基于极点、极线求解切线问题

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高中数学圆锥曲线技巧之极点与极线

高中数学圆锥曲线技巧之极点与极线在高中数学的学习中，圆锥曲线是一个比较复杂但又非常重要的内容。

其中，极点与极线是圆锥曲线中一个较为抽象但又极具深度的概念。

在本文中，我们将深入探讨高中数学中关于极点与极线的技巧，并通过具体的例子来帮助大家更好地理解和运用这一知识。

极点与极线是圆锥曲线中的重要概念，它们的理解和运用可以帮助我们更好地解题和应用数学知识。

在接下来的内容中，我们将从简单到复杂，由浅入深地介绍极点与极线的相关知识，让大家能够更直观地理解这一概念。

让我们从极点的定义和性质入手。

极点是在圆锥曲线上的一个特殊点，它具有一定的性质和特点。

在直角坐标系中，对于椭圆、双曲线和抛物线而言，这些曲线上都存在极点。

具体来说，在椭圆和双曲线上，极点是无限远处的点，而在抛物线上，极点是定点。

通过对极点的性质进行深入了解，我们可以更好地应用这一知识解决问题。

让我们了解极线的概念及其性质。

极线是与极点对应的直线，它们之间存在着一定的几何关系。

在椭圆和双曲线的情况下，极线是通过极点并且与曲线相切的直线，而在抛物线的情况下，极线是通过极点并且与对称轴垂直的直线。

通过对极线的性质进行深入研究，我们可以更好地掌握圆锥曲线相关问题的解题技巧。

接下来，让我们通过实例来详细讨论极点与极线的应用技巧。

以椭圆曲线为例，假设我们需要确定椭圆上关于极点和极线的一些特定问题。

在解题过程中，我们可以先确定椭圆的极点，然后求出与极点相关的极线方程，进而利用极线的性质来解决具体的问题。

通过实例的具体讲解，我们可以更好地理解并掌握极点与极线的运用技巧。

总结回顾一下，极点与极线是圆锥曲线中的重要概念，它们的理解和运用可以帮助我们更好地解题和应用数学知识。

通过对极点与极线的深入讨论和实例分析，我们能够更全面、深刻和灵活地理解这一知识，并运用于实际问题中。

对于我个人来说，极点与极线的学习过程不仅仅是对圆锥曲线知识的掌握，更是对数学思维和解题能力的提升。

极点极线详解-概述说明以及解释

极点极线详解-概述说明以及解释1.引言1.1 概述极点极线是复数函数理论中重要的概念，它们在解析几何和数学物理等领域均有广泛的应用。

极点是函数在复平面上的奇点，它表现为函数在该点处无穷大或无穷小的特性，而极线则是连接这些极点的曲线。

极点和极线的研究不仅有助于深入理解复函数的性质，还在实际问题的求解中发挥着重要作用。

本文将详细介绍极点和极线的定义、特性、关系以及应用，旨在帮助读者更好地理解和应用这一重要的数学概念。

1.2 文章结构文章结构部分的内容可以按照以下方式进行编写:文章结构部分本文将按照以下结构来论述极点极线的相关内容:2. 正文2.1 极点的定义和特性2.2 极线的定义和特性2.3 极点极线的关系2.4 极点极线的应用在正文部分，我们将依次介绍和探讨极点和极线在计算机视觉领域中的重要性以及相关概念、定义和特性。

首先，我们将详细讲解极点的定义和其特性，包括极点在图像处理和计算机视觉中的作用以及其在数学中的定义。

然后，我们将介绍极线的定义和特性，重点关注极线在立体视觉和图像对几何关系解决中的重要性。

接下来，我们将讨论极点和极线的关系，包括如何通过极点和极线之间的投影关系来求解立体视觉和图像重建中的几何关系。

最后，我们将探讨极点极线在实际应用中的具体应用场景，包括目标识别、图像配准和三维重建等领域，并介绍一些相关的案例和算法。

通过以上结构，我们希望能够全面而系统地介绍极点极线的相关内容，使读者对其有一个清晰的认识和理解。

在这个过程中，我们将尽可能地提供详细的解释和示例，以帮助读者更好地理解和应用极点极线的概念和方法。

在接下来的章节中，我们将从极点的定义和特性开始，逐步展开对极点极线的讨论。

让我们一起深入了解极点极线的奥秘吧。

1.3 目的本文的目的在于探讨和详解极点极线的概念、定义、特性以及其在实际应用中的重要性。

通过对极点和极线的定义和特性的介绍，我们将深入了解这一数学概念的内涵和本质。

同时，我们还将研究极点和极线之间的关系以及它们在几何学、计算机视觉和图像处理领域的应用。

用圆锥曲线极点与极线的性质解题

Ⅳ．过圆锥曲线特定直线（极线）上任意一点引圆锥曲线的切线，则切点弦直线恒过定点（极点）．
上述证明可参考《高等几何》，此处不再展开，这里重在说明其应用．
例１已知椭圆ｃ：每＋ｙ２—１的两焦点为，点Ｐ（如，Ｙｏ）
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
满足．则１ＰＦ，ｌ＋ｌＰＦ。ｊ的取值范围为——，直线等＋ｙｏｙ＝
１与椭圆Ｃ的公共点个数——．
一条直线都有一个极点．
２．标准方程下圆锥曲线极点与相应极线的方程
，２
．．２
椭圆争＋寺一１，则点ｐ（ｘ。，Ｙｃ，）对应的极线方程为：
掣＋掣一１．
Ⅱ。
Ｄ”
双曲线≥一ｙ６２—１，则点ｐ（ｚ。，Ｙ。）对应的极线方程为：
Ｘｏ工口２
ｙｏＹ一１
ｂ２
１‘
抛物线Ｙ２＝２ｐｘ。则点ｐ（氙，Ｙ。，）对应的极线方程为：
Ｐ（Ｘ０，ｙｏ）．还有学生看到竿＋ｙｏｙ一１这样的结构，认为是切线，所以判断有一个公共点．事实上，下Ｊ。ｏ３１＂＋ｙｏＹ一１是
～２
Ｐ（ｚ。，Ｙ。）对应的极线，Ｐ（ｚ。，Ｙ。）在椭圆ｃ：等＋ｙ２—１的内部，此直线与椭圆相离，故交点数为０个，问题能够快速解决．
而常规方法只能联立方程用判别式判断，计算比较复杂．
引用本文格式：黄彩红用圆锥曲线极点与极线的性质解题[期刊论文]-中学生数理化（学研版） 2013(10)
点共线．由极点与极线性质知相应的三极线共点于Ｐ．
ｆ竿一ｙ，一一，１
Ｐ（Ｔ。，一１），代入极线方程得：＜
Ｉ—＇／７２：广Ｘ（Ｉ—ｙ２一一１．
两式相减得：塑１二竽堕一（ｙ。一ｙ：）．Ｌ
所以讳·蕊一Ｔ。（ｚ：一ｚ。）一２（弘一ｙ１）一ｏ．
（２）设ＡＢ方程：ｙ一１一ｋｘ，则ＡＢ对应的极点为（２ｋ，１）．把ＡＢ代人Ｃ：，一４ｙ．

导数的应用切线与极值问题

导数的应用切线与极值问题导数的应用：切线与极值问题导数是微积分中的重要概念，它在各个科学领域中都有着广泛的应用。

其中，切线与极值问题是导数应用的两个常见问题。

本文将探讨如何使用导数解决切线和极值问题，并通过实例解释其应用。

一、切线问题切线是曲线上某一点处与该点相切的直线。

通过导数，我们可以确定曲线上某点的切线方程。

设曲线方程为y=f(x)，点P(x,y)处的切线斜率k即为函数f(x)在该点的导数，即k=f'(x)。

例子1：求曲线y=x^2+2x+1在点P(1,4)处的切线方程。

解：首先求导数：f'(x)=(x^2+2x+1)'=2x+2。

然后求点P(1,4)处的斜率：k=f'(1)=2(1)+2=4。

由切线斜率和点可确定切线方程，即y-4=4(x-1)。

将其化简，得到切线方程为y=4x。

二、极值问题在求解极值问题时，我们可以利用导数为0的点来确定函数的最大值或最小值。

设函数f(x)在[a,b]区间上连续且在区间内可导，若f'(c)=0且c∈(a,b)，则c称为f(x)在[a,b]上的临界点。

临界点和区间端点都有可能是函数的极值点。

例子2：求函数f(x)=x^3-3x^2的极小值。

解：首先求导数：f'(x)=(x^3-3x^2)'=3x^2-6x。

然后求导函数的临界点：3x^2-6x=0。

化简得到x(x-2)=0，解得x=0或x=2。

接下来，我们通过判断临界点和区间端点的函数值来确定极小值。

计算f(0)=-0、f(2)=-4，因此f(x)=x^3-3x^2的极小值为-4，在x=2处取得。

综上，我们通过求解导数和判断临界点来确定函数的极值。

三、切线和极值问题的应用切线问题和极值问题在实际应用中有着广泛的运用。

例子3：一辆汽车在某段时间内行驶的路程和时间的关系如图所示。

求该段时间内汽车的平均速度，以及汽车行驶的最快和最慢速度。

图表：时间（小时） 0 2 4 6 8 10路程（公里）***********解：我们可以通过导数来求解这个问题。

极点与极线的调和性在高考中的应用

极点与极线的调和性在高考中的应用在高考数学中，极点与极线的调和性是一个重要的概念。

它涉及到函数的最值、不等式、方程等问题，是高考数学中的难点之一。

本文将从极点与极线的定义、调和性、应用等方面进行探讨，帮助考生更好地理解和掌握这一概念。

极点是指在一个函数图像上，一个点所对应的函数值。

而极线是指过这个点所作的切线与x轴的交点的横坐标。

在高考数学中，极点与极线通常指的是函数的极值点和临界点。

极点与极线的调和性是指在一定条件下，函数的极值点和临界点的位置之间存在一定的关系。

在高考数学中，通常会考察函数的单调性、最值等问题，这些问题都与极点与极线的调和性有关。

在高考数学中，最值问题是一个常见的题型。

利用极点与极线的调和性，可以将函数进行分解，从而得到函数的最小值或最大值。

例如，对于一个二次函数y=ax^2+bx+c，可以利用极点与极线的调和性求出其最小值或最大值。

不等式是高考数学中的另一个重要题型。

利用极点与极线的调和性，可以将不等式转化为函数的最值问题，从而得到不等式的解。

例如，对于一个不等式x^2+bx+c>0，可以利用极点与极线的调和性求出其解集。

方程是高考数学中的另一个重要题型。

利用极点与极线的调和性，可以将方程转化为函数的最值问题，从而得到方程的解。

例如，对于一个方程ax^2+bx+c=0，可以利用极点与极线的调和性求出其解。

极点与极线的调和性是高考数学中的一个重要概念。

它涉及到函数的最值、不等式、方程等问题，是高考数学中的难点之一。

考生需要熟练掌握极点与极线的定义、调和性、应用等方面，才能更好地理解和掌握这一概念。

考生还需要注意一些常见的错误和易错点，如忽视函数的定义域、不考虑函数的单调性等。

只有全面掌握这一概念，才能在高考数学中取得好成绩。

极点和极线是解析几何中的重要概念，它们对于描述和解决圆锥曲线问题具有重要的应用价值。

通过理解极点和极线的性质，我们可以更深入地理解圆锥曲线的性质和特点。

基于射影几何的极点和极线理论应用与研究

基于射影几何的极点和极线理论应用与研究陈方玉;曾昌涛【摘要】针对目前高考试题在解析几何题目的命制特点,提出从射影几何的高等数学观点下处理近年全国各地高考数学试题中的解析几何解答题的思路,发现试题命制的高等几何背景;利用极点和极线理论对中学解析几何的点、线关系进行高观点认知,借助极点、极线理论,如概念认知、配极原则等,加强解析几何问题中定点、定直线类问题的纵向探究.只有居高临下方能势如破竹地为中学教师在解析几何试题的命制和教学提供思路,为学生在处理类似问题时寻找破题的有力工具,引导教师平时注意挖掘高等数学在中学数学中的应用,思考高等数学在中学数学的指导意义.【期刊名称】《重庆工商大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2018(035)002【总页数】7页(P36-41,53)【关键词】解析几何;极点;极线;配极原则;试题背景【作者】陈方玉;曾昌涛【作者单位】重庆市第八中学校,重庆400030;重庆市第八中学校,重庆400030【正文语种】中文【中图分类】O123在此从1道重庆市2016年“一诊”考题说起，题目如下：引例 (重庆2016年“一诊”16题)如图1所示，过直线x+y=2上任意一点P向圆C:x2+y2=1作两条切线，切点分别为A，B，线段AB的中点为Q，则点Q到直线l的距离的取值范围为 .图1 引例圆C坐标图Fig.1 Coordinatc chart of Circle C of introductive example首先给出解析法：解答设点P(t，2-t)，则经过O，A，P，B4点的圆的方程为即x2-tx+y2-(2-t)y=0联立得两圆的相交弦AB方程为tx+(2-t)y=1(也可直接由切点弦方程的公式直接给出)，而直线OP方程：(2-t)x-ty=0联立得点则点Q到直线l的距离为∵t2-2t+2∈[1，+∞)，∴∴此题解析法关注点Q坐标的表示以及距离d的取值范围的求解，思路清晰，但计算比较繁琐，其实可以探求此题的射影几何背景.其本质上是一种繁衍变换，为了从这个角度来思考问题，下面先介绍一些相关的概念和性质.1 调和点列设两点C，D内分与外分同一线段AB成同一比例，即则称点C和点D调和分割线段AB，或称点C是点D关于线段AB的调和共轭点，A，B，C，D为调和点列. 性质1 共轭性若点A，B被点C，D调和分割，同时点C，D也被点A，B调和分割.性质2 调和性最左(右)侧点到同侧三点的线段成调和关系：性质3 等比性若AB中点为M，则有MB2=MC·MD.2 极点、极线2.1 定义(1) 给定二次曲线Γ和点P，Q(P，Q不在曲线Γ上)，若点P，Q关于二次曲线Γ调和共轭，即P，Q两点连线与Γ交于点M，N，且则称P，Q关于曲线Γ互为共轭点，二次曲线Γ上的点自共轭.特别地，点P对有心二次曲线(设其中心为O)的调和共轭点为Q，且PQ通过中心O，则称点P变到点Q的变换称为反演变换，O为反演中心，P，Q互为反点.显然由调和点列的等比性，若P，Q互为反点，有OP·OQ=OR2成立.结合完全四边形的性质，还可以得到一个有趣的结论：如图2所示，A，B是圆锥曲线C的一条对称轴l上的两点(不在C上)，若A，B关于C调和共轭，过B任作C的一条割线，交C于P，Q两点，则∠PAB=∠QAB.图2 圆锥曲线CFig.2 Diagrammatic sketch of Conic C(2) 不在二次曲线Γ上的定点P关于二次曲线的调和共轭点轨迹是一条直线，这条直线l叫做P关于此二次曲线的极线，P为这条直线l关于此二次曲线的极点.二次曲线Γ上的点P关于Γ的极线为二次曲线在P处的切线.2.2 圆锥曲线中极线的方程在周兴明等的《高等几何》中证明过：齐次坐标下，点P(p1，p2，p3)关于二阶曲线的极线方程为所以点P(x0，y0)关于二次曲线Γ:Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0的极线方程为即(2Ax0+By0+D)x+(Bx0+2Cy0+E)y+Dx0+Ey0+2F=0.特别地：(1) 对于椭圆与点P(x0，y0)对应的极线方程为(2) 对于双曲线与点P(x0，y0)对应的极线方程为(3) 对于抛物线y2=2px，与点P(x0，y0)对应的极线方程为y0y=p(x0+x).事实上，圆锥曲线方程中，以x0x替换x2，以替换x(另一变量y也是如此)，即可得到P(x0，y0)对应的极线方程.由此还可以看出：圆锥曲线的焦点与准线是一对特殊的极点与极线.2.3 配极原则如果点P的极线通过点Q，则点Q的极线也通过点P配极原则是一种特殊的对偶原则，规定了一个点列与其对应线束之间的一个射影对应.由配极原则，不难得到共线点的极线必共点，共点线的极点必共线.由此，可以解决文章开头提出的问题，解析如下：解析由题知，P，Q关于圆C:x2+y2=1互为反演点，在直线x+y=2上取特殊点P0(1，1)，P0的反演点为由配极原则知，直线x+y=2上任意一点P的极线AB 都经过Q0；显然如图3，AB的中点Q到直线x+y=2的距离取值范围为图3 引例解析坐标图CFig.3 Coordinate chart of analysis of introductive example2.4 极线的作图方法若一个三角形每一个顶点关于二次曲线的极线都是其对边(每边的极点也是其所对顶点)，则称三角形为自极三角形.内接于二次曲线Γ的完全四点形ABCD的对边三点形△PQR为自极三角形(如图4).由此，可以得到定点P关于二次曲线Γ的极线的作法：图4 自极三角形Fig.4 Self-polar triangle如图5(a)，P为不在二次曲线Γ上的点，过点P引两条割线依次交二次曲线于4点E，F，G，H，连接EH，FG交于N，连接EG，FH交于M，则MN为点P对应的极线.在图5中，还得到了过二次曲线Γ外一点P切线的作法：如图5(b)，事实上，连接MN交二次曲线Γ于A，B两点，则PA，PB恰为二次曲线的两条切线.(a) (b)图5 极线作法示意图CFig.5 The sketch of plotting method of polar line3 极点、极线理论的应用极点、极线理论虽然在高中课标内没有要求，但作为圆锥曲线的一种基本特征，无论是在教材中还是在各地的高考试题和模拟试题中以此为背景的题目屡见不鲜，一线教师了解一些极点、极线理论，可以以较高的观点去看待试题，有利于中学数学教学中的优生指导和试题研究.3.1 极点、极线的直接应用：判断直线与圆锥曲线的位置关系例1 (人教A选修2-1习题2.3 B组4题)已知双曲线过点P(1，1)能否作一条直线l，与双曲线交于A，B两点，且点P是线段AB的中点?解析设A(x0，y0)，则由P是线段AB的中点得B(2-x0，2-y0)，而A，B在双曲线上，故两式相减得4x0-2y0=2，即而是点(2，2)对应的极线，但点(2，2)在双曲线内，故极线与双曲线相离，这和已知“直线与双曲线相交矛盾”，故这样的直线不存在. 变式 (人教A选修2-1 2.4.2例6)已知抛物线的方程为y2=4x，直线l过定点P(-2，1)，斜率为k.k为何值时，直线l与抛物线y2=4x：只有一个公共点；有两个公共点；没有公共点？例2 (2016年全国新课标卷(文科)20题)如图6，在直角坐标系xOy中，直线l:y=t(t≠0)交y轴于点M，交抛物线C：y2=2px(p>0)于点P，点M关于点P的对称点为N，连接ON并延长交C于点H.(I) 求除H以外，直线MH与C是否有其他公共点？说明理由.图6 例2抛物线C坐标图Fig.6 Coordinate chart of parabola C of example 2 解析(I)问中，可计算出所以直线ON方程为恰好是M(0，t)点关于抛物线的极线，而MO为抛物线的一条切线，所以MH也定是抛物线过M的另一条切线，所以直线MH与C只有H一个公共点.3.2 极点、极线性质的深层体现例3 (2015年全国1卷理科20题)曲线 C:x2=4y与直线y=kx+a(a>0)交于M，N两点.(I) 当k=0时，分别求C在点M，N处的切线方程；(II) y轴上是否存在点P，使得当k变动时，总有∠OPM=∠OPN，说明理由.解析 (I)略；在(II)中，直线y=kx+a与y轴的交点为Q(0，a)，它关于抛物线的共轭点是其关于顶点的对称点P(0，-a)，则根据调和共轭的性质知：P(0，-a)满足∠OPM=∠OPN.类似的，2015年福建文科第19题、2015年四川理科第20题都是利用本题中调和共轭点的这一性质进行命制的.例4 (2010年江苏文、理科18题)在平面直角坐标系xOy中，如图7，已知椭圆的左、右顶点为A，B，右焦点为F.设过点T(t，m)的直线TA，TB与椭圆分别交于点M(x1，y1)，N(x2，y2)，其中m>0，y1>0，y2<0.(I) 设动点P满足PF2-PB2=4，求点P的轨迹；(II) 设求点T的坐标；(III) 设t=9，求证：直线MN必过x轴上的一定点(其坐标与m无关).图7 例4椭圆坐标图Fig.7 Coordinate chart of ellipse of example 4解析对于(III)，当t=9时，T的坐标为(9，m)，连接MN，设直线AB，MN交点为K，根据极点、极线定义知，点T对应的极线经过K，又点T对应的极线方程为即此直线恒过x轴上的定点K(1，0)，从而直线MN也恒过定点K(1，0).例5 (2011年四川理科21题)如图8，椭圆两顶点A(-1，0)，B(1，0)，过其焦点F(0，1)的直线l与椭圆交于C，D两点，并与x轴交于点P.直线AC与直线BD交于点Q.(I) 当时，求直线l的方程；(II) 当P异于A，B两点时，求证：为定值.图8 例5椭圆坐标图Fig.8 Coordinate chart of ellipse of example 5解析设点P的反点为M，则由反演性质知：OB2=OP·OM，即OP·OM=1，于是点M坐标为而Q恰在P对应的极线上，所以类似地，2008年安徽理科第22题、2011年山东文科第22题、2011年四川文科第21题、2012年北京理科第19题也是利用极点、极线的寻找或者性质为背景命制，另外，还可以看到极点、极线的理论在面对解析几何中定值、定点问题的处理时，往往会带来意想不到的解题思路或者突破口.例6 (1995年全国卷理科26题)如图9，已知椭圆直线是l上一点，射线OP交椭圆于点R，又点Q在OP上且满足|OQ|·|OP|=，当点P在直线l上移动时，求点Q的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线.图9 例6椭圆C坐标图Fig.9 Coordinate chart of ellipse C of example 6解析由题，点P，Q互为反点，点Q是点P的极线与射线OP的交点.设P(12t，8-8t)，则点P的极线方程为即tx+(1-t)y=2，与射线联立消去t得2x2+3y2=4x+6y.此题其实是对反演变换的一种推广，广义反演变换把通过反演中心的直线仍然变为直线本身，把不通过反演中心的直线变成通过反演中心，对称轴与基椭圆的对称轴平行且与基椭圆相似的椭圆.类似地， 2015年北京理科第19题也是以反演变换和反演点性质为背景命制.例7 过抛物线y2=2px的焦点的一条直线和此抛物线相交，两个交点纵坐标为y1，y2，求证：y1y2=-p2.证明由点对应的极线方程分别是由F，A，B3点共线，则对应的3条极线共点，将代入后面两式得两式相除得变式 (2006年全国2卷理科21题)已知抛物线x2=4y的焦点为F，A，B是抛物线的两动点，且过A，B两点分别作抛物线的切线，并设其交点为P.(I) 证明为定值；(II) 设△ABP的面积为S，写出S=f(λ)的表达式，并求S的最小值.相比例1—例4中以极点、极线为背景命制试题，例5及变式是对极点、极线中配极原则的应用. 如果用类似的处理方法解决2005年江西理科第22题，会使运算过程大幅度简化，也会给认识问题本质提供方向.当然以上解析直接作为解题的解答过程显然是不合适的，但上述分析过程可以帮助教师和高水平的学生理解试题的背景或者探求解题的方向. 我们一直相信：一个有科学精神的人，在研究一个问题的时候，第一件事就是遥望一下这个问题的结果！问题研究的过程，从来都是“大胆猜想，小心论证”的过程.4 结束语极点、极线理论在高等几何中对二次曲线描述是极为重要的一个基本特征. 教师可以通过对二次曲线在射影几何的观点下多加研究，引导学生用射影几何的方法处理中学解析几何问题. 这样既能帮助学生利用旧知识去理解新知识，反过来又能用新知识解决旧问题，使新旧知识结合起来，这无疑对于指导学生从更高层次理解中学数学内容，从而更深层次地把握几何知识的内在联系和本质有积极的意义.参考文献(References)：【相关文献】[1] 周兴和，杨明升. 高等几何(第三版)[M]. 北京：科学出版社，2015ZHOU X H，YANG M S. Advanced Geometry (Third Edition)[M]. Beijing: Science Press，2015[2] 沈文选，杨清桃. 高中数学竞赛解题策略几何分册[M]. 杭州：浙江大学出版社，2012SHEN W X， YANG Q T. Geometric Section of Problem Solving Strategy in Senior High School Mathematics Competition[M]. Hangzhou: Zhejiang University Press， 2012[3] 李三平. 高观点下的中学数学[M].西安：陕西师范大学出版社，2013LI S P. High School Mathematics under High Viewpoint[M]. Xi’an:Shaanxi Normal University Press， 2013[4] 苏步青.高等几何讲义[M].上海：上海科学技术出版社，1964SU B Q. Lectures on Advanced Geometry[M]. Shanghai: Shanghai Science and Technology Press， 1964[5] 单墫. 解析几何的解题技巧[M].合肥：中国科学技术大学出版社，2009SHAN Z. Solving Skills of Analytic Geometry[M]. Hefei: University of Science & Technology China Press， 2009[6] 樊真美. 95年高考试题轨迹题的引申——广义反演变换[J]. 南京高师学报，1996(12):1-6 FAN Z M. The Extension of 95 Year College Entrance Examination Questions Generalized Inverse Transform [J]. Journal of Nanjing Normal University， 1996 (12) :1-6[7] 李凤华. 圆锥曲线的极点与极线及其应用[J]. 数学通讯，2012(4):41-45LI F H. 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圆锥曲线的极点与极线问题

圆锥曲线的极点与极线问题
摘要：
一、圆锥曲线的极点与极线的概念与定义
二、圆锥曲线极点与极线的重要结论
三、如何证明圆锥曲线中极点极线的性质
四、极点极线在圆锥曲线解题中的应用
正文：
一、圆锥曲线的极点与极线的概念与定义
圆锥曲线是数学中的一个重要概念，它可以用来描述各种物理现象。

极点与极线是圆锥曲线中的两个重要概念。

极点是指圆锥曲线上某一点的切线与过该点的直径的交点，而极线则是指过圆锥曲线上一点的切线与该点关于直径的对称点的连线。

二、圆锥曲线极点与极线的重要结论
在研究圆锥曲线的极点与极线时，我们可以发现一些重要的结论。

例如，对于椭圆和双曲线，它们的极点与极线总是相互垂直的。

而对于抛物线，其极点与极线则共线。

这些结论对于理解和解决圆锥曲线的相关问题非常有帮助。

三、如何证明圆锥曲线中极点极线的性质
要证明圆锥曲线中极点极线的性质，我们需要运用一些几何和数学知识。

首先，我们可以通过画图和观察来发现一些初步的结论。

然后，我们可以运用数学的证明方法，如代数证明、几何证明等，来证明这些结论的正确性。

四、极点极线在圆锥曲线解题中的应用
在解决圆锥曲线的相关问题时，极点极线的概念和性质可以给我们提供很多帮助。

例如，在求解圆锥曲线的切线问题时，我们可以通过找到极点和极线来简化问题。

在解决圆锥曲线与直线的交点问题时，我们也可以通过极点极线来找到答案。

圆锥曲线极点与极线问题在高考试题中的应用

圆锥曲线极点与极线问题在高考试题中的应用
摘要：本文通过引入极点与极线的定义，另辟蹊径提供高考试题的分析及解法.
关键词：圆锥曲线极点与极线问题高考试题研究
（1）当点P在曲线Ω上时，方程为曲线Ω上过点P的切线方程。

（2）当点P在曲线Ω外时，过点P引曲线Ω的两条切线PA,PB，方程为切点弦AB所在
的直线方程。

（3）过点P（除有心圆锥曲线的中心外）作直线交曲线Ω于A,B两点，方程为曲线在
A,B处的两条切线的交点的轨迹方程。

推论1：过圆锥曲线Ω焦点的直线与曲线Ω相交于A,B两点，分别过点A,B作曲线Ω的
切线，则切线交点的轨迹是与该焦点相应的准线。

推论2：过圆锥曲线Ω准线上任意一点作曲线Ω的切线，切点弦所在的直线必过其准线
相应的焦点。

推论3：过圆锥曲线Ω准线上任意一点A作曲线Ω的切线，切点为B，则以AB为直径的圆恒过曲线Ω相应的焦点F。

下面结合近几年高考试题，探讨圆锥曲线极点与极线问题在高考试题中的应用。

高考试题以圆锥曲线极点与极线为问题背景，设计变化多端的高考新题，其实它们都有
一个“源头”。

教师在平常教学过程中要有意识地渗透这种化归思想，必能实现事半功倍的效果。

参考文献
宋波有关圆锥曲线切线的一组“殊途同归”的结论[J].中学数学研究，2015，（12），27-30。

极点极线的简单应用

极点极线的简单应用内容摘要：我们平时在做几何题时，经常可以看到一些十分类似的图形。

在一个圆中，由圆外一点做他的两条切线，然后连接切点弦，再引出了一系列的问题。

其实这些问题都与极点极线有关，极点与极线在几何中有着广泛的性质，如果我们把他的性质研究透彻，便可以很快的解出一些较难的几何题。

关键词：极点极线调和点列完全四边形不知道大家在平时做题的时候有没有将题目分类的习惯，这样可以让我们能够对一些类似的题目的做法给出一些比较方便简洁的做法。

让我们以后在遇到类似的问题的时候就可以比较迅速的找到突破口，这也是一种在学习数学中必不可少的方法。

以下就是我和其他几位同学总结的有关于我们在解平面几何以及平时看书所得到一些东西，拿出来和大家交流一下，希望能够对其他人提供一些帮助。

我们总结的的方法就是大家比较熟知但却比较难的一种解法——极点极线。

一、定义我们平时在做几何题时，经常可以看到一些十分类似的图形。

在一个圆中，由圆外一点做他的两条切线，然后连接切点弦，再引出了一系列的问题。

如下面的这道题：如左图（1）所示，PS 、PT 与⊙O 相切于S 、T 两点，PAB 为圆的任意一条割线，交ST 于M ，求证：P 、A 、M 、B 四点成调和点列。

解：设OP 交ST 于L 。

联结AL 、AO 、BL 、BO ，则由圆幂定理可知2PA PB PL PO PS ⋅=⋅=ALBO ∴四点共圆从而PLA OBA OAB OLB∠∠∠∠＝＝＝即LP 是ALB ∠的外角平分线但是PL ⊥LM ，故LM 是ALB ∠的内角平分线。

AM AC AP MB LB PB∴==即PAMB 是调和点列。

（1）由于PAB 的任意性，但是上面的证法利用了特殊的一条割线，不能十分充分的证明对于任意的PAB ，他与ST 的交点M ，PABM 成调和点列。

于是我们寻找另外的方法。

通过正弦定理与三角形的相似来证明上题：sin sin PA PS PSA AM SM AST ⋅∠=⋅∠∵，sin sin PB PS PSA BM SM BST⋅∠=⋅∠由正弦定理得PA PS AS AM SM AT =⋅，PB PS SB BM SM BT=⋅PSA PBS ∆∼∆∵PAT PBT∆∼∆AS AT SB BT∴=PA PB AM BM ∴=由此看出上述的接论是成立的。

极点与极线法解高中圆锥曲线

极点与极线背景下的高考试题极点与极线是高等几何中的重要概念，当然不是《高中数学课程标准》规定的学习内容，也不属于高考考查的范围，但由于极点与极线是圆锥曲线的一种基本特征，因此在高考试题中必然会有所反映，自然也会成为高考试题的命题背景.1.从几何角度看极点与极线定义1 如图1，设P 是不在圆锥曲线上的一点，过P 点引两条割线依次交圆锥曲线于四点,,,E F G H ，连接,EH FG交于N ，连接,EG FH 交于M ，则直线MN 为点P 对应的极线. 若P 为圆锥曲线上的点，则过P 点的切线即为极线.由图1同理可知， PM 为点N 对应的极线，PN 为点M 所对应的极线.因而将MNP 称为自极三点形.设直线MN 交圆锥曲线于点,A B 两点，则,PA PB 恰为圆锥曲线的两条切线.定理1 (1)当P 在圆锥曲线Γ上时，则点P 的极线是曲线Γ在P 点处的切线；(2)当P 在Γ外时，过点P 作Γ的两条切线，设其切点分别为,A B ，则点P 的极线是直线AB (即切点弦所在的直线)；(3) 当P 在Γ内时，过点P 任作一割线交Γ于,A B ，设Γ在,A B 处的切线交于点Q ，则点P 的极线是动点Q 的轨迹.定理2 如图2，设点P 关于圆锥曲线Γ的极线为l ，过点P 任作一割线交Γ于,A B ，交l 于Q ，则PA PBAQ BQ= ①；反之，若有①成立，则称点,P Q 调和分割线段AB ，或称点P 与Q 关于Γ调和共轭，或称点P (或点Q )关于圆锥曲线 Γ的调和共轭点为点Q (或点P ).点P 关于圆锥曲线Γ的调和共轭点是一条直线，这条直线就是点P 的极线.推论1 如图2，设点P 关于圆锥曲线Γ的调和共轭点为点Q ，则有211PQ PA PB =+ ②；反之，若有②成立，则点P 与Q 关于Γ调和共轭. 可以证明①与②是等价的.事实上，由①有11AQ BQ PQ PA PB PQ PQ PQ PA PB PA PB PA PB --=⇒=⇒-=-11()2PQ PA PB ⇒⋅+= 211PQ PA PB⇒=+.特别地，我们还有推论2 如图3，设点P 关于有心圆锥曲线Γ(设其中心为O )的调和共轭点为点Q ，PQ 连线经过圆锥曲线的中心，则有2OR OP OQ =⋅ ，反之若有此式成立，则点P 与Q 关于Γ调和共轭.证明：设直线PQ 与Γ的另一交点为R '，则PR PR OP OR OP ORRQ R Q OR OQ OR OQ '-+=⇒='-+，化简图1图2即可得2OR OP OQ =⋅.反之由此式可推出PR PR RQ R Q'='，即点P 与Q 关于Γ调和共轭. 推论3 如图4，,A B 圆锥曲线Γ的一条对称轴l 上的两点(不在Γ上)，若,A B 关于Γ调和共轭，过B 任作Γ的一条割线，交Γ于,P Q 两点，则PAB QAB ∠=∠.证明：因Γ关于直线l 对称，故在Γ上存在,P Q 的对称点,P Q ''.若P '与Q 重合，则Q '与P也重合，此时,P Q 关于l 对称，有PAB QAB ∠=∠；若P '与Q 不重合，则Q '与P 也不重合，由于,A B关于Γ调和共轭，故,A B 为Γ上完全四点形PQ QP ''的对边交点，即Q '在PA 上，故,AP AQ 关于直线l 对称，也有PAB QAB ∠=∠.定理3 (配极原则)点P 关于圆锥曲线Γ的极线p 经过点Q ⇔点Q 关于Γ的极线q 经过点P ；直线p 关于Γ的极点P 在直线q 上⇔直线q 关于Γ的极点Q 在直线p 上.由此可知，共线点的极线必共点；共点线的极点必共线. 以上未加证明的定理，可参阅有关高等几何教材，如【1】，其中定理1的初等证法可参阅文【2】.2.从代数角度看极点与极线定义2 已知圆锥曲线22:220Ax Cy Dx Ey F Γ++++=，则称点00(,)P x y 和直线0000:()()0l Ax x Cy y D x x E y y F ++++++=是圆锥曲线Γ的一对极点和极线.事实上，在圆锥曲线方程中，以0x x 替换2x ，以02x x +替换x ，以0y y 替换2y ，以02y y+替换y 即可得到点00(,)P x y 的极线方程. 特别地：(1)对于椭圆22221x y a b +=，与点00(,)P x y 对应的极线方程为00221x x y y a b+=；(2)对于双曲线22221x y a b -=，与点00(,)P x y 对应的极线方程为00221x x y y a b -=；(3)对于抛物线22y px =，与点00(,)P x y 对应的极线方程为00()y y p x x =+. (4)如果圆锥曲线是椭圆22221x y a b+=，当00(,)P x y 为其焦点(,0)F c 时，极线恰为椭圆的准线；如果圆锥曲线是双曲线22221x y a b-=，当00(,)P x y 为其焦点(,0)F c 时，极线恰为双曲线的准线；如果圆锥曲线是抛物线22y px =，当00(,)P x y 为其焦点(,0)2p F 时，极线恰为抛物线的准线.3.从极点与极线角度看圆锥曲线试题图4 R【例1】(2010江苏卷文理18)在平面直角坐标系xOy 中，如图，已知椭圆15922=+y x 的左右顶点为,A B ，右焦点为F ．设过点(,)T t m 的直线,TA TB 与此椭圆分别交于点1122(,),(,)M x y N x y ，其中0m >，1200y y ><，．(1)设动点P 满足422=-PB PF ，求点P 的轨迹；(2)设12123x x ==，，求点T 的坐标；(3)设9=t ，求证：直线MN 必过x 轴上的一定点（其坐标与m 无关）．分析与解：前面两问比较简单，这里从略. 对于(3)，当9=t 时，T 点坐标为(9,)m ，连MN ，设直线AB 与MN 的交点为K ，根据极点与极线的定义可知，点T 对应的极线经过K ，又点T 对应的极线方程为9195x m y⋅⋅+=，即 15m yx ⋅+=，此直线恒过x 轴上的定点K (1,0)，从而直线MN 也恒过定点K (1,0). 【例2】 (2008安徽卷理22)设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>过点M ，且左焦点为1(F .(1)求椭圆C 的方程；(2)当过点(4,1)P 的动直线l 与椭圆C 交于两个不同的点,A B 时，在线段AB 上取点Q ，满足AP QB AQ PB ⋅=⋅，证明点Q分析与解：(1)易求得答案22142x y +=. (2)由条件可有PA PBAQ BQ=，说明点,P Q 关于圆锥曲线C 调和共轭.根据定理2，点Q 的轨迹就是点P 对应的极线，即41142x y ⋅⋅+=，化简得220x y +-=. 故点Q 总在定直线220x y +-=上.【例3】( 1995全国卷理26)已知椭圆22:12416x y C +=，直线:1128x y l +=，P 是l 上一点，射线OP 交椭圆于点R ，又点Q 在OP 上且满足2OQ OP OR ⋅=，当点P 在l 上移动时，求点Q 的轨迹方程.,并说明轨迹是什么曲线.分析与解：由条件知2OR OP OQ =⋅可知点,P Q 关于圆锥曲线C 调和共轭，而点Q 可看作是点P 的极线与直线OP 的交点.设(12,88)P t t -，则与P 对应的极线方程为12(88)12416t x t y⋅-⋅+=，化简得 (1)2tx t y +-= ③图5,)m图6x又直线OP 的方程为8812ty x t-=，化简得 223ty x t-=④ 解由③④联立方程组得22654244542t x t t tx t t ⎧=⎪⎪-+⎨-⎪=⎪-+⎩，消去t 得222346x y x y +=+，可化为22(1)(1)15523x y --+=(,x y 不同时为0)，故点Q 的轨迹是以(1,1)为中心，，且长轴平行于x 轴的椭圆，但需去掉坐标原点.【例4】(2006年全国卷II 理21)已知抛物线24x y = 的焦点为F ，,A B 是抛物线上的两动点，且AF FB λ=(0)λ>，过,A B 两点分别作抛物线的切线，并设其交点为P . (1)证明FP AB ⋅为定值；(2)设ABP ∆的面积为S ，写出()S f λ=的表达式，并求S 的最小值.分析与解：(1)显然，点P 的极线为AB ，故可设点0(,1)P x -，再设1122(,),(,)A x y B x y ，,,F A B 三点对应的极线方程分别为1y =-，112()x x y y =+，222()x x y y =+，由于,,A B F 三点共线，故相应的三极线共点于0(,1)P x -，将1y =-代入后面两个极线方程得1012022(1)2(1)x x y x x y =-⎧⎨=-⎩，两式相减得12012()2()x x x y y -=-.又02121(,2),(,)FP x AB x x y y =-=--，故02121()2()0FP AB x x x y y ⋅=---=. (2)设AB 的方程为1y kx =+，与抛物线的极线方程002()x x y y =+对比可知直线AB对应的极点为(2,1)P k -，把1y kx =+代入24x y =并由弦长公式得24(1)AB k =+，所以212(12ABP S AB FP k ∆==+. 显然，当0k =时，S 取最小值4. 【例5】(2005江西卷理22)设抛物线2:C y x = 的焦点为F ，动点P 在直线:20l x y --=上运动，过P 作抛物线的两条切线,PA PB ，且与抛物线分别相切于,A B 两点. (1)求APB ∆的重心G 的轨迹方程； (2)证明PFA PFB ∠=∠.分析与解：(1)设点001122(,),(,),(,)P x y A x y B x y ，与002y y x x +=对比可知直线:20l x y --=对应的极点为1(,2)2，P 为直线l 上的动点，则点P 对应的极线AB 必恒过点1(,2)2.图8图9设1:2()2AB y k x -=-，可化为2222k y k x +-=，故直线AB 对应的极点为(,2)22k k P -，将直线AB 的方程代入抛物线方程得2202kx kx -+-=，由此得2121212,(1)44x x k y y k x x k k +=+=+-+=-+，APB ∆的重心G 的轨迹方程为122212223322422222333k k x x k k x k k k y y k k k y ⎧+++⎪===⎪⎪⎨⎪++--++--+⎪===⎪⎩，消去k 即得 21(42)3y x x =-+.(2)设221122(,),(,)A x x B x x ，由(1)知1212,22k x x k x x +==-，又1(0,)4F ，由(1)知(,2)22k k P -，即1212(,)2x x P x x +，所以2111(,)4FA x x =-，12121(,)24x x FP x x +=-，2221(,)4FB x x =-.221211************111111()()()()244444cos 11()()4x x x x x x x x x x x FP FA PFA FP FA FP FP x FP x x ++--+++⋅∠====⋅++-.同理1214cos x x FP FB PFB FP FB FP+⋅∠==⋅. 所以有PFA PFB ∠=∠.。

利用高等几何极点与极线关系解答高考数学试题

0 C > e [ - r ，r ] ，得 3r2 - 2r - 1 矣矣 3r2 + 2r - 1 ，当r = 1 时取最大值为 4,当r = ^■时取最小值为 4 综上应 •g g .元 + 元 . 应的取值范
评注:本解法将 “数 ”与 “形 ”来回穿插、相互转化、一波三折、扣人心弦•首先巧妙地运用了极化恒等式将向量的数量积运算转化为求 P 〇2 + 2 PM 2 -
[2]袁青 .巧用极化恒等式解决两类平面向量数量积问题 [ ；[ ] . 数学通讯（上半月），2 0 1 6 (7 、8 ) :24 - 2 5 .
利用高等几何极点与极线关系解答高考数学试题
陕西安康学院数学与统计学院（725000) 罗珊珊
二阶曲线在 P 点处的切线.
2.
圆锥曲线的极点和极线
定理3[2] 定点尸(％，7。）关于二次曲线 r :如 2
+ 2ftc ；r + Cy2 +
F = 0 的极线L 的方程为：
L ：Axqx + B (xQy + xyQ) + Cy0y -\-D( x + x0) -\-E ( y -\-
|■的取值范围，然后再运用柯西不等式及图形特点
分别求出最小值和最大值.本解法充分体现了数形结合思想和转化化归思想的魅力.
文[ 1 ] 给出矩形的如下性质设〇为矩形 C D 所在平面上任意一点，则恒有（M 2 + OC2 = OB2 + 01>2. 解法 4 : 分别取 4 C ， S C 中点M ，7V，由极化恒等式

漫谈圆锥曲线的极点与极线——两高考试题的统一背景与解法

漫谈圆锥曲线的极点与极线——两高考试题的统一背景
与解法
圆锥曲线是一类极具表现力的几何图像，其关键特征是“极点”与“极线”。

圆锥曲线的极点是一个具有特殊性质的点，它具有着自身的重要性，它在曲线几何学中叫做极点，也可以说是曲线的局部极大或者极小点。

而极线则是极点临近的曲线，它是曲线的重要结构元素，其形状由曲线的参数决定。

从曲线几何的角度看，极点与极线有着十分重要的作用，它们能够反映出曲线的特性，以及各种性质的关系。

高考中的两道曲线几何试题“点M在曲线C上，N是C的极点，则MN 恒过极线”以及“特别曲线ABCD的极点P，极线与直线AB,CD交于点Q，Q和极点P所构成的角度是”，两题都是可以在曲线几何学的基础上解答的。

从第一道试题来看，可以看出曲线C有极点N，此时MN构成的是极线，而极线就是曲线C的极点N临近的曲线。

第二道试题可以看出，曲线ABCD有极点P，其临近的极线与直线AB，CD交于点Q，这就可以得出极点P所构成的角度。

总之，极点与极线是曲线几何学中非常重要的内容，在解答高考中的曲线几何试题时，综合考虑极点与极线，可以更加准确地解答试题，从而快速掌握曲线几何的基本知识，从而获得高分。

极点极线10个二级结论

极点极线10个二级结论
1. 极点是一个曲线上的点，只有一个极线通过它。

2. 两个不相交的曲线可以有一个公共的极点。

3. 如果一条直线通过一个二次曲线的两个不同的交点，那么这条直线的极线是这两个交点的连线。

4. 如果一条直线通过二次曲线的一个切点，那么这条直线的极线是通过这个切点的切线。

5. 一条直线的极点是通过这条直线的两个切线的交点。

6. 如果一个曲线有一个重射文，它的极线是在这两个重射文上的两点的直线。

7. 如果一个曲线有一个重射文，它的极点是重射文上的两个点的连线。

8. 两个不相交的曲线可以有两个公共的极点。

9. 如果两条直线辅助一条曲线的光锥轴，那么这两条直线的极点是一个复共轭对。

10. 一个复共轭对表示两个不相交的极点集中的点对。

极点与极线法解高中圆锥曲线

极点与极线法解高中圆锥曲线极点与极线在高等几何中是重要的概念，虽然不是《高中数学课程标准》规定的研究内容，也不属于高考考查的范围，但由于极点与极线是圆锥曲线的一种基本特征，因此在高考试题中必然会有所涉及，自然也会成为高考试题的命题背景。

从几何角度来看，极点与极线的定义如下：设P是不在圆锥曲线上的一点，过P点引两条割线依次交圆锥曲线于四点E、F、G、H，连接EH、FG交于N，连接EG、FH交于M，则直线MN为点P对应的极线。

若P为圆锥曲线上的点，则过P点的切线即为极线。

由图1同理可知，PM为点N对应的极线，PN为点M所对应的极线。

因此，将MNP称为自极三点形。

设直线MN交圆锥曲线于点A、B两点，则PA、PB 恰为圆锥曲线的两条切线。

定理1如图1，当P在圆锥曲线上时，则点P的极线是曲线在P点处的切线；当P在圆锥曲线外时，过点P作圆锥曲线的两条切线，设其切点分别为A、B，则点P的极线是直线AB（即切点弦所在的直线）；当P在圆锥曲线内时，过点P任作一割线交圆锥曲线于A、B，设圆锥曲线在A、B处的切线交于点Q，则点P的极线是动点Q的轨迹。

定理2如图2，设点P关于圆锥曲线的极线为l，过点P任作一割线交圆锥曲线于A、B，交l于Q，则①成立；反之，若有①成立，则称点P、Q调和分割线段AB，或称点P与Q关于圆锥曲线的调和共轭，或称点P（或点Q）关于圆锥曲线的调和共轭点为点Q（或点P）。

点P关于圆锥曲线的调和共轭点是一条直线，这条直线就是点P的极线。

推论1如图2，设点P关于圆锥曲线的调和共轭点为点Q，则有②成立；反之，若有②成立，则点P与Q关于圆锥曲线调和共轭。

可以证明，①与②是等价的。

事实上，由①可得到②，由②可得到①。

特别地，我们还有推论2如图3，设点P关于有心圆锥曲线（其中心为O）的调和共轭点为点Q，PQ连线经过圆锥曲线的中心，则有OR²=OP×OQ，反之若有此式成立，则点P与Q关于圆锥曲线调和共轭。

基于极点、极线求解切线问题

，≮三、应用举例
彭例１（２０１１年福建理科卷）已知直线
万方数据
标杆・命题揭秘
Ｚ：ｙ—ｚ＋ｍ，ｍ∈Ｒ．
恰好是定点Ａ关于抛物线Ｙ—ｚ２的极线．推广设Ａ＞Ｏ，Ａ，Ｂ分别是抛物线ｚ
２
（１）若以点Ｍ（２，０）为圆心的圆与直线Ｚ相切于在Ｙ轴上的点Ｐ，求该圆的方程；（２）若直线Ｚ关于ｚ轴对称的直线为
Ｚ
—２ｐｙ上的定点和动点，点Ｑ满足Ｂ砭一ＡＱ万，经过点Ｑ与ｚ轴垂直的直线交抛物线
设极点Ｐ（ｘ。，ｙ。），又直线ＭＮ过点Ｐ，故有Ａｘｏｘｏ＋Ｃｙｏｙ
＋Ｆ一０．
证明
设点Ｑ（ｘＱ，ｙＱ），由性质２，可得
Ｐ（ｘ。，ｙｏ）的切线（Ｐ为切点）方程为等＋
ｙｏｙ——１ｂ
２
１’
ｏ＋Ｄ牮＋Ｅ塑弓盟
ｘ下Ｊｒ－ｘｏ＋
（３）过双曲线事一等一１（口＞ｏ，ｂ＞０）Ａ２
的点Ｐ（ｚ。，Ｙ。）的切线（Ｐ为切点）方程为
ｙ—ｚｚ于点Ｃ，点Ｐ满足茹＝Ａ本，求点Ｐ
的轨迹方程．解析设Ｐ（ｚ，ｙ），由点Ａ（１，１），Ｂ
态氰／／妖 ◇ｊ
，
１ ≥ ／ ∥
）
图１
一
Ｊ
（以，口２）和茄一Ａ砑，得点Ｑ（吲考，等普）．
由经过点Ｑ与ｚ轴垂直的直线交抛物线Ｙ
２．（２０１２年安徽理科卷）如图２，Ｆ１，Ｆ２
—ｚ２于点ｃ，得点Ⅵｃ／ｒａ＋瓦２，（爿专）２）．由茹
即Ａｘ。ｘｑ－Ｃｙ。ｙ＋Ｄ号＋Ｅ号一Ａｚｊ—ｃ媚
设极点Ｐ（ｚ。，Ｙ。），故曲线Ｃ在点Ｐ处
是它的一对极点和极线．特别地，对于椭圆ｃ：ｘ了ｚＴ矿ｙＺ一１（口＞６＞
一Ｄ警一Ｅ警＿０．
因为点Ｐ在曲线Ｃ上，必有Ａｚ：＋Ｃｙ３＋Ｄｘｏ＋Ｅｙｏ＋Ｆ一０，即一Ａｘｊ—Ｃｙ５一Ｄｘｏ

抓住数学本质：用极限方法求弦切线

抓住数学本质：用极限方法求弦切线数学是一门探究自然和人类思维的科学，也是一门非常抽象和理论化的学科。

数学本质上是探究数和量的关系，其中包括最基本的四则运算、代数、几何、微积分、数论等分支。

在这些分支中，微积分是一门核心，它是对变化和运动的理论探索。

而极限则是微积分的核心概念之一，极限是微积分的重要基础，无论是求导、求积分或是解微分方程，都离不开极限。

在这篇文章中，我们将探讨如何用极限方法求解弦与切线问题。

1、什么是弦和切线在讨论弦和切线问题之前，我们需要先了解这两个概念。

弦和切线都是圆和圆周的相关概念。

圆是一个平面内距离圆心相等的点的集合。

圆周则是圆的边界线。

弦是圆上任意两点之间的线段，一条弦的两个端点都在圆上。

切线则是与圆相切的直线，切线在切点的切线方向与圆相切，也就是说切点是切线上最靠近圆的点。

2、求解弦与切线问题现在我们来考虑一个具体的问题：如何求圆上某一点处的弦和切线。

假设有一圆，圆心为O，半径为r，P为圆上一点，Q为圆上另一点。

求弦PQ的长度。

为了求解这个问题，我们可以先用坐标系来描述圆和点的位置关系。

设圆心O坐标为（0，0），则圆上点P的坐标为（r*cosθ, r*sinθ），点Q的坐标为（r*cosα, r*sinα）。

其中θ和α为点P和点Q在坐标系中与向量（1，0）的夹角。

由于圆是一个对称的图形，所以我们可以把问题简化为求θ和α之间的夹角，即角OPQ的大小。

首先，我们可以根据余弦定理求出夹角OPQ的余弦值cos(OPQ)：cos(OPQ) = cos(θ - α) = cosθ*cosα + sinθ*sinα然后，我们可以利用线段PQ所在的圆心角POQ，将圆弧POQ割成两部分，得到弦PQ的长度：PQ = 2*r*sin(OPQ/2) = 2*r*sin((θ-α)/2)接下来，我们来考虑如何求解切线问题。

对于给定的圆和圆上一点P，要求在点P处的切线。

我们可以利用点斜式公式，求解过点P的切线方程：切线方程为：y = kx + c其中k为切线的斜率，c为切线的截距。

椭圆极点极线证明过程 -回复

椭圆极点极线证明过程-回复
椭圆的极点是指在椭圆内任选一点P，以P为焦点作一切切于椭圆曲线的直线，这些直线所交于椭圆内部的点Q，称点Q为P的极点。

椭圆的极线是指以椭圆的焦点为顶点，通过椭圆内部的极点的直线。

证明过程如下：
1. 假设有一点P位于椭圆上，以P为焦点做切线，记切点为A，过切点A作一直线与椭圆相交于B、C两点。

2. 利用椭圆的几何定义可知，点A到椭圆焦点F1的距离与点A到椭圆焦点F2的距离之和等于常数2a（a为椭圆长轴的一半）。

即AF1+AF2=2a。

3. 同时，由直角三角形的勾股定理可得，BA²=BF1²+AF1²；BC²=BF2²+AF2²。

4. 由上式可得，BA²-BC²=BF1²-BF2²+AF1²-AF2²=2a(AF1-AF2)。

5. 再根据几何定义可知，点P在直线AC上的垂线为椭圆极轴，点A是极点，因此有AF1=AF2。

6. 将上式中AF1-AF2代入，得BA²-BC²=0，即BA=BC。

7. 由此可知，经过椭圆上任意一点P与相应切点A所作的极线BA、BC等长，证毕。

三割线定理的简证与推广

三割线定理的简证与推广徐文平（东南大学南京210096）摘要：针对侯明辉三割线定理，提出简化证明方法。

运用极点和极线性质，探讨三割线定理的本质，验证三割线定理在圆锥曲线中的正确性。

1、三割线定理介绍定理1：PAB、PCD为圆的任意割线，AD与BC交于点Q，PQ连线与圆交于点E、F，则PQ调和分割EF，即1/PE+1/PF＝2/PQ图 1侯明辉先生发现并命名的三割线定理[1]，在平面几何中圆类问题的计算和论证方面有着广泛的应用，依靠这个定理解题的步骤可以大大的简化。

作者深受启发，探寻定理简证方法，并拟推广到圆锥曲线之中，供大家鉴析。

2、椭圆切线作法1）勒姆柯尔方法勒姆柯尔过椭圆外一点P，引四条割线PA i B i（i=1,2,3,4）,直线A1B2与A2B1交于Q点，直线A3B4与A4B3交于R点，直线Q R交椭圆于S、T两个点，则S、T是椭圆对应点P的两个切点，直线PS、PT就是所求的切线（图2）。

图 2 图 3 图 42）舒马赫方法大数学家高斯的朋友舒马赫不满足勒姆柯尔的方法，写信给高斯，信中说他找到了一个只需引三条割线就可以作椭圆切线的方法。

（图3）。

3）高斯方法高斯在收到舒马赫的信第六天，回信提出了一个只需引两条割线。

就可以作椭圆切线的简捷方法（图4）。

3、三割线定理的简证引理1：从圆外一点P ，引圆的两条切线和一条割线，S 、T 为切点，A 、B 点为割线与圆的交点，切点弦线ST 与PAB 割线交于Q 点，那么PQ 调和分割AB 。

图 5如图5，假设N 点为AB 的中点，分析得知，AB ⊥ON ，∴Q 、M 、N 、O 四点共圆，则 PO PM PN PQ ∙=∙∵ΔPOT 与ΔPMT 是相似三角形，PO PM PT ∙=2∵PB PA PT ∙=2，∴PB PA PN PQ ∙=∙∵()2/PB PA PN +=，∴PB PA PB PA PQ ∙=+∙2)( ∴PQ PB PA 211=+ 或 QBPB AQ PA = ∴ PQ 调和分割AB 。

037.极坐标系下曲线的切线问题

．
dθ
(k1 ) P
=
− θ cosθ − sinθ θ sinθ + cosθ
θ
=
1 + k 2π 2 − kπ
= − ( 1 + k 2π 2 − kπ ) cos 1 + k 2π 2 − sin 1 + k 2π 2 ， ( 1 + k 2π 2 − kπ ) sin 1 + k 2π 2 + cos 1 + k 2π 2
3
(ρ,θ2 )P
=
(
ρ
,
1 θ1
)
P
=
(
1 + k 2π 2 + kπ ,
1 + k 2π 2 + kπ ) ．
当交点 Q 在倒数螺旋线 C1 ：
ρ
=
1 θ
上的坐标为
(ρ,θ1 )Q = ( 1 + k 2π 2 − kπ , 1 + k 2π 2 + kπ )
时，则该点在阿基米德螺旋线 C2 ： ρ = θ 上的坐标为
y
−
ρ(θ0 ) sinθ0
=
ρ ′(θ0 ) sinθ0 + ρ(θ0 ) cosθ0 ρ ′(θ0 ) cosθ0 − ρ(θ0 ) sinθ0
(x
−
ρ(θ0 ) cosθ0 ) 。
【例题】证明倒数螺旋线 ρ
=
1 θ
(θ
>
0) 与阿基米德螺旋线
ρ
=θ
，在任一交点处都正
交（交点处两条曲线的切线互相垂直）．
(k2 )Q
=
sinθ + θ cosθ cosθ − θ sinθ