八.几何计算题选讲

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立体几何选讲

立体几何选讲（1）1．在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，B 1C 和C 1D 与底面所成的角分别为60°和45°，则异面直线C B 1和C 1D 所成的角的余弦值为2．以平行六面体相邻两个面上互相异面的两条面对角线的端点为顶点的四面体的体积是平行六面的体积的3．已知正方体ABCD －A'B'C'D'，则该正方体的体积、四棱锥C'-ABCD 的体积以及该正方体的外接球的体积之比为________．4．设有四个条件：①平面γ与平面α、β所成的锐二面角相等；②直线a ∥b ，a ⊥平面α，b ⊥平面β；③a 、b 是异面直线，a ⊂α，b ⊂β，且a ∥β，b ∥α；④平面α内距离为d 的两条直线在平面β内的射影仍为两条距离为d 的平行线.其中能推出α∥β的条件有__________.(填写所有正确条件的代号)5．如图，空间有两个正方形ABCD 和ADEF ，M 、N 分别在BD 、AE 上，有BM ＝AN ，那么①MN AD ⊥；②MN ∥平面CDE ；③MN ∥CE ；④MN 、CE 是异面直线．以上四个结论中，不正确的是________．6．一个正四棱锥的底面边长为2，侧棱长为3，五个顶点都在同一个球面上，则此球的表面积为 .7．正三棱锥ABC S -侧棱长为a ，F E ,分别是SC SA ,上的动点，BEF ∆，侧棱SC SA ,的夹角大小为 ___________8．如图，已知三棱锥P —ABC 中，PA ⊥平面ABC ，PA=3，AC=4，PB=PC=BC.(1)求三棱锥P —ABC 的体积V ；(2)作出点A 到平面PBC 的垂线段AE ，并求AE 的长；9．在棱长为a 的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是棱BC 、CD 上的点，且B 1F ⊥D 1E ．(1)求证：BE ＝CF ；(2)当三棱锥C 1－CEF 的体积取得最大值时，求二面角C 1－EF －C 的大小．A B C D D 1 A 1 B 1 C 1 E F10．如图，平面VAD⊥平面ABCD，△VAD是等边三角形，ABCD是矩形，AB∶AD＝2∶1，F是AB的中点．（1）求VC与平面ABCD所成的角；（2）当V到平面ABCD的距离是3时，求B到平面VFC的距离．。

高中数学几何证明选讲详解

【规范解答】因为以AC为直径的圆与AB交于点D,所Ｔ１5）如图，已知Rt△ABC的两条直角边AC，BC的长分别为3cm，4cm，以AC为直径的圆与AB交于点D，则BD＝cm.
【命题立意】本题考查几何证明选做题的解法，属送分题
【思路点拨】条件
【规范解答】因为以AC为直径的圆与AB交于点D,所以
A. B. C. D.
【解析】设半径为 ,则 ,由得 ,从而 ,故 ,选A.
7.在中, 分别为上的点,且 , 的面积是 ,梯形的面积为 ,则的值为( )
A. B. C. D.
【解析】 ,利用面积比等于相似比的平方可得答案B.
8.半径分别为1和2的两圆外切,作半径为3的圆与这两圆均相切,一共可作( )个.
5．（2010·天津高考理科·Ｔ１4）如图，四边形ABCD是圆O的内接四边形，延长AB和DC相交于点P，若 ,则的值为
【命题立意】考查三角形的相似性质的应用。
【思路点拨】利用相似三角形的性质进行转化。
【规范解答】由题意可知 ∽ 相似，
所以 ,由及已知条件
可得 ,又 , 。
【答案】
6．（2010·广东高考文科·Ｔ14）如图3，在直角梯形ABCD中，DC∥AB，CB⊥AB，AB=AD=a，CD= ，点E，F分别为线段AB，CD的中点，则EF=.
【答案】
7.（2010·广东高考理科·Ｔ14）如图3，AB，CD是半径为a的圆O的两条弦，它们相交于AB的中点P，PD= ，∠OAP=30°，则CP＝______.
【命题立意】本题考察垂径定理及相交弦定理.
【思路点拨】由垂径定理得，算出，再由相交弦定理求出
【规范解答】因为为的中点，由垂径定理得，在中，，由相交弦定理得：，即，

初中数学《几何意义及经典试题》讲义及练习

内容基本要求略高要求较高要求绝对值借助数轴理解绝对值的意义，会求实数的绝对值会利用绝对值的知识解决简单的化简问题板块一：绝对值几何意义当x a =时，0x a -=，此时a 是x a -的零点值．零点分段讨论的一般步骤：找零点、分区间、定符号、去绝对值符号．即先令各绝对值式子为零，求得若干个绝对值为零的点，在数轴上把这些点标出来，这些点把数轴分成若干部分，再在各部分内化简求值． a 的几何意义：在数轴上，表示这个数的点离开原点的距离．a b -的几何意义：在数轴上，表示数a 、b 对应数轴上两点间的距离．【例1】（2级）m n -的几何意义是数轴上表示m 的点与表示n 的点之间的距离．⑴ x 的几何意义是数轴上表示的点与之间的距离；x 0x -（>，=，<）； ⑵ 21-的几何意义是数轴上表示2的点与表示1的点之间的距离；则21-= ； ⑶ 3x -的几何意义是数轴上表示的点与表示的点之间的距离，若31x -=，则 x = ．⑷ 2x +的几何意义是数轴上表示的点与表示的点之间的距离，若22x +=，则 x = ．⑸ 当1x =-时，则22x x -++= ．【解析】 ⑴ x ，原点；=；⑵1；⑶x ，3，2或4；⑷x ，2-，0或4-；⑸4．【例2】（4级）已知m 是实数，求12m m m +-+-的最小值【解析】根据绝对值的几何意义，这个问题可以转化为在数轴上找一点m ，使点m 到点0，点1和点2的距离之和最小，显然当1m =时，原式的最小值为2【例3】（4级）已知m 是实数，求2468m m m m -+-+-+-的最小值【解析】根据绝对值的几何意义，这个问题可以转化为在数轴上找一点m ，使m 到点2，点4，点6和点8的距离和最小，显然当点m 在点4和点6之间（包括点4和点6）时，原式的值最小为8【例4】（6级）设123...n a a a a ，，，是常数（n 是大于1的整数），且123...n a a a a <<<<，m 是任意实数，试探例题精讲中考要求几何意义及经典试题索求123...n m a m a m a m a -+-+-++-的最小值的一般方法【解析】根据题意，结合数轴，不难得到：⑴当n 为奇数时，即当21n k =+（k 为正整数）时，点m 应取在点1k a +处，原式的值最小，最小值为()()()211222...k k k k a a a a a a ++-+-++-⑵当n 为偶数2k （k 是正整数）时，m 应取点k a 和点1k a +之间的任意位置，原式的值最小，最小值为()()()212121...k k k k a a a a a a -+-+-++-【例5】（8级）122009x x x -+-++-的最小值为．【解析】当1005x =时，122009x x x -+-++-取到最小值：122009x x x -+-++-100511005210052009=-+-++-1004100310110031004=++++++++(10041)10041009020=+⨯=点评：若1221n a a a +<<<，当1n x a +=时，1221n x a x a x a +-+-++-取得最小值．若122n a a a <<<，当x 满足1n n a x a +≤≤时，122n x a x a x a -+-++-取得最小值．【巩固】（8级）试求123...2005x x x x -+-+-++-的值【解析】联想到绝对值的几何意义：n x x -即表示数轴上数x 的对应点与数n x 的对应点的距离，把这些绝对值转化为同一数轴上若干条线段之和来研究，发现12x x -+-，当12x ≤≤时，它有最小值1，对于123x x x -+-+-，当2x =时，最小值为2，…猜想当1003x =时，原式有最小值最小值为123...2005x x x x =-+-+-++-100311003210033...10032005=-+-+-++- 100210011000...21012...1002=++++++++++()10021002122⨯+=⨯1005006=【巩固】（6级）(2000年郑州市中考题)设a b c <<，求当x 取何值时x a x b x c -+-+-的最小值．【解析】 x a x b x c -+-+-实际表示x 到a b c ，，三点的距离和，画图可知当x b =时，原式有最小值为c a -．【巩固】（6级）（2009年全国初中数学联赛四川初赛试卷）若1x 、2x 、3x 、4x 、5x 、6x 是6个不同的正整数，取值于1，2，3，4，5，6，记122334455661||||||||||S x x x x x x x x x x x x =-+-+-+-+-+-，则S 的最小值是．【解析】利用此题我们充分展示一下数形结合的优越性：利用绝对值的几何意义122334455661||||||||||x x x x x x x x x x x x -+-+-+-+-+-在数轴上表示出来，从1x 开始又回到1x ，我们可以看成是一个圈，故最小值为10，如下图所示，即使重叠路程最少．【例6】（6级）（选讲）正数a 使得关于x 的代数式162x x x a ++-+-的最小值是8，那么a 的值为．【解析】如果6a ≤，那么当x a =时，16216(1)(6)7x x x a a a a a ++-+-=++-=++-=，小于8与已知条件矛盾．所以6a >，那么算式162x x x a ++-+-的几何意义是点x 到1-、6、a 、a 的4个距离之和，当6x a ≤≤时取最小值，因此令6x =可得7268a +-=，解得132a =．【巩固】（6级）（第七届“走进美妙的数学花园”）182324x x a x x -+-+-+-的最小值为12，则a 的取值范围是．【解析】最小值一定能在零点处取到，而零点处代数式值为142a +、5a +、12、19a +，故12是这四个数中最小的，即14212a +≥且512a +≥且1912a +≥，所以7a ≥．【例7】（6级）（第18届希望杯培训试题）已知代数式374x x -+-=，则下列三条线段一定能构成三角形的是（）．A ． 1，x ，5B ． 2，x ，5C ． 3，x ，5D ． 3，x ，4【解析】根据374x x -+-=可得37x ≤≤，所以选择C ．【巩固】（6级）⑴是否存在有理数x ，使132x x ++-=？⑵是否存在整数x ，使433414x x x x -+-++++=？如果存在，求出所有整数x ，如果不存在，请说明理由【解析】 ⑴不存在⑵3210x x x x =±=±=±=，，，【巩固】（6级）（第17届希望杯培训试题）不等式127x x ++-<的整数解有个．【解析】可分类讨论来做，也可以利用绝对值的几何意义来解，127x x ++-<的整数解表示数轴上到1-和2的距离之和小于7的点集合，利用数轴容易找到满足条件的整数有2-、1-、0、1、2、3共六个．【例8】（8级）一共有多少个整数x 适合不等式20009999x x -+≤.【解析】零点为2000和0，可将数轴分成几段去考虑：（1）当2000x ≥时，原不等式变形为：20009999x x -+≤，进而得：5999.5x ≤，即20005999.5x ≤≤，共有4000个整数适合；（2）当02000x <<时，原不等式变形为：20009999x x -+≤，而20009999<恒成立，所以又有2000个整数适合.（3）当0x <时，原不等式变形为2000()9999x x -+-≤，3999.5x ≥-，即3999.50x -<<，共有3999个整数适合.综上所得共有9999个整数适合不等式20009999x x -+≤.【例9】（8级）已知11x y ≤，≤，设1124M x y y x =++++--，求M 的最大值和最小值【解析】由已知首先讨论绝对值符号内的代数式的符号因为1x ≤，所以11x -≤≤，所以012x +≤≤，同理可得012y +≤≤因为1y ≤，所以11y -≤≤，所以222y -≤≤⑴因为1x ≤，所以11x -≤≤，所以11x --≤≤，所以14414x -----≤≤ 即543x ----≤≤⑵⑴与⑵同向相加得7241y x ----≤≤ 化简M 的表达式：26M x y =-+ 求M 的取值范围：因为11y -≤≤，所以222x -≤≤ 因为11y -≤≤，所以11y --≤≤所以323x y --≤≤ 所以3269x y -+≤≤ 当11x y ==-，时，M 最大值为9 当11x y =-=，时，M 最小值为3【例10】（8级）(第12届希望杯试题)彼此不等的有理数a b c ，，在数轴上的对应点分别为A ，B ，C ，如果a b b c a c -+-=-，那么A ，B ，C 的位置关系是_____．【解析】由绝对值的几何意义知, a b -表示点A 与点B 之间的距离；b c -表示点B 与点C 之间的距离；表示点A 与点C 之间的距离；当点B 位于点A 与点C 之间（包括A ，C 两点）时,a b b c -+-取得最小值，为a c -．由题设知，a ，b ，c 相等，以A ，B ，C 不重合，故点B 位于点A 与点C 之间(包括A ,C 两点)．【巩固】（4级）有理数a 、b 、c 、d 各自对应着数轴上X 、Y 、Z 、R 四个点，且（1）b d -比a b -，a c -、a d -、b c -、c d -都大；（2）d a a c d c -+-=-；（3）c 是a 、b 、c 、d 中第二大的数.则点X 、Y 、Z 、R 从左到右依次是【解析】 R 、X 、Z 、Y .【巩固】（6级）（第14届希望杯1试）如右图所示，若a 的绝对值是b 的绝对值的3倍，则数轴的原点在点．（填“A ”“B ”“C ”或“D ”）【解析】因为a 的绝对值是b 的绝对值的3倍，且a b <，当0a b <<时，由3a b =，得原点的坐标在点D 处；当0a b <<时，由3a b =，得原点的坐标在点C 处；当0a b <<时，由3a b =，满足条件的点不存在；综上，知坐标原点在C 或D ．【巩固】（6级）（05年北京市中学生数学竞赛）（第15届希望杯培训试题）如果1a b -=，1b c +=，2a c +=，求2a b c ++的值．【解析】（法1）：可以去掉绝对值，分类讨论，但非常麻烦，我们仍可采用数形结合的方法，从绝对值的几何意义出发．根据1a b -=，()1b c b c +=--=，()2a c a c +=--=，我们可以得到a 、b 、c -三点在数轴上从左到右依次是c -、b 、a 或a 、b 、c -，我们会发现在这两种情况下，()a c --，()b c --同号，所以2()()()()3a b c a c b c a c b c a c b c ++=--+--=--+--=+++=．（法2）：我们发现112a b b c a b b c a c +=-++=-++=+= 所以a b -、b c +同号，所以有11a b b c -=-⎧⎨+=-⎩（两式相加可得2a c +=-）或11a b b c -=⎧⎨+=⎩（两式相加可得2a c +=），综合上述两种情况，我们可以得到23a b c a c b c ++=+++=．【巩固】（8级）（15希望杯1试）（北京市数学竞赛）已知a 、b 、c 、d 都是整数，且2a b b c c d d a +++++++=，则a d += ．【解析】法1：四个非负整数和为2，a d +只可能为0、1或2．讨论：① 当0a =，0b =，1c =，0d =，满足条件，0a d +=； ② 当1a =，0b =，0c =，0d =，满足条件，1a d +=；③ 若2a d +=，即0a d +≠且0a b +=，0b c +=，0c d +=，∴0a b +=，0b c +=，0c d +=，故()()()0000a b b c c d a d =-+=+-+++=+，这与0a d +≠矛盾．所以，0a b +=或1．法2：我们希望利用绝对值的几何意义出发解答问题，所以需要对题干进行适当变形 ()()()()2a b c b c d a d --+--+--+--=，那么题目相当于：（渗入换元思想）已知a 、c 、m 、n 都是整数，且2a m c m c n a n -+-+-+-=，则a n -= ．因为a 、c 、m 、n 都是整数，所以a n -可能为2、1、0 （以下过程教师均须借助数轴讲解）若2a n -=，那么a m -、c m -、c n -均为0，但2a n -=，a m -、c m -为0，得c n -为2，矛盾，所以2a n -≠；若1a n -=，当a 、m 相同，c 、n 相同时，2a m c m c n a n -+-+-+-=成立；若0a n -=，当a 、c 、n 相同时，2a m c m c n a n -+-+-+-=成立；所以a d +=0或1．【例11】（8级）（2006年山东竞赛试题）在数轴上把坐标为123...2006，，，，的点称为标点，一只青蛙从点1出发，经过2006次跳动，且回到出发点，那么该青蛙所跳过的全部路径的最大长度是多少？请说明理由【解析】设青蛙依次到达的点为12320061...x x x x x ，，，，，，整个跳过的路径长度为 12233420061...S x x x x x x x x =-+-+-++-()()2210041005...20062123..100321003+++-++++=⨯≤故青蛙跳过的路径的最大长度为221003⨯【例12】（6级）如图所示，在一条笔直的公路上有7个村庄，其中A 、B 、C 、D 、E 、F 到城市的距离分别为4、10、15、17、19、20千米，而村庄G 正好是AF 的中点．现要在某个村庄建一个活动中心，使各村到活动中心的路程之和最短，则活动中心应建在什么位置？【解析】因为村庄G 是AF 的中点，所以村庄G 到城市的距离为12千米，即村庄G 在村庄B C 、之间，7 个村庄依次排列为A B G C D E F 、、、、、、．设活动中心到城市的距离为x 千米，各村到活动中心的距离之和为y 千米，则：4101215171920y x x x x x x x =-+-+-+-+-+-+-因为4101215171920<<<<<<，所以当15x =时y 有最小值，所以活动中心应当建在C 处．【巩固】（6级）如图所示为一个工厂区的地图，一条公路（粗线）通过这个地区，7个工厂1A ，2A ，…，7A 分布在公路的两侧，由一些小路（细线）与公路相连．现在要在公路上设一个长途汽车站，车站到各工厂（沿公路、小路走）的距离总和越小越好，那么这个车站设在什么地方最好？如果在P 点又建立了一个工厂，并且沿着图上的虚线修了一条小路，那么这时车站设在什么地方好？FEDCBPA 7A 6A 5A 4A 3A 2A 1【解析】每一条小路都是工厂到车站的必经之路，和其他工厂无关．但在公路上，有些路段将是一些工厂重复经过的，应使重复路线越短越好．要使各工厂到车站的距离之和最小，只要各工厂经小路进入公路的入口处（B C D E F 、、、、）到车站的距离之和最小即可，各路段的弯曲程度是无关紧要的，因此可以把公路看成一条直线，这就和题例题6类似了！即车站设在D 点最好．若在P 处再建一个工厂，则车站建在D 处、E 处或它们之间的任何地方都是最佳的．【例13】（6级）（山东省烟台中考）先阅读下面的材料，然后回答问题：在一条直线上有依次排列的()1n n >台机床在工作，我们要设置一个零件供应站P ，使这n 台机床到供应站P 的距离总和最小，要解决这个问题，先“退”到比较简单的情形：如图甲，如果直线上有2台机床时，很明显设在1A 和2A 之间的任何地方都行，因为甲和乙所走的距离之和等于1A 到2A 的距离。

几何证明选讲训练

几何证明选讲专题1．如图所示，在四边形ABCD 中，//,//EF BC FG AD ，则EF FGBC AD+=1 由平行线分线段成比例可知,EF AF FG FC BC AC AD AC ==，所以1EF FG AF FCBC AD AC++==2．在平行四边形ABCD 中，点E 在边AB 上，且:1:2,AE EB DE =与AC 交于点F ，若AEF ∆的面积为6cm 2，则ABC ∆的面积为 cm 272 不妨设,AEF ABC ∆∆,AE AB 边上的高分别为12,h h ，因为四边形ABCD 为平行四边形，:1:2,AE EB =，所以12:1:3,:1:3,:1:4AE AB EF FD h h ===，所以:1:12AEF ABC S S ∆∆=，从而ABC ∆的面积为72 cm 23．如图，圆O 上一点C 在直径AB 上的射影为D ，4,8CD BD ==，则圆O 的半径等于5 由直角三角形射影定理2CD BD DA =⋅可知2DA =，10AB =，即半径为5 4．如图，从圆O 外一点P 作圆O 的割线,,PAB PCD AB 是圆O 的直径，若4,5,3PA PC CD ===，则CBD ∠=30 由割线定理知PA PB PC PD ⋅=⋅，即4(4)5(53)AB ⨯+=⨯+，得6AB =即圆O 的半径为3，因为弦3CD =，所以60COD ∠=，从而1302CBD COD ∠=∠= 5．已知PA 是圆O 的切线，切点为A ，2,PA AC =是圆O 的直径，PC 与圆O 交于点B ，1PB =，则圆O 的半径R =由切割线定理知2PA PB PC =⋅，即221PC =⨯，4PC =，所以AC =6．如图，PC 切圆O 于点C ，割线PAB 经过圆心O ，弦C D A B ⊥于E ，4,8PC PB ==，则CD =245由切割线定理知2PC PA PB =⋅得2,826PA AB ==-=，圆O 半径为3，连接CO ，则在直角三角形PCO 中，有3512,235CO CP OP CE CE ⨯⋅=⋅==+，从而245CD = 7．如图，,AB CD 是圆O 的两条弦，交点为E 且AB 是线段CD 的中垂线，已知6,AB CD ==AD 的长度为由条件可知AB 为圆O 的直径，所以3r =，连接OD ，则2OE ==，所以5,AE AD ===8．如图，在梯形ABCD 中，////AD BC EF ，E 是AB 的中点，EF 交BD 于G ，交AC 于H ，若5,7AD BC ==，则GH =1 由条件可知EF 为梯形ABCD 的中线，且1(57)62EF =+=；由相似三角形的相似比可知,57EG BG GF DG BD BD ==，从而6157EG EG -+=，解得52EG =，同理可解得52HF =，所以1GH =9．如图，圆的内接ABC ∆的C ∠的平分线CD 延长后交圆于点E ，连接BE ，已知3BD =，7,5CE BC ==，则线段BE =215因为CD 为C ∠的平分线，所以BCE ECA ∠=∠，又圆周角EBA ECA ∠=∠，所以BCE EBA ∠=∠，又E E ∠=∠，所以EBC EBD ∆∆ ，从而BE BD EC BC =，即375BE =，所以215BE =10．如图，四边形ABCD 内接于圆O ，BC 是直径，MN 切圆O 于A ，25MAB ∠=，则D ∠=115 连接AC ，由条件可知25C MAB ∠=∠= ，又BC 为直径，所以90BAC ∠= ，、从而180902565B ∠=--= ，又180B D ∠+∠= ，所以115D ∠=11．如图，在ABC ∆中，D 是AC 的中点，E 是BD 的中点，AE 交BC 于F ，则BFBC=12过E 作//EG DC 交BC 于G ，因为E 是BD 的中点，D 是AC 的中点，所以1124EG DC AC ==，BG GC =，又1143FG FC GC ==，所以2132BF BG FG GC FC =-==12．如图，圆'O 和圆O 相交于A 和B ，PQ 切圆O 于P ，交圆'O 于,Q M ，交AB 的延长线于N ，3,15,MN NQ ==则PN =由割线定理、切割线定理，有2NM NQ NB NA NP ⋅=⋅=，所以2315PN =⨯，即PN =13．如图，,EB EC 是圆O 的两条切线，,B C 是切点，,A D 是圆上两点，如果46E ∠=32DCF ∠= ，则A ∠的度数是因为,EB EC 是圆O 的两条切线，所以EB EC =，又46E ∠=，所以1(18046)672EBC ECB ∠=∠=-= ，又32DCF ∠= ，所以180673281BCD ∠=--= ，从而1808199A ∠=-=14．已知圆O 的半径为3，从圆O 外一点A 引切线AD 和割线ABC ，圆心O 到AC 的距离为3AB =，则切线AD 的长为依题意，2BC ==，所以5AC =，由215AD AB AC =⋅=，得AD =15．如图，已知P 是O 外一点，PD 为O 的切线，D 为切点，割线PEF 经过圆心O ，若12,PF PD ==则EFD ∠的度数为30由切割线定理得2PD PE PF =⋅2163412PD PE PF ⨯⇒===8EF ⇒=,4OD =, ∵OD PD ⊥,12OD PO =∴30P ∠= ,60,30POD PDE EFD ∠=∠=∠=。

简单几何求值总结知识点

简单几何求值总结知识点一、分析型求值问题1. 计算面积在几何中，计算几何图形的面积是一个常见的求值问题。

常见的几何图形包括矩形、三角形、圆形等。

这些图形的面积计算公式如下：矩形的面积 = 长 × 宽三角形的面积 = 底 × 高 / 2圆形的面积= π × 半径的平方在实际问题中，我们需要根据具体的几何图形来选择相应的计算公式，然后代入相应的数值进行计算即可。

2. 计算周长另外一个常见的几何求值问题是计算几何图形的周长。

周长即为几何图形边界的长度之和。

不同的几何图形周长的计算公式也不同，常见的几何图形周长的计算公式如下：矩形的周长 = 2 ×（长 + 宽）三角形的周长 = 边1 + 边2 + 边3圆形的周长= 2 × π × 半径同样，需要根据实际问题选择相应的计算公式，代入数值进行计算即可。

3. 计算体积在三维几何中，我们也经常会遇到计算体积的问题。

比如，计算立方体的体积、球体的体积等。

这类问题的计算公式如下：立方体的体积 = 长 × 宽 × 高球体的体积= 4/3 × π × 半径的立方与前面的问题类似，需要根据实际问题选择相应的计算公式，代入数值进行计算即可。

二、应用型求值问题1. 实际问题的几何应用在日常生活中，我们也会遇到一些实际问题的几何应用，比如测量房屋的面积、设计花园的面积等。

对于这类问题，我们需要根据实际情况选择合适的几何图形和相应的计算公式进行求解。

这类问题需要我们将数学知识与实际问题相结合，具有一定的应用性。

2. 几何问题的相关知识点在进行几何求值问题的解答时，我们还需要掌握一些相关的几何知识点。

比如，对于三角形的计算，我们需要知道三角形内角和为180度；对于平行四边形的计算，我们需要知道对角线长度相等等。

这些知识点对于解答几何求值问题具有重要的指导意义。

三、解题方法1. 分析问题在解答几何求值问题时，我们首先需要对问题进行仔细的分析。

初二数学上册综合算式专项练习题立体几何计算技巧训练

初二数学上册综合算式专项练习题立体几何计算技巧训练立体几何是数学中的一个重要分支，它与我们生活息息相关。

在初二数学上册中，我们学习了综合算式专项练习题，其中包括了立体几何的计算技巧。

本文将通过丰富的例题和解析，帮助同学们更好地掌握立体几何计算技巧。

1. 圆柱的表面积计算圆柱是我们学习过的最基本的立体几何图形之一。

下面我们通过一个例题来了解如何计算圆柱的表面积。

【例题】一个圆柱的底面半径为6cm，高度为10cm，求其表面积。

【解析】圆柱的表面积由底面积和侧面积组成。

首先计算底面积，底面半径为6cm，根据圆的面积公式S=πr^2，可以得到底面积S1=π(6^2)=36π。

然后计算侧面积，侧面积的计算公式是S2=2πrh，其中r为底面半径，h为高度。

把圆柱的底面半径和高度分别代入公式，得到侧面积S2=2π(6)(10)=120π。

因此，圆柱的表面积等于底面积加上侧面积，即S=S1+S2=36π+120π=156π。

化简得到S≈490.87cm^2。

通过这个例题，我们学会了计算圆柱的表面积的方法，即底面积加上侧面积。

2. 球的体积计算球体也是我们经常遇到的立体几何图形之一。

下面我们来了解一下如何计算球的体积。

【例题】一个球的半径为5cm，求其体积。

【解析】球的体积计算公式是V=4/3πr^3，其中r为球的半径。

把半径5cm代入公式，得到球的体积V=4/3π(5^3)≈523.6cm^3。

通过这个例题，我们学会了计算球的体积的方法，即利用体积公式V=4/3πr^3进行计算。

3. 圆锥的侧面积计算圆锥是另一个重要的立体几何图形。

下面我们通过一个例题来了解如何计算圆锥的侧面积。

【例题】一个圆锥的底面半径为8cm，母线长度为10cm，求其侧面积。

【解析】圆锥的侧面积计算公式是S=πrl，其中r为底面半径，l为母线长度。

把圆锥的底面半径和母线长度分别代入公式，得到侧面积S=π(8)(10)=80π。

化简得到S≈251.3cm^2。

几何证明选讲定理大全

与圆周角定理有什么关系？
若∠ADB＋∠ABC＝180°，则ABCD四点共圆；若∠PAD=∠DCB，则ABCD四点共圆；若∠ADB=∠ACB，则ABCD四点共圆；
P
A C D O B
练习
情况唯一吗？
1.⊙O1和⊙O2都经过A、B两点，经过A点的直线CD与 ⊙O1交于点C，与⊙O2交于点D，经过B点的直线EF与 ⊙O1交于点E，与⊙O2交于点F，求证：CE∥DF.
BC EF AC DF
合比
?
AB BC AC DE EF DF
BC AC EF DF
AB DE AC DF
C 1、如图：EF∥AB，BF：FC= 5 ：4， AC=3厘米，则CE=（）
4 cm 3
E
F B
２、已知在△ABC中，DE∥BC，EF∥DC，那么下列结论不成立的 A 是( ) B
解析 ∵E 是 AB 的中点， ∴AB＝2EB. ∵AB＝2CD，∴CD＝EB. 又 AB∥CD，∴四边形 CBED 是平行四边形． ∴CB∥DE， ∠DEM＝∠BFM， ∴ ∴△EDM∽△FBM. ∠EDM＝∠FBM， DM DE ∴ ＝ .∵F 是 BC 的中点， BM BF 1 ∴DE＝2BF.∴DM＝2BM，∴BM＝ DB＝3. 3
E
B
选修4-1相关定理
弦切角的性质
弦切角
弦切角：顶点在圆上，一边和圆相交、
E
另一边和圆相切的角叫做弦切角. 要点：顶点在圆上一边和圆相交 A 一边和圆相切
E A O B C D E 极限状态
O D
C
B
A(D)
O
B
C
∠EAB＝∠BCD
∠EAB＝∠BCA

八年级数学上册 5.6 几何证明举例例题分析几何证明选讲(拓展)素材 (新版)青岛版

例题分析：几何证明选讲例1 如图，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，E 为AC 中点，AD ⊥BC 于D ，DE 交BA 的延长线于F ．求证：BF ∶DF ＝AB ∶AC ．【分析】欲证AF DF AC AB =，虽然四条线段可分配于△ABC 和△DFB 中，由于△ABC 和△FBD 一个是直角三角形，一个是钝角三角形，不可能由这一对三角形相似直接找到对应边而得结论，故需借助中间比牵线搭桥，易证Rt△BAC ∽Rt△BDA ，得出=AC AB AD BD ，于是只需证出ADBD AF DF =，进而须证△DFB ∽△AFD 即可．证明：∵AB ⊥AC ，AD ⊥BC ，∴Rt△ABD ∽Rt△CAD ，∠DAC ＝∠B ，∴AD BD AC AB =……① 又∵AD ⊥BC ，E 为AC 中点，∴DE ＝AE ，∠DAE ＝∠ADE ，∴∠B ＝∠ADE ，又∵∠F ＝∠F ，∴△FAD ∽△FDB ，∴DF BF AD BD =………②，由①②得⋅=DFBF AC AB 【说明】由于△ABC 和△FBD 这两个三角形一个是直角三角形，一个是钝角三角形，明显不相似，不可能由这一对三角形相似直接找到对应边而得结论，且图中又没有相等的线段来代换，势必要找“过渡”的线段或线段比，这种寻找“中间”搭桥的线段或线段比是重要的解题技巧．此题用到直角三角形中斜边上的高这个“双垂直”的基本图形，这里有三对相似三角形，这个图形在证相似三角形中非常重要．例2 △ABC 中，∠A ＝60°，BD ，CE 是两条高，求证：BC DE 21= 【分析】欲证BC DE 21=，只须证21=BC DE ．由已知易得21=AB AD ，于是只须证明,ABAD BC DE = 进而想到证明△ADE ∽△ABC ，这可以由21==AC AE AB AD 证得．证明：∵∠A ＝60°，BD ，CE 是两条高，∴∠ABD ＝∠ACE ＝30°∵AB AD 21=，AC AE 21=，∴21==AC AE AB AD ，又∠A ＝∠A ∴△ADE ∽△ABC ，∴BC DE AB AD BC DE 2121=∴==. 【说明】在判定相似三角形时，应特别注意应用“两边对应成比例且夹角相等，则两三角形相似”这条判定定理．例3 已知：如图，△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，CE ⊥AB 于E ，AD 、EC 交于F ，求证BDFD AD CD =【分析】CD 、FD 在△FDC 中，AD 、BD 在△BDA 中，所以证△FDC 与△BDA 相似便可以得到结论．证明：∵AD ⊥BC 于D ，CE ⊥AB 于E ，∴∠ADC ＝∠ADB ＝90°，∵∠BAD ＋∠B ＝90°，∠BCE ＋∠B ＝90°，∴∠BAD ＝∠BCE ，∴△FDC ∽△BDA ， ∴⋅=BDFD AD CD 【说明】为什么找到△FDC 与△BDA 相似呢?从求证的比例式出发，“竖看”，线段CD 、AD 在△ADC 中，但线段FD 、BD 却不在一个三角形中；那么“横瞧”，CD 、FD 在△FDC ，AD 、BD 在△BDA 中，所以证△FDC 与△BDA 相似便可以得到结论．小结为“横瞧竖看分配相似三角形”．例4 如图，平行四边形ABCD ，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥BC 于F ，求证：AB ·DE ＝BC ·DF【分析】化求证的等积式为比例式：DE DF BC AB =，又因为CD ＝AB ，AD ＝BC ，即证明比例式DEDF AD CD = 证明：∵平行四边形ABCD ，∴∠C ＝∠A ，∵DE ⊥AB 于E ，DF ⊥BC 于F ，∴∠AED ＝∠DFC ＝90°，∴△CFD ∽△AED ，∴DE DF AD CD = ∵CD ＝AB ，AD ＝BC ，∴DE DF BC AB =即AB ·DE ＝BC ·DF ．【说明】DEDF BC AB =，“横瞧竖看”都不能分配在两个三角形中，但题中有相等的线段：CD ＝AB ，AD ＝BC 所以可横瞧竖看用相等线段代换过来的比例式：DEDF AD CD =，这个比例式中的四条线段可分配在两个相似三角形中．例5 AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，∠BAC ＝60°，P 是OB 上一点，过P 作AB 的垂线与AC 的延长线交于点Q ，连结OC ，过点C 作CD ⊥OC 交PQ 于点D ．(1)求证：△CDQ 是等腰三角形；(2)如果△CDQ ≌△COB ，求BP ∶PO 的值．【分析】证明△CDQ 是等腰三角形，只需证明∠DCQ ＝∠Q ，利用题目中已有的相似三角形和等腰三角形把这两个角的关系建立起来．并可以得到各边的比例关系，不妨把圆的半径设为1，简化计算．(1)证明：由已知得∠ACB ＝90°，∠ABC ＝30°，∴∠Q ＝30°，∠BCO ＝∠ABC ＝30°．∵CD ⊥OC ，∴∠DCQ ＝∠BCO ＝30°，∴∠DCQ ＝∠Q ，∴△CDQ 是等腰三角形．(2)解：设⊙O 的半径为1，则AB ＝2，OC ＝1， .3,121===BC AB AC ∵等腰三角形CDQ 与等腰三角形COB 全等，∴CQ ＝BC ＝3． ∵31+=+=CQ AC AQ ，,23121+==AQ AP ∴=-=AP AB BP 2332312-=+- 231+=-=AO AP PO 2131-=-， ∴3:=PO BP ．【说明】利用好相似三角形对应角相等的条件，进行角的转化是解题中常用的技巧．例6 △ABC 内接于圆O ，∠BAC 的平分线交⊙O 于D 点，交⊙O 的切线BE 于F ，连结BD ，CD ．求证：(1)BD 平分∠CBE ；(2)AB ·BF ＝AF ·DC ．【分析】可根据同弧所对的圆周角及弦切角的关系推出．由条件及(1)的结论，可知BD ＝CD ，因此欲求AB ·BF ＝AF ·DC ，可求BFBD AF AB =，因此只须求△ABF ∽△BDF 即可．证明：(1)∵∠CAD ＝∠BAD ＝∠FBD ，∠CAD ＝∠CBD ，∴∠CBD ＝∠FBD ，∴BD 平分∠CBE ．(2)在△DBF 与△BAF 中，∵∠FBD ＝∠FAB ，∠F ＝∠F ，∴△ABF ∽△BDF ，BF BD AF AB ，∴AB ·BF ＝BD ·AF ．又∵BD ＝CD ，∴AB ·BF ＝CD ·AF ．例7 ⊙O 以等腰三角形ABC 一腰AB 为直径，它交另一腰AC 于E ，交BC 于D ．求证：BC ＝2DE【分析】由等腰三角形的性质可得∠B ＝∠C ，由圆内接四边形性质可得∠B ＝∠DEC ，所以∠C ＝∠DEC ，所以DE ＝CD ，连结AD ，可得AD ⊥BC ，利用等腰三角形“三线合一”性质得BC ＝2CD ，即BC ＝2DE ．证明：连结AD ∵AB 是⊙O 直径 ∴AD ⊥BC∵AB ＝AC ∴BC ＝2CD ，∠B ＝∠C∵⊙O 内接四边形ABDE∴∠B ＝∠DEC (四点共圆的一个内角等于对角的外角)∴∠C ＝∠DEC ∴DE ＝DC∴BC ＝2DE例8 ⊙O 内两弦AB ，CD 的延长线相交于圆外一点E ，由E 引AD 的平行线与直线BC 交于F ，作切线FG ，G 为切点，求证：EF ＝FG ．【分析】由于FG 切圆O 于G ，则有FG 2＝FB ·FC ，因此，只要证明FE 2＝FB ·FC 成立即可．证明：∵在△BFE 与△EFC 中有∠BEF ＝∠A ＝∠C ，又 ∠BFE ＝∠EFC ，∴△BFE ∽△EFC ，FE FC FB FE ，∴FE 2＝FB ·FC ．又∵FG 2＝FB ·FC ，∴FE 2＝FG 2，∴ FE ＝FG ．。

几何证明选讲知识点汇总与练习（内含答案）

⼏何证明选讲知识点汇总与练习（内含答案）《⼏何证明选讲》知识点归纳与练习(含答案)⼀、相似三⾓形的判定及有关性质平⾏线等分线段定理平⾏线等分线段定理：如果⼀组平⾏线在⼀条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等。

推理1：经过三⾓形⼀边的中点与另⼀边平⾏的直线必平分第三边。

推理2：经过梯形⼀腰的中点，且与底边平⾏的直线平分另⼀腰。

平分线分线段成⽐例定理平分线分线段成⽐例定理：三条平⾏线截两条直线，所得的对应线段成⽐例。

推论：平⾏于三⾓形⼀边的直线截其他两边（或两边的延长线）所得的对应线段成⽐例。

相似三⾓形的判定及性质相似三⾓形的判定：定义：对应⾓相等，对应边成⽐例的两个三⾓形叫做相似三⾓形。

相似三⾓形对应边的⽐值叫做相似⽐（或相似系数）。

由于从定义出发判断两个三⾓形是否相似，需考虑6个元素，即三组对应⾓是否分别相等，三组对应边是否分别成⽐例，显然⽐较⿇烦。

所以我们曾经给出过如下⼏个判定两个三⾓形相似的简单⽅法：（1）两⾓对应相等，两三⾓形相似；（2）两边对应成⽐例且夹⾓相等，两三⾓形相似；（3）三边对应成⽐例，两三⾓形相似。

预备定理：平⾏于三⾓形⼀边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三⾓形与三⾓形相似。

判定定理1：对于任意两个三⾓形，如果⼀个三⾓形的两个⾓与另⼀个三⾓形的两个⾓对应相等，那么这两个三⾓形相似。

简述为：两⾓对应相等，两三⾓形相似。

判定定理2：对于任意两个三⾓形，如果⼀个三⾓形的两边和另⼀个三⾓形的两边对应成⽐例，并且夹⾓相等，那么这两个三⾓形相似。

简述为：两边对应成⽐例且夹⾓相等，两三⾓形相似。

判定定理3：对于任意两个三⾓形，如果⼀个三⾓形的三条边和另⼀个三⾓形的三条边对应成⽐例，那么这两个三⾓形相似。

简述为：三边对应成⽐例，两三⾓形相似。

引理：如果⼀条直线截三⾓形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成⽐例，那么这条直线平⾏于三⾓形的第三边。

定理：（1）如果两个直⾓三⾓形有⼀个锐⾓对应相等，那么它们相似；（2）如果两个直⾓三⾓形的两条直⾓边对应成⽐例，那么它们相似。

高考数学二轮考点专题突破平面几何选讲

专题八选考部分平面几何选讲1．在圆O 的直径CB 的延长线上取一点A ，A P 与圆O 切于点P ，且∠APB ＝30°， AP ＝3，则CP ＝ ( )A. 3 B ．2 3 C ．23－1 D ．23＋1解析：如图，连结OP ，∴OP ⊥P A ，又∠APB ＝30°，∴∠P OB ＝60°，∴在Rt △OP A 中，OP ＝1，易知，PB ＝OP ＝1，在Rt△PCB 中，由PB ＝1，∠PBC ＝60°，可求PC ＝ 3.答案：A2．已知AB 是圆O 的直径，弦AD 、BC 相交于点P ，那么CD ∶AB 等于∠BPD 的() A ．正弦 B ．余弦 C ．正切 D ．余切解析：如图，易知，△CPD ∽△APB ，∴CD AB ＝DP BP .连结BD ，则△PDB 为Rt △，∴cos ∠BPD ＝DPBP ，∴CDAB ＝cos ∠BPD .答案：B3．如图所示，已知D 是△ABC 中AB 边上一点，DE ∥BC 且交AC于E ，EF ∥AB 且交BC 于F ，且S △ADE ＝1，S △EFC ＝4，则四边形BFED 的面积等于 ( )A ．2B ．3C ．4D ．5解析：因为AD ∥EF ，DE ∥FC ，所以△ADE ∽△EFC .因为S △ADE ∶S △EFC ＝1∶4，所以AE ∶EC ＝1∶2，所以AE ∶AC ＝1∶3，所以S △ADE ∶S △ABC ＝1∶9，所以S 四边形BFED ＝4.答案：C4．AD 、AE 和BC 分别切⊙O 于D 、E 、F ，如果AD ＝20，则△ABC 的周长为 ( )A ．20B ．30C ．40D ．3512 解析：∵AD 、AE 、BC 分别为圆O 的切线，∴AE ＝AD ＝20，BF ＝BD ，CF ＝CE ， ∴△ABC 的周长为AB ＋AC ＋BC ＝AB ＋AC ＋BF ＋CF ＝(AB ＋BD )＋(AC ＋CE )＝40. 答案：C5．如图所示，AB 是半圆的直径，弦AD 、BC 相交于P ，已知∠DPB＝60°，D 是弧BC 的中点，则tan ∠ADC ＝________.答案：336．如图所示，圆O 上一点C 在直径AB 上的射影为D ，CD ＝4，BD ＝8，则圆O 的半径长为________．答案：57．如图，AB 是半圆O 的直径，∠BAC ＝30°，BC 为半圆的切线，且BC ＝43，则点O 到AC 的距离OD ＝________.答案：38．已知P A 是圆O 的切线，切点为A ，P A ＝2.AC 是圆O 的直径，PC 与圆O 交于点B ， PB ＝1，则圆O 的半径R ＝________.答案： 39．如果四边形一边上的两个顶点的视角相等，那么四边形的四个顶点共圆．已知：如图，四边形ABCD 中，∠1＝∠2.求证：A 、B 、C 、D 四点共圆证明：由A 、B 、D 三点可以确定一个圆，设该圆为⊙O .(1)如果点C 在⊙O 的外部(如右图)．连结BC ，与圆相交于点E .∵∠1＝∠AEB ，∠1＝∠2，∴∠2＝∠AEB .而∠AEB ＞∠2，矛盾，故点C 不可能在圆外．(2)如果点C在⊙O的内部(如图)．延长BC与圆相交于点E，连接AE.则∠1＝∠AEB，而∠1＝∠2，∴∠2＝∠AEB，与∠2＞∠AEB矛盾，∴点C不可能在圆内，∴点C只能在圆上．10．已知△ABC中，AB＝A C，D是△ABC外接圆劣弧AC上的点(不与点A，C重合)，延长BD至E(1)求证：AD的延长线DF平分∠CDE；(2)若∠BAC＝30°，△ABC中BC边上的高为2＋3，求△ABC外接圆的面积．解：(1)如图，∵A，B，C，D四点共圆，∴∠CDF＝∠ABC又AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，且∠ADB＝∠ACB，∴∠ADB＝∠CDF，又由对顶角相等得∠EDF＝∠ADB，故∠EDF＝∠CDF，即A D的延长线DF平分∠CDE.(2)设O为外接圆圆心，连接AO并延长交BC于H，则AH⊥BC.连接OC，由题意∠OAC＝∠OCA＝15°，∠ACB＝75°，∴∠OCH＝60°，设圆半径为r，则r＋32r＝2＋3，得，r＝2，外接圆的面积为4π。

初中数学几何题全解

初中数学几何题全解
初中数学中的几何题是数学中的重要部分之一，也是许多学生较难掌握的部分。

在本文中，我们将提供一些初中数学几何题的全解，希望对学生们的学习有所帮助。

1. 两直线之间的夹角
解法：两条直线之间的夹角可以通过求出两条直线的斜率，然后使用斜率公式计算得出。

假设两条直线分别为y1 = a1x + b1和y2 = a2x + b2，则它们的斜率分别为a1和a2。

夹角θ可以通过以下公式计算：θ = arctan |(a1 - a2) / (1 + a1a2)|。

2. 圆的周长和面积
解法：圆的周长可以通过公式C = 2πr来计算，其中r为圆的半径。

圆的面积可以通过公式A = πr来计算。

3. 三角形的面积
解法：三角形的面积可以通过以下公式计算：A = 1/2bh，其中b为三角形的底边长度，h为三角形的高。

4. 直角三角形的勾股定理
解法：勾股定理指出，对于一个直角三角形来说，直角边的平方等于另外两条边长度的平方和。

即a + b = c，其中c是斜边的长度。

5. 正方形和矩形的面积
解法：正方形的面积可以通过公式A = s来计算，其中s为正方形的边长。

矩形的面积可以通过公式A = lw来计算，其中l和w分别为矩形的长和宽。

这些几何题的解法只是初中数学中的一部分，还有许多其他类型的几何题需要学生们掌握。

学生们可以通过练习更多的习题来提高自己的几何题解题能力。

中学数学几何形练习题及讲解

中学数学几何形练习题及讲解数学几何是中学数学的重要内容之一，它涉及到形状、大小、位置等方面的知识，对于学习和掌握几何形是非常关键的。

本文将为大家提供一些中学数学几何形的练习题及详细的解答，帮助大家巩固几何形的基础知识。

1. 题目：计算三角形的周长和面积已知一个三角形的三条边长分别为a=5cm，b=8cm，c=10cm，请计算该三角形的周长和面积。

解答：根据三角形周长的定义，周长等于三边之和，因此该三角形的周长为5+8+10=23cm。

再根据海伦公式，可以计算三角形的面积。

海伦公式为：面积 = 根号下(s(s-a)(s-b)(s-c))，其中s为半周长，即s=(a+b+c)/2。

代入已知数据，可以求得s=(5+8+10)/2=11.5cm。

将s和三边的长度分别代入公式，即可计算出三角形的面积。

计算过程如下：面积 = 根号下(11.5(11.5-5)(11.5-8)(11.5-10)) = 4√14 ≈ 11.82cm²所以，该三角形的周长为23cm，面积约为11.82cm²。

2. 题目：矩形的性质与计算矩形是一种特殊的四边形，它有多个性质和计算方法。

下面给出一个矩形的题目，帮助大家理解和应用矩形的知识。

已知一个矩形的长为3cm，宽为4cm，请计算该矩形的周长、面积和对角线长度。

解答：根据矩形的定义，周长等于两倍的长加两倍的宽。

因此，该矩形的周长为2×(3+4)=14cm。

矩形的面积等于长乘以宽，即面积=3×4=12cm²。

矩形的对角线可以通过勾股定理来计算。

设对角线的长度为d，根据勾股定理，有d²=长²+宽²。

代入已知数据，可以求得d²=3²+4²=25，再开方可得矩形的对角线长度d=√25=5cm。

所以，该矩形的周长为14cm，面积为12cm²，对角线长度为5cm。

通过以上两个例题，我们了解了三角形和矩形的性质及相关计算方法。

初二上册数学几何练习题讲解

初二上册数学几何练习题讲解《初二上册数学几何练习题讲解》数学几何是初中数学的重要组成部分，它是通过研究形状、大小和位置的属性来揭示几何学规律的一门学科。

在初二上册数学课程中，我们学习了一系列数学几何的基础知识和技巧。

为了帮助同学们更好地理解和掌握这些知识和技巧，本文将针对初二上册数学几何的练习题进行详细的讲解。

一、直线与角1. 在直线上给定两点A、B，求AB的中点坐标。

(1, 2)解答：首先计算出AB的横坐标和纵坐标分别的平均值，即：X坐标中点 = (X1 + X2) / 2 = (1 + 1) / 2 = 1Y坐标中点 = (Y1 + Y2) / 2 = (2 + 2) / 2 = 2所以AB的中点坐标为(1, 2)。

2. 已知两条平行直线l1和l2，若直线l1的斜率为2/3，且过直线l2上一点(-1, 4)，求直线l1的方程。

解答：由于l1和l2平行，所以它们的斜率相等。

直线l1的斜率为2/3，过l2上一点(-1, 4)可得直线l1的方程为：y - 4 = (2/3)(x + 1)化简得：3y - 12 = 2x + 2所以直线l1的方程为2x - 3y + 14 = 0。

二、三角形与四边形1. 在△ABC中，已知∠A = 60°，AB = 5 cm，BC = 8 cm，求AC的长度。

解答：根据三角形ABC中的角度和边的关系，由余弦定理可得：AC² = AB² + BC² - 2(AB)(BC)cos∠A代入已知数据计算得：AC² = 25 + 64 - 80cos60°化简得：AC² = 25 + 64 - 80(1/2)所以AC的长度为√(89 - 40) = √49 = 7 cm。

2. 在梯形ABCD中，AB∥CD，AB = 4 cm，AD = 7 cm，BC = 9 cm，求CD的长度。

解答：根据梯形ABCD的性质，我们知道两个平行边的长度成比例，即AB/CD = AD/BC。

好题我来讲数学

好题我来讲数学
好的，以下是一个适合学生讲解的数学题目：
题目：求证：任意一个四边形的面积等于其两条对角线的乘积的一半。

讲解：
1. 首先，我们可以通过作图来理解这个问题。

假设我们有一个四边形ABCD，其中AC和BD是它的两条对角线。

2. 在四边形ABCD中，作线段CE垂直于线段AD，交AD于点E；同时，
作线段CF垂直于线段BD，交BD于点F。

这样，我们就可以将四边形的面积转化为两个三角形的面积之和。

3. 接下来，我们可以利用三角形的面积公式来计算这两个三角形的面积。

三角形的面积公式是：面积 = (底× 高) ÷ 2。

因此，三角形ADC的面积 = (AD × CE) ÷ 2，三角形BDC的面积= (BD × CF) ÷ 2。

4. 四边形ABCD的面积 = 三角形ADC的面积 + 三角形BDC的面积 = (AD × CE) ÷ 2 + (BD × CF) ÷ 2 = (AD × CE + BD × CF) ÷ 2。

5. 另外，我们也可以使用三角形的面积公式来计算两条对角线的乘积的一半。

三角形ADC和三角形BDC的面积总和= (1/2) × AC × BD = (1/2) × AC × BD = (1/2) × AC × BD。

6. 通过比较两个面积公式，我们可以发现四边形的面积等于两条对角线的乘积的一半。

希望这个讲解能帮助你理解这个数学题目！。

中考数学二轮复习：几何计算题选讲

中考数学二轮复习：几何计算题选讲八．几何计算题选讲几何计算题历年来是中考的热点问题。

几何计算是以推理为基础的几何量的计算，主要有线段与弧的长度计算、角和弧的度数计算、三角函数值的计算、线段比值的计算以及面积、体积的计算，从图形上分类有：三角形、四边形、多边形以及圆的有关计算。

解几何计算题的常用方法有：几何法、代数法、三角法等。

一、三种常用解题方法举例例1．如图，在矩形ABCD中，以边AB为直径的半圆O恰与对边CD相切于T，与对角线AC交于P，PE⊥AB于E，AB=10，求PE的长.解法一：（几何法）连结OT，则OT⊥CD，且OT= AB ＝5BC=OT=5 ,A∵BC是⊙O切线，∴BC2 =CPCA.∴PC= ，∴AP=CA-CP∵PE∥BC ∴ ，PE= ×说明：几何法即根据几何推理，由几何关系式进行求解的方法，推理时特别要注意图形中的隐含条件.解法二：（代数法）∵PE∥BC，∴ . ∴ .设：PE=x，则AE=2 x ，EB=10–2 x.连结PB. ∵AB是直径，∴∠APB=900.在Rt△APB中，PE⊥AB，∴△PBE∽△AP∴ .∴EP=2EB，即x=2（10–2x）.解得x=4. ∴P说明：代数法即为设未知数列方程求解，关键在于找出可供列方程的相等关系，例如：相似三角形中的线段比例式；勾股定理中的等式；相交弦定理、切割线定理中的线段等积式，以及其他的相等关系.解法三：（三角法）连结PB，则BP⊥AC.设∠PAB=α在Rt△APB中，AP=10COSα，在Rt△APE中，PE=APsinα, ∴PE=10sinαCOSα.在Rt△ABC中, BC=5,AC= .∴sinαα= .∴PE=10×说明：在几何计算中，必须注意以下几点：（1）注意“数形结合”，多角度，全方位观察图形，挖掘隐含条件，寻找数量关系和相等关系.（2）注意推理和计算相结合，先推理后计算，或边推理边计算，力求解题过程规范化.（3）注意几何法、代数法、三角法的灵活运用和综合运用.二.其他题型举例例2.如图，ABCD是边长为2 a的正方形，AB为半圆O的直径，CE切⊙O于E，与BA的延长线交于F，求EF的长.分析：本题考察切线的性质、切割线定理、相似三角形性质、以及正方形有关性质.本题可用代数法求解.解：连结OE，∵CE切⊙O于E，∴OE⊥CF∴△EFO∽△BFC，∴ ，又∵OE= AB= BC，∴EF= FB 设EF=x，则FB=2x，FA=2x–2a∵FE切⊙O于E ∴FE2=FAFB，∴x2=（2x–2a）2x解得x= a，∴EF= a.例3．已知：如图，⊙O1 与⊙O2相交于点A、B，且点O1在⊙O2上，连心线O1O2交⊙O1于点C、D，交⊙O2于点E，过点C作CF⊥CE，交EA的延长线于点F，若DE=2，A（1）求证：EF是⊙O1的切线；（2）求线段CF的长；（3）求tan∠DAE的值.分析：（1）连结O1A，O1E是⊙O2的直径，O1A⊥EF，从而知EF是⊙O1的切线.（2）由已知条件DE=2，AE= ，且EA、EDC分别是⊙O1的切线和割线，运用切割线定理EA2=EDEC，可求得EC=10.由CF⊥CE，可得CF是⊙O1的切线，从而FC=FA.在Rt△EFC中，设CF= x，则FE= x+ .又CE=10，由勾股定理可得：（x+ ）2= x2+102，解得 x= .即CF（3）要求tan∠DAE的值，通常有两种方法：①构造含∠DAE的直角三角形；②把求tan∠DAE的值转化为求某一直角三角形一锐角的正切（等角转化）.在求正切值时，又有两种方法可供选择：①分别求出两线段（对边和邻边）的值；②整体求出两线段（对边和邻边）的比值.解：（1）连结O1A，∵O1E是⊙O2的直径，∴O1A⊥EF∴EF是⊙O1的切线..（2）∵DE=2，AE= ，且EA、EDC分别是⊙O1的切线和割线∴EA2=EDEC，∴EC=10由CF⊥CE，可得CF是⊙O1的切线，从而FC=FA.在Rt△EFC中，设CF= x，则FE= x+ .又CE=10，由勾股定理可得：（x+ ）2= x2+102，解得 x= .即CF（3）解法一：（构造含∠DAE的直角三角形）作DG⊥AE于G，求AG和DG的值.分析已知条件，在Rt△A O1E中，三边长都已知或可求（O1A=4，O1E=6），又DE=2，且DG∥A O1（因为DG⊥AE），运用平行分线段成比例可求得DG= 从而tan∠DA解法二：（等角转化）连结AC，由EA是⊙O1的切线知∠DAE=∠ACD.只需求tan∠ACD.易得∠CAD=900，所以只需求的值即可.观察和分析图形，可得△ADE∽△CAE， .从而tan∠ACD= ，即tan∠DA说明：（1）从已知条件出发快速地找到基本图形，得到基本结论，在解综合题时更显出它的基础性和重要性.如本题（2）求CF的长时，要能很快地运用切割线定理，先求出CE的长.（2）方程思想是几何计算中一种常用的、重要的方法，要熟练地掌握.例4.如图，已知矩形ABCD，以A为圆心，AD为半径的圆交AC、AB于M、E，CE的延长线交⊙A于F，CM=2，AB（1）求⊙A的半径；（2）求CF的长和△AFC的面积.解：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴CD=AB=4，在Rt△ACD中，AC2=CD2+AD2，∴（2+AD）2=42+AD2，解得AD（2）A作AG⊥EF于G.∵BG=3，BE=AB―AE=1，∴由CECF=CD2，得CF= .又∵∠B=∠AGE=900，∠BEC=∠GEA，∴△BCE∽△GAE.∴ ，即S△AFC= CFAG例5.如图，△ABC内接于⊙O，BC=4，S△ABC= ，∠B为锐角，且关于x的方程x2–4xcosB+1=0有两个相等的实数根.D是劣弧AC上的任一点（点D不与点A、C重合），DE平分∠ADC，交⊙O于点E，交AC于点F.（1）求∠B的度数；（2）求CE的长.分析：本题是一道综合了代数知识的几何计算题，考察了圆的有关性质，解题时应注意线段的转化.解：（1）∵关于x的方程x2–4xcosB+1=0有两个相等的实数根，∴Δ=（-4cosB）2-4=0.∴cosB= ，或cosB=- （舍去）.又∵∠B为锐角，∴∠B=600.（2）点A作AH⊥BC，垂足为H. S△ABC= BCAH= BCABsin600= ，解得AB=6在Rt△ABH中，BH=ABcos600=6× =3，AH=ABsi n600=6× ，∴CH=BC-BH=4-3=1. 在Rt△ACH中，AC2+CH2=27+1=28.∴AC= （负值舍去）.∴AC= .连结AE，在圆内接四边形ABCD中，∠B+∠ADC=1800，∴∠ADC=1200.又∵DE平分∠ADC，∴∠EDC=600=∠EAC. 又∵∠AEC=∠B=600，∴∠AEC=∠EAC，∴CE=A例6. 已知：如图，⊙O的半径为r，CE切⊙O于点C，且与弦AB 的延长线交于点E，CD⊥AB于D.如果CE=2BE，且AC、BC 的长是关于x的方程x2–3（r–2）x+ r2–4=0的两个实数根.求（1）AC、BC的长；（2）CD的长.分析：（1）图中显然存在切割线定理的基本图形，从而可得△ECB∽△EAC，AC=2BC.又∵AC、BC是方程的两根，由根与系数关系可列出关于AC、BC的方程组求解.（2）∵CD是Rt△CDB的一边，所以考虑构造直角三角形与之对应.若过C作直径CF，连结AF，则Rt△CDB∽Rt△CAF，据此可列式计算.解：（1）∵CE切⊙O于C，∴∠ECB=∠A.又∵∠E 是公共角，∴△ECB∽△EAC，，∴AC=2BC.由AC、BC的长是关于x的方程x2–3（r–2）x+ r2–4=0的两个实数根，∴AC+BC=3（r-2）；ACBC=r2-4，解得r=6，∴BC=4，A（2）CO并延长交⊙O于F，连结AF，则∠CAF=900，∠CFA=∠CBD. ∵∠CDB=900=∠CAF，∴△CAF∽△CDB，.∴CD说明：（1）这是一道代数、几何的综合题，关键是寻找相似三角形，建立线段之间的比例关系，再根据根与系数关系列等式计算；（2）构造与相似的直角三角形的方法有许多种，同学们不妨试一试.例7.如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，PA 是过A点的直线，∠PAC=∠B.（1）求证：PA是⊙O的切线；（2）如果弦CD交AB于E，CD的延长线交PA于F，AC=CE∶EB=6∶5，AE∶EB=2∶3，求AB的长和∠FCB的正切值.解：（1）∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=900.∴∠CAB+∠B=900，又∠PAC=∠B，∴∠CAB+∠PAC=900.即PA⊥AB，∴PA是⊙O的切线.（2）设CE=6a ,AE=2x,则ED=5a，EB=3 x.由相交弦定理，得2x3x=5a6a ∴x= a. 连结AD.由△BCE∽△DAE，得 .连结BD.由△BED∽△CEA，得 .∴BD= .由勾股定理得BC= ，AD∴ .两边平方，整理得，∴ （负值舍去）.∴AD= .∵∠FCB=∠BAD，∴tan∠FCB= tan∠BAD解几何计算题要求我们必须掌握扎实的几何基础知识，较强的逻辑推理能力，分析问题时应注意分析法与综合法的同时运用，还特别要注意图形中的隐含条件，在平时的学习中要善于总结归纳，只有这样才能掌握好几何计算题的解法。

几何练习题讲解

几何练习题讲解1. 问题描述：已知三角形ABC中，AB=AC，D为BC中点，垂直于BC的线段DE与AB延长线交于点F。

若∠BAC=60°，求证：∠BCF=30°。

解答：根据问题描述，我们可以看出三角形ABC是一个等边三角形，即AB=AC=BC，所以∠BAC=60°。

由于D为BC的中点，所以BD=DC=BC/2。

根据垂直线的性质，DE⊥BC，所以∠BDE=90°。

在△BDE中，根据勾股定理，我们可以得到：BD²+DE²=BE²代入已知条件，可以得到：(BC/2)²+DE²=BE²由于BC=BE，所以可以进一步简化为：(BC/2)²+DE²=BC²将BC的值代入，可以得到：(BC/2)²+DE²=(BC/2)²化简方程，可以得到：DE²=0由于根据物理规律，线段的长度不可能为0，所以我们可以得出DE=0，即DE与AB延长线重合。

根据几何性质，当DE与AB延长线重合时，点F与AB延长线上的点E重合。

所以，在△BCF中，BF与CF相等，即∠BCF=∠BFC。

由于△BCF是一个等腰三角形，所以∠BCF=∠BFC=30°。

因此，根据已知条件和推理过程，我们可以证明∠BCF=30°。

2. 问题描述：在平面直角坐标系中，已知点A(-3, 4)，点B(5, -2)，以及点C在x轴上。

求证：三角形ABC是等腰三角形。

解答：根据问题描述，我们可以画出点A(-3, 4)和点B(5, -2)，并且知道点C在x轴上。

首先，我们需要求出点C的坐标。

由于点C在x轴上，所以其y坐标为0。

所以，点C的坐标为C(x, 0)。

根据已知条件，我们可以得到两个等式：AC = √[(-3 - x)² + (4 - 0)²]BC = √[(5 - x)² + (-2 - 0)²]根据题目要求，我们需要证明AC = BC。

初中几何经典例题及解题技巧

初中几何证明技巧及经典试题证明两线段相等1. 两全等三角形中对应边相等。

2.同一三角形中等角对等边。

3.等腰三角形顶角的平分线或底边的高平分底边。

4.平行四边形的对边或对角线被交点分成的两段相等。

5.直角三角形斜边的中点到三顶点距离相等。

6.线段垂直平分线上任意一点到线段两段距离相等。

7.角平分线上任一点到角的两边距离相等。

8.过三角形一边的中点且平行于第三边的直线分第二边所成的线段相等。

*9.同圆(或等圆)中等弧所对的弦或与圆心等距的两弦或等圆心角、圆周角所对的弦相等。

*10.圆外一点引圆的两条切线的切线长相等或圆内垂直于直径的弦被直径分成的两段相等。

11.两前项(或两后项)相等的比例式中的两后项(或两前项)相等。

*12.两圆的内(外)公切线的长相等。

13.等于同一线段的两条线段相等。

证明两个角相等1.两全等三角形的对应角相等。

2.同一三角形中等边对等角。

3.等腰三角形中，底边上的中线(或高)平分顶角。

4.两条平行线的同位角、内错角或平行四边形的对角相等。

5.同角(或等角)的余角(或补角)相等。

*6.同圆(或圆)中，等弦(或弧)所对的圆心角相等，圆周角相等，弦切角等于它所夹的弧对的圆周角。

*7.圆外一点引圆的两条切线，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。

8.相似三角形的对应角相等。

*9.圆的内接四边形的外角等于内对角。

10.等于同一角的两个角相等。

证明两条直线互相垂直1.等腰三角形的顶角平分线或底边的中线垂直于底边。

2.三角形中一边的中线若等于这边一半，则这一边所对的角是直角。

3.在一个三角形中，若有两个角互余，则第三个角是直角。

4.邻补角的平分线互相垂直。

5.一条直线垂直于平行线中的一条，则必垂直于另一条。

6.两条直线相交成直角则两直线垂直。

7.利用到一线段两端的距离相等的点在线段的垂直平分线上。

8.利用勾股定理的逆定理。

9.利用菱形的对角线互相垂直。

*10.在圆中平分弦(或弧)的直径垂直于弦。