河南省2019年中考数学专题复习专题八二次函数综合题训练

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中考数学复习《二次函数》专题训练-附带有参考答案

中考数学复习《二次函数》专题训练-附带有参考答案一、选择题1．下列函数中，是二次函数的是（）A．y=x2+1x B．y=12x(x-1) C．y=-2x-1 D．y=x(x2+1)．2．抛物线y=(x−2)2−3的顶点坐标是（）A．(2，−3)B．(−2，3)C．(2，3)D．(−2，−3)3．把抛物线y=5x2向左平移2个单位，再向上平移3个单位，得到的抛物线是（）A．y=5(x−2)2+3B．y=5(x+2)2−3C．y=5(x+2)2+3D．y=5(x−2)2−34．函数y＝ax2与y＝﹣ax+b的图象可能是（）A． B． C． D．5．函数y=kx2-6x+3的图象与x轴有交点，则k的取值范围是（）A．k<3 B．k<3且k≠0 C．k≤3且k≠0 D．k≤36．若A（−5，y1），B（1，y2），C（2，y3）为二次函数y=x2+2x+m的图象上的三点，则y1，y2，y3的大小关系是（）A．y1<y2<y3B．y2<y3<y1C．y2<y1<y3D．y3<y1<y27．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴是直线x＝1．下列结论：①b＞0；②当x＞0，y随着x 的增大而增大；③（a+c）2﹣b2＜0；④a+b≥m（am+b）（m为实数）．其中结论正确的个数为（）A．4个B．3个C．2个D．1个8．某服装店购进单价为15元的童装若干件，销售一段时间后发现：当销售价为25元时，平均每天能售出8件，而当销售价每降低2元时，平均每天能多售出4件，为使该服装店平均每天的销售利润最大，则每件的定价为（）A．21元B．22元C．23元D．24元二、填空题9．将二次函数y＝x2－2x化为y＝(x－h)2＋k的形式，结果为10．若抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴的两个交点坐标是（－1，0），（3，0），则此抛物线的对称轴是直线．11．将二次函数y＝x2﹣4x+a的图象向左平移1个单位，再向上平移1个单位，若得到的函数图象与直线y＝2有两个交点，则a的取值范围是.12．飞机着陆后滑行的距离y （单位：m）关于滑行时间t （单位：s）的函数解析式是y=60t-65t2，从飞机着陆至停下来共滑行米．13．已知如图：抛物线y=ax2+bx+c与直线y=kx+n相交于点A(−52，74)、B(0，3)两点，则关于x的不等式ax2+bx+c＜kx+n的解集是三、解答题14．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y1=kx−7的图象与二次函数y2=2x2+bx+c的图象交于A(1，−5)、B(3，t)两点.（1）求y1与y2的函数关系式；（2）直接写出当y1<y2时，x的取值范围；（3）点C为一次函数y1图象上一点，点C的横坐标为n，若将点C向右平移2个单位，再向上平移4个单位后刚好落在二次函数y2的图象上，求n的值.15．某品牌服装公司新设计了一款服装，其成本价为60（元/件）.在大规模上市前，为了摸清款式受欢迎状况以及日销售量y（件）与销售价格x（元/件）之间的关系，进行了市场调查，部分信息如表：销售价格x（元/件）80 90 100 110日销售量y（件）240 220 200 180（1）若y与x之间满足一次函数关系，请直接写出函数的解析式（不用写自变量x的取值范围）；（2）若该公司想每天获利8000元，并尽可能让利给顾客，则应如何定价？（3）为了帮助贫困山区的小朋友，公司决定每卖出一件服装向希望小学捐款10元，该公司应该如何定价，才能使每天获利最大？（利润用w表示）16．如图，抛物线y=−x2+bx+c与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），与y轴交于点N，过A点的直线：l：y=−x−1与y轴交于点C，与抛物线y=−x2+bx+c的另一个交点为D(5，−6)，已知P点为抛物线y=−x2+bx+c上一动．点（不与A、D重合）．（1）求抛物线的解析式；（2）当点P在直线l上方的抛物线上时，过P点作PE∥x轴交直线l于点E，作PF∥y轴交直线l于点F，求PE+PF的最大值；（3）设M为直线l上的动点，以NC为一边且顶点为N，C，M，P的四边形是平行四边形，直接写出所有符合条件的M点坐标．17．如图是北京冬奥会举办前张家口某小型跳台滑雪训练场的横截面示意图，取某一位置的水平线为x轴，过跳台终点作水平线的垂线为y轴，建立平面直角坐标系，图中的抛物线C1：y=−18x2+32x+32近似表示滑雪场地上的一座小山坡，某滑雪爱好者小张从点O正上方A点滑出，滑出后沿一段抛物线C2：y=−14x2+bx+c 运动．（1）当小张滑到离A处的水平距离为8米时，其滑行高度为10米，求出b，c的值；（2）在(1)的条件下，当小张滑出后离的水平距离为多少米时，他滑行高度与小山坡的竖直距离为是5米？2（3）若小张滑行到坡顶正上方，且与坡顶距离不低于4米，求b的取值范围．18．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx−4与x轴交于A(4，0)、B(−3，0)两点，与y轴交于点C．（1）求这条抛物线所对应的函数表达式．（2）如图①，点D是x轴下方抛物线上的动点，且不与点C重合．设点D的横坐标为m，以O、A、C、D 为顶点的四边形面积为S，求S与m之间的函数关系式．（3）如图②，连结BC，点M为线段AB上一点，点N为线段BC上一点，且BM=CN=n，直接写出当n为何值时△BMN为等腰三角形．参考答案 1．B 2．A 3．C 4．B 5．D 6．B 7．B 8．B9．y =(x −1)2−1 10．x ＝1 11．a ＜5 12．75013．x <−52或x >014．（1）解：把点A(1，−5)代入y 1=kx −7得−5=k −7 ∴y 1=2x −7；把点B(3，t)代入y 1=2x −7中，得t =−1 ∴A(1，−5)把点A 、B 分别代入y 2=2x 2+bx +c 中，得{−2=2+b +c−1=18+3b +c 解得{b =−6c =−1∴y 2=2x 2−6x −1；（2）x <1或x >3（3）解：∵点C 为一次函数y 1图象上一点，∴C(n ，2n −7)将点C 向右平移2个单位，再向上平移4个单位后得到点C ′(n +2，2n −3) 把C ′代入y 2=2x 2−6x −1，得2n −3=2(n +2)2−6(n +2)−1 解得n =±1 所以n 的值为1或-1 15．（1）y=-2x+400（2）解：由题意，得：(x −60)(−2x +400)=8000解得x 1=100，x 2=160 ∵公司尽可能多让利给顾客 ∴应定价100元（3）解：由题意，得w =(x −60−10)(−2x +400)=−2x 2+540x −28000 =−2(x −135)2+8450∵−2<0∴当x =135时，w 有最大值，最大值为8450. 答：当一件衣服定为135元时，才能使每天获利最大. 16．（1）解：∵直线l ：y =−x −1过点A∴A(−1，0)又∵D(5，−6)将点A ，D 的坐标代入抛物线表达式可得：{−1−b +c =0−25+5b +c =−6 解得{b =3c =4．∴抛物线的解析式为：y =−x 2+3x +4．（2）解：如图设点P(x ，−x 2+3x +4) ∵PE ∥x 轴，PF ∥y 轴则E(x 2−3x −5，−x 2+3x +4)，F(x ，−x −1) ∵点P 在直线l 上方的抛物线上∴−1<x <5∴PE =|x −(x 2−3x −5)|=−x 2+4x +5，PF =|−x 2+3x +4−(−x −1)|=−x 2+4x +5 ∴PE +PF =2(−x 2+4x +5)=−2(x −2)2+18． ∴当x =2时，PE +PF 取得最大值，最大值为18．（3）符合条件的M 点有三个：M 1(4，−5)，M 2(2+√14，−3−√14)， M 3(2−√14，−3+√14)． 17．（1）解：由题意可知抛物线C 2：y=−14x 2+bx+c 过点(0， 4)和(8， 10) 将其代入得：{4=c10=−14×82+8b +c解得 ∴b=114，c=4（2）解：由(1)可得抛物线Cq 解析式为： y=−14x 2+114x+4设运动员运动的水平距离为m 米时，运动员与小山坡的竖直距离为52米，依题意得： −14m 2+114m +4−(−18m 2+32m +32)=52解得： m 1=10，m 2=0(舍)故运动员运动的水平距离为10米时，运动员与小山坡的竖直距离为为52米．（3）解：∵抛物线C 2经过点(0， 4) ∴c=4抛物线C 1： y=−18x 2+32x +32=−18(x −6)2+6 当x=6时，运动员到达坡项即−14×62+6b+4≥4+6． ∴b ≥15618．（1）解：把A(4，0)、B(−3，0)代入y =ax 2+bx −4中得{16a +4b −4=09a −3b −4=0解得{a =13b =−13∴这条抛物线所对应的函数表达式为y =13x 2−13x −4．（2）解：当x =0时y =−4∴C(0，−4)当−3<m <0时S =S △ODC +S △OAC =12×4×(−m)+12×4×4=−2m +8当0<m <4时S =S △ODC +S △OAD =12×4×m +12×4×(−13m 2+13m +4)=−23m 2+83m +8．（3）解：n =52，n =2511，n =3011．。

中考数学复习专题八二次函数的综合探究(压轴题)

第二部分专题综合强化
10
1 ． (2017 潍坊 ) 如图 1 ，抛物线 y ＝ ax2 ＋ bx ＋ c 经过平行四边形 ABCD 的顶点 A(0,3)，B(－1,0)，D(2,3)，抛物线与x轴的另一交点为E.经过点E的直线l，将平行四边形ABCD分割为面积相等的两部分，与抛物线交于另一点F.点P为直线l上方抛物线上一动点，设点P的横坐标为t.
第二部分专题综合强化
14
如答图 1，作 PH⊥x 轴，交 l 于点 M，作 FN⊥PH，
∵P 点横坐标为 t，
∴P(t，－t2＋2t＋3)，M(t，－35t＋95)，
∴PM＝－t2＋2t＋3－(－35t＋95)＝－t2＋153t＋65，
答图1
∴S△PEF＝S△PFM＋S△PEM＝12PM·FN＋12PM·EH＝12PM·(FN＋EH)＝12(－t2＋153t＋
答图3
∴APKQ＝KPQE，即－t2＋t2t＋3＝－3t2－＋t2t，即 t2－t－1＝0，解得 t＝1＋2 5或 t＝1－2 5
＜－52(舍去)，
综上，可知存在满足条件的点 P，t 的值为 1 或1＋2
5 .
第二部分专题综合强化
17
类型2 二次函数与规律探究性问题特征与方法：抛物线中的规律探究性问题通常在题中字母的下标出现字母n或年份，题目新颖，考查的知识点较多，有很浓的初高中衔接的味道，成为江西省中考数学试题的一道主菜．解决此类问题应遵循从特殊到一般的思维方法，也就是从简单情况出发探究抛物线上关键点满足的规律，然后归纳出一般情况．
第二部分专题综合强化
18
【例2】 (2018原创)在平面直角坐标系中，有一组有规律的点：

2019年中考二次函数综合题专项训练 (附详细分析与解答)

2019年二次函数综合题专项训练一、面积类1．如图，已知抛物线经过点A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点．（1）求抛物线的解析式．（2）点M是线段BC上的点（不与B，C重合），过M作MN∥y轴交抛物线于N，若点M 的横坐标为m，请用m的代数式表示MN的长．（3）在（2）的条件下，连接NB、NC，是否存在m，使△BNC的面积最大？若存在，求m的值；若不存在，说明理由．备用图2．如图，抛物线的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C 点，已知B点坐标为（4，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）试探究△ABC的外接圆的圆心位置，并求出圆心坐标；（3）若点M是线段BC下方的抛物线上一点，求△MBC的面积的最大值，并求出此时M点的坐标．二、平行四边形类3．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+mx+n经过点A（3，0）、B（0，﹣3），点P是直线AB上的动点，过点P作x轴垂线交抛物线于点M，设点P的横坐标为t．（1）分别求出直线AB和这条抛物线的解析式．（2）若点P在第四象限，连接AM、BM，当线段PM最长时，求△ABM的面积．（3）是否存在这样的点P，使得以点P、M、B、O为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点P的横坐标；若不存在，请说明理由．3．如图，在平面直角坐标系中放置一直角三角板，其顶点为A（0，1），B（2，0），O（0，0），将此三角板绕原点O逆时针旋转90°，得到△A′B′O．（1）一抛物线经过点A′、B′、B，求该抛物线的解析式；（2）设点P是在第一象限内抛物线上的一动点，是否存在点P，使四边形PB′A′B的面积是△A′B′O面积4倍？若存在，请求出P的坐标；若不存在，请说明理由．（3）在（2）的条件下，试指出四边形PB′A′B是哪种形状的四边形？并写出四边形PB′A′B的两条性质．5．如图，抛物线y=x2﹣2x+c的顶点A在直线l：y=x﹣5上．（1）求抛物线顶点A的坐标；（2）设抛物线与y轴交于点B，与x轴交于点C、D（C点在D点的左侧），试判断△ABD的形状；（3）在直线l上是否存在一点P，使以点P、A、B、D为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．三、周长类6．如图，Rt△ABO的两直角边OA、OB分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上，O为坐标原点，A、B两点的坐标分别为（﹣3，0）、（0，4），抛物线y=x2+bx+c经过点B，且顶点在直线x=上．（1）求抛物线对应的函数关系式；（2）若把△ABO沿x轴向右平移得到△DCE，点A、B、O的对应点分别是D、C、E，当四边形ABCD是菱形时，试判断点C和点D是否在该抛物线上，并说明理由；（3）在（2）的条件下，连接BD，已知对称轴上存在一点P使得△PBD的周长最小，求出P点的坐标；（4）在（2）、（3）的条件下，若点M是线段OB上的一个动点（点M与点O、B不重合），过点M作∥BD交x轴于点N，连接PM、PN，设OM的长为t，△PMN的面积为S，求S和t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围，S是否存在最大值？若存在，求出最大值和此时M点的坐标；若不存在，说明理由．四、等腰三角形类7．如图，点A在x轴上，OA=4，将线段OA绕点O顺时针旋转120°至OB的位置．（1）求点B的坐标；（2）求经过点A、O、B的抛物线的解析式；（3）在此抛物线的对称轴上，是否存在点P，使得以点P、O、B为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由．且点A（0，2），点C（﹣1，0），如图所示：抛物线y=ax2+ax﹣2经过点B．（1）求点B的坐标；（2）求抛物线的解析式；（3）在抛物线上是否还存在点P（点B除外），使△ACP仍然是以AC为直角边的等腰直角三角形？若存在，求所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．A（0，2），点C（1，0），如图所示，抛物线y=ax2﹣ax﹣2经过点B．（1）求点B的坐标；（2）求抛物线的解析式；（3）在抛物线上是否还存在点P（点B除外），使△ACP仍然是以AC为直角边的等腰直角三角形？若存在，求所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．五、综合类10．如图，已知抛物线y=x2+bx+c的图象与x轴的一个交点为B（5，0），另一个交点为A，且与y轴交于点C（0，5）．（1）求直线BC与抛物线的解析式；（2）若点M是抛物线在x轴下方图象上的一动点，过点M作MN∥y轴交直线BC于点N，求MN的最大值；（3）在（2）的条件下，MN取得最大值时，若点P是抛物线在x轴下方图象上任意一点，以BC为边作平行四边形CBPQ，设平行四边形CBPQ的面积为S1，△ABN的面积为S2，且S1=6S2，求点P的坐标．11．如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象过点C（0，1），顶点为Q（2，3），点D在x轴正半轴上，且OD=OC．（1）求直线CD的解析式；（2）求抛物线的解析式；（3）将直线CD绕点C逆时针方向旋转45°所得直线与抛物线相交于另一点E，求证：△CEQ∽△CDO；（4）在（3）的条件下，若点P是线段QE上的动点，点F是线段OD上的动点，问：在P 点和F点移动过程中，△PCF的周长是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．12．如图，抛物线与x轴交于A（1，0）、B（﹣3，0）两点，与y轴交于点C（0，3），设抛物线的顶点为D．（1）求该抛物线的解析式与顶点D的坐标．（2）试判断△BCD的形状，并说明理由．（3）探究坐标轴上是否存在点P，使得以P、A、C为顶点的三角形与△BCD相似？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．分析与解答1、分析：（1）已知了抛物线上的三个点的坐标，直接利用待定系数法即可求出抛物线的解析式．（2）先利用待定系数法求出直线BC的解析式，已知点M的横坐标，代入直线BC、抛物线的解析式中，可得到M、N点的坐标，N、M纵坐标的差的绝对值即为MN的长．（3）设MN交x轴于D，那么△BNC的面积可表示为：S△BNC=S△MNC+S△MNB=MN（OD+DB）=MN•OB，MN的表达式在（2）中已求得，OB的长易知，由此列出关于S△BNC、m的函数关系式，根据函数的性质即可判断出△BNC是否具有最大值．解答：解：（1）设抛物线的解析式为：y=a（x+1）（x﹣3），则：a（0+1）（0﹣3）=3，a=﹣1；∴抛物线的解析式：y=﹣（x+1）（x﹣3）=﹣x2+2x+3．（2）设直线BC的解析式为：y=kx+b，则有：，解得；故直线BC的解析式：y=﹣x+3．已知点M的横坐标为m，MN∥y，则M（m，﹣m+3）、N（m，﹣m2+2m+3）；∴故MN=﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）=﹣m2+3m（0＜m＜3）．（3）如图；∵S△BNC=S△MNC+S△MNB=MN（OD+DB）=MN•OB，∴S△BNC=（﹣m2+3m）•3=﹣（m﹣）2+（0＜m＜3）；∴当m=时，△BNC的面积最大，最大值为．2、分析：（1）该函数解析式只有一个待定系数，只需将B点坐标代入解析式中即可．（2）首先根据抛物线的解析式确定A点坐标，然后通过证明△ABC是直角三角形来推导出直径AB和圆心的位置，由此确定圆心坐标．（3）△MBC的面积可由S△MBC=BC×h表示，若要它的面积最大，需要使h取最大值，即点M到直线BC的距离最大，若设一条平行于BC的直线，那么当该直线与抛物线有且只有一个交点时，该交点就是点M．解答：解：（1）将B（4，0）代入抛物线的解析式中，得：0=16a﹣×4﹣2，即：a=；∴抛物线的解析式为：y=x2﹣x﹣2．（2）由（1）的函数解析式可求得：A（﹣1，0）、C（0，﹣2）；∴OA=1，OC=2，OB=4，即：OC2=OA•OB，又：OC⊥AB，∴△OAC∽△OCB，得：∠OCA=∠OBC；∴∠ACB=∠OCA+∠OCB=∠OBC+∠OCB=90°，∴△ABC为直角三角形，AB为△ABC外接圆的直径；所以该外接圆的圆心为AB的中点，且坐标为（32，0）．（3）已求得：B（4，0）、C（0，﹣2），可得直线BC的解析式为：y=x﹣2；设直线l∥BC，则该直线的解析式可表示为：y=x+b，当直线l与抛物线只有一个交点时，可列方程：x+b=x2﹣x﹣2，即：x2﹣2x﹣2﹣b=0，且△=0；∴4﹣4×（﹣2﹣b）=0，即b=﹣4；∴直线l：y=x﹣4．所以点M即直线l和抛物线的唯一交点，有：，解得：即M（2，﹣3）．过M点作MN⊥x轴于N，S△BMC=S梯形OCMN+S△MNB﹣S△OCB=×2×（2+3）+×2×3﹣×2×4=4．3、分析：（1）分别利用待定系数法求两函数的解析式：把A（3，0）B（0，﹣3）分别代入y=x2+mx+n 与y=kx+b，得到关于m、n的两个方程组，解方程组即可；（2）设点P的坐标是（t，t﹣3），则M（t，t2﹣2t﹣3），用P点的纵坐标减去M的纵坐标得到PM的长，即PM=（t﹣3）﹣（t2﹣2t﹣3）=﹣t2+3t，然后根据二次函数的最值得到当t=﹣=时，PM最长为=，再利用三角形的面积公式利用S△ABM=S△BPM+S△APM计算即可；（3）由PM∥OB，根据平行四边形的判定得到当PM=OB时，点P、M、B、O为顶点的四边形为平行四边形，然后讨论：当P在第四象限：PM=OB=3，PM最长时只有，所以不可能；当P在第一象限：PM=OB=3，（t2﹣2t﹣3）﹣（t﹣3）=3；当P在第三象限：PM=OB=3，t2﹣3t=3，分别解一元二次方程即可得到满足条件的t的值．解答：解：（1）把A（3，0）B（0，﹣3）代入y=x2+mx+n，得解得，所以抛物线的解析式是y=x2﹣2x﹣3．设直线AB的解析式是y=kx+b，把A（3，0）B（0，﹣3）代入y=kx+b，得，解得，所以直线AB的解析式是y=x﹣3；（2）设点P的坐标是（t，t﹣3），则M（t，t2﹣2t﹣3），因为p在第四象限，所以PM=（t﹣3）﹣（t2﹣2t﹣3）=﹣t2+3t，当t=﹣=时，二次函数的最大值，即PM最长值为=，则S△ABM=S△BPM+S△APM==．（3）存在，理由如下：∵PM∥OB，∴当PM=OB时，点P、M、B、O为顶点的四边形为平行四边形，①当P在第四象限：PM=OB=3，PM最长时只有，所以不可能有PM=3．②当P在第一象限：PM=OB=3，（t2﹣2t﹣3）﹣（t﹣3）=3，解得t1=，t2=（舍去），所以P点的横坐标是；③当P在第三象限：PM=OB=3，t2﹣3t=3，解得t1=（舍去），t2=，所以P点的横坐标是．所以P点的横坐标是或．4、分析：（1）利用旋转的性质得出A′（﹣1，0），B′（0，2），再利用待定系数法求二次函数解析式即可；（2）利用S四边形PB′A′B=S△B′OA′+S△PB′O+S△POB，再假设四边形PB′A′B的面积是△A′B′O面积的4倍，得出一元二次方程，得出P点坐标即可；（3）利用P点坐标以及B点坐标即可得出四边形PB′A′B为等腰梯形，利用等腰梯形性质得出答案即可．解答：解：（1）△A′B′O是由△ABO绕原点O逆时针旋转90°得到的，又A（0，1），B（2，0），O（0，0），∴A′（﹣1，0），B′（0，2）．方法一：设抛物线的解析式为：y=ax2+bx+c（a≠0），∵抛物线经过点A′、B′、B，∴，解得：，∴满足条件的抛物线的解析式为y=﹣x2+x+2．方法二：∵A′（﹣1，0），B′（0，2），B（2，0），设抛物线的解析式为：y=a（x+1）（x﹣2）将B′（0，2）代入得出：2=a（0+1）（0﹣2），解得：a=﹣1，故满足条件的抛物线的解析式为y=﹣（x+1）（x﹣2）=﹣x2+x+2；（2）∵P为第一象限内抛物线上的一动点，设P（x，y），则x＞0，y＞0，P点坐标满足y=﹣x2+x+2．连接PB，PO，PB′，∴S四边形PB′A′B=S△B′OA′+S△PB′O+S△POB，=×1×2+×2×x+×2×y，=x+（﹣x2+x+2）+1，=﹣x2+2x+3．∵A′O=1，B′O=2，∴△A′B′O面积为：×1×2=1，假设四边形PB′A′B的面积是△A′B′O面积的4倍，则4=﹣x2+2x+3，即x2﹣2x+1=0，解得：x1=x2=1，此时y=﹣12+1+2=2，即P（1，2）．∴存在点P（1，2），使四边形PB′A′B的面积是△A′B′O面积的4倍．（3）四边形PB′A′B为等腰梯形，答案不唯一，下面性质中的任意2个均可．①等腰梯形同一底上的两个内角相等；②等腰梯形对角线相等；③等腰梯形上底与下底平行；④等腰梯形两腰相等．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）或用符号表示：①∠B′A′B=∠PBA′或∠A′B′P=∠BPB′；②P A′=B′B；③B′P∥A′B；④B′A′=PB．（10分）5、分析：（1）先根据抛物线的解析式得出其对称轴，由此得到顶点A的横坐标，然后代入直线l的解析式中即可求出点A的坐标．（2）由A点坐标可确定抛物线的解析式，进而可得到点B的坐标．则AB、AD、BD三边的长可得，然后根据边长确定三角形的形状．（3）若以点P、A、B、D为顶点的四边形是平行四边形，应分①AB为对角线、②AD为对角线两种情况讨论，即①AD PB、②AB PD，然后结合勾股定理以及边长的等量关系列方程求出P点的坐标．解答：解：（1）∵顶点A的横坐标为x=﹣=1，且顶点A在y=x﹣5上，∴当x=1时，y=1﹣5=﹣4，∴A（1，﹣4）．（2）△ABD是直角三角形．将A（1，﹣4）代入y=x2﹣2x+c，可得，1﹣2+c=﹣4，∴c=﹣3，∴y=x2﹣2x﹣3，∴B（0，﹣3）当y=0时，x2﹣2x﹣3=0，x1=﹣1，x2=3∴C（﹣1，0），D（3，0），BD2=OB2+OD2=18，AB2=（4﹣3）2+12=2，AD2=（3﹣1）2+42=20，BD2+AB2=AD2，∴∠ABD=90°，即△ABD是直角三角形．（3）存在．由题意知：直线y=x﹣5交y轴于点E（0，﹣5），交x轴于点F（5，0）∴OE=OF=5，又∵OB=OD=3∴△OEF与△OBD都是等腰直角三角形∴BD∥l，即P A∥BD则构成平行四边形只能是P ADB或P ABD，如图，过点P作y轴的垂线，过点A作x轴的垂线交过P且平行于x轴的直线于点G．设P（x1，x1﹣5），则G（1，x1﹣5）则PG=|1﹣x1|，AG=|5﹣x1﹣4|=|1﹣x1|P A=BD=3由勾股定理得：（1﹣x1）2+（1﹣x1）2=18，x12﹣2x1﹣8=0，x1=﹣2或4∴P（﹣2，﹣7）或P（4，﹣1），存在点P（﹣2，﹣7）或P（4，﹣1）使以点A、B、D、P为顶点的四边形是平行四边形．6、分析：（1）根据抛物线y=经过点B（0，4），以及顶点在直线x=上，得出b，c即可；（2）根据菱形的性质得出C、D两点的坐标分别是（5，4）、（2，0），利用图象上点的性质得出x=5或2时，y的值即可．（3）首先设直线CD对应的函数关系式为y=kx+b，求出解析式，当x=时，求出y即可；（4）利用MN∥BD，得出△OMN∽△OBD，进而得出，得到ON=，进而表示出△PMN的面积，利用二次函数最值求出即可．解答：解：（1）∵抛物线y=经过点B（0，4）∴c=4，∵顶点在直线x=上，∴﹣=﹣=，∴b=﹣；∴所求函数关系式为；（2）在Rt△ABO中，OA=3，OB=4，∴AB=，∵四边形ABCD是菱形，∴BC=CD=DA=AB=5，∴C、D两点的坐标分别是（5，4）、（2，0），当x=5时，y=，当x=2时，y=，∴点C和点D都在所求抛物线上；（3）设CD与对称轴交于点P，则P为所求的点，设直线CD对应的函数关系式为y=kx+b，则，解得：，∴，当x=时，y=，∴P（），（4）∵MN∥BD，∴△OMN∽△OBD，∴即得ON=，设对称轴交x于点F，则（PF+OM）•OF=（+t）×，∵，S△PNF=×NF•PF=×（﹣t）×=，S=（﹣），=﹣（0＜t＜4），a=﹣＜0∴抛物线开口向下，S存在最大值．由S△PMN=﹣t2+t=﹣（t﹣）2+，∴当t=时，S取最大值是，此时，点M的坐标为（0，）．7、分析：（1）首先根据OA的旋转条件确定B点位置，然后过B做x轴的垂线，通过构建直角三角形和OB的长（即OA长）确定B点的坐标．（2）已知O、A、B三点坐标，利用待定系数法求出抛物线的解析式．（3）根据（2）的抛物线解析式，可得到抛物线的对称轴，然后先设出P点的坐标，而O、B坐标已知，可先表示出△OPB三边的边长表达式，然后分①OP=OB、②OP=BP、③OB=BP 三种情况分类讨论，然后分辨是否存在符合条件的P点．解答：解：（1）如图，过B点作BC⊥x轴，垂足为C，则∠BCO=90°，∵∠AOB=120°，∴∠BOC=60°，又∵OA=OB=4，∴OC=OB=×4=2，BC=OB•sin60°=4×=2，∴点B的坐标为（﹣2，﹣2）；（2）∵抛物线过原点O和点A、B，∴可设抛物线解析式为y=ax2+bx，将A（4，0），B（﹣2．﹣2）代入，得，解得，∴此抛物线的解析式为y=﹣x2+x（3）存在，如图，抛物线的对称轴是直线x=2，直线x=2与x轴的交点为D，设点P的坐标为（2，y），①若OB=OP，则22+|y|2=42，解得y=±2，当y=2时，在Rt△POD中，∠PDO=90°，sin∠POD==，∴∠POD=60°，∴∠POB=∠POD+∠AOB=60°+120°=180°，即P、O、B三点在同一直线上，∴y=2不符合题意，舍去，∴点P的坐标为（2，﹣2）②若OB=PB，则42+|y+2|2=42，解得y=﹣2，故点P的坐标为（2，﹣2），③若OP=BP，则22+|y|2=42+|y+2|2，解得y=﹣2，故点P的坐标为（2，﹣2），综上所述，符合条件的点P只有一个，其坐标为（2，﹣2），8、分析：（1）根据题意，过点B作BD⊥x轴，垂足为D；根据角的互余的关系，易得B到x、y轴的距离，即B的坐标；（2）根据抛物线过B点的坐标，可得a的值，进而可得其解析式；（3）首先假设存在，分A、C是直角顶点两种情况讨论，根据全等三角形的性质，可得答案．解答：解：（1）过点B作BD⊥x轴，垂足为D，∵∠BCD+∠ACO=90°，∠ACO+∠CAO=90°，∴∠BCD=∠CAO，（1分）又∵∠BDC=∠COA=90°，CB=AC，∴△BCD≌△CAO，（2分）∴BD=OC=1，CD=OA=2，（3分）∴点B的坐标为（﹣3，1）；（4分）（2）抛物线y=ax2+ax﹣2经过点B（﹣3，1），则得到1=9a﹣3a﹣2，（5分）解得a=，所以抛物线的解析式为y=x2+x﹣2；（7分）（3）假设存在点P，使得△ACP仍然是以AC为直角边的等腰直角三角形：①若以点C为直角顶点；则延长BC至点P1，使得P1C=BC，得到等腰直角三角形△ACP1，（8分）过点P1作P1M⊥x轴，∵CP1=BC，∠MCP1=∠BCD，∠P1MC=∠BDC=90°，∴△MP1C≌△DBC．（10分）∴CM=CD=2，P1M=BD=1，可求得点P1（1，﹣1）；（11分）②若以点A为直角顶点；则过点A作AP2⊥CA，且使得AP2=AC，得到等腰直角三角形△ACP2，（12分）过点P2作P2N⊥y轴，同理可证△AP2N≌△CAO，（13分）∴NP2=OA=2，AN=OC=1，可求得点P2（2，1），（14分）经检验，点P1（1，﹣1）与点P2（2，1）都在抛物线y=x2+x﹣2上．（16分）9、分析：（1）首先过点B作BD⊥x轴，垂足为D，易证得△BDC≌△COA，即可得BD=OC=1，CD=OA=2，则可求得点B的坐标；（2）利用待定系数法即可求得二次函数的解析式；（3）分别从①以AC为直角边，点C为直角顶点，则延长BC至点P1使得P1C=BC，得到等腰直角三角形ACP1，过点P1作P1M⊥x轴，②若以AC为直角边，点A为直角顶点，则过点A作AP2⊥CA，且使得AP2=AC，得到等腰直角三角形ACP2，过点P2作P2N⊥y轴，③若以AC为直角边，点A为直角顶点，则过点A作AP3⊥CA，且使得AP3=AC，得到等腰直角三角形ACP3，过点P3作P3H⊥y轴，去分析则可求得答案．解答：解：（1）过点B作BD⊥x轴，垂足为D，∵∠BCD+∠ACO=90°，∠AC0+∠OAC=90°，∴∠BCD=∠CAO，又∵∠BDC=∠COA=90°，CB=AC，∴△BDC≌△COA，∴BD=OC=1，CD=OA=2，∴点B的坐标为（3，1）；（2）∵抛物线y=ax2﹣ax﹣2过点B（3，1），∴1=9a﹣3a﹣2，解得：a=，∴抛物线的解析式为y=x2﹣x﹣2；（3）假设存在点P，使得△ACP是等腰直角三角形，①若以AC为直角边，点C为直角顶点，则延长BC至点P1使得P1C=BC，得到等腰直角三角形ACP1，过点P1作P1M⊥x轴，如图（1），∵CP1=BC，∠MCP1=∠BCD，∠P1MC=∠BDC=90°，∴△MP1C≌△DBC，∴CM=CD=2，P1M=BD=1，∴P1（﹣1，﹣1），经检验点P1在抛物线y=x2﹣x﹣2上；②若以AC为直角边，点A为直角顶点，则过点A作AP2⊥CA，且使得AP2=AC，得到等腰直角三角形ACP2，过点P2作P2N⊥y轴，如图（2），同理可证△AP2N≌△CAO，∴NP2=OA=2，AN=OC=1，∴P2（﹣2，1），经检验P2（﹣2，1）也在抛物线y=x2﹣x﹣2上；③若以AC为直角边，点A为直角顶点，则过点A作AP3⊥CA，且使得AP3=AC，得到等腰直角三角形ACP3，过点P3作P3H⊥y轴，如图（3），同理可证△AP3H≌△CAO，∴HP3=OA=2，AH=OC=1，∴P3（2，3），经检验P3（2，3）不在抛物线y=x2﹣x﹣2上；故符合条件的点有P1（﹣1，﹣1），P2（﹣2，1）两点．10、分析：（1）设直线BC的解析式为y=mx+n，将B（5，0），C（0，5）两点的坐标代入，运用待定系数法即可求出直线BC的解析式；同理，将B（5，0），C（0，5）两点∑的坐标代入y=x2+bx+c，运用待定系数法即可求出抛物线的解析式；（2）MN的长是直线BC的函数值与抛物线的函数值的差，据此可得出一个关于MN的长和M点横坐标的函数关系式，根据函数的性质即可求出MN的最大值；（3）先求出△ABN的面积S2=5，则S1=6S2=30．再设平行四边形CBPQ的边BC上的高为BD，根据平行四边形的面积公式得出BD=3，过点D作直线BC的平行线，交抛物线与点P，交x轴于点E，在直线DE上截取PQ=BC，则四边形CBPQ为平行四边形．证明△EBD 为等腰直角三角形，则BE=BD=6，求出E的坐标为（﹣1，0），运用待定系数法求出直线PQ的解析式为y=﹣x﹣1，然后解方程组，即可求出点P的坐标．解答：解：（1）设直线BC的解析式为y=mx+n，将B（5，0），C（0，5）两点的坐标代入，得，解得，所以直线BC的解析式为y=﹣x+5；将B（5，0），C（0，5）两点的坐标代入y=x2+bx+c，得，解得，所以抛物线的解析式为y=x2﹣6x+5；（2）设M（x，x2﹣6x+5）（1＜x＜5），则N（x，﹣x+5），∵MN=（﹣x+5）﹣（x2﹣6x+5）=﹣x2+5x=﹣（x﹣）2+，∴当x=时，MN有最大值；（3）∵MN取得最大值时，x=2.5，∴﹣x+5=﹣2.5+5=2.5，即N（2.5，2.5）．解方程x2﹣6x+5=0，得x=1或5，∴A（1，0），B（5，0），∴AB=5﹣1=4，∴△ABN的面积S2=×4×2.5=5，∴平行四边形CBPQ的面积S1=6S2=30．设平行四边形CBPQ的边BC上的高为BD，则BC⊥BD．∵BC=5，∴BC•BD=30，∴BD=3．过点D作直线BC的平行线，交抛物线与点P，交x轴于点E，在直线DE上截取PQ=BC，则四边形CBPQ为平行四边形．∵BC⊥BD，∠OBC=45°，∴∠EBD=45°，∴△EBD为等腰直角三角形，BE=BD=6，∵B（5，0），∴E（﹣1，0），设直线PQ的解析式为y=﹣x+t，将E（﹣1，0）代入，得1+t=0，解得t=﹣1∴直线PQ的解析式为y=﹣x﹣1．解方程组，得，，∴点P的坐标为P1（2，﹣3）（与点D重合）或P2（3，﹣4）．11、分析：（1）利用待定系数法求出直线解析式；（2）利用待定系数法求出抛物线的解析式；（3）关键是证明△CEQ与△CDO均为等腰直角三角形；（4）如答图②所示，作点C关于直线QE的对称点C′，作点C关于x轴的对称点C″，连接C′C″，交OD于点F，交QE于点P，则△PCF即为符合题意的周长最小的三角形，由轴对称的性质可知，△PCF的周长等于线段C′C″的长度．利用轴对称的性质、两点之间线段最短可以证明此时△PCF的周长最小．如答图③所示，利用勾股定理求出线段C′C″的长度，即△PCF周长的最小值．解答：解：（1）∵C（0，1），OD=OC，∴D点坐标为（1，0）．设直线CD的解析式为y=kx+b（k≠0），将C（0，1），D（1，0）代入得：，解得：b=1，k=﹣1，∴直线CD的解析式为：y=﹣x+1．（2）设抛物线的解析式为y=a（x﹣2）2+3，将C（0，1）代入得：1=a×（﹣2）2+3，解得a=．∴y=（x﹣2）2+3=x2+2x+1．（3）证明：由题意可知，∠ECD=45°，∵OC=OD，且OC⊥OD，∴△OCD为等腰直角三角形，∠ODC=45°，∴∠ECD=∠ODC，∴CE∥x轴，则点C、E关于对称轴（直线x=2）对称，∴点E的坐标为（4，1）．如答图①所示，设对称轴（直线x=2）与CE交于点M，则M（2，1），∴ME=CM=QM=2，∴△QME与△QMC均为等腰直角三角形，∴∠QEC=∠QCE=45°．又∵△OCD为等腰直角三角形，∴∠ODC=∠OCD=45°，∴∠QEC=∠QCE=∠ODC=∠OCD=45°，∴△CEQ∽△CDO．（4）存在．如答图②所示，作点C关于直线QE的对称点C′，作点C关于x轴的对称点C″，连接C′C″，交OD于点F，交QE于点P，则△PCF即为符合题意的周长最小的三角形，由轴对称的性质可知，△PCF的周长等于线段C′C″的长度．（证明如下：不妨在线段OD上取异于点F的任一点F′，在线段QE上取异于点P的任一点P′，连接F′C″，F′P′，P′C′．由轴对称的性质可知，△P′CF′的周长=F′C″+F′P′+P′C′；而F′C″+F′P′+P′C′是点C′，C″之间的折线段，由两点之间线段最短可知：F′C″+F′P′+P′C′＞C′C″，即△P′CF′的周长大于△PCE的周长．）如答图③所示，连接C′E，∵C，C′关于直线QE对称，△QCE为等腰直角三角形，∴△QC′E为等腰直角三角形，∴△CEC′为等腰直角三角形，∴点C′的坐标为（4，5）；∵C，C″关于x轴对称，∴点C″的坐标为（0，﹣1）．过点C′作C′N⊥y轴于点N，则NC′=4，NC″=4+1+1=6，在Rt△C′NC″中，由勾股定理得：C′C″===．综上所述，在P点和F点移动过程中，△PCF的周长存在最小值，最小值为．12、分析：（1）利用待定系数法即可求得函数的解析式；（2）利用勾股定理求得△BCD的三边的长，然后根据勾股定理的逆定理即可作出判断；（3）分p在x轴和y轴两种情况讨论，舍出P的坐标，根据相似三角形的对应边的比相等即可求解．解答：解：（1）设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c由抛物线与y轴交于点C（0，3），可知c=3．即抛物线的解析式为y=ax2+bx+3．把点A（1，0）、点B（﹣3，0）代入，得解得a=﹣1，b=﹣2∴抛物线的解析式为y=﹣x2﹣2x+3．∵y=﹣x2﹣2x+3=﹣（x+1）2+4∴顶点D的坐标为（﹣1，4）；（2）△BCD是直角三角形．理由如下：解法一：过点D分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为E、F．∵在Rt△BOC中，OB=3，OC=3，∴BC2=OB2+OC2=18在Rt△CDF中，DF=1，CF=OF﹣OC=4﹣3=1，∴CD2=DF2+CF2=2在Rt△BDE中，DE=4，BE=OB﹣OE=3﹣1=2，∴BD2=DE2+BE2=20∴BC2+CD2=BD2∴△BCD为直角三角形．解法二：过点D作DF⊥y轴于点F．在Rt△BOC中，∵OB=3，OC=3∴OB=OC∴∠OCB=45°∵在Rt△CDF中，DF=1，CF=OF﹣OC=4﹣3=1∴DF=CF∴∠DCF=45°∴∠BCD=180°﹣∠DCF﹣∠OCB=90°∴△BCD为直角三角形．（3）①△BCD的三边，==，又=，故当P是原点O时，△ACP∽△DBC；②当AC是直角边时，若AC与CD是对应边，设P的坐标是（0，a），则PC=3﹣a，=，即=，解得：a=﹣9，则P的坐标是（0，﹣9），三角形ACP不是直角三角形，则△ACP∽△CBD不成立；③当AC是直角边，若AC与BC是对应边时，设P的坐标是（0，b），则PC=3﹣b，则=，即=，解得：b=﹣，故P是（0，﹣）时，则△ACP∽△CBD一定成立；④当P在x轴上时，AC是直角边，P一定在B的左侧，设P的坐标是（d，0）．则AP=1﹣d，当AC与CD是对应边时，=，即=，解得：d=1﹣3，此时，两个三角形不相似；⑤当P在x轴上时，AC是直角边，P一定在B的左侧，设P的坐标是（e，0）．则AP=1﹣e，当AC与DC是对应边时，=，即=，解得：e=﹣9，符合条件．总之，符合条件的点P的坐标为：．。

2019年中考数学二次函数综合题专题训练

(1) 判断顶点 M是否在直线 y＝4x＋1 上，并说明理由； (2) 如图 1，若二次函数图象也经过点 A、B，且 mx＋5>－(x －b) 2＋4b＋1. 根据
图象，写出 x 的取值范围；
1
3
(3) 如图 2，点 A 坐标为 (5 ，0) ，点 M在△ AOB内，若点 C(4，y1) ，D(4，y2) 都在
1．在平面直角坐标系中，二次函数 y＝x2＋bx＋c(b ，c 都是常数 ) 的图象经过点(1 ，0) 和(0 ，2) ． (1) 当－ 2≤x≤２时，求 y 的取值范围． (2) 已知点 P(m，n) 在该函数的图象上，且 m＋n＝1，求点 P 的坐标．
2．若两个二次函数图象的顶点、开口方向都相同，则称这两个二次函数为 “同簇二次函数”． (1) 请写出两个为“同簇二次函数”的函数； (2) 已知关于 x 的二次函数 y1＝ 2x2－ 4mx＋ 2m2＋1 和 y2＝ax2＋ bx＋ 5，其中 y1 的图象经过点 A(1，1) ，若 y1＋y2与 y1为“同簇二次函数”，求函数 y2 的表达式，并求出当 0≤x≤３时， y2 的最大值．
4．( 20182 真题 ) 如图 1，抛物线的顶点 A 的坐标为 (1 ，4) ，抛物线与 x 轴相交于 B、C两点，与 y 轴交于点 E(0，3) ． (1) 求抛物线的表达式；
(2) 已知点 F(0 ，－ 3) ，在抛物线的对称轴上是否存在一点 G，使得 EG＋FG 最小，如果存在，求出点 G的坐标；如果不存在，请说明理由； (3) 如图 2，连接 AB，若点 P 是线段 OE上的一动点，过点 P作线段 AB的垂线，分别与线段 AB、抛物线相交于点 M、N(点 M、N 都在抛物线对称轴的右侧 ) ，当 MN最大时，求△ PON的面积．

(河南专版)2019年中考数学一轮复习第八章专题拓展8.4二次函数与几何图形综合型(讲解部分)素材(pdf)

当әＢＤＱ中ＢＤ边上的高为２２时，即ＱＨ＝ＨＧ＝２２，当－ｘ２＋３ｘ＝４时，Δ ＝９－１６＜０，方程无实数根，当－ｘ２＋３ｘ＝－４时，解得抛物线解析式为ｙ＝ａ（ｘ－１）２＋４，
ʑ Ｑ（－１，０）或（４，－５）．综上可知，存在满足条件的点Ｑ，其坐标为（－１，０）或（４，－５）．
６２㊀
５年中考３年模拟㊀
ɦ ８．４㊀二次函数与几何图形综合型
１９１题型特点㊀㊀二次函数与几何图形相结合的综合型问题，是近年来全国各地中考的热点题型，也是大部分地区全卷的压轴题，具有较好的区分度和选拔功能，此类试题不仅可以考查二次函数和平面几何的基础知识，还可以考查数形结合，分类讨论等数学思想方法，以及阅读理解能力㊁收集处理信息的能力㊁运用数学知识对问题的探究能力等．解这类问题的关键就是要善于利用几何图形和二次函数的有关性质和知识，并充分挖掘题目中的隐含条件，以达到解题目的．二次函数与几何综合作为中考压轴题，常考查函数解析式㊁交点坐标㊁图形面积或周长㊁存在性问题㊁图形的平移㊁对称㊁旋转等，其综合性强，难度大，是数与形的相互结合，相互渗透．命题趋势二次函数与几何图形相结合的综合型问题，近５年一直作为河南中考数学压轴题第２３题呈现，其题型㊁题序及分值都比较稳定，题目综合性强，难度大．题目一般分为三问：第（１）问，常考待定系数法确定函数解析式；第（２）问，从图形中的线段长㊁周长㊁面积等角度入手考查；第（３）问，多属于与几何图形有关的探究问题，如存在性的探索，图形变换的灵活应用，根据某种定义求点的坐标等方面的问题．预计２０１９年河南中考仍将延续这一趋势．
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2019年河南中考数学总复习专题之二次函数压轴题

1．巧妙选择与问题相关且简单合适的量，将这个量设为变量，通常就是所求图形的一边的长度，或与其一边有直接数量关系的量；
2．求面积问题通常需要两条或两条以上相关线段，如三角形或平行四边形的底和高，矩形的长和宽等，因此需要用第一步中的变量表示出其他必需的线段，常见的途径有：①勾股定理；②锐角三角函数；③相似三角形的对应边成比例；④全等三角形的性质；⑤旋转，平移，折叠的性质等；
(1)求抛物线的解析式； (2)设点P的横坐标为m，当FH＝HP时，求m的值； (3)当直线PF为抛物线的对称轴时，以点H为圆心，12HC长为半径作⊙H，点Q为 ⊙H上的一个动点，求14AQ＋EQ的最小值．
【解析】 (1)求出点A，B，C的坐标，利用两根式求出抛物线的解析式即可；
(2)求出直线AH的解析式，列出方程即可解决问题；(3)首先求出⊙H的半径，在HA
抛物线 y＝ax2＋bx＋c 与直线 l：y＝kx＋m (k＞0)交于 A (1,1)，B 两点，与 y 轴交于点
C (0，5)，直线 l与 y 轴交于点 D ．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)设直线 l与抛物线的对称轴的交点为 F ，点 G 是抛物线上位于对称轴右侧的一
点，若AF
F B
＝34，且△B
①当点 G 在 B C 下方时，作 D G 1∥B C 交抛物线于点 G 1，yG 1＝－12x＋12. y＝x2－5x＋5，
联立 y＝－12x＋12，解得 x1＝32，x2＝3. ∵x＞52， ∴x＝3， ∴G 1(3，－1)．
②当点 G 在 BC 上方时，作 G2G3∥BC，且直线 G2G3 与 DG1 关于 BC 对称， ∴yG2G3＝－12x＋129.
3．根据面积公式得到函数关系式； 4．根据面积的函数关系式，利用函数的增减性，求面积的最值； 5．如果求两个图形面积之间的函数关系，则分别表示出这两个图形面积的函数关系式，再根据题意求解．当所给出的图形不是规则图形时，通常使用作差法，将不规则图形分割成几个规则图形的和或差，解决此类题目需要特别注意点的运动或图形的变换引起的图形变化，看是否需要进行分类讨论．

二次函数综合题经典40题(含知识点与答案解析)(可编辑修改word版)

2019年03月08日〃子初ぐ的初中数学组卷评卷人得分一．解答题（共40小题）1．已知二次函数y＝ax2+bx+c图象的对称轴为y轴，且过点（1，2），（2，5）．（1）求二次函数的解析式；（2）如图，过点E（0，2）的一次函数图象与二次函数的图象交于A，B两点（A点在B 点的左侧），过点A，B分别作AC⊥x轴于点C，BD⊥x轴于点D．①当CD＝3时，求该一次函数的解析式；②分别用S1，S2，S3表示△ACE，△ECD，△EDB的面积，问是否存在实数t，使得S22＝tS1S3都成立？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．2．如图，已知抛物线y＝x2﹣x﹣k（k为常数，且k＞0）与x轴从左至右依次交于A，B两点，与y轴交于点C过点B的直线y＝﹣x+b与抛物线的另一交点为D．（1）若点D的横坐标为﹣5，求抛物线的函数表达式；（2）过D点向x轴作垂线，垂足为点M，连结AD，若∠MDA＝∠ABD，求点D的坐标；（3）若在第一象限的抛物线上有一点P，使得以点A，B，P为顶点的三角形与△ABC相似，请直接写出△ABC的面积．3．如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝﹣1，图象经过B（﹣3，0）、C（0，3）两点，且与x轴交于点A．（1）求二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的表达式；（2）在抛物线的对称轴上找一点M，使△ACM周长最短，求出点M的坐标；（3）若点P为抛物线对称轴上的一个动点，直接写出使△BPC为直角三角形时点P的坐标．4．定义：在平面直角坐标系xOy中，直线y＝a（x﹣m）+k称为抛物线y＝a（x﹣m）2+k 的关联直线．（1）求抛物线y＝x2+6x﹣1的关联直线；（2）已知抛物线y＝ax2+bx+c与它的关联直线y＝2x+3都经过y轴上同一点，求这条抛物线的表达式；（3）如图，顶点在第一象限的抛物线y＝﹣a（x﹣1）2+4a与它的关联直线交于点A，B（点A在点B的左侧），与x轴负半轴交于点C，连结AC、BC．当△ABC为直角三角形时，求a的值．5．已知抛物线y＝﹣x2+mx+m+1与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧）．（1）当m＝2时，抛物线与y轴交于点C．①直接写出点A、B、C的坐标；②如图1，连接AC，在x轴上方的抛物线上有一点D，若∠ABD＝∠ACO，求点D的坐标；③如图2，点P为抛物线位于第一象限图象上一动点，过P作PQ⊥CB，求PQ的最大值；（2）如图3，若点M为抛物线位于x轴上方图象上一动点，过点M作MN⊥x轴，垂足为N，直线MN上有一点H，满足∠HBA与∠MAB互余，试判断HN的长是否变化，若变化，请说明理由，若不变，请求出HN长．6．如图，已知抛物线经过点A（3，0），B（0，3），C（﹣1，0）．（1）求抛物线的函数表达式；（2）求抛物线的顶点坐标；（3）如图1，点D是抛物线上一动点，过D作y轴的平行线DE交直线AB于点E，当线段DE＝1时，请直接写出D点的横坐标；（4）如图2，当D为直线AB上方抛物线上一动点时，DF⊥AB于F，设AC的中点为M，连接BD，BM，是否存在点D，使得△BDF中有一个角与∠BMO相等？若存在，请直接写出点D的横坐标；若不存在，请说明理由．7．在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴的两个交点分别为A（﹣3，0）、B（1，0），与y轴交于点D（0，3），过顶点C作CH⊥x轴于点H（1）求抛物线的解析式和顶点C的坐标；（2）连结AD、CD，若点E为抛物线上一动点（点E与顶点C不重合），当△ADE与△ACD面积相等时，求点E的坐标；（3）若点P为抛物线上一动点（点P与顶点C不重合），过点P向CD所在的直线作垂线，垂足为点Q，以P、C、Q为顶点的三角形与△ACH相似时，求点P的坐标．8．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），点A的坐标为（﹣1，0），与y轴交于点C（0，2），直线CD：y＝﹣x+2与x轴交于点D．动点M在抛物线上运动，过点M作MP⊥x轴，垂足为P，交直线CD于点N．（1）求抛物线的解析式；（2）当点P在线段OD上时，△CDM的面积是否存在最大值，若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由；（3）点E是抛物线对称轴与x轴的交点，点F是x轴上一动点，点M在运动过程中，若以C、E、F、M为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点F的坐标．9．如图，在直角坐标平面内，抛物线经过原点O、点B（1，3），又与x轴正半轴相交于点A，∠BAO＝45°，点P是线段AB上的一点，过点P作PM∥OB，与抛物线交于点M，且点M在第一象限内．（1）求抛物线的表达式；（2）若∠BMP＝∠AOB，求点P的坐标；（3）过点M作MC⊥x轴，分别交直线AB、x轴于点N、C，若△ANC的面积等于△PMN 的面积的2倍，求的值．10．在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，顶点为D，且过点（2，﹣3a）．（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线上是否存在一点P，过点P作PM⊥BD，垂足为点M，PM＝2DM？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由．（3）在（2）的条件下，求△PMD的面积．11．如图，直线y＝x+c与x轴交于点A（﹣4，0），与y轴交于点C，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A，C．（1）求抛物线的解析式；（2）已知点P是抛物线上的一个动点，并且点P在第二象限内，过动点P作PE⊥x轴于点E，交线段AC于点D．①如图1，过D作DF⊥y轴于点F，交抛物线于M，N两点（点M位于点N的左侧），连接EF，当线段EF的长度最短时，求点P，M，N的坐标；②如图2，连接CD，若以C，P，D为顶点的三角形与△ADE相似，求△CPD的面积．12．如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣3，0）和点B（1，0），与y轴交于点C（0，3），其对称轴l为x＝﹣1．（1）求抛物线的解析式并写出其顶点坐标；（2）若动点P在第二象限内的抛物线上，动点N在对称轴l上．①当PA⊥NA，且PA＝NA时，求此时点P的坐标；②当四边形PABC的面积最大时，求四边形PABC面积的最大值及此时点P的坐标．13．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3与直线y＝x﹣3交于点A（3，0）和点B（﹣2，n），与y轴交于点C．（1）求出抛物线的函数表达式；（2）在图1中，平移线段AC，点A、C的对应点分别为M、N，当N点落在线段AB上时，M点也恰好在抛物线上，求此时点M的坐标；（3）如图2，在（2）的条件下，在抛物线上是否存在点P（不与点A重合），使△PMC 的面积与△AMC的面积相等？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．14．已知抛物线l1与l2形状相同，开口方向不同，其中抛物线l1：y＝ax2﹣6ax﹣10交x轴于A，B两点（点A在点B的左侧），且AB＝4，抛物线l2与l1交于点A与C（4，m）．（1）求抛物线l1，l2的函数表达式；（2）当x的取值范围是时，抛物线l1与l2上的点的纵坐标同时随横坐标的增大而增大；（3）直线PQ∥y轴，分别交x轴，l1，l2于点D（n，0），P，Q，当≤n≤5时，求线段PQ的最大值．15．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx﹣3交x轴于点A（﹣3，0）、B（1，0），在y轴上有一点E（0，1），连接AE．（1）求二次函数的表达式；（2）若点D为抛物线在x轴负半轴下方的一个动点，求△ADE面积的最大值；（3）抛物线对称轴上是否存在点P，使△AEP为等腰三角形？若存在，请直接写出所有P点的坐标；若不存在，请说明理由．16．在平面直角坐标系xOy中抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A、B、C，已知A（﹣1，0），C（0，3）．（1）求抛物线的表达式；（2）如图1，P为线段BC上一点，过点P作y轴平行线，交抛物线于点D，当△BCD的面积最大时，求点P的坐标；（3）如图2，抛物线顶点为E，EF⊥x轴于F点，N是线段EF上一动点，M（m，0）是x轴上一动点，若∠MNC＝90°，直接写出实数m的取值范围．17．已知直线y＝x+4分别交x轴、y轴于A、B两点，抛物线y＝x2+mx﹣4经过点A，和x轴的另一个交点为C．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，点D是抛物线上的动点，且在第三象限，求△ABD面积的最大值；（3）如图2，经过点M（﹣4，1）的直线交抛物线于点P、Q，连接CP、CQ分别交y轴于点E、F，求OE•OF的值．18．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝+2分别交x轴、y轴于点A、B，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A、B．点P是x轴上一个动点，过点P作垂直于x轴的直线分别交抛物线和直线AB于点E和点F．设点P的横坐标为m．（1）点A的坐标为．（2）求这条抛物线所对应的函数表达式．（3）点P在线段OA上时，若以B、E、F为顶点的三角形与△FPA相似，求m的值．（4）若E、F、P三个点中恰有一点是其它两点所连线段的中点（三点重合除外），称E、F、P三点为“共谐点”．直接写出E、F、P三点成为“共谐点”时m的值．19．如图1，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，OB＝OC．点D在函数图象上，CD∥x轴，且CD＝4，直线1是抛物线的对称轴，E是抛物线的顶点．（1）求b、c的值；（2）如图1，连接BE，线段OC上的点F关于直线l的对称点F'恰好在线段BE上，求点F的坐标；（3）如图2，动点P在线段OB上，过点P作x轴的垂线分别与BC交于点M，与抛物线交于点N．抛物线上有一点Q，使得△PQN与△APM的面积相等，请求出点Q到直线PN的距离．20．如图抛物线y＝ax2+2交x轴于点A（﹣2，0）、B，交y轴于点C；（1）求抛物线的解析式；（2）点P从点A出发，以1个单位/秒的速度向终点B运动，同时点Q从点C出发，以相同的速度沿y轴正方向向上运动，运动的时间为t秒，当点P到达点B时，点Q也停止运动，设△PQC的面积为S，求S与t间的函数关系式并直接写出t的取值范围；（3）在（2）的条件下，当点P在线段OB上时，设PQ交直线AC于点G，过P作PE⊥AC于点E，求EG的长．21．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+3与抛物线y＝﹣x2+bx+c交于A、B两点，点A在x轴上，点B的横坐标为﹣1．动点P在抛物线上运动（不与点A、B重合），过点P作y轴的平行线，交直线AB于点Q，当PQ不与y轴重合时，以PQ为边作正方形PQMN，使MN与y轴在PQ的同侧，连结PM．设点P的横坐标为m．（1）求b、c的值．（2）当点N落在直线AB上时，直接写出m的取值范围．（3）当点P在A、B两点之间的抛物线上运动时，设正方形PQMN周长为c，求c与m之间的函数关系式，并写出c随m增大而增大时m的取值范围．（4）当△PQM与y轴只有1个公共点时，直接写出m的值．22．如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与一直线相交于A（1，0）、C（﹣2，3）两点，与y 轴交于点N，其顶点为D．（1）求抛物线及直线AC的函数关系式；（2）若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求△APC的面积的最大值及此时点P的坐标；（3）在对称轴上是否存在一点M，使△ANM的周长最小．若存在，请求出M点的坐标和△ANM周长的最小值；若不存在，请说明理由．23．已知：如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴、y轴分别相交于点A（﹣1，0）、B（0，3）两点，其顶点为D．（1）求这条抛物线的解析式；（2）若抛物线与x轴的另一个交点为E．求△ODE的面积；抛物线的对称轴上是否存在点P使得△PAB的周长最短．若存在请求出P点的坐标，若不存在说明理由．24．如图，抛物线y＝﹣x2﹣2x+3的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点．（1）求点A、B、C的坐标；（2）点M（m，0）为线段AB上一点（点M不与点A、B重合），过点M作x轴的垂线，与直线AC交于点E，与抛物线交于点P，过点P作PQ∥AB交抛物线于点Q，过点Q 作QN⊥x轴于点N，可得矩形PQNM．如图，点P在点Q左边，试用含m的式子表示矩形PQNM的周长；（3）当矩形PQNM的周长最大时，m的值是多少？并求出此时的△AEM的面积；（4）在（3）的条件下，当矩形PMNQ的周长最大时，连接DQ，过抛物线上一点F作y 轴的平行线，与直线AC交于点G（点G在点F的上方）．若FG＝2DQ，求点F的坐标．25．在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+bx﹣4与x轴相交于A（﹣4，0）、C（2，0）两点．与y轴相交于点B．（1）求抛物线的解析式；（2）求抛物线与y轴的交点B的坐标和抛物线顶点坐标；（3）若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，△AMB的面积为S．求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值．26．在平面直角坐标系xOy中抛物线y＝ax2﹣2ax+3（a≠0）的顶点A在第一象限，它的对称轴与x轴交于点B，△AOB为等腰直角三角形（1）写出抛物线的对称轴为直线；（2）求出抛物线的解析式；（3）垂直于y轴的直线L与该抛物线交于点P（x1，y1），Q（x2，y2）其中x1＜x2，直线L与函数y＝（x＞0）的图象交于点R（x3，y3），若，求x1+x2+x3的取值范围．27．已知抛物线y＝x2﹣2mx+m2﹣3（m是常数）．（1）证明：无论m取什么实数，该抛物线与x轴都有两个交点；（2）设抛物线的顶点为A，与x轴两个交点分别为B，D，B在D的右侧，与y轴的交点为C．①求证：当m取不同值时，△ABD都是等边三角形；②当|m|≤，m≠0时，△ABC的面积是否有最大值，如果有，请求出最大值，如果没有，请说明理由．28．已知抛物线y＝ax2+bx+3经过点A（﹣1，0）、B（3，0），且与y轴交于点C，抛物线的对称轴与x轴交于点D．（1）求抛物线的解析式；（2）点P是y轴正半轴上的一个动点，连结DP，将线段DP绕着点D顺时针旋转90°得到线段DE，点P的对应点E恰好落在抛物线上，求出此时点P的坐标；（3）点M（m，n）是抛物线上的一个动点，连接MD，把MD2表示成自变量n的函数，并求出MD2取得最小值时点M的坐标．29．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与坐标轴交于A、B、C三点，其中点A的坐标为（0，2），点B的坐标为（1，0）．（1）求该二次函数的表达式及点C的坐标；（2）点D的坐标为（0，1），点F为该二次函数在第二象限内图象上的动点，连接CD、CF，以CD、CF为邻边作平行四边形CDEF，设平行四边形CDEF的面积为S．①求S的最大值；②在点F的运动过程中，当点E落在该二次函数图象上时，求此时S的值及点E的坐标．30．如图1，抛物线y＝mx2﹣4mx+3m（m＞0）与x轴交于A，B两点（点B在点A右侧）．与y轴交点C，与直线l：y＝x+1交于D、E两点，（1）当m＝1时，连接BC，求∠OBC的度数；（2）在（1）的条件下，连接DB、EB，是否存在抛物线在第四象限上一点P，使得S△DBE＝S△DPE？若存在，求出此时P点坐标及PB的长度；若不存在，请说明理由；（3）若以DE为直径的圆恰好与x轴相切，求此时m的值．31．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与直线l：y＝kx+m（k＜0）交于A（﹣1，﹣1）、B两点，与y轴交于C（0，2）．（1）求抛物线的函数表达式；（2）若y轴平分∠ACB，求k的值；（3）若在x轴上有且只有一点P，使∠APB＝90°，求k的值．32．如图，已知点E在x轴上，⊙E交x轴于A，B两点（点A在点B的左侧），交y轴于点C，OB＝3OA＝3，抛物线y＝ax2+bx+c的图象过A、B、C三点，顶点为M．（1）写出A、B两点的坐标A ，B ；（2）求二次函数的关系式；（3）点P为线段BM上的一个动点，过点P作x轴的垂线PQ垂足为Q，若OQ＝m，四边形ACPQ的面积为S，求S关于m的函数关系式，和四边形ACPQ的面积的最大值．33．如图，点M（4，0），以点M为圆心、2为半径的圆与x轴交于点A、B．已知抛物线y＝x2+bx+c过点A和B，与y轴交于点C．（1）求点C的坐标，并画出抛物线的大致图象（要求过点A、B、C，开口方向、顶点和对称轴相对准确）（2）点Q（8，m）在抛物线y＝x2+bx+c上，点P为此抛物线对称轴上一个动点，求PQ+PB的最小值；（3）CE是过点C的⊙M的切线，点E是切点，求OE所在直线的解析式．34．如图，抛物线y＝ax2+2x+c（a＜0）与x轴交于点A和点B（点A在原点的左侧，点B在原点的右侧），与y轴交于点C，OB＝OC＝3．（1）求该抛物线的函数解析式．（2）如图1，连接BC，点D是直线BC上方抛物线上的点，连接OD，CD．OD交BC于点F，当S△COF：S△CDF＝3：2时，求点D的坐标．（3）如图2，点E的坐标为（0，），点P是抛物线上第一象限上的点，连接EB，PB，PE形成的△PBE中，是否存在点P，使∠PBE或∠PEB等于2∠OBE？若存在，请直接写出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．35．如图，顶点为D的抛物线y＝﹣x2+x+4与y轴交于点A，与x轴交于两点B、C（点B在点C的左边），点A与点E关于抛物线的对称轴对称，点B、E在直线y＝kx+b（k，b为常数）上．（1）求k，b的值；（2）点P为直线AE上方抛物线上的任意一点，过点P作AE的垂线交AE于点F，点G为y轴上任意一点，当△PBE的面积最大时，求PF+FG+OG的最小值；（3）在（2）中，当PF+FG+OG取得最小值时，将△AFG绕点A按顺时方向旋转30°后得到△AF1G1，过点G1作AE的垂线与AE交于点M．点D向上平移个单位长度后能与点N重合，点Q为直线DN上任意一点，在平面直角坐标系中是否存在一点S，使以S、Q、M、N为顶点且MN为边的四边形为菱形？若存在，直接写出点S的坐标；若不存在，请说明理由．36．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（5，0）两点，直线y＝﹣x+3与y轴交于点C，与x轴交于点D．点P是直线CD上方的抛物线上一动点，过点P作PF⊥x轴于点F，交直线CD于点E，设点P的横坐标为m．（1）求抛物线的解析式；（2）求PE的长最大时m的值．（3）Q是平面直角坐标系内一点，在（2）的情况下，以P、Q、C、D为顶点的四边形是平行四边形是否存在？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．37．已知在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，线段AB的两个端点的坐标分别为A （0，2），B（﹣1，0），点C为线段AB的中点，现将线段BA绕点B按逆时针方向旋转90°得到线段BD，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）、经过点D．（1）如图1，若该抛物线经过原点O，且a＝﹣1．①求点D的坐标及该抛物线的解析式；②连结CD，问：在抛物线上是否存在点P，使得∠POB与∠BCD互余？若存在，请求出所有满足条件的点P的坐标，若不存在，请说明理由．（2）如图2，若该抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）经过点E（﹣1，1），点Q在抛物线上，且满足∠QOB与∠BCD互余，若符合条件的Q点的个数是4个，请直接写出a的取值范围．38．在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（1，0），B（3，0），与y轴交于C（0，3），抛物线顶点为D点．（1）求此抛物线解析式；（2）如图1，点P为抛物线上的一个动点，且在对称轴右侧，若△ADP面积为3，求点P 的坐标；（3）在（2）的条件下，PA交对称轴于点E，如图2，过E点的任一条直线与抛物线交于M，N两点，直线MD交直线y＝﹣3于点F，连结NF，求证：NF∥y轴．39．如图1，正方形ABCD的一边AB在x轴的正半轴上，⊙M是正方形ABCD的外接圆，连接OD，与⊙M相交于E点，连接BE与AD交于点F，已知AB＝4，（1）求证：△ODA≌△FBA；（2）如图2，当E是OD中点时，点G是过E、A、B的抛物线的顶点，连接AG，①求点E的坐标；②求证：AG是⊙M的切线．（3）如图3，连接CE，若ED+EA＝3，直接写出EC+EB的值．40．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线顶点为C（1，2），且与直线y＝x交于点B（，）；点P为抛物线上O，B两点之间一个动点（不与O，B两点重合），过P 作PQ∥y轴交线段OB于点Q．（1）求抛物线的解析式；（2）当PQ的长度为最大值时，求点Q的坐标；（3）点M为抛物线上O，B两点之间一个动点（不与O，B两点重合），点N为线段OB 上一个动点；当四边形PQNM为平行四边形，且PN⊥OB时，请直接写出Q点坐标．2019年03月08日〃子初ぐ的初中数学组卷参考答案与试题解析一．解答题（共40小题）1．已知二次函数y＝ax2+bx+c图象的对称轴为y轴，且过点（1，2），（2，5）．（1）求二次函数的解析式；（2）如图，过点E（0，2）的一次函数图象与二次函数的图象交于A，B两点（A点在B 点的左侧），过点A，B分别作AC⊥x轴于点C，BD⊥x轴于点D．①当CD＝3时，求该一次函数的解析式；②分别用S1，S2，S3表示△ACE，△ECD，△EDB的面积，问是否存在实数t，使得S22＝tS1S3都成立？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．【考点】HF：二次函数综合题．【分析】（1）把点（1，2），（2，5）坐标和对称轴为y轴三个条件，代入二次函数的表达式即可求解；（2）①将一次函数表达式与二次函数表达式联立并整理得：x2﹣kx﹣1＝0，利用x2﹣x1＝＝＝3，即可求解；②分别求出S1、S2、S3，用韦达定理化简，即可求解．【解答】解：（1）由题意得：，解得：，故：二次函数的表达式为：y＝x2+1；（2）①设过点E的一次函数表达式为：y＝kx+2，将一次函数表达式与二次函数表达式联立并整理得：x2﹣kx﹣1＝0，设点A、B的坐标分别为（x1，y1）、（x2，y2）（x1＜x2），则：x1+x2＝k，x1x2＝﹣1，x2﹣x1＝＝＝3，解得：k＝，∴该一次函数表达式为：y＝x+2或y＝﹣x+2；②S1＝AC•OC＝﹣x1y1，S2＝CD•OE＝（x2﹣x1）＝k2+4，S3＝BD•OD＝x2y2，x1+x2＝k，x1x2＝﹣1，则：S1•S2＝﹣x1x2[k2x1x2+2k（x1+x2）+4]＝（k2+4）＝4S2，∴t＝4．【点评】本题考查的是二次函数综合运用，主要考查利用韦达定理处理复杂的数据，难度不大．2．如图，已知抛物线y＝x2﹣x﹣k（k为常数，且k＞0）与x轴从左至右依次交于A，B两点，与y轴交于点C过点B的直线y＝﹣x+b与抛物线的另一交点为D．（1）若点D的横坐标为﹣5，求抛物线的函数表达式；（2）过D点向x轴作垂线，垂足为点M，连结AD，若∠MDA＝∠ABD，求点D的坐标；（3）若在第一象限的抛物线上有一点P，使得以点A，B，P为顶点的三角形与△ABC相似，请直接写出△ABC的面积．【考点】HF：二次函数综合题．【分析】（1）求出A、B的坐标，把点B坐标代入直线表达式即可求解；（2）利用△AMD∽△DMB，＝，即可求解；（3）分△ABC∽△APB、△ABC∽△PAB两种情况，分别求解即可．【解答】解：（1）抛物线y＝x2﹣x﹣k＝（x+2）（x﹣4），令y＝0，则x＝﹣2或4，即点A、B的坐标分别为（﹣2，0）、（4，0），把点B坐标代入直线y＝﹣x+b得：﹣×4+b＝0，解得：b＝，∴直线BD的表达式为：y＝﹣x+，当x＝﹣5时，y＝3，∴D（﹣5，3），把点D的坐标代入抛物线表达式得：（﹣5+2）（﹣5﹣4）＝3，k＝，∴抛物线的表达式为：y＝x2﹣x﹣；（2）设点D的坐标为（x，﹣x+），则：DM＝﹣x+，BM＝4﹣x，AM＝﹣2﹣x，∵∠MDA＝∠ABD，∠AMD＝∠DMB，∴△AMD∽△DMB，∴＝，即：（﹣x+）2＝（4﹣x）（﹣2﹣x），解得：x＝﹣5或4（舍去x＝4），∴点D的坐标为（﹣5，3）；（3）由抛物线的表达式，令x＝0，则y＝﹣k，∴点C的坐标为（0，﹣k），OC＝k，①当△ABC∽△APB时，则∠BAC＝∠PAB，设点P的坐标为（x，y），过点P作PN⊥x轴交于点N，则ON＝x，PN＝y，tan∠BAC＝tan∠PAB，即：，∴y＝kx+k，把点P（x，）代入抛物线表达式并解得：x＝8或﹣2（舍去﹣2），故点P的坐标为（8，5k），∵△ABC∽△APB，∴AB2＝AC•AP，即：62＝，解得：k＝，S△ABC＝AB•OC＝＝；②△ABC∽△PAB时，同理可得：k＝，S△ABC＝AB•OC＝＝3，故：△ABC的面积为＝或3．【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到三角形相似、解直角三角形等，（2）（3）的关键是通过相似确定线段间的比例关系．3．如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝﹣1，图象经过B（﹣3，0）、C（0，3）两点，且与x轴交于点A．（1）求二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的表达式；（2）在抛物线的对称轴上找一点M，使△ACM周长最短，求出点M的坐标；（3）若点P为抛物线对称轴上的一个动点，直接写出使△BPC为直角三角形时点P的坐标．【考点】HF：二次函数综合题．【分析】（1）由抛物线的对称轴及点B的坐标可求出点A的坐标，由点A，B，C的坐标，利用待定系数法即可求出二次函数的表达式；（2）连接BC，交直线x＝﹣1于点M，此时△ACM周长最短，由点B，C的坐标，利用待定系数法可求出直线BC的函数表达式，再利用一次函数图象上点的坐标特征即可求出点M的坐标；（3）设点P的坐标为（﹣1，m），结合点B，C的坐标可得出PB2，PC2，BC2的值，分∠BCP＝90°，∠CBP＝90°，∠BPC＝90°三种情况考虑，①当∠BCP＝90°时，利用勾股定理可得出关于m的一元一次方程，解之可得出m的值，进而可得出点P的坐标；②当∠CBP＝90°时，利用勾股定理可得出关于m的一元一次方程，解之可得出m的值，进而可得出点P的坐标；③当∠BPC＝90°时，利用勾股定理可得出关于m 的一元二次方程，解之可得出m的值，进而可得出点P的坐标．综上，此题得解．【解答】解：（1）∵二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝﹣1，点B的坐标为（﹣3，0），∴点A的坐标为（1，0）．将A（1，0），B（﹣3，0），C（0，3）代入y＝ax2+bx+c，得：，解得：，∴二次函数的表达式为y＝﹣x2﹣2x+3．（2）连接BC，交直线x＝﹣1于点M，如图1所示．∵点A，B关于直线x＝﹣1对称，∴AM＝BM．∵点B，C，M三点共线，∴此时AM+CM取最小值，最小值为BC．设直线BC的函数表达式为y＝kx+d（k≠0），将B（﹣3，0），C（0，3）代入y＝kx+d，得：，解得：，∴直线BC的函数表达式为y＝x+3．当x＝﹣1时，y＝x+3＝2，∴当点M的坐标为（﹣1，2）时，△ACM周长最短．（3）设点P的坐标为（﹣1，m），∵点B的坐标为（﹣3，0），点C的坐标为（0，3），∴PB2＝[﹣3﹣（﹣1）]2+（0﹣m）2＝m2+4，PC2＝[0﹣（﹣1）]2+（3﹣m）2＝m2﹣6m+10，BC2＝[0﹣（﹣3）]2+（3﹣0）2＝18．分三种情况考虑（如图2）：①当∠BCP＝90°时，BC2+PC2＝PB2，∴18+m2﹣6m+10＝m2+4，解得：m＝4，∴点P的坐标为（﹣1，4）；②当∠CBP＝90°时，BC2+PB2＝PC2，∴18+m2+4＝m2﹣6m+10，解得：m＝﹣2，∴点P的坐标为（﹣1，﹣2）；③当∠BPC＝90°时，PB2+PC2＝BC2，∴m2+4+m2﹣6m+10＝18，整理得：m2﹣3m﹣2＝0，解得：m1＝，m2＝，∴点P的坐标为（﹣1，）或（﹣1，）．综上所述：使△BPC为直角三角形时点P的坐标为（﹣1，﹣2），（﹣1，），（﹣1，）或（﹣1，4）．【点评】本题考查了二次函数的性质、待定系数法求二次函数解析式、三角形的三边关系、待定系数法求一次函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征、两点间的距离公式、勾股定理以及解一元一次（二次）方程，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出二次函数表达式；（2）利用二次函数的对称性及三角形的三边关系，找出点M所在的位置；（3）分∠BCP＝90°，∠CBP＝90°，∠BPC＝90°三种情况，找出关于m的方程．4．定义：在平面直角坐标系xOy中，直线y＝a（x﹣m）+k称为抛物线y＝a（x﹣m）2+k 的关联直线．（1）求抛物线y＝x2+6x﹣1的关联直线；（2）已知抛物线y＝ax2+bx+c与它的关联直线y＝2x+3都经过y轴上同一点，求这条抛物线的表达式；（3）如图，顶点在第一象限的抛物线y＝﹣a（x﹣1）2+4a与它的关联直线交于点A，B（点A在点B的左侧），与x轴负半轴交于点C，连结AC、BC．当△ABC为直角三角形时，求a的值．【考点】HF：二次函数综合题．【分析】（1）根据关联直线的定义可求；（2）由题意可得a＝2，c＝3，设抛物线的顶点式为y＝2（x﹣m）2+k，可得，可求m和k的值，即可求这条抛物线的表达式；（3）由题意可得A（1，4a）B（2，3a）C（﹣1，0），可求AB2＝1+a2，BC2＝9+9a2，AC2＝4+16a2，分BC，AC为斜边两种情况讨论，根据勾股定理可求a的值．【解答】解：（1）∵y＝x2+6x﹣1＝（x+3）2﹣10∴关联直线为y＝x+3﹣10＝x﹣7（2）∵抛物线y＝ax2+bx+c与它的关联直线y＝2x+3都经过y轴上同一点，∴a＝2，c＝3，可设抛物线的顶点式为y＝2（x﹣m）2+k，则其关联直线为y＝2（x﹣m）+k＝2x﹣2m+k，∴解得∴抛物线y＝2x2+3或y＝2（x+1）2+1，（3）由题意：A（1，4a）B（2，3a）C（﹣1，0），∴AB2＝1+a2，BC2＝9+9a2，AC2＝4+16a2，显然AB2＜BC2且AB2＜AC2，故AB不能成为△ABC的斜边，当AB2+BC2＝AC2时：1+a2+9+9a2＝4+16a2解得a＝±1，当AB2+AC2＝BC2时：1+a2+4+16a2＝9+9a2解得，∵抛物线的顶点在第一象限∴a＞0，即【点评】本题是二次函数综合题，直角三角形的性质，熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质；理解坐标与图象性质，记住两点间的距离公式，注意分情况讨论思想的应用．5．已知抛物线y＝﹣x2+mx+m+1与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧）．（1）当m＝2时，抛物线与y轴交于点C．①直接写出点A、B、C的坐标；②如图1，连接AC，在x轴上方的抛物线上有一点D，若∠ABD＝∠ACO，求点D的坐标；③如图2，点P为抛物线位于第一象限图象上一动点，过P作PQ⊥CB，求PQ的最大值；（2）如图3，若点M为抛物线位于x轴上方图象上一动点，过点M作MN⊥x轴，垂足为N，直线MN上有一点H，满足∠HBA与∠MAB互余，试判断HN的长是否变化，若变化，请说明理由，若不变，请求出HN长．【考点】HF：二次函数综合题．【分析】（1）①先解方程﹣x2+2x+3＝0得A点和B点坐标；然后计算自变量为0时的函数值得到C点坐标；②OD交y轴于E，如图2，通过证明Rt△OBE∽Rt△OCA，利用相似比得到OE＝OA＝1，则E（0，1），再利用待定系数法求出直线BE的解析式为y＝﹣x+1，然后解方程得D点坐标；③作PK⊥x轴于K，交BC于F，如图2，易得直线BC的解析式为y＝﹣x+3，设P（x，﹣x2+2x+3）（0＜x＜3），则F（x，﹣x+3），所以PF＝﹣x2+3x，再证明∠BFK＝∠PFQ＝45°，所以PQ＝PF＝﹣x2+x，然后根据二次函数的性质解决问题；（2）先解方程﹣x2+mt+m+1＝0得A（﹣1，0），B（m+1，0），延长BH交AM于G，如图3，证明Rt△BNH∽△MNA，则＝，设M（t，﹣t2+mt+m+1），则N（t，0），所以＝，然后根据分式的运算可得到HN＝1．【解答】解：（1）①当m＝2时，抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3，当y＝0时，﹣x2+2x+3＝0，解得x1＝﹣1，x2＝3，∴A（﹣1，0），B（3，0），当y＝0时，y＝﹣x2+2x+3＝3，则C（0，3）；②OD交y轴于E，如图2，∵∠OBE＝∠ACO，∴Rt△OBE∽Rt△OCA，∴＝＝，∴OE＝OA＝1，∴E（0，1），设直线BE的解析式为y＝kx+b，把B（3，0），E（0，1）代入得，解得，∴直线BE的解析式为y＝﹣x+1，解方程组得或﹣，∴D点坐标为（﹣，）；③作PK⊥x轴于K，交BC于F，如图2，易得直线BC的解析式为y＝﹣x+3，设P（x，﹣x2+2x+3）（0＜x＜3），则F（x，﹣x+3），∴PF＝﹣x2+2x+3﹣（﹣x+3）＝﹣x2+3x，∵OB＝OC＝3，∴△OCB为等腰直角三角形，∴∠KBF＝45°，∴∠BFK＝∠PFQ＝45°，∴PQ＝PF＝﹣x2+x＝﹣（x﹣）2+，当x＝时，PQ有最大值，最大值为；（2）HN的长度不变，它的长度为1．。

2019年中考数学真题分类专项训练--二次函数综合题

2019年中考数学真题分类专项训练--二次函数综合题1．（2019广东）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y =233373848x x +-与x 轴交于点A 、B （点A 在点B 右侧），点D 为抛物线的顶点，点C 在y 轴的正半轴上，CD 交x 轴于点F ，△CAD 绕点C 顺时针旋转得到△CFE ，点A 恰好旋转到点F ，连接BE ．（1）求点A 、B 、D 的坐标；（2）求证：四边形BFCE 是平行四边形；（3）如图2，过顶点D 作DD 1⊥x 轴于点D 1，点P 是抛物线上一动点，过点P 作PM ⊥x 轴，点M 为垂足，使得△PAM 与△DD 1A 相似（不含全等）． ①求出一个满足以上条件的点P 的横坐标； ②直接回答这样的点P 共有几个？解：（1233373x x +-=0，解得x 1=1，x 2=–7．∴A （1，0），B （–7，0）．由y 233373x x +-233)23x +-D （–3，–3（2）∵DD 1⊥x 轴于点D 1，∴∠COF =∠DD 1F =90°，∵∠D 1FD =∠CFO ，∴△DD 1F ∽△COF ，∴11D D COFD OF=，∵D （–3，–23）， ∴D 1D =23，OD =3，∵AC =CF ，CO ⊥AF ，∴OF =OA =1， ∴D 1F =D 1O –OF =3–1=2231OC=， ∴OC 3CA =CF =FA =2，∴△ACF 是等边三角形，∴∠AFC =∠ACF ， ∵△CAD 绕点C 顺时针旋转得到△CFE ， ∴∠ECF =∠AFC =60°，∴EC ∥BF ， ∵EC =DC 223(323)++=6， ∵BF =6，∴EC =BF ，∴四边形BFCE 是平行四边形；（3）∵点P 是抛物线上一动点， ∴设P 点（x ，233373848x x +-）， ①当点P 在B 点的左侧时， ∵△PAM 与△DD 1A 相似， ∴11DD D A PM MA =或11DD D AAM PM=，41848x=-或1848x=-，解得：x1=1（不合题意舍去），x2=–11或x1=1（不合题意舍去）x2=–373；当点P在A点的右侧时，∵△PAM与△DD1A相似，∴11DDPMAM D A=或11D APMMA DD=，∴28481x xx=-或28481x xx-=-，解得：x1=1（不合题意舍去），x2=–3（不合题意舍去）或x1=1（不合题意舍去），x2=–53（不合题意舍去）；当点P在AB之间时，∵△PAM与△DD1A相似，∴PMAM=11DDD A或PMMA=11D ADD，∴28481x xx=-或28481x xx-=-，解得：x1=1（不合题意舍去），x2=–3（不合题意舍去）或x1=1（不合题意舍去），x2=–53；综上所述，点P的横坐标为–11或–373或–53；②由①得，这样的点P共有3个．2．（2019深圳）如图，抛物线经y=ax2+bx+c过点A（-1，0），点C（0，3），且OB=OC．（1）求抛物线的解析式及其对称轴；（2）点D、E在直线x=1上的两个动点，且DE=1，点D在点E的上方，求四边形ACDE的周长的最小值．（3）点P 为抛物线上一点，连接CP ，直线CP 把四边形CBPA 的面积分为3∶5两部分，求点P 的坐标．解：（1）∵OB =OC ， ∴点B （3，0），则抛物线的表达式为：y =a （x +1）（x -3）=a （x 2-2x -3）=ax 2-2ax -3a ，故-3a =3，解得：a =-1，故抛物线的表达式为：y =-x 2+2x +3，对称轴为x =1．（2）ACDE 的周长=AC +DE +CD +AE ，其中AC 10=、DE =1是常数，故CD +AE 最小时，周长最小，取点C 关于函数对称点C （2，3），则CD =C ′D ，取点A ′（-1，1），则A ′D =AE ，故：CD +AE =A ′D +DC ′，则当A ′、D 、C ′三点共线时，CD +AE =A ′D +DC ′最小，周长也最小，四边形ACDE 的周长的最小值=AC +DE +CD +AE 101=+A ′D +DC ′101=+A ′C ′10113=（3）如图，设直线CP 交x 轴于点E ，直线CP 把四边形CBPA 的面积分为3∶5两部分，又∵S △PCB ∶S △PCA 12=EB ×（y C -y P ）∶12AE ×（y C -y P ）=BE ∶AE ，则BE ∶AE =3∶5或5∶3，则AE 52=或32，即：点E 的坐标为（32，0）或（12，0），将点E 、C 的坐标代入一次函数表达式：y =kx +3，解得：k =-6或-2，故直线CP 的表达式为：y =-2x +3或y =-6x +3，联立22363y x x y x ⎧=-++⎨=-+⎩并解得：x =4或8（不合题意值已舍去），故点P 的坐标为（4，-5）或（8，-45）．3.（2019雅安）已知二次函数y=ax 2(a ≠0)的图象过点（2，-1），点P （P 与O 不重合）是图象上的一点，直线l 过点（0，1）且平行于x 轴。

河南省2018--2019年中考数学复习：二次函数综合题

二次函数综合题——线段问题一、考情分析2014～2018年河南中考23题考情一览表二、考情总结二次函数与几何综合作为中考压轴题，常考查函数解析式、交点坐标、图形面积或周长、存在性问题、图形的平移、对称、旋转等，其综合性强，难度大，是“数”与“形”的相互结合，相互渗透．二次函数与几何图形相结合的综合型问题，近 5 年一直作为河南中考数学压轴题第 23 题呈现，其题型、题序及分值都比较稳定，题目综合性强，难度大．题目一般分为三问：第（1）问，常考待定系数法确定函数解析式；第（2）问，从图形中的线段长、周长、面积等角度入手考查；第（3）问，多属于与几何图形有关的探究问题，如存在性的探索，图形变换的灵活应用，根据某种定义求点的坐标等方面的问题．本节课我将从第（2）问，展开自己的思考和想法。

三、基本理论若直线AB 平行于y 轴，点A(2,1)、B （2,4）、C 、D 均在直线AB 上. 1) 求线段AB;2）若线段AC=2，求C 点坐标;3）若D 点为(2,m)，求线段AD 的长。

四、典例精析例、（2017.河南改编）直线c x y +-=32与x 轴交于点A （3，0），与y 轴交于点B ，抛物线c bx x y ++-=234经过点A ，B ．M （m ，0）为x 轴上一动点，过点M 且垂直于x 轴的直线与直线AB 及抛物线分别交于点P ，N ．1）按部就班求点B 的坐标和抛物线的解析式；①当M 在当线段OA 上时，用m 表示线段PN,再求当PN 最大时m 的值；②当M 在x 轴上时，试写出以O 、B 、P 、N 为顶点的四边形为平行四边形时m 的值；y xy =3⋅x +3⋅x +–1–2–31234–1–212345M PA BO Ny xy =3⋅x +3⋅x +–1–2–31234–1–212345M PABON2）抛砖引玉当M 在x 轴上,线段PN=PM 时m 的值；思考并与同学讨论，试着在此基础上设计出与此相关的试题。

中考数学《二次函数》专项练习(附答案解析)

中考数学《二次函数》专项练习（附答案解析）一、综合题1．如图，是一座古拱桥的截面图，拱桥桥洞的上沿是抛物线形状，当水面的宽度为10m时，桥洞与水面的最大距离是5m．（1）经过讨论，同学们得出三种建立平面直角坐标系的方案（如图），你选择的方案是（）（填方案一，方案二，或方案三），则B点坐标是（），求出你所选方案中的抛物线的表达式；（2）因为上游水库泄洪，水面宽度变为6m，求水面上涨的高度．2．如图，抛物线 y =-x2+3x +4 与x轴负半轴相交于A点，正半轴相交于B点，与 y 轴相交于C 点．（1）已知点D（m，m+1）在第一象限的抛物线上，求点D关于直线 BC 对称的点的坐标；（2）在（1）的条件下，连接BD，点P为抛物线上一点，且∠DBP=45°，求点P的坐标．3．如图，在直角坐标系中有一直角三角形AOB，O为坐标原点，OA=1，tan∠BAO=3，将此三角形绕原点O逆时针旋转90°，得到△DOC，抛物线y=ax2+bx+c经过点A，B，C．（1）求抛物线的解析式；（2）若点P是第二象限内抛物线上的动点，其横坐标为t，①设抛物线对称轴l与x轴交于一点E，连接PE，交CD于F，求出当△CEF与△COD相似时，点P的坐标；②是否存在一点P，使△PCD的面积最大？若存在，求出△PCD的面积的最大值；若不存在，请说明理由．4．已知抛物线C1：y=ax2+4ax+4a+b（a≠0，b＞0）的顶点为M，经过原点O且与x轴另一交点为A．（1）求点A的坐标；（2）若△AMO为等腰直角三角形，求抛物线C1的解析式；（3）现将抛物线C1绕着点P（m，0）旋转180°后得到抛物线C2，若抛物线C2的顶点为N，当b=1，且顶点N在抛物线C1上时，求m的值．5．如图，抛物线G：y=−x2+2mx−m2+m+3的顶点为P(x P，y P)，抛物线G与直线l：x=3交于点Q．（1）x P=，y P=（分别用含m的式子表示）；y P与x P的函数关系式为；（2）求点Q的纵坐标y Q（用含m的式子表示），并求y Q的最大值；（3）随m的变化，抛物线G会在直角坐标系中移动，求顶点P在y轴与l之间移动（含y轴与l）的路径的长．6．如图，抛物线的顶点D的坐标为（﹣1，4），抛物线与x轴相交于A.B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C（0，3）.（1）求抛物线的表达式；（2）如图1，已知点E（0，﹣3），在抛物线的对称轴上是否存在一点F，使得△CEF的周长最小，如果存在，求出点F的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）如图2，连接AD，若点P是线段OC上的一动点，过点P作线段AD的垂线，在第二象限分别与抛物线、线段AD相交于点M、N，当MN最大时，求△POM的面积.7．已知：如图，抛物线y=ax2﹣2ax+c（a≠0）与y轴交于点C（0，4），与x轴交于点A、B，点A的坐标为（4，0）．（1）求该抛物线的解析式；（2）点Q是线段AB上的动点，过点Q作QE∥AC，交BC于点E，连接CQ．当△CQE的面积最大时，求点Q的坐标；（3）若平行于x轴的动直线l与该抛物线交于点P，与直线AC交于点F，点D的坐标为（2，0）．问：是否存在这样的直线l，使得△ODF是等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．8．如图，在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，点A(4,0)，点B(0,4)，ΔABO的中线AC与y轴交于点C，且⊙M经过O，A，C三点．（1）求圆心M的坐标；（2）若直线AD与⊙M相切于点A，交y轴于点D，求直线AD的函数表达式；（3）在过点B且以圆心M为顶点的抛物线上有一动点P，过点P作PE∥y轴，交直线AD于点E．若以PE为半径的⊙P与直线AD相交于另一点F．当EF=4√5时，求点P的坐标．9．如图1所示，已知抛物线y=−x2+4x+5的顶点为D，与x轴交于A、B两点(A左B右)，与y轴交于C点，E为抛物线上一点，且C、E关于抛物线的对称轴对称，作直线AE.（1）求直线AE的解析式；（2）在图2中，若将直线AE沿x轴翻折后交抛物线于点F，则点F的坐标为（直接填空）；（3）点P为抛物线上一动点，过点P作直线PG与y轴平行，交直线AE于点G，设点P的横坐标为m，当S△PGE∶S△BGE=2∶3时，直接写出所有符合条件的m值，不必说明理由.10．综合与探究如图，直线y=−23x+4与x轴，y轴分别交于B，C两点，抛物线y=ax2+43x+c经过B，C两点，与x轴的另一个交点为A（点A在点B的左侧），抛物线的顶点为点D．抛物线的对称轴与x轴交于点E．（1）求抛物线的表达式及顶点D的坐标；（2）点M是线段BC上一动点，连接DM并延长交x轴交于点F，当FM：FD=1：4时，求点M的坐标；（3）点P是该抛物线上的一动点，设点P的横坐标为m，试判断是否存在这样的点P，使∠PAB+∠BCO=90°，若存在，请直接写出m的值；若不存在，请说明理由．11．如图，点A，B在函数y=14x2的图像上．已知A，B的横坐标分别为－2、4，直线AB与y轴交于点C，连接OA，OB．（1）求直线AB的函数表达式；（2）求ΔAOB的面积；（3）若函数y=14x2的图像上存在点P，使得ΔPAB的面积等于ΔAOB的面积的一半，则这样的点P共有个．12．如图，已知二次函数y=ax2﹣2ax+c（a＜0）的图象与x轴负半轴交于点A（﹣1，0），与y 轴正半轴交于点B，顶点为P，且OB=3OA，一次函数y=kx+b的图象经过A、B．（1）求一次函数解析式；（2）求顶点P的坐标；，求点M （3）平移直线AB使其过点P，如果点M在平移后的直线上，且tan∠OAM=32坐标；（4）设抛物线的对称轴交x轴于点E，连接AP交y轴于点D，若点Q、N分别为两线段PE、PD上的动点，连接QD、QN，请直接写出QD+QN的最小值．13．如图，抛物线y=ax2+bx+4经过点A(−1,0)，B(2,0)两点，与y轴交于点C，点D是拋物线在x轴上方，对称轴右侧上的一个动点，设点D的横坐标为m．连接AC，BC，DB，DC．（1）求抛物线的解析式；（2）当△BCD的面积与△AOC的面积和为7时，求m的值；2（3）在（2）的条件下，若点M是x轴上一动点，点N是抛物线上一动点，试判断是否存在这样的点M，使得以点B，D，M，N为顶点的四边形是平行四边形．若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．(x+m)(x−3m)图象的顶点为M，图象交x轴于A、14．如图，y关于x的二次函数y=−√33mB两点，交y轴正半轴于D点.以AB为直径作圆，圆心为C.定点E的坐标为(−3，0)，连接ED.(m>0)（1）写出A、B、D三点的坐标；（2）当m为何值时M点在直线ED上？判定此时直线与圆的位置关系；（3）当m变化时，用m表示△AED的面积S，并在给出的直角坐标系中画出S关于m的函数图象的示意图.15．在图1中，抛物线y＝ax2+2ax﹣8（a≠0）与x轴交于点A、B（点A在B左侧），与y轴负半轴交于点C，OC＝4OB，连接AC，抛物线的对称轴交x轴于点E，交AC于点F．（1）AB的长为，a的值为；（2）图2中，直线ON分别交EF、抛物线于点M、N，OM＝√17，连接NC．①求直线ON的解析式；②证明：NC∥AB；③第四象限存在点P使△BFP与△AOC相似，且BF为△BFP的直角边，请直接写出点P坐标．16．如图，直线AB的解析式为y=−43x+4，抛物线y=−13x2+bx+c与y轴交于点A，与x轴交于点C(6，0)，点P是抛物线上一动点，设点P的横坐标为m.（1）求抛物线的解析式；（2）如图（1），当点P在第一象限内的抛物线上时，求△ABP面积的最大值，并求此时点P的坐标；（3）过点A作直线l//x轴，过点P作PH⊥l于点H，将△APH绕点A顺时针旋转，使点H的对应点恰好落在直线AB上，同时恰好落在坐标轴上，请直接写出点P的坐标.参考答案与解析1．【答案】（1）解：方案一：点B的坐标为（5，0），设抛物线的解析式为：y=a(x+5)(x−5)．由题意可以得到抛物线的顶点为（0，5），代入解析式可得：a=−15，∴抛物线的解析式为：y=−15(x+5)(x−5)方案2：点B的坐标为（10，0）．设抛物线的解析式为：y=ax(x−10)．由题意可以得到抛物线的顶点为（5，5），代入解析式可得：a=−15，∴抛物线的解析式为：y=−15x(x−10)；方案3：点B的坐标为（5，−5），由题意可以得到抛物线的顶点为（0，0）．设抛物线的解析式为：y=ax2，把点B的坐标（5，−5），代入解析式可得：a=−15，∴抛物线的解析式为：y=−15x2；（2）解：方案一：由题意：把x=3代入y=−15(x+5)(x−5)，解得：y=165=3.2，∴水面上涨的高度为3.2m方案二：由题意：把x=2代入y=−15x(x−10)解得：y=165=3.2，∴水面上涨的高度为3.2m．方案三：由题意：把x=3代入y=−15x2解得：y=−95= −1.8，∴水面上涨的高度为5−1.8= 3.2m．2．【答案】（1）解: 将点D( m，m+1 )代入y=−x2+3x+4中，得：m+1=−m2+3m+4，解得：m=−1或3，∵点D在第一象限，∴m=3，∴点D的坐标为(3，4)；令y=0，则−x2+3x+4=0，解得：x1=−1，x2=4，令x=0，则y=4，由题意得A(-1，0)，B(4，0)，C(0，4)，∴OC=OB=4，BC= 4√2，CD=3，∵点C、点D的纵坐标相等，∴CD∥AB，∠OCB=∠OBC=∠DCB=45°，∴点D关于直线BC的对称点E在y轴上．根据对称的性质知：CD=CE=3 ，∴OE=OC−CE=4−3=1，∴点D关于直线BC对称的点E的坐标为(0，1)；（2）解: 作PF⊥AB于F，DG⊥BC于G，由(1)知OB=OC=4，∠OBC=45°．∵∠DBP=45°，∴∠CBD=∠PBF．∵CD=3，∠DCB=45°，∴CG=DG= 3√22，∵BC= 4√2，∴BG= 4√2−3√22=5√22∴tan∠PBF=tan∠CBD=DGBG =35．设PF=3t，则BF=5t，OF=5t−4．∴P(−5t+4，3t)，∵P点在抛物线上，∴3t=−(−5t+4)2+3(−5t+4)+4解得：t=2225或t=0(舍去)．∴点P的坐标为( −25，6625)．3．【答案】（1）解：在Rt△AOB中，OA=1，tan∠BAO= OBOA=3，∴OB=3OA=3．∵△DOC是由△AOB绕点O逆时针旋转90°而得到的，∴△DOC≌△AOB，∴OC=OB=3，OD=OA=1，∴A、B、C的坐标分别为（1，0），（0，3）（﹣3，0）．代入解析式为{a+b+c=09a−3b+c=0c=3，解得： {a =−1b =−2c =3．∴抛物线的解析式为y=﹣x 2﹣2x+3（2）解：①∵抛物线的解析式为y=﹣x 2﹣2x+3，∴对称轴l=﹣ b2a =﹣1，∴E 点的坐标为（﹣1，0）．如图，当∠CEF=90°时，△CEF ∽△COD ．此时点P 在对称轴上，即点P 为抛物线的顶点，P （﹣1，4）；当∠CFE=90°时，△CFE ∽△COD ，过点P 作PM ⊥x 轴于点M ，则△EFC ∽△EMP ． ∴EMMP =EFFC =DO OC=13 ，∴MP=3EM ．∵P 的横坐标为t ，∴P （t ，﹣t 2﹣2t+3）．∵P 在第二象限，∴PM=﹣t 2﹣2t+3，EM=﹣1﹣t ，∴﹣t 2﹣2t+3=﹣（t ﹣1）（t+3），解得：t 1=﹣2，t 2=﹣3（因为P 与C 重合，所以舍去），∴t=﹣2时，y=﹣（﹣2）2﹣2×（﹣2）+3=3．∴P （﹣2，3）．∴当△CEF 与△COD 相似时，P 点的坐标为：（﹣1，4）或（﹣2，3）； ②设直线CD 的解析式为y=kx+b ，由题意，得{−3k +b =0b =1 ，解得： {k =13b =1，∴直线CD 的解析式为：y= 13 x+1．设PM 与CD 的交点为N ，则点N 的坐标为（t ， 13 t+1），∴NM= 13 t+1．∴PN=PM ﹣NM=﹣t 2﹣2t+3﹣（ 13 t+1）=﹣t 2﹣ 73t +2． ∵S △PCD =S △PCN +S △PDN ，∴S △PCD = 12 PN •CM+ 12 PN •OM= 12 PN （CM+OM ）= 12 PN •OC= 12 ×3（﹣t 2﹣ 73t +2）=﹣ 32 （t+76）2+ 12124 ，∴当t=﹣ 76 时，S △PCD 的最大值为 12124 ． 4．【答案】（1）解：∵抛物线C 1：y=ax 2+4ax+4a+b （a ≠0，b ＞0）经过原点O ， ∴0=4a+b ，∴当ax 2+4ax+4a+b=0时，则ax 2+4ax=0，解得：x=0或﹣4，∴抛物线与x 轴另一交点A 坐标是（﹣4，0）（2）解：∵抛物线C1：y=ax2+4ax+4a+b=a（x+2）2+b（a≠0，b＞0），（如图1）∴顶点M坐标为（﹣2，b），∵△AMO为等腰直角三角形，∴b=2，∵抛物线C1：y=ax2+4ax+4a+b=a（x+2）2+b过原点，∴a（0+2）2+2=0，解得：a=﹣12，∴抛物线C1：y=﹣12x2﹣2x（3）解：∵b=1，抛物线C1：y=ax2+4ax+4a+b=a（x+2）2+b过原点，（如图2）∴a=﹣14，∴y=﹣14（x+2）2+1=﹣14x2﹣x，设N（n，﹣1），又因为点P（m，0），∴n﹣m=m+2，∴n=2m+2即点N的坐标是（2m+2，﹣1），∵顶点N在抛物线C1上，∴﹣1=﹣14（2m+2+2）2+1，解得：m=﹣2+ √2或﹣2﹣√2 5．【答案】（1）m；m+3；y P=x P+3（2）解：∵抛物线 G ：y =−x 2+2mx −m 2+m +3 与直线 l ：x =3 交于点 Q ， ∴把 x =3 代入 y =−x 2+2mx −m 2+m +3 ，得 y Q =−m 2+7m −6 ．∵y Q =−m 2+7m −6=−(m −72)2+254，∴当 m =72 时， y Q 的最大值为 254 ．（3）解：∵点 P 在 y 轴与 l 之间沿直线 l 1：y =x +3 运动，如图，设直线 l 1：y =x +3 与 y 轴和直线 l 分别交于点 B 和点 P 1 ，线段 BP 1 的长即为点 P 路径长．把 x B =0 ， x P 1=3 代入 y =x +3 得点 B(0，3) ，点 P 1(3，6) ，过点 P 1 作 P 1M ⊥y 轴，垂足为M ，则 P 1M =3，BM =3 ，在 Rt △BMP 1 中， BP 1=√BM 2+MP 12=√32+32=3√2 ，∴点 P 路径长为 3√2 ．6．【答案】（1）解：设抛物线的表达式为：y ＝a （x+1）2+4，把x ＝0，y ＝3代入得：3＝a （0+1）2+4，解得：a ＝﹣1 ∴抛物线的表达式为y ＝﹣（x+1）2+4＝﹣x 2﹣2x+3（2）解：存在.如图1，作C 关于对称轴的对称点C ′，连接EC ′交对称轴于F ，此时CF+EF的值最小，则△CEF的周长最小.∵C（0，3），∴C′（﹣2，3），易得C′E的解析式为：y＝﹣3x﹣3，当x＝﹣1时，y＝﹣3×（﹣1）﹣3＝0，∴F（﹣1，0）（3）解：如图2，∵A（﹣3，0），D（﹣1，4），易得AD的解析式为：y＝2x+6，过点D作DH⊥x轴于H，过点M作MG⊥x轴交AD于G，AH＝﹣1﹣（﹣3）＝2，DH＝4，∴AD＝√AH2+DH2=√22+42=2√5，设M（m，﹣m2﹣2m+3），则G（m，2m+6），（﹣3≤m≤﹣1），∴MG＝（﹣m2﹣2m+3）﹣（2m+6）＝﹣m2﹣4m﹣3，由题易知△MNG∽△AHD，∴MGMN =ADAH即MN=AH×MGAD =22√5=−√55(m+2)2+√55∵√55<0∴当m ＝﹣2时，MN 有最大值；此时M （﹣2，3），又∵C （0，3），连接MC ∴MC ⊥y 轴∵∠CPM ＝∠HAD ，∠MCP ＝∠DHA ＝90°， ∴△MCP ∽△DHA ， ∴PCAH =MCDH 即 PC2=24 ∴PC ＝1∴OP ＝OC ﹣PG ＝3﹣1＝2， ∴S △POM ＝ 12×2×2 ＝2，7．【答案】（1）解：由题意，得 {0=16a −8a +c 4=c解得 {a =−12c =4∴所求抛物线的解析式为：y=﹣ 12 x 2+x+4（2）解：设点Q 的坐标为（m ，0），过点E 作EG ⊥x 轴于点G ．由﹣ 12 x 2+x+4=0，得x 1=﹣2，x 2=4∴点B 的坐标为（﹣2，0） ∴AB=6，BQ=m+2 ∵QE ∥AC ∴△BQE ∽△BAC∴EG CO =BQBA 即 EG4=m+26 ∴EG =2m+43∴S △CQE =S △CBQ ﹣S △EBQ = 12 BQ •CO ﹣ 12 BQ •EG = 12 （m+2）（4﹣2m+43）= −13m 2+23m +83 =﹣ 13 （m ﹣1）2+3 又∵﹣2≤m ≤4∴当m=1时，S △CQE 有最大值3，此时Q （1，0）（3）解：存在．在△ODF 中．（ⅰ）若DO=DF ∵A （4，0），D （2，0） ∴AD=OD=DF=2又在Rt △AOC 中，OA=OC=4 ∴∠OAC=45度 ∴∠DFA=∠OAC=45度∴∠ADF=90度．此时，点F 的坐标为（2，2）由﹣ 12 x 2+x+4=2，得x 1=1+ √5 ，x 2=1﹣ √5此时，点P 的坐标为：P （1+ √5 ，2）或P （1﹣ √5 ，2）．（ⅱ）若FO=FD ，过点F 作FM ⊥x 轴于点M由等腰三角形的性质得：OM= 12OD=1∴AM=3∴在等腰直角△AMF中，MF=AM=3∴F（1，3）由﹣12x2+x+4=3，得x1=1+ √3，x2=1﹣√3此时，点P的坐标为：P（1+ √3，3）或P（1﹣√3，3）．（ⅲ）若OD=OF∵OA=OC=4，且∠AOC=90°∴AC= 4√2∴点O到AC的距离为2√2，而OF=OD=2 <2√2，与OF≥2 √2矛盾，所以AC上不存在点使得OF=OD=2，此时，不存在这样的直线l，使得△ODF是等腰三角形综上所述，存在这样的直线l，使得△ODF是等腰三角形所求点P的坐标为：P（1+ √5，2）或P（1﹣√5，2）或P（1+ √3，3）或P（1﹣√3，3）8．【答案】（1）解：∵C为OB的中点，点B(0,4)，∴点C(0,2)，又∵M为AC中点，点A(4,0)，0+4 2=2,2+02=1，∴点M(2,1)（2）解：∵⊙P与直线AD，则∠CAD=90°，设：∠CAO=α，则∠CAO=∠ODA=∠PEH=α，tan∠CAO=OCOA =12=tanα，则sinα=√5，cosα=√5，AC=√10，则CD=ACsin∠CDA =√10sinα=10，则点D(0,−8)，设直线AD的解析式为：y=mx+n，将点A、D的坐标分别代入得：{0=4m+n−8=n，解得：{m=2n=−8，所以直线AD的表达式为：y=2x−8（3）解：设抛物线的表达式为：y=a(x−2)2+1，将点B坐标代入得：4=a(0-2)2+1，解得：a=34，故抛物线的表达式为：y=34x2−3x+4，过点P作PH⊥EF，则EH=12EF=2√5，cos∠PEH=EHPE =2√5PE=cosα=√5，解得：PE=5，设点P(x,34x2−3x+4)，则点E(x,2x−8)，则PE=34x2−3x+4−2x+8=5，解得x=143或2(舍去2)，则点P(143,193) .9．【答案】（1）解：∵抛物线的解析式为y=−x2+4x+5，∴该抛物线的对称轴为：x=−42×(−1)=2，令y=−x2+4x+5中x=0，则y=5，∴点C的坐标为(0，5)，∵C、E关于抛物线的对称轴对称，∴点E的坐标为(2×2−0，5)，即(4，5)，令y =−x 2+4x +5中y =0，则−x 2+4x +5=0，解得：x 1=−1，x 2=5，∴点A 的坐标为(−1，0)、点B 的坐标为(5，0)，设直线AE 的解析式为y =kx +b ，将点A(−1，0)、E(4，5)代入y =kx +b 中，得：{0=−k +b 5=4k +b ，解得：{k =1b =1，∴直线AE 的解析式为y =x +1；（2）（6，-7）（3）解：符合条件的m 值为0、3、3−√412和3+√412.10．【答案】（1）解：当x =0时，得y =4， ∴点C 的坐标为（0，4），当y =0时，得−23x +4=0，解得：x =6， ∴点B 的坐标为（6，0），将B ，C 两点坐标代入，得{36a +43×6+c =0，c =4. 解，得{a =−13，c =4.∴抛物线线的表达式为y =−13x 2+43x +4.∵y =−13x 2+43x +4=−13(x 2−4x +4−4)+4=−13(x −2)2+163.∴顶点D 坐标为(2，163)．（2）解：作MG ⊥x 轴于点G ，∵∠MFG =∠DFE ，∠MGF =∠DEF =90°， ∴ΔMGF ∽ΔDEF ．∴FM FD =MG DE．∴14=MG163．∴MG =43当y =43时，43=−23x +4 ∴x =4．∴点M 的坐标为(4，43)．（3）解：∵∠PAB +∠BCO =90°，∠CBO +∠BCO =90°， ∴∠PAB =∠CBO ，∵点B 的坐标为（6，0），点C 的坐标为（0，4）， ∴tan ∠CBO =46=23， ∴tan ∠PAB =23，过点P 作PQ ⊥AB ，当点P 在x 轴上方时，−13m 2+4m +12m +2=23解得m=4符合题意，当点P 在x 轴下方时，13m 2−4m −12m +2=23解得m=8符合题意， ∴存在，m 的值为4或8．11．【答案】（1）解：∵A ，B 是抛物线 y =14x 2 上的两点，∴当 x =−2 时， y =14×(−2)2=1 ；当 x =4 时， y =14×42=4 ∴点A 的坐标为（-2，1），点B 的坐标为（4，4）设直线AB 的解析式为 y =kx +b ，把A ，B 点坐标代入得 {−2k +b =14k +b =4解得， {k =12b =2所以，直线AB 的解析式为： y =12x +2 ；（2）解：对于直线AB ： y =12x +2 当 x =0 时， y =2 ∴OC =2∴S ΔAOB =S ΔAOC +S ΔBOC = 12×2×2+12×2×4 =6 （3）412．【答案】（1）解：∵A （﹣1，0）， ∴OA=1 ∵OB=3OA ， ∴B （0，3）∴图象过A 、B 两点的一次函数的解析式为：y=3x+3（2）解：∵二次函数y=ax 2﹣2ax+c （a ＜0）的图象与x 轴负半轴交于点A （﹣1，0），与y 轴正半轴交于点B （0，3）， ∴c=3，a=﹣1，∴二次函数的解析式为：y=﹣x 2+2x+3 ∴抛物线y=﹣x 2+2x+3的顶点P （1，4）（3）解：设平移后的直线的解析式为：y=3x+m ∵直线y=3x+m 过P （1，4）， ∴m=1，∴平移后的直线为y=3x+1 ∵M 在直线y=3x+1，且设M （x ，3x+1）①当点M 在x 轴上方时，有 3x+1x+1=32 ，∴x =13 ， ∴M 1(13,2)②当点M 在x 轴下方时，有 −3x+1x+1=32 ，∴x =−59 ， ∴M 2(−59 ， −23)（4）解：作点D 关于直线x=1的对称点D ′，过点D ′作D ′N ⊥PD 于点N ，当﹣x 2+2x+3=0时，解得，x=﹣1或x=3， ∴A （﹣1，0）， P 点坐标为（1，4），则可得PD 解析式为：y=2x+2，根据ND ′⊥PD ，设ND ′解析式为y=kx+b ，则k=﹣ 12 ，将D ′（2，2）代入即可求出b 的值，可得函数解析式为y=﹣ 12 x+3，将两函数解析式组成方程组得： {y =−12x +3y =2x +2 ，解得 {x =25y =145 ，故N （ 25 ， 145 ），由两点间的距离公式：d= √(2−25)2+(2−145)2 = 4√55， ∴所求最小值为4√5513．【答案】（1）解：把A （-1,0），B （2,0）代入抛物线解析式得： {a −b +4=04a +2b +4=0，解得： {a =−2b =2∴抛物线的解析式为： y =−2x 2+2x +4 （2）解：如图，连接OD ，由 y =−2x 2+2x +4 可得：对称轴为 x =−22×(−2)=12 ，C （0,4）∵D(m,−2m 2+2m +4)(12<m <2) ，A （-1,0），B （2,0） ∴∴S △BCD =S △OCD +S △BCD −S △OBC=12×4m +12×2·(−2m 2+4m +2)−12×2×4=−2m 2+4m S △AOC =12×1×4=2又∵S △BCD +S △AOC =72 ∴−2m 2+4m +2=72 ，∴4m 2−8m +3=0解得： m 1=12 ， m 2=32 ，当 m 1=12 时，点在对称轴上，不合题意，舍去，所以取 m 2=32 ，综上， m =32（3）解： M 1(0,0) ， M 2(4,0) ， M 3(√142,0) ， M 4(−√142,0)14．【答案】（1）解：令y =0，则−√33m (x +m)(x −3m)=0，解得x 1=−m ，x 2=3m ；令x =0，则y =−√33m (0+m)(0−3m)=√3m .故A(−m ，0)，B(3m ，0)，D(0，√3m).（2）解：设直线ED 的解析式为y =kx +b ，将E(−3，0)，D(0，√3m)代入得：{−3k +b =0b =√3m解得，k =√33m ，b =√3m .∴直线ED 的解析式为y =√33mx +√3m .将y =−√33m (x +m)(x −3m)化为顶点式：y =−√33m (x −m)2+4√33m . ∴顶点M 的坐标为(m ，4√33m).代入y =√33mx +√3m 得：m 2=m∵m >0，∴m =1.所以，当m =1时，M 点在直线DE 上. 连接CD ，C 为AB 中点，C 点坐标为C(m ，0). ∵OD =√3，OC =1， ∴CD =2，D 点在圆上又∵OE =3，DE 2=OD 2+OE 2=12， EC 2=16，CD 2=4， ∴CD 2+DE 2=EC 2.∴∠EDC =90°∴直线ED 与⊙C 相切.（3）解：当0<m <3时，S △AED =12AE ⋅OD =√32m(3−m)S =−√32m 2+3√32m . 当m >3时，S ΔAED =12AE ⋅OD =√32m(m −3).即S =√32m 2_3√32m . S 关于m 的函数图象的示意图如右：15．【答案】（1）6；1（2）解：①由抛物线的表达式知，抛物线的对称轴为x＝﹣1，故设点M的坐标为（﹣1，m），则OM＝12+m2＝（√17）2，解得m＝4（舍去）或﹣4，故点M的坐标为（﹣1，﹣4），由点O、M的坐标得，直线OM（即ON）的表达式为y＝4x②，故答案为y＝4x；②联立①②并解得{x=−2y=−8，故点N（﹣2，﹣8），∵点C、N的纵坐标相同，故NC∥x轴，即NC∥AB；③当∠BFP为直角时，由A（﹣4，0），C（0，-8）可求AC解析式为y＝-2x﹣8，把x=-1，代入y＝-2x﹣8得，y＝-6，点F的坐标为：（-1，-6），由点F、B的坐标得，直线BF的表达式为y＝2x﹣4，当x＝﹣2时，y＝2x﹣4＝﹣8，故点N在直线BF上，连接FN，过点F作FP⊥BF交NC的延长线于点K，由直线BF 的表达式知，tan ∠BNK ＝2，则tan ∠FKN ＝ 12 ，故设直线PF 的表达式为y ＝﹣ 12 x+t ，将点F 的坐标代入上式并解得t ＝﹣ 132 ，则直线PF 的表达式为y ＝﹣ 12 x ﹣ 132 ，故设点P 的坐标为（m ，﹣ 12 m ﹣ 132 ），在Rt △AOC 中，tan ∠ACO ＝ AOCO ＝ 12 ，则tan ∠OCA ＝2， ∵△BFP 与△AOC 相似，故∠FBP ＝∠ACO 或∠OAC ，则tan ∠FBP ＝tan ∠ACO 或tan ∠OAC ，即tan ∠FBP ＝ 12 或2，由点B 、F 的坐标得：BF ＝ √32+62=3√5 ，则PF ＝BFtan ∠FBP ＝3√52或6 √5 ，由点P 、F 的坐标得：PF 2＝（m+1）2+（﹣ 12 m ﹣ 132 +6）2＝（ 3√52）2或（6 √5 ）2，解得m ＝2或﹣4（舍去）或11或﹣13（舍去），故点P 的坐标为（11，﹣12）或（2，﹣ 152 ）；当∠PBF 为直角时，过点B 作BP ⊥BF ，同理可求直线PF 的表达式为y ＝﹣ 12 x+1，故设点P 的坐标为（m ，﹣ 12 m ﹣1），同理可得，PB ＝BFtan ∠FBP ＝3√52或6 √5 ，由点P 、B 的坐标得：PB 2＝（m-2）2+（﹣ 12 m+1）2＝（3√52）2或（6 √5 ）2，解得m＝-1（舍去）或5或14或﹣10（舍去），点P的坐标为（5，﹣32）或（14，-6）；综上，点P的坐标为（11，﹣12）或（2，﹣152）或（5，﹣32）或（14，-6）；16．【答案】（1）解：当x=0时，y=−43x+4=4，则A(0，4)，把A(0，4)，C(6，0)代入y=−13x2+bx+c得{−12+6b+c=0c=4，解得{b=43c=4，∴抛物线解析式为y=−13x2+43x+4；（2）连接OP，设P(m，−13m2+43m+4)，当y=0时，−43x+4=0，解得x=3，则B(3，0)，S△ABP=S△AOP+S△POB−S△AOB=12⋅4⋅m+12⋅3⋅(−13m2+43m+4)−12⋅3⋅4=−12m2+4m，=−12(m−4)2+8，当m=4时，△ABP面积有最大值，最大值为8，此时P点坐标为(4，4)；（3）在Rt△OAB中，AB=√32+42=5，当点P′落在x轴上，如图2，∵△APH绕点A顺时针旋转，使点H的对应点恰好落在直线AB上，同时恰好落在x 轴上∴P′H′=PH=4−(−13m2+43m+4)=13m2−43m，AH′=AH=m，∠P′H′A=∠PHA=90∘，∵∠P′BH′=∠ABO，∴△BP ′H ′ ∽ △BAO ，∴P ′H ′ ： OA =BH ′ ：OB ，即 (13m 2−43m) ： 4=BH ′ ：3， ∴BH ′=14m 2−m ， ∵AH ′+BH ′=AB ，∴m +14m 2−m =5 ，解得 m 1=2√5 ， m 2=−2√5( 舍去 ) ，此时P 点坐标为 (2√5，−8+8√53) ；当点 P ′ 落在y 轴上，如图3，同理可得 P ′H ′=PH =13m 2−43m ， AH ′=AH =m ， ∠P ′H ′A =∠PHA =90∘ ， ∵∠P ′AH ′=∠BAO ， ∴△AH ′P ′′ ∽ △AOB ，∴P ′H ′ ： OB =AH ′ ：AO ，即 (13m 2−43m) ： 3=m ：4，整理得 4m 2−25m =0 ，解得 m 1=254， m 2=0( 舍去 ) ，此时P 点坐标为 (254，−4348) ；综上所述，P 点坐标为 (2√5，−8+8√53) 或 (254，−4348) ；。

2019年中考数学专题《二次函数》复习试卷含答案解析

2019年中考数学专题复习卷: 二次函数一、选择题1.若二次函数y＝(a－1)x2＋3x＋a2－1的图象经过原点，则a的值必为（）A. 1或－1 B. 1C. －1 D. 02.对于抛物线y＝ax2＋(2a－1)x＋a－3，当x＝1时，y＞0，则这条抛物线的顶点一定在（）A. 第一象限B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限3.把抛物线y＝- 向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的解析式为（）A. y＝-(x-1)2-3B. y＝-(x＋1)2-3 C. y＝-(x-1)2＋3 D. y＝-(x＋1)2＋34.已知抛物线（，，为常数，）经过点. ，，其对称轴在轴右侧，有下列结论：①抛物线经过点；②方程有两个不相等的实数根；③.，正确结论的个数为（）A. 0B. 1C. 2D. 35.当a≤x≤a+1时，函数y=x2-2x+1的最小值为1，则a的值为（）A. -1B. 2C. 0或2 D. -1或26.二次函数的图象如图所示，则反比例函数与一次函数在同一坐标系内的大致图象是（）A. B. C. D.7.已知二次函数( 为常数),当自变量的值满足时,与其对应的函数值的最大值为-1,则的值为( )A. 3或6B. 1或6 C. 1或3 D. 4或68.已知抛物线y=x2+bx+c（其中b，c是常数）经过点A（2，6），且抛物线的对称轴与线段BC有交点，其中点B（1，0），点C（3，0），则c的值不可能是（）A．4 B．6 C．8 D．109.有一座抛物线形拱桥，正常水位桥下面宽度为20米，拱顶距离水平面4米，如图建立直角坐标系，若正常水位时，桥下水深6米，为保证过往船只顺利航行，桥下水面宽度不得小于18米，则当水深超过多少米时，就会影响过往船只的顺利航行（）A. 2.76米B. 6.76米C. 6米 D. 7米10.已知抛物线y=-x2+mx的对称轴为直线x=2，若关于x的一元二次方程-x2+mx-t=0（t为实数）在1<x<5的范围内有解，则t的取值范围是（）A. t＞-5B. -5＜t＜3 C. 3＜t≤4 D. -5＜t≤411.如图，已知二次函数图象与x轴交于A，B两点，对称轴为直线x=2，下列结论：①abc>0；②4a+b=0；③若点A坐标为(−1，0)，则线段AB=5；④若点M(x1， y1)、N(x2， y2)在该函数图象上，且满足0<x1<1，2<x2<3，则y1<y2其中正确结论的序号为（）A. ①，②B. ②，③ C. ③，④ D. ②，④12.如图，在中，，，，动点从点开始沿向点以以的速度移动，动点从点开始沿向点以的速度移动.若，两点分别从，两点同时出发，点到达点运动停止，则的面积随出发时间的函数关系图象大致是（）A. B. C.D.二、填空题13.抛物线y=2(x+2) +4的顶点坐标为________.14.将二次函数的图像向上平移3个单位长度，得到的图像所对应的函数表达式是________．15.已知二次函数，当时，函数值的最小值为，则的值是________．16.“如果二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有两个公共点,那么一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根.”请根据你对这句话的理解,解决下面问题:若p、q(P是关于x的方程2-(x-a)(x-b)=0的两根且a则请用“<”来表示a、b、P、q的大小是________17.如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为，，则方程的解是________．18.已知抛物线y=x2+2x﹣3与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），将这条抛物线向右平移m（m＞0）个单位，平移后的抛物线于x轴交于C，D两点（点C在点D的左侧），若B，C是线段AD的三等分点，则m的值为________．19.小明家的洗手盆上装有一种抬启式水龙头（如图1），完全开启后，水流路线呈抛物线，把手端点A，出水口B和落水点C恰好在同一直线上，点A至出水管BD的距离为12cm，洗手盆及水龙头的相关数据如图2所示，现用高10.2cm的圆柱型水杯去接水，若水流所在抛物线经过点D和杯子上底面中心E，则点E 到洗手盆内侧的距离EH为________cm．20.如图，在中，，，，点是边上的动点（不与点重合），过作，垂足为，点是的中点，连接，设，的面积为，则与之间的函数关系式为________．三、解答题21.已知：二次函数y=ax 2+bx+c（a≠0）的图象如图所示．请你根据图象提供的信息，求出这条抛物线的表达式．22.某商场试销一种成本为每件60元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于50%．经试销发现，销售量P（件）与销售单价x（元）符合一次函数关系，当销售单价为65元时销售量为55件，当销售单价为75元时销售量为45件．（Ⅰ）求P与x的函数关系式；（Ⅱ）若该商场获得利润为y元，试写出利润y与销售单价x之间的关系式；（Ⅲ）销售单价定为多少元时，商场可获得最大利润，最大利润是多少元？23.如图，平面直角坐标系xOy中，抛物线y=a（x+1）（x-9）经过A，B两点，四边形OABC矩形，已知点A坐标为（0，6）。

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2019中考数学专题汇编全集二次函数综合题

1.如图，抛物线y ＝ax 2－2ax ＋c (a ≠0)与y 轴交于点C (0，4)，与x 轴交于点A 、B ，点A 坐标为(4，0)． (1)求抛物线的解析式；(2)抛物线的顶点为N ，在x 轴上找一点K ，使CK ＋KN 最小，并求出点K 的坐标；(3)已知D 是OA 的中点，点P 在第一象限的抛物线上，过点P 作x 轴的平行线，交直线AC 于点F ，连接OF ，DF .当OF ＝DF 时，求点P 的坐标．第1题图解：(1)∵抛物线y ＝ax 2－2ax ＋c 经过点A (4，0)，C (0，4)，∴,40816⎩⎨⎧==+-c c a a 解得,421⎪⎩⎪⎨⎧=-=c a∴抛物线的解析式为y ＝－12x 2＋x ＋4；(2)∵y ＝－12x 2＋x ＋4＝－12(x －1)2＋92∴N (1，92)，如解图①，作点C 关于x 轴的对称点C ′，第1题解图①则C ′(0，－4)，连接C ′N 交x 轴于点K ，则K 点即为使CK ＋KN 最小的K点位置．设直线C ′N 的解析式为y ＝kx ＋b (k ≠0)，将点C ′(0，－4)，N (1，92)代入，得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－4k ＋b ＝92，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝172b ＝－4， ∴直线C ′N 的解析式为y ＝172x －4，令y ＝0，即172x －4＝0，解得x ＝817，∴点K 的坐标为(817，0)；(3)如解图②，过F 作FM ⊥x 轴于M ，第1题解图②∵D 是OA 的中点， ∴D (2，0)， ∵OF ＝DF ， ∴OM ＝MD ， ∴M (1，0)，∴点F 的横坐标是1.设直线AC 的解析式为y ＝mx ＋n ，将点A (4，0)，C (0，4)代入， ∴直线AC 的解析式为y ＝－x ＋4， ∴点F 的坐标为(1，3)，设P (t ，－12t 2＋t ＋4)，则－12t 2＋t ＋4＝3，解得t ＝1＋3或t ＝1－3(舍去)， ∴点P 的坐标为(1＋3，3)．2. 如图，长方形OABC 的OA 边在x 轴的正半轴上，OC 在y 轴的正半轴上，抛物线y ＝ax 2＋bx 经过点B (1，4)和点E (3，0)两点． (1)求抛物线的解析式；(2)若点D 在线段OC 上，且BD ⊥DE ，BD ＝DE .求D 点的坐标； (3)在条件(2)下，在抛物线的对称轴上找一点M ，使得△BDM 的周长为最小，并求△BDM 周长的最小值及此时点M 的坐标．第2题图解：(1)将点B (1，4)，E (3，0)的坐标代入抛物线的解析式得,0394⎩⎨⎧=+=+b a b a 解得,62⎩⎨⎧=-=b a∴抛物线的解析式为y ＝－2x 2＋6x ； (2)∵BD ⊥DE ， ∴∠BDE ＝90°，∴∠BDC ＋∠EDO ＝90°，又∵∠ODE ＋∠DEO ＝90°， ∴∠BDC ＝∠DEO ，在△BDC 和△DEO 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠BCD ＝∠DOE ＝90°∠BDC ＝∠DEOBD ＝DE， ∴△BDC ≌△DEO (AAS )， ∴OD ＝BC ＝1，∴D (0，1)；(3)如解图，作点B 关于抛物线的对称轴的对称点B ′，连接D B '交抛物线的对称轴于点M .第2题解图∵抛物线对称轴为直线x ＝a b 2-＝32，∴点B ′的坐标为(2，4)，∵点B 与点B ′关于x ＝32对称，∴MB ＝M B '，∴DM ＋MB ＝DM ＋MB ′，∴当点D 、M 、B ′在同一条直线上时，MD ＋MB 有最小值(即△BMD 的周长有最小值)， ∵DC ＝OC －OD ＝3，CB ′＝2，CB ＝1， ∴D B '＝2'2CB DC +＝13， BD ＝22BC DC +＝10，∴△BDM 周长的最小值＝10＋13，设直线D B '的解析式为y ＝kx ＋t ，将点D 、B ′的坐标代入得⎩⎪⎨⎪⎧t ＝12k ＋t ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝32t ＝1，∴直线DB ′的解析式为y ＝32x ＋1，将x ＝32代入得y ＝134，∴M (32，134)．3.如图，在平面直角坐标系xOy 中，二次函数y ＝－x 2＋2x ＋8的图象与一次函数y ＝－x ＋b 的图象交于A 、B 两点，点A 在x 轴上，点B 的纵坐标为－7.点P 是二次函数图象上A 、B 两点之间的一个动点(不与点A 、B 重合)，设点P 的横坐标为m ，过点P 作x 轴的垂线交AB 于点C ，作PD ⊥AB 于点D . (1)求b 及sin ∠ACP 的值；(2)用含m 的代数式表示线段PD 的长；(3)连接PB ，线段PC 把△PDB 分成两个三角形，是否存在适合的m 值，使这两个三角形的面积之比为1∶2？如果存在，直接写出m 的值；如果不存在，请说明理由．第3题图解：(1)∵当y ＝0时，－x 2＋2x ＋8＝0，解得∴x 1＝－2，x 2＝4. ∵点A 在x 轴负半轴上， ∴A (－2，0)，OA ＝2，∵点A 在一次函数y ＝－x ＋b 的图象上， ∴2＋b ＝0， ∴b ＝－2，∴一次函数表达式为y ＝－x －2，如解图，设直线AB 交y 轴于点E ，则E (0，－2)，OE ＝OA ＝2， ∴△AOE 为等腰直角三角形，∠AEO ＝45°， ∵PC ⊥x 轴交AB 于点C ， ∴PC ∥y 轴，∴∠AEO ＝∠ACP ＝45°，∴sin ∠ACP ＝sin 45(2)∵点P 在二次函数y ＝－x 2＋2x ＋8图象上且横坐标为m ，∴P (m ，－m 2＋2m ＋8)，∵PC ⊥x 轴且点C 在一次函数y ＝－x －2的图象上， ∴C (m ，－m －2)，∴PC ＝－m 2＋3m ＋10， ∵PD ⊥AB 于点D ，∴在Rt △CDP 中，sin ∠ACP ＝PD PC＝ ∴PD2＋ (3)存在，m 的值为－1或2.【解法提示】如解图，分别过点D 、B 作DF ⊥PC ，BG ⊥PC ，垂足分别为F 、G .∵sin ∠ACPcos ∠ACP又∵∠FDP ＝∠ACP ，∴cos ∠FDP在Rt △PDF 中，DF＝－12m 2＋32m ＋5，∵点B 纵坐标为－7，且点B 在直线AB ：y ＝－x －2上， ∴点B (5，－7)，∴BG ＝5－m ，∵P 不与A 、B 两点重合，∴－2<m <5，∴当PCD PBC S S ∆∆＝DF BG ＝12时，解得m 1＝－1或m 2＝5(舍)．当PCD PBC S S ∆∆＝DFBG＝2时，解得m 1＝2或m 2＝5(舍)， ∴m 的值为－1或2.第3题解图4.如图，在直角坐标系中，抛物线经过点A (0，4)、B (1，0)、C (5，0)，其对称轴与x 轴相交于点M . (1)求抛物线的解析式和对称轴；(2)在抛物线的对称轴上是否存在一点P ，使△P AB 的周长最小？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由；(3)连接AC ，在直线AC 下方的抛物线上，是否存在一点N ，使△NAC 的面积最大？若存在，请求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．第4题图解：(1)设抛物线的解析式为y ＝a (x －1)(x －5)(a ≠0)，把点A (0，4)代入上式，解得a ＝45，∴y ＝45(x －1)(x －5)＝45x 2－245x ＋4＝45(x －3)2－165，∴抛物线的对称轴是直线x ＝3；(2)存在，P 点坐标为(3，85)．理由如下：如解图①，连接AC 交对称轴于点P ，连接BP ，BA ，第4题解图①∵点B 与点C 关于对称轴对称， ∴PB ＝PC ，∴C △P AB ＝AB ＋AP ＋PB ＝AB ＋AP ＋PC ＝AB ＋AC ， ∴此时△P AB 的周长最小，设直线AC 的解析式为y ＝kx ＋b (k ≠0)，把A (0，4)，C (5，0)代入y ＝kx ＋b 中，得⎩⎨⎧=+=054b k b ，解得,454⎪⎩⎪⎨⎧=-=b k∴直线AC 的解析式为y ＝－45x ＋4，∵点P 的横坐标为3，∴y ＝－45×3＋4＝85，∴P 点坐标为(3，85)；(3)在直线AC 下方的抛物线上存在点N ，使△NAC 面积最大. 如解图②，设N 点的横坐标为t ，此时点N (t ，45t 2－245t ＋4)(0<t <5)．过点N 作y 轴的平行线，分别交x 轴、AC 于点F 、G ，过点A 作AD ⊥NG ，垂足为点D .第4题解图②由(2)可知直线AC 的解析式为y ＝－45x ＋4，把x ＝t 代入y ＝－45x ＋4得y ＝－45t ＋4，则G (t ，－45t ＋4)．此时NG ＝－45t ＋4－(45t 2－245t ＋4)＝－45t 2＋4t ，∵AD ＋CF ＝OC ＝5，∴S △NAC ＝S △ANG ＋S △CNG ＝12NG ·AD ＋12NG ·CF ＝12NG ·OC ＝12×(－45t 2＋4t )×5 ＝－2t 2＋10t ＝－2(t －52)2＋252，∴当t ＝52时，△NAC 的面积最大，最大值为252，由t ＝52，得y ＝45t 2－245t ＋4＝－3，∴N 点坐标为(52，－3)．5. 如图①，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋3(a ≠0)与x 轴、y 轴分别交于A (－1，0)、B (3，0)、C 三点． (1)试求抛物线的解析式；(2)点D (2，m )在第一象限的抛物线上，连接BC 、BD .试问，在对称轴左侧的抛物线上是否存在一点P ，满足∠PBC ＝∠DBC ？如果存在，请求出点P 的坐标；如果不存在，请说明理由； (3)如图②，在(2)的条件下，将△BOC 沿x 轴正方向以每秒1个单位长度的速度向右平移，记平移后的三角形为'''C O B △.在平移过程中，'''C O B △与BCD △重叠的面积记为S ，设平移的时间为t 秒，试求S 与t 之间的函数关系式？第5题图备用图解：(1)将A (－1，0)、B (3，0)代入抛物线y ＝ax 2＋bx ＋3(a ≠0)，得933030a b a b ++=⎧⎨-+=⎩，解得：a ＝－1，b ＝2.故抛物线解析式为：y ＝－x 2＋2x ＋3. (2) 存在．理由如下：将点D (2，m )代入抛物线解析式得m ＝3， ∴D (2，3)，当x ＝0时，y ＝3， ∴C (0，3)， ∴OC ＝OB ，∴∠OCB ＝∠CBO ＝45°，如解图①，设BP 交y 轴于点G ， ∵CD ∥x 轴，∴∠DCB ＝∠CBO ＝45°，在△CDB 和△CGB 中：∵DCB CBO OCB BC BCPBC DBC ∠=∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△CDB ≌△CGB (ASA )， ∴CG ＝CD ＝2， ∴OG ＝1，∴点G (0，1)，设直线BP 的解析式为y ＝kx ＋1(k ≠0)，代入点B (3，0)，得3k +1=0 ∴k ＝－13，∴直线BP ：y ＝－13x ＋1，联立直线BP 和二次函数解析式：223113y x x y x ⎧=++⎪⎨=+⎪⎩－－，解得：1123119x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩－或2230x y =⎧⎨=⎩(舍)， ∴P (－23，119)．(3)直线BC ：y ＝－x ＋3，直线BD ：y ＝－3x ＋9，当0≤t ≤2时，如解图②：设直线C ′B ′：y ＝－(x －t )＋3 联立直线BD 和直线C ′B ′：39()3y x y x t =-+⎧⎨=--+⎩，得F (62t -，32t )， S ＝S BCD △－S E CC '△－S DF C '△第5题解图①＝12×2×3－12×t ×t －12×(2－t )(3－32t)，整理得：S ＝－54t 2＋3t (0≤t ≤2)．当2<t ≤3时，如解图③：第5题解图③H (t ，－3t ＋9)，I (t ，－t ＋3). S ＝S △HIB ＝12[(－3t ＋9)－(－t ＋3)]×(3－t )，整理得：S ＝t 2－6t ＋9(2<t ≤3)，当t >3时'''C O B △与△BCD 无重叠面积，故S ＝0，综上所述：2253(02)469(23)0(3)t t t S t t t t ⎧-+⎪⎪=-+<⎨⎪>⎪⎩≤≤≤. 6.如图，已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋4(a ≠0)的对称轴为直线x ＝3，抛物线与x 轴相交于A ，B 两点，与y 轴相交于点C ，已知B 点的坐标为(8，0)．(1)求抛物线的解析式；(2)点M 为线段BC 上方抛物线上的一点，点N 为线段BC 上的一点，若MN ∥y 轴，求MN 的最大值；(3)在抛物线的对称轴上是否存在点Q ，使△ACQ 为等腰三角形？若存在，求出符合条件的Q 点坐标；若不存在，请说明理由．第6题图第5题解图②解：(1)根据题意得，ab2-＝3，即b ＝－6a ，则抛物线的解析式为y ＝ax 2－6ax ＋4，将B (8，0)代入得，0＝64a －48a ＋4，解得a ＝－14，b ＝32，∴抛物线的解析式为y ＝－14x 2＋32x ＋4；(2)设直线BC 的解析式为y ＝kx ＋d ，由抛物线解析式可知：当x ＝0时，y ＝4，即点C (0，4)，将B (8，0)，C (0，4)代入得：804k d d +=⎧⎨=⎩，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－12d ＝4，∴直线BC 的解析式为y ＝－12x ＋4，设点M 的横坐标为x (0＜x ＜8)，则点M 的纵坐标为－14x 2＋32x ＋4，点N 的纵坐标为－12x ＋4，∵点M 在抛物线上，点N 在线段BC 上，MN ∥y 轴， ∴MN ＝－14x 2＋32x ＋4－(－12x ＋4)＝－14x 2＋32x ＋4＋12x －4＝－14x 2＋2x＝－14(x －4)2＋4，∴当x ＝4时，MN 的值最大，最大值为4； (3)存在．理由如下：令－14x 2＋32x ＋4＝0，解得x 1＝－2，x 2＝8， ∴A (－2，0)，又∵C (0，4)，由勾股定理得，AC ＝22＋42＝25，如解图，过点C 作CD ⊥对称轴于点D ，连接AC .第6题解图∵抛物线对称轴为直线x ＝3，则CD ＝3，D (3，4)． ①当AC ＝CQ 时，DQ ＝CQ 2－CD 2＝（25）2－32＝11，当点Q 在点D 的上方时，点Q 到x 轴的距离为4＋11，此时，点Q 1(3，4＋11)，当点Q 在点D 的下方时，点Q 到x 轴的距离为4－11，此时点Q 2(3，4－11)；②当AQ ＝CQ 时，点Q 为对称轴与x 轴的交点，AQ ＝5，CQ ＝32＋42＝5，此时，点Q 3(3，0)； ③当AC ＝AQ 时，∵AC ＝25，点A 到对称轴的距离为5，25<5， ∴不可能在对称轴上存在Q 点使AC ＝AQ ，综上所述，当点Q 的坐标为(3，4＋11)或(3，4－11)或(3，0)时，△ACQ 为等腰三角形．7.如图，抛物线y ＝13x 2＋bx ＋c 与x 轴交于A (3，0)，B (－1，0)两点，过点B 作直线BC ⊥x 轴，交直线y ＝－2x 于点C . (1)求该抛物线的解析式；(2)求该抛物线的顶点D 的坐标，并判断顶点D 是否在直线y ＝－2x 上；(3)点P 是抛物线上一动点，是否存在这样的点P (点A 除外)，使△PBC 是以BC 为直角边的直角三角形？若存在，求出所有满足条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．第7题图解：(1)∵y ＝13x 2＋bx ＋c 与x 轴交于A (3，0)，B (－1，0)两点，∴⎩⎪⎨⎪⎧13×32＋3b ＋c ＝013×（－1）2－b ＋c ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－23c ＝－1， ∴抛物线的解析式为y ＝13x 2－23x －1；(2)∵a ＝13，b ＝－23，c ＝－1，抛物线的顶点D 的坐标为(a b2-，ab ac 442-)， ∴x D ＝－－232×13＝1，y D ＝4×13×（－1）－（－23）24×13＝－43，∴D (1，－43)．把x ＝1代入y ＝－2x 中得y ＝－2， ∵－43≠－2，∴顶点D 不在直线y ＝－2x 上； (3)存在．理由如下：如解图，过点C 作x 轴的平行线，与该抛物线交于点P 1，P 2，连接BP 1，BP 2.第7题解图∵直线BC ⊥x 轴，∴△P 1BC 、△P 2BC 都是直角三角形．把x ＝－1代入y ＝－2x 中得： y ＝－2×(－1)＝2， ∴C (－1，2)．∴把y ＝2代入y ＝13x 2－23x －1中得13x 2－23x －1＝2，解得x 1＝10＋1，x 2＝－10＋1.∴P 1(10＋1，2)，P 2(－10＋1，2)．8.如图，直线y ＝－x ＋3与x 轴，y 轴分别相交于点B 、C ，经过B 、C 两点的抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴的另一个交点为A ，顶点为P ，且对称轴为直线x ＝2. (1)求该抛物线的解析式；(2)连接PB 、PC ，求△PBC 的面积；(3)连接AC ，在x 轴上是否存在一点Q ，使得以点P 、B 、Q 为顶点的三角形与△ABC 相似?若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．第8题图解：(1)∵y ＝－x ＋3与x 轴、y 轴相交于B 、C 两点， ∴C (0，3)，B (3，0)，∵抛物线的对称轴为：x ＝2，∴可设二次函数的解析式为：y ＝a (x －2)2＋k (a ≠0)，把B (3，0)、C (0，3)两点代入，得,430⎩⎨⎧+=+=k a k a ，解得，,11⎩⎨⎧=-=a k ∴抛物线的解析式为：y ＝(x －2)2－1，即y ＝x 2－4x ＋3； (2)∵y ＝x 2－4x ＋3＝(x －2)2－1， ∴P (2，－1)，又∵B (3，0)、C (0，3)，∴PC ＝2242+＝52，PB ＝212-322=+）（，BC ＝23183322==+，又∵PB 2＋BC 2＝2＋18＝20，PC 2＝20， ∴PB 2＋BC 2＝PC 2， ∴△PBC 是直角三角形．∴S PBC △＝12PB ·BC ＝12×2×23＝3；(3)设存在点Q (m ，0)，使得以点P 、B 、Q 为顶点的三角形与△ABC 相似，易证∠ABC ＝∠ABP ＝45°，∴Q 点在B 点左边，则m <3，于是AB ＝2，BC ＝23，BQ ＝3－m ，BP ＝2， ①当BQ BA BP BC =时，△QBP ∽△ABC ，则22323=-m ，解得，m ＝73，∴Q (73，0)；②当BP BA BQ BC =时，△PBQ ∽△ABC ，则m -=32223，解得，m ＝0，∴Q (0，0)，故存在点Q ，使得以点P 、B 、Q 为顶点的三角形与△ABC 相似．Q 点的坐标为Q (73，0)或Q (0，0)．9.如图①，经过原点O 的抛物线y ＝ax 2＋bx (a ≠0)与x 轴交于另一个点A (32，0)，在第一象限内与直线y ＝x 交于点B (2，t )．(1)求这条抛物线的表达式；(2)在第四象限内的抛物线上有一点C ，满足以B ，O ，C 为顶点的三角形的面积为2，求点C 的坐标；(3)如图②，若点M 在这条抛物线上，且∠MBO ＝∠ABO ，在(2)的条件下，是否存在点P ，使得△POC ∽△MOB ？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．第9题图解：(1)把B (2，t )代入y ＝x 得t ＝2， ∴B (2，2)，把A (32，0)，B (2，2)代入y ＝bx ax +2得：⎪⎩⎪⎨⎧=+=+22402349b a b a ，解得⎩⎨⎧-==32b a ，∴抛物线的表达式为y ＝22x －3x ； (2)设点C 坐标为(x ，2x 2－3x )，如解图①，过点C 作CQ ⊥y 轴于点Q ，过点B 作BF ⊥y 轴于点F ，第9题解图①则S BOC △＝S CQFB 四边形－S BOF △－S COQ △，即2)]32(2)[2(2x x x --+－12×2×2－12x (－2x 2＋3x )＝2，解得x ＝1.把x ＝1代入y ＝2x 2－3x ，得y ＝2－3＝－1， ∴C (1，－1)；(3)如解图②，连接OM ，AB ，设MB 交y 轴于点N ，第9题解图②∵B (2，2)，∴∠AOB ＝∠NOB ＝45°，在△AOB 和△NOB 中， ⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠NBO ABO OBOB NOB AOB ， ∴△AOB ≌△NOB (ASA )， ∴ON ＝OA ＝32，∴N (0，32)，设直线BN 表达式为y ＝kx ＋32，把B 点坐标代入可得2＝2k ＋32，解得k ＝14，∴直线BN 的表达式为y ＝14x ＋32，联立直线BN 和抛物线表达式可得⎪⎩⎪⎨⎧-=+=x x y x y 3223412，解得⎩⎨⎧==22y x 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=324583y x ， ∴M (－38，4532)，∵C (1，－1)，∴∠COA ＝∠AOB ＝45°，且B (2，2)， ∴OB ＝22，OC ＝2， ∵△POC ∽△MOB ，∴OCOB OP OM =＝2，∠POC ＝∠BOM ，当点P 在第一象限时，如解图③，过M 作MG ⊥y 轴于点G ，过P 作PH ⊥x 轴于点H ，第9题解图③∵∠COA ＝∠BOG ＝45°，∠POC ＝∠BOM ， ∴∠MOG ＝∠POH ，且∠PHO ＝∠MGO=90︒， ∴△MOG ∽△POH ， ∴OH OG PH MG OP OM ==＝2， ∵M (－38，4532)，∴MG ＝38，OG ＝4532，∴PH ＝12MG ＝316，OH ＝12OG ＝4564，∴P (4564，316)；当点P 在第三象限时，如解图④，过M 作MG ⊥y 轴于点G ，过P 作PH ⊥y 轴于点H ，第9题解图④同理可求得PH ＝12MG ＝316，OH ＝12OG ＝4564，∴P (－316，－4564)；综上，存在满足条件的点P ，其坐标为(4564，316)或(－316，－4564)．10.如图，抛物线y ＝14x 2＋bx ＋c 与x 轴交于A (5，0)、B (－1，0)两点，过点A 作直线AC ⊥x 轴，交直线y ＝2x 于点C . (1)求该抛物线的解析式；(2)求点A 关于直线y ＝2x 的对称点A ′的坐标，判定点A ′是否在该抛物线上，并说明理由；(3)点P 是抛物线上一动点，过点P 作y 轴的平行线，交线段CA ′于点M ，是否存在这样的点P ，使四边形P ACM 是平行四边形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．第10题图解：(1)∵y ＝14x 2＋bx ＋c 与x 轴交于A (5，0)、B (－1，0)两点，代入得，221×5+5041×-1-04y b c y b c ⎧=+=⎪⎪⎨⎪=+=⎪⎩（）解得 154b c =-⎧⎪⎨=-⎪⎩，∴抛物线的解析式为y ＝14x 2－x －54；(2)如解图，过点A ′作A ′E ⊥x 轴于点E ，AA ′与OC 交点设为D ，第10题解图∵点C 在直线y ＝2x 上，AC ⊥x 轴，∴C (5，10)，∵点A 和A ′关于直线y ＝2x 对称， ∴OC ⊥AA ′，D A '＝AD .∵在Rt △OAC 中，OA ＝5，AC ＝10， ∴OC ＝22AC OA +＝52＋102＝5 5. ∵S △OAC ＝12OC ·AD ＝12OA ·AC ，∴AD ＝OA ·AC OC ＝5×1055＝25， ∴'AA ＝45，∵AE A '∠＋AC A '∠＝90°，∠ACO ＋AC A '∠＝90°，∴AE A '∠＝∠ACO ，又∵∠EA A '＝∠OAC ＝90°， ∴△EA A '∽△OAC ，∴OA E A '＝EA AC ＝OC A A '，即5554105'==AE E A ， ∴E A '＝4，AE ＝8， ∴OE ＝AE －OA ＝8－5＝3， ∴点A ′的坐标为(－3，4)，当x ＝－3时，y ＝14×(－3)2＋3－54＝4，∴点A ′在该抛物线上；(3)存在．设直线CA ′的解析式为y ＝kx ＋t ，将点A ′(－3，4)和C (5，10)分别代入得，,10543⎩⎨⎧=+=+-t k t k 解得34254k t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ∴直线CA ′的解析式为y ＝34x ＋254，设点P 的坐标为(x ，14x 2－x －54)(－3<x <5)，则点M 的坐标为(x ，34x ＋254)，∵PM ∥y 轴，AC ∥y 轴，∴PM ∥AC ，∴要使四边形P ACM 是平行四边形，只需PM ＝AC ，又∵点M 在点P 的上方， ∴(34x ＋254)－(14x 2－x －54)＝10，解得x 1＝2，x 2＝5(不合题意，舍去)， ∴P (2，－94)，即当点P 的坐标为(2，－94)时，四边形P ACM 是平行四边形．。

2019中考数学二次函数综合专题试卷精选汇编(有解析答案)

二次函数综合专题东城区26．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线()02342≠-+-=a a ax ax y 与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 左侧）．（1）当抛物线过原点时，求实数a 的值；（2）①求抛物线的对称轴；②求抛物线的顶点的纵坐标（用含a 的代数式表示）；（3）当AB ≤4时，求实数a 的取值范围．26.解：(1) ∵点()0,0O 在抛物线上，∴320a -=，23a =.--------------------2分 (2)①对称轴为直线2x =；②顶点的纵坐标为 2a --.--------------------4分 (3) （i ）当0a ＞时，依题意，-20320.a a -⎧⎨-⎩＜，≥解得2.3a ≥（ii ）当0a ＜时，依题意，-20320.a a -⎧⎨-⎩＞，≤解得a ＜-2.综上，2a -＜，或23a ≥. --------------------7分西城区26.在平面直角坐标系xOy 中，抛物线G ：221(0)y mx mx m m =++-≠与y 轴交于点C ，抛物线G 的顶点为D ，直线：1(0)y mx m m =+-≠．（1）当1m =时，画出直线和抛物线G ，并直接写出直线被抛物线G 截得的线段长．（2）随着m 取值的变化，判断点C ，D 是否都在直线上并说明理由．（3）若直线被抛物线G 截得的线段长不小于2，结合函数的图象，直接写出m 的取值范围．【解析】（1）当1m =时，抛物线G 的函数表达式为22y x x =+，直线的函数表达式为y x =，直线被抛物线Gx（2）∵抛物线G ：221(0)y mx mx m m =++-≠与y 轴交于点C ， ∴点C 的坐标为(0,1)C m -，∵2221(1)1y mx mx m m x =++-=+-， ∴抛物线G 的顶点D 的坐标为(1,1)--，对于直线：1(0)y mx m m =+-≠，当0x =时，1y m =-，当1x =-时，(1)11y m m =⨯-+-=-， ∴无论m 取何值，点C ，D 都在直线上．（3）m的取值范围是m ≤m海淀区26．在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线22y x ax b =-+的顶点在 x 轴上，1(,)P x m ，2(,)Q x m （12x x <）是此抛物线上的两点．（1）若1a =，①当m b =时，求1x ，2x 的值；②将抛物线沿y 轴平移，使得它与x 轴的两个交点间的距离为4，试描述出这一变化过程；（2）若存在实数c ，使得11x c ≤-，且27x c ≥+成立，则m 的取值范围是．26．解：抛物线22y x ax b =-+的顶点在x 轴上，24(2)04b a --∴=.2b a ∴=. ………………1分（1）1a =，1b ∴=.∴抛物线的解析式为221y x x =-+.①1m b ==，2211x x ∴-+=，解得10x =，22x =. ………………2分②依题意，设平移后的抛物线为2(1)y x k =-+.抛物线的对称轴是1x =，平移后与x 轴的两个交点之间的距离是4， ∴(3,0)是平移后的抛物线与x 轴的一个交点.2(31)0k ∴-+=，即4k =-.∴变化过程是：将原抛物线向下平移4个单位. ………………4分（2）16m ≥. ………………6分丰台区26．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线243y ax ax a =-+的最高点的纵坐标是2．（1）求抛物线的对称轴及抛物线的表达式；（2）将抛物线在1≤x ≤4之间的部分记为图象G 1，将图象G 1沿直线x = 1翻折，翻折后的图象记为G 2，图象G 1和G 2组成图象G ．过(0，b )作与y 轴垂直的直线l ，当直线l 和图象G 只有两个公共点时，将这两个公共点分别记为P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，求b 的取值范围和x 1 + x 2的值．()22x a --，∴对称轴为x = 2．………………………………………1分 ∵抛物线最高点的纵坐标是2，∴a = -2． ………………………………………2分 ∴抛物线的表达式为2286y x x =-+-. ……………3分（2）由图象可知，2b =或-6≤b <0. ………………6分由图象的对称性可得：x 1+x 2=2． (7)分石景山区26．在平面直角坐标系xOy 中，将抛物线21G y mx =+：（0m ≠位长度后得到抛物线2G ，点A 是抛物线2G 的顶点．（1）直接写出点A 的坐标；xy（2）过点0（且平行于x 轴的直线l 与抛物线2G 交于B ，C 两点． ①当=90BAC ∠°时，求抛物线2G 的表达式； ②若60120BAC <∠<°°，直接写出m 的取值范围．26．解:（1）()A. ………………………………… 2分（2）①设抛物线2G的表达式为2(y m x =+，如图所示，由题意可得AD =∵=90BAC ∠°，AB AC =， ∴=45ABD ∠︒.∴BD AD ==∴点B的坐标为. ∵点B 在抛物线2G 上，可得3m =.∴抛物线2G的表达式为23y x =-+，即223y x x =-+………………… 5分②m <<-. ………………… 7分朝阳区26. 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线()2440y ax ax a =--≠与y 轴交于点A ，其对称轴与x 轴交于点B . （1）求点A ，B 的坐标；（2）若方程()244=00ax ax a --≠有两个不相等的实数根，且两根都在1，3之间（包括1，3），结合函数的图象，求a 的取值范围.26.解：（1）44)2(4422---=--=a x a ax ax y ．∴A （0，－4），B （2，0）．……………………………………2分（2）当抛物线经过点（1，0）时，34-=a ．…………………… 4分当抛物线经过点（2，0）时，1-=a ． …………………………6分结合函数图象可知，a 的取值范围为134<≤-a ．……………… 7分燕山区24．如图，在平面直角坐标系中，直线l : y=kx+k (k ≠0)与x 轴,y 轴分别交于A,B 两点，且点B(0,2)，点P 在y 轴正半轴上运动，过点P 作平行于x 轴的直线y=t ．（1）求 k 的值和点A 的坐标；（2）当t=4时，直线y=t 与直线l 交于点M ，反比例函数xny =（n ≠0）的图象经过点M ，求反比例函数的解析式； (3)当t<4时，若直线y=t 与直线l 和（2）反比例函数的图象分别交于点C ，D ，当CD 间距离大于等于2时，求t 的取值范围.24.解：（1）∵直线l :y=kx+k 经过点B(0,2)，∴k=2∴ y=2x+2∴A(-1,0) ……………………….2′（2）当t=4时，将y=4代入y=2x+2得，x=1∴M(1,4)代入xny =得，n=4 ∴xy 4=……………………….2′ （3）当t=2时，B(0,2) 即C(0,2)，而D(2,2)如图，CD=2，当y=t 向下运动但是不超过x 轴时，符合要求∴ t 的取值范围是 0 <t ≤2 ……………………….5′ 门头沟区26.有一个二次函数满足以下条件：①函数图象与x 轴的交点坐标分别为(1,0)A ，22(,)B x y (点B 在点A 的右侧)； ②对称轴是3x =； ③该函数有最小值是-2.（1）请根据以上信息求出二次函数表达式；（2）将该函数图象2x x ＞的部分图象向下翻折与原图象未翻折的部分组成图象“G ”，平行于x 轴的直线与图象“G ”相交于点33(,)C x y 、44(,)D x y 、55(,)E x y （345x x x <<），结合画出的函数图象求345x x x ++的取值范围.26. （本小题满分7分）（1）解：有上述信息可知该函数图象的顶点坐标为: (3,2)- 设二次函数表达式为：2(3)2y a x =-- ……………1分 ∵该图象过(1,0)A∴20(13)2a =--，解得12a =……………2分 ∴表达式为21(3)22y x =-- （2）图象正确………………………………………………………3分由已知条件可知直线与图形“G ”要有三个交点① 当直线与x 轴重合时，有2个交点,由二次函数的轴对称性可求346x x += ……………………………………4分 ∴34511x x x ++＞ ……………………………………5分 ②当直线过21(3)22y x =--的图象顶点时，有2个交点，由翻折可以得到翻折后的函数图象为21(3)22y x =--+ ∴令21(3)222x --+=-时，解得3x =±3x =-舍去…………6分∴3459x x x +++＜综上所述345x x x ++11＜＜…………7分大兴区26. 在平面直角坐标系xOy 中,抛物线22(31)2(0)y x m x m m m =-+++>，与y 轴交于点C ，与x 轴交于点A 1(,0)x ,B 2(,0)x ，且12x x <.（1）求1223-+x x 的值；（2）当m=1223-+x x 时，将此抛物线沿对称轴向上平移n 个单位，使平移后得到的抛物线顶点落在△ABC 的内部（不包括△ABC 的边），求n 的取值范围（直接写出答案即可）． 26.（1）解关于x 的一元二次方程，()223120x m x m m -+++=得x =2m +1, x =m ………………………………………………………2分 ∵m ＞0, x 1＜x 2∴x 1=m , x 2=2m+1. …………………………………………………… 3分 2x 1-x 2+3=2m -2m -1+3=2 …………………………………………… 4分（2）符合题意的n 的取值范围是. …………………………………7分平谷区26．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线223y x bx =-+-的对称轴为直线x =2．（1）求b 的值；（2）在y 轴上有一动点P （0，m ），过点P 作垂直y 轴的直线交抛物线于点A （x 1，y 1），B （x 2 ，y 2），其中 12x x <．①当213x x -=时，结合函数图象，求出m 的值；②把直线PB 下方的函数图象，沿直线PB 向上翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象W ，新图象W 在0≤x ≤5 时，44y -≤≤，求m 的取值范围．26．解：（1）∵抛物线223y x bx =-+-的对称轴为直线x =2，∴b =2． ················ 1 （2）①∴抛物线的表达式为243y x x =-+-． ∵A （x 1，y ），B （x 2 ，y ）， ∴直线AB 平行x 轴．∵213x x -=， ∴AB =3．∵对称轴为x =2， ∴AC =12． ·············· 2 ∴当12x =时，54y m ==-． ······ 3 ②当y =m =-4时，0≤x ≤5时，41y -≤≤； · 4当y =m =-2时，0≤x ≤5 时，24y -≤≤； 5 ∴m 的取值范围为42m -≤≤-． (6)怀柔区26.在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y=nx 2-4nx+4n-1(n ≠0)，与x 轴交于点C ，D(点C 在点D 的左侧)，与y 轴交于点A ．(1)求抛物线顶点M 的坐标；(2)若点A 的坐标为（0，3），AB ∥x 轴，交抛物线于点B ，求点B 的坐标；(3)在(2)的条件下，将抛物线在B ，C 两点之间的部分沿y 轴翻折，翻折后的图象记为G ，若直线m x y +=21与图象G 有一个交点，结合函数的图象，求m 的取值范围． yx –1–2–3–4–512345–1–2–3–4–512345O26.(1)M(2，-1)； ………………………………………………………………………………2分(2)B(4，3)； …………………………………………………………………………………3分(3)∵抛物线y=mx 2-4mx+4m-1(m ≠0)与y 轴交于点A （0,3）,∴4n-1=3.∴n=1. ……………………………………………………………………………………4分∴抛物线的表达式为342+-=x x y .由34212++=+x x m x . 由△=0，得: 161-=m ……………………………………………………………………5分 ∵抛物线342+-=x x y 与x 轴的交点C 的坐标为（1,0），∴点C 关于y 轴的对称点C 1的坐标为（-1,0）.把（-1,0）代入m x y +=21，得：21=m .……………………………………………6分把（-4,3）代入m x y +=21，得：5=m . ∴所求m 的取值范围是161-=m 或21＜m ≤ 5. …………………………………………7分延庆区26．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y =ax 2-4ax +3a (a ＞0)与x 轴交于A ，B 两点（A 在B 的左侧）．（1）求抛物线的对称轴及点A ，B 的坐标；（2）点C （t ，3）是抛物线243(0)y ax ax a a =-+>上一点，（点C 在对称轴的右侧），过点C 作x 轴的垂线，垂足为点D ．①当CD AD =时，求此时抛物线的表达式；②当CD AD >时，求t 的取值范围．26．（1）对称轴：x =2 ……1分A （1，0）或B （3，0） ……1分（2）①如图1，∵AD =CD∴AD =3∴C 点坐标为（4，3） ……3分将C （4，3）代入243y ax ax a =-+∴316163a a a =-+∴a =1∴抛物线的表达式为：243y x x =-+ ……4分②34t << ……6分过程略顺义区26．在平面直角坐标系xOy 中，若抛物线2y x bx c =++顶点A 的横坐标是-1，且与y 轴交于点B （0，-1），点P 为抛物线上一点．（1）求抛物线的表达式；（2）若将抛物线2y x bx c =++向下平移4个单位，点P 平移后的对应点为Q ．如果OP =OQ ，求点Q 的坐标．26．解：（1）依题意12-=-b ，b =2, 由B （0，-1），得c=-1,∴抛物线的表达式是221=+-y x x ．…………………… 2分4（2）向下平移4个单位得到225=+-y x x ，……………………… 3分 ∵OP =OQ ，∴P 、Q 两点横坐标相同，纵坐标互为相反数．∴2221250+-++-=x x x x ．∴13=-x ，21=x ．………………………………………………… 5分把13=-x ，21=x 分别代入225=+-y x x ．得出Q 1（-3，-2），Q 2（1，-2）．………………………………… 7分。

2019中考数学专题汇编全集二次函数综合题(10道)

二次函数综合题1. 如图，已知抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于A(－1，0)，B(3，0)两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴与直线BC交于点M，点P为抛物线的顶点，连接PB、PC.(1)求抛物线的解析式；(2)在第一象限内的抛物线上是否存在点D，使得△BCD的面积最大？若存在，求出点D的坐标及△BCD面积的最大值；若不存在，请说明理由；(3)抛物线上是否存在点Q(不与P重合)，使得△QMB与△PMB 的面积相等？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.第1题图解：(1)抛物线的解析式为y＝－x2＋2x＋3；(2)存在.设D(t，－t 2＋2t＋3)，如解图①，过点D作DH⊥x轴交BC于点H，连接CD，BD.第1题解图①∵B (3，0)，C (0，3)，∴直线BC 的解析式为y ＝－x ＋3，∴H (t ，－t ＋3)，∴S △BCD ＝12DH ·x B ＝12(－t 2＋2t ＋3＋t －3)×3＝－32t 2＋92t ＝－32(t－32)2＋278，∵－32<0，∴当t ＝32时，即点D 的坐标为(32，154)时，S △BCD 有最大值，最大值为278；(3)存在.由(1)得P (1，4)，过点P 且与BC 平行的直线与抛物线的交点，即为所求的点Q ，如解图②.第1题解图②∵直线BC 的解析式为y ＝－x ＋3，PM ＝2，∴过点P 且与BC 平行的直线l 1为y ＝－x ＋3＋2＝－x ＋5，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x ＋5y ＝－x 2＋2x ＋3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝2y 1＝3，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝1y 2＝4(舍去)， ∴Q 1(2，3)，∵M (1，2)，设PM 与x 轴交于点E ，∴PM ＝EM ＝2，∴过点E 且与BC 平行的直线l 2为y ＝－x ＋3－2＝－x ＋1，从而过点E 且与BC 平行的直线l 2与抛物线的交点也为所求的点Q ，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x ＋1y ＝－x 2＋2x ＋3，解得⎩⎨⎧x 1＝3＋172y 1＝－1＋172，⎩⎨⎧x 2＝3－172y 2＝－1－172， ∴Q 2(3＋172，－1＋172)，Q 3(3－172，－1－172)，综上所述，满足题意的点Q 的坐标为(2，3)或(3＋172，－1＋172)或(3－172，－1－172).2. 如图，已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋3与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，点A 的坐标为(－1，0)，对称轴为直线x ＝1，点P 为线段BC 上(不含B 、C 两点)的一个动点，PF ∥y 轴交抛物线于点F ，设点P 的横坐标为m .(1)求抛物线的解析式；(2)用含m 的代数式表示线段PF 的长；(3)设△BCF 的面积为S ，求S 与m 的函数关系式，并确定当m 为何值时△BCF 的面积最大．第2题图解：(1)∵点A 的坐标为(－1，0)，对称轴为直线x ＝1，∴⎩⎨⎧a －b ＋3＝0－b 2a ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1b ＝2， ∴抛物线的解析式为y ＝－x 2＋2x ＋3；(2)∵当x ＝0时，y ＝3，∴C (0，3)，当y ＝0时，－x 2＋2x ＋3＝0，解得x 1＝－1，x 2＝3，∴B (3，0)，设直线BC 的解析式为：y ＝mx ＋n (m ≠0)，则⎩⎪⎨⎪⎧n ＝33m ＋n ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－1n ＝3， ∴直线BC 的解析式为：y ＝－x ＋3，∴PF ＝(－m 2＋2m ＋3)－(－m ＋3)＝－m 2＋3m ；（3）如解图，连接BF ，延长FP 交x 轴于点H ，第2题解图S △BCF ＝S △PCF ＋S △PBF＝12PF ·OH ＋12PF ·BH＝12PF ·(OH ＋BH )＝12PF ·OB ＝32(－m 2＋3m )＝－32(m －32)2＋278，则当m ＝32时，△BCF 的面积最大.3. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝(x ＋1)2＋k 与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C (0，－3). 点M 是抛物线上一动点，且在第三象限，点E 在抛物线的对称轴上.(1)求抛物线的解析式；(2)当M 点运动到何处时，四边形AMCB 的面积最大，最大值是多少？(3)点E 是抛物线对称轴上一点，抛物线上是否存在点F ，使以A 、E 、F 、B 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出所有满足条件的点F 的坐标；若不存在，请说明理由.第3题图解：(1)抛物线的对称轴为直线x ＝－1，把C (0，－3)代入y ＝(x ＋1)2＋k 得－3＝1＋k ，∴k ＝－4；∴抛物线的解析式为y ＝(x ＋1)2－4；(2)连接OM ，如解图①，设M 点坐标为(x ，(x ＋1)2－4)，第3题解图①S 四边形AMCB ＝S △AMO ＋S △CMO ＋S △CBO＝12AO ·|y m |＋12 CO ·|x m |＋12×OC ×BO＝32[4－(x ＋1)2]＋12×3×(－x )＋12×3×1＝－32x 2－92x ＋6＝－32(x ＋32)2＋758，当x ＝－32时，S 最大，最大值为758；此时M 点坐标为(－32，－154)；(3)存在. 点F 的坐标为(－1，－4)、(3，12)、(－5，12).理由如下：当以AB 为对角线时，如解图②，∵四边形AFBE 为平行四边形，而EA ＝EB ，∴四边形AFBE 为菱形，∴点F 也在对称轴上，即F 点为抛物线的顶点，∴F 点坐标为(－1，－4)；第3题解图② 第3题解图③当以AB 为边时，如解图③，∵以A 、E 、F 、B 为顶点的四边形为平行四边形，∴EF ＝AB ＝4，即F 2E ＝4，F 1E ＝4，∴F 1的横坐标为3，F 2的横坐标为－5，对于y ＝(x ＋1)2－4，当x ＝3时，y ＝16－4＝12；当x＝－5时，y＝16－4＝12，∴F点坐标为(－1，－4)，(3，12)或(－5，12).4. 在平面直角坐标系中，抛物线y＝－x2－2x＋3与x轴交于A，B两点(A在B的左侧)，与y轴交于点C，顶点为D.(1)请直接写出点A，C，D的坐标；(2)如图①，在x轴上找一点E，使得△CDE的周长最小，求点E 的坐标；(3)如图②，F为直线AC上的动点，在抛物线上是否存在点P，使得△AFP为等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.第4题图解：(1)A(－3，0)，C(0，3)，D(－1，4)；(2)如解图①，作点C关于x轴的对称点M，则M(0，－3)，连接DM与x轴的交点即为点E，连接CE，此时△CDE的周长最小.设DM的解析式为y＝kx＋b(k≠0)，将点D(－1，4)，M(0，－3)代入得，⎩⎪⎨⎪⎧－k ＋b ＝4b ＝－3，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－7b ＝－3，∴直线DM 的解析式为y ＝－7x －3，令y ＝0，则y ＝－7x －3＝0，解得x ＝－37，∴点E 的坐标为(－37，0)；第4题解图①(3)存在. 由(1)知，OA ＝OC ＝3，∠AOC ＝90°，∴∠CAB ＝45°，如解图②，第4题解图②(i)当∠AFP ＝90°，即∠AF 1P 1＝90°时，点P 1既在x 轴上，又在抛物线上，则点P 1与点B 重合，∴点P 1的坐标为(1，0)；(ii)当∠F AP ＝90°，即∠F 2AP 2＝90°时，∠P 2AO ＝45°，设AP 2与y 轴的交点为点N ，∴OA ＝ON ＝3，则N (0，－3)，易求AP 2的解析式为y ＝－x －3，联立得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x －3y ＝－x 2－2x ＋3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y ＝－5， ∵A (－3，0)，∴P 2(2，－5)；(iii)当∠APF ＝90°，即∠AP 3F 3＝90°时，点P 3既在x 轴上，又在抛物线上，则点P 3与点B 重合，点P 3的坐标为(1，0).综上所述，抛物线上存在点P ，使得△AFP 为等腰直角三角形，点P 坐标为(1，0)或(2，－5).5. 如图，已知抛物线y ＝－14x 2－12x ＋2与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C .(1)求点A 、B 、C 的坐标；(2)点E 是此抛物线上的点，点F 是其对称轴上的点，求以A 、B 、E 、F 为顶点的平行四边形的面积；(3)此抛物线的对称轴上是否存在点M ，使得△ACM 是等腰三角形？若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由.第5题图解：(1)令y ＝0，即0＝－14x 2－12x ＋2，解得x 1＝－4，x 2＝2，∴A (2，0)，B (－4，0)，令x ＝0，得y ＝－14x 2－12x ＋2＝2，∴C (0，2)；(2)①当AB 为平行四边形的对角线时，EF 和AB 互相平分，又∵AB ⊥EF ，点E 在抛物线上，∴E 1点为抛物线的顶点，∵y ＝－14x 2－12x ＋2＝－14(x ＋1)2＋94，∴E 1点坐标为(－1，94)，∵点F 1和点E 1关于x 轴对称，∴F 1点的坐标为(－1，－94)，∴E 1F 1＝2×94＝92，AB ＝6，∵E 1F 1和AB 互相垂直平分，∴四边形E 1AF 1B 是菱形，∴S 四边形E 1AF 1B ＝12×92×6＝272；②当AB 为平行四边形的一边时，AB ∥EF ，且AB ＝EF ＝6.∵F 点的横坐标为－1，∴E 点为F 2点向左或向右平移6个单位.∴E 2点的横坐标为5, E 3点的横坐标为－7，且两点的纵坐标相等.当x ＝5时，y ＝－14x 2－12x ＋2＝－14×25－12×5＋2＝－274；当x ＝－7时， y ＝－274，∴点F 2的坐标为(－1，－274)，∴S 四边形ABF 2E 2＝274×6＝812.综上所述，以A 、B 、E 、F 为顶点的平行四边形的面积为272或812；第5题解图(3)存在.设M (－1，m )，则MC 2＝1＋(2－m )2，MA 2＝9＋m 2，AC 2＝22＋22＝8，①当MC＝MA时，1＋(2－m)2＝9＋m2，解得m＝－1，∴M(－1，－1)；②当MC＝AC时，1＋(2－m)2＝8，整理得m2－4m－3＝0，解得m1＝2＋7，m2＝2－7，∴M(－1，2＋7)或(－1，2－7)；③当MA＝AC时，9＋m2＝8，整理得m2＝－1，此时方程无解.综上所述，存在点M，使得△ACM是等腰三角形，点M的坐标为(－1，－1)或(－1，2＋7)或(－1，2－7).6. 如图，已知抛物线y＝ax2＋bx经过A(4，0)，B(3，3)两点，连接AB，过点B作BC∥x轴交该抛物线于点C.动点P、Q分别从O、A同时出发，其中点P沿着线段OA向A点运动，点Q沿着线段AB 向B点运动，两点均以每秒1个单位长度的速度向终点匀速运动．当点P、Q中任意一点到达终点时另一点也随之停止运动，设这两个动点运动的时间为t(秒)，△PQA的面积记为S.(1)求该抛物线的表达式；(2)当t为何值时，S取最大值，最大值是多少？(3)是否存在这样的t值，使得△PQA是直角三角形？若存在，请求出此时P 、Q 两点的坐标；若不存在，请说明理由.第6题图解：(1)抛物线y ＝ax 2＋bx 经过A (4，0)，B (3，3)两点，∴⎩⎪⎨⎪⎧16a ＋4b ＝09a ＋3b ＝3，解得⎩⎨⎧a ＝－33b ＝433， ∴抛物线表达式为y ＝－33x 2＋433x ；(2)如解图，过点B 作BE ⊥x 轴交x 轴于点E ，则BE ＝3，AE ＝1，第6题解图∴AB ＝2，由tan ∠BAE ＝BE AE ＝3得∠BAE ＝60°，由题意得QA ＝OP ＝t ，P A ＝4－t ，过点Q 作QF ⊥x 轴交x 轴于点F ，则sin ∠BAE ＝QF AQ ，∴QF ＝3t 2，则S ＝12P A ·QF ＝12(4－t )·3t 2＝－34t 2＋3t ＝－34(t －2)2＋3(0≤t ≤2)， ∵－34＜ 0，∴当t ＝2时，S 取最大值3；(3)存在，当点Q 在AB 上运动时，∵AB ＜OE ，∴∠QP A 不可能为直角，∴要使得△PQA 是直角三角形，必须使∠PQA ＝90°.∴P A ＝2QA ，∴4－t ＝2t .∴t ＝43，此时OP ＝t ＝43，QF ＝3t 2＝233，∴在Rt △AFQ 中，AF ＝QF 3＝23， ∴OF ＝OA －AF ＝103，∴P (43，0)，Q (103，233).7. 如图，抛物线y ＝－14x 2＋12x ＋2与x 轴交于A ，B 两点(点B在点A 的右侧)，与y 轴交于点C ，点P 为抛物线上的一个动点，过点P 作PD ⊥x 轴于点D ，交直线BC 于点E .(1)求点A 和点B 的坐标；(2)若点P 在第四象限内，当OD ＝4PE 时，求点P 的坐标；(3)在(2)的条件下，若点M 为直线BC 上一点，点N 为平面直角坐标系内一点，是否存在这样的点M 和点N ，使得以点B ，D ，M ，N 为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．第7题图解：(1)∵抛物线y ＝－14x 2＋12x ＋2与x 轴交于A ，B 两点(点B 在点A 的右侧)，令y ＝0，∴－14x 2＋12x ＋2＝0，解得x ＝－2或x ＝4，∴A (－2，0)，B (4，0)；(2)由(1)知，B (4，0)，令x ＝0时，y ＝2，∴C (0，2)，∴直线BC 的解析式为y ＝－12x ＋2，设点P (m ，－14m 2＋12m ＋2)(m ＞4)，∴OD ＝m ，∵点E 在直线BC 上，∴E (m ，－12m ＋2)，∴PE ＝－12m ＋2－(－14m 2＋12m ＋2)＝14m 2－m ，∵OD ＝4PE ，∴m ＝4(14m 2－m )，∴m ＝0(舍)或m ＝5，∴P (5，－74)；(3)存在. 点N 的坐标为(5＋255，－55)或(5－255，55)或(92，14)，【解法提示】由(2)知BD ＝1，直线BC 的解析式为y ＝－12x ＋2，设M (n ，－12n ＋2)，∵B (4，0)，∴BM 2＝(4－n )2＋(12n －2)2，∵以B ，D ，M ，N 为顶点的四边形是菱形，①当BD 为边时，MN ∥BD ，MN ＝BM ＝BD ，∴BM 2＝BD 2＝1，(4－n )2＋(12n －2)2＝1，∴n ＝4±255，∴M (4＋255，－55)或(4－255，55)，∴N (5＋255，－55)或(5－255，55)；②当BD 为对角线时，MN 垂直平分BD ，∴点M 的横坐标为92，∴点M 的纵坐标为－12×92＋2＝－14，∴M (92，－14)，∴N (92，14)，综上所述，点N 的坐标为(5＋255，－55)或(5－255，55)或(92，14).8. 如图，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋3与x 轴交于A (－1，0)、B (3，0)两点，与y 轴交于C 点，抛物线的对称轴l 与x 轴交于点M .(1)求抛物线的解析式；(2)设点P 是直线l 上的一个动点，当△P AC 的周长最小时，求△P AC 的周长；(3)在直线l 上是否存在点Q ，使以M 、O 、Q 为顶点的三角形与△AOC 相似，若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由.第8题图解：(1)抛物线的解析式为y＝－x2＋2x＋3；(2)如解图，连接BC，与对称轴l相交于点P，此时点P就是使△P AC的周长最小的点，且P A＝PB，由(1)可知点C的坐标为(0，3)，则OC＝3，∴AC＝OA2＋OC2＝12＋32＝10，PC＋P A＝PC＋PB＝BC＝OC2＋OB2＝32＋32＝32，∴△P AC的周长最小值为AC＋P A＋PC＝AC＋BC＝10＋32；第8题解图(3)由y＝－x2＋2x＋3得对称轴l为直线x＝1，假设在直线l上存在点Q，使以M、O、Q为顶点的三角形与△AOC 相似.设Q点的坐标为(1，m)，则OM＝1，MQ＝|m|，OA＝1，OC＝3，∵∠AOC＝∠QMO＝90°，∴两个三角形相似有两种情况：①当MQ OA ＝MO OC 时，△MOQ ∽△OCA ，此时有|m |1＝13，解得m ＝±13，则Q 点的坐标为(1，13)或(1，－13)；②当MQ OC ＝MO OA 时，△MOQ ∽△OAC ，此时有|m |3＝11，解得m ＝±3，则Q 点的坐标为(1，3)或(1，－3).综上可知，在直线l 上存在点Q ，使以M 、O 、Q 为顶点的三角形与△AOC 相似，点Q 的坐标为(1，13)或(1，－13)或(1，3)或(1，－3).9. 如图，已知抛物线y ＝－23x 2＋43x ＋2的图象与x 轴交于A ，B两点(A 在B 的左侧)，与y 轴交于点C ，抛物线的对称轴与x 轴交于点D .点M 从O 点出发，以每秒1个单位长度的速度向B 运动，过点M 作x 轴的垂线，交抛物线于点P ，交BC 于点Q .(1)求点B 和点C 的坐标；(2)设当点M 运动了x (秒)时，四边形OBPC 的面积为S ，求S 与x 的函数关系式，并指出自变量x 的取值范围；(3)在线段BC 上是否存在点Q ，使得△DBQ 成为以BQ 为一腰的等腰三角形？若存在，直接写出点Q 的坐标，若不存在，请说明理由．第9题图解：(1)把x ＝0代入y ＝－23x 2＋43x ＋2得y ＝2，∴点C 的坐标为(0，2)，把y ＝0代入y ＝－23x 2＋43x ＋2得x ＝－1或3，∴点B 的坐标为(3，0)；(2)如解图，连接OP ，设点P 的坐标为P (x ，－23x 2＋43x ＋2)，第9题解图S 四边形OBPC ＝S △OPC ＋S △OPB ＝12×2x ＋12×3×(－23x 2＋43x ＋2)＝－(x －32)2＋214，∵点M 运动到B 点时停止，∴0≤x ≤3，∴S ＝－(x －32)2＋214(0≤x ≤3)；(3)存在．点Q 的坐标为(2，23)或(3－61313，41313).【解法提示】∵BC ＝OB 2＋OC 2＝13，①若BQ ＝DQ ，∵BQ＝DQ ，BD ＝2，∴BM ＝DM ＝12BD ＝1，∴OM ＝3－1＝2，∴tan ∠OBC＝QM BM ＝OC OB ＝23，∴QM ＝23，∴Q 的坐标为(2，23)；②若BQ ＝BD ＝2，∵△BQM ∽△BCO ，∴BQ BC ＝QM CO ＝BM BO ，∴213＝QM 2，∴QM ＝41313，∵BQ BC ＝BM OB ，∴213＝BM 3，∴BM ＝61313，∴OM ＝3－61313，∴Q 的坐标为(3－61313，41313). 综上所述，Q 的坐标为(2，23)或(3－61313，41313).10. 已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋2与x 轴交于点A (－1，0)、B (4，0)，与y 轴交于点C ，点D 与点C 关于x 轴对称，直线y ＝kx ＋t 过点B ，D ，点P 是线段OB 上一点(不与点O 、B 重合)，过点P 作x 轴的垂线，交抛物线于M ，交直线BD 于N .(1)求抛物线的解析式；(2)设点P 的横坐标为m ，线段MN 的长为l ，求l 关于m 的函数关系式，并求出l 的最大值；(3)连接BM ，是否存在m ，使得△BPM 与△BOD 相似，若存在，直接写出m 的值，若不存在，请说明理由.第10题图解：(1)∵点A (－1，0), B (4, 0)在抛物线y ＝ax 2＋bx ＋2上， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＋2＝016a ＋4b ＋2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－12b ＝32， ∴抛物线的解析式为y ＝－12x 2＋32x ＋2；(2)∵点P 的横坐标为m,∴点M 的坐标为(m, －12m 2＋32m ＋2),∵点C 是抛物线与y 轴的交点，∴C (0，2),∵点D 与点C 关于x 轴对称，∴D (0，－2),将点B (4，0)，D (0，－2)分别代入y ＝kx ＋t,得⎩⎪⎨⎪⎧4k ＋t ＝0t ＝－2，解得⎩⎨⎧k ＝12t ＝－2， ∴直线BD 的解析式为y ＝12x －2,∴点N 的坐标为(m ，12m －2),∵点M 始终在点N 的上方，∴l ＝MN ＝(－12m 2＋32m ＋2)－(12m －2)＝－12m 2＋m ＋4＝－12(m －1)2＋92，∵0＜m ＜4，－12<0,∴当m ＝1时，l 取最大值，最大值为92；(3)存在， m ＝3.【解法提示】∵ 在△BPM 和△BOD 中， ∠BPM ＝∠BOD ＝90°，∴ 若△BPM 与△BOD 相似，则可分以下两种情况讨论；(i)当△MPB ∽△BOD 时，则PM BP ＝BO OD ＝2,即－12m 2＋32m ＋24－m＝2, 解得m ＝3或m ＝4(舍去);(ii)当△BPM ∽△BOD 时，则BP PM ＝BO OD ＝2,即4－m －12m 2＋32m ＋2＝2, 解得m ＝0(舍去)或m ＝4(舍去),综上可知，当m ＝3时，△MPB 与△BOD 相似．。

2019年中考数学二次函数的综合运用专题卷(含答案)

2019年中考数学二次函数的综合运用专题卷（含答案）一、解答题（共2题；共15分）1.如图，抛物线与x轴的负半轴交于点A，与y轴交于点B，连结AB．点C 在抛物线上，直线AC与y轴交于点D．（1）求c的值及直线AC的函数表达式；（2）点P在x轴的正半轴上，点Q在y轴正半轴上，连结PQ与直线AC交于点M，连结MO并延长交AB 于点N，若M为PQ的中点．①求证：△APM∽△AON；②设点M的横坐标为m，求AN的长（用含m的代数式表示）．2.如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=x+m (m为常数)的图像与x轴交于点A(－3,0)，与y轴交于点C．以直线x=1为对称轴的抛物线y=ax2+bx+c(a，b，c为常数，且a≠0)经过A、C两点，并与x轴的正半轴交于点B．(1)求m的值及抛物线的函数表达式；(2)若P是抛物线对称轴上一动点，△ACP周长最小时，求出P的坐标；(3)是否存在抛物在线一动点Q，使得△ACQ是以AC为直角边的直角三角形？若存在，求出点Q的横坐标；若不存在，请说明理由；(4)在(2)的条件下过点P任意作一条与y轴不平行的直线交抛物线于M1(x1,y1)，M2(x2,y2)两点，试问是否为定值，如果是，请直接写出结果，如果不是请说明理由．二、综合题（共20题；共310分）3.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y= x2﹣x﹣与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，对称轴与x轴交于点D，点E（4，n）在抛物线上．（1）求直线AE的解析式；（2）点P为直线CE下方抛物线上的一点，连接PC，PE．当△PCE的面积最大时，连接CD，CB，点K是线段CB的中点，点M是CP上的一点，点N是CD上的一点，求KM+MN+NK的最小值；（3）点G是线段CE的中点，将抛物线y= x2﹣x﹣沿x轴正方向平移得到新抛物线y′，y′经过点D，y′的顶点为点F．在新抛物线y′的对称轴上，是否存在一点Q，使得△FGQ为等腰三角形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．4.如图，已知二次函数y=ax2+bx+4的图象与x轴交于点B（﹣2，0），点C（8，0），与y轴交于点A．（1）求二次函数y=ax2+bx+4的表达式；（2）连接AC，AB，若点N在线段BC上运动（不与点B，C重合），过点N作NM∥AC，交AB于点M，当△AMN面积最大时，求N点的坐标；（3）连接OM，在（2）的结论下，求OM与AC的数量关系．5.如图，抛物线y=a（x﹣1）（x﹣3）与x轴交于A，B两点，与y轴的正半轴交于点C，其顶点为D．（1）写出C，D两点的坐标（用含a的式子表示）；（2）设S△BCD：S△ABD=k，求k的值；（3）当△BCD是直角三角形时，求对应抛物线的解析式．6.如图甲，直线y=﹣x+3与x轴、y轴分别交于点B、点C，经过B、C两点的抛物线y=x2+bx+c与x轴的另一个交点为A，顶点为P．（1）求该抛物线的解析式；（2）在该抛物线的对称轴上是否存在点M，使以C，P，M为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，请直接写出所符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由；（3）当0＜x＜3时，在抛物线上求一点E，使△CBE的面积有最大值（图乙、丙供画图探究）．7.已知点A（﹣1，1）、B（4，6）在抛物线y=ax2+bx上（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，点F的坐标为（0，m）（m＞2），直线AF交抛物线于另一点G，过点G作x轴的垂线，垂足为H．设抛物线与x轴的正半轴交于点E，连接FH、AE，求证：FH∥AE；（3）如图2，直线AB分别交x轴、y轴于C、D两点．点P从点C出发，沿射线CD方向匀速运动，速度为每秒个单位长度；同时点Q从原点O出发，沿x轴正方向匀速运动，速度为每秒1个单位长度．点M是直线PQ与抛物线的一个交点，当运动到t秒时，QM=2PM，直接写出t的值．8.如图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2+bx﹣5与x轴交于A（﹣1，0），B（5，0）两点，与y 轴交于点C．（1）求抛物线的函数表达式；（2）若点D是y轴上的一点，且以B，C，D为顶点的三角形与△ABC相似，求点D的坐标；（3）如图2，CE∥x轴与抛物线相交于点E，点H是直线CE下方抛物线上的动点，过点H且与y轴平行的直线与BC，CE分别交于点F，G，试探究当点H运动到何处时，四边形CHEF的面积最大，求点H的坐标及最大面积；（4）若点K为抛物线的顶点，点M（4，m）是该抛物线上的一点，在x轴，y轴上分别找点P，Q，使四边形PQKM的周长最小，求出点P，Q的坐标．9.如图，抛物线y=﹣x2+ x+2与x轴交于点A，B，与y轴交于点C．（1）试求A，B，C的坐标；（2）将△ABC绕AB中点M旋转180°，得到△BAD．①求点D的坐标；②判断四边形ADBC的形状，并说明理由；（3）在该抛物线对称轴上是否存在点P，使△BMP与△BAD相似？若存在，请直接写出所有满足条件的P 点的坐标；若不存在，请说明理由．10.如图，直线y=﹣x+c与x轴交于点A（3，0），与y轴交于点B，抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A，B．（1）求点B的坐标和抛物线的解析式；（2）M（m，0）为x轴上一动点，过点M且垂直于x轴的直线与直线AB及抛物线分别交于点P，N．①点M在线段OA上运动，若以B，P，N为顶点的三角形与△APM相似，求点M的坐标；②点M在x轴上自由运动，若三个点M，P，N中恰有一点是其它两点所连线段的中点（三点重合除外），则称M，P，N三点为“共谐点”．请直接写出使得M，P，N三点成为“共谐点”的m的值．11.如图，已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过A（﹣1，0）、B（4，0）、C（0，2）三点．（1）求该二次函数的解析式；（2）点D是该二次函数图象上的一点，且满足∠DBA=∠CAO（O是坐标原点），求点D的坐标；（3）点P是该二次函数图象上位于一象限上的一动点，连接PA分别交BC，y轴与点E、F，若△PEB、△CEF的面积分别为S1、S2，求S1﹣S2的最大值．12.已知抛物线y=a（x+3）（x﹣1）（a≠0），与x轴从左至右依次相交于A、B两点，与y轴相交于点C，经过点A的直线y=﹣x+b与抛物线的另一个交点为D．（1）若点D的横坐标为2，求抛物线的函数解析式；（2）若在第三象限内的抛物线上有点P，使得以A、B、P为顶点的三角形与△ABC相似，求点P的坐标；（3）在（1）的条件下，设点E是线段AD上的一点（不含端点），连接BE．一动点Q从点B出发，沿线段BE以每秒1个单位的速度运动到点E，再沿线段ED以每秒个单位的速度运动到点D后停止，问当点E的坐标是多少时，点Q在整个运动过程中所用时间最少？13.抛物线y=ax2+c与x轴交于A，B两点，顶点为C，点P为抛物线上，且位于x轴下方．（1）如图1，若P（1，﹣3），B（4，0）．①求该抛物线的解析式；②若D是抛物线上一点，满足∠DPO=∠POB，求点D的坐标；（2）如图2，已知直线PA，PB与y轴分别交于E、F两点．当点P运动时，是否为定值？若是，试求出该定值；若不是，请说明理由．14.如图，抛物线y=ax2+bx过A（4，0），B（1，3）两点，点C、B关于抛物线的对称轴对称，过点B作直线BH⊥x轴，交x轴于点H．（1）求抛物线的表达式；（2）直接写出点C的坐标，并求出△ABC的面积；（3）点P是抛物线上一动点，且位于第四象限，当△ABP的面积为6时，求出点P的坐标；（4）若点M在直线BH上运动，点N在x轴上运动，当以点C、M、N为顶点的三角形为等腰直角三角形时，请直接写出此时△CMN的面积．15.（2016•泸州）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线l与抛物线y=mx2+nx相交于A（1，3 ），B（4，0）两点．（1）求出抛物线的解析式；（2）在坐标轴上是否存在点D，使得△ABD是以线段AB为斜边的直角三角形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，说明理由；（3）点P是线段AB上一动点，（点P不与点A、B重合），过点P作PM∥OA，交第一象限内的抛物线于点M，过点M作MC⊥x轴于点C，交AB于点N，若△BCN、△PMN的面积S△BCN、S△PMN满足S△BCN=2S△PMN，求出的值，并求出此时点M的坐标．16.如图，抛物线与x轴交于点A（﹣5，0）和点B（3，0）．与y轴交于点C（0，5）．有一宽度为1，长度足够的矩形（阴影部分）沿x轴方向平移，与y轴平行的一组对边交抛物线于点P和Q，交直线AC于点M和N．交x轴于点E和F．（1）求抛物线的解析式；（2）当点M和N都在线段AC上时，连接MF，如果sin∠AMF= ，求点Q的坐标；（3）在矩形的平移过程中，当以点P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形时，求点M的坐标．17.如图，直线y=﹣x+2 与x轴，y轴分别交于点A，点B，两动点D，E分别从点A，点B同时出发向点O运动（运动到点O停止），运动速度分别是1个单位长度/秒和个单位长度/秒，设运动时间为t秒，以点A为顶点的抛物线经过点E，过点E作x轴的平行线，与抛物线的另一个交点为点G，与AB相交于点F．（1）求点A，点B的坐标；（2）用含t的代数式分别表示EF和AF的长；（3）当四边形ADEF为菱形时，试判断△AFG与△AGB是否相似，并说明理由．（4）是否存在t的值，使△AGF为直角三角形？若存在，求出这时抛物线的解析式；若不存在，请说明理由．18.如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2+bx﹣2（a≠0）与x轴交于A（1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C，其顶点为点D，点E的坐标为（0，﹣1），该抛物线与BE交于另一点F，连接BC．（1）求该抛物线的解析式，并用配方法把解析式化为y=a（x﹣h）2+k的形式；（2）若点H（1，y）在BC上，连接FH，求△FHB的面积；（3）一动点M从点D出发，以每秒1个单位的速度平沿行与y轴方向向上运动，连接OM，BM，设运动时间为t秒（t＞0），在点M的运动过程中，当t为何值时，∠OMB=90°？（4）在x轴上方的抛物线上，是否存在点P，使得∠PBF被BA平分？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．19.如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是以AB为直径的⊙M的内接四边形，点A，B在x轴上，△MBC是边长为2的等边三角形，过点M作直线l与x轴垂直，交⊙M于点E，垂足为点M，且点D平分．（1）求过A，B，E三点的抛物线的解析式；（2）求证：四边形AMCD是菱形；（3）请问在抛物线上是否存在一点P，使得△ABP的面积等于定值5？若存在，请求出所有的点P的坐标；若不存在，请说明理由．20.已知如图，在平面直角坐标系xOy中，点A、B、C分别为坐标轴上上的三个点，且OA=1，OB=3，OC=4，（1）求经过A、B、C三点的抛物线的解析式；（2）在平面直角坐标系xOy中是否存在一点P，使得以以点A、B、C、P为顶点的四边形为菱形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若点M为该抛物线上一动点，在（2）的条件下，请求出当|PM﹣AM|的最大值时点M的坐标，并直接写出|PM﹣AM|的最大值．21.如图1，已知开口向下的抛物线y1=ax2﹣2ax+1过点A（m，1），与y轴交于点C，顶点为B，将抛物线y1绕点C旋转180°后得到抛物线y2，点A，B的对应点分别为点D，E．（1）直接写出点A，C，D的坐标；（2）当四边形ABCD是矩形时，求a的值及抛物线y2的解析式；（3）在（2）的条件下，连接DC，线段DC上的动点P从点D出发，以每秒1个单位长度的速度运动到点C停止，在点P运动的过程中，过点P作直线l⊥x轴，将矩形ABDE沿直线l折叠，设矩形折叠后相互重合部分面积为S平方单位，点P的运动时间为t秒，求S与t的函数关系．22.如图，抛物线经过A（﹣1，0），B（5，0），C（0，- ）三点．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上有一点P，使PA+PC的值最小，求点P的坐标；（3）点M为x轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N，使以A，C，M，N四点构成的四边形为平行四边形？若存在，求点N的坐标；若不存在，请说明理由．答案解析部分一、解答题1.（1）解：把点C（6，）代入抛物线得:=9++c.解得c=-3.当y=0时，x2+x-3=0.解得：x1=-4,x2=3.∴A(-4,0).设直线AC的函数表达式为：y=kx+b(k≠0）.把A(-4,0)，C（6，）代入得：解得：∴直线AC的函数表达式为：y=x+3.（2）①证明：∵在Rt△AOB中，tan∠OAB==.在Rt△AOB中，tan∠OAD==.∴∠OAB=∠OAD.∵在Rt△POQ中,M为PQ中点.∴OM=MP.∴∠MOP=∠MPO.又∵∠MOP=∠AON.∴∠APM=∠AON.∴△APM∽△AON.②解：如下图，过点M作ME⊥x轴于点E.∵OM=MP.∴OE=EP.又∵点M的横坐标为m.∴AE=m+4,AP=2m+4.∵tan∠OAD=.∴cos∠EAM=cos∠OAD=.∴AM=AE=.∵△APM∽△AON.∴=.∴AN==.2.解：（1）∵y=x+m经过点（-3，0），∴0=+m，解得m=，∴直线解析式为y=x+，C（0，）．∵抛物线y=ax2+bx+c对称轴为x=1，且与x轴交于A（-3，0），∴另一交点为B（5，0），设抛物线解析式为y=a（x+3）（x-5），∵抛物线经过C（0，），∴=a•3（-5），解得a=，∴抛物线解析式为y=x2+x+；（2）要使△ACP的周长最小，只需AP+CP最小即可．如图2，连接BC交x=1于P点，因为点A、B关于x=1对称，根据轴对称性质以及两点之间线段最短，可知此时AP+CP最小（AP+CP最小值为线段BC的长度）．∵B（5，0），C（0，），∴直线BC解析式为y=x+，∵x P=1，∴y P=3，即P（1，3）．(3) （3）存在设Q(x, x2+x+)①若C为直角顶点, 则由△ACO相似于△CQE，得x=5.2②若A为直角顶点，则由△ACO相似于△AQE，得x=8.2∴Q的横坐标为5.2 ，7.2(4)令经过点P（1，3）的直线为y=kx+b，则k+b=3，即b=3-k，则直线的解析式是：y=kx+3-k，∵y=kx+3-k，y=x2+x+，联立化简得：x2+（4k-2）x-4k-3=0，∴x1+x2=2-4k，x1x2=-4k-3．∵y1=kx1+3-k，y2=kx2+3-k，∴y1-y2=k（x1-x2）．根据两点间距离公式得到：==∴==4（1+k2）．又==；同理∴===4（1+k2）．∴M1P•M2P=M1M2，∴=1为定值．二、综合题3.（1）解：∵y= x2﹣x﹣，∴y= （x+1）（x﹣3）．∴A（﹣1，0），B（3，0）．当x=4时，y= ．∴E（4，）．设直线AE的解析式为y=kx+b，将点A和点E的坐标代入得：，解得：k= ，b= ．∴直线AE的解析式为y= x+ ．（2）解：设直线CE的解析式为y=mx﹣，将点E的坐标代入得：4m﹣= ，解得：m= ．∴直线CE的解析式为y= x﹣．过点P作PF∥y轴，交CE与点F．设点P的坐标为（x，x2﹣x﹣），则点F（x，x﹣），则FP=（x﹣）﹣（x2﹣x﹣）= x2+ x．∴△EPC的面积= ×（x2+ x）×4=﹣x2+ x．∴当x=2时，△EPC的面积最大．∴P（2，﹣）．如图2所示：作点K关于CD和CP的对称点G、H，连接G、H交CD和CP与N、M．∵K是CB的中点，∴k（，﹣）．∵点H与点K关于CP对称，∴点H的坐标为（，﹣）．∵点G与点K关于CD对称，∴点G（0，0）．∴KM+MN+NK=MH+MN+GN．当点O、N、M、H在条直线上时，KM+MN+NK有最小值，最小值=GH．∴GH= =3．∴KM+MN+NK的最小值为3．（3）解：如图3所示：∵y′经过点D，y′的顶点为点F，∴点F（3，﹣）．∵点G为CE的中点，∴G（2，）．∴FG= = ．∴当FG=FQ时，点Q（3，），Q′（3，）．当GF=GQ时，点F与点Q″关于y= 对称，∴点Q″（3，2 ）．当QG=QF时，设点Q1的坐标为（3，a）．由两点间的距离公式可知：a+ = ，解得：a=﹣．∴点Q1的坐标为（3，﹣）．综上所述，点Q的坐标为（3，）或′（3，）或（3，2 ）或（3，﹣）．4.（1）解：将点B，点C的坐标分别代入y=ax2+bx+4可得，解得，∴二次函数的表达式为y=﹣x2+ x+4（2）解：设点N的坐标为（n，0）（﹣2＜n＜8），则BN=n+2，CN=8﹣n．∵B（﹣2，0），C（8，0），∴BC=10，在y=﹣x2+ x+4中令x=0，可解得y=4，∴点A（0，4），OA=4，∴S△ABN= BN•OA= （n+2）×4=2（n+2），∵MN∥AC，∴，∴= = ，∴，∵﹣＜0，∴当n=3时，即N（3，0）时，△AMN的面积最大（3）解：当N（3，0）时，N为BC边中点，∵MN∥AC，∴M为AB边中点，∴OM= AB，∵AB= = =2 ，AC= = =4 ，∴AB= AC，∴OM= AC5.（1）解：在y=a（x﹣1）（x﹣3），令x=0可得y=3a，∴C（0，3a），∵y=a（x﹣1）（x﹣3）=a（x2﹣4x+3）=a（x﹣2）2﹣a，∴D（2，﹣a）；（2）解：在y=a（x﹣1）（x﹣3）中，令y=0可解得x=1或x=3，∴A（1，0），B（3，0），∴AB=3﹣1=2，∴S△ABD= ×2×a=a，如图，设直线CD交x轴于点E，设直线CD解析式为y=kx+b，把C、D的坐标代入可得，解得，∴直线CD解析式为y=﹣2ax+3a，令y=0可解得x= ，∴E（，0），∴BE=3﹣=∴S△BCD=S△BEC+S△BED= × ×（3a+a）=3a，∴S△BCD：S△ABD=（3a）：a=3，∴k=3；（3）解：∵B（3，0），C（0，3a），D（2，﹣a），∴BC2=32+（3a）2=9+9a2，CD2=22+（﹣a﹣3a）2=4+16a2，BD2=（3﹣2）2+a2=1+a2，∵∠BCD＜∠BCO＜90°，∴△BCD为直角三角形时，只能有∠CBD=90°或∠CDB=90°两种情况，①当∠CBD=90°时，则有BC2+BD2=CD2，即9+9a2+1+a2=4+16a2，解得a=﹣1（舍去）或a=1，此时抛物线解析式为y=x2﹣4x+3；②当∠CDB=90°时，则有CD2+BD2=BC2，即4+16a2+1+a2=9+9a2，解得a=﹣（舍去）或a= ，此时抛物线解析式为y= x2﹣2 x+ ；综上可知当△BCD是直角三角形时，抛物线的解析式为y=x2﹣4x+3或y= x2﹣2 x+ ．6.（1）解：∵直线y=﹣x+3与x轴、y轴分别交于点B、点C，∴B（3，0），C（0，3），把B、C坐标代入抛物线解析式可得，解得，∴抛物线解析式为y=x2﹣4x+3（2）解：∵y=x2﹣4x+3=（x﹣2）2﹣1，∴抛物线对称轴为x=2，P（2，﹣1），设M（2，t），且C（0，3），∴MC= = ，MP=|t+1|，PC= =2 ，∵△CPM为等腰三角形，∴有MC=MP、MC=PC和MP=PC三种情况，①当MC=MP时，则有=|t+1|，解得t= ，此时M（2，）；②当MC=PC时，则有=2 ，解得t=﹣1（与P点重合，舍去）或t=7，此时M（2，7）；③当MP=PC时，则有|t+1|=2 ，解得t=﹣1+2 或t=﹣1﹣2 ，此时M（2，﹣1+2 ）或（2，﹣1﹣2 ）；综上可知存在满足条件的点M，其坐标为（2，）或（2，7）或（2，﹣1+2 ）或（2，﹣1﹣2 ）（3）解：如图，过E作EF⊥x轴，交BC于点F，交x轴于点D，设E（x，x2﹣4x+3），则F（x，﹣x+3），∵0＜x＜3，∴EF=﹣x+3﹣（x2﹣4x+3）=﹣x2+3x，∴S△CBE=S△EFC+S△EFB= EF•OD+ EF•BD= EF•OB= ×3（﹣x2+3x）=﹣（x﹣）2+ ，∴当x= 时，△CBE的面积最大，此时E点坐标为（，﹣），即当E点坐标为（，﹣）时，△CBE的面积最大7.（1）解：将点A（﹣1，1）、B（4，6）代入y=ax2+bx中，，解得：，∴抛物线的解析式为y= x2﹣x．（2）证明：设直线AF的解析式为y=kx+m，将点A（﹣1，1）代入y=kx+m中，即﹣k+m=1，∴k=m﹣1，∴直线AF的解析式为y=（m﹣1）x+m．联立直线AF和抛物线解析式成方程组，，解得：，，∴点G的坐标为（2m，2m2﹣m）．∵GH⊥x轴，∴点H的坐标为（2m，0）．∵抛物线的解析式为y= x2﹣x= x（x﹣1），∴点E的坐标为（1，0）．设直线AE的解析式为y=k1x+b1，将A（﹣1，1）、E（1，0）代入y=k1x+b1中，，解得：，∴直线AE的解析式为y=﹣x+ ．设直线FH的解析式为y=k2x+b2，将F（0，m）、H（2m，0）代入y=k2x+b2中，，解得：，∴直线FH的解析式为y=﹣x+m．∴FH∥AE．（3）设直线AB的解析式为y=k0x+b0，将A（﹣1，1）、B（4，6）代入y=k0x+b0中，，解得：，∴直线AB的解析式为y=x+2．当运动时间为t秒时，点P的坐标为（t﹣2，t），点Q的坐标为（t，0）．当点M在线段PQ上时，过点P作PP′⊥x轴于点P′，过点M作MM′⊥x轴于点M′，则△PQP′∽△MQM′，如图2所示．∵QM=2PM，∴= = ，∴QM′= ，MM′= t，∴点M的坐标为（t﹣，t）．又∵点M在抛物线y= x2﹣x上，∴t= ×（t﹣）2﹣（t﹣），解得：t= ；当点M在线段QP的延长线上时，同理可得出点M的坐标为（t﹣4，2t），∵点M在抛物线y= x2﹣x上，∴2t= ×（t﹣4）2﹣（t﹣4），解得：t= ．综上所述：当运动时间为秒、秒、秒或秒时，QM=2PM．8.（1）解：∵点A（﹣1，0），B（5，0）在抛物线y=ax2+bx﹣5上，∴，∴，∴抛物线的表达式为y=x2﹣4x﹣5（2）解：如图1，令x=0，则y=﹣5，∴C（0，﹣5），∴OC=OB，∴∠OBC=∠OCB=45°，∴AB=6，BC=5 ，要使以B，C，D为顶点的三角形与△ABC相似，则有或，①当时，CD=AB=6，∴D（0，1），②当时，∴，∴CD= ，∴D（0，），即：D的坐标为（0，1）或（0，）（3）解：设H（t，t2﹣4t﹣5），∵CE∥x轴，∴点E的纵坐标为﹣5，∵E在抛物线上，∴x2﹣4x﹣5=﹣5，∴x=0（舍）或x=4，∴E（4，﹣5），∴CE=4，∵B（5，0），C（0，﹣5），∴直线BC的解析式为y=x﹣5，∴F（t，t﹣5），∴HF=t﹣5﹣（t2﹣4t﹣5）=﹣（t﹣）2+ ，∵CE∥x轴，HF∥y轴，∴CE⊥HF，= CE•HF=﹣2（t﹣）2+ ，∴S四边形CHEF当t= 时，四边形CHEF的面积最大为（4）解：如图2，∵K为抛物线的顶点，∴K（2，﹣9），∴K关于y轴的对称点K'（﹣2，﹣9），∵M（4，m）在抛物线上，∴M（4，﹣5），∴点M关于x轴的对称点M'（4，5），∴直线K'M'的解析式为y= x﹣，∴P（，0），Q（0，﹣）．9.（1）解：当y=0时，0=﹣x2+ x+2，解得：x1=﹣1，x2=4，则A（﹣1，0），B（4，0），当x=0时，y=2，故C（0，2）（2）解：①过点D作DE⊥x轴于点E，∵将△ABC绕AB中点M旋转180°，得到△BAD，∴DE=2，AO=BE=1，OM=ME=1.5，∴D（3，﹣2）；②∵将△ABC绕AB中点M旋转180°，得到△BAD，∴AC=BD，AD=BC，∴四边形ADBC是平行四边形，∵AC= = ，BC= =2 ，AB=5，∴AC2+BC2=AB2，∴△ACB是直角三角形，∴∠ACB=90°，∴四边形ADBC是矩形（3）解：由题意可得：BD= ，AD=2 ，则= ，当△BMP∽△ADB时，= = ，可得：BM=2.5，则PM=1.25，故P（1.5，1.25），当△BMP1∽△ABD时，P1（1.5，﹣1.25），当△BMP2∽△BDA时，可得：P2（1.5，5），当△BMP3∽△BDA时，可得：P3（1.5，﹣5），综上所述：点P的坐标为：（1.5，1.25），（1.5，﹣1.25），（1.5，5），（1.5，﹣5）10.（1）解：∵y=﹣x+c与x轴交于点A（3，0），与y轴交于点B，∴0=﹣2+c，解得c=2，∴B（0，2），∵抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A，B，∴，解得，∴抛物线解析式为y=﹣x2+ x+2（2）解：①由（1）可知直线解析式为y=﹣x+2，∵M（m，0）为x轴上一动点，过点M且垂直于x轴的直线与直线AB及抛物线分别交于点P，N，∴P（m，﹣m+2），N（m，﹣m2+ m+2），∴PM=﹣m+2，PA=3﹣m，PN=﹣m2+ m+2﹣（﹣m+2）=﹣m2+4m，∵△BPN和△APM相似，且∠BPN=∠APM，∴∠BNP=∠AMP=90°或∠NBP=∠AMP=90°，当∠BNP=90°时，则有BN⊥MN，∴BN=OM=m，∴= ，即= ，解得m=0（舍去）或m=2，∴M（2，0）；当∠NBP=90°时，则有= ，∵A（3，0），B（0，2），P（m，﹣m+2），∴BP= = m，AP= = （3﹣m），∴= ，解得m=0（舍去）或m= ，∴M（，0）；综上可知当以B，P，N为顶点的三角形与△APM相似时，点M的坐标为（2，0）或（，0）；②由①可知M（m，0），P（m，﹣m+2），N（m，﹣m2+ m+2），∵M，P，N三点为“共谐点”，∴有P为线段MN的中点、M为线段PN的中点或N为线段PM的中点，当P为线段MN的中点时，则有2（﹣m+2）=﹣m2+ m+2，解得m=3（三点重合，舍去）或m= ；当M为线段PN的中点时，则有﹣m+2+（﹣m2+ m+2）=0，解得m=3（舍去）或m=﹣1；当N为线段PM的中点时，则有﹣m+2=2（﹣m2+ m+2），解得m=3（舍去）或m=﹣；综上可知当M，P，N三点成为“共谐点”时m的值为或﹣1或﹣11.（1）解：由题意可得，解得，∴抛物线解析式为y=﹣x2+ x+2；（2）解：当点D在x轴上方时，过C作CD∥AB交抛物线于点D，如图1，∵A、B关于对称轴对称，C、D关于对称轴对称，∴四边形ABDC为等腰梯形，∴∠CAO=∠DBA，即点D满足条件，∴D（3，2）；当点D在x轴下方时，∵∠DBA=∠CAO，∴BD∥AC，∵C（0，2），∴可设直线AC解析式为y=kx+2，把A（﹣1，0）代入可求得k=2，∴直线AC解析式为y=2x+2，∴可设直线BD解析式为y=2x+m，把B（4，0）代入可求得m=﹣8，∴直线BD解析式为y=2x﹣8，联立直线BD和抛物线解析式可得，解得或，∴D（﹣5，﹣18）；综上可知满足条件的点D的坐标为（3，2）或（﹣5，﹣18）；（3）解：过点P作PH∥y轴交直线BC于点H，如图2，设P（t，﹣t2+ t+2），由B、C两点的坐标可求得直线BC的解析式为y=﹣x+2，∴H（t，﹣t+2），∴PH=y P﹣y H=﹣t2+ t+2﹣（﹣t+2）=﹣t2+2t，设直线AP的解析式为y=px+q，∴，解得，∴直线AP的解析式为y=（﹣t+2）（x+1），令x=0可得y=2﹣t，∴F（0，2﹣t），∴CF=2﹣（2﹣t）= t，联立直线AP和直线BC解析式可得，解得x= ，即E点的横坐标为，∴S1= PH（x B﹣x E）= （﹣t2+2t）（5﹣），S2= • • ，∴S1﹣S2= （﹣t2+2t）（5﹣）﹣• • =﹣t2+5t=﹣（t﹣）2+ ，∴当t= 时，有S1﹣S2有最大值，最大值为．12.（1）解：∵y=a（x+3）（x﹣1），∴点A的坐标为（﹣3，0）、点B两的坐标为（1，0），∵直线y=﹣x+b经过点A，∴b=﹣3 ，∴y=﹣x﹣3 ，当x=2时，y=﹣5 ，则点D的坐标为（2，﹣5 ），∵点D在抛物线上，∴a（2+3）（2﹣1）=﹣5 ，解得，a=﹣，则抛物线的解析式为y=﹣（x+3）（x﹣1）=﹣x2﹣2 x+3 （2）解：作PH⊥x轴于H，设点P的坐标为（m，n），当△BPA∽△ABC时，∠BAC=∠PBA，∴tan∠BAC=tan∠PBA，即，∴，即n=﹣a（m﹣1），∴，解得，m1=﹣4，m2=1（不合题意，舍去），当m=﹣4时，n=5a，∵△BPA∽△ABC，∴，即AB2=AC•PB，∴42= • ，解得，a1= （不合题意，舍去），a2=﹣，则n=5a=﹣，∴点P的坐标为（﹣4，﹣）；当△PBA∽△ABC时，∠CBA=∠PBA，∴tan∠CBA=tan∠PBA，即，∴，即n=﹣3a（m﹣1），∴，解得，m1=﹣6，m2=1（不合题意，舍去），当m=﹣6时，n=21a，∵△PBA∽△ABC，∴，即AB2=BC•PB，∴42= • ，解得，a1= （不合题意，舍去），a2=﹣，则点P的坐标为（﹣6，﹣），综上所述，符合条件的点P的坐标为（﹣4，﹣）和（﹣6，﹣）（3）解：作DM∥x轴交抛物线于M，作DN⊥x轴于N，作EF⊥DM于F，则tan∠DAN= = ，∴∠DAN=60°，∴∠EDF=60°，∴DE= EF，∴Q的运动时间t= =BE+EF，∴当BE和EF共线时，t最小，则BE⊥DM，y=﹣4 ．13.（1）解：①将P（1，﹣3），B（4，0）代入y=ax2+c，得，解得，抛物线的解析式为y= x2﹣；②如图1，由∠DPO=∠POB，得DP∥OB，D与P关于y轴对称，P（1，﹣3），得D（﹣1，﹣3）；（2）解：点P运动时，是定值，设P点坐标为（m，m2﹣），A（﹣4，0），B（4，0），设AP的解析式为y=kx+b，将A、P点坐标代入，得，解得b= ，即E（0，），设BP的解析式为y=k1x+b1，将B、P点坐标代入，得，解得b2= ，即F（0，），OF+OE= + = = ，= =2．14.（1）解：把点A（4，0），B（1，3）代入抛物线y=ax2+bx中，得解得：，∴抛物线表达式为：y=﹣x2+4x；（2）解：点C的坐标为（3，3），又∵点B的坐标为（1，3），∴BC=2，∴S△ABC= ×2×3=3；（3）解：过P点作PD⊥BH交BH于点D，设点P（m，﹣m2+4m），根据题意，得：BH=AH=3，HD=m2﹣4m，PD=m﹣1，∴S△ABP=S△ABH+S四边形HAPD﹣S△BPD，6= ×3×3+ （3+m﹣1）（m2﹣4m）﹣（m﹣1）（3+m2﹣4m），∴3m2﹣15m=0，m1=0（舍去），m2=5，∴点P坐标为（5，﹣5）．（4）解：以点C、M、N为顶点的三角形为等腰直角三角形时，分三类情况讨论：①以点M为直角顶点且M在x轴上方时，如图2，CM=MN，∠CMN=90°，则△CBM≌△MHN，∴BC=MH=2，BM=HN=3﹣2=1，∴M（1，2），N（2，0），由勾股定理得：MC= = ，∴S△CMN= × × = ；②以点M为直角顶点且M在x轴下方时，如图3，作辅助线，构建如图所示的两直角三角形：Rt△NEM 和Rt△MDC，得Rt△NEM≌Rt△MDC，∴EM=CD=5，MD=ME=2，由勾股定理得：CM= = ，∴S△CMN= × × = ；③以点N为直角顶点且N在y轴左侧时，如图4，CN=MN，∠MNC=90°，作辅助线，同理得：CN= = ，∴S△CMN= × × =17；④以点N为直角顶点且N在y轴右侧时，作辅助线，如图5，同理得：CN= = ，∴S△CMN= × × =5；⑤以C为直角顶点时，不能构成满足条件的等腰直角三角形；综上所述：△CMN的面积为：或或17或5．15.（1）解：∵A（1，3 ），B（4，0）在抛物线y=mx2+nx的图象上，∴，解得，∴抛物线解析式为y=﹣x2+4 x（2）解：存在三个点满足题意，理由如下：当点D在x轴上时，如图1，过点A作AD⊥x轴于点D，∵A（1，3 ），∴D坐标为（1，0）；当点D在y轴上时，设D（0，d），则AD2=1+（3 ﹣d）2，BD2=42+d2，且AB2=（4﹣1）2+（3 ）2=36，∵△ABD是以AB为斜边的直角三角形，∴AD2+BD2=AB2，即1+（3 ﹣d）2+42+d2=36，解得d= ，∴D点坐标为（0，）或（0，）；综上可知存在满足条件的D点，其坐标为（1，0）或（0，）或（0，）；（3）解：如图2，过P作PF⊥CM于点F，∵PM∥OA，∴Rt△ADO∽Rt△MFP，∴=3 ，∴MF=3 PF，在Rt△ABD中，BD=3，AD=3 ，∴tan∠ABD= ，∴∠ABD=60°，设BC=a，则CN= a，在Rt△PFN中，∠PNF=∠BNC=30°，∴tan∠PNF= = ，∴FN= PF，∴MN=MF+FN=4 PF，∵S△BCN=2S△PMN，∴a2=2× ×4 PF2，∴a=2 PF，∴NC= a=2 PF，∴= ，∴MN= NC= × a= a，∴MC=MN+NC=（+ ）a，∴M点坐标为（4﹣a，（+ ）a），又M点在抛物线上，代入可得﹣（4﹣a）2+4 （4﹣a）=（+ ）a，解得a=3﹣或a=0（舍去），OC=4﹣a= +1，MC=2 + ，∴点M的坐标为（+1，2 + ）．16.（1）解：∵抛物线与x轴交于点A（﹣5，0），B（3，0），∴可以假设抛物线为y=a（x+5）（x﹣3），把点（0，5）代入得到a=﹣，∴抛物线的解析式为y=﹣x2﹣x+5．（2）解：）作FG⊥AC于G，设点F坐标（m，0），则AF=m+5，AE=EM=m+6，FG= （m+5），FM= = ，∵sin∠AMF= ，∴= ，∴= ，整理得到2m2+19m+44=0，∴（m+4）（2m+11）=0，∴m=﹣4或﹣5.5（舍弃），∴点Q坐标（﹣4，）（3）解：①当MN是对角线时，设点F（m，0）．∵直线AC解析式为y=x+5，∴点N（m，m+5），点M（m+1，m+6），∵QN=PM，∴﹣m2﹣m+5﹣m﹣5=m+6﹣[﹣（m+1）2﹣（m+1）+5]，解得m=﹣3± ，∴点M坐标（﹣2+ ，3+ ）或（﹣2﹣，3﹣）．②当MN为边时，MN=PQ= ，设点Q（m，﹣m2﹣m+5）则点P（m+1，﹣m2﹣m+6），∴﹣m2﹣m+6=﹣（m+1）2﹣（m+1）+5，解得m=﹣3．∴点M坐标（﹣2，3），综上所述以点P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形时，点M的坐标为（﹣2，3）或（﹣2+ ，3+ ）或（﹣2﹣，3﹣）．17.（1）解：在直线y=﹣x+2 中，令y=0可得0=﹣x+2 ，解得x=2，令x=0可得y=2 ，∴A为（2，0），B为（0，2 ）；（2）解：由（1）可知OA=2，OB=2 ，∴tan∠ABO= = ，∴∠ABO=30°，∵运动时间为t秒，∴BE= t，∵EF∥x轴，∴在Rt△BEF中，EF=BE•tan∠ABO= BE=t，BF=2EF=2t，在Rt△ABO中，OA=2，OB=2 ，∴AB=4，∴AF=4﹣2t；（3）解：相似．理由如下：当四边形ADEF为菱形时，则有EF=AF，即t=4﹣2t，解得t= ，∴AF=4﹣2t=4﹣= ，OE=OB﹣BE=2 ﹣× = ，如图，过G作GH⊥x轴，交x轴于点H，则四边形OEGH为矩形，∴GH=OE= ，又EG∥x轴，抛物线的顶点为A，∴OA=AH=2，在Rt△AGH中，由勾股定理可得AG2=GH2+AH2=（）2+22= ，又AF•AB= ×4= ，∴AF•AB=AG2，即，且∠FAG=∠GAB，∴△AFG∽△AGB；（4）解：存在，∵EG∥x轴，∴∠GFA=∠BAO=60°，又G点不能在抛物线的对称轴上，∴∠FGA≠90°，∴当△AGF为直角三角形时，则有∠FAG=90°，又∠FGA=30°，∴FG=2AF，∵EF=t，EG=4，∴FG=4﹣t，且AF=4﹣2t，∴4﹣t=2（4﹣2t），解得t= ，即当t的值为秒时，△AGF为直角三角形，此时OE=OB﹣BE=2 ﹣t=2 ﹣× = ，∴E点坐标为（0，），∵抛物线的顶点为A，∴可设抛物线解析式为y=a（x﹣2）2，把E点坐标代入可得=4a，解得a= ，∴抛物线解析式为y= （x﹣2）2，即y= x2﹣x+ ．18.（1）解：∵抛物线y=ax2+bx﹣2（a≠0）与x轴交于A（1，0）、B（3，0）两点，∴∴，∴抛物线解析式为y=﹣x2+ x﹣2=﹣（x﹣2）2+ ；（2）解：如图1，过点A作AH∥y轴交BC于H，BE于G，由（1）有，C（0，﹣2），∵B（0，3），∴直线BC解析式为y= x﹣2，∵H（1，y）在直线BC上，∴y=﹣，∴H（1，﹣），∵B（3，0），E（0，﹣1），∴直线BE解析式为y=﹣x﹣1，∴G（1，﹣），∴GH= ，∵直线BE：y=﹣x﹣1与抛物线y=﹣x2+ x﹣2相较于F，B，∴F（，﹣），∴S△FHB= GH×|x G﹣x F|+ GH×|x B﹣x G|= GH×|x B﹣x F|= × ×（3﹣）= ．（3）解：如图2，由（1）有y=﹣x2+ x﹣2，∵D为抛物线的顶点，∴D（2，），∵一动点M从点D出发，以每秒1个单位的速度平沿行与y轴方向向上运动，∴设M（2，m），（m＞），∴OM2=m2+4，BM2=m2+1，AB2=9，∵∠OMB=90°，∴OM2+BM2=AB2，∴m2+4+m2+1=9，∴m= 或m=﹣（舍），∴M（0，），∴MD= ﹣，∵一动点M从点D出发，以每秒1个单位的速度平沿行与y轴方向向上运动，∴t= ﹣；（4）解：存在点P，使∠PBF被BA平分，如图3，∴∠PBO=∠EBO，∵E（0，﹣1），∴在y轴上取一点N（0，1），∵B（3，0），∴直线BN的解析式为y=﹣x+1①，∵点P在抛物线y=﹣x2+ x﹣2②上，联立①②得，或（舍），∴P（，），即：在x轴上方的抛物线上，存在点P，使得∠PBF被BA平分，P（，）．19.（1）解：由题意可知，△MBC为等边三角形，点A，B，C，E均在⊙M上，则MA=MB=MC=ME=2，又∵CO⊥MB，∴MO=BO=1，∴A（﹣3，0），B（1，0），E（﹣1，﹣2），抛物线顶点E的坐标为（﹣1，﹣2），设函数解析式为y=a（x+1）2﹣2（a≠0）把点B（1，0）代入y=a（x+1）2﹣2，解得：a= ，故二次函数解析式为：y= （x+1）2﹣2；（2）证明：连接DM，∵△MBC为等边三角形，∴∠CMB=60°，∴∠AMC=120°，∵点D平分弧AC，∴∠AMD=∠CMD= ∠AMC=60°，∵MD=MC=MA，∴△MCD，△MDA是等边三角形，∴DC=CM=MA=AD，∴四边形AMCD为菱形（四条边都相等的四边形是菱形）；（3）解：存在．理由如下：设点P的坐标为（m，n）∵S△ABP= AB|n|，AB=4∴×4×|n|=5，即2|n|=5，解得：n=± ，当时，（m+1）2﹣2= ，解此方程得：m1=2，m2=﹣4即点P的坐标为（2，），（﹣4，），当n=﹣时，（m+1）2﹣2=﹣，此方程无解，故所求点P坐标为（2，），（﹣4，）．20.（1）解：设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，∵A（1，0）、B（0，3）、C（﹣4，0），∴，解得：a=﹣，b=﹣，c=3，∴经过A、B、C三点的抛物线的解析式为y=﹣x2﹣x+3（2）解：在平面直角坐标系xOy中存在一点P，使得以点A、B、C、P为顶点的四边形为菱形，理由为：∵OB=3，OC=4，OA=1，∴BC=AC=5，当BP平行且等于AC时，四边形ACBP为菱形，∴BP=AC=5，且点P到x轴的距离等于OB，∴点P的坐标为（5，3），当点P在第二、三象限时，以点A、B、C、P为顶点的四边形只能是平行四边形，不是菱形，则当点P的坐标为（5，3）时，以点A、B、C、P为顶点的四边形为菱形．（3）解：设直线PA的解析式为y=kx+b（k≠0），∵A（1，0），P（5，3），∴，解得：k= ，b=﹣，∴直线PA的解析式为y= x﹣，当点M与点P、A不在同一直线上时，根据三角形的三边关系|PM﹣AM|＜PA，当点M与点P、A在同一直线上时，|PM﹣AM|=PA，∴当点M与点P、A在同一直线上时，|PM﹣AM|的值最大，即点M为直线PA与抛物线的交点，解方程组，得或，∴点M的坐标为（1，0）或（﹣5，﹣）时，|PM﹣AM|的值最大，此时|PM﹣AM|的最大值为5．21.（1）解：由题意得：将A（m，1）代入y1=ax2﹣2ax+1得：am2﹣2am+1=1，解得：m1=2，m2=0（舍），∴A（2，1）、C（0，1）、D（﹣2，1）；（2）解：如图1，由（1）知：B（1，1﹣a），过点B作BM⊥y轴，若四边形ABDE为矩形，则BC=CD，∴BM2+CM2=BC2=CD2，∴12+（﹣a）2=22，∴a= ，∵y1抛物线开口向下，∴a=﹣，∵y2由y1绕点C旋转180°得到，则顶点E（﹣1，1﹣），∴设y2=a（x+1）2+1﹣，则a= ，∴y2= x2+2 x+1；（3）解：如图2，当0≤t≤1时，则DP=t，构建直角△BQD，得BQ= ，DQ=3，则BD=2 ，∴∠BDQ=30°，∴PH= t，PG= t，∴S= （PE+PF）×DP= t2，如图2，当1＜t≤2时，EG=E′G= （t﹣1），E′F=2（t﹣1），S不重合= （t﹣1）2，S=S1+S2﹣S不重合= + （t﹣1）﹣（t﹣1）2，=﹣综上所述：S= t2（0≤t≤1）或S=﹣（1＜t≤2）．22.（1）解：设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c（a≠0），∵A（﹣1，0），B（5，0），C（0，- ）三点在抛物线上，∴，解得．∴抛物线的解析式为：y= x2﹣2x﹣；（2）解：∵抛物线的解析式为：y= x2﹣2x﹣，∴其对称轴为直线x=﹣=﹣=2，连接BC，如图1所示，∵B（5，0），C（0，﹣），∴设直线BC的解析式为y=kx+b（k≠0），∴，解得，∴直线BC的解析式为y= x﹣，当x=2时，y=1﹣=﹣，∴P（2，﹣）；（3）解：存在．如图2所示，①当点N在x轴下方时，∵抛物线的对称轴为直线x=2，C（0，﹣），∴N1（4，﹣）；②当点N在x轴上方时，如图，过点N2作N2D⊥x轴于点D，在△AN2D与△M2CO中，∴△AN2D≌△M2CO（ASA），∴N2D=OC= ，即N2点的纵坐标为．∴x2﹣2x﹣= ，解得x=2+ 或x=2﹣，∴N2（2+ ，），N3（2﹣，）．。

河南省2019届中考数学专题复习专题八二次函数综合题训练

专题八二次函数综合题类型一新定义问题(2017·河南)如图，直线y ＝－23x ＋c 与x 轴交于点A(3，0)，与y 轴交于点B ，抛物线y ＝－43x 2＋bx ＋c 经过点A ，B.(1)求点B 的坐标和抛物线的解析式；(2)M(m ，0)为x 轴上一动点，过点M 且垂直于x 轴的直线与直线AB 及抛物线分别交于点P ，N. ①点M 在线段OA 上运动，若以B ，P ，N 为顶点的三角形与△APM 相似，求点M 的坐标；②点M 在x 轴上自由运动，若三个点M ，P ，N 中恰有一点是其他两点所连线段的中点(三点重合除外)，则称M ，P ，N 三点为“共谐点”．请直接写出使得M ，P ，N 三点成为“共谐点”的m 的值．例1题图备用图【分析】 (1)把A 点坐标代入直线解析式可求得c ，则可求得B 点坐标，由点A ，B 的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；(2)①由M 点坐标可表示点P ，N 的坐标，从而可表示出MA ，MP ，PN ，PB 的长，分∠NBP＝90°和∠BNP＝90°两种情况，分别利用相似三角形的性质可得到关于m 的方程，可求得m 的值；②用m 可表示出点M ，P ，N 的坐标，由题意可知有P 为线段MN 的中点、M 为线段PN 的中点或N 为线段PM 的中点，可分别得到关于m 的方程，即可求得m 的值．【自主解答】解：(1)∵y＝－23x ＋c 过点A(3，0)，与y 轴交于点B ，∴0＝－2＋c ，解得c ＝2，∴B(0，2)．∵抛物线y ＝－43x 2＋bx ＋c 经过点A ，B ，⎩⎪⎨⎪⎧－12＋3b ＋c ＝0，c ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝103，c ＝2，∴抛物线的解析式为y ＝－43x 2＋103x ＋2.(2)①由(1)可知直线的解析式为y ＝－23x ＋2，∵M(m，0)为x 轴上一动点，过点M 且垂直于x 轴的直线与直线AB 及抛物线分别交于点P ，N.∴P(m，－23m＋2)，N(m ，－43m 2＋103m ＋2)，∴PM＝－23m ＋2，AM ＝3－m ，PN ＝－43m 2＋103m ＋2－(－23m ＋2)＝－43m 2＋4m ，∵△BPN 和△APM 相似，且∠BPN＝∠APM， ∴∠BNP＝∠AMP＝90°或∠NBP＝∠AMP＝90°. 当∠BNP＝90°时，则有BN⊥MN， ∴N 点的纵坐标为2，∴－43m 2＋103m ＋2＝2，解得m ＝0(舍去)或m ＝2.5，∴M(2.5，0)；当∠NBP＝90°时，过点N 作NC⊥y 轴于点C ，例1题解图则∠NBC＋∠BNC＝90°，NC ＝m ，BC ＝－43m 2＋103m ＋2－2＝－43m 2＋103m ，∵∠NBP＝90°， ∴∠NBC＋∠ABO＝90°， ∴∠ABO＝∠BNC， ∴Rt△NCB～Rt△BOA， ∴NC OB ＝CBOA， ∴m 2＝－43m 2＋103m 3，解得m ＝0(舍去)或m ＝118. ∴M(118，0)；综上可知，当以B ，P ，N 为顶点的三角形与△APM 相似时，点M 的坐标为(2.5，0)或(118，0)；②由①可知M(m ，0)，P(m ，－23m ＋2)，N(m ，－43m 2＋103m ＋2)，∵M，P ，N 三点为“共谐点”，∴当P 为线段MN 的中点时，则有2(－23m ＋2)＝－43m 2＋103m ＋2，解得m ＝3(三点重合，舍去)或m ＝12；当M 为线段PN 的中点时，则有－23m ＋2＋(－43m 2＋103m ＋2)＝0，解得m ＝3(舍去)或m ＝－1；当N 为线段PM 的中点时，则有－23m ＋2＝2(－43m 2＋103m ＋2)，解得m ＝3(舍去)或m ＝－14.综上可知，当M ，P ，N 三点成为“共谐点”时，m 的值为12或－1或－14.1．(2015·河南)如图，边长为8的正方形OABC 的两边在坐标轴上，以点C 为顶点的抛物线经过点A ，点P 是抛物线上点A ，C 间的一个动点(含端点)，过点P 作PF⊥BC 于点F ，点D ，E 的坐标分别为(0，6)，(－4，0)，连接PD ，PE ，DE. (1)请直接写出抛物线的解析式；(2)小明探究点P 的位置发现：当P 与点A 或点C 重合时，PD 与PF 的差为定值，进而猜想：对于任意一点P ，PD 与PF 的差为定值，请你判断该猜想是否正确，并说明理由；(3)小明进一步探究得出结论：若将“使△PDE 的面积为整数”的点P 记作“好点”，则存在多个“好点”，且使△PDE 的周长最小的点P 也是一个“好点”．请直接写出所有“好点”的个数，并求出△PDE 周长最小时“好点”的坐标．第1题图备用图2．(2018·崇仁一中二模)如图①，若抛物线L1的顶点A在抛物线L2上，抛物线L2的顶点B在抛物线L1上(点A与点B不重合)，我们把这样的两抛物线L1，L2称为“伴随抛物线”，可见一条抛物线的“伴随抛物线”可以有多条．(1)抛物线L1：y＝－x2＋4x－3与抛物线L2是“伴随抛物线”，且抛物线L2的顶点B的横坐标为4，求抛物线L2的表达式；(2)若抛物线y＝a1(x－m)2＋n的任意一条“伴随抛物线”的表达式为y＝a2(x－h)2＋k，请写出a1与a2的关系式，并说明理由；(3)在图②中，已知抛物线L1：y＝mx2－2mx－3m(m＞0)与y轴相交于点C，它的一条“伴随抛物线”为L2，抛物线L2与y轴相交于点D.若CD＝4m，求抛物线L2的对称轴．图①图②3．(2018·郑州模拟)如图，已知点C(0，3)，抛物线的顶点为A(2，0)，与y轴交于点B(0，1)，点P是抛物线上的一个动点，过点P作PM⊥x轴于点M.(1)求抛物线的解析式；(2)若点F在抛物线的对称轴上，且纵坐标为1，连接PF，PC，CF，求证：对于任意点P，PF与PM的差为常数．(3)记(2)中的常数为a，若将“使△PCF面积为2a”的点P记作“巧点”，则存在多个“巧点”，且使△PCF 的周长最小的点P也是一个“巧点”，请直接写出所有“巧点”的个数，并求出△PCF的周长最小时“巧点”的坐标．4．(2017·焦作一模)如图①，直线y ＝34x ＋m 与x 轴、y 轴分别交于点A 和点B(0，－1)，抛物线y ＝12x2＋bx ＋c 经过点B ，点C 的横坐标为4. (1)请直接写出抛物线的解析式；(2)如图②，点D 在抛物线上，DE∥y 轴交直线AB 于点E ，且四边形DFEG 为矩形，设点D 的横坐标为x(0＜x ＜4)，矩形DFEG 的周长为l ，求l 与x 的函数关系式以及l 的最大值；(3)将△AOB 绕平面内某点M 旋转90°或180°，得到△A 1O 1B 1，点A ，O ，B 的对应点分别是点A 1，O 1，B 1.若△A 1O 1B 1的两个顶点恰好落在抛物线上，那么我们就称这样的点为“落点”，请直接写出“落点”的个数和旋转180°时点A 1的横坐标．图①图②类型二线段、角度数量关系探究(2016·河南)如图①，直线y ＝－43x ＋n 交x 轴于点A ，交y 轴于点C(0，4)，抛物线y ＝23x 2＋bx ＋c经过点A ，交y 轴于点B(0，－2)．点P 为抛物线上一个动点，过点P 作x 轴的垂线PD ，过点B 作BD⊥PD 于点D ，连接PB ，设点P 的横坐标为m. (1)求抛物线的解析式；(2)当△BDP 为等腰直角三角形时，求线段PD 的长；(3)如图②，将△BDP 绕点B 逆时针旋转，得到△BD′P′，且旋转角∠PBP′＝∠OAC，当点P 的对应点P′落在坐标轴上时，请直接写出点P 的坐标．图①图② 例2题图备用图【分析】先确定出点A 的坐标，再用待定系数法求出抛物线的解析式；(2)由△BDP 为等腰直角三角形，判断出BD ＝PD ，建立m 的方程计算出m ，从而求出PD ；(3)分点P′落在x 轴和y 轴两种情况计算即可．①当点P′落在x 轴上时，过点D′作D′N⊥x 轴，垂足为N ，交BD 于点M ，先利用互余和旋转角相等得出∠DBD′＝∠ND′P′＝∠PBP′，进而表示出ND′的长度，通过构造方程求解；②的思路同①. 【自主解答】解：(1)∵点C(0，4)在直线y ＝－43x ＋n 上，∴n＝4，∴y＝－43x ＋4.当y ＝0时，0＝－43x ＋4，解得x ＝3，∴A(3，0)．∵抛物线y ＝23x 2＋bx ＋c 经过点A ，交y 轴于点B(0，－2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧6＋3b ＋c ＝0，c ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－43，c ＝－2，∴抛物线的解析式为y ＝23x 2－43x －2.(2)∵点P 为抛物线上一个动点，且横坐标为m ， ∴P(m，23m 2－43m －2)，D(m ，－2)，∴BD＝|m|，PD ＝|23m 2－43m －2＋2|＝|23m 2－43m|.∵△BDP 为等腰直角三角形，且PD⊥BD， ∴BD＝PD.①当点P 在直线BD 上方时，PD ＝23m 2－43m.(i)若点P 在y 轴左侧，则m<0，BD ＝－m. ∴23m 2－43m ＝－m ，解得1＝0(舍去)，m 2＝12(舍去)．(ii)若点P 在y 轴右侧，则m>0，BD ＝m. ∴23m 2－43m ＝m ，解得3＝0(舍去)，m 4＝72.②当点P 在直线BD 下方时，m>0，BD ＝m ，PD ＝－23m 2＋43m.∴－23m 2＋43m ＝m ，解得5＝0(舍去)，m 6＝12.综上所述，m ＝72或12.即当△BDP 为等腰直角三角形时，PD 的长为72或12.(3)P 1(－5，45＋43)，P 2(5，－45＋43)，P 3(258，1132)．提示：∵∠PBP′＝∠OAC，OA ＝3，OC ＝4， ∴AC＝5，∴sin∠PBP′＝45，cos∠PBP′＝35.①当点P′落在x 轴上时，过点D′作D′N⊥x 轴，垂足为点N ，交BD 于点M ，∠DBD′＝∠ND′P′＝∠PBP′. 如解图①，例2题解图①∵ND′－MD′＝2，即35(23m 2－43m)－(－45m)＝2； ∴m＝5(舍去)或m ＝－5；如解图②，例2题解图②∵ND′＋MD′＝2，即35(23m 2－43m)＋45m ＝2，∴m＝5或m ＝－5(舍去)，∴P(－5，45＋43)或P(5，－45＋43)．②当点P′落在y 轴上时，如解图③，过点D′作D′M⊥x 轴，交BD 于点M ，过点P′作P′N⊥y 轴，交MD′的延长线于点N ，例2题解图③∴∠DBD′＝∠ND′P′＝∠PBP′.∵P′N＝BM ，即45(23m 2－43m)＝35m ， ∴m＝258，∴P(258，1132)．1．(2014·河南)如图，抛物线y ＝－x 2＋bx ＋c 与x 轴交于点A(－1，0)，B(5，0)两点，直线y ＝－34x ＋3与y 轴交于点C ，与x 轴交于点D.点P 是x 轴上方的抛物线上一动点，过点P 作PF⊥x 轴于点F ，交直线CD 于点E.设点P 的横坐标为m. (1)求抛物线的解析式； (2)若PE ＝5EF ，求m 的值；(3)若点E′是点E 关于直线PC 的对称点，是否存在点P ，使点E′落在y 轴上？若存在，请直接写出相应的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．2．(2018·洛阳一模)如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2＋bx－2(a≠0)与x轴交于A(1，0)，B(3，0)两点，与y轴交于点C，其顶点为点D，点E的坐标为(0，－1)，该抛物线与BE交于另一点F，连接BC.(1)求该抛物线的解析式；(2)一动点M从点D出发，以每秒1个单位的速度沿与y轴平行的方向向上运动，连接OM，BM，设运动时间为t秒(t＞0)，在点M的运动过程中，当t为何值时，∠OMB＝90°？(3)在x轴上方的抛物线上，是否存在点P，使得∠PBF被BA平分？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．3．(2018·新野一模)已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋2经过A(－1，0)，B(2，0)，C 三点．直线y ＝mx ＋12交抛物线于A ，Q 两点，点P 是抛物线上直线AQ 上方的一个动点，作PF⊥x 轴，垂足为F ，交AQ 于点N. (1)求抛物线的解析式；(2)如图①，当点P 运动到什么位置时，线段PN ＝2NF ，求出此时点P 的坐标；(3)如图②，线段AC 的垂直平分线交x 轴于点E ，垂足为D ，点M 为抛物线的顶点，在直线DE 上是否存在一点G ，使△CMG 的周长最小？若存在，请求出点G 的坐标；若不存在，请说明理由．图①图②4．如图①，抛物线y＝ax2＋bx＋3(a≠0)与x轴交于点A(－1，0)，B(3，0)，与y轴交于点C，连接BC.(1)求抛物线的表达式；(2)抛物线上是否存在点M，使得△MBC的面积与△OBC的面积相等，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由；(3)点D(2，m)在第一象限的抛物线上，连接BD.在对称轴左侧的抛物线上是否存在一点P，满足∠PBC＝∠DBC？如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．第4题图备用图类型三特殊图形判定问题(2018·河南)如图，抛物线y ＝ax 2＋6x ＋c 交x 轴于A ，B 两点，交y 轴于点C ，直线y ＝x －5经过点B ，C.(1)求抛物线的解析式；(2)过点A 的直线交直线BC 于点M.①当AM⊥BC 时，过抛物线上一动点P(不与点B ，C 重合)，作直线AM 的平行线交直线BC 于点Q.若以点A ，M ，P ，Q 为顶点的四边形是平行四边形，求点P 的横坐标；②连接AC ，当直线AM 与直线BC 的夹角等于∠ACB 的2倍时，请直接写出点M 的坐标．例3题图备用图【分析】 (1)利用一次函数解析式确定C(0，－5)，B(5，0)，然后利用待定系数法求抛物线的解析式； (2)①先解方程－x 2＋6x －5＝0得A(1，0)，再判断△OCB 为等腰直角三角形得到∠OBC＝∠OCB＝45°，则△AMB 为等腰直角三角形，所以AM ＝22，接着根据平行四边形的性质得到PQ ＝AM ＝22，PQ⊥BC，作PD⊥x 轴交直线BC 于D ，如解图①，利用∠PDQ＝45°得到PD ＝2PQ ＝4.设P(m ，－m 2＋6m －5)，则D(m ，m －5)，讨论：当P 点在直线BC 上方时，PD ＝－m 2＋6m －5－(m －5)＝4；当P 点在直线BC 下方时，PD ＝m －5－(－m 2＋6m －5)，然后分别解方程即可得到P 点的横坐标；②作AN⊥BC 于N ，NH⊥x 轴于H ，作AC 的垂直平分线交BC 于M 1，交AC 于E ，如解图②，利用等腰三角形的性质和三角形外角性质得到∠AM 1B ＝2∠ACB，再确定N(3，－2)，AC 的解析式为y ＝5x －5，E 点坐标为(12，－52)，利用两直线垂直的问题可设直线EM 1的解析式为y ＝－15x ＋b ，把E(12，－52)代入求出b 得到直线EM 1的解析式为y ＝－15x －125，则解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －5，y ＝－15x －125，得M 1点的坐标；在直线BC 上作点M 1关于N 点的对称点M 2，如解图②，利用对称性得到∠AM 2C ＝∠AM 1B ＝2∠ACB，设M 2(x ，x －5)，根据中点坐标公式得到3＝136＋x 2，然后求出x 即可得到点M 2的坐标，从而得到满足条件的点M 的坐标．【自主解答】解：(1)当x ＝0时，y ＝x －5＝－5；当y ＝x －5＝0时，x ＝5 ∴B(5，0)，C(0，－5)．将B ，C 两点的坐标代入y ＝ax 2＋6x ＋c 中，得⎩⎪⎨⎪⎧0＝25a ＋30＋c ，c ＝－5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，c ＝－5， ∴抛物线的解析式为y ＝－x 2＋6x －5.(2)①解方程－x 2＋6x －5＝0得x 1＝1，x 2＝5，则A(1，0)， ∵B(5，0)，C(0，－5)， ∴△OCB 为等腰直角三角形， ∴∠OBC＝∠OCB＝45°. ∵AM⊥BC，∴△AMB 为等腰直角三角形， ∴AM＝22AB ＝22×4＝2 2. ∵以点A ，M ，P ，Q 为顶点的四边形是平行四边形，AM∥PQ ∴PQ＝AM ＝22，PQ⊥BC，作PD⊥x 轴交直线BC 于D ，如解图①，则∠PDQ＝45°， ∴PD＝2PQ ＝4，设P(m ，－m 2＋6m －5)，则D(m ，m －5)．当P 点在直线BC 上方时，PD ＝－m 2＋6m －5－(m －5)＝－m 2＋5m ＝4，解得m 1＝1，m 2＝4. 当P 点在直线BC 下方时；PD ＝m －5－(－m 2＋6m －5)＝m 2－5m ＝4，解得m 1＝5＋412，m 2＝5－412.综上所述，P 点的横坐标为4或5＋412或5－412.②作AN⊥BC 于N ，NH⊥x 轴于H ，作AC 的垂直平分线交BC 于M 1，交AC 于E ，如解图②. ∵M 1A ＝M 1C ， ∴∠ACM 1＝∠CAM 1， ∴∠AM 1B ＝2∠ACB.∵△ANB 为等腰直角三角形，∴AH＝BH ＝NH ＝2， ∴N(3，－2)，易得AC 的解析式为y ＝5x －5，E 点坐标为(12，－52)，设直线EM 1的解析式为y ＝－15x ＋b ，把E(12，－52)代入，得110＋b ＝－52，解得b ＝－125，∴直线EM 1的解析式为y ＝－15x －512，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －5，y ＝－15x －125，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝136，y ＝－176，，则M 1(136，－176)；作直线BC 上作点M 1关于N 点的对称点M ，如解图②，则∠AM 2C ＝2∠ACB，设M 2(x ，x －5)， ∵3＝136＋x 2，∴x＝236，∴M 2(236，－76)．图①图② 例3题解图1．(2013·河南)如图，抛物线y ＝－x 2＋bx ＋c 与直线y ＝12x ＋2交于C ，D 两点，其中点C 在y 轴上，点D 的坐标为(3，72)，点P 是y 轴右侧的抛物线上一动点，过点P 作PE⊥x 轴于点E ，交CD 于点F.(1)求抛物线的解析式；(2)若点P 的横坐标为m ，当m 为何值时，以O ，C ，P ，F 为顶点的四边形是平行四边形？请说明理由； (3)若存在点P ，使∠PCF＝45°，请直接写出相应的点P 的坐标．第1题图备用图2．(2017·河南名校模拟)如图，二次函数y＝x2＋bx＋c的图象经过A(－1，0)和B(3，0)两点，且交y 轴于点C，M为抛物线的顶点．(1)求这个二次函数的表达式；(2)若将该二次函数图象向上平移m(m＞0)个单位，使平移后得到的二次函数图象的顶点落在△BOC的内部(不包含边界)，求m的取值范围；(3)点P是抛物线上一动点，PQ∥BC交x轴于点Q，当以点B，C，P，Q为顶点的四边形是平行四边形时，求点P的坐标．3．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于A(－1，0)、B两点，其顶点为(1，－4)，直线y＝x－2与x轴交于点D，与y轴交于点C，点P是x轴下方的抛物线上一动点，过P点作PF⊥x 轴于点F，交直线CD于点E，设点P的横坐标为m.(1)求抛物线的解析式；(2)若PE＝3EF，求m的值；(3)连接PC，是否存在点P，使△PCE是以PE为底边的等腰三角形？若存在，请直接写出m的值；若不存在，请说明理由．参考答案类型一针对训练1．解：(1)∵边长为8的正方形OABC 的两边在坐标轴上，以点C 为顶点的抛物线经过点A ， ∴C(0，8)，A(－8，0)，设抛物线的解析式为：y ＝ax 2＋c ，则⎩⎪⎨⎪⎧c ＝8，64a ＋c ＝0，解得：⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－18，c ＝8，故抛物线的解析式为：y ＝－18x 2＋8.(2)正确，理由：设P(a ，－18a 2＋8)，则F(a ，8)，∵D(0，6)， ∴PD＝a 2＋（18a 2－2）2＝（18a 2＋2）2＝18a 2＋2. ∵PF＝8－(－18a 2＋8)＝18a 2，∴PD－PF ＝2；(3)在点P 运动时，DE 大小不变，则PE 与PD 的和最小时，△PDE 的周长最小， ∵PD－PF ＝2，∴PD＝PF ＋2， ∴PE＋PD ＝PE ＋PF ＋2，第1题解图①∴如解图①，当P 、E 、F 三点共线时，PE ＋PF 最小，此时点P ，E 的横坐标都为－4，将x ＝－4代入y ＝－18x 2＋8，得y ＝6，∴P(－4，6)，此时△PDE 的周长最小，且△PDE 的面积为12，点P 恰为“好点， ∴△PDE 的周长最小时“好点”的坐标为(－4，6) 由(2)得：P(a ，－18a 2＋8)，∵点D 、E 的坐标分别为(0，6)，(－4，0)，第1题解图②①如解图②，当－4≤a＜0时，S △PDE ＝S △PEO ＋S △POD －S △DOE ＝12×4×(－18a 2＋8)＋12×6×(－a)－12×4×6＝－14a 2－3a ＋4＝－14(a ＋b)2＋13，∴4＜S △PDE ≤12. ②当a ＝0时，S △PDE ＝4；第1题解图③③如解图③，过点P 作PN⊥x 轴于点N ，当－8＜a ＜－4时， S △PDE ＝S 梯形PNOD －S △PNE －S △DOE＝(－18a 2＋8＋6)×(－a)×12－12×4×6－(－a －4)×(－18a 2＋8)×12＝－14a 2－3a ＋4＝－14(a ＋b)2＋13，∴12＜S △PDE ≤13；④当a ＝－8时，S △PDE ＝12，∴△PDE 的面积可以等于4到13的所有整数，在面积为12时，a 的值有两个，∴面积为整数时好点有11个，经过验证周长最小的好点包含这11个之内，∴“好点”共有11个．综上所述，共有11个，“好点”，P(－4，6)．2．解：(1)由y ＝－x 2＋4x －3可得点A 的坐标为(2，1)，将x ＝4代入y ＝－x 2＋4x －3，得y ＝－3， ∴B 点的坐标为(4，－3)，设抛物线L 2的解析式为y ＝a(x －4)2－3.将A(2，1)代入，得1＝a(2－4)2－3，解得a ＝1， ∴抛物线L 2的表达式为y ＝(x －4)2－3； (2)a 1＝－a 2，理由如下：∵抛物线L 1的顶点A 在抛物线L 2上，抛物线L 2的顶点B 在抛物线L 1上，∴可列方程组⎩⎪⎨⎪⎧n ＝a 2（m －h ）2＋k ，k ＝a 1（h －m ）2＋n ，整理，得(a 1＋a 2)(m －h)2＝0. ∵“伴随抛物线”的顶点不重合， ∴m≠h，∴a 1＝－a 2.(3)抛物线L 1：y ＝mx 2－2mx －3m 的顶点坐标为(1，－4m)，设抛物线L 2的顶点的横坐标为h ，则其纵坐标为mh 2－2mh －3m ，∴抛物线L 2的表达式为y ＝－m(x －h)2＋mh 2－2mh －3m ，化简，得y ＝－mx 2＋2mhx －2mh －3m ， ∴点D 的坐标为(0，－2mh －3m)，又∵点C 的坐标为(0，－3m)，∴|(－2mh －3m)－(－3m)|＝4m ，解得h ＝±2， ∴抛物线L 2的对称轴为直线x ＝±2.3．(1)解：设抛物线的解析式为y ＝a(x －2)2. 将点B 的坐标代入得4a ＝1，解得a ＝14.∴抛物线的解析式为y ＝14(x －2)2，即y ＝14x 2－x ＋1.(2)证明：设点P 的坐标为(m ，14(m －2)2)，∴PM＝14(m －2)2，M(m ，0)．依据两点间的距离公式可知PF ＝（m －2）2＋[14（m －2）2－1]2＝（m －2）2＋116（m －2）4－12（m －2）2＋1＝116（m －2）4＋12（m －2）2＋1＝[14（m －2）2＋1]2＝ 14(m －2)2＋1， ∴PF－PM ＝1.∴对于任意点P ，PF 与PM 的差为常数．(3)解：设直线CF 的解析式为y ＝kx ＋3，将点F 的坐标代入，得2k ＋3＝1，解得k ＝－1， ∴直线CF 的解析式为y ＝－x ＋3. 由两点间的距离公式可知CF ＝2 2. ∵a＝1， ∴2a＝2.设在△PCF 中，边CF 的上的高线长为x ，则12×22x ＝2，解得x ＝ 2.如解图，过点C 作CG⊥CF，取CG ＝ 2.则点G 的坐标为(－1，2)．第3题解图过点G 作GH∥FC，设直线GH 的解析式为y ＝－x ＋b ，将点G 的坐标代入，得1＋b ＝2，解得b ＝1， ∴直线GH 的解析式为y ＝－x ＋1，令－x ＋1＝14(x －2)2，解得x ＝0，∴△PCF 的一个巧点的坐标为(0，1)．显然，直线GH 在CF 的另一侧时，直线GH 与抛物线有两个交点． ∵F，C 为定点， ∴CF 的长度不变，∴当PC ＋PF 最小时，△PCF 的周长最小． ∵PF－PM ＝1， ∴PC ＋PF ＝PC ＋PM ＋1，∴当C 、P 、M 在一条直线上时，△PCF 的周长最小． ∴此时P(0，1)．综上所述，△PCF 的巧点有3个，△PCF 的周长最小时，“巧点”的坐标为(0，1)． 4．解：(1)∵直线l ：y ＝34x ＋m 经过点B(0，－1)，∴m＝－1，∴直线l 的解析式为y ＝34x －1.∵直线l ：y ＝34x －1经过点C ，且点C 的横坐标为4，∴y＝34×4－1＝2.∵抛物线y ＝12x 2＋bx ＋c 经过点C(4，2)和点B(0，－1)，∴⎩⎪⎨⎪⎧12×42＋4b ＋c ＝2c ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－54c ＝－1， ∴抛物线的解析式为y ＝12x 2－54x －1；(2)令y ＝0，则34x －1＝0，解得x ＝43，∴点A 的坐标为(43，0)，∴OA＝43.在Rt△OAB 中，OB ＝1， ∴AB＝OA 2＋OB 2＝（43）2＋12＝53. ∵DE∥y 轴， ∴∠ABO＝∠DEF，在矩形DFEG 中，EF ＝DE·cos∠DEF＝DE·OB AB ＝35DE ，DF ＝DE·sin∠DEF＝DE·OA AB ＝45DE ，∴l＝2(DF ＋EF)＝2(45＋35)DE ＝145DE.∵点D 的横坐标为t(0＜t ＜4)， ∴D(t，12t 2－54t －1)，E(t ，34t －1)，∴DE＝(34t －1)－(12t 2－54t －1)＝－12t 2＋2t ，∴l＝145×(－12t 2＋2t)＝－75t 2＋285t ，∵l＝－75(t －2)2＋285，且－75＜0，∴当t ＝2时，l 有最大值285.(3)“落点”的个数为4，如解图①，解图②，解图③，解图④所示．图①图②图③图④ 第4题解图如解图③，设点A 1的横坐标为m ，则点O 1的横坐标为m ＋43，∴12m 2－54m －1＝12(m ＋43)2－54(m ＋43)－1，解得m ＝712，如解图④，设点A 1的横坐标为m ，则点B 1的横坐标为m ＋43，B 1的纵坐标比点A 1的纵坐标大1，∴12m 2－54m －1＋1＝12(m ＋43)2－54(m ＋43)－1，解得m ＝43， ∴旋转180°时点A 1的横坐标为712或43.类型二针对训练1．解：(1)将点A ，B 的坐标代入抛物线解析式，得：⎩⎪⎨⎪⎧－1－b ＋c ＝0，－25＋5b ＋c ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝4，c ＝5， ∴抛物线的解析式为y ＝－x 2＋4x ＋5， (2)∵点P 的横坐标为m ，∴P(m，－m 2＋4m ＋5)，E(m ，－34m ＋3)，F(m ，0)，∴PE＝|y P －y E |＝|(－m 2＋4m ＋5)－(－34m ＋3)|＝|m 2＋194m ＋2|，EF ＝|y E －y F |＝|(－34m ＋3)－0|＝|－34m ＋3|，由题意，得PE ＝5EF ，即|－m 2＋194m ＋2|＝5|－34m ＋3|＝|－154m ＋15|.①若－m 2＋194m ＋2＝－154m ＋15，整理，得2m 2－17m ＋26＝0，解得m ＝2或m ＝132；②若－m 2＋194m ＋2＝－(－154m ＋15)，整理，得m 2－m －17＝0，解得m ＝1＋692或m ＝1－692.由题意，得m 的取值范围为－1＜m ＜5，故m ＝132，m ＝1－692这两个解不符合题意，∴m＝2或m ＝1＋692.(3)假设存在．作出示意图如解图：∵点E 、E′关于直线PC 对称， ∴∠1＝∠2，CE ＝CE′，PE ＝PE′. ∵PE 平行于y 轴，∴∠1＝∠3， ∴∠2＝∠3，∴PE＝CE ，∴PE＝CE ＝PE′＝CE′，即四边形PECE′是菱形．当四边形PECE′是菱形存在时，由直线CD 的解析式y ＝－34x ＋3，可得OD ＝4，OC ＝3，由勾股定理，得CD ＝5，过点E 作EM∥x 轴，交y 轴于点M ，易得△CEM∽△CDO， ∴ME OD ＝CE CD ，即|m|4＝CE 5，解得CE ＝54|m|， ∴PE＝CE ＝54|m|，又由(2)可知：PE ＝|－m 2＋194m ＋2|，∴|－m 2＋194m ＋2|＝54|m|.①若－m 2＋194m ＋2＝54m ，整理，得2m 2－7m －4＝0，解得m ＝4或m ＝－12；②若－m 2＋194m ＋2＝－54m ，整理，得m 2－6m －2＝0，解得m 1＝3＋11，m 2＝3－11.由题意，得m 的取值范围为－1＜m ＜5，故m ＝3＋11这个解舍去，当四边形PECE′是菱形这一条件不存在时，此时P 点横坐标为0，E ，C ，E′三点重合于y 轴上，也符合题意， ∴P(0，5)．综上所述，存在满足条件的点P ，可求得点P 的坐标为(0，5)或(－12或114)或(4，5)或(3－11，211－3)．第1题解图2．解：(1)∵抛物线y ＝ax 2＋bx －2(a≠0)与x 轴交于A(1，0)，B(3，0)两点， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b －2＝0，9a ＋3b －2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－23，b ＝83， ∴抛物线的解析式为y ＝－23x 2＋83x －2；(2)如解图①，由(1)知y ＝－23x 2＋83x －2＝－23(x －2)2＋23；∵D 为抛物线的顶点， ∴D(2，23)．∵一动点M 从点D 出发，以每秒1个单位的速度沿平行与y 轴平行的方向向上运动， ∴设M(2，m)(m ＞23)，∴OM 2＝m 2＋4，BM 2＝m 2＋1，OB 2＝9. ∵∠OMB＝90°， ∴OM 2＋BM 2＝OB 2， ∴m 2＋4＋m 2＋1＝9，解得m ＝2或m ＝－2(舍去)， ∴M(2，2)， ∴MD＝2－23.∴t＝2－23；图①图② 第2题解图(3)存在点P ，使得∠PBF 被BA 平分，如解图②，∴∠PBO＝∠EBO， ∵E(0，－1)，∴在y 轴上取一点N(0，1)． ∵B(3，0)，∴直线BN 的解析式为y ＝－13x ＋1①.∵点P 在抛物线y ＝－23x 2＋83x －2②上，联立①②，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝13x ＋1，y ＝－23x 2＋83x －2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝32y ＝12，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3y ＝0，∴P(32，12)．3．解：(1)∵抛物线y ＝ax 2＋bx ＋2经过A(－1，0)，B(2，0)，∴将点A 和点B 的坐标代入，得⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＋2＝0，4a ＋2b ＋2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝1， ∴抛物线的解析式为y ＝－x 2＋x ＋2.(2)直线y ＝mx ＋12交抛物线与A ，Q 两点，把A(－1，0)代入解析式，得m ＝12，∴直线AQ 的解析式为y ＝12x ＋12.设点P 的横坐标为n ，则P(n ，－n 2＋n ＋2)，N(n ，12n ＋12)，F(n ，0)，∴PN＝－n 2＋n ＋2－(12n ＋12)＝－n 2＋12n ＋32，NF ＝12n ＋12.∵PN＝2NF ，∴－n 2＋12n ＋32＝2×(12n ＋12)，解得n ＝－1或12.当n ＝－1时，点P 与点A 重合，不符合题意舍去． ∴点P 的坐标为(12，94)．(3)∵y＝－x 2＋x ＋2，＝－(x －12)2＋94，∴M(12，94)．如解图所示，连接AM 交直线DE 与点G ，连接CG ，CM 此时，△CMG 的周长最小．第3题解图设直线AM 的函数解析式为y ＝kx ＋b ，且过A(－1，0)，M(12，94)，根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧－k ＋b ＝0，12k ＋b ＝94，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝32，b ＝32.∴直线AM 的函数解析式为y ＝32x ＋32.∵D 为AC 的中点， ∴D(－12，1)．设直线AC 的解析式为y ＝kx ＋2，将点A 的坐标代入，得－k ＋2＝0，解得k ＝2， ∴直线AC 的解析式为y ＝2x ＋2.设直线DE 的解析式为y ＝－12x ＋c ，将点D 的坐标代入，得14＋c ＝1，解得c ＝34，∴直线DE 的解析式为y ＝－12x ＋34.将y ＝－12x ＋34与y ＝32x ＋32联立，解得x ＝－38，y ＝1516，∴在直线DE 上存在一点G ，使△CMG 的周长最小，此时G(－38，1516)．4．解：(1)∵抛物线y ＝ax 2＋bx ＋3(a≠0)与x 轴交于点A(－1，0)，B(3，0)，∴⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＋3＝0，9a ＋3b ＋3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝2，∴抛物线的表达式为y ＝－x 2＋2x ＋3； (2)存在．∵抛物线的表达式为y ＝－x 2＋2x ＋3， ∴点C 的坐标为(0，3)， ∵C(0，3)，B(3，0)，∴直线BC 的解析式为y ＝－x ＋3，∴过点O 与BC 平行的直线y ＝－x ，与抛物线的交点即为M ，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x ，y ＝－x 2＋2x ＋3，可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋212，y ＝－3－212，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3－212，y ＝－3＋212，∴M 1(3＋212，－3－212)，M 2(3－212，－3＋212)；第4题解图(3)存在．如解图，设BP 交y 轴于点G. ∵点D(2，m)在第一象限的抛物线上， ∴当x ＝2时，m ＝－22＋2×2＋3＝3， ∴点D 的坐标为(2，3)，把x ＝0代入y ＝－x 2＋2x ＋3，得y ＝3， ∴点C 的坐标为(0，3)， ∴CD∥x 轴，CD ＝2， ∵点B(3，0)， ∴OB＝OC ＝3， ∴∠OBC＝∠OCB＝45°. ∴∠DCB＝∠OBC＝∠OCB＝45°，又∵∠PBC＝∠DBC，BC ＝BC ， ∴△CGB≌△CDB(ASA)， ∴CG ＝CD ＝2. ∴OG＝OC －CG ＝1，∴点G 的坐标为(0，1)，设直线BP 的解析式为y ＝kx ＋1，将B(3，0)代入，得3k ＋1＝0，解得k ＝－13， ∴直线BP 的解析式为y ＝－13x ＋1，令－13x ＋1＝－x 2＋2x ＋3，解得x 1＝－23，x 2＝3， ∵点P 是抛物线对称轴x ＝－b 2a＝1左侧的一点，即x ＜1， ∴x＝－23，把x ＝－23代入抛物线y ＝－x 2＋2x ＋3中，解得y ＝119， ∴当点P 的坐标为(－23，119)时，满足∠PBC＝∠DBC. 类型三针对训练1．解：(1)在直线解析式y ＝12x ＋2中，令x ＝0，得y ＝2， ∴C(0，2)．∵点C(0，2)，D(3，72)在抛物线y ＝－x 2＋bx ＋c 上， ∴⎩⎪⎨⎪⎧c ＝2，－9＋3b ＋c ＝72，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝72，c ＝2，∴抛物线的解析式为y ＝－x 2＋72x ＋2.图①图②第1题解图(2)∵PF∥OC，且以O ，C ，P ，F 为顶点的四边形是平行四边形，∴PF＝OC ＝2，∴将直线y ＝12x ＋2沿y 轴上、下平移2个单位之后得到的直线，与抛物线y 轴右侧的交点即为所求，由解图①可以直观地看出，这样的交点有3个，将直线y ＝12x ＋2沿y 轴向上平移2个单位，得到直线y ＝12x ＋4，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝12x ＋4，y ＝－x 2＋72x ＋2，解得x 1＝1，x 2＝2；将直线y ＝12x ＋2沿y 轴向下平行移2个单位，得到直线y ＝12x ，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝12x ，y ＝－x 2＋72x ＋2，解得x 3＝3＋172，x 4＝3－172(不舍题意，舍去)， ∴m 3＝3＋172， ∴当m 的值为1或2或3＋172时，以O ，C ，P ，F 为顶点的四边形是平行四边形． (3)存在．理由：设点P 的横坐标为m ，则P(m ，－m 2＋72m ＋2)，F(m ，12m ＋2)如解图②所示，过点C 作CM⊥PE 于点M ，则CM ＝m ，EM ＝2，∴FM＝y F －EM ＝12m ， ∴tan∠CFM＝2，在Rt△CFM 中，由勾股定理，得CF ＝52m ，过点P 作PN⊥CD 于点N ，则PN ＝FN·tan∠PFN＝FN·tan∠CFM＝2FN.∵∠PCF＝45°，∴PN＝CN ，而PN ＝2FN ，∴FN＝CF ＝52m ，PN ＝2FN ＝5m. 在Rt△PFN 中，由勾股定理，得PF ＝FN 2＋PN 2＝52m. ∵PF＝y P －y F ＝(－m 2＋72m ＋2)－(12m ＋2)＝－m 2＋3m ， ∴－m 2＋3m ＝－52m ，整理，得m 2－12m ＝0，解得m ＝0(舍去)或m ＝12， ∴P(12，72)；同理求得，另一点为P(236，1318)． ∴符合条件的点P 的坐标为(12，72)或(236，1318)． 2．解：(1)将点A 和点B 的坐标代入得：⎩⎪⎨⎪⎧1－b ＋c ＝09＋3b ＋c ＝0，解得：b ＝－2，c ＝－3.∴抛物线的解析式为y ＝x 2－2x －3.(2)∵y＝x 2－2x －3＝(x －1)2－4，∴M(1，－4)．把x ＝0代入抛物线的解析式得：y ＝－3，∴C(0，－3)．设直线BC 的解析式为y ＝kx ＋b ，则⎩⎪⎨⎪⎧3k ＋b ＝0，b ＝－3，解得：k＝1，b＝－3.∴直线BC的解析式为y＝x－3.把x＝1代入y＝x－3得y＝－2，∵平移后的抛物线的顶点坐标在△BOC的内部，∴－2＜－4＋m＜0，解得2＜m＜4.(3)当点P在点Q的上方时，由平行四边形的性质可知点P的纵坐标为3.把y＝3代入抛物的解析式x2－2x－3＝3，解得：x＝1＋7或x＝1－7.∴点P的坐标为(1＋7，3)或(1－7，3)．当点P在点Q的下方时，由平行四边形的性质可知点P的纵坐标为－3.把y＝－3代入抛物的解析式x2－2x－3＝－3，解得：x＝2或x＝0(舍去)．∴点P的坐标为(2，－3)．综上所述，当点P的坐标为(1－7，3)或(1＋7，3)或(2，－3)时，以点B，C，P，Q为顶点的四边形是平行四边形．3．解：(1)抛物线的顶点为(1，－4)，设抛物线的解析式为y＝a(x－1)2－4，把A(－1，0)代入，可得0＝a(－1－1)2－4，解得a＝1，∴抛物线的解析式为y＝(x－1)2－4 (或y＝x2－2x－3)；(2)设点P的横坐标是m，则P(m，m2－2m－3)，E(m，m－2)，F(m，0)，PE＝|y E－y P|＝|(m－2)－(m2－2m－3)|＝|－m2＋3m＋1|，EF＝|－m＋2|，由题意PE＝3EF，即：|－m2＋3m＋1|＝3|－m＋2|，①若－m2＋3m＋1＝3(－m＋2)，整理，得m2－6m＋5＝0，解得m＝1或m＝5，令y＝x2－2x－3＝0，解得x1＝－1，x2＝3，∴B(3，0)，∵点P在x轴下方，∴－1＜m＜3，∴m＝5不合题意，舍去，∴m＝1；②若－m2＋3m＋1＝－3(－m＋2)，整理，得m2－7＝0，解得：m＝7或m＝－7，∵点P在x轴下方，∴－1＜m＜3，m＝－7不合题意，舍去，∴m＝7，综上所述，m ＝1或m ＝7；(3)存在，m 的值为1＋55或1－52. 理由：直线y ＝x －2与y 轴的夹角为45°，∠PEC＝45°，当△PCE 是以PE 为底边的等腰三角形时，∠PCE＝90°，故直线PC 的解析式为y ＝－x －2，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x －2，y ＝x 2－2x －3，消掉y 得，x 2－x －1＝0，解得x ＝1＋52或1－52，所以点P 的横坐标m ＝1＋52或1－52.。

2019中考数学专题汇编全集二次函数与几何图形综合题

1. 如图，抛物线y ＝c ax ax +-22(a ≠0)与y 轴交于点C (0，4)，与x 轴交于点A 、B ，点A 坐标为(4，0)． (1)求抛物线的解析式；(2)抛物线的顶点为N ，在x 轴上找一点K ，使CK ＋KN 最小，并求出点K 的坐标；(3)已知D 是OA 的中点，点P 在第一象限的抛物线上，过点P 作x 轴的平行线，交直线AC 于点F ，连接OF ，DF .当OF ＝DF 时，求点P 的坐标．第1题图解：(1)∵抛物线y ＝ax 2－2ax ＋c 经过点A (4，0)，C (0，4)，∴,40816⎩⎨⎧==+-c c a a 解得,421⎪⎩⎪⎨⎧=-=c a ∴抛物线的解析式为y ＝－12x 2＋x ＋4；(2)y ＝－12x 2＋x ＋4＝－12(x －1)2＋92，∴N (1，92)，如解图①，作点C 关于x 轴的对称点C ′，则C ′(0，－4)，连接C ′N 交x 轴于点K ，则K 点即为使CK ＋KN 最小的K 点位置．第1题解图①设直线C ′N 的解析式为y ＝kx ＋b (k ≠0)，将点C ′(0，－4)，N (1，92)代入，得,294⎪⎩⎪⎨⎧=+-=b k b 解得⎪⎩⎪⎨⎧-==4217b k ∴直线C ′N 的解析式为y ＝172x －4，令y ＝0，即172x －4＝0，解得x ＝817，∴点K 的坐标为(817，0)；(3)如解图②，过F 作FM ⊥x 轴于M ， ∵D 是OA 的中点，第1题解图②∴D (2，0)， ∵OF ＝DF ， ∴OM ＝MD ，∴M (1，0)，∴点F 的横坐标是1.设直线AC 的解析式为y ＝mx ＋n ，将点A (4，0)，C (0，4)代入，得直线AC 的解析式为y ＝－x ＋4， ∴点F 的坐标为(1，3)，设P (t ，－122t ＋t ＋4)，则－122t ＋t ＋4＝3，解得t ＝1＋3或t ＝1－3(舍去)， ∴点P 的坐标为(1＋3，3)．2.如图，抛物线cbxaxy++=2与x轴交于点A和点B(1，0)，与y轴交于点C(0，3)，其对称轴l为x＝－1.(1)求抛物线的解析式并写出其顶点坐标；(2)若动点P在第二象限内的抛物线上，动点N在对称轴l上．①当P A⊥NA，且P A＝NA时，求此时点P的坐标；②当四边形P ABC的面积最大时，求四边形P ABC面积的最大值及此时点P的坐标．第2题图解：(1)∵抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于点B(1，0)，与y轴交于点C(0，3)，其对称轴l为直线x＝－1，∴抛物线的解析式为y＝－x2－2x＋3＝－(x＋1)2＋4，∴顶点坐标为(－1，4)；(2)令y＝－x2－2x＋3＝0，解得x1＝－3，x2＝1，∴点A(－3，0)，如解图，作PD⊥x轴于点D，对称轴l与x轴交于点Q，连接AC、OP，第2题解图∵点P在y＝－x2－2x＋3上，∴设点P(x，－x2－2x＋3)，①∵P A ⊥NA ，且P A ＝NA ，∴∠P AD ＋∠APD ＝∠P AD ＋∠NAQ ＝90°， ∴∠APD ＝∠NAQ ，又∵∠PDA ＝∠AQN ＝90°， ∴△P AD ≌△ANQ (AAS )， ∴PD ＝AQ ，即－x 2－2x ＋3＝2，解得x 1＝2－1(舍去)，x 2＝－2－1， ∴P (－2－1，2)；②∵△ABC 的面积为定值，∴△APC 面积最大时，四边形P ABC 面积最大， ∵S AOC △＝12×3×3＝92，S OCP △＝32|x |＝－32x ，S OAP △＝12×3×|y p |＝－32x 2－3x ＋92，∴S APC △＝S OAP △＋S OCP △－S AOC △ ＝－32x 2－3x ＋92－32x －92＝－32(x ＋32)2＋278，∴当x ＝－32时，S APC △取得最大值，最大值为278，此时P (－32，154)，∴S PABC 四边形＝S ABC △＋S APC △＝12×4×3＋278＝758，∴四边形P ABC 面积的最大值为758，此时点P 的坐标为(－32，154)．3.在直角坐标系xOy 中，A (0，2)、B (－1，0)，将△ABO 经过旋转、平移变化后得到如图所示的△BCD .(1)求经过A ，B ，C 三点的抛物线的解析式；(2)连接AC ，点P 是位于线段BC 上方的抛物线上一动点，若直线PC 将△ABC 的面积分成1∶3两部分，求此时点P 的坐标； (3)现将△ABO 、△BCD 分别向下、向左以1∶2的速度同时平移，求出在此运动过程中△ABO 与△BCD 重叠部分面积的最大值．第3题图解：(1)∵A (0，2)、B (－1，0)，将△ABO 经过旋转、平移变化得到△BCD ， ∴BD ＝OA ＝2，CD ＝OB ＝1，∠BDC ＝∠AOB ＝90°， ∴C ()1，1，设经过A ，B ，C 三点的抛物线的解析式为y ＝a 2x ＋bx ＋c ，则,210⎪⎩⎪⎨⎧==++=+-c c b a c b a ，解得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==-=22123c b a ，∴经过A 、B 、C 三点的抛物线的解析式为y ＝－322x ＋12x ＋2；(2)如解图①，设直线PC 与AB 交于点E ，∵直线PC 将△ABC 的面积分成1∶3两部分，第3题解图①∴BE AE ＝13或BEAE＝3，过点E 作EF ⊥OB 于点F ，则EF ∥OA ， ∴△BEF ∽△BAO ，∴BO BFBA BE AO EF ==， ∴当BE AE ＝13时，2EF ＝34＝1BF ，∴EF ＝32，BF ＝34，∴点E 的坐标为(－14，32)．设直线PC 的解析式为y ＝mx ＋n ，由E ，C 两点坐标可求得其解析式为y ＝－25x ＋75，∴－32x 2＋12x ＋2＝－25x ＋75，∴x 1＝－25，x 2＝1(舍去)，∴点P 的坐标为(－25，3925)，当BEAE ＝3时，同理可得点P 的坐标为(－67，2349)；(3)设△ABO 平移的距离为t ，△111O B A 与△112D C B 重叠部分的面积为S ，可由已知求出直线A 1B 1的解析式为y ＝2x ＋2－t ，11B A 与x 轴的交点坐标为(22-t ，0)．直线21B C 的解析式为y ＝12x ＋t ＋12，21B C 与y 轴交点坐标为(0，t ＋12).①如解图②所示，当0<t <35时，△111O B A 与△112D C B 重叠部分为四边形．第3题解图②设11B A 与x 轴交于点M ，21B C 与y 轴交于点N ，11B A 与21B C 交于点Q ，连接OQ ，由⎪⎩⎪⎨⎧++=-+=t x y t x y 212122，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=35334t y t x ， ∴点Q 的坐标为(334-t ，35t)， ∴S ＝S QMO △＋S QNO △ ＝343)21(21352221tt t t -⨯+⨯+⨯-⨯＝－1312t 2＋t ＋14，∵－1312＜0，∴S 最大值=ab ac 442-＝2552；②如解图③所示，当35≤t<45时，△111O B A 与△112D C B 重叠部分为直角三角形.第3题解图③设11B A 与x 轴交于点H , 11B A 与11D C 交于点G ，则G (1－2t ，4－5t )，1D H ＝22t -＋1－2t ＝254t -，1D G ＝4－5t ， ∴S ＝121D H ·1D G ＝25421t -⨯(4－5t )＝14(4－5t )2，∴当35≤t<45时，S 的最大值为14，综上所述，在此运动过程中△ABO 与△BCD 重叠部分面积的最大值为2552.4.如图，抛物线c bx ax y ++=2的图象与x 轴分别交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，其中点A (－1，0)、C (0，5)、D (1，8)在抛物线上，M 为抛物线的顶点． (1)求抛物线的解析式； (2)求△MCB 的面积；(3)在抛物线上是否存在点P ，使△P AB 的面积等于△MCB 的面积？若存在，求出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．第4题图解：(1)∵A (－1，0)，C (0，5)，D (1，8)三点在抛物线y ＝c bx x ++2a 上，∴,850⎪⎩⎪⎨⎧++==+-=c b a cc b a 解得,541⎪⎩⎪⎨⎧==-=c b a ， ∴抛物线的解析式为y ＝－2x ＋4x ＋5； (2)如解图，过点M 作MN ∥y 轴交BC 于点N ，第4题解图∴S MCB △＝S MCN △＋S MNB △＝12MN ·OB .∵y ＝－2x ＋4x ＋5 ＝－(x －5)(x ＋1) ＝－(x －2)2＋9，∴M (2，9)，B (5，0)，由B ，C 两点的坐标易求得直线BC 的解析式为：y ＝－x ＋5，当x ＝2时，y ＝－2＋5＝3，则N (2，3)，则MN ＝9－3＝6，则S MCB △＝12×6×5＝15；(3)在抛物线上存在点P ，使△P AB 的面积等于△MCB 的面积． ∵A (－1，0)，B (5，0)， ∴AB ＝6，∵S PAB △＝S MCB △，∴12×6×|p y |＝15， ∴|p y |＝5，即p y ＝±5. 当p y ＝5时，－2x ＋4x ＋5＝5，解得1x ＝0，2x ＝4；当p y ＝－5时，－2x ＋4x ＋5＝－5，解得3x ＝2＋14，4x ＝2－14.故在抛物线上存在点1P (0，5)，2P (4，5)，3P (2＋14，－5)，4P (2－14，－5)，使△P AB 的面积等于△MCB 的面积．5.如图，已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋4(a ≠0)的对称轴为直线x ＝3，抛物线与x 轴相交于A ，B 两点，与y 轴相交于点C ，已知B 点的坐标为(8，0)．(1)求抛物线的解析式；(2)点M 为线段BC 上方抛物线上的一点，点N 为线段BC 上的一点，若MN ∥y 轴，求MN 的最大值；(3)在抛物线的对称轴上是否存在点Q ，使△ACQ 为等腰三角形？若存在，求出符合条件的Q 点坐标；若不存在，请说明理由．第5题图解：(1)根据题意得，ab2 ＝3，即b ＝－6a ，则抛物线的解析式为y ＝ax 2－6ax ＋4，将B (8，0)代入得，0＝64a －48a ＋4，解得a ＝－14，b ＝32，∴抛物线的解析式为y ＝－14x 2＋32x ＋4；(2)设直线BC 的解析式为y ＝kx ＋d ，由抛物线解析式可知：当x ＝0时，y ＝4，即点C (0，4)，将B (8，0)，C (0，4)代入得,48⎩⎨⎧==+d d k 解得,421⎪⎩⎪⎨⎧=-=d k ∴直线BC 的解析式为y ＝－12x ＋4，设点M 的横坐标为x (0＜x ＜8)，则点M 的纵坐标为－14x 2＋32x ＋4，点N 的纵坐标为－12x ＋4，∵点M 在抛物线上，点N 在线段BC 上，MN ∥y 轴， ∴MN ＝－14x 2＋32x ＋4－(－12x ＋4)＝－14x 2＋32x ＋4＋12x －4＝－14x 2＋2x＝－14(x －4)2＋4，∴当x ＝4时，MN 的值最大，最大值为4；(3)存在．如解图，过点C 作CD ⊥对称轴于点D ，连接AC . 令－14x 2＋32x ＋4＝0，解得x 1＝－2，x 2＝8， ∴A (－2，0)，又∵C (0，4)，由勾股定理得，AC ＝2242+＝25，第5题解图∵抛物线对称轴为直线x ＝3，则CD ＝3，D (3，4)． ①当AC ＝CQ 时，DQ ＝22CD CQ -＝223)52(-＝11，当点Q 在点D 的上方时，点Q 到x 轴的距离为4＋11，此时，点Q 1(3，4＋11)，当点Q 在点D 的下方时，点Q 到x 轴的距离为4－11，此时，点Q 2(3，4－11)；②当AQ ＝CQ 时，点Q 为对称轴与x 轴的交点，AQ ＝5，CQ ＝2243+＝5，此时，点Q 3(3，0)； ③当AC ＝AQ 时，∵AC ＝25，点A 到对称轴的距离为5，25＜5， ∴不可能在对称轴上存在Q 点使AC ＝AQ ，综上所述，当点Q 的坐标为(3，4＋11)或(3，4－11)或(3，0)时，△ACQ 为等腰三角形．6.如图，一次函数y ＝23x －4与x 轴交于点B ，与y 轴交于点C .经过点B 、C 的抛物线c bx ax y ++=2也经过点A (－2，0)． (1)求抛物线的解析式；(2)点M 是线段AB 上的一个动点，过点M 作MN ∥BC ，交AC 于点N ，连接CM ，当△CMN 的面积最大时，求点M 的坐标；(3)点D (4，k )在抛物线上，点F 为抛物线上一动点，在y 轴上是否存在点E ，使以A 、D 、E 、F 为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有满足条件的点E ，F 的坐标；若不存在，请说明理由．第6题图解：(1)由y ＝23x －4可知B (6，0)，C (0，－4)，设抛物线的解析式为y ＝a (x ＋2)(x －6)，将点C 的坐标代入，求得a ＝13，∴抛物线的解析式为y ＝132x －43x －4；(2)设点M 的坐标为(m ，0)，过点N 作NH ⊥x 轴于点H ，如解图①，第6题解图①∵点A 的坐标为(－2，0)，点B 的坐标为(6，0)， ∴AB ＝8，AM ＝m ＋2， ∵MN ∥BC ，∴△AMN ∽△ABC ， ∴AB AM CO NH = ∴824+=m NH ， ∴NH ＝22+m ， ∴S CMN △＝S ACM △－S AMN △＝12AM ·CO －12AM ·NH＝12(m ＋2)(4－22+m ) ＝－14m 2＋m ＋3＝－14(m －2)2＋4，∴当m ＝2时，S CMN △有最大值为4，此时，点M 的坐标为(2，0)； (3)∵点D (4，k )在抛物线 y ＝13x 2－43x －4上， ∴当x ＝4时，y ＝－4， ∴D (4，－4)，设点F 的坐标为(m ，n )，点E 的坐标为(0，t )，由题意得：①若AF 为平行四边形的边，如解图②，则有：第6题解图②,⎩⎨⎧-=--=-A E F D AE F D x x x x y y y y 即,24-4-⎩⎨⎧=-=m t n∵n ＝13m 2－43m －4，∴,2443431-4-2⎪⎩⎪⎨⎧=-=++m t m m 解得：m ＝2，n ＝－163，t ＝43.∴1E (0，43)，1F (2，－163)；②若AF 为平行四边形的对角线，如解图③，则有：第6题解图③,⎩⎨⎧-=--=-AE DF AE DF x x x x y y y y 即,244⎩⎨⎧=-=+m tn∵n ＝13m 2－43m －4，∴,244434312⎪⎩⎪⎨⎧=-=+--m t m m 解得m ＝6，n ＝0，t ＝4， ∴2E (0，4)，2F (6，0)，综上所述，存在1E (0，43)，1F (2，－163)或2E (0，4)，2F (6，0)使得以A 、D 、E 、F 为顶点的四边形为平行四边形．7.如图，抛物线y ＝－x 2＋bx ＋c 经过A (－1，0)，B (3，0)两点，且与y 轴交于点C ，点D 是抛物线的顶点，抛物线的对称轴DE 交x 轴于点E ，连接BD .(1)求经过A ，B ，C 三点的抛物线的函数表达式；(2)点P 是线段BD 上一点，当PE ＝PC 时，求点P 的坐标； (3)在(2)的条件下，过点P 作PF ⊥x 轴于点F ，G 为抛物线上一动点，M 为x 轴上一动点，N 为直线PF 上一动点，当以F 、M 、N 、G 为顶点的四边形是正方形时，请求出点M 的坐标．第7题图解：(1)∵抛物线y ＝－x 2＋bx ＋c 经过A (－1，0)，B (3，0)两点，∴,0390-1-⎩⎨⎧=++-=+c b c b 解得,32⎩⎨⎧==c b∴经过A ，B ，C 三点的抛物线的函数表达式为y ＝－x 2＋2x ＋3； (2)如解图①，连接PC 、PE.第7题解图①∵抛物线对称轴为直线 x ＝－a b 2＝）（1-22⨯-＝1， ∴当x ＝1时，y ＝－1＋2＋3＝4， ∴点D 的坐标为(1，4)，设直线BD 的解析式为：y ＝mx ＋n (m ≠0)，将B (3，0)和D (1，4)分别代入，得，⎩⎨⎧+=+=n m n m 430解得⎩⎨⎧=-=62n m ，则y ＝－2m ＋6，设点P 坐标为(m ，－2m ＋6)， ∵C (0，3)，E (1，0)， ∴由勾股定理可得：PC 2＝m 2＋[3－(－2m ＋6)]2， PE 2＝(m －1)2＋(－2m ＋6)2，又∵PC ＝PE ，∴m 2＋(3＋2m －6)2＝(m －1)2＋(－2m ＋6)2，解得m ＝2，则-2m+6＝－2×2＋6＝2， ∴点P 坐标为(2，2)；(3)依题意可设点M 坐标为(a ，0)，则点G 坐标为(a ，－a 2＋2a ＋3)．如解图②，以F 、M 、N 、G 为顶点的四边形是正方形时，必有FM ＝MG ，第7题解图②|2－a |＝|－a 2＋2a ＋3|， ①2－a ＝－(－a 2＋2a ＋3)，解得a ＝1±212，②2－a ＝－a 2＋2a ＋3，解得a ＝3±132，∴M 点的坐标为(1－212，0)，(1＋212，0)，(3－132，0)，(3＋132，0)．8.如图①，经过原点O 的抛物线y ＝ax 2＋bx (a ≠0)与x 轴交于另一个点A (32，0)，在第一象限内与直线y ＝x 交于点B (2，t )．(1)求这条抛物线的表达式；(2)在第四象限内的抛物线上有一点C ，满足以B ，O ，C 为顶点的三角形的面积为2，求点C 的坐标；(3)如图②，若点M 在这条抛物线上，且∠MBO ＝∠ABO ，在(2)的条件下，是否存在点P ，使得△POC ∽△MOB ？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．第8题图解：(1)把B (2，t )代入y ＝x 得t ＝2， ∴B (2，2)，把A (32，0)，B (2，2)代入y ＝bx ax +2得：⎪⎩⎪⎨⎧=+=+22402349b a b a ，解得⎩⎨⎧-==32b a ，∴抛物线的表达式为y ＝22x －3x ； (2)设点C 坐标为(x ，2x 2－3x )，如解图①，过点C 作CQ ⊥y 轴于点Q ，过点B 作BF ⊥y 轴于点F ，第8题解图①则S BOC △＝S CQFB 四边形－S BOF △－S COQ △，即2)]32(2)[2(2x x x --+－12×2×2－12x (－2x 2＋3x )＝2，解得x ＝1.把x ＝1代入y ＝2x 2－3x ，得y ＝2－3＝－1， ∴C (1，－1)；(3)如解图②，连接OM ，AB ，设MB 交y 轴于点N ，第8题解图②∵B (2，2)，∴∠AOB ＝∠NOB ＝45°，在△AOB 和△NOB 中， ⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠NBO ABO OBOB NOB AOB ， ∴△AOB ≌△NOB (ASA )， ∴ON ＝OA ＝32，∴N (0，32)，设直线BN 表达式为y ＝kx ＋32，把B 点坐标代入可得2＝2k ＋32，解得k ＝14，∴直线BN 的表达式为y ＝14x ＋32，联立直线BN 和抛物线表达式可得⎪⎩⎪⎨⎧-=+=x x y x y 3223412，解得⎩⎨⎧==22y x 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=324583y x ， ∴M (－38，4532)，∵C (1，－1)，∴∠COA ＝∠AOB ＝45°，且B (2，2)， ∴OB ＝22，OC ＝2， ∵△POC ∽△MOB ，∴OCOB OPOM =＝2，∠POC ＝∠BOM ，当点P 在第一象限时，如解图③，过M 作MG ⊥y 轴于点G ，过P 作PH ⊥x 轴于点H ，第8题解图③∵∠COA ＝∠BOG ＝45°，∠POC ＝∠BOM ， ∴∠MOG ＝∠POH ，且∠PHO ＝∠MGO ， ∴△MOG ∽△POH ， ∴OH OG PH MG OP OM ==＝2， ∵M (－38，4532)，∴MG ＝38，OG ＝4532，∴PH ＝12MG ＝316，OH ＝12OG ＝4564，∴P (4564，316)；当点P 在第三象限时，如解图④，过M 作MG ⊥y 轴于点G ，过P 作PH ⊥y 轴于点H ，第8题解图④同理可求得PH ＝12MG ＝316，OH ＝12OG ＝4564，∴P (－316，－4564)；综上，存在满足条件的点P ，其坐标为(4564，316)或(－316，－4564)．9.如图，直线y ＝－x ＋3与x 轴，y 轴分别相交于点B 、C ，经过B 、C 两点的抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴的另一个交点为A ，顶点为P ，且对称轴为直线x ＝2. (1)求该抛物线的解析式；(2)连接PB 、PC ，求△PBC 的面积；(3)连接AC ，在x 轴上是否存在一点Q ，使得以点P 、B 、Q 为顶点的三角形与△ABC 相似，若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．第9题图解：(1)∵y ＝－x ＋3与x 轴、y 轴相交于B 、C 两点，∴C (0，3)，B (3，0)，∵抛物线的对称轴为：x ＝2，∴可设二次函数的解析式为：y ＝a (x －2)2＋k (a ≠0)，把B (3，0)、C (0，3)两点代入，得340a k a k =+⎧⎨=+⎩，解得，11a k =⎧⎨=-⎩，∴抛物线的解析式为：y ＝(x －2)2－1，即y ＝x 2－4x ＋3. (2)∵y ＝x 2－4x ＋3＝(x －2)2－1， ∴P (2，－1)，又∵B (3，0)、C (0，3)，∴PC ＝2242+＝52，PB ＝212-322=+）（，BC ＝23183322==+，又∵PB 2＋BC 2＝2＋18＝20，PC 2＝20， ∴PB 2＋BC 2＝PC 2， ∴△PBC 是直角三角形．∴S PBC △＝12PB ·BC ＝12×2×23＝3.(3)设存在点Q (m ，0)，使得以点P 、B 、Q 为顶点的三角形与△ABC 相似，易证∠ABC ＝∠ABP ＝45°，∴Q 点在B 点左边，则m <3，于是AB ＝2，BC ＝23，BQ ＝3－m ，BP ＝2， ①当BQBABP BC =时，△QBP ∽△ABC ，则m-=32223，解得，m ＝73， ∴Q (73，0)；②当BP BA BQ BC =时，△PBQ ∽△ABC ，则22323=-m ，解得，m ＝0， ∴Q (0，0)，综上所述，存在点Q ，使得以点P 、B 、Q 为顶点的三角形与△ABC 相似．Q 点的坐标为Q (73，0)或Q (0，0)．10.如图，已知抛物线与x 轴交于A (－1，0)，B (4，0)，与y 轴交于C (0，－2)．(1)求抛物线的解析式；(2)H 是C 关于x 轴的对称点，P 是抛物线上的一点，当△PBH 与△AOC 相似时，求符合条件的P 点的坐标(求出两点即可)；(3)过点C 作CD ∥AB ，CD 交抛物线于点D ，点M 是线段CD 上的一动点，作直线MN 与线段AC 交于点N ，与x 轴交于点E ，且∠BME ＝∠BDC ，当CN 的值最大时，求点E 的坐标．第10题图解：(1)根据题意设抛物线的解析式为y ＝a (x ＋1)(x －4)(a ≠0)，将C (0，－2)代入得：－2＝－4a ，解得a ＝12， ∴抛物线的解析式为y ＝12(x ＋1)(x －4)，即y ＝12x 2－32x －2； (2)∵C (0，－2)，H 是C 关于x 轴的对称点，∴H (0，2)，又∵A (－1，0)，B (4，0)，∴OA ＝1，OC ＝OH ＝2，AC ＝AH ＝5，OB ＝4，BH ＝52，AB ＝5， ∴AB AC HB OC AH AO ==＝51， ∴△AOC ∽△AHB ，∴P 1(－1，0)，即P 1点与A 点重合；如解图所示作C 点关于抛物线对称轴的对称点D ，连接HD 、BD ，则D (3，－2)，BD ＝AC ＝AH ＝5，CD ＝3，根据勾股定理得：HD ＝22CD HC +＝53422=+ ∴DH ACBH OC BD OA ==＝51，∴△AOC ∽△DBH ，∴P 2(3，－2)，即P 2点与D 点重合.第10题解图(3)∵CD ∥AB ，∴∠OEM ＝∠CMN ，∠BMD ＝∠EBM ，又∵∠BME ＝∠BDC ，∴∠CMN =∠OEM ＝180°－∠BME －∠BMD ， ∠DBM ＝180°－∠BMD －∠BDM ，∴∠CMN ＝∠DBM ，根据抛物线的对称性可知：∠BDM ＝∠MCN ，∴△MNC ∽△BMD ， ∴BD CMDM CN=，设CM ＝n ，则M 点坐标为(n ，－2)，又∵B (4，0)，C (0，－2)，D (3，－2)，则CN ＝BD DM CM ⋅＝ 5209)23(555535522+--=+-n n n (0<n <3)∴当n ＝32，即M 为CD 中点时，CN 的值最大， ∴M (32，－2)，∴2BM ＝414，∵∠OEM ＝∠CMN ＝∠DBM ，∠BME ＝∠BDC ， ∴△BME ∽△MDB ， ∴BM BEDM BM =，∴BE ＝DM BM 2＝41432＝416，∴OE ＝BE -OB ＝416－4＝176， ∴E (－176，0).。

河南省2019年中考数学专题复习专题八二次函数综合题训练(含答案)

专题八二次函数综合题类型一新定义问题例11(2017河南)如图，直线y=-2x+ c 与x 轴交于点A(3, 0),与y 轴交于点B,抛物线y= —4x2+bx+33c 经过点A, B.(1)求点B 的坐标和抛物线的解析式;(2)M(m, 0)为x 轴上一动点，过点 M 且垂直于x 轴的直线与直线 AB 及抛物线分别交于点 P, N.①点M 在线段OA 上运动，若以B, P, N 为顶点的三角形与△ APM 相似，求点 M 的坐标； ②点M 在x 轴上自由运动，若三个点 M, P, N 中恰有一点是其他两点所连线段的中点 (三点重合除外),【分析】(1)把A 点坐标代入直线解析式可求得 c,则可求得B 点坐标，由点A, B 的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；(2)①由M 点坐标可表示点 P, N 的坐标，从而可表示出 MA, MP, PN, PB 的长，分/ NBP = 90°和/BNP = 90。

两种情况，分别利用相似三角形的性质可得到关于m 的方程，可求得 m 的值；②用m 可表示出点 M, P, N 的坐标，由题意可知有 P 为线段MN 的中点、M 为线段PN 的中点或N 为线段PM 的中点，可分别得到关于 m 的方程，即可求得 m 的值. 【自主解答】解：(1).「y=—2x+ c 过点A(3, 0),与y 轴交于点B, 3，0=—2+c,解得 c= 2,B(0, 2). .•・抛物线 y= —4x 2+bx+c 经过点 A, B, 3 b J解得f 3'c= 2,•,・抛物线的解析式为y=-3x 2+ J3°x+2.则称M, P, N 三点为共谐点请直接写出使得M, P, N 三点成为共谐点”的m 的值.12+3b+c= 0, c= 2,例1题图备用图(2)①由(1)可知直线的解析式为.1 M(m, 0)为x 轴上一动点，过点 M 且垂直于x 轴的直线与直线+ 4m,△ BPN 和△ APM 相似，且/ BPN = /APM, ・ ./ BNP = / AMP =90°或/ NBP=Z AMP =90°.当/ BNP=90°时，则有 BNXMN,，N 点的纵坐标为2,• • 一；m 2+，m + 2= 2,解得 m = 0(舍去)或 m= 2.5,M(2.5, 0);当/NBP=90°时，过点 N 作NC^y 轴于点C,则/ NBC + /BNC = 90。