2017中考数学复习课件 第二章：一元二次方程及其应用

4．一元二次方程的根与系数的关系 若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根分别为x1，x2，则有x1＋ b c －a ，x x ＝__________ x2＝_________ ． a 1 2 5．一元二次方程的应用：步骤及常见关系参看第6讲
1 ． 使用一元二次方程的根的判别式及根与系数的关系时 ， 必须将 一元二次方程转化为一般式 ax2 ＋ bx ＋ c ＝ 0 ， 以便确定 a ， b ， c 的 值． 2 ． 正确理解“方程有实根”的含义．若有一个实数根则原方程为
3．一元二次方程的根的判别式 对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)： 不相等 (1)b2－4ac＞0⇔方程有两个________ 的实数根； 相等 的实数根； (2)b2－4ac＝0⇔方程有两个________ 无 实数根； (3)b2－4ac＜0⇔方程______ 有 (4)b2－4ac≥0⇔方程______ 实数根．
解：(1)(2x－1)2＝9，2x－1＝± 3 ，∴ x ＝
2
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1± 3 2 ，x1＝2，x2＝－1
：3x＝0或x－2＝0，进而得到原方程的解为x1＝0，x2＝2，这种解
法体现的数学思想是( A A．转化思想 ) B．函数思想
C．数形结合思想 D．公理化思想
2．(2013·山西)解方程：(2x－1)2＝x(3x＋2)－7.
解：原方程可化为：4x2－4x＋1＝3x2＋2x－7，∴x2－6x＋8＝0， ∴(x－3)2＝1，∴x－3＝±1，∴x1＝2，x2＝4
2．解法 (1)直接开平方法：方程符合 x2＝m(m≥0)或(x±m)2＝n(n≥0)的形
式；
(2)配方法：①二次项系数化1；②移项；③配方：方程两边都加 上一次项系数一半的平方；④原方程写成 a(x ＋ h)2＝k 的形式；⑤
当k≥0时，直接开平方求解；
(3)公式法：①化一般形式；②确定a，b，c的值；③求出b2－4ac 的 值 ； ④ 当 b2 － 4ac≥0 时 ， 将 a ， b ， c 的 值 代 入 得 x ＝ －b± b2－4ac 2 (b －4ac≥0) ； ________________________ 2a (4)因式分解法：①将方程右边化为0；②将方程左边进行因式分 解；③令每个因式为零得两个一元一次方程；④解这两个一元一 次方程，得原方程的两个根．
2．(2012·山西)某山西特产专卖店销售核桃，其进价为每千克 40 元 ， 按每千克 60 元出售 ， 平均每天可售出 100 千克 ， 后来经过市 场调查发现 ， 单价每降价 2 元 ， 则平均每天的销售量可增加 20 千克 ，若该专卖店销售这种核桃要想平均每天获利2240元，请回答： (1)每千克核桃应降价多少元？ (2)在平均每天获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得 市场，该店应按原售价的几折出售？
数学
山西省
第二章 方程与不等式
一元二次方程及其应用
1．定义 2 ，这样 一个未知数 ，并且未知数的最高次数是______ 只含有____________
的整式方程叫做一元二次方程．通常可写成如下的一般形式：
ax2＋bx＋c＝0(a，b，c是已知数，a≠0) _________________________________________ ，其中a，b，c分 别叫做二次项系数、一次项系数和常数项．
【点评】 解一元二次方程要根据方程的特点选择合适的方法解 题，但一般顺序为：直接开平方法→因式分解法→公式法．
[对应训练] 1．用指定的方法解下列方程： (1)(2x－1)2＝9；(直接开平方法) (2)2x2＋1＝3x；(配方法) (3)x2－2x－8＝0；(因式分解法) (4)x(x＋1)＋2(x－1)＝0.(公式法)
命题点2：一元二次方程的应用
1．(2014·山西)某项绿化工程中有一块长为20米，宽为8米的矩
形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地 ，它们的面积之和为 56米2，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道 (如图所示)， 问人行通道的宽度是多少米？
解：设人行通道的宽度是y米．根据题意，得(20－3y)(8－2y)＝ 26 56，解得y1＝2，y2＝ 3 (不合题意，舍去)，答：人行通道的宽度是2 米
一元一次方程；若有两个实数根则原方程为一元二次方程．在解题
时，要特别注意“方程有实数根”“有两个实数根”等关键文字， 挖掘出它们的隐含条件，以免陷入关键字的“陷阱”．
命题点1：解一元二次方程 1．(2015·山西)我们解一元二次方程3x2－6x＝0时，可利用因 式分解法，将此方程化为3x(x－2)＝0，从而得两个一元一次方程
【例1】 解下列方程： (1)x2－2x＝0；
(2)(2015·大连)x2－6x－4＝0；
(3)(y＋3)(1－3y)＝1＋2y2； (4)(3x＋5)2－5(3x＋5)＋4＝0.
解：(1)x2－2x＝0，x(x－2)＝0，∴x1＝0，x2＝2 (2)移项得x2－6x＝4，配方得x2－6x＋9＝4＋9，即(x－3)2＝ 13，开方得x－3＝± 13，∴x1＝3＋ 13，x2＝3－ 13 (3)(y＋3)(1－3y)＝1＋2y2，y－3y2＋3－9y＝1＋2y2，∴5y2＋ －8± 104 －4± 26 －4＋ 26 8y－2＝0，y＝ ＝ ，∴y1＝ ，y 2 ＝ 5 5 2 ×5 －4－ 26 5 (4)(3x＋5)2－5(3x＋5)＋4＝0，(3x＋5－1)(3x＋5－4)＝0，(3x 4 1 ＋4)(3x＋1)＝0，3x＋4＝0或3x＋1＝0，∴x1＝－3，x2＝－3
解：(1)设每千克核桃降价x元．根据题意，得(60－x－40)(100 x ＋ 2 ×20)＝2240，化简得x2－10x＋24＝0，解得x1＝4，x2＝6， 答：每千克核桃应降价4元或6元 (2)由(1)可知，每千克核桃可降价4元或6元，因为要尽可能多 地让利于顾客，所以每千克核桃应降价6元，此时：售价为60－6＝ 54 54(元)，60×100%＝90%，答：该店应按原售价的九折出售