【精品讲义】中考数学一轮复习 第6讲 一元二次方程
2024年中考数学一轮复习提高讲义：一元二次方程
一元二次方程知识梳理1.一元二次方程方程两边都是整式，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的方程，叫作一元二次方程.2.一元二次方程的特点(1)含有一个未知数.(2)未知数的最高次数是 2.(3)是整式方程.要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理.如果能整理为ax²+bx+c=0(a≠0)的形式，则这个方程就为一元二次方程.(4)将方程化为一般形式：ax²+bx+c=0时,应满足a≠0.3.一元二次方程的一般形式一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整理，都能化成如下形式ax²+bx+c=0(a≠0).其中ax²是二次项，a 是二次项系数；bx 是一次项，b 是一次项系数；c 是常数项.4.一元二次方程的解法(1)直接开平方法.(2)配方法.(3)公式法.(4)因式分解法.5.根的判别式一元二次方程根的判别式为Δ=b²−4ac.典型例题例 1若关于x 的一元二次方程(m−1)x²+5x+m²−3m+2=0的常数项为0，则 m 的值等于( ).A. 1B. 2C.1或2D.0分析首先为保证( (m−1)x²+5x+m²−3m+2=0是一元二次方程，则m−1≠0;；其次，根据题意，常数项为0，则m²−3m+2=0.解 B例2已知方程x²+bx+a=0有一个根是-a(a≠0)，则下列代数式的值恒为常数的是( ).A. abB. a/bC. a+bD. a-b分析将根代入方程，得a²−ab+a=0,提取公因式得到a(a-b+1)=0.解将-a代入原方程,得a(a-b+1)=0因为a≠0所以a-b=-1选 D.例3解下列一元二次方程.①9(x−1)²=(2x+1)²(用因式分解法)②x²−5x+2=0(用公式法)③y²−10y−10=0(用配方法)④(x+2)²−25=0(直接开平方法)解①9(x−1)²=(2x+1)²9(x−1)²−(2x+1)²=0[3(x-1)+(2x+1)][3(x-1)-(2x+1)]=0(5x-2)(x-4)=0x1=25,x2=4②x²−5x+2=0△=25-8=17x1=5+√172,x2=5−√172③y²−10y−10=0(y−5)²=35y1=√35+5,y2=−√35+5④(x+2)²−25=0(x+2)=±5x₁=3,x₂=−7例 4已知x²−x−1=0,求−x³+2x²+2014的值.分析 方法一，将 −x³+2x²+2014变形为含有 (x²−x )的形式；方法二，将 x²=x +1代入 −x³+2x²+2014逐次降幂.解 方法一 因为 −x³+2x²+2014=−x³+x²+x²+2014=x (−x 2+x )+x 2+2014⋯;又因为 x²−x −1=0,所以 −x 2+x =−1,将②代入①得原式= x ×(−1)+x 2+2014=−x +x 2+2007=−(−x 2+x )+2014⋯③;将②代入③得原式=-(-1)+2014=2015.方法二 −x 3+2x 2+2014=−x ⋅x 2+2x 2+2014又因为 x²−x −1=0,所以 x 2=x +1将②代入①得原式= −x (x +1)+2(x +1)+2014=−x²+x +2+2014=−1+2+2014=2015双基训练1. 方程 2x 2−1=√3x 的二次项系数是 ，一次项系数是 ，常数项是2.把一元二次方程(x+1)(1-x)=2x 化成二次项系数大于零的一般式是 ，其中二次项系数是 ，一次项系数是 ，常数项是 .3.关于x 的方程( (m −1)x²+(m +1)x +3m +2=0,当 m 时为一元一次方程，当m 时为一元二次方程.4.请写出一个根为x=-1，另一根满足-1<x<1的一元二次方程 .5.在方程 (x−1x+3)2−4(x−1x+3)+1=0中，如果设 y =x−1x+3,那么原方程可以化为关于y 的整式方程是 .6.已知 6x²+xy −2y²=0,则Ixy 的值为 .7.关于x 的方程(1)ax²+bx +c =0;(2)x²−4x =8+x²;(3)1+(x-1)(x+1)=0;(4)(k²+1)x²+kx +1=0)中，一元二次方程的个数为( ).A. 1B. 2C. 3D.48.如果 (m +3)x²−mx +1=0是一元二次方程，则( ).A. m≠-3B. m≠3C. m≠0D. m≠-3且m≠09.已知方程 x²−2(m²−1)x +3m =0的两个根是互为相反数，则m 的值是 ( ).A. m=±1B. m=-1C. m=1D. m=010.关于x 的一元二次方程( (a −1)x²+x +a²−1=0的一个根是0,则a 的值( ).A. 1B. -1C.1或-1D. 1211. 方程( (x −1)²−3(x −1)−4=0的较适当的解法是( ).A.开平方B.因式分解C.配方法D.公式法12.用配方法解下列方程时，配方有错误的是( ).A.x²−2x −99=0化为 (x −1)²=100B.x²+8x +9=0化为 (x +4)²=25C.2t²−7t −4=0化为 (t −74)2=8116D.3y²−4y −2=0化为 (y −23)2=109 13.下面是李刚同学在一次测验中解答的填空题，其中答对的是( ).A.若 x²=4,则x=2B. 方程x(2x-1)=2x-1的解为x=1C.若 x²+2x +k =0的一个根为1,则k=-3;D.若分式 x 2−3x+2x−1的值为零,则x=1,214.若(x+y)(x+y+2)-8=0,则x+y 的值是( ). A. -4 或2 B. -2或 4 C.−32或3 D.3或-215.关于x 的方程 2²x²+(2k −1)x +1=( 有实数根，则下列结论正确的是( ).A. 当 k =12时方程的两根互为相反数B.当k=0时方程的根是x=--1C.当k=±1时方程的两根互为倒数D. 当 k ≤14时方程有实数根16.等腰三角形的两边的长是方程 x²−20x +91=0的两个根，则此三角形的周长为( ).A.27B.33C.27 和33D.以上都不对17.用适当的方法解下列一元二次方程①25x²−36=0 ②2(x −1)²=x²−1③2x²−7x +3=0 circle4x 2+2(√2−1)x +3−2√2=018.关于x 的方程 (m −√3)x m 2−1−x +3=0是一元二次方程，则m= .19.如果关于x 的一元二次方程 x²+px +q =0的两根分别为 x₁=3,x₂=1,那么这个一元二次方程是( ). A.x²+3x +4=0 B.x²−4x +3=0C.x²+4x −3=0D.x²+3x −4=0 20.已知 x²+3xy −4y²=0(y ≠0),求 x−y x+y 的值.能力提升21.方程( (x−2)²=9的解是( ).A.x₁=5,x₂=−1B.x₁=−5,x₂=1C.x₁=11,x₂=−7D.x₁=−11,x₂=722.如果关于 x 的方程mx²−2(m+2)x+m+5=0没有实根，那么关于x 的方程(m−5)x²−2(m+2)x+ m=0的实根个数为( ).A.2个B.1个C.0个D.不确定23. 关于x的方程( (m−2)x m2−2−x+4=0是一元二次方程，则m=.24.用配方法解一元二次方程：. x²−2x−2=0.的值为零，求 x 的值.25.若分式x2−3x−4|x−3|−126. 若3x²−x−1=0,求6x³+7x²−5x+2014的值.27.试证明：不论m 为何值，方程2x²−(4m−1)x−m²−m=0总有两个不相等的实数根.，求它的另一个根和 m 的值.28.已知方程2x²−3x−m=0的一个根是1229.已知关于x的方程kx²-2(k+1)x+k-1=0有两个不相等的实数根.(1)求 k 的取值范围.(2)是否存在实数k，使此方程的两个实数根的倒数和等于0?若存在，求出 k 的值；若不存在，说明理由.30.当 k 取何值时，一元二次方程x²−(2k−3)x+2k−4=0(1)有两个正根.(2)有两个异号根，且正根的绝对值较大.拓展资源31.简单高次方程的解法(换元法、因式分解法).(1)x¹−x²−20=0(2)(x²−x)²−7x²+7x+10=0(3)(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)=24(4)x³−x²−x+1=0(5)5(x2+1)x+1+6(1+x)x2+1=1732.用配方法求代数式的最大值或最小值.(1)2x²+40x−88(2)12(t+10)(30−t)33.已知关于x 的方程(m−2)x²−2(m−1)x+m+1=0有实数根，求m 的非负整数值.34.若关于x的方程ax²−2ax−3=0有实数根，求a 的取值范围.35.已知关于x的方程x²−2mx−3m²+8m−4=0.(1)求证：当m>2时，原方程总有两实数根.(2)若原方程的两根一个小于5，另一个大于2，求m 的取值范围.1.2,- √3,--12. x²+2x-1=0,1,2,-13.=1,≠14.x²+x =05.y²−4y +1=06. 12或 −237. B8. A9. B 10. B11. B 12. B 13. C 14. A 15. D 16. C 17.①x=± 65;②x ₁=1,x ₂=3; ③.x ₁= 12,x ₂=3;④x=1- √218.−√3 19. B 20. 53或0. 21. A 22. A 23. -224.x 1=√3+1,x 2=−√3+1 25. x=-1 26.201727. 因为 Δ=(4m −1)²+8(m²+m )=24m²+1>0 28.1,m=-1 29.(1) △=12k+4>0,则 k >−13且 k≠0.(2)不存在.理由如下：因为 1x 1+1x 2=0x 1+x 2x 1x 2=0 k=-1与 k >−13矛盾.所以不存在.30.(1) k>2且≠ 52;(2)32<k <2 31.(1)x =±√5;(2)x 1=2,x 2=−1,x 3=1+√212,x 4=1−√212;(3)x₁=0,x₂=5;(4)x=±1;(5)x =3±√172. 32.(1) 当x=-10时,有最小值-288;(2)当t=10时,有最大值200.33. m≤3,m=0,1,2,334.a≤-3或a>0.35.(1) 提示: Δ=16m²−32m +16=16(m −1)²;(2)m<0或 m >43.。
人教版数学中考一轮复习第6讲 一元二次方程
2.一元二次方程的解法
（1）直接开平方法：形如（x+m）2=n(n≥0)的方程，可直接开平方求解.
( 2 )因式分解法：可化为（ax+m）(bx+n)=0的方程，用因式分解法求解.
( 3 )公式法:一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的求根公式为x= （b2-4ac≥0）.
第6讲一元二次方程
一、知识清单梳理
知识点一：一元二次方程及其解法
关键点拨及对应举例
1.一元二次方程的相关概念
(1)定义：只含有一个ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ知数，且未知数的最高次数是2的整式方程．
(2)一般形式：ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，其中ax2、bx、c分别叫做二次项、一次项、常数项，a、b、c分别称为二次项系数、一次项系数、常数项．
3.根的判别式
(1)当Δ＝ >0时，原方程有两个不相等的实数根．
(2)当Δ＝ =0时，原方程有两个相等的实数根．
(3)当Δ＝ <0时，原方程没有实数根．
例：方程 的判别式等于8，故该方程有两个不相等的实数根；方程 的判别式等于－8，故该方程没有实数根.
*4.根与系数的关系
（1）基本关系：若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个根分别为x1、x2,则x1+x2=-b/a,x1x2=c/a.注意运用根与系数关系的前提条件是△≥0.
（2）应用模型：一元二次方程经常在增长率问题、面积问题等方面应用.
①平均增长率（降低率）问题：公式：b＝a(1±x)n，a表示基数，x表示平均增长率（降低率），n表示变化的次数，b表示变化n次后的量；
②利润问题：利润=售价-成本；利润率=利润/成本×100%；
中考数学一轮复习课件：第06课时 一元二次方程
一元二次方程
课前双基巩固
考点聚焦
考点一 一元二次方程的概念及一般形式
含有一个未知数,并且未知数的最高次数是 2 的整式方程.
2 一般形式: ax +bx+c=0(a,b,c 是常数,a≠0)
.
[注意] 在一元二次方程的一般形式中要强调 a≠0.
课前双基巩固
考点二 一元二次方程的四种解法
课前双基巩固
5.[九上 P25 复习题 21 第 4 题改编] 写出下列方程两个 根的和与积: (1)x2-5x-10=0,x1+x2= (2)2x2+7x+1=0,x1+x2= (3)3x2-1=2x+5,x1+x2= (4)x(x-1)=3x+7,x1+x2= ,x1x2= ,x1x2= ,x1x2= ,x1x2= ; . ; ;
3 2
(4)
=(x+ =(x=(x+ =(x-
课前双基巩固
2.[九上 P21 习题 21.3 第 1(1)(3)(4)题改编] (1)方程 x2+10x+21=0 的解是 (2)方程 3x2+6x-4=0 的解是 (3)方程 3x(x+1)=3x+3 的解是 ; ; .
[答案] (1)x1=-3,x2=-7 (2)x1=
[答案] 6.D [解析] Δ=b2-4ac=(-2)2-4(k+1)≥0,解得 k≤0,又∵k+1≠0,即 k≠-1,∴k≤0 且 k≠-1. 故选 D. 7.x1=0,x2=1 [解析] x2-x=0,x(x-1)=0.
∴x=0 或 x=1 故答案为 x1=0,x2=1.
7.—元二次方程 x2-x=0 的根是
中考数学基础复习第6课一元二次方程及其应用课件
【解析】(1)若降价3元,则平均每天销售数量为20+2×3=26件; (2)设此商品每件应降价x元时,该商店每天销售利润为1 200元.根据题意,得 (40-x)(20+2x)=1 200,整理,得x2-30x+200=0,解得:x1=10,x2=20.∵要求 每件盈利不少于25元,∴x2=20应舍去,解得:x=10. 答:此商品每件降价10元时,该商店每天销售利润为1 200元. 反思:重点是寻找关键词,利用等量关系列出方程.
方程根的情况.
考点3一元二次方程的实际应用 例3.(202X·山西)如图是一张长12 cm,宽10 cm的矩形铁皮,将其剪去两个全 等的正方形和两个全等的矩形,剩余部分(阴影部分)可制成底面积是24 cm2的 有盖的长方体铁盒.求剪去的正方形的边长.
【解析】设底面长为a,宽为b,正方形边长为x,
【考点剖析】
考点1一元二次方程及其解法
例1.(202X·无锡)解方程:x2+x-1=0.
【解析】∵a=1,b=1,c=-1,
∴Δ=12-4×1×(-1)=5,
x= 1 5 ，
21
∴x1= 1 ,5x2=
2
1 5 . 2
变式1.(202X·齐齐哈尔)解方程:x2-5x+6=0. 【解析】∵x2-5x+6=0, ∴(x-2)(x-3)=0, 则x-2=0或x-3=0, 解得x1=2,x2=3.
【学后检测】 1.用配方法解方程x2-6x-8=0时,配方结果正确的是
(A)
A.(x-3)2=17
B.(x-3)2=14
C.(x-6)2=44
D.(x-3)2=1
2.(202X·怀化)已知一元二次方程x2-kx+4=0有两个相等的实数根,则k的值为
中考数学复习考点知识专题讲义第6讲 一元二次方程及其应用
2．列一元二次方程解决实际问题的一般步骤： 同列一元一次方程解决实际问题的步骤一样：审、设、列、解、验、答． 关键是：审、设、列、解． 注意：检验时既要检验所求结果是否为所列方程的解，还要检验是否为原问题的解.
命题点一 一元二次方程的概念及解法(8 年 4 考)
1．(2019·山西 8 题)一元二次方程 x2－4x－1＝0 配方后可化为( D )
aa((11＋＋x)nx＝)nb＝b 或 aa((11－－x)nx＝)nb＝b
[a 为原来的量，x 为平均增长(降低)率，b 为增长(降低)后的量，n 为
增长(降低)的次数]
利率问题 销售利润问题
本息和＝本金＋利息 利息＝ 本本金×金年×利年率×利年率数×年数
利润＝售价－成本 利润
利润率＝成本×100%
2．(2019·百校联考四)一元二次方程 y2－y＝34配方后可化为( B )
B．(40－2x)(30－x)＝15×30×40 D．(40－2x)(30－x)＝45×30×40
【跟踪训练】 5．改善小区环境，争创文明家园．如图所示，某社区决定在一块长(AD)10 m，宽 (AB)4 m 的矩形场地 ABCD 上修建两条同样宽的小路，其中一条与 AB 平行，另一条与 AD 平行，其余部分种草．要使草坪部分的总面积为 27 m2，则小路的宽应为多少？
2．一元二次方程根与系数的关系(选学内容)：
若关于 x 的一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个实数根为 x1，x2，则 x1＋x2＝
－－ba
，x1·x2＝
c a
.
考点三 一元二次方程的实际应用 1．实际问题常见类型
类型
数量间的等量关系 增长数量 增长率＝基础数量×100%
中考数学专题复习第2章方程与不等式第6讲一元二次方程
第6讲 一元二次方程☞【基础知识归纳】☜☞归纳1。
一元二次方程：在整式方程中，只含有 1 个未知数，并且未知数的最高次数是 2 的方程 叫做一元二次方程。
一元二次方程的一般形式是 ()200ax bx c a ++=≠ 其中2ax 叫做二次项，bx 叫做一次项，c 叫做常数项；a 叫做二次项的系数，b 叫做一次项的系数。
☞归纳2。
一元二次方程的常用解法：（1）直接开平方法：形如)0(2≥=a a x 或)0()(2≥=-a a b x（2)配方法：用配方法解一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的一般步骤是：①化二次项系数为1，即方程两边同时除以二次项系数； ②移项，使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项， ③配方,即方程两边都加上一次项系数一半的平方， ④化原方程为2()x m n +=的形式，⑤如果是0n ≥,就可以用直接开平方求出方程的解. 如果0n <，则原方程无解。
（3）公式法：一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的求根公式是242b b ac x a--=2(40)b ac -≥（4）因式分解法:因式分解法的一般步骤是： ①将方程的右边化为0；②将方程的左边化成两个一次因式的乘积；③令每个因式都等于0，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程， 它们的解就是原一元二次方程的解.☞归纳3。
一元二次方程根的判别式:关于x 的一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的根的判别式为24b ac -。
（1）240b ac -> ⇔ 一元二次方程有两个 不相等 实数根, （2）240b ac -= ⇔ 一元二次方程有 两个 相等的实数根， (3)240b ac -< ⇔ 一元二次方程 没有 实数根。
☞【常考题型剖析】☜☺ 题型一 一元二次方程的有关概念 【例1】下列为一元二次方程的是（ ）A2310x -+= B.0232=-+xx C.02=+-c bx ax D 。
一元二次方程讲义
一元二次方程讲义(总13页) -CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1-CAL-本页仅作为文档封面，使用请直接删除第6讲 判别式和根与系数的关系【学习目标】1、 使学生会运用根与系数关系解题 2、对一元二次方程以及其根有更深刻的了解，培养分析问题和解决问题的能力【知识要点】1、一元二次方程的判别式：ac b 42-=∆，（1）当042>-ac b 时，方程有两个不相等的实数根，aacb b x 242-±-=；（2）当042=-ac b 时，方程有两个相等的实数根，abx x 221-==； （3）当042<-ac b 时，方程无实数解。
2、一元二次方程根与系数关系的推导：对于一元二次方程02=++c bx ax 其中0≠a ，设其根为21,x x ，由求根公式a acb b x x 24221-±-==，有ab x x -=+21，a cx x =⋅213、常见的形式：（1）212212214)()(x x x x x x -+=- （2）)(3)(21213213231x x x x x x x x +-+=+ （3）21221214)(x x x x x x -+±=-【典型例题】例1 当m 分别满足什么条件时，方程2x 2-(4m+1)x +2m 2-1=0,（1）有两个相等实根；（2）有两个不相实根；（3）无实根；(4)有两个实根.例2、已知方程022=--c x x 的一个根是3，求方程的另一个根及c 的值。
例3、已知方程0652=--x x 的根是x 1和x 2，求下列式子的值： （1）2221x x + + 21x x （2）1221x x x x +例4、已知关于x 的方程3x 2-mx-2=0的两根为x 1 ，x 2，且31121=+x x ， 求 ①m 的值； ②求x 12+x 22的值.例5、已知关于x 的方程（1）03)21(22=-+--a x a x 有两个不相等的实数根，且关于x 的方程（2）01222=-+-a x x 没有实数根，问a 取什么整数时，方程（1）有整数解【经典练习】姓名： 成绩：一、选择题1、方程012=--kx x 的根的情况是（ ）A 、有两个不相等的实数根B 、有两个相等的实数根C 、 没有实数根D 、 与k 的取值有关2、已知关于x 的一元二次方程0)1()1(22=+--k x k 的两根互为倒数，则k 的取值是( ).A 、2±B 、2C 、 2-D 、03、设方程0532=+-q x x 的两根为1x 和2x ，且0621=+x x ,那么q 的值等于( ). A 、32-B 、-2C 、91D 、92-4、如果方程12=+mx x 的两个实根互为相反数，那么m 的值为（ ） A 、0 B 、－1 C 、1 D 、±15、已知ab ≠0，方程02=++c bx ax 的系数满足ac b =⎪⎭⎫⎝⎛22，则方程的两根之比为（ ）A 、0∶1B 、1∶1C 、1∶2D 、2∶3 二、填空题1、已知方程0432=--x x 的两个根分别是x 1和x 2，则21x x += _____，21x x =_____2、已知方程02=++b ax x 的两个根分别是2与3，则=a ，=b3、已知方程032=++k x x 的两根之差为5，k=?4、（1）已知方程x 2-12x+m=0的一个根是另一个根的2倍，则m= （2）方程 05242=++mx x 的一个根是另一个根的5倍，则m= ；51为根构造一个一元二次方程 三、简答题1、讨论方程04)1(4)1(22=----x m x m 的根的情况并根据下列条件确定m 的值。
第06课 一元二次方程的应用(平均变化率、握手、面积问题)(学生版) 九年级数学上册精品讲义(人教)
第06课一元二次方程的应用（平均变化率、握手、面积问题）课程标准课标解读1.通过分析具体问题中的数量关系，建立方程模型并解决实际问题，总结运用方程解决实际问题的一般步骤；2.通过列方程解应用题，进一步提高逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力.通过分析实际问题，建立准确的数学模型，从而解决实际问题。
知识精讲知识点01列一元二次方程解应用题的一般步骤1.利用方程解决实际问题的关键是寻找等量关系.2.解决应用题的一般步骤：审(审题目，分清已知量、未知量、等量关系等)；设(设未知数，有时会用未知数表示相关的量)；列(根据题目中的等量关系，列出方程)；解(解方程，注意分式方程需检验，将所求量表示清晰)；验（检验方程的解能否保证实际问题有意义）答(写出答案，切忌答非所问).要点诠释：列方程解实际问题的三个重要环节：一是整体地、系统地审题；二是把握问题中的等量关系；三是正确求解方程并检验解的合理性.知识点02一元二次方程应用题的主要类型1.数字问题(1)任何一个多位数都是由数位和数位上的数组成.数位从右至左依次分别是：个位、十位、百位、千位……，它们数位上的单位从右至左依次分别为：1、10、100、1000、……，数位上的数字只能是0、1、2、……、9之中的数，而最高位上的数不能为0.因此，任何一个多位数，都可用其各数位上的数字与其数位上的单位的积的和来表示，这也就是用多项式的形式表示了一个多位数.如：一个三位数，个位上数为a ，十位上数为b ，百位上数为c ，则这个三位数可表示为：100c+10b+a.(2)几个连续整数中，相邻两个整数相差1.如：三个连续整数，设中间一个数为x ，则另两个数分别为x-1，x+1.几个连续偶数(或奇数)中，相邻两个偶数(或奇数)相差2.如：三个连续偶数(奇数)，设中间一个数为x ，则另两个数分别为x-2，x+2.2.常见模型问题常见的类型应用公式进行解答，就会解题就会方便很多，下表就是常见基本公式：(1)增长率问题：a 为原来数，x 为平均增长率，n 为增长次数，b 为增长后的量.“共”或“累计问题”(2)降低率问题：(3)传染问题(4)握手问题(5)送礼问题(6)枝干问题（1）平均增长率：设原价为a ，连续增长两次，价格变为b ，每次增长的百分率为x ，那么：增长第一次价格为：；增长第二次在上一次价格的基础上再乘，即最终价格2(1)a x b +=，得出等量关系；（如果增长三次，就将指数2变换为3即可）“累计问题”：设第一个月为a ，连续增长两个月，累计总数为b ，设平均增长率为x ，则：第一个月为a ，第二个月为，第三个月为，所以三个月累计（2）平均降低率：设原价为a ，连续降价两次，价格变为b ，每次降价的百分率为x ，那么：增长第一次价格为：；增长第二次在上一次价格的基础上再乘，即最终价格，得出等量关系；（3）传染问题：设开始挈带病毒的人数为a ，一个病人一轮传染x 个病人，两轮传染之后一共有b 个人挈带病毒，则：传染轮数挈带病毒人数传染人数第一轮第二轮两轮结束后一共挈带病毒数（4）握手问题：这个问题和求多边形对角线的个数类似，以6个人举例：首先A 站起来，和其余5个人一次握手，共握手5次；然后B 站起来，和其余5个人一次握手，共握手5次；以此类推，每个人都站起来和其余人握手，一共握手：6(61)´-次，但是握手完成后发现，任意两人之间握手2次，重复了一次，因此需要乘以12去重复；也就是一共握手16(61)2创-次。
2025年中考数学一轮复习课件：第6讲一元二次方程
A.8
B.10
C.7
D.9
考查角度3：数学文化
25.小明同学是一位古诗文的爱好者，在学习了《一元二次方程》这一章后，改编了
苏轼的诗词《念奴娇·赤壁怀古》：“大江东去浪淘尽，千古风流人物.而立之年督东吴，
早逝英年两位数.十位恰小个位三，个位平方与寿同.哪位学子算得快，多少年华数周
6.若关于x的方程x2＋4kx＋2k2＝4的一个解是x＝－2，则k的值为( B )
A.2或4
B.0或4
C.－2或0
D.－2或2
7.(2023·营口)若关于x的方程x2＋mx－12＝0的一个根是3，则此方程的另一个根是
－4 .
8.(2023·内江)已知a，b是方程x2＋3x－4＝0的两根，则a2＋4a＋b－3＝ －2
售价－进价
利润＝售价－进价；利润率＝
×100%＝
×100%；售
进价
进价
价＝进价×(1＋利润率)；总利润＝总售价－总成本＝单个利润×总销
售量
基础知识逐点练
巩固基础·提升能力
一元二次方程的解法
考查角度1：用配方法求解
1.(2023·赤峰)用配方法解方程x2－4x－1＝0时，配方后正确的是( C )
A.(x＋2)2＝3
为( B )
A.－2022
B.0
C.2022
D.4044
23.(2022·成都)若一个直角三角形两条直角边的长分别是一元二次方程x2－6x＋4＝0的
两个实数根，则这个直角三角形斜边的长是 2
.
考查角度2：跨学科整合
24.(2022·黑龙江)某次运动会冰壶比赛有若干支队伍参加了单循环比赛，单循环比赛
广东省中考第一轮复习课件：第2章第6讲 一元二次方程
解：设该贫困户 2016 年到 2018 年家庭年人均纯收 入的年平均增长率为 x.
由题意，得 2 500(1＋x)2＝3 600. 解得 x1＝0.2＝20%，x2＝－2.2(舍去)． 答：该贫困户 2016 年到 2018 年家庭年人均纯收入 的年平均增长率为 20%.
第6讲 一元二次方程
名师导航 知识梳理 考点精练 中考实战
年份
真题类型
考点分布
考查分值
2015
根的判别式、解一元二
选择题、解答题
3＋6＝9(分)
次方程
2016 2017
2018
选择题
根的含义
根的判别式、二次函数 选择题、解答题
中求解存在性问题
3分 3＋3＝6(分)
2019
选择题
解一元二次方程、二次 函数中求解存在性问题 3＋3＝6(分)
10．(2019·湖南邵阳)若关于x的一元二次方程x2－2x －m＝0有两个不相等的实数根，则m的最小整数值是 __0______．
11．(2019·广西贺州)2016年，某贫困户的家庭年人 均纯收入为2 500元，通过政府产业扶持，发展了养殖业 后，到2018年，家庭年人均纯收入达到了3 600元．
D．－4
2．方程5x＝x2的解为( C )
A．x＝1
B．x＝0或x＝－5
C．x＝0或盐城)已知一元二次方程x2＋kx－3＝0
有一个根为1，则k的值为( B )
A．－2
B．2
C．－4
D．4
4．解方程：3x－1＝x2. 解：x1＝3＋2 5，x2＝3－2 5.
考点二 根的判别式 5．(2019·湖南郴州)一元二次方程2x2＋3x－5＝0的 根的情况为( B ) A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根
中考数学一轮复习课件一元二次方程及其应用
5.（2022·安顺）定义新运算a*b：对于任意实数a，b满足a*b＝（a＋b）（a－b）－1，其中等式右边是通常的加法、减法、乘法运算，例如，3*2＝（3＋2）×（3－2）－1＝5－1＝4.若x*k＝2x（k为实数）是关于x的方程，则它的根的情况是（ B ）
A.有一个实数根
B.有两个不相等的实数根
a（1－x%）2
类型
等量关系
面积问题
（1）－2x）（b－2x）；（2）如图2，设阴影部分的宽为x，则S空白＝⑩ （a－x）（b－x） ；（3）如图3，设阴影部分的宽为x，则S空白＝⑪ （a－x）（b－x） 图1 图2 图3
（a－2x）（b－2x）
（a－x）（b－x）
（a－x）（b－x）
类型
等量关系
每每问题
（1）常用公式：利润＝售价－成本；总利润＝每件利润×销售量；（2）每每问题中，单价每涨a元，少卖b件，若涨价y元，则少卖的数 量为（×b）件
循环赛问题
（1）单循环淘汰赛问题：设x队进行m场比赛，则＝m；（2）互赠照片问题：全班x人，每人向其他人赠送一张，共赠送m张， 则x（x－1）＝m
1.（2023·贵阳白云区期末）用配方法解一元二次方程x2－6x＋8＝0，配方后得到的方程是（ D ）
A.（x＋6）2＝28
B.（x－6）2＝28
C.（x＋3）2＝1
D.（x－3）2＝1
2.（2023·毕节期末）一元二次方程x2＋3x－2＝0的根的情况为（ A ）
A.有两个不相等的实数根
B.有两个相等的实数根
（2）小明的线下实体商店也销售同款小商品，标价为每件62.5元.为提高市场竞争力，促进线下销售，小明决定对该商品实行打折销售，使其销售价格不超过（1）中的售价，则该商品至少需打几折销售？
中考数学一轮复习课件：一元二次方程
对应练习
练习一 ［2023·聊城］若一元二次方程 mx2+2x+1=0 有实数解，则 m 的取
值范围是 （ D ） A． m≥-1
B． m≤1
C． m≥-1 且 m≠0 D． m≤1 且 m≠0
练习二 ［2022·衡水模拟］若关于 x 的一元二次方程-2x2-3x+n=0 有两个
不相等的实数根，则n 的最小整数解是 （ B ）
类题集训 1.1 小刚在解关于 x 的方程 ax2+bx+c=0（a≠0）时，只抄对了 a=1，发现 ax2+bx+c 可以分解为（x-2）（x+3），他核对时发现所抄的 b比原方程的 b 值 大 2，c 比原方程的 c 值小2．则原方程的根的情况是 （ B ） A． 不存在实数根 B． 有两个不相等的实数根 C． 有一个根是 x=-3 D． 有两个相等的实数根
将方程化为一般形式，确定 a，
b，c 的值，然后代入求根公 形如 ax2+bx+c=0（a ≠0）且 b2-
公式法
式 x =___________（b2-
4ac≥0 的方程 ，如：2x2-3x-1=0.
4ac≥0）计算.
续表
配方法
把一元二次方程的二次项系数 ①二次项系数化为 1 后，一次项系
化为1；把常数项移到等号右边； 数是偶数的一元二次方程.如：
两边同时加上一次项系数一半 3x2+6x-9=0；
的平方；配方成（x+m）2=n 的 ②各项系数较小且便于配方的方程.
形式，直接开平方求解.
续表
将方程右边化为 0；将方程左 ①缺少常数项，即方程 ax2+bx=0
因式分 解法
20春九数下(北师)中考知识点梳理 第6讲 一元二次方程
①平均增长率（降低率）问题：公式：b＝a(1±x)n，a表示基数，x表示平均增长率（降低率），n表示变化的次数，b表示变化n次后的量；
②利润问题：利润=售价-成本；利润率=利润/成本×100%；
③传播、比赛问题：
④面积问题：a.直接利用相应图形的面积公式列方程；b.将不规则图形通过割补或平移形成规则图形，运用面积之间的关系列方程.
在运用根与系数关系解题时，注意前提条件时△=b2-4ac≥0.
知识点三：一元二次方程的应用
4.列一元二次方程解应用题
（1）解题步骤：①审题；②设未知数；③列一元二次方程；④解一元二次方程；⑤检验根是否有意义；⑥作答．
运用一元二次方程解决实际问题时，方程一般有两个实数根，则必须要根据题意检验根是否有意义.
第6讲一元二次方程
一、知识清单梳理
知识点一：一元二次方程及其解法
关键点拨及对应举例
1.一元二次方程的相关概念
(1)定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程．
(2)一般形式：ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，其中ax2、bx、c分别叫做二次项、一次项、常数项，a、b、c分别称为二次项系数、一次项系数、常数项．
例：方程 是关于x的一元二次方程，则方程的根为－1.
2.一元二次方程的解法
（1）直接开平方法：形如（x+m）2=n(n≥0)的方程，可直接开平方求解.
(2 )因式分解法：可化为（a)公式法:一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的求根公式为x= （b2-4ac≥0）.
（2）解题策略：已知一元二次方程，求关于方程两根的代数式的值时，先把所求代数式变形为含有x1+x2、x1x2的式子，再运用根与系数的关系求解.
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一元二次方程
教学目标
1.进一步掌握一元二次方程的基本概念；
3.能灵活选择适当的方法解一元二次方程；
4.会判断一元二次方程根的情况，会灵活运用根与系数的关系解决问题；
5.学会根据实际应用列方程，首先要根据题意找出存在的等量关系，最后要检验结果是不是合理；
课前小测
1.如果2是方程的一个根，则常数k的值为（）
2.若二次函数的图像经过点，则关于的方程的实数根为( )
3.一元二次方程的根的情况是（）
4.给出一种运算：对于函数，规定y′=．例如：若函数，则有y′=．已知函数，则方程y′=12的解是（）
知识点一：一元二次方程的概念
1．一元二次方程：只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的整式方程，叫做一元二次方程．
2．一般形式：（其中a、b、c为常数，a≠0），其中、bx、c分别叫做二次项、一次项和常数项，a、b分别称为二次项系数和一次项系数．
3．一元二次方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根．
基本方法归纳：一元二次方程必须具备三个条件：（1）必须是整式方程；（2）必须只含有1个未知数；（3）所含未知数的最高次数是2．
注意问题归纳：在一元二次方程的一般形式中要注意a≠0．因为当a=0时，不含有二次项，即不是一元二次方程．
1.若x2m+n+3x m-n+4=0是关于x的一元二次方程,求m,n的值.
2.若a是方程x2-2 014x+1=0的一个根,求a2-2 013a+的值.
牛刀小试
1.关于x的一元二次方程(a-1)x2+x+a2-1=0有一个根为0,则a的值是_________
2.已知2是关于x的方程x2﹣2mx+3m=0的一个根，并且等腰三角形ABC的腰和底边长恰好是这个方程的两个根，则△ABC的周长为_________
1、直接开平方法
利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法．直接开平方法适用于解形如的一元二次方程．根据平方根的定义可知，是b的平方根，当时，，，当b＜0时，方程没有实数根．
2、配方法
配方法是一种重要的数学方法，它不仅在解一元二次方程上有所应用，而且在数学的其他领域也有着广泛的应用．配方法的理论根据是完全平方公式，把公式中的a看做未知数x，并用x代替，则有．
3、公式法
公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法．
一元二次方程的求根公式：
4、因式分解法
因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，这种方法简单易行，是解一元二次方程最常用的方法．
基本方法归纳：（1）若一元二次方程缺少常数项，且方程的右边为0，可考虑用因式分解法求解；（2）若一元二次方程缺少一次项，可考虑用因式分解法或直接开平方法求解；
（3）若一元二次方程的二次项系数为1，且一次项的系数是偶数时或常数项非常大时，可考虑用配方法求解；
（4）若用以上三种方法都不容易求解时，可考虑用公式法求解．
注意问题归纳：用公式法求解时必须化为一般形式；用配方法求解时必须两边同时加上一次项的系数一半的平方．
1.用公式法解下列方程
（1）；（2）
2.选择合适的方法解方程。
（1）（2）
（3）x（2x-1）=6x-3 （4）2x2+1＝3x
导学二：一元二次方程根的判别式、根与系数关系
知识点一：一元二次方程根的判别式
对于一元二次方程（a≠0）：
（1）＞0⇔方程有两个不相等的实数根；
（2）＝0⇔方程有两个的实数根；
（3）＜0⇔方程没有实数根．
基本方法归纳：若只是判断方程解得情况则根据一元二次方程根的判别式判断即可．
注意问题归纳：一元二次方程根的判别式应用时必须满足a≠0；一元二次方程有解分两种情况：1、有两个相等的实数根；2、有两个不相等的实数根．
1.已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是___________。
2.关于的一元二次方程。
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若方程有一根小于1，求的取值范围。
3.在△ABC 中AB=2，，，且关于的方程有两个相等的实数根，则
边上的中线长为__________。
牛刀小试
1.若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是________。
知识点二：一元二次方程的根与系数的关系
若一元二次方程（a≠0）的两根分别为，，则有，．基本方法归纳：一元二次方程问题中，出现方程的解得和与积时常运用根与系数的关系．注意问题归纳：运用根与系数的关系时需满足：1、方程有解；2、a≠0．
1.已知一元二次方程的两个实数根为，，则的值是________。
2.若方程的两根是，，则的值为______。
3.设α、β是方程的两实数根，则=_______ 。
牛刀小试
1.已知α，β是方程的两个实数根，则的值为______。
2.已知方程的两个实数根分别为，则__________。
知识点三：一元二次方程根的判别式与根与系数关系的综合问题
1.已知关于x的一元二次方程。
（1）求证：该方程有两个不等的实根；
（2）若该方程的两个实数根、满足，求m的值。
牛刀小试
1.若是方程的两个根，且，则的值为__________。
导学三：运用一元二次方程解决简单的实际问题
1．列一元二次方程解应用题的步骤和列一元一次方程（组）解应用题的步骤相同，即审、设、列、解、验答五步．
2．列一元二次方程解应用题中，经济类和面积类问题是常考类型，解决这些问题应掌握以下内容：（1）增长率等量关系：
A．增长率＝×100%；
B．设a为原来量，x为平均增长率，n为增长次数，b为增长后的量，则；当x为平均下降率，n为下降次数，b为下降后的量时，则有．
（2）利润等量关系：
A．利润＝售价-成本；
B．利润率＝×100%．
（3）面积问题
3、解应用题的书写格式：
设→根据题意→解这个方程→答．
基本方法归纳：解题时先理解题意找到等量关系列出方程再解方程最后检验即可．
注意问题归纳：找对等量关系最后一定要检验．
1.某商品原价289元，经连续两次降价后售价为256元，设平均每降价的百分率为x，则下面所列方程正确的是（）
2.有x支球队参加篮球比赛，共比赛了45场，每两队之间都比赛一场，则下列方程中符合题意的是（）.
牛刀小试
1.某剧院举办文艺演出．经调研，如果票价定为每张30元，那么1200张门票可以全部售出；如果票价每增加1元，那么售出的门票就减少20张．要使门票收入达到38500元，票价应定为多少元？若设票价为x元，则可列方程为_________________．
限时小测
1.若是方程的一个根，则的值为_______________．
2.设、是方程的两个实数根，则的值为______。
3.关于x的一元二次方程的两实数根之积为负，则实数m的取值范围是________ 课后练习
1.我们知道方程的解是，，现给出另一个方程，它的解是（）
2.关于x的两个方程与有一个解相同，则m= _______。
3.已知等腰三角形的腰和底的长分别是一元二次方程的根，则该三角形的周长为
________ 。
4.若二次函数y=x2+mx的对称轴是x=3，则关于x的方程x2+mx=7的解为________ 。