出版社九年级 | 下册
交点，即垂足． 4．将纸打开，新的折痕与圆交于另一点B，如图.
问题：（1）右图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？
（2）你能发现图中有哪些等量关系？说一说你的理由。
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总结得出垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。推理格式：如图所示 ∵CD⊥AB，CD为⊙O的直径 ∴AM=BM，AD BD, AC BC .

北师大版九年级数学下册《圆——圆周角和圆心角的关系》教学PPT课件(6篇)

D
O2
O1
E
B
F
新知探究
【跟踪训练】
1.圆内接四边形ABCD中，∠A, ∠B, ∠C的度数之比是
135°
1：2：3，则这个四边形最大角的度数是_________.
D
A
2.四边形ABCD内接于圆，AD∥BC，AB+CD=AD+BC ,
25
若AD=4，BC=6，则四边形ABCD的面积为_______.
A
A
O
O
BB
C
C
课堂小测
3. 如图，点B，C在⊙O上，且BO=BC，则圆周角∠BAC等于（ D ）
A
A.60°
B.50°
C.40°
D.30°
O
B
C
课堂小测
4 . 如图，已知BD是⊙O的直径，⊙O的弦AC⊥BD于点E.若
∠AOD=60°，则∠DBC的度数为（ A）
A.30°
B.40°
C.50°
B
D.60°
D
C
OC垂直平分AD
(1)OC与AD的位置关系是__________________;
A
平行
(2)OC与BD的位置关系是___________;
4
(3)若OC=2cm,则BD=______cm.
O1
O
B
新知探究
4.如图,△ABC的顶点均在⊙O上, AB=4, ∠C=30°,求⊙O的直径.
解：连接AO并延长交⊙O于点E，
3 . 当圆心(O)在圆周角(∠ABC)的外部时,圆周角∠ABC与圆
心角∠AOC的大小关系会怎样?
提示:能否也转化为1的情况?
A
C
过点B作直径BD.由1可得:

九年级数学下册第2章圆2.2 圆心角、圆周角2.2.2 圆周角第1课时圆周角(1)课件(新版

A
∵ OA ＝ OC，
∴ ∠C ＝∠BAC，
∴ ∠BOC ＝∠C ＋∠BAC ＝ 2∠BAC，
即∠BAC ＝
1 2
∠BOC．
O
C
B
如何证明一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半？
对于第（2）种情况，圆心 O 在∠BAC 的内部．
A
作直径 AD，根据第（1）种情况的结果得
∠BAD
＝
1 2
∠BOD，
3.如图，点 A，B，C 在⊙O 上，AC∥OB．若 ∠OBA = 25°，求∠BOC 的度数.【教材P52页】
解 ∵AC∥OB， ∴∠BAC =∠OBA = 25°. ∵圆形角∠BOC与圆周角∠BAC 所对的弧为B C ， ∴∠BOC = 2∠BAC = 50°
随堂练习
选自《创优作业》
1. 下列结论中,正确的个数有（ B ） ①在同圆或等圆中,同弦所对的弧相等; ②相等的圆周角所对的弧相等; ③圆周角的度数等于它所对弧的度数的一半; ④半圆所对的弦是直径． A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个
A
O
C
B 点击播放
在圆上任取 BC ，画出圆心角∠BOC 和圆周角∠BAC，
圆心与圆周角有几种位置关系？
A A
A
O
C
B
圆周角的一边通过圆心
O
C
B
圆心在圆周角的内部
O
B C
圆心在圆周角的外部
如何证明一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半？
对于第（1）种情况，圆心 O 在 BAC 的一边 AB 上．
同学们，下课休息十分钟。现在是休
息时间，你们休息一下眼睛，
看看远处，要保护好眼睛哦~站起来动一动，久坐对身体不好哦~

2020版九年级数学下册第2章圆2.2圆心角、圆周角2.2.2圆周角(第1课时)课件(新版)湘教版

点C为A»B 的中点,若∠ABC=30°,则弦 AB的长为 ( D )
A. 1
B.5
2
C. 5 3
2
D.5 3
【变式二】如图,边长为1的小正方形构成的网格中,半
1
径为1的☉O在格点上,则∠AED的正切值为__2__.
【变式三】如图,将☉O沿弦AB折叠,圆弧恰好经过圆心 O,点P是优弧 A¼MB 上一点,则∠APB的度数为___6_0_°__.
知识点一圆周角定理(P52例2拓展)
【典例1】如图,点A,B,C,D在☉O上,
∠AOC=140°,点B是 A»C 的中点,则 ∠D的度数是 ( D )
A.70°
B.55°
C.35.5°
D.35°
【题组训练】 1.如图,点A,B,C在☉O上,∠ACB=35°, 则∠AOB的度数是 ( B ) A.75° B.70° C.65° D.35°
【新知预习】阅读教材P49-52,学习相关知识点并填空:
圆周角概念
顶点在___圆__上____,并且两边都与圆___相__交____的角
圆周角的度数等于它所对的弧上圆周角定理的圆心角度数的__一__半_____
在同圆或等圆中,同弧或等弧所圆周角与弧之间对的圆周角___相__等____,相等的圆
2
2
当点A在劣弧B»C上时,此时∠BAC=150°,
∴∠A的度数是30°或150°.
【一题多变】如图,☉O中,弦BC与半径OA相交于点D,连接AB,OC.若 ∠A=60°,∠ADC=85°,则∠C的度数是( D )
A.25°
B.27.5°
C.30°
D.35°
【母题变式】
【变式一】如图,☉O的半径为5,AB为弦,

人教版初中九年级数学课精品PPT教学课件-弧、弦、圆心角

再根据△AOB≌△A′O′B′，OC=OC′.
知识要点
弧、弦、圆心角的关系定理
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相
等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等．
A C
B
●O
┏ A′ C′B′ ②A⌒B=A′⌒B′
①∠AOB=∠A′O′B′
③AB=A′B′
④ OD=O′D′
这四组关系分别轮换，其它关系是否成立？
回顾旧知弦
连接圆上任意两点的线段叫做弦．
E
D
C O
A
B
F
圆弧（弧）
圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧． A
AB
半圆
O
B
圆是_轴__对__称______ 图形
O
将⊙O沿任何一条直径所在的直线对折，两部分图形___重__合___．
圆是
轴对称中心对称
图形
O
将⊙O 绕圆心 O 顺时针旋转180°，这两个图形__重__合____．
弧、弦、圆心角
圆心角顶点在圆心的角．
A O·
B
·O B
A
O· B
O·
A A
B
弦心距圆心到弦的距离（即圆心到弦的垂线段的距离）．
O·
A O·
A
┓ C
B
C B
探究
在⊙O中，分别作相等的圆心角∠AOB和∠A′OB′，将∠AOB旋转一定角度，使OA和O′A′重合．
A′ B
B′
·
O
A
A′
B′
B
∴AB=BC=CA．
B
C
∴∠AOB=∠BOC=∠AOC．
例题
已知：AB是⊙O 的直径，BC＝CD DE, ∠COD=35°