北师大版(2019)高一数学必修第一册第五章第一节方程解的存在性及方程的近似解教案

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利用二分法求方程的近似解高中数学北师大版2019必修第一册

(1,1.5)
1.25
f(1.25)≈-0.046 9
(1.25,1.5)
1.375
f(1.375)≈0.599 6
(1.25,1.375)
1.312 5
f(1.312 5)≈0.261 0
(1.25,1.312 5)
1.281 25
f(1.281 25)≈0.103 3
(1.25,1.281 25)
0.057 343
0.057 343
至此,得到区间[0.493 75,0.55],其区间长度为0.55-0.493 75=0.056
25<0.1,由于要求的精度为0.1,则这一区间内的任一数都可作为方
程的近似解,不妨取0.5作为方程的近似解.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
反思感悟利用二分法求方程近似解的注意事项
第3次
第4次
第5次
探究二
左端点
0.1
0.1
0.325
0.437 5
0.493 75
探究三
素养形成
左端点函数值
-0.933 033
-0.933 033
-0.286 415
-0.097 435
-0.016 670
右端点
1
0.55
0.55
0.55
0.55

利用函数性质判定方程解的存在性获取数据的途径(2) 高一下学期数学北师大版(2019)必修第一册

= 在区间， Leabharlann Baidu存在零点？为什么？
y
不一定．
1

如 = ， −1 = −1， 1 = 1， −1 • 1 < 0，
但是该函数在 −1，1 内没有零点．因为函数的图象是断开的，
虽然函数值从负变到正，但图象却没有“穿过”轴．
−1
1
O1
x
−1
除了函数 = 在区间[，]上满足 • < 0，根据前面的讨论，追
4 =6>0
0，4 内必有一点x1 ，使f x1 = 0；
同理，在区间 −4，0 内也必有一点x2 ，使f x2 = 0．
因此，方程x 2 − x − 6 = 0有两个不相等的实数根．
0 = −6 < 0
抛物线开口向上
定义
使得 0 = 0的数0 称为方程 = 0的解，也称为函数的零点．
故方程3 − 2 = 0在区间 −1，0 内有解．
判定方程 − 2 − 5 = 1有两个不相等的实数根，且一个根大于5，另一
个根小于2．
构造函数 = − 2 − 5 − 1，在小于2，大于5的范围内各取一个区间，分别
运用零点存在定理即可．
解：设函数 = − 2 − 5 − 1，显然有 2 5 = −1 < 0．
至少有一个零点，即在区间，内相应的方程 = 0至少有一个解．

北师大版高中数学必修第一册第五章《函数应用》§1《方程解的存在性及方程的近似解》PPT课件

题型二确定函数零点的个数【例2】判断下列函数零点的个数：
(1)f(x)＝x2－34x＋58； (2)f(x)＝ln x＋x2－3. 解 (1)由 f(x)＝0，即 x2－34x＋58＝0，得 Δ＝－342－4×58＝－3116<0，所以方程 x2－34x＋58＝0 没有实数根，即 f(x)零点的个数为 0.
(2)∵f(x)＝x2＋3(m＋1)x＋n的零点是1和2， ∴f(1)＝12＋3(m＋1)＋n＝0，即3m＋n＋4＝0，① f(2)＝4＋3×2×(m＋1)＋n＝0，即6m＋n＋10＝0，② 由①②可解得m＝－2，n＝2.
代入函数y＝logn(mx＋1). 故函数y＝logn(mx＋1)的解析式为y＝log2(－2x＋1). 令y＝log2(－2x＋1)＝0，即－2x＋1＝1，可得x＝0. ∴函数y＝logn(mx＋1)的零点是0.
[微训练]
1.函数f(x)＝log2(x－1)的零点是( )
A.(1，0)
B.(2，0)
C.1
D.2
答案 D
Leabharlann Baidu
2.函数f(x)＝3x－4的零点所在区间为( )
A.(0，1)
B.(－1，0)
C.(2，3)
D.(1，2)
答案 D
3.函数f(x)＝lg x＋x－3的零点有________个. 答案 1

北师大版高中数学课件第五章 1.1 利用函数性质判定方程解的存在性

又因为函数定义域为(0,+∞),所以-2不是函数的零点,故函数有1和2两个零
点.
1
2 1
3
2 1
(2)(方法一)令 f(x)=x -=0,得 x =,即 x =1,解得 x=1,故函数 f(x)=x -只有一
2
个零点.
1
1
2 1
2
(方法二)令 f(x)=x - =0,得 x = ,设 g(x)=x ,h(x)= (x≠0),
(方法二)令h(x)=2-2x,g(x)=lg(x+1),在同一平面直角坐标系中作出h(x)与g(x)
的图象,如图所示.
由图象知g(x)=lg(x+1)和h(x)=2-2x的图象有且只有
一个公共点,即f(x)=2x+lg(x+1)-2有且只有一个零点.
反思感悟判断函数零点个数的常用方法
(1)解方程f(x)=0,方程f(x)=0解的个数就是函数f(x)零点的个数.
再证明该函数在定义域内单调.
变式训练 2(1)若abc≠0,且b2=ac,则函数f(x)=ax2+bx+c的零点的个数是
(
)
A.0
B.1
C.2
D.1或2
(2)判断函数f(x)=x-3+ln x的零点个数.
(1)解析∵b2=ac,
∴方程ax2+bx+c=0的判别式Δ=b2-4ac=b2-4b2=-3b2.

新教材高中数学5.1.1利用函数性质判定方程解的存在性一课一练(含解析)北师大版必修一

第五章函数应用

§1方程解的存在性及方程的近似解 1.1利用函数性质判定方程解的存在性

知识点1 函数的零点

1.☉%310#2@￥*%☉下列图像表示的函数中没有零点的是( )。

图5-1-1-1

答案：A

解析：观察图像可知,A 选项中图像表示的函数没有零点。故选A 。 2.☉%7#1@￥67#%☉函数f (x )=2x -3的零点为( )。 A.(3

2,0) B.(0,3

2) C.3

D.23

答案：C

解析：由f (x )=0,得2x -3=0,解得x =3

,所以函数f (x )=2x -3的零点为3

。故选C 。

3.☉%31@9@#1#%☉(2020·玉溪一中期中)下列函数不存在零点的是( )。 A.y =x -1

x B.y =√2x 2-x -1

C.y ={x +1(x ≤0),x -1(x >0)

D.y ={x +1(x ≥0),x -1(x <0)

答案：D

解析：令y =0,得选项A 和C 中函数的零点均为1和-1;B 中函数的零点为-1

2和1;只有D 中函数无零点。故选D 。

4.☉%9#*1#18*%☉(2020·辽宁省实验中学期中)若y =f (x )是奇函数且x 0(x 0≠0)是y =f (x )+e x

的一个零点,则-x 0一定是下列哪个函数的零点?( )。

A.y =f (-x )e x -1

B.y =f (-x )e -x

C.y =f (x )e x -1

D.y =f (x )e x

+1 答案：C

解析：因为f (x )是奇函数,所以f (-x 0)=-f (x 0),而x 0是y =f (x )+e x

5_1_1利用函数性质判定方程解的存在性-高一数学综合训练(北师大版2019必修第一册)

3－5＋a<0，
f3>0，
27－15＋a>0，
解得－12<a<0.
导入课题新知探究典例剖析课堂小结
思考探究：函数零点个数的判断
1
的零点个数.
−1
思考4：求函数 = ln −
1
1
解：由 f(x)＝ln x－
＝0 得 ln x＝
，
x－1
x－1
1
在同一坐标系中画出 y＝ln x 与 y＝
1，零点
2，零点存在定理
3，注意事项
1，数形结合的思想方法：函
数的图象与轴交点的横坐标、
对应方程的解、函数的零点，
这三者之间的转化，是高中常
用的解题方法之一，也是函数
思想的重要应用;
导入课题新知探究典例剖析课堂小结
课后作业
作业1：课本P134 A组T1
作业2：课本P135 A组T1
谢谢聆听！
方程有两个不相等的实数根.
现在，我们换种方法，从函数的角度来研究处理这个问题：
设函数 = − − ，则其图象如图所示，
由图可知， = − < ， = > ，
− = > ，由于函数的图象是连续的曲
线，因此点 , − 与点 , 之间的那部分
则 1 = −10 < 0， 2 = 3 > 0，

北师大版高一数学必修第一册(2019版)_《利用函数性质判定方程解的存在性》重点难点突破

1 / 1

《函数概念》重点难点突破

1.函数的零点与方程的解.

函数的零点是对应方程的实根，也是函数图象与x 轴交点的横坐标，而不是一个点.求函数零点的方法：（1）代数法：求方程()=0f x 的实数根.（2）几何法：对于不能求解的方程，可以将它与函数()y f x =的图象联系起来，利用函数的图象找出零点.

2.判断函数零点所在的大致区间.

若函数()y f x =在闭区间[a ，b ]上的图象是一条连续曲线，并且在区间端点的函数值符号相反，即()<)0(f a f b ⋅，则在区间（a ，b ）内函数()y f x =至少有一个零点，即相应方程()=0f x 在区间（a ，b ）内至少有一个实数解.

3.零点个数的判定.

（1）判断二次函数2()f x ax bx c =++的零点个数就是判断一元二次方程20ax bx c ++=的实数根个数.一般地，根据判别式0,0,0∆>∆=∆<来判断.

（2）对于二次函数在某个闭区间上零点的个数，若不能用∆来判断，则要结合二次函数的图象进行判断.

（3）对于一般函数零点的个数判断问题，可把()=0f x 化为=()()g x h x 的形式，其中函数()g x 与()h x 均是基本初等函数，它们图象交点的个数就是方程()=0f x 的解的个数，即函数()f x 的零点的个数.

（4）若函数()y f x =在闭区间[],a b 上的图象是一条连续曲线，并且在区间端点的函数值符号相反，即()<)0(f a f b ⋅，则在区间(),a b 内，函数()y f x =至少有一个零点，即相应的方程()=0f x 在区间(),a b 内至少有一个实数解.

数学北师大版必修第一册 5.1方程解得存在性及方程的近似解作业 Word版含解析

2020-2021学年高一数学北师大版（2019）必修一同步课时作业 5.1

方程解得存在性及方程的近似解

1.函数2()e 2x f x x =-的零点个数为( )

A.0

B.1

C.2

D.3

2.已知函则函数2943,0()2log 9,0x x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨+->⎪⎩

则函数()()y f f x =的零点所在区间为( ) A.7(3,)2 B.(1,0)- C.7(,4)2 D.()4,5

3.函数()ln 3f x x x =+-的零点位于区间( )

A.(0,1)

B.(1,2)

C.(2,3)

D.(3,4)

4.根据表格中的数据,可以判定方程e 20x x --=的一个根所以的区间为( ) x

-1 0 1 2 3 e x 0.37

1 2.7

2 7.39 20.09 2x + 1 2

4 5

A. ()1,0-

B. ()0,1

C. ()1,2

D. ()2,3 5.已知函数32()log f x x x =

-，在下列区间中包含()f x 零点的是（） A ．(0,1) B ．(1,2) C ．(2,3) D ．(3,4) 6.函数()23x f x x =-的零点所在的区间是( )

A ．()0,1

B ．()2,1--

C ．()1,2

D ．()1,0-

7.用二分法求方程3250x x --=在区间[]2,3内的实根，下一个有根区间是( )

A.[]2,2.5

B.[]2.5,3

C.[]2,2.25

D.[]2.75,3 8.已知函数()131,2x f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭

那么在下列区间中含有函数()f x 零点的是( ) A ．10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭ B ．11,32⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．12,23⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．2,13⎛⎫ ⎪⎝⎭

新教材北师大版高中数学必修一 5.1.1利用函数性质判定方程解的存在性教学课件

的零点是 0，－12. 答案：C
第十二页，共三十七页。
3．函数 f(x)＝x－1的零点是________． x
解析：令 f(x)＝x－1＝0 得 x＝±1.∴函数 f(x)＝x－1的零点是±1.
x
x
答案：±1
第十三页，共三十七页。
4．函数 f(x)＝log2x－1 的零点为________．解析：令 f(x)＝log2x－1＝0，得 x＝2，所以函数 f(x)的零点为 2. 答案：2
x
第四页，共三十七页。
(2)零点存在定理只能判断出零点的存在性，而不能判断出零点的个数．如图(1)(2)，虽然都有 f(a)·f(b)<0，但图(1)中函数在区间(a， b)内有 4 个零点，图(2)中函数在区间(a，b)内仅有 1 个零点．
第五页，共三十七页。
(3)零点存在定理是不可逆的，因为 f(a)·f(b)<0 可以推出函数 y＝f(x) 在区间(a，b)内存在零点．但是，已知函数 y＝f(x)在区间(a，b)内存在零点，不一定推出 f(a)·f(b)<0.如图(3)，虽然在区间(a，b)内函数有零点，但 f(a)·f(b)>0. (4)如果单调函数 y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有 f(a)·f(b)<0，那么函数 y＝f(x)在区间(a，b)内有唯一的零点，即存在唯一的 c∈(a，b)，使得 f(c)＝0，这个 c 也就是方程 f(x)＝0 的根．

利用二分法求方程的近似解ppt课件

0.734375
-0.004768372
0.7421875
0.044219017
0.0078125
区间[0.734375，0.7421875]的区间长度为0.0078125，它小于0.01．而方程的解就在这个区间
内，因此区间内的任意一个数都是满足精确度的近似解，
例如，0.74 就是方程2 3 + 3 − 3 = 0精确度为0.01的一个近似解．
线路发生了故障，这是一条长10 km的线路，如果沿着线路
一小段一小段查找，困难很多，每查一个点要爬一次电线杆，
10 km大约有200多根电线杆呢．如何迅速查出故障所在？
故障

故障
要把故障可能发生的范围缩小到50 m左右，即两根电线杆附近，要查多少次？ 8次
02
探索新知
实例分析
我们已经学过一元一次方程、一元二次方程的解法，但是，绝大部分方程没有
选定初始区间
取区间中点
是
初始区间是一个两端点函数值异号的区间；
新区间的一个端点是原区间的中点，另一
中点函数值为0
端点是原区间两端点中的一个，并且新区
否
间两端点的函数值异号．
得到新区间
初始区间选的不同，虽然不影响最终计算
新区间的长度
小于精确度
是
选取区间内的任意一个数

新教材高中数学第五章函数应用1-1利用函数性质判定方程解的存在性课件北师大版必修第一册

4．函数f(x)＝x2＋kx－2k2的顶点在直线x＝2上，求f(x)的零点．
[解析] f(x)的顶点－2k，－94k2在直线 x＝2 上， ∴k＝－4，由 x2－4x－32＝0，得 f(x)的零点为－4 和 8.
3 ．若函数 f(x) ＝ x2 ＋ ax ＋ b 的零点是 2 和－ 4 ，则 a ＝ ___2__ ， b ＝ __－__8___．
[解析] 由题意可知，2 和－4 是方程 x2＋ax＋b＝0 的两根， ∴22＋ ×（（－－44））＝＝－b，a，∴ab＝＝－2，8.
4．求函数y＝(ax－1)(x＋2)的零点．
又方程 f(x)＝12有三个不同的实根，则 x≥2 时，f(x)＝12有一个实根，由 f(x)＝kx＝12，得 x＝2k≥2，所以 k≥1.
课堂检测•固双基
1．函数f(x)＝x2＋x＋3的零点的个数是
A．0
B．1
C．2
D．3
解析：令x2＋x＋3＝0，Δ＝1－12＝－11<0，
∴方程无实数根，故函数f(x)＝x2＋x＋3无零点．
题型三
判断函数零点所在的区间
例 3 函数 f(x)＝ln x－2x的零点所在的大致区间是
( B)
A．(1，2)
B．(2，3)
C．(3，4)
D．(e，＋∞)
[解析] 函数 f(x)＝ln x－2x在(0，＋∞)上单调递增，又因为 f(1)＝－

新教材高中数学五章函数应用1方程解的存在性及方程的近似解1.2利用二分法求方程的近似解课件北师大版必修一

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北师大版高中数学课件必修第1册第五章函数应用

(B)
A．[－1，1)
B．[－1，2)
C．[－2，2)
D．[0，2]
解析
－x＋2，x>a，令 g(x)＝f(x)－2x，则由题意可得函数 g(x)＝ x2＋3x＋2，x≤a恰有三个不同的零点．如图，作出函数 y＝－
x＋2 与 y＝x2＋3x＋2 的图象，结合图象可知－1≤a<2，故选 B.
1.1 利用函数性质判定方程解的存在性刷易错
1.1 利用函数性质判定方程解的存在性刷基础
（x＋1）ln x
5．[重庆江津中学 2021 高一月考]求函数 f(x)＝
的零点．
x－3
解析
（x＋1）ln x
（x＋1）ln x
函数 f(x)的定义域为{x|x＞0 且 x≠3}，令
＝0，则 ln x＝0，得 x＝1，即函数 f(x)＝
x－3
x－3
的零点是 1.
f（0）＝a＜0，
2
1
f（2）＝5a－2＞0，解得＜a＜；③当 a＜0 时，则 f（2）＝5a－2＜0，无解．
1 0＜＜2，
5
2
1 0＜＜2，
2a
2a
21
2
1
综上所述，f(x)在(0，2)上有两个不相等的零点时，＜a＜ .∵
， 52
5
2
11 ，
4 2，